Solucionario M. Cuantica Vol1

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División de Ciencias Básica e Ingeniería Departamento de Física

Solucionario de Mecánica Cuántica Versión 1.1 Salvador Cruz Jiménez, Roberto Verdel Aranda y Lidia González Morales

"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Solucionario del Curso de Mecánica Cuántica l Tarea 1 1. Obtenga la longitud de onda de acuerdo con De Broglie, para las siguientes partículas en movimiento: a) Un electrón con energía cinética de 10 eV b) Un protón con energía cinética de 100 keV c) Una pelota de masa 0.14 Kg con velocidad de 160 km/h

Solución. a)

Kg

Se calcula el ímpetu del electrón con energía cinética

=

;

=

Luego, del postulado de De Broglie, la longitud de onda asociada es:

b)

"

2

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

=

c)

= 6.216

2. La difracción de neutrones se emplea usualmente para determinar la estructura cristalina de materiales. Para que esto suceda, la longitud de onda asociada a los neutrones debe ser del orden del espaciamiento valor típico de

entre los planos cristalinos. Un

.

a) Obtenga un valor adecuado para la velocidad de los neutrones para que sean difractados b) ¿Qué energía cinética, en

, deben tener estos neutrones?

c) Si se dispone de una fuente de neutrones, la cual se puede considerar como un gas de neutrones a temperatura , ¿qué temperatura en Kelvins debe tener este gas?

Solución. a) Para una partícula

, se tiene:

2

3

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Usando la masa de un neutrón, cuyo valor es de pide que

y como se

, resulta:

b)

c) De la teoría cinética de los gases, suponiendo que se trata de un gas monoatómico, se tiene:

de modo que

con

valor es

y

partícula del gas. Así, con

la constante de Boltzmann cuyo la energía cinética promedio de una

, se obtiene:

3. Los experimentos más precisos para estimar el radio nuclear

consisten en

disparar electrones energéticos, cuya longitud de onda sea del orden de (

. Si

).

a) Obtenga el valor del ímpetu que deben tener los electrones b) Muestre que estos electrones son altamente relativistas y que por tanto su energía debe obtenerse a través de la relación , con la masa en reposo. c) Compare los valores de

vs

y muestre que

aproximación a la energía, por lo que

.

3

es una buena

4

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Solución. a) Como

, entonces

b) Para mostrar que los electrones son altamente relativistas, nótese que la celeridad de los mismos, obtenida en forma clásica, es:

Lo cual no es posible de acuerdo con la teoría de la relatividad. Ahora véase que se obtiene a partir de la fórmula relativista del ímpetu

Sustituyendo valores:

Esto muestra que los electrones tienen velocidades muy cercanas a la de la luz, o sea que son altamente relativistas, por lo que hay que emplear la relación relativista: para calcular su energía.

c)

4

5

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

!"#

, de manera que

, resulta ser una buena aproximación para

la energía de los electrones.

O bien, en

4. La ecuación de Schröedinger en una dimensión tiene la forma:

Para inducirla se emplearon argumentos heurísticos basados en la estructura de la ecuación de onda clásica en una dimensión:

donde

con

y

y la restricción de que la energía

total es : (3) De donde se concluye que, a diferencia de la ecuación (2), el término de evolución temporal solamente debe incluir la derivada

.

a) Siguiendo argumentos similares, muestre que la ecuación de Schröedinger en tres dimensiones toma la forma:

5

6

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

donde

es el operador Laplaciano en coordenadas

cartesianas. b) Muestre que si

,

con

la ecuación (4) es

consistente con la ecuación (3).

Solución. a) Considérese una partícula libre en 3D, de masa

e ímpetu

. De

acuerdo al postulado de De Broglie en 3D:

Véase lo que pasa en una dirección; digamos x. La onda de materia asociada a la partícula en consideración, en dicha dirección, es de la forma:

donde se ha introducido (5) en la solución de (2). Al derivar (6) con respecto se obtiene:

6

y ,

7

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

De acuerdo con (3) se deduce que una forma apropiada de la ecuación de onda en para estas ondas materiales, debe incluir una segunda derivada en en

) y una primera derivada en t (dependencia en

(dependencia

). Así se propone

Sustituyendo (6) en (7) se llega a

donde se empleó el hecho de que

.

Con (8) y (7) toma la forma:

o bien

De manera análoga se llega a ecuaciones similares a (9) en

y

que son

consistentes con (5). Y como la energía total de una partícula en 3D es simplemente la suma de las energías en las direcciones , , se tiene:

O bien, junto con (5)

7

8

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Se infiere que una ecuación de onda consistente con (10), que describa la propagación de la onda asociada a la partícula libre en 3D considerada, es:

donde

.

En el caso general en que la partícula esté bajo la influencia de un potencial , y al tener que la energía total es la suma de energías cinética y potencial, se postula (de forma inductiva) que la ecuación de onda apropiada es:

•

De otra manera, bajo un enfoque distinto, se tiene.

Sea

Si

. Multiplicando por

y

, entonces

Luego, se desarrolla el lado derecho de

Análogamente,

ambos lados de la ecuación:

y

8

.

:

. Así,

9

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Entonces,

Pero

. Así,

Del lado izquierdo, se tiene:

Pero,

Entonces,

Multiplicando la ecuación

Sumando

con

por

se tiene:

se obtiene: 9

":

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Multiplicando la ecuación

Pero

por

se tiene:

, de modo que el lado izquierdo de la ecuación

reescribir como:

Finalmente, la ecuación

b) Con Sustituyendo

toma la forma:

, la ecuación (7) se reduce a (11). con

, en (11) queda

":

se puede

""

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Pero

, con lo cual

Lo cual muestra que para este caso

, la ecuación (4) es consistente con

(3).

5. Al tiempo

, una partícula se representa por la función de onda:

a) Encuentre la constante de normalización b) Grafique el comportamiento de

en términos de

y .

en función de .

c) ¿En dónde es más probable encontrar a la partícula en

?

d) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a la partícula a la izquierda de ? ¿Qué ocurre en este caso para los casos límite

y

?

Solución. a) Para encontrar la constante de normalización se obtiene la función de densidad de probabilidad, de acuerdo a la expresión:

""

"2

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

En este caso:

Eligiendo la raíz positiva se tiene que

b) Cualitativamente, el comportamiento de

"2

se bosqueja a continuación:

"3

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Figura 5.1.Comportamiento de

c) Así, en Aquí,

en función de .

el lugar en donde es más probable encontrar a la partícula es en tiene su máximo.

d) La probabilidad de encontrar a la partícula a la izquierda de

•

es:

Si

Que coincide con lo esperado, pues en este caso la partícula necesariamente se encuentra a la izquierda de . •

Si

"3

"4

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

De nuevo es consistente, pues ahora se trata de la probabilidad de encontrar a la partícula en un intervalo que es la mitad de los valores posibles donde pudiera encontrarse.

Tarea 2 6. Considere el movimiento unidimensional de una partícula de masa encuentra bajo la acción de un potencial

que se

, tal que la función de onda

asociada es solución de la ecuación Schröedinger y se encuentra debidamente normalizada. Muestre que la variación temporal del valor esperado del momento satisface la relación:

Explique el resultado físico de este resultado.

Solución. Recordando que se asocia al momento esperado de

el operador

, puede escribirse el valor

como:

Ahora, tomando la derivada con respecto a

de esta última expresión:

"4

"5

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

donde la derivada temporal se introdujo bajo el signo integral, ya que se está integrando con respecto a y los límites de integración no dependen de . Además, en el último paso se ha intercambiado el orden de derivación en el primer término, puesto que las derivadas de deben der continuas. Luego, como

satisface la ecuación de Schröedinger se tiene lo

siguiente:

donde se supone que

es real. Reescribiendo,

Derivando a (2) con respecto a

Multiplicando ahora por

:

se tiene:

"5

"6

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Multiplicando por

a (3) se tiene:

Sustituyendo a (4) y (5) en (1) se obtiene:

Integrando por partes dos veces la primera integral:

Donde

,

y sus derivadas se anulan cuando

resultado deseado

Como

la fuerza es conservativa.

"6

. Al sustituir en (6) se obtiene el

"7

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Interpretación física: Este resultado constituye un principio de correspondencia entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica. Indica que en el límite en que las cantidades involucradas en él tengan una incertidumbre despreciable, los valores esperados básicamente coinciden con lo determinado clásicamente para tales cantidades, y se tiene así, una relación completamente idéntica a la segunda ley de Newton.

7. El estado basal del átomo de hidrógeno está definido por la función de onda radial:

donde

,

es la coordenada radial del electrón respecto del núcleo y

. Empleando coordenadas esféricas: a) Obtenga la constante de normalización

.

b) Calcule el valor esperado de la posición radial

.

c) Sabiendo que el operador Hamiltoniano para este sistema es:

con

y

la carga y masa del electrón, respectivamente. Calcule el valor

esperado de la energía

.

d) Sustituya los valores numéricos de las constantes físicas involucradas y obtenga los valores de

(en Amstrong) y

(en

Solución. a) Aplicando la condición de normalización:

"7

).

"8

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Empleando coordenadas esféricas, esto es:

Luego,

Integrando por partes (con

) resulta:

Por lo tanto

b) Se calcula

, esto es:

"8

"9

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Integrando por partes:

Esta última integral ya se ha calculado en a). Por lo que

Con lo cual

c) Se calculan estos valores esperados por separado. Como la función de densidad de probabilidad únicamente depende de , del Laplaciano en coordenadas esféricas, sólo se conserva la parte que involucra derivadas con respecto a dicha variable. Se denota tal parte como

.

Desarrollando la primera integral

La segunda integral es:

"9

2:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Por lo tanto

Luego,

Finalmente:

Sustituyendo

se tiene que:

d)

Sustituyendo estos valores resulta:

2:

2"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

.

8. Determine la densidad de corriente de partícula libre si está descrita por la función:

Interprete físicamente su resultado.

Solución. La expresión de la densidad de corriente de partícula libre está dada por:

Por definición, la densidad de corriente de probabilidad (en 1D) es:

Calculando las derivadas

2"

22

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Multiplicando (3) por

y a (2) por

.

Sustituyendo (4) y (5) en (1), se obtiene:

Interpretación física: Observando la función

que representa a la partícula (combinación

de dos ondas planas). Se tienen tres casos:

Caso 1.

. La probabilidad de que la partícula se mueva hacia la

izquierda es mayor que la probabilidad de que viaje a la derecha.

Caso 2. Caso 3.

. Sucede exactamente lo contrario al caso 1. . La probabilidad de que la partícula se mueva hacia la

izquierda o a la derecha es la misma.

22

23

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

9. Las funciones de onda para los estados

y

del átomo de hidrógeno son:

;

donde

a) Encuentre la constante de normalización b) Pruebe que c) Grafique

y y

.

son ortogonales. , ¿cúal es el significado físico de

d) Obtenga la energía total para el estado estado

.

en el problema 7.

Solución. a) En coordenadas esféricas, esto es:

Integrando por partes:

23

y de

?

y compare con el valor obtenido para el

24

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Así,

Pero

, entonces

Finalmente,



%$24

25

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Las integrales son:

Además,

y

son ortogonales.

c) A continuación se muestran las gráficas en Mathematica:

0.12

0.10

0.08 2 s 1

"

0.06

0.04

0.02

0.00 012345 r

Figura 9.1. Gráfica de

25

para

.

26

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

0.5

0.4 2 s 1

0.3

#

2

r

! 4

0.2

0.1

0.0 012

345 r

Figura 9.2. Gráfica de

•

.

da la probabilidad de encontrar al electrón del átomo de hidrógeno en una región del espacio entre

•

para

y

.

representa la probabilidad de que el electrón sea encontrado a una distancia entre

y

del srcen (núcleo del átomo) en cualquier dirección.

0.0015

2

0.0010

s 2

"

0.0005

0.0000 0

2

4

6

8

10

r

Figura 9.3. Gráfica de

26

para

.

27

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

0.15

2 s 2

#0.10

2

r

4 !

0.05

0.00 0

2

4

6

8

10

12

r

Gráfica de Figura 9.4.

d) La energía total para el estado

para

.

se obtiene con el valor esperado del operador

Hamiltoniano, pero utilizando ahora la densidad

. Con

donde, nuevamente solo se toma la parte radial del operador Laplaciano; esto es:

Entonces:

27

28

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Se obtiene que para el estado

, la energía total es

, o bien,

introduciendo el valor de

Nótese que esta energía es igual a la energía multiplicada por el factor

calculada en el ejercicio 7

, ya que en este caso

.

Con lo que su valor numérico, de acuerdo al resultado del ejercicio 7, es:

Examen parcial 1 se encuentra sujeta a un potencial . Dos funciones 10. Una partícula de masa de onda que satisfacen la ecuación estacionaria de Schröedinger son:

donde

es una constante y

.

i) Muestre que las respectivas constantes de normalización son:

28

29

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ii) Sabiendo que

,

cuando

cuales la amplitud de probabilidad encuentre el valor de

analice los valores de y

para el cuál estas amplitudes de probabilidad son

máximas. Con esta información esboce una gráfica de

iii) Muestre que las funciones iv) Obtenga el valor esperado

para los

se hace cero en cada caso y

y

y

vs. .

son ortogonales.

para cada caso y explique físicamente su respuesta

de acuerdo con lo observado en el inciso (ii). v) Muestre que el valor esperado de la energía cinética es:

vi) Si

y se sabe que para el estado encuentre la expresión del potencial

el eigenvalor de la energía es tal que

Schröedinger independiente del tiempo. ¿Qué tipo de potencial es?

Integrales relevantes

29

,

satisface la ecuación de

3:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Solución.

i) Para

Para

Pero

por lo tanto:

3:

3"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

ii) Primero analicemos

:

Esta función únicamente se anula en el límite con respecto a

. Luego, se deriva

para encontrar donde es máxima.

Y comprobando con la prueba de la segunda derivada que en

se

tiene un máximo.

Por lo tanto,

es máxima en

y tiene el valor de

A continuación se muestra la gráfica de

Figura 10.1. E sbozo de la gráfica de

Para

se tiene:

3"

.

.

.

32

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Esta función se anula en

y cuando

Nuevamente, como

hacen extrema a

con

. Derivando,

, se tiene:

.

Ahora, como

y en

; en

ésta amplitud de probabilidad tiene que ser máxima.

A continuación se muestra la gráfica de

Figura 10.2.Esbozo de la gráfica de

32

.

.

33

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

iii)

Pues

cuando

. Además, del inciso (i) se tiene:

son ortonormales.

iv) En el caso de

se tiene:

por lo calculado en el inciso anterior. De la gráfica correspondiente a probable de

es

promedio, la variable

se ve que el valor más

. Lo que se acaba de calcular es que, en vale cero. Es decir, es muy probable que la

partícula se encuentre cerca de

y es igualmente probable que esté

a la izquierda o a la derecha de este valor. O sea, la situación es muy simétrica en torno a .

Para

tenemos:

33

34

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Pues nuevamente el integrando es una función impar integrada sobre todos los reales. La situación vuelve a ser muy simétrica con respecto a , aunque en este caso es el valor menos probable. Aun así, nos indica que es igualmente probable que la partícula esté a la derecha o a la izquierda de

v) Recordando que en una dimensión:

Entonces,

Calculando

se tiene:

Pero,

34

.

35

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Por lo tanto,

Entonces,

Pero

, así:

vi) o bien

Del inciso anterior: 35

36

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Sustituyendo (2) en (1) junto con

Despejando

, resulta:

:

Refiriéndose al oscilador armónico, en donde la frecuencia angular es , se tiene que

es precisamente un potencial de tipo

oscilador armónico. Así,

Tarea 3 11. Considere una partícula de masa

que se encuentra sujeta a un potencial como el

que se muestra en la figura 1. Si la energía de la partícula es

36

.

37

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Figura 11.1. Potencial de una partícula de masa

a) Muestre que la función de onda en la región y en la región

y energía

es oscilante del tipo y que las energías permitidas

satisfacen la relación:

con

,

los números de onda en las regiones

y

respectivamente:

Por lo que:

b) Sabiendo que la energía del estado base del átomo de hidrógeno es: y que el radio de Bohr es y

se pueden escribir como:

, muestre que y

c) Muestre que la ecuación (1) puede escribirse como:

37

.

38

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

, con

d) Suponga un electrón (masa barrera

y

), la altura de barrera

. Obtenga las energías permitidas en

e) Obtenga las constantes

y

.

y el ancho de la .

correspondientes a las funciones de onda en la región

para cada una de las regiones permitidas, sabiendo que la condición de

normalización se cumple en todo el espacio:

f) Grafique las funciones de onda para cada energía permitida así como las correspondientes densidades de probabilidad e interprete físicamente este último resultado.

Solución.

a)

Con

,

la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo correspondiente a cada región se escribe a continuación.

Región l.En este caso como

Región ll.

, se tiene que:

,

(1) donde

.

38

o bien

39

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

La solución de (1) es: o bien

Por condición de continuidad

se tiene

Región lll.

. Por lo tanto

, o bien

(3)

donde La solución de (2) es:

pero para tener una solución acotada se requiere que

Ahora, aplicando las condiciones de frontera:

Se obtienen las siguientes relaciones:

Dividiendo (5) entre (6):

39

. Por lo tanto

4:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Pero, como

y

se puede reescribir la ecuación (7)

como:

b) Como para el átomo de hidrógeno se tiene;

y

, entonces:

Así, si la masa de la partícula coincide con la masa del electrón y se puede reescribir a y como:

c) Usando la relación

y de la ecuación (8) se tiene que:

Y usando también la relación

se obtiene:

4:

4"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Definiendo

y multiplicando ambos lados de la ecuación (11) por ,

entonces:

d)

Solución numérica y gráfica de las energías permitidas. Primero se visualizará gráficamente las soluciones a la ecuación (12). Los datos del problema son:

Con el comando Plot en Mathematica, se obtiene la siguiente gráfica.

4"

     

Figura 11.2. Gráfica de las soluciones a la ecuación (12), energías permitidas.

Se observa que para los valores dados de la profundidad y el ancho del pozo solamente hay una energía permitida, cuyo valor está cerca de . Ahora, se utiliza el comando FindRoot para hallar un valor numérico de dicha energía permitida.

e) De la condición de normalización se tiene

 

43

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Combinando (5) y (13) pueden obtenerse los coeficientes números de onda

y

y

en términos de los

.

De (5) :

Sustituyendo (14) en (13):

Y

Tomando a

y

reales y considerando la raíz positiva, se obtiene:

Ahora, se grafica la función de onda para la energía permitida. Del inciso e) las constantes A y D valen:

43

44

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

100000

80000

x

60000

$

40000

20000

0

! 2. " 10!10

! 1. " 10!10

0

!10

1. " 10

!10

2. " 10

x a0

Figura 11.3. Gráfica de la función de onda para la energía permitida.

12. Obtenga el coeficiente de reflexión de masa

y energía

y el de transmisión

para una partícula

en el caso que se indica. Muestre que:

44

     

donde

.

Figura 12.1. Potencial de una partícula de masa

y energía

.

Solución. Se plantea la ecuación de Schroedinger para cada una de las tres regiones.

Región l. O bien donde

(1) .

La solución de (1) es:

Región ll. O bien donde

(3) .

 

46

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

La solución de (3) es:

Región lll. O bien

(5)

donde La solución de (5) es:

Considerando que la partícula viaja de izquierda a derecha, entonces que en la región queda como:

Imponiendo las condiciones de frontera:

Se obtienen las siguientes relaciones:

O bien, al dividir por

, puesto

no puede haber onda reflejada. Por lo tanto, la ecuación (6)

: 46

47

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Se elimina a

, al combinar (8) y (9):

Ahora se resuelve para Multiplicando por

Multiplicando por

y , el sistema formado por las ecuaciones (10) y (11).

a (10) y sumando con (11) se obtiene:

a (10) y luego restándole (11) se obtiene:

47

48

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Sustituyendo (13) y (14) en (12):

Simplificando el término entre paréntesis

Luego, se escribe a

y

en términos de

Por lo tanto,

De modo que:

48

:

49

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Se calcula

puesto que va a estar relacionado con el coeficiente de transmisión.

Así,

Ahora, considérese las densidades de corriente de probabilidad. Para ello tómese el resultado del problema 8:

Pero

, por lo que:

Además,

Pero

, con lo cual:

49

5:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

La conservación de la probabilidad exige que:

O bien,

donde se identifica a los coeficientes de transmisión y de reflexión. Esto es:

Y con lo calculado anteriormente, se llega a los resultados deseados:

Luego,

donde se ha usado la identidad

.

Tarea 4

5:

5"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

13. Después de emitir una partícula alfa de energía

, el isótopo radioactivo

del bismuto decae al elemento hijo Talio: . El potencial nuclear, que retiene a los nucleones puede idealizarse como un pozo de potencial muy profundo, el que dominan las fuerzas nucleares, las cuales son mucho más intensas que las fuerzas Coulombianas. Considerando una dimensión, podemos representar al potencial que sentiría una partícula alfa en todas las regiones del espacio como se muestra:

Figura 13.1. Potencial de una partícula alfa de energía

a)

.

Se sabe experimentalmente que la máxima energía que se puede dar a una partícula alfa antes de rebasar la barrera coulombiana y ser absorbida por el núcleo de Talio es de . Con esta información obtenga el valor del radio del núcleo para el Talio

b) También se ha observado experimentalmente que la energía característica de las partículas alfa emitidas por el bismuto es de 6 MeV y dicha energía corresponde a la repulsión coulombiana que produce el núcleo hijo (Talio) justo cuando la partícula alfa deja al núcleo (tunelaje) en el punto (ver figura). Muestre que en este punto el valor de es .

c)

Tomando la barrera de potencial promedio que se muestra en rojo (figura), considere el problema de una partícula alfa con energía donde la altura de esta barrera la definimos como:

y el ancho de la barrera

como . Muestre que para los valores de y coeficiente de transmisión (obtenido en clase) se aproxima a: 5"

empleados aquí, el

52

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Obtenga el valor de T. [recuerde que puede poner sus unidades en términos de radios de Bohr y de Rydberg ( )]. d) Suponga una partícula alfa dentro del núcleo de bismuto. Si consideramos que la partícula se está moviendo con una rapidez promedio a lo largo de todo el diámetro nuclear , podríamos imaginar que la partícula hace un intento de escapar al chocar con la frontera del núcleo. La probabilidad de que escape en cada choque está dada por el coeficiente de transmisión obtenido en el inciso anterior. Muestre que, el número de veces por unidad de tiempo que la partícula choca con las paredes del núcleo es:

Por tanto, la probabilidad de escape por unidad de tiempo es:

y que, por tanto el tiempo necesario para que ocurra el escape es: para

.

Este es el tiempo de vida media del núcleo, pues cuando la partícula alfa es emitida, deja de ser el núcleo del mismo elemento.

Solución. a) En el exterior de las fuerzas, una partícula alfa experimenta solo el potencial de repulsión de Coulomb, esto es:

La altura máxima de esta barrera

se consigue cuando

52

, se tiene:

53

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

donde,

Por lo tanto

b) En este caso,

Luego,

Sustituyendo los valores numéricos resulta:

c) Se procede a escribir la ecuación de Schröedinger en las tres regiones, véase la figura del potencial.

Región l. O bien

(1) 53

54

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

donde La solución de (1) es:

Región ll. O bien donde

(3) .

La solución de (3) es:

Región III.

(5)

La solución de (5) es:

Considerando que la partícula viaja de izquierda a derecha, entonces que en la región

, puesto

no puede haber onda reflejada. Por lo tanto, la ecuación (6)

queda como:

Y dado que un múltiplo constante de estas soluciones es también una solución de la ecuación correspondiente [(1), (3) o (7)], considérense las siguientes soluciones:

54

55

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Imponiendo las condiciones de frontera:

Se obtienen las siguientes relaciones:

donde

.

Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones, se puede determinar el coeficiente de transmisión.

Deducción de la expresión del coeficiente de transmisión.

De (11) y (12):

De (13) y (14):

55

56

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Sustituyendo (17) y (18) en (15) se obtiene:

de donde

Y

Aquí, se han empleado las siguientes propiedades de la conjugación compleja: i) ii)

;

con

,

iii)

De la conservación de la probabilidad se deriva que el coeficiente de transmisión es:

Pero,

Con lo cual

56

57

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Pero,

Así,

En este problema:

.

Por lo tanto

Con lo que

y el coeficiente de transmisión queda como:

57

58

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Y sustituyendo los valores numéricos en el segundo sumando del término entre paréntesis, se obtiene:

De ahí que resulta completamente válida la aproximación:

Ahora bien, para calcular el valor numérico de la barrera de potencial, que es

, considérese el ancho promedio de

. Así,

d) Para deducir la expresión del número de veces que la partícula alfa choca con las paredes del núcleo por unidad de tiempo, se considera una partícula que se mueve con velocidad promedio en el interior de una caja cúbica de lado y con sus caras paralelas a los planos de coordenadas. Entonces, la frecuencia de colisiones en una dirección, por decir , esto es, el número de veces que la partícula golpea las dos paredes que son perpendiculares al eje

58

por unidad de tiempo es:

59

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Ahora, en el caso de la partícula alfa dentro del núcleo del bismuto, la diferencia de sus dimensiones es tan grande que puede considerarse que la partícula alfa se mueve siempre a lo largo de todo el diámetro nuclear, de donde se sigue la relación deseada.

Por lo tanto, la probabilidad de escape por unidad de tiempo es:

Y por consiguiente, el tiempo de vida media del bismuto es:

donde

. Finalmente se tiene:

En el enunciado

, difiere del obtenido debido al grado de cifras

significativas que se han tomado.

Tarea 5 14. Las eigenfunciones del Hamiltoniano asociado a un oscilador armónico unidimensional están dadas por:

con

,

los polinomios de Hermite y energía

Obtenga la constante de normalización y muestre que es:

59

.

6:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Solución. El valor de la constante

se determina al imponer la condición de normalización

En este caso, las eigenfunciones del Hamiltoniano asociado a un oscilador armónico unidimensional son:

Entonces, haciendo el cambio de variable

,

la ecuación queda como:

Luego, de la relación

Por lo tanto

Integrando por partes

6:

6"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Pero de ( ) se tiene

'

Con lo cual

debido a la función exponencial

Así, después de integrar por partes

Ahora, de la ecuación término dominante es

.

veces se obtiene

se puede ver que

es un polinomio de n-ésimo orden cuyo

, por lo que

Entonces,

6"

62

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Pero,

por lo que, la condición de normalización queda finalmente

como:

de donde

' Así,

15. Suponga que

en el problema anterior.

a) Grafique las funciones d onda para los estados

en el intervalo

. ¿Qué observa respecto a la simetría de cada estado? b) Grafique la densidad de probabilidad para los estados anteriores en el mismo intervalo. ¿En dónde encuentra la mayor probabilidad de encontrar a la partícula en cada caso? c) Para el estado

explíque físicamente por qué la probabilidad de encontrar

a la partícula es mayor cerca de los extremos de oscilación, como se esperaría en el caso clásico.

Solución. a) Las gráficas pedidas en este problema se harán en Mathematica utilizando el comando Plot. Con

, se definen las siguientes cantidades:

62

     

donde el comando variable

,

da el polinomio de Hermite de n-ésimo orden en la . Así, las gráficas de las funciones de onda para los estados

son las siguientes:

 

     

Figura 15.1. Gráficas de las funciones de onda para los estados respectivamente.

Se observa que para

(números pares), las funciones de onda

correspondientes son funciones pares, es decir, que su gráfica es simétrica respecto a su reflexión en el eje vertical. En cambio para , la función de onda es una función impar; esto es, que su gráfica es invariante bajo reflexiones sucesivas, primero respecto al eje vertical y luego respecto al eje .

b) Las gráficas de las densidades de probabilidad correspondientes a los estados anteriores se muestran a continuación. •

Para

 

     

Figura 15.2. Gráfica de la densidad de probabilidad correspondiente al estado .

Se ve que es en

donde se tiene la mayor probabilidad de encontrar a la

partícula.

•

Para

Figura 15.3. Gráfica de la densidad de probabilidad correspondiente al estado .

 

     

Por simple inspección, los lugares donde es más probable hallar a la partícula en este caso, parecen ser . Esto se puede verificar fácilmente derivando a la densidad de probabilidad y buscando los ceros; esto es:

Y por lo observado en la gráfica se verifica que efectivamente en

, la

densidad de probabilidad tiene sus máximos.

•

Para

Figura 15.4.Gráfica de la densidad de probabilidad correspondiente al estado

.

En este caso no es tan evidente, como en el caso anterior, ver dónde se encuentran los máximos de la densidad de probabilidad. Sin embargo, derivando una vez y por inspección gráfica es posible determinar dichos puntos fácilmente.

Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solut ion information. »  

     

El valor de

más grande es:

Por lo que en

se encuentra la mayor probabilidad de

encontrar a la partícula.

•

Para

 

68

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Figura 15.5.Gráfica de la densidad de probabilidad correspondiente al estado

.

Aquí, seguramente será más engorroso buscar los ceros de la primera derivada de en que se tengan los picos más altos que se observan en la gráfica, así que por mera inspección de ésta se ve que en

, se

tienen los lugares donde es más probable encontrar a la partícula.

c) Se sabe que la energía del oscilador armónico unidimensional cuántico es , que muestra que los niveles de energía están igualmente

espaciados. Sin embargo, esta relación también muestra que cuando el valor de es muy grande, la energía del sistema lo es también y la separación entre los niveles de energía es despreciable comparada con el valor de la energía total del sistema; es decir, que para números cuánticos grandes se cae en el límite clásico. En otras palabras, la solución de la mecánica cuántica al problema del oscilador armónico sigue el llamado Principio de Correspondencia. Esto explica que para , los picos más grandes de estén cerca de los extremos del intervalo de oscilación, pues es lo que ocurre en el caso clásico. En efecto, el movimiento clásico satisface:

Luego, la “probabilidad de posición” clásica encontrar a la partícula en el intervalo periodo de oscilación, y intervalo dx, entonces

representa la probabilidad de

en un tiempo dado. Si

es el

es la cantidad de tiempo en que el oscilador recorre el

Pero

Con lo que 68

69

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

La comparación gráfica entre las densidades de probabilidad cuántica (—) y “clásica” (---) se muestra a continuación para el estado considerado .

0.4

0.3

0.2

0.1

!4

x

!2

02

4

Figura 15.6. Comparación gráfica entre las densidades de probabilidad cuántica (—) y “clásica” (---).

16. Una partícula de masa

y carga

oscilador armónico

se mueve bajo la acción de un potencial de y en un campo eléctrico

potencial correspondiente es

, tal que el

.

a) Muestre que la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo puede escribirse como:

69

7:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

b) Haciendo el cambio de variable:

muestre que la ecuación (1) se reduce a:

con

c) Obtenga las soluciones de la ecuación (3) y muestre que la energía está dada por: ;

y que la función de onda es:

con

los polinomios de Hermite,

ecuación (2).

Solución. a) La ecuación de Schröedinger independiente del tiempo es:

7:

y

dado por la

7"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

donde

Y completando el cuadrado

Por lo tanto, la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo queda como:

b) Haciendo el cambio de variable

se tiene

Con lo cual, la ecuación (1) se puede escribir como:

7"

72

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

O bien, simplemente

donde se ha definido

c) Si

, la ecuación (3) se comporta como:

Dado que la ecuación diferencial anterior involucra a la segunda derivada de la función de onda y a ella misma, se prueba con

' ' Sustituyendo en (5)

72

73

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

y como se está considerando el límite

, se obtiene que

Con lo que

Pero para tener una solución físicamente aceptable

con lo cual

Ahora, se propone la solución completa como

donde no se pone el signo igual, puesto que hace falta normalizar la solución. Por lo tanto

Al sustituir en la ecuación (3)

de donde se obtiene la ecuación diferencial que debe satisfacer la función

Se propone ahora una solución en serie de potencias

73

:

74

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Por lo tanto

Sustituyendo en la ecuación diferencial para :

o bien,

Al tomar el cociente entre dos términos sucesivos de la serie propuesta (9), para valores de muy grandes se tiene que

Es decir, la serie (9) crece tan rápido como la función para valores de muy grandes. Así, es necesario truncar la serie a partir de cierto valor de para tener soluciones finitas.

74

75

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Sean

para

. Entonces de (10) se tiene ,

y por la ecuación (4),

'

A su vez la función de onda para el estado n es, de acuerdo con la ecuación (7):

donde se ha identificado a la serie (9) con los polinomios de Hermite

. La

constante de normalización se obtiene de manera idéntica a como se hizo en el

problema 14, aun cuando

esté dado ahora por la ecuación (2). Así,

17. Suponga una partícula de masa

dentro de un potencial de oscilador armónico

truncado tal que

,

(ver figura). Con

. Utilizando el mismo escalamiento de coordenadas como en los problemas anteriores: a) Resuelva la ecuación de Schroedinger

para este problema y obtenga las

energías permitidas, compatibles con las condiciones de frontera. b) Comente su resultado respecto al caso del potencial de oscilador armónico completo.

75

76

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Figura 17.1. Potencial de una partícula de masa

dentro de un potencial de

oscilador armónico.

Solución. a) Si la partícula tiene una energía finita E, entonces la función de onda es nula para . Para , la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo es:

O bien, con el cambio de variable que se usó en el problema 14

:

donde

La ecuación diferencial obtenida es idéntica a la ecuación (3) del problema 16, y como el tratamiento para resolver dicha ecuación en ese problema es independiente de las definiciones de y , la solución hallada vale para este caso. Lo único que falta por hacer es determinar adecuadamente los coeficientes en la serie (9), de manera que de la ecuación (7) se pueda obtener una solución compatible con la condición de frontera “adicional” para este problema . Se tiene que

76

77

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Imponiendo la condición antes mencionada

'

Pero de la relación de recurrencia entre los coeficientes

se ve que si entonces, todos los coeficientes con subíndice par son nulos también. Así, las energías permitidas en este problema son:

Y la función de onda para cada estado:

b) Ya se ha visto que en el caso en que se considera el potencial de un oscilador armónico truncado como el que se presenta en este problema, sólo se obtienen las soluciones impares del caso en que se toma al potencial de oscilador armónico “completo”. Esto, como se hizo notar antes, es debido a la condición de frontera .

Examen 2 18. Un haz de partículas idénticas, de masa

, incide por la izquierda con una energía

y es dispersado por un potencial como el que se muestra en la figura. La energía de las partículas es tal que . Plantee las ecuaciones que relacionan a las amplitudes de onda en cada región, tales que se satisfagan las condiciones de frontera y asintóticas.

77

78

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Figura 18.1. Potencial de un haz de partículas idénticas, de masa

y energía

.

Solución. El potencial

está dado por:

La ecuación de Schröedinger independiente del tiempo en cada una de las tres regiones es:

Región l.

donde

,

o bien

.

La solución de (1) es:

Región ll.

donde

,

.

La solución de (3) es: 78

o bien

79

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Región

lll.

,

o

bien

donde La solución de (5) es:

Dado que el haz de partículas viaja de izquierda a derecha, y como en la región III no hay más barreras en las que se puedan reflejar las ondas de materia asociadas, entonces:

Aplicando ahora las condiciones:

.

Se obtienen las siguientes relaciones:

79

8:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Estas cuatro ecuaciones son las relaciones buscadas entre las amplitudes de onda de cada región.

Para completar el ejercicio, obténganse los coeficientes de transmisión y de reflexión. Las densidades de corriente de las ondas incidente y transmitida están dadas por:

!()*+,-./(0/

Luego,

De donde, el coeficiente de transmisión es:

y el coeficiente de reflexión es

8:

8"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Ahora, sumando (8) y (9) se obtiene

Restando (8) y (9)

Sumando (10) y (11)

1/"0-(2+ 345% 6 344%

Sustituyendo (15) y (16) en (13), se obtiene:

Pero,

y

8"

82

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Entonces, la ecuación (17) queda como:

Luego,

Finalmente, se obtiene el coeficiente de reflexión

entonces:

19. Un electrón está atrapado en un pozo definido por la función de energía potencial:

donde

es una constante.

82

83

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

a) Escriba la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo para este sistema y considere estados ligados , utilizando las siguientes definiciones:

b) Analice el comportamiento asintótico de esta ecuación y muestre que la función de onda físicamente aceptable con la condición de acotamiento debe comportarse como , con una función tal que sea solución de la ecuación de Schröedinger. c) Obtenga la ecuación que satisface la función es singular al srcen

y muestre que dicha ecuación

.

d) Remueva la singularidad y muestre que la solución físicamente aceptable debe comportarse como:

con

tal que

e) Muestre que

cuando

con

una función a determinar.

satisface la ecuación:

f) Proponga una solución en serie de potencias en

:

y muestre

que los coeficientes satisfacen la relación de recurrencia:

g) Muestre que para valores grandes de consecutivos

se comporta como

y

, la relación entre coeficientes . Compare con la relación entre

términos consecutivos de la serie exponencial

y muestre que tienen

el mismo comportamiento. ¿Qué debe hacer para que la función S diverja? h) Muestre que la energía está cuantizada y dada por: 83

no

84

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Solución.

a) Para

claramente la función de onda debe ser nula puesto que el electrón

tiene una energía finita. Para

la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo es:

Considerando estados ligados, es decir

, y usando las definiendo dadas:

y puede reescribirse la última ecuación como

b) Para

, entonces

de modo que se puede despreciar el término . Así,

la ecuación (1) se reduce a: , y como

se tiene que .

Para que

sea finita cuando

se hace 84

, así:

85

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Luego, se propone la solución completa como:

donde la función

es tal que

Schröedinger.

•

Otra forma de determinar

y multiplicando por

es:

se tiene

Pero

Y

Entonces,

Pero

entonces

85

es solución de la ecuación de

86

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

con

una constante de integración. Despejando

Luego, si

y

, se tiene

son acotadas cuando

. Así,

e integrado se tiene

Es la solución físicamente aceptable pues garantiza que . Nuevamente,

cuando

es la solución completa.

c) Derivando dos veces la ecuación (2), se obtiene:

Sustituyendo (3) y (2) en (1) resulta:

Nótese que, esta ecuación es singular en el srcen debido al coeficiente que multiplica a la función .

d) Para remover la singularidad, se propone :

86

87

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Por lo tanto,

Y sustituyendo en la ecuación (4) se obtiene:

Multiplicando por

:

Dado que no se ha determinado aún el valor de

y como es de interés el caso

límite en que

con

, los términos que llevan

entero se anulan en tal

límite. Entonces se llega a:

Pero,

no es de utilidad puesto que,

y se recupera la

ecuación (4) (solución trivial). Entonces, con

se tiene la solución

físicamente aceptable

en el sentido de que

cuando

, suponiendo que la función

es bien comportada en el srcen y siendo aún una función por determinar. 87

88

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

e) Basta con sustituir (6) junto con sus derivadas en la ecuación (4), lo cual conduce a la ecuación (5) con , esto es:

como había que demostrar.

f) Se propone una solución en serie de potencias en , esto es:

Derivando esta ecuación dos veces

Nótese que, el término para

en

es cero, sin embargo; conviene dejar

dicho cero en la suma como se verá a continuación. Sustituyendo (8), (9) y (10) en (7) se obtiene:

donde en el tercer término se ha sumado un cero para que el índice corra desde cero. Para los dos primero términos se hace,

88

89

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

. Entonces,

Y dado que los índices en las sumas son índices mudos, se puede reescribir la ecuación anterior como:

para todo

. De donde se obtiene la relación de recurrencias entre los

coeficientes:

g) De la relación de recurrencia se tiene

y multiplicando por

resulta:

Sin embargo, para valores grandes de

89

se tiene:

9:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Así,

Para la serie exponencial

Se tiene:

Con lo que la serie en (8) tiene el mismo comportamiento que la serie exponencial. De modo que debe truncarse la serie a partir de cierto valor de , pues se buscan soluciones acotadas.

h) Sea

Pero,

tal que

con

y

. Entonces de (11) se tiene:

, por lo tanto

Que exhibe la naturaleza cuántica del espectro de energías. 9:

9"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Tarea 6 20. Una partícula de masa altura

está confinada dentro de una caja cilíndrica de radio

y

, con paredes infinitamente rígidas, de manera que el potencial es:

Figura 20.1. Partícula de masa de radio y altura

está confinada dentro de una caja cilíndrica

*; Escriba la ecuación de Schröedinger correspondiente en coordenadas cilíndricas

y aplique el método de separación de variables para obtener las ecuaciones para las eigenfunciones , y y muestre que dichas ecuaciones resultan:

con

y

,

las constantes de separación y la función de onda se ha

representado como

. 9"

92

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

<; Obtenga las soluciones de las ecuaciones

y

y muestre que

donde la energía está dada por la condición:

y definida por la condición frontera impuesta a las soluciones de la ecuación radial como sigue. ';

Pruebe que la ecuación radial

con

es la ecuación de Bessel:

, cuyas soluciones son las funciones de Bessel:

condición de frontera

,; Obtenga

el

valor

de

la

energía

en unidades de y radio

-;

y que la

proporciona los valores de

y pruebe que es:

Normalice la función de onda

y muestre que la constante de normalización es:

92

para un radio

del

estado

dado.

base

para una caja de altura

93

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

=;

Para el caso i) Construya

y y

: (sugerencia: use Mathematica) grafique

la

función

de

onda

para

ii) Construya y grafique la distribución de probabilidad

los

estados: para los

dos casos anteriores, la cual ha sido promediada angularmente (sugerencia: emplee Mathematica y una vez construida la amplitud de probabilidad use la instrucción: Plot3D[fi2=,{r,0,2},{z,0,2}]).

Solución. a) Como el potencial dentro de la caja es cero, la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo es

Donde

es el operador Laplaciano en coordenadas cilíndricas:

Esto es:

Como el potencial es independiente de las variables espaciales (así como del tiempo), puede emplearse el método de separación de variables para buscar soluciones de la ecuación anterior. Se propone la solución

Sustituyendo (4) en (3):

93

94

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Dividiendo por

, en ambos lados de la ecuación (5):

o bien

donde

. Como el lado izquierdo de la ecuación (6) sólo depende de

y

,y

el lado derecho sólo depende de , se concluye que ambas partes de esta ecuación son iguales a una constante, digamos

Multiplicando la ecuación (7) por

donde

, de donde resultan

, se obtiene

es una segunda constante de separación, con lo que de (9) se tienen las

siguientes dos ecuaciones:

94

95

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Finalmente, reescribiendo las ecuaciones (8), (10) y (11), se tiene

b) Se resuelven las ecuaciones forma

. Las soluciones de la ecuación

. Ahora bien, en la variable

periódicas:

Imponiendo estas condiciones se obtiene

Por lo tanto, las soluciones de

son con

Donde la constante

se obtiene de la condición de normalización

Con lo cual, con

95

tienen la

deben cumplirse condiciones de frontera

96

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Ahora, se resuelve la ecuación

sujeta a las condiciones de frontera de tipo

Dirichlet:

Que provienen de la continuidad de la función de onda en las fronteras de la caja , en , y en . La solución general de

donde

.

De imponer

resulta

Al imponer

resulta

es

, con lo que (14) se reduce a

Como se buscan soluciones no triviales, el argumento de la función seno debe ser un múltiplo entero de , esto es: ,

con

De donde , con Así, las soluciones de la ecuación

Nótese que

adquieren la siguiente forma

no puede tomar el valor

ya que eso daría

y lo que se busca

es soluciones no triviales. Es decir, el cero no es eigenvalor del problema de

96

97

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

eigenvalores

. Además no se toman en cuenta valores negativos de , pues los

eigenvalores

dependen del cuadrado de

, tal como lo indica la ecuación (15).

La ecuación (15) representa también la condición de cuantización de la energía. En efecto, como

donde

y

, se tiene

se va a definir al resolver la ecuación

con las condiciones de frontera

adecuadas.

c) Desarrollando el primer término en la ecuación

, resulta

Haciendo el cambio de variable

se tiene

;

. Con lo cual, la ecuación

o bien, multiplicando por

97

adopta la forma:

98

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Que es la ecuación de Bessel, cuya solución general, cuando

donde

y

, es:

son las funciones de Bessel de primera y segunda clase. Se puede

demostrar que en el srcen, la función

no es acotada, mientras que

si lo

es. Por lo cual, para construir funciones de onda físicamente admisibles, debe hacerse

en la ecuación anterior. Así, tomando

Ahora bien, para que la función de onda en la parte que depende de

sea continúa en las fronteras de la caja,

se debe satisfacer la condición de frontera:

De donde se obtienen los valores de

para un radio

dado. Sea

la

-

raíz de la ecuación (23), entonces

d) De la ecuación (18) se obtiene la energía (en unidades de decir, cuando altura de la caja sea

,

y

, donde

y el radio

) del estado base, es , en el caso en que la

. Numéricamente esto es

e) Se han obtenido las soluciones en la forma producto (ecuación (3)) de la ecuación (1), las cuales están dadas por

98

99

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

La constante

se obtiene de imponer la condición de normalización:

Evaluando estas dos últimas integrales por separado.

Finalmente se va a demostrar el siguiente resultado, que integral sobre .

permitirá evaluar la

Primero se reescribe la ecuación (20) como sigue

donde la prima significa derivar con respecto de ecuación (30), resulta 99

. Multiplicando por

la

"::

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Integrando esta última ecuación de

Y como la función de Bessel

a , se sigue que

satisface la ecuación (30), queda demostrada la

ecuación (29). Así,

pero en vista de (23), simplemente se tiene

Por lo tanto, la condición de normalización queda

de donde

f) Con i)

, se tiene: La función de onda con

, de acuerdo con las ecuaciones (26)

y (33), es: "::

":"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Cuando

Usando

:

las

relaciones

y

se pueden reescribir (34) y (35) como:

A continuación se muestran las gráficas de estas funciones de onda, hechas con Mathematica.

•

Haciendo

, se tiene

":"

":2

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Gráfica de la función Figura 20.2.

Haciendo

, se tiene

":2

.

":3

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Gráfica de la función Figura 20.3.

•

Haciendo

Si se elige

, se tiene

, entonces la función queda como

La gráfica para la parte real es

":3

.

":4

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Figura 20.4.Gráfica de la parte real de la función

La gráfica para la parte imaginaria es

":4

.

":5

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Figura 20.5.Gráfica de la parte imaginaria de la función

ii)

.

Ahora, se construyen las densidades de probabilidad correspondientes a los casos que se están analizando. •

Para

La gráfica de densidad de probabilidad se muestra en seguida, con

":5

":6

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Gráfica de densidad de probabilidad Figura 20.6.

.

La gráfica de densidad de probabilidad se muestra en seguida, con

":6

":7

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Gráfica de densidad de probabilidad Figura 20.7.

•

.

Para

La gráfica de densidad de probabilidad con

es

Figura 20.8. Gráfica de densidad de probabilidad

":7

.

":8

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

La gráfica de densidad de probabilidad con

es

Gráfica de densidad de probabilidad Figura 20.9.

.

Tarea 7 21. Un operador lineal , con

, tiene las siguientes propiedades:

y

un número complejo en general. Muestre cuales de los

siguientes operadores son lineales: ":8

":9

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

i) ii) iii) iv) v)

Solución. En todos los casos se supone que uno de los operadores, y que i)

y

pertenecen al dominio de definición de cada

es un número complejo en general.

Se tiene:

es un operador lineal.

ii) Sin embargo no se cumple la segunda propiedad

no es un operador lineal.

iii)

no es un operador lineal.

":9

"":

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

iv)

es un operador lineal.

v)

no es un operador lineal.

22.

y

son operadores que conmutan entre sí. Sea

eigenvalor

una eigenfunción

de con

.

a) Muestre que

, es también eigenfunción de

en el caso de que

corresponda a un estado no degenerado. b) Si se tiene un conjunto eigenvalor

de eigenfunciones de

con el mismo

, muestre que una combinación lineal de estas funciones es

también eigenfunción de

.

Solución. a) Como

es también eigenfunción de

con eigenvalor

, entonces se cumple

que: . Aplicando el operador

por la izquierda en ambos lados de la ecuación

anterior:

Y usando el hecho de que

y

conmutan entre sí, así como de que cualquier

operador conmuta con una constante, se obtiene: "":

"""

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

de donde se sigue que por hipótesis

es una eigenfunción de

con eigenvalor

, pero

corresponde a un estado no degenerado, es decir, que es la

única eigenfunción de

con eigenvalor

es un múltiplo constante de

. Por lo tanto, se concluye que

, esto es:

Pero, esta es la ecuación de eigenvalores del operador , con lo que se sigue que es también eigenfunción de

b) Se denota por

.

una combinación lineal del conjunto

: .

Entonces, si

es lineal

Con lo cual,

Pero,

es la eigenfunción más general de

que corresponde al eigenvalor

,

de donde se sigue que: . De modo que

es una eigenfunción de

"""

.

""2

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

23. Pruebe que si

son operadores arbitrarios, se cumple que:

i) ii) iii)

;

Solución. i)

De la definición del conmutador entre dos operadores, se tiene:

ii)

iii)

Aplicando el operador

a una función de prueba

""2

:

""3

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

.

De donde se sigue que: .

24. Sean

dos operadores Hermitianos. Muestre que

y

, con

son

Hermitianos.

Solución. Si

son operadores Hermitianos, entonces se sabe que se cumplen las

siguientes relaciones:

Con

y

en el dominio de definición de

Y por (i), (ii):

""3

y . Entonces:

""4

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Por lo tanto,

es un operador Hermitiano.

Además:

Si

es una constante real, entonces:

Por lo tanto,

es un operador Hermitiano.

25. De los siguientes operadores, diga cuáles son Hermitianos y por qué:

""4

""5

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

i) ii) iii) iv)

Solución. En todos los casos se asume que los operadores están definidos en el espacio , dado por:

i)

Se desea saber si se satisface la siguiente relación: .

Al integrar por partes:

Como

y

son funciones cuadrado integrables, el primer término en el

lado derecho de la última igualdad es nulo

Esto es, el operador

. Así,

no satisface la condición de Hermiticidad.

ii)

pero

""5

""6

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Con lo cual,

Si

y

son ortonormales se tiene

Así,

El término

domina cuando

integrables

Por lo tanto,

no es Hermitiano.

iii)

""6

, y al ser

y

cuadrado

""7

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Por lo tanto,

es Hermitiano.

iv)

Donde se ha usado el resultado del inciso anterior. Luego,

no es

Hermitiano.

Tercer examen 26. Considere una partícula de masa

limitada a moverse dentro de una caja

bidimensional rectangular de dimensiones

y

cuyas paredes son infinitamente

rígidas, es decir, la partícula está confinada por el potencial:

Figura 26.1. Potencial de una partícula que se mueve dentro de una caja rectangular de dimensiones y .

a) Obtenga las eigenfunciones (sin normalizar) y eigenenergías para la ecuación de Schrödinger estacionaria asociada. b) Construya una tabla para la energía de los tres primeros estados en función de e indique la degeneración de cada uno. ""7

""8

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Solución. a) Como las paredes de la caja son infinitamente rígidas, la probabilidad de encontrar a la partícula fuera de ésta es nula, de forma que sólo se tiene la ecuación de Schröedinger estacionaria en la región:

Entonces:

Con

; es decir,

Ahora, usando el método de separación de variables para resolver la ecuación (1). Se propone una solución de la forma:

Con lo que,

O bien,

Derivando la ecuación (3) con respecto a

""8

resulta:

""9

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Derivando la ecuación (3) con respecto a

donde las constantes

y

Las soluciones generales respectivamente:

resulta:

satisfacen la relación

de

las

ecuaciones

(4)

y

(5)

son,

Ahora se imponen las condiciones de frontera. Como las paredes de la caja son infinitamente rígidas la función de onda tiene que ser nula en así como en para que dicha función sea continua.

Entonces, ""9

"2:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Para tener soluciones no triviales se requiere que:

Análogamente resolviendo el problema se Sturm-Liouville regular en :

Así, las eigenfunciones del problema de eigenvalores (1), para un estado dado, son:

con

y

una constante de normalización.

Los eigenvalores están dados por la relación (6):

"2:

"2"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

b) Suponiendo

, se tiene:

Para simplificar, se hace

.

La tabla que se pide se muestra a continuación: Degeneración 1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1

Tabla 26.1. Energía de los tres primeros estados en función de

27. El operador Hamiltoniano de una partícula sujeta a un potencial dimensión):

Verifique si este operador es o no Hermitiano.

Solución. La condición de Hermiticidad es:

donde

y

son eigenfunciones de

. Entonces: "2"

es (en una

"22

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Desarrollando cada término se tiene:

Evaluando esta integral por partes dos veces, y teniendo en cuenta que para tener funciones de onda físicamente admisibles , cuando , cuando Se obtiene:

Así,

"22

.

"23

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Por otra parte, si

es real:

Con lo cual,

Por lo tanto,

es Hermitiano.

28. Evalúe los siguientes conmutadores: a)

con

b)

con

c)

con

Solución.

"23

"24

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

a)

b)

c)

"24

"25

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

29. Muestre que los eigenvalores de un operador Hermitiano son reales.

Solución. Sea

una eigenfunción de

un operador Hermitiano con eigenvalor

Entonces,

Multiplicando a (i) por

Multiplicando a (ii) por

Pero como

e integrando sobre todo el espacio se tiene:

e integrando sobre todo el espacio se tiene:

es Hermitiano, se satisface que:

"25

.

"26

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Po lo tanto, de (iii) y (iv):

Y como

, además

no es eigenfunción,

entonces:

Solucionario del curso de mecánica cuántica II Tarea 1 30. El operador adjunto,

, asociado a un operador

está definido por el

producto interior:

es decir;

i)

Pruebe que para dos operadores

y que por tanto se sigue que: ii)

y

.

Empleando la definición de Hermiticidad y la definición (1) de operador adjunto, muestre que un operador Hermitiano .

"26

es auto-adjunto, es decir

"27

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

iii)

Empleando los resultados (i) y (ii) muestre que si entonces

iv)

son Hermitianos,

.

Pruebe que para cualquier operador y

v)

y

Pruebe que si

, las combinaciones

;

son Hermitianas (auto-adjuntas). y

son operadores Hermitianos, entonces la combinación

es Hermitiana, es decir, auto-adjunta. vi)

Pruebe que si , .

y

son operadores Hermitianos, su producto es Hermitiano

solamente

si

ambos

operadores

conmutan

entre

sí

Solución. i) Directamente de (1) se tiene que:

Luego, suponiendo que

y

, son funciones que pertenecen al mismo

espacio de Hilbert, en el cual se está trabajando, y usando nuevamente (1), se tiene:

Por lo tanto, de (a) y (b) se sigue que:

de donde se concluye que

ii) Si

.

es Hermitiano, satisface

, y de la definición de operador

adjunto:

Por transitividad, Entonces, "27

"28

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

iii) Si

y

son Hermitianos, por (ii) se tiene:

y

. De manera que para

estos operadores, el resultado de (i) queda como:

iv) Asumiendo válidas las siguientes propiedades para operadores arbitrarios: a) b)

.

Entonces,

.

v) Por demostrar:

(por (i))

. Aplicando la propiedad (a) usada en el

inciso anterior, así como el resultado del inciso (i), se obtiene:

(por ser Hermitianos)

vi) Se tiene:

Por otra parte

De (1) y (2)

. De manera que la única posibilidad para que

sea Hermitiano es que: "28

"29

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

31. Para el oscilador armónico unidimensional, cuyo operador Hamiltoniano es: , con se definen los operadores

i)

Muestre que

ii)

Muestre que

. .

Solución. i) Se tiene:

El conmutador una función de prueba

vale

, como se puede obtener al evaluar su acción sobre .

"29

"3:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Usando este resultado y como

, resulta:

ii) Se tiene:

Evaluando estos dos últimos conmutadores por separado, primero

Ahora,

se

calculando

usando

el

hecho

. Entonces:

Pero,

y

. Por lo tanto,

"3:

de

que

"3"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Luego,

Así, finalmente se tiene que:

"3"

"32

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Tarea 2 32. Los operadores de ascenso y descenso para el oscilador armónico unidimensional se definen como:

a) Muestre que el operador de energía cinética queda representado por:

b) Sea

una eigenfunción correspondiente al eigenvalor , con

. Empleando el resultado (2), muestre que

el valor esperado de la energía cinética es

c) Sabiendo que

; es decir

.

, muestre que

.

d) De las definiciones dadas por (1), muestre que

.

e) Muestre que

. De este resultado,

muestre a continuación que

.

f) Empleando las definiciones (1), muestre que:

con

.

g) Muestre finalmente que si

la relación de incertidumbre

se cumple para valores de

Solución. a) Hay que mostrar que: "32

no muy grandes.

"33

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Desarrollando el término

:

Pero,

Análogamente,

Luego,

Por otro lado,

"33

"34

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Igualando (2) con (3) resulta

b) A partir del resultado del inciso a)

Sabiendo que la acción de los operadores

Entonces,

Y

"34

sobre un estado

está dada por

"35

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Así,

Pero

, entonces se llega a

c) El Hamiltoniano está dado por:

y como

Pero

, se tiene que

, obtenido en el inciso anterior, entonces

d) De las definiciones (1)

"35

"36

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Luego,

Pero,

Por lo tanto,

e) Por definición, la desviación

del operador

Luego,

!"#7

8/9+ :+.+

Y como ya se vio

7 9/";*0-

, se llega a

"36

es :

"37

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

f) De las definiciones (1), se calcula

Luego,

Se procede a calcular

y

Donde, como ya se ha visto,

y

de modo que

Así,

Ahora,

"37

"38

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Pero, ya se vio que

. Por lo tanto

Finalmente, resulta

g) Del inciso e) se demostró que:

y del inciso f)

De (4)

De (5) Luego,

Pero

Finalmente, si

, por lo que

. Así

"38

"39

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

33. Los operadores de ascenso y descenso para momento angular se definen como: . Muestre que: a) b) c)

Solución. Para realizar los cálculos se necesitarán las siguientes relaciones de conmutación entre los operadores

y

:

También se ocuparán las definiciones de los operadores de ascenso y descenso para momento angular

a) Usando la propiedad

, se tiene

y en vista de (2) y (3); esto es

"39

"4:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

b) Calculando el producto

Pero,

y de (1)

, por lo

tanto

Análogamente,

c) Por un lado se tiene que

y de las definiciones de

y

escribirse también como

De manera que

"4:

, ecuación (4), este producto puede

"4"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

34. Considere una eigenfunción

Obtenga para este estado

de los operadores

y

y

, es decir:

sabiendo que la acción de los operadores de

ascenso y descenso tienen la propiedad:

Solución. De las definiciones de

y

, dadas en el problema anterior, se tiene

Por lo tanto, para el estado dado (representado por los números cuánticos y

Y aplicando los operadores de ascenso y descenso sobre la eigenfunción

Luego,

Y como las eigenfunciones forman un conjunto ortonormal, se sigue que "4"

), esto es

,

"42

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Para calcular el valor esperado de

, se reescribe este operador en términos de

y

, de

la siguiente manera

Así, .

Y usando nuevamente las relaciones (2) y (3), se obtiene

donde

Pero como las eigenfunciones son ortogonales, simplemente queda

"42

"43

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

puesto que

y

. Así, después de simplificar, se llega a

Además se ha obtenido que

35. Un trompo simétrico con momentos de inercia

está descrito por el

Hamiltoniano:

en donde los momentos de inercia son parámetros y no operadores.

a)

Obtenga los eigenvalores y eigenfunciones asociados a la ecuación de Schröedinger correspondiente:

¿De qué eigenfunciones se trata? b) Muestre que el valor esperado

con

azimutal.

Solución. Se tiene que el Hamiltoniano del sistema está dado por

"43

el número cuántico

"44

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

a) L a ecuación de Schröedinger estacionaria correspondientes, es

O bien,

Pero

, por lo que

Pero ya se ha visto que se satisface

Donde las eigenfunciones son los armónicos esféricos, también

Entonces, la ecuación de eigenvalores (3), queda como

De manera que los eigenvalores

son

"44

.Y

"45

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Y las eigenfunciones correspondientes, ya normalizadas, son los armónicos esféricos:

donde

para

y

para

.

b) Se tiene

En el problema 34, se encontró que a ese resultado, es fácil ver también que

Pero en vista de (4) y con

, y revisando la forma en que se llegó . Por lo tanto

, ésta ecuación se convierte en

ya que los armónicos esféricos forman un conjunto ortonormal.

Tarea 3 36. Empleando los operadores de creación y aniquilación para el oscilador armónico 1D:

donde . Obtenga el valor esperado del potencial es eigenfunción del Hamiltoniano con eigenvalor

"45

, donde .

"46

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Solución. De la definición de los operadores de creación y aniquilación

se tiene que

Por lo tanto

Y sabiendo que aplicando los operadores de creación y aniquilación (tal como se han definido aquí) sobre una eigenfunción, se obtiene

Se sigue entonces que

"46

"47

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Y como las eigenfunciones del operador Hamiltoniano del oscilador armónico forman un conjunto ortonormal, es decir, , se obtiene

37. Considere el Hamiltoniano de una partícula de carga

y masa

moviéndose en

una dimensión sujeta a un potencial de oscilador armónico y un campo eléctrico en la dirección :

Sea

una función arbitraria bien comportada, tal que:

donde

son eigenfunciones del Hamiltoniano del oscilador no perturbado:

Empleando

los

operadores

y

,

y

sabiendo

que

, obtenga una expresión para los elementos de matriz

Solución. El Hamiltoniano es

"47

.

"48

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

O bien, con

el Hamiltoniano del oscilador no perturbado, es decir

Se tiene

Luego, los elementos de matriz están dados por

donde y son eigenfunciones de , las cuales forman una base completa. Así, y haciendo uso de la ecuación (2.b), encontramos que los elementos de matriz correspondientes a

, son

Para evaluar los elementos de matriz asociados a , primero hay que expresar este operador en términos de los operadores de creación y aniquilación, tal como se hizo en el ejercicio anterior, esto es

Y recordando las relaciones (3.a) y (3.b) del ejercicio 36, se obtiene lo siguiente

"48

"49

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

donde en el último paso se utilizó la relación

, con

la masa de la partícula.

Sustituyendo (4) y (6) en (3), se obtiene la expresión buscada para los elementos de matriz de

:

38. Empleando los operadores de escalera

i)

Muestre que:

ii)

Muestre que:

Solución. a) Se sabe que "49

y sabiendo que:

"5:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Aplicando los operadores

a las ecuaciones anteriores. Primero,

pero los operadores

conmutan. Por lo tanto

y

Luego,

Y recordando que se tiene

Así,

De las ecuaciones (3) y (6) se infiere que al aplicar los operadores estado

sobre el

solamente da como resultado un cambio en el valor del número

cuántico

. Por lo cual, se propone

donde

es una constante a ser determinada. Para encontrar dicha constante, hay

que tomar el complejo conjugado de la ecuación (7) y luego se multiplica lo que resulte, miembro a miembro, con dicha ecuación. Esto es,

"5:

"5"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Pero

. En efecto, esto es consecuencia de que de

y

son operadores

Hermitianos (pues representan observables físicas), con lo que .

Así pues

Por otro lado, utilizando el resultado obtenido en la tarea 2 (problema 33, inciso b)

se tiene que

.

Y en vista de las ecuaciones (1) y (2), y por estar las eigenfunciones normalizadas

Así, de (8) y (10), se sigue que

Finalmente, al sustituir (11) en (7), se obtienen las relaciones que se deseaban probar:

"5"

"52

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

b) De las definiciones de los operadores

, se puede escribir al operador

De manera que

Por lo tanto

Y usando (12) y (13)

Pero,

y

, con lo cual

"52

como

"53

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Ahora, nuevamente de las definiciones de los operadores

, se tiene que

Así,

Luego,

39. Considere una partícula cuya función de onda se representa por:

con

una constante de normalización y

Se hace una medición de los valores de que las medidas den los valores:

un parámetro. y de

. Muestre que la probabilidad de

es

"53

.

"54

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Ayuda: Exprese la función de onda en coordenadas esféricas y muestre que se puede escribir como un producto e identifique la función y normalícela. Aprovechando la completez de la base de los armónicos esféricos, la función puede expresarse como:

obtenga los coeficientes

y por tanto

y utilice la interpretación física de

esto último.

Solución. En coordenadas esféricas:

Por lo tanto, la función de onda de la partícula, en estas coordenadas, es

Que puede ser reescrita como

donde

y

En vista de que la función de onda es separable, la condición de normalización

"54

"55

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

puede satisfacerse normalizando la parte radial [ec. (3)] y la parte angular [ec. (4)], individualmente. Ahora bien, se ha visto que las cantidades y , dependen, en coordenadas esféricas, exclusivamente de las variables angulares. Por tanto, se ocuparán solamente la parte angular para determinar la amplitud de probabilidad asociada a cierta medición de estas observables. Imponiendo la condición de normalización sobre

:

De donde,

Con lo cual,

Luego, dada la completez de la base de los armónicos esféricos expandir a

como

"55

, se puede

"56

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

donde los coeficientes

, están dados por

con

Luego, recordando que, en la expresión

donde

es el operador asociado a la observable

, y

operador; el cuadrado de la amplitud de los coeficientes

los eigenvalores de tal , da la probabilidad de

encontrar al sistema en el estado , cuando se efectúa una medición. Ahora bien, como los armónicos esféricos son eigenfunciones de los operadores asociados a

y

, se sigue que, se puede evaluar la probabilidad pedida a partir de los coeficientes dados en (8). Más aún,

y

significa, de acuerdo con las ecuaciones

(1) y (2) del problema anterior, que el valor de los números cuánticos correspondientes es y . Por lo que únicamente hay que calcular la integral

Donde

, está dado por

Así,

"56

"57

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Pero,

Entonces,

De manera que la probabilidad de obtener

y

, cuando se realiza una

medición de estas observables, es

EXAMEN 1

40. Los operadores de ascenso y descenso para el oscilador armónico unidimensional se definen como:

tal que su acción sobre el eigenestado

"57

está dada por:

"58

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Sea

un eigenestado del operador asociado al oscilador armónico unidimensional

y tal que para otro eigenestado

se cumple que

. Empleando la

información anterior, obtenga los valores esperados:

y

Solución. De la definición de los operadores

, haciendo

, se tiene

Entonces,

Y usando las relaciones (2), se obtiene

,

donde se ha empleado el hecho de que los estados son ortonormales. Así,

"58

.

"59

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Análogamente se hace

, para obtener el operador

:

Entonces,

41. Una molécula de

con de

se encuentra en el estado:

los armónicos esféricos y

, los cuales son eigenfunciones

tales que

¿Qué posibles valores de

, y

.

arrojará una medición y con qué probabilidad

ocurren dichos valores?

Solución. Uno de los postulados fundamentales de la mecánica cuántica establece que si operador asociado a una observable física, con eigenfunciones entonces considerando "59

es un

y eigenvalores

,

"6:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

el valor esperado de la observable está dado por

Donde medición y

son los posibles los valores que puede tomar la observable durante una es la probabilidad de que ocurran dichos valores.

Así, al realizar una medición simultánea de

y

en la molécula de

en el estado

dado, los posibles valores y su respectiva probabilidad de ocurrencia, son y

con y

con

y

Ya que los eigenvalores de

son

con

y de

son

, correspondientes al estado

.

42. Un sistema tiene momento angular total

. El operador

asociado al sistema

está dado por la matriz:

a) ¿Es

hermitiano?

b) ¿Cuáles son los posibles eigenvalores de

?

c) Obtenga los eigenvectores normalizados correspondientes.

Solución. a) Un operador

es Hermitiano si

. Para el operador

"6:

se tiene

"6"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

es Hermitiano.

b) La ecuación secular es

Esto es,

Por lo tanto, los eigenvalores de

son:

c) Ahora, hay que determinar los eigenvectores. Para

, se tiene:

de donde

Y usando la condición de normalización resulta:

"6"

"62

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Así, el eigenvector (normalizado) asociado a

Para

, es

, se tiene:

de donde

Y usando la condición de normalización resulta:

Así, el eigenvector (normalizado) asociado a

"62

, es

"63

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Finalmente, para

:

Y usando la condición de normalización se tiene:

Así, el eigenvector (normalizado) asociado a

, es

Nótese además que los eigenvectores son ortogonales, tal como se sabe es el caso para eigenvectores de operadores autoadjuntos, correspondientes a distintos eigenvalores.

"63

"64

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Tarea 4 43. Considere un sistema que está descrito por el estado

donde

es una constante real.

a) Calcular b) Encontrar

tal que

esté normalizado. .

c) Calcular los valores esperados de

y

en el estado

.

d) Encontrar la probabilidad asociada con una medición que de cero para la componente del momento angular. e) Calcular

y

donde

Solución. a) Usando el hecho de que los armónicos esféricos forman un conjunto ortonormal con el producto interior Hermitiano

Es decir, que satisfacen la relación

Entonces la condición de normalización para

"64

, da

"65

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Y como

es real se tiene:

Así, la función

normalizada es:

b) Sabiendo que

con

Se tiene

puesto que

Además, como

c) Primero hay que expresar a

queda

en términos de los operadores de escalera:

"65

"66

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Así,

Por lo que hay que encontrar

. Para esto, recuérdese que:

donde

Con lo cual,

ya que

y

. Así, el valor esperado de

es

Luego, para calcular el valor esperado de

"66

, recuérdese que:

en el estado

"67

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Así,

d) Teniendo en cuenta que

que

significa que

satisface,

. Por lo tanto, la probabilidad de obtener

en

una medición está dada por la amplitud al cuadrado del coeficiente de

,

esto es:

e) Primero,

Así, y por la ortonormalidad de los armónicos esféricos,

Luego, por lo calculado en el inciso c), se tiene:

"67

"68

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Por lo tanto,

44. Considere un sistema de momento angular total

. Queremos llevar a cabo

mediciones de

a) ¿Cuáles son los posibles valores que obtendremos cuando se mida b) Calcular

, si el sistema está en el estado

?

.

Solución. a) De acuerdo con uno de los postulados de la Mecánica Cuántica, los resultados de las mediciones de una observable física, están dados por los eigenvalores del operador asociado a dicha observable. Así, los posibles valores que se obtendrán al medir , están dados por los eigenvalores de

, los cuales son

obtienen por simple inspección por ser

una matriz diagonal.).

b) Primero, se calcula la matriz que representa a

"68

. Para ello recuérdese que,

. (Que se

"69

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

y que

Es decir, (para

):

Por lo tanto,

Luego, calculando el estado correspondiente a

, que se denota por

. Se

tiene

de donde

En realidad se debería escribir el estado como sólo se refiere a este estado como . De manera que,

"69

. Para simplificar

"7:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

45. Considere una partícula cuyo operador Hamiltoniano está dado por:

a) Pruebe si el estado que

, con

b) ¿Es el operador

c) Sea

es un eigenestado de

, es decir, ¿se cumple

?

Hermitiano?

una eigenfunción de

, tal que se cumple: .

Obtenga la ecuación secular asociada a este problema de eigenvalores y muestre que los eigenvalores son . d) Obtenga los eigenvectores normalizados asociados a cada eigenvalor y muestre que éstos son:

Para el eigenvalor

Para el eigenvalor

:

:

"7:

"7"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Para el eigenvalor

:

Solución. a)

Es decir, deben satisfacerse simultáneamente las ecuaciones:

De la última de estas ecuaciones se tiene:

Sustituyendo en la primera ecuación se obtiene:

Claramente

, por lo que se concluye que no hay constante , esto es,

no es un eigenestado de

"7"

.

tal que

"72

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

b) La condición de Hermiticidad es

. Se verifica si se cumple o no esta

condición.

es Hermitiano.

c) Se tiene,

La ecuación secular es

y desarrollando el determinante se obtiene,

Entonces, los eigenvalores de

d) Para

son:

: "72

y

.

"73

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

de donde,

Tomando

, se tiene

. Y para que el estado este normalizado, se

multiplica por

Así, el eigenestado correspondiente al eigenvalor

Para

:

de donde,

"73

, es:

"74

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Tomando

, se obtiene:

La norma de

es:

Así, el eigenestado (normalizado) correspondiente al eigenvalor

Para

:

"74

, es:

"75

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

de donde,

Tomando

, se tiene:

La norma de

es:

Así, el eigenestado (normalizado) correspondiente al eigenvalor

TAREA 5 46. El operador de spin

está dado por:

"75

, es:

"76

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

la matriz de Pauli correspondiente. a) ¿Cuáles son los posibles resultados de una medida de

?

b) Obtenga los eigenvectores (spinores) correspondientes normalizados.

Solución. a) Los valores que es posible obtener en una medida de

están dados por los

eigenvalores asociados es este operador. La ecuación secular, de la cual se obtienen dichos eigenvalores, es

es decir, los posibles resultados de una medida de

, son

y

b) Los eigenvectores (spinores) correspondientes son: Para

, se tiene

y como se quiere que el eigenvalor esté normalizado, se impone la condición

por lo tanto, el spinor (ya normalizado) correspondiente al eigenvalor

"76

, es

"77

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Para

, se tiene

e imponiendo la condición

por lo tanto, el eigenvector (normalizado) correspondiente al eigenvalor

,

es

47. Considere una partícula de spin

con

cuyo Hamiltoniano está dado por :

una constante con dimensiones de energía.

a) Encuentre los niveles de energía y diga si son o no degenerados. b) Encuentre los eigenvectores correspondientes.

Solución. a)

El camino que se seguirá es construir la matriz que representa al Hamiltoniano dado, encontrando antes desde luego, la representación matricial de los operadores

"77

"78

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

y de Con

y

para lo cual se utiliza la base

formada por los eigenvectores

. , se tienen

posibles valores de

; éstos son

Los eigenestados de

y

son por tanto

Recordando que para

, se satisface la ecuación de eigenvalores

. .

y que por tanto, sus elementos de matriz son

Se encuentra que, para

:

Con lo cual,

Ahora, para hallar la representación matricial de asociada a los operadores

ya que

"78

y

, primero se busca la matriz

"79

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Sabiendo que

donde,

Se tiene que los elementos de matriz de los operadores

En este caso, se obtiene

De manera que

Y elevando al cuadrado estas matrices, se obtiene

"79

son

"8:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Así, el Hamiltoniano de la partícula tiene la siguiente representación matricial:

La ecuación secular es

De aquí que los eigenvalores de H, esto es, los posibles valores de la energía son:

"8:

"8"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Estando cada nivel de energía doblemente degenerado.

•

De otra forma

Simplemente se calculan los elementos de matriz del operador siguiente expresión:

Nuevamente, se tiene que la representación matricial de

donde

"8"

es:

, mediante la

"82

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Luego, los elementos de matriz del operador

se obtienen por:

Se llega a la ya conocida representación matricial de

Y los elementos de matriz del operador

:

se obtienen de la misma forma que

antes. Entonces,

b) Ahora se procede a calcular los eigenvectores correspondientes. "82

"83

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Para

Eligiendo

, la ecuación que da los eigenvectores asociados, es

y

, resulta

como el primer eigenvector (ya normalizado) asociado al eigenvalor

.

Un segundo eigenvector (normalizado) asociado a este eigenvalor, ortogonal a todos los eigenvectores ya calculados, se obtiene al hacer

y

, resultando

TAREA 6 48. Encuentre los coeficientes de Clebsch-Gordan para el acoplamiento de dos momentos angulares y .

Solución. La expansión de los eigenestados de los operadores de la base ortonormal completa formada por los estados conjuntos es

"83

y

, en términos

"84

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

donde

son los coeficientes de Clebsch-Gordan (que se

denotarán en lo que sigue simplemente como los coeficientes C-G) que se están buscando. En particular, en este problema se tiene

y

, por lo que la expansión

(1) queda como

Dado que

, entonces los posibles valores de

y

,

son

Además, para tener coeficientes C-G no todos cero, se debe satisfacer que

y

Por lo que en este caso,

Es decir, los posibles valores para

son

. De manera que se tienen los

, para

y

siguientes eigenestados:

donde

, para

, para

.

Una vez encontrados los estados (6), se evalúa la expansión (2) para encontrar los coeficientes C-G correspondientes.

• Para

"84

"85

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Aquí es de utilidad apoyarse visualmente en la siguiente tabla de coeficientes C-G, para determinar, con la ayuda de (4), cuáles de éstos son distintos de cero. 1

0

-1

1 0 -1 Tabla 48.1. Coeficientes de C-G para

Para

se tiene

Multiplicando ambos miembros de la ecuación (7) por sus complejos conjugados, se obtiene

donde se ha tomado en cuenta que el conjunto

es ortonormal. Y

dado que los coeficientes C -G son reales, esta última ecuación implica que

El signo + se escoge de acuerdo a la convención de fase:

Para

, se tiene

"85

"86

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Para determinar los coeficientes C-G en este caso, se aplica el operador a la ecuación (7), recordando que

donde

Entonces,

Comparando (13) con (10), se encuentra que

Para

Aplicando

, se tiene

por la izquierda a la ecuación (10) (incorporando la información de

(14) en ésta), resulta "86

"87

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Al comparar (16) con (15), se sigue que

y

Para

, se tiene

Y se procede como antes. Aplicando

por la izquierda a la ecuación (15), esto da

"87

"88

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Comparando (20) con (19), se sigue que

Para

Aplicando

, se tiene

por la izquierda a la ecuación (19) se obtiene

Al comparar (23) con (22), se sigue que

"88

"89

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

• Para Nuevamente se construye una tabla de coeficientes C-G, para determinar, con la ayuda de (4), cuáles de éstos son distintos de cero. 1

0

-1

1 0 -1 Tabla 48.2. Coeficientes de C-G para

Para

, se tiene

El cálculo de los coeficientes C-G de la ecuación anterior se realizará empleando las siguientes propiedades

y

Aquí

y

, entonces

y

"89

"9:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Para

Aplicando

, se tiene

por la izquierda a la ecuación (25) se obtiene

Comparando (31) con (30), se tiene que

(

.)

Para

, se tiene

"9:

"9"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Aplicando

por la izquierda a la ecuación (30) se obtiene

Por lo tanto,

• Para

Se denotan a los coeficientes C-G de la ecuación anterior, de la siguiente manera.

La ecuación (38) queda entonces como "9"

"92

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Luego, ya que

son ortonormales, y como

han de ser reales, se tiene

Multiplicando ahora la ecuación (39) por la izquierda por el complejo conjugado de la ecuación (15), se tiene

Y haciendo lo mismo pero con el complejo conjugado de la ecuación (30), se llega a la siguiente relación

Se tiene ahora un sistema de tres ecuaciones para

. De (43)

Usando esto en (42), conduce a

Por lo tanto, de (41) se obtiene

Para determinar qué signo corresponde a cada coeficiente C-G, se hace uso de nuevo de la convención de fase , de donde se ve que . Así

"92

"93

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

49. Considere el átomo de helio, el cual está formado por dos electrones y un núcleo de carga

con spin

orientaciones,

y cada electrón tiene spin

con dos posibles

. El Hamiltoniano del átomo de helio es ( sin interacción

spin-órbita):

donde se ha supuesto que la masa del núcleo es infinita y distancias de cada electrón al núcleo y electrón y

la carga nuclear (que en este caso es

son las

la distancia electrón).

Si en una primeara aproximación ignoramos el término de repulsión interelectrónica

, el Hamiltoniano (1) corresponde al de dos partículas

idénticas no interactuantes.

a) Muestre que la función de onda espacial para el sistema en esta aproximación se puede representar como el producto:

donde

son las funciones de onda hidrogenoides para cada electrón.

b) Muestre que en esta aproximación, la energía total electrónica está dada por:

el radio de Bohr y donde electrón.

,

son los números cuánticos principales de cada

"93

"94

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

c) Y a que este sistema electrónico está formado por dos fermiones idénticos, su función de onda total debe ser antisimétrica, de modo que la función de onda total debe estar formada por una parte simétrica espacial y una antisimétrica de spin o por una parte antisimétrica espacial y una simétrica de spin. Muestre que las posibles configuraciones son:

con

y

con

donde hemos representado los estados de spin de cada electrón como: y

.

d) Encuentre los niveles de energía y funciones de onda para el estado base, el primer estado excitado y el segundo estado excitado (note que la energía está, dada solamente por los números cuánticos principales y que el principio de exclusión de Pauli prohíbe que dos electrones tengan los mismos números cuánticos ).

Solución.

"94

"95

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

a) Bajo la aproximación mencionada en el enunciado del problema, es decir, despreciando el término

el Hamiltoniano (1) queda como

La ecuación de Schröedinger correspondiente es

donde

es la energía total del sistema.

Considerando sólo la parte espacial se propone una solución de la forma:

Sustituyendo esta función en la ecuación de Schröedinger se obtiene

Pero como el operador sólo actúa sobre las coordenadas del electrón "etiquetado" con el número 1, y análogamente el operador sólo actúa sobre las coordenadas del electrón "etiquetado" con el número 2, la ecuación anterior queda como

Dividiendo ambos miembros por

se tiene

"95

"96

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

De esta ecuación se sigue que

con

. Estas dos ecuaciones son idénticas a la ecuación de

Schröedinger para el átomo de Hidrógeno, por lo tanto, si se considera a los electrones en los estados y (sin tomar en cuenta aún el spin electrónico), se tiene que

donde

, son funciones de onda hidrogenoides. Entonces,

Es la función de onda espacial para el sistema en esta aproximación. Y donde los eigenvalores correspondientes son

con

el radio de Bohr, donde

b) La energía electrónica total es

"96

"97

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

c) Tal como es señalado, la función de onda total ha de ser antisimétrica (es la función de onda de dos fermiones idénticos, en este caso electrones). A la hora de incorporar el spin electrónico, se tiene que las posibles configuraciones para formar la función de onda completa son

donde los subíndices

y

hacen referencia a funciones antisimétricas y simétricas,

respectivamente. La parte espacial antisimétrica en este caso es

Nótese que si

, esta función es nula. Por otro lado, la

parte espacial simétrica es

cuando los estados son diferentes (sin tomar en cuenta el spin). Y

si los estados son iguales (sin tomar en cuenta el spin).

representa el operador de

intercambio. Ahora bien, como los electrones tienen spin eigenestados conjuntos (de spin) posibles son

"97

, los

"98

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

que corresponde a un momento angular total

(no se está considerando el

momento angular orbital, recordando además que caso: Para que

, en este

. Fácilmente puede comprobarse que este es un estado antisimétrico. , se tiene los tres estados simétricos siguientes (la degeneración es 3, ya )

En definitiva, las posibles configuraciones para conformar la función de onda total, son

donde,

Aquí se ha empleado la notación

,

para representar los

estados de spin de cada electrón. Y se ha considerado que en general los conjuntos distintos. Si no fuera el caso, la parte espacial simétrica es

"98

son .

"99

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

d) Para el estado base, el valor de los números cuánticos es

De manera que la energía para este nivel es

y dando valores numéricos

En este caso, para tener una función de onda no nula, la parte espacial debe ser simétrica, en concreto está dada por . Entonces, de acuerdo a (4), la función de onda total es

Para el primer estado excitado .

Con

y

. Si se escoge

y por tanto

,

la energía para este nivel es

Al ser

, la parte espacial puede ser en este caso antisimétrica, con lo que

por (4) resulta "99

2::

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Aunque también es válida la función de onda

Es decir, cuando uno de los electrones está en el estado base y el otro en el primer estado excitado, el átomo de He puede existir en un estado triplete, o en un estado singulete. Nótese que al tratarse de partículas idénticas no hay diferencia entre el caso recién estudiado y aquel donde los números cuánticos sean y .

Tomando el segundo estado excitado como aquel con los números cuánticos

En este caso la energía es

Para

este

estado,

al

igual

que

en el estado base, se tiene . Por lo tanto, la parte espacial debe ser

simétrica y de acuerdo con (4), la función de onda total es

TAREA 7 50. Dos partículas idénticas con spin potencial unidimensional de anchura

se encuentran confinadas en un pozo de y tal que:

2::

2:"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Obtenga la energía y función de onda para el estado base y primero y segundo estados excitados.

Solución. Se tiene un sistema de dos fermiones idénticos de spin !, que se supone no interaccionan entre sí. Este problema es muy similar al segundo problema (49) de la tarea pasada, únicamente cambia la parte espacial de la función de onda a fin de que corresponda al problema de partículas en un pozo infinito, desde luego que los niveles de energía se verían modificados. En esta ocasión el problema se resuelve usando el determinante de Slater.

Partícula en un pozo infinito unidimensional Para una partícula de masa de ser nula sí

o

en un pozo infinito, la función de onda (espacial) ha . En la región

, la ecuación de Schröedinger

estacionaria es

O bien,

La solución formal a esta ecuación es

Por

las

condiciones

de continuidad de la función de , y la condición de normalización, se tiene que

donde, 2:"

onda

2:2

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

De esta última relación se obtiene el espectro de energías

Funciones de onda completas y energías correspondientes Ahora hay que encontrar la función de onda total junto con su respectiva energía, para los estados pedidos en el enunciado del problema. Al suponer que las partículas no interaccionan, la energía total es la suma de las energías asociadas a cada una de las partículas, esto es,

Estado base

: aquí

, por tanto la energía de este estado es

Ahora bien, al tener las dos partículas el mismo valor del número cuántico

, el

principio de exclusión de Pauli, obliga a que la orientación del spin de éstas sea diferente para una y otra; así, el determinante de Slater es

2:2

2:3

Figura 50.1. Posibles configuraciones en las orientaciones spin de cada partícula en el primer estado excitado. #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

del

donde

representan los estados de

spin de las partículas considerándolas por separado. Usando (4), esta función de onda puede reescribirse como

Primer estado excitado

Aquí

. La energía de este estado es

Este estado corresponde a la situación en que una de las partículas está en el estado base con su spin hacia arriba o hacia abajo, mientras que la otra partícula está en el estado

, igualmente pudiendo estar su spin orientado hacia arriba o hacia

abajo. Las configuraciones posibles son las siguientes (ver figura 1)

Estas configuraciones corresponden a la elección mismo estado del sistema se encuentra si 2:3

. No obstante, el , ya que las partículas

2:4

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

son indistinguibles. En este caso sin embargo, las situaciones en las que las partículas tienen sus spines orientados de forma anti paralela, están “intercambiadas” con respecto a las dos últimas configuraciones en (10), es decir, cuando la partícula 1 está en el estado con su spin hacia arriba, se tiene exactamente la misma situación que cuando esta partícula se encuentra en

con

su spin hacia abajo (ver figura 1). Debido a esta indistinguibilidad (o si se quiere equivalencia) entre las dos últimas configuraciones dadas en (10), se construyen funciones de onda apropiadas mediante una combinación lineal de las funciones asociadas a estas dos configuraciones.

Se construye el determinante de Slater en cada caso. Para la configuración se tiene:

esto es,

Para la configuración

, únicamente se debe cambiar,

por

en (9), esto es

Los

determinantes

de

Slater

correspondientes

y

2:4

a las configuraciones son, respectivamente

2:5

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Sumando estos dos determinantes, se obtiene una función de onda con la parte de spin simétrica, y la parte espacial antisimétrica, justo como puede observarse en seguida

o bien,

Para que esté debidamente normalizada hace falta dividir entre

Restando

de

, entonces

, se obtiene un estado con parte de spin antisimétrica y parte

espacial simétrica, como se encuentra a continuación

2:5

2:6

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Normalizando se obtiene,

Segundo estado excitado

En este caso

. La energía para este estado es

Nuevamente, como en el estado base, ambas partículas tienen el mismo valor del número cuántico , por tanto deben tener diferente orientación de spin. La función de onda correspondiente es entonces

la cual puede ser reescrita como

2:6

2:7

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

EXAMEN 2 51. Los operadores de spin de Pauli están definidos en términos de los operadores de momento angular de spin como:

Considere el caso como

y denotemos a las eigenfunciones normalizadas de y

tales que

relaciones para los operadores de escalera

donde

para mostrar los resultados siguientes:

a) b) c) d) e)

Solución. a)

, pero

. Entonces,

Y sabiendo que

2:7

. Use las

2:8

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

obtenemos

b)

, pero

. Entonces,

c)

donde se ha usado el hecho de que

.

d) 2:8

2:9

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

puesto que

e)

.

,

pero

. Por lo tanto,

52. Un sistema consiste de dos partículas con momentos angulares de magnitud y

. La función de onda que representa al sistema con momento angular total

de magnitud

y proyección

está dada por:

2:9

2":

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

donde

son los coeficientes de Clebsch-Gordan.

Indique qué coeficientes de Clebsch-Gordan son diferentes de cero para cada uno de los estados

posibles. Note que no debe calcular explícitamente

los coeficientes.

Solución. Se sabe que para tener coeficientes C-G, en general no nulos, han de satisfacerse las siguientes relaciones

Por supuesto con

Sea

. En este caso

y

, por lo tanto (2) queda como:

. •

Para

, se tiene

Para

.

, se tiene la siguiente tabla de coeficientes C-G.

1 0

-1 Tabla 52.1. Coeficientes de C-G para 2":

con

.

2""

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Los coeficientes de C-G marcados con

son aquellos en que

y

cumplen con (1) en

este caso y por lo tanto son los únicos diferentes de cero para el estado

Para

.

, se tiene la siguiente tabla de coeficientes C-G.

1 0 -1

Tabla 52.2. Coeficientes de C-G para

Los coeficientes de C-G marcados con

con

.

son los únicos diferentes de cero para el estado

, pues se satisface (1).

•

Para

, se tiene

. Entonces, resulta la siguiente tabla de

coeficientes C-G.

2""

2"2

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

1 0 -1

Tabla 52.3. Coeficientes de C-G para

con

Para

, el coeficiente de C-G diferente de cero es:

Para

, los coeficientes de C-G diferentes de cero son:

Para

, los coeficientes de C-G diferentes de cero son:

2"2

"

2"3

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Para

, el coeficiente de C-G diferente de cero es:

En todos los casos se verifica que se cumple (1).

53. Dos electrones (fermiones) se encuentran confinados en una caja impenetrable rectangular de dimensiones y , de manera que la función de onda y energía de cada partícula están dadas por:

Obtenga la función de onda total

antisimetrizada para el estado base y el

primer estado excitado.

Solución. Despreciando la interacción entre los dos electrones, la energía de cada estado es la suma de las energías de cada electrón, esto es:

Al ser este un sistema de dos fermiones idénticos, la función de onda total ha de ser antisimétrica y se puede escribir como el producto de una parte espacial y una parte de spín, pues el spín no depende de las coordenadas espaciales y viceversa. Entonces

2"3

2"4

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

La parte simétrica es

La parte antisimétrica es

Y las funciones de spin

En el estado base se tiene

. Entonces, la energía es

En este caso, la función espacial antisimétrica es cero, pues lo tanto la función de onda total (dado que el estado está degenerado) es:

2"4

, por

2"5

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Primer estado excitado

Haciendo la siguiente elección de los números cuánticos para este estado:

La energía es

En este caso, se tiene cuatro posibles funciones de onda. Una de ellas (estado singulete) es:

Pero, también se tienen las siguientes posibilidades

que da tres funciones de onda (estado triplete).

EXAMEN 3 54. Para el átomo de hidrógeno en su estado base gaussiana :

y encuentre el valor óptimo de respecto de la energía exacta.

use una función de prueba

y de la energía. Diga qué error porcentual obtiene

Solución. El Hamiltoniano del átomo de hidrógeno es 2"5

2"6

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

con el operador Laplaciano en coordenadas esféricas. En el estado base la función de onda no tiene dependencia angular ( tanto, en este caso

), por lo

Ahora empleando el método variacional para obtener un valor aproximado de la energía del estado base. De acuerdo con este método, la energía de dicho estado está dada por

Entonces,

Y sabiendo que el momento de orden dos de una gaussiana es

obtenemos

Ya que el integrando de la integral es cuestión es par. Luego,

Se calculan las integrales

2"6

2"7

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Por lo tanto, la primera integral, que definimos como

Con

es:

. Usando el hecho de que el momento de orden cuatro de una gaussiana es

Por lo que

Para la segunda integral

, se tiene

Y usando el resultado

se tiene que: 2"7

2"8

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Por lo tanto,

De manera que

Ahora, se minimiza esta relación con respecto a , esto es

o bien

El valor óptimo de la energía para el estado base es

2"8

2"9

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Por otra parte, se tiene que la energía exacta está dada por

Y para el estado base

:

De modo que el error relativo es

Así, el error porcentual es de

.

55. Una partícula de masa está restringida a moverse en el plano su Hamiltoniano está dado por:

a) Escriba la ecuación de Schroedinger asociada al Hamiltoniano la energía del sistema no perturbado está dada por:

Y que las eigenfunciones no perturbadas pueden escribirse como:

2"9

de modo que

y muestre que

22:

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

donde,

son las funciones de onda del oscilador armónico

unidimensional ( en

y en ) normalizadas.

b) Haga una tabla de los primeros estados (hasta

), donde

está dada por

la ecuación (2) y muestre la degeneración de cada estado. c) Una perturbación

se enciende. Use teoría de perturbaciones para

estados degenerados y calcule el desdoblamiento de energía para el estado degenerado más bajo

.

d) Construya las funciones de onda normalizadas correctas para los estados degenerados más bajos ( ).

Solución. a) La ecuación se Schröedinger asociada al Hamiltoniano

, es

O bien

donde

"+( *+" <-.=*0+(=-(+" 2/ +":=*-2+9/" -9.>(=:+" ;(=2=./("=+(-*/" /( 9/"?/:0=@-./(0/A B/ *- /:;-:=>( 34% "/ 0=/(/

22:

/

22"

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

C;/,+7

-?*=:-(2+

"/?-9-:=>(

2/

@-9=-$*/"

"/

?9+?+(/

*-

"+*;:=>(

"/ 0=/(/ D;/E

F $=/(

:+( 1//":9=$=/(2+ *- /:;-:=>( 34% /( *- G+9.-

:+(

A C;/,+7 "/ H-:/ /* :-.$=+ 2/ @-9=-$*/

/:;-:=>( 3I% 09-("G+9.)(2+"/ :+.+E

J( 0-* :-"+7 *- "+*;:=>( 2/ 3K% /"

22"

6

/( *-

222

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

2+(2/

"+( *+" ?+*=(+.=+" 2/
(+9.-*=L-:=>( 6 "; /=,/(@-*+9

*- :+("0-(0/ 2/

A

!()*+,-./(0/ ?-9- *- /:;-:=>( 3M%

:+( /=,/(@-*+9

A

!"#7 *-" /=,/(G;(:=+(/" (+ ?/90;9$-2-" 3"+*;:=>( - *- /:;-:=>( 34%% "/ ?;/2/( /":9=$=9 :+.+

N+(

*+" /=,/(/"0-2+" 2/ +":=*-2+9/" -9.>(=:+" /(

6 /* +09+ /(

b) De

la

3;(+ /(

%7 2+(2/ /* /=,/(@-*+9 :+99/"?+(2=/(0/ /"

ecuación

anterior

,

tomamos

Degeneración 0

0

1

1 0 1 2

0 1 1 0

2 3 222

valores

para

223

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

0

2

1 2 0 3

2 1 3 0

4

Tabla 55.1. Energías de los primeros estados y su degeneración.

c) Ahora, considérese la perturbación doblemente degenerado se tiene que: estado son

. Se sabe que para el estado y sus funciones de

y

respectivamente.

De

acuerdo con la teoría de perturbaciones para estados degenerados, se calculan las correcciones a primer orden resolviendo la ecuación secular:

Los elementos de matriz

En este caso

Recordando que

están dados por

. Entonces, los elementos de matriz son:

con

De forma similar

223

. Además,

224

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Y

Sabiendo también que los eigenestados son ortonormales se tiene que

224

225

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

Entonces,

Así, la ecuación secular es:

Esto es, la perturbación una cantidad

Y como

desdobla la energía del primer estado degenerado por

; es decir

, se tiene que

d) Las funciones de onda para estos estados degenerados están dadas por combinaciones lineales

8-9- /(:+(09-9 *-" :+("0-(0/"

7 2/$/.+" 9/"+*@/9 /* "="0/.- 2/ /:;-:=+(/"

225

226

#$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

•

8-9-

7 "/ 0=/(/ D;/

O.?+(=/(2+ *- :+(2=:=>( 2/ (+9.-*=L-:=>(7 "/ +$0=/(/

!"#7 ?-9-

•

8-9-

7 *- G;(:=>( 2/ +(2- 3(+9.-*=L-2-% :+99/:0- /"

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226