UNIVERSPOLITECNICA SALESIANA TEORIA EMAGNETICA
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA:
En este trabajo se desarrolla algunos temas muy importantes de un caso muy importante del electromagnetismo. El Electromagnetismo estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos. Ambos fenómenos se describen en una sola teoría, cuyos fundamentos fueron sentados por Faraday y formulados por primera vez de modo completo por James Clerk Maxwell. La formulación consiste en cuatro ecuaciones diferenciales vectoriales que relacionan el campo eléctrico, el campo magnético y sus respectivas fuentes materiales (corriente eléctrica, polarización eléctrica y polarización magnética), conocidas como las ecuaciones de Maxwell. El electromagnetismo es una teoría de campos, es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes físicas vectoriales dependientes de la posición en el espacio y del tiempo. El Electromagnetismo describe los fenómenos físicos macroscópicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, usando para ello campos eléctricos y magnéticos y sus efectos sobre las sustancias sólidas, líquidas y gaseosas. Por ser una teoría macroscópica, es decir, aplicable sólo a un número muy grande de partículas y a distancias grandes respecto de las dimensiones de éstas, el Electromagnetismo no describe los fenómenos atómicos y moleculares.
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En este trabajo se desarrolla algunos temas muy importantes de un caso muy importante del electromagnetismo. El Electromagnetismo estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos. Ambos fenómenos se describen en una sola teoría, cuyos fundamentos fueron sentados por Faraday y formulados por primera vez de modo completo por James Clerk Maxwell. La formulación consiste en cuatro ecuaciones diferenciales vectoriales que relacionan el campo eléctrico, el campo magnético y sus respectivas fuentes materiales (corriente eléctrica, polarización eléctrica y polarización magnética), conocidas como las ecuaciones de Maxwell. El electromagnetismo es una teoría de campos, es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes físicas vectoriales dependientes de la posición en el espacio y del tiempo. El Electromagnetismo describe los fenómenos físicos macroscópicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, usando para ello campos eléctricos y magnéticos y sus efectos sobre las sustancias sólidas, líquidas y gaseosas. Por ser una teoría macroscópica, es decir, aplicable sólo a un número muy grande de partículas y a distancias grandes respecto de las dimensiones de éstas, el Electromagnetismo no describe los fenómenos atómicos y moleculares.
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CAPITULO 1 ANÁLISIS VECTORIAL
3
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5
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CAPITULO 2 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO
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CAPITULO 3
FLUJO ELÉCTRI ELÉCTRIC CO Y LEY DE GAUSS
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CAPITULO 4 DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
85
4.1. Desarrollar la expresión para la divergencia en coordenadas cilíndricas. Un volumen delta aparece en la figura 4-3. Tiene por aristas Δr, rΔɸ y Δz. El campo vectorial A está definido en P, esquina correspondiente al menor valor de las coordenadas r , ɸ , y z, como
Poe definición,
Para expresar
deben cubrirse todas las 6 caras del volumen.
Para la componente radial de A ver la figura 4-A.
Y en la cara derecha:
Donde el término (
ha sido depreciado. La contribución neta de este par de caras entonces es:
(r
Ya que
)
=
r
En forma similar, las caras normales a
dan
y
Para una contribución neta de
Y las caras normales a
, dan
y Para una contribución neta de
86
Entonces div A=
4.2 Demuestre que V E es cero para el campo de una carga lineal uniforme. Para una carga lineal, en coordenadas cilíndricas:
Entonces
4.4 Dado
, hallar
.
4.3 Demuestre que el campo D debido a una carga puntual tiene una divergencia de cero. Para una carga puntual, en coordenadas esféricas:
Entonces para r>0
4.5 Dado
, hallar
4.6 Dado
Y
4.7 Dado
, hallar
.
en x=1.
= 10
, hallar
en (2, 2,0). 87
y
= -8.84x
4.8 Dado
, hallar
4.9 Dado
.
, hallar
en (1/2,
)
=
4.10 Dado
, hallar
en (2,
,5)
Y
4.11 Dado
, hallar
4.12 Dado
4.13 Dado
, hallar
, hallar
en (0.5,
/4,
88
Conductividad del Cobre:
Movilidad de los Electrones en el Cu:
89
90
91
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93
CAPITULO 5
ENERGÍA Y POTENCIAL ELÉCTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA
94
1.-
2.-
3.
95
4.-
5.-
6.
96
CAPITULO 6
CORRIENTE DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
97
6.1. Un conductor de cobre AWG #12 tiene un diámetro de 80.8 mil. Una longitud de 50 pies conduce una corriente de 20 A. Halle la intensidad de campo eléctrico E, la velocidad de corrimiento U, la caída de voltaje y la resistencia para la sección de 50 pies.
En términos diferenciales
Conductividad del Cobre:
Movilidad de los Electrones en el Cu:
6.2 ¿Qué densidad de corriente intensidad del campo eléctrico corresponden a una velocidad de corrimiento de 5.3 x 10-4 m/s en el aluminio?
= 3.82 x (10^7)S/m U=0.0014 (m^2)/ (V.s) 98
6.3.- Un conductor largo de cobre tiene una sección transversal circular de diámetro 3.0mm y conduce una corriente de 10 A. ¿Qué porcentaje de electrones de conducción deben dejar cada segundo (para ser reemplazado por otro) una sección de 100 mm de longitud?
Diámetro = 3mm I = 10A PACu = 63,54 Kg Densidad de Cu =
Carga del electrón = Numero de Avogadro = % de electrones en 100mm de l =? Operación:
Donde el diámetro 3mm a m
El radio =
99
6.4. ¿Qué corriente se produce si todos los electrones de conducción presentes en un centímetro cubico de aluminio pasaran un punto determinado en 2.0s? Supóngase un electrón de conducción por átomo. Datos:
V=1
=
t=2s
qe=1.6x
A: Peso atómico= 26.98
2.70x
Resolución:
NVqe = 6.02x
x
9632 C
6.6.- Determine la conductividad de germanio intrínseco a temperatura ambiente.
100
6.7.-Halle la conductividad del germanio tipo n a temperatura ambiente suponiendo un átomo en cada atómico es
átomo. La densidad de germanio es
y el peso
.
Concentración n para el germanio a 300 °K es masa:
y gracias a la ley de acción de la
101
6.8.- Un conductor de sección transversal uniforme y 150 m de largo tiene una caída de voltaje de 1.3V y una densidad de corriente de 4.65 x A/ . Cuál es la conductividad del material en el conductor?
(1) J=
(2)
Igualando 1 y 2 nos queda J= 4.65 x
A/
L= 150m
*
6.9.- Una tabla de resistividades da 10.4 ohms mil circular por pie de cobre templado. ¿Cuál es la conductividad correspondiente en siemens por metro?
Datos: 10.4 ohms mil circular/ft σ=?
Un mil circular es el área de un circulo con un diámetro de 1 mil (10-3 pulg). 1 mil circular 10-3 pulg.
Donde : 0,0254 m/pulg , es el factor de conversión de pulgadas a metros. 1 mil circular = 5,07 x 10 10 m2
102
6.10.- Un alambre de aluminio AWG N20 tiene una resistencia de 16.7 ohm por 1000 pies. ¿Qué conductividad implica esto? El alambre de aluminio presenta un diámetro de 32 mils
D= 32 mils
=8
6.11.- En un conductor cilíndrico de radio 2mm, la densidad de la corriente varia con la distancia desde el eje de acuerdo a . Halle la corriente total I.
Integrando I
103
6.12.- Halle la corriente que cruza la porción del plano y=0 definido por - 0.1 ≤ x ≤ 0.1 m y -0.002 ≤ z ≤ 0.002 m, si
I= 0.002 +0.002=4mA 6.13.- Halle la corriente que cruza la porción del plano x=0 definido por
y
si
Datos: 104
x=0
Operación:
6.14.- Dado
en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza
la concha esférica r = 0.02m. 105
0
6.16.- Determine la la resistencia resistencia de aislamiento aislamiento en una una longitud longitud L de cable coaxial, coaxial, como se muestra en la figura….
J=
106
6.17.- Una hoja de corriente de 4m de anchura yace en el plano z = 0 y contiene una corriente total de 10 A que se dirige desde el origen hasta ( 1, 3, 0)m. Encuentre una expresión para K.
6.18.- Tal como se muestra en la figura, una corriente Ir sigue un filamento que baja por el eje z y entra en una hoja conductora delgada en z=0.Exprese K para esta hoja.
Considérese un circulo en el plano Z=0.La corriente Ir sobre la hoja se abre uniformemente sobre la circunferencia 2πr.
Entonces la dirección de K es: r 6.19.- Para la hoja de corriente del problema 6.18 encuentre la corriente en una sección del plano de 30 .
Pero
; 107
ar se debe a que la corriente ingresa en una lámina lámina que se encuentra encuentra en el plano z=0, y entonces la corriente tomara la dirección radial. Pero
;
ar es perpendicular al vector K en el mismo plano o curva en la cuál actúa.
Pero ø: 0 < ø < π/6
6.20.- Una corriente I(A) entra a un cilindro circular recto delgado por la parte superior como se muestra en la figura 6-17.Exprese K si el radio del cilindro es 2 cm.
6.21.-
En
un
punto
situado sobre la superficie de un conductor, ¿Cuál es la densidad superficial de carga en ese
punto?
108
6.24.- Dos conductores cilíndricos concéntricos ra=0.01m y rb=0,08m, tienen densidades de carga , Tales D y E existen entre cilindros, pero son cero en cualquier otra parte. Halle
y escriba las expresiones para D y E entre los
cilindros.
El radia para el análisis deberá estar entre ra y rb talque ra
o podemos igualar a una constante cualquiera c=
Para analizar la constante c, utilizamos el hecho de que .c=(0.01)(40x Despejando
.
= 4x nosotros tenemos que: y remplazando en la formula
La densidad
=
tenemos
se encuentra ahora a partir de:
6.26.- Repita el ejercicio 6.25 para el cobre donde para la plata donde
=58.0 MS/m y Ne=
=61.7 MS/m y y Ne=
Para el cobre
109
Para la plata
6.27.- Halle la concentración de huecos,
, en germanio tipo , donde
y la
movilidad de los huecos es
110
6.28.- Utilizando los datos del problema 6.27, halle la concentración de electrones Ne, si la concentración intrínseca es n1=1.5x .
6.30 Determine el número de electrones de conducción en un metro cúbico de tungsteno, cuya densidad es y cuyo peso atómico es 184,0. Suponga dos electrones de conducción por átomo.
6.31. Halle el número de electrones de conducción en un metro cubico de cobre si y . En promedio ¿Cuántos electrones por átomo hay? El peso atómico es 63.54 y la densidad es
111
6.32.- Una barra de cobre de sección transversal rectangular de 0.02 x 0.08 y longitud de 2 m tiene una caída de voltaje de 50 mV. Encuentre la resistencia, corriente, densidad de corriente, intensidad de campo eléctrico y velocidad de corrimiento de los electrones de conducción.
Sección transversal : 0.02 x 0.08 L=2m V= 50 V Para el cobre tenemos que:
112
6.33.- Una barra de aluminio de 0.01x 0.07 m de sección transversal y de 3 m de longitud conduce una corriente de 300 A. Halle la intensidad del campo eléctrico, densidad de corriente y velocidad de corrimiento de los electrones de conducción.
Barra de aluminio de 0.01x 0.07 m------Longitud 3m-------I = 300A.
E =?, J =?, U =?
6.34.- Una reja de alambres da una resistencia de 33.31 ohm/km para el alambre de cobre AWG n20 a 20C. ¿Qué conductividad en S/m implica esto para el cobre? El diámetro AWG es de 32 mils.
Diámetro = 32mils*
113
6.36.- ¿Cuál es es la conductividad del alambre de tungsteno AWG # 32 con una resistencia de 0.0172 ? El diámetro del AWG # 32 es 8.0 mils.
8mils
=2.032x
0.0172
6.37.-Determine la resistencia por metro de un conductor cilíndrico hueco de aluminio con un diámetro externo de 32 mm y paredes de 6mm de espesor.
114
6.38.- Halle la resistencia de una ñámina cuadrada de aluminio de 1,0 mil de espesor y 5,0 cm de lado (a) entre bordes opuestos en la misma cara, (b) entre las dos caras del cuadrado.
R R
l = 5 cm
1 mil
pulg 1 mil
2,54 cm 1 pulg
1m 100 cm
a)
115
b)
6.39.- Halle la resistencia de 100 pies de conductor AWG # 4/0 tanto en cobre como en aluminio. Un alambre AWG # 4/0 tiene un diámetro de 460 mils.
Datos: L= 100 ft AWG # 4/0 Diámetro D= 460 mils σ Al = 3,82 x 107 S/m σCu = 5,8 x 107 S/m
116
6.40.- Determine la resistencia de un conductor de cobre de 2m de largo con una sección transversal circular y un radio de 1mm en un extremo que crece linealmente hasta un radio de 5mm en el otro extremo.
r1=1
m
y
r2=5
m
L = 2 m;
Para el cobre tenemos que:
6.41.- Determine la resistencia de un conductor de cobre de 1m de largo con una sección transversal cuadrada de 1mm de lado en un extremo y que aumenta linealmente hasta 3mm en el otro extremo.
Conductividad del Cobre:
Tomando el Área más grande del conductor de cobre:
⇒
6.43.- Halle la densidad de corriente de un conductor AWG # 12 cuando conduce corriente de 30 A. Un alambre # 12 tiene un diámetro de 81 mils.
Datos: Conductor AWG #12, I = 30A, Diámetro = 81 mil, 1 mils =
,1pulg = 2,54cm 117
J=?
6.44.-Halle la corriente total en un conductor circular de 2mm de radio si la densidad de corriente varia con r de acuerdo a
6.46.- Dada la densidad de corriente
.
en coordenadas esféricas.
Halle la corriente que cruza la franja cónica
Franja cónica
118
6.47.- Halle la corriente total saliente desde un cubo de un metro con una esquina en el origen y aristas paralelas a los ejes coordenados si
6.51.- Un conductor rectangular, hueco, de paredes delgadas, con dimensiones 0.01 x 0.02 m conduce una corriente de 10 A en la dirección positiva. Exprese K.
119
6.54
Tenemos que:
La componente desaparece ya que su diferencial apunta al centro de la esfera y queda adentro donde E y D son iguales a cero. La componente
desaparece ya que se aplica el principio de simetría
Entonces nos queda:
Donde derivando a los dos lados de la igualdad para
nos queda:
Pero sabemos por el capítulo 4 que
Ya que la intensidad de campo es normal a la superficie se extiende en la direccion de ar entoinces tenemos:
120
CAPITULO 7
CAPACITANCIA Y MATERIALES DIELECTRICOS
121
EJERCICIOS 7.2.- Determine el valor de E en un material para el que la susceptibilidad eléctrica es 3.5 y P=
7.3.- Dos cargas puntuales en un medio dieléctrico donde Interacturan con una fuerza ¿Qué fuerza podría esperarse si las cargas estuvieran en el espacio vacio?
La ley Coulomb, , establece que la fuerza es inversa proporcional libre la fuerza tendrá su máximo valor.
. En el espacio
Desplazamiento eléctrico a la carga 1 es
O Bien
Que nos da
Fuerza entre dos Cargas, Vacío entre esas Cargas
122
7.4
Datos:
Hallar:
Solución:
= Igualando componentes
;
123
Para el ángulo
7.5.- En la región del espacio libre x<0, la intensidad de campo eléctrico es . La región x>0 es un dieléctrico para el que el ángulo
(
. Halle
que forma el campo del dieléctrico con el plano x = 0.
).
=
3=
124
7.6.- Una entre cara dieléctrico –espacio vaco sigue la ecuación 3x+2y+z=12 m. El lado queda al origen de la entre cara tiene y Et=2ax+5az, V/m Halle E2?
Punto de corte x , y=0 , z=0 3x=12 X=4 Punto de Corte y, x=0, z=0 2y=12 Y=6 Punto de Corte Z, x=0,y=0 Z=12
1 sacar valor normal a un plano Vector perpendicular al campo
Proyección E1/an Escalar
125
7.11.- En relación al problema 7.10. Halle la separación d que se produce con la misma capacitancia cuando las placas se arreglan en forma paralela con el mismo dieléctrico en medio.
126
7.12.-Halle la capacitancia de una concha esférica aislada de radio a.
El potencial de un conductor de este tipo con referencia con cero en el infinito es
Entonces será
7.13
7.17.- Halle el voltaje a través de cada dieléctrico en el condensador que aparece en la figura cuando el voltaje es 200 V.
127
7.19.- Un condensador de placas parales con espacio vacio entre las placas se conecta a una fuente de voltaje constante. Determine como cambian We, D, E, C, Q, y V cuando se inserta un dieléctrico de
entre las placas.
V
Porque el voltaje es constante
128
Despejando el 2 de la ecuación (2) tenemos
Despejando el 2 de la ecuación (2) tenemos
Y como sabemos que para este caso
Y como sabemos que para este caso
; por lo tanto se tiene
; por lo tanto se tiene
7.20.- Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre ellas se conecta momentáneamente a una fuente de voltaje V, que es luego removida. Determine cómo cambian , D, E, C, Q, , y V cuando las placas se apartan a una distancia de separación
sin perturbar la carga.
129
La carga total no cambia.
Por la ecuación (1)
(3) Por la ecuación (2)
Por la ecuación (2)
Por la ecuación (3) y (4)
(5) y Entonces:
Por la ecuación (4) 130
7.24.- Halle las magnitudes de D, P y MV/m y
7.27.- Dado que
para un material dieléctrico en el cual E =0.15
.
en la región x>0, que es espacio vacío. Halle
Pen la región x>0, que es espacio vacío. Halle P en la región x<0 que es un dieléctrico con .
131
donde ax es normal a la entrecara y a y y az son tangentes a esta.
||
132
7.28.- La región 1, z< 0m, es espacio vacío donde m tiene
y la región 3, z>1m, tiene
la región 2, 0
VACIO
133
=
(
)
7.29.- El plano entrecara entre dos dieléctricos está dado por 3x + z = 5. En el lado que incluye el origen y , mientras en el otro lado . Halle
Gradiente
(Perpendicular)
134
135
7.31.- Halle la capacitancia de un conductor de placas paralelas con un dieléctrico , área 0.92 y separación 4.5 mm.
7.32.- Un condensador de placas paralelas de 8nF tiene un área de
y una
separación de 10 mm ¿Qué separación se requiere para obtener la misma capacitancia con espacio vacio entre las palcas?
7.33.- Halle la capacitancia entre las superficies curvas interna y externa del conductor que aparece en la figura 7-20. Deprecie el efecto de bordes
136
7.38.- Con un potencial de 1000 V aplicado al condensador del problema 7.37, halle la diferencia de potencial y el gradiente de potencial (intensidad del campo eléctrico) en cada dieléctrico.
137
7.39.-
Datos:
Hallar:
7.44.- Un condensador de placas paraleles con espacio vacío entre las placas permanece conectado a una fuente de voltaje constante mientras las placas son aceleradas la una a la otra, desde una separación hasta . Examine los cambios que se producen en Q,
, C, D, E y
voltaje constante
138
139
7.48.- Un cable blindado opera a un voltaje de 12.5 Kv sobre el conductor interno con respecto al blindaje cilíndrico. Hay dos aislantes el primero tiene t1= 6.0 y esta de r= 0.8 cm a r= 1.0 cm del conductor interno, mientras que el segundo tiene tr2= 3.0 y está desde r=1.0 cm hasta r= 3.0 cm, dentro de la superficie interna del blindaje. Encuentre el máximo gradiente de voltaje en cada aislante.
Datos:
Hallar: Máximo gradiente de voltaje=?
140
7.51.- En la figura, el conductor central externo en
, está a 100 V respecto del conductor
. La región 1 < r < 50mm es espacio vacío, mientras 50 < r <
141
100mm es un dieléctrico con
. Halle el voltaje a través de cada región. Resp:
91.8 V, 8.2 V.
142
CAPITULO 8 ECUACION DE LAPLACE
143
EJERCICIOS 8.5.-Dos planos conductores paralelos en el espacio libre están en y = 0 e y = 0.002 m, y el voltaje de referencia cero esta en y = 0,01. Si D = 253
entre los
conductores. Determine los voltajes del conductor.
Entonces:
Entonces para:
144
8.8.- En coordenadas cilíndricas dos planos
están colocados a lo largo del eje z,
como se muestra en la figura. Desprecie el efecto de los bordes y halle la expresión para E entre los planos, asumiendo un potencial de 100 V para y referencia cero en 0
0
Aplicando condiciones de frontera:
145
Entonces:
8.9.- En coordenadas esféricas,
para
my,
para
m.
Suponiendo espacio vacío entre estas conchas esféricas concéntricas, halle E y D.
Las condiciones limites dan:
Entonces:
146
8.11.- Resuelva la ecuación de Laplace para la región entre los conos coaxiales, como se muestra en la figura. Un potencial se asume en y en . Los vértices de los conos se aíslan en
.
8.21. En coordenadas cartesianas un potencial en función de x solamente. En x=-2cm, V=25V y en toda la región. Halle V en x = 3cm.
147
Condiciones Iniciales X= -0.02m ; V=25V 25 = -0.02A + B B = 25 + 0.02A
x = 0.03m ; V = v1 V1 = 0,03A + B V1 = 0,03A +25 + 0,02A V1 = 0,05A + 25
B= 25 + 0.02(
8.25.- Para cilindros conductores concéntricos, V = 75V en r = 1mm y V = 0 en r = 20mm. Halle D en la región entre los cilindros, donde
148
Condiciones Iniciales r = 1mm ; V = 75V
r=20mm ; V = 0
8.28.- EL voltaje de referencia está en r = 15 mm en coordenadas esféricas y el voltaje es en r = 200 mm. Dado en r = 110 mm, halle . El potencial es función de r solamente. Resp: 250 V. 149
8.35.- En coordenadas cilíndricas
Condiciones iniciales V=0 r=1 y V=50 r=3.
V=-12.55 r + c1 ln(x)+c2
150
CAPITULO 9
LEY DE AMPERE Y CAMPO MAGNETICO
151
EJERCICIOS 9.11.- Dado un vector general
demuestre que el rotacional es en
todo punto cero.
9.12.- Un conductor cilíndrico de radio
tiene un campo magnético interno
. ¿Cuál es la corriente total en el conducto?
152
9.23.- demuestre que el campo magnético producido por el elemente finito de corriente que aparece en la figura esta dado por
Z
r
b=Z1 a=Z1 l=r
153
9.24.- Obtenga Dh en un punto general (r,
,Ø) en coordenadas esféricas producidas
por un elemento diferencial de corriente Idl en el origen en dirección de z positivo.
9.25.- las corrientes en los conductores interno y externo de la figura están uniformente distribuidas utilice la ley de ampere para demostrar que para b<=r<=c
154
9.26.Dos lazos idénticos de corriente ,circulares, de radio de r=3m e I=20ª están en planos paralelos, separados respecto a su eje común por 10 m. Halle H en un punto medio entre los dos lazos.
1
r
2
r
b=r=3m I=20 A Z=5 m
9.30.-
Dado el vector general
, halle la rotacional de A en el
origen:
en P(0,0,0)
155
9.31.-
Dado el vector general
, halle el rotacional de
A, para todos los puntos.
rota= (0)ex+(0)ey+(cosx cosy - cosxcosy) = 0
9.32.-
Dado el vector general
rotacional de A en
9.33.-
en coordenadas cilíndricas, halle la
.
Dado el vector general
en coordenadas cilíndricas, halle el
rotaconal de A en
9.34.- Dado el vector general
en coordenadas esféricas, halle
el rotacional de A en el punto
9.35. Dado el vector en (2,
en coordenadas esféricas, halle el rotacional de
.
156
9.36. Dado el vector general
demuestre que el rotacional de
en
todo punto es cero.
9.37.- Un conductor cilíndrico de radio
tiene un campo magnético interno
¿Cuál es la corriente total en el conductor?
9.40.- Calcule el flujo magnético total ф que cruza el plano z=0 coordenadas cilíndricas para r ≤ m. Si
157
9.41.- Sea franja,
halle el flujo magnético total que cruza la .
9.42.- Un cable coaxial cuyo conductor interno tiene radio a y el externo tiene radios interno y externo b y c respectivamente, transporta una corriente I en el conductor interno. Halle el flujo magnético por unidad de longitud que cruza un plano
Por la ley circuital
Flujo:
158
9.43.- Una hoja uniforme de corriente K=
, está en z= b>2 y otra K=
,
está en z= -b. Halle el flujo magnético que cruza el área definida por x= constante, 2≤z≤ 2, 0≤y≤L. suponga espacio vacío.
Tenemos que H= del problema 9.3
H= Φ=
=> B= =
=
Φ=
Φ=
L
9.44.- Utilice el potencial vectorial magnetico del problema 9.19 para obtener el flujo que cruza un plano φ=constante para y 0 producido por una corriente de filamento I sobre el eje z. A= Φ=
In( ) = 159
Φ=
In
9.45.-Sea el potencial vectorial magnetico dentro de un conductor cilíndrico de radio *a* igual a:
, halle su respectivo H. Del flujo tenemos:
Y por el teorema de estokes.
160
CAPITULO 11
INDUCTANCIA Y CIRCUITOS MAGNETICOS
161
EJERCICIOS 11.13. En coordenadas cilíndricas
en una cierta región. Obtenga
a partir de esta densidad de corriente y luego tome el rotacional de
y compárelo
con
162
11.14. En coordenadas cartesianas, una densidad constante de corriente existe en la región
Utilice la ley de Ampere para hallar
regiones. Obteniendo el rotacional de
Z solo cambia entre a y –a pero fuera de eso “ - a ” a “ a ”.
,
en todos las
compárela con .
valor que dará en a, puesto que solo pasa de
11.23.- Halle la inductancia por unidad de longitud de un conductor coaxial con un radio interno a= 2mm y un conductor externo en b=9mm. Suponga que µ=1.
163
11.24.- Halle la inductancia por unidad de longitud de dos conductores cilindricos paralelos, donde el radio es 1mm y la separacion de un centro a otro es de 12 mm
11.25.-Dos conductores cilindricos paralelos separadospor 1mm tienen una inductancia por unidad de longitud de 2.12 µH/m ¿Cuál es el radio del conductor?
11.26.- Un zolenoide con nucleo de aire con 2500 vueltas uniformemente espaciadas tiene una longitud de 1.5m y un radio 2x10 -2m Halle la inductancia L
Formula empírica
11.27 Halle la inductancia de la bobina de la figura 11-9 si r 1=1cm, r2=2cm, l=3cm y N=800
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11.28.- Un toroide e aire de sección transversal cuadrada tiene un radio un radio interno de 5cm , externo de 7 cm y de altura 1.5cm. Si la inductancia es 495 uH ¿cuántas vueltas hay en el toroide?
Examine la fórmula aproximada y compare el resultado Toroide sección cuadrada
Toroide sección general
11.29.- Un toroide de núcleo de aire cm sección cuadrada tiene r1=80cm, r2=82cm ,a=1.5cm y 700 vueltas. Halle L utilizando ambas fórmulas y compare los resultados.
Toroide
sección
cuadrada
Toroide sección general
11.30.- Determine las permeabilidades relativas del hierro colado, del acero colado, del silicio –acero y de la aleación níquel-hierro a una densidad de flujo de0.4 T.
Hierro colado acero colado Silicio-acero Niquel-hierro
1050 200 56 7.5
303 1591 5684 42441
Ur=B/UoH
165
