Solucionario Estatica Leyva

c

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

1MQ £

Se tiene un conjunto de fuerzas concurrente ?! = ( —2,3m 3), f 2 = (n, —2,1) y f3 =(-l;4,r) , para que valores de m, n y r la partícula se encuentra en equilibrio.

M m m m M

Como la partícula se encuentra en equilibrio =>EF=0 Veamos:

+F2+F3—0 -2 +n-l= 0 ' 3m-2+4=0 3+1-5-0

n=T

-2 m=3 :"3 r=4

Se tiene un conjunto de cinco fuerzas y la resultante de estas se indican en la figura. Hallar la quinta fuerza.

Del gráfico tenemos: F_1 =5j TM F2 =12ÍN

•

F3=40ÍN F4=(16Í+12j)N F5=? Pero tenemos que w w w .e d u k p e ru .c o m

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II f l g j j

» SOLVER EDK

)

ESTÁTICA

/12.

5 .\

F^ 65( i3 Í+13j) N Fr=(60Í+25j )N Luego ? i+F2+F3+F4+F5=Fr F5=Fr-(F1+F2+F3+F4) F5=60Í+25j-(5J+1 2Í+40Í-161+12j) F5=(24Í+18j )N

Hallar la resultante de un sistema de fuerzas que se indica en ia figura. La figura es pentágono de 10 m de lado y las fuerzas están a escala de lm =5kg R=(202.25,-65.7)

Visualizando, tenemos que el pentágono es regular, por lo que •

7t

0=a=p=36°= — 5 71. 7t. =>F!=50 cos-ri+50 sen-j 5 5

S

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

vvww.edukperu.com

c

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

F2=100c o s ^ I

5

K

71

71

.

F3=1OOcos —eos -i-1 OOcos - sen —j 5 5 5 5

271.

2k „

F4=50cos — i-50sen — j 5 5 Luego

Fr=Fi+F2+F3+F4 =(202,25í-65,7j)kg

Dos esferas iguales de radio r y peso w se apoyan mutuamente entre si y se apoyan, además contra las paredes de un cilindro abierto por su parte inferior de radio R, que descansan sobre un plano horizontal. wt que ha de tener el cilindro para no ser volcado por peso de las esferas.

*?iT T trairm r

Tenemos dos esferas: tal como muestra la gráfica: DCL para ambas esferas Como dicho sistema en equilibrio (claro está debido a que deseamos el mínimo valor de

w w w . ed t& pe ru .com


» SOLVER EDK

ESTÁTICA

Wi Ahora

IFy=0 IFx=0 R4-2w=0=>R4=2w R2-R, =0 .-.r2=r1

Ahora IM b=0

R, (25)sena-25 cosaw=0 w =>Ri = — tga

... d)

DCL del cilindro

2A

Como deseamos que dicho cilindro no vuelque

s m a =o RW,=Ri(25)sena

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

w w w . ed u k p e ru .com

SOLVER EDK «

ESTATICA

...(2) De (1) y (2) tenemos: cosa RWi =2rW —— sena sena r Wi=2w-cosa R

Del AOBC tenemos que ' • 2(R-r) R cosa= —-— =—-1 2r r =s>W,:>2w(l-£)

0

Cuál es el valor de la fuerza f para levantar la carga de 100N, si p=0.3 para todas superficies y 0= 10°.

Ahora analizando solo a la carga de 100N, carga C

w w w . ed u kpe ru .co m


159

» SOLVER EDK

I

ESTÁTICA

Ahora tga=0,3 a=16,7° Realizando el polígono de fuerzas, tenemos:

Por ley de senos tenemos: R1sen(9O+(0+a))lOOsen(9O-2(a+0) R] cos(0+a)=l OOcos2(a+0) R1=66,74N Ahora, para el bloq A


www, ed ükpe ru:eom

c

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

Ahora

R4sen (90-a) Fsen2 (a+0) F=98,1N Ahora analizando al Bloq B Veamos:

www.ed u kpe ru.com


» SOLVER EPK__________________

J

ESTÁTICA

Realizando el polígono de fuerza tenemos:

Por la Ley R-isen (90-(0+2a)) =R4sen (2a+0) R4=70,5

Tres fuerzas f, 2f actúan en los vértices de un trianguto equilátero ABC normalmente a sus lados, como se indica en la figura. Hallar la magnitud dirección y sentido de la resultante. m m m tm Tenemos:

F2=2F(cos30Í-sen30j) SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

www.edukperu.com

SOLVER EDK «

ESTÁTICA

F3=-3F(cos30Í+sen30j) Ahora para calcular la resultante

R=F-|+F2+F3

>|R|=V3F Además: calculando

-V3-

Pr= -1/2,-

1. V3„

=>pR=2i+Y j

Si verificamos que

1. V3. ^PQ=2i+Y j " dirección de que R es QP

Se tiene la cuerda PQRS (sin peso), la cual soporta los pesos w1. Hallar la fuerza de tracción en las porciones P Q Y QR de la cuerda. Si a =30 m y b =5 m.

Del problema tenemos el DCL para la cuerda QR

w w w .ed uk pe ru .co m

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

163

» SOLVER EDK

ESTATICA

3b tga= — =»a=26,6° a Como el stm se encuentra en equilibrio IF x=0IFy=0 IF x=0XFy=0 =>Tx-Tx=0 2Ty=2w 1=>Ty= w 1

pero Ty=Tsena W i

/.T=— -=2;24wt sena Por tanto Tx=tcos0=2w1 2w1

Se tiene la estructura representada en figura. Hallar la fuerza sobre la barra LN, si en el extremo m; se aplica un peso de 50 kg. ám

m

m

Realizando el DCL de la barra LM? entonces: SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

www. edLrkperu,com

.c

ESTÁTICA

Fw /

A. \

\

•

c

P 1 —

SOLVER EDK «

6 —------II-------4— — V

50 Kg

Aplicando IM P=0 4(50kg)=6sena FLN

200 ^ ^ "ó s e n a

=^FLN=41,67 kg Para la barra LN, la fuerza FLN es a lo largo de la barra LN

8

tga=7=>a~53,13°

6

4 sena= 5

www, edukperu.com

SOLUCIONARIO FISICA LE IVATY II

» SOLVER EDK

1

ESTATICA

Dado la figura, se tiene una fuerza f=10N que actúa en la dirección del punto A al punto medio del lado BC. Hallar (a) el torque de la fuerza con respecto a 0. (b)el torque con respecto a B (c) el torque con respecto al lado BD.

á tm tm m

Del diagrama mostrado tenemos:

a)

Piden =rxF r=aí , F=10pF AC+AB -Vó, V 6 - V 6 r ^ = > í¡F= - \ +- }+— k PF= [AC+AB]

r

_ -10V6. 5V6 5V6r i+—

+T

k

Ahora: b) tb=r1xFrl =aî -aj , SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

w w w .e dukp eru,corrí

c

ESTÁTICA

_

SOLVER EDK «

-10V6. 5-v/6- 5 V 6 r

F=—

Í+— J+ —

_

k

-5aV6 . , ~

tb=— 3 — (i+j+k)

c)

tBD=pBD.tbpBD=í -5aVó „ .

-5aV6

=>tBD—> - 5 - O ^ k ) — —

Se tiene dos pares de fuerzas que actúan en las aristas de de la figura. Hallar el torque resultante.

« a n a ta » Para poder calcular tPOR de vectores, sólo es necesario:

' A Considerando lo antes dicho, tenemos:

w w w . ed u kperu ; com

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I

i r

» SOLVER EDK

ESTÁTICA

ches ia distancia para el por de 5N cês la distancia para el por de 1ON » f 5>=d,xF-.6jx [ 5 , ( i ^ i * i c ) ] =24V5Í+6\/5k =>f10N=d2xF¡=2Íx (l 0j)=-20k t=24V5Í+(6V5-29)k

Se tiene una placa circular de 4 m de radio, sobre dicha placa actúa cuatro fuerzas que se indica en la en la figura, (a) la resultante de las fuerzas, (b) el torque de la fuerza con respecto a 0 y (c) La posición de la resultante. *

Se tiene el disco de radio 4 m. tal como se muestra:

68

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

w w w .e d u k p e ru .c o '

ESTATICA

SOLVER EDK «

Dichas fuerzas están sobre el disco a)

R=LF, =-1k-2k-4k-3k R=-10N(k)

b) t^ I^ F , fj = 4í , Fi=-ln(k) r2=4 cos30Í+4sen30j

F2=-2k(N) r3=4j ;

F3=4(k) r4=-4 í

F4=-3(k)

Fi +r2F2+r3F3+r4F4 to=-20Í+(4V3-8)J

www. ed u kperu.com

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II

» SOLVER EDK

c)

D

ESTÁTICA

Sea r=(x,y,z) posición de la resultante: t0=rxF= -1 OyT+1 0xj=20Í-(4V3-8)J x=(4V3-8)/10 y =2

O

Las dos mitades de un cilindro circular de radio r y peso total 2oj se apoyan mutuamente, como se muestra en la figura. La superficie entre dos cilindros es rugoso y el suelo es liso.

Se tienen dos mitades de cilindros circulares: (tratando como un sistema)

a)

Como dicho sistema se encuentra en equilibrio XFy=0 También como el piso es lizo

>Ral al piso

m SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y

w vvw .edukperu.cón

SOLVER EDK «

ESTATICA

>RP||Ra Ahora P+Q=2w Ahora ZtP=0=>A02PQ a tenemos que: rcotoa=(rey) eos 0 2 w

... ( 2) Del a

PO sQ

tenemos:

- ¿ _ =r2 y ^ y=^ - i _ . !) ■ (3) Resolviendo (1), (2 ) y (3) tenemos que P=w(l-sen0) Q=w(l+sen0s) b)

DCL de uno de los semicilindros, tenemos:

w w w , ed u k p e ru .corri

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II f 171

» SOLVER EDK_________________ ^

ESTÁTICA

Asumiendo que R actúa en X, entonces como Fg y Q son II entonces R es paralela a Fg =>EFy=0 Q+R=w R~w-Q=w-w(l +sen0) =wsen0 c)

Del mismo modo realizamos el DCL para el otro cilindro: Aplicando ! t P = 0 , considerando

jjfgflj SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II

vvww. etíukperu.cem

SOLVER EDK «

ESTATICA

4r C6 de — 371 =>xcos0 R=

/ 45 \ tg0J cosG.w

/ 1 \sen6

4 cosQ \ 3nsen26J

Si se conoce 6 y el sistema está en equilibrio. Hallar (a)las relaciones en P Y Q. (b) la relación R que se ejerce entre los dos semicilindros.' (c) la distancia x a la cual actúa esta relación. am m m m / Realizando el DCL del sistema mostrado:

w w w , ed u k pe ru,com

SOLUCIONARIO FISICA LEÍVA I Y II

ESTÁTICA

» SOLVER EDK

Realizando el DCL de cada peso

Ahora para la esfera (2)

=>T=

/ 100 100V3\ \tg60

3

)

...( 2) De ( l) y (2) V3w_1=(100V3)/3

w1 = 33,3kg

©

Dos cuerpo de peso wxw2 =100kg. Reposan sobre dos planos inclinados lisos y están unidos por un cable de peso despreciable. Qué valor debe de tener w1 para que el cable esté en una posición horizontal. M?mTíTffriTM SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II

w w w . ed u kpe ru .com

£

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

Ahora descomponiendo las fuerzas a lo largo del plano inclinado

IF y=0 Fsen0+n=wsena ...(* ) £FX=0 wcos0+fs=fcos0 (**)

Además, tomando momento en la polea:

wvvw 0 d uk p6 ru .co m

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1Y I

» SOLVER EDK

ESTÁTICA

£tn=0. La longitud de la cuerda es:

1V 2 =>fs.(lV2)sen0+N(lV2)cos0=lw w =>fssen0+Ncos0= — V2 De (*), (**), (***) tenemos que N=wsena-Fsen0 N=wsen(0+45°)-Fsen0 /sen0.V2 cos0.V2\ N=w í — -— +— -— J.FsenO ...(* ) N=w(sen (0+45°)-Fsen0

Dado el sistema de la esfera y plano inclinado. Hallar el ángulo 9 y la reacción normal a la esfera, para que el sistema se halle en equilibrio.

Como el cubo es liso y además h = L/4

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I

realizando el DCL del cubo

w w w .e d u k p e ru .c o m

SOLVER EDK «

ESTATICA

Aplicando: £to=0

(i)R=(i^)cos(45+ a)

w

R=V2COS(75°)W - (* ) Ahora DCL de la placa

__ JL wl

,T

Fn

£F=0 £Fy=0 w 1 +Rcosa=fN

EFx=0 Rsena=fs .. . ( 2)

i©

Un cubo perfectamente liso de peso w y lado L, puede girar alrededor de la articulación o y se apoya en el borde de una placa de peso w±y altura h =174.Hallar


SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II-,

» SOLVER EDK___________

_______

j

ESJÁT1CA

el coeficiente de rozamiento ¡i entre la placa y el piso horizontal de apoyo para que haya equilibrio en la posición indicada de la figura.

Realizando el DCL de uno de los aros:

Del gráfico,

1

r

senct=3r =3 =>a=19,47° =>cosa=

2V 2

O

Ahora realizado el sistema de fuerzas Rasena=F-Rb ...0)

Racosa=F

Resolviendo (1) y (2) tenemos'que SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II


c

ESTATICA

SOLVER EDK «

Ra=3F/V8 R ..F O - - Í)

&

. Se tiene tres aros sin peso. Uno de los aros tiene doble del radio de los otro dos que tienes radios iguales. Los tres aros están amarrados por una cuerda inextensible que hace una fuerza f. Hallar las reacciones en A Y B.

Realizando el DCL de la cuya, tenemos:

lS0=4 desde gráfico tenemos que a=15+0 Ahora

wwm

edukpe*ucom

SOLUCIONARIO FISICA LE IVA ! Y II

■~S

» SOLVER EDK

ESTÁTICA

R2cosa=R1cos0

F=R1sen0+R2sena ..•(2) Luego tenemos que Fcos0

FcosO

2~~(cosasen0+senacos0) sen(cH-O)

El diagrama de fuerzas tenemos:

g jj SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y

w w w , ed u kpe ru ,com

SOLVER EDK «

ESTÁTICA

Donde a=15+0 lOOsen(9O+0)=R2sen(9O-(a+0)) 1000 cos0=R2cos(a+0)

Ahora de (*) tenemos: 1000cos9=

FcosG sen(a+0)

cos(a+0)

F=1000 tg(a+0) F=lOOOtg(15+20) F « 932 kg

Dado el sistema de pesos que se indica en figura. Se quiere levantar un peso de lOOOkg, con una cuña que hace un ángulo de 15°. Hallar el valor de f, si el coeficiente de rozamiento para todas las superficies en contacto es de 0. 25.

Realizando el DCL de la barra y de la semiesfera

L

L

P XFy=0

P+Q=w-|

LtP=0 Lw1=(L+X)Q ...( 2)

ww(/v. edukperu.com


181

» SOLVER EDK

ESTÁTICA

Pero tenemos que L+X=rcos0 ...(3 )

!» SFy=0

P+Q+W=M ...C l) StQ=0 rcos0M=(2rcos0-bsen0-rcos0)w+25cos0P

Analizando todo el sistema

82


w w w .e d u k p e ru .co m

c

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

M=w+w1 Una barra uniforme PQ= 2L de peso w l se apoya en P en el interior y por R sobre el borde de una semiesfera hueca de peso w. Hallar la relación de w a w l sabiendo que la posición de equilibrio de la barra es horizontal. Si C es el centro de gravedad de la semiesfera y se conoce b. Hallar el ángulo 6 y las reacciones en P; R Y M.

Como se encuentra en equilibrio w w w .e d u k p e ru .c o m


» SOLVER EDK

)

ESTÁTICA

Xto=0 w 2Lsen0=w1 (a-Lsen0) senO =

aw1 L(w1 4- w2)

De un punto A esta suspendido un pesou^ y una esfera de radio y peso w2, tal como se indica en la figura. Si 00’=L, Hallar el ángulo 9 que ase recta 00’ con la vertical.

a)

StA=0 RBLcos(p+0)=bcos0w

Luego analizando el sistema de fuerzas

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II

www. ed ukper u.co m

c

ESTATICA

SOLVER EDK «

RA+RBcosp=w ...( 2) IF x=0 R0sen|3=F ...(3 ) Ahora (1) (3) F=

wbcos0sen(3 Leos ((3-0)

b) De (3) tenemos wbcos0 Leos ((3-0) Y por último en (2) Ra=w ^1

bcos0cospi Lcos(p-0) J

Una varilla AB = l, de peso w cuyo centro de gravedad se halla a una distancia b del extremo A, se apoya en A sobre un suelo horizontal y en B en una pared inclinada,

w w w .e d uk pe ru .co m


)

» SOLVER EDK

ESTÁTICA

ambas superficies lisas como se muestra en la figura, (a) Hallar la fuerza f que debe aplicarse al extremo A de la varilla para que se mantenga el equilibrio con un ángulo de inclinación 0. (b) Hallar también las reacciones en A y en B.

I t o=0

w-j ¡

L2 \ íl ja2 — sen0 1-w21 -

cos0

L* ^ a2 — sen0

W-|

^ (V4a 2L2sen0^ =~ (Lcos0-2V4a2L2sen0j 2V4a2L2sen0(w1+w2)=w2Lcos0 tg0=

w

2L

2(w ¡+w2)V 4a2L2)

0=

w

2L

2ÍW! -f-w2)V4a2L2).

m

Una barra de longitud L y peso w1¿ se encuentra apoyada sobre una esfera semicircular de radio a, y superficie lisa, otro peso w2 está situado a un cuarto de longitud de la barra, como se indica la figura. Hallár 0 para que el sistema se halle en equilibrio. SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I

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£

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

Del gráfico mostrado: IF y=0 P-60=0=>P=60kg Luego aplicando l t Q = 0 tenemos

10 ( 5cos0) -20 ( 5cos0) -(2,5) senG( 10) +60( 5sen0)=0 =>0=10,3°

©

Se tiene dos barras homogéneas de longitud lOm, y 5m y 20 kg, lOkg de peso que están unidas formando un ángulo de 90° y soportadas en el punto p. En los extremos de la primera barra actúan los pesos de 10 kg y 20 kg. Hallar el ángulo 6 para el equilibrio.

Primero, analizando todo el sistema


SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIYII

187

ESTÁTICA

» SOLVER EDK

R1R2=w

StQ=0

2 R1 - 2 En (1) w Ri=R2=*2

A

STa=0 a

bt=Ra

T=w— 4b SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

w w w .e d u k p e ra .c o m

I

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

Dos barras están articuladas en Q y sujetas por una cuerda PR. las cuales se apoyan sobre el suelo liso. Hallar la fuerza de tracción que se produce en la cuerda, cuando una carga w se aplica erí la articulación Q, tan como se indica en la figura.

Ojo: falta considerar o indicar que dichas barras son homogéneas Ahora: l' \ A C = "

Lo

Í-I+L2+L3 v _ L3/ L2+L3 \ ^ 2 \Lí+L2+L3/

Lo

Xc2= 2 ’ y<:2= 2’ *C3=

’ YC3=0

Li (L t-hL2) 2 L1+L2+L3

Hallar el centro de gravedad del triángulo formado por varillas de longitud h; , para el sistema coordenado dado.

www.edu kosru.cd m

SOLUCIONARIO FISJCA LEiVA I Y II

» SOLVER EDK

]

ESTÁTICA

Del gráfico, se tiene:

6R XNs=3R , Yns- ~ k

_-4R XNM=2R ; VNM- — 7t 2R X lm=3R , Ylm= ~ Xc=

3R. (3R7ü)+2R. (2 Rn)+3R(R3R. (3Rk)

8R

3R7t+2Rn+R7i

3

f— ) .3Rtc-—U +2Rrc+ —K .Rn ___2R 3R7t+2R7r+R7T n

\ / _ \ 7t /

. Hallar el centro de gravedad de la espiral LMNS, sabiendo L O =R, LM =2R; NS=6R, para el sistema coordenado.

w

w

«

Ojo: Los lados del triángulo son distinto a R^ (ese dato no debe existir) Si ubicamos el origen de coordenadas en O: Y

c t o ta l=0

Ahora h YAC=-=»Area=Rh ó -4R R*rc v« * i r Area= T »24R /R2tt\

0= RH+^


www.edukperu.coir;

l

__________________ SOLVER E D K «

ESTÁTICA

H=V2R

#

Se tiene dos superficies, una de ellas es semicírculo de radio R y la otra un trianguloisósceles, cuyos lados iguales son R y el de la base 2R, cuánto debe valer la altura del triángulo para que el centro de gravedad de las dos superficies, coincida con el punto o.

Aplicando por superposición: Llamaremos A r : Area Total (cuarto de circunferencia=

At : semicircunferencia 9

X|=2

3n

1

A'= T n

4a Xl= 3tt 4a = 3n

A j=-n y ^

At.Yt +At .Yt . A-j +A 2

2 Yc=-a=0,64a

K

www.e d uk pe ru .co m


» SOLVER EDK

3

ESTÁTICA

A t-Xt+At .Xt

y

A!+At Xc=0;345a

Hallar el centro de gravedad de la figura rayada.

Ecuación de la curva: -b

r ---—

ab7i

x = - v ^ y a =—

Utilizando la simetría que tiene dicha Area, tenemos:

Fc = 0 Bastará encontrar Xc: veamos

^ = { 4 K) =- S ^ - y2^ -a

.

x

a

xc=(a^ ) =-2 f ¿(a2-y2)dy 4a Xc= 3 Í

192


www.edukperu.com

SOLVER EDK «

ESTATICA

0

Hallar el centro de gravedad de la superficie de la elipse.

]¡¿ ¡¡¡^ Llamaremos (1) a la región de radio=2R (sombreado) (2) a la región de radio=R (sombreado) (3) a la región de radio=R R

8

x i= °, Y t = — , A ,= 2 R 27t R 27l

4R

1* Ico

11

371 ' ^ 2" 11 co <

wx II 73

II > c£ lì

><

-4R

2 R 27C "2 “

A -| X -j + A 2 X 2 + A 3 X 3

Xo=-

A-j +A2+A3

Reemplazando tenemos:

Xo=¥ A 1 Y 1 +A2 Y2 +A3 Y 3

-2R

Ai +A2+A3

71

Yr=-

Hallar el centro de gravedad de la figura rayada.

v v w w .e d u k p e ru .c o t t i


93

» SOLVER EDK

]

ESTÁTICA

Proyectando el sólido, de tal manera:

ZCVT- J z . A ,c h

ZCVT=

í

J

)

az+b(h-z) \2 3V3 (y -dz=> Z.(-

o

pero Vt=5 a2V3+b2^3+abV3 Zr=T

3a2+2ab+b2 a2+ab+b2

h a2+2ab+3b2 .••dista=4 a2+ab+b



c

ESTATICA

SOLVER EDK «

Las bases de un tronco de pirámide son hexágonos regulares de lados a y b respectivamente, siendo h la altura del tronco. Hallar la altura del centro de gravedad del tronco a la base de lado a.

Suponiendo que es un cono completo y proyectando de la sgte. manera, tenemos:

m2 (m+h)

2

VB7 »m=B VB-V?

B' _ (V B-V B7) .z-VBh) 2 = — =>AZ= ~ó A

2

(m+h-z)

B’

2

Zc.VT f z. A,dz ,n h" Z C.V T =

Zr=

( b + 2 V b ¥ + 3 6

) j g

( B+2-/b-B7+3B \ h y

+-n/eTb'+b

y

4

Halla la distancia del centro de gravedad de un tronco de pirámide a la base del



» SOLVER EDK

1

ESTATICA

Teniendo en cuenta el anterior problema (31) se puede verificar que posición del CG es igual a la fórmula dada: ••• B=R27t

B =r2jt =>ZC=

R2n+2VR^%2+3r23t\ h R2K+VR2-r27t2+r27t y 4 /R2+2Rr+3r2\ h C"V R2+Rr+r2 ) 4

&

Hallar la distancia del centro de gravedad de un tronco de cono a la base del mismo. jm

m

m

/

Ejercicio para el lector.

Hallar el centro de gravedad de las barras homogéneas de sección uniforme, que se indica en la figura, con relación al sistema de coordenadas dado. |

f

Como este es simétrica respecto a un eje:

196


w w w , ed u k pe ru.com

SOLVER EDK «

ESTATICA

bastará encontrar Zc, ya que Zc = Yc = Xc Veamos VD-^ a 3=*Zc.VD=

J z.dv

a

dv=(a2-z2).^.dz=»

j

z(a 2-z2).^.dz

Zc=oa=Xc=Yc

. Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la octava parte de la esfera x2+y2+z2=a2

*n rn ra m w *y

Ahora sea la ecuación de la parábola: Y=ax2+am2 L-an2+am2 L a=n2+m2 ...(*)

Ahora

w w w . e d u k p e ru .com


» SOLVER EDK

ESTÁTICA

„ M iv ji+ e f d x =2n Y=

“c f W

*

Y=2n

$

Un arco de parábola PQ gira de alrededor de eje y. Hallar la coordenada RS del centro de gravedad del cuerpo de revolución así obtenido.

Aplicando I t P=0 (t)4 sen(120°)=50 cos60.5+(10cos60°)30 T=79.4N T=79.4N(-sen30°í+cos30°j) Ahora: P-T-80j=0 P=80j-T |P|=41,3N

Se tiene una varilla PQ de 10 m de largo y peso 50N, que hace un ángulo de 60° con la horizontal y está soportada por una cuerda MN, la cual hace un ángulo de 30° con 198


ww-,v e d u k p e r-j,com

£

ESTATICA

SOLVER EDK «

la vertical, como se muestra en la figura. La distancia PN es de 4m. Hallar (a) la tención en la cuerda MN. (b) la reacción en el punto de apoyo p. aprmnnfffflM Del gráfico F1=500N F2=260 Luego tA=r1xFl +r2xF2 Vemos que: =-3Í i /3. 4„\ F, =500 (- i+g j) r2=-2k+4j ;

"F" ~ "2" "=260" ("-3" A/("13” ) "i" i Î 0 ••tA= -3 L300 400

"2" /V("13" ) "k" *)

k'

Î

0 +

0

oJ

.-60VÏ3

Î 4

k

-2

0 40VÏ3.

tA=160VÏ3Î +120VÏ3J+340VÏ3-1200k

J . La figura muestra a la fuerza f, y f2 aplicadas en los vértices del paralepípedo. SI las fuerzas tienen módulo f!=500Nyf2=260N y siguen las direcciones con las diagonales. Cuál es el momento total con respecto el vértice A.

w w w . edu k pe ru. com


199

» SOLVER EDK

]

ESTÁTICA

ám m am í

Ahora para la barra AB

T2y(Lcos200)=T2x(Lsen200)+w(0-k)cos20° w=819.6N

Desarrollando el punto C: Veamos:

g


w w w . ed u kpe ru .corrí

.c

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

Ticos40°=500

Ti=

500

cos40°

T1=652.7N

T2sen30°=T1sen40° T2=839.1N

©

Si la barra AB tiene peso

despreciable. Hallar el peso w para que el sistema se

encuentre en equilibrio.

w w w , edukperu com

I

SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II S JK

» SOLVER EDK

u

ESTÁTICA

Como dicha distribución es simétrico RQ=4(200)cosa

RQ=800cosa

Ahora

> 12 cosa= — => Rq =480N

Una barra PQ de 12 m está sujeta por cuatro cables de longitud 20 metros. Cuál es la fuerza de reacción del piso, si en cada cable hay una fuerza de 200N.

De acuerdo al gráfico, podemos verificar que: W | SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II

w w w ed uk pe ru.com

£

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

Ahora T,

/ -3 ,

4 *

6 r\

_Tf e l+V!fJ+V6T)

r i= T ( v 5 T Í' V Ü J+V 5 fk) £to=0

-36V6T . 61

.

50(-61)

Tj+50j=0^ — =10,8N V6I36

Ahora como, está en equilibrio SFo=0=^R0+T1+T2-l0j=0

=> Ro=10k-(Ti+T2) R0=(8,3Í-6,6k)N

&

. Una barra de 10 metros de longitud, de peso ION, distribuida en forma homogénea, es sujetada por dos cuerdas PQ Y PN, tan como se indica en la figura. Hallar las tenciones en las cuerdas y la reacción en 0.

jCfflfTrar.T W


SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I g j

» SOLVER EDK

D.

ESTÁTICA

0

///////////////

20Kg

SOLUCION

4

sena= 5

cosa= 5

Se puede demostrar que

Ti =T2 (debido a la simetría del problema)

T^sena^sena Ti=T2 ...( 1 ) Ahora T! cosa=T2cosa=20kg 2T1cosa=20kg

m


■

w w w . edukperu. com

£

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

100

T '.- k S 50 T 1=ykg=16,7kg

O

Una varilla PQ homogénea de 20kg y de longitud 8m, cuelga de dos cuerdas de 5m de longitud de cada uno. Hallar las tenciones de cada cable.

Aplicando Ztp-0

1

(1 sen30°)T= - sen45°)l 0 T=5V2kg Ahora P + F6 + T = 0 P=F9+T P=10j-5V2(-cos75°i+sen75°j) P=l,83í+3,17j

Una barra de PQ de lOkg está articulada en p y sostenida por su extremo por una cuerda MQ, tal como se indica en la figura. Hallar la reacción en p.



» SOLVER EDK

ESTATICA

Veamos (2)RM= (lm )(Rs)+(2,5)m(cos70o)25kg

De(l) RM=Rs=21,37kg

Una barra PQ de 5m de longitud y 25kg de peso, descansa sobre una superficie lisa,

@

formando un ángulo de 70° con el piso y se encuentra apoyada por los puntos s y M. Si se conoce p s = lm y PM =2 Hallar las reacciones en los puntos p, S Y M.

i

wwwww

Para la barra AB I t A=0

16



SOLVER EDK «

ESTÁTICA

(200kg) ^

sen60°+(100kg)

sen60°=wLsen(75°)

w= 149,4 kg

©

Dada la varilla AB de 200kg, homogénea, está articulada en A y sujeta en B por una cuerda la cual se comunica con un peso w por medio de una polea fija. Si no ay rozamiento en la polea. Hallar el peso W para el sistema esté en equilibrio.

Analizando solo el punto P, tenemos: a=45° 0 = 120°

Ahora: SFx=0 TPMcosa-TPQeos (0-90) =0 TpMcos45°=TpQ cos(30)

/V6\ TpmCos I — I =Tpq ...O) XFy =0 TPMsena-TPQ sen (0-90)-3 =0 TpMsen45°+TpQ sen (30°)=3

De (1) tenemos: w w w .e d u k p e a i.c o m


» SOLVER EDK

]

ESTÁTICA

TpM-2;7kgTpQ-2;2kg

Hallar las tenciones en las cuerdas que sujetan a la lámpara. Si a = 45° y a = 120° y el peso de la lámpara es 3 kg. Desprecie el peso de las cuerdas. g ^ T irm n íM

F n0

Analizando en este primer gráfico:

\

¿

L

SFX = 0 FN1sen0-FN2sena=O FN1

sena

FN2 ~ sen0

...O) SFy =0

FN1cos0-FN2cosa-w=O

Wt


w w w . ed u k p e ru .com

c

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

De (1) tenemos: wsena

^N1 sen(a+0) wsenO

^N2 sen(a+0) Ahora analizando en el otro plano: sólo al cilindro

IF = 0 donde liwsena fs l =

sen(a + 0)

jjwsen0 F-fs1+fs2fs2- sen(a+0)

.\F=jjw

(sena+sen0) sen(a+0)

Sobre una cuña asimétrica M, descansa un cilindro de peso w. Si ju es el coeficiente de rozamiento entre el cilindro y la y la cuña. Cuál es la fuerza f horizontal para iniciar el desplazamiento del cilindro.

DCL de la esfera.

www. «di ukpe ru.co m

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

» SOLVER EDK

ESTÁTICA

Ahora tenemos: -SFy =0 FN]+0,3FN2-100=0 Fni+0;3Fn2=100 kg

-ZFX =0 F+0,3FN1-FN2=0 F+0,3FN1 =FN2 ...( 2) Ahora aplicando: Zt0 = 0 , considerando r = a radio de la esfera (a) (0,3FN2)+a(0,3FN1)-aF=0 0,3(FN2+FN1)=F ... (3) De (1), (2) y (3) tenemos: F=44,32 kg

Una esfera de lOOkg, descansa en una esquina, donde el coeficiente de rozamiento es 0.3. Para qué valor de f la esfera inicia su movimiento. « im a n a r



£

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

Del gráfico tenemos:

Tab-Tab(^'- J- j

/ 4 , 3 , 2Vór Y\

5 25

T -T BC

5

i A ' 3 ^2V6, \25' 25^” 5

fB=V6ÓÓk

F=200(cos30°j-sen30°k Ahora, como se encuentra en equilibrio: -zf0 =0

0=rBxTAB+rBxTBC+rBxF

0=Tab

í

J

0

0

4

-3

25

25

0==Tab

k

í

VóOO + 0 -4 -2 V 6

-3

25

25

5

k

J

0

V 6Ó0 •Tbc + -2 V 6 5

/ 6V 6 . 8Vó^

k V600 o

100V3

-100

. 8a/ 6 ;

|+Tbc ( í b " Í+— j >

J

En el eje “Y” 8V6' *ab www.edukperu.com

5

8V6' =Tibe

5

^Tab~Tbc SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II

» SOLVER EDK

D.

ESTÁTICA

En el eje “X”

de ( 1 )

\ Tab=72;17kg=Tbc

Sobre una barra de V600 m, actúa una fuerza de 200kg en el plano y z y hace un ángulo 30° con el eje y. Del mismo punto B? actúa dos cables BC Y BA. Cuál es el valor de las tenciones en los cables para que el sistema esté en equilibrio.

Ojo: En este problema, falta indicar que la esfera es lisa: descomponiendo la fuerza a lo largo del plano.

IF x=0 wsen0-fecosa=O

n

wsen0 -=fe cosa SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I

w w A .8 d u k p e ru .c c rr,

SOLVER EDK «

ESTATICA

, pero fe=KX X=

0

wsen0 Ksena

Una esfera de peso w descansa sobre un plano inclinado de ángulo 6 y está unido a un resorte de constante elástica k y este forma un ángulo de a con el plano inclinado, como se indica en la figura. Hallar la compresión del resorte.

Analizando el bloque de peso W 2

XFy=0 Tsen0+FN1cos0-pFN1sen0-w2=O Tsen0+FN1 (cos0-jjsen0)=w2

w w w , ed u k pe ru,com


» SOLVER EDK

]

ESTÁTICA

Á

F nl _

•

\ ¡i e// L/

ky —

/' A i T

X Q

1

.. + X

r W2 SFx=0 -fN1sen0-jjFN1cos0+Tcos0=O fN1 (Sen0+1JCOS0)=TCOS0

D e ( l )y (2) T=(sen0+jjcos0)W2 Ahora analizando

Fsena + FN2 = WôsO ... (1) 1FX = 0 Fcosa = fiFN2 + T ... (2) W 9(cos0u+sen0) cosa+psen0

apcos0 cosa+jjsen0

p ____ .__ —------ ---- j-— -------------

Hallar la fuerza f que iniciara el movimiento, si el rozamiento entre los bloques w1; w2 y el plano inclinado es n . La polea no da lugar rozamiento.


w w w .e d u k p e ru .com

SOLVER EDK «

ESTÁTICA

y .y=4-x2

i- x—H 2 dx 2

J

Yc= (4-x2)dx=

x

J |.y.dx= ^ J y2 dx

0 2

=l ¡ (4-x2)dx o Yc= l,6

^(j(4-x2)dxj=/|xdy =

©

lj

4

x2dy=

^J

(4-y)dy

Xc=^=0,75

Hallar el centro de masa de la figura parabólica y =4 -x3.

w w w .e d u k p e ru .co m

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAh Y II

ESTÁTICA

» SOLVER EDK

fY

YC-A=J 2 ydx 4 1

4/(Md* 0

2

f3 A= I -x 3dx=3 o Yc=1,7

=¿ J ( 2-x)2dy 2

=ll (2-x)2 íx2dx o

•

Xc=0,4

Hallar el centro de masa de la figura indicada: y = | x3. 21 6


w w w .e d u k p e ru .com

.c

ESTÁTICA

SOLVER EDK «

JS T C R ffir??*

Como se encuentra en equilibrio

ltT = 0 rF1xF +rFxF=0 •••(I) F=Fj i rF=2aí F=FxT+f JJ ;

rF'=30í+4aj í

J

k

í

J

k

0= -3a 4a 0 + 2a 0 0 F 1 Fry1 0 0 F 0 rx 0=-2aF k+(-3aFy-4aFx)k 0=2F-3Fj-4Fx

Se puede demostrar que Fmin 1

wvvw.edu k peru.co m


-------» SOLVER EDK

1

ESTATICA

Una varilla esta doblada, como se indica en la figura. Si todos los lados se indican en la figura. Hallar el valor mínimo de la fuerza aplicada en A para que equilibre a la varilla, cuando se aplica una fuerza vertical f dirigida hacia arriba en M. La varilla puede girar alrededor del punto T.

y

io n

i lFn

*

<4 fs i

r50N

XFY=0 FN+lOsen0=5O

'

...O) SFx=0 10cos9=fs ...( 2) •••F=0,4F

OBS. Falta el ángulo COS0

M=5-sen0

Un cuerpo pesa 50N Y se halla sobre una superficie rugosa. Cual debe ser el valor del coeficiente de rozamiento ¿i, si la fuerza mínima necesaria para iniciar el movimiento es de ION.


'w w w .èdukperu.Cò m

SOLVER EDK «

ESTÁTICA

Realizando el polígono de fuerzas:

Fsen9=25-FN

Fcos9=pFN ... (2) Ahora como deseamos que dicho cilindro: Entonces de ( l ) y ( 2 ) Tenemos: que 25\i dF _ . F=— , - - — =Q9=ts 00 cosG+psenG d0 •F=-

25p

Peso si consideramos ja=0,25 9 = 14a , F=6,1kg



» SOLVER EDK

$

)

ESTÁTICA

Alrededor de un cilindro de 25kg de peso, está enrollado un hilo inextensible e imponderable e imponderable. Cuál debe ser la fuerza mínimo y el ángulo 9, para tirar del hilo y el cilindro girando, no se desplace.

Ahora como dicha varilla está en equilibrio I t A=0

(Lcos0)(Tsena)=(Lsen0)(Tcosa)+ -cosa mg T(senacos0-cosasen0)=-cos0 mg ...(*) Ahora IF x=0

¡jFN=Tcosa

EFy=0

Tsena+FN=mg ...( 2) ( cosa\ T (sena+ —— J =mg

R I SOLUCIONARIO FISICA LEiVA I Y II

w w w .e duk p eru .com

ESTÁTICA

...............(__________________ S0LVEREDK<<

Ahora de (*) y (**) tenemos que tga=2tg0+ ^ •••a=tg'1(2tg0+^)

Una varilla descansa en el punto A, sobre una superficie rugosa, cuyo coeficiente de rozamiento en fxy hace un ángulo 0 con la horizontal. Su extremo B, está sujeto con una cuerda inextensible e imponderable. Cuanto debe valer el ángulo a para que la varilla empiece a desplazarse.

|rA Ahora desarrollando el DCL del plano inclinado:

T=pFN2+5senlO° w w w .e d u k p e ru .c o m

SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II § £

]

» SOLVER EDK

ESTÁTICA

1Fy = o

FN2=5c o s 10°

T=5pcos 10°+5sen 10°

Un plano inclinado, cuyo ángulo son 60° y 30° está sujeto por uno de sus extremos "B " por una curda inextensible e imponderable y su otro extremo descansa sobre una superficie horizontal lisa. Sobre el plano inclinado hay dos pesos de ION, 5N ligados por otra cuerda y que pasa por una polea sin rozamiento. Hallar el coeficiente de rozamiento entre los pesos y el plano inclinado para que el peso de ION comience a deslizar.

Tenemos que: / 3 „

*=10 —

5 -a

i- —

k

VV34 V34 /

=4aj+5ak .,

^

OB

3aí+4aj+5ak

Ahora ôb=]5Ü =

5VÜ

,

toB=(ncR).MOB

3V2. 2V2„ V2» y° B=To~l+_5_J+ T kt° B:

i

j

0 30

4a

V3?

k

5a -50

•Mo b

. V34

_-60a toB~ m 222


www.9dukperu.com

ESTÁTICA

i| p

.(

SOLVER EDK «

Se tiene un paralelepípedo de lados 3a; 4a; y 5a, en ella actúa la fuerza R= ION, tal como se indica en la figura. Hallar el torque de / con respecto a OB. SOLUCION

Obs. En el problema falta considerar Q = 60Qy además que la tapa es homogénea:

Zto-0 Pero l í x=0 a (asen0)Tcos0+(acos0)Tsen0= - cos0(12) a 2aTsen0cos0=-cos0 (12) T=——t =2V3 sen0 Ahora

Xty=0

M!)12 LZ=6N w w w .ed uk pe ru .co m


ESTÁTICA

» SOLVER EDK

0=-bLy Ly=0 Ahora, por último LFy=0 Py +Ly=TCOS0

Py=V3N IF z=0 Px-Lz+Tsen0=12 PX=3N ^

Se tiene cajón rectangular PQML, su tapa PLNJ de peso 12N está sostenida por una varilla JQ, si J F = pQ. Hallar las reacciones en las articulaciones P Y L. JCftTirrélíTMf

a)

R=(-300Í-200J-100k) N

b t=20Íx(-200j)+(60Í)(-l OOk) N =(4000k+6000j) N-cm t i SOLUCIONARIO FISICALEIVAI Y I

www, ed ukpe ru.com

Solucionario Estatica Leyva

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