Solucionario Cálculo diferencial e integral
Piskunov y yo resolviendo los problemas 07/10/11
Índice general
1. Número. Varible. Función 2. Límite y continuidad de las funciones.
5 37
Introducción Problemas del Libro Calculo diferencial e integral de Piskunov[4], resueltos por mi. Para aprender a manejar Latex, Lyx y Scilab; y de paso repasar mis conceptos de cálculo, y/o aprender algo más al respecto. Intentare resolver en la medida de mis posibilidades los problemas con Scilab. No me hago responsable de los resultados, he comprobado que concuerdan, aunque en algunas ocasiones puede ser que no (si me doy cuenta lo indicaría en el ejercicio correspondiente). He con gurado el documento, para que los apartados (ejercicios) no aparezcan en el indice general, pues se obtenía un indice muy largo, y daba problemas al crear un PDF (formatos no permitidos en hiperindices?). He con gurado el tamaño de hoja para A5, con la idea de que se pueda ver completo (sin necesidad de zoom) en un ebook, de momento como no tengo ebook, no puedo comprobar como se ve realmente. No obstante es bastante sencillo cambiar la con guración al tamaño de hoja que se desee. Con este tamaño de hoja también se podría imprimir directamente dos hojas en un A4.
Capítulo 1 Número. Varible. Función
He resuelto manualmente los ejercicios propuestos, dibujando las grá cas por puntos (dando valor a x y obteniendo la y correspondiente), ya que el libro de Piskunov no trata en este capítulo el trazado de las grá cas (máximos, mínimos, concava, convexa, etc..). Después he procedido (en los ejercios con grá cas) a obtenerlas con Scilab (he intentado usar la mayor cantidad de opciones que tiene Scilab para el trazado de funciones, aunque puede ser que existan más que no conozca -eso seguro-).
AT X pst-func, pues mi objetivo es manejar el programa Deseche utilizar el package de L E Scilab. No obstante, si se tercia (he hecho alguna prueba desde MiTEX y me ha funcionado, desde LYX aún no lo he probado, supongo que será mediante una Red Box), probare a utilizarlo en alguna ocasión.
1.1. Calcular f (x) = x2 + 6x − 4 para x = 1 y y = 3 f (1) = 12 + 6 · 1 − 4 = 1 + 6 − 4 = 3 f (3) = 32 + 6 · 3 − 4 = 9 + 18 − 4 = 23
1.2. Calcular f (x) = x2 + 1 para los valores dados b)
f (4) = 42 + 1 = 16 + 1 = 17 √ √ 2 f ( 2) = 2 +1=2+1=3
c)
f (a + 1) = (a + 1) + 1 = a2 + 2a + 1 + 1 = a2 + 2a + 2
d)
f)
f (a) + 1 = a2 + 1 + 1 = a2 + 1 + 1 = a2 + 2 2 f (a2 ) = a2 + 1 = a4 + 1 2 2 [f (a)] = a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1
g)
f (2a) = (2a) + 1 = 4a2 + 1
a)
e)
2
2
1.3. Calcular ϕ
1 x
ϕ
y
1 ϕ(x)
x−1 siendo ϕ(x)= 3x+5
1 −1 1 = = x1 x 3x + 5 1 = ϕ(x)
1 x−1 3x+5
1−x x 3+5x x
=
=
1−x 3 + 5x
3x + 5 x−1
√
1.4. Calcular ψ(x) = x2 + 4 para 2x y para 0 ψ (2x) =
q p p 2 (2x) + 4 = 4x2 + 4 = 2 x2 + 1
ψ (0) =
p √ 02 + 4 = 4 = 2
2f (θ) 1.5. Siendo f (x) = tg(θ) veri car que f (2θ) = 1−[f (θ)]
2
f (2θ) = tg(2θ) =
=
sen 2θ sen θ cos θ + cos θ sen θ 2 sen θ cos θ cos2 θ = = · = cos 2θ cos θ cos θ − sen θ sen θ cos2 θ − sen2 θ cos2 θ 2 sen θ cos θ cos2 θ cos2 θ−sen2 θ cos2 θ
=
θ 2 sen cos θ
1−
sen2 θ cos2 θ
=
2 tg θ 1 − tg2 θ
c.q.d
1−x 1.6. Siendo ϕ(x) = log 1+x comprobar que ϕ(a) + ϕ(b) =
ϕ
a+b 1+ab
ϕ(a) = log
ϕ(a) + ϕ(b) = log
ϕ
a+b 1 + ab
= log
1− 1+
a+b 1+ab a+b 1+ab
1−a 1+a
ϕ(b) = log
1−b 1+b
1−a 1−b (1 − a)(a − b) + log = log 1+a 1+b (1 + a)(1 + b)
= log
1 + ab − a − b (1 − a)(1 − b) = log 1 + ab + a + b (1 + a)(1 + b)
c.q.d.
1.7. Siendo f (x) = log x y ϕ(x) = x3 calcular: a) b)
f [ϕ(2)] = f 23 = f (8) = log 23 = 3 log 2 f [ϕ(a)] = f a3 = log a3 = 3 log a
c)
ϕ [f (a)] = ϕ [log a] = (log a)
3
1.8. Dominio natural de nición función y = 2x2 + 1 No existen valores que produzcan divisiones por cero; por tanto todos los reales son validos.
x∈R
−∞
1.9. Dominio natural de nición funciones: a)
√
1 − x2
; si
|x| > 1 ⇒ 1 − x2 < 0 ⇒No
raiz real
⇒ −1 6 x 6 1
2
x2 = |x| √
√ 4
3
5
b) 3 + x + 7 − x ; si x < −3 o x > 7 ⇒No raiz real ⇒ −3 6 x 6 7 √ √ c) x + a − x − b ; siempre existen raices reales ⇒ −∞ < x < ∞ √ 3
d)
a+x a−x
−8 =
; si
p 3
(−2)3 = (−2) = −2
√ 3
8=
√ 3
23 = 2
x = a ⇒ denominador = 0=⇒ ∀x 6= a
e) arcsen2 x ; como sen x sólo toma los valores entre−1 y 1 ⇒este es el dominio de arcsen x y de arcsen2 x ⇒ −1 ≤ x ≤ 1 f) y = log x ; la función logarítmica sólo está de nida para valores positivos ⇒ ∀x > 0
g) y = ax (a > 0) =⇒ ∀x ⇒ −∞ < x < ∞
1.10. Construir grá ca de la función y = −3x + 5 Puntos de corte con los ejes:
x=0⇒y=5
y = 0 ⇒ −3x = −5 ⇒ x =
La curva es una recta, y utilizando Scilab para dibujarla
x=[ −5:0.1:5] '; y=−3*x+5; b=5/3; plot2d ( x , y , [ 2 ] , l e g="y=−3*x+5" , r e c t =[−1 0 5 1 0 ] )
xgrid xstring ( 0 , 5 , [ "P( 0 , 5 ) " ] ) xstring ( b , 0 , [ "P( 5 / 3 , 0 ) " ] )
// a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ;
5 3
1.11. Gra car parábola y = 21 x2 + 1 y = 0 → 0 = 12 x2 + 1 → −2 = x2 no cruza el 1 Analizándo algunos puntos x = 1 o x = −1 ⇒ y = 1 + 2 x = ±2 ⇒ y = 2 + 1 = 3 x=0⇒y=1 Dado que si
Realizando el grá co en scilab:
x=[ −5:0.1:5] '; y =0.5* x^2+1; plot2d ( x , y , [ 2 ] , l e g="y=1/2*x+1" , r e c t =[−4 0 4 1 0 ] )
xgrid
// a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ;
eje x
1.12. Parábola y = 3 − 2x2 y = 0 ⇒ 0 = 3−2x2 ⇒ −3 = −2x2 ⇒ |x| = x=0⇒y=3
q
3 2 es simétrica respecto eje y (ordenadas)
x=[ −5:0.1:5] '; y=3−2*x ^ 2 ; plot2d ( x , y , [ 2 ] , l e g="y=3−2*x^2" , r e c t =[−3 −5 3 4 ] )
xgrid
// a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ;
1.13. Parábola y = x2 + 2x − 1 √ −1± 22 −4·1·(−1) x= = 2·1 √ y = 0 ⇒ x1 = −1 + 2 x = 0 ⇒ y = −1
√ −2± 4+4 2
√
2 = −2±2 2 √ x2 = −1 − 2
puntos de corte eje x (abcisas)
x=[ −5:0.1:5] '; y=x^2+2*x − 1; plot2d ( x , y , [ 2 ] , l e g="y=x^2+2*x−1" , r e c t =[−4 −2 2 7 ] )
xgrid
// a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ;
1 1.14. y = x−1
∀x 6= 1
x = 0 ⇒ y = −1 x1 = [ − 3 : 0 . 0 5 : . 9 5 ] ' ; x2 = [ 1 . 0 5 : 0 . 1 : 3 ] ' ; dims =1; x=c a t ( dims , x1 , x2 ) ; y=(x − 1)^( − 1) ; // y=1/(x −1) ; No f u n c i o n a plot2d ( x , y , [ 2 ] , l e g="y=1/(x −1)" , r e c t =[−3 −10 3 1 0 ] )
xgrid xstring ( 0 , − 1 , [ "P(0 , − 1) " ] )
// a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ;
1.15. y = sen 2x La curva La curva
sen x es periódica 2π sen 2x es periódica π
x1 = [ − 3 : 0 . 0 5 : . 9 5 ] ' ; x2 = [ 1 . 0 5 : 0 . 1 : 3 ] ' ; dims =1; x=c a t ( dims , x1 , x2 ) ; y=(x − 1)^( − 1) ; // y=1/(x −1) ; No f u n c i o n a plot2d ( x , y , [ 2 ] , l e g="y=1/(x −1)" , r e c t =[−3 −10 3 1 0 ] )
xgrid xstring ( 0 , − 1 , [ "P(0 , − 1) " ] )
// a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ;
1.16. y = cos 3x La curva La curva
cos x es periódica 2π cos 3x es periódica 23 π
x = [ 0 : 0 . 1 : 2 * %pi ] ' ; plot2d ( x , cos ( 3 * x ) , [ 2 ] , r e c t =[0 , − 1 ,2* %pi , 1 ] ) ;
xgrid
a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ;
1.17. Parábola y = x2 − 4x + 6 4±
y=0⇒x= x=0⇒y=6
√
(−4)2 −4·1·6 2·1
=
√ 4± 16−24 no corta el eje x 2
x=[ −5:0.1:5] '; y=x^2 −4*x+6; plot2d ( x , y , [ 2 ] , l e g="y=x^2−4*x+6" , r e c t =[−1 0 5 1 1 ] )
xgrid
// a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ;
1 1.18. y = 1−x
2
x=0⇒y=1 No de nida para
|x| = 1
Curva simétrica eje ordenadas
x1 = [ − 3 : 0 . 0 5 : − 1 . 0 5 ] ' ; x2 = [ − 0 . 9 5 : 0 . 0 5 : 0 . 9 5 ] ' ; x3 = [ 1 . 0 5 : 0 . 0 5 : 3 ] ' ; dims =1; x=c a t ( dims , x1 , x2 , x3 ) ; y=(1−x ^2) ^( − 1) ; // y=1/(1− x ^2) ; No f u n c i o n a plot2d ( x , y , [ 2 ] , l e g="y=1/(1 − x ^2) " , r e c t =[−3 −5 3 5 ] )
xgrid
// a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ;
1.19. y = sen x + π4 La curva es periódica
2π
y está adelantada
π 4 (respecto a la curva seno)
x = [ 0 : 0 . 1 : 2 * %pi ] ' ; plot2d ( x , sin ( x+( %pi/ 4 ) ) , [ 2 ] , r e c t =[0 , − 1 ,2* %pi , 1 ] ) ;
xgrid
a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ;
1.20. y = cos x − π3
cos x
2π
La curva
es periódica
retrasada
π 3 (respecto a la curva coseno)
x = [ 0 : 0 . 1 : 2 * %pi ] ' ; plot2d ( x , [ sin ( x+( %pi/ 4 ) ) cos ( x −( %pi/ 3 ) ) ] , [ 2 3 ] , l e g=" s i n ( x+p i / 4 ) @cos ( x − p i / 3 ) " , r e c t =[0 , − 1 ,2* %pi , 1 ] ) ;
xgrid
a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ;
1.21. y = tg 21 x La curva
tg 12 x
es periódica
2π
y no valilda para
x = π (tg x
es periódica
π)
1.22. y = cotg 41 x La curva
cotg 14 x
es periódica
4π
y no valilda para
x = π (cotg x
es periódica
π)
x=[( − 1) * %pi : 0 . 1 : %pi ] ' ; deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =tan ( x / 2 ) " ) ; deff ( " [ y]=g ( x ) " , "y =c o t g ( ( x+((x==0)* %eps ) ) / 4 ) " ) ; // con "+(x==0)* %eps" s e e v i t a e l 0 // t r a z o f u n c i ó n f ( x ) fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t =[− %pi, − 10 , %pi , 1 0 ] ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y // a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . // There a r e a compound made o f two p o l y l i n e s and a l e g e n d p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e .
xgrid
// t r a z o f u n c i ó n g ( x ) fplot2d ( x , g , [ 3 ] , r e c t =[− %pi, − 10 , %pi , 1 0 ] ) ; // t r a z o g r u e s o en f u n c i ó n d i b u j a d a p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . // uso de LaTex en l a l e g e n d a , ver ' l e g e n d ' h l=l e g e n d ( [ ' $y=t g \ f r a c {x }{2} $ ' ] , [ ' $y=c o t g \ f r a c {x }{4} $ ' ] , 4 ) ;
1.23. y = 3x La curva potencial corta el eje x en el
−∞
se aproxima a el rápidamente, pero no lo
corta. Para
x=0⇒y=1
1.24. y = 2−x
2
La curva potencial es simétrica respecto al eje y, debido al cuadrado de x. Y corta el eje x en el Para
−∞ y en el +∞ se aproxima a ellos rápidamente, pero no lo corta.
x=0⇒y=1
x=[ −5:0.1:5] '; deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =3^x" ) ; deff ( " [ y]=g ( x ) " , "y =2^( −(x ^2) ) " ) ; // t r a z o f u n c i ó n f ( x ) fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t = [ − 3 , 0 , 3 , 4 ] ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y // a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . // There a r e a compound made o f two p o l y l i n e s and a l e g e n d p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e .
xgrid
// t r a z o f u n c i ó n g ( x ) fplot2d ( x , g , [ 3 ] , r e c t = [ − 3 , 0 , 3 , 4 ] ) ; // t r a z o g r u e s o en f u n c i ó n d i b u j a d a p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . h l=l e g e n d ( [ ' $y=3^x$ ' ] , [ ' $y=2^{−x^2}$ ' ] , 1 ) ;
1.25. y = log2 x1 La curva logarítmica sólo está de nida para valores
x > 0,
por lo que
log2
1 x también
tiene el mismo dominio También se representa la curva
y = ln x1
x=[0:0.05:4] '; deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =l o g 2 ( 1 / ( x+((x==0)* %eps ) ) ) " ) ; deff ( " [ y]=g ( x ) " , "y =l o g ( 1 / ( x+((x==0)* %eps ) ) ) " ) ; fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t = [ 0 , − 4 , 4 , 1 0 ] )
xgrid
a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . // There a r e a compound made o f two p o l y l i n e s and a l e g e n d p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . xgrid ; // t r a z o f u n c i ó n g ( x ) fplot2d ( x , g , [ 3 ] , r e c t = [ 0 , − 4 , 4 , 1 0 ] ) ; // t r a z o g r u e s o en f u n c i ó n d i b u j a d a p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . h l=l e g e n d ( [ ' $y=\log_2 \ f r a c {1}{ x}$ ' ] , [ ' $y=l n \ f r a c {1}{ x} $ ' ] , 1 ) ; // upper l e f t corner
1.26. y = x3 + 1 y = 0 ⇒ x = −1
x=0⇒y=1
1.27. y = 4 − x3 y=0⇒x=
√ 3
4
x=0⇒y=4
x=[ −2.2:0.1:3] '; deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =x^3+1" ) ; deff ( " [ y]=g ( x ) " , "y =4−x^3" ) ; // t r a z o f u n c i ó n f ( x ) fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t =[ − 5 , − 8 ,5 ,10]) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y // a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . // There a r e a compound made o f two p o l y l i n e s and a l e g e n d p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e .
xgrid
// t r a z o f u n c i ó n g ( x ) fplot2d ( x , g , [ 3 ] , r e c t =[ − 5 , − 8 ,5 ,10]) ; // t r a z o g r u e s o en f u n c i ó n d i b u j a d a p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . h l=l e g e n d ( [ ' $y=x^3+1$ ' ] , [ ' $y =4−x^3$ ' ] , 1 ) ;
1.28. y = x1
2
No de nida para
x=0
(tendería a in nito)
Curva simétrica respecto al eje y (ordenadas)
x1 = [ − 3 : 0 . 1 : − 0 . 1 ] ' ; x2 = [ 0 . 1 : 0 . 1 : 3 ] ' ; dims =1; x=c a t ( dims , x1 , x2 ) ; deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =(x ^2) ^( − 1)" ) ; fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t = [ − 3 , 0 , 3 , 1 0 ] ) // tambien f u n c i o n a // y =(x ^2) ^( − 1) // p l o t 2 d ( x , y , [ 2 ] , l e g ="y =(x ^2) ^( − 1) " , r e c t =[−3 0 3 1 0 ] )
xgrid
// a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; h1=l e g e n d ( [ ' $y=\ f r a c {1}{ x^2}$ ' ] , 2 ) ;
1.29. y = x4 Curva simétrica respecto al eje y (ordenadas)
1.30. y = x5 Curva simétrica respecto al origen (punto 0,0)
x=[ −2:0.1:2] '; deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =x^5" ) ; deff ( " [ y]=g ( x ) " , "y =x^4" ) ; // t r a z o f u n c i o n f ( x ) fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t =[ − 2 , − 10 ,2 ,10]) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y // a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . // There a r e a compound made o f two p o l y l i n e s and a l e g e n d p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e .
xgrid
// t r a z o f u n c i o n g ( x ) fplot2d ( x , g , [ 3 ] , r e c t =[ − 2 , − 10 ,2 ,10]) ; x t i t l e ( " F u n c i o n e s p o t e n c i a l e s " ) ; // x l a b e l (" x ") ; y l a b e l (" y ") ; l a s l e t r a s " x " e " y " s a l e n s o b r e c u a d r i c u l a y no s e ven // t r a z o g r u e s o en f u n c i o n d i b u j a d a p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . h l=l e g e n d ( [ ' $y=x^5$ ' ] , [ ' $y=x^4$ ' ] , 4 ) ;
√
1.31. y = x Curva de nida sólo para
x≥0
1.32. y = √1x Curva de nida sólo para
x>0
Programa en Scilab (no trazo punto cero)
x=[0.01:0.01:10] '; deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =s q r t ( x ) " ) ; deff ( " [ y]=g ( x ) " , "y =1/( s q r t ( x ) ) " ) ; // t r a z o f u n c i ó n f ( x ) fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t = [ 0 , 0 , 1 0 , 1 0 ] ) ; a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y // a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . // There a r e a compound made o f two p o l y l i n e s and a l e g e n d p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . xgrid ; // t r a z o f u n c i ó n g ( x ) fplot2d ( x , g , [ 3 ] , r e c t = [ 0 , 0 , 1 0 , 1 0 ] ) ; x t i t l e ( " F u n c i o n e s p o t e n c i a l e s " ) ; // t r a z o g r u e s o en f u n c i ó n d i b u j a d a p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . h l=l e g e n d ( [ ' $y=\ s q r t {x}$ ' ] , [ ' $y=\ f r a c {1}{\ s q r t {x }} $ ' ] , 1 ) ; // upper l e f t corner
√ 3
1.33. y = x Curva simétrica respecto al origen
Scilab utiliza la exponenciación para resolver, por lo que no da valores correctos para valores de x negativos.
1
1
x 3 = e 3 log x
Dando resultados de número complejos, que en la
presentación grá ca, se convierten a: en el eje x la parte real, y en el eje y la parte imaginaria. Por ejemplo la
√ 3
−27 = −3
en Scilab es
1
−27 3 = 1, 5 + 2, 5980762i
(Curva azul, para
números positivos coincide con curva verde -queda oculta-)
x=[ −8:0.1:8] '; deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =x ^ ( 1 / 3 ) " ) ; // For two r e a l or complex numbers x1 e t x2 t h e v a l u e o f x1^x2 i s t h e " p r i n c i p a l v a l u e " d e t e r m i n e d by x1^x2 = exp ( x2 * l o g ( x1 ) ) . function [ y]=g ( x ) i f x<0 then y=( −1) * ( ( abs ( x ) ) ^ ( 1 / 3 ) )
else
y =x ^ ( 1 / 3 )
end endfunction fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t =[ − 8 , − 3 ,8 ,3]) xgrid
a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . // There a r e a compound made o f two p o l y l i n e s and a l e g e n d p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . xgrid ; // t r a z o f u n c i ó n g ( x ) fplot2d ( x , g , [ 3 ] , r e c t =[ − 8 , − 3 ,8 ,3]) ; // t r a z o g r u e s o en f u n c i ó n d i b u j a d a p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . h l=l e g e n d ( [ ' $y=x^\ f r a c {1}{3}= e ^{\ f r a c {1}{3}\ l o g {x }} $ ' ] , [ ' $y=\ s q r t [ 3 ] { x } $ ' ] , 1 ) ; // upper l e f t c o r n e r
1.34. y = |x| Curva siméttrica respecto a las ordenadas.
1.35. y = log2 |x| Curva simétrica, de nida
∀x 6= 0
x=[ −4:0.1:4] '; deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =abs ( x ) " ) ; deff ( " [ y]=g ( x ) " , "y =l o g 2 ( abs ( x ) +((x==0)* %eps ) ) " ) ; // con "+(x==0)* %eps" s e e v i t a e l 0 // t r a z o f u n c i ó n f ( x ) fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t =[ − 4 , − 10 ,4 ,4]) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y // a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . // There a r e a compound made o f two p o l y l i n e s and a l e g e n d p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e .
xgrid
// t r a z o f u n c i ó n g ( x ) fplot2d ( x , g , [ 3 ] , r e c t =[ − 4 , − 10 ,4 ,4]) ; // t r a z o g r u e s o en f u n c i ó n d i b u j a d a p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . // uso de LaTex en l a l e g e n d a , ver ' l e g e n d ' h l=l e g e n d ( [ ' $y =|x | $ ' ] , [ ' $y=\log_2 | x | $ ' ] , 4 ) ;
1.36. y = log2 (1 − x) Curva de nida
∀x < 1
x=[ −5:0.1:1] '; deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =l o g 2 ((1 − x ) +((1 − x )==0)* %eps ) " ) ; deff ( " [ y]=g ( x ) " , "y =l o g ((1 − x ) +((1 − x )==0)* %eps ) " ) ; fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t =[ − 5 , − 5 ,1 ,3])
xgrid
a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . // There a r e a compound made o f two p o l y l i n e s and a l e g e n d p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . xgrid ; // t r a z o f u n c i ó n g ( x ) fplot2d ( x , g , [ 3 ] , r e c t =[ − 5 , − 5 ,1 ,3]) ; // t r a z o g r u e s o en f u n c i ó n d i b u j a d a p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . // uso de LaTex en l a l e g e n d a , ver ' l e g e n d ' h l=l e g e n d ( [ ' $y=\log_2 (1 − x ) $ ' ] , [ ' $y=l n (1 − x ) $ ' ] , 3 ) ; // upper l e f t c o r n e r
1.37. y = 3 sen 2x + π3
La curva es senoidal, de amplitud 3, periódica π (respecto a la curva seno) 3
1.38. y = 4 cos x + π2
π
(doble frecuencia) y está adelantada
La curva es senoidal, periódica
2π
y adelantada
π 2 (respecto a la curva seno)
x = [ 0 : 0 . 1 : 2 * %pi ] ' ; deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =3* s i n ( 2 * x+( %pi/ 3 ) ) " ) ; deff ( " [ y]=g ( x ) " , "y =4* c o s ( x+( %pi/ 2 ) ) " ) ; fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t =[0 , − 4 ,2* %pi , 4 ] ) a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y // a x i s c e n t e r e d a t ( 0 , 0 ) a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e .
xgrid
// t r a z o f u n c i ó n g ( x ) fplot2d ( x , g , [ 3 ] , r e c t =[0 , − 4 ,2* %pi , 4 ] ) ; p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 poly1 . t h i c k n e s s = 3 ; h l=l e g e n d ( [ ' $y=3\ s i n ( 2 x+\ f r a c {\ p i } { 3 } ) $ ' ] , [ ' $y=4\ c o s ( x+\ f r a c {\ p i } { 2 } ) $ ' ] ,5) ;
1.39. Curvas de nidas por tramos f (x) de nida ∀x ⊂ [−1; 1]
( f (x) =
1+x 1 − 2x
−1 ≤ x ≤ 0 0≤x≤1
x=[ −1:0.1:1] '; function [ y]= f ( x ) i f x<0 then y=1+x
else
y =1−2*x
end endfunction fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t =[ − 1 , − 1 ,1 ,1]) xgrid
a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . xgrid ;
1.40. Curvas de nidas por tramos f (x) de nida ∀x ⊂ [0; 2] ( x3 f (x) = x
0≤x≤1 1≤x≤2
x=[0:0.1:2] '; function [ y]= f ( x ) i f x<=1 then y=x^3
else
y =x
end endfunction fplot2d ( x , f , [ 2 ] , r e c t = [ 0 , 0 , 2 , 2 ] ) xgrid
a=gca ( ) ; // Handle on a x e s e n t i t y a . x_location = " o r i g i n " ; a . y_location = " o r i g i n " ; a . c h i l d r e n // l i s t t h e c h i l d r e n o f t h e a x e s . p o l y 1= a . c h i l d r e n ( 1 ) . c h i l d r e n ( 1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e h a n d l e i n t o p o l y 1 p o l y 1 . t h i c k n e s s = 3 ; // . . . and t h e t i c k n e s s o f a c u r v e . xgrid ;
1.41. Espiral hiperbólica % = ϕa p h i = [ 0 : %pi / 1 0 0 : %pi * 4 ] ; rho = ( 0 . 9 ) / p h i
polarplot ( phi , rho )
1.42. Espiral logarítmica % = aϕ Para Para Para
a<1⇒ a=1⇒ a>1⇒
espiral que se acerca a cero (color negro). circulo unidad (color rojo) espiral que se aleja a in nito (color azul)
p h i = [ 0 : %pi / 1 0 0 : %pi * 4 ] ; rho05 = ( 0 . 9 ) ^p h i ; rho1=1^p h i ; rho2 =1.1^ p h i polarplot ( [ phi ' phi ' phi ' ] , [ rho05 ' rho1 ' rho2 ' ] , [ 1 , 5 , 1 0 ] , ' 130 ' , " @r09@r1@>r 1 1 " )
√
1.43. Lemniscata % = a cos 2ϕ También se ha trazado la curva lemniscata con el seno (curva de color rojo)
p h i = [ 0 : %pi / 1 0 0 : 2 * %pi ] ; a =10; columnas=s i z e ( phi , ' c ' ) rho=ones ( p h i ) ;mu=rho ; for i t =1: columnas i f ( cos ( 2 * p h i ( 1 , i t ) ) <0) then rho ( 1 , i t )=0 // v a l o r e s i m a g i n a r i o s de l a r a i z
else
end
rho ( 1 , i t )=a* sqrt ( cos ( 2 * p h i ( 1 , i t ) ) )
end for i t =1: columnas i f ( sin ( 2 * p h i ( 1 , i t ) ) <0) then else
mu( 1 , i t )=0 // v a l o r e s i m a g i n a r i o s de l a r a i z
mu( 1 , i t )=a * sqrt ( sin ( 2 * p h i ( 1 , i t ) ) )
end
end polarplot ( [ phi ' phi ' ] , [ rho ' mu' ] , [ 1 , 5 ] , ' 130 ' , "@r1@>r 1 1 " )
// l a l e m i n i s c a t a d e l seno e s t a g i r a d a ( r e t r a s a d a ) p i /4 (45 º )
1.44. Cardioide % = a (1 − cosϕ) También se ha trazado la curva cardioide con el seno (curva de color rojo)
p h i = [ 0 : %pi / 1 0 0 : 2 * %pi ] ; a =5; rho=a*(1 − cos ( p h i ) ) ; mu=a*(1 − sin ( p h i ) ) ; polarplot ( [ phi ' phi ' ] , [ rho ' mu' ] , [ 1 , 5 ] , ' 130 ' , "@r1@>r 1 1 " ) // l a c a r d i o i d e d e l seno e s t a g i r a d a ( r e t r a s a d a ) p i /2 (90 º )
1.45. Rosa de n-Pétalos % = a sen 3ϕ También se ha trazado la Rosa de 2n-Pétalos con Si el múltiplo de
ϕ
µ = a cos 4ϕ
(curva de color rojo)
es par se obtiene una rosa de 2n-pétalos, si es impar de n-pétalos.
Esto se produce tanto en el seno como en el coseno, lo que hay es un desfase (giro) entre una curva y otra.
p h i = [ 0 : %pi / 1 0 0 : 2 * %pi ] ; a =5; rho=a* sin ( 3 * p h i ) ; mu=a * cos ( 4 * p h i ) ; polarplot ( [ phi ' phi ' ] , [ rho ' mu' ] , [ 1 , 5 ] , ' 130 ' , "@r1@>r 1 1 " )
Capítulo 2 Límite y continuidad de las funciones.
He resuelto manualmente los ejercicios propuestos. En Scilab no he encontrado una herramienta que resulva simbolicamente los límites; parece ser que el programa MAXIMA si que lo hace (pero de momento no estoy interesado en utilizarlo).
2.1. Calcular l´ımx→1 x x+2x+5 +1 2
2
En primer lugar, probamos a resolver aplicando el valor de x, dentro de la expresión::
x2 + 2x + 5 12 + 2 · 1 + 5 8 = = =4 2 2 x→1 x +1 1 +1 2 l´ım
Aplicando teoremas funamentales de los límites (Apartado 5 del libro de Piskunov)
l´ımx→1 x2 + 2x + 5 l´ımx→1 x2 + l´ımx→1 2x + l´ımx→1 5 x2 + 2x + 5 = = = x→1 x2 + 1 l´ımx→1 x2 + 1 l´ımx→1 x2 + l´ımx→1 1 l´ım
=
1+2+5 8 = =4 1+2 2
2.2. Calcular l´ımx→ [2 sen x − cos x + cotg x] π 2
l´ım [2 sen x − cos x + cotg x] = 2 l´ımπ sen x − l´ımπ cos x + l´ımπ cos x · l´ımπ
x→ π 2
x→ 2
=2·1−0+0·
x→ 2
1 =2 1
x→ 2
x→ 2
1 = sen x
2.3. Calcular l´ımx→2 √x−2 2+x l´ımx→2 x − 2 2−2 x−2 0 √ = = l´ım √ = =0 x→2 2 2 2+x l´ımx→2 2 + x
2.4. Calcular l´ımx→∞ 2 − x1 + x4
2
l´ım
x→∞
4 1 2− + 2 x x
= l´ım 2 − l´ım x→∞
x→∞
4 1 + l´ım 2 = 2 − 0 + 4 · 0 = 2 x→∞ x x
2.5. Calcular l´ımx→∞ 4x 3x−2x−5+1 3
2
3
3
2
+1 l´ımx→∞ 4 − 2 x1 + x12 l´ımx→∞ 4x −2x 4x3 − 2x2 + 1 x3 l´ım = = 3 x→∞ 3x3 − 5 l´ımx→∞ 3 − x53 l´ımx→∞ 3xx3−5
=
4 4−0+0 = 3−0 3
2.6. Calcular l´ımx→∞ x+1 x x+1 1 = l´ım 1 + =1+0=1 x→∞ x→∞ x x l´ım
2.7. Calcular l´ımn→∞ 1+2+...+n n 2
1 + 2 + ... + n n(1 + n) 1+n = l´ım = l´ım = l´ım n→∞ n→∞ n→∞ 2n n→∞ n2 2n2
l´ım
1 1 + 2n 2
=0+
1 1 = 2 2
Dado que el sumatorio de la Progresión Aritmética es::
n X
n = (1 + 2 + . . . + n) =
i=1
n(a1 + an ) n(1 + n) = 2 2
2.8. Calcular l´ımn→∞ 1 +2 n+...+n 2
2
2
3
Piskunov[4]propone para su resolución utilizar la igualdad (demostrada):
12 + 22 + . . . + n2 =
n(n + 1)(2n + 1) 6
1 2 + 2 2 + . . . + n2 n(n + 1)(2n + 1) (n + 1)(2n + 1) = l´ım = l´ım = n→∞ n→∞ n→∞ n3 6n3 6n2 l´ım
2 + n3 + 2n2 + 3n + 1 /n2 = l´ ım n→∞ n→∞ 6n2 /n2 6
= l´ım
1 n2
=
2+0+0 1 = 6 3
Tambien se podría resolver por el Criterio de Stolz, en el Atlas de matemáticas [3] se indica este método para resolver límites de la forma:
l´ım
n→∞
an bn
an → ∞ y
bn → ∞
⇒ l´ım
n→∞
an − an−1 an = l´ım n→∞ bn − bn−1 bn
Aplicando el Criterio de Stolz:
(12 + 22 + . . . + n2 ) − (12 + 22 + . . . (n − 1)2 ) = n→∞ n3 − (n − 1)3 l´ım
n2 n2 /n2 = l´ ım = n→∞ n3 − (n3 − 3n2 + 3n − 1) n→∞ 3n2 − 3n + 1 /n2
= l´ım
= l´ım
n→∞
1 3−
3 n
+
1 n2
=
1 1 = 3−0+0 3
+x−1 2.9. Calcular l´ımx→∞ x 2x+5 2
Se puede resolver dividiendo los polinomios denominador y divisor por
x2 .
1 + x1 − x12 x2 + x − 1 /x2 1+0−0 1 = = l´ ım = =∞ 5 2 x→∞ x→∞ 2x + 5 /x2 0 + 0 0 + x x2 l´ım
2.10. Calcular l´ımx→∞ 3x x−2x−1 +4 2
3
Se puede resolver dividiendo los polinomios denominador y divisor por
3x2 − 2x − 1 /x3 = l´ım x→∞ x→∞ x3 + 4 /x3 l´ım
3 x
− x22 − 1 + x43
1 x3
=
x3 .
0−0−0 0 = =0 1+0 1
+x 2.11. Calcular l´ımx→0 4x3x−2x +2x 3
2
2
Se puede resolver dividiendo los polinomios denominador y divisor por
x.
4x3 − 2x2 + x /x 4x2 − 2x + 1 0−0+1 1 = l´ ım = = 2 x→0 3x + 2x /x x→0 3x + 2 0+2 2 l´ım
En Scilab, podemos calcular este límite aprovechando el mínimo valor %eps
function
y=p o l 1 ( x )
y =(4 * x^3 −2* x^2+x ) / ( 3 * x^2+2* x )
endfunction
Obteniendo como resultado en consola, al introducir en vez de 0 el valor %eps
−−>p o l 1 ( %eps )
ans
=
0.5
−4 2.12. Calcular l´ımx→2 xx−2 2
Se soluciona descomponiendo el polinomio del denominador
1 y simpli cando la función.
(x + 2)(x − 2) x2 − 4 = l´ım = l´ım x + 2 = 2 + 2 = 4 x→2 x→2 x→2 x − 2 (x − 2) l´ım
En Scilab, podemos calcular este límite aprovechando el mínimo valor %eps, y la gestión de errores ieee(n)
ieee ( 2 ) function
y=p o l 1 2 b ( x )
y=(x ^2 − 4)/( x − 2)
endfunction disp ( p o l 1 2 b (2 − %eps ) ) disp ( p o l 1 2 b (2+ %eps ) ) Obteniendo como resultado al ejecutar este archivo
−−>exec (
' 02 − 12b . s c i ' ,
−1)
4. Nan
−1 2.13. Calcular l´ımx→1 xx−1 3
Se soluciona descomponiendo el polinomio del denominador
2 y simpli cando la función.
x3 − 1 (x2 + x + 1)(x − 1) = l´ım = l´ım x2 + x + 1 = 12 + 1 + 1 = 3 x→1 x − 1 x→1 x→1 (x − 1) l´ım
En Scilab
ieee ( 2 ) function
y=p o l 1 3 ( x )
y=(x ^3 − 1)/( x − 1)
endfunction disp ( p o l 1 3 (1 − %eps ) ) disp ( p o l 1 3 (1+ %eps ) ) Obteniendo como resultado al ejecutar este archivo
1 0 -4 2 2 4 División de polinomios, por Ru ni: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2) 1 2 0 1 0 0 -1 2 Aplicando Ru ni: x4 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) 1 1 1 1 1 1 1 0 1
−−>exec (
' 02 −13. s c i ' ,
−1)
3. 3.
−5x+6 2.14. Calcular l´ımx→2 xx−12x+20 2
2
Se soluciona descomponiendo los polinomios del denominador y del divisor, y simpli cando la función.
x2 − 5x + 6 (x − 3)(x − 2) x−3 −1 1 = l´ım = l´ım = = x→2 x2 − 12x + 20 x→2 (x − 10)(x − 2) x→2 x − 10 −8 8 l´ım
En Scilab
ieee ( 2 ) function
y=p o l 1 4 ( x )
y=(x ^2 − (5 * x ) + 6 ) / ( x ^2 − (12 * x ) + 2 0 )
endfunction disp ( p o l 1 4 (2 − %eps ) ) disp ( p o l 1 4 (2+ %eps ) )
Obteniendo como resultado al ejecutar este archivo
−−>exec (
' 02 −14. s c i ' ,
−1)
0.25 Nan Que no es correcto, da
1 4 , pero no soy capaz de entender porque.
2.15. Calcular l´ımx→2 3xx +3x−10 −5x+−2 3
2
Se soluciona descomponiendo los polinomios del denominador y del divisor, y simpli cando la función.
x+5 x3 + 3x − 10 (x − 2)(x + 5) 7 = l´ım = l´ım = =1 x→2 3x + 1 x→2 3x2 − 5x + −2 x→2 3(x − 2)(x + 1 ) 7 3 l´ım
En Scilab
ieee ( 2 ) function
y=p o l 1 5 ( x )
y=(x ^3+(3 * x ) − 1 0 ) / ( 3 * x ^2 − (5 * x ) − 2)
endfunction disp ( p o l 1 5 (2 − %eps ) ) disp ( p o l 1 5 (2+ %eps ) ) Obteniendo
−−>exec ( ' 0 2 − 1 5 . s c i − 2 . 2 5 2D+15 Inf
' ,
−1)
Que no es correcto. Y probando con polinomios.
ieee ( 2 ) poly ( [ − 1 0 3 q=poly ( [ − 2 −5
p=
t=p / q
disp disp
( (
0
1 ] , "x" , " c " )
3 ] , "x" , " c " )
horner ( t ,2 − %eps ) ) horner ( t ,2+ %eps ) )
Obteniendo como resultado al ejecutar este archivo
−−>exec ( ' 02 − 15b . − 2 . 0 0 2D+15
−1)
sci ' ,
Inf Que tampoco es correcto.
+2y 2.16. Calcular l´ımy→−2 y y+3y −y−6 3
2
2
Se soluciona descomponiendo los polinomios del denominador y del divisor, y simpli cando la función.
y 3 + 3y 2 + 2y y(y + 1)(y + 2) y(y + 1) = l´ım = l´ım = y→−2 y 2 − y − 6 y→−2 (y − 3)(y + 2) y→−2 y − 3 l´ım
=
(−2)(−2 + 1) (−2)(−1) −2 = = −2 − 3 −5 5
u +4u +4u 2.17. Calcular l´ımu→−2 (u+2)(u−3) 3
2
Se soluciona descomponiendo los polinomios del denominador y del divisor, y simpli cando la función.
u3 + 4u2 + 4u u(u + 2)2 u(u + 2) = l´ım = l´ım = u→−2 (u + 2)(u − 3) u→−2 (u + 2)(u − 3) u→−2 u − 3 l´ım
=
(−2)(−2 + 2) (−2)(0) = =0 −2 − 3 −5
2.18. Calcular l´ımh→0 (x+h)h −x 3
3
(x + h)3 − x3 x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 − x3 /h = l´ım = h→0 h→0 h h /h l´ım
= l´ım 3x2 + 3xh + h2 = 3x2 + 0 + 0 = 3x2 h→0
2.19. Calcular l´ımx→1 l´ım
x→1
1 1−x
−
3 1−x3
1 − x3 − 3 − 3x 1 3 −x3 + 3x − 2 = l´ ım − = l´ım = 3 3 x→1 (1 − x)(1 − x ) x→1 (1 − x)(x − 1)(−x2 − x − 1) 1−x 1−x
Se soluciona descomponiendo el polinomio del denominador
3 y simpli cando la función.
(−1)(x3 − 3x + 2) (−1)(x − 1)2 (x + 2) (−1)(x + 2) = l´ım = l´ım 2 = 2 2 x→1 (x − 1) (x + x + 1) x→1 (x − 1)2 (x2 + x + 1) x→1 x + x + 1
= l´ım
=
−3 (−1)(1 + 2) = = −1 1+1+1 3
−1 2.20. Calcular l´ımx→1 xx−1 n
Se soluciona descomponiendo el polinomio del denominador
4 y simpli cando la función.
i=n−1 i=n−1 i=n−1 X X xn − 1 x−1 X i xi = 1i = = l´ım x = l´ım x→1 x − 1 x→1 x − 1 x→1 i=0 i=0 i=0
l´ım
=
n−1 X
1=n
∀n ≥ 0 ∧ n ∈ N
0
2.21. Calcular l´ımx→0
√
1+x−1 x
( y2 = 1 + x ⇒ x = y2 − 1 Se puede solucionar realizando un cambio de variable x→0⇒ y2 → 1 ⇒ y → 1 Y después simpli cando la función.
√ l´ım
x→0
p 1+x−1 y2 − 1 y−1 = l´ım 2 = l´ım 2 = y→1 y − 1 y→1 y − 1 x
= l´ım
y→1
y−1 1 1 1 = l´ım = = (y − 1)(y + 1) y→1 y + 1 1+1 2
3
Aplicando Ru ni: x3 − 3x + 2 = (x − 1)2 (x + 2)
4
Aplicando Ru ni: xn − 1 = (x − 1) Pi=n−1 xi i=0
1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 x^ n n-1 1 0 1 1 1 1
-3 2 1 -2 -2 0 2 0 n-2 ... n-(n-1)=1 n-n=0 0 0 0 -1 1 1 1 1 1 1 1 0
2.22. Calcular
√ 2x+1−3 √ √ l´ımx→4 x−2− 2
Se soluciona simpli cando la función, eliminando la división de raices que da indeterminacion. Para ello multiplicar y dividir por el conjugado (
p
f (x) ∓ n).
√ √ √ √ √ √ 2x + 1 − 3 2x + 1 + 3 x−2+ 2 (2x + 1 − 9)( x − 2 + 2) √ √ ·√ √ = l´ım l´ım √ ·√ = x→4 2x + 1 + 3 x−2− 2 x − 2 + 2 x→4 (x − 2 − 2)( 2x + 1 + 3) √ √ √ √ √ √ 2x − 8 x−2+ 2 2(x − 4) x−2+ 2 x−2+ 2 · √ · √ = l´ım = l´ım = 2 l´ım · √ = x→4 x − 4 x→4 x − 4 x→4 2x + 1 + 3 2x + 1 + 3 2x + 1 + 3 √ √ √ √ 4−2+ 2 2·2 2 2 2 =2· √ = = 3+3 3 2·4+1+3
2.23. Calcular
√2 2 x +p −p l´ımx→0 √ 2 2 x +q −q
Se soluciona simpli cando la función, eliminando la división de raices que da indeterminacion. Para ello multiplicar y dividir por el conjugado (
p
f (x) ∓ n).
p
p p p (x2 + p2 − p2 )( x2 + q 2 + q) x2 + p2 − p x2 + p 2 + p x2 + q 2 + q p l´ım p ·p ·p = l´ım = x→0 x2 + q 2 − q x2 + p 2 + p x2 + q 2 + q x→0 (x2 + q 2 − q 2 )( x2 + p2 + p) p p p x2 x2 + q 2 + q x2 + q 2 + q 0 + q2 + q 2q q p p p = · = l´ ım = = 2 2 2 2 2 2 x→0 x x→0 2p p x +p +p x +p +p 0+p +p √ √ √ √ 2 2 4−2+ 2 2·2 2 =2· √ = = 3+3 3 2·4+1+3
= l´ım
√ 3
x−1 2.24. Calcular l´ımx→1 √x−1 ( Se puede solucionar realizando un cambio de variable
√ x = y3 ⇒ 3 x = y x → 1 ⇒ y3 → 1 ⇒ y → 1
Y después simpli cando la función (eliminando las raices cuadradas que quedan).
√ 3 3 3 x−1 y − 1 y2 + 1 (y − 1)(y 2 + 1) l´ım √ = l´ım 3 · 3 = l´ım = x→1 y3 − 1 x − 1 y→1 y 2 − 1 y 2 + 1 y→1 3
3
(y − 1)(y 2 + 1) y2 + 1 1+1 2 = l´ım 2 = = 2 y→1 (y − 1)(y + y + 1) y→1 y + y + 1 1+1+1 3
= l´ım
2.25. Calcular l´ımx→a
√
m
√ x− m a x−a (
Se puede solucionar realizando un cambio de variable
√ x = ym ⇒ m x = y √ x→a⇒ ym → a ⇒ y → m a 1
ym − a = 0 ⇒ y = a m . 1 5 solución: x − a m ) .
Dado que la ecuación tiene solución real: la función(dividiendo el polinomio por esa
√
m
l´ım
x→a
√ √ 1 y− ma (y − a m ) x− ma = l´ım = l´ım = Pm n−1 √ √ 1 x−a y→ m a y m − a y→ m a (y − a m )( m y m−n ) n=1 a 1
= l´ım √ Pm m y→
n=1 a
a
n−1 m
1
= Pm
n=1
Se puede simpli car
a
y m−n
= Pm
n−1+m−n m
=
l´ımy→ m√a
1
n=1
a
2.26. Calcular l´ımx→0
m−1 m
√
=
1 Pm
n=1 a
1 m·a
m−1 m
n−1 m
=
y m−n
1
= Pm
n=1 a
1 −1
m · a1 · a m
=
n−1 m
a
m−n m
=
√ 1 m a am = m·a m·a
1+x+x2 −1 x
Se soluciona eliminando la indeterminación (raiz), multiplicando y dividiendo por el
p f (x) ∓ n). √ √ 1 + x + x2 − 12 1 + x + x2 − 1 1 + x + x2 + 1 = l´ım √ = l´ım ·√ 2 x→0 x 1 + x + x + 1 x→0 x( 1 + x + x2 + 1)
conjugado (
x + x2 1+x 1+0 1 1 = l´ım √ =√ = = x→0 x( 1 + x + x2 + 1) x→0 1+1 2 1+0+0+1 1 + x + x2 + 1
= l´ım
√
2.27. Calcular La indeterminación denominador por
√ 2 l´ımx→+∞ √3 xx3−3 +1
∞ ∞ la podemos eliminar dividiendo tanto el numerador y como el
x.
q √ x2 x2 − 3 /x x2 − l´ım √ · = l´ım q 3 3 x→+∞ x + 1 /x x→+∞ 3 x3 + x3
Utilizando Ru ni para dividir: m m-1 m-2 ... m-(m-1)=1 m-(m)=0 1 0 0 0 0 -a a a a .. a a 1 a a ... a 0
5
1 m
1 m
2 m
1 m
2 m
1
y m − a = (x − a m )(
Pm
n=1
m−1 m m−1 m
a
n−1 m
y m−n )
m m
3 x2 1 x3
q 1− = l´ım q x→+∞ 3 1+
3 x2 1 x3
=
q
1− = q 3 1+
2.28. Calcular l´ımx→∞
3 +∞2 1 +∞3
√ 1 1−0 = =1 = √ 3 1 1+0
√
x2 +1 x+1
Hay que calcular el límite cuando se tiende a
+∞ y a −∞. +∞. q √ 1 + ∞12 1 1+0 = = = =1 1 1+0 1 1+ ∞
Para calcular el otro límite, cuando se tiende a
√ l´ım
x→+∞
q
1 + x12 + 1 /x · = l´ım x+1 /x x→+∞ 1 + x1 x2
−∞. ( x = −(t + 1) ⇒ t = −1 − x Se realiza el cambio de variable x → −∞ ⇒ t → −1 + ∞ ⇒ t → +∞ p p √ 2 2 (−(t + 1)) + 1 (t + 1)2 + 1 x +1 = l´ım = l´ım = l´ım x→−∞ x + 1 y→+∞ y→+∞ −(t + 1) + 1 −t ( u = t + 1 ⇒ −t = 1 − u Realizando otro cambio de variable t → +∞ ⇒ u → +∞ q √ √ 1 + u12 2 u + 1 /u 1+0 1 = l´ım = · = l´ım = = −1 u→+∞ 1 − u /u u→+∞ u1 − 1 0−1 −1 Para calcular el otro límite, cuando se tiende a
2.29. Calcular l´ımx→∞
√
x2 + 1 −
√
x2 − 1
Tan sólo hay que calcular el límite cuando se tiende a
x
+∞. Ya que x → −∞.
al estar la variable
elevada al cuadrado, se obtendrá el mismo resultado para
l´ım
x→∞
p
x2
√x 2 + 1 + √x 2 − 1 p (x2 + 1) − (x2 − 1) 2 √ √ +1− x −1 · √ = l´ım √ = x2 + 1 + x2 − 1 x→∞ x2 + 1 + x2 − 1 = l´ım √ x→∞
x2
2.30. Calcular l´ımx→∞ x
2 2 √ = =0 2 ∞ +1+ x −1
√
x2 + 1 − x
Hay que calcular el límite cuando se tiende a
+∞ y a −∞. +∞.
Para calcular el otro límite, cuando se tiende a
√ p 2 p 2 x2 (x2 + 1) − x4 2 x x +1+x 2 2 √ l´ım x x + 1 − x = l´ım x x + 1−x · √ = l´ım = x→+∞ x→+∞ x→+∞ x x2 + 1 + x2 x x2 + 1 + x2
x2 /x2 x4 + x2 − x4 √ = l´ım √ · 2 = l´ım x→+∞ x x2 + 1 + x2 /x x→+∞ x→+∞ x x2 + 1 + x2
= l´ım
= l´ım q x→+∞
1 1+
=√
1 x2
+1
√
1 x2 +1 x
= +1
1 1 1 = = 1 + 1 2 1+0+1
−∞. ( x = −(t + 1) ⇒ −x = t + 1 realiza el cambio de variable x → −∞ ⇒ t → −1 + ∞ ⇒ t → +∞ hp i p x2 + 1 − x = l´ım −(t + 1) (− (t + 1))2 + 1 + (t + 1) = l´ım x
Para calcular el otro límite, cuando se tiende a Se
t→+∞
x→−∞
= (−1) · l´ım (t + 1)
q
t→+∞
2
(t + 1) + 1 + (t + 1) =
( u = (t + 1) Realizando cambio de variable t → +∞ ⇒ u → +∞ hp i hp i = (−1) · l´ım u u2 + 1 + u = (−1) · ∞ ∞2 + 1 + ∞ = −∞ u→+∞
x 2.31. Calcular l´ımx→0 sen tg x sen x sen x = l´ım sen x = l´ım cos x = cos 0 = 1 x→0 tg x x→0 x→0 cos x l´ım
2.32. Calcular l´ımx→∞ senx4x Aquí pienso que hay una errata en el enunciado, debería ser tendiendo a cero. Si es como en el enunciado:
l´ım
x→∞
l´ımx→∞ sen 4x |sen 4∞| ≤ 1 sen 4x = = =0 x l´ımx→∞ x ∞
Si fuese tendiendo a cero, si que da el resultado indicado en el libro.
sen 4x 4 sen 4x sen 4x = l´ım = 4 l´ım = x→0 x→0 4 x→0 x x 4x ( t = 4x cambio de variable x→0⇒ t→0 l´ım
Se realiza el
sen t =4·1=4 t→0 t
= 4 l´ım
2.33. Calcular l´ımx→0 senx
2 x 3 2
sen2 x→0 x2 l´ım
x 3
1 1 sen x3 sen x3 sen x3 sen x3 sen x sen x 1 · = l´ım 31 · l´ım 31 = · l´ım x 3 · l´ım x 3 = x→0 x→0 x→0 x→0 x x x x 9 x→0 3 3 3 3 ( t = x3 el cambio de variable x→0⇒ t→0 1 sen t sen t 1 1 = · l´ım · l´ım = ·1·1= t→0 9 t→0 t t 9 9
= l´ım
Se realiza
x 2.34. Calcular l´ımx→0 √1−cos x Para resolverlo utilizamos la propiedad trigonométrica [2]:
l´ım √
x→0
x x = l´ım p x→0 1 − cos x 2 sen2
x 2
= l´ım √ x→0
x 2 2 2 = √ l´ım 2 x = √ · 1 = √ 2 x→0 sen 2 2 2
1 − cos x = 2 sen2
x 2 .
1 x x 1 2 √ l´ ım = 1 sen x = x x→0 2 sen 2 2 2 2 √ 2 2 √ =√ ·√ = 2 2 2
2.35. Calcular l´ımx→0 x cotg x Dada la de nición de la cotangente [1]:
l´ım x cotg x = l´ım x
x→0
x→0
cotg x =
cos x sen x .
x x /x cos x = l´ım · l´ım cos x = l´ım · cos 0 = x→0 sen x /x sen x x→0 sen x x→0 = l´ım
1
x→0 sen x x
2.36. Calcular l´ımν→
π 3
·1=
1 ·1=1 1
1−2 cos ν sen(ν− π3 ) (
x = ν − π3 ⇒ ν = x + π3 x→0 ν → π3 ⇒ 1 − 2 cos(x + π3 ) 1 − 2 cos ν L = l´ımπ = l´ ım = x→0 ν→ 3 sen ν − π sen x 3
Realizando el cambio de variable
+√b) = cos a · cos b − sen a · sen b cos x + π3 = cos x · cos π3 − sen x · sen π3 = 12 cos x − 23 sen x √ √ 2 cos x + π3 = cos x − 3 sen x =⇒ 1 − 2 cos x + π3 = 1 − cos x + 3 sen x
Y aplicando las propiedades trigonométricas [2]:cos (a
(
√ √ √ 1 − cos x + 3 sen x 1 − cos x √ 1 − cos x L = l´ım = l´ım + 3 = l´ım + 3 = L1+ 3 x→0 x→0 x→0 sen x sen x sen x
3
SEN(ν− 3 )
Resolviendo el límite
x x l´ımx→0 1−cos l´ımx→0 1−cos 1 − cos x /x 1 − cos x x x = = = l´ım x→0 x→0 sen x /x l´ımx→0 senx x 1 x
L1 = l´ım
Aplicando la propiedad anteriormente expuesta 2.34.
2 sen2 x→0 x
L1 = l´ım
x 2
= l´ım
sen x2
x→0
x 2
· l´ım sen x→0
x = 1 · sen 0 = 1 · 0 = 0 2
Por lo tanto:
L = L1 +
√
3=0+
√
3=
√
3
Bibliografía
[1] Sebastian Marsinyach Dalmases.
Matemáticas /1. FP 1er grado Administrativa. Bruño-
Edebé, 1975 edition, 1975. [2] Y. Deplanche.
Dicciofórmulas. EDUNSA, Ediciones y Distribuciones Universitarias,
S.A., 1996 edition, 1996. [3] Ferrán Hurtado.
Atlas de Matemáticas (análisis) + ejercicios. Ediciones Jover, S.A.,
1985 edition, 1985. [4] N. Piskunov. 1966.
Cálculo Diferencial e Integral. Montaner y Simón S.A., 1970 edition,
