STATIKA FLUIDA •
Stat Statik ika a flui fluida da pro prouč učav ava a zak zakon one e flui fluida da u mir mirov ovan anju ju..
•
Fluid je tvar koja se pod djelovanjem ma kako malog tangencijalnog naprezanja neprekidno deformira (struji), što znači kako u fluidu koji miruje mogu postojati samo normalne, tlačne sile.
•
Fluid Fluid apsol apsolutn utno o miruj miruje e ako je je položa položajj čestic čestica a fluida fluida stab stabila ilan n u odnosu odnosu na na mirujući koordinatni sustav.
TLAK •
Općen Općenito ito,, tlak tlak je skalar skalarna na velič veličina ina defin definira irana na kao kao normal normalna na sila sila koja koja djeluj djeluje e na bilo koju površinu koja je povezana sa silom .
•
U mehanici fluida, tlak se definira kao normalna sila kojom fluid djeluje na jedinicu površine. Naime, čestice čestice fluida djeluju međusobno ali i na stijenke posude određenim silama. ,
•
.
•
Pretpostavimo da smo neki volumen V kojeg ispunjava fluid u ravnoteži, zamišljeno presjekli ravninom površine A. A. Tada na svaki djelić površine Δ A djeluje površinska sila Δ sila ΔF F, koja predstavlja utjecaj odbačenog dijela. Ako fluid miruje ova je sila normalna na površinu, jer bi u suprotnom nastupilo klizanje čestica fluida (promatrani dio volumena bi istekao) i ravnoteža bi bila poremećena.
Gran Granič ična na vrij vrijed edno nost st omje omjera ra povr površi šins nske ke sile i površine presjeka, predstavlja tlak u nekoj točki: :
p lim
F
A0 A
•
Ako je je normal normalna na sila sila jedno jednolik liko o raspor raspoređe eđena na po po cijelo cijelojj površi površini, ni, tada tada tlak tlak iznosi:
p •
F A
Jedinica tlaka je [Pa=N/m 2]. Kako je u praksi jedinica [Pa] premala, koriste se i sljedeće jedinice: 1 kPa=103 Pa 1 MPa=106 Pa=103 kPa 1 bar=105 Pa=0,1 MPa=10 2 kPa 1 atm=101325 Pa=101,325 kPa=1,01325 bar 1 mbar=10-3 bar=0,1 kPa=100 Pa (u meteorologiji)
•
Kod fluida razlikujemo nekoliko vrsta tlakova.
•
Tlak okoline nazivamo atmosferski ili barometarski tlak p tlak patm i to je apsolutni tlak okolnog zraka uzrokovan težinom zemljine atmosfere, a mjerimo ga barometrom.
•
Atmosf Atmosfers erski ki tlak tlak zavisi zavisi o nadmorsk nadmorske e visine visine i meterolo meterološki ških h uvjeta. uvjeta. Atmosf Atmosfers erski ki tlak opada povećanjem nadmorske visine približno linearno po 0,1013 bar /1km do visine od 6 km. Referentna visina je razina mora gdje je atmosferski
•
Mjerenjem tlaka pomoću manometra dobivamo razliku između izmjerene veličine i atmosferskog tlaka pa, odnosno manometarski tlak Δp koji je u stvari relativni tlak.
•
Ukoliko je ta razlika pozitivna, tj. Δp > 0 , tada takav tlak nazivamo pretlak.
• Ako je razlika negativna, tj. Δp < 0, tada se naziva podtlak . • Apsolutna vrijednost podtlaka naziva se i često se izražava u postocima atmosferskog tlaka ( p % = pa /Pa·100%). •
Kod poračuna se obično koristi apsolutni tlak, koji je zbroj vrijednosti atmosferskog tlaka i predtlaka ili podtlaka.
•
Obično se označava s p tako da je: - predtlak - podtlak
•
p pa p pa p ; p p pa p pa p pa p ; p pa p
Na slici prikazana je objašnjenje pretlaka, podtlaka i vakuma. p [N/m2]
p Δ
p k a l t i n t u l o s p a
k a l t d e r p
atmosferski tlak pa pa
p Δ k a l t d o p
apsolutni tlak p
Pascalov zakon • Ako na fluid u mirovanju djeluje neka vanjska sila, u njemu će se pojaviti hidrostatski tlak, koji se širi na sve strane podjednako i djeluje na sve plohe jednakom veličinom. To je poznati Pascalov zakon. Upravo, Pascalov zakon definira tlak kao skalarnu veličinu. Naime, tlak je tlačna sila na jedinicu površine pa stoga stječe dojam kako je to vektorska veličina. Međutim, tlak u svakoj točki fluida je jednaka u svim smjerovima. To znači kako tlak ima magnitudu, ali ne određeni smjer pa je iz tog razloga skalarna veličina.
Stoga, hidrostatski tlak ima dva svojstva:
-
Na svakoj plohi, tlačna sila je uvjek normalna sila.
-
Veličina tlaka se ne mijenja s položajem te plohe, tj. ona je jednaka u svim smjerovima.
•
Drugo svojstvo može se dokazati ukoliko se razmatra mali element fluida klinastog oblika, tj. oblika pravokutnog trokuta, u ravnoteži.
z p3dldy p1dzdy
θ
z dy=1 x
dz
dl
θ dx
p2 dxdy
x
G •
Neka se pretpostavi kako je debljina elementa fluida okomita na ravninu i ima jediničnu vrijednost (dy=1 ). Srednji tlakovi na tri površine su p1, p2 i p3, a sila koja djeluje na površinu je umnožak srednjeg tlaka i površine.
•
Prema II Newtonovom zakonu, jednadžbe dinamičke ravnoteže po osi x i z glase: z p3dldy p1dzdy
θ
z dy=1 x
dz
dl
θ dx
p2 dxdy
x
F F
x
m ax 0 : p1dzdy p3dldy sin 0
z
m az 0 : p2 dxdy p3dldy cos G 0
G
m g dV g
•
Težina elementa fluida je: G gdje je ρ gustoća.
•
Uz dy =1, jednadžbe dinamičke ravnoteže glase:
F F
x
z
•
1 2
dx dy dz
m ax 0 : p1dz p3dl sin 0 1
m az 0 : p2 dx p3dl sin dx dz 0
Za pravokutni trokut vrijedi:
2
dx dl cos d
dl sin
•
Uvrštavanjem odnosa dx dl cos i dz i dijeleći ih s dx i dz dobiva se:
dl sin u jednadžbe ravnoteže
p1dz p3dz 0 : dz z
1
p2 dx p3dx dx dz 0 : dx 2
p3dldy p1dzdy
θ
z dy=1 x
dz
dl
θ dx
p2 dxdy
x
p1 p3 0 (1) 1
G
p2 p3 dz 0 (2) 2 Ukoliko d z →0, tada element fluida postaje beskonačno malen, tj.postaje točka, pa se član ρdz /2 u drugoj jednadžbi zbog male magnitude može zanemariti. Stoga, kombiniranjem jednadžbi (1) i (2) daje:
p1 p2 p3
•
Isto se dobiva i ako se razmatra element fluida u ravnini x-y.
•
STOGA, TLAK U SVAKOJ TOČKI FLUIDA U MIROVANJU JE JEDNAK U SVIM SMJEROVIMA.
•
Na Pascalovom zakonu zasniva se djelovanje različitih hidrauličkih
uređaja: preša, dizalica, kočnica itd.
Promjena tlaka u fluidu s dubinom •Kod fluida u mirovanju, hidrostatski tlak u horizontalnom smjeru, tj. u točki se ne mijenja. •Međutim, to nije slučaj u vertikalnom smjeru. Naime, na fluid u mirovanju djeluje i vlastita težina zbog čega dolazi do promjene tlaka u vertikalnom smjeru. Tlak u fluidu povećava se s dubinom zbog toga što više fluida leži na njegovim dubljim slojevima i utjecaj te dodatne težine uravnotežuje se povećanje tlaka. •
p(h)
• h
Na slici je prikazana promjena ukupnog hidrostatičkog tlaka u ovisnosti od dubine u otvorenoj posudi s kapljevinom. Očigledno je kako ukupni tlak p linearno raste (kosi pravac) s povećanjem dubine h i najveću vrijednost ima na dnu posude.
•
Do promjene zakona hidrostatskog tlaka s dubinom dolazi se razmatranjem elementarnog dijela nestlačivog fluida površine dA, visine dz, na koji djeluju tlakovi p i za dz dublje, tlak p+dp. z p dG
z d
p+dp
z
• Ako je dG težina čestice, jednadžba ravnoteže sila u vertikalnom smjeru je:
F
z
m az 0 : dA p dG dA( p dp) 0
dA p dA g dz dA p dA dp 0 : dA p g dz p dp 0 dp g dz
•
Ukol Ukolik iko o se se pri prije jeđe đe na kona konačn čne e veli veliči čine ne i uz uz dz=h, dz=h, promjena hidrostatskog tlaka po dubini h je:
p p2 p1 g h gdje je razlika tlaka Δ p=p2-p1, razlika tlaka na različitim dubinama. •
Ukoliko je poznati tlak p tlak p1, atmosferski tlak p tlak p0, tj. p tj. p1= p0, a koji predstavlja tlak koji djeluje na površinu, hidrostatski tlak u fluidu je:
p p0 g h
Ukupni tlak p tlak p ima najveću vrijednost na dnu posude.
p p0 g
•
Izraz, Izraz,
, vrijed vrijedii za nestla nestlačiv čive e fluide fluide,, tj. za kaplje kapljevin vine. e.
•
Kod stla stlačiv čivih ih fluid fluida, a, tj. tj. plinov plinova, a, kod kod kojih kojih se gust gustoća oća značajn značajno o mijen mijenja ja s visinom z=h, z=h, promjena tlaka promjenom visine izračunava se pomoći izraza:
dp g dz
p R T
g dz
•
Nega Negati tivn vnii pred predzn znak ak je iz razl razlog oga a što što pora porast stom om dz pada pada dp. dp.
•
Kada Kada je promj promjena ena gust gustoće oće s visino visinom m poznat poznata, a, razl razlika ika tlak tlaka a između između toča točaka ka 1 i 2 može se odrediti integracijom ukoliko je poznata razlika visina. p 2
z 2
dp g dz p1
z 1 p 2
p
p2 p1 g z
z 2
p1
p2 p1 g ( z2 z 1 )
z 1
•
Naprimjer , ukoliko se traži promjena tlaka u atmosferi tada je:
dp g dz dp p p
dp
p
g R T
p0
g
p R T
g dz : p
dz z
dz
R z 0 T
gdje je p je p0 atmosferski tlak kod nadmorske visine z =0. =0. •
Ukoliko se pretpostavlja konstantna temperatura tijekom promjene visine (izotermi proces), integracijom se dobiva: p
p0
dp p
p
ln p p0
g
z
dz
R z 0 T
ln
p p0
g z
p
R T
p0
ln p ln p0
g z
e
g z R T
g z
R T
p p e
p0 g z
RT
•
Kapljevine su u biti nestlačive i stoga se promjena gustoće s dubinom zanemaruje. Također to vrijedi i za plinove kada promjena visine nije velika.
•
Promjena gustoće ili plinova s temperaturom može biti značajna i stoga se mora razmatrati kada se zahtijeva velika točnost.
•
Nadalje, na velikim dubinama promjena gustoće kapljevine zbog velikog tlaka uslijed ogromne težine kapljevine iznad može biti značajna, te se mora uzesti u obzir.
MJERENJE TLAKA
•Stvarni tlak za zadani položaj u odnosu na apsolutnu nulu, tj. potpunog vakuuma, naziva se apsolutni tlak p. Mjerenjem tlaka dobiva se razlika tlaka Δ p između izmjerene veličine i atmosferskog tlaka p0, odnosno relativni tlak. p [Pa] p
p Δ
p
k a l t d e r p
k a l t i n t u l o s p a
•
Ukoliko je ta razlika pozitivna, tj. Δ p > 0, tada se naziva pretlak , ( Δp p). • Ako je razlika negativna, tj. Δ p < 0, tada se naziva podtlak (- Δpv ). Vakuum se često izražava u postocima atmosferskog tlaka.
atmosferski tlak p0 p0
v
p Δ k a l t d o p
apsolutni tlak
p
vakum 100%
•Kod poračuna obično se koristi apsolutni tlak, koji je zbroj vrijednosti atmosferskog tlaka i predtlaka ili podtlaka:
p po pa po p p p p
p p p
•
Tlak se općenito mjeri koristeći osjetljivi element koji je s jedne strane izložen tlaku koji s mjeri, dok je s druge strane okolni tlak ili atmosferski tlak.
•
Izraz za hidrostatski tlak dopušta nam da se tlak izrazi visinom stupca fluida:
h
p g
što se naziva visina tlaka (eng. head pressure). Pri tome se ne mora upotrijebiti isti fluid čiji se tlak mjeri. Barometar •
Atmosferski tlak mjeri se pomoću barometra, tj vertikalne (staklene) cijevi u kojoj se nalazi tekućina određene gustoće (najprikladnija je živa –gustoća velika-kratka cijev). Veličina tlaka odgovara visini stupca tekućine u cijevi.
po gh
Manometri
•Manometar je uređaj za mjerenje tlaka ili češće, razlike tlaka. •Pomoću manometra može se mjeriti i predtlak i podtlak. •Za mjerenje malih i umjerenih tlakova ili razlike tlaka, koriste se manometri koji koriste stupac kapljevine za uravnoteženje tlaka. •Tri osnova tipa manometra koji koriste stupac kapljevine su: - piezometar, - U-cijevni manometar, - manometar s nagnutom cijevi. •Prednosti manometara koji koriste stupac kapljevine za uravnoteženje tlaka su: -jednostavnost izvedbe i rada,
-pouzdanost, -ne zahtijevaju kalibraciju, -mogu mjeriti jako male tlakove,
•
Piezometar je najednostavniji tip manometra koji se sastoji od vertikalne cijevčice otvorene na vrhu koja je priključena na posudu i u kojoj će se kapljevina popeti do određene visine.
p0 Pošto manometar uključuje stupac fluida u mirovanju, osnovni izraz koji opisuje njegovo korištenje je:
h
p p0 g h koji daje vrijednost tlaka p na bilo kojoj visini h u odnosu na referentni (atmosferski) tlak p0 i vertikalnu udaljenost h između tlakova p i p0.
A
Iako je piezometar vrlo jednostavan i točan uređaj za mjerenje tlaka upotrebljiv je samo za mjerenje pretlaka i to za male tlakove, jer inače bi piezometarska cijev moralabiti prevelika.
•
U-cijevni manometar s se uglavnom sastoji od staklene ili plastične U -cijevi koja je ispunjena jednom ili više kapljevina kao što je živa, voda, alkohol ili ulje. • Tlak se očitava pomoću razlike u visinama stupaca kapljevine u krakovima U-cijevi. Plin
• 1
2
Postoji više načina da se analizira manometar. Jedan od načina je odrediti dvije točke koje imaju jednaki tlak, tj. one koje su na istoj visini u istoj kapljevini. Prema slici, to su točke 1 i 2 u kojima su tlakovi isti p1= p2.
• Drugi način jest postavljanje jednadžbe ravnoteže za bilo koji presjek cijevi. Praktički se provodi tako da se počne s jednog kraja i do idućeg se nižeg meniska dodaje, a oduzima se tlačna visina ako je menisk viši. Taj se postupak ponavlja do kraja cijevi, gdje se onda izjednaći s tlakom na toj razini.
• Razlika visine stupca h je u statičkoj ravnoteži i otvoren je prema atmosferi. • Pošto se gravitacijski utjecaj plinova zanemaruje, tlak u spremniku i položaju 1 ima istu vrijednost. • Stoga, tlak koji očitava manometar može se izračunati pomoću izraza:
Plin
2
1
p1 p2 p1 p0 gh •
Ukoliko se u spremniku (cijev) nalazi kapljevina, tada se gravitacijski utjecaj, tj. težina stupca vode ne može zanemariti. • Tlakovi u točkama 2 i 3 su jednaki. p0 Stoga, može se napisati:
voda
4 1
h
1 2
2
h
3
živa
p2 p3 p1 V gh1 p4 Hg gh2 • Kako je p4= p0=0, tlak koji mjeri manometar je:
p1 Hg gh2 V gh1
•
PRIMJER
•
Voda u spremniku je pod djelovanjem tlaka zraka, a tlak se mjeri s multifluidnim manometrom. Spremnik se nalazi na nadmorskoj visini od 1400 m gdje je atmosferski tlak 85,6 kPa. Odredi tlak zraka u spremniku ako je h1=0,1 m, h2=0,2 m i h3=0,35 m. Gustoća vode je 1000 kg/m 3, ulja 850 kg/m3 i žive 13600 kg/m 3.
•
Poznato: p0=85,6 kPa, h1=0,1 m, h2=0,2 m, h3=0,35 m, ρW =1000 kg/m3, ρo =850 kg/m3 i ρHg =13600 kg/m3. Ulje Zrak
p0
1 1
h
2
Voda
3
h
2
h
A
B
Živa
•
Tlak zraka u spremniku je jednolik, tj. njegova promjena s visinom u spremniku se zanemaruje zbog male težine zraka.
•
Manometar će se analizirati počevši od točke 1 na granici zrak -voda i pomičući se uzduž U-cijevi dodavanjem ili oduzimanjem stupca visine fluida dok se ne postigne točka 2. Na taj način i postavljajući da je rezultat jednak p0, pošto je U-cijev otvorena prema atmosferi, dobiva se jednadžba manometra:
p1 W gh1 o gh2 Hg gh 3 p0
Ulje Zrak
Iz gornje jednadžbe dobiva se izraz za izračunavanje tlaka zraka u spremniku:
p0
1 1
h
2
Voda
3
h
2
h
A
Živa
B
p1 p0 Hg gh3 W gh1 o gh2 p1 85, 6 103 13600 9,81 0,35 1000 9,81 0,1 850 9,81 0, 2 p 129646, 9 Pa p 130 kPa
•
Isti rezultat dobiva se ako se manometar analizira s obzirom na dvije točke koje imaju jednaki tlak, tj. one koje su na istoj visini u istoj kapljevini. Prema slici, to su točke A i B kojima su tlakovi isti, tj.: Ulje Zrak
p0
1 1
h
2
Voda
3
h
2
h
A
Živa
B
p A pB p1 W gh1 o gh2 p0 Hg gh3 p1 p0 Hg gh3 W gh1 o gh2
•
Diferencijalni manometri posebno su pogodni za mjerenje razlike tlaka između dviju određenih točaka. Obično se koriste za mjerenje pada tlaka fluida u protjecanju zbog trenja uzduž cjevovoda (linijski otpori), te prigušenja, tj. suženja protočnog presjeka zbog mjerenja protoka ili ugradnje ventila, kao i promjene geometrije cjevovoda, a što sve podrazumijeva pod lokalne otpore.
•
Mjerenje pada tlaka u cjevovodu postiže se postavljanjem krakova U -cijevi između dvije određene točke. Razlika tlaka se pokazuje visini stupca h, manometarskog fluida između dva vertikalna koljena.
•
Radni fluid može biti plin ili kapljevina čija je gustoća ρ1.
•
Manometarska cijev ispunjena je težim fluidom (npr. živa), gustoće ρ2.
protok
h1 A
ρ1
ρ1
1
2 h2 h
B
ρ2
Mjerenje pada tlaka fluida u protjecanju na mjestu prigušenja
•
Razlika visine stupca u U-cijevi je h, dok su h1i h2 razlike visina stupca u točkama U-cijevi u kojima djeluje u isti tlak (točke A i B) u odnosu na položaj točaka 1 i 2. Razlika tlaka p1- p2 u odnosu na referentnu visinu A-B, može se izračunati počevši od točke 1, a zatim se pomiće uzduž cijevi dodavajući ili oduzimajući član ρgh, dok se ne ρ1 ρ1 protok dosegne točka 2. Prema slici se na taj način 1 2 dobiva izraz: h h1
A
2
h
B
ρ2
p1 1 gh1 2 gh 1 gh2 p2 ili p1 1 g (h h2 ) 2 gh 1 gh2 p2
•
Pojednostavljenjem gornjeg izraza (poništavanjem člana ρ1 gh2). dobiva se razlika (pad) tlaka :
p p1 p2 h g ( 2 1 )
•
Isti izraz se dobiva ukoliko se razmatraju točke A i B na istoj visini kapljevine u kojima vlada isti tlak.
protok
h1 A
ρ1
ρ1
1
2 h2 h
B
ρ2
p A pB p1 1 gh1 p2 1 gh2 2 gh p1 1 g (h h2 ) p2 1 gh2 2 gh p1 1 gh 1 gh2 p2 1 gh2 2 gh
p p1 p2 1gh2 2 gh 1 gh 1gh2 p p p gh gh gh( )
•
PRIMJER
•
Odredi razliku tlaka između dviju točaka u cijevi kroz koju protječe voda za očitanje razlike visine stupca od 20 cm u U-cijevnom manometru s živom. Gustoća žive je 13600 kg/m 3, a vode 1000 kg/m 3.
•
Poznato: h=20 cm, ρW =1000 kg/m3 i ρHg =13600 kg/m3.
voda 1
2
h1 A
h
B
živa
•
Manometar će se analizirati počevši od točke 1 pomičući se uzduž U -cijevi dodavanjem ili oduzimanjem stupca visine fluida dok se ne postigne točka 2. Na taj način i postavljajući da je rezultat jednak p2, dobiva se jednadžba manometra: voda 1
p1 W g (h1 h) Hg gh W gh1 p2
2
h1 A
•
h
B
p1 W gh1 W gh Hg gh W gh 1 p2
živa
Sređivanjem gornjeg izraza dobiva se razlika tlaka:
p1 p2 Hg gh W gh gh( Hg W ) 9, 81 0, 2(13600 1000) 24, 721 103 Pa
•
Isti rezultat dobiva se ako se manometar analizira s obzirom na dvije točke koje imaju jednaki tlak, tj. one koje su na istoj visini u istoj kapljevini. Prema slici, to su točke A i B kojima su tlakovi isti, tj.: voda 1
2
h1 A
•
h
B
živa
p A pB p1 W g (h1 h) p2 W gh1 Hg gh
p1 W gh1 W gh p2 W gh1 Hg gh
Sređivanjem gornjeg izraza dobiva se razlika tlaka:
p1 p2 Hg gh W gh gh( Hg W ) 9, 81 0, 2(13600 1000) 24, 721 103 Pa
•
Manometar za nagnutom cijevi koristi se za mjerenje malih promjena tlaka.
•
Jedan krak manometra zakrivljen je za kut θ , a razlika očitanja l mjeri se uzduž nagnute cijevi. Razlika tlaka p1- p2 može se izraziti ako se razmatraju točke A i B na istoj visini fluida gustoće ρ3, a u kojima vlada isti tlak:
Cijev
•
Cijev
p1
kraj manometra 1
p2
ρ1
2
ρ2 h2
h1
l
Δh A
θ
ρ3
B
p A pB p1 1 gh1 p2 2 gh2 3l sin Sređivanje izraza daje:
p1 p2 2 gh2 1 gh1 3 gl sin
•
Razlika tlaka između točaka 1 i 2 je zbog razlike visine tih točaka Δh koja se može izraziti kao Δh=l sinθ . Stoga, za relativno male kuteve razlika očitanja uzduž nagnute cijevi može biti velika čak i kod malih razlika tlaka. Drugim riječima, njegova osjetljivost je povećana faktorom 1/sin θ u odnosu na Ucijevne manometre.
•
Manometar s nagnutom cijevi često se koristi za mjerenje malih razlika tlaka plinova, pa kada cijevi 1 i 2 sadrže isti plin ( ρ1= ρ2= ρ), utjecaj stupca plina može se zanemariti, pa je tada:
p p p gl sin
•
PRIMJER
•
Uljni manometar s nagnutom cijevi koristi se za mjerenje male promjene tlaka zraka kroz filtar procesne ventilacijske cijevi. Ukoliko se ulje u nagnutoj cijevi pod djelovanje tlaka zraka pomakne za 12 cm (razlika očitanja), odredi manometarsku razliku tlaka na filtru. Cijev je nagnuta za 20°, a gustoća ulja je 800 kg/m 3. Dijametar spremnika ulja je 5 cm, a nagnute cijevi 6 mm.
•
Poznato: l =12 cm, θ =20°, ρ=800 kg/m3, D=5 cm, d =6 mm. p1 l
h2
Početna razina ulja
p2
2
d 1 ulje D
θ
h1
h
•
Rješenje:
•
Tlak zraka u spremniku je jednolik, tj. njegova promjena s visinom u spremniku se zanemaruje zbog male težine zraka.
•
Manometar će se analizirati počevši od točke 1 pomičući se uzduž zakrivljene cijevi dodavanjem ili oduzimanjem stupca visine fluida dok se ne postigne točka 2. Na taj način i postavljajući da je rezultat jednak p2, dobiva se jednadžba manometra:
p1 gh p2 p1 g (h1 h2 ) p2 odnosno razlika tlaka
p1 p2 g (h1 h2 )
p1 l
h2
Početna razina ulja
p2
2
d 1 ulje D
θ
h1
h
•
U gornjem izrazu osim razlike tlaka, nepoznate su i visine stupca h1 i h2. Nepoznata visina stupca h1 (promjena visine stupca u spremniku) odrediti će prema, postavljajući odnos za jednaku promjena volumena ulja u spremniku i cijevi:
A s h1 Ac l
gdje je As površina spremnika, a Ac površina poprečnog presjeka cijevi. •
Stoga, visina stupca h1 iznosi: A l h1 c A s
d 2 h1
l
d 2 l
4 2 D 2 D 4
odnosno razlika tlaka
0, 0062 0,12 0,052
p1 l
p2
2 h2
Početna razina ulja
0, 001728 m h1 1,728 mm
d
θ
1 ulje D
h1
h
•
Visina stupca h2 (promjena visine stupca u cijevi) odrediti će se iz trigonometrijskog izraza:
h2 l sin 0,12sin 20 0, 041 m h2 41 mm •
Uvrštavanjem dobivenih visina stupaca u jednadžbu manometra, razlika tlaka iznosi:
p1 p2 g (h1 h2 ) 800 9,81(1,728 103 41 103 ) 335,33 Pa •
Manometar s nagibnom cijevi posebno je koristan za mjerenje malih razlika tlaka. Naime, ukoliko članovi u jednadžbi manometra imaju malu veličinu, razlika očitanja l uzduž zakrivljene cijevi je značajna. Ukoliko je za zadanu razliku tlaka ekvivalentna promjena visine stupca manometarske kapljevine h, tada je omjer promjene:
l
h
1
Ac A s
sin
a koji se naziva omjer pojačanja, gdje je 1/ sinθ , faktor pojačanja.
•
Kod manometara koji koriste stupac kapljevine za uravnoteženje tlaka kapilarnost uslijed površinske napetosti u područjima dodira raznih fluida se obično ne uzima u obzir.
•
To je iz razloga što se pretpostavlja kako su površinska napetost i dijametar cijevi jednake u svakom menisku.
•
Kapilarnost se se zanemaruje zbog korištenje relativno velikih dijametara cijevi (od 12 mm i više).
•
Za vrlo velike točnosti mjerenja potrebno je uzestu u obzir temperaturu zbog promjene gustoće fluida.
•
Općenito, manometari koji koriste stupac kapljevine za uravnoteženje tlaka su vrlo zastarjeli.
•
Danas postoje mnoge softificirane metode mjeranja tlaka i uređaji za mjerenje tlaka koje se koriste u u industriji, pa tako i u brodarstvu.
•
Ipak, manometari koji koriste stupac kapljevine i dalje se kontinuirano koriste kao korisni alati u laboratorijske i ispitne svrhe.
Mehanički i elektronski uređaji za mjerenje tlaka •Manometari koji koriste stupac kapljevine nisu podesni za mjerenje vrlo velikih tlakova ili tlakova koji se značajno mijenjaju u vremenu. •Nadalje, ovi manometri zahtijevaju mjerenje jednog ili više visina stupaca fluida, što nije posebno teško ali zahtijeva vrijeme. •Kako bi se prevladali ovi problemi razvili su se razni mehanički i elektronski uređaji za mjerenje tlaka. •Mehanički uređaji za mjerenje tlaka uglavnom koriste elastični element koji se pod djelovanjem tlaka deformira, a deformacija predstavlja magnitudu tlaka. •Elektronski uređaji za mjerenje tlaka, odnosno senzori tlaka, pretvaraju tlak u električni signal.
Mehanički i elektronski uređaji za mjerenje tlaka •Najviše korišten mehanički uređaj za mjerenje tlaka je manometar s Bourdonovom cijevi, nazvanoj po francuskom inženjeru i izumitelju Eugene Bourdon (1808 –1884).
-Bourdonove cijevi su savijanjem kružno oblikovane cijevi, ovalnog poprečnog presjeka. Tlak medija djeluje na unutarnje stjenke cijevi uslijed čega se ovalni poprečni presjek približava kružnom obliku. Iskrivljenjem opružne cijevi nastaju prstenasta naprezanja koja razvijaju Bourdonovu cijev. Neučvršćeni kraj opruge usljed naprezanja izvodi pomak koji se preko mehanizma zupčanika prenosi pomoću kazaljke na sk alu manometra. -Kada je cijev otvorena prema atmosferi, cijev je nedoformirama, a k azaljka u tom stanju
•
Senzori tlaka koriste razne tehnike za pretvaranje tlaka u električni signal i to ili promjenom napona, otpora ili kapaciteta.
•
Vrlo su mali i brzi u djelovanju i obično su više osjetljiviji, precizniji i pouzdaniji nego mehanički uređaji za mjerenje tlaka.
•
Razne izvedbe senzora tlaka koriste se za mjerenje manometarskog, apsolutnog ili diferencijalnog tlaka.
•
Mogu mjeriti vrlo male tlakove od milijuntitog dijela bar- a do nekoliko tisuća bar-a.
•
Kao primarni elementi za pretvaranje sile tlaka koristi se mijeh, dijafragme ili tanke ploče.
•
Različiti sekundarni elementi se koriste za očitanje tlaka i to mjerenjem naprezanja (eng.strain gage), kapaciteta, induktiviteta ili piezoeletričnog efeketa.
•
Stoga, se prema načinu pretvaranja sile deformacije uslijed djelovanja tlaka u fluidu u električni izlaz razlikuju: - elektromagnetni (indukcijski) senzori, - piezoelektrični senzori, - kapacitivni senzori, - piezorezistivni senzori.
•
Kapacitivni senzori- Kao deformacijski element koristi se metalna ili silikonska membrana koja ima ulogu jedne od elektroda kondenzatora.
•
Drugu elektrodu, koja je stacionarna, najčešće čini metalni sloj koji se nanosi na keramičku ili staklenu podlogu.
•
Pod djelovanjem tlaka dolazi do ugibanja membrane, čime se mijenja volumen dielektričkog prostora između elektroda a time i kapacitivnost kondenzatora
•
Promjena kapacitivnosti se preko elektronskih elemenata pretvara u odgovarajući izlazni signal (strujni ili naponski) koji prenosi informaciju o tlaku u fluidu
•
Piezorezistivni senzori tlaka-Ovaj tip senzora tlaka je danas najčešće u upotrebi.
•
Piezorezistivni efekt je pojava promjene električnog otpora pri djelovanju neke deformacijske sile.
•
Piezorezistivni materijali pričvršćujuse na membranu koja se pod djelovanjem sile (tlaka) deformira i na taj način se mijenja električni otpor materijala pričvršćenog na membranu. Osjetljivost ovakvog uređaja usko je povezana za veličinu nazvanu deformacijski faktor (eng. strain gage factor ) koji karakterizira primjenjeni piezorezistivni materijal. Pored malih dimenzija i velike prilagodljivosti, prednosti ovog senzora tlaka su niska cijena i veoma visoka točnost (greška najčešće manja od 0,1 %). Nedostaci su osjetljivost na temperaturne promjene zbog čega je neophodna termička kompenzacija, a koju obavljaju elektronski sklopovi integrirani u senzoru.. Mjerni opseg ovih im se kreće se između 10 kPa i 70 Mpa.
Primjena Pascalovog zakona •
Sukladno Pascalovom zakonu promjena tlaka u jednom dijelu fluida u mirovanju u zatvorenom spremniku prenosi se bez gubitaka na sve dijelove fluida i stjenke spremnika.
•
Prikažimo princip rada hidrauličkog uređaja. Ako na klip površine A1 djeluje sila F 1, u fluidu se stvara tlak p koji silom F 2 podiže klip površine A2. Pri tome je volumen pomaknutog fluida V , a ostvareni pomaci klipova su s1 i s2. Vrijedi:
• Ako je A2 > A1, tada je F 2 > F 1 i s2 < s1. Dakle, djelovanjem manje sile moguće je ostvariti veću silu, pri čemu je dobiveni pomak manji.
PRIMJER •
Hidraulička dizalica sastoji se od klipa poprečnog presjeka 0,003 m 3 i stapa mase 1000 kg i poprečnog presjeka 0,3 m 2. Sustav je ispunjen uljem gustoće 750 kg/m 3. Odredi silu na klipu potrebnu za ravnotežno stanje ukoliko se klip nalazi 2 m iznad stapa. Pretpostavlja se kako nema gubitaka na klipu i stapu.
•
Poznato: A p=0,003 m2, As=0,3 m2, ms=1000 kg, h=2 m ρ=750 kg/m3. F 2
Klip
F 1
h
Stap x
x Ulje
•
Rješenje:
•
Budući da se stap i klip ne nalaze na istoj visini, kod analize problema potrebno je uzesti u obzir i djelovanje visine stupca ulja uslijed njegove težine.
•
Za stap, tlak na zadanoj visini x - x je:
gdje je F 1 sila na stapu. •
Tlak koji djeluje na klip na istoj visini je: gdje je F 2 sila na klipu.
•
A s
p2
F 2 Ak
gh
F1 A s
F 2 Ak
F 2
Klip
Sukladno Pascalovom zakonu tlakovi p1 i p2 su jednaki tj.:
p2 p2
•
p1
F 1
F 1
h
Stap x
x Ulje
gh
Prema gornjem izrazu, potrebna sila na klipu F 2 za održanje ravnotežnog stanja iznosi:
F 1 1000 9,81 F2 Ak gh 0, 003 9,81 750 2 54 N 0,3 A
Spojene posude •Hidrostatski tlak ovisi samo o visini stupca fluida. •Dakle, hidrostatički tlak jednak je u svim točkama fluida na istoj dubini bez obzira na oblik posude. •To je poznati hidrostatički paradoks koji svoju potvrdu nalazi u spojenim posudama (kapljevina uvijek ima jednaku visinu bez obzira na oblik posude).
•Ako homogegena kapljevina miruje u više međusobno spojenih posuda, tada će slobodne površine otvorene prema istom atmosferskom tlaku ležati na istoj izobari ( p1= p2=…= p i Δh=0).
p1
ρ1
h 1
p1
Δ
h 2
h
ρ2 • Ako se u spojenim posudama nalaze tekućine različite gustoće ρ1≠ ρ2 i ako na slobodnim površinama vlada različiti tlak p1≠ p2 biti će:
h1 1 h2 2
p2 p1 g
a ako imaju istu gustoću ρ1≠ ρ2=0:
h1 h2 h
p2 p1 g
SILE TLAKA NA STIJENKE
•Fluid u mirovanju u kontaktu s površinom djeluje normalnom silom tlaka (hidrostatski tlak) koja je okomita na površinu jer nama tangencijalnog naprezanja. •Stijenke spremnika, brodskog trupa, zaklopki, zasuna i drugih hidrauličkih struktura su pod djelovanje tih sila. Određivanje ovih sila je važno zbog dizajna svih svih tih struktura. •Sile hidrostatskog tlaka tvore sustav paralelnih sila i stoga je potrebno u odrediti magnitudu ukupnu silu i točku djelovanja te sile, odnosno njeno hvatište koja se još naziva i centar (središte) tlaka. Sila tlaka okomita je na površinu pošto nema tangencijalnog naprezanja. • Kao što je već prije rečeno sila hidrostatskog tlaka ovisi o razmatranoj dubini. p0
p(h)
h
p p0 g h
p0
p0
h
F R
p0
p0
p= ρ∙g∙h
Tlak na dnu spremnika
•
F R
p(h)
h
p= ρ∙g∙h
Tlak na bočne stjenke
Za otvoreni tank,ukoliko atmosferski tlak djeluje na obje suprotne strane dna, tlak na dnu je jednoliko distribuiran preko cijelog dna i jednak je:
p g h •
Za horizontalnu površinu, rezultantna sila koje djeluje u središtu površine je:
F p A g h A •
Tlak na bočne stjenke spremnika nije jednoliko distribuiran i u funkciji je dubine, tj. vertikalne udaljenosti od površine h (linearna promjena s
• Ako je posuda (spremnik) zatvorena, rezultantnu silu tlaka na dno mora se računati uz pomoću razlike apsolutnih tlakova jer vanjski tlak (atmosferski) i unutarnji tlak pu (tlak plina iznad tekućine) ne moraju biti jednaki. S unutarnje strane na dno posude djeluje tlak:
pu
pd pu g h F R
p0
h
p
S donje strane na dno posude izvana djeluje atmosferski tlak p0. Njihova razlika je (ovi tlakovi djeluju u međusobno suprotnim smjerovima):
p pd p0 pu g h p0
Stoga, rezultantna sila na dnu posude je:
F R p A ( pu g h p0 ) A
Sile tlaka na ravne površine •
Neka se razmatra uronjena kosa ravna ploha nagnuta u odnosu slobodnu površinu fluida za kut α .
•
Koordinatni sustav x -y postavljen je tako da je njegovo ishodište na slobodnoj površini. Os y postavljena je uzduž plohe prema dole kako bi se izbjegao negativni predznak u računu hidrostatskog tlaka.
•
Prema slici, na slobodnu površinu i vanjsku plohu stjenke djeluje atmosferski p0 tlak čime se oni poništavaju. ρ=konst.
α h
dF
C
h
y c y H
Δy H
p
F R
C
C
) p ( h p
p =
ρ ∙ g ∙ H
p0
H
Hvatište sile (središte tlaka)
Težište površine
x
•
Smjer djelovanja sile je u smjeru normale na stjenku prema van, a kako se radi o ravnoj plohi taj je smjer za sve dijelove plohe isti, odnosno okomit na stjenku. Na bilo kojoj dubini h, sila linearnog promjenjivog hidrostatskog tlaka koja djeluje na elementarnu površinu dA je:
dF p dA g hdA g y sin dA p0
ρ=konst.
α h
dF
C
h
p
F R
C
C
) p ( h p
p =
ρ ∙ g ∙ H
x
y c y H
Δy H
p0
H
Hvatište sile
Težište površine
Magnituda rezultirajuće sile može se naći zbrajanjem sila koje djeluju na sve elemente plohe, odnosno integralom:
(središte tlaka)
y
F R
p
C
A
dA g hC dA g hC A g yC sin A A
gdje je hC udaljenost težišta C plohe površine A od slobodne površine, a pC je hidrostatski tlak u težištu plohe.
•
Prema izrazu za rezultirajuću silu F R hidrostatskog tlaka vidi se kako je ona neovisna od kuta α i ovisi samo od gustoće fluida, ukupne površine plohe i dubine težišta plohe.
•
Hvatište rezultirajuće sile F R ne prolazi kroz središte plohe već je pomaknuto od težišta plohe C prema dole. p0
ρ=konst.
α z=h
dF
C
h
y c y H
Δy H
p
F R
C
C
) p ( h p
p =
H
Hvatište sile
ρ ∙ g ∙ H
p0
Težište površine
(središte tlaka)
x
Koordinata hvatišta rezultirajuće sile y H po osi y može se odrediti zbrajanjem momenata oko osi x i y koje su položene uz bočnu plohu . Pri tome moment rezultantne sile mora biti jednak momentu linearno promjenjivom hidrostatskom tlaku, tj.:
y
A
A
A
A
M x FR yH ydF y p dA y g hdA y g y sin dA g y 2 sin dA
dF p dA g hdA g y sin dA
•
Iz izraza za moment slijedi:
F R yH g y 2 sin A
g yC sin A yH g y 2 sin dA : g sin A p0
yC A yH y dA
ρ=konst.
2
z=h h
H
y H
A
A yC
p
F R
C
p
p =
ρ ∙ g ∙ H
A yC
x
C
) p ( h
I x
p0
y c y H
Δy
odnosno
dF
C
A
y 2 dA
α
H
Hvatište sile (središte tlaka)
Težište površine
y
gdje je I x aksijalni moment tromosti (inercije) površine plohe s obzirom na os x .
• Aksijalni moment tromosti (inercije) površine I x plohe može se odrediti primjenom Steinerovog pravila:
I x I xC yC 2 A gdje je I xC moment tromosti plohe površine A s obzirom na pravac, paralelan s osi x , koji prolazi kroz težište C , dok je y c udaljenost težišta od slobodne površine po osi y . p0
ρ=konst.
α z=h
dF
C
h
p
F R
C
C
) p ( h p
p =
ρ ∙ g ∙ H
x
y c y H
Δy H
p0
Stoga, koordinata y H može se odrediti pomoću izraza:
H
Hvatište sile (središte tlaka)
Težište površine
y H
I x A yC
I xC y A 2 C
A yC
I xC A yC
yC
y
•
Izraz za y H jasno pokazuje kako rezultantna sila ne prolazi kroz težište plohe C i uvijek je ispod njega zbog toga što je I xC /y C A>0.
•
Koordinata x H po osi x može se odrediti na isti način sumirajući momente oko osi y :
A
A
M y FR xH xdF x y g sin dA •
Iz izraza za moment slijedi:
F R xH x y sin dA A
g yC sin A xH x y g sin dA : g sin A
p0
ρ=konst.
z=h
yC A xH x ydA
h
H
p
F R
C
C
p
x H
A
A
p =
ρ ∙ g ∙ H
I xy A
p0
y c y H
Δy
) p ( h
dF
C
A
x ydA
α
H
Hvatište sile (središte tlaka)
Težište površine
x
x H •
x ydA A
yC A
I xy yC A
U gornjem izrazu I xy je centrifugalni moment tromosti plohe površine A s obzirom na os x i y, odnosno težište C, a koji se isto može odrediti primjenom Steinerovog pravila: p 0
ρ=konst.
I xy I xyC xC yC A
z=h h
yC A
yC A
C
C
) p ( h p
I xy I xyC xC yC A x H
p
F R
p =
ρ ∙ g ∙ H
I xyC yC A
y
xC
p0
y c y H
Δy
što uvrštenjem u izraz za x H daje:
I xyC xC yC A
dF
C
H
I xy
α
H
Hvatište sile (središte tlaka )
Težište površine
x
•
Pomaci hvatišta rezultirajuće sile u odnosu na težište C definirani su izrazima: p 0
y y H yC x x H xC
ρ=konst.
I xC A yC
z=h dF
C
h
H
p
F R
C p
ρ ∙ g ∙ H
x
C
) p ( h
p =
p0
y c y H
Δy
I xyC A yC
α
H
Hvatište sile (središte tlaka)
Težište površine
y
•
Ukoliko je uronjena površina simetrična s obzirom na os y ili x koja prolazi kroz njeno težište (središte), tada je I xy =I yx =0, a hvatište rezultirajuće sile leži uzduž linije x = x H , odnosno na osi y težišta.
Izrazi za izračunavanja položaja težišta, površine, te aksijalnog i centrifugalnog momenta inercije s obzirom na težište C uobičajenih površina
•
Iz prije navedenog slijedi kako tlak djeluje okomito na površinu, dok sila hidrostatskog tlaka djeluje na ravnu plohu čije je visina linearno promjenjivi tlak. Atmosferski ili drugi tlak po (ili p1)
h
p(h) F R C
p=po+ ρgh
•
H
3 / h
Prizma tlaka za ravnu ploču pravokutne površine. Predstavlja geometrijski prikaz hidrostatske sile tlaka na stijenke.
b
Ova virtualna prizma ima sljedeće fizikalno tumačenje: njezin volumen je jednak veličini rezultirajuće sile F R hidrostatskog tlaka koja djeluje na plohu pošto je:
1
1
h
F R volumen p A g h ( b h ) g ( ) A 2 2 2 dok pravac djelovanja sile F prolazi kroz težište C homogene prizme
•
Projekcija težišta na plohu je središte tlaka, odnosno hvatište H sile F R . Atmosferski ili drugi tlak po (ili p1)
h
p(h) F R C
p=po+ ρgh
•
H
3 / h
b
Ovim konceptom problem opisivanja rezultirajuće sile F R hidrostatskog tlaka na ravnu plohu reducira se na pronalaženje volumena i dviju koordinata težišta prizme.
•
Projekcija težišta na plohu je središte tlaka, odnosno hvatište H sile F R . Atmosferski ili drugi tlak po (ili p1)
h
p(h) F R C
p=po+ ρgh
•
H
3 / h
b
Ovim konceptom problem opisivanja rezultirajuće sile F R hidrostatskog tlaka na ravnu plohu reducira se na pronalaženje volumena i dviju koordinata težišta prizme.
PRIMJER •
U otvorenom spremniku napunjenom vodom, kvadratna zaklopka širine 60 cm ima svoj gornji kraj na dubini od 12 m ispod površine vode u točki B. Zaklopka je postavljena pod kutom od 45° u odnosu na slobodnu površinu vode, a njen donji kraj zglobno je vezan za dno spremnika u točki A. Koja je sila potrebna za otvaranje zaklopke u točki B. Gustoća vode je 1000 kg/m 3.
•
Poznato: h=12 m, a=0,60 m, α =45°, ρ=1000 kg/m3. p0 Voda
x
z=h
x y
h C
F B
h H
B
y C y H
pC p0 y F R F Ax
α
A
F Ay
Δ
y
x
I x C
y
H y a
d
x a
a4 12
•
Prema slici, na slobodnu površinu i vanjsku plohu stjenke spremnika djeluje atmosferski tlak čime se oni poništavaju.
•
Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka izračunava se pomoću izraza: a F R pC A g hC a 2 g (h sin 45) a 2 2 0,6 sin 45) 0,6 2 43128,36 N F R 1000 9,81(12 2 p0 Voda
x
z=h
x y
h C
F B
h H
B
y C y H
pC p0 y F R F Ax
α
A
F Ay
Δ
y
x
I x C
y
H y a
d
x a
a4 12
•
Pošto je zaklopka simetrična, hvatište rezultirajuće sile y H mora ležati na osi y -y , pa je stoga x H =0. Prethodno je potrebno odrediti udaljenost težišta y C zaklopke od slobodne površine:
yC
hC sin 45
h (a / 2)sin 45 sin 45
12 0,3sin 45 sin 45
17,27 m
p0 Voda
x
z=h
x y
h C
F B
h H
B
y C y H
pC p0 y F R F Ax
α
A
F Ay
Δ
y
x
I x C
y
H y a
d
x a
a4 12
•
Hvatište rezultirajuće sile y H može se odrediti pomoću izraza:
y H
I x A yC
I xC A yC
a4
yC
12 A yC
yC
0,62 12 0, 6 17, 27 2
17, 27 17, 272 m
p0 Voda
x
z=h
x y
h C
F B
h H
B
y C y H
pC p0 y F R F Ax
α
A
F Ay
Δ
y
x
I x C
y
H y a
d
x a
a4 12
•
Potrebnu silu za otvaranje zaklopke odrediti će se sumiranjem momenta oko zgloba zaklopke, tj. točke A, a čime sile reakcije u zglobu neće biti potrebno uzeti u obzir:
M A FR d FB a 0 F B
•
F R d a
F R ( yC ( a / 2) yH ) a
43128,36 (17, 27 0,3 17,272) 0,6
21420,41 N
Iz rezultata se vidi kako je sila potrebna za otvaranje zaklopke približno duplo manja nego rezultirajuća sila tlaka, a zbog linearnog povećanja hidrostatskog tlaka s dubinom. p0 Voda
x
z=h
x y
h C
F B
h H
B
y C y H
pC p0 y
F R F Ax
α
A
F Ay
Δ
y
x
I x C
y
H y a
d
x a
a4 12
•
PRIMJER:
Otvoreni spremnik, ispunjen uljem gustoće ρ=800 kg/m3, ima pri dnu kosu bočnu pravokutnu trokutastu ploču (slika 2-6) nagnutu za kut α=30° u odnosu na slobodnu površinu ulja. Odredi rezultirajuću silu hidrostatskog tlaka na ploču i pomake njenog hvatišta (središte tlaka) na ploči. p0
h=z
m 5
ρ C
H h
h
α p0
x
y C y H
4
pC F 6 R
y
x H 8 m
x
C 4 m
H m 4
m 2
y
m 1 1
Rješenje: •
Prema slici, na slobodnu površinu i vanjsku stijenku ploče djeluje atmosferski tlak čime njegovo djelovanje zanemaruje. Prema slici, površina trokutaste ploče je:
A •
1 2
bh
1 2
(8 4) (2 4) 36 m2
Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka jednaka je:
F R pC A g hC A 800 9,81 (5 4) 36 2,54 106 N p0
h=z
m 5
ρ C H h
h
α p0
x
y C y H
4
pC F 6 R
y
x H 8 m
x
C 4 m
H m 4
m 2
y
m 1 1
• Pošto površina ploče nije simetrična, hvatište rezultirajuće sile tlaka ne leži na osi y-y koja prolazi kroz težište ploče, pa će pored koordinate y H biti potrebno odrediti i njenu koordinatu x H po osi x - x . To podrazumijeva da se pored aksijalnog momenta tromosti I x , izračuna i centrifugalni moment tromosti I xy . Prethodno je potrebno izračunati aksijalni i centrifugalni moment tromosti trokutaste ploče s obzirom na težište C . d
A h
x
1 2
I xx
C b/2
3 /
h
y
b/2
I xy
Prema slici, aksijalni i centrifugalni moment inercije trokutaste ploče u odnosu na težište C su:
bh
b h3 36 b(b 2d )h 3
I xC
72
I xyC
bh 36
6 12 36
b(b 2s)h 2 72
288 m4
6(6 2 6)122 72
72 m4
• Pomaci hvatišta rezultirajuće sile u odnosu na težište C definirani su izrazima: I xC 288sin30o y y H yC 0,444 m h A yC 36 9 A C sin I xyC I xyC 72sin30o x x H xC 0,111 m h A yC 36 9 A C I xC
• Hvatište rezultirajuće sile F R je u točki koja je ispod i desno (negativni predznak) od težišta. p0
h=z
m 5
ρ C
H h h
α p0
x
y C y H
4
pC
F R 6
y
x H 8 m
x
C 4 m
H m 4
m 2
y
m 1 1
Tlak na zakrivljene površine •Određivanje rezultirajuće sile hidrostatskog tlaka uronjene zakrivljene površine uključuje integraciju sile hidrostatskog tlaka koja mijenja smjer uzduž zakrivljene površine. •S obzirom na oblik krivulje to može biti zamoran i ne jednostavan postupak. •Alternativna metoda jest da se rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka rastavi u vertikalnu i horizontalnu komponentu. •Neka se razmatra zakrivljen dio BC površine stijenke otvorenog spremnika. Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka može se izračunati ukoliko se blok kapljevine u blizini zakrivljene plohe presječe horizontalnom ravninom AB i vertikalnom ravninom AC . y x
ρ
z=h
A
C
F 2
A
C
F R Fx2 F y2 C
x F 1 B
G B
α
C O
F y F R O H F x F x
H F x
F y y
Plan slobodnog tijela zakrivljenog dijela površine
B
F y
F R
α
Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka
• Zatim se crta plan slobodnog tijela kako bi se razmotrile sve sile koje djeluju y na blok kapljevine. x
ρ
z=h
A
C
F 2
A
C
2 2 F R Fx F y
C
x F 1 B
G B
α
C O
F y F R O H F x F x
H F x
F y y
Plan slobodnog tijela zakrivljenog dijela površine spremnika
B
F y
F R
α
Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka
• S obzirom da je blok kapljevine u ravnoteži, prema III Newtonovom zakonu (zakon akcije i reakcije) mogu se napisati jednadžbe ravnoteže sila za vertikalnu i horizontalnu ravninu, odnosno po osima y i x :
F F
x
0; F1 F x 0
y
0; F2 G F y 0
odnosno
F x F 1 F y F2 G
•
Iz jednadžbi ravnoteže slijedi kako kod fluida u mirovanju djeluju tri sile na masu fluida:
- horizontalna sila F 1, - rezultanta vertikalnih sila F 2 i težina G. - rezultirajuća sila F R hidrostatskog tlaka na zakrivljenu površinu, odnosno njena vertikalna F y i horizontalna komponenta F x . •
Pošto je fluid u mirovanju i u ravnoteži, a ove tri sile nisu paralelne, prema principu statike ove tri sile moraju tvoriti komplanarno-konkurentni sustav, odnosno sustav kod kojih se pravci svih sila sijeku u jednoj točki (središte tlaka O) i koji djeluje u jednoj ravnini. F F x
y
F y F2 G
x
ρ
z=h
A
C
F 2
A
C
2 2 F R Fx F y
C
x
G B
α
C
F 1 B
1
O
F y F R O H F x F x
H F x
F y y
Plan slobodnog tijela zakrivljenog dijela površine spremnika
B
F y
F R
α
Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka
•
Horizontalna komponenta F x rezultirajuće sile F R hidrostatskog tlaka koja djeluje na zakrivljenu površinu jednaka je po magnitudi i smjeru djelovanja (kolinearna) sili hidrostatskog tlaka F 1 koja djeluje na vertikalnu projekciju normalnu na površinu. Smjer djelovanja ove sile je po pravcu koji prolazi kroz točku O, tj.središte tlaka projicirane površine i hvatište H sile F R .
•
Vertikalna komponenta F y rezultirajuće sile F R hidrostatskog tlaka koja djeluje na zakrivljenu površinu jednaka je po magnitudi i smjeru djelovanja (kolinearna) rezultanti sile hidrostatskog tlaka F 2 koja djeluje na horizontalnu projekciju zakrivljene površine od slobodne površine i težine G bloka fluida. Njeno djelovanje je u smjeru težišta volumena bloka fluida i volumena fluida iznad slobodne površine, odnosno po pravcu središta tlaka O. y
F x F 1
x
ρ
F y F2 G
z=h
A
C
F 2
A
C
F R
C
x
B
G B
α
C
F 1
O
F y F R O H F x F x
H F x
F y y
Plan slobodnog tijela zakrivljenog dijela površine spremnika
Fx2 F y2
B
F y
F R
α
Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka
•
Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka jednaka je :
F R •
Fx2 F y2
Tanges kuta između dviju komponenti u odnosu na horizontalnu ravninu ( x x ) je: F
tg
•
y
F x
Rezultirajuća sila F R prolazi kroz točku O, a koja se određuje sumirajući momente površina presjeka oko odgovarajućih projekcijskih osi ( osi y i x). F R Fx2 F y2
Rezultirajuća sila tlaka fluida je jednaka i suprotnog smjera nego što se dobila iz plana slobodnog tijela.
C α
F y
F R O H F x F x B
F y
F R α
Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka
•
Ukoliko je zakrivljena površina iznad kapljevine, težina se isključuje pošto je suprotno usmjerena.
F y
O C
F R F x
G
•
Kada je zakrivljena površina kružna (puni krug ili njegov dio), rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka djeluje uvijek kroz središte kruga. To je zbog toga što su sile tlaka okomite (normalne) na površinu, a svaka linija okomita na površinu prolazi kroz središte kruga. Stoga, sile tlaka tvore sustav sila s jednim centrom, a koji se može reducirati na jednu ekvivalentnu silu u točki, tj. središtu kruga.
PRIMJER: Odredi rezultirajuću silu hidrostatskog tlaka morske vode, gustoće 1025 kg/m 3, na zakrivljenom dijelu podvodnog dijela trupa tankera uzduž 1 m duljine trupa (dužina okomita na ravninu x -z, tj. po osi y ). Također, odredi i smjer njenog djelovanje. y x
D
C
ρ z=h 5 1
E
A
B
C
2 2 F R Fx F y
C
x
R
A
F 2
p(h) H
F 1
F 1 4
G B
α
C O
F y F R O H F x F x
H F x
F y y
Plan slobodnog tijela zakrivljenog dijela površine spremnika
B
F y
F R
α
Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka
•
Rješenje:
•
Prema planu slobodnog tijela i za fluid u mirovanju, jednadžbe statičke ravnoteže po osima x i i y su: F 2
A
C x
C
F 1
G B
O
F F
x
0; F1 F x 0
y
0; G F2 F y 0
H F x
F y y y
Plan slobodnog tijela zakrivljenog dijela površine spremnika
•
Horizontalna komponenta F x rezultirajuće sile rezultirajuće sile hidrostatskog tlaka F R djeluje na vertikalnu projekciju (po osi y ) AE zakrivljene AE zakrivljene površine AB površine AB.. Ova projekcija je pravokutnik visine visine 4 m i duljine 1 m. m. Sila F x jednaka je sili F 1, odnosno rezultanti sila linearno promjenjivog hidrostatskog tlaka p(h), a koja djeluje na dubini h=15+4/2=17 m. Slijedom toga, sila F x iznosi:
F F1 g h A 10259,81 (15 4 / 2) (4 1) 683757 N
y
F 2
D
C
x F 2
A
C
z=h
C ABE
x F 1
G B
E
C O
H F x
G
F y y y
C BCDE BCDE B
F 1
Plan slobodnog tijela zakrivljenog dijela površine spremnika
F x
O H F y y
A Plan slobodnog tijela zakrivljenog dijela površine spremnika u prostoru.
•
Prav Pravac ac djel djelov ovan anja ja ove ove sile sile pro prola lazi zi kroz kroz točk točku u O (središte tlaka) projicirane površine i hvatište H sile F sile F R , a nalazi se na dubini od slobodne površine mora od:
1 43
h H
I x A yC
I xC A yC
hC
12 (15 2 / 2) 17,07 ,0784 m 1 4 17
y x
D
C
F 2
ρ
A
C
z=h
x 5 1
C
F 1
G B E
B R
A
p(h) H
F 1
4
O
H F x
F y y y
Plan slobodnog tijela zakrivljenog dijela površine spremnika
•
Vertikalna komponenta F y rezultirajuće sile F R hidrostatskog tlaka koja djeluje na horizontalnu projekciju zakrivljene površinu jednaka je djelovanju rezultante sile težine volumena vode iznad zakrivljene površine AB. Ovaj volumen sastoji se od površine pravokutnika se od površine pravokutnika BCDE (sila F 1) i površine četvrt kruga ABE (sila G). Slijedom toga, sila F y iznosi: F y F2 G p2 ABCDE mABE g g VBCDE g VABE ( slijedi iz m V , p gh i V hA) F y g V g (VBCDE V ABE ) 1025 9,81(15 4 1
4
2
4
1) 729673 N
y x
D
C
ρ
F 2
A
z=h
C x
5 1
C
F 1
G B E
H F x
F y y
B R
A
O
p(h) H
F 1
4
Plan slobodnog tijela zakrivljenog dijela površine spremnika
•
Kako bi se izračunao pravac djelovanja vertikalne komponente sile tlaka prvo je potrebno je odrediti težišta površina BCDE i ABE prema horizontalnoj osi x od neke točke na zakrivljenoj površini čiji je položaj poznat, npr. od točke A.
•
Za površinu pravokutnika BCDE , prema, težište je udaljeno 2 m od točke A jer je x C 1=b/2=R /2=4/2=2 m. 42 S y xi Ai xC1 a b xC 1 ( R 2 / 4) 2 15 4 1, 698 4 xO 1,947 m 2 2 4 A Ai a b ( R / 4) 15 4 4 y
a što predstavlja točku kroz koju prolazi pravac djelovanja vertikalne komponente Fy rezultirajuće sile hidrostatskog tlaka. U gornjem izrazu Sy je statički moment presjeka s obzirom na os y .
x
C
D
ρ z=h
2m
5 1
C 1
B
E
R = 4 m
p(h) B
C 1 A
H
F 1
4
•
Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka iznosi: F R
Fx2 F y2 C
α
F y F R O H F x F x
B
F y
F R Fx2 F y2 6837572 7296732 999973,16 N
F R α
Rezultirajuća sila hidrostatskog tlaka
a njezin smjer djelovanja s obzirom na horizontalnu os x je
tan
F y F x
729673 683757
1, 067
tan 1 1, 067 46,85o
Hidrostatski uzgon
•
Tijelo koje je uronjeno u fluid nalazi se pod hidrostatskim tlakom sa svih strana. Zbog toga se na plohama tijela pojavljuju sile pritiska, čija rezultanta djeluje okomito prema gore i naziva se uzgon.
•
Zamislimo tijelo oblika kocke, volumena V i površine plohe A, koje je potpuno uronjeno u fluid gustoće ρ. Rezultirajuće sile,hidrostatskog tlaka F 1 i F 2 na bočne plohe jednake su (jednaka dubina) i suprotno usmjerene, pa se poništavaju. Preostaju sile tlaka na gornju i donju plohu težina F 1 i F 2 i tijela, čija rezultanta predstavlja silu uzgona F U . Stoga, može se napisati izraz: x p1= ρgh1
1
h
z=h
F 1
ρ
F U
p(h)
V,A, ρT 2
h
p(h) F 3
F 2
C
F 2
p1= ρgh2
FU F2 F1 p2 A p1 A gh2 A gh1A g (h2 h1 ) A gV
FU gV •
Očigledno je da uzgon ne ovisi od oblika tijela, već samo o njegovom volumenu. Kako je volumen tijela jednak volumenu istisnutog fluida, slijedi da je uzgon jednak težini istisnutog fluida.
•
Ovaj izraz potvrđuje poznati Arhimedov zakon u čast grčkog matematičara i filozofa Arhimeda (287 –212 pr.Kr.), koji kaže kako sila uzgona ima magnitudu jednaku težini istisnutog fluida ( m=g ∙V ) od strane tijela i smjer suprotan od sile teže, dakle vertikalno prema gore. Drugim riječima slijedi kako tijelo uronjeno u fluid postaje prividno lakše za težinu istisnutog fluida.
•
Sila uzgona prolazi kroz težište istisnutog volumena fluida. Točka u kojoj sila uzgona ima hvatište naziva se težište uzgona ili istisnine.
•
Položaj pravca sile uzgona može se odrediti sumirajući momente sila u odnosu na neku točku po odgovarajućoj osi koordinatnog sustava.
•
S obzirom da tijelo uronjeno u fluid gubi prividno od svoje težine onoliko koliko je teška njime istisnuta tekućina, razlikujemo sljedeće slučajeve:
•
U slučaju c), tijelo izranja iz fluida sve dok se težina tijela G i uzgon njegova uronjenog volumena V i ne izjednače, tj.: G=F U =g ρ V i .
•
Prema tome, za tijelo koje pliva vrijedi: Volumen istisnine V i manji je od volumena tijela V , jer je samo dio tijela uronjen u fluid. Sila uzgona ima hvatište u težištu T istisnute tekućine.
V i
G g
m g
g
m
PRIMJER •
Dizalica se koristi za spuštanje tereta u more (slika 2-10), gustoće 1025 kg/m3, za potrebe podvodne gradnje. Odredi silu u čeličnom užetu dizalice kod spuštanja betonskog bloka (gustoća 2300 kg/m 3) kvadratnog presjeka 4x4m i visine 3 m i to kada se nalazi u zraku, te kada je potpuno uronjen u more. Poznato: a=4 m, b=4 m, c =3 m, ρm=1025 kg/m3, ρb=2800 kg/m3.
y
ρm
S
x ρb
T =C G F U Plan slobodnog
• Prema planu slobodnog tijela, sile koje djeluju na uronjeni betonski blok su težina bloka G, sila u užetu S i sila hidrostatskog uzgona F U . Stoga, za blok uronjen u more i u mirovanju, sila u užetu može se izračunati iz jednadžbe ravnoteže po osi y :
S G FU mb g mm g b Vb g m Vm g
y
ρm
S
x
ρb
T =C G F U Plan slobodnog tijela bloka
U gornjem izrazu mm i V m odnosi se na masu i volumen istisnutog mora, a mb i V b na masu i volumen bloka. Prema Arhimedovom zakonu, kod potpuno uronjenog tijela volumen istisnutog mora je jednak volumenu tijela, tj.V m=V b=V , pa iz toga slijedi: S V g ( b m ) (0,3 0,3 4) 9,81(2300 1025) 6003,72 N
• Kada se blok nalazi izvan vode i miruje, sila u užetu je jednaka njegovoj težini G, a koja iznosi:
S G m g Vb g b (0,3 0,3 4) 9,81 2300 10830 N
• Stoga, kod uronjenog bloka utjecaj uzgona umanjuje težinu bloka i time silu u užetu za: 10830 6003, 72 100%=44% 10830
PRIMJER •
Drveni blok volumena V b i težine Gb uronjen je u vodu, gustoće ρv , kao što je prikazano na slici . Homogena drvena greda dužine L i površine Ag zglobno je pričvršćena na blok u točki B i na zid u točki O. Greda je nagnuta pod kutom α . Točka O nalazi se na vertikalnoj udaljenosti d od slobodne površine vode. Ukoliko je težina grede 16 N, odredi duljinu grede koja će za ravnotežno stanje biti u vodi.
Poznato: L=3,4 m, Gb =300 N, V b=0,034 m3, Ag =2000 mm2, Gg =16 N, ρv =1000 kg/m3, d =310 mm, α=10,5°. O d
L ρv
l Ag ,Gg
B
α
Gb,V b
• Na slici, prikazan je plan slobodnog tijela za blok i gredu. O R xO l/2
y
R yO
F Ug y T g Gb T b=T 2 F Ub
B Gb
Plan slobodnog tijela bloka
T 1
F Ub
Gd
α Plan slobodnog tijela grede
• Prema planu slobodnog tijela za blok u mirovanju, sile koje djeluju na blok su sila uzgona F Ub i težina bloka Gb. Kod potpuno uronjenog tijela sukladno Arhimedovom zakonu, volumen istisnute vode je jednaka volumenu tijela, pa u tom slučaju sila uzgona bloka iznosi:
FUb v g V b 1000 9,81 0, 034 333,54 N •
Težište T 2 istisnutog volumena vode je i istoj točki kao i težište T b mase bloka, tj. T =T
• Prema planu slobodnog tijela za gredu u mirovanju, sile koje koje djeluju na gredu su sila uzgona F Ub i težina Gb bloka, sila uzgona F Ug uronjenog dijela grede, težina Gg grede i reakcije u zglobu R xO i R yO. Sila uzgona F Ug koja ima hvatište u težištu istisnine T 1 , može se izračunati pomoću izraza : O R xO l/2
y
R yO
F Ug y T g T 1
F Ub B Gb
Gd
α Plan slobodnog tijela grede
FUg v g Vg 1000 9,81 2000 106 l 19,58l N • Dakle, u gornjem izrazu je nepoznata duljina uronjenog dijela grede l . Ova duljina može se odrediti sumirajući momente sila za točku O. Time se izbjegava izračunavanje reakcije u zglobu O.
• Stoga, momentna jednadžbu za točku O je:
M
0
0
FUb L cos FUg l (l / 2) d / sin cos Gb L cos Gg ( L / 2) cos 0 : cos FUb L FUg l (l / 2) d / sin Gb L Gg ( L / 2) 0 • U gornjem izrazu se horizontalna udaljenost od točke gdje slobodna površina vode siječe gredu do točke O izrazila preko kosinusa kuta radi jednostavnijeg izračuna. Naime, horizontalna udaljenost može se direktno izračunati preko tangensa kuta. Sređivanjem izraza dobiva se: O R xO
2
FUg
l
FUg l ( d / sin ) FUb L Gb L Gg ( L / 2) 0
2
19,58
l 2 2
l/2
y
R yO
F Ug y
19,58l (310 103 / sin10,5o ) 313,92 3,4 300 3,4 16 1,7 0
T g T 1
F Ub
9, 79l 33, 30l 20,13 0 2
a što predstavlja kvadratnu jednadžbu s rješenjima l 1 0,41 m
B Gb
Gd
α Plan slobodnog tijela grede
l 2 1,41 m
• Negativno rješenje nema fizičko značenje, tako da je dužina uronjenog dijela grede 0,41 m.
• Ukoliko je tijelo uronjeno u fluid čija se gustoća s dubinom mijenja, npr. u razdijeljenim fluidima, magnituda sile uzgona ostaje ista težini istisnutog fluida. Međutim, sila uzgona ne prolazi kroz težište istisnutog volumena fluida već kroz težište mase uronjenog tijela. • Ukoliko tijelo u mirovanju, gustoće ρT , pliva na razdjelnim površinama dvaju fluida gustoće ρ1 i ρ2 , tada je rezultirajuća sila uzgona jednaka:
FU FU 1 FU 2 1 gV1 2 gV 2 x
z=h
ρ1
Uvjeti ovakvog stanja su: ρT < ρ2 i ρT > ρ2.
F U1 T 1 T
ρT
V 1
G ρ2
F U2 V 2 T 2
• Kada tijelo miruje, rezultirajuća sila i moment na tijelo su jednaki nuli. Hvatište sile F U 1 je u težištu T 1 volumena V 1, a sila F U2 u težištu T 2 volumena V 1. Očito je i kako će F U 1 i F U2 biti jednaki težini tijela, točke T 1 i T 2 će se nalaziti na istoj vertikalnoj osi koja prolazi kroz težište, ili će jedna biti lijevo, a druga desno, tako da je suma momenata F i F (sile uzgona) jednaka nuli u odnosu na točku T
Stabilnost tijela pri plutanju
•
Tijelo koje pluta može biti u stanju stabilne i nestabilne ravnoteže. Ravnoteža postoji kada nema rezultantne sile ili momenta na tijelo.
•
Tijelo pliva u stabilnoj ravnoteži ako se zakrenuto iz početnog ravnotežnog položaja i prepušteno samom sebi, opet vraća u početni položaj. Stoga, npr. brod se neće prevrnuti kod malih rotacija jer iste stvaraju ispravljajući (povratni) moment koji brod vraća u početni položaj.
•
Kod nestabilne ravnoteže ,rotacije plutajućeg tijela stvaraju moment koji djeluje tako da povećavaju rotaciju, pri čemu tijelo može zauzesti novi ravnotežni položaj ili pak može do njegovog prevrtanja.
•
Za stabilnu ravnotežu težište tijela T mora biti ispod težišta istisnine T i , pri čemu oba leže na istoj vertikali. Spreg sila G i F U koji tada nastaje, vraća zakrenuto tijelo u stabilan položaj. U suprotnom slučaju tijelo bi se nastavilo prevrtati, što znači da je njegova ravnoteža nestabilna (labilna ).
•
Uz određene uvjete tijelo može plivati u stabilnoj ravnoteži i u slučaju da je njegovo težište T iznad težišta istisnine T i , što je posebno važno u pomorstvu.
• Pretpostavimo da se plovilo (brod) pod djelovanjem vanjskih sila (tereti), nagne za kut φ . Tada se dio istisnine desno od simetrale povećava a lijevo od nje smanjuje za isti iznos.
• Zbog toga se težište istisnine T i pomjera u točku T i ′ , a pravac uzgona siječe simetralu tijela u točki M . Ta se točka naziva metacentar, a njena udaljenost hM od težišta tijela predstavlja metacentarsku visinu.
•
Metacentarska visina hM određuje se pomoću izraza:
h M
I min V i
e
gdje je: I min – minimalni moment tromosti (inercije) presjeka tijela s vodenom
površinom, m4, V i – volumen istisnine, m 3, e – udaljenost težišta istisnine T i i težišta tijela (mase) T, m.
•
Uvjet stabilnosti je sada:
I min V i
•
e
Mora postojati određeni odnosi između gaza i širine plutajućeg tijela.
Kod potpuno uronjenog tijela,npr.podmornica, I min=0, pa uvjet stabilnosti glasi:
e0 tj. težište tijela mora biti ispod težišta istisnine.
•
Ukoliko se brod nagne za neki kut, moment koji ga vraća u prvobitni položaj izračunava se pomoću izraza:
M p G a G hm sin gdje je: M p – povratni moment, Nm, G – težina broda, N, hM – metacentarska visina , m, a – pomak simetrične osi, m,
φ – kut nagiba , stupanj. •
Ovaj moment određuje brzinu valjanja broda.
•
Prazni teretni brodovi imaju visoko težište pa se u tom slučaju brod balastira kako bi mu se povećala težina i smanjila visina težišta i time sprječilo moguće prevrtanje.
•
Kada se balastne vode, gorivo ili pak tekući tereti ne bi skladištili u više međusobno odvojenih namjenskih tankova, kod nagiba broda došlo bi do premještanja težišta broda prema težištu istisnine, što bi dovelo do
•
PRIMJER
Plovna ploha broda ima oblik elipse s dužinom velike poluosi od a=18 m i male poluosi od b=6 m. Masa broda je m=1000 tona. Težište istisnine je T i je 1,8 m ispod razine mora, a težište mase je T je 0,3 m ispod razine mora. Gustoća mora je ρ=1030 kg/m3. Odredi metacenratsku visinu za valjanje (y-y os) i posrtanje ( x-x os) broda. Slobodna površina
z y
b
posrtanje b valjanje
C
x
x
T
T i 0,3 m y 1,8 m
Volumen istisnine
Linija urona
•
Metacentarska visina hM određuje se pomoću izraza:
h M
I min V i
e
Slobodna površina
z y
b
posrtanje b valjanje
C
x
x
T
T i 0,3 m y 1,8 m
•
Volumen istisnine
Linija urona
Udaljenost e iznosi:
e hT i hT 1,8 0,3 1,5 m •
Minimalni moment tromosti presjeka tijela s vodenom površinom kod valjanja (y-y os) je:
I yC •
b a3 4
18 63 4
y
3052,08 m4
x a
Kod tijela koje pluta,Volumen istisnine iznosi :
V i
G g
m g g
m
1000 10 1025
b
C
3
A a b
970,87 m3
I xC
a b3 4
I yC
b a3 4
•
Kod valjanja, broda metacentarska visina iznosi:
h M •
I yC V i
e
3052,08 970,87
1,5 3,14 1,5 1, 64 m
Pošto je metacentarska visina pozitivna, brod je stabilan kod malih kuteva valjanja. Slobodna površina
z y
b
posrtanje b valjanje
C
x
x
T
T i 0,3 m y 1,8 m
•
Linija urona
Metacentarska visina kod posrtanja( x-x os) je:
h M •
Volumen istisnine
I xC Vi
e
a b3 4 V i
e
6 183 4 970,87
1,5 26, 79 m
Pošto je metacentarska visina pozitivna i prevelika, brod je kod posrtanja prestabilan, a što vrijedi kod malih kutova i jednolikih valova.
• Primjer: Barža ravnog dna i krajeva, te plovne plohe pravokutnog presjeka dimenzija kao što je prikazano na slici, potpuno je nakrcana s gazom od 1,8 m i pluta u uspravnom položaju u moru čija je gustoća ρ=1025 kg/m3. Težište T mase barže je pri tom stanju na osi simetrije iznad vodene linije na visini od 0,3 m. Da li je barža stabilna? Ukoliko je barža stabilna, koji je njen povratni moment kada se nagne za kut od φ=12°? 12,6 m
7 ,5 m
10 m T C
0,3 m
0,9 m
T i
1,2 m
• Volumen istisinine je jednak volumenu uronjenog dijela barže:
V i 7,5 12, 6 1,8 170,1 m3 • Pošto barža ima pravokutni presjek plovne plohe, težište istisnine nalazi se na pola visine gaza broda, tj. hTi =1,8/2=0,9 m, pa e iznosi:
e hT i hT 0,9 0,3 1,2 m • Metacentarska visina hM kod valjanja (po osi y-y ) određuje se pomoću izraza: h M
I min Vi
e
I yC V i
e
(12, 6 7,53 ) /12 170,1
1, 2 1, 4 m
a što znači kako je barža je stabilna jer je metacentarska visina pozitivna. 12,6 m
7 ,5 m
10 m T C
0,3 m
0,9 m
T i
1,2 m
