Solucionario_separata_nro3.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULT FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL INDUS TRIAL Y DE SISTEMAS

SOLUCIONARIO 3RA 3RA SEPARAT SEPARATA A Participantes: - Roca Obregón, Gabriel - Luján Alaya, ania - Inga !auri, "aria #ole$a$

Curso:

&I#I'A "OR*A ('+-313)

Sección:



Profesor: "g .ercy 'a/oe &ajar$o Ciclo:

2015-II

Fecha:

0%122015

(20132105I) (20133502A) (20132%01&)

SEPARAT SEPAR ATA A NO 3 E C!"3#3 1.-

La luz luz solar solar llega llega a Tie Tierra rra a una una inen inensi! si!a! a! "ro# "ro#e!i e!io o !e 1$%& 1$%& '(# '(# ). Esi#e el n*#ero !e +oones ,ue llegan a la su"er+iie !e la Tierra "or segun!o si la e#"eraura !el sol es &&& /.

W  ao Ineni$a$ 4roe$io 6 1350

2

m



La lu7 olar llega a una $eerina$a área, i e coni$era a la ierra coo una e8era 6  RTierra= 6.37∗10 m

Sa0e#os  P  I =  … ( β )  2 sien!o I6 1350  A W  2

m

2

y A =π R .

Ree#"lazan!o en ( β )  1350=

P πR

2

6 2

 P=1350∗3.14∗( 6.37∗10 ) 12

 P=172005.47∗10 J / seg

Sa0e#os −2

 λmáx . T =0.2898 ∗10

 2 !ao T3&&&4

−5

 λmáx =0.0483 ∗10 m  λmáx = 483 nm

 A #a5or #a5or e#"eraura !is#inu5e el 6alor !el λmáx  5 la ur6a a!a 6ez iene un onorno #7s !elga!o.

SEPARAT SEPAR ATA A NO 3 E C!"3#3 1.-

La luz luz solar solar llega llega a Tie Tierra rra a una una inen inensi! si!a! a! "ro# "ro#e!i e!io o !e 1$%& 1$%& '(# '(# ). Esi#e el n*#ero !e +oones ,ue llegan a la su"er+iie !e la Tierra "or segun!o si la e#"eraura !el sol es &&& /.

W  ao Ineni$a$ 4roe$io 6 1350

2

m



La lu7 olar llega a una $eerina$a área, i e coni$era a la ierra coo una e8era 6  RTierra= 6.37∗10 m

Sa0e#os  P  I =  … ( β )  2 sien!o I6 1350  A W  2

m

2

y A =π R .

Ree#"lazan!o en ( β )  1350=

P πR

2

6 2

 P=1350∗3.14∗( 6.37∗10 ) 12

 P=172005.47∗10 J / seg

Sa0e#os −2

 λmáx . T =0.2898 ∗10

 2 !ao T3&&&4

−5

 λmáx =0.0483 ∗10 m  λmáx = 483 nm

 A #a5or #a5or e#"eraura !is#inu5e el 6alor !el λmáx  5 la ur6a a!a 6ez iene un onorno #7s !elga!o.

Co#o &&&4 es una e#"eraura #u5 ala su  λmáx  8 a"ro9i#a!a#ene ser7 su  λ prom .  A Alas e#"erauras e#"erauras  λ2− λ1 ≈ 0 "or lo ano  λ2 ≈ λ1 ≈ λmáx :or ano  λmáx ≈ λ prom :ara el sol

 λmáx = 483 nm

12 Sien!o  P prom=172005.47∗10 J / seg energ;a oal "ro#e!io ,ue llega a la

ierra en un seg es 12

172005.47∗10 J 



12

172005.47∗10 J =nh

c  λ prom

J 

( 6.626∗10− )∗3∗10 34

172005.47∗10

12

=n

n =4079426.603∗10

8

−5

0.0483∗10 29

n Nu#ero !e +oones ,ue llegan a la su"er+iie !e la Tierra. ).-

Des"u Des"u =i">es esis is De ?rogli ?roglie e ,ue las las "ar;u "ar;ulas las !e #o#eno ρ ienen araer;sias !e on!a on longiu! !e on!a λ 3 =("8 a un esu!iane !e @& /g le =a ineresa!o #u=o sa0er si se !i+raar7 uan!o "ase "or el laro !e una "uera !e % # !e an=o. Su"onien!o ,ue ourrir7 una !i+rai>n i#"orane uan!o el an=o !e la a"erura !e !i+rai>n sea #enor  ,ue 1& 6ees la longiu! !e on!a ,ue se es7 !i+raan!o8 aB !eer#ine la #79i#a 6eloi!a! a la ual el esu!iane "ue!e "asar a ra6
h

h

aB La longiu! !e on!a !el esu!iane es  λ = p = mv . Si ' es el an=o !e la a0erura !e !i+rai>n8 enones neesia#os

w ≤ 10 λ=

10∗h

mv

.

−34

10∗6.626∗10 J . s h = =1.10∗10−34 m/ s v ≤ 10 80 g∗0.75 m mw

0B Usan!o

! =

" v   ene#os

!#

  0.15 m 1.10∗10

−34

=1.36∗10−33 s

B No. El ie#"o #;ni#o "ara "asar a ra6
$.-

Una +uerza onsane !e )&8& N se a"lia a una "ar;ula !e $8&& g iniial#ene en re"oso. AB Des"u
m =3 g

v 0 =0

F !e

 $ =

Ce Ne'on

v s =v

&620*

Segun!a Le5 Relai6isaB

"p " ( % mv )  "v  = = %m "!  "!  "! 

20

%m

=a 2 !on!e

% =

1

√

2

v 1 −(  ) c

aB Se re,uiere el ie#"o8 uan!o la "ariula enga una longiu! !e on!a De ?roglie igual a la longiu! !e on!a !e Co#"o#

n!a !e Co#"o#  λc =

h h h h =¿ = =¿ %v =c  λ2=  2 mc %mv mc %mv

F3e MRUH v´ s=´v + a!  v´ s=a!  c 20 =  !  %  %m ! =

3∗10

8

∗8∗10−3 20

! =4.5∗10

4

seg∗1 h =0.125∗10 2 h 3600 seg

! = 12.5 h

Sa0e#os h h = = λ  λ 0 mc  2 %mv

 λc =

cλ c =

h  h  λ %v = 2 m m

Co#"aran!o cλ c = λ %v =

2

λv

√

2

λ v c  λ c = 2 v 1 −(  ) c 2

2

2

2

2

2

2

c  λ c − λc v = λ v 2

2

v=

c

2

λ 1 +( )  λ c

2

v 1−( ) c

2

v=

c

√

2

λ 1 +( )  λ c

8 c = 3∗10 ∗8 m / s  5  λ = λc 

Ree#"lazan!o el 6alor !e 8

v = 2.1276∗10 m / s v ≈ 212 &m / s

.-

aB Muesre ,ue +reuenia8 + 5 la longiu! !e on!a λ8 !e una "ar;ula es7n 2

  f    = 1 + 1  c÷ λ λ c    2

2

relaiona!as "or la e9"resi>n   !on!e λ  3 =(# es la longiu! !e on!a Co#"on !e la "ar;ula. 0B Es "osi0le ,ue un +o>n 5 una "ar;ula ,ue iene #asa !i+erene !e eroB engan la #is#a longiu! !e on!a 5 +reuenia E9"li,ue.  λc =

h h  λ =  2 mc %mv

1 mc  1 = … ( ' ) ( %mv = … ( β ) h  λc h  λ

Ele6an!o

( ' ) y ( β )  al ua!ra!o 5 su#an!o %mv h 2

¿ ¿

2

2

( ) +( ) =( mc ) +¿  λc  λ h 1

2

1

2

2

( ) +( ) =( mc ) ∗(  λc  λ h  1

2

1

2

2

2

v

2 2

1−

2

v 2 c

4

+c2 )

2

2

m c v + c −c v ( ) +( ) =(  ) ∗( ) 2 2  λc  λ h c −v  1

1

2

2

2

m ( ) +( ) =(  ) c2 % 2  λc  λ h  1

1

Sa0e#os ,ue  λc  y λ  es7n relaiona!os8 enones8 la "ar;ula ,ue se esu!ia iene 6J eranas a la luz.  λc =

h %mv

Res"eo a la energ;a relai6isa 5 la energ;a oal !e la "ariula  )= %m c

2

2 2

( %m c ) ( ) +( ) = m2 c2 % 2= 2 2  λc  λ hc h c 2

 1

1

2

2

4

2

 ) 3 h2 c 2

2

 )= %m c = h* 

2

2

2

2

2

( ) +( ) = h2 * 2 =( *  )  λc  λ c h c  1

1

2

2

2

 1 1 *  ¿>( ) =( ) +( ) c  λc  λ

0B Reor!an!o8 una "ar;ula !e longiu! !e on!a !e ?roglie "ue!e llegar a ener la #is#a longiu! !e on!a !e Co#"on. Co#o el +oonB h = λ c :ar;ula mc  2

Fo>n

h h c = =¿ %v = c =¿ v = mc %mv % 

% =

Don!e v=

c

√ 2

1

√

2

v 1 −(  ) c

 λ =

h %mv

Sa0e#os  λ* = v Fo>n

:ar;ula

 λ *  * = c *  * =

 λ *  p= v

c  λ

*  p=

v  λ

Si iene la #is#a longiu! !e on!a c  v = * *  *  p

2

v=

c

√ 2

Ree#"lazan!o *  p=

 *  p

√ 2

√ 2  F"ariula

F+oon3

Se o0ser6a ,ue F+oonK F"ariula Si las longiu!es !e on!as !e los !os son !i+erenes8 =a0r;a un aso F +oon3 F"ariula c 2 c m*  h *  * = = m *  c h

2

v 2 % m p v h *  p= = % m p v h

Realizan!o la igual!a! 2

m *  c = % m p v

%.-

2

 De0e u#"lirse "ara ,ue F+oon3 F"ariulaB

Cu7l es la 6eloi!a! !e un eler>n si su longiu! !e on!a !e De ?roglie es igual a su longiu! !e on!a Co#"on La longiu! !e on!a !e ?roglie  λ =

h % me v

La longiu! !e on!a !e Co#"on  λc =

h me c

 λ = λc  8 es neesario ,ue

Si !esea#os ,ue v

√ .-

2

=c

v 1−( ) c

v=

3K

c

√ 2

%v =c  .

=212 &m / seg

En el e9"eri#eno !e Da6isson-Ger#er8 elerones !e % eH se !i+raaron en una re;ula !e n;,uel. Si se o0ser6> el "ri#er #79i#o en el "ar>n !e !i+rai>n en φ 3 %&8 Cu7l es el es"aia#ieno !e la re;ula ! 2 + +¿ 180 , 2 + =180 , − 50 ,

+= 65 ,  

:::$

Luego

 λ +=¿ n 2  - sin ¿

. ( ' ) ( :or !ao se o0ser6> el "ri#er #79i#o en el "ar>n !e

!i+rai>n. n31B :ara % e6 e,ui6ale a ,ue "or a!a eler>n ,ue llega %

−19

86,4 ∗10

− 19

1,6∗10

J ¿= h

c  λ

− 34

=

6.626∗10

∗3∗108

 λ −7

 λ = 0.23006∗10 m

En ( ' )   65 , =¿

 0.23006∗10 2  - sin ¿

−7

∗1

 - ≈ 12,695 nm

.-

Se aeleran elerones a ra6nio. Cu7l es8 e>ria#ene8 la !isania o0ser6a0le #7s "e,ueOa enre o0Peos El l;#ie e>rio !el #iroso"io !e elerones es la longiu! !e on!a !e los elerones8 Si 2

  e =40 e/ 0 en!onces ) =  e + m e c =551 e/ y

√ ( 551 e/ ) −( 511 e/ ) ∗1.6∗10−16 J  2

 P=

1

 √  ) − me c 2

2

8

2

3∗10 m/ s

4

c=

=1.1∗10−22 g.m / s

1 e/ 

La longiu! !e on!a !el eler>n8 5 "or lo ano el l;#ie e>rio !el #iroso"io8 es enones −34

h   6.626∗10 J . s −12 6.03 10 = ∗  λ = = m =6.03 pm  p 1.1∗10−22 g.m / s

@.-

Un =az !e elerones on una energ;a in<ia !e 18&& MeH ini!e en !irei>n nor#al en un arreglo !e 7o#os "or &8)% ## En ,u< !irei>n "o!e#os es"erar los elerones !el ,uino or!en  λ +=¿ n 2 " ∗sin ¿

Sa0e#os

λ +=¿ 5 2

−9

0.25 ∗10

∗sin ¿

. ( ' )

Luego −13 1MeH31. ¿ 10 Q 1 2

2

m v =1v

− 34

:ara

  6.626∗10 h =  λ = √ 2 m1v √ 2∗( 9.11∗10−31 )∗( 1.6∗10−13 )

−34

 λ =

  6.626 ∗10

−20

5.2992 ∗10

=1,2272 ∗10−12

Ree#"lazan!o en ( ' )  +=¿

1,2272∗10

−12

2 −9

0.25∗10 sin ¿

+ &.

Los elerones !el ,uino or!en ienen una !irei>n !e !el nJ
+ &. en a#0os la!os

.-

La "oenia !e resolui>n !e un #iroso"io es "ro"orional a la longiu! !e on!a e#"lea!a. Si uno !esea e#"lear un #iroso"io "ara 6erJ un 7o#o8 en!r;a ,ue o0enerse una resolui>n !e a"ro9i#a!a#ene 1& -11 #. aB Si se e#"lean elerones #iroso"io eler>nioB8 ,u< energ;a in<ia #;ni#a se re,uiere "ara los elerones 0B Si se uilizan +oones ,u< energ;a #;ni#a !el +o>n es neesaria "ara o0ener la resolui>n re,ueri!a 1

A4lican$o



2

m v =1v  Energia in<iaB 2

λ=

h √ 2 m1v

− 11 es 10

aB Energ;a in<ia #ini#a 3K uan!o  λ  

−11

10

=

− 34

6.626∗10

√ 2∗( 9.11∗10− )∗( )c m2n) 31

−15

 )cm2n=2.4096 ∗10

−19

J ( 1 ev =1,6∗10

J 

 )cm2n =15.06 e/ ≈ 15 e/ 

(b) n el cao $e lo 8oone #u ;eloci$a$ e $e −34

hc 6.626∗10 ∗3∗10  )cm2n = = −11  λ 10

3∗10

8



8

612<=e>

1&.- Una +uene lu#inosa se usa "ara !eer#inar la loalizai>n !e un eler>n en un =asa una "reisi>n !e &8&% n# Cu7l es la ineri!u#0re en la 6eloi!a! !el eler>n  3x3p #

h

h ´ h 3 2 π  2  2

( 0.05∗10 ) 3p# −9

−34

 6.626∗10 2∗3.14

= 0.5275∗10−34

−25

 3p # 10.55∗10

− 25

m3/ # 10.55 ∗10

−25

 3/ #

 10.55∗10

−31

9.11∗10

=¿ 3/ #

 1.16 &m

seg

La ineri!u#0re en la 6eloi!a! !el eler>n es !e 181 M #(s o #7s.

11.- aB Su"onga ,ue un eler>n es7 on+ina!o !enro !e un n*leo !e %.& 9 1& -1% # !e !i7#ero. E#"lee el "rini"io !e ineri!u#0re "ara !eer#inar si ese eler>n es relai6isa o no relai6isa 0B Si ese n*leo oniene s>lo "roones 5 neurones8 algunas !e es7s son "ar;ulas relai6isas E9"li,ue.

 3p3r #

 3p #

h  4

h 2 π 

h´ =

?

h 2 3r

mc 3v #

 3v #

h 2 3r

h 2 3r mc

 3v #

 3v #

 

−34

1.055∗10 −15

2 ( 5∗10  1.055 10 / 2

/ 2)( 9.11∗10−31)

∗10 12

 3v # 0.023∗10

12

1).- Una #uPer so0re un esalera ira "e,ueOos "er!igones =aia una #an=a so0re el "iso.

aB Muesre ,ue8 !e auer!o on "rini"io !e ineri!u#0re8 la !isania erra!a 1( 2

     ∆x =     m  

1( 4

  H         2g  

!e0e ser al #enos !e !on!e  es la alura iniial !e a!a "er!ig>n so0re el suelo 5 # es la #asa !e a!a uno. 0B Si  3 )8& # 5 # 3 &8%& g Cu7l es ∆9 Reolución

@

@ori7onal "R

 3x = 3/ . ! 

 3x = 3/  ! 

(a) .or el 4rinci4io $e inceri$ubre $e @eieberg

 3x3p #

 h 2

 3x . m. 3v #

h 2 2

 3x ∗m p  h 3x  h  3x . m p . # =¿ # 2 2 2 2 5  g

√

 3x 69

(b) @62 ? 605 g 6:

10

 3x #

(

−34

1.03∗10 0.5∗10

−3

) ( ) 1

2

2



2110

1

1 4

6

(¿¿−9 )4 1

( 2.11∗10 ) ∗¿ −31

2

−1

 3x =0.320∗10

2

 

ψ ( x )

2

=

 L

1$.- La +uni>n !e on!a !e un eler>n es  x

"ro0a0ili!a! !e enonrar un eler>n enre 9 3 & 5 2 πx

 4

(¿) 6 2 ( x ) =

√

 2

sin ¿

 4

¿ 6 2∨¿2 "x  4 4

 P

0,

 4

=∫ ¿

4

0

2 πx

¿

√

 4  2

 4

2

sin (¿)∨¿ "x

¿

 4 4

 P

0,

 4

=∫ ¿

4

0

2 πx

 4

¿ sin (¿)∨¿2 "x ¿  4

 P

0,

 4 4

=(

√

 2

 4

2 4

) ∫¿ 0

0≤ x ≤ 4 /4

 2π  x        L  

 sen 

. alle la

 L =

<

.

x  1 2 πx  π  < < =¿ 0 2  4 4  4

0 ≤  ≤

0 ≤ sin + ≤ 1

2 :ri#er ua!rane sin + > 0

2 πx

 4

¿ sin (¿)∨¿2 "x ¿  4

 P

0,

 4

=(

4

√

1 −cos

¿

2 4

 2

 4

) ∫¿ 0

 4 πx

 4

∨¿ "x

2

 P

 P

 4

0,

=(

4

1

0,

√

 4

 2

 4

2

) ∫¿ 0

(√ )

 4 = ∗ 4

2 4

 2

2

 4

 4

 4

4

4

0

0

(∫ "x ∨−∫ cos

(√ )

2

 4 πx

 4

"x )

 4

 4 ( − 4 sin πx )¿ 04  P  4 = ∗ 0, 2  4 4 4 π   4 4 1

 P

1

0,

 4 4

 2

(√ ) (

= ∗ 2

 P

 2

 4

0,

 4 4

2

 4

 4 4

)

=0.250

 :ro0a0ili!a! !e enonrar el eler>n enre & 5 L(.

1.- E#"lee el #o!elo !e la "ar;ula en una aPa "ara alular los "ri#eros res ni6eles !e energ;a !e un neur>n ara"a!o en un n*leo !e )8&& 9 1& -% n#. Las !i+erenias !e los ni6eles !e energ;a son realisas Solui>n

−5

 4=2 7 10 nm

Mo!elo :ar;ula en una aPa

 λ =

2 4

n

2

h ) n2  )n=( 2 8m4

Se o0ser6a a #a5or n #enor  λ  5 #a5or energ;a. :ara n31 ( 6.626 7 10−34)2 2  )1= −27 −14 2 7 1 = 0.513  &e/  8 7 ( 1.67 7 10 ) 7 ( 2 7 10 )

:ara n3) ( 6.626 7 10−34)2 2  )1= −27 −14 2 7 2 = 2.05 &e/  8 7 ( 1.67 7 10 ) 7 ( 2 7 10 ) :ara n3$ ( 6.626 7 10−34)2 2  )1= −27 −14 2 7 3 = 4.62 &e/  8 7 ( 1.67 7 10 ) 7 ( 2 7 10 )  Las !i+erenias !e los ni6eles !e energ;a si son realisas.

1%.- Una "ar;ula en un "ozo ua!ra!o in+inio iene una +uni>n !e on!a !a!a "or  2 πx

 4

(¿) 6 2 ( x ) =

√

 2

 4

"ara & ≤ 9 ≤ L 5 ero en ual,uier oro aso. Deer#ine sin ¿

aB El 6alor !e es"eranza !e 9 0B La "ro0a0ili!a! !e enonrar la "ar;ula era !e L()8 alulan!o la "ro0a0ili!a! !e ,ue la "ar;ula se enuenre en el iner6alo8 &. L ≤ 9 ≤ &.%1 L B La "ro0a0ili!a! en enonrar la "ar;ula era !e L(8 al alular la "ro0a0ili!a! !e ,ue la "ar;ula es< en el iner6alo !e &.) L ≤ 9 ≤ &.) L8 !B APuse esas "ro0a0ili!a!es on el resula!o "ara el 6alor "ro#e!io !e 9 enonra!o en aB. Solui>n  aB El 6alor !e es"eranza !e 9 0≤x≤4 0 ≤ 2 πx ≤ 2 π4 0≤

 2 πx

 4

≤ 2 π  2

 x ¿ 6 2∨¿ "x  4

¿ x ≥∫ ¿ 0

2 πx

¿

√

 4  2

 4

2

sin (¿)∨¿ "x

 x ¿  4

¿ x ≥∫ ¿ 0

2 πx

 4 2 πx  4 2 πx  4 2 πx  4

¿ sin (¿)∨¿2 "x  x ¿ 2

¿ sin (¿)∨¿ "x +

 4

 2

∫¿

 4 3 4 / 4

 x ¿ 2

¿ sin (¿)∨¿ "x +

3 4 / 4

 2

 4

∫¿

 4 / 2

 x ¿ 2

2

¿ sin (¿)∨¿ "x +

 4 / 2

∫¿

 4  4 / 4

 x ¿

¿ x ≥

2

 4

 4 / 4

∫¿ 0

2 πx

 4 2 πx  4 2 πx  4 2 πx  4

¿ sin (¿)∨¿❑ "x  x ¿ 2

2

 4

 ∫

¿  x (−sin (¿) ) "x +  4 3 4 / 4 2

2

 x sin (¿) "x +

 4

2

 x sin (¿) "x +

¿ x ≥

2

 4

2

3 4 / 4

 4 / 2  4 / 2

∫¿

 4  4 /4

 4 / 4

∫¿ 0

∫¿

2 πx

 4 2

 x sin (¿) "x

¿ x ≥

 4

2

 4 2

∫¿ 0

 4

 4

∫ x

2

 1

¿ x ≥

(1− cos

 4

 4

) "x

2

0

¿ x ≥  7

 4 πx

 4

 4 πx ( x − x cos ) "x ∫ 2  4 0

[

]

2 2 2 1 ¿ x ≥  { 4 − ( 4 ) −( 4 ) }

 4 2

4 π 

4 π 

 4

¿ x ≥

2

0B La "ro0a0ili!a! !e enonrar la "ar;ula era !e L()8 alulan!o la "ro0a0ili!a! !e ,ue la "ar;ula se enuenre en el iner6alo8 &. L ≤ 9 ≤ &.%1 L

¿ 6 2∨¿2 "x 0.51 4

 P =

 ∫

¿

0.49 4

2 πx

¿

√

 4  2

 4

2

sin (¿)∨¿ "x

¿

0.51 4

∫

 P =

¿

0.49 4

 P=

 P=

0.51 4

 ( 1− cos

 4 0.49 4

2

2

1

 4

∫

0.51 4

[

∫

 4 πx

 4

) "x

0.51 4

1 "x −

0.49 4

 ∫

0.49 4

−5

 P=5.41 7 10

cos

 4 πx

 4

"x ]

La

"ro0a0ili!a!

!e

enonrar

la

"ar;ula

en

el

iner6alo

!e

−5

0.49  4 x 0.51 4 es 5.41 7 10

B La "ro0a0ili!a! en enonrar la "ar;ula era !e L(8 al alular la "ro0a0ili!a! !e ,ue la "ar;ula es< en el iner6alo !e &.) L ≤ 9 ≤ &.) L

¿ 6 2∨¿2 "x 0.26 4

∫

 P =

¿

0.24 4

2 πx

¿

√

 4  2

 4

2

sin (¿)∨¿ "x

¿

0.26 4

 P =

∫

¿

0.24 4

Resol6ien!o al igual ,ue el ePeriio anerior −2

 P=3.99 7 10

!B APuse esas "ro0a0ili!a!es on el resula!o "ara el 6alor "ro#e!io !e 9 enonra!o en aB Es #7s "ro0a0le enonrar la "ar;ula era !e 93L( 5 93$L( ,ue en el enro8 !on!e la !ensi!a! !e "ro0a0ili!a! es ero

1.- Una "ar;ula al+a en un n*leo se "ue!e onsi!erar o#o una "ar;ula ,ue se #ue6e en una aPa !e 18& 9 1& -1  # !e an=o el !i7#ero a"ro9i#a!o !el n*leoB. A"lian!o ese #o!elo8 esi#e la energ;a 5 la ani!a! !e #o6i#ienos !e una "ar;ula al+a en su esa!o !e energ;a #7s 0aPo # α 3  9 18 9 1&-) /gB.

L3 18& 9 1&-1 # Se sa0e ,ue 6 2= A sin (

nπx )  4

aB Esi#e la energ;a 2

h ) n2  )n=( 2 8m4  Reemp8a9an"o 8os "a!os :

( 6.626 7 10−34 )2 2  )n= 1=( −27 −14 2 ) n 8 7 4.166 7 10 7 ( 10 )  )1=0.516  &e/ 

0B Esi#e la ani!a! !e #o6i#ieno  )1=0.516  &e/ = )  + ) p  ) p= 0 1

2

 ) = mv = 0.516  &e/  2

7

v =0.4989 7 10 m / seg  p=m 7 v −27

 p= 4 7 1.66 7 10

7

7 0.4989 7 10  g 7

m seg

1.- Un eler>n es7 oneni!o en una aPa uni!i#ensional !e &81&& n# !e an=o. aB Di0uPe un !iagra#a !e ni6el !e energ;a "ara el eler>n en ni6eles =asa n 3 

0B Enuenre la longiu! !e on!a !e o!os los +oones ,ue "ue!en ser e#ii!os "or el eler>n al =aer ransiiones ,ue a la larga lo lle6ar7n !el esa!o n 3  al esa!o n 3 1.

−9

 4=0.1 7 10 m 2

h ) n2  )n=( 2 8m4

(6.626 7 10−34 )2 2 1 )  )n=1=( −31 −9 2 8 7 9.11 7 10 7( 0.1 7 10 ) − 19

 )n= 1= 9.091 7 10

( 6.626 7 10−34 )2 2  )n= 2=( −31 −9 2 ) 2 8 7 9.11 7 10 7( 0.1 7 10 ) −19

 )n= 2=36.364 7 10

(6.626 7 10−34 )2 2  )n=3=( −31 −9 2 ) 3 8 7 9.11 7 10 7( 0.1 7 10 ) − 19

 )n=3= 81.819 7 10

( 6.626 7 10−34)2 2  )n= 4 =( − 31 −9 2 ) 4 8 7 9.11 7 10 7 ( 0.1 7 10 ) −19

 )n= 4 =145.456 7 10

0B Enuenre la longiu! !e on!a !e o!os los +oones ,ue "ue!en ser e#ii!os "or el eler>n al =aer ransiiones ,ue a la larga lo lle6ar7n !el esa!o n 3  al esa!o n 3 1 De n3 a n31 −19

 )4 − )1=145.456 7 10 − 19

136.365 7 10

−9.091 7 10−19 =136.365 7 10−19 − 34

=

6.626 7 10

8

7 3 7 10

 λ

−34

8

6.626 7 10

7 3 7 10 27 0.146 10 =  λ = 7 m −19 136.365 7 10 e/ 

De n3$ a n31 −19

 )3− ) 1=81.819 7 10

− 19

72.728 7 10

−34

=

6.626 7 10

6.626 7 10

8

7 3 7 10

 λ

− 34

 λ =

− 9.091 7 10−19 =72.728 7 10−19

7 3 7 10

72.728 7 10

−19

8

=0.273 7 1027 m

De n3) a n31 −19

 )2− ) 1=36.364 7 10 − 19

27.273 7 10

− 9.091 7 10−19=27.273 7 10−19 −34

=

6.626 7 10

 λ

8

7 3 7 10

−34

 λ =

6.626 7 10

7 3 7 10

8

=0.728 7 1027 m

−19

27.273 7 10

De n3$ a n3) −19

 )3− ) 2=81.819 7 10

−19

45.455 7 10

−34

=

6.626 7 10

8

7 3 7 10

 λ

−34

 λ =

−36.364 7 10−19 =45.455 7 10−19

6.626 7 10

7 3 7 10

45.455 7 10

8

=0.437 7 1027 m

− 19

De n3 a n3$ −19

 )4 − )3=145.456 7 10

−19

63.637 7 10

−34

=

6.626 7 10

−34

 λ =

6.626 7 10

−81.819 7 10−19=63.637 7 10−19 7 3 7 10

8

 λ 7 3 7 10

63.637 7 10

−19

8

=0.312 7 1027 m

[email protected] Un l7ser !e ru0; e#ie luz !e 8$ n#. Si esa luz se !e0e a ransiiones !e un eler>n en una aPa !el esa!o n 3 ) al esa!o n 3 18 enuenre el an=o !e la aPa. Euai>n !e on!a "ara una "ar;ula en una aPa8 9 6a !es!e & =asa L 2 πx

 λ

(¿) 6 ( x )= Asin ¿ En 93& 5 93L las euaiones !e0en !e sais+aer las euaiones !e +ronera

 En 93&8 6 ( 0 )=0  En L3&8 6 ( 4 ) = 0  2 π4

 λ

(¿) 6 ( 4 ) = A sin ¿

2 π4

 λ 2 4

n

=nπ 

= λ

Se sa0e ,ue  p=

h  λ

 p=

h 2 4 n

 p=

 nh 2 4 2

nh ( ) 2 2 1 2 4 p h 2  )n= m v = = =( ) n2 2 2 2m 2m 8m 4

Ree#"lazan!o −9

 λ = 694,3 nm=694.3 7 10

n3) al n31

( ) 2

2

hc h ( 22−12 )= 3 h 2  3 ) = = 2  λ 8m4 8m4

Des"ePan!o L  4=

√ √ 3 hλ

8 mc

=

 4=7.941 7 10

3 7 6.62 7 10

−34

7 694.3 7 10 − 34

8 7 9.11 7 10 −10

7 3 7 10

−9

8

=0.7941 nm

1.- La +uni>n !e on!a "ara una "ar;ula resringi!a a #o6erse en una aPa

 nπ x  ÷   L  

ψ  (  x ) Asen 

uni!i#ensional es  A =

"ara !e#osrar ,ue Con!ii>n !e nor#ali!a! "ara

2

 L

. 6  

. E#"lee la on!ii>n !e nor#alizai>n en ψ 

¿ 6 ∨¿2 "x =1 :

∫¿

−:

o

¿ 6 ∨¿2 "x =1 ❑

∫

¿

en!o"oe8espacio

Co#o la "ar;ula es7 resringi!a a #o6erse en una aPa uni!i#ensional !e o a L

¿ 6 ∨¿2 "x =1  4

∫¿ 0

:ero nπx  4

(¿) 6 ( x )= A sin ¿  )n!onces :

nπx  4

¿ A sin (¿)∨¿ 2 "x =1 ¿  4

∫¿ 0

 nπx  4

sin

¿ ¿

2

 1

 A (¿ − 2

cos

 2 nπx

 4 2

1

) "x =  A 2

 4

2

0

 4

∫ A ¿ 2

0

 4

"x ∫ 1 "x − 2  A ∫ cos 2 nπx  4 1

2

0

2 nπx

 4 2 nπx  4

(¿¿)∨0, 4 1 2 4 2 0, 4=  A  x − A sin ¿ 2 4 nπ 

(¿¿)¿ 0, 4 −

4 2 A sin ¿ 4 nπ 

¿  1  A 2 x ¿ 2

Ree#"lazan!o "ara a!a 6alor 1

¿  A 2 4 =1 2

¿ A =

√

 2

 4

ψ (  x )

= π  ( x + a ) 2

2

)&.- La +uni>n !e on!a "ara una "ar;ula es  "ara a K & 5 - ∞  9  ∞ Deer#inar la "ro0a0ili!a! !e ,ue la "ar;ula se loalie en alg*n "uno enre 9 3 -a 5 9 3 V a. La "ro0a0ili!a! es

¿ π ( x2 + a2)∨¿2 "x a

¿ 6 ( x )∨¿ "x =∫ ¿ 2

−a

:

 p=

∫¿

−:

Resol6ien!o la inegral

¿ p =0.5

ψ  =  Ae( kx −wt )

)1.- Muesre ,ue la +uni>n !e on!a !e"en!iene !el ie#"o solui>n !e la euai>n !e S=roe!inger !on!e / 3 ) π(λ 5 U3&. Saa#os la segun!a !eri6a!a !e 2

; 6  =− 2 6  2 ;x

De la euai>n !e S=ro!inger

6 = A e

(x −w! )



  es una

U Energ;a "oenial E Energ;a Toal

−ℏ2 ;2 6  + < 6 = )6  2 2m ; x 2

; 6  −2 m = 2 ( )−< ) 6  2 ;x ℏ

Dao  =

2 π 

❑

< = 0

 p= ℏ=

 h

❑ h 2 π 

Ree#"lazan!o los !aos 2 2 (2 π )2 (2 π )2 p2 (2 πp )2 p  p = 2 2 = 2 =( )= 2   = h ❑2 ❑  p h ℏ 2

2 π  2

  =

 p

2 2

ℏ

En 2

; 6  =− 2 6  2 ;x 2

2

; 6  − p = 2 6  2 ;x ℏ

Y 2

; 6  −2 m = 2 ( )−< ) 6  2 ;x ℏ

Enones 2

2

−2 m ( ; 6  − p = = 6   )−<  ) 6  2 2 2 ;x ℏ ℏ  p =2 m ( ) −< ) 2

U3& 2

 p = ) 2m

)).- En el e9"eri#eno !e !is"ersi>n !e Ru=er+or!8 "ar;ulas al+a es !e 8&& MeH n*leos !e e ,ue onienen ) "roones 5 ) neuronesB se !is"ersan en un n*leo !e oro ,ue oniene  "roones 5 11@ neuronesB. Si una "ar;ula al+a =oa !e +rene on el n*leo !e oro 5 se !is"ersa !e regreso a 1@&8 !eer#ine aB La !isania !e #79i#o aera#ieno !e la "ar;ula al+a al n*leo !e oro. 0B La +uerza #79i#a ePeri!a so0re la "ar;ula al+a. Su"onga ,ue el n*leo !e oro "er#anee +iPo a lo largo !e o!o el "roeso. aB El "uno !e #79i#o aera#ieno se !a uan!o  )=  + < =0 +

 e 7 1' 7 1 A= r

=r min=

 e 71 ' 7 1 A=  )

Dao  )= 4 &e/  :ar;ulas '   ) "roones -K 1 ' =2 e N*leos !e  A=   "roones -K 1 A= =79 e e =1 e 9

r min=

2

2

9 7 10  > m / c 7 2 e 7 79 e 4 &e/ 7

r min=5.6889 7 10

 1.6 7 10

−3

J 

1 &e/  −14

m

0B La +uerza #79i#a so0re la "ar;ula al+a es  $ =

 e 7 1'  71 A= r min

2

9

=

2

2

9 7 10  > m / c 71 ' 7 1 A=

( 5.6889 7 10−14 m)2

 $ max =11.25 > 

).- Durane un "erio!o "ariular8 un eler>n en el esa!o 0ase !e un 7o#o !e =i!r>geno se o0ser6aJ #il 6ees a una !isania ) &() !el n*leo. Cu7nas 6ees se o0ser6a ese eler>n a una !isania )a &  !el n*leo !urane ese "erio!o !e ) o0ser6ai>n La +uni>n !e !ensi!a! !e "ro0a0ili!a! ra!ial "ara el 7o#o !e =i!rogeno en su esa!o 0ase es

¿

1

−r / a0

e 3

√ π a 0

∨¿ 2

¿ 6 1 ?∨¿ 2=4 π r 2 ¿ 2  P 1 ? ( r )=4 π r ¿ 2

4 π r −2 r / a  P1 ? ( r ) = e 3

0

π a0

 P1 ? ( r ) =

4r

a0

2

−2 r / a0

e

3

 -on"e > es e8 n@mero "e veces1=e se oservae8 á!omo "e hi"rogeno en e8 es!a"o i  P1  > 1

=

 P2  > 2

¿

r 2 6 ( r 2 ) 2 a ∨¿ ( r 1= 0 r 1 6 ( r 1 ) 2

( )

 > 2=

 P1

 > 1=¿

 P2

= = ao  > 1 1000 ( r 2 2 a0 6 ( r ) =

1

−r / a0

√ π a0

3

e

2

 Pr ( r )= 4 π r |6 | 2

 P2= 4 π r 2

 P2= 4 r 2

2

2

 e

|

1

√ π a0

3

 e

|

−r2 / a0

2

=4 r 2

−2 r 2 / a 0

a0

2

 P2= 4 (2 a0 )

−4

 e  P2=16 2 a0

3

 e

−2( 2 a0)/ a0

a0

3

−4

=16 e 2 a0

2

 e

− 2 r 2/ a0

a0

3

 P1=4 r 1

2

 e

−2 r 1 / a 0

a0

3

a a −2 (¿¿ 0/ 2)/ a0

e

3

a0

(¿¿ 0 / 2)2 ¿  P1=4 r 1

2

−2 r 1 / a 0

e

a0

3

=4 ¿

−1

e  P1= a0

( ) −4

 > 2=

 e 16 2 a0 −1

e a0

1000

−3

 > 2=1000 e

 > 2=796.593 ≈ 797 veces

)%.- La +uni>n !e on!a "ara un eler>n en el esa!o )" !el =i!r>geno es 1

ψ 2 p

=

(

3 2a0

r 

)

3 2

e

− r  2 a0

a0

Cu7l es la !isania #7s "ro0a0le !es!e el n*leo "ara enonrar un eler>n en el esa!o )" ψ 2 p

=

Nos !an

1 3 ( 2 a0 )

3 2

r  −r  2 a e a0

0

¿∨¿2 ¿ 6 ∨¿2 =4 π r 2 ¿ 2  Pr= 4 π r ¿ :i!en !isania #7s "ro0a0le8 #e!i!a !es!e el n*leo8 "ara enonrar un eler>n en el esa!o )"8 !eri6a#os  Pr  res"eo !e r e iguala#os a ero −r

( ) −r

; Pr 4 π  3 4 −1 a a = [ + 4 r e r e ] 5 ;r 24 ao a0 0

0

( )

−r

−r

; Pr 1 = 0 B 4 r 3 e a −r 4 e a = 0 ;r a0 0

4r

3

=r 4

0

( ) 1

a0

4 a0 = r

).- Un 7o#o !e =i!r>geno es7 en su ,uino esa!o e9ia!o. El 7o#o e#ie un +o>n !el 1&& n# !e longiu! !e on!a. Deer#ine el #79i#o #o#eno angular "osi0le !el eler>n !es"un. :ara el %o esa!o e9ia!o !el 7o#o !e =i!rogeno8 n38 =alla#os la energ;a en ese %o esa!o La energ;a ,ue "ier!e uan!o e#ie un +o>n !e 1&&n# es 8 −34 hc   6.62 7 10 J .s 7 3 7 10 m / s =  λ 1090 7 10−9 m7 1.6 7 10−19 J / e/  hc =1.387 e/   λ

 Al +inal el 7o#o ,ue!a on la energ;a hc  )n− =−0.387 e/ −1.387 e/ =−1.5167 e/   λ

Esa energ;a orres"on!e al $ er esa!o −13.6 =−1.51 e/  2 3

Si n3$ -K 8=0,1,2  4=√ 8 ( 8 + 1 ) ℏ

Mo#eno angular :i!en

 4máx

8máx =2

-K

 4máx =√ 6 ℏ -K )@.- Cu7nos onPunos !e n*#eros u7nios son "osi0les "ara un eler>n en el ual aB n 3 18 0B n 3 )8 B n 3 $8 !B n 3  5 eB n 3 % Heri+i,ue sus resula!os "ara #osrar ,ue onuer!an on la regla general !e ,ue el n*#ero !e onPunos !e n*#eros u7nios es igual a ) n ). aB n31 -K l3&2 #l 3&2 #s 3 C 1 / 2  4=√ 2 7 3 ℏ

n  1  1

l & &

#l & &

#s -1() V1()

ConPuno !e Ws u7nios "osi0les 3) )n)3 )1B) 3) 0B n3) -K l3&81 n )

l &

#l &

#s

)

1

-1

C 1 /2

)

1

&

C 1 /2

)

1

1

C 1 /2

C 1 /2

ConPuno !e Ws u7nios "osi0les 3@ )n) 3))B)3@ Tener en uena ,ue el onPuno !e Ws u7nios "osi0les es !os 6ees el n*#ero !e #l "osi0les "ara el ni6el n. A!e#7s "ara a!a lsu0ni6elB =a5 )lV1B 6alores !i+erenes !e # l. :or *li#o l8 o#a el W !e onPunos n− 1

∑ 2 (2 8 +1)

!e W u7nios "osi0les

0

8 esa e9"resi>n es una

"rogresi>n ari#<ia )VV1&V1V u5a su#a es7 !a!a "or n

[ 4 + ( n −1 ) 4 ] = 2

2

4n 2

= 2 n2

B n3$ -K W !e onPunos !e Ws u7nios "osi0les 3)$B ) )1BV)$BV)%B3)VV1&31@2 )n )31@ !B n3 )1BV)$BV)%BV)B3$)2 eB n3%

)n)3)B)3$)

)1BV)$BV)%BV)BV)B3$)V1@3%&2 )n )3)%B)3%& ).- Un #es>n ρ iene arga !e Xe un n*#ero u7nio !e es";n !e 1 5 una #asa !e 1%& 6ees la !el eler>n. Si los elerones en los 7o#os +ueran susiui!os "or #esonesρ8 enu#ere los "osi0les onPunos !e n*#eros u7nios "ara #esones ρ en la su0a"a $!. Mes>nρ arga 3 -e2 S31   Masa31%&# e La su0a"a $! iene l3) 5 n3$8 Co#o son #esones -K S31 :or ano8 se iene n3$2 l3)2 #l3-)8 -18 &8 18 )2 S312 #s3-18 &8 1 Con esos 6alores8 se "ue!e onsruir la siguiene a0la n l #l S $ ) -) 1 $ ) -) 1

#s -1 &

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

-) -1 -1 -1 & & & 1 1 1 ) ) )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 -1 & 1 -1 & 1 -1 & 1 -1 & 1

$&.- Un eler>n es7 en la a"a N. Deer#ine el 6alor #79i#o !e la o#"onene  !e #o#eno angular. La arga N es el ni6el n38 en ese ni6el l "ue!e o#ar 6alores !e &8 18 ) 5 $. :ara a!a 6alor !e l8 # l "ue!e o#ar 6alores !es!e Xl =asa l. :or lo ano8 el 6alor #79i#o !e # l3$. La ani!a! !e #o6i#ieno angular se =alla on la siguiene e9"resi>n L 3 #l ℏ 2 o#o "i!en el 6alor #79i#o !e L enones o#a#os #  l #79 3$ L #793

3ℏ

3

3h 2 π 

$1.- Enuenre o!os los 6alores "osi0les !e L8 L z 5 θ "ara un eler>n en el esa!o $! !el =i!r>geno. :i!en L8 L 5 + En el esa!o $! n3$ 5 l3) h  4=√ 8 ( 8 + 1 ) ℏ= √ 6 ℏ = √ 6 Enones 2 π 

 4=√ 6

− 34

 6.62 7 10

J .s

2 7 3.14 −34

 4=2.58 7 10

J.s

#l "ue!e o#ar los siguienes 6alores -)8 -18 &8 18 ) Enones Lz "ue!e o#ar los 6alores siguienes −2 ℏ 0 −ℏ 0 0, ℏ  y 2 ℏ Enones

4D  :−2 ℏ 0− ℏ 0 0, ℏ  y 2 ℏ

:ara =allar los 6alores "osi0les !e θ usa#os la relai>n os θ3 ene#os −2 ℏ cos+ = √ 6 ℏ  2 θ318$%

 4 9  4

8

cos+ = cos+ = cos+ = cos+ =

 −ℏ

 2 θ311.&@

√ 6 ℏ 0

 2 θ3&

√ 6 ℏ ℏ

 2 θ3%.

√ 6 ℏ 2ℏ

 2

√ 6 ℏ

+=35.264

$).- La o#"onene z !el #o#eno #agn<io !el es";n !el eler>n es7 !a!a "or el #agne>n !e ?o=r8 µs 3 e=() #. Muesre ,ue el #agne>n !e ?o=r  iene el 6alor nu#
eℏ 2 me

−34

8 e31.1&-1C8 −24

 EF =9.26 7 10

J 

h 6.62 7 10 J . s  = =1.055 7 10−34 J . s ℏ= 2 π  2 7 3.14

1 e/  c.s 7 g 1.6 7 10−19 J 

 EF =5.79 e/ / T 

$$.- Cu7l on+igurai>n eler>nia iene una energ;a in+erior [ Ar ]$!s) o [ Ar ]$!%s1 I!eni+i,ue ese ele#eno 5 analie la regla !e un! en ese aso. El su0ni6el s llena "ri#ero "ara el "oasio 5 el alio8 anes !e ,ue el su0ni6el $! e#"ieza a llenar la a"a a ra6n !e energ;a #7s 0aPo. De =e=o se !e0e8 "or ZAr[$! %s1 es el esa!o +un!a#enal "ara ro#o. $.- DiseOe una a0la si#ilar a la ,ue se #uesra en la +igura "ara 7o#os ,ue onienen !e 11 a 1 elerones. E#"lee la regla !e un! 5 su"osiiones a "arir !e esa in+or#ai>n. Con+igurai>n eler>nia 11e- Z1s))s))"[V$s1 enones Na 11 1)e- Z1s))s))"[$s) enones Mg 1) 1$e- Z1s))s))"[$s)$"1 enones Al 1$ 1e- Z1s))s))"[$s)$") enones Si 1 1%e- Z1s))s))"[$s)$"$ enones : 1% 1e- Z1s))s))"[$s)$" enones S 1 1e- Z1s))s))"[$s)$"% enones Cl 1 1@e- Z1s))s))"[$s)$" enones Ar 1@ 1e- Z1s))s))"$s)$"[s1 enones 4 1 $%.- Si use! !esea "ro!uir ra5os 9 !e 1& #n en el la0oraorio Cu7l es el 6olaPe #;ni#o ,ue !e0e usar al aelerar los elerones

hc  λ = 10 nm 2  )= = e G /   λ G / =

:i!en

hc  λe

HolaPe #;ni#o "ara aelerar los elerones.

−34

8

J .s 7 3 7 10 m / s =124.125 /  G / = −9 −19 10 7 10 m 7 1.6 7 10 J / /  6.62 7 10

$.- La longiu! !e on!a !e ra5os 9 araer;sios orres"on!ienes a la l;nea /β es &81%) n#. Deer#ine el #aerial en el 0lano. Lo rayo B /β e eien cuan$o Cay una ;acane en el (n 6 1) ca4a D y un elecrón $e la (n 6 3) " cae $e la ca4a 4ara llenarlo A coninuación, ee elecrón eá  4roegi$o 4or lo nue;e elecrone, 4aE $e origen y 4or una en u ea$o 8inal 2 2 13.6 ( D −1 ) hc −13.6 ( D −9 ) = e/ + e/  2 2  λ 3 1

−D 2 9

+

−34

6.62 7 10 0.152 7 10

−9

18 D 

81

9

9

−

+ D 2−2 D + 1 8

J . s 7 3 7 10 m / s −19

m 7 1.6 7 10

J / e/ 

=13.6 e/  ¿

2

3

8.17 7 10

=13.6 e/ (

8 D  9

−8 )

2

601=

8 D  9

−8

D =26

$.- Se !is"aran elerones =aia un 0lano !e ?i 5 se e#ien ra5os 9. Deer#ine aB la energ;a !e ransii>n !e la a"a M a la L "ara el ?i8 5 0B la longiu! !e on!a !e los ra5os 9 e#ii!os uan!o un eler>n !esien!e !e la a"a M a la a"a L. aB Su"onga#os ,ue el eler>n en la a"a M es7 "roegi!o !es!e el n*leo en !os 4 #7s siee elerones L. Su energ;a es −13.6 e/  ( 83 −9 )2 =−8.27 e/  2 3

−13.6 e/  ( 83 −2 )2 2 22.

¿

2

=−22.3 e/ 

$-@.)B /eH31/eH

0B Su"onga#os ,ue8 !es"ulo !os elerones !e la a"a 4. Su energ;a es hc G )=  λ

 λ =

−34

8

J .s7 3 7 10 m/ s =8.85 7 10−11 m 3 −19 14 7 10 7 1.6 7 10 J 

6.62 7 10