DINAMICA
CASTOPE CAMACHO MIGUEL
BURGA IRIGOÍN JHARIXA HEVELIN GOICOCHEA AGUILAR JOSELITO
SOLUCIONARIO DE IRVING SHAMES.
PIMENTEL: JULIO 2014
CINEMATICA DE UNA PARTICULA: MOVIMIENTO RELATIVO SIMPLE 1. Componentes rectangulares:
̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̈ 2. Componentes Componentes cilíndricas :
̇ ̇ ̇ ( ̈ ̇) ( ̇ ̇ ̈ )) ̈
11.2. Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular plana con un radio igual a 0.3 m. La posición OA se da como una función del tiempo como sigue:
Donde esta expresado en segundos ¿cuáles son las componentes rectangulares de la velocidad de la partícula para el tiempo ?
DATOS:
̇
SOLUCION:
̅̅ ̅ ̇ ̇ ̇ - - - -
11.3. Una partícula con un vector de posición inicial aceleración impuesta dad como:
tiene una
Si la velocidad inicial de la partícula es nula. ¿Cuáles son la aceleración, la velocidad y la posición de la partícula cuando ?
SOLUCION:
, dt dt
11.14. Una partícula cargada se lanza en el instante con un ángulo de 45° y una velocidad de .Si el campo eléctrico es tal que el cuerpo tiene una aceleración de ¿Cuál es la ecuación de la trayectoria? ¿Cuál es el valor para el impacto?
VY
VX
a) ANALIZAMOS EL EJE VERTICAL:
∫ ∫
∫ ∫ (1)
b) ANALIZAMOS EL EJE HORIZONTAL:
∫ ∫
(2)
c) REEMPLAZO (2)EN (1)
. / . /
d =x
y =0
11.15. Se dispara un proyectil a la velocidad de 1000m/s y un α de 40° medido desde una superficie inclinada, que forma un ángulo β de 20° respecto a la horizontal. Si despreciamos el rozamiento, ¿A qué distancia sobre la superficie inclinada impactará el proyectil?
DESARROLLO:
̈
̈
Integrando las ecuaciones anteriores:
in
Tomamos el t=0 para el instante que se dispara el proyectil, en ese instante
podemos determinar
.
Ahora podemos proporcionar las componentes de la velocidad del proyectil como
sigue:
√
Separando las variables de posición y tiempo e integrando las ecuaciones
√
anteriores, obtendremos las coordenadas
del proyectil.
Cuando t=0, vemos claramente que entonces las coordenadas del proyectil son
entonces:
√
Para determinar la distancia d observamos que el proyectil hace que las
posiciones concurran en un solo punto (punto de impacto), por ello trabajaremos de la siguiente manera.
yt din t √ t xt dt yt din tt√ xt d t tan√ ,t t 7
De la ecuación de la posición en el eje x decimos lo siguiente:
La distancia que impacta el proyectil sobre la superficie inclinada es :
74205.12 metros.
11.19. Un cazabombardero se mueve con una velocidad constante de 500m/s mientras dispara su cañón contra un objetivo en B. El cañón dispara con una velocidad inicial de 1.000 m/s (relativa al propio cañón). a) Determinar la distancia “d”. Utilizar el sistema de referencia que se muestra. b) ¿Cuál es la distancia horizontal entre el avión y la posición “B” en el instante del
impacto?
SOLUCION: a) ANALIZAMOS EL EJE VERTICALMENTE:
77
b) ANALIZAMOS EL EJE HORIZONTAL.
∫ ∫ ∫ ∫
77 77
∫ ∫ ∫ ∫ 77
11.20. Un jugador de golf tiene la mala fortuna de que su bola se estrella contra un árbol. La pelota rebota con una velocidad que es un 60 por cierto de la velocidad antes del impacto. Si ésta se mueve en el mismo plano que la trayectoria inicial, calcular la distancia a la que la pelota chocaría en el terreno con respecto al tee en A.
SOLUCION:
Sabemos que :
Buscamos valores: t 0
sq
V0 =30 m/s
2
x 0 m/s
y 9.81 m/s
2
Integramos. x 0 c1 m/s
30 cos 60 0 c1
V y
30 sen60 9.81(0) c2
x V x =15 m/s
y 9.81t c2 m/s
V x
y V y
9.81t 15 3 m/s
Integramos para conocer las componentes del vector posición: x 15t c3 y
9.81(t 2 / 2) 15 3(t ) c4
t 0
x=0 c3
x 15t y
y=0
0
c4 =0
m
9.81(t 2 / 2) 15 3(t )
m
c1
15
c2 =15 3
t ??
x=???
y=12
12 9.81(t 2 / 2) 15 3(t )
t 1 =4.79 s t 2 =0.51 s x V x =15 m/s y1
V y
y2
V y
9.81t 1 15 3 = -21 m/s 9.81t 2 15 3 = 20.98 =21 m/s
Buscamos los valores de las constantes de integración. sq
'
0
V x
V0 cos 40 15.48 cos 40
V y
V0 sen 40 15.48 sen40 9.81(0) c2
t
V 0
60%V0 =15.48
'
'
0 c1
c1
11.85
c2 =9.95
x V x =11.85 m/s y V y
9.81t 9.95 m/s
…….. E1
La posición de la partícula final en “y” es “0” por lo tanto tenemos el tiempo :
Reemplazando en E1.
77
Respecto del árbol pero respecto de “A” restamos la distancia obtenida de “A”
al árbol.
7
11.21. ¿qué ángulo producirá una mayor distancia de impacto ? La velocidad inicial del proyectil es V 0 .la superficie es plana.
SOLUCION:
PUNTO A: PUNTO B : Eje .la velocidad es constante.
Entonces.
Alcance máximo :
Eje la velocidad no es constante debido a la gravedad.
Tiempo inicial del desplazamiento.
Tiempo en
donde se produce el alcance máximo (punto B)
. / Reemplazo en .
Aplicamos identidad trigonométrica.
Para que sea igual a 0 entonces:
11.40. Un avión de combate está efectuando una maniobra cuya trayectoria se aproxima a la parábola. Si el número máximo de "g" que el piloto puede soportar es de "5g" en la dirección de su propio cuerpo, ¿Cuál es la máxima velocidad permisible para esta maniobra cuando el avión llegue al punto A?
Pasa por el punto de origen (0,0) la ecuación de la trayectoria va tener la forma.
El punto (-5000, 10000) pertenece a la parábola por ello.
Tenemos entonces la ecuación de la trayectoria :
Ahora derivamos con respecto del tiempo 2 veces:
,
El punto pertenece a la trayectoria y con la aceleración “5g” máxima permisible obtendremos la velocidad pedida en ese punto, reemplazando datos tenemos:
7
11.53. ¿Cuáles son las componentes de la velocidad y de la aceleración en las direcciones axial, circunferencial y radial para una partícula moviéndose de la siguiente manera respecto a los ejes x, y, z?
⃗
Con t en segundos. Hacer un esquema del tramo inicial de la trayectoria.
̇
̈
̇ ̇
̈ ̈
̇ ̇ ̇ ⃗ +
+
+
̈ ̇ ̇ ̇ ̈ . / ( ) ⃗ +
+
+
+
11.51- En un punto P sobre una placa en rotación tiene una aceleración en la dirección x de -10 m/ . Si r para el punto es de 1 m. ¿cuál es la aceleración angular de la placa? La velocidad angular en el instante de interés es de 2 rad/s en sentido opuesto al de las agujas del reloj.
DATOS:
= -10 m/
r= 1m
SE SABE:
ENTONCES:
COMO r ES CTE SE TIENE QUE :
ω = 2 rad/s
(̈ ̇ ) (̇ ̇ ̈ ) ̈
̈
̈ ̇ ̇ ̇ ̈ ̇ ̈ | ̂| ̇ ̈ ̇ ̈ ̈ ̈ ̈ √
11.54. Una barra vertical gira de acuerdo con: ω = 3sen(0.1t)
rad/s
Con t en segundos. Fijado a la barra CD tenemos un sistema de bielas HI y FG de 200 mm de longitud cada una y articuladas entre sí en sus puntos medios K. Además, GA e IA de 100 mm de longitud están articuladas entre si tal y como se muestra. En el extremo A se encuentra un marcador que marca una curva sobre la placa J. El ángulo β del sistema viene dado por: β = (1.3 – t/10) rad
Con t expresado en segundos. ¿Cuáles son las componentes radial y transversal respecto al eje N – N de la velocidad y de la aceleración del marcador para el instante t = 5 seg? (Nota: El pasador F está fijo, pero el pasador H se mueve verticalmente a lo largo de una ranura tal como se muestra).
200 cos β
SOLUCION:
. /
100 cos β
Nos piden hallar: componentes radial y transversal respecto al eje N – N de la velocidad y de la aceleración del marcador para el instante t = 5 seg.
̇ ̇ - .. //.. //-
Cuando t = 5 seg, entonces:
.. //.. //- ( ̈ ̇) ( ̈ ̇ ̇) . /- - - -
;
1.
2.
0.. //1.. // 0.. // 1 .. //
11.58. El movimiento de una partícula respecto al sistema de referencia xyz se da como sigue: =0.2senh ( ) = 0.5 ( ) Con t expresado en segundos. ¿Cuánto valen los módulos de los vectores velocidad y aceleración para el instante t=2s? Nótese que: senh2=3.6269 cosh2=3.7622 DESARROLLO:
̇ ̈
̇ ̇ ̈ ̈ ̇ ̇ ̇ (n ) 7 () ( ̈ ̇) ( ̇ ̇ ̈ ) ̈ n- *+- n - 7 - ̈ =0.2senh
= 0.5
)+(
Z
)(
)+(
)(
11.59. Dadas las siguientes coordenadas cilíndricas para el movimiento de una partícula:
Con t expresado en segundos. Hacer un esquema de la trayectoria. ¿De qué tipo de curva se trata? Determinar los vectores, velocidad y aceleración.
SOLUCION:
̇
̇
̇
̈
̈
̈
⃗ ⃗
⃗ ̇ ̇ ̇ ⃗ ⃗ ( ̈ ̇) ( ̇ ̇ ̈ ) ̈ ⃗
11.60. Se está siguiendo la pista de un grano de plutonio en una atmósfera turbulenta. Las componentes del desplazamiento respecto a un sistema de referencia XYZ son:
Expresar los vectores posición, velocidad y aceleración de la partícula utilizando coordenadas cilíndricas con componentes en las direcciones axial, transversal y radial.
SOLUCION:
POSICION:
̅ ̅
VELOCIDAD:
…………(1)
̅ ̇ ̇ ̇ ̅
DE LA GRAFIA:
tan tan =
ACELERACION:
= 59.0366
̈ ̇ ̇ ̇ ̈ ̇
11.64. Una rueda de 600 mm de diámetro está girando a una velocidad de 2 rad/s
y está aumentando su velocidad angular a un ritmo de 3 rad/s 2 .Ésta avanza a lo largo de un tornillo que tiene un paso de rosca de 12 mm. ¿Cuál es la aceleración de los puntos situados en el borde en términos de sus coordenadas cilíndricas?
DATOS:
̇ ̈ (̈ ̇) (̇ ̇ ̈ ) ̈ ̈ ̇ ̈ ̇
D
R = r =300 mm
(̇ ̇ ̈ )
H
( ̇ ) ) ̈ 7 ⃗ ,
EJERCICIO NÚMERO 12.1 Una partícula de 15 kg de masa se está moviendo en el seno de un campo de fuerzas
constante dado por: La partícula parte del reposo en la posición (3, 5, -4). ¿Cuáles serán la posición y la velocidad de la partícula para el instante de tiempo t = 8s? ¿Cuál será la posición cuando la partícula se esté moviendo con una velocidad de 6 m/s?. Solución Datos: F = 3i+10j-5k = (3, 5, -4) m = 15 kg
7
t = 8s V = 6 m/s
7 Rpta:
EJERCICIO NÚMERO 12.2 Una partícula de masa “m” se está moviendo en el interior de un campo de fuerzas
̂ ̂ ̂ ̂ ̂
constantes dado por
a) Dar la ecuación del vector posición r(t) de la partícula si para t=0, está tiene una velocidad +12 +12 +3 +3 (m/s) .Además para t=0 esta tiene una posición +2 +2 +4 +4 (m) b) ¿Cuál serán las coordenadas de la partícula en el instante en que está alcance su máxima altura y máx.?
Solución
Para “a”
⃑ ̂ ⃑ ⃑ ̂ ⃑ ̂ ∫ ∫ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃑ ⃑̂ ̂ =m.
= m.
(m/ )
=
(
=
(
)t= v-( +12 +12 +3 +3 )
(
)+
+12 +12 +3 +3 = +(12-12t) +3 +3
=
̂ ̂ ⃑ t r- =( +6t)̂+(12t-6 +(12t-6 ) ̂+3t +3t r= +6t)̂+(12t-6 +(12t-6 ) ̂+3t +3t +(̂ +2 +2 ̂+4 +4 ) r(t)= +6t+3)̂+(12t-6 +(12t-6 +2) ̂+(3t+4) +(3t+4) (m)
Para “b”:
12-12t=0 T=1s r=10 +8 +8 +7 +7 (m)
̂ ̂
EJERCICIO NÚMERO 12.3 Un bloque puede deslizar hacia abajo por un plano inclinado. El coeficiente de rozamiento es de 0.05. si la velocidad del bloque al llegar al punto más bajo es de 9 m/s. a que altura de soltó y durante cuánto tiempo viajo?
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
NOTA: Tomaremos el sentido positivo hacia la izquierda y negativo a la derecha para que se haga más cómodo el análisis y no hallas confusión por los signos.
Tenemos en el eje perpendicular a la superficie del bloque:
En la superficie horizontal:
Remplazamos el valor de «fs» por la igualdad hallada:
-
El bloque se desplazó una distancia x, por lo que trabajaremos en una ecuación para una aceleración constante.
- Remplazamos:
- -
Entonces la altura es:
Respuesta: EJERCICIO NÚMERO 12.5
En el instante una masa D se esta moviendo hacia la izquierda a una velocidad de 0.6 m/s respecto al terreno, y por encima de una cinta continua que se mueve hacia la derecha a una velocidad constante de 1.6m/s. si el rozamiento entre la cinta y la masa es de coulomb con , ¿cuánto tiempo pasara hasta que la velocidad de D respecto de la cinta sea izquierda? 0.3m/s hacia la
Datos:
Para t=0
Velocidad del cuerpo D respecto a la cinta para t=0:
∫ ∫ Para :
EJERCICIO NÚMERO 12.6 Repetir el problema 12.6 con la cinta inclinada 15° con respecto a la horizontal de forma que el extremo B está más alto que el A 12.5 en le instante t=0 una masa D se está moviendo hacia la izquierda a una velocidad de 0.6 m/s respecto al terreno. Y por encima de una cinta de una cinta continua que se mueve hacia la derecha a una velocidad constante de 1.6m/s. si el rozamiento entre la cinta y la masa es de coulomb con ¿cuanto tiempo pasara hasta que la velocidad de D respecto de la cinta sea de 0.3m/s hacia la izquierda?
Desarrollo
Datos
T=0
=0.6m/s =1.6m/s
W=mg
̂̂ ̂ R=r+ =R-r =0.6 =2.2
)
=
)
=
∑ in in in in in in in
EJERCICIO NÚMERO 12.8 Un camión está bajando por un plano inclinado 10°. El conductor frena de repente para evitar una colisión y el camión desacelera a un ritmo de
Si el coeficiente
de rozamiento estático , entre la carga del camión W y el propio camión es de 0.3.¿deslizara la carga o permanecerá estacionaria respecto al camión? El peso W es de 4.5KN y no está fijado al camión mediante ningún cable.
Diagrama de cuerpo libre
in
Px =4500 Px=781.42 N
Py =4500 Py=4431.63 N
Fr= Fr= 0.3(4431.63) Fr=1329.49 N
∑ 7 77
*Px *Px
N=4431.63
Px=
7
Fr=
1
P Px
10°
*Px *Px
EJERCICIO NÚMERO 12.9 El péndulo es un dispositivo para medir aceleraciones uniformes de magnitud
razonable. Calibrar el Angulo del péndulo para aceleraciones de pesa 5 N y esta conectada al poste mediante una cadena flexible
Solución DATOS:
; ; .La bola
3°ACELERACION L
Hacemos el D.C.L
Del diagrama de cuerpo libre tenemos que:
……..(1)
∑ 7 Reemplazando en la formula y 1 en 2. ………(2)
•
Para
•
•
Para
Para
EJERCICIO NÚMERO 12.13 Los bloques A y B están inicialmente estacionarios. ¿Qué distancia recorrerá A sobre B, si A recorre 0.2 m respecto al terreno?
Aceleración relativa Punto fijo: Bloque B a1= a2 + aR
Solución:
Respect al bloque “A” :
mb g sen100 + f r- f rl = ma2 30kg (9.81m/s2) sen 10° +77.28 -48.30= 30kg a 2 51.1 + 77.28-48.30=30 a2 80.08= 30 a2 a2 = 2.66 m/s2
EJERCICIO NÚMERO 12.15 Un bloque B de masa M se hace subir por un plano inclinado mediante una fuerza F . Si es de 0.3 ¿para qué ángulo producirá la fuerza la máxima aceleración uniforme?
Desarrollo
N+fsen -wcos =0 N=wcos +fsen fcos fcos fcos fcos fcos f(cos f(cos F=
-wsen -wsen -wsen -wsen + fsen + sen + sen
=m.a N=m.a (wcos +fsen )= m.a wcos + fsen =m.a = wsen + wcos +m.a )=wsen + wcos +m.a )=wsen + wcos +m.a
Recordar que: w=m.g y la masa del bloque es M
F=
Derivo:
cos=0 =0.3 -sen
tan =0.3
=16.7
EJERCICIO NÚMERO 12.20 Se aplica una fuerza F a un sistema de poleas ligeras para tirar de un cuerpo A. F es de 10kN y A tiene una masa de 5Mg. ¿Cuál es la velocidad de A después de 1s de comenzar el movimiento a partir del reposo? Datos: F = 10KN ma = 5Mg t = 1s
F = m.a 2000 = 500.a
a = 4m/s 4 = a=
2
Integro para encontrar la velocidad del bloque Va va
∫0 4dt = ∫ v0 dv
4t = vA vA = 4m/s. EJERCICIO NÚMERO 12.21 Una fuerza como la que se representa actúa sobre un cuerpo que tiene una masa de 15Kg. ¿Cuáles serán la posición y la velocidad para t=30s si el cuerpo parte del reposo para t=0?
•
7 5
∑
∫ ∫ + ∫ = ∫ ∫ + ∫ F. (t /) + F. (t / ) + F. (t /) = m.V FR
= m.
50.5 + 75.(10-5) + 0.(30 - 10) = 15.V 250 + 375 = 15.V 625 = 15.V V = 41,67
⁄
•
V=at
7 7 7
EJERCICIO NÚMERO 12.22 Una fuerza como la que muestra el diagrama actúa sobre un cuerpo de 1kg de masa. Si para t=0 la velocidad del cuerpo es nula, ¿Cuáles serán la velocidad y la distancia recorrida cuando t=1 min? La fuerza actúa durante solo 45 s.
HALLAMOS LA VELOCIDAD:
∑ F = m.
∫ ∫ = m
V = 435 m/s DISTANCIA:
+ (14)(
5800 m 5.8 Km
EJERCICIO NÚMERO 12.24 Sobre un cuerpo que tiene una masa de 14 kg actúa una fuerza dada por:
Si para la velocidad es de distancia recorrida cuando ?.
. ¿Cuáles serán la velocidad del cuerpo y la
Datos del Ejercicio
t
t
Fórmula y equivalencias
1. Velocidad:
Si:
Entonces:
7
2. Distancia
o
Si:
EJERCICIO NÚMERO 12.26 Se muestra un esquiador acuático colgando de una cometa que se arrastra a una velocidad constante de 14 m/s mediante una cuerda ligera de nailon atada a una lancha motora. Dicha lancha pesa 3 kN. Si despreciamos la masa de la cuerda, podemos considerar que ésta se mantiene recta tal como muestra el diagrama. Se estima que la resistencia del aire al avance del conjunto hombre-cometa es de 360 N. ¿Cuál es la fuerza de tracción en el cable? Si la cuerda se rompe de repente, ¿Cuál será la aceleración horizontal instantánea relativa entre el sistema de la cometa y la lancha motora?
DATOS Y D.C.L.
WL = 3 kN. WH = 1,2 kN. = Resistencia del aire.
Solución
= m.a m (0) = 0 T.Cos(15°) - = 0 T.Cos(15°) = 360 T = 372.7 N
T.Cos(15°) = m.a PARA (H):
-T.Cos(15°) = X - 1.18 m/ =
PARA (L):
X - 2.94 m/ = -T.Cos(15°) =
MOVIMIENTO RELATIVO
̂ ̂ =
+
=
-
̂
= - 1.18 - 2.94 (m/ ) = - 4.12 (m/ = 4.12 (m/ )
EJERCICIO NÚMERO 12.28 Una fuerza dada como 23 sen 31 N actúa sobre una masa de 15 kg. ¿Cuál será la posición de la masa para í=10 s? Determinar la distancia total recorrida. Suponer que el movimiento comienza a partir del reposo.
F= 22sin 3t m= 15kg t=10s. x0=0 v0=0
Desarrollo
-
EJERCICIO NÚMERO 12.18 Dos apisonadoras a vapor se mueven lentamente en sentidos opuestos sobre una línea recta. Para t =0 comienzan a moverse desde las posiciones A y B. ¿ A qué distancia del punto A se encontraran? ¿Cuál será su velocidad en ese momento? (Indicación: demostrar que, el tiempo para que esto ocurra es de 1.5 horas). Nótese que t esta expresado en horas 22.695 Mm
√
Para realizar la demostración:
.√ / √ √ √ √ √ 7 ./ 7 8t +
=22.695
t =1.5
22.695 =22.695 -La distancia de : A , al punto de encuentro
( √ ) √ √
La velocidad A :
7
√ = 14.121 km/m =3.922 m/s
EJERCICIO NÚMERO 12.29 Se tira un bloque A de 500kg de masa mediante una fuerza de 10kN tal como se muestra. Un segundo bloque B de 200kg de masa se apoya sobre el bloque A a través se unos pequeños rodillos sin rozamiento. Una pared evita que el bloque B se mueva hacia la izquierda. ¿Cuál será su velocidad del bloque A después de 1s comenzando a partir se una posición estacionaria? El coeficiente de rozamiento entre A y la superficie horizontal Ud. vale 0.4
Desarrollo: 1) Diagrama de cuerpo libre del bloque A y B Bloque «B»
Bloque «A»
WB
WB g
B
=0 NB=WB
A
WA
NB=200(9,81)N NB =1962 N
Delbloque «A» =mA.ax
NA
=0 =
200(9,81)+500(9,81)N
NA =700(9,81)N
∫
Ud.*NA)dt=∫ Adv f-FR =mA
10*
Ud.*NA=mAv
-
FR=Ud.*NA
,,
V=
V=14,5064
EJERCICIO NÚMERO 12.19 Tal y como el lector habrá aprendido en química, e l coeficiente de viscosidad “u” es la medad de la pegajosidad de un fluido. Para medir esta propiedad en caso de un líquido muy viscoso como el aceite, se deja que una pequeña esfera de metal de radio R descienda en el seno de un contenedor lleno de líqui do. A partir de la mecánica de fluidos, sabemos que la resistencia al avance que desarrollará el fluido viene dado por: F = 6 πuVR Esta relación de denomina Ley de Stokes. Las otras fuerzas que actúan sobre la espera son su peso (tómese la densidad de la e sfera como ρesfera) y la fuerza de flotación, que es el peso del aceite desplazado (tómese la densidad del aceite como ρaceite). La esfera alcanzará una velocidad constante denominada velocidad terminal Vterm. Demostrar que: u = (2gR² / 9 Vterm ) (ρesfera - ρaceite) SOLUCIÓN: La esfera se mueve bajo la acción de las siguientes fuerzas: el peso, el empuje (el cuerpo está completamente sumergido en el seno de un fluido), y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera.
a. El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad g. La masa es el producto de la densidad del material ρesfera por el volumen de la esfera de radio R. mg = (4 /3 π R³) ρesfera g b. De acuerdo con el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido ρaceite, por el volumen del cuerpo sumergido, y por la aceleración de la gravedad. E = (4 /3 π R³) ρaceite g c. La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y su expresión se denomina ley de Stokes: F = 6πuVR
E
mg – E – F = ma Pero la velocidad terminal, se alcanza cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero. Por lo tanto. F = mg – E Con igualdad trabajaremos nuestros datos, por lo tanto:
g F = mg – E 6πuVR = (4 /3 π R³) ρesfera g – (4 /3 π R³) ρaceite g 6πuVR = 4 /3 π R³ g (ρesfera – ρaceite ) Despejamos u: u = (2gR² / 9 Vterm ) (ρ esfera - ρaceite)
TEMA:
CINEMÁTICA DE UN CUERPO RÍGIDO
EJERCICIO N° 15.11: Una partícula se mueve con una velocidad constante V = 10 m/s a lo largo de una ranura en la placa B .La placa gira con una velocidad angular constante = 3 rad/s relativa a la plataforma C mientras que esta última gira con una velocidad angular constante = 5 rad/s relativa al sistema de referencia anclado en el suelo XYZ .Hallar las derivadas primero y segunda respecto al tiempo de V vista desde el sistema de referencia del terreno.
Desarrollo.
⃗
DATOS:
⃗
V = 10 m/s ω2 = 3 rad/s ω1 = 5 rad/s
C
⃗
̂ ⃗ ⃗
v 20
B
y
in̂̂ ̂ ̂ x
̇ ⃗ ⃗ ̇ ( ̂ )̂̂
⃗ ̇ ⃗ ̇ ⃗ ̇̇ ⃗ ⃗̇
⃗ ⃗ ̇ ⃗ ̇̇ ⃗ ⃗ ̂ ̂
̇ ̂ ̂7
Calculamos la segunda derivada en v
̈̈ ⃗ ̇ ̂ ⃗ ̂ ̇ ̂ ̂ ̂ ̂7 ̈̈ ̂ 7̂̂ ⃗ ̂ ̂
)
EJERCICIO N° 15.13: Un camión está transportando una cabina para reparar las farolas de las calles. En el instante que se muestra en el diagrama, la base D está girando con una velocidad constante de relativa al camión, el brazo AB está girando con una velocidad angular constante de relativa a DA. La cabina C está girando respecto a AB de forma que siempre se mantenga su
ad ad
, ̇ ̈
orientación vertical. ¿Cuáles son interés? El camión esta estacionario.
Del problema:
del brazo AB relativas al terreno en el instante de
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ x …(1)
̇ x ̇ ̇ x
Remplazando:
De (1):
Rpta:
̈ ̇ x ẋ ̈̈ ẋ x x ̈ ̈
EJERCICIO N° 15.15: Un coche de carreras se está moviendo con una velocidad de 320m/s cuando el conductor gira sus ruedas delanteras con una aceleración angular, 1=de 20mrad/ . Si en el instante de interés 1=16.8mrad/s, ¿Cuáles son y de las ruedas delanteras en ese instante? El diámetro de los neumáticos es de 0.75m.
̇
DATOS:
̇
Z V=320m/s =16.8mrad/s
̇
1= 20mrad/
X
̇
=20mrad/ R=0.375m
Z
Desarrollo
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 7 ⃗ ⃗ ̂ ⃗ ̇ ⃗ ̇ ̂ ⃗ ̇ ̂ ⃗ ̇ ⃗ ̇ ⃗ ̇ ⃗ ̇ ̂
O
V=320m/s
X
A
⃗ ̂
=(16.8x
=14.336
+ 14.336
EJERCICIO N° Un pequeño sin deslizar en gran cavidad velocidad relativa ala B si el eje de A angular de segundo
15.17: cono A esta rodando el interior de una B. ¿Cuál será la angular w del cono A gran cavidad cónica tiene una velocidad 5 rotaciones por alrededor del eje z?
Desarrollo: W1 =5rot/s=2π/1rot =10πrad/s Wt=10πk+w2 50(W1 )=(50sen(15) w2 50(10π)= 50sen(15) w2 a
60 (
W2=121.38rar/s W2=-121.38cos(60)i-12.38sen860)K
Wt= W1 +W2
W ̇ W ̇ W ,,
Wt=·
+
Wt=
= W1 * W2
=(10 Rpta:
Wt 3822,87i
EJERCICIO N° 15.19: En el Problema 15.18. Hallar instante en el que θ=90°.
̇
de la cabina para el caso en el que
̇t
= - 0.8 rad s en el
Datos:
= 0.2 rad/s
= 0.6 rad/s
= 0.8 rad/s
= 0.8 rad/s
= 0.6 rad/s
Desarrollo: Del ejercicio anterior hemos hallado
̇ ̇ ̂ ̇ ̂ =(
x
)
•
=(
•
=
)
)
•
̇
Para hallar , y cuando
̇ ̇ ̂ ̇ ̂ •
=(
•
=(
x
̇
= 0.8 rad/s
)
)
)
También se puede expresar de esta manera
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̂ ̇ ̂ =( =(
x
)
)
)
=
EJERCICIO N° 15.20: La masa A está conectada a un alambre inextensible. Los soportes C y D se están moviendo como se muestra. a) ¿cuál es el vector velocidad de la masa A? b) si e cilindro G puede girar libremente y no hay desplazamiento ¿cuál es la velocidad angular?
DATOS:
()
Entonces tenemos que:
⃗ ( ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ii ⃗ =
Punto ”D”
……….(1)
=
=-0.15
0=
77 77i 77 =
= 0.2374 rad/s
EJERCICIO N° 15.29: Un cordón flexible esta enrollado alrededor de un carrete y se estira de él con una velocidad de 3m/s respecto al terreno. si no hay deslizamiento en c ¿cuál será la velocidad de los puntos O y D en el instante mostrado?
FORMULA A UTILIZAR: V=
+ w( )
Dato:
̂ ̂ =3
= 0.3 + 0.6
Recordar: v= wxr
w=v/r
Entonces:
̂ =
;
Para D :
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
V=3 +
(
v = 3 + 5 (0.3 +0.6 ) v = - 1.5 + 3
Para O :
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
v=3 +
(
v = 3 + 10 (0.3 +0.6 ) v = 6 + 3
EJERCICIO N° 15.31: Una barra AB tiene 1 m de longitud. Si el extremo A desliza por la superficie hacia abajo con una velocidad VA de 3 m/s, ¿cuál será la velocidad angular de AB en el instante mostrado?
PAB = 1 (cos20°i – sen20°j) VA = 3 (cos 30°i – sen 30°j)
20°
VB= VB (cos 10°i – sen 10°j) WAB = WAB k
Solución: VB = VA + WAB x PAB VB (cos 10°i – sen 10°j) = 3 (cos 30°i – sen 30°j) + WAB k x 1 (cos20°i – sen20°j) VB cos 10°i – VB sen 10°j = 3 cos 30°i – 3 sen 30°j +cos 20° WAB j + sen20° WAB i – VB sen 10° = – 3 sen 30° +cos20° WAB (cos 10°)
VB cos 10° = 3 cos 30° + sen20° WA B
(sen 10°)
– VB sen 10° cos 10° = – 3 sen 30° cos 10° +cos20° cos 10° WAB
VB cos 10° sen 10° =
3 cos 30° sen 10° + sen20° sen 10° WAB
- 3 cos 30° sen 10° + 3 sen 30° cos 10° = (cos20° cos 10° + sen20° sen 10°) WAB Rpta: WAB = 1. 042 rad / s
EJERCICIO N° 15.41: La biela AB está girando con una velocidad angular contante de 4 rad/s en el sentido opuesto al de las agujas del reloj. En la posición que se muestra en el diagrama ¿cuál será la velocidad angular de la biela BC? ¿Cuál será la velocidad del punto D situado en el centro de la barra BC? La barra tiene una longitud de 0,9 m.
Datos:
Solución: a) ¿Cuál será la velocidad angular de la biela BC? Descomponemos BC de 0,9 m.
|| Ĉn̂ || ̂̂ ⃗ ⃗ ()̂ ⃗ ,̂ ⃗ ⃗ ()̂ ⃗ ,̂ ⃗ ̂ ̂ ⃗ 77 ̂77 ̂ )
(I)
⃗ ⃗ ̂ (̂̂) ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ( )̂ ̂ ̂ ̂ ( ) ̂ ̂
(II)
a []̂ 77-̂ []̂ 77-̂ a 77 77 b) ¿Cuál será la velocidad del punto D situado en el centro de la barra BC?
(Ĉn ̂) (Ĉn ̂) ̂ ̂ ⃗ ⃗ ̂ (̂ ̂) ⃗ ̂ ̂ ⁄ EJERCICIO N° 15.44:
En el instante t se muestra una barra que se está moviendo sobre una superficie horizontal. ¿Cuál es la del extremo A y el de la barra en el instante mostrado? (indicación utilice el hecho de que la barra es inextensible)
Sabiendo que:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̇ ⃗ ̇ ⃗ ̇ +
=
+
⃗ ̇ ̇ ⃗ ⃗ = = x
= k
La velocidad angular está en “z” porque es perpendicular al plano “xy”
SOLUCION DEL EJERCICIO
⃗ + x +
3i + 6j = -2i +
x [2cos(30)i + 2 sen(30)j ]
3 = -2-2sen(30) 6=
j + 2cos(30) j – 2 sen(30) i
+ 2cos(30)
=
= -5 rad/s
6 – 2cos(30)x(-5) =
= 14,66 m/s
EJERCICIO N° 15.71: Un vehículo se mueve hacia debajo de un plano inclinado con rapidez de 20 m/s (fig. 15.71). Una flecha y una plataforma se mueven con el vehículo y a su vez tienen una velocidad de rotación de 5 rad/s alrededor de la línea central de AB que permanece vertical. ¿Cuál es la velocidad del punto D sobre la plataforma, si como se muestra en la figura, el punto D está en el plano YZ en el instante de interés?
EJERCICIO N° 15.80:
Una gnia se mueve hacia la derecha con una velocidad de 1.4m/s. la pluma 08, que tiene una longitud de 15m, se está elevando con una velocidad angular apelativa a la cabina de 0.4rad/s, mientras que esta última está girando con una velocidad angular w, de 0.2rad/s relativa a la base. ¿Cuál será la velocidad del pasador B relativa al terreno en el instante en el que 06 forme un ángulo de 35° con el terreno? El eje de rotación de o de la pluma está a 1m de distancia del eje de rotación A-A de la cabina, tal como se muestra en el diagrama.
