LAPORAN HASIL PENELITIAN
ANALISIS SPEKTRAL UNTUK MENELAAH PERIODESITAS TERSEMBUNYI DARI DATA DERET WAKTU
Disusun Oleh
Mulyana, Drs. MS. NIP. : 130 779 767
Penelitian Mandiri Dalam Bentuk Telaah Kepustakaan Dengan Biaya Sendiri
UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM BANDUNG 2004
KATA PENGANTAR
Dalam analisis data deret waktu ada salah satu telaahan yang jarang di bahas dalam buku ajar (text-books ) atau jurnal-jurnal Statistika - Matematika, yaitu Analisis Spektral.
Analisis ini membahas mengenai cara menelaah
periodesitas data tersembunyi ( hidden periodecities ) yang sulit diperoleh pada saat telaahan dilakukan pada kawasan ( domain ) waktu sebab kebanyakan kepustakaan mengenai analisis data deret waktu, hanya menganalisis data pada kawasan waktu, yaitu membangun suatu model hubungan fungsional antar data untuk keperluan peramalan. Padahal telaahan periodesitas data perlu dilakukan untuk menambah informasi mengenai ciri ( characteristics ) dari data deret waktu tersebut.
Telaahan periodesitas ini harus dilakukan dilakukan pada kawasan fekuensi,
melalui analisis spektral. Pada penelitian yang berupa telaah kepustakaan ini menyajikan metode-metode dalam analisis spektral beserta kelebihan dan kekurangan dari masing-masing metode. Penelitian ini tidak mungkin berjalan dengan baik jika tidak ada dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini peneliti mengucapkan banyak terima kasih kepada Kepala Perpustakaan Pusat ITB dan IPB yang telah memberikan fasilitas kepada peneliti berupa peminjaman buku-buku ajar dan jurnal-jurnal.
Juga kepada Kepala Pusat Dokumentasi Indonesia - LIPI yang
telah membantu pengadaan dan penambahan jurnal-jurnal mengenai analisis spektral. Peneliti yakin hasil penelitian ini masih jauh dari sempurna, tetapi walaupun dalam kondisi yang kurang sempurna ini diharapkan ada manfaatnya untuk bidang ilmu Statistika atau bidang lain yang menggunakan analisis data deret waktu dalam penyelesaian masalahnya.
Bandung, 1 Agustus 2004 Peneliti
i
KATA PENGANTAR
Dalam analisis data deret waktu ada salah satu telaahan yang jarang di bahas dalam buku ajar (text-books ) atau jurnal-jurnal Statistika - Matematika, yaitu Analisis Spektral.
Analisis ini membahas mengenai cara menelaah
periodesitas data tersembunyi ( hidden periodecities ) yang sulit diperoleh pada saat telaahan dilakukan pada kawasan ( domain ) waktu sebab kebanyakan kepustakaan mengenai analisis data deret waktu, hanya menganalisis data pada kawasan waktu, yaitu membangun suatu model hubungan fungsional antar data untuk keperluan peramalan. Padahal telaahan periodesitas data perlu dilakukan untuk menambah informasi mengenai ciri ( characteristics ) dari data deret waktu tersebut.
Telaahan periodesitas ini harus dilakukan dilakukan pada kawasan fekuensi,
melalui analisis spektral. Pada penelitian yang berupa telaah kepustakaan ini menyajikan metode-metode dalam analisis spektral beserta kelebihan dan kekurangan dari masing-masing metode. Penelitian ini tidak mungkin berjalan dengan baik jika tidak ada dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini peneliti mengucapkan banyak terima kasih kepada Kepala Perpustakaan Pusat ITB dan IPB yang telah memberikan fasilitas kepada peneliti berupa peminjaman buku-buku ajar dan jurnal-jurnal.
Juga kepada Kepala Pusat Dokumentasi Indonesia - LIPI yang
telah membantu pengadaan dan penambahan jurnal-jurnal mengenai analisis spektral. Peneliti yakin hasil penelitian ini masih jauh dari sempurna, tetapi walaupun dalam kondisi yang kurang sempurna ini diharapkan ada manfaatnya untuk bidang ilmu Statistika atau bidang lain yang menggunakan analisis data deret waktu dalam penyelesaian masalahnya.
Bandung, 1 Agustus 2004 Peneliti
i
DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR
i
RINGKASAN
ii
DAFTAR GAMBAR
iv
DAFTAR ISI
v
BAB I
1
PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah
1
1.2. Identifikasi Masalah
2
1.3. Maksud dan Tujuan Penelitian
2
BAB II
4
METODE PENELITIAN 2.1. Bahan, Tempat, dan Waktu Penelitian
4
2.2. Metode Pengumpulan Data
5
2.3. Analisis Data
5
BAB III
7
HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1. Pendahuluan
7
3.2. Autokorelasi
8
3.3. Spektrum Kuasa
9
3.4. Periodogram
11
3.5. Metode Windowing
14
3.6. Metode Fast Fourier Transform (metode Transform (metode FFT)
20
v
3.7. Distribusi Peluang Spektrum Kuasa
23
3.8. Tranformasi Data
24
BAB IV
27
PENUTUP 4.1. Kesimpulan
27
4.2. Saran-Saran
29
KEPUSTAKAAN
30
vi
BAB I PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang Masalah Dalam suatu penelitian sering diperoleh data yang merupakan fungsi atas
waktu, dan antar pengamatannya terdapat suatu hubungan (berautokorelasi), sehingga untuk menelaah hubungan fungsional antara pengamatan dengan waktunya tidak dapat menggunakan analisis regresi biasa.
Data seperti ini
dinamakan Data Deret Waktu (times series ), dan untuk menganalisisnya harus digunakan metode analisis data deret waktu, yang merupakan metode khusus dari metode analisis regresi biasa. Banyak kepustakaan baik yang merupakan buku ajar ( text-book ) atau jurnal yang membahas metode analisis data deret waktu, tetapi pembahasannya masih terbatas pada kawasan ( domain ) waktu, yaitu menelaah hubungan fungsional
antar
pengamatan
( autoregresive
analysis )
untuk
keperluan
peramalan, padahal untuk mendapatkan informasi yang lebih lengkap dari ciri (characteristics )
data
deret
waktu
diperlukan
telaahan
periodesitasnya.
Menelaah periodesitas pada kawasan waktu sangat sulit, dan akan terselesaikan jika ditelaah pada kawasan frekuensi. Telaahan periodesitas data deret waktu pada kawasan frekuensi dinamakan Analisis Spektral. Ada beberapa metode dalam analisis spektral, sehingga perlu dilakukan telaah kepustakaan untuk
1
setiap metode, agar diperoleh pedoman mengenai metode yang sebaiknya digunakan dalam analisis spektral.
1.2.
Identifikasi Masalah Masalah yang diselesaikan pada penelitian ini adalah menemukan
metode yang paling baik dalam analisis spektral. Metode tersebut disebut baik jika dapat memunculkan periodesitas data sebanyak-banyaknya, sehingga informasi mengenai ciri data deret waktu menjadi lebih lengkap. Untuk dapat kepentingan tersebut diperlukan pengetahuan mengenai 1.
Apa yang dimaksud dengan analisis spektral ?
2.
Metode apa saja yang biasa digunakan dalam analisis spektral ?
3.
Syarat apa yang harus dipenuhi oleh data deret waktu agar analisis spektral dapat dilakukan ?
4.
Metode apa yang paling banyak memberikan informasi mengenai periodesitas dari data deret waktu ?
1.3.
Maksud dan Tujuan Penelitian Maksud dari penelitian adalah menelaah metode-metode yang biasa
digunakan pada analisis spektral, dengan tujuan untuk melakukan telaahbanding (study comparative ) antar metode, sehingga 1.
Diketahui kelebihan dan kekurangan dari setiap metode.
2
2.
Dimiliki suatu pedoman dalam menentukan metode yang harus digunakan untuk menelaah periodesitas data deret waktu dengan analisis spektral.
3.
Diketahui metode yang bisa memberikan informasi paling banyak terhadap periodesitas tersembunyi (hidden periodesities ).
3
BAB II METODE PENELITIAN
2.1.
Bahan, Tempat, dan Waktu Penelitian Karena penelitian ini adalah penelitian kepustakaan, sehiingga bahan
penelitian adalah buku-buku ajar ( text
books )
dan jurnal-jurnal bidang ilmu
Matematika dan Statististika, seperti Technometrics, American Statististics, Biometrics, Annals Mathematics, dan Royal Mathematics-Statistics. Tempat penelitian adalah perpustakaan-perpustakaan yang memiliki buku ajar dan jurnal yang diperlukan seperti, Perpustakaan Pusat ITB dan Perpustakaan Jurusan Matematika ITB di Bandung, Perpustakaan Pusat IPB dan Perpustakaan FMIPA IPB di Bogor, Pusat Dokumentasi Indonesia LIPI di Jakarta, dan Perpustakaan FMIPA Unpad dan Perpustakaan Jurusan Statistika Unpad di Bandung. Lama penelitian, mulai dari tahap persiapan berupa telaah kepustakaan dan pembuatan proposal, pengumpulan bahan kepustaakan, dan pembuatan laporan hasil penelitian, kira-kira 5 (lima) bulan. Tahap persiapan pada bulan Agustus - September 1995 berupa pengumpulan bahan kepustakaan, Oktober Nopember - Desember 1995 berupa penelaahan kepustakaan, seminar, dan penulisan laporan.
4
2.2.
Metode Pengumpulan Data Karena yang dikumpulkan adalah buku ajar dan jurnal dari perpustakaan-
perpustakkan seperti pada Seksi 2.1. , maka dalam hai ini tidak ada metode khusus dalam pengumpulannya. Mula-mula mengumpulkan jurnal-jurnal yang memuat pembahasan mengenai analisis spektral dari Perpustakaan Pusat ITB dan IPB, perpustakaan Jurusan Matematika ITB, FMIPA IPB, dan Jurusan Statistika Unpad, dan Pusat Dokumentasi Indonesia LIPI, dengan cara mempotokopinya.
Selanjutnya mengumpulkan buku-buku ajar mengenai teori
analisis data deret waktu dari perpustakaan-perpustakaan di lingkungan ITB, IPB, dan Unpad, dengan cara mempotokopi bagian-bagian yang membahas teori analisis spektral.
2.3.
Analisis Data Sudah dikemukakan bahwa penelitian ini merupakan telaah kepustakaan
mengenai telaah-banding antar metode dalam analisis spektral, sehingga tidak dilakukan analisis data, baik data primer maupun data sekunder, karena dari teori-teori yang diperoleh dari kepustakaan tersebut sudah memberikan informasi yang cukup mengenai kelebihan dan kekurangan dari setiap metode. Oleh karena itu metode penelitian telaah kepustakaan ini adalah 1.
Menelaah kepustakaan mengenai metode analisis spektral, sehingga diperoleh petunjuk tentang kelebihan dan kekurangan dari setiap metode secara teoritik.
5
2.
Membuat kesimpulan mengenai metode yang sebaiknya digunakan berdasarkan data yang dimiliki.
6
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1.
PENDAHULUAN Sudah dikemukakan pada Bab I bahwa penelitian ini merupakan telaah
kepustakaan, mengenai salah satu metode dalam analisis data deret waktu yang jarang (tidak pernah) dibahas, padahal peranannya sangat besar dalam melengkapi informasi mengenai ciri ( characters ) data deret waktu.
Analisis
tersebut adalah Metode Analisis Spektral, untuk menelaah periodesitas data deret waktu. Data deret waktu adalah data yang merupakan fungsi atas waktu, yang padanya terdapat suatu besaran yang dinamakan Autokorelasi, sehingga untuk menyajikan bentuk hubungan fungsional antara data dengan waktunya tidak bisa menggunakan metode analisis regresi biasa.
Banyak kepustakaan yang
membahas metode untuk menyajikan hubungan fungsional antar data dengan waktunya, melalui hubungan fungsional antar data ( autoregressive ), untuk keperluan peramalan. Tetapi jarang yang menelaah periodesitas data, padahal telaahan ini sangat diperlukan untuk melengkapi informasi mengenai nilai ramalan.
Telaahan periodesitas data deret waktu dapat dilakukan melalui
analisis spektral.
7
3.2.
AUTOKORELASI Pada Seksi 3.1 dikemukakan bahwa pada data deret waktu ada sebuah
besaran yang dinamakan autpkorelasi.
Konsep autokorelasi sama dengan
korelasi dalam metode analisis regresi biasa. Misalkan x 1, x 2 , . . . , x n data deret waktu yang dapat dibuat pasangan
( x1 , x k +1 ) , ( x 2 , x k + 2 )
. . . , ( x n −k , x n )
Besaran n−k
(x (3.1)
rk =
− x 1 )(x i+k − x 2 )
i
i= 1 n
x
i
−x
i =1
dengan k
x1 =
x i=1
n
i
, x2 =
x i =1+ k
n
i
, dan x =
x
i
i =1
dinamakan Autokorelasi Lag-k , yang merupakan fungsi atas Lagnya (k), sehingga Persamaan 3.1. biasa juga dinamakan Fungsi Autokorelasi , dan grafik autokorelasi atas lagnya dinamakan Korelogram .
Gambar korelogram
dapat digunakan untuk menelaah berautokorelasi-tidaknya data deret waktu. Data deret waktu tidak berautokorelasi jika korelogram tidak memiliki pola asimtutis, sedangkan jika berpola asimtutis berautokorelasi. Gambar-gambar di bawah ini menyajikan korelogram dengan kondisi data deret waktu yang tidak berautokorelasi dan yang berautokorelasi.
8
rk
rk
lag (k)
lag (k)
Gambar 3.1 Korelogram jika data deret waktu tidak berautokorelasi
3.3.
Gambar 3.2 Korelogram jika data deret waktu berautokorelasi
SPEKTRUM KUASA Dalam analisis spektral agar diperoleh informasi yang baik dan benar,
data
deret
waktu
harus
merupakan
data
yang
stasioner,
karena
jika
x1, x 2 , . . . , x n data deret waktu stasioner, maka dapat dinyatakan dalam pernyataan spektral dengan persamaan π
(3.2)
xt =
Cosω du(ω ) + Sinω dv(ω ) t
t
t
t
0
dengan u( ω t ) dan v( ω t ) merupakan fungsi kontinu yang tidak berkorelasi, yang didefinisikan pada selang 0 ≤ ω t ≤ π. Berdasarkan kondisi seperti ini, dapat
9
diturunkan fungsi F( ω t ) yang berkorelasi dengan u( ω t ) dan v( ω t ), sehingga jika
rk fungsi autokorelasi, maka dapat diturunkan hubungan (3.3)
rk =
Cosω
k
dF(ω k )
yang merupakan pernyataan spektral dalam fungsi autokorelasi. Dalam hal ini F(ω k ) = 0 , ω k < 0 F(π ) = σ x2 , yaitu varians dari data deret waktu Sehingga jika didefinisikan fungsi
G(ω k ) =
(3.4)
F(ω k ) δ x2
maka fungsi ini merupakan fungsi distribusi kumulatif spektral, sehingga fungsi spektrum kuasa didefinisikan oleh
g(ω k ) =
(3.5)
dG(ω k ) dω k
dan jika fungsi ini ada, maka Persamaan (3.3) dapat dinyatakan oleh (3.6)
rk =
Cosω
k
g(ω k )d(ω k )
sehingga (3.7)
1 ∞ 1 ∞ − iω k g(ω k ) = r e r Cos(ω k ) = π k = −∞ k π k = −∞ k
Karena rk fungsi genap, maka Persamaan (3.7) setara dengan (3.8)
∞ 1 g(ω k ) = r0 + 2 rk Cosω k π k =− 1
10
yang merupakan pernyataan fungsi Fourier atas fungsi fungsi autokorelasi. Karena g(ω k ) = 0 jika ω k < 0 , dan g( π ) = σ x2 , maka fungsi spektrum kuasa yang setara dengan fungsi distribusi kumulatif adalah h(ω k ) =
(3.9)
g(ω k )
σ x2
∞ 1 = 1 + 2 rk Cosω k π k =1
yang juga merupakan fungsi Fourier atas fungsi autokorelasi. Dari pernyataan spektral tersebut, dapat disimpulkan bahwa data deret waktu dapat dinyatakan sebagai deret fourier yang merupakan fungsi harmonis, sehingga dengan membangun fungsi spektrum kuasanya, periodesitas data dapat ditentukan. Tetapi menentukannya tidak dapat dalam kawasan (domain ) waktu, dan harus dalam kawasan frekuensi sebab fungsi spektrum kuasa merupakan
fungsi atas autokorelasi dengan frekuensi.
Jika dilakukan
pendugaan terhadap fungsi spektrum kuasa, dan nilai-nilai dugaannya dipetakan terhadap frekuensinya, maka akan diperoleh sebuah garis spektrum. Telaahan periodesitas data dilakukan terhadap frekuensi yang berpasangan dengan titititik puncak dari garis spektumnya.
3.4.
Periodogram Pada Seksi 3.3. dikemukakan bahwa untuk menelaah periodesitas data
dilakukan terhadap frekuensi yang berpasangan dengan titik-titik puncak garis spektrumnya.
Fungsi
spektrum
kuasa
11
atas
frekuensinya
dinamakan
Periodogram , dan seperti sudah dikemukakan fungsi ini dapat diperoleh dari modifikasi fungsi Fourier. Jika x1 , x2 , . . . , xn data deret waktu, maka data ini dapat dinyatakan dalam deret Fourier 2πpt 2π pt a Cos + b Sin + a n Cosπ t p p n n p =1 2 r
xt = a0 +
(3.10)
t = 1, 2, . . . , n dengan n
x a0 = x =
n
n
an = 2
(3.11)
(− 1) t =1
n ap = 2 n bp = 2
t
t =1
t
xt n
n
x Cos t
t =1 n
x Sin t
t= 1
2π pt n
2π pt n
p = 1, 2, . . . , r , r =
n n-1 jika n genap , r = jika n ganjil 2 n
Selanjutnya jika ditulis
ω p = (3.12)
2π p n
a p Cosω p t + b p Sinω p t = R p Cos(ω p + φp ) dengan R p =
2 p
a +b
12
2 p
b p dan φ p = arctg − a p
maka ω p dinamakan Frekuensi Sudut (angular frequencies ) dengan satuan
radian per satuan waktu, yang frekuensi liniernya fp =
ω p 2
dengan satuan
putaran per satuan waktu (cycle per unit time ). Persamaan I(ω p ) =
(3.13)
n 2 Rp 4π
adalah persamaan dari Periodogram , yang merupakan fungsi atas frekuensi sudut ω p (jadi bukan merupakan fungsi atas periode), dan merupakan penduga untuk spektrum kuasa pada frekuensi lω p . Jika I(ω p ) dipetakan terhadap ω p maka akan diperoleh sebuah garis spektrum yang merupakan penduga untuk garis spektrum kuasanya.
Dengan menelaah titik-titik puncak dari garis
spektrum tersebut, maka akan diperoleh periode-periode data deret waktu yang tidak bisa diperoleh pada kawasan waktu. Karena periode dari titik-titik puncak yang signifikans saja yang digunakan untuk telaahan periodesitas data deret waktu, maka terhadap setiap puncak dari periodogram dilakukan pengujian statistis dengan menggunakan selang konfidens dari penduga spektrum kuasanya. Untuk menghitung nilai-nilai I(ω p ) ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu Metode Windowing dan Metode Fast Fourier Transform (Metode FFT), yang masing-masing memiliki kelebihan dan kekurangan. Untuk setiap penulis sering berbeda dalam merumuskan persamaan fungsi periodogram, tetapi perbedaan bentuk fungsi tidak akan menjadikan
13
berbeda gambar garis spektrumnya, sebab dalam perumusannya yang berbeda hanya pada pengganda untuk R p2 .
Misalnya Granger dan Hatanaka (1964)
merumuskan periodogram dengan persamaan I(ω p ) =
(3.14)
n 2 R 4 p
Hannan (1970) dengan persamaan I(ω p ) =
(3.15)
1 2πn
x e
itω p
t
=
n 2 R 2π p
sedangkan Landsberg dan Mitchell (1959) menyatakan dengan I(ω p ) =
(3.16)
1 2 R m p
dengan m dinamakan Lag-Maksimum (maximum lag ).
3.5.
Metode Windowing Sudah dikemukakan pada Seksi 3.4 bahwa salah satu metode untuk
menghitung nilai periodogram adalah metode windowing . Dengan metode ini fungsi periodogram ditranformasikan ke fungsi autokorelasi.
Dari persamaan
periodogram
(3.17)
I(ω p )
n 2πpt 4 n 2π pt 4 n = + 2 x t Sin 2 x t Cos 4π n t =1 n n n t =1 2
jika ruas kanan dijabarkan dan ditulis ω p = menjadi
14
2
2π p , maka Persamaan (3.17) n
1 n− k (3.18) I(ω p ) = ( x t − x)( x t+ k − x)( Cosω p tCosω p ( t + k) + Sinω p tSinω p ( t + k) ) nπ t =1
Pada Persamaan (3.18) n− k
(x
t
− x)( x t + k − x) = ck dinamakan Autokovarians Lag-k , karena c0 sama
t =1
dengan varians data maka
ck c0
= rk adalah autokorelasi lag-k.
Cosω p tCosω p ( t + k ) + Sinω p tSinωp (t + k ) = Cos ω pk
sehingga persamaan periodogram dapat disajikan oleh
1 ( n−1) I(ω p ) = c k Cosω p k π k =− ( n− 1)
(3.19)
Karena c k = c − k dan Cosω p k = Cosω p ( − k) maka Persamaan (3.19) setara dengan (3.20)
n−1 1 I(ω p ) = c 0 + 2 c k Cosω p k π k =1
Untuk mendapatkan gambar periodogram yang lebih baik, maka dalam pelaksanaannya nilai autokovarian ck bisa diganti oleh nilai autokorelasi r k (3.21)
n −1 1 I(ω p ) = r0 + 2 rk Cosω p k π k =1
Bloomfield (1976) dan Chatfield (1984) mengemukakan, I(ω p ) merupakan penduga spektrum kuasa yang tidak berbias tetapi tidak konsisten, dan untuk menjadikan penduga yang tidak berbias dan konsisten maka harus digunakan fungsi periodogram yang diboboti, dengan persamaan 15
1 m f (ω p ) = λ r Cosω p k π k =− m k k
(3.22) Pada Persamaan (3.22)
λ k pembobot yang dinamakan Lag-Window dan m
dinamakan Titik Pemotongan (truncation point ), sedangkan nilai ω p diambil untuk p = 1, 2, . . . , m. Metode pembobotan fungsi periodogram seperti ini dinamakan Metode Windowing . Bentuk pembobot yang sering digunakan dua macam yaitu Tukey Window dengan persamaan (3.23)
λ k =
1 π k 1 + Cos , k = 1, 2, . . . , m 2 m
dan Parzen Window dengan persamaan
λ k =
(3.24)
2
k k + 6 m m 3 k 2 1- m
1− 6
3
, 0≤k≤ ,
m 2
m 2
≤k ≤ m
Peta kedua pembobot adalah seperti pada Gambar 3.3.
λ k 1 Tukey Window
Parzen Window
k m
Gambar 3.3 Kurva Lag-Window 16
Dari Gambar 3.3 dapat disimpulkan bahwa periodogram dengan menggunakan Parzen Window spektrumnya akan lebih halus dari periodogram yang menggunakan Tukey Window , untuk nilai m yang sama. Landsberg dan Mitchell (1959) memodifikasi metode windowing dengan Tukey Window, dan menggunakannya untuk menelaah periodesitas curah hujan di daerah Maryland.
Pada metode ini perhitungannya dilakukan dalam dua
tahap, sebagai berikut 1.
Mengitung nilai fungsi periodogram dengan persamaan m 1 f1 (ω p ) = r0 + 2 rk Cosω p k π k =1
(3.25)
2.
1 1 1 Memboboti nilai f1 (ω p ) dengan komposisi pembobot , , sehingga 4 2 4 persamaan periodogram untuk digunakan sebagai penduga spektrum kuasanya adalah f ( 0) = (3.26)
1 π f1 ( 0) + f1 m 2
f (ω p ) = f (π ) =
π 1 π 1 1 f1 ω p − + f1 (ω p ) + f1 ω p + 4 m 2 4 m
1 m − 1 π f1 ( π ) + f1 m 2
atau memboboti dengan komposisi pembobot
( 0,23 ; 0,54 ; 0,23)
sehingga persamaan periodogram untuk penduga spektrum kuasanya adalah
17
π + 0,56 f1 ( 0 ) m
f ( 0) = 0,46 f1
f (ω p ) = 0,23 f1 ω p −
(3.27)
π π + 0,54 f1 (ω p ) + 0,23 f1 ω p + m m
m − 1 π + 0.54f1 ( π ) m
f (π ) = 0,46f1
Untuk keperluan pendugaan spektrum kuasa dalam bidang klimatologi, Landsberg dan Mitchell (1959) dengan Stringer (1972) mengajukan bentuk fungsi periodogramnya dengan persamaan
1 2 m −1 hπ k 1 + + rm Cosπ h L(h) = rk Cos m m k =1 m m
(3.28)
dengan m dinamakan Lag-Maksimum yang sama dengan titik pemotongan. Dengan perumusan periodogram seperti ini, langkah-langkah perhitungan spektrum kuasa dalam bidang klimatologi secara manual adalah 1. 2.
1 Menghitung rata-rata hitung data, x = n
n
x
t
t =1
Menghitung produk serial lag-k dengan persamaan n −k
PS k =
(x
t
− x)( x t + k − x) ,
k = 1, 2, . . . , m
t =1
3.
Menghitung autokovarian lag-k ck =
4.
PS k n−k
, k = 1, 2, . . . , m
Menghitung autokorelasi lag-k
rk =
ck c0
, k = 1, 2, . . . , m
18
5.
Ordinat spektrum kuasa dengan persamaan 1 1 m −1 L( 0 ) = r (1 + rm ) + 2m m k =1 k
1 2 m −1 π hk 1 L( h) = + rk Cos + rm Cosπ h , m m k =1 m m
h = 1, 2, . . . , m - 1
1 1 m −1 m m L( m) = 1 + ( − 1) rm + ( − 1) rk 2m m k =1
(
6.
)
Pembobotan terhadap ordinat spektrum kuasa dengan persamaan u( 0) = 0,54L( 0) + 0,46L(1) u(h) = 0,54L(h) + 0,23{L(h − 1) + L(h + 1)} , h = 1, 2, . . . , m - 1 u(h) = 0,54L(m) + 0,46L(m − 1) Dalam metode windowing yang menjadi masalah adalah menentukan nilai
m yang bisa memberikan informasi yang cukup terhadap keberadaan periodesitas yang signifikans, sebab tidak ada literatur yang memberikan petunjuknya. Dalam hal ini jika n → ∞ maka m → ∞ tetapi
m → 0 , sehingga n
berdasarkan kriteria ini Jenkins dan Watts (1968) menyarankan untuk mengambil tiga macam nilai m yang bedanya cukup besar, dan berdasarkan ketiga gambar spektrum kuasa yang sesuai dengan masing-masing nilai m tersebut, diambil salah satu yang memberikan informasi paling banyak mengenai periodesitas data. Sedangkan Chatfield (1984) menyarankan, jika banyaknya nilai data n buah maka nilai m diambil kira-kira 2 n . Pengambilan nilai m dalam metode windowing akan menentukan bentuk garis spektrumnya, jika nilai m kecil maka garis spektrumnya akan halus, karena
19
varians penduganya kecil, dan jika m besar garis spektrumnya akan kasar, karena varians penduganya besar.
3.6.
Metode Fast Fourier Transform (metode FFT) Pada dasarnya menghitung dugaan spektrum kuasa adalah menghitung
nilai periodogram I(ω p ) =
n 2 R 4π p
dengan 2π p 2 n-1 , p = 1, 2, . . . , r , r = jika n genap dan r = jika n ganjil n 2 2 R p2 = a p2 + b p2 , dengan a p2 dan b p2 seperti pada Persamaan (3.11)
ω p =
Karena R p2 merupakan jumlah kuadrat dari fungsi siklometri, maka nilai akarnya Rp dapat disajikan dalam pernyataan bilangan kompleks
(3.29)
2π ipt 2 n− 1 n R p = a p + ib p = x t e n , p = 0, 1, 2, . . . , − 1 n t= 0 2
Selanjutnya jika ditulis t = rt1 +t0 , t 1 = 0, 1, . . . , (s-1) , t0 = 0, 1, . . . , (r-1) dan p
r − 1 , p 0 = 0, 1, . . . , (s-1) , dengan rs = n , maka 2
= sp 1 + p 0 , p 1 = 0, 1, . . . ,
n − 1 , 2
nilai t akan bergerak dari 0 ke (n-1) dan nilai p akan bergerak dari 0 ke sehingga Persamaan (3.29) dapat disajikan dalam persamaan r −1
(3.30)
Rp = a p + ib p =
e t0 = 0
Karena 20
2πipt0 s − 1 n
x e
t1 = 0
t
2π iprt1 n
e
2π iprt1
2π i( sp1 + p 0 ) rt1
2πip 0 rt1
n
n
n
=e
=e
2π isp1rt1
e
n
,
dan n = s.r, maka 2π isp1rt1 n
e
=e
2π ip1t 1
r − 1 dan t1 = 0, 1, 2, . . . , (s-1) , maka 2
Selain itu karena p1 = 0, 1, 2, . . . ,
e
2π ip1t1
= 1 , sehingga e
2πiprt1
2π ip0 rt1
n
n
=e
s −1
. Dalam hal ini berarti bentuk
x e t
2π ip 0 rt1 n
t1 = 0
tidak lagi bergatung pada p1, sehingga hanya merupakan fungsi atas t0 dan p0. Sehingga jika dituliskan A( p 0 , t 0 ) =
s −1
x e
2π iprt 1
t
n
maka Persamaan (3.30) menjadi
t1 = 0
2 r −1 R p = a p + ib p = A( p 0 , t 0 ) e n t= 0
(3.31)
2π ipt0 n
Pada Persamaan (3.31) ini terdapat rs buah fungsi A(p0,t0), yang masing-masing dibangun oleh s perkalian dan perjumlaahan atas bilangan kompleks, sehingga r 2s bentuk ap+ ib p dapat dihitung berdasarkan buah perkalian-perjumlahan atas 2 bilangan
kompleks.
Perhitungan
nilai-nilai
fungsi
periodogram
dengan
mentransformasikannya ke sistem bilangan kompleks ini dinamakan Metode Fast Fourier Transform (metode FFT).
Dalam hubungan n = r.s , jika n
merupakan bilangan genap maka paling sedikit dari r atau s harus bilangan genap. Bloomfield (1976) mengembangkan metode FFT ini dengan kondisi jika n (banyaknya nilai data) dapat difaktorkan atas k buah faktor prima. 21
Menurut
Chatfield (1984) dengan Box dan Jenkins (1976) kosep perhitungannya merupakan hasil pemikiran Cooley dan Tukey pada tahun 1965, dan Sande dengan Tukey pada tahun 1966. Sedangkan prgram komputernya telah dibust Singleton pada tahun 1969.
Cara yang lebih sederhana adalah jika n dapat
dinyatakan oleh n = 2 k , dengan k bilangan asli, sehingga jika banyaknya nilai data
tidak
dapat
disajikan
dalam
perpangkatan
tersebut,
maka
dapat
ditambahkan nilai 0 sehingga banyaknya nilai data dapat disajikan dalam 8
perpangkatan itu. Misalnya jika n = 382 (kurang dari 2 = 256) maka tambahkan 9
nilai 0 sebanyak 130 buah sehingga menjadi n = 512 = 2 (Chatfield, 1984 , Bloomfield, 1976). Garis spektrum yang diperoleh dari periodogram yang dihitung dengan metode FFT, akan lebih bervariasi dari pada dengan metode windowing . Tetapi Jenkins dan Watts (1968) berpendapat jika banyaknya nilai data n kurang dari 1000 buah, maka hasil pendugaan spektrum kuasa tidak akan lebih baik jika dibandingkan dengan metode windowing.
Pemikirannya itu didasarkan pada
dua hal yaitu 1. Jika nilai data kurang dari 1000 buah, maka CPU-times untuk menghitung periodogram dengan metode FFT fan windowing tidak terlalu jauh berbeda. 2. Informasi mengenai priodesitas data berdasarkan metode FFT, tidak akan lebih banyak dari pada dengan metode windowing . Untuk menghitung periodogram dengan metode FFT atau windowing dan menggambarkan spektrum kuasanya harus menggunakan program komputer,
22
yang saat ini cukup banyak paket program komputer yang menyediakan fasilitas perhitungan periodogram. Hanya paket program untuk menghitung periodogram dengan metode FFT dan menggambarkan spektrum kuasanya, berdasarkan pengamatan peneliti, lebih sedikit daripada untuk metode windowing, sebab paket program yang menyediakan fasilitas perhitungan dengan metode FFT (misalnya STATGRAPHICS dan SAS) juga bisa digunakan untuk menghitung dengan metode windowing . Tetapi paket program yang bisa digunakan untuk menghitung dengan metode windowing belum tentu menyediakan fasilitas untuk menghitung dengan metode FFT, seperti paket program LOTUS dan EXCEL, bisa digunakan untuk menghitung dan menggambarkan spektrum kuasa dengan metode windowing , tetapi tidak bisa digunakan untuk menghitung dengan metode FFT.
3.7.
Distribusi Peluang Spektrum Kuasa Dalam teori Statistika, setiap penduga (estimator ) selalu memiliki distribusi
peluang yang dapat diturunkan dari distribusi peluang datanya.
Distribusi
peluang dari data deret waktu diasumsikan adalah distribusi normal dengan rata2
rata µ dan varians σ . Jika x1, x2, . . . , xn data deret waktu dengan asumsi 2
berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan varians σ , maka ap dan bp pada Persamaan (3.11) akan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians
23
2σ 2 , sehingga n
a p2 + b p2 2σ 2 n
=
n( a p2 + b p2 ) σ 2
=
2πiω p σ 2
akan berdistribusi chi-kuadrat
(chisquares ) dengan derajat bebas 2. Oleh karena itu fungsi periodogram I(ω p ) =
n 2 R jika digunakan langsung 4π p
sebagai penduga spektrum kuasa tidak baik, karena dalam hal ini kekeliruan baku penduga sama dengan rata-rata hitungnya.
Sebab penduga yang baik
adalah penduga dengan kekeliruan bakunya lebih kecil dari rata-rata hitungnya, yaitu penduga yang berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas lebih besar dari dua. Untuk menaikan derajat bebas chi-kuadrat dapat dilakukan dengan cara tranformasi pembobotan seperti pada metode windowing, yang menaikan derajat bebas menjadi ν =
2n m
λ
dengan λk pembobot.
Sehingga jika
k
k =− m
pembobotnya Tukey Window maka ν =
ν =
3,71n . m
Sedangkan dalam
2,67n , dan jika Parzen Window maka m
metode
FFT
dengan tranformasi yang
persamaannya (3,32)
1 Y(ω p ) = 2( k + 1)
k
I(ω ) i+ p
i =− k
yang menaikan derajat bebas menjadi 2(k+1). Distribusi peluang dari spektrum kuasa diperlukan untuk menguji signifikansi periode dari titik puncak garis
24
spektrumnya., yang pengujiannya dilakukan berdasarkan selang konfidens (interval confidens ) dari penduga spektrum kuasa.
3.8.
Tranformasi Data Box dan Jenkins (1976), Chatfield (1984), Jenkins dan Watts (1968),
dengan Stringer (1972) mengemukakan, jika diinginkan garis spektrum yang tegas (rigorously ), maka data deret waktu yang akan dianalisis harus dibebaskan dari komponen musiman dan trend .
Sebab jika komponen trend tidak
dihilangkan, maka titik puncak spektrum kuasa akan terakumulasi pada frekuensi 0, sedangkan jika komponen musiman tidak dihilangkan, maka akumulasinya pada frekuensi yang berkaitan dengan periode musiman. Dengan adanya titik akumulasi ini akan menghilangkan (mengurangi) informasi mengenai periodesitas yang lainnya. Untuk membebaskan data deret waktu dari komponen musiman dan trend dapat dilakukan dengan cara diferensi. Jika data deret waktu x1, x2, . . . , xn memiliki komponen trend , maka bentuk diferensinya yt = xt+1 - xt sedangkan jika ada komponen musiman dengan periode b bulan, maka bentuk diferensinya zt = xt+b - xt Sehingga jika ada keduanya, maka bentuk diferensinya ut = (xt+b - xt) - (xt+b - xt+b-1).
25
Di bawah ini menyajikan kondisi suatu garis spektrum dari data deret waktu yang memiliki efek musiman biasa (musiman dengan periode 12 bulanan) dan trend lemah, jika data tidak ditranformasikan, dan jika data ditranformasikan dengan persamaan ut = (xt+12 - xt)(xt+12 - xt+11)
26
BAB IV PENUTUP
Sebagai akhir dari laporan penelitian ini, disajikan beberapa kesimpulan sebagai bahan masukan bagi para peneliti dalam bidang ilmu Statistika khususnya, dan para peneliti dalam bidang ilmu lain yang menggunakan ilmu Statistika dalam penyelesaian masalahnya, pada umumnya.
4.1.
Kesimpulan
1. Menelaah periodesitas data deret waktu tidak dapat dilakukan dalam kawasan waktu, tetapi harus dalam kawasan frekuensi melalui Analisis Spektral. 2. Konsepsi
perhitungan
dalam
analisis
spektral
adalah
menghitung
periodogram, yaitu fungsi spektrum kuasa atas frekuensi, yang persamaannya dapat disajikan dalam bentuk fungsi autokorelasi atau deret Fourier. 3. Perhitungan periodogram berdasarkan fungsi autokorelasi dinamakan Metode Windowing , sedangkan berdasarkan tranformasi ke deret Fourier dinamakan
Metode Fast Fourier Transform (metode FFT).
4. Dalam metode windowing yang menjadi masalah adalah menentukan nilai titik pemotongan
(m)
yang
dapat
memberikan
informasi
cukup
tentang
periodesitas data, sebab tidak ada petunjuk yang tegas mengenai hal itu.
27
5. Secara umum metode FFT lebih banyak memberikan informasi mengenai periodesitas data daripada metode windowing , tetapi proses perhitungan lebih sulit jika tidak ada paket program yang mendukungnya. 6. Untuk data yang nilainya kurang dari 1000 buah tingkat efisiensi metode FFT masih belum tinggi dibandingkan dengan metode windowing , tetapi informasi mengenai puncak-puncak dari garis spektrumnya tetap masih lebih banyak dibandingkan dengan metode windowing . 7. Data yang dianalisis dalam analisis spektral harus data yang sudah dibebaskan dari efek musiman dan trend . 8. Periodesitas dari titik puncak garis spektrum yang digunakan adalah, periodesitas titik puncak yang signifikans, berdasarkan pengujian oleh selang konfidens berdasarkan titik-titik puncak tersebut. 9. Periodogram
dengan
metode
windowing
merupakan
berdistribusi chi-kuadrat (chisquares) dengan derajat bebas
Tukey Window, dan
ν =
3,71n untuk Parzen Window, dan m
statistik ν =
ν =
yang
2,67n untuk m
2(k + 1) untuk
metode FFT.
Sebagai bahan pemikiran dan perbandingan bagi para peneliti yang biasa menggunakan teori Analisis Statistika Deret Waktu, di bawah ini disajikan beberapa saran.
28
4.2.
Saran-Saran
1. Sebelum melakukan analisis spektral disarankan untuk memetakan data deret waktu atas waktunya, karena hal ini diperlukan untuk menelaah ada-tidaknya efek musiman dan trend , sebab kedua efek ini cukup mudah ditelaah pada kawasan waktu. 2. Setelah menggambarkan peta data atas waktunya, selanjutnya disarankan untuk menggambarkan korelogramnya, dalam upaya menelaah ada-tidaknya autokorelasi, sebab jika data tidak berautokorelasi maka analisis spektral tidak dapat dilakukan. 3. Jika dimiliki paket program komputer yang menyediakan fasilitas perhitungan periodogram dengan metode FFT, seperti paket program STATGRAPHICS atau SAS, maka analisis spektral disarankan untuk menggunakan metode FFT, sebab proses perhitungan dan menggambarkan spektrum kuasanya lebih cepat dan lebih baik daripada dengan metode windowing . 4. Tetapi jika yang dimiliki hanya paket program spreedsheet , seperti LOTUS atau EXCEL, maka disarankan untuk menggunakan metode windowing dalam perhitungan periodogram dan menggambarkan spektrum kuasanya, sebab proses perhitungannya lebih mudah daripada menggunakan metode FFT. 5. Dalam metode windowing disarankan untuk menggunakan tiga macam nilai titik pemotongan yang bedanya cukup besar, dan dari ketiga garis spektrum yang diperoleh ambilah yang memberikan periodesitas yang signifikans yang paling banyak.
29
RINGKASAN
Analisis spektral merupakan bagian dari analisis data deret waktu yang jarang dibahas dalam buku-buku ajar atau jurnal.
Analisis ini menelaah
periodesitas data yang sulit diperoleh pada saat telaahan dilakukan pada kawasan waktu. Konsepsi dari analisis spektral adalah menghitung periodogram dan menggambarkan garis spektrum kuasanya, yang metodenya ada dua yaitu metode
Windowing dan
metode
Fast Fourier Transform (metode FFT).
Metode windowing adalah suatu cara menghitung periodogram dengan menyajikan fungsi periodogram atas fungsi autokorelasi, sedangkan metode FFT fungsi periodogram disajikan dalam deret Fourier. Metode FFT lebih banyak memberikan informasi mengenai periodesitas data daripada metode windowing , tetapi metode ini perhitungan lebih sulit, sehingga diperlukan paket program komputer yang menyediakan fasilitas perhitungan
periodogram
dengan
STATGRAPHICS atau SAS.
metode
FFT,
seperti
paket
program
Sedangkan dengan metode windowing cukup
dengan paket program spredsheet , seperti LOTUS atau EXCEL. Jika data kurang dari 1000 buah metode FFT tidak lebih efisien dari metode windowing, tetapi titik-titik puncak garis spektrum kuasanya tetap lebih banyak daripada.
Distribusi peluang dari periodogram adalah chi-kuadrat
dengan derajat bebas
ν =
2,67n untuk metode Tukey Windowing , m
untuk metode Parzen Windowing , dan
ν =
ii
ν =
2(k + 1) untuk metode FFT.
3,71n m
KEPUSTAKAAN
1.
Akaike,
H.
1969.
Power
Spectrum
Estimation
Through
Autoregressive Model Fitting. Ann. Inst. Statistics Math. 22, 407419
2.
Akaike,
H.
1969.
Power
Spectrum
Estimation
Through
Autoregressive Model Fitting. Ann. Inst. Statistics Math. 22, 407419.
3.
Akaike, H.
1970.
A Fundamental Relation Between Predictor
Indentification on Power Spektrum Estimation. Ann. Inst. Statistics
Math. 22, 219 - 223.
4.
Box, G. E. P. & Jenkins, G. M.
1976.
Time Series Analysis:
Forecasting and Control . Holden-Day. San Francisco.
5.
Chatfield, C.
1984.
The Analysis of Time Series: an Introduction .
rd
3 ed. Chapman and Hall. London.
6.
Granger, C. W. J. dan Hatanakan, M.
1964.
Spectral Analysis of
Economic Time Series. Princeton Univ. Press. Princeton.
30
