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Problemario de Mecánica de Fluidos

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL DEPARTAMENTO DE HIDRAULICA

ESTATICA DE LOS FLUIDOS: MANOMETRIA Y FUERZAS SOBRE SUPERFICIES OBJETIVO: Dominar los principios elementales de la estática de los fluidos y aplicarlos en la determinación de las fuerzas hidrostáticas sobre estructuras planas y curvas. DEFINICIÓN: La hidrostática (o estática de los fluidos) es la ciencia que estudia a los fluidos en estado de reposo. Comprende: a) El estudio de la presión y su variaciones a través del fluido. b) El estudio de las fuerzas debidas a la presión sobre superficies. PRINCIPIOS DE LA HIDROSTATICA 1) La presión media se calcula como el cociente entre la fuerza normal que actúa sobre un área plana y el valor de dicha área: P = F/A (Kgf/m2 ; Nw/m2 ; lb/plg2 o psi) 2) Existen dos escalas de presión: la absoluta, referenciada respecto a la presión del vacío absoluto (no existencia de aire), y la relativa o manométrica, referenciada respecto a la presión de la atmósfera. Pabs = Patm + Pman 3) En un punto de un fluido en reposo la presión es la misma en todas las direcciones. 4) En un fluido en reposo no hay variación de la presión en un plano horizontal. 5) La variación de la presión es directamente proporcional con la profundidad. P = γh 6) La presión manométrica de todos los puntos sobre la superficie de un fluido en reposo abierto a la atmósfera (o equivalente) es cero, por tanto, su presión absoluta es igual a la atmosférica. 7) El lugar geométrico de todos los puntos cuya presión relativa es cero se denomina PLANO PIEZOMETRICO (pp). 8) En un fluido en reposo que se encuentre confinado con una presión de aire diferente de la atmosférica, todos los puntos por encima del plano piezométrico estarán sometidos a presiones negativas. 9) La presión en los gases es igual en todos los puntos. 10) Cada líquido, al superponerse, determina un plano piezométrico.

Elaborado por: Prof. Adolfo Cardozo

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FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS A. SUPERFICIES HORIZONTALES. 1) La presión es constante en todos los puntos de la superficie horizontal. ( p= γ . h ; γ = ctte. => p= ctte). 2) La fuerza que actúa sobre la superficie horizontal es igual al prisma de presiones por encima del área: F = volumen del prisma => F = γ . h. A (Kgs)

A = área

3) La resultante de la fuerza pasa por el centre de gravedad de la superficie horizontal y se encuentra sobre ésta. (Ycp = h ). P=γ.h

Xcp = Xcg

F=γ.h.A

Ycp = Ycg = h

B-. SUPERFICIES INCLINADAS 1) La fuerza resultante es igual al prisma de presiones que actúa sobre el área dada: F = Vol. Prisma => F = γ . hcg . A

po

o

α Ycp = Ycg + Icg/(Ycg.A) Xcp = Xcg + Ixy/(Xcg.A)

hc Fh

Y

cp

C CP

Cuando la superficie inclinada se encuentra en posición vertical (α = 90º) se tiene que: Sen α = 1 => hcg = Ycg F = γ. Ycg. A


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FUERZAS SOBRE SUPERFICIES NO PLANAS A. COMPONENTE HORIZONTAL DE LA FUERZA: La componente horizontal de la fuerza, debido a la presión que sobre una superficie no plana que ejerce un fluido en reposo, es igual a la fuerza debida a la presión que se ejercería sobre la proyección vertical de la superficie dada. (El plano vertical de proyección es normal a la dirección de la componente). Por ejemplo: Fh = γ(hcg . A) proy. Ycp = Icg/(Ycg.A) - Ycg donde (hcg . A)proy = hcg y Area de la proyección de la superficie no plana. B. COMPONENTE VERTICAL DE LA FUERZA: La componente vertical de la fuerza debido a las presiones que sobre una superficie no plana que ejerce un fluido en reposo, es igual al peso del líquido situado verticalmente por encima de la superficie dada y extendido hasta el plano piezométrico. La línea de acción de la fuerza vertical pasa por el centro de masa del volumen que se extiende por encima de la superficie dada hasta el plano piezométrico EMPUJE DEFINICIÓN: El empuje es igual a la resultante de las fuerzas ejercidas por un fluido en reposo sobre un cuerpo sumergido o flotando sobre la superficie del líquido. • El empuje siempre actúa verticalmente hacia arriba • No existe componente horizontal de la resultante; porque la proyección vertical total de un cuerpo sumergido, o de la porción sumergida del cuerpo flotante, es siempre es cero ( Σ proyecc. Vertical = 0). • El Empuje sobre un cuerpo sumergido es igual a la diferencia entre la componente vertical de la fuerza debido a la presión sobre su parte inferior y la componente vertical de la fuerza debida a la presión sobre su parte superior: • La diferencia entre estas dos fuerzas es una fuerza vertical hacia arriba, que en magnitud, es igual al peso del fluido que es desplazado por el cuerpo sumergido ( pero de sentido contrario) EQUILIBRIO => Σ Fv = 0

=> E = W1 – W2

Donde W1= peso del fluido desde la superficie hasta la superficie inferior del cuerpo W2= peso del fluido desde la superficie hasta la superficie superior del cuerpo La línea de acción de la fuerza de empuje pasa por el centro de masa del volumen del fluido desplazado => “Centro de Empuje”


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CASO ESPECIAL Cuando un cuerpo flota en la superficie de separación de dos fluidos, el empuje es igual a la suma de los pesos de los volúmenes desplazados por el cuerpo sumergido E = γ1 v1 + γ2 . v2

= w1 + w2

Nota: La resultante ( o fuerza de empuje) no pasa necesariamente por el centro de masa del volumen total . ( C. E <> C. E ). Xce = Σ momentos Σ fuerzas

EJERCICIOS El manómetro inclinado mostrado en la figura, tiene un depósito con diámetro D, de 3 plg.,un tubo medidor con diámetro, d, de 0.25 plg., y está lleno con aceite manométrico con una densidad relativa de 0.897. Calcule el ángulo θ necesario para obtener 5 plg. de aceite manométrico en el tubo inclinado para una presión aplicada de 1 plg. de agua (manométrica). R: θ = 12.88º Conforme aumenta el nivel del agua en el lado izquierdo de la compuerta rectangular como se muestra en la figura, la compuerta se abre automáticamente. ¿Para qué nivel por encima de la articulación ocurrirá lo anterior? Desprecie la masa de la compuerta. R: 0 y 2.60 m

El manómetro A indica 250Kpa de presión absoluta a 20ºC.¿Cuál es la altura h de agua en centímetros? ¿Qué indicará el manómetro B en kilopascales de presión absoluta?.


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Encuentre el peso W necesario para mantener la pared que se muestra en la figura, en la posición indicada. La pared pesa 2000N/m2 y tiene 10 mts de ancho. El fluido es agua.

Determine la densidad del fluido 1 para las condiciones del sistema mostrado en la figura. La presión en A es de 59.75 Kpa relativa, la densidad relativa del fluído 2 es de 13.6.

Se tiene una compuerta plana de 3 m de longitud perpendicular al plano de la figura. Si el valor de L es de 1.75 m. Determine: a) La magnitud y b) la linea de acción (centro de presiones) de la fuerza resultante sobre la misma.


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Determine la densidad del fluido 1 para las condiciones del sistema mostrado en la figura. La presión en A es de -7.2 Kpa relativa, la densidad relativa del fluído 2 es de 6.3 y la del aceite es de 1.5. El extremo está abierto a la atmósfera.

Se tiene una compuerta plana de 3 m de longitud perpendicular al plano de la figura. Si el valor de L2 es de 2.75 m. Determine: a) La magnitud y b) la linea de acción (centro de presiones) de la fuerza resultante sobre la misma.

La cisterna que se muestra en la figura tiene un diámetro D que es 4 veces el diámetro d del tubo inclinado. Encuentre la caída en el nivel de fluido de la cisterna y la diferencia de presiones (Pa – Pb), si el líquido en el tubo inclinado aumenta a l=20 plg. El ángulo es de 20º. La densidad relativa del fluido es de 0.85. R: 362.8 lb/plg2, 1.25 plg.


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Determine el peso W requerido para mantener la pared que se muestra en la figura en posición vertical. La pared es de 10 m de ancho. R: 149.1 KNw

Determine la densidad del fluido 1 para las condiciones del sistema mostrado en la figura. La presión en A es de 59.75 Kpa, la densidad relativa del fluído 2 es de 13.6.

10Kn φ=10cm

Se tiene una compuerta cilíndrica de 3 m de longitud perpendicular al plano de la figura. Si el valor del radio R es de 1.5 m. Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre la misma.

R


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El sistema de la figura está a 20ºC. Calcular la presión absoluta en el punto A.

La compuerta AB de la figura mide 1,5 mts en dirección perpendicular al papel y se abre para permitir el flujo de agua dulce hacia el océano cuando baja la marea. La bisagra ubicada en A está a 0.61 mts por encima del nivel de agua dulce. ¿A qué nivel h del océano se abrirá la compuerta? Despreciar el peso de ésta.

Un manómetro de tubo en U tiene brazos con una longitud de 2 mts. cuando no se aplica una diferencia de presiones en el manómetro, cada brazo tiene 0.50 mts de mercurio. ¿Cuál será diferencia máxima de presión que el manómetro puede indicar?

la

Determine la dirección y magnitud de la fuerza que se debe aplicar en el fondo de una compuerta para mantenerla cerrada. Las dimensiones de la compuerta son de 2 mts. de ancho y 0.8 mts. de alto, se encuentra sujeta a una pared con una articulación situada en su arista superior y está a una profundidad de 1.3 mts desde la superficie del agua hasta la articulación.


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E Aire B

S=0.4

1m

En el sistema mostrado, el manómetro A indica una presión de 5 Kpa. Determine la presión en los puntos B, C, D y en el manómetro E. R: -19.5 Kpa, -19.5 Kpa, -31.3 Kpa, -35.2 Kpa.

D 1.5 m

S=1.0

A

C

7m

S=0.8

1m

7m

Agua Verificar si la presa mostrada en la figura se vuelca. El apoyo de volcamiento es el punto A. La fuerza en el fondo es 1/3 del peso de la presa y se indica su punto de aplicación. Para el concreto S=2.5 (peso específico relativo). R: Mvolcamieto = 142.7 MNw Mestabilización = 349.7 MNw

20 m

5m

A 15 m

Ffondo 40 m

Para el sistema mostrado en la figura 1, determine la presión absoluta en el punto A, en Kpa. R: 188.8 KPa


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UNEFM En la figura 2, se tiene un tanque con dos recamaras en las cuales existen dos tipos de fluidos de densidades relativas de 1 y 0.9. En la separación de las recamaras, existe una compuerta rectangular inclinada de 1 mt. de ancho, articulada en su base y apoyada en el punto A. Unido a la compuerta en este mismo punto, se encuentra un cable que pasa por un rodillo sin rozamiento, y que posee en su otro extremo un flotador esférico de 20 cm. de diámetro. Si se desprecia el peso del flotador. ¿Cuál será el valor de la reacción de la compuerta en el punto de apoyo A?. R:19.8 KNw

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA: Gerhart, Gross y Hochstein. Fundamentos de Mecánica de fluidos. White, Frank. Mecánica de fluidos. Roberson y Crowe. Mecánica de Fluidos. Streeter y Willie. Mecánica de Fluidos. Vennard y Street. Elementos de Mecánica de Fluidos. Robert y Mc Donald. Introducción a la Mecánica de Fluidos.


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DINAMICA DE LOS FLUIDOS: ECUACIONES DE CONTINUIDAD Y ENERGIA MECANICA. FLUJO REAL EN TUBERÍAS. OBJETIVO: - Aplicar Los conceptos básicos sobre: velocidad, gasto o caudal, volumen de control, ecuación de continuidad y tipos de flujo - Aplicar la ecuación de Bernoulli y de la Energía Mecánica según los principios básicos para su interpretación. - Realizar el cálculo de pérdidas de presión en tuberías debido a fricción y a accesorios. CONTINUIDAD La continuidad expresa el principio de conservación de la masa de flujo de una sección a otra; es decir, por un caudal dado se tendrá, mediante la ecuación de continuidad, que la cantidad de masa ( o flujo) que entra por una sección es igual a la que sale por otra sección dada ( siempre y cuando el caudal no varíe entre secciones consideradas): Ecuación de continuidad para flujo uniforme y estacionario

Q = v1. A1 = V2. A2 = ...= Vn . An = Ctte Q=V.A V1 . A1 = V2 . A2 Q [ m3/seg)

En tuberías A = Π D2 4

=>

V1 = Π (D1)2 = V2 = Π (D2)2 4 4 2 2 V1 . (D1) = V2 . (D2)

ENERGÍA En la Mecánica de los Fluidos Ideales, la energía total de un sistema puede expresarse mediante la “Ecuación de Energía Total”. Dicha ecuación relaciona la energía cinética, la energía potencial y el trabajo realizado debido a la presión, en un punto cualquiera del sistema, con la energía total del mismo

(metros)

H= p


+ z + V2 2g

Ecuac. de Energia Total

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V2 => Energía cinética por unidad de peso 2g

(metros)

z => Energía potencial

(metros)

p => Trabajo debido a la presión. γ

(metros)

Debido a que los fluidos ideales no presentan viscosidad no existirán pérdidas de energía, por lo que el término “H” de la Ecuación de Energía Total será un valor constante, específico del sistema, y entre dos puntos cualesquiera se podrá expresar relación mediante la Ecuación de Bernoulli: (H = Ctte)

p1 γ

+ z1 +

V12 2g

= p2 γ

+ z2 +

V22 2g

Ecuación de Bernoulli

La Línea de Energía Total (L.E.T.) es horizontal, ya que representa la Ecuación de Energía Total (H = Ctte), mientras que la Línea de Alturas Piezométricas ( LAP ) desciende cuando el diámetro de la tubería disminuye; esto se debe a que la carga de velocidad (V2/2g) aumenta cuando el diámetro disminuye. Algunas veces este aumento de la carga de velocidad puede generar velocidades muy altas en las tuberías, produciéndose de este modo presiones muy bajas hasta el punto de vaporizar el fluido en movimiento ya que las presiones en estos puntos se hacen inferiores a la tensión de vapor del líquido; este fenómeno es conocido como CAVITACION y debido a los efectos negativos que produce en las tuberías, debe evitarse en lo posible que pueda ocurrir. Pabs vapor = Patm + Pvap manométrica

Pvap man = Pvap abs - Patm

Para determinar la posición de la Línea de Energía Total se utiliza un Tubo de Pitot , el cual presenta la cualidad de que la velocidad en el punto de contacto del tubo con el fluido es nula (punto de Estancamiento); por tanto, si se conoce la cota superior de la columna de fluido que se eleva a través del tubo se tendrá directamente el valor de la Energía Total ya que en este punto coinciden las líneas de energía total y piezométrica debido a que la velocidad de estancamiento es cero; Pe (Ve)2 H = ----- + Ze + ----------γ 2g

Pe H = ---- + Ze γ

(Ve = Veloc. Estancam. = 0)

( Ze + pe / γ = he)


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BOMBAS Y TURBINAS Cuando la energía del sistema no es suficiente para transportar un fluido de un punto a otro se coloca una BOMBA con la finalidad de incrementar la energía; por tanto, la energía después de la bomba será mayor que la inicial en una cantidad ∆Η. Por el contrario, si el sistema posee abundante energía ésta podrá utilizarse para mover las hélices de las TURBINAS y de esta manera aprovechar ese potencial. La energía antes de la turbina es mayor que la energía después de ésta. Para bombas se tiene: Hab = Hdb – Hb

Ph = γ.Q.Hb

Donde Hab= carga de presión en la succión de la bomba Hdb= carga de presión en la descarga de la bomba Hb = carga de presión proporcionada por la bomba Para turbinas se tiene: Hat = Hdt – Ht

Ph = γ.Q.Ht

Donde Hat= carga de presión en la succión de la turbina Hdt= carga de presión en la descarga de la turbina Ht = carga de presión proporcionada por la turbina Eficiencia: se define como la capacidad de transmitir (bombas) o aprovechar (turbinas) la carga hidráulica al o del fluido por la turbomáquina . Bombas: Turbinas:

eficiencia = Ph . 100 / Pm eficiencia = Pt . 100 / Ph

EJERCICIOS

En el tiempo t=0, las alturas en los tanques 1 y 2 son 5 mts. y 3 mts. En ese mismo instante la válvula mostrada en el dibujo se abre e instantáneamente se establecen los caudales señalados. ¿Cuál será la altura en el tanque 2 cuando la altura en el tanque 1 sea de 25 mts.? Q1 = 2t (m3/s), Q2 = 2m3/s, A1 = 4m2, A2 = 3m2. R: 9.67 m


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Dos fluidos miscibles de densidades relativas diferentes entran en una cámara por las secciones 1 (D1=15 cms, Q1=0.085 m3/s, S1=0.94) y 2 (D2=20 cms, Q2=0.113 m3/s, S2=0.86), como indica la figura. Si el flujo es estacionario y antes de salir la mezcla ya es total, calcular la velocidad media, el flujo másico y la densidad relativa del fluidos que sale por la sección 3 de 10cms de diámetro.

Entra agua a un tanque cilíndrico a través de un tubo a razón de 0.20 m3/s, si el nivel del agua inicialmente está a 10 m sobre el orificio de salida. ¿Qué tiempo tardará en llenarse o vaciarse completamente?

Entra agua a un tanque cilíndrico a través de un tubo a razón de 0.20 m3/s, si el nivel del agua inicialmente está a 12 m sobre el orificio de salida. ¿Qué tiempo tardará en llenarse completamente? (8 ptos).

Para el tanque mostrado en la figura, determine el tiempo que cae la superficie del líquido desde h = 4 m hasta h = 0.5 m. Datos: D = 2 m d=1m dj = 25 cm V = √(2gh) Elaborado por: Prof. Adolfo Cardozo

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Entra agua a un tanque a través de un tubo a razón de 0.10 m3/s, si el nivel del agua está a 10 m sobre el orificio de salida. ¿Qué tiempo tardará en vaciarse completamente?

En la represa, figura 3, un conjunto de ríos descargan su cauce a una razón de 1100 m3/s. Comienza a llover, y para aliviar la represa se abre una compuerta de descarga liberando 7 m3/s para evitar el desbordamiento. La lluvia dura 3 horas, durante los cuales hubo una precipitación equivalente al volumen ocupado por una lámina de agua de 120 mm en 10 km2. Si existe un caudal de infiltración a través del lecho de la represa con un valor de 2 m3/s y una razón de evaporación de 5 m3/s. El área de la represa es de 10 km2. El nivel inicial es de 25 mts. La altura de la presa es de 30mts. ¿La represa se desbordará antes de finalizar la lluvia?

Una bomba de chorro, inyecta agua a V1 = 30 m/s a través de un tubo de 3 plg de diámetro en el lomo de un codo y arrastra un flujo secundario de agua a V2 = 3 m/s en la región anular ubicada por la entrada del codo. Los dos flujos se mezclan completamente aguas abajo, adquiriendo una V3 aproximadamente constante hacia la salida del codo. Si el flujo es estacionario e incompresible, calcular el valor de V3 en m/s.


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La figura muestra un sistema de suministro de agua de 2 depósitos. El nivel del agua en el depósito 1 disminuye a la velocidad de 0.01 mts/min, mientras que el nivel del agua en el 2 lo hace a una velocidad de 0.015 mts/min. Calcule la velocidad promedio V3 en la tubería de 0.50 mts de diámetro.

El dispositivo que se muestra en la figura tiene una velocidad de entrada de 100 m/s y bombea agua del pozo a 0.1 m3/s. Suponiendo una velocidad constante para el agua determine: a) La velocidad corriente abajo b) El área mínima de la garganta de tal manera que la velocidad máxima no exceda los 150 m/s.

En la figura se muestra un sifón colocado entre dos tanques. Determine el diámetro del sifón y la presión en el punto B para las condiciones dadas.

Una bomba toma agua de un tanque por un tubo de succión de 20 cm de diámetro y la descarga por otro de 15 cm en el que la velocidad es de 4 m/s. La succión de la bomba está a 1 m sobre el nivel del agua en el tanque y la descarga está a 1.5 m. El tubo de 15 cm descarga horizontalmente al aire. Si el rendimiento de la bomba es de 70%. Determine la potencia de operación de la bomba para elevar el agua 23 m sobre el nivel del tanque y las presiones en la succión y en la descarga de la bomba. Desprecie las pérdidas de presión por fricción y accesorios. (Figura 1). R: 23.6 Kw, -12.3Kpa, 210.9 KPa Elaborado por: Prof. Adolfo Cardozo

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Determine la elevación del nivel del agua en el tanque, para el sistema mostrado en la figura 2, si se tiene un gasto de 0.05 m3/s. La tubería es de acero pulido y la temperatura 10ºC. ¿Cómo se puede mejorar el sistema?. R: 4310 m

Se tiene un pozo de 9 mts de profundidad, desde el cual se necesita bombear agua a un tanque elevado ubicado 100 mts por encima del nivel superior del pozo. Se necesita suministrar un gasto de 0.25 m3/s. Determine el diámetro de la tubería de hierro forjado necesario si su longitud es de 380 mts y se utilizan un conjunto de bombas que suministran 450 Hp. Ver la figura 3.


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Figura 3 Se transporta agua desde un embalse a un tanque, existiendo una diferencia de nivel de 95 mts, impulsándose el agua con una bomba cuya curva característica está representada en la gráfica anexa. La bomba está colocada a 3 Km desde la toma en el embalse (Tramo AB) y 4 Km antes del tanque (Tramo BC), medidos a lo largo de la tubería de 10" de diámetro. En el tramo AB existen 2 válvulas de compuerta totalmente abiertas, 3 codos suaves de 90º (r/d=10) y una válvula de retención (Kv=2). En el tramo BC tiene 1 codos de 45º y 4 válvulas de ángulo totalmente abiertas. Determine: a) La curva de carga de bombeo del sistema. b) El punto de operación (caudal y la carga de bombeo) de la bomba en el sistema. La rugosidad absoluta equivalente de la tubería es de 38mm.

Se bombea agua desde un depósito a otro, con un caudal de 0.09 m3/s de agua a 20ºC a través de un tubo de 500 mt. Si el tubo es de hierro fundido con un diámetro de 15 cms., y la bomba tiene un rendimiento de 75%. ¿Cuál es la potencia de la bomba? R: 0.039 m3/s, 19.75 mts.


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En el sistema de tuberías anterior, el agua es impulsada por una bomba cuya curva característica está representada en la gráfica anexa. Si la longitud total de la tubería de diámetro 50cmts, es de 6.5 Km. Determine: a) La curva de carga de bombeo del sistema. b) El caudal y la carga de operación de la bomba en el sistema. La rugosidad absoluta equivalente de la tubería es de 1.5 cms.

Desde un tanque se transporta agua por una tubería hasta una laguna, donde descarga a la atmósfera. La longitud de la tubería de hierro galvanizado es de 2 Km, siendo su diámetro de 12". Determine el caudal que circula por la tubería: a) Despreciando las pérdidas de carga, b) tomando en cuenta las pérdidas por fricción en tuberías y por accesorios. Compare los dos resultados. R: a) 2.28 m3/s, b) 0.21 m3/s


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Una bomba sube agua de un depósito a otro situado a 20 mts por encima, a través de un tubo de hierro galvanizado de 80 mts de longitud y 10 cms de diámetro. Las pérdidas localizadas son una entrada y una salida abruptas y varios accesorios roscados: un codo de 90º, dos codos de 45º y una válvula de esfera abierta. La curva característica de la bomba es aproximadamente hb=50-60000Q3 con hb en mts y Q en m3/s. ¿Cuánto vale Q en este sistema?. Un sistema de conducción consiste de 1200mts de tubo de hierro fundido de 5cms de diámetro, con dos codos de 45º y cuatro de 90º acoplados a los tubos, una válvula de esfera completamente abierta y una descarga abrupta. Si va desde una conexión en una tubería matriz hasta un tanque, y la diferencia de altura entre ambos es 400 mts de altura, ¿qué presión se necesitan en la tubería matriz para hacer fluir 0.005 m3/s de agua a 20ºC?

El sifón que se muestra en la figura se emplea vaciar el agua del tanque cuya área Ao es mucho mayor que el área de salida del sifón As de 4.0 cm2. ¿Cuánto tiempo se requiere para que el nivel de agua en el tanque baje de 1.0 mts a la de 0.5 mts? El flujo es no viscoso y la densidad del fluido es constante.


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Un fluido que tiene una densidad relativa 1.02 y una viscosidad de 6.72x10-4 lbm/pie.s se bombea del depósito grande que se muestra en la figura, por medio de una bomba de desplazamiento positivo a 100 gal/min. Encuentre la potencia requerida para bombear el fluido a través de una tubería de cobre de 2 plg, que tiene una longitud de 250 pies y 14 codos estándar de 90º, 4 válvulas de compuerta totalmente abiertas, 2 válvulas de globo abierta a la mitad y una válvula de retención. El rendimiento total d la bomba es de 89%.

Se desea llevar agua desde un pozo, altura de 45 m.s.n.m., hasta un poblado que está a una altura de 60 m.s.n.m.. Se dispone de una tubería de hierro fundido (rugosidad equivalente absoluta de 0.26 mm), diámetro de 8 plg., y se necesitan recorrer 7.5 Km por la ruta más adecuada para llegar al poblado, debiéndose colocar los accesorios siguientes: 3 válvulas de compuerta totalmente abiertas, 2 válvulas de retención, 5 codos de 45º, 2 codos de 90º bruscos, 1 válvula de ángulo totalmente abierta y 1 válvula de globo. En el poblado se almacenará el agua en un tanque de 10 mts de diámetro x 8 mts de altura. Determine: a) La curva de carga de bombeo del sistema de tuberías. b) El caudal de operación y la potencia necesaria para el motor de la bomba, suponiendo que en el punto de operación trabajará con una eficiencia de 80%.


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Encontrar: a) el coeficiente de pérdida local de una válvula parcialmente cerrada necesaria para reducir en 25% el gasto correspondiente a la válvula totalmente abierta en el sistema de la figura. B) La presión en el codo izquierdo en ambos casos.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA: Gerhart, Gross y Hochstein. Fundamentos de Mecánica de fluidos. White, Frank. Mecánica de fluidos. Roberson y Crowe. Mecánica de Fluidos. Streeter y Willie. Mecánica de Fluidos. Vennard y Street. Elementos de Mecánica de Fluidos. Robert y Mc Donald. Introducción a la Mecánica de Fluidos.


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DINAMICA DE LOS FLUIDOS: ECUACION DE TRANSPORTE Y TRANSFERENCIA DE MASA Y CALOR. OBJETIVOS:

-

Comprender los conceptos básicos sobre: calor, contenido de calor, calor específico, conducción, radiación, calor por disipación mecánica, convección, difusión, concentración, transformación química y biológica, fuente, sumidero, tiempo de residencia o retención, vida media del componente.

-

Aplicar la ecuación de transporte y transferencia de calor y de masa según los principios básicos para su interpretación.

-

Realizar el cálculos en sistemas de flujo tales como intercambiadores de calor, cámara de mezclado o tanques de agitación, reactores químicos o biológicos, flujos multifase: transporte de partículas, utilizando la ecuación de transporte y transferencia de calor y masa.

TRANSFERENCIA DE CALOR: El calor se define como la cantidad de trabajo que realizan las partículas de un sistema en virtud de su temperatura, y está relacionado con la entalpía o grado de desorden en el movimiento de dichas partículas. El contenido de calor en un volumen de fluido es: ~ = ρc T∆∀ Q p Donde cp es el calor específico a presión constante y T es la temperatura absoluta. El calor específico es una propiedad de los fluidos que expresa su capacidad de absorber o liberar calor, y puede ser a presión contante (cp) o a volumen constante (cv). El concepto de conservación de calor expresa el balance de la tasa temporal de cambio de calor en un sistema, manifestado y medible a través de la temperatura (T). Utilizando la ecuación básica del volumen de control finito, considerando como variable de conservación la propiedad extensiva al contenido de calor, se tiene: ~sist ∂ dQ = ∫ ρc pTd∀ + ∫ c pTρV .d A dt ∂t vc sc ~ Esta ecuación expresa que la tasa temporal de cambio de calor en el sistema ( dQsist dt ) es igual ∂ a la tasa temporal de cambio de calor dentro del volumen de control ( ∫ ρc pTd∀ ) mas la tasa neta ∂t vc a la cual el calor sale a través de la superficie de control ( ∫ c pTρV .d A ). sc


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~ El término dQ sist dt posee tres posibles contribuciones:

Conducción de calor: es el flujo de calor debido al transporte neto de calor a nivel de las partículas de fluido, de las partículas de mayor temperatura hacia las de baja temperatura). Esta conducción o difusión de calor está descrita físico-matemáticamente por la ecuación de Fourier: ~ = qc = −k ∂T Q cx A ∂x Esta ecuación expresa el flujo de calor por unidad de área en la dirección x, donde k es la conductividad térmica. Radiación: es la emisión de calor de un punto en el volumen de fluido en virtud a que la temperatura del cuerpo es mayor que cero. El flujo de calor de un cuerpo negro radiante ~ = q A = σT 4 , donde σ es la constante de Stephan-Boltzmann. perfecto está dada por Q r r

~ ): es la generación de calor producto de la fricción debida Calor por disipación mecánica ( Q f a la resistencia al flujo. Para los flujos que comúnmente considerados, su valor es bastante pequeño en contraste con los otros componentes y normalmente se desprecia. La tasa neta de calor que sale a través de la superficie de control, resulta de la velocidad del fluido y se conoce como convección. De aquí tenemos: la convección forzada que es el calor movido por la velocidad del fluido que a su vez ha sido puesto en movimiento por medio mecánicos (presión, diferencia de elevación, esfuerzos cortantes, etc); y la convección natural o libre que es el calor movido por la velocidad de flujo que se origina por la inestabilidad causada por diferencias importantes de densidad (flujos de densidad). En condiciones de flujo permanente la ecuación de transferencia de calor es: ~ +Q ~ +Q ~ =− c ρ TV A + c ρ TV A Q ∑ p eee e ∑ p ss s s c r f

TRANSFERENCIA Y TRANSPORTE DE MASA: En un fluido en movimiento muchas veces se transporta algún componente o especie, el cual puede además cambiar su cantidad de masa debido a diversas causas. En estos casos se tiene a consecuencia el movimiento de una mezcla de componentes, cuyo agente de transporte es un fluido. En una mezcla, la especificación de las medidas de masa y peso presente de cada componente se realiza a través de los valores de la mezcla total o de las cantidades de masa y peso de cada clase o fracción de masa. La densidad de mezcla se define como la razón entre la sumatoria de las cantidades de masa de cada componente y el volumen total de la mezcla. n

ρ=


n

∑m ∑ρ ∀ i

i

∀

=

i

i

i

∀

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La fracción de masa se define como la razón entre la cantidad de masa de un componente y la masa total de la mezcla. m ρ∀ ωi = i = i i M ρ∀ No posee unidades, es adimensional. La concentración de masa se define como la razón entre la cantidad de masa de un componente y el volumen de la mezcla. m ρ∀ Ci = i = i i ∀ ∀ n

mi m ρ∀ C mi ∑ i Se puede notar que ∑ Ci = ∑ = = ρ y que ωi = i = i i = i ⇒ Ci = ρwi ∀ M ρ∀ ρ i ∀ i 3 Se expresa usualmente en unidades de mg/lts, Kg/m y ppm (partes por millón) equivalentes a partes/ml. n

n

La concentración en volumen se define como el volumen que ocuparía la cantidad presente de u componente y el volumen de la mezcla. ∀ ci = i ∀ No posee unidades, es adimensional. La ecuación de transferencia y transporte de masa se obtiene al considerar la cantidad de masa de un componente mi como la propiedad extensiva en la ecuación básica del volumen de control finito, de esta manera se tiene: dM i sist ∂ = ∫ ρwi d∀ + ∫ wi ρVi .d A dt ∂t vc sc Donde Mi es la cantidad de masa del componente en el sistema, wi es la fracción en masa del componente en la mezcla y Vi es la velocidad del componente. En la práctica se utiliza la velocidad media, considerada como el promedio ponderado de las concentraciones de masa de las velocidad para todos los componentes de la mezcla. n

V=

n

∑C V ∑C V i i

i

n

∑C

=

i i

i

ρ

i

i

Pero en la mayoría de las mezclas, las fracciones de masa son bastante pequeñas comparadas con la masa del fluido, entonces la velocidad de la fracción de masa se considera igual a la velocidad del fluido. Por tanto tenemos, sustituyendo Ci = ρwi y Vi ≈ V : dM i sist ∂ = S i = ∫ Ci d∀ + ∫ Ci Vi .d A dt ∂t vc sc


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Como esta ecuación es para componente de la mezcla, si ésta consta de n componentes, entonces al sumar la contribución al movimiento de todos los componentes se tiene la ecuación de continuidad total para la mezcla. ∂ 0 = ∫ ρd∀ + ∫ ρVi .d A ∂t vc sc El término dM i sist dt posee tres posibles contribuciones: Difusión molecular: es movimiento de las partículas fluidas producto del balance neto de las fuerzas intermoleculares existentes entre ellas. Esta difusión molecular está descrita físicomatemáticamente por la Ley de Fick: ∂Ci J i , x = − Dij ∂x Esta ecuación expresa la difusión molecular en la dirección x para un componente i, en un fluido j, donde Dij es el coeficiente de difusión de la especie i en el fluido j. La contribución de la difusión se determina por S d = J i , x A , siendo A el área de la sección transversal de flujo. Transformación química y biológica: cambio en la concentración de masa de un componente de la mezcla dentro del volumen de control debido a reacciones químicas o reacciones biológicas. Las ecuaciones necesarias para tomar en cuenta estas transformaciones son relaciones empíricas objeto de estudio de la cinemática de las reacciones en química, pero usualmente son ajustadas a formas de ecuación de 1ero y 2do orden, dándoseles el nombre de reacciones de orden n, y representa la disminución o aumento de la concentración por unidad de volumen. Reacción de decaimiento de primer orden Reacción de decaimiento de segundo orden

r = − kC r = −kC 2

Así este término se introduce como S q = r∀ . Es de hacer notar el signo negativo representa disminución en la concentración, o consumo de la masa del componente. Fuente o sumidero ( S s ): retiro o incorporación directa del componente a la mezcla. Se expresa en unidades de flujo másico. En condiciones de flujo permanente la ecuación de transporte de masa para un componente es: S d + S q + S s = −∑ C eVe Ae + ∑ C sVs As

Tiempo de residencia o detención: es el tiempo necesario para reemplazar o renovar potencialmente el volumen completo del fluido en un tanque con un volumen fresco desde la entrada. Se determina con la expresión: t d = ∀ Q donde ∀ es el volumen del tanque y Q es el caudal que circula a través del tanque. Elaborado por: Prof. Adolfo Cardozo

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Vida media de un componente: es el tiempo necesario para que la relación entre la concentración de salida y la concentración de entrada (Cs/Ce) en un tanque reactor alcance un valor de 0.5 EJERCICIOS 1. A través de un intercambiador de calor fluye agua con una tasa constante de 6.85 lts/min. La temperatura del agua a la entrada es de 58ºC, mientras que en la salida es de 14ºC. ¿Cuál es la cantidad de remoción de calor en el intercambiador por segundo? 2. Se tienen dos tanques que contienen agua a 20ºC y 92ºC respectivamente. ¿Qué cantidad de agua se debe sacar de cada tanque para que la mezcla tenga un volumen de 362 lts y una temperatura de 30ºC? 3. Dos corrientes de agua entran en una cámara de mezcla. Una posee una temperatura de 90ºC y un flujo másico de 180 kg/seg, y la otra una temperatura de 55ºC y un flujo másico de 95 kg/seg. Determine la temperatura en la salida de la cámara de mezcla. 4. La eficiencia de remoción de un tanque reactor es de 73% y su tiempo de residencia es 28.5 seg. Para flujo permanente y cinética de reacción de primer orden, determinar el coeficiente de tasa de reacción (k) para el tanque. 5. La eficiencia de operación de una planta de tratamiento de aguas residuales requiere, en su primera etapa, que el agua residual pase a través de una serie de 3 reactores completamente mezclados y del mismo tamaño. Si la concentración de sólidos suspendidos en la entrada es de 200 mg/lts y el caudal a través del sistema es de 15 lts/seg, determinar la concentración de sólidos suspendidos en la salida. 6. Se sabe que para un tanque reactor, la concentración de estado permanente en la salida es 22 mg/lts. Si la concentración en la entrada es de 100 mg/lts. a. Determinar la concentración en la salida 2.5 min después que el proceso de reacción se inicia. El tiempo de residencia del reactor es de 8 min. b. Si el volumen del tanque del problema anterior es de 25 m3, determinar la tasa de flujo a la entrada y el tiempo necesario para alcanzar estado permanente. 7. La siguiente tabla muestra datos de unas mediciones realizadas en un tanque reactor completamente mezclado: Concentración salida (mg/lts) DCs/dt (mg/lts/h)

t1 8.50 1.90

t2 7.20 2.60

t3 6.50 3.75

t4 4.95 4.10

t5 3.78 5.00

t6 2.50 7.00

t7 1.32 7.44

Donde Cs es la concentración en la salida. La concentración en la entada es 23 mg/lts. a. Estimar el tiempo de residencia td y el coeficiente de tasa de reacción k. b. Si las condiciones de estado permanente del problema anterior se alcanzan con una eficiencia de 45%, determinar el tiempo requerido para alcanzar el estado permanente. 8. Suponiendo que la floculación de partículas suspendidas de sedimentos está definida por una reacción de primer orden y que el tiempo de referencia es de 2 horas. Determinar la concentración inicial de las partículas suspendidas y el coeficiente de tasa correspondiente, sabiendo que en un tiempo de 43 min, la concentración del sedimento es de 98 ppm. ¿Cuál Elaborado por: Prof. Adolfo Cardozo

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será el tiempo necesario para que la concentración se reduzca en 10% de la concentración inicial? 9. Se va a tratar agua contaminada en una serie de cámaras de contacto de mezcla completa. La concentración de la bacteria en el agua se debe reducir de 10.000 ppm a 10 ppm. El tiempo de detención en las cámaras es 42.5 min. Suponiendo una cinética de reacción de primer orden con un coeficiente de 5.85 hrs-1, encontrar el número de cámaras necesarias para reducir la bacteria a 10 ppm. 10. Un cierto número de tanques reactores se conectan en serie para reducir la concentración de patógenos. El volumen de cada tanque es 2000 m3. Si el caudal es 1.32 m3/s y la tasa de reacción es 0.12 hrs-1, determinar el número de reactores necesarios para una eficiencia de remoción (Cs/Ce) de 0.73


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DINAMICA DE LOS FLUIDOS: ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO. FLUJO EN CANALES ABIERTOS. En el sistema del problema anterior, determine la fuerza que necesita resistir el anclaje en el punto X para mantener inmóvil el codo ubicado en este punto. La distancia entre el tanque y el codo es de 150 mts, y existe una diferencia de altura de 50 mts. En la conexión Y mostrada en la figura 3, que se encuentra en un plano horizontal, las presiones en las secciones 1, 2 y 3 son 55 Kpa, 50 Kpa y 0 Kpa manométrica. ¿Qué fuerza se genera sobre el anclaje si llega un caudal de 0.7 m3/s por la sección 1 y salen 0.3 m3/s por la sección 2?

En el sistema mostrado fluye agua y los ejes de los chorros se encuentran en un plano vertical. ¿Cuál será la reacción en la sección 1?. El sistema de tubo y toberas pesa 90Nw. Los chorros descargan a la atmósfera.


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Un río grande (n=0.030) se divide en dos partes o cursos (el curso superior y el inferior). En el curso superior, la pendiente es de 70 mts por kilómetro y en el inferior de 10 mts por kilómetro. Los dos cursos tienen secciones transversales rectangulares. El curso superior tiene una profundidad normal de 12 mts. El ancho río es de 40 mts. Luego el flujo se encuentra con una presa que se eleva 15 mts arriba del fondo del curso. Determine: a) La profundidad normal del curso inferior del río. b) Si se produce el resalto hidráulico en la presa, calcule la profundidad, la velocidad y el número de Froude aguas abajo del resalto.

Un chorro de agua descarga a la atmósfera a través de una tobera que lo divide, como se indica en la figura. Las áreas son A1= 0.003 m2 y A2= 0.0015 m2. El flujo es Q1=Q3=0.05 m3/s. La presión p1= 138 Kpa. Calcular la fuerza que se ejerce en la sección 1. Considerando el flujo en la compuerta de la figura, si Y1= 3 mts y se desprecian todas las pérdidas excepto la disipación del resalto, calcule Y2, Y3 y el porcentaje de disipación del resalto. El canal es horizontal y muy ancho (Rh ≈ Y). En un canal natural que es aproximadamente de forma rectangular con 2650 pies de ancho y 17.7 pies de profundidad, se mide un caudal volumétrico uniforme de 110000 pies3/seg. La elevación de la superficie del agua decrece 0.37 pies por cada milla. Basándose en el coeficiente n de Manning calculado, caracterice el tipo de canal natural observado. Igualmente, calcule el número de Froude y clasifique el flujo.


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Problemario de Mecánica de Fluidos BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA: Gerhart, Gross y Hochstein. Fundamentos de Mecánica de fluidos. White, Frank. Mecánica de fluidos. Roberson y Crowe. Mecánica de Fluidos. Streeter y Willie. Mecánica de Fluidos. Vennard y Street. Elementos de Mecánica de Fluidos. Robert y Mc Donald. Introducción a la Mecánica de Fluidos.


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