PROBLEMAS RESUELTOS DE MECÁNICA RACIONAL 1.
Indicar con V si es verdadero y con F si es falso.
La Primera Ley de Newton relaciona la fuerza con la aceleración aceleración ( F )
La velocidad es una magnitud fundamental
(F)
El tiempo es una magnitud fundamental
(V )
De acuerdo a la Ley de Gravitación Universal, a mayor separación
2.
de los cuerpos hay mayor fuerza de atracción atr acción
(F )
El Watt (W) es la unidad de Energía en el SI
(F )
Realizar las siguientes conversiones: conversiones:
a. Expresar un flujo de líquido (Q) de 60
en
Solución:
b. La viscosidad dinámica de un determinado líquido es de 1,5 esta viscosidad en Poise. 1 Poise =
Solución:
1
Expresar
3.
Determine la suma de los vectores representados en la figura:
z (0,0,5) 5m
(8,0,5)
B
10 m
y (0,10,0)
C
A
8m
x
(8,0,0)
(8,10,0)
Solución:
Se identifican las coordenadas de los extremos de los vectores.
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
4.
Dado los vectores:
A 5i
ˆ
3 j
ˆ
4k
4 j
3k
B 3i
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Determine: a) El producto escalar. b) El producto vectorial. c) El ángulo que forman los vectores. d) El volumen del prisma que forman los vectores y el vector Momento. Solución:
a) Producto escalar:
⃗⃗ (⃗⃗ )(⃗⃗ ) 2
b) Producto vectorial
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗
c) El ángulo que forman los vectores
⃗
-9 = 7,07 x 5,83 CosӨ CosӨ =
- 0,141
Ө = 102,61º
d) Volumen del prisma V = Área De la base x Altura
|⃗ | |⃗⃗ | | |
⃗
.
⃗
3
5.
Determinar la fuerza P necesaria para mantener el motor de 200 kg en la posición en la cual ϴ = 30°. El diámetro de la polea B es despreciable.
P 75º 15º
Ө = 30º
C 2 000 N
Como el triángulo que forman las cuerdas es isósceles (AC = AB) y el ángulo Ө = 30º, los ángulos B y C son iguales a 75º. Peso del motor = mg = 200 kg . 10 m/s2 = 2 000 N Por Ley de senos, tenemos:
6.
P = 1 793,15 N
El poste uniforme de 15 m tiene una masa de 150 kg y apoya sus extremos lisos contra las paredes verticales, siendo T la tensión del cable vertical que lo soporta. Calcular las reacciones en A y B. 8m 4m
BY
T 9
1 500 N
AY 6m
Solución:
El peso del poste es = mg = 150 kg x 10 10 m/s2 = 1 500 N La distancia horizontal de la línea de acción de la tensión T está ubicada a 4 m del punto A. La línea de acción del peso del poste está en la mitad de su longitud. La inclinación del poste es de 37º, por tanto, la distancia vertical de A hacia B es 9 m Cálculo de la tensión T: ∑ Fy = 0 T – 1 500 = 0
T = 1 500 N
4
Cálculo de las reacciones: ∑ MA = 0 + 1 500 (4) – 1 500 (6) + BY (9) = 0
7.
BY = 333,33 N
∑ Fx = 0
AY - BY = 0
AY = BY
AY
= 333,3 N
Sin carga, la camioneta de 1600 kg tiene su centro de gravedad en la posición que se indica. Si se añade un carga cuyo centro de gravedad se encuentra a una distancia x = 400 mm por detrás del puente trasero, determinar para qué peso WL de esa carga serán iguales las fuerzas reactivas sobre todas las ruedas. 16 000 N A
G
WL B
R
R 1 125
1 675
400
Solución:
Por condición del problema, las reacciones en las ruedas con iguales. ∑ MA = 0 + - 16 000 (1 125) + R (2 800) – WL (3 200) = 0
7 R – 8 WL = 45 000 …………………. (1)
∑ Fy = 0
R + R – 16 000 – WL = 0
WL = 2 R – 16 000 ……….…………… (2)
Reemplazando (2) en (1) 7 R – 8 (2 R – 16 000) = 45 000
8.
R = 9 222,22 N
En (1): WL = 2 444,44 N
Hallar las tensiones en los alambres AB, AC y AD. m = 100 kg Solución:
Las tensiones, se determinarán multiplicando su magnitud por su correspondiente vector unitario. 5
(0,9;- 3; 5)
(- 2,6; 0; 5)
z
(0; 0; 0)
(0,9; 4; 5)
y
x mg = 100 x 10 = 1 000 N
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
Por Condición de equilibrio:
∑Fx = 0:
…………………… (1)
∑Fy = 0:
…………………………………… (2)
∑Fz = 0:
……. (3)
Resolviendo se obtiene:
6
9.
La viga uniforme tiene una masa de 75 kilogramos por metro de longitud. Hallar las reacciones en el empotramiento A.
Solución:
El peso de la viga es: 75 x 2 x 10 = 1 500 N A
MA AX
AY
1 500 N 1m
1 040 N 600 N
0,6 m
∑Fx = 0
AX – 600 = 0
∑Fy = 0
AY – 1 500 + 1 040 = 0
AX = 600 N
∑ MA = 0 +
- MA – 1 500 (1) + 1 040 (1,6) = 0 MA = 164 N – m
7
AY = 460 N
10. Hallar la fuerza en cada miembro de las armaduras.
AX
Ay
CX
750 N 1,73 m
Solución:
∑ MA = 0 +
CX (2) - 750 (1,73) = 0
CX = 649,52 N
∑ FX = 0
CX - AX = 0 AX = 649,52 N Nodo “C”
CB 30º 649,52 N
Nodo “B”
Del triángulo de fuerzas: AC
AB
∑Fx = 0
CB = 750 N
- AB Cos30+750 Cos30 = 0
AC = 375 N
AB = 750 N
750 N 750 N
α
Ax
Cy Ay
∑ FX = 0
600 - AX = 0
AX = 600 N
∑ MA = 0 +
CY (3) - 600 (1,25) = 0
CY = 250 N
∑ Fy = 0
250 - AY = 0
AY = 250 N 8
Nodo “C” ∑ Fy = 0
CB
- CB Sen α + 250 = 0 (Sen α = 1,25/3,25 = 0,384)
α
AC 250 N
CB = 650 N
∑ FX = 0
- AC + CB Cos α = 0 (Cos α = 3/3,25 = 0,923)
AC = 600 N
Nodo “B”
AC = 600 N
∑ Fy = 0
α
CB Sen α – AB = 0
AB
CB
AB = 650 x 0,384
AB = 250 N
11. Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada.
8 kN Ax
6 kN
AY
CY
Solución:
∑ MA = 0 +
CY (8) - 6 (8) – 8 (4) = 0
CY = 10 kN
∑ FX = 0
- AX + 6 = 0 AX = 6 kN
∑ FY = 0
AY – 8 - 6 + 10 = 0
Ay = 4 kN
Nodo “A”
6
AB 30º 4
∑ FY = 0
4 – AE Cos 30º = 0 AE = 4,62 kN
∑ FX = 0
- 6 + 4,62 Sen 30º + AB= 0 AB = 3,69 kN
AE
Nodo “E”
4,62
EB
60º
∑ FY = 0 4,62 Cos30º – EB Cos 30º = 0 EB = 4,62 KN ∑ FX = 0 ED – 2x4,62 Cos 60º = 0
60º ED
9
ED = 4,62 kN
Nodo “D” ∑ FY = 0 - DB Cos30º + DC Cos 30º = 0 DB = DC
DB 4,62
60º
DC
60º
∑ FX = 0 – 4,62 + 2 DB Cos 60º = 0 DB = DC = 4,62 kN
Nodo “B”
BC
∑ FX = 0 – 4,62 Cos 60º + BC = 0 BC = 2,31 kN
60º 4
4,62
12. Determine la suma de los vectores representados en la figura:
z (0,0,8)
8m
(6,0,8)
B 10 m
A
y
(0,10,0)
C
6m x
(6,0,0)
(6,10,0)
Solución:
Se identifican las coordenadas de los extremos de los vectores.
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
13. Dado los vectores:
⃗ ⃗⃗
10
⃗⃗ Determine:
e) El producto escalar. f) El producto vectorial. g) El ángulo que forman los vectores. h) El volumen del prisma que forman los vectores y el vector Momento. Solución:
a) Producto escalar:
⃗ (⃗⃗ )(⃗⃗ ) ⃗
b) Producto vectorial
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗
c)
El ángulo que forman los vectores
⃗
0 = 6,4 x 6,7 CosӨ CosӨ = 0 Ө = 90º
d) Volumen del prisma V = Área De la base x Altura
|⃗ | |⃗ | |⃗ |
⃗
.
⃗
11
14.
Calcular las fuerzas normales asociadas a las pare jas de ruedas delanteras y traseras de la furgoneta de tracción delantera de 1600 kg.
16 000 N A
B
G RB
RA 1 200
1 800
Solución:
Peso de la furgoneta = 1 600 kg x 10 m/s 2 = 16 000 N ∑ MA = 0 +
15.
- 16 000 x 1 200 + R B x 3 000 = 0
RB = 6 400 N
∑Fy = 0 AY – 16 000 + 6 400 = 0
AY = 9 60 N
Se aprieta el tensor F hasta que el cable AE se encuentra sometido a una tracción de 5 kN. Hallar las tensiones en los cables AB, AC y AD.,
(-4; 2,5; 2,5)
(-4; -2; 0)
⃗
(-4; 0; - 2,5)
Solución:
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ √ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
12
Por Condición de equilibrio:
⃗
∑Fx = 0:
… (1)
∑Fy = 0:
……………………….… (2)
∑Fz = 0:
…………………….…….. (3)
Resolviendo se obtiene:
16.
Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura armada.
Cx
Cy
Ay Solución:
∑ MC = 0 +
- Ay x 6 + 2 x 3 = 0
Ay = 1 kN
∑Fy = 0 1 – Cy = 0 CY = 1 kN ∑Fx = 0 - 2 + Cx = 0 Cx = 2 kN Nodo “A”
Nodo “E”
AE = 1,41 kN ED = 1 kN
45º AB = 1 kN
45º
Ay = 1 kN
EB= 1 kN
Nodo “D”
Nodo “C”
ED = 1 kN
BC = 2 kN
2 kN
45º
2 kN
Cy = 1 kN
DE = 1 kN 13
17. Hallar las coordenadas del centroide de la super ficie sombreada:
3
4
2 1
̅
Región
Ai
1
16 875
83,3
90
1 406 250
1 518 750
2
11 250
125
157,5
1 406 250
1 771 875
3
- 1 500
33,3
170
- 49 950
- 255 000
4
- 3 375
200
165
- 675 000
- 556 875
∑
23 250
2 087 550
2 478 750
De la tabla:
∑ ∑ ̅ ∑ ∑
18. Calcular la ubicación del centroide de la figura mostrada. Área
3 4 2 1
Ai
̅
1
3 600
40
- 20
144 000
- 72 000
2
9 600
60
40
576 000
384 000
3
5 654,87
60
105,47
339292,2
596 389
4
-5 026,55
60
80
- 301592,9
- 402 124
∑
13828,33
757699,3
506 265
∑∑ ̅ ∑∑ y
14
19.
Calcular las coordenadas del centr o de masa de la pieza metálica moldeada.
Por la simetría que hay respecto del eje z, la componente del centro es cero.
2
Elaboramos la siguiente tabla: Vol
1
Vi
̅ ̅
̅
1
49 480,1
- 12,73
17,5
-630 000
865901,5
2
- 15 707,96
- 8,49
22,5
133333,3
-353429,2
∑
33 772,14
-496,667
512472,3
∑ ∑̅ ∑ ̅ ∑̅ 20.
Un sólido de revolución homogéneo, cuya sección se mu estra, está constituido por un tronco de cono circular recto que tiene una cavidad cilíndrica de 8 mm de diámetro. Calcular la distancia Z de su centro de masa a la base .,
O
C
H
A D
B
El Volumen del tronco de cono se determina restando al volumen del cono total el cono que está sobre el tronco de cono y el volumen del cilindro de diámetro 8 mm. Determinación de la altura del cono:
∆ OAB
∆ CDB
H = 30 mm 15
Luego elaboramos la siguiente tabla:
̅
Volumen
Vi
1
3 141,59
7,5
23 561,93
2
- 392,70
18,75
- 7 363,13
3
- 502,65
10
- 5 026,5
∑
23 250
11 172,3
∑ ̅ ∑̅
21.
16
