stabilnost_konstrukcija___predavanje_4_1378921059591.ppt

6. STABILNOST KONSTRUKCIJA I !as ". #ro$. #ro$. %r %r &ira &ira '(tronij("i)

3 S bil

tk

t

k ij

1

6.6 *(o+(trijska +atrica krutosti 





,a #ri+(nu j( #o-oniji oblik +atric( krutosti koji s( /asni"a na r(0(nju i$(r(ncijaln( j(na!in( lin(arn( t(orij( 0ta#a. Ta Ta +atrica #r(sta"lja #r(sta"lja #riblino #riblino r(0(nj( #o T(oriji II r(a. %obija s( i/ "arijacij( #ot(ncijaln( #ot(ncijaln( (n(r-ij( 0ta#a. 3 Sabilnost konstrukcija

2



*(o+(trijsku +atricu krutosti obija+o tako 0to u+(sto ta!no- r(0(nja /a $unkciju #o+(ranja v(x) #o lin(ari/o"anoj t(oriji II r(a2 koj( s( obija i/ i$(r(ncijaln( j(na!in( IV

v

±k

2

v

II

=0

us"aja+o $unkciju #o+(ranja v(x) koja j( r(0(nj( i$(r(ncijaln( j(na!in( #o T(oriji I r(a 4

d v dx

4

=0

3 Sabilnost konstrukcija

3

'ola/()i o $unkcij( #o+(ranja #o T(oriji I r(a2 i/ sta"a o stacionarnosti #ot(ncijaln( (n(r-ij(2 i/"(0)(+o -(o+(trijsku +atricu krutosti 0ta#a. q1, R1

q 3 , R3

q2, R2

q4 , R4 x

l 3 Sabilnost konstrukcija

4

6.6.1 R(0(nj( i$(r(ncijaln( j(na!in( 0ta#a #o T(oriji I r(a 

R(0(nj( 4o+o-(no- (la i$(r(ncijaln( j(na!in( 0ta#ad v#o =0 dx T(oriji I r(a j( u obliku kubno- #olino+a α  4

4

1

v( x) = { 1 x

x

2

α    2 3 x } ×  = A × { α } α 3 α 4


5



Obrtanja #o#r(!no- #r(s(ka u os( 0ta#a su #r"i i/"oa #o+(ranja α 1  α  dv  2 2 = {0 1 2 x 3x } ⋅   ϕ ( x) = dx α 3  α 4 


6



Int(-racion( konstant( αi 2 i5122327 s( or(8uju i/ -rani!ni4 uslo"a 0ta#a q1 q2

vi = v(0) = q1 = α 1 ϕ i

q4

q3

x

= ϕ (0) = q2 = α 2

l

vk = v(l ) = q3 = α 1 + l α 2 + l α 3 + l α 4 2

ϕ k

3

= ϕ (l ) = q4 = α 2 + 2l α 3 + 3l

2

α 4


7



U +atri!no+ obliku -rani!ni uslo"i -las(

 q1 = v(0) 1 q = ϕ (0) 0  2  =  q = v(l ) 1  3    q4 = ϕ (l ) 0

0

0

1

0

l

l

2

1

2l

0 

α 1    0  α 2  × 3   l  α 3 2  3l  α 4

odnosno,

{ q} = [ C ] ×{ α } 3 Sabilnost konstrukcija

8



Oa"( s( obija −1

{α } = [ C ] ⋅ { q} ili u razvijenom obliku : 0 0 0   1 α 1    q1   1 0 0   α   0   2 =  3 2 3 1 q 2  − ⋅  α  − 2 − 2 l l l  q3   3   l 1 2 1  q  α 4   2  l 3 l 2 − l 3 l 2   4  3 Sabilnost konstrukcija

9



,a+(no+ {α } u i/ra/ /a #o+(ranj( v(x) obija s( a j(  q 1

v( x) = 1 x

x2

q  2 x 3 ×[ C ] ×  q  3 q4 −1

v( x) = [ N ( x) ] ×{ q} −1

[ N ( x) ] (1,4) = [ A] (1,4) ×[ C ] ( 4,4)

-( j( int(r#olacioni4 #olino+a

+atrica

[ N ( x) ] = [ N1 ( x ) N 2 ( x ) N 3 ( x ) N 4 ( x ) ] 3 Sabilnost konstrukcija

10



Int(r#olacioni #olino+i N i(x) su L’Hermit-o"i

N1 ( x) = 1 − 3 N 3 ( x) = 3

x l

x l

2

2

+

2

2

9:r+ito"i; #olino+i I "rst(

−

2

2

x l

x l

3

3

N 2 ( x) = x − 2

3

3

N 4 ( x) = −


x

x

2

l

2

x +

l x

+

3

2

l

3

2

l

11



:r+ito"i #olino+i N i(x) su kubni #olino+i i #r(sta"ljaju (lasti!n( linij( ubostrano uklj(0t(n( -r(( #o T(oriji I r(a2 usl( j(ini!ni4 -(n(ralisani4 #o+(ranja < i 5 1.

v( x) =

4

∑ N ( x) ×q i

i

i =1


12



Ako j( #o+(ranj( ta!k( na osi 0ta#a

v ( x) = [ N ( x) ] ×{ q} 

9C;

Ona su obrtanja i ru-i i/"oi #o+(ranja 

v ′( x) = [ N ′( x ) ] ×{ q}

v ′ ( x) = [ N ′′( x ) ] ×{ q} 3 Sabilnost konstrukcija

13

Sta" o stacionarnosti #ot(ncijaln( (n(r-ij( 

Ra"not(a sila na ($or+isanoj kon=-uraciji #ostoji kaa #ot(ncijalna (n(r-ija i+a +ini+alnu "r(nost

δΠ = δ ( A s 



− Rs ) = 0

As j( j( (n(r-ija ($or+acij( Rs j( ra s#olja0nji4 sila 3 Sabilnost konstrukcija

14

'ot(ncijalna (n(r-ija ($or+acij( 0ta#a 

Na i$(r(ncijalno +alo+ (l(+(ntu 0ta#a #or( (n(r-ij( ($or+acij( usl( +o+(nta sa"ijanja M κ 2 ja"lja s( i ($or+acioni ra +o+(nta S ϕ nastalo- usl( aksijaln( sil( S 2 koji j( j(nak S ϕ⋅ϕ .


15



'ot(ncijalna (n(r-ija ($or+acij( 0ta#a #ri sa"ijanju As j(naka j(

l

1 M κ



1

∫

l

∫

2 = + A dx S ( ϕ ) dx Ra sila s na kraj("i+a 0ta#a 2 0 EI 2 0

A s

=

1

l

∫ 2 0

EI (v′′) dx + 2

1 2

l

∫

S (v ′) 2 dx 0

R s = q R t


16



'ot(ncijalna (n(r-ija 0ta#a Π5A > l l Rs 1 1 Π = ∫ EI (v′′)2 dx + S ∫ (v′)2 dx − q t R 20



2

0

,a (l(+(nt sa konstantni+ l l #o#r(!ni+ #r(s(ko+ i 1 1 Π = EI v ′′ ×v′′dx + S v′ × v′dx −q t R konstantno+ silo+ 2 2 S

∫ 0

∫ 0


17



Ako #o+(ranja unutar (l(+(nta i/ra/i+o #r(ko #o+(ranja !"oro"a2 j?na 9C;2 obija s( l   1 T T Π = { q}  EI ∫ [ N ′ ] ×[ N ′ ] dx÷ { q} + 2  0  l 9%;   1 T T T + { q}  S ∫ [ N ′] ×[ N ′] dx÷ { q} −{ q} { R} 2  0 


18

I/ sta"a o +ini+u+u #ot(ncijaln( (n(r-ij( δ Π =0 δ q i/ j?n( 9%; s( obija



l

EI

∫ [ N ′′] 0

T

l

×[ N ′′] dx ×{ q} +S ∫ [ N ′] [ ×N ′] dx { q×} { =R} T

0

ili skra!eno :

( [ K ] +  K  ) ×{ q} ={ R} 0




19





K o j( +atrica krutosti 0ta#a #o T(oriji I r(a K - j( -(o+(trijska +atrica krutosti l 0ta#a[ K ] = EI [ N ′′] T ×[ N ′′] dx 0

∫ 0

l

 K   = +S ∫ [ N ′] ×[ N ′] dx T

0

* - S - pritisak, +S - at!anj! 3 Sabilnost konstrukcija

20



U ra/"ij(no+ obliku j(  N 1′′ l   ′′ N   2 [ K 0 ] (4,4) = EI ∫   N 3′ 0    N 4′′  N 1′ l   ′ N   2  K   (4,4) = S ∫   N 3′ 0    N 4′

×{ N1′′

N 2′

N 3′

N 4′ } dx

×{ N1′

N 2′

N 3′

N 4′ } dx


21



&atrica krutosti 0ta#a #o T(oriji I r(a obij(na int(-racijo+ int(r#olacioni4 $unkcija j(

 12  EI  [ K 0 ] = 3 × l   sim 

6l 4l 2

−12 −6l 12

6l 

2l 2

 −6l 2 4l 


22

6.6. *(o+(trijska +atrica krutosti #ritisnuto- 0ta#a

 K  

(4,4)

 N 1′ l   N 2′  = − S ∫   ×{ N1′ N 3′ 0    N 4′

N 2′

N 3′

N 4′ } dx

Element K  , mn jednak je: l

K  , mn

= − S ∫ N m′ ×N n′

dx

0


23

Or(8i"anj( K -211 l

K  ,11

= − S ∫ N1′ ×N1′dx 0

x 2 N1 ( x) = 1 − 3 2 l

+2

x3 l

⇒

3

N1′( x) = −6

x l

2

+6

x2 l3

2

l  x x 36 ×S  x 2 x3 x 4 K  ,11 = − S ∫  −6 2 + 6 3÷ dx = − − 2 4 + 5÷ ×dx  3 ∫ l l  l 0 l l l 0 36 ×S  x3 x4 x5  l 36 ×S  1 1 1 36 S× − 2 4 + 5÷ 0 = − − + ÷ =− K  ,11 = −   3 l  3l l  3 2 5 30 ×l 4l 5l  l

2


24

Na sli!an na!in s( obijaju i ostali (l(+(nti

 36 3l  2 4l S  K g = − × 30l    sim

−36 −3l 36

3l 

 −l  −3l 2 4l  2

"a pritisnuti #tap j! S$0




25

6.6.3 *(o+(trijska +atrica krutosti /at(-nuto- 0ta#a  36 3l  2 4 l S  K g = × 30l    sim 

−36 −3l 36

3l 

 −l  −3l 2 4l  2

,a /at(-nut 0ta# j( S@ 3 Sabilnost konstrukcija

26

6.6.7 &atrica krutosti 0ta#a 

Uku#na +atrica krutosti 0ta#a #o T(oriji II r(a?#riblino r(0(nj(2 j(

[ K ] = [ K 0 ] +  K g 



Ona #r(sta"lja a#roksi+ati"no r(0(nj(2 j(r j( obij(na i/ $unkcij( #o+(ranja v(x) koja #r(sta"lja r(0(nj( i$(r(ncijaln( j(na!in( sa"ijanja #o T(oriji I r(a. ,a"isi o int(n/it(ta sil( S i uin( 0ta#a. 3 Sabilnost konstrukcija

27



U #r(4ono+ (lu i/"((na j( -(o+(trijska +atrica krutosti na sa"ijanj(. &atrica krutosti /a aksijalno na#r(/anj( j( ista kao u T(oriji I r(a2 tako a s( +atrica krutosti 0ta#a u ra"ni obija ko+binacijo+ o"( "( +atric( na uobi!aj(n na!in. 3 Sabilnost konstrukcija

28



Osno"na j(na!ina 0ta#a #o lin(ari/o"anoj t(oriji II r(a2 #riblino r(0(nj( -lasi R=

([K

0

] +  K g

)

q-

-( j(  > "(ktor (k"i"al(ntnoo#t(r()(nja #o lin. t(oriji II r(a 3 Sabilnost konstrukcija

29

6.6. &atrica krutosti 0ta#a 9aksijalno na#r(/anj(Dsa"ijanj(; &atrica krutosti 0ta#a #o T(oriji I r(a

 "l 2 ! I   EI  K 0 = 3  l    

− "l

2

0

0

! I

12

6l

0

4l 2

0

−12 −6l

"l 2 ! I

0

sim


0

12

0

 6l  2l 2  0 −6l  2 4l  30

*(o+(trijska +atrica krutosti 0ta#a

0   S  K g = +  30l     

0

0

0

36

3l

0

4l 2

0 0

sim

0

0

−36 3l  −3l −l 2  0 0  36 −3l  2 4l 

SE > #ritisak2 S@ ? /at(/anj( 3 Sabilnost konstrukcija

31

6.6.6 *(o+(trijska +atrica krutosti #rosto- 0ta#a R 4 R 1 % " q1

R 3="

-R 2 q4 q3

q2

"

l

R 4 = − R 2 =

S l

"

( q4 − q 2 ) 3 Sabilnost konstrukcija

32

&atric( krutosti #rosto- 0ta#a (K#+Kg)

1  E"  0 K 0 = l  −1 0 

0 0 0 0

0 0  S 0 1 K g = + l 0 0 0 −1 

−1 0  0 0  1 0  0 0 0 0 0 0

- &atrica krutosti

0

−1 0  1

- '!o&!trijska &atrica (-S -pritisak, +S -at!anj!)


33

stabilnost_konstrukcija___predavanje_4_1378921059591.ppt

Recommend Documents