6 Ecu aci on es 1.
Expresa ca da enunciado u sando ig ualdade s algebraicas. Indica si
son identidades o ecuaciones.
a) El perímetro de un rectángulo q ue mide 5 cm más de ancho que de largo, es igual a 2 2 cm. b) El triple de un número má s el doble del número, es cinco veces e l número. c) El cuadra do de un número es igual a la suma de los cuadra dos de otros dos números. a) 2x2+ ( x5+ 2 ) 2= . Ecuación b) 3x + 2x = 5x . Identidad c) a2 = b2 + c 2 . Ecuación
2.
Indica cuáles de las sigu ientes expresiones son id entidade s. a) 7 x 3 5x 3x3 9
x11
b) 7 x 3 5
x
3
x9
c) 4 x5
3
0
d) (2 2 )532
3
. Identidad
b) 7x x−5 +x 9 = 7− 5+ 9(x =x 11 =) 0 3
n 2 3 216
n
a) 7x 3 x−53 x3 +9 = 7−5+(x93 x3= 11 ) 3
20 x 2
x
3
3
3
. Ecuación
2
c) 4x 5⋅ x =20 x . Identidad d) (2 2⋅) =5⋅23 2 n
3.
3
=5 +2 ) (·2
n
nn
3 15+ = ·2 2 n=
3+n 15 +1
= 2+ ⋅3 16 23 216
Comprueba, en cada caso, que el valor a) 3x 2 5 2x 0 b) 2(3x 5) 4
, para x
6
x
propuesto es solu ción de la ecuación. c)
1
x
, para
de
. Identidad
x
x
1
2x
3
d) 3x 2
2
a) 3·12 −5·1+ 2= 3− 5+ =2 0
c)
4 −1 3
x
2
7 , para
x
0 , para
x
4
2 3
3
− 2· 4= − =8 −1=8− 7 3
2
b) 2(3·2 −5−) 4 ·2= 2· −6(−5 = 8) − 2=− 8
2 2 42 426 d) 3 + 23· − = 2+ − = + −0 =
6
3
4.
3
93
333
Inventa el enunciado que se resuelva utilizando cada una de estas ecuaciones. a) 3 x 5 2 6
b) 5 x 4 21
Respuesta abierta. Ejemplos:
a) Si al triple de la edad de Ana se le suma 5, el resultado es 26. ¿Cuántos años tiene Ana? b) Halla un número que multiplicado por 5 sea 4 unidades mayor que 21.
5.
Escribe una ecuación que se cu
mpla para
Respuesta abierta. Ejemplo: x − 3 = 0 .
148
Unidad 6| Ecuaciones
x
3.
6.
Claudia tiene mo nedas de 1 € y de 2 €. En total tiene 10 monedas. a) Expresa los datos de l enunciado usando una ecuación. ¿C uántas variables necesitas? b) ¿Puedes e ncontrar más de una solución? c) ¿Es posi ble que algu na de las soluc ion es sea negativa? ¿Y que sea decimal? d) No todas las soluciones de la ecuación son válidas. ¿P
or qué? Encuentra las soluciones que sirven.
a) x + y = 10 . Se necesitan dos variables. b) Hay más de una solución: 1 y 9, 2 y 8, etc. c) Son posibles ambos casos como solución de la ecuación, pero no tienen sentido como solución del problema. d) Solo son soluciones válidas del problema cantidades enteras entre 0 y 10 (suponiendo que puede no tener monedas de 1 € o de 2 €). Las soluciones serían 0 y 10, 1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6, 5 y 5, 6 y 4, 7 y 3, 8 y 2, 9 y 1, 10 y 0.
7.
Comprueba si las siguientes ecua a) 10 x 3 3 b) 2x x5
ciones cuya solu ción es c)
x 24
8 x9 x 5(
d)
5)
a) 10x +3 =x3 + 24⇒x1x 0 − 3= 24 x− ⇒ 3x7 = ⇒21 =
2x
2x5−
x 35
+ = ⇒1
x
4
4
2
= ⇒1 3− 5=4⇒ x3 9= ⇒ = 3 x
x
4 9
7 x 1 22 .
1
0
. Sí es equivalente.
3
x−
5 4
b) 2x +x5− 8x+9x= 5( + 5) x⇒ x 2+ x 9 +x5 ⇒ 25 x1= 1 ⇒33= −5x +8 = c)
3 son equivalentes a
x
. Sí es equivalente.
3
x
. Sí es equivalente.
4
d) x 2 − 9=0 ⇒ x = ± 9x ⇒ x = 3 y 3= −
. No es equivalente.
8. Escribe tres ecuaciones que sean equivalentes a
3x 5 7
x15
usando las reglas de la suma y del
producto. Respuesta abierta. Por ejemplo: 3x5− =x7 15 + → xx3+5 7= 2 +0 3x −5 =7 15 x+
−3 x 5 −4 =15 +x →
10 3x5− x= 7 1 +5 x −3→ x1 5− 7 =5
9.
+
Escribe ecuaciones equivalentes a
2(3 x 4) 7 4
x 11
realizando los siguientes pasos.
1.º Resta 7 en ambos m iembro s. 2.º Divide ambos miembro s entre 2. 3.º Suma 4 en ambos miembr os. 4.º Resta 2 x en ambos miembros. ¿Qué resultado has ob tenido? 1.º 2(3x −4) =4 x +4 2.º 3x −4 2= 2x + 3.º 3x = 2x + 6 4.º
x
=6
Se obtiene la solución de la ecuación:
x
= 6.
Ecuaciones | Unidad 6 149
10. Apli ca la regla d e la sum a para encon trar la so lu ción de estas ecuaci on es. a) 14
b) 18 2 x–8 c) 12–
e) 2 x– 5 3
10 35
x
x
f)
– x25
12–2
–3 x
x6
7 – 10
g) – 1 10 x
x
d) 7– 5 x 12– 4 x–1 7 − x10
= 10 − − 3 5⇒14= 10 14
11
–4 x
11x
h) 3 x – 7 1 –
a) 14 + x+ 10 = 3⇒ 5 +14+ −
– 6x 5
8
x
x
a) 18 +2 8x− x= − 25⇒ 18x+ 2 −8 −x18−x + 8= − x 25 − x 18 − + ⇒8= −
35
x − + x12 =2 x−12− 2 x+x1 2⇒2 = 0 b) 12 − x= 12− x2⇒ 12 − c) 7 −5 x= 12 − x 4 − ⇒17 x− − 7 +5+ x12 x17 = −5 −12 − 4x+ +17 x 12 ⇒ 17 = 5
12
d) 2x −5 +3x x=6 −6 ⇒ x2 5 −x3+x x2− 3−x 6+ 6=x x6−2− 3− x6+1 ⇒ = e) −3x+ 7−10=−x4 + 5⇒ + 4− + 7 10 + + ⇒= x− 3+ −7 x 10 x x=− 4 x5 4− +7 10 f)
8 − + 1x10 −1+ 10 =x x11+ ⇒ x −
10 10 8 −x = 8x +11− 8 −x ⇒− =
9
g) 3x 7−1= −x⇒ 3x 7 x− 7+1+ xx= − 7+ x+4 ⇒ 8 x = 2⇒ =
11. Utiliza la regla del producto para despejar a) 3 x b)
x
18
c) 6 x d)
8
x
. (Es necesario utilizar la regla del producto)
en las ecuaciones si guientes. e) 5
11 1
2x
2
a)
x
=
3
=6
b) x = 2·8 = 16
c) x = d)
x
=
6 1
−2·3
=
−1 6
e)
5
c)
27
b) 3 x –1 1 –2 x– 6 a) 2x −2= 27⇒ 2 = x29 ⇒ =
f)
x=
7
12·7
−3
= − 28
xx −x9=x−
7+ ⇒ 3 8 = 12 ⇒=
2x − 4− 7x 3 −5=x − −16
13. Acti vidad res uelta.
150
Unidad 6| Ecuaciones
x4 ⇒− x4=−
1
=⇒ 4
3 2
=
21
3
14
2
1 7
3=x ⇒1 =
1
x
3
en cada caso.
f)
8
⇒1 =
7·3
x
d) 7x +4 13 = 4 +x⇒ x3 9 = x ⇒ =3
f)
4
=−
d) 7 x 4 1 3 4
12
9 14 21 = e) 2x −15 +3+5x =−xx−4 3+ x⇒ x = ⇒
x
3x
4 3
e) 2 x– 15 3 5 x
2
=
h)
x =−
3
–9
b) 3x 11 − =−2x x−6 ⇒ 55 x =⇒=1 c)
1
– 7x
x
29
x
3x 4
g)
=x
12. Utiliza las reglas de la suma y del producto para despejar el valor de a) 2 x–2
h)
12
7
11
3 7
g) 3 x
7x 3x
f)
3 18
8
2 x – 4 – 7 x– 3
x –4 x
5–
–3
9
–1 x 6
14. Encuentra las solucion es de las sigui entes ecua ciones. a)
2
x x
2
5x x 4
b) 7 x 2 5 2
2
x10
x
2
c)
2
2x 2 7 2
d) 12x
2
2
1x 2
4 2(6
x
x
2
x7)
a) x x2 + + xx=5 4+ x − ⇒ 22x + =5 4− x⇒ 2 7= 3 x ⇒=
7
b) 7x +2 =x5 +10+x 2x ⇒ 7 x+ 2= 7 + ⇒ 10 =2 10
. No tiene solución.
2
2
2
2
3
2
c) −2x +7 = 2−x 1 x− + 7⇒ 1 x=− +8x ⇒ = 2
2
2 x2 7) 12 x2 + =4 12x 1 4= x4+ ⇒ 2 x1 d) 12x 2 +4 =2(6 + x+ x ⇒ + +2 ⇒ − =4
10 ⇒ − =2
5
15. Acti vidad res uelta. 16. La solución de una ecuación es
x 2 . Encuentra la ecuación, sabiendo que para resolverla se han seguido los siguientes pasos a partir de la e cuación ini cial:
1.º Sumar en ambos miembros
3x
5
.
2.º Dividir ambos por 3. 3.º Restar 5 x en ambos miembros. 4.º Dividir ambos miembros p or 2. 5.º Restar 2 a los dos miembros. Se realizan las operaciones a la inversa: 5.º
x
+ 2=2− +2 ⇒ +2 x0=
4.º 2 ( x +2 = ) 2·0⇒ +2
4x 0 =
5x = 05 7 3.º 2x +4 + +x x⇒
4+x 5=
x ⇒ x 21 + x=12 1 5 2.º 3 (7 x +4 =) 3·5
1.º 21x 1+ 2− x3 (− = 5)x x15 − ( − 3x)⇒ 5 +x18 =
+17 12
5
17. Indica si las si guientes ecuaciones son de primer grado. a) 3 x 1 2(5 b)
3
x
5
x
c) 3( x 5) 3 (
4
2x
3
5
5
x
1
6)
d)
x
2
x
5 9 6x x 4
e) 3x 2 5
x
5(20
2
)x
2 x
2) 9
f)
2x 2 3
5 x 1 x 3 4
0
a) Sí es de primer grado. b) No es de primer grado porque hay x en el denominador. c) No es de primer grado (al resolver, se comprueba que es una identidad). d) Sí es de primer grado (aplicando la regla de la suma desaparece el término de segundo grado). e) No es de primer grado (simplificando resulta 3x 2 =100 ). f) Sí es de primer grado.
Ecuaciones | Unidad 6 151
18. Resuelve las si guientes ecuaciones de pri mer grado. a) 5 x 4 4 9
c) 4 x 5 7
b) 3 8 x
d) 3 x 2 5x x7
5x
a) 5x4+ =49 ⇒5 =45x⇒ = 9 b) 38+ 5x=3x3 ⇒ x
9x 8
1 x
f)
7
x x
4 1 5 x 2 8
4x 9 5 3 x
6
x
x
=− x⇒1 =− 20
c) 4x −5 x=7 +15 x⇒x−3 = 20⇒ = −
3
d) 3x x+2 −5 x −7 +x9 =8 x1− +7 x ⇒−24 x=− 12 ⇒= e) 7x7+ x− x= 4 1+ x5+2 8− 0x⇒ f)
e) 7 x7
x15
4x 9 + =5 x 3 −x −6+ x⇒ 0
=0
6=−
1 2 . Es una identidad.
. No tiene solución.
19. Resuelve estas ecuaciones de pri mer grado con parénte sis. a) 2( x 1) 3 9
d) 3(6 x 10) 5 (2 4 )x 25
x1
b) 5 x 4(2 x 7) 1 3
e) 2(7 x 1) 3 (3 x 6) 5 (11
x
6) 196
c) 6(2 x 3) 1 0(2 x 5) a) 2(x −1) +3 =9 ⇒x2 −2 +3 =9x⇒x2 =8 ⇒ = 4 b) 5x −x4(2 7− =) 13 ⇒−x =−3 ⇒ 15 = x ⇒ 5 − 8 + 28 x= 13
5
c) 6(2x −3)= 10(2 x − 5) x⇒ 12 x = 18 x20 8 = 32 − − ⇒−x50 =− ⇒
4
d) 3(6x −10) − 5(2 − x 4=x) 2−5⇒ x 1 −18− x+30 x = 10x 20 − ⇒x 25= ⇒1 =13 e) 2(7x −1)−x 3(3− x−6) 5(11 + = x6)⇒ x1 96−x − 14 + −2 9− =x 18 5x⇒− 5
39
3
= 30 1⇒ 96=−
50
21 5
210
20. Resuelve estas ecuaciones de pri mer grado con denominadores. 1 4
a) 3 x
1 3
2x
b)
2x 3 5
c)
3x 1 5 2
5 6
4x
1
d) e)
4
7x
d)
7 x+
−
f) g)
152
12
x
56 4
x −−2
x
−
12
5x + 7
x x4 − − 10 →
=
6
9
9 x −1 x6 + 6 x 3 12
+−
8
5 x 7 10 4 x 6 9
9x 1 6 12
6 x 8
3
16 x 10 15
12
=
12 4
5
x +15 x +21 8 = →2 −
3
+ − 632−13x1 e) +
g)
2
x =−1 =− →1 3− 1 +x 5 x+7= −2 →8 x =8− →
2
5x +7 x2+ 1 4
3 x1 2 3 x1 6 4 12
5
x
x15→ =− 1 =x −4+x 3→ x2 − 3=x20 +
5
+
=
3 6 4
23 b) 2x3 − + 1= 4 +x4→
2
x
6
f)
2
3
1 5 1 4 10 3− +3 − 1 −
1 5 1
3 6 4
3x −1 5
1x
4
1
2
a) 3x − 2x= − + → = − + x=
c)
5x 7 2
= → 12
+ − 15 + =21 x→ 8 4=x 24 →( =7 7 )x 1x
12 − =·60 →·60 − 7+ 2 −12− 3 x−0x=1→0=x30 = 45 x5 12 x 18+
36 −x 15
−
21
x→
=
18
16x 9 0 x−10 + +90 −x
=→
10 15
Unidad 6| Ecuaciones
4 2 4 12
18 90 36
120
20 8
−x + x = x + + →18 = =
18
128
= →
= →= =
120
15
1
8
−
20 36 21
48 1 144x 48 x 144 3
77 11
7
21. Acti vidad res uel ta. 22. Encuentra la solución de la ecuación en cada caso. a) a) b)
2(3 x 7)
5( x 3)
5 2(3x +7)x 5( −
+
5
3)
3(4x +1) x 6( − 5
7 x=
6
18
=⇒
3)
=
75
⇒=
0
10
)(
x5+ 1 1x −72x 144 + 10 2 3 =⇒ + =x ⇒ x =
4
6
4
10
⇒=
37 37 1
+ −= ⇒ −=18x 3 −512 − 3 =x76 18 x⇒ 3·5·7
(
⇒ −6 12 +
c) 3(2 x 4)
3
28 25
1
5
5x 1 +1
c) 3(2x4)− +
x
5
− 12 −
1+ 10
2
x + x12− 3 6 = ⇒3 −
3)
−
7
5
6(
7
+x 6 −1 4 5x 1 5+ x 1 + −⇒ =
x
−=⇒
2
3(4 x 1)
b)
1
2
12
12
x
36 x
1
1
6
4
x
2
)
⇒ = 82 145
12
5x
145 82
23. Acti vidad res uelta. 24. Resuelve las siguientes ecuaciones. a)
x (2 x
5) 2(
x
2
x (2 x
b)
1) 1 2
3
a) xx(2 5−x )−2( −1)= x12x⇒ x 2 − 5− 2 + x =2 12 ⇒ x − = 5 ⇒10=− 2
2x x−5 x 4 −1− 29 2
b)
2
2
3
2
−
6
6
=
x− 4 x x10
⇒
6
2
−4−
2
6
−
1
29
=
6
⇒
5) 4
−
x
2
1 6
29 6
2
−
2 4 += − x x ⇒ x 10 − − =4 ⇒1=2 29x
10x
30
3
25. Julio ha ido de comp ras. E n la prim era tienda se ha gastado las dos t ercera s partes de su dinero, y en la segunda ha gastado las tres cuartas partes de lo que le quedaba. Para volver a casa le quedan solo 10 €. ¿Cuánto se ha gastado en total? ¿Cuánto gastó en cada tienda? Llamamos x a la cantidad inicial. En la primera tienda gastó
En la segunda gastó
3
2 3
x=
2x 3
2x
x −3
4
.
3
43= 4·
x
=
x
.
Como le quedan 10 €, la ecuación que hay que resolver es: 2xx x x8 3 120 + + = 10⇒ x + + = ⇒ + xx + 3 4 12 12 12 En la primera tienda se gastó:
En la segunda tienda se gastó:
2x 3
x 4
=8x x3⇒120=12 ⇒ 120
=
2·120
=
120
3
4
Salió con 120 €.
= 80 €.
= 30 €.
En total, se gastó: 80 + 30 =110 €.
26. Problema resuelto.
Ecuaciones | Unidad 6 153
27. Tres amigos han trabajado en una obra, cobrando
según las h oras trabajada s. Alberto ha trabaja do 2 horas más que Ca rolina, y Marcos ha trabaja do el dobl e que los otro s dos juntos. a) Si en total han trabajado 48 horas, ¿cuántas horas trabajó cada uno de e llo s? b) Si por una hora de trabajo cob ran 20 euros, ¿cuánto cobrará cada uno? a) Como Carolina es la que ha trabajado menor tiempo, llamamos x al será el número de horas de trabajo de Carolina. Alberto ha trabajado
x
+ 2 , y Marcos ha trabajado 2 ( x + x+2= 4) 4+ x
4x +4x+ x+ 2+ = x 48 x⇒ 7 =4 2⇒ = 7 ⇒ 6+ 6= x48
.
.
Carolina trabajó 7 horas, Alberto trabajó x+ 2= 7+ 2 = 9
horas y Marcos trabajó 4x+ 4 = 4·7 + =4 32
horas.
b) Carolina cobra 7·2 0 = 140 €, Alberto, 9·2 0 = 180 € y Marcos, 32·20 = 640 €.
28. Problema resuelto. 29. Marisa tiene 43 años y tres hijos. El pequeño tiene 2 años menos que el mediano, y este tiene tres años menos que la mayor. Ca lcula sus edades sabiendo que dentro de 3 años la sum será igual a la edad que tendr á la madre. Llamamos x a la edad actual del hijo menor. El mediano tiene Dentro de tres años: ( x) +x(3 ++
x)+(2+ 3+
x
a de las eda des de los hijos
+ 2 , y la mayor x + 2+ = 3+ x 5 .
3 3 + 3x= 16x⇒46 =3 ⇒30= ) + =5 3 x+4 ⇒
10
El pequeño tiene 10 años, el mediano tiene x+ =2 10 + = 2 12 años y la mayor, x+ =5 10 + =5
15 años.
Comprobación: Dentro de 3 años tendrán 13, 15 y 18 años, y sumarán 13 +15 +18 =46 años, que será la edad de la madre.
30. En un concurso dan 5 puntos por cada respuesta correcta y quitan 3 puntos por cada fallo. Inma ha con testado a 25 pregun tas, y lleva 69 punt os. ¿Cuántas ha a certado? Si llamamos x al número de aciertos, tendrá 25 − x fallos. Por tanto, 5x x−3 25 x ( − =⇒ )69
− = 5x +75=x3⇒ =69x 8 ⇒ 144
18
Inma ha acertado 18 preguntas. Comprobación: Ha fallado 25 −1 8 =7 respuestas. Por tanto, lleva 5·18 − 3·7= 90 − =21 69 puntos.
31. En el taller de Amparo hay coches y motos. En total son 40 vehículos. Al contar las ruedas, le salen 94 ruedas. ¿Cuántas motos hay? Si llamamos x al número de motos, hay 40 − x coches. Como cada moto tiene 2 ruedas y cada coche tiene 4: 2x 4+ 40 x 2 x+ 1 60 − 4x= 94 ⇒ −x = 2− ⇒ 66= (x − = ⇒)94
− 33 = 7 Hay 33 motos y 40 − x= 40
33
coches.
+ =28 94 Comprobación: 2·33 + 4· 7= 66
32. Ricardo ha pensado un número, le ha sumado 8, ha multiplicado el resultado por 2, ha restado 4 y ha restado el doble del número ini
cial. Al final ha obtenido
12. ¿Puedes decir qué número eligió?
Llamamos x al número que pensó Ricardo. x12 x +2− − 16 =4 ⇒2 ( x + 8 )·2− 4−x 2= ⇒
=12
12 1 2
No es posible saber el número, ya que se obtiene una identidad. Para cualquier número, el resultado de las operaciones de Ricardo es 12.
154
Unidad 6| Ecuaciones
33. Opera y expresa como una ecuación de segundo a) 2 x(3 x
5) x7 x(1
b) 3 x 2x
x (5
c) 2 x(5 x
e)
x
1) x8
2
2(
7
grado e indica si son co mpletas o incom pletas.
10
3 ) 42 x 6(
1)x 6
d) 3 x 5xx(
)
7)
5) 0 8
4 x( x 2) 3 ( x 7) 12
2 a) 2x(3 x −x + ⇒ x 6 x x−x10 + 7 − 7 +x 10 =x ⇒ 5) 7x(1 −) = −10 0− −2 + 3= 10 0
b) 3xx + x(5 −3 ) −42 x =6( x −7)x⇒ x 3 2
+ 5−x 3 − −42 6x+ 42 = ⇒ 0− = 2
2
c) 2x(5 1) −x −6x +2( − 5)= ⇒ x 0 x10 x −x − 2 + 6 − x2= ⇒ 10 0− =4 2
2
2
2
d) 3xx+x5( 1) x− 8+ 7− =8 − x⇒ 3 x x+5x −5 +8 −7 +8x=0 x⇒5
. Incompleta.
10 0
e) −x4x( −2) x + 3( + = 7) 12 ⇒ x−xx 4 + +8 + 3− 21 =x 12 ⇒ x− 0 + 4+ = 11 9 0 2
. Completa. . No es de segundo grado.
0
+6 +1 =0
2
2
2
2
. Completa. . Completa.
34. Halla las sol uciones de l as siguientes ecuaciones. a)
0
c) 5 x 2 20 0
e) 4 x 2 100 0
b) 5 x 2 20 0
d) 3x 2 27 0
f)
a) x 2 = 16⇒ x=± 4
c) 5x 2 = − 20 . Sin solución
e) 4x 2 = −100 . Sin solución
b) 5x 2 20 = ⇒ 4 x=2 ⇒ = 2±x
d) 3x 2 = − 27 . Sin solución
f)
x
2
16
35. Resuelve las si guientes ecuaciones de segundo a) b)
x
2
x
2
8x 8x
4x 2 = 100 ⇒ x=225⇒ =± x5
grado.
0
c) 5 x 30
0
d) 7 x 28
2
2
4 x 2 100 0
x0
e) 7x 2 12
x0
x0
f)
x0
a) xx ( + 8 )=0x⇒ =x 0, =− 8
c) 5xx ( 6+ 0)= x⇒ =x0,
6 =−
x = x 0, =8 b) xx ( − 8=) 0⇒
d) 7xx ( 4− =0) ⇒ x =x0, =4
18x
2
9
12
e) xx( 7 +12 )=0x⇒x = 0, =− f)
9xx2( 1− 0)= x⇒ x=0,
=
7 1 2
36. Indica el número de soluci ones de cada e cuación si n resolverlas. a) b)
x
2
5x
4
0
2
2x 3 5x 0
c) 4 x 2 12 x 9 0 d) 3x 2 5 8x 0 2
a) ( −5 )− 4·1·4 = −2 5= >16 9 0 . Dos soluciones b) 32 −4· − ( 2 ·5 )= +9 =4 0 > 49 0
. Dos soluciones
2
c) ( −12−) 4· =4· 9− 14=4 144 0 . Una solución 2
d) ( −5 )− 4·3·8 = −2 5=−96<
71 0
. Sin solución
Ecuaciones | Unidad 6 155
37. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 3x 2 3 x 18 0
c)
x
b)
d)
2
x
2
a) x =
7x 10 0
3 ± −( 3 )−
2
4·3· −( ) 18
3 ± 225
=
2·3
=⇒
=7
c) x =
d) x = e) x =
1·10 ( 7) 2·1(4· −( ))
7 ± −( − 7)
2
−( )1(−· 10 4· )
2·1( −
)
−8 ± 8 2 −4·1·16 =
2
=
2·9
f)
7 ± −( 7)− 4·5· −( ) 6
−8
==
5 x 7 6x 0
4
24 ± 0
24
18
18 3
7 ±169
=
2·5
6
2
2
( −24 ) −4·9·16
2
x=
16 0
x = 6 = 3 x = 3 − 15 = − 2 6
3 15±
6
−8 ± 0 −= =
2·1
24 ±
f)
8 x 16 0
x
2
7 + 89 7− − 89 = x = 2 =2 7 ±− 89 ⇒ −2 7 −89+ − 7 89 x= = 2 −2 7+3 x = = − 5 7± 9 −2 = ⇒ 2 − x = 7 − 3 = − 2 −2
2
x
e) 9x 2 24
7x 10 0
3 + 15
± − − −
b)
x
2
=⇒
10
4
7 + 13 x= =2 10 7 −13 3 x = 10 = − 5
7 13 ± 1 0
38. Halla la sol ución de las ecuaciones siguientes. a) 2x 2 6(2 x 1) 1 b)
x (4 x
6) 1 4
x
d)
5
c) 3x 2 9 (2 x
x 2)
(3 x 1) 2
x
6 1− a) 2x x−12+=⇒ x 2 x +=⇒12 = x5 0 2
=
2
⇒=6x2 0 b) 4x 2 x−6 1+−x 4−=⇒ −5+x 4x = 10
(3
12 ±
156
2 x8x ) 6−0= (1−1⇒
⇒
4
2 ( −10 ) −4· 4·6
10 ±
16
f) 1 −2 +xx +x32 −1= 20⇒4
(
Unidad 6| Ecuaciones
⇒
12 ± 104
⇒
2· 4
10 ± 2 8
18 ± 18−2 −4· (15 − )·( 3)
⇒
2· (15 −
)
(1 ) x 23
x = 3 + x =3 −
x1)
16 ±
2 4·11·6 −
2·11
)
x = 0 1 x = 2
16 ± −8 22
2
0
2
x1
26 2 26 2
10 +2 3 x = 8 = 2 x = 10 − 2 = 1 8 18 +12 x= = −1 18 ± 12 −30 1 30− x = 18 −12 = − −30 5
x = 0 1 x = 3
=
2 xx2 1− 0 −x2=0 ⇒2 =⇒
2
=
e) 4 −12 +x 9x+ x22− x+=42 x−2 11 +x=⇒=16 2x 6 0
x
f)
x 1)
2·2
=
2
1)(3
( −12 ) −4·2·5
c) 3x 2 x−18x −2 18+−=⇒ 4− −7 0x −x=15 ⇒= x18 2 3 0
d) 9x 2 x−6 1+ = x−9
e) (2 3 x) 2 2(
4 7
. Sin solución
39. Acti vidad in teractiv a. 2
40. En un campo de fútbol, el largo mide 30 m más que el ancho, y el área mide 10 800 m
. Con estos datos,
averigua las dimensiones que tiene el campo de futbol. Llamamos x al ancho del campo de fútbol. El largo será x + 30. El área será:
x x
= ) 10800 ⇒ x+ x − ( + 30
= ⇒=2 30 x
10800 0
=
−30 ± 900 + 4·1·10800 ⇒ 2·1
30 − 21 ± 0 2
−30 + 210 = 90 x = 2 − − x = 30 2 210 = − 120
Como el ancho debe ser positivo, el campo mide 90 m de ancho y 90 + 30 =120 m de largo. El área es 2 90·120 = 10 800 m .
41. En un triángulo de 22 cm 2 de área, la base es igual al doble de la altura más 3 cm. ¿Qué dimensiones tiene el triángulo? Si la altura es h, la base mide 2h + 3 . El área será:
( 2h + 3 ) · h 2
= 22 ⇒ +2−h=⇒3= h44 0 2
h
−3 ± − 9 4 ·2· − 4 ( 4 ) = ⇒ 2·2
4
−3 ± 19
−3 + 19 =4 x = 4 x = −3 −19 = −11 4 2
Como las dimensiones tienen que ser positivas, la altura mide 4 cm y la base 2·4 +3 =11 cm. El área es
4·11 2
= 22cm 2 .
42. Problema resuelto.
Ecuaciones | Unidad 6 157
43. La suma de los cu adrados d e tres números consecuti vos es 194 . Calcúlalos d e tres formas disti ntas: Llamando
x
al menor de los tres.
Llamando
x
al mediano.
Llamando
x
al mayor.
a) ¿Se obtiene la misma solució n? b) ¿Qué ecuación es más fácil de resolver? •
Los tres números son 2
+ ++
xx
x=
2
+
x)1(
(
22
=
x +1y
⇒+
2
x
+2.
+ + + + 2+
2
2 1xx94 x x x
)
−2± − −( 2 )
x,
⇒
2
+−
= ⇒+−= 6 189 0
2 63 0
−2 + 16 x= =7 −2 ± 16 2 = ⇒ 2 x = −2 − 16 = − 9 2
4·1· −( ) 63
2
La solución es 7, x + 1 = 8 y x + 2 = 9 o •
=
2 1 x x 4 4 194x x3
−9,
x +1 = −8 y x + 2 = − 7 .
Los tres números son x − 1 , x y x + 1 . 2
2
( x −) 1+x+x +( 2 )
x x =1 x194 ⇒ −x2+x
2
+22 +1+ + x
1 194 x 2+ 3 =2 2 ⇒ = x 2⇒194= ⇒
=64 ±
8
La solución es x − 1 = 7 , 8 y x + 1= 9 o x − 1 = − 9 , −8 y x + 1 = − 7 . •
Los tres números son x − 2 , x − 1 y x. 2
2
( x −)2 (+x x−) + 1=
x=
6 ± −( )6−
2
2 ⇒ 194 x −x
2
x+ +x4 −x2+ 4 + = 22 x1⇒ x 2 − 194 − 3 =6
4·3· (−) 189
2·3
=
6 ± 48 6
189 0
x = 6 + 48 = 9 6 ⇒ x = 6 − 48 = − 7 6
La solución es x − 2 = 7 , x − 1 = 8 y 9 o x − 2 = − 9 , x − 1 = − 8 y −9 .
a) Sí, aunque se obtienen ecuaciones distintas, la solución del problema es la misma. b) Es más sencilla la segunda, llamando x al valor central. 2
44. La superficie de una colchoneta de gimnasia es de 84 m
. El largo es el doble del ancho más 2 m. Calcula
las dimensiones de la colc honeta. Si el ancho es x, el largo es 2x + 2 .
2
−±1 −1 2 4·1· − ( 42 )
2
xx ( 2 +2 =)84 84x+x0− =⇒ ⇒x 2x+ −2 =⇒
42 0
=
⇒
2·1
− 1± 13 2
− 1+ 13 x= =6 2 x = − 1− 13 = − 7 2
Solo tiene sentido la solución positiva. La colchoneta mide 6 m de ancho y 2· 6 + 2 =1 4 m de largo. 2
El área es 6·14 = 84 m .
45. Óscar ha colocado piezas de construcci
ón cu adradas formando u n cuadrado. Su primo le ha regalado 39 pieza s más, de forma que ha pod ido co locarlas con l as que tenía y formar un c uadrado de 3 piez as más de lado. ¿C uántas pieza s de c onstrucci ón t enía Óscar al princip io? Si, antes del regalo, formaban un cuadrado de 2
xx + ( x x+ 3 ) = + ⇒39 2
x +6 =9+ ⇒ x 39x =6 ⇒ 30 = 2
2
5
x
piezas de lado, debe ocurrir que: .
Tenía 5· 5 = 25 piezas al principio. Con las 39 piezas más formó un cuadrado de 25 +39 =64 , es decir, 8 piezas de lado, 3 más que al principio.
158
Unidad 6| Ecuaciones
46. La suma de los cu adrados d e dos números o puestos es 72. ¿ Cuáles son esos números? Los números serán x y –x. 2
x 2 x+ −(
2 =) x⇒ 72 2x= ⇒ 72 x =
2 ⇒36 =±
6
Los números son 6 y –6.
47. Martín ha dibuj ado el sigui ente triángulo sob re la are na y ha c alculado que tiene un área de 48 cm
2
. Halla
sus d imensiones si l a base e s el dobl e de la altura. Si llamamos x a la altura, la base será 2 x y se cumple: 2x · x 2
2
= 48⇒
48 ⇒ =±
x=
x
= 48 ±
6,93
cm
Solo tiene sentido el valor positivo, por tanto, la base mide 6,93·2 = 13,86 cm, aproximadamente.
48. El producto de dos números naturales es 176, y el primero es 5 unidades menor que el segundo. ¿De qué números se tr ata? Si llamamos n al segundo número, el primero es
n
−5.
2 − 176 ( )5 ± −( 5− ) 4·1·
nn · ( −5= ) 176 n− n − =⇒=5 n176 0 ⇒
=
2
⇒
2
5 ± 27 2
5 + 27 x = 2 = 16 x = 5 − 27 = − 11 2
Solo tiene sentido la solución natural. Los números son 16 y 16 −5 =11 .
49. ¿Puedes calcular las eda des de los hi jos de Artu ro? La mayor le saca dos años al menor, y el producto de sus edades es igual a la diferencia de los cuadrados de sus edades más 76. Llamamos x a la edad del menor, por lo que x + 2 es la edad del mayor. Como no se especifica en qué orden se restan las edades, se plantean las dos posibilidades: •
Restamos al cuadrado de la edad de la mayor el cuadrado de la edad del menor: x ( +)= 2 x(
x=
2
2 xx 2x=x2+ +2 +) x2− + ⇒ x+76
2 ± −( 2 )−
2
4·1· −( ) 80
=
2
2 ± 18 2
2 4− +4x2⇒x− − 76
2= 80 0
2 + 18 x= = 10 2 ⇒ x = 2 − 18 = − 8 2
Solo tiene sentido el valor positivo. El menor tiene 10 años y la mayor, x +2 =12 años. Se cumple 10 ·12 =12 − +2 10 2⇒76 =120 − 144 + 100 76 •
Restamos al cuadrado de la edad del menor el cuadrado de la edad de la mayor: x ( +)x= 2 −x
x=
−± 6
2
( 2 )+ +2 ⇒x76xx+x2 2=2x2− − − −6 2 4·1· − (7 2 ) 2
=
−6 ± 18 2
x+24⇒ x476+ −
6= 72 0
−6 + 18 =6 x = 2 ⇒ x = −6 − 18 = − 12 2
Solo tiene sentido el valor positivo. El menor tiene 6 años y la mayor, x + 2 = 8 años. 2 +8⇒2 76 =48 − +3 6 6 4 7 6 Se cumple 6·8 =6 −
Ecuaciones | Unidad 6 159
50. Una piscina con f orma de ortoedro ti ene 100 m 3 de capacidad. El largo de la base es el doble del ancho, y la altura mide 2 m. ¿Qué dimensiones tiene la piscina? Si llamamos x al ancho de la base, el largo mide 2x. 2 ·2 = 100 ⇒ 100 =± x ⇒ 4x=
x x ·2
Su capacidad es
5
Solo tiene sentido el valor positivo, por tanto, la piscina mide 5 m de ancho, 2· 5 = 10 m de largo y 2 m de alto.
2
51. Con una cuerda de 20 m de longitud se ha construido un rectángulo de 21 m
de área. Calcula las
dimensiones del rectángulo. Llamamos x a la medida de la base, por tanto, la altura será la mitad del perímetro menos las dos bases 20 − 2x = 10 − x . 2 2
10 ±
2 x − =)⇒ x21−x + =⇒ 10 = x 21 0 El área es: x (10
( −10 ) −4·1·21
=
⇒
2·1
10 + 4 x= =7 2 x = 10 − 4 = 3 2
10 ± 4 2
Los lados miden 7 y 3 m.
52. La zona de ate rrizaje e n lo s helipuertos es una superfici e circular. Si se aumenta el radio del círculo
de un
helip uerto 10 m, el área del círcu lo s e cuadrup lica. ¿Cuál es e l área de la zona de a terrizaje ini cial? El área de un círculo en función del radio 2
2
( r +) 10= 4·r ⇒ ( r )2+
=⇒r
=10 r r ⇒r4·2+ 2
20 ± −( 20 )−
=
es πr 2 .
2 +r r=20 r 2⇒ 100− 4 − 3= ⇒20 100 0
4·3· −( ) 100
2·3
r
20 + 40 = 10 r = 6 20 − 40 10 r = =− 6 3
20 ± 40
⇒
6
2
Solo tiene sentido el valor positivo. Por tanto, el radio inicial era 10 m, y el área inicial, π ·102 =314 m .
53. Indica si las siguientes expresiones algebraicas son i a) 5 x9
x4
c) ( x 2)
0x
b) 4(3 x 2) 12
x
d)
2
a) 5x x−9 4+0x= x =0 b) 4(3x )2 4= ·3·
x2
x
1 2
x − 1x
3
x
+ =
2
=12
x− 3x + =
36
x2
f)
160
6x −12x + x3= 2
xx 3 (2−x
Unidad 6| Ecuaciones
x4
x
3
5x 3 6
. Identidad
25
−3
6
2 e) (a −b )2=b+ a 2 − ab 2 3
2
. Identidad
2 c) (x 2) x x +4x 4 x4 ⇒ 4 0= + 2x=2 +4 ⇒ + 2= +
d)
dentidades o ecuaciones.
2
6
. Identidad
. Identidad
+4 2 1)
. Identidad
. Ecuación
e) (a
b
)2 b a
f) 6x 3 12x
2
2
2
ab
2
3 (2 x x3 x x
4
2
1)
54. Escribe en cada caso la ecuación cor
respondiente.
a) La suma de dos números distintos es igual a 6. b) La suma de dos números consecutivos e s igual a 7. c)
Si a un número se le suma 3 y se divi de el resultado entre 2, el resultado es 1 0.
d) Si al cuadrado de un número se le resta la tercera parte del número, e l resultado es 34 . x+3
a) x + y = 6
c)
b) x + x + 1 = 7
d) x 2 −
(
2
= 10
x
= 34
3
)
55. Comprueba e n cada caso si el valor propuesto es so lución de la ecua ción. a) 2 x 8 3(3 b) c)
x
x
1 3
x
x
5 x
1 3
2 5
d)
2(3 x 1)
e)
2(3 x 1)
2
0 ,
x
= –2
0 ,
x
=2
4
x
5
2 2
4
x
5
,x=1
1) 0
2
2
11
,x=2
11
, x = –2
a) 2·1−8+ 3(3·1 − =1)− +2 8= 3· 2 0 b) c) d) e)
−2 −
1− + 2 −2 −
3
− = − ≠0
=
3
5
2 −1 2 2 + 1 4 3
−
5 12
= − = −=
5
0 . x = –2 no es solución.
1
3
. x = 1 sí es solución.
−
7
≠
3 5 15 15 1 5
2(3·2 −1) 2 2 4 −
−
5
2
=
2(3· ( −2 ) −1) 2
−
5
−=
=
5
= 2 no es solución.
−− = 10 ( 1 )1 1
− 4− 2· 49 2 2
x
2−
2·25
5 2
0 .
. x = 2 sí es solución.
294 45 3 39
+= + 3 =
≠
11 . x = –2 no es solución.
15 15 15
56. Indica si las si guientes ecuaciones son equivalentes a a) 3 x 3 8 b) 7 x 9 5
x19
La solución de la ecuación 2x − 3 = 7 es
a)
3 ·5 −3 1 = 2 ≠8 . No es equivalente.
b)
7·5 +9= 44 =
c) x 2 − 25=0→
5·5 + 19
=x± 5
2x
3
7.
c)
x2
25
0
( x 1) e) 2 3
d)
2 x 3
1
14 6
f)
x
14 6
2 x 10 3 10
7 100
= 5 . Serán equivalentes las que tengan únicamente esta solución. 2 10 7 14 d) ·5 − 1 = −1= = . Sí es equivalente. 3 3 36
. Sí es equivalente.
e)
. No es equivalente.
f)
2 3
2 8 14 (5 −1)= ·=4 ≠ 3 3 6
2· 5 ⋅10− ⋅3 10 = ≠70⋅
. No es equivalente. 7 100
. No es equivalente.
Ecuaciones | Unidad 6 161
57. Escribe tres ecuaciones equivalentes a
5 x 6 1 2 4 x , utilizando solo la regla de la suma, solo la regla del product o y un a combinación de amba s, respectivame nte.
Respuesta modelo: 5x =18 − 4
10x −12 =24 8−
x
10x =36 −8
x
x
58. Acti vidad res uelta. 59. Escribe una ecuación de primer grado en la que haya siete términos y que tenga la solución indicada en cada caso. a)
x
b)
x
3
5
c)
x
d)
x
0
e)
x
1
f)
x
2
5 2 5 6
Respuesta modelo:
a)
x
=⇒ 3xx + 2+ 5− 1= x 3+2 +5 xx− 1 ⇒ + 2x +4= 3 + 2 5+ 1−
b)
x
=− 5 ⇒ xx + 3+4− = 2 x−5+3 4 +xx− 2⇒
c)
x
= 0⇒x +x 2x+ 3 + 4= x2x+3 + 4
3+x2 + =5 −3 4 + 2+ −
1
d) x x= ⇒ 2=x⇒ 1 x 2+ +1 2+ x=3+1+x 1 2+x ⇒ 3 2 + x+ 1 + 2 =3+ 2 +2 3 2
e)
x =
f)
x=
−5 ⇒x
2
2=−
5x x− +2 ⇒x
x=− x8 − + 5x − x
−
5⇒ + −x 8 x 5 =−
−+
−8
5
5
8 5
−5 x x 6=−x ⇒ 5 6− 3− x−7=4− − 5x 3 ⇒ − −7⇒4 6−x 3− −7 =4− −5 3− 11 6
60. Escribe una ecua ción qu e tenga como so lución
3 , y que cumpla la s sigui entes condiciones:
x
•
En el primer miembro debe aparecer el sumando 4
•
En total tiene que ha ber cinco términos , dos con
•
Uno de los términos con
•
En la ecuación n o debe aparecer el número 3.
x
x, x
y en el segundo , el término –9.
y tres sin
x.
debe llevar un c oeficiente nega tivo.
Respuesta modelo: 4x −2 x=7 +8 −9
61. Resuelve las si guientes ecuaciones de pri mer grado. a) 2x 3 8 x21 b) 3x 2 x11 19 x 2 3 x 45 11 c) 23 x 93 x 9
99x 12
x99
d) 16 x 24 32 x 40 x 32 e) 16x 9 41 x 13 15 x34
6
f)
12
48 x 15 1 7
x
122 1 13 13
x5
a) 2x −3 =x8 21 + x⇒6 x− 2 =4 ⇒ = −4 b) 3x −2+x11 + 19x=x23− 45 − x11 x−x⇒ x6 + − + x− + 45 −x 6 ⇒ 2 19 =− ⇒ 2 =− 68 3 11 23 =− 11 c) 23x −93+x9 + 99 − x12 = − 99 x + x ⇒ x 12
x + x
d) 16x +24 − x32x = 40−x⇒ 32 xx 1 6 − 32 −
− +9 23
− ⇒ 99= 31 12= + 12x − ⇒x99 =93
40 =−x − 32 ⇒x− 24=− ⇒ 56 =
56
e) 16x −9−x41 x = −13 15 +⇒ xx34 x −16 + 41 = +15 +x 13 ⇒ x − 34= 9 ⇒ =10 f)
162
48x −15+x 17+
Unidad 6| Ecuaciones
122 1x 13− x⇒ 13 xx = −
5 +
34 93
3
1
−28
56
48 =17 − +13− x x113 15 =122 + ⇒ 5= ⇒
5
78
1
1 78
62. Encuentra la solución de las si guientes ecuaciones con paréntesis. a) 3(5 x 1) 7
x
b) 10(2x 3) 7 (4 c)
x
d) 3(3x 1) 5 (4
2 x9 x
e) 3(2x 8) 6(
x
6) 2 6
f)
2(2 3 x) 9 5(3 x 1)
x1x 5− x−3 7= x2 12= a) 3(5x1− )−x7 x= 2 + 9⇒ + ⇒9 x =6 ⇒
b) 10(2x −3)− 7(4 x − =6) x−2 x6 ⇒
2(1 3 x)
f)
7) 18
5
1
)⇒x15 − −9 x+ 3 +20 −x10= 18 ⇒ x− 9 =−15 ⇒ 42 1= 8
)x 15
7(4 x 6) 17(2 2 )x
20 x − −30 + x28x= 42 − ⇒ x2− 6 = − ⇒ 2 = 10
e) 3(2x −8)x− 6(− =7)⇒ x1 8 x− 6− + = 24⇒x6
x
2) 9 (2
2
c) x − 2(2−x 3 ) =9+x5(3 x− 1)⇒x x− +4 6= +9x 15−x⇒5− =8 ⇒ 8=− d) 3(3x −1)−x5(4 − +2)x x9(2 −=
x
0
=20
1
10
2
. Identidad
0
2(1 −3 x)− 7(4 x − =6) 1 −7(2 x x⇒ 2 −) x −2 6+ = 28x−x 42⇒ 34 = −3 4
0
. No tiene solución.
10
63. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado, en las que aparecen denominadores. a) b) c)
x
x
x
3
6
9
3
x
2x
2
5
6x
2
a) b) c) d) e)
x
x
6
−3 2
9
2
6 x−
−
2
5 x −1x 3 + 4
26
⇒=
18
⇒ =
18
18
7x=
= ⇒7 − 7− x1 −4x6=( ⇒14 )=3x⇒9x=
3
= ⇒
6
12
6
+=
12
3 x x34 +−
5
⇒
10
−
x − 2x 5 − − 4x 3
−
6
=
⇒
90
15
15 x − 10 60
−
x
18
12
+
x45 − x30 −60−x 75 90
7
45 90
= ⇒ − − + =15⇒ x3 =x 6⇒ ( 1= 6 1 )x7 9 x 36
60
−
x4
6
126
x
2 3 3 x 34 5 1 0
16 1 7 12
20 3 6
= ⇒
90
60
=
36
60
36 x = 204 x ⇒41 ⇒ 15+x −15 x1−(0+ x20− )36 = ⇒ =
f)
126
6
8 1 7 x −15 x+3 6
−
−
=
18
5 − +x −3 x2= ⇒ 5 10 = = ⇒ x3 1 ⇒x8=
x +x1− x − 2 3 4
x 6321 x
2x − 5
+
7x −1 4 2
3
7+ −
+ − = ⇒
x
6 2 5
x
f)
7
1 4
2
x x x
3
x
e)
5
2
7x 1 4
5 x 1 3 x8 1 7 4 6 1 2
d)
7
205 45
⇒ − −−
90
4
204
60 5
−= 30 ⇒x=6 0 75 x( 6 0 xx)45
0
Ecuaciones | Unidad 6 163
64. Calcula la so lución de cada una de las ecuaciones siguientes. a) b) c) d) a) b) c) d) e) f)
2(3 x 1) 5 x 6 3
138
6
2 x 8 3 ( x 2) 5 6 5(2 x 1 )
4
x
3
3
3(2 x 8) 4 6x −2x −5
+
10 5x 4 −
624 x−
2
g)
9
+
⇒
+
18
=
18
276
3
6x +6 x1−4x −35 15
−
6x +29 = ⇒
6
x
−36
15
=−
3
1 1 1(
6
6 6
2
5
60
⇒
6
6
−
x36 −
−
6
6
15 5
9
56
=
−
82 =
82 41 19 38
140 1 0
=
60 116
⇒ − −= ⇒=
60
60
56
11 12 − −
=
6
30
b)
x
2
3)x 5
2
1
x 6(5
30
x
2
30x
60
⇒ −=⇒=
30
=
) 2 7 (2x 3x
x x4
d) (2 x 3) 2 x(2 a) 2xx( 3) −x 5− 23 22 28 x 4− 2
44 4
f)
2 5 )x 8x 49
3)(2x
x
e)
2
)
3) 2
h)
10
−x
x x
2
2
=
−
f) g) h)
164
2
2
2 38 x − 7x
4
+
12
12
2 21x 2 49 −x x14
−
6
=
4
2
12
+ ⇒ −=
−3−x 15 xx− 9
+
⇒ 19− =x 38
26 − ⇒ x −26 x =
2 −2 − 1 2 42 x − x 98 x 42 −− 6 = ⇒ −
4 2
5
7) 2 (7
5 x
2
1
2
10 − − x 9 x x45 − =⇒ 7 15
5·3
Unidad 6| Ecuaciones
2
2
12
9
+
x3)x
1)
3 x( x 5) 5
x
2
7
6
=⇒ − =
15
2
2
−1 26
= ⇒ − −= ⇒ =
12
3
8
=14 − ⇒ 28 =
6 98x 49
⇒−= 45115 x
23 9
13(3
1
26
1 26 ⇒ =
10 105 15
x
x
2
2
2
9 2 x 2 5 3
3
2
2 2 9x 4 x−62x 4−9 x + 45 − x 27 =x 39+
2
4
4
2 −− 2x−2 2 3xx=( 2 x− 4 ⇒ −2 )= −28 x⇒ =3
x
12
2 2)x4 9( x
26
⇒
d) 4x −x12 +x9−(4 x−9)= 2 x−1⇒ x 0 4 x x− 12+ −9 4 + x=9 2 −⇒ 1 x0− 2
e)
19 x 7 x
6
2 22 2 =6(5 x − )−3(4 xx− 2+ x x ⇒ ) x2 − −6 x5 = x−30 x− 2+6+1x 2 6 x⇒ 3− = ⇒ 6 =− 18
−
x
2
2
6
2 2 c) 6 −30 x+24 x − 14 − x21−x 35 = −x8x 49 x − 1⇒ 1− =x ⇒2 =−216
3x 2 − 15 x
x 5x
x
x4
43x 296 296
43
4
7 x(3
120
rado y resuélve las.
2 3 xx2(3
g)
2
11
x
2
35 5 35
14x
14 2
30
7
4
c) 6(1 5
b)
) x3(4 x 2
2x 2
3x
2
x1)
2 10(2
5
x
65. Transforma las siguientes ecuaciones en ecuaciones de primer g a) 2xx(
x1)
6
x 2= 70 0= g) 2x 6+x− 3+ 18 +x=+2 20 + x 10 −⇒x 1 2 +36+ 45 + 12 100 −⇒− =5 ⇒ 5
29 15
x 6
4
30
15x −3 x21 − 28 1x −11 11 x −4x 5 − 9−+ x42
−
4)
x
2
51x 306
24 x= ⇒ 32 x 10 + 48 = x⇒38=
2
2
7(3
2
5
⇒ = ⇒=
3
−
3(5 x 1)
6
2( x 3) 3( x 6)
18
2 10 9 1 x= 5 = ⇒ − −5x +x = (4 ⇒6 =)x⇒
5
10
18
30
− 12+ =8 x ⇒ −x− 6
4
x6
15
5
30
x
10
x − 12x +48 15 30 9 0 =⇒ 3 + = ⇒ = ⇒= 27 108x
6 6
−
33
=
6
2x −8x + 3 5
f)
2 138 x − 36 x − 12 1 5
6
+
3
3
2(6 4 x)
3(2 x 2) 7(2 x 5)
e)
9
12
x
x
2
2)
66. Escribe las expresiones en forma de ecua a) 3xx(
2)x5
4
b) 10 3 x(2 x
x
5
2
5) 2x(4 x
c) d)
x −15x x −8 x +6 2
8x −20 3 2
x 12 + 2
−
=
2x
c)
5 3
x a) 3 x 2 −6x x5− 4 5−5x=3− + ⇒
b) 10 +6
ción de segundo grado, e indica si 5
6− 9 −0 = 2
2
4
+ 2= 1 ⇒−x 2x− +9= 11 20
12 −
⇒ − = 5x 2 20 0 4 =
24
2
0
c) 1 9x
b) 16 4
d) 5 2
2
0
5x a) 5x 8− 0 =0 ⇒
80 =x ⇒ x =16 ⇒ =± 4
4 a) 16 +4 x =0 ⇒
=−x 216
2
2
2
2
3) 6(
7)
. Incompleta
a) 5 x 80 0 x
x
. Completa
. Incompleta
67. Encuentra la solución d e las siguientes ecuaciones de segundo grado inc 2
1
4
5)x 1 4(
son com pletas o incomp letas.
. Completa
2
12 12 12 −18 x+2 30 x +x 14− x =242− 6⇒ −x42 + x
x
3
d) 6 x(x 3
1) 1 x
2
2
x
ompletas. e) 3( x 2 2) 18 0
0
2
f)
2
10x 2 23
x
0
e) 50x 2 25
x
0
f)
2 3(7 x x 4)
x11
3
23
x90
2
. No tiene solución. 1
1
9
3
b) 1 −9 x 2=0 ⇒1 =9 x x⇒x 2 = ⇒ 2 =± 16 = x x⇒ =±2 4 c) 5 2+ 3x 2=x 11 −2⇒
d) 3( x 2 −2) +18 =0 ⇒x23 −6 +18 =02⇒ x 32 x =12 x⇒ = ⇒ 4 =± x⇒ 10 x=x 90 e) 10x 2−x 3 x=− 23 + 90 ⇒ = ⇒9 =± 2
2
2
2
3
68. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado si a)
x
2
7x
b) 8x 4 x
c) 11x 44 2
0 2
a) x 2 −x 7= 0⇒ xx b) 8x 4−x
d) 4 x
0
6x
x 3
0
2 0 = ⇒ 4x 2 x − (0= x⇒ x)=0, 2=
−=
⇒
+4( =x 0⇒x )= 0,=− − =⇒ =
4
e) 50x 2 +25 x = 0⇒2xx 5 2 +1(=x⇒0 x=) 6x 22−x3=
x
3(7 x− x ⇒ 4 x)−
x=6 x
4 9
=
d) 4x9 x 0 xx 4 9( 0 x x) 0,
f)
9x
2
− (7=x0⇒ )x= 0, = 7
c) 11x 2 +44 x =0 ⇒ xx11 2
2
x
n usar la fórm ula.
2
−
=0, 3 x⇒ x21 −2 =12 x⇒ x
−1 2
15−
2
9x= =x⇒
0=
3
(5
3)
0
0,
3 5
69. Acti vidad res uelta.
Ecuaciones | Unidad 6 165
70. Opera y calcula las soluc iones de las si guientes ecuaciones. a) ( x 5)(2 x 4) 0
c) (2x 4)(2 x 1) 0
e) (4 x 1)(10 x 1) 0
b) (3x 12)(5 x 35) 0
d) (3x 2)(5 x 2) 0
f)
x + 5= 0⇒ =x− a) =⇒= 2x 2x 4− 0
2x 4+0 = ⇒ 2=x− c) 1 2x − 1= ⇒0 =x 2
1 0 =x 4x − 1= ⇒ 4 e) 1 10x− 1= ⇒ 0 = x 10
5
3x − = 2 ⇒0=
b)
3x −12 =0 ⇒ =4x 5x +35 0= ⇒ =x−7
5x− =2 ⇒0 = x
f)
5
(
28x+ 4= 0⇒ = x= 28
a) 3x 7 5x 0
c)
b) 3x 8 5x 0
d) 10x
a) 7 −4·3·5=− <11 0 . Ninguna solución
c) 1 −4·−( 5 ·1 =) >21 0
b) 8 −4·3·5 =4 >0 . Dos soluciones
d) 20 − 4·10·10 =0 . Una solución
2
2
2
72. Resuelve las si guientes ecuaciones de segundo c)
b)
d) 6x 5 1x 0
a) x =
b) x =
c)
x =
d) x =
e) x =
f)
x=
5x
6
−±6
+6
4·2· − 8(
)
2·2
−5 ± 5 2 −4·1·6 2·1
−8 ±
− 8
2
=
=
−6 ± 10 4
−5 ± 1
5 ± 5 2 −4·6· 1( −
2
= = =
−±1 −1 2 4·6· − 1(
)
)
2·6
−3 ± 9 −4 ·2·6
Unidad 6| Ecuaciones
−6 + 10 x= =1 4 ⇒ x = −6 − 10 = − 4 4
−8 ± 0 −22
2·6
73. Acti vidad res uelta.
8x 16 0
−5 + 1 x= = −2 2 ⇒ x = −5 − 1 = − 3 2
( ) 1( · )16
− 4·−
2· ( −1)
2·2
x2 2
0 2
=
=
5±7 12
=
12
−
4
−1 +5 4 1 x= = = ⇒ 12 12 3 1 5 −6 − 1 x = −− = = 12 12 2
−3 ± −39 4
−8
x = 5 + 7 = 1 12 ⇒ x = 5 − 7 = − 1 12 6
−1 ± 5
x
1 0
20 x 10 0
. Dos soluciones
grado.
a) 2x 2 6 8x 0 x
2
2
2
2
5x 2
. No tiene solución.
e) 6x 2 f)
45
5
36 4 −4 −1
de soluci ones de cada ecuación.
2
166
36x −45= 0⇒ = x =
3 2
d)
71. Sin resolverlas, indica el número
2
x
(36x 45)(28 x 4) 0
2
x
1 0
2x 3 6x 0
7
74. Calcula en cada caso los valores de a) 2x 20 2
b)
kx
2
x
c)
12x 18 0 400
a) 20 −4·2· =k0⇒ =
20
k =
=50, =
144
75. Comprueba que la solución
a)
3 5
x 10
1
7
2 −3 5 ·2 − 10 −
−
2
,
2
− x =
1
c)
3 (1 −) +5 4
−
,
k
0
c)
− 4·1·25 = ⇒0 =
2
k
2x
k⇒ 2
k = 10⇒ =x k=− ⇒ 10= x
100
2 =; = 36 9
−10 =−
5
2·1
=
10
5
2·1
1
x
2·9 9
2
16
x
1 6
x
1) 0 ,
3x
c)
x
5 4
2 3
1, x
–1
= 2 es la solución correcta.
x
(
4
2 1
= − = − = = ≠
3
0
d) 9x
b) 6 x 5 3 (2
( 1−) +2
25
2
4 1
1 1 1 b) 6· −5 +3 2· 1− = 1 −5 +3 −1 = − 4+ 1− 3≠ 0 6 6 3
kx
ene una única solución, y resuélvela.
d) 22 −4·9· =k0⇒ = =k
3 2·2
2
x
27 2
x
2
de la ecuación es corr ecta.
1− 0 = −=
7
−
12
72
2
5 2·2
x
8
b) 122 −4· ·18 k 0= ⇒ = k= 2;=
x
para los que la ecuación ti
k0
2
a)
k
1,
4 3 12 12 12 6
, x=
) x
1 6
no es la solución correcta.
= −1 no es la solución correcta.
76. Opera y encuentra las soluciones de cada ecuación. a) 3x(2 x 5) 7( b)
2x(
x 3)
3)x x(7
c) (3 x 5) 2x (3
41
) x2
3
4
d)
6
a) 6 x 2 − xx x 0x − 15 − 7 − 21 + 41 =⇒ 6
x=
b)
11 ± 112 −4· 3·10 2·3
2 2x62 −x 7 xx −
−
3
x=
−x2x2 =
4
6
=
6
12
12
12
d)
−±5
−5
− 8( 4·3·
2·3
4x 2x−4+ x 12− 3
x=
2
−
8
2
=
x 21 x −= 3
x
42 2
x 0 x11
43
42 0
22
100 +xx − 36 = ⇒ 60+ −96= 0
3
5
8 0
−5 + 11 = =1 ) −5 ± 11 x 6 = ⇒ 6 x = −5 −11 = 8− 6 3
=⇒
2
32 ± 32 2 −4·29· (6−1 2·29
5)
43 + 45 x = 22 = 4 ⇒ 43 −45 1 − x = 22 =11
) 43 4± 5
2 5 7 x 32 −x + 232 x − 8
8
5)(3
5 7
⇒ − − + −+8x=2⇒24 x −
2 2 x2 +) 4( 4· x =2+60 x− 4 x ⇒ 362 c) 9x 2 x−30 +x25 −x 9 +( 30 + =25 − 9⇒ )x −25
x=
x
x4 x 4(3
2
11 + 1 x = 6 = 2 ⇒ x = 11 −1 =10 =5 6 6 3
− 8x2 x42−x 21 −3 x 4 2 ⇒ − =
2·11
3
2
x +22 = x2 ⇒ 20 0− 3+ =11 10 2 0
11 ± 1
43 ± 43 2 −4·11· 4 (−
(2 x 1)
2
5)
3
−
24
15 84 24
) 32 ± 90 =
58
= ⇒−
24
2 +− − 32−x 2=x⇒ 32 x − 8 3 − (= 15 84)x 0 x
29
32
2
61 0
32 +9 0 61 = x =58 2 9 ⇒ 32 − 90 x = = −1 58
Ecuaciones | Unidad 6 167
77. A parti r de la solu ci ón
x 5 , utiliza las reglas de la suma y del producto para obtener una ecuación equivalente, de forma que en ambos miembros aparezcan términos con x y también términos independientes.
Respuesta modelo: x
= 5⇒x3 =15 ⇒x3 x x + − − 5 + 5x=x15+ − − xx+5 ⇒ 5 4− = 10 + 5
78. Inventa el enunciado que se resuelva utilizando cada una de estas ecuaciones. a) 3x 5 2 6
b) 5 x 4 21
c) 35 2 x 24
d) 21 2 x 27
Respuesta modelo: a) Al sumar 5 al triple de la edad de Darío, se obtiene la edad de su tía, 26 años. ¿Cuántos años tiene Darío?
b) Un artesano empaqueta los vasos de un pedido en cajas de 5, pero durante el transporte se rompen 4 vasos. Si quedan 21 vasos, ¿cuántos cajas empaquetó?
c) El precio de una raqueta con funda es de 35 €. Hay una oferta que, al comprar otra raqueta, se descuenta a esta el doble del precio de la funda. Si la segunda raqueta cuesta 24 €, ¿cuánto vale la funda?
d) Alrededor de una mesa rectangular, de 2 m de ancho, quieren dejar un espacio de 21 m2. Si necesitan 27 m2 en total, ¿cuánto mide el largo de la mesa?
79. La suma de tres números co nsecutivos es i gual al doble del mayor más u no. ¿D e qué números se trata? Si el menor es x, los otros serán x + 1 y
x
+2.
x +x + +1 +x =2 2 + x(2 +⇒ 1 x3 x3 3+x =2 5 + ⇒ = 2 ) +3 = 2 +x4 +1⇒
Los números son 2, 3 y 4.
80. En una frutería hay el doble de manzanas que de peras, y el triple de uvas que de manzanas. En total hay 441 frut as. Calcul a cuántas hay de cada cl ase. Llamamos x a la cantidad menor, el número de peras. Hay 2x manzanas y 3 ·2x =6 x x+x2+ 6= 441 x⇒ =9 x⇒ 441=
441 49 9
=
x
uvas.
.
Hay 49 peras, 2·4 9 = 98 manzanas y 6·4 9 = 294 uvas.
81. Un granjero tenía unas cuantas gallinas en su corral. Por un agujero de la valla se escapó la tercera parte, y dos t ercios de las que queda ban se las comió un lobo. Cuando el granjero se dio cuenta, ca mbió las 18 gallinas que le había al principio ? Si al principio había xx 4
+
39
x
quedaba n a ot ro c orral. ¿C uántas gallinas
x 2 x 22 4 x gallinas, se escaparon 3 , y el lobo se comió 3 x −3 3 =3 ·9 =
x x 3 4x 162 9 + =18⇒ +x + = ⇒ + + xx=3⇒x4 162 = x⇒ x9 162 = 2 9 9 9 9
Había 81 gallinas. Se escaparon
81 3
= 27 , y el lobo se comió
x
.
81 4·81 9
= 36 , con lo que quedaron 81−27 −36 =18 .
82. Raquel, R amón y Rosa están con tando el din ero que tienen para ver si les ll ega para ir al cin e. Raquel tiene 7 € más que Ramón, y Rosa tiene 5 € más que el doble de la suma de las cantidades de sus amigos . Si en total t ienen 50 € , ¿cuánto din ero tiene cada uno? + 1+4= 5 + 4x 1 9 Si x es el dinero de Ramón, Raquel tiene x + 7 , y Rosa, 2· (x +x +7+ )5= 4x xx
+ + x +7 4 + 1=9 x⇒ 50 =6 x → 24 =
4
Ramón tiene 4 €, Raquel tiene 4 +7 1= 1 € y Rosa tiene 4·4 +19 =35 €.
168
Unidad 6| Ecuaciones
.
83. Reyes ha pensado un número y ha dividido el número resultante de aumentarlo en 42 unidades entre 3. Ha obtenido el número ini cial dismi nuido en 20 unidades. ¿ Cuál es el n úmero que había pensa do? x
+ 42 3
3 6 0x = x− ⇒20x + = x 42− ⇒ =x102 ⇒ 2=
51
Pensó el número 51.
84. Un periodista ha escrito la crónica de un partido de baloncesto, en el que el equipo local ha sufrido una aplastante derrota. Las dos séptimas partes del artículo están dedicadas a elogiar al árbitro; las tres cuartas partes del resto, a elogiar al entrenador, y las 15 líneas restantes, a elogiar a los jugadores. ¿Cuántas líneas tiene el artículo? Llamamos x al número de líneas totales. Dedica 2 7
3 x x+ 4
2 x−x 7
2
x
7
a elogiar al árbitro y
3
x −
4
2 x al entrenador. 7
2 35 2 15 x x8 15 420 x x28 x 15+ x+ =x ⇒ + x= ⇒ +15 + = ⇒ + +15 = xx ⇒ = ⇒ = 7 47 7 28 28 28 28 28
420 5
84
El artículo tiene 84 líneas.
85. En un concesionario han rebajado los precios de tres coches. El coche rojo cuesta 2000 € más que el verde, y el co che azul cu esta 9500 €. La semana pasada se han vendido 7 coches rojos, 4 coches azules y 9 coches verdes, y se han recaudado 192 800€. ¿Qué precio tiene cada c och e? Si el verde cuesta x, el rojo cuesta 7 x +2000 +
(
4·9500 +x = 9 x ⇒1928 + 00 +
x
+ 2000 . x7 + = 14000 x ⇒ 380x=00 9 ⇒=1928 00
16
1408 00
8800
)
El coche verde cuesta 8800 €, y el rojo, 8800 + 2000 =1080 0 €.
86. En el castillo de un malvado hechicero hay una alta torre, con un
gran número de escalones. La e scalera está protegida de forma que s olo aquel qu e adivine cuántos escalones ti ene podrá subirla. Por suerte, al pie de la escalera hay una pista: Si a mis escalones le sumas la mitad de ellos y le restas la sexta parte obt endrás 200 más. Un aventurero cons iguió encontr ar la solución del acertijo y s Llamando x al número de escalones, la mitad son x x 3 x x + − = + x ⇒200 − = ⇒ 26 66 6
=200⇒ =
2
200
x 2
ubir a la torre. ¿ Cuál era la solución?
y la sexta parte,
x 6
x600
La escalera tiene 600 escalones.
87. Problema resuelto. 88. Dentro d e un cuadrado se dibuj a otro cuadrado cuy o lado mi de 7 m menos que el del cu adrado mayor, de forma que la diferencia entre las áreas de ambos cuadrados es igual a 231 m del cuadrado mayor.
2
. Calcula la long itud d el lado
Si el lado del cuadrado mayor mide x, el lado del menor mide x − 7 . 2
xx2 − ( − = 7 ) xx ⇒ x231− −
2
+ ( x2=14 ⇒4 9 − 2)x=31 ⇒ 14 x = 49 ⇒ 231 = 14
280
20
El lado del cuadrado mayor mide 20 m.
Ecuaciones | Unidad 6 169
89. Una botella de refresco tiene el doble de capacidad que otra. De cada botella se sacan 20 cL, y la cantidad que queda en la mayor es seis veces la que queda en la pequeña. C
alcula la capacid ad de ambas botellas.
Llamamos x a la capacidad de la botella pequeña. Por tanto, la capacidad de la grande es 2 x. 2x 2− 0 =x6x −( 20⇒ )x2− 2 =0 − 6x 1 ⇒ 20 − =x − 4 ⇒ 100 =
25
La capacidad de la botella pequeña es 25 cL, y la de la grande, 2·2 5 = 50 cL.
90. Un triángulo is ósceles tiene un perímetro de 28 cm, y cada uno de los l
ados mayores mide 3,5 cm más que
el lado menor. ¿C uánto miden sus lados? Llamamos x al lado menor. Por tanto, cada uno de l os lados mayores mide 8 + + 2x= 7 ⇒28+x 3= 7 x x+ 2 ( + 3,5= x)2 ⇒ ⇒x 28 = ⇒3 =21
x
+ 3,5 .
7
El lado menor mide 7 cm y cada uno de los otros mide 7 + 3,5 =10,5 cm.
91. Los tres ángulos de un triángulo suman siempre 180º. En un triángulo, el ángulo intermedio es igual al triple del menor y el menor es la quint a parte de l mayor. ¿Cuá nto mid e cada á ngulo? Si el ángulo menor mide x, el intermedio mide 3 x y, el mayor, 5x. xx +x3 + =5
180 x⇒ 9 =
x
⇒ 180=
20
Los ángulos miden 20º, 3·2 0 = 60º y 5·20 =100º .
92. En un t orneo de voleibol, cada equipo
lleva ocho j ugadores y un entrena dor. Si en total h ay 108 personas, ¿cuántos entrena dores hay y cu ántos jugadores participan en el to rneo? Llamamos x al número de equipos.
⇒ 9 = 108 x⇒ = ( 8 +1 ) x= 108
12 x
Hay 12 entrenadores y 12· 8 = 96 jugadores.
93. Problema resuelto. 94. Un perfumista mezcla dos esencias,
A
y
B,
con las que elabora un perfume. La primera cuesta 40 €/L, y la
segund a cuesta 60 €/L. a) ¿Qué cantidad debe tomar de cada una pa ra producir c inco li tros de la mezcla , de forma que cada litro de perfume valga exactamente 52 e uros ? b) ¿Y para consegui r 100 mL de mezcla a ese precio? a)
Si llamamos x a los litros de esencia 40x +60x5(− = ) 52·5 x⇒
necesitan 5 − x litros de esencia
40 +x −300=x60 ⇒ x− 260 = − 20 ⇒ = 40
Necesitan 2 L de esencia
b)
A,
A
y 5 − 2 = 3 L de esencia
B.
2
B.
Se puede plantear una ecuación similar a la anterior, pero no es necesario. Teniendo en cuenta el resultado 2 3 2 3 anterior, se necesitan de esencia A y de esencia B, es decir, ·100 = 40 mL y ·100 = 60 mL, 5 5 5 5 respectivamente.
95. El litro de un lavavajillas cuesta 1,5 €. Para ahorrar, el dueño de una empresa de limpieza añade agua (que no le cuesta nada) a las botellas que tiene, y consigue tener en total 90 L y que le salgan a 1 €/L. Calcula cuántos l itros de lavava jillas tenía. Llamamos x a la cantidad de lavavajillas que tenía. Como lo único que le ha costado dinero es el lavavajillas:
1,5 x =90·1 ⇒
x
=60
Compró 60 L de lavavajillas.
170
Unidad 6| Ecuaciones
96. Por parejas, coged dos trozos de cuerda o hilo de la misma longitud. Uno de los miembros de la pareja debe construir un cuadrado y el otro un rectángulo de forma que cumplan esta
s condi ciones:
•
El lado mayor del rectángulo debe ser 5 cm mayor qu 4 cm.
e el lado del cuadrado, y el lado menor debe medir
•
La diferenci a entre el área del cu adrado y el área del rectángu lo debe ser de 25 cm
2
.
¿Qué longitud d e cuerda ne cesitáis? Comprobad que los cuadriláteros que habéis construido condici ones pedidas. Si x es el lado del cuadrado, el área del rectángulo es 4 ( x + 5 ) y el área del cuadrado,
x
2
cumplen las
.
Como el problema no especifica cuál de las dos figuras es mayor: •
Si el cuadrado tiene mayor 2 − 45 ( 4) ± − (4− ) 4·1·
x 4 (+ =5⇒)25 x−x − =⇒=4 x 45 0 área: x − 2
=
2
⇒
4 ± 14
2·1
2
4 + 14 =9 x = 2 x = 4 − 14 = − 5 2
La solución negativa no tiene sentido, por tanto, se necesitan dos cuerdas de 9· 4 =36 cm. •
Si el cuadrado tiene menor área: 45( x +
)
x = −
2
25−x= ⇒= ⇒ − +x
2
x
4
5
0
−4 ± =
( 2 )−(4·)− 1 · 5 2· ( −1)
4 −
−4 ±
−4
−2
No tiene solución.
97. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su área es de 77 cm
=) ⇒ = x 77 0 xx ( + 4 77x+ − =⇒4 x 2
−± 4 =
−4 2 4·1· − (7 7 ) ⇒ 2·1
2
.
−4 + 18 =7 x = 2 x = −4 − 18 = −11 2
−4 ± 18 2
Solo es válida la solución positiva. Los lados miden 7 y 7 +4 1 = 1 cm.
98. El área del rombo que aparece en la figura es 130 cm diagonal mayor mide 5,5 cm más que la menor.
2.
Calcula la longitud de ambas diagonales si la
−5,5 + 32,71 = 13,61 x = 2 = 130 ⇒+ − x= ⇒= 5,5 x2 60 0 ⇒ . 2 2·1 2 x = −5,5 − 32,71 = − 19,11 2 Solo tiene sentido la solución positiva. La diagonal menor mide 13,61 cm, y la mayor mide 13,61 + 5,5 =19,11 cm.
( x + 5,5 ) x
2
−5,5 ± x =
5,5 − 2 − 4·1· ( 260
)
−5,5 ± 32,71
Ecuaciones | Unidad 6 171
99. Carlos ha fabricado teselas de cartulina para construir mosaicos cuadrados. Si coloca un número determinado de teselas en cada lado del cuadrado, le sobran 116 teselas. En cambio, si en cada lado pone el doble de las que había antes menos una tesela, le faltan 45 teselas para construir el siguiente cuadrado. ¿Cuántas teselas ha fabricado Carlos? Llamamos x al lado del cuadrado menor. 2
2 x 2 + 116=x (2− 1 x45 4−xx⇒ 4 1−45− 3= ⇒4 − )⇒ +2 2 x=x 116 − +
x=
4 ± 4 2 −4·3· 1 ( −60
)
2·3
=
4 ± 44 6
160 0
4 + 44 =8 x = 6 ⇒ x = 4 −44 = −20 6 3
Solo es válida la solución positiva,
x =
8 . Tenía 82 +116 =180 teselas.
100. Se lanza una jabalina de forma que la altura en un instante
t
es 2t 2 12 t7
. En un determinado momento,
el proyectil se encuentra a una altura de 67 m. a) ¿Cuánto tie mpo ha transcurrido? b) ¿Hay más de una solución posibl e? a) −2t 2+t12+ 7= 67 t ⇒ 0− + ⇒−t t+2 −122 =t 60
t=
6±
2
( −6 ) −4·1·30
=
2·1
6±
t = 5 t = 1
3 20 0 =6 →
− 84
2
El problema no tiene solución.
b) El problema no tiene solución.
101. Isa viene en bici al instituto y quiere llegar a una cierta hora. Si viene a 20 km/h llega 3 minutos tarde, y si viene a 30 km/h llega 3 minutos antes. ¿A qué velocidad, en km/h, tiene que venir para llegar justo a la que quiere? A. 25
B. 24
C. 23
D. 22
Para llegar a tiempo debe tardar t horas.
3 3 20 t + = t 30− ⇒ 60 60 ⇒ 60=t 15 ⇒ = t=
15 60
t 60 3 t 60 3 30 t+ =t t t 2−60 ⇒3 + ( 3=60 − ) 3⇒ ( 120) 6 180 9 20+= −⇒ 60 60 60 60
15min
Si llamamos v a la velocidad a la que quiere ir: 360 20·15 v⇒= v⇒= ( 3+ =) ·15 15
.
v24 km/h
La respuesta correcta es B. 24
102. En un viaje de turismo, Esther llevó
la moneda del paí s, el mon, recibió 10 mons por x €. Al cambiarlos por cada 7 €. Si después de gast ar 60 mons tenía aún x mons , ¿cuál es la suma de las cifras de x ? A. 5
B. 6
Recibió 10 x 7
10 7
x mons.
− 60 = ⇒x
x10 = −
420 x x ⇒ = 7
La respuesta correcta es A. 5.
172
C. 7
Unidad 6| Ecuaciones
x 3= ⇒
420
140 €.
D. 8
103. En un grupo d e estudiantes, el 4 0 % son chicas. Dos chicas cambian de grupo y ll
egan dos c hicos n uevos, resultando ahora que el 30 % son chicas. ¿Cuántas chicas había inicialmente en el grupo? A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
Si había x personas en total, 0,4 x eran chicas y 0,6x eran chicos. Con los cambios no varía el total de personas ya que se cambian dos chicas por dos chicos: 0,4x −2= 0,3 x ⇒x x0,1= ⇒2 =
20
Inicialmente había 0,4·20 = 8 chicas. La respuesta correcta es A. 8
104. Cuando desplazamos la coma cuatro lugares a la derecha en cierto número decimal positivo, resulta un número que es el cuádruple del in A. 0,0002
verso del número dado. ¿Qué
B. 0,002
número es el dado?
C. 0,02
D. 0,2
Desplazar la coma a la derecha equivale a multiplicar por 10.000. 10000 x 4· =
1 1→0000 x
2 4=x⇒ ± =
x =±
4
=±
10 000
2 0,02 100
.
Como el número que se pide es decimal positivo, la respuesta correcta es C. 0,02.
105. En una bolsa hay más bo las azule s que roj as. Echamos bolas ro jas hasta que las azule s sean un t ercio del total. Luego, echamos bolas amarillas hasta que l as azule s sean un quinto del total. Finalmente , doblamos el número de bolas azules. ¿Qué fracción del total son ahora azules? 1
1
1
2
A. 5
B. 4
C. 3
D. 5
Tras la primera operación hay Al echar las bolas amarillas,
n
n
bolas azules y 2n bolas rojas de un total de 3 n bolas. 1
debe ser
5
del total, luego hemos echado 2 n bolas amarillas y hay 5n bolas en
total. Doblar el número de bolas azules equivale a echar n, con lo que en total hay 2n bolas azules de 6n bolas. La respuesta es C.
1 3
.
Encuentra el error
106. Belén ha resuelto una ecuación de primer grado, pero al comprobar la solución se da cuenta de que ha cometido algún error. E stos son sus cálcul os: 3(2 x 5) 5 x 6 2
6 x
“ Simplifico un 6 que apare ce sumando a la izquierda y un 6 que aparece suma 3(2 x 5) 5
x
6
2x
“ Simplifico u n 2x que apare ce sumando a la izquierda y un 3( 2 x
ndo a la derecha”.
6
2x que apa rece sumando a la dere cha” .
5) 5 x 2
x
“Resuelvo”. 15 5 x 0
5 1 5x
x3
15 5
Encuentra e l error y halla la solución correcta. El error se encuentra en el segundo paso. No se puede simplificar el 2x de la izquierda, ya que, al estar dentro del paréntesis, va multiplicado por 3. x x−5 x2= La solución es 3(2x +5)− 5x 2x= x⇒6 +15
15 = ⇒− x=− ⇒
15
Ecuaciones | Unidad 6 173
PONTE A PRUEBA Alquil er de DVD Acti vidad res uel ta. La persecución Un ave struz se ha percatado de que un gu epardo du erme sobre la rama de un árbol y h veloci dad de 90 km/h antes de que este se despierte.
uye despavorida a una
El guepardo se despierta 10 segundos después y ve al avestruz alejarse en el horizonte. Inmediatamente, sale en su persecuc ión a 120 km/h. Como el guepardo va a más velocidad, terminará alcanzando al avestruz, pero si el avestruz llega a una zona de sabana donde se puede camuflar, se librará del guepardo. 1.
Si el guepardo tarda t min utos en alcanz ar al avestruz, ¿ cuánto tiempo llevará e l avestruz huyendo? A. 10 segun do s
B. minutos t
C. ( t+10) minu tos
D. (
t
+10) segund os
t
1 6
minutos
2.
Cuando e l guepardo a lcance al avestruz, habrán recorr ido la mism a dis tancia. P lantea y resuelve la ecuación corr espondiente.
3.
Si la zona de sabana está a 2 km, ¿logr ará el avestruz e scapar?
1.
Como 10 segundos son
2.
Pasamos ambas velocidades a km/min:
10 60
=
1 6
1 minutos, la respuesta es E. t + minutos. 6
90 120 90k m/h = 60 km/min =1,5 km/min ; 120 km/h = 60 km/min =2 km/min 1 13 1 3 =t2 ⇒ t + t 2 6 42 6
1,5 t +
3.
174
E.
= 2⇒
El avestruz ha recorrido 2·
Unidad 6| Ecuaciones
1 2
t + t
=
t
1 2 ⇒ 6 1t8= ⇒ 2 −1 = − ⇒ =min t + 2
t
= 1 km solamente, no escapará del guepardo.
Romeo y Jul ieta 2.0 Dos ena morados están mandándose mensajes románticos Romeo se despide d e la conversación enviando
a través del móvil.
a Julieta el siguiente mensaje:
Juli eta, para expresarle más afecto, respond e así:
Entonces Romeo responde con más emoticonos añadiendo dos más. De esta forma, continúan mandándose mensaje s, hasta llega r al final, cuando uno de los dos decide terminar la conversación y dar las b uenas noches. El últi mo me nsaje romá ntico e nvia do tie ne 15 veces el icono
.
1.
¿Cuántos iconos tiene e l mensaje 4? ¿Y el mensaje 5 ?
2.
¿Cuántas ve ces hay que sumar 2 iconos al primer mensaje para llegar al cuarto mens aje? ¿Y al quinto ? ¿Y al décimo?
3.
¿Qué ecuación represe nta el núme ro de e moticon os utilizados en función del número de me esté enviando?
4.
Calcula e l lugar que ocupa e l último mensa je romántico.
5.
¿Qué ecuación indica el número de
1.
Construimos una tabla con los datos:
iconos to tales utiliza dos en todos los mensajes que
nsaje que se
se han enviado?
n.º de mensaje
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
n.º de emoticonos
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
…
El mensaje 4 tiene 9 emoticonos y el quinto, 11.
2.
Para llegar al cuarto mensaje, 9 = 3+ 2+ 2+ 2
, por tanto hay que sumar tres veces dos emoticonos.
Para llegar al quinto mensaje, 11=3+ +2+2+ 2 2
, por tanto hay que sumar cuatro veces dos emoticonos.
Para llegar al décimo mensaje, hay que sumar nueve veces dos emoticonos.
3.
3 +2
( n−1 =2 +)1
4.
El último mensaje romántico enviado tiene 15 veces el icono, de manera que 15 =3 +2
5.
Sn =
n
1 4= 2 nn⇒ = 7 (−n1 ⇒15 ) = 3+ 2 −2n⇒
3 + 2n + 1 nn ·n = 2
2
+2
Ecuaciones | Unidad 6 175
AUTOEVAL UACIÓN
1.
Comprueba si
2, x
x
a) 3x 5(2 x 1) 9 3
1y
0 son sol uciones de estas ecuaciones.
x
b)
x
2x 5 8
2x 1
a) 3· 2 −5 (2· 2− 1)= 9− 3 ·⇒ 2 − 6 5=·3− ⇒ 9 6− =6 ⇒ 1− 5 ≠3 3 (1−) −5 2((1)− −1= 9−) 3 −1 ⇒−( +3 )15 93 = + ⇒
3·0 −5(2· 0− 1=) − 9 ⇒ 3·0 ≠
b)
6
12 3 1
−
8
9
8
= − =−=≠
3
1 −
8 3 24 24
24
−
=
,
x
1
, x = −1 sí es solución.
3· (1−) −3· ( −)1 − 6= +3 −3 =6 0
2.
, x = −1 no es solución.
, x = 2 sí es solución.
2
x =
, x = 2 no es solución.
= 0 sí es solución.
c) 3·22 −3· 2−6=1 −2 −6 = 6 0
−6 ≠ 0 ,
, x = −1 sí es solución.
, x = 0 no es solución.
9
8 3 2 4 24 2 4 2 4
5 2 1 5 1 6
− =
−1
0 no es solución.
Resuelve las siguientes ecuaciones. b) 6(3x 2) 5(2
x
b)
1) 4 x 14
x
8
92 7 x 10
2x 2
a) 6(3x −2)− 5(2 x + x=1) 4 − ⇒x14 −18 x − x12 − =10x− ⇒ 5x 4 = 14 ⇒ =4 b) c)
x − 9x 2 − x 7−
−
8
10
=
x −2 2
4(3x −2) x5−(8 3 ⇒
3.
−
⇒
x5− 45 x8− 28 2 0
−
40
5) x 5 − x −12
=⇒
4 3 3
48x− − 32 x (120 −
=
−
=
40
75 72 ⇒ − = −x ⇒ = )x 20
−
48
32 1 20
=⇒
2
12 1
23
23 72
2
2
2
a) 5 x 80 0 b) 4 x 2 4 0
c) 3x 0 d) 8x 2 24 x 0 80 =x2 ⇒ x =16 ⇒2 =± 4
1 x = 1⇒2 =± b) 4x 24−0= ⇒x 10 −2 =x ⇒
c) 3x 2 = 0 ⇒ x = 0 d) 8x 2 +24x 0= ⇒8x +3 (= 0⇒ )
Unidad 6| Ecuaciones
x = 0 x = −3
5 3
4
⇒ − − − =5−x 4 5⇒ −x 8(−=2⇒8x= 2 )0 4x 0
8 4x0− 25 x −5
=⇒
4(3 x 2) 5(8 x 5) 3 4
3
40
40
4 3 1
c)
3
Calcula las s olucion es de las ecuaciones:
a) 5x 28− 0 =0 ⇒ 5x
176
, x = 2 no es solución.
9 3
12 = 12
2·2 +5+2 2 9 4 2 7 3 −−2 5 1 − = − = −= ≠ 8 3 8 3 24 24 2 4 2 4
++− 2 5
c) 3x 2 3 6x 0
3 2 4
75
20
x23
23
1
4.
Resuelve las si guientes ecuaciones de segundo a) 2x 12 2
x
b)
14 0
a) 2x 2 −12−⇒ ==x 14 0
−
2
12 ± −( 12 )−
=
x
+ =⇒ − + += ⇒ =
30x x50
b)
5.
+
2
grado.
20 0 x x 3
4·2· −( ) 14 ⇒
=
5x 2 0
x
20 0
12 + 16 x= =7 4 x = 12 −16 = −1 4
12 ± 16
2·2
2
30x 2 50
4
−5± 5− 2 4· − 3( ·2) ⇒ 2·3( − )
−5 ± 7 6
−
−5 + 7 −1 x = −6 = 3 x = −5 − 7 = 2 −6
En una torre se han usado distintos materiales. En la parte inferior se ha usado el material más pesado, hasta una altura igual a la cuarta parte de la altura de la torre. La parte central, que equivale a las dos tercera s partes de lo que queda, se construye con un material menos pesado, y los 10 metros que quedan se construy en con un material muy l igero. ¿C uánto mide la torre? Llamamos x a la altura total de la torre. x
+
43
2 x
x x + = 10 x⇒ + 434
x−
4
2 x x
+ =·
3 ⇒ 10 x + += 42
⇒x +10 +x =
⇒2 =40 4
40
La torre mide 40 m.
6.
En una carrera han participado 10 atletas. El primero recibe 7 puntos más que el segundo, este recibe 4 puntos más que el te rcero, y este re cibe 2 puntos más que el cuarto. Todos los demás reciben los mismo puntos que el cuarto clasificado. Si en total se repartieron 71 puntos, ¿cuántos recibió cada atleta ? Si llamamos primero,
x
x
a los puntos que recibe el cuarto atleta, el tercer atleta recibe
+ 2 , el segundo,
x
+ 2 + 4 y el
+ 2+ 4+7
( x + 2+ +4 7+)( x+ + +)2(x 4x)+ +
2=x⇒·7 71 + =x10 ⇒ 2x 1 71 = ⇒ 10 = 50
5
El primero recibió 5 +2+ +4=7 1 8 puntos, el segundo, 5 +2 +4 1=1 uno de los demás recibió 5 puntos.
7.
x
s
puntos, el tercero, 5 + 2 = 7 puntos y cada
A un nú mero se le suman 6 un idades, se eleva al cu adrado y se resta el trip le del número in icial . El result ado obteni do es 148 . ¿Cuál era e l núm ero? Llamamos x al número. 2
( x + 6 )−x 3=
=⇒ x
9 −±
148 x x+ ⇒
+2x12− 3= 6x 3x⇒ 148 + −
−9 2 4·1· − (1 12 ) = ⇒ 2·1
−9 ± 23 2
9 12 12 0 =⇒
−9 + 23 =7 x = 2 − 9 − 23 x = = − 16 2
El número era 7 o −16.
Ecuaciones | Unidad 6 177
