Solucionario de Matematicas Para Administracion y Economoa

DE JEAN E. WEBER i

jÊÈHk

I';';'

EDUARDO 6 S P IN O Z A RAM OS LIMA - PERU

_■ B

>EN EL PERÚ »del 2003

PROLOGO 2oEDICIÓN La obra que presento “Solucionarlo del texto de matemática para administración y economía por JEAN E. WEBER” es su segunda edición es debido a que los estudiantes especialmente del área de economía, Contabilidad y administración utiliza en los cursos de matemática el texto de JEAN E. WEBER, de tal manera que en este libro encuentren una ayuda en la solución de los problemas, los cuales son desarrollados en forma clara y precisa ilustrándolo con gráficos.

:hos

reserva d o s

El libro empieza con la solución de los problemas de conjuntos, relaciones, funciones, la recta, aplicaciones de la oferta y demanda lineal, se continua con las cónicas: circunferencias, elipse, parábola e hipérbola así como las curvas de oferta y demanda, se desarrolla las funciones logarítmicas y exponenciales, limites, continuidad, derivadas y sus aplicaciones, se desarrolla el

o no p u e d e reproducirse to ta l ó p a rcia lm e n te por ningún m é to d o

cálculo en varias variables, derivadas parciales y sus aplicaciones, el cálculo integral y sus

e le ctró n ic o o m e c á n ic o , in clu yen d o los sistemas d e fo to c o p ia ,

aplicaciones así mismo se desarrolla las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones en diferencias.

m ag né tico s o d e a lim e n ta ció n d e datos, sin expreso co nse n tim ie nto •r y Editor.

Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis publicaciones. Es mi

J

deseo que encuentren en ellas, mayor ayuda en sus estudios y signifique un avance en su formación científica.

N ° 10070440607 )* »rechos d e l A utor

N° 13714

co m e rcia l

N° 10716

Publica

N° 4484

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

ÍNDICE | INTRODUCCIÓN Pag.

DEDICATORIA

i.

Conjuntos.

1

2.

Problemas.

1

3.

Relaciones y Funciones.

10

4.

Problemas.

11

5.

Funciones Inversas.

25

6.

Problemas.

25

Este libro lo dedico a mis hijos: RONALD, JORGE y DIANA

CAPÍTULO i 1

que Dios ilumine sus caminos para que puedan REPRESENTACIÓN GRÁFICA ] ser guías de su prójimo. l.l.

La recta.

35

1.2 .

Líneas paralelas y perpendiculares.

35

1.3.

Ecuación genera! de la recta.

35

1.4.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

36

1.5.

Ecuación de la recta en la forma punto- pendiente.

36

1.6 .

Ecuación de la recta en ía forma pendiente - intersección.

36

1.7.

Ecuación de la recta en forrna - intersección.

36

1.8 .

Familia de rectas.

36

1.9.

Problemas.

37

.10.

Aplicaciones de las gráficas rectilíneas en administración y economía.

57

.11.

Función de Consumo.

59

.12.

Problemas.

60

.13.

Métodos generales para trazar gráficas no lineales.

76

.14.

Problemas.

76

2.1.

Límites de una función

.15.

Métodos generales para trazar gráficas no lineales.

84

2.2.

Propiedades.

.16.

Problemas.

84

2.3.

Problemas.

.17.

Curvas cuadráticas.

95

2.4.

Continuidad.

.18.

Identificación de una curva cuadrática.

95

2.5.

Derivadas.

.19.

La circunferencia.

96

2.6.

Reglas de la Derivación.

.20.

La elipse.

96

2.7.

Problemas.

.21.

Problemas.

97

2.8.

Otras reglas de derivación.

.22.

La parábola.

99

2.9.

Problemas.

.23.

La Hipérbola.

100

2.10.

derivación logarítmica y exponencial

.24.

Casos especiales de la hipérbola.

101

2.11.

Problemas.

.25.

Problemas.

101

2.12.

Funciones Trigonométricas.

.26.

Problemas.

104

2.13.

derivación de las funciones inversas.

.27.

Aplicaciones de las curvas cuadráticas en administración - economía

2.14.

Problemas.

113

2.15.

Problemas.

curvas de oferta y demanda

CAPITULO II CÁLCULO DIFERENCIAL: FUNCIONES DE UNA VARIABLE |

.28.

Equilibrio de mercado.

114

2.16.

Diferenciales.

.29.

Graficas de transformación del producto.

114

2.17.

Problemas.

.30.

Problemas.

114

2.18.

Derivadas de orden superior.

31.

Ley del Pareto de la distribución del ingreso

142

2.19.

derivación implícita.

32.

Problemas.

142

2.20.

Problemas.

33.

Curvas exponencial y logarítmica

148

2.21.

Aplicaciones de las derivadas.

34.

Problemas.

150

2.22.

Aplicaciones de las derivadas en problemas de administración y economía.

35.

Aplicación de las curvas exponenciales y logarítmicas en administración

2.23.

Elasticidad (tasa de cambio proporcional).

36.

y economía

152

2.24.

Fórmulas para evaluar la elasticidad.

Problemas.

154

2.25.

Elasticidad - punto sin ambigüedad.

2.26.

Generalizando la elasticidad de y con respecto a x

2.27.

Elasticidad de la demanda.

302

2.28.

Elasticidad cruzada.

303

2.29.

Elasticidad constante de la demanda.

303

2.30.

Problemas.

303

2.31.

Ingreso total, ingreso marginal y elasticidad de la demanda

307

2.32.

Problemas.

30 '/

2.33.

Formas indeterminadas

311

3.19.

Condición de KUHN - TUCKER.

400

3.20.

Problemas.

401

3.21.

Sucesiones y Series.

418

CAPITULO IV CÁLCULO

IN T E G R A L

CAPITULO I I I CÁLCULO B IFEREN O aT!

4.1.

Reglas para la integración

428

4.2.

Problemas.

428

Aplicaciones de la integral indefinida en la administración y la economía

435

3.1.

Funciones de más de una variable.

333

4.3.

3.2.

Diferenciación parcial.

333

4.4.

3.3.

Problemas.

333

4.5.

Problemas.

441

3^.4.

Diferencial total.

348

4.6.

Área como integral definida.

445

3.5.

Derivada total.

34 g

4.7.

Aplicaciones de la integral definida en la administración y la economía.

458

3.6.

Diferenciación de funciones implícitas.

349

4.8.

Problemas.

459

3.7.

Problemas.

349

4.9.

Métodos especiales de integración.

469

3.8.

Aplicaciones de las derivadas parciales en administración y economía.

360

4.10.

Problemas.

470

3.9.

Función de producción.

366

4.11.

Integración por partes.

474

3.10.

Productividad marginal.

366

4.12.

Integración por fracciones parciales.

483

5.11.

Función de producción homogénea.

366

4.13.

Integración por nacionalización.

488

5.12.

Curvas de producto (o producción) constante.

367

5.13.

Función de utilidad.

367

5.14.

Problemas.

357

U 5.

Máximos y mínimos de la función de dos variables.

376

1.16.

Problemas.

377

1.17.

Máximos y mínimos sujetos a restricciones multiplicadores de Lagrange.

394

1.18.

Problemas.

395

Integral definida.

'

441

C A P IT U L O V [ ¥ c ijA P O NES DIFERENCIALES 5.1.

Problemas.

494

5.2.

Ecuaciones Diferenciales de primer orden y primer grado

49')

5.3.

Problemas.

52

1

Introducción

CAPITULO VI

INTRODUCCION

ECUACIONES EN DIFERENCIAS

EZ

Definición.

564

Ecuaciones lineales en diferencias.

565

Solución de las ecuaciones en diferencias.

565

Problemas.

CONJUNTOS.I—---------------------------------- :' U - conjunto universal A uB =(xeU /xeA

v xeB}

565

A n B = {xe U /:.6 A

a

Ecuaciones lineales en diferencias de primer orden con coeficientes constantes

570

A-B = { x eU /x eA

Problemas.

572

a

xeB} x «?B]

CbA - B - A = { x l Jte B a .i & A) Ecuaciones en diferencias lineales y de segundo orden con coeficientesconstantes

582

Comportamiento de la solución.

583

Problemas.

584

A ‘~ C a U - V - A

___

\:i

PROB L E MA s .-

G)

Si A,B y C son conjuntos tales que A c B c C ¿Cuál es la relación entre C - B y C - A? Desarrollo

La relación entre C - B y C - A es: C - B c C - A ( 2)

Demuestre que en general, ( A r \ B ) ' ~ A'
( A n f i ) ’c A ’u f i ' Io

x e (A n B )1 = > x ¿ A n B ,

def. de complemento

2o x g A v x i B,def. de intersección

Eduardo Espinoza Ramos 3o

x e A' v :te fi',def. de complemento

T

x e A n ( B u C ) => x e ( A n B ) u ( A n C ) ,

4o

x e A 'u B ',

8o

A n ( B u C ) c (A n B ) u ( A n C),

5o

x e ( A u B ) ' => x e A ' u B ' ,

def. de unión

6o ( A n j 5 ) ' c A ' u f í ' ,

li)

3

Introducción

Io

5o def. de contenido

2°

x <£ A v x í B,def. de complemento

3o x g A n B, 4o

xe(AnB)u(AnC),

hipótesis

2o x s ( A n B ) v x e ( A n C),

A'uB ' a ( A n B ) ' x e A’uZT => x e A' v x e B ' , def. de unión

T def. de contenido

ii) ( A n B ) u ( A n C ) c A n { B u C )

del°y4°

Io

(x e A

4o

x eA

a

5o

x

eA

a

x e (B u C),4o def.

6o

x

eA

a

(B u C),

a

x e B) v (x e A

10 def. de unión

3o

(x e B v

a

x

e C),

x e C),

2° def. de intersección

3o y propiedad lógica de unión

def. de intersección

x e (A n B)' ,

5o def. de intersección

3o def. de complemento T

5o x e A ' v B ’ => x e ( A n B ) ' ,

xe(AnB)u(AnC)

=> x e A n ( B u C ) ,

A'ufi'c(Anfl)', ( A n B ) ' = A'
Io y 6 o

I o y 4o 8 o (A n B) u (A n C) c A n (B u C),

6o

I o y 6o


A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C),

de i) y ii)

(T i

T def. de contenido de i) y ii)

Demuéstrese que, en general (5 n T ■)u (S n T) = S

Demuestre que en general, A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C )

(5 u T) = S u (S n T) = S

Desarrollo

Desarrollo a) i)

Demostraremos que:

( S n 7 " ) u ( 5 n r ) = S n ( S u 7 ’)

A n(BuC)c(A nB)u(A nC) En efecto: 1°

xeA n(BuC),

2°

xe A

3o x e A 4o (x e A

a

xe(BuC), (x

a

a

e

x e B) v (x e A

xe An B v

6o

x e (A n B) u (A n C),

= [ S n ( 5 u r ,)]n (7 ’ u 5 )

I o def. de intersección

B v x e C),

5o

( 5 n r ,) u ( S n r ) = [ ( 5 n 7 ’,) u 5 ] n [ ( 5 n 7 " ) u 7 ’]

hipótesis

xe AnC,

2o def. de a

x

= S n ( S u 7 ” ) n (7 'u S ) = [(S n 7 ) u S ] n ( 5 u 7 ")

unión

e C), 3o propiedad lógica

4° def. de

5o def.de unión

intersección

= S n (S v T )ri(S uT ') = S n i S u T ) b)

Desmotaremos que: S n (S u T) = S u (S n T) En efecto:

Eduardo Espinoza Ramos i)

S n ( S u T ) c S u ( S n T) Sea x e S n ( S u T )

4o (x e k v x e L) a (x e k v x e M),

=> x e S

a

xe

(S u T)

5o

xe k u L

=> x e S

a

(x e S v x e T )

6o

x e (k u L) n (k u M),

x e k u M , 4Cdef. de unión

=> x e S v x e ( S n T )

8 o k u ( L n M) c ( k u L ) n (k u M),7° y def. de contenido

xeku(LnM )

=» x e ( k u L ) n ( k u M ) ,

Io x e ( k u L ) n ( k u M ) , xe S v xe Sn T

=> x e S

a

2°

x € T)

xekuL

a

hipótesis

x e k u M . l ° def. de intersección

3o (x e k v x e L)

(xeSvxeT)

a

4o x e k v (x e L

a

a

(x

e k v x e M),

x e M),

5°

x e k v x e L n M,

=> x e S n ( S u T )

6o

x e k u (L n M),5° def. de unión

T

x e (k u L) n (k u M) => x e k u ( L n M ) ,

Demostraremos que: S u (S n T) = S «

xsS

v xeSnT

x e S (pues: p v (p


I o y 6o

8 o (k u L) n ( k u M ) c k u ( L n M),7° y def. de contenido

«=> x e S v ( x e S A x e T ) «

2o def. de unión

3o propiedad lógica

=> x 6 S a ( x n S u T )

En efecto: x e S u ( S n T )

r y 6&

ii) ( k u L ) n ( k u M ) c k u ( L n M )

Su(SnT)cSn(SuT)

=> x e S v (x e S

a

q) = p)

k u ( L n M) - (k u L ) n ( k u M ) de i) yii) (ó )

Si A n B = <¡> y A n C = <|> ¿Es necesariamente cierto que B r . C = o?

Demuestre que, en general k u ( L n M ) = ( k u L ) n ( k u M )

i)


T

Sea x e S u (S n T)

c)

a

3o propiedad lógica

=> x e S v (x € S A x e T )

=> x e S u ( S n T ) ii)

5

introducción

Desarrollo

Desarrollo No es cierto, puesto que:

k u ( L n M ) c ( k u L ) n ( k u M) Io xeku(LnM),hipótesis 2o x e k

v x e L n M,

3o x e k

v (x e L

a

1° def. de unión

x e M),

2° def. de intersección

Es decir: A n B = <¡>

a

A n C = <¡> pero x e B n C

=> B n C * <|>

Eduardo Espinoza Ramas Si A / B y B / C ¿ Es necesariamente cierto que A * C?

1

Introducción Hy

Si A c C y B c D ¿Se verifica necesariamente A n B c C u D ?

Desarrolio

Desarrollo

No es cierto, puesto que Io x e A c C

=> (x e A => x e C),

hipótesis

( x e B => x e D),

hipótesis

2o x € B c D y Es decir: A # B

a

B # C sin embargo A = C

xe AnB,

4o x e A

Si A <2 B y B
5o x e C

Desarrollo

a

a

hipótesis

x € B.


x e D,

I o, 2o y 4o

6 o x e C n D,

5 o def. de intersección

No es cierto, por ejemplo A = {1,3,5,7}, B = {1,2,3}, C = {1,3,5,7,8 ,9}

T

A <2 B, B cz C pero A c C

8 o x e A n B c C n D , 7° y def. de contenido

Si A c C y B c D ¿Se verifica necesariamente que A u B c C u D ?

por lo tanto se verifica para A n B c C n D

D esarrollo

@

x e A n B => x e C r v D ,

3o y 6 o

Si S u T = {1,2,3,4}, S n T = {1,3}, S - T = { 2 } , determinar S y T

I o x € A u B, hipótesis 2°

xe A

a

x e B,

Desarrollo I o def. de unión S n T = {1,3} =>

3o como A c C => x e A => x e C, 4o B c D

def. de contenido S - T = {2}

x e B => x e D , def. de contenido de 3o y 4o en 2°

5°

x s C v x e D,

6o

x e C u D, 5o def. de unión

T

xeAuB

=> x e C u D ,

8o A u B c C u D ,

=*■

le S

a

le T

3e 5

a

3er

2eS

a

2íT

S = {1,2,3}, T = {1,3,4} 12)

Si A n B í ( ( i y B n C í f ¿Es necesariamente cierto que A n B n C í <¡>?

I o y 6o


por lo tanto se verifica que A u B c C u D

Desarrollo No es cierto puesto que si A = {1,2,3,4,5}, B = {1}, C ~ {2} se tiene que A n B n C ■ pero A n B * ( ) i , A n C / é

Eduardo Espinoza Ramos

Introducción

9

Si U es un conjunto universal, determinar cuales de los siguientes enunciados y luego R' = {u,v,z}

efectué su conexión cambiando ei segundo miembro de la ecuación.

T' = {y,z) S'^{x,y,z]

a)

B u <¡) = B

b)

C nU = C

c)

A kj A' = U

d)

B uU =U

e)

D n <¡>= <|>

f)

Ar\A' = A

g)

B n B = ([)

h)

C!uC = C

i)

(D')' = U

j)

(A - C) u C = A - C

k)

Bn(B-D) = B uD

1)

Si A = B' => B = A'\

n)

(AuD)-D = A-D

R ' n T ' n S ' = {z] b)

(R '-T )vS Desarrollo R - S = {w,x,y} - {u,v,w} = {x,y}

m) ( C - D ' ) = C ' - D '

( R - S ) n T = {x,y} n {u,v,w,x} = {x} Desarrollo c)

R ’~{u,v,z}

a)

verdadera

b)

verdadera

c)

verdadera

d)

verdadera

e)

verdadera

f)

A n A ' = (j>

R={w, x, y} => R ' - { u , v , z ]

g)

B nB = B

h)

verdadera

i)

(D ')'= D

R ' - T = {m,v,z}-{k,v,w,z} = {z}

j)

(A - C) u C = A u Ck)

B n (B - D) = B - D

1)

verdadera

( S ’- r ) u S = {z}u{M, v, w} = {U, V, w, z}

m) ( C - D ) ' = C 'u Z ) n)

Desarrollo

verdadera

d)

(R 'u sy Desarrollo

Si A = {e,f,g} y N = {e,h J determine (R' kj S')' = R''r\S" = R r i S = (w, x , y } n [ u , v , w ) = {w} a)

A -B

b)

B -A

c)

A nB

d)

A uB e)

Desarrollo

Desarrollo

a)A - B = {e,f,g} - {e,h} = {f,g}

b)

B - A = {e,h} - {e,f,g} = (hj

c)

d)

A u B = {e,f,g} u {e,h} = {e,f,g,h)

Si

A n B = {e} R = { w , x, y}, S = {u, v, w} y

S = {u,v, w,x] T = {u,v, w}

S u T = {x,u,v,w}

(S u T) - T ' = {x,u, v, w}- fx, y, z} = {u, v, M'} = T

T = {u, v, w, x} y el conjunto universal de

U = {u,v,w,x,y,z}, Determine. a)

(S( j T ) - T '

(5 u I) -r =J

R 'nT 'nS' Desarrollo

f)

(R-T)-(S-R) Desarrollo

Eduardo Espinosa Ramos R = [w,x,y] 1 = {U,V,W,X} S = {u, v , w\

g)

Introducción

11

Se define:f = {(x,y) e A x B / y

=> R _ T = {w,x,y} - {u,v,w,x} = {y}

=» S - R = {u,.v}

D f ~ {xe A! 3 y e B a

(x ,y )e / } , dominio de f

Rf

( x , y ) e / } , rango de f

8/ 3 xe A a

(R - T) - (S - R) = {y} —{u,v} = {y}

[*4.____ P R O B L E M A S .-

(S - R) - [(T - R) u (T - S)]

(T )

Para cada una de las siguientes relaciones, establezca el dominio y el contradominio e indique si la relación es una función.

Desarrollo

a)

T - R = {u,v\w,x} - {w,x,y} = {u,v}

S = (1,3).(2,3),(2,4),(3,2),(4,1),(5.5) Desarrollo

T - S = {u,v,w,x} - {u,v,w} = {x}

Calculando el dominio y el contradominio de D

(T - R) u (T - S) = {u,v} u {x} = {u,v,x}

h)

= f(x)}, donde y = f(x)es la regla de correspondencia.

S ~ R = {u,v,w} - {w,x,y} = {u,v}

D¡¡ = {1,2,3,4,5}, Rs = {1,2,3,4,5}

(S - R) - [(T - R) u (T - S)] = {u,v} - {u,v,x} = ó

(2,3) e S

a

(2,4) e S

=*3*4

no es función, porque el elemento 2 del

(T-R)uS Desarrollo

dominio

le

corresponde

dos

valores

diferentes, pero para que sea función a cada

T - R = {u,v,w,x} - {w,x,y} = {u,v}

elemento de su dominio debe corresponderle ( T - R ) u S = {u,v} u {u,v,w} = {u,v,w} = S Si A n B = y A' - C

¿Se verifica necesariamente que B c C? Desarrollo

uno solo del contradominio. b)

A ={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3)} Desarrollo

No se cumple, puesto que si U = Z + y A = {x / x es par}, B = {: / x es impar}

Calculando el dominio y el contradominio de A

entonces A' = C = [ x ! x es impar) por lo tanto B = C Da ={ 1,2,3,4}, RA = {3}

RELACIONES Y FUNCIONES.R es una relación entre A y B

Si es función porque cada elemento de su dominio le corresponde un solo elemento del

<=> R c A x B

La función f de A en B denotado por f: A

B

Eduardo Espinoza Ramos c)

' T = { ( x , y ) / y = 4x + l, si 0 < x < 2 , y = \ . 0 - x 2, si 2 < o < 3 } Y1

13

introducción b)

y =x Desarrollo

Desarrollo y = 4x + 1, 0 < x < 2, es un segmento de recta.

Si es función, porque la recta vertical corta a

y = 10 - x2 , 2 < x < 3, es una porción de la parábola ^¡ d)

^

X

la gráfica en un solo punto.

Dt = [0,3], Rr = fl, 9]. Si T es una función

B = {(x, y ) / y 2 = x, y es un entero ¡ y |< 8 } Desarrollo

Desarrollo Como | y | < 8 => -8 < y < 8 de donde

No es función por ia recta vertical corta a la R b ={0,±1,±2,±3,±4,±5,± 6 ,±7,± 8 } y

gráfica en dos puntos, para que sea función la, recta vertical debe cortar a la gráfica en un

D b ={0,1,4,9,16,25,36,49,64}

solo punto. no es función, porque a cada elemento del dominio le corresponde dos elementos del rango. Desarrollo

Para cada una de las expresiones siguientes, determine si es una función el conjunto {(x,y)} de pares ordenados de números reales formados de acuerdo con la regla dada.

jr2 + y = l => x2 = - ( y - l ) Desarrollo

Si es una función, porque la recta vertical corta a la gráfica en un solo punto

No es función porque la recta vertical corta a la grafica en dos puntos diferentes, para que sea función la recta vertical debe cortar en un solo punto.

e)

x + y 2 =1 Desarrollo

Introducción

15


x + y 2 =\ => y 2 = - ( x - l )

Si es una función porque la recta vertical corta a la gráfica en un solo pumo.

no es una función, porque la recta vertical corta a la gráfica en dos puntos diferentes.

i) f)

g)

ti)

x-l Desarrollo

x2 + y 2 = 1 Desarrollo

x 2 +4 , 5 y —-----— = X + 1+ x -1 X-l si es una función, porque la recta vertical corta a la gráfica es un solo punto.

j) j’ = .r2 +4

y=

x2- 6 Desarrollo

Desarrollo

y = x 2 +4 => x2 = y - 4 Se observa en el gráfico que si es una función Si es una función, porque la recta vertical,

porque toda recta vertical corta la gráfica en

corta a la gráfica en un solo punto.

un solo punto.

xy = 1 Desarrollo


k)

jc =

-

Introducción

17

_1____ ( 4)

y2- y + 2

Si f ( x ) =

X-~i

, obtenga:

Desarrollo a)

f(3)

b)

f(-l)

c)

f(x - 2)

d)

f(a - b)

d)

f(x + 2 )

Desarrollo No es una función, porque la recta vertical corta a la gráfica en dos puntos diferentes.

, 3x2 ~8 . 2 7 -8 f ( x ) = ------ — => /(3 ) = x-l 3 -1

19 2

3 -8 -

X=

5

1-1

f { x - 2) =

r+2

2

3(x-2)2-8

3* 2 -12;r + 4

jc —2 —1

x-3

Desarrollo a-b- 1

determine

No es función, porque la recta vertical corta a la gráfica en dos puntos diferentes. a)

f(-l)

b)

f(4) Desarrollo

a)

f(0 )

b)

f(-2 ) Desarrollo

Como f ( x ) = x 3 - x 2 +6

=> f(0) = 0 - 0 + 6 = 6 f(-2) = -8 - 4 + 6 = -6 / ( a ) = a3 - a 2 + 6 f ( y 2) = y 6 ~ y 4 +6

c)

f(a)

d)

/(> ’ ) /(4 ):

c)

f ( a 2)

Eduaido Espinoza Ramos

19

Introducción

Si f ( y ) = 2 V+ y , determine 8 ( x ) - ~ ~

x-3

a)

f( 0 )

b)

f(-l)

c)

f(5 )

d)

=>

f(y + 6 )

í(0) = ~ r

0 -3

= 0

3 3 g(3) = ----- = - = oo 3 -3 0

Desarrollo f { y ) = 2y + y => /(O ) = 2° + 0 = 1

* (-) y (—i ) = 2 - 1 - i = i - i = 2

2

g(x+b) =

/( 5 ) = 2 5 + 5 = 32 + 5 = 37

Si f ( x ) = 3 x - x 2 , obtenga

f(D

a)

b)

f(-2 )

x +b - 3

Si h(x) = 4 x - x \ obtenga

/(>> + 6 ) = 2 >”mS+ v + 6

a)

x+b

c)

h(2) - h(4)

b)

h{-).h{2)

c)

h(a + b )- h ( c )

d)

h(a)

Desarrollo

f(a) h(x) = 4 x - x 2 ==>

Desarrollo

n => b(2) - h(4) = 4 - 0 = 4 h{ 4) = 1 6-16 = 0

f ( x ) = 3 x - x 2 => f(l) = 3 - 1 = 2 h(—) = 2 - —= — , , l w ... 7 2 4 4 =* fc(—)ii(2) = —.4 = 7 /j(2) = 8 - 4 = 4

f(-2) = -6 - 4 = -10 f(a) = 3 a -a 2 J

V

3

j/i(a + ¿>) = 4(a + ¿>)-(a + fc)2

A A2

h(a + b) - h(c) = (a + b)(4 - a - b) - c(4 -- c

I /j( c) = 4c - c 2

1 = 3fc-l h2

fc(a) = 4a - a 1 = a(4 - a) X Si g( x) = ------, determine x-3

a > 8(0)

... 1 2,a \2 1+ ü5(4 —a)3 + (/i(a ))'= — ---- - + a ( 4 - a ) = fl(4 -a ) a(4 -o ) A(fl) 1

b)

g(3) Desarrollo

c)

* (-) x

d)

g(x + 6 ) (To)

Establezca el dominio y el contradominio de cada una de las siguientes relaciones, determinar también si cada relación es una función y de no ser así, explique porqué.


y = x2 + 6

21

Introducción

d)

y= -^4-2x2

Desarrollo

Desarrollo

2 » y = x + 6 ; “y” es real si y solo si x € R, por lo tanto el dominio es V x e R

“y” es real si y solo si 4 - 2 x 2 > 0 => x 2 <2 => - ^[ 2 < x < y ¡ 2

y = x 2 + 6 =» x 2 = y - 6

Luego su dominio es f—s/2, \ Í2]

=> x = t ^ y - 6

“x” es real si y solo si y - 6 > 0

2

y>6 como y < 0 => y 2 = 4 - 2 x 2 => \ 2 = —

=> 4 - y 2 ¿ 0

por lo tanto el contradominio es [6 ,+=«> >)

y 2 < 4 => - 2 < y < 2 = > y e [-2 ,2 ]

y = 10x-5 Desarrollo

por lo tanto el rango es <-°°,0 ] n [-2 ,2 ] = [-2 ,0 ]

y = lOx - 5 es una función lineal, por lo tanto su dominio y el rango son todos los

además y = - v 4 - 2x2 es una función

números reales. e) :)

y=^±^4-2x2

y = y¡4 - 2x~ Desarrollo

Desarrollo “y” es real si y solo si 4 - 2x2 > 0 => x2 < 2 => -V 2 < x < y [ Í

“y” es real si y solo si 4 - 2 x 2 > 0 => x2 <2 => —j l < x < \ ¡ 2 Luego el dominio es x e [-\¡2,\¡2]

Luego el dominio es [ - 7 2 ,\Í2] Como y > 0 => y 2 = 4 - 2x 2 => x 2 =

4- y

y = ± s ¡ 4 - 2 x 2 ==> y 2 = 4 - 2 x 2 => 2x2 = - 4 - y 2

4- y 2 ¡4-y2 x = ---- -— => x = ± J --------, entonces 2 V 2 2

4 —v 2 o “x” es real si y solo si — ^ — > 0 => y < 4 => -2 < y < 2 Luego el rango es y e [0,+=®> n [-2,2] = [0,2]

4 —y ' 7 “x” es real si ---- — > 0 => y <4 => -2 S y < 2 2

Por lo tanto el contradominio es [-2,2] No es función porque cada valor de x le corresponde dos valores diferentes.

.adem ás y = \ ¡ 4 - 2 x 2 es función

4-y2

Eduardo Espinoza Kamos

Introducción

23

Desarrollo /(7 )-í(3 ) =

9

, .

1

28 3

13 9

8 4 -1 3 71 9 "” 9

V = -------- es reai si x ¿ — ' 1 0 x -5 2

luego el dominio de la función es x e <

2

b)

> u <--,+«> >

2

9 1 1 0 x -5 . . J 5y + 9 , 5y + 9 y ---------- -•> — = ----------- de donde x = —-----. luego x = -------- es real si y IOjc—5 .y 9 lOy lOy solo si y & 0 , luego el rango de la función es y , g)

f(x) =— - x 3

f ( 3) = 3 - 3 = 0

t2 +4 g(t)~ 3t

* ( 2) = -

/( 3 ) * (2) + l

e < - ° ° ,0 > u < 0 ,+ < » >

4+4
8_ 4

6

3

00 4 +1

7

3

25 y=~r

x2- l Si q(x) = p(x) + g(x) y p(x) = —-— , g(x) = - y , obtenga q(2)

x

Desarrollo Desarrollo y =“

, es real si y solo si x * 0

x

^ 4 - 7 7 -1 2 + 21 9 3 q(2)= p(2) + q(2) = ----------+ - = ------------------ = — = 3 4 12 12 4

luego el dominio de la función es x e <-<*>,0 > u <0 ,+°°> (l3 )

25 i25 es real, si■ — 25 >0 y -— T => x = o. ±.¡—

Si h(x) = x 2 y Q(x) -

( jc 2

+1) 1 , determine Q(h(x)) Desarrollo

Luego el rango de la función es y e <0,+<»> Q(x) = (x2 + 1)"1 => Q(h(x)) = (h2(x )+l )- 1 = ( x 3 + l T l -

„2

t2 + 4 Si / ( * ) = -Y ~ x y g(t) = - — , obtenga (l4 ) a)

f(7) - g(3)

b)

/(3 ) Desarrollo

* ( 2) + l QMy))-.= Q(ey) ^ e 2>+4

Desarrollo

a) g(0-

t 2 +4 “3T

/( 7 ) = — - 7 = — 3 3 9 + 4 _ 13 *( 3) = 3(3) ” 9

Si h(y) = ey y Q(x) = x 2 + 4 , encuentre Q(h(y)).

flí)

Si h(x) = x* +3x+6 v g(y) = —— , determine g(h(2)). 1+ y Desarrollo

3

x 3 +1


/i(2) = 23 +3(2) + 6 = 8 + 6 + 6 = 20

S(A(2 )) = g ( 20 ) =

20

20

1+ 20

21

Introducción

(20) ^

25

Si &(.*) = —ln.r y g(x) = e2x, obtenga h(g(10)) 5 Desarrollo g(x) = e2x =* g( 10) = e 20

Si f ( x ) = \ , a:

g(x) = x 2 y Q(x) = x >- 1 0 , halle Q[f(-2) + g(2)] /i(«( 10)) = /i(c20) = | l n e 20 = ~ ln (e ).20 = 16

h(g( 10)) = 16

Desarrollo

/ ( * ) = “T x

[ 5.

=> U ( 2 ) = 22 = 4

g(*) = X2

A la inversa de la función f(x) denotaremos por / “*( x ) .

G [/(-2 ) + g(2)] = G (-l + 4) = (2(3) = 33 - 1 0 = 2 7 -1 0 = 17 g (0 = r + 3

FUNCIONES INVERSAS.-

La función f(x) tiene inversa f ~ l ( a ) si f(x) es inyectiva. La función inversa f ~ l (x) se calcula mediante la ecuación.

y Q{t) = t~x, determine Q(g(t)) Desarrollo

GÍSÍO) = Q(t2 + 3) = (t2 + 3)-‘ =

V x e Df ,

r +3

Si f ( t ) = t 3 +a y g(x) = x~3, obtenga g(f(t))

PROBLEMAS.-

(T )

Para cada una de las siguientes expresiones, determine si la relación inversa es una función; si no es así, modifique el dominio de la función dada, de modo que su inversa sea una función.

Desarrollo g (/(f)) = g(r 3 + a ) = (í 3 + a ) 3 =

16-

a)

{( a , y ) / y = Je2 +1}

Desarrollo

(í3+ a )3

Como y = x 2 +1, de donde x = ± J l - y , esta relación no es una función, luego Si f ( t ) = e' +2, h(t) = eh2‘ y g(y) = / ‘ encuentre

para que la inversa de esta relación sea función debe ocurrir que x > 0 , por lo tanto x =
Desarrollo 8 ( f ( t ) ) _ g(e'+2) _ (e'+2)h _ e,+2 h> h{t)

h(t)

e »2'

e'

2

= 2hr

b)

es una función y es dado por f ~ x(x) - - J i - x

{(x,y) l y = 4 - x 2} Desarrollo


27

Introducción

( 'orno y = 4 - x 2 => x 2 = 4 - y => x = ±y¡4- y , esta relación no es una función,

r x( / (

= r l( 3 x + 2 ) = = x

por lo tanto para que esta relación inversa sea función debe cumplir que x > 0 / _1W = V 4 -x c)

[(w,z)l z = y j l - w 2 }

b)

X x-4

/(x )

Desarrollo

Desarrollo

Como z = y ] l - w 2 , z > 0 => z 2 = l - w 2 , de donde

r - 1/ = * => r \ x ) = x f - \ x ) - 4 x

/ ( / ~ 1(x))= r w

w2 = i - z 2 =¡> W= ± J 7 : ~z 2 esta relación no es función por lo tanto para que se función 0 < w < 1. d)

r\z)= J

- 4

( x - 1 ) / '(x ) = 4 x, de donde f ~ ' (x) =

x-l

{(u,v) / v —| u |} I

Desarrollo

4x

Graficando la relación y de su inversa

4x y _1

4x r —1

A - ]

c)

/(* ) =

4x

x - l

x —2 jjc+ 2 Desarrollo

/ ( / 1(*)) = - , (x) 2 = * => / 1(* )- 2 - x f 1(x) + 2 x f (x)+2 Luego para que sea función u > 0

(1 —x) f

,

(x) = 2 x + 2 . de donde /

Para cada una de las funciones, obtenga la función inversa / - 1(x) y demuestre que

2x + 2

2

i

2x + 2 (•*) = -------1- x 2 x + 2 - 2 + 2x

/ ( / " * ( * ) ) = /■ *(/(*))= ■ * a)

Jf(U/ - 1(x)) W ) = J/ •i ( — — )) = 2x + 2------= ------- —2 x +------= 2 + 2 -— 2 x :4 --------+ 2 ------------------1- x 1- x

f(x) = 3x + 2 Desarrollo / ( / '(•*)) = 3/ _1 (jc) + 2 => / “»(,)

d)

/(x ) =

x +3


29

Introducción

Desarrollo * ( /(jc)) = __Z Í£L = 4 ,- x .. = ____*____= _ J L _ / ( x ) - 4 _ x __ ^ x - 1 6 + 4x 5 x -1 6 4 -x

/ ( / " '( * ) ) = "■■(.*) + 3 = x => y -1 (JC)+3 = jc'/ -1 (JC) / - ' ( x)

(x - l) /

v (x) = 3, de donde /, - 1,(x):

c)

3

f ( x ) = g(x) = ^ \

x-l

jc-1

Desarrollo 3 / < / " ' (*)) = f ( ~ ) = JC—1

3 + 3 x -3

_3^ x -1

3 x -1

=— =X 3

/(g W ) „ £ Í í i Ü = ¡ 3 Ü . i í H i J . í(*)-l í +1 „ 1 J c + l - x + l 2 x-l

Determine f(g(x» y g(f(x» en cada uno de los siguientes casos:

a)

,

x+1 r , frrVl _ / ( * ) + ! _ 7 -1 + _ x + l + x - l _ 2x _ f i x ) - 1 X+1 t JC+ 1-JC+1 2 x -l

f ( x ) = - i - y g(x) = * Jc -l x2 - l Desarrollo d) /(* (* )) =

g(/(t))_

= ---- Y -----= - X2 - 1 «W -l x x2 - x 2 +l x2 - l

r(x)

(x -1 )2

_

Desarrollo

c+ 1

(x -i)2 _ ( x - i ) 111 -(X -1 )22 x - x

/ (JC)-1 (x-D 2

b)

/(x )=

/ ( x) - V Í = Í . #(*) = —^ x+1

— y g(x) = - 4 — 4 —x x —4 Desarrollo

* (/(* )) =

( 4)

Si

1

1

yfx-í-l

f ( x ) +1

>/x—1 + 1

x -2

/ ( x ) = ~ “ ~ > hallar los valores de a y b de modo que f sea su propia inversa, es

decir f(f(x)) = x Desarrollo

x /(* (* )) =

^~4 =— -------------------- = — — 4 -# (x ) 4 _ _ f _ - 16 + 4 x - x 3 x -1 6 x -4

f ( f (x)) = - = x , entonces se tiene: fc /( x )-l


Introducción 3*1

a.t + 1 a —— + ^ ^ ^

g(ax + ¥) + b x - l = ^

Cz)

b{ax+\)-bx +\

Si / ( a ) = 1 , demuestre que f ( x + h ) - f ( x ) - ~ d l x 2 +hx

bx-\

Desarrollo

a x + a + b x - l = x(abx + b - b x + l) => ( a b - b ) x " + ( b + \ - a - b ) x + l - a = 0

f ( x + h ) - f ( x ) = i ___ x - x - h x + h X x(x + h)

(ab - b)x2 + ( l - a 2)x + l - a = 0 , por identidad se tiene: ©

ab-b-0 i - a 2 = 1 de donde 1- a = 0

S. g( y ) _ _ i _ , demuestre Alla que ~^( g ( y ) + g ( _ y)) = g( y 2)

a =1 Desarrollo T ( g W + ^ (-y )) = - r - ^ . + -ZjL 1 - l [ 3' + y 2 - y + y 2 J 2 ' d w " 2 ll - 3; l1+ j J “ ^2 l l - ^0 b)

g(F(t))

F(g(t»

0 g(F(t)) = F(t).en,) como F(t) = - ±

f = g ( y 2)

••• ¿(sO O + * (-? )) = ¿(y2)

Desarrollo

a)

~x 2 +hx

b =0

1 v Si g(h) = h.eh y F (—) = —-— , obtenga > y +1 a)

h

Si F(z) = log(z) demuestre que F(xy) = F(x) + F(y)

1 Desarrollo

g(F(t)) =

F(xy) = log(xy) = log x + log y = F(x) + F(y)

J+r

©

)

F(xy) = F(x) + F(y)

t2 + 1

g\t)

1

_JL + i g 2(t)

i + s 2w

Si 4>(R) = 2 r , Demuestre que <}>(R+ 1) = 2 (¡>(R)

1

Desarrollo

2 }

1+ te‘

H R ) = 2* ^

H R + \) = 2R+' =2.2« =Kt>{R)

(R + 1) = 2 <()(R)

Si f(x) = x(x + 1) demuestre que f(x + h) - f(x) = h(2x + 1 + h) Desarrollo f ( x + h ) - f ( x ) = (jc + /i)(jk + /i + 1 ) - j c ( j c + 1) = x 2 + x h + x + xh + h2 + h - x 2 - x

= 2xh + h2 +h = h(2x + l + h)

0 ■)

Si P(x) = 7 1 , Demuestre que: P(x + h ) ~ P ( x ) =

h

'Jx + h +y/x Desarrollo


P(x + h ) - P ( x ) =

33

Introducción Si f ( x ) = x", Demuestre que: f(x - h) - f(x) = f(h) - 2hx

l(>)

k \fx + h + \fx

Desarrollo Si f ( x ) = x 2 -1 y g(x) = 2x + 1, Demuestre que f(g(x)) = 4x(x + 1) f ( x - h ) - f { x ) = ( x - h ) 2 - x 2 = x 2 ~ 2 h x + h 2 - x 2 = h2 - 2 h x = f ( h ) - 2 h x Desarrollo f(x-h)-f(x) =m - 2 h x /(* (* )) = f ( 2 x +1) = (2x + 1)2 -1 = 4x2 + 4 x + l - l = 4x(x +1) I I I (¡7) Si h(x) = x 3 , g(x) = (x9 + x6)2 , Q(x) = ,r(x + l )2 . Demuestre que: g(h(x)) = Q(x)

f(g(x)) = 4 x ( x + 1)

Desarrollo

Si f ( x ) = —— , demuestre que f ( x ) + f ( ~ x ) = 2 f ( - x 2) 1+ x

I I I g(/i(jt)) = (/i9 (A-) + /i6 (;r))2 = (* 3 +jc2) 2 = ;c(je + 1)2 = Q(x)

Desarrollo / « + /< - * ) =

l +x

l-x

l-x2

=^ = 2 f ( _x2) 1-x2

18)Si / (y) = —- — y g(>’) = 7-Lj- , Demuestre que f ( y ) - g ( y ) = 2 / ( y ) ■s l-y 1+ y Desarrollo

f ( x ) + f ( - x ) = 2 f ( - x 2)

/w -8

Si g(y) = y 2 y h(y) = —^— , Demuestre que h( y2) = l-y l-g(y)

•••

Desarrollo 2

19) g(y) l-g (y )

' ~ yl _ y2

-

/.( y V

••• g(h(x)) = Q(x)

*<» l-g(y)

l-y

1+ y

^ -l - yy - ? -

l-y

f ( y ) - g ( y ) = 2 f ( y 2)

1 v2 jf(.y) 1 Si f ( y ) = -------• y g(y) = - J ~ ^ ; , Demuestre que: f ( y ) + g ( y ) + - —- - = —— 1+ y 1+ y /(y) /(y)

Desarrollo

l-y y2 p(y) 1 y 2 1+ y^ 1+ y 2 2 / 0 ' ) + á ? ( j 0 + 4 r r = - — t + t 2L t + - t - = — 2 T + y 2 = i + y f ( y ) 1+ y 2 1+ y 2 __i 1+ y 2 ’ 1+ y 2

2 3 Si Q(x) = ln x y f ( x ) = x 2 , Demuestre que Q ( f ( x ) ) = —Q(x) Desarrollo 3

Q(f(x)) = H f ( x ) ) = ln(x2) = ~ l n x = l Q ( x )

G (/(jc)) = |q ( j c )

•••

/(y )+ s(y )+

s(y ) /(y )

i /(y )

-i

21

1 1/ ( y )

1+ y 2


Si /(Jt) = í i | , x —2

JC

Representación Gráfica

35

CAPITULO I

y K x ) = y—^ • Demuestre que: /(* (* )) = - ~ ~ t l+x Kn(x>) Desarrollo

,, , f8

1+ -V2 ' _ g(-*) + 2 _ jc + 2 _ x 2 + 2 x + l_ (x + l)~ _ 1...............\__ g( x ) - 2 l + x 2 . * 2 - 2 ;c + l (jc - 1)2 (£ z !)2 /i2W — " 2 l *+l'

1

11

REPRESENTACIÓN GRÁFICA.-

11.1.

LA RECTA.-

2

m = pendiente de la recta

Si f(x) = x - 1 v g(x) = ----- . Demuestre que f ( x )g(x) = / ( x ) x+l

m = tgd = —— —

Desarrollo

x2 ~ xi

/ ( j t 2)* 0 0 = (jt2 - l ) ( — ) = x - l = / ( * ) x +\ Si / ( y) = - ^ - , 1 +y

.

g(y) = — — . Demuestre que f ( y ) g ( y ) = / ( - y 2) l-y

f ( x 2)g(x) = f ( x )

1.2.

LINEAS PARALELAS Y PERPENDICIJLARES.-

1.3.

ECUACION GENERAL DE LA RECTA.-

Desarrollo

n y ) g ( y ) = ~ ( ^ ) = ^ ~ r = n - y 2)

l

+ y 1- y l + ( - y ¿)

/ ( ? ) * ( ? ) = / ( - y 2)

L: Ax + By + C = 0


37

lrcsentación Gráfica PROBLEMAS.-

ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. (T )

a)

¿.Cuales de los siguientes puntos quedan en la recta cuya ecuación es 3x+4y- 10 = 0?

i)

(1,2)

L: y ~ yi = y2 >!| ( x - x x) x2 - x ,

ü)

(-2,4)

iii) (10,-5)

iv) (-25,21)

v)

(0,0)

Desarrollo i)

Si (1,2) e L: 3x + 4 y - 10 = 0 => 3 + 8 - 1 0 = 1 * 0

=> (1,2) <£ L

ii) Si (-2,4) 6 L: 3x + 4 y - 10 = 0 =» - 6 + 1 6 - 1 0 = 0 => (-2,4) e L

ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA PUNTO PENDIENTE.-

iii) Si (10,-5) e L: 3x + 4 y - 10 = 0 => 3 0 - 2 0 - 10 = 0 => (10,-5) e L iv) Si (-25,21) e L: 3x + 4y - 10 = 0 => -75 + 84 - 10 = -1 * 0 => (-25,21) g L

L- y - y 0 = m( x - x 0)

v) Si (0,0) e L : 3x + 4y - 10 = 0 => 3(0) + 4(0) - 10 = -10 * 0 => (0,0) e

ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA PENDIENTE INTERSECCIÓN.-

b)

L

Trazar la recta indicando cuales de los puntos dados quedan sobre ella

L: y = mx + b

Desarrollo

ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA - INTERSECCIÓN.-

FAMILIA DE RECTAS.© A) RECTAS QUE PASAN POR LA INTERSECCION DE DOS RECTAS DADAS.-

Para cada una de las ecuaciones siguientes realice lo que se indica. i)

Graficarla usando las intersecciones.

L, : Axx + Bxy + Cx = 0

ii)

Expresarla en la forana de pendiente e intercepción.

¿2 : A¿x+B2y + C2 = 0

iii) Expresaría en la forma con intersecciones, esta forma es inadecuada para cada una de las ecuaciones ¿Cual es y porquE?

L: \ x + B xy + C{ +k(A1x + B 2y + C2) = Q a) L: (A¡ +kA2)x + (Bl +B2k ) y + C ] +kC2 = 0

y - 3 x = 12 Desarrollo


luprcsentación Gráfica

i)

39

x y como 2y + 3x + 2 = 0 entonces L : ——+ — = 1 3 2 _l x

y

0

12

-4

0

c)

5x - y = 10 Desarrollo i)

ii)

La forma pendiente e intersección con el eje Y es: L: y = mx + b como y - 3x = 12, entonces y = 3x + 12

X y iii) La forma con intersecciones es: L: —+ — = 1 a b x y como y - 3x = 12 => 3 x - y = -12, de donde L : -----H— = 1 -4 12 b)

-i 2

~3

-10

2

0

x y iii) Expresaremos en la forma L : —+ —= 1 a b

Y

0

0

como 5 x - - y = 1 0 entonces L: y = 5 x - 1 0 Desarrollo

y

y

ii) Expresaremos en la forma L: y = mx + b

2y + 3x + 2 = 0

X

X

x y como 5 x - y = 10, entonces y = 5 x - 1 0 => L: —h— - l

2y + 3x + 2 = 0

*

0

0

d)

x - 3y = 0

X

2 \

3 \

Desarrollo

-1 \

ii) La forma pendiente e intersección L: y = mx + b como 2y + 3x + 2 = 0, entonces L : y = ——jc —1 x y iii) La forma con intersecciones es: L: —+ — = 1 a b

3

X

y

0

0

3

i

2

10


41

Kc¡>resentación Gráfica Para cada uno de ios siguientes pares de puntos realice lo que se pide:

li) Expresaremos en la forma L: y = mx + b como x - 3y = 0 => y = - x + 0

i)

Obtener la pendiente de la recta que pasa por ellos.

ii)

Encontrar la ecuación empleando pendiente.

iii) Determinar la ecuación sin usar la pendiente. ¡ii) Expresaremos en la forma. forma, porque: a)

L : —+ ~ = l

no se puede expresar en dicha

x y L : —+ — = 0 * 1

iv)

Trazar la recta

a)

(0,0) y (6,3) Desarrollo

¿Cuales de los siguientes puntos quedan en la recta x - 5y + 4 = 0? i)

(0,0)

iv) (3,2)

¡i) (4,0)

ni) (1,1)

v,

*¡) (-1.5)

(OÍ)

i,

m = h z2 ¡.. M . 2 . I x2 - x x 6 - 0 6 2

ii) L : y - >’0 = m(x - x 0) reemplazando se tiene: Desarrollo (0,0) í L:

x - 5y + 4 = 0, porque 0 + 4 * 0

(4.0) e L:

x - 5y + 4 = 0, porque 4 - 0 + 4 * 0

(1.1) e L:

x - 5y + 4 = 0, porque 1 - 5 + 4 = 0

1 x L: y - 0 = —( x - 0 ) entonces L: y = — 2 2

iii) L: y - y (¡ = —— — (x-jcq) reemplazando se tiene: ¿i-*

3 -0 L: y - 0 = ------U - 0 ) =* ■ 6 - 0

(0 ,-) e L: x - 5y + 4 = 0, porque 0 -5 ( ~ ) + 4 = 0 5 **

L: y = -

iv) (-1,5) í L: x - 5 y + 4 = 0, porque - 1 - 5 ( 5 ) + 4 * 0 b)

Trace la recta indicando cuales de los puntos anteriores quedan sobre ella.

Y '1 1 —

i

L: x - 5y +4 = 0

I b)

( j . 0 ) y ( 0, f )

Desarrollo

x 2


Kt presentación Gráfica

43

iv) —o i)

m■

Y

15

•^r ii >.

4 ii) L : y - >i0 = m(x - x 0 ) , reemplazando se tiene:

‘

0

X

5 3 ^ 5 L: y — = — (jc-0 ) =* L: y = - - . r + 2 4 4 2 d)

(3,-2) y (3,5)

iii) í - : y - y0 = —— — (x - jc0 ) , reemplazando se tiene:

Desarrollo

5 3 3 5 L : y — = — ( x - 0 ) entonces L: y ~ — jc+4 2 2 4

0

iv)

, „ = 2 i z í = _5j ± ? ) , Z = „ 3-3 0

=» m = _

ii) L : y - >'0 = m(x - .t0) , al reemplazar se tiene: v+ 2 L: y + 2 = °°(x - 3) => L : —-----= «> entonces L: x - 3 = 0 x -3

C)

(-7,4) y (8,4) Desarrollo i)

m=

=

8 - (—7)

15

= o => m = 0 e)

ii) L : y - y0 = m(x ~ x ()) , reemplazando se tiene:

(-1,-2) y (4,1) Desarrollo

L: y - 0 = 0(x - 8 ) entonces L: y = 4 iii) L : y - y 0 = —— — (x - x0 ) , al reemplazar se tiene: xi-xo ii) L : y - y0 = m ( x - x 0) , al reemplazar se tiene: y + 2 = —( * - 4 ) L: y - 4 = 0 ( x - 8 ) entonces L: y = 4

Eduardo Espinoza Ramo

45

lUpresentación Gráfica 7 - (-3) 10 5 5 Luego m, = -- = — = — => m, = — 1 3 —(—1) 4 2 '2

iv)

1=— 2 Como Lr 1, Zr1 entonces m.ml = ~ 1, => m = ----/«, 5 Luego: L : y - y0 = m(x - ^ ) al reemplazar sus dalos se tiene.

2

L: y + 2 = - —( x - 3 ) entonces L: 2x + 5y + 4 = 0 (Vy f)

(-2,-3) y (-5,-6)

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,3) y es paralela a la que

pasa

por los puntos (0,-3) y (6,1). Desarrollo

Desarrollo Sea L la recta pedida que pasa por el punto (4,3) es decir: L: y - 3 = m(x - 4) ... (1)

^-■ *0

~5 ~ (-2 )

-3 Y L[ la recta que pasa por los puntos (0,-3) y (6,1)

ii) L: y - y 0 = mix - x0 ) , al reemplazar se tiene: . . donde L: y + 3 = l ( x + 2) => L : x + y = l

1- (—3) tru = -----------= —= — n 6 -0 6 3

4 22 . . w, = — 1 3

2

iv)

Como I¡ IIL entonces my = ni de donde m = — que reemplazando en (1) se tiene: 2

L : y - 3 = —(x - 4 ), efectuando se obtiene ( 7)

L: 2x • 3y + 1 = 0

Establezca la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,15) y es paralela a y = x

+25

¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene dicha recta con la que pasa por los puntos (6,0) y (-2,8)? Desarrollo Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la que pasa por los puntos (-1,-3) y (3,7).

Sea L la recta pedida que pasa por el punto (5,15) es decir: L: y —15 —m(x - 5) ...(1) Sea I, : y = x + 25 donde m, = 1

Desarrollo Sea L: y+2 = m(x - 3) la recta pedida y L¡ la recta que pasa por los puntos (-1,-3) y (3,7)

como L//Lj entonces m -- m{ - 1

de donde m = l


L: y - 15 = l(x - 5)

L:x-y+10 = 0

la recta que pasa por los puntos (6,0) y (-2,8)

de donde n u = ——— = - 1 n - 2-6

donde la ecuación de la recta

es: L¡ : y - 6 = l(x -5 )

¿2 : y + 6 = -2(jc + 4)

Sea £3 la recta que pasa por el punto (2,2) y de pendiente 3 cuya ecuación es

Luego L¿ : y ~ y 0 = m2( x - x0) de donde se tiene:

¿3 : >’- 2 = 3(.v-2)

L¿: x + y - 6 = 0

como m = l y ;n2 = - l entonces m.rr^ = -1 esto quiere decir que L\ -L L , luego L y

/.j : 3x ~ y - 4 = 0

Sea L la recta pedida de tal manera que: L H L, y que pasa por la intersección de 1^ y

¿2 son rectas perpendiculares.

¿3 aplicando el criterio de familia de rectas:

Establezca la ecuación de la recta con intersección (0,-3) en el eje Y, que es perpendicular

L: 2x + y + 14 + k(3x - y - 4) = 0 de donde se tiene:

a la que pasa por los puntos (-2,-1) y (2,5).

L : L, + kL¡ - 0

..

L: (3k + 2)x + (1 - k)y + 14 - 4k = 0

Desarrollo m=■

3k + 2 l-k

como

LII

Sea L la recta pedida que intersecta al eje Y en (0,-3) es decir: L: y + 3 = m(x - 0)... (1) Y sea L, la recta que pasa por los puntos (-2,-1) y (2,5) de donde n\ = la ecuación de L, es dado por:

5 —(—1) _ 6 _ 3 2 -(-2 ) 4 2 ’

3 Z1 : y - 5 = —( * - 2 ) efectuando L ,: 3 x - 2 y + 4 = 0

3k + 2 , además k- 1 entonces

L L L , entonces 1

m.m¡ = -1

reemplazando en (1) se obtiene:

1

de donde 2

L: y + 3 = - —x

3 —m = ~l entonces 2

2 m = ~ — que ' 3

L: 2x + 3y + 9 = 0

Obtenga la ecuación de la recta que es paralela a la que pasa por los puntos (5,6) y (7,8) y que pasa también por el punto de intersección de una recta o pendiente - 2 y que pasa por

m ~ m¡ por lo tanto

3k + 2 1, obteniéndose u - , --------= k, - — 3 , que fc - 1

2

reemplazando en la ecuación ( 1) se tiene: L: x - y - 8 = 0

Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,1) y es perpendicular a la recta cuya pendiente es

y que pasa por el punto (5 ,2 ). Desarrollo

Sea L la recta pedida que pasa por el punto (—1,1) es decir: L: y - 1 = m(x + 1) ... (1)

el punto (-4,-6) con otra que tiene pendiente 3 y pasa por el punto (2,2). Desarrollo

(1)

: x - y + 1 = 0 de donde w, = 1

L: ( - —+ 2)j: + (l+^-)y + 14 + 4(~) = 0 , efectuando como

Ly : a : - y + 1 = 0

Sea Lj la recta que pasa por el punto (-4,-6) con pendiente -2 cuya ecuación es: m, = - l

¿2 : y - 0 = - 1(jc - 6 )

47

g_ A 9 Si L¡ es la recta que pasa por los puntos (5,6) y (7.8) entonces m, --------= —= 1 , de 7 -5 2

reemplazando el valor de m = 1 en la ecuación ( 1)

Y sea


Si L, es la recta de pendiente - - y pasa por el punto (5,2) cuya ecuación es:


í, : y - 2 = ~ ~ U -5 )

como LXL,

entonces

Representación Gráfica d)

I , : x + 4 y -1 3 = 0

m1.m = - l

1 de donde ~ —m = ~ 1 entonces

m = 4,

|"b)

y-3x-4 =0 Desarrollo ¡¿¡ : 2at- > í + 4 = 0 ím, = 2 Sean <¡ _ _ entonces -i ¿ 2 : 3.v-;y + 4 = 0 ^2 = 3

que

reemplazando en la ecuación ( 1) se obtiene: L: y - 1 = 4(x + 1) por lo tanto

49

como ml ^ m 2 y m¡,m2 * - 1 entonces las rectas Z., y L, se intersectan.

L: 3 x - y + 5 - 0

RECTAS PARALELAS, PERPENÜICIJÍ ARES E INTERSECCIONES.-

e)

2y + x - 6 = 0

Desarrollo PROBLEMAS.í¿, : 2jc-;y + 4 = 0 Sean •{ de donde ¿2 : jc + 2 ) '- 6 = 0

¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene la recta y - 2x - 4 = 0 con cada una de las siguientes? a)

m, = —

2

y- x- 2 =0 Desarrollo

Como m¡.m2 = 2 ( - —) = - l entonces Z1 i. L, (perpendiculares)

fL, : 2 * -;y + 4 = 0 \n\=2 Sean < entonces < [L2 : x - y + 2 = 0 Como mi ^ m 2 y b)

=2

( 2)

¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene la recta 2x - 5y + 6 = O, con cada una de las siguientes rectas?

,m2 * - 1 entonces las rectas se intersectan

a)

l5x + 6 y + 9 = 0 Desarrollo

4y-8x-16 = 0 Desarrollo

ÍL¡: 2*-5;y + 6 = 0 Sean { entonces / 7 : l5x + 6 > + 9 = 0

ÍL¡ : 2 j c - j + 4 = 0 ¡nu = 2 Sean < entonces 1 [¿2 : 8a: - 4 v + 16 = 0 ~2 además L, : 2 jc -y + 4 = 0 y

: 8jc- 4

v + 16 =

«2

0 como

de donde L¡ : 8 x - 4 y + 16 = 0 entonces las rectas L, y L2 son rectas coincidentes, c)

b)

5y - lOx + 1 2 = 0

í¿ 1: 2 ; t- > ' + 4 = 0 fm¡ = 2 Sean < entonces 1 [Lj : 1 0 * -5 ;y -1 2 = 0 [« 2 = 2 es decir que las rectas L, y

2 5 = ( —)(— )= - ! entonces 5 2

± ¿ 2 (perpendiculares)

lOx + 4y + 5 = O Desarrollo

Desarrollo

como m] = m2 entonces L, II

m, =•

í £ ¡ : 2 jc-5 y + 6 = O Sean { ' entonces I 2 : IOjc+4)»+5 = 0 son paralelas

nu


como m,.m2 = (—)(-^-) = -1 entonces L¡ ±


(perpendiculares) í L¡ : 2 x - 5 > , + 6 = 0

Sean { c)

1 ¿2 : 2 x - 5 y + 2 = 0

4 x - lOy + 12 = 0 Desarrollo

entonces

como m, = m, entonces L, H

2 ÍL, : 2 x -5 ) ' + 6 = 0 Sean { entonces {¿ 2 : 4.v-10;y + 12 = 0

51

(3 )

nu - — 1 5

2

(son paralelas)

¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene la recta 3x + 4y - 2 = 0, con cada una de las siguientes rectas?

m, = — - -

a)

15x + 20y - 10 = 0 Desarrollo

Al simplificar la ecuación

I 2 : 2 x - 5 > ’+ 6 = 0 se observar que L¡ y

son

coincidentes. Sean d)

4x - 8 y + 3 = 0 Desarrollo

¡ L ¿ : 15a: + 20 > - 10 --0

5

b)

—

4

L , : 3x + Ay - 2 - 0 entonces las

8x - 6y + 5 = 0

Desarrollo

y mi ^ m 2 entonces i , y L, se intersectan Sean

e)

nu =

rectas /.j y L, son coincidentes.

2 Como m

entonces

como mí = m2 y además L ,: 3 jc + 4 y -2 = 0 , 2

fZ-j : 2 x -5 y + 6 = 0 Sean ^ ' entonces [¿2 : 4x-8> ' + 3 = 0

ÍL ,: 3x + 4 y - 2 = 0

12x-9y + 2 = 0

\ L : 3x+4v-2 =0 < entonces [¿2 : 8x - 6 y + 5 = 0

8 4 nii = —= — 6 3

Desarrollo

ÍI, : 2x-5.y + 6 = 0 Sean < entonces [¿2 : 12jc-9y + 2 = 0

2 5 4 3

Como mx * m2 y m ,.^ * -1 entonces L¡ y f)

2x - 5y + 2 = 0 Desarrollo

3 4 como= ( - —)(—) = -1 entonces lA .L L, (perpendiculares) c)

9x + 12y + 7 = 0 Desarrollo

se intersectan

ÍL : 3x + 4 j - 2 = 0 Sean ■; entonces L j : 9x + 12y + 7 = 0

m\

nu

como m¡ = í«2 entonces L^H L¿ son paralelas

12

Eduardo Espinoza Ramo il)

u I y- 4=0

Mrprasentación Gráfica ii)

53

x 5y - 2 = 0 y x + 5y - 5 = 0

Desarrollo Desarrollo \ L : 3x + 4 y - 2 = 0 Scan < entonces [¿2 : 3 x + y - 4 = 0

m, = —

conio m1 5* m2 y ml.m2 * - 1 , entonces L e)

1 5 a) Como - =

m2 = —3

y L, se intersectan.

so n rectas independientes

1 5 -2 b) Como j = —z — son rectas incompatibles.

6x-15y + 8 = 0 Desarrollo

como m ^ n h

iii)

3x - 9y+12 = 0 y x - 3y + 4 = 0

3 in, = — -

\ L : 3x + 4 y - 2 = 0 Sean ^ entonces I, : 6 x -1 5 y + 8 = 0

f)

-2

nb —-

Desarrollo

6 _ 2

, _ 3 -9 a) Como - =

-15 ~ 5

y W|.m, * —1 , entonces las rectas L, y Z^¡ se intersectan.

12 J — son rectas dependientes.

_ 3 -9 12 o) Como - = — = — son rectas compatibles. 1 -3 4

2x + y - 6 = 0

Desarrollo iv) ÍL : 3x + 4 y - 2 = 0 Sean < entonces [¿2 : 2x + j - 6 = 0

"*= -4

Desarrollo

nh=-2

5 - 4 - 6 a) —*■— — son rectas independientes 4 —5 6

como Wj //Wj y mt .m2 * - 1 => L, y Lj se intersectan

5 -4 b) como —* —

Determine si cada una de los siguientes pares de ecuaciones son: a)

Independientes o dependientes.

i)

2x - 6y + 5 = 0 y 3x - 8y + 3 = 0

a) —* — * - => las rectas son independientes. 3 -8 3 6

son compatibles e independientes.

b) Compatibles o incompatibles.

Desarrollo

2

5x - 4y - 6 = 0 y 4x - 5y + 6 = 0

b) como —* — , las rectas son compatibles e independientes. 3■ 8

Con referencia a los pares de ecuaciones del problema (4). a)

Determine que pares de ecuaciones tienen soluciones simultaneas y obtenga dicha solución.

b)

Graficar los pares de ecuaciones,

i)

2x - 6 y + 5 = 0 y 3x - 8 y + 3 = 0 Desarrollo


( 2 x -6 y +5 = 0 { despejando v: [3 jï-8 y + 3 = 0

a)

2x+5 y = _____ y

Representación Gráfica (í)

55

Si las dos ecuaciones son compatibles e independientes ¿necesariamente tienen solución simultanea única?

3jc -+-3

Desarrollo Si dos rectas son compatibles e independientes, quiere decir que dichas rectas no son

igualando: —

paralelas ni coincidentes por lo tanto sé intersectan en un punto, es decir tiene solución

'•— - de donde 16x + 40 = 18x + 18 entonces2x = 22

simultanea única. x=ll, y - ~ -

Luego P ( ll,^ )

®

Si dos son compatibles y dependientes ¿necesariamente tiene solución simultáneamente? De ser así ¿estas es única? Desarrollo

b)

Si dos rectas son compatibles y dependientes quiere decir: que son rectas coincidentes por lo tanto si tiene solución simultanea pero no es única. ¿Puede ser las rectas de un par incompatibles y dependientes? Desarrollo No puede ser un par de rectas incompatibles y dependientes por las rectas incompatibles son paralelas no tiene solución simultáneamente y las dependientes son rectas coincidentes y tiene infinitas soluciones. ii)

x + 5y - 2 = 0 y x + 5y - 5 = 0 Desarrollo

(!)

Si dos rectas representan rectas perpendiculares ¿son compatibles dichas ecuaciones? ¿son independientes?

Como las rectas x + 5 y - 2 = 0; x + 5y - 5 = 0 son paralelas, no tiene solución

Desarrollo

simultanea. Si son compatibles puesto que si son perpendiculares tiene un punto de intersección. iii) 3x - 9y + 12 = 0 y x - 3 y + 4 = 0 Desarrollo 3x-9;y + 12 = 0 jc -3 y + 4 = 0

de donde

[ jc- 3 v + 4 = 0 x-3y+4 = 0

Si son independientes porque no son paralelas. Representa la familia de rectas paralelas al eje X y exprese la ecuación correspondientes, trace el elemento de esta familia que pasa por el punto ( 10,-6 ) Desarrollo

como las ecuaciones son coincidentes, entonces la solución es toda la rect.i x -3 y +4 = 0

La ecuación que representa a esta familia de rectas es: y = k, k e R


57


Sea L : 2x —5 jv—10 = 0 de donde m,

como Z, 1 L entonces ^

1

=

2 de donde —m - - \ 5

5 entonces m = ~ — 2

Sea L: y •- mx + b de donde L : y = ~ ~ x + b

L: y = — x + 9

como (4,-1.) e L => -l = -10 + b de donde b = 9

2

Represente la familia de las rectas que pasan por el punto (-1,6) y exprese la ecuación correspondiente a esta especificación. Trace el elemento de esta familia que es paralela a la recta y + 6 x - 5 = 0 y escriba la ecuación de esta línea. Desarrollo Sea L: 6 x + y - 5 = 0 de donde m = -6 Como L^/l L entonces m¡ = m —- 6 de donde w, = —6 La ecuación de la recta Z1 que pasa por (-1,6) es: Yi

I, : y —6 = —6 ( ^ r 1) donde Ly : 6 x + y = 0 Además la familia de rectas que pasa por el punto (- 1,6 ) es: y - 6 = m ( x + l ) y = mx + m + 6

Grafique la familia de rectas perpendiculares a la línea recta 2x - 5y - 10 = 0 y exprese la ecuación correspondiente a esta especificación, trace el elemento de dicha familia que pase por el punto (4,-1) y escriba la ecuación de esta recta. Desarrollo

D: demanda S: Oferta

Eduardo Espinoza Ramos GRÁFICAS LINEALES DE LA DEMANDAY Q

Y

1Ol

precio

B)

59


cantidad demandada 0 demanda con pendiente negativa

cantidad demandada

demanda con pendiente indefinida

x

0

X demanda con pendiente nula

Equilibrio no Significante I ) - ANÁLISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO.-

C)

GRÁFICAS LINEALES DE LA OFERTA.0 1

.2 I o.

o.

cantidad ofertada cantidad ofertada ferta con pendiente positiva

D)

oferta con pendiente nula

oferta con pendiente no definida C.F. = Representa el costo fijo

C.T. = Representa el costo total

I.T. = Representa los ingresos totales

E = Punto de equilibrio

EQUILIBRIO DE MERCADO.

Y o \

1Q.

oferta

ô ferta y

equilibrio equilibrio ^dem anda

O

K

cantidad ^

Equilibrio Significante o relevante

X

11

TONCIÓNP E C O N S Ü M O .c = f (yd ) , donde c = consumo, yd = ingreso disponible \ y d = represente un cierto incremento en el ingreso disponible

cantidad X

Ac = corresponde al cambio resultante en el consumo A

Equilibrio no Significante

—

A/?

es positivo, pero menor que uno, es decir:

0 < —— < 1


61


c = representa al consumo a = representa el consumo básico fijo

La gráfica es de oferta o de demanda.

b = propensión marginal a consumir yd = ingreso disponible

PROBLEMAS.-

d)

x- 3=0 Desarrollo

¿Cuales de las siguientes ecuaciones representa gráficas de demanda? ¿cuáles son Y

gráficas de oferta? ¿Cuáles no representan ninguna de ellas? (supóngase que y es precio y x la cantidad) a)

La gráfica es de oferta o de demanda

x - 2y = 0 Desarrollo e)

2x - 3y + 1 = 0 Desarrollo X 0

y i

3 1

b)

0

2

3x + 4y - 10 = 0 Desarrollo X 0

L: 2x - 3y + 1 - 0 de donde m = —> 0 , la 3 gráfica es de oferta

y 5

f)

2 10

2x + 5y + 4 = 0 Desarrollo

0

3

X

y

0

D:

3x + 4y - 10 = 0

su pendiente es

negativa. La gráfica es de demanda. c)

4

~5 -2

0

La gráfica no es de demanda ni de oferta

y- 4=0 Desarrollo

62

Edui rdû Espinoza Ramos g)

3x + 4y - 12 = O


Desarrollo

6:

¿Qué cantidad se demandaría si dicho articulo fuera gratuito?

Y'

Desarrollo x 0 4

0 5x - y -10

y 3 0

a)

L: 3x + 4y - 12 = 0, m - — < 0 , la gráfica 4 es de demanda

X

i)

4 Para el precio y = 4, * = 10 — = 10-1 = 9 . La demanda es x = 9 4

ii) Para el precio y = 16, x = 10----- = 1 0 - 4 = 6 . La demanda es x = 6 4

=0

iii) Para el precio y = 25, x = 1 0 ----- = — . La demanda es x = — 4 4 4 b)

i)

Para la demanda x = 9, 9 = 10—

ii) Para la demanda x = 7,

=> y = 4, luego el precio es y = 4

7 7 = 1 0 - — => y = 12, luego el precio es y = 12

iii) Para la demanda x = 2, 2 = 1 0 -^- => y = 32, el precio es y = 32 i)

2x + 3x + 2 = 0 Desarrollo X 0

La cantidad de demanda cuando él articulo es gratuito ocurre cuando y = 0, es

e)

La gráfica no es de demanda ni de oferta La curva de demanda que corresponde a un bien determinado es x = 10—— (supóngase 4 que y representa el precio y x la cantidad demandada). a)

Evalué la demanda si el precio es:

b)

Calcule el precio si la cantidad demandada es:

c)

d)

decir:

3

i)

El precio máximo es cuando x = 0. Luego 0 = 1 0 - — =* y = 40 precio máximo. 4

y -i 0

2

D

c)

4

ii) i)

9

¿Cuál es el precio máximo que se pagaría por este articulo?

16 ii) 7

¡ii) 25 ¡ii) 2

jc = 10 —- = 10 = > x = 10, cantidad demandada. 4

________________ X

0

10

y

40

0


64

Kt i’rrsenlación Gráfica

La gráfica de la oferta de un artículo determinado es x = 1.1 y - 0.1 (suponga que y representa el precio y x la cantidad de oferta). a)

Determine el precio si la cantidad ofrecida es

i)

b)

Calcule la oferta si el precio es:

ii)

c)

¿Cual es el precio mínimo al que se ofrecería dicho artículo?

d)

Trace la curva.

i)

8

1

ii) 0.8

iii) 0.5

iii) 4.1

6

b)

Evalué la cantidad demandada si el precio es

c)

Determine la demanda si el articulo fuera gratuito.

d)

Trace la curva.

Para

x = 1; 1 = l . l y —0.1 => y = l es el precio x = 0 .8 ; 0.8 = l . l y - 0.1

b)

Para

2B

Desarrollo

y = — es el precio

A A x = — => — = A - By de donde 3 3

2A y=— ' 3B

a)

Para

b)

Para y = — => x = A - — de donde jt = ~ 2B 2 2

c)

Para y = 0 => x = A - 0 de donde x = A

Desarrollo a)

65

x = 0.5; 0.5 = 1.ly —0.1 => y = — es el precio

X

0

y = 8 ; x = 1.1(8) - 0.1 = 8.7 oferta

y

A

A B 0

y = 6 ; x = 1.1(6) - 0.1 = 6.5 oferta y = 4.1; x = 1.1(4.1) - 0.1 = 4.41 oferta (? ) c)

Para

x = 0; 0 = l . l y - 0.1 => y = 0.091 (nose puede establecer)

X

0

y

0.091

0.1 0

La ecuación de la oferta para un cierto articulo es x = ay - b, donde a y b son constantes positivas, “y” representa el precio, y “x” la cantidad en oferta. a)

Calcule el precio si la cantidad ofrecida es;

i)

5a - b

b)

Encuentre la oferta si el precio es:

i)

c)

¿Cual es el precio mínimo al que puede ofrecerse este articulo?

3b

ii) a + 2b ii)

Desarrollo La ecuación de la demanda de un articulo es x =. A - By, donde A y B son constantes positivas, “y” representa el precio, y “x” la cantidad en demanda. a)

Calcule el precio si la demanda es —

a)

Para

x = 5a - b => 5a - b = ay - b de donde y = 5 precio x = a + 2 b => a + 2 b = ay - b de donde y = - ----- precio

»

66


b)

Para

3b 3b y = — =» x = a(— ) —b = 2b de donde x = 2b oferta a a

iü)

b) Para

18 x - — = 3.6 5 3 , , resolviendo 27 y= -* +] .* = —- = 5.4 2

oferta

y = 10 - 2 .*

5b 5b — => x = a(— ) - b = 4b de donde x = 4b oferta a a c)

67

Hi iiresentación Gráfica

precio

i) y = 3 es de oferta o de demanda

x = 0 => y = — (no se puede establecer) a

x = 3y ~ 3 como m = - es de oferta. 3 3

Para cada una de las siguientes pares de rectas. ¡i) i)

Determine cual es la curva de demanda y cual es la curva de oferta.

ii)

Trace las curvas y estime el precio y la cantidad para el caso de equilibrio de mercado.

iii)

Resuelva algebraicamente las ecuaciones y verifique la estimación realizar para el precio y la cantidad para el equilibrio de mercado.

a) c)

y = 1 0 - 2 x y ;y = - j t + l x=15-3y

b)

y x = 2y-3

oferta precio

d) 2y + 3x = 10 y x = 4y - 6 Desarrollo

a)

[y = 3 Í.í = 6 iii) \ resolviendo \ [jc = 3 y - 3 [}' = 3

y = 6 , x = 3y - 3

c)

i)

x = 15 - 3y, como m = - -

es de demanda

i) y = 10 - 2 x como m = -2 la curvas de demanda x = 12y - 3, como m - ~ 3 3 v = —x + 1 , como m = — la curva es de oferta H) H) Y'

es de oferta


68

fjc = 15 —3y iii) -j resolviendo [x = 2 y - 3


21 = 4.5 x =— 5

oferta

18 =3.6 u y=— 5

precio

69

¿Cuál es el punto de equilibrio? Indique tal punto en el diagrama y evalué la cantidad vendida correspondiente. Señale en el diagrama anterior la cantidad a la que el fabricante alcanzara a cubrir sus costos fijos. Desarrollo

a)

2 y + 3x = 10 como m = — es de demanda d)

2

i) x = 4y - 6

como

y = 5 precio por unidad, x = 1 una unidad del producto

como m = — es de oferta 4

el ingreso total de vender 5000 unidades es: I.T. = (5000)5 = 25,000 = 5x ü) b)

Como y = 5x, luego para x = 3000 de donde y = 15000 Y 15000

0 c) ... Í2y + 3x = 10 m) -, resolviendo [x = 4 y - 6

\

\x = 2

oferta

ly = 2

precio

3000

CT = costo total

X CF = costo fijo = 3000

Cv = costo variable es el 40% del costo total como se vende 5000 artículos por 5 se tiene 25000 luego el 40% de 25000 es 10000

©

Un fabricante vende su producto a un precio de 5 unidades monetarias (u.m) por artículo. a)

Luego Cv = 10000

¿Cuál es el ingreso total al vender 5,000 unidades del producto? ¿Cuál es la

CT =CF +Cy =3,000+10,000 = 13,000

ecuación para la función de ingreso? Grafique la función. b) Los costos fijos son constantes en 3000 u.m. independientemente del número de artículos producidos, suponga la gráfica de esta función a la grafica correspondiente a la parte a) c)

(í)

Al precio $ 5 (dólares) por unidad, una empresa pondrá a la venta 5000 linternas eléctricas de plásticos cada mes, al precio de $ 3.50 cada una, ofrecerá 2000 unidades. Determine la ecuación de la oferta para este producto y grafique la ecuación. Desarrollo

El costo total es igual a la suma de los costos fijos y los costos variables. En esta compañía, los costos variables se estiman en 40% del ingreso total, ¿Cuál es el costo total cuando se venden 5000 unidades del producto? Grafique la función con superposición a la gráfica de la parte a).

í

Datos del problema:

= 51 x= 5000 lin ternas

y = 25,000 precio de las linternas

70


Desarrollo

íx = 2,000 linternas | y = 7,000 precio de las linternas

La ecuación de oferta es:

71

H
La empresa vende x = 500 unidades El precio es: y = 1 2 ; el 20% de 500 es 100

j z 000 —7 000 5 : y - 25,000 = — !--------- ’----- O - 5,000) 5,000 - 2,000

Al vender a $2 menos se vende 500 + 100 = 600

S: y = 6x - 5000

fjc = 600 Luego -i . Por lo tanto la ecuación de la demanda es: y = 10

D : y -1 2 =

12-10 ..Qt-500) 5 0 0 -6 0 0 D: y .

D : y —12 = — ^-(a:-500) 50

2)

-+22

50

En la economía, el consumo se considera relacionado linealmente con el ingreso nación disponible por ejemplo, en cada nivel del ingreso disponible, el consumo puede ser ig a 3.5 (en millones de dólares) más 75% del ingreso disponible. i)

¿Cual es la ecuación que expresa esta relación?

ii)

¿Cual es el consumo agregado cuando el ingreso de que se dispone vale 50 (en mile de millones de dólares)? Desarrollo

a)

La ecuación que expresa esta relación es: c = 3 .5 + 0.75yd , yd = ingreso disponible

b) ÍO)

c = f ( y d ) = f ( 50) = 3.5 + 0.75(50) = 3.5 + 37.5 = 41 millones de dólares

Una empresa manufacturera ha analizado sus ventas y descubierto que sus cliente compraran 20 % más de unidades de sus productos con cada reducción de $ 2 (dólares) en el precio unitario cuando el precio tiene un valor de $ 12 (dólares), la empresa vende 500

(l l)

a)

Suponga que el agua se ofrece en forma, ilimitada en un municipio. El consumidor paga 5.00 unidades monetarias (u.m.)

servicio de agua

independientemente de la cantidad que emplee o consuma. Grafique la ecuación de oferta y demanda. b) Hay solo un cuadro original germano de Ramlvandt de su obra titulada “El vigia nocturna” asigne valores arbitrarios a este cuadro y grafique la ecuación de la oferta y la demanda. Desarrollo y = 5.00 precio ; x = agua ofrecida ilimitada

unidades ¿Cual es la ecuación de la función de demanda correspondiente a este producto? Grañque la ecuación.

al mes por el

Luego la ecuación de oferta y demanda es y = 5

i


73

Representación Gráfica Desarrollo

Y y S: oferta

y=5

D: demanda

0

a)

L: x + y = 5 entonces m = -1 < 0 es de demanda

b)

L: 2 x - y = 5.5 entonces m = 2 > 0 es de oferta

X

Una compañía de autobuses saben que cuando el precio de un viaje de excursión de $ 5.00 (dólares), 30 personas compraran boleros, cuando el precio es de $ 8.00, solo se venderán 10 boletos, obtenga la forma de punto y pendiente de la ecuación que corresponde a la función de demanda y grafique dicha ecuación. Desarrollo y = $5 dolares precio

y = $8 dolares precio

x = 30 boletos

* = 10 boletos

x = 3.5 y = 1.5

calculando la pendiente:

8 -5 m= 1 0 -3 0

3_ 20

.\ P(3.5,1.5) punto de equilibrio. 3x 19 20 + 2

como y - 5 = m(x - 30) => y - 5 = ~ — (jt-3 0 )

14)

Cambie la ecuación b) del problema anterior a 2x - y = 6 , grafique la ecuación e identifíquela como de oferta o demanda ¿Aumento o disminuyo la cantidad de equilibrio con respecto a la del problema 13) Desarrollo De la condición del problema se tiene: Luego calculamos el punto de equilibrio: 11

Identifique cual de las siguientes ecuaciones representa una curva de demanda, y cual una

*+ y = 5

curva de oferta, determine el punto de equilibrio y trace las curves.

2 jc - y = 6

a)

x+y=5

b) 2x - y = 5.5

resolviendo

x =■ 3 4 y= 3

L: 2x - y = 6 entonces m = 2 es de oferta

74


K¡ presentación Gráfica Datos:

75

U = 100 dólares por unidad Cr =225,000 = y

Luego y = lOOx, por lo tanto la cantidad de equilibrio es: 225000 = lOOx de donde x = 2250 ( 17)

Considere que el consumo nacional agregado en un cierto caso se da (en miles de millones de dólares) por la ecuación c = 4.5 + 0.9 yd , donde yd es el ingreso disponible. Si dicho ingreso fuera de 15 (en miles de millones de dólares) ¿Cuál seria el consumo agregado? ¿Qué proporción del consumo agregado es el monto del ingreso disponible que

©

se dedica al consumo? Desarrollo

Suponga que el costo fijo de producción de un articulo es de 45,000 dólares. Así mismo, el costo variable es de 60% del precio de venta, que es de 15 dólares la unidad ¿Cuál es la

Como c = 4.5 +0.9

cantidad que corresponde al punto de equilibrio?

Para y ¿ = 1 5 => c = 4.5 + (0.9)15 = 18 mil millones

Desarrollo Datos:

El ingreso disponible que se dedica el consumo es: 18 - 15 = 3

y = CF = 45,000

3 1 La proporción del consumo agregado del ingreso disponible es: — = —= 0.15 18 6

Cv = es el 60% del precio de venta de $ 15 (ijt)

Cv = ^ = 9 v 100 Luego se tiene: y = 45000 costo total El ingreso total es: y = mx, donde m = 9 entonces y = 9x ingreso total Luego la cantidad que corresponde al punto de equilibrio es: 45000 = 9x de donde

jc=

Si el consumo nacional agregado es 4.8 mas 80% del ingreso disponible (en miles de millones de dólares).

45 000 — :------ = 5,000

a)

¿Cuál es la ecuación de la función de consumo?

b)

¿Qué proporción del ingreso disponibles se consume?

c)

Cuando el ingreso de que se dispone es 60 ¿qué proporción del consumo agregado presenta el monto del ingreso disponible que se dedica al consumo?

x = 5000 Desarrollo

Si en un cierto caso la utilidad es de 100 dólares por unidad y el costo fijo de producción es de 225,000 dólares ¿Cual es la cantidad de equilibrio? Desarrollo

a)

La ecuación de la función consumo es: c = f ( y d ) ~ a + byd = 4 .8 + 0 .8 ^ c = 4.8 + 0.8 yd


76 b)

El ingreso disponible que se consume es:

f { - x , y ) = - x 3 - y 2 - 9 ^ f { x , y ) , ,0 simétrica en el eje Y

c - y d = 4.8 - 0.2yd - y ¿ —4 .8 + 0.2yd

f ( - x , - y ) = - x 3- y 2 - 9

c - y á = 4 .8 -0 .2 y rf c)

c = 4.8 + (0.8)(60) = 4.8 + 48 = 52.8

c = 52.8

1.13. MÉTODOS GENERALES PARA TRAZAR GRAFICAS LINEALES._______________________ . a)

c)

Simetrías:

©

x 2 + y 2 -1 8 = 0 Desarrollo

eje Y

a)

Intersecciones con los ejes: Con el eje X; y = 0, x = ±3\Í2 ; (±372,0)

con el eje Y con el origen

Con el eje Y; x = 0;

1.14.

PROBLEMAS.-

A)

Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine:

®

origen

y 2 - - x 3 - 9 => y = ±\¡x3 - 9

eje X

Intersecciones con los ejes:

f (x , y ) , % simetría en el

Su extensión es x 3 > 9 y no esta limitada.

~ÑÓ|

con el eje X b)

77


b)

y = ±3\¡2 ; (0,±3\Í2)

f ( x , y ) = x 2 + y 2 - 18 / (jc, - y ) = x 2 + y 2 - 18 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al eje X

a)

Las intersecciones de sus gráficas con los ejes.

b)

Si la curva representada es simétricas respecto al eje X, eje Y, o al origen.

c)

Si existe alguna limitación en la extensión.

/ ( - x, y) = x 2 + y 2 - 18 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al eje Y f ( - x , - y ) = x 2 + y 2 -1 8 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al origen

*3- y 2 - 9 = 0

c)

Desarrollo a)

Su extensión es: 18 - x 2 > 0 => x 2<18 en dirección de x esta limitada.

Intersecciones con los ejes. Con el eje X, y = 0 => x = l¡9 , (y¡9,0) Con el eje Y, x = 0 =>

b)

x 2 + y2 -1 8 = 0 de donde y = ± \/l 8 - x ^

jt = ±V l 8 - y 2 su extensión es 18 - y 2 > 0

y2 = - 9 , %

y 2 <18 en la dirección de y esta limitada.

Sea f ( x , y ) = x * - y 2 - 9 (3 ) f ( x , —y) = x i - ( - y ) 2 - 9 = x 3 - y 2 - 9 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al eje X

y2 - 2 x + 5 = 0 Desarrollo

78

Eduardo Espinoza Ramos a)

Representación Gráfica c)

Intersecciones con los ejes.

79

xy + 5x - 15 = 0 15 —5 jc

Con el eje X; y = 0, * =

Su extensión en dirección de x es: y = --------- tiene limitación

(^ .0 )

Con el eje Y; x = 0 , y 2 = - 5 , jí

Su extensión en la dirección de y es: x = — - tiene limitación y+5 V

b)

Sea f ( x , y ) = y 2 - 2 x + 5 ©

x 2 + >-4 ~ 6 = 0 Desarrollo

f ( x , - y ) = y 2 - 2x + 5 = f ( x , y ) es simétrica con respecto al eje X a)


/ ( - x , y) = y 2 +2x + 5 * f ( x , y ) no es simétrica con respecto aleje Y Con el eje X; y = 0, x = ±Vó , (±\^6,0) f ( - x , - y ) = y 2 +2x + 5 * f ( x , y) no es simétrica con respecto al origen Con el eje Y; x = 0, y = ±yfó, (0,±i¡6) c)

y 2 - 2x + 5 = 0 de donde y = ± \ ¡ 2 x - 5 b)

f(x,y) = x2+y * - 6

Su extensión en la dirección del eje X es: 2x - 5 > 0 de donde x > — esta limitada

2

/ ( x , - y ) = x 2 + y 4 - 6 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al eje X

y 2 -f-5 Su extensión en la dirección del eje Y es: x = —------ no esta limitada

/ (- x, y) = x 2 + y4 - 6 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al eje Y

2

(^4)

xy + 5x - 15 = 0

/ ( - x , - y ) = x 2 + y 4 - 6 = f ( x , y ) , es simétrica con respecto al origen

Desarrollo a)

c)

Intersección con los ejes coordenados. Con el eje X; y = 0, 5 x - 1 5 = 0 => x = 3, (3,0)

Su extensión en la dirección de x es: y = y ¡ 6 - x 2 entonces 6 - x 2 >0

Con el eje Y; x = 0, % b)

x2 + y4 - 6 = 0

tiene limitación

Sea f(x,y) = xy + 5 - 15

'

Su extensión en la dirección de y es: x = y¡6- y 4 entonces 6 - y 4 > 0

f(x,-y) = -xy + 5x - 15 *■f(x,y), no es simétrico respecto al eje X

tiene limitación. i

f(-x,y) = -xy - 5x - 15 * f(x,y), no es simétrico respecto al eje Y © f(-x,-y) = xy - 5x - 15 # f(x,y), no es simétrico respecto al origen

x2 5 6

x 2y 2 - 2 5 = 0 Desarrollo

y4 £ 6

80


81


Intersecciones con los ejes coordenadas Con el eje X, se hace y = 0, j? Con el eje Y, se hace x = 0, /í

b)

f ( x , y ) = x 2y 2 - 25 A,

f ( x , - y ) = x 2y ¿ - 2 5 = f (x, y ) , es simétricas con respecto al eje X / ( - * , y) = x 2y 2 - 25 = f ( x , y ) , es simétricas con respecto al eje Y B)

Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine:

f ( - x , - y ) = x 2y 2 - 2 5 = f ( x , y ) , es simétricas con respecto al origen a) Las asíntotas c)x 2y 2 = 25 Su extensión en la dirección de x es: y = ± J — » si tiene limitación Vx~

b)Si puede factorizarse la ecuación

c) Si laecuación representa una curva real o un lugar geométrico de puntos reales, o bien una curva imaginaria. (T )

2xy - x + y -5 = 0 Desarrollo

25 => — > 0 si tiene limitación a)

y

Las asíntotas: Para la asíntota horizontal despejamos “y”, es decir: (2 x + l)y = x + 5 de donde

ASINTOTAS

y = X + ^ , cuando x -» °° y = — es la asíntota horizontal. 2* + l 2 Para la asíntota vertical despejamos “x”, es decir: (2y - l)x = -y + 5 de donde y -5 x - —i ----- cuando y 2y - l Las rectas y = mx + b se denominan asíntotas.

1 » se tiene x = — es la asíntota vertical. 2

b)

2xy - x + y + 5 = 0, de donde x(2y - 1) + (y + 5) = 0, no se puede factorizar

c)

La curva es rea! porque se verifica para puntos de R 2

Las asíntotas de mayor interés son las asíntotas paralelas o coincidentes a los eje coordenadas y son las siguientes: La recta x = h es una asíntota vertical de y = f(x) La recta y = k es una asíntota horizontal de y = f(x)

©

3x2 + 2 x y - y 2 =0 Desarrollo


82 a)

Despejamos las variables x e y de la ecuación

X-

Representación Gráfica 3x2 + ( 3 y - 2)x - 2 y = 0 , despejando x se tiene:

3x~ + 2xy - y" - 0

2 y± y¡ 4y2 + I2 y2 _ 2 y ± 4 y _ y ± 2 y 6

6

x=

2

b)

2

X

x c)

©

c)

©

-y entonces 3x2 + 2 x y - y 2 = (3x- y)(*+ y)

Es una curva real.

3x2 + 6 y 2 + x 2y 2 = 0 Desarrollo

a)

2x2 + 3y2 + 6 = 0

-3 x 2

cuando x - » «o, y 2 -> - 3 , no hay asíntotas

Desarrollo

-6 -3 y2 '

(6 + x 2) y 2 = - 3 x 2 dedonde y 2 =

6 + jr2

Despejando las variables x e y de la ecuación 2x2 + 3 y2 + 6 = 0

©

sacando factor común

y

Es una curva real

3

=0

(3x - 2)(x + y) = 0 => 3x - 2 = 0 v x + y = 0

3x2 + 2xy - y 2 = 0 , factorizando por el aspa 3x

■, no hay asíntotas

3x 2 + 3xy - 2x - 2y = 0 factorizando 3x(x + y) - 2(x + y)

por lo tanto no tiene asíntotas b)

± (3 y -2 )± ^ /(3 y -2 )2 +24y

3

-2jc± V4jc2 +12jc2 -2x ±4x V= --- — ----------------- = ------------ =: “ X I IX

y

83

\

(3+ y 2)x2 = - 6 y 2 de donde x 2 = -~ - V ■ 3+y

de donde

cuando y —» «>, x 2 -4 - 6 , no hay asíntotas.

2

a)

No tiene asíntotas.

b)

No se puede factorizar.

c)

Es una curva imaginaria.

©

3x2 + 3 x y - 2 x - 2 y = 0

b)

3x2 + 6y2 + x2y 2 = 0 la expresión es irreducible por lo tanto no se puede factorizar.

c)

El lugar geométrico es un punto real (0,0).

3x2 - 4 y 2 - 9 = 0 Desarrollo

Desarrollo a)

3x2 + 3 x y - 2 x - 2 y = 0 => ( 3 x - 2 ) y = 2 x - 3 x 2 dedonde y =

2x-3x 3x 2

a)

3x2 - 4 y 2 - 9 = 0 => 3x2 - 4 y 2 = 9 dedonde

■'

(y¡3x + 2y)(y¡3x-2y) = 0 => \Í3x + 2y = 0 , s ¡ 3x - 2 y = 0 son sus asíntotas cuando x —»

y —>

no hay asíntotas


84

b)

3x 2 - 4 y 2 - 9 = 0 factorizando ( 2 y - V 3 x ^ ^ ) ( 2 y + V 3 ^ - 9 )

c)

Es una curva real

Ni /iresentación Gráfica / ( x,-y ) = - a

v -1 0 * f (x, y ) , no es simétrica respecto al eje X.

TRAZAR

GRÁFICAS

/ ( - x ,- y ) = - x 2y ~ 10 * f ( x , y ) , no es simétrica respecto al origen.

NO d)

con los ejes ©

10

->

x y = 10 => y = —-

La asíntota vertical es x = 0

Q

Intersecciones

Simetría

©

extensión

©

Asíntotas

©

Factorización

©

Lugares Geométricos reales o imaginarios.

-Jf

*2y = 10

PROBLEMAS.Trace las curvas representadas por las siguientes ecuaciones: especifique

Asíntotas:

las

X

y

± 1

10

±2

5 2 10 9

intercepciones, la extensión, la simetría y las asíntotas, cuando corresponda. ±3 x 2y = l0

y = 0 es asíntota horizontal.

X*

PARA

Gráficas las ecuaciones utilizando las propiedades siguientes.

(T )

-2

f ( - x , y) = x 2y - 1 0 = f ( x , y ) , es simétrica respecto al eje Y.

1.15. MÉTODOS GENERALES LINEALES.-

1.16.

85

Desarrollo @ a)

Con el eje X, y = 0, /í

b)

V = -io


Desarrollo a)


Con el eje Y, x = 0, 3

Con el eje X, y = 0, £

La extensión: x 2y = 10 de donde

Con el eje Y, x = 0,

y=

en la dirección del eje X es: x e <-«>,0> u <0,<»>

b)

10

Extensión: y = ± J ----- en la dirección del eje X es x < 0.

x 10

x 2y = 10 => x = ± I— en la dirección del eje Y: y > 0

x =— -

en la dirección del eje Y, y * 0, y e <-«\0> u <0,°°>

Simetría:

f ( x , y ) = xy2 +10

Vy

c)

La asíntota: / ( je , y) = x2y -1 0

c)

Eduardo Espinoza Ramos Con respecto al eje X:

/ (x, - y ) = xy2 + 10 =

Con respecto al eje Y :

f ( - x , y) = ~ xy2 +10 ^ f ( x , y ) ,%

Hrpresentación Gráfica

f(x,y), 3

Con respecto al eje X, f(x,-y) = x(x - 3)(x + 4) + y * f(x,y), 3 Con respecto al eje Y, f(-x,y) = -x(x + 3)(x - 4) - y * f(x,y), $ Con respecto al origen, f(-x,-y) = -x(x + 3)(x - 4) + y * f(x,y),

Con respecto al origen: / ( - * , -y ) = - x y 2 + 10 * f ( x , y ) , % d)

d)

Asíntotas: xy2 = -1 0

-

Verticales

-

Horizontales

y=

Asíntotas no existe.

entonces x = 0

=

entonces y = 0

y

Desarrollo a)

Intersecciones con los ejes Con el eje X, y = 0 => x 2(x2 - 4 x + 4 ) = x 2( x - 2 ) 2 = 0 = > x = 0, x = 2 Con el eje Y, x = 0 entonces y = 0

b)

Extensión: y = x 2(x - 2)2

y = x(x - 3)(x + 4) El dominio es todo R y el rango es [0,°°>

Desarrollo a)


c)

Con el eje X, y = 0 => x(x - 3)(x + 4) = 0 de donde x = 0, x = 3, x =

Simetría;

/ ( x, y ) = x 2(x2 - 4 x + 4 ) - y

-4 Con respecto al eje X: f ( x , - y ) = x2(x2 - 4 x + 4) + y * f ( x , y ) , 3

Con el eje Y, x = 0, y = 0 b)

c)

Extensión: y = x(x - 3)(x +4), su dominio reales.

Con respecto al eje X: f ( - x , y) = x 2(x2 + 4 x + 4 ) - y * f (x, y ) , %

es todolosreales y el rangoes todos los

Con respecto al origen: f ( ~ x , ~ y ) = x 2(x2 +4x+4) + y * f ( x , y ) , %

Simetría: f(x,y) = x(x - 3)(x + 4) - y d)

Asíntotas: no existen.


Representación Gráfica @

89

y = (x2 - \ ) ( x 2 - 4 ) Desarrollo a)

Intersecciones con los ejes coordenados. Con el eje X, se hace y = 0, es decir: (x2 - l)(x2 - 4) - 0 de donde x = -2, x = -1, x = 1, x = 2

y = x4 - x 2

Con el eje Y, se hace x = 0 de donde y = 4 Desarrollo

a)

b)

Extensión: su dominio y rango es todo R.

c)

Simetría: f ( x , >’) = (x2

Intersecciones con los ejes coordenados. Con el eje X; se hace y = 0; x = 0, x = -1, x = 1

Con respecto al eje X: f ( x , - y ) = (x2 - l ) ( x 2 - 4) + y * f ( x , y ) , jS

Con el eje Y; se hace x = 0; y = 0 4

i

b)

Extensión: y = x - x

c)

Simetría: f ( x , y) = jc4 - x 2 - y

- l)(x2 - 4) - y

1

Con respecto al eje Y: /(-jc , y) = (x 2 - l)(jr2 - 4) - y = f ( x , y ) , 3

, su dominio es todo R y su rango es: [— ,°° > 4

Con respecto al origen:/ ( - x , - y ) = (x2 - 1)(jc2 - 4 ) + _v* f ( x , y ) , d)

Con respecto al eje X: / ( x , - y ) = x4 - x 2 + y * / ( x, y ) , ,0

Asíntotas:

/!

y - (x2 - l ) ( x 2 - 4 ) , no existen.

Con respecto al eje Y: f ( - x , y) = x 4 - x 2 - y = f ( x , y ) , 3 Con respecto al origen: f ( - x , - y ) = x4 - x 2 + y * f ( x , y ) , /í d)

Asíntotas: y = x 4 - x 2 no tiene asíntotas

0

y = x} - 4 x Desarrollo a)

Intersecciones con los ejes coordenados: Con el eje X, se hace y = 0, es decir:

xy - 4x = 0

con el eje Y, se hace x = 0 => y = 0 b)

Extensión: Su dominio y rango es todo R.

=> x = -2, x = 0, x = 2


I c)

Simetría:

91


f ( x , y ) = xi - 4 x - y

Con respecto al eje X, f ( x , - y ) = x 3 - 4x + y * f ( x , y ) , ,3 Con respecto al eje Y,

/( -

x , y)

= -a :3 + 4 x - y *

f ( x , y ) , jí

Con respecto al origen, f ( - x , - y ) = - x + 4x+ y = f { x , y ) , 3

(? )

4y =

a:3

Desarrollo a)

Intersección con los ejes coordenados Con el eje X, se hace y = 0, x = 0 Con el eje Y, se hace x = 0, y = 0

)

b)

Extensión: Su dominio y su rango es todo R

c)

Simetría:

y = *3(* - l) (x + 6) Desarrollo a)

Intersecciones con los ejes coordenados: Con el eje X, se hace y = 0 entonces:

Con respecto al eje X: /(.* ,-y ) = a 3 + 4y / f ( x , y ) , j:3U--!)(* + 6 )

= 0 => x = -6, x = 0, x = l

Con respecto al eje Y:

Con el eje Y, se hace x = 0 entonces y = 0 b)

Extensión: Su dominio y rango es todo R

c)

Simetría:

f ( x , y ) = jc3(jc —1)(a: + 6) —y

Con respecto al eje X: f ( x , - y ) = xi ( x - l ) ( x + 6 ) + y ¿ f ( x , y ) , /í Con respecto al eje Y :

/(-jc ,

y) = - x 3( x + l)(x - 6) - y * f ( x , y ) , %

Con respecto al origen: /( - j c ,- y ) = - j c 3 ( x + \ ) ( x - 6 ) + y * f ( x , y ) , % d)

Asíntotas: no tiene

f ( x , y) = a 3 - 4y

f ( - x , y ) = - x i - 4 y * f ( x , y ) , jí

Con respecto al origen: f ( - x , - y ) = d)

Asíntota: no tiene

a:3

+4y = f ( x , y ) , 3

Eduardo Espinoza Ramos )

93


y = x 3( x - 3 )2

c)

Simetría:

f(x,y) =x^9 ~ x2 - y

Desarrollo a)

Con respecto al eje X, / ( x , - y ) = xV9 - x 2 + y ■*- f (x, y ) , 0

Intersección con los ejes coordenados: Con el eje X, se hace y = 0, es decir: Con el eje Y, se hace x = 0

x 2 ( x - 3 )2 = 0

=$ x = 0, x = 3

Con respecto al eje Y, f ( - x , y) = -xV 9 - x z - y * f (x, y ) , 3

y=0 Con respecto al origen, , / ( - x , - y ) = - x \ ¡ 9 - x 2 + y = f ( x , y ) , 3

b)

Extensión: su dominio es todo R y su rango es: d)

c)

Asíntotas: No existen

Simetría: /( x ,y ) = x 2 ( x - 3 ) 2 - y Con respecto al eje X: / ( x , - y ) = x 2 ( x~ 3 )2 + y * / ( x , y ) , /f Con respecto al eje Y: / ( - x , y ) = x2(x + 3)2 - y # / ( x , y ) , % Con respecto al origen: / (-x, - y ) = x 2 (x + 3)2 + y * f (x, y ) ,

d)

Asíntotas: no tiene.

Desarrollo Similar al ejercicio II) Haremos su grafica )

y = xV9 - x 2 Desarrollo a)

Intersecciones con los ejes coordenados: Con el eje X; se hace y = 0, es decir:

x\¡9 - x 2 = 0 => x = -3, x = 0, x =3

Con el eje Y; se hace x = 0 => y = 0 (D ) b)

Extensión: su dominio es [-3,3]

y = (x -3 )(x 2 +4x —5) Desarrollo


95


Intersecciones con los ejes coordenados:

b)

Extensión: no tiene limite

Con el eje X, se hace y = 0, es decir: (jc—3)(jc2 + 4 x -5 ) = 0 => x = -5, x = 1, x = 3

c)

Simetría: f ( x , y ) = x 2{ x - 6 ) ( x 2 - x - 6 ) - y

Con el eje Y, se hace x = 0 => y = 15

Con respecto al eje X, f ( x , - y ) = x 2(x - 6 )(x 2 - x - 6 ) + y * f ( x , y ) , %

b)

Extensión: Su dominio es todo R lo mismo para el rango

c)

Simetría: / (x,y) = (x - 3)(x2 + 4 x - 5 ) - y

Con respecto al eje Y, / ( - j c , y ) = ~ x 2(x + 6)(x2 + x - 6 ) - y * / ( x , y ) , 0

. Con respecto al origen, / ( - x , - y ) = - x 2(x + 6)(x 2 + x - 6) + y * / ( x , y ) , i?

Con respecto al eje X, f ( x , - y ) = ( x - 3 ) ( x 2 + 4 x - 5 ) + y * f ( x , y ) , jí Con respecto al eje Y, / ( - x , y) = - O + 3)(x2 - 4 x -5 ) - y * f (x, y ) ,

d)

Asintotas: No existen.

,0

Con respecto al origen, f ( - x , - y ) = - ( x + 3)(x2 - 4 x - 5 ) + y * f ( x , y ) , ,2 d)

Asintotas: No existen

La ecuación de segundo grado o cuadrática es: Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx +E y + F = 0 A, B, C, D, E y F son constantes en donde A, B o C por lo menos una de ellas es )

y = x 2( x - 6 )(x2 - x - 6 )

diferente de cero. Desarrollo

a)

Intersecciones con los ejes coordenados: Con el eje X, se hace y = 0 entonces: x 2( x - 6 ) ( x 2 - x - 6 ) = 0 => x = -2, x = 0, x = 3, x = 6 Con el eje Y, se hace x = 0 => y = 0

1.18. IDENTIFICACION PE UNA CURVA CUADRÁTICA.La ecuación cuadrática general es: Ax2 +Bx y+Cy2 + Dx + Ey + F = 0 donde A o C es diferente de cero.


1.21.

Si B = O, A = C * O, es una circunferencia

97

Si ¡inventación Gráfica

PROBLEM AS.Determine si cada una de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia o una

Si B 2 - 4 A C < 0 , es una elipse

elipse, exprese la ecuación en la forma estándar apropiada, investigue si hay lugares geométricos degenerados o imaginarios y trace los gráficos.

Si B 2 - 4 A C = O, es una parábola

©

Si B2 - 4 A C > O, es una hipérbola Si B = 0 se tiene la ecuación:

Ax2 + Cy2 + Dx+ Ey + F = 0

x2+ y2 +2A-4y + l = 0 Desarrollo A- C= !

0 es una circunferencia

Si A = C * O es una circunferencia

Para expresar en la forma estándar se completa cuadrados

Si A * C, A y C del mismo signo es elipse

x2 + 2 x + y 2 - 4 y = ~l

(x2 +2x + l) +(y 2 - 4 y + 4 )--= -l

Si A = 0 o C = 0, es una parábola

Y

Si A y C tiene signos contrarios es hipérbola

( x +l ) 2 + ( y - 2 ) 2 =4

1.19. LA CIRCUNFERENCIA.-

f

c(- 1 ,2 ) r —

\ \

\

La ecuación general de la circunferencia es:

1 1 -1 !

2

0

X

Ax2 + Ay" +Dx +Ey + F = 0 Puesto que A = C * 0 entonces

( x - h ) 2 +(y —k )2 = r2 es forma estándar, donde

c(h,k) = centro, r = radio de la circunferencia

1.20. LA ELIPSE.-

©

9x + 4 y~ - 24y = 0 Desarrollo Como A * C y tienen el mismo signo de una elipse expresando en forma estándar 9x 2 + 4y 2 - 24y = 0

La ecuación general de la elipse es: Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 donde A / C y del mismo signo

, forma estándar

9 * 2 + 4 (y 2 —6y) = 0 9x2 +4 ( y 2 - 6 . V + 9) = 36 9x2 + 4 ( y —3)2 = 36


Representación Gráfica (J)

x 2 + 4y 2 - 6 x + 16y+ 45 = 0

99

x 2 + y 2 - 2 x + 4y + l l = 0 Desarrollo

Desarrollo A = C * 0 y tienen el mismo signo, puede ser una elipse, para esto expresando en la

x 2 + y 2 - 2x + 4y = -1 1 , completando cuadrados

forma estándar 2

(x 2 -2 jc + l) + (y 2 + 4 y + 4) = —11 + 4 + 1

2

x - 6 x + 4(y + 4y) = -45, completando cuadrados (jc—l )2 + (y + 2)2 = - 6 , no hay lugar geométrico x2 - 6 x + 9 + 4(y2 + 4 y + 4) = -45 + 9 + 16

1.22.

LA PARABOLA.

( x - 3 ) 2 + 4(y + 2)2 = - 2 0 < 0 , no hay lugar geométrico Forma general de la ecuación de la parábola: x 2 + y 2 - 8 x - 4 y + 18 = 0

Si el eje es paralelo al eje Y

Ax~ + D x + E y + F = 0

'y 2 x~ ~ 8 x + y - 4 y = - 1 8 , completando cuadrados

Si el eje es paralelo al eje X

Cy¿ +Dx +Ey + F - 0

(x 2 - 8 x + 16) + (y 2 - 4 y + 4) = -18 + 16 + 4

Forma estándar de la ecuación de la parábola

Desarrollo

O ( x - 4)“ +( >' - 2) = 2 es una circunferencia de centro C(4,2)

x 2 + y 2 - 10x + 25 = 0 Desarrollo

x 2 - lOx + 25 + y 2 = -25 + 25 ( x - 5 )2 + y 2 = 0 es un lugar geométrico degenerado punto (5,0)

X+

x 2 + y 2 - lOx = -25 , completando cuadrados

00

.23.


101

Hrpresentación Gráfica

LA HIPÉRBOLA.-

(x-h)2

(y - k f _ Q

de donde

ecuación de las asíntotas

Forma general de la ecuación de la hipérbola Ax2 + Cy2 + Dx + E y + F = 0

1.24.

CASOS ESPECIALES DE LA HIPERBOLA.EQUILATERA:

donde A y C tiene signos contrarios.

V '

Forma estándar de la ecuación de la hipérbola.

Eje transverso paralelo al eje X

———— ———- = 1 a2 b2

(x - h)(y - k) = c, c > 0

(x - h)(y - k) = c, c < 0

xy = k, k > 0

xy = k, k < 0

1.25. PROBLEMAS,Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones representa una parábola o una hipérbola, exprese la ecuación en la forma estándar adecuada, investigue si hay liijimrs Las asíntotas se obtienen haciendo:

geométricos degenerados o imaginarios y trace la curva.

Eduardo Espinoza Ramos y2- 2 y - 2 x + 9 = 0

(í)

y 2 - 8 y + 24 = 0

Desarrollo

Desarrollo Y

Completando cuadrados se tiene:

Como y 2 - 8 .y + 24 = ( y - 4 )2 + 8 > 0 , V y e R

y 2- 2 y - 2 x = -9 1

m

Entonces: y 1 - 8 y + 24 = 0 no representa ningún lugar geométrico

i )

l\ 1 X

y 2 - 2 y +l = 2 x - 8

(? )

1 1 1

( y - 1 ) 2 = 2 ( x - 4 ) es una parábola

103


0

4

xy - 4x - 5y + 5 = 0 Desarroil j

X

Factorizando se tiene: x(y - 4) - 5(y - 4) - 15 => (x - 5)(y - 4) = 15 representa a una x 2 - 3 y 2 -4;c + 1 2 y - l l = 0

hipérbola equilátera. Con centro en el punto (5,4) Desarrollo

(jS)

xy + 5 x - y - 5 = 0 Desarrollo Factorizando se tiene:

3x2 - 2 y 2 -6 jf-4 } í + l = 0 Desarrollo 3(a2 - 2x) - 2( y 2 + 2y) = - 1 , completando cuadrados 3(jc2 - 2* +1) - 2(y2 + 2y +1) = - 1 + 3 - 2 3 ( * - l) 2 - 2 ( y + \)2 = 0 de donde ( * - l ) ‘ (.y + 1)2 , , , x -1 , y+ 1 — ------------— = 0 es una hipérbola degenerada que nos da dos raíces: —= - = ±-^-7=-

x(y + 5) - (y + 5) = 0 => (x - l)(y + 5) = 0 <=> x = 1, y = -5

Es una hipérbola degenerada y nos da dos rectas x = 1, y = -5

04

Eduardo Espinoza Ramon

Hi'/n /tentación Gráfica

.26. PROBLEMAS.-

105


3(jt - 2a) + 3(y~ + —y) = 1

Para cada una de las siguientes ecuaciones identifique la curva representada, exprese la obtenidas, y trace la curva.

2 ^ 1 6 9 (x —l )2 + (y + —)2 = — es una circunferencia de centro c(l, — ) y de radio r = x2+ y2- 6 x - 2 y - 6 =0 Desarrollo x - 6 x+;y - 2y = 6 , completando cuadrados (x2 - 6 x + 9) + ( y 2 - 2 y + l) = 6 + 9 + 1 (jc- 3 ) 2 + ( y - l )2 = 16 es una circunferencia de centro C (3,l) y de radio r = 4

@

y2 -lOy = 0 Desarrollo Factorizando se tiene: y(y - 10) = 0 => y = 0 , y = 10 es dos rectas

r

>< ii o

y - 6 x + 9 =0 Desarrollo y 2 - 6 y +9 = ( y - 3 ) 2 = 0

~k ■< ii

o

Yj

y=3

es una recta

0 (^

X

xy - 4y = -4 Desarrollo Factorizando se tiene:

3x2 + 3 y2 - 6 x + 4 y = 1 Desarrollo

y(x - 4) = -4 es una hipérbola equilátera

| 4*.

3(x2 - 2 x + l ) + 3(y2 + —y + —) = 1+ 3 + — => 3 ( * - l) 2 + 3 ( y + - ) 2 = — 3 9 3 3 3

ecuación en la forma canónica adecuada, identifique los parámetros y propiedades así



x 1 - y 2 + 4* - 2_v +1 = O

0

107

4x 2 + 9y 2 -1 6 x -1 8 y + 133 = 0

Desarrollo

Desarrollo

Completando cuadrados se tiene: x 2 - y 2 - ( y 2 +2y) = - l


=> {x2 + 4 x + 4 ) - ( y 2 + 2y + l) = - 1 - 1 + 4

4jf2 - I 6 x + 9 y 2 -18>’ = -133 => 4(x 2 -4 * ) + 9(y 2 - 2 y ) = -133 4 (*2 - 4x + 4) + 9(y 2 - 2 y + l) = -133 + 16 + 9 => 4 (.x -2 ) 2 + 9 ( y - l )2 = -1 0 8 ( . r - 2)2 , ( y - 1)2 , ......................... — - — + — - — = - 3 es una elipse imaginaria

(ío )

xy + 3y = x + 6 Desarrollo Factorizando se tiene: xy + 3y - x - 3 = 3 => y(x + 3) - (x + 3) = 3 (x + 3)(y - 1) = 3 es una hipérbola equilátera

2x2 + y 2 = 50 Desarrollo XT y — + — = 1 es una elipse con centro en el origen

5

X @

3x2 - y 2 - 1 2 x - 6 y = 0 Desarrollo

x 2+ y 2- 4 x - 2 y +5 = 0

Completando cuadrados se tiene: Desarrollo

x 2 - 4 x + y 2 - 2 y = - 5 , completando cuadrados (x2 -4.x + 4) + (y 2 —2>>+1) = -5 + 4 + 1 ( x - 2 ) 2 + ( y - l ) 2 = 0 es una circunferencia degenerada que nos da un punto (2,1)

3(x2 - 4x) - ( y 2 + 6 y ) = 0

=>

3(x2 - 4 x + 4 ) - ( y 2 + 6 y + 9) = 1 2 - 9

i

3(jt- 2)2 - ( y + 3)2 = 3

=*

———— — —— - = 1 es una hipérbola 1

3

108


Representación Gráfica (¡•l)

109

9x 2 +25y2 + I 8 x + 150_v+ 9 = 0 Desarrollo Completando cuadrados se tiene: 9(x 2 + 2x) + 25(y2 + 6 y) = - 9

¡2 )

=>

9(x 2 + 2x + l) + 25(y2 + 6 y + 9) = - 9 + 9 + 225

x 2 - y 2 -1 6 = 0 Desarrollo x 2 - y 2 = 16 es una hipérbola

(Í5)

x2 +9y2- 8 x + 7 = 0

Desarrollo Completando cuadrados se tiene: x 2 - 8 x + 9 y 2 = - 7

( x 2 - 8 x + 16) + 9 y 2 = - 7 + 16

7 i (x —4)2 y 2 ( x - 4 ) + 9 y = 9 de donde — ------ h— = 1 es una elipse de centro (4,0)

Desarrollo Completando cuadrados se tiene:

=>

y - 4 = - ( x 2 - 2 x + l)

y - 4 = -( x - 1)2 es una parábola de vértice V( 1,4)

@

16x2 + y 2 —32x - 6 y + 25 = 0 Desarrollo Completando cuadrados se tiene:

@

y 2 —3x 2 = 27

16(x2 - 2 x ) + (y 2 - 6 y) = -2 5 es una elipse imaginaria

110

í? )

Hepresentación Gráfica

111

Desarrollo

x

y

---------- = 1 es una hipérbola 27 9

xy + 15y + 3x = 15 Desarrollo Factorizando se tiene: xy + 15y + 3 x - 15 = 0

y(x + 15) + 3(x + 15) = 60

(y + 3)(x + 15) - 60 es una hipérbola equilátera

2* = 5 y - r

Desarrollo Completando cuadrados se tiene:

2x = - ( y - 5 y )

25 5 2 ( x ) = - ( > '— )2 es una parábola de vértice: V(— -

g )


8

2

25 => 2 (x— —) = ~ ( y 2 - 5 y + ~ ) 4 25 5 ) 8

2

y 2 - 2 y - S x + 25 = 0 Desarrollo Completando cuadrados se tiene:

y - 2 y = 8 x -2 5 =>

(y -1 ) = 8 0 - 3 ) es una hipérbola de vértice V(3,1)

5x2 + 4y = \2 Desarrollo 5x 2 = - 4 ( y - 3) es una parábola de vértice V(0,3)

y 2 - 2 y + 1 = S x - 24

Eduardo Espinoza Ramos \ ! +■y;

111


4.v 2y + 6 = 0 Desarrollo

Completando cuadrados se tiene: x2 - 4 x +y 2 - 2 y = -6

=*

(x2 - 4 x + 4) + ( y 2 - 2 y + 1) = - 6 + 4 + 1

(x -2 )~ + ( y - l ) 2 = -1 es una circunferencia imaginaria (ío )

xy + 15y + 3x = 15 Desarropo

y2 -4 x 2-4 y + 4 = 0 Desarrollo Completando cuadrados sé tiene: y 2 - 4 y + 4 - 4 x 2 = -4 + 4

Factorizando se tiene: xy + 15y + 3x - 15 = 0 =>

y 2 - 4 y - 4 x 2 = -4

y(x + 15) + 3(x + 15) = 60

(y + 3)(x + 15) = 60 es una hipérbola equilátera

=* ( y - 2 ) 2 - 4 x 2 = 0

(y -2 )2 x2 n — — = 0 es una hipérbola degenerada que nos da un punto (0,2)

y 2 - I2y +46 = 0 Desarrollo y 2 -1 2 y + 36 = -1 0 => ( y - 6 ) 2 = -1 8 no tiene lugar geométrico @

y2 - 2 y - 8 x + 25 = 0

3y2 + 2 x = 0

Desarrollo Desarrollo 1

.


y2 - 2 y = 8 x -2 5 => y 2 - 2y +1 = 8 x - 2 4

3y2 = - 2 x es una parábola (y —l)2 = 8 (x -3 ) es una hipérbola de vértice V(3,l)

Yt

xy - 6 x + 2 = 0

0

Desarrollo

X


K
\ ! f y 2 4 x - 2 y +6 = 0

Factorizando se tiene:

113 x(y - 6) = -2 es una hipérbola equilátera.

Desarrollo Completando cuadrados se tiene: x2 - 4 x + y 2 - 2 y = -6

=>

{x2 - 4 x + 4) + (y 2 - 2 y + l) = - 6 + 4 + 1

(a: - 2)2 + ( y - l ) 2 = -1 es una circunferencia imaginaria y 2 - 4 x 2 - 4 y +4 = 0 Desarrollo Completando cuadrados se tiene:

y 2 - 4y - 4x2 = - 4

1.27. y 2 - 4 j + 4 -4 jc 2 = - 4 + 4

=> ( y - 2 ) 2 -4 jc2 = 0

APLICACIONES DE LAS CURVAS CUADRATICAS EN PROBLEMAS EN ADMINISTRACION - ECONOMIA. CURVAS DE OFERTA Y DEMANDA.-

( v —2)2 x 2 - -------- —= 0 es una hipérbola degenerada que nos da un punto (0,2)

y —12y + 46 = 0 Desarrollo y 2 —12y + 36 = —10 => (>>-6)2 = -1 8 no tiene lugar geométrico 3y2 +2x = 0 Desarrollo Funciones de demanda parabólicas

3y = - 2 x es una parábola

xy - 6 x + 2 = 0 Desarrollo

Funciones de oferta parabólicas


114

1.28.

Wi presentación Grafica

EQUILIBRIO DE MERCADO.-

115

Calculando el punto de equilibrio:

jA = 1 6 -2 y < {4x = 4 y + y 2

4(16 - 2y) = 4y + y

E1 precio del producto y la cantidad del producto que corresponden al equilibrio de mercado es determinado por la intersección de las curvas de oferta y demanda.

1.29.

de donde: y + 1 2 y -6 4 = 0

=> (y + 16)(y - 4) = 0 = > y = 4

GRÁFICAS PE TRANSFORMACIÓN DEL PRODUCTO.-

para y = 4, x = 1 6 - 8 = 8

La gráfica de transformación de productos corresponde a una familia de curvas de esta

Luego el punto de equilibrio del mercado es: (8,4)

clase, en la que los elementos de la familia corresponde a diversas cantidades de insumos. ©

a)

, b)

x = 130- 4 y

1.30. PROBLEMAS.-

Desarrollo

Para cada uno de los siguientes pares de ecuaciones i)

x x y = 10 + —+ ---5 100

Determine ¿Cuál ecuación representa una curva de demanda, y cual una curva de

.„ x x y = 10 + —+ ---5 100

y - 9 = (— + 1)2 10

oferta? ii)

Evalué algebraicamente la cantidad y precio de equilibrio de mercado.

iii) Compruebe geométricamente los puntos de equilibrio determinados en forma algebraica. 7)

a)

x = 16 - 2y

b)

4x = 4 y + y 2

Desarrollo s

4x = y 2 +4 y => 4(jc + 1) = (y + 2)2

ahora calculemos el punto de equilibrio de mercado * = 1 3 0 -4 y 2

=> x 2 + 4 5 * -2 2 5 0 = 0 =* (x + 75)(x - 30) = 0

y = 10 + - + -----

5

100

de donde x = 30, y = -75 x = 16 - 2y es de demanda ;

4x = 4y + y~ es de oferta

Luego el punto de equilibrio del mercado es (30,-75)

« Eduardo Espinoza Ramos

2>

a)

„

X

Representación Grafica y = 4 +x

x~

y = 2 + —+ — 5 20

b)

y=

y =l6 -x ¿

Desarrollo x jr y —10 H— i-----5 100

x2 +x - 1 2

117

=* 1 6 - X2 = 4 + ;

= 0 => (x + 4 )(x - 3 ) = 0

x=3

para x = 3, y = 7 el punto de equilibrio es (3,7) (x + 2)2 = 2 0 (y -~ )

©

a)

jt = 3 2 - 4 y - y 2

b)

y=— +1

20

Desarrollo x = 32 —4y —y 2 => x - 3 6 = - ( y + 2)2

y=.

3 0 -x 11

4)

a)

y =l6 -x 2

b) y = 4 + x Desarrollo y = — + 1 es de oferta

;

x = 3 2 -4 y -y

es de demanda

ahora calculamos el punto de equilibrio de mercado x = 2 0 y -2 0 x = 32 - 4 y - y

,

=* 2 0 y -2 0 = 3 2 - 4 y - y 2

y2 + 24y -5 2 = 0 => (y + 26)(y - 2) = 0 de donde: y = 2, x = 20 el punto de equilibrio es: (20,2)

© y = 4 + x es de oferta ;

y

= 16 - x

a)

y = 9x + 12 Desarrollo

es de demanda

ahora calculamos el punto de equilibrio de mercado

b)

y = 3 9 -3 x " =» y - 3 9 = -3 x

y = 3 9 -3 *

i Eduardo Espinoza Ramos

8

Kipresentación Grafica

119

Ahora calculamos el punto de equilibrio:

x y = 6¿ + — 4

=> y = 6 +

36- y

x= ^3 6 -y 4y = 24 + 36 - y

3y = 60 => y = 20

para y = 20, x = 4. El punto de equilibrio es: (4,20) a)

y = (x + 2 )2

b) • y = 3 9 - 3 x 2 Desarrollo

Y 3x2 + 9 x - 2 7 = O =»

x 2 + 3 x - 9 = 0 de donde

39

(x + —)2 = 9 + —

2

4

3 y/45 3 3y¡5 , ‘ 3 3a/5 3 , «r 1N x = — ± ------------------------------------------------------------------ = — ± --- por lo tanto

2

2

2

2 "

2

y = — (> /5 -l) + 12 = — - J s - — entonces

El punto de equilibrio es

2

2

1 / , ' ' 8___ 4

x = — + --= —(v5 —1)

' x

y = —(9> /5-l)

3 3 (— (-JE-1 ),—(9>/5 -1)) 2

I

—► de oferta: y = (x + 2)2

r\ /l / l / i V - * - de dem anda: y = 39 / l / i / l l 5 0 5 1 X 2

2

Ahora calculamos el punto de equilibrio: b)

x = ,/3 6 -y

y = (x + 2) ,, < => (x + 2) = 39 - 3x [y = 3 9 -3 x 2

Desarrollo y = 6+ :

y -6 = -

4 x2 + 4 x - 3 5 = 0 => (2 x - 5)(x + 7) = 0 de donde: x = — , y = —2 4 5 81 Luego el punto de equilibrio es: (—, — )

a)

y = 48 - 3x*

b) Desarrollo

í v = 48-3 x 2

f y - 48 = —3x2

{y = x2 + 4x + i6 ^

{ y —12 = (x + 2)2

y = x + 4x + 16


120

Krpresentación Grajica fll)

a)

121

x = 10y + 5y2

b)

x = 6 4 -8 y -2 y '

Desarrollo x = 1 0y+ 5y' Ix = 6 4 - 8 y - 2 y 2

a)

b)

x = 8 4 -y 2

x + 5 = 5(y + l) lx - 7 2 = -2 (y + 2)2

x - y +4y‘

Desarrollo jx = 8 4 ~ y 2 [x = y + 4y2

A' = 64—8 y - 2 y 2 es de demanda ;

x = 10y + 5y2 es de oferta

ahora calculamos el punto de equilibrio de mercado jx = 64 —8 y - 2 y

10y + 5y2 = 6 4 - 8 y - 2 y 2

[x = 10y + 5y 7 y 2 + 18y~ 64 = 0

(7y + 32)(y - 2) = 0 de donde y = 2 luego x = 40

Por lo tanto el punto de equilibrio de mercado es: (40,2) x = 84 - y ¿ es de demanda ;

x = y + 4y

es de oferta a)

b)

x = 10y + 4y

Calculamos el punto de equilibrio de mercado Desarrollo íx = 84 - y2 ,, , => y + 4y = 84-- y [ x = y +4 y ¿

jx = 10y + 4y |x = 9 6 - 8 y - 2 y 2

5y2 + y - 8 4 = 0 => (5y + 2 1 )(y -4 ) = 0 de donde: y = 4, luego x = 68 Por lo tanto el punto de equilibrio es (68,4)

x + 25 = 4(y + —)2 2 x —104 = -2 (y + 2)2

x = 10y + 4y2 es de oferta ;

x = 9 6 - 8 y - 2 y 2 es de demanda

x = 9 6 -8 y -2 y

22


Representación Grafica @

a)

123 b)

X = 2y2 - 2 y - 6

* = - y 2 - y + 18

Desarrollo

j* = 2y - 2 y - 6 Lv = - y 2 - y + 18

3)

a)

(x + 16)(y+ 12) = 480

13 1,2 x + — = 2 (y — y 2 2 73 = (y , + “~ 1,2 * ----) 4 2

b) y = 2x + 4 Desarrollo

(x + 16)(y + 12) = 480 es una hipérbola equilátera

jc = 2y2 - - 2 y - 6 esdeoferta

;

x = - y 2 - y + 18 esdedem anda

ahora calculamos el punto de equilibrio de mercado

(x + 16)(y + 12) = 480 es de demanda

y = 2x + 4 es de oferta

í.x = 2 y2 —2 y —6 ^ |* = - y 2 - y + 18

2 , 2y - 2y - 6 = —y - y + 18

ahora calculamos el punto de equilibrio, se tiene:

3y2 - y - 2 4 = 0 => (3y + 8)(y - 3) = 0 de donde y = 3 luego x = 6

í (* +16)( y +12) = 480 < de donde: (x + 16)(2x + 16) = 480 [y = 2*+ 4

por lo tanto el punto de equilibrio es (6,3) a)

(x + 16)(x + 8) = 240 => x 2 + 24* + 128 = 240 x 2 —24jt —112 = 0 => (x + 28)(x - 4) = 0 de donde x = 4 luego y = 1 2 Por lo tanto el punto de equilibrio se tiene (4,12)

b)

y = 10—3* Desarrollo

y = 1 0 -3 * [y = 4 + * + 2*

y -1 0 = -3 * [y —5 = (*+1)

y = 4 + j t + 2*

124


125

Representación Gráfica ©

a)

b)

xy = 15

y=x+2

Desarrollo

Ahora calculamos el punto de equilibrio:

| y = 1 0 -3 *

4 + x2 + 2* = 1 0 -3 jt2

[y = 4 + x +2x xy = 15 2x2 + x - 3 = 0 => (2x + 3)(x - 1) = 0 de donde x = 1, y = 7 Por lo tanto el punto de equilibrio es (1,7) a)

xy = 30

y = *+2

• x(x + 2) = 15

jr + 2 X - 1 5 = 0 => (x + 5 )(x ~ 3 ) = 0 dedonde x = 3 luego y = 5 b) 3 y - x = 9

Desarrollo

Por lo tanto el punto de equilibrio es: (3,5) a)

(x + 10)(y + 20) = 300

b) Desarrollo

Calculando el punto de equilibrio de mercado 3y2 -9 _ v -3 0 = 0 => y 2 —3 y -1 0 = 0 => ( y - 5 ) ( y + 12) = 0 de donde: y = 5, x = 6 luego el punto de equilibrio es (6,5)

(x + I0)(y + 20) ?= 300 jt = 2 y ~ 8

=s> (2y + 2)(y + 20) = 300

x = 2 y -8

126


K¡presentación Gráfica

127

y 2 +21y + 20 = 150

(y + l)(y + 20) = 150 =*

y 2 + 2 1 y - 130 = 0 => (y + 26)(y - 5) = 0 de donde y = 5 luego x = 2 Por lo tanto el punto de equilibrio es (2,5) 19)

a)

( x + 1 6 ) ( y + 12)= 144

b)

, = 2+-

Desarrollo

Calculando el punto de equilibrio x - y + 6 = 0 => y = x + 6 como (x + 12)(y + 6) = 169 (x + 12)(x + 12) = 169 => (x + 12)2 = ¡69

<=> x = ± 1 3 - 1 2

de donde x = 1, y = 7

Luego el punto de equilibrio de mercado es (1,7)

©

a)

(x + 5)(y + 6) = 80

w Desarrollo

Ahora calculamos el punto de equilibrio (x + 6)()> + 12) = 144 y = 2+^

=> (x + 6)(—+ 14) = 144 => (x + 6)(x + 28) = 288

x 2 + 34x + 168 = 288 => jc2 + 3 4 * -1 2 0 = 0

x=

-34 + ^342 + 4(120)

=> x =

-3 4 + Vi 156+ 480

Encontrando el punto de equilibrio se tiene:

-3 4 +71636 x = ---------------- = 3.22 como x = 3.22, y = 3.61

í(x + 5)(y + 6) = 80 x => (x + 5)(^ + 9) = 80 ly = -~ + 3 3 I 3

Luego el punto de equilibrio es (3.22, 3.61) ?S>

a)

(x + 12)(y + 6) = 169

b) Desarrollo

x -y + 6 = 0 (x + 5)(x + 27) = 240

=> x + 32x+135 = 240

, . r

s


128 x2 + 3 2x-105 = 0

presentación Gráfica

=> (x + 35)(x - 3) = O de donde x = 3, y = 4

129

Calculando el punto de equilibrio:

í Jt( y '4*ó ) = 24 V .=> x(2x + 2) = 24 [y -2 x + 4 = 0

Luego el punto de equilibrio es (3,4) x + x -1 2 = 0 a)

b)

(x + l)y = 5

=> (x + 4 )( x - 3 ) = 0 de donde x = 3, y = 2

y =Luego el punto de equilibrio del mercado es (3,2)

Desarrollo (24)

a)

y(x + 3) = 18

b) y - 3 x + 6 = 0 Desarrollo Y'

\

/ / - * . d e o ferta

■

jL r d e d e m a n d a

\ 3 \

\ /

// (x + l)y = 5 Calculando el punto de equilibrio:

x

(x + l ) - = 5 4

-3

0

/

/

/

//

/

/

/

23

x

/ t / '- 6

. I y(x + 3) = 18 El punto de equilibrio es: < =í> (3x - 6)(x + 3) = 18 [y -3 x + 6 = 0

x 2 + x - 20 = 0 => (x + 5)(x - 4) = 0 de donde x = 4, y = 1 x + x -1 2 = 0

Luego el punto de equilibrio es: (4,1) x(y + 6) = 24

b) Desarrollo

y - 2x + 4 = 0

a)

(x + 4)(y + 2) = 24

b) Desarrollo

y = 1+

H I
a)

=> x = 3, y = 3. Luego el punto de equilibrio es (3,3)


130

Calculando el punto de equilibrio

Htpresentación Gráfica

131

(x + 4 )(y + 2) = 24 x => jc2 + 1 0 x -2 4 = 0 >’ = ! + --

2

(x + 12)(x - 2) = O de donde x = 2, y = 2. Luego el punto de equilibrio es (2,2) -y2-y

a)

b)

y = x +5x+l

y + 2x~ —9 = 0

— _—

Desarrollo [y = x2 +5;c + l [y + 2x2 - 9 = 0

X

1 / 5 ,2 y + - = (jc + - T 4 2 y - 9 =-2xz Calculando el punto de equilibrio de mercado fx = 3y2 -3 y -2 J

, -, =í> n3y 2 - 3a .y, - o2 _= m 10- y..2 - y

x = 10- y ~ - y 4y2 ~ 2 y - 1 2 = 0

=> 2y2 - y - 6 = 0 => (2y + 3)(y - 2) = 0 de donde y = 2, x = 4

Luego el punto de equilibrio de mercado es: (4,2) y = x 2 +5x + l

Í

2 2 x +5x + l = 9 - 2 x

@

a)

(x + 10)(y + 5) = 225

b) Desarrollo

y + 2x2 —9 = 0

Y'

3x + 5 x - 8 = 0 => (3x + 8)(x - 1) = 0 de donde x = 1, y = 7 Luego el punto de equilibrio es: (1,7)

;

a)

i l

d e o fe rta

10 / ¡ /

b)

* = 3y - 3 y - 2

x = 1 0 -y - y

x'

\

-1 0

rr

\ s y

Desarrollo

/

i i

0

5

/ /

/ 1

s / L , - de dem anda

/

\ ~ 5 y '

\

/

J.v= 3y2 - 3 y - 2

jc+ —

= 3 (y --)2 4 2

[x = 1 0 - y2 - y

41 / 1,2 x ------ = - ( y + - ) 4 2

-5

N

\

\

I /

Calculando el punto de equilibrio del mercado:

X

x- y+5=0

132

Eduardo Espinoza Ramos I (* + 10)(y+ 5) = 225 * - > ’+ 5 = 0

(x + 10)(x+ 10) = 225

133

\nUación Gráfica I .a cantidad x toma su valor máximo cuando y = 0 de donde 65 -1 2 * - 5* = 0 13 5*2 +12* - 65 = 0 => (5x - 13)(x + 5) = 0 de donde * = ~ es el valor máximo.

(* + 10)2 = 225

=> x + 10 = ± 15 de donde x = 5, y = 10

Luego el punto de equilibrio es (5,10)

La cantidad y toma su valor máximo cuando x = 0 de donde y = 65 es su valor máximo.

Cada una de las ecuaciones siguientes representa una curva de transformación del

y —4 5 -9 *

producto para las cantidades x, y respectivamente, de dos artículos relacionados; calcule

Desarrollo

las máximas cantidades de x, y que puede producirse. * = 3 6 -6 y 2 Desarrollo

2 45 La cantidad x toma su valor máximo cuando y = 0 de donde * = — = 5 => * = V5 9 luego * = yfs es su valor máximo. La cantidad y toma su valor máximo cuando x = 0 de donde y = 45 es su valor máximo. La cantidad x toma su valor máximo cuando y = 0 de donde x = 36 es el valor máximo. * = 1 6 -4 y -2 y La cantidad y toma su valor máximo cuando x = 0 de donde y = V6 es el valor máximo.

Desarrollo * = 1 6 -4 v - 2v2 completando cuadrado

y = 6 5 -1 2 * - 5 * Desarrollo y = 65 -1 2 * - 5 * , completando cuadrados:

761 y -------= -5(* + —)

* -1 8 = -2 (y + l)¿

134

135

M utación Gráfica

Eduardo Espinoza Ramoi La cantidad x toma su valor máximo cuando y = 0 de donde x = 16 es su valor máximfl

l’ara x = 7, y = 28 + 28 = 56 => y = 56

La cantidad y toma su valor máximo cuando x = 0 de donde:

Luego el gerente esta en lo correcto, con respecto al numero de empleados.

1 6 ~ 4 y -2 ;y 2 = 0 valor máximo.

=> ;y2 + 2>’~8 = 0 => (y + 4)(y - 2) = 0

de donde y =.2 es

Eil tipo de curva es una parábola de vértice (-1,-2)

J

No. de trabajadores x Unidades Producidas y 6 1 16 2 30 3 4 48 70 5 96 6 126 7

El gerente de producción de una empresa cree que el ¿departamento de ventas as m ¡ mercadotecnia puede vender diariamente 126 unidades de un producto, y quiere produciB esa cantidad, si supone este funcionario que todos los factores que no sean el numero d J trabajadores y la producción resultante, se mantendrán constantes dentro de los limites d a esta producción total, la función de producción puede expresarse por la ecuación! 2 1 2x + 4 x - y = 0 en la que x representa el numero de trabajadores, y las unidadfiM producidas.

i

Dicho gerente asegura que necesitara 7 hombres para producir las 126 unidades. a)

Suponiendo que la ecuación es adecuada 7 hombres para producir las 126 unidades.)

b) ¿Qué tipo de curva representa la ecuación? Trace la curva. c)

Construya una tabla que muestre las unidades producidas por trabajador - empleada en el intervalo de 1 a 7 obreros. Indique el cambio en el numero de unidade

(8 )

10 14 18 22 26 30

El director de Investigación de Operaciones de una Compañía cree que el costo medio de producción a corto plazo puede expresarse mediante la ecuación x 2 - 1 6 * - y + 68 = 0 en la que x representa el numero de unidades producidas, y “y”, el costo medio (o promedio) por unidad, afirma que dicho costo será mínimo cuando se produzcan 8 unidades: a)

¿Es correcta su observación?

b)

¿Qué tipo de curva esta representada? Trace dicha curva.

c)

Construya una tabla de valores de y para el intervalo de x = 4 a x = 12, e indique

producidas en este intervalo a medida que se va agregando cada trabajador.

la magnitud del cambio de y para cada cambio de x.

Desarrollo 2x2 + 4 x - y = 0 , completando cuadrados: y + 2 = 2(x + l)2

Ay

Desarrollo a)

El costo medio por unidad es: y = 1- 16 + 18 = 153 Para x = 8 unidades, y = 64 - 108 + 68 = 24 Por lo tanto es verdadera dicha aseveración.

b) c)

y = x 2 -1 6 x + 63 =>

_v- 4 = ( x - 8 ) ? es una parábola de vértice (8,4)

__________________ ' X

4

y

20

Ay

___

13

6 8

7 5

8

2

-2

5

»

Eduardo Espinoza Ramos l'ii el análisis del ingreso nacional, ¡a demanda respectivo ai dinero a conservar o

137

saltación Gráfica b) Tasa de interés x 2 3 4

(preferencia de liquidez", como la llama Keynes, a menudo es considerada como dependiente de tres causas: el motivo de transacciones, el de precaución y el especulativo. Suponga que aun nivel dado del ingreso nacional, ios efectos de los motivos de

Demanda de dinero a conservar y 4 2 4

transacciones y de precaución son constantes el motivo especulativo se considera que es

3 1 4

5 6

función de la tasa de interés expresada por la ecuación (x - l)y = 4, en la que x es el tipo de interés (%) y “y” es la demanda de dinero a conservar, expresada en miles de millones de dólares.

3 7

a)

2 3 4

¿Qué tipo de curva expresa la ecuación trace dicha curva. 100

b)

99

Elabore una tabla de valores para “y”, la cantidad de dinero a conservar ¿en miles de millones de dólares?. Para valores de x desde el 2% hasta el 7% ¿Cuál es el valor de y cuando x = 100 (en miles de millones de dólares?

c)

Es el segmento para el cual x > 2.

Por convención, en el análisis económico tratado en el problema 35 anterior, la variable c)

Ubique y describa el segmento de la curva que representa la “trampa de liquidez”,

dependiente (demanda de dinero a conservar) suele asignarse al eje x en vez de el eje y,

ósea, el segmento en el que la tasa de interés parece perder su fuerza como factor

una ecuación empleada para expresar las ideas Keynesianas con respecto a la relación

eficaz en la influencia de la demanda del dinero a conservar.

entre la tasa de interés y la demanda en cuestión, es x(y - 1) = 4.

Desarrollo a)

(x - l)y = 4 es una hipérbola de centro el punto (1,0) y su eje transverso es paralelo j al eje Y.

a)

¿Qué tipo de curva representa ahora la ecuación? Trace la curva.

b)

Elabore una tabla de valores para la tasa de interés y en función de valores x de 1 a 7 (en miles de millones de dólares) ¿cuál es el valor de y cuando x = 100 (en miles de millones de dólares)? Realice y describa el segmento de la curva que representa la “trampa de liquidez”. Desarrollo

a)

El tipo de curva es una hipérbola de centro (0,1).

Eduardo Espinoza Ramot

138

m i‘><\
b) Tasa de interés x 1 2 3

Para x = -2

demanda de dinero a conservar y 5 3 7

b)

3 2 9

4 5

y = l+ 2 + 4 = 7 [(—2 + 2 )( y -2 ) = 4

y=7 y = 00

por lo tanto son diferentes

Es la misma de a) su valor es y = 4

c)

5 3 2 11

ó 7

7 26 25

100

Es el segmento para el cual x > 1. /~ \ (37)

139

Una planta siderúrgica produce x, y cantidad de acero de tíos tipos diferentes, con los 300 mismos recursos. La curva de transformación es: y = 2 0 (x < 30) 3 0 - jc

x2 Considere la parábola y = — - x + 4 y la hipérbola (x + 2)(y - 2) = 4

a)

Trace la curva

pero cuando x = 4 y x = -2 las ecuaciones dan valores diferentes de y.

b)

Determine la cantidad máximo de x y de y que puede producirse.

b)

Compruebe que las dos ecuaciones tienen el mismo valor de y solo para x = 0, x - 2.

c)

Si la demanda del tipo de acero x es el doble que la del tipo y, determine las

c)

Trace las dos curvas en el mismo sistema de coordenadas.

a)

Demuestre que para x = 0 y x = 2 ambas ecuaciones tienen el mismo valorde y,

cantidades que la planta debe producir. Desarrollo

Desarrollo a)

fy = 0 —0 + 4 íy = 4 Para x = 0, < => <' (0 + 2 )(y -2 ) = 4 [y = 4

a)

. por lo tanto tienen el mismo valor

fy = 1 - 2 + 4 = 3 íy = 3 . Para x = 2, {' => <' por lo tanto tienen el mismo valor l(2 + 2 )( y -2 ) = 4 [y = 3

Para x - 4 ,

\ y = 4 —4 + 4 = 4

{ => l(4 + 2 )(y - 2 ) = 4

y =4 8 por lo tanto tienen diferentes valores y -3 -

I III

Eduardo Espinoza Ramos b)

La cantidad de x es máxima cuando y = 0.

0

=

20

300 -

3 0 -x

c)

b)

=*► x = 15 que es el valor máximo

La cantidad de y es máxima cuando x = 0 x Como y = — se tiene: 2

300 y = 20---------3 0 -x

x ¿ - 7 0 x + 600 = 0

je2

La cantidad de x es máxima cuando y - 0 ( x - 2 4 ) ( 0 - 3 6 ) = 240 => x = y = 17.33

y = 2 0 - 3- ^ - = 10 3 0 0 -0

La cantidad de y es máxima cuando x = 0 (0 - 24)(y - 36) = 240 => y - 3 6 = -10 => y = 26

£ =2 0 -^ 2 3 0-x c)

x(30 - x) = 40(30 - x) - 600 => 30* -

141

H»presentation Gráfica

2 Como x = —y entonces:

2 (—y - 24)(y - 36) = 240

= 1 2 0 0 -3 0 * -6 0 0

(x - 60)(x - 10) = 0 =

(y - 36)(y- 36) = 360 => ( y - 3 6 ) 2 =360 => y = 3 6 -1 8 .9

x = 10 x = 60

Para x = 10, y = 5 es lo que debe de producirse, puesto que x < 30

x = 11.4 (4«»)

Una empresa fabrica dos tipos de papel con los mismos recursos; si x, y representan las cantidades producidas, la curva de transformación es: (x - 30)(y - 15) = 150, (x < 30).

Una fabrica que produce dos clases de dulces a partir de los mismos ingredientes, si x, y representan las cantidades producidas, la curva de transformación es: (x - 24)(y - 36) = 240, (x < 24)

Trace la curva.

b)

Si la demanda de papel de tipo x es tres veces la del tipo y, determine las cantidades de papel que la compañía tiene que producir.

a)

Trace la curva.

b)

Determine las cantidades máximas de x y de y que pueden ser producidas.

c)

Si la demanda del dulce de clase x es dos tercios de la del tipo y, determine las cantidades a producirse. Desarrollo

a)

a)

c)

Si la demanda del tipo y excede a la del tipo x en cuatro unidades, indique las cantidades respectivas que la empresa tendrá que fabricar. Desarrollo

a)

1« H lM n M B M a

Eduardo Espinoza fta/noj| ------------- .

.

------- .

I») Cuando x = 3y entonces:

b)

(3 y - 30)(y- 15) = 150 => ( y - 10)(y- 15) = 50 =*

143

Representación Gráfica El numero de personas con ingresos que exceden de 1600 son:

y2 -25>> + 1 5 0-50 = 0 Af = A x l ° 8j. = 12500

y 2 -25;y + 100 = Q =* (y - 5)(y - 20) = 0 => y = 5, y =20 si y = 5,. x = 15 ;

(1600)2

y = 20, x = 60

El numero de personas con ingresos que exceden de 3600 son:

Luego las cantidades que debe producirse son: x = 15, y = 5 „ =c)

x 2 - 4 U + 180 = 0 => (x - 36)(x + 5) = 0

c) N = número de personas 3 b = 1.5 = — parámetro de población

1.32. 2)

,

SyinS 22 8 0 0 --— j — =* x 2 = 106 => x = (106)2 =10 =10000 x2 Es decir 10000 es el ingreso mas bajo de las 800 personas con los ingresos mas altos.

x = valor máximo del ingreso a = tamaño de la población

PROBLEMAS.-

(i)

La ley de Pareto para la distribución del ingreso (en unidades monetarias especificas) en g x io 8 un grupo particular es: N = — -—

a)

¿Cuántas personas tienen ingresos que exceden a 1600?

b)

¿Cuántas personas tienen ingresos entre 1600 y 3600?

c)

¿Cuál es el ingreso mínimo de los 800 individuos que tienen los ingresos más altos?

La Ley de Pareto en un caos particular es: N

1.9xl012

> 70

a)

¿Cuántas personas tienen ingresos superiores a 50000?

b)

¿Cuántas tienen ingresos entre 25000 y 50000?

c)

¿Cuál es el ingreso mas bajo del millón dé personas que obtiene los ingresos mas elevados?

,

..

8 x l0 8

N = ----------= 2 (1600)2

8 x l0 8

8 x l0 5

105

= --------- = ----- = 12500 64000 64 8

Desarrollo

a),

Desarrollo a)

I

12500 - 3704 = 8796

LEY DE PARETO DE LA DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO.-

" - T

= ^ í ° L = i ° L 3704 216 27

de manera que el numero de individuos con ingresos entre 1600 y 3600 son:

Luego las cantidades son: x = 5, y = 9

1.31.

^

2 (3600)2

Si y = x + 4 entonces: (x - 30)(x - 11) = 150 => x2 -4L x + 330 = 150

1.9xlü12 N = ísnnnd'»1-70 K >

1.9x10" 12 (5)170(104)10

1.9x10" l7 2* 5'9,105

21 22 ‘2 1.9x10-'1.9 x 10 '5 xlO 10 12 12 510 5'°>

=> N = 12500 .2 3

17

23

=1 .9 x l0 10 x 2 ‘0 = 304x510 s 304 x 25 = 7600


EL numero de personas con ingresos que exceden de 25000 son:

1.9xl012

1.9x10.11

(25000)'-70

1Z ¿i (5 )5 (10)10

N =■

N--

59

59

1 .9 x l0 10

l.9xlO i0

17

34

55

5 10

„ a)

N =

„

n

100000 100000 . . . = ------ — = ———— = 444 15 225

El número de personas con ingresos que pasande 15 es: b)

25

145


,

.

444

. ,n

100000

El numero de personas con mgresos que pasande 50 es:

34 5

1.9x10 10xlO 10

34

„. , . . El numero de personas con ingresos que pasan de 75 es:

: 1.9xl02 x 2 10

34

w

de manera que el número de personas con ingresos en 15 y 75 es: 40 - 18 = 22 =>

N - 45600 c)

100000 2 __100000 5 = —— => x = ------------------ -=> x" = 20000 =¡> x = 141 -

17

N = 1 .9 x l0 2 x 2 5 =1.9x300x8

x

El numero de personas con ingresos que exceden de 50000 es:

N ■

1.9x10,12 (50000)\1.70

100000 100000 N = ——-— = --5525

75“

510 5

,A

N = ——— = 40

5

Es decir que 141 es ?1 ingreso más bajo de 5 personas con los ingresos más altos. =7600 ( t)

La Ley de Pareto para un grupo particular es: N =

32x10,10

de manera que el numero de personas con ingresos entre 25000 y 50000 es:

C)

45600 - 7600 = 38000

a)

¿Cuántos individuos tienen ingresos entre 12500 y 1000000?

1 O yin12 l106 = - - - 170 => jcu o = 1.9x10s => x 10 = 1.9xl05

b)

¿Cuál es el ingreso mas bajo de las 200 personas que obtienen los ingresos más

10

jc =

elevados? Desarrollo

50

1.917x 5 17 = 1 .9 x l0 3 =19000

=>

x = 19000

La ley de Pareto para una población particular es:

N =

a)

El número de personas con ingresos que exceden de 12500 son:

100000

22

„

32x1010

3 2 x l0 10

32x1010

-------------- I = ------------------- i = ------------ i " (12500)3

a)¿Cuántas personas tienen ingresos superiores a 15? b) c)

¿Cuántas tienen ingresos entre 50 y 75? ¿Cuál es el ingreso mas bajo de las 5 personas que obtienen los ingresos mas altos? Desarrollo

[(53)(102)]3

„

^

32x10 3

-------= 5 1 2 0 0 0

54 x 103

El número de personas con ingresos que exceden a 1000000 son: „

= 3 2 x l0 ^ = 3 2 x ^

= 32oo

147

Uri» rumiación Gráfica Eduardo Espinoza Ramos ili- ml mnncin (|iie cl número do personas con ingresos entre 125000 y 1000000 es: i 5 12000 - 3200 - 508800

li)

¿Cuántos tienen ingresos entre 2500 y 10000?

c)

¿Cuál es el ingreso mas bajo de las 6 personas que obtienen los ingresos mas elevados?

La Ley de Pareto en un caos particular es:

Desarrollo

625x109 N = -----------

a)

¿Cuántos individuos tienen ingresos entre 2500 y 10000?

b)

¿Cuál es el ingreso mas reducido de las 5000 unidades que tienen los ingresos mas altos?

„ a)

„ 6 x l0 9 6 x l0 9 6 x l0 9 N = ---------r- = ------ — = ----------r 3 (50) 125x10 (2500)2

.. 6 x l0 6 60000000 => N = ---------= --------------= 48000 125 125

b)

El número de personas con ingresos que exceden de 2500 es: N = — — y = 48000 (2500)2

Desarrollo a)

El número de personas con ingresos que exceden de 10000 es:

El número de personas con ingresos que exceden a 2500 es: N=

625xlO9 1 (2500)2

625x1O9 • = 5x10 53x l0 3

N = -6- ^ - = 6 x l0 3 = 6000

N = 5000000

(104)2 de tal manera que el número de personas con ingresos en 2500, 10000 es:

El número de personas con ingresos que exceden a 10000 es: 625x109 N =3

( 104)2

48000 - 6000 = 42000

625x109 - = 625000 106 c)

. 6 x l0 9 | , . 9 \ in3 6 = — -— => x 2 =10 => x~ =10

x = 1000

de tal manera que el número de personas con ingresos entre 2500 y 10000 es:

b)

5000 =

625x109

3

v2 - 625x106

3 i x 2 = 125xl06 => x 2 = 5 x l0 2 =>

x = 250000

La Ley de Pareto para una cierta población es:

a)

La Ley de Pareto es un caso determinado es:N ~ - j

(7 )

5000000 - 625000 = 4375000

N =

a)

¿Cuántos individuos tienen ingresos superiores a k?

b)

¿Cuántos tienen ingresos que pasan los 100000?

c) -

¿Cuántos individuos tienen ingresos superiores a 2500?

¿Cuál es el ingreso más bajo de las 10 personas que obtienen los ingresos más altos?

d)

¿Cuántas personas tienen ingreso entre S y T?

e)

¿Cuántos tienen ingresos entre 500000 y 150000? Desarrollo

»1" * tratación Gráfica

148

149

Eduardo Espinoza Ramai

«)

N = — = p - individuos con ingresos superiores a k.

b)

N=(lOOOOOf

a ° = 1, a * 0

®

(10)ib

8

a y = \(a 7 , x > 0

f C)_ U N C IÓ N LOGARÍTMICA.c)

10 =

d)

■ xb = — => I n i = 10 h

) => In x = ln(-^-)* 10

El número de personas que tienen ingresos entre S y T es:

x = (~ )b 10

a

a

a(tb - s b)

su

t"

suf

logfc x = y “logaritmo en base b del número x e y” b > 0 , b ? il;

logfrj c - y

x*=by

De acuerdo a la parte d) se tiene:

e)

(5 x l0 5)*

1.33.

10

(lSxlO 3)*

105ÍI 56

15*

IO5*

,5 sh (15xl05)

15*

CURVAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTM iCAS. A)

FUNCIONES EXPONENCIALES.y ~ a x, a> 0

NOTA.-

= base = exponente

^T ) Si y = loge x = ln x

( 2)

Si y = log10 jc = log*

( 3 ) e = lim (1 + —)"

n-*oo

D)

B)

n

PROPIEDADES, ©

\ogb(xy) = logb x + \ogb y

©

logt *r = Hog* x

PROPIEDADES.©

ax jay = ax+y

®

S L m(^ y 4)

®

(axy= a*>

4)

(ab)x = a xb x

loga x = logfl ¿(log* x) = (—^— ) logfc * logfc a

( 2)

logfc(^-) = logfc X-logfc y

Ill)


Hi /»/ vsentación Gráfica

Trace sobre el mismo sistema de coordenadas, las curvas representadas por y = a x para a = 2, e, 3 y 10 Desarrollo

11.34. PROBLEMAS.-

®

¿Para que ámbitos o intervalos de variación de x están definidas las siguientes curvas? a)

y = ln(x + 1)

c)

y = ln(x3 + 27)

151

b) y = ln (x -4 ) d) y = ln(x -1 6 ) Desarrollo

a)

y = ln (x + 1) está definida si x + 1 > 0 de donde x > -1

b)

y = ln (x - 4) está definida si x - 4 > 0 de donde

c)

y = ln(jc3 + 27) está definida si x 3 + 27 > 0 (x+3)(x2 - 3 x + 9 ) > 0

d)

=> x + 3 > 0 de donde x

x>4

©

Trace en el mismo sistema de coordenadas, las curvas representadas por y = loga x para: 2. e, 3, y 10 Desarrollo

©

Trace en el mismo sistema de coordenadas, las curvas representadas por las ecuaciones:

>-3

y = ln(x4 -1 6 ) esta definida si x 4 -1 6 > 0 (x ~ 2 )(x + 2 )(x 2 + 4 ) > 0 =* (x - 2)(x + 2) > 0

Por lo tanto: x < -2 y x > 2 Trace sobre el mismo sistema de coordenadas, las curvas representadas por las ecuaciones: a)

y = 2X

b)

y = 2~x Desarrollo

c)

y = 22

d)

y =2

lx

a)

y = 3*

b) y = log3 x Desarrollo


1

@

i /in

ntación Gráfica

¿Para qué intervalos de x están definidas las siguientes curvas? ®)

y = —ln (l~ j:2)

b) y = ln (3 6 -x 2)

d)

y = -3 - 6 ln (x - 2)

e) y = ln ( x - 2 7 )

c)

y = ln(x2 - 3 6 ) |

Desarrollo a)

y = ^ l n ( l - x 2) está definida si 1-jc2 > 0 => x 2 < \ =s-

b)

y = ln (3 6 -;t2) está definida si 3 6 - x 2 > 0 => x2 <36

-1 < x < 1 => - 6 < x < 6 C)

c)

y = ln(>2 -3 6 ) está definida si x 2 - 36 > 0

x 2 > 36

\ > 6 v x < -6

N - <:a

d)y = -3 - 6 ln (x - 2) está definida si x - 2 > 0 de donde x > 2 e)

CURVAS DE GOM PERTZ.-

N = número de individuos en una población al tiempo t.

y = ln (x - 27) está definida si x - 27 > 0 de donde x > 27

1.35. APLICACIONES DE LAS CURVAS EXPONENCIALES LOGARÍTMICAS EN ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIA.-

R = es la tasa de crecimiento 0 < R < 1

Y

a = es la proporción de crecimiento inicial, c - es el crecimiento a) finalizar.

A)

INTERES COMPUESTO, y = ;c(l + - y ,i x x = cantidad de dinero n = años k = veces al año i = Ínteres y = el monto a los n años

B)

CURVAS DE CRECIM IENTO BIOLÓGICO.N = N0R‘ N = número de personas en una población al tiempo t.

ID)

CURVAS RE ; y - r ~ai -fcr

N0 = número inicial de personas en la población. R > 0 es la tasa de crecimiento

c, a, k son positivos

154



155

f/V = ? Datos:

j

_3

Formula: N

=

N0R‘

[í = 15 N = 10(315) = 10(14348907) ( i)

=> N = 143489070

El ingreso total mensual R (en dólares) de una empresa particular puede describirse poi medio de la ecuación R = 1000(0.10)° 8 p en la que p es la cantidad gastada en publicidad

1.36.

¿Cuál es el ingreso total cuando no se tienen gastos publicitarios? ¿Cuál es el ingreso

PROBLEMAS.-

máximo total obtenible? ¿Cuál es el valor del ingreso total si $ 20 es el gasto mensual en (T )

Una cierta organización desea depositar en el banco 10000 dólares, y dejar ese deposito

promoción?

por 20 años, se dispone de dos operaciones: 5% de interés pagadero cada semestre, y

Desarrollo

4 \ % de interés pagadero trimestralmente ¿Qué opinión debe elegir dicha empresa?

Cuando no se tienen gastos de publicidad se tiene: p = 0 de donde R = 1000 que es el ingreso total.

Desarrollo

El ingreso total cuando se tiene p = 20

y = x(l + i)n =10000(1 + 0,05)20 => y = 104(1,05)2° = 2Ó841 dólares

R = 1000(0.10)
= 24480 dólares debe elegir el de 5% de interés.

4

3

/? = 1000x(0,10)(0.10)a6 =100(0.10)5

Con el fin de contar con una suma de 20000 al cabo de 20 años al 6% de interés anual ¿cuánto deberá depositar ahora?

( 5) Desarrollo

3

^

/? = 100(0.10)5

Los costos de producción (en ciento de dólares) de una empresaestán descritos por

ecuación: c = 100-70e~oo2'> en donde x es el número de unidades producidas ¿cuáles son los costos fijos de la empresa? Cuando la producción es de 100 unidades ¿Que

y = x(l + 0" reemplazando:

o0000 20000 = x(l + 0.06)20 => x = —— — (1.06)

proporción de los costos de producción son los costos fijos? Desarrollo

x = 6236.0943 Para x = 100 unidades ©

Una asociación de profesionales se formo originalmente con 10 miembros. Los estatutos establecen que a cada participante puede invitar a dos personas a que se afilien, al

c = 1 0 0 - 70e(‘002)(100) = 1 0 0 - 70e~2 => c = 1 0 0 ™ =100— e“

principio de cada año. Si cada miembro hace uso de esta disposición, ¿cuántos afiliados tendrá dicha sociedad al cabo de 15 años? Desarrollo

lu

c = 100---- 2®— = loo - 9,4 = 90.6 => c = 90.6 7.3441

(2.71)2


56 y)

( álculo Diferencial

157

Una de las tareas en una línea de producción industrial consiste en colocar un pequeño

CAPITULO II

tomillo en una placa de metal, para un obrero típico, el número de tareas que realiza por hora está descrito por la ecuación y = 50 - 40e~°30jr en la que x es el número de horas que el operario trabaja en la línea de producción: a)

¿Cuántas tareas puede terminar un empleado durante la primera hora? •

b)

¿Cuántos en la sexta hora?

2.

CALCULO DIFERENCIAL: FUNCIONES VARIABLE. LIMITES DE UNA FUNCIÓN

2.1.

DEFINICION.

Desarrollo a)

Para x = 1 hora se tiene:

y = 5 0 - 40í? ~°30 = 50 - ^

=> y = 5 0 - ^

éi b)

¿i

lim f ( x ) = L <=> V e > 0 ,3 8 > 0 / 0 < | x ~ a | < 5 ^

Para x = 6 horas se tiene:

¡ f(x) - L ¡ < e

3 lim f ( x ) = L <=* lim f ( x ) = lim f ( x ) = L

y = 50 - 40 y = 50-40f>~°18 => >’ = 5 0 - - y

2.2.

PROPIEDADES.-

(%)

lim (/(x )± ^ (x ))= lim / ( x ) ± lim g(.<) t— \n yx— *■ -* a x -i/i *a

(¿ )

bm (f(x).g(x)) = (lim /(jr)).(lim g(jc)) x —>a

f(x )

lim / W ------ , lim g (* )* 0 !im g(x) x—>a

( 4)

lim

©

üm (/(* ))" = ( lim / (jc))"

6)

g(x)

lim f j (x) = J tim f ( x ) x-* a

x~+a

y x~>a

DE

UNA H

!58

5.3.

)

)

\ ) '

)

)


159

f Mmlo Diferencial

PROBLEMAS.-

D esarrollo

Evaluar los siguientes limites. x \ r x +2 r —x —>2 x +1 lim

lim (r + 6f + 5) r—»2

-

-

——

_ 2 V /2 Í2 _ 8 lim x +12“+15

x— >2

Desarrollo 0 lim(r2 +6í + 5) = 22 +6<2) + 5 = 4 + 12 + 5 = 21

lim

* _ » « x 2 4.1

t-> 2

Desarrollo

lim x 2 + 6x+3 Jt-»0

2

r2

2

lim —— = lim —i - j - ■ se ha dividido en x~ x-»~ Jt2 + 1 j+J x

Desarrollo üm x2 +6x + 3 = 02 + 6(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 *->o

lim 3f—5 lim -------.v—>5 y - 2

2 ^2

0

1 ” l+ 0 lim 1+ —r . x

_0 1

Desarrollo lim (l+ -^-)

x -->0

lim 3~V~ 5 y-2

_x

Desarrollo

5 - 3(5)~ 5 - 1 5 -5 10 lim y - 2 5 - 2 33 y-> 5

lim(l + - ~ ) = 1+ —= 1+ «» = « x 0

.1-“>0

lim ( y - 3 ) 2

y - > -2

Desarrollo

0

v2 +1 1im ■ ¡ r — *-*-1 X 2 + X + l Desarrollo

lim ( y - 3 ) 2 = lim y 2 - 6 y + 9 = (-2 )2 - 6 ( - 2 ) + 9 = 25 y-*-2 y-»-2 x2 +1

nlim m ■ "

lim x3 - 3 x + 5 jc-*2

Ü I V 2+1 _ (. - i^r - H _ 1+1 _ o lim x" + x + l (-1) -1 + 1 1-1 + i

" “ ——*

*-+-i x + x + l Desarrollo 0

lim (4 — — ) *— »“ x +1 Desarrollo

Um (4 ---- —-) = lim (4 — —-) = 4 - -

*-*»

X + l

-V

1 , *

J -I----

!

0

Eduardo Espinoza Ramosi

160

©

lini

f illculo Diferencial

3f —5

©

161

lim 2 »--oo

Desarrollo li 3 ?-5 _ |™ 3f~ 5 _ 3 (0 )-5 = t-*ot + 2 lim /+ 2 0+2 /->o

@

lim

Desarrollo

5 2

©

3 r - 5 i+ 4

Desarrollo Desarrollo

3í 2 - 5 í + 4 _ _ ^ 3 ,2 - 5í + 4

lim : t- > x

lim T

X—>oo

lim /2 + 2

t¿ + 2

lim 2“* = !im — = — = — = 0 .t-*» jc-»«. 2X 2” 00

3 -ï 2 - 5 a + 4 x

®

2 +2

t-> x

lim e~‘

t~±oo

Desarrollo

©

lim a />->o

x+h

lini e ' = lim — =

f —>oo

Desarrollo 1lim -, a I+/i _= a*-0 *— >o

_ a. = a r+0 =

©

=—= 0

*-->oo ^ £>°°oo

.. e -be lim --------/-*o 2 Desarrollo

lim 2—h A->0 Desarrollo lim 2 A = lim -4- = -4- = - = 1 h-*o ft->0 2" 2 1

©

©

.x - y lira jc ■*-»0 ■-♦0a: + y Desarrollo

lim x *->2 Desarrollo ..

_4

lim X x -* 2

..

1

1

jc— >oj«r+ y

1

lim x + y

O+ y

y

X— >0

= lim —r = —- = — *->2 ,t 4 2 16 2 X - 2~x

lim — ---- —

©

lim Xa

x -> o

+ 2~x

x -» -2

Desarrollo

Desarrollo

lu ll 2 - 2 --Ô /)-0 1 ~ 1 ~ * - > o ____~ L *~*o2X + 2~x ~ lim 2X + T x 2° + 2”° iin ,

lim jc4 = ( - 2 ) 4 =16

x~~>0

-

i l l

t í = _

n - o

’ 1+ 12~


lim *= ±

(<«)

y~>0 x + y

lim — - 1 1+ 2 '

Desarrollo

Desarrollo

lim x —y -------= £ - “ =1 lim x + y x + 0

i y->Ox+y

x3 - 2x + 5 lim ----- -------*-»“ 2x - 7

©

Desarrollo x3

- 2

x+

5

i 1+ 2 '

1+ 2°

1

1 1+ 1

I

Desarrollo

_5 2 +

2

lim — -—— x-> 0*

3

1 1 1 1 A l i m -------- -- = ------------ = ----------= — = 0 x-»(T i l + 2^°° 1 + 00 00

1+ 2 '

x2 + a 2

30)

x3 + a 3

lim —— A->0"

1+ 2 '

Desarrollo 1 a2 .. x 2 + a 2 x + x3 0+0 hm —------ = lim - — i - = -----x' + a , a 1+ 0 1+ x3 lim

1

1+ 2 '

lim ----- --------= lim — -- ---- — ~2 2x - 7 x3 lim

1

hm •

y-»0

,_ 2

163

i tllailo Diferencial

Desarrollo 1 1 1 1 , l i m ------r = -------—= ----- — = ----- = 1 *->oi 1+ 2"“ . , 1 1+ 0 1+ 2 ' l+^

1

x3 - 5 x + 6

31)

lim x-’ x -> -2

x -> o x 2 ~ 2 x + 3

Desarrollo

Desarrollo 3 c v ¿ lim x3 - 5 x + 6 lim ^ f ± 6 = - o _ ----------'-* °x - 2 x + 3 lim x - 2 x + 3

0 0+6 -

lim x3 = (-2 )3 = ■ x— >-~2

6

0 -0 +3 ~ 3 ~

x —+0

lim x 3 x~>2

lim

3

Desarrollo i

1+ 2'

hm x -3 - lim

D esarrollo

x~*2

33}

Jt-»2 x

tíx + 10

h m ---------

1

1 2'

1

— 8


( itlculo Diferencial

165

Desarrollo I»") lim

, 1fl ax + 10

lim ax + 10 lim

x-*a

2 , a +IU

l i m ---------

x~*° l + e x

Desarrollo

x

lim

l + e*

x

*-»Q

—

lim -

0

-

lim l + e 1

X— *o

„ -

l+ e

0

, 1+ 1

:0

l i m ---------

x-»°o

Ì l + ex

lim—-----------

Desarrollo

h3 + 4 / 1 + 5

*-»i

Desarrollo 1

r

í™

-

I

1

-

i +e°

1

- Ì

-h

1+ 1 2

lim e

-h

„-i

h—*\

l i m — ------------------------------------------------ ------------ j --------/i~*> h + 4 / 1 + 5 l i m /( + 4 / 1 + 5 1 + 4 + 5 lOe

l + e*

h~>1

lim

x->o-

— —-

I

(4
\ + ex

t2+ 4

lim

>-+2(t + 2 ) ( t + 3 )

Desarrollo 1

1

1

_

Desarrollo

1

l i m -------- = ------- — = ------- t = -— - - 1 *-*ar I l + ei , J _ 1+ 0

l + e*

'-*2 (f + 2)(r + 3)

,+ ~

4 + 4

lim(i + 2)(/ + 3) /->2

J5_ _ 2

4(5) ~ 20 ~ 5

■ i lim(e' +5) t— >°°

l i m ---- i—r-

* -> 0*

lim r2 + 4

t2 + 4

lim-

I

Desarrollo

l +e x Desarrollo

lim(e' +5) = e°°+5 = e + 5 = l + 5 = 6

to . *-♦0*

' I l+e*

- I — l + e°° 1+ °°

l-+oo

i . o 00

(è

lim

10

/- > o

Desarrollo

x + e*2+3 + x 2 JT-+0 e +x

lim ------ t---------

Desarrollo •

.. * + ^ +3 + *2 lim r *-*o e +x

l^

X2

+3

^

' >0

10

2

X+e

+ x .„0 + e3 + 0 _ , i 3 lim e + x e

*->o

g» - e-2f _2~3' _ e ° - e ° - e 0

lim

x 2 -1 6

i >4 0 ( x -— 4

)“

~

10

1 -1 - 1

J_

_ 10 __ To

166

Eduardo Espinoza Rann

167

I .I/i m/h Diferencial

Desarrollo x -1 6 (x - 4 ) ( x + 4) x + 48 lim---------- = lim -------------------- — -= — = lim : *->4 (( vx _- 4 y x -* 4 X - 4 0 (x - 4 )

lim

lim (1 + 3* ) X—fr«"»

oo

Desarrollo I

x 2 -1 6

I

lim (l + 3j:) = l + 3~ = 1 + 3 ° = 1 + 1 = 2

K jc-4 )2 Desarrollo OKl) lim

je2 —16

* - >- 4 ( x ~ 4 )

x —> -4

(x - 4 )

M -4 x - 4

lim ( x - 4 ) je— >“4

-4 -4

x -y +3

lim y-*o x + y - 6 Desarrollo

-8 x —y + 3 x —0 + 3 x + 3 lim --------- = --— - ------ 7 v~ »ox+y-6 x + 0 - 6 x —6

.. x -1 6 hm -------- *-** (x + 4) Desarrollo

©

x -3x" + 2 x - 6 lim------------ -------X+4

x —>3

l¡ra = lim ( f z l K í l l ) = ,-m i z ± , 1 - 4 _ 0 _ o *->4 (x + 4) x-*a (x + 4) x->4x + 4 4 + 4 8

Desarrollo x3 - 3x2 + 2x - 6

h~x +hx lim ---------JT— >o X

l“ Desarrollo

©

x+4

33 - 3(3)2 + 2(3) - 6 _ 27 - 2 7 + 6 - 6 = 0 = 0 7 ~ 7 3+4

(h + l)e hm — -z----h~*0 +1

h x +hx h x +hx /T °+ /i° 1+ 1 2 lim -----------= lim ------------= ----------- = ------= — *— >o x x—*o x 0 0 0

Desarrollo (/i+l)e~* _ ( 0 + l) e I™ /¡2 + 1 ” 0+1

lim e"* 2 /-»0

_ l_ i I

Desarrollo lim

\ime-,+2 = e ^ 2 = e 2 r->0

@

lim h ->

Desarrollo

e~H- e 2h

i j_ lim e x =e°° = e° -1

0

X-*°o

D esarrollo x2 - r + 2 hm -----r------?-> o x - y Desarrollo


lim y~*°

x2- y 2+2

x2-0 + 2

x - y

x3 - 0

169

i lilnilo Diferencial

x2+2 (f«4»)

r2 - 6/ + 8

lim /-*2f2 - 5 f + 6 Desarrollo

.. x4 - 6 x - 4 lim -------------X+l

/ 2 - 6í + 8 ( / - 4 ) ( / - 2 ) , f —4 2 - 4 - 2 lim - ---------- = lim------ —;— — = lim— - = —— = — = 2 t-*212 - 5t + 6 »-*2 (f—3)(f —2) /-*2 r —3 2 —3 —1

Desarrollo lim *->2

£ ^ - 6 x --4 _ 24 - 6 ( 2 ) - 4 x+l 2+1

1 6 -1 2 -4

0 =- =0 3

@

Desarrollo

.. í 3 + 4 f2 +10 lim --------------5t +12/

J_ 5 /*4 +5/i5 h2 + h 0 + 0 0 n h m --------- h m ~ ----------- = — r = - = 0 3/i + 2/i + 20 + 2 2 h5

Desarrollo .. í3 + 4/2 + 10 lim = lim 5í2 +12/

hA + 5h5 lim *-»“ 3h + 2h6

. 4 10 1H-----1—— t t _ 1+ 0 + 0 5 12 0+0 t r

© \ +eh lim — -—

t -i lim -” t-tÓ t->0 i ll+e' + e' Desarrollo

h—>oo g

Desarrollo lim j l L = _ l ! _ = _ L _ = I = 0 «-»o 1 I l + e“ °° l+ e ' l+ e°

lim l + eh = 1 + e” = 1+ e° _ 1+ 1 _ 2 Q /|->oo oooooo

lim A-*-o

®

l + £*

r í 2 —f —12 hm —---------+ 4 í+ 3 Desarrollo

Desarrollo .. l + e* l + e “ „ hm — = --------- = (l + e~°)e~ =2e~ = « *->— eh e~°°

í 2 —12 (f- 4)(í + 3) t-4 -3 -4 -7 7 H m --------— = Jim ™—— ----- 1 = h m ----- = ----------= — = — n - 3 / 2 + 4 / +3 f— »-3 ( / 1 l)(í + 3) t-*-3 í +1 - 3 + 1 -2 2 x + 2ax + a h m -------- r------a

.. x - h lim -----h-*ix + h

Desarrollo

Desarrollo .. x - h x-2 lim ------ = ------h-*2 x + h x+ 2

x2 +2ax + a 2 0 + 0 + u 2 a2 1 jim -----------------= ------- ------= — = —

*->o

a

a

a

«

Eduardo Espinoza R am oii

*->0*

I

* »Mudo Diferencial

0)

i

/(* ) =

ex

171

x2 - \ x -l Desarrollo

Desarrollo 2 - e x 2-e° 2 -1 1 hm — ■— = — ;— = -------= — = 0 *->o* I I e „o

/(* ) =

x2- l x-l

(x + l ) ( x - l ) = x +1, x * 1 x-1

f(x) tiene una discontinuidad removible

CONTINUIDAD.* +1 * ll ft(tx ) - ^ iim jc+1 ,’ xx = U->!

PROBLEMAS Determine los valores de x para los cuales las siguientes funciones son discontim

/» -{ " i1; r j

identifique los tipos de discontinuidad y exprese las definiciones apropiadas para eliminar] las discontinuidades removibles.

/(* ) =

(■<)

x 2 +4 f(X ) = ~ x -x-2

3x + 5 x 2 +4x +4 Desarrollo

/(* ) =

3x+5

3x + 5

x 2 +4x + 4

(x + 2)2

no está definida en

, la

x = -2

definición

f(x )l

lim f ( x ) = +°» ,3

y

x -> -2 *

lim f ( x ) = -oo x - * —2T

Luego la f(x) es discontinua en x = -2

© Desarrollo La función f(x) = log (2x - 5) no está definida para

Desarrollo

2x - 5 > 0 => x > ~ f ( x ) = ———= 1 ---- — , la función f(x) no x+1 JC+1 definida en x = -l

está f(x) no es continua en: x< — 2

Luego f(x) es discontinua en x = -1 f(x)-.

2 * -1


172

173

Desarrollo ®

f ( x ) = ------- -( ~ r-------(jc—1)(JC2 -4JC + 5) Desarrollo

f(x) no es continua en

x = 0

es decir no existe |

lim f ( x ) y f(0) no está definida,

J) ^

/ ( * ) = ---------- ------------- = — :---------- , x -t 1 (je —1)(jc - 4 x + 5) x - A x + 5

/ ( * ) = ---- !---x(x-2) Desarrollo f(0) y f(2) no están definidas lim / ( x ) - +°° y lim f ( x ) ~ ■ jr~>0

j:— »2

f(x) tiene una discontinuidad removible en x = l por lo tanto se puede definir para que Luego f(x) es discontinua en: x = 0, x = 2

3>

/(* ) =

sea continua en todo R es decir:

x+l

7 -1

/( * ) =

Desarrollo

x -l —----------x -4 x + 5

, X* 1 f(x)-

lim—z——-— . x = l j-»ix - 4 x + 5

x +l La función f(x) no es continua en todo x que satisface a: ------< 0 y x = 1 x-l © Como:

x +l < 0 <=> (x + l ) ( x - 1 )< 0 x-l

/ ( x ) = log(— - ) X Desarrollo x —2 La función f(x) no esta definida p a r a ------ < 0 x

-1 La solución es: x e < -l,l> u {1} Luego f(x) es discontinua en: x € < -l,l]

Luego f(x) no es continua en: x e [0,2]

X—1 , X/ 1 x ~4x + 5 0 , x=1

174

Eduardo Espinoza Ramón

( lítenlo Diferencial

175

(u ) x -2

Desarrollo r , , jc2 - 5 jc->-6 (x - 3 X * - 2 ) , f { x ) = -------—— = --------- ----- = x - 3 , x * 3 x~2 x~2 Luego la función f(x) es discontinua en x = 3

©

/(*) = -

0*)

x +2

f(x)

x 2 +1 xX'3 --4JC 4x

Desarrollo

Desarrollo La función f(x) es discontinua en todos los x en donde x3 -- 4 x - 0 =» x(x-2)(x + 2) = 0

/ ( , ) = ¿ ± 5 £ Í É = Í £ ± 3 X £ ± 3 )= , + 3, x , . 2 x +2 jc + 2

l uego x ~ 0, x = -2, x = 2 son los puntos de discontinuidad.

f(x) tiene una discontinuidad removibíe en: x = -2 y para que sea continua en toda R m)

definiremos por:

f(x) ■

4x 4 -x 2 ’ Desarrollo

x+3 f(x):

X

, x & -2 La función f(x) es discontinua en los valores de x en donde 4 - x " = 0 => x = ± 2 son los

I lim x + 3 , x = - 2 Lx— >-2

/. f ( x ) :

puntos de discontinuidad.

j x + 3 , x / -2 )

1

, x = -2

(Í7)

f ( x ) ------ „-----4x -1 6 Desarrollo

©

La función f(x) es discontinua en todos los valores de x en donde:

Desarrollo

4 x2 -1 6 = 0 => .t2 - 4 = 0 , Luego x = ± 2 son los puntos de discontinuidad. La función f(x) es discontinua en x 2 - 4 = 0 de donde x = ± 2 que son los puntos de discontinuidad.

©

/ «

( ih)

/(* ) =

x —2

(x - 2 )(x 2 + 2x+10) Desarrollo

x2- 2 x = 1 2 X

- X

+ X

Desarrollo

.. . x-2 1 / (-v) = -------------------------------------------------------- J --------

(x —2)(x 4*Ilx 4*5)

x ¿ 4- 2.x 4*5

“ - r — ----------- , X * 2

La función f(x) es discontinua en todos los puntos donde x 3 - x 2 + x = 0 de donde x = 0 es el punto de discontinuidad de la función f(x).

como x 2 + 2 x * 5 * 0 , V x e R

entonces la función f(x) es discontinua en x - ?

176


/(■*) = -

1

f (tit ulo Diferencial

(M)

f(x) =-

1 -1

Desarrollo

Desarrollo

La función f(x) es discontinua en los valores de x en donde:

La función f(x) es discontinua en x de tal manera que ex -1 = i =* ex = 1 de donde x=

e4x - 1 = 0 => e4x =1

Luego x = 0 es un punto de discontinuidad.

4x = 0. Luego en x = 0 la función f(x) es discontinua.

r —9

@

/(* ) = (x - 2 )(x ¿ + 2 x - 3)

(M)

f(x) =

x2 - 3 x - 16 Desarrollo

Desarrollo x —2 f(x) = ■ (x -2 )(x 2 + 2 x -3 )

x —2

1

(x -2 )(x + 3 )(x -l)

(x + 3 )(x -l)

La función f(x) es discontinua en los valores de x en donde x 2 -1 6 = 0 => x = ± 4 qu son los puntos de discontinuidad.

La función f(x) es discontinua en x = 2 y además (x+3)(x+l) =0 de donde x = 1, x = -3

\3

© /(* ) =

ex + 2x2

/ ( x ) = -------(x —3)(x - 2 x - r o ) Desarrollo

2e3x - 2 Desarrollo

f(x) es discontinua en x = 3 removible.

La función f(x) es discontinua en todos los valores de x en donde 2eix - 2 = 0 => e3x =1

Luego se puede definir de tal manera que sea continua en x = .

Entonces x = 0 es el punto de discontinuidad. fix):

(x-3)2 f(x)-

x2 ~ 5 x + 6 (x -2 )(x --3x + 5)

x2 - 2 x + 6 0

x*3 , x=3

Desarrollo

f(x) =

x ~5x + 6

(x -2 )(x -3 )

x -3

(x -2 )(x 2 - 3 x + 5)

(x -2 )(x 2 - 3 x + 5)

x2 - 3 x + 5

f(x) = , x* 2

La función f(x) es una función discontinua removible en el punto x = 2. Luego se puede definir de tal manera que sea continua en todo R. x -3 f(x) =

Desarrollo x2 + 2 x - 8 (x + 4 )(x -2 ) f ( x ) = ------------- = 1------ --------- = x - 2 , x * -4 x+4 x+4 La función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = -4, por lo tanto podcmo definir de tal manera que sea continua.

, x*2

x2 -3 x + 5 3

x2 + 2x - 8 x+4

, x=2

f(x)-

x —2 , x * —4 —6 , x = —4

Eduardo Espinoza Ram oi

178

PJ

/(* )=

Desarrollo

1 3e3x - 3

La función f(x) es discontinua en todos los valores de x de tal manera x 2 - l = 0= > x = ±l

Desarrollo La función f(x) es discontinua en todos los valores de x de tal manera que:

10 UO

3e3* - 3 = 0 => e3' =1 => x = 0 es punto de discontinuidad. (3 )

17«

fallido Diferencial

/w =

e x-- i\ e6 Desarrollo


f ( x ) = _ J f.+ 5)2(* + 3> 0 + 5 )0 2 - 4 x + 8)

e6* _ l = 0 => e6x = 1 => x = 0. Es un punto de discontinuidad de la función f(x).

Desarrollo 0 + 5 )20 + 3)

0 + 5 ) 0 + 3)

J ( x ) ------------- r------------- = — z------------ , x*-5 0 + 5 )0

- 4 x + 8)

x

-4 x + 8

v

B

, „ x2+ x - 2 J O) = — x z +21x + 50 Desarrollo

La función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = -5 por lo tanto se puede definir de tal manera que sea continua. 0 + 5)(x + 3) ZO) =

P)

ZO) =

x 2 - 4x + 8 O

f ( x ) s - ^ ± Í Z Í - s (x+ 2 )(x-l) = J - l_ x 2 + 21x + 50 0 + 2 )0 + 2 5 ) x+25

x/ 2

, x*-5

La función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = -2, también una discontinuidad

, x = -5

en x = -25 por lo tanlo se puede definir de tal manera que sea continua en x = -2 x-l , ~ , x t- -2 x + 25 / 0) = 3 , x = -2 23

x 2 +5x +6 x +2 Desarrollo

Je2 +5x + 6 O + 2)(x+3) / ( * ) = -------- — = ----------------- = x + 3 , x * - 2 x+ 2 x+ 2

H k (")

x2 +10x + l /<■*) = — r T x -9 Desarrollo

La función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = -2 por lo tanto se puede definir de tal manera que sea continua. La función f ( x ) - *

- es discontinua en todos los valores de x en donde : .x’ - 9

x 2 - 9 = o => x = ± 3. Por lo tanto la función f(x) es discontinua en los puntos x = ± 3.


i ,il alo Diferencial

181

Desarrollo f(x) =

x -5 x + 4 x-4

(x -4 )(x -l) x-4

= J t-1 , x

Desarrollo La función f(x) es discontinua en todos ios valores de x en donde:

4

x?‘ - 9x = 0 => x(x - 3)(x + 3) = 0.

Luego la función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = 4, por lo tanto se puede definir de tal manera que sea continua. x-l , x#4 /(* ) =

3

Por lo tanto la función f(x) es discontinua en los puntos: x = 0, x = 3, x - -3 (SH)

f ( , ):= J ... 3ex - 3

, x=4

Desarrollo /( x ) = ln(x - 6 )

La función f(x) es discontinua en todos los valores de x en donde: Desarrollo 3ex - 3 - 0

=> ex - 1 = 0 => x = 0. Por lo tanto f(x) es discontinua en x = 0.

La función f(x) es discontinua en todos los valores de x en donde x 2 - 6 < 0 => x 2 < 6 ®

Como x 2 <6 =* -\¡6 < x < Vó

fix)

ex +4x 3eAx — - J3 Jif.

Desarrollo x -5 x + 6

fix ):


(x-2)(x~ - 2 x - 3 ) Desarrollo

3e4x - 3 = 0 => e4x =1 => x = 0 x -5 x + 6

/(* ) = (x - 2)(x2 - 2x - 3)

(Je

(jc—3)(jc- 2 ) —2)(x - 3)(x + 1)

1 x +l

, x * 2,3 40)

/(x ) =

* " +5* +4 (x+ 4 )(x -6 x + 1 0 )

Luego la función es discontinua en x =-1 y tiene discontinuidad removible en x = 2, x = 3. Por lo tanto se puede definir la función f(x) de tal manera que sea continua en x = 2, x= 3 1 x +l f(x ) =

3

, x * 2,3 , x =2

Desarrollo x 2 +5x4-4 (x+ 4}(x+ l) x+l f ( x ) = ------------------------- = ------------- —----- ------= ----------------, x * -4

(x + 4)(x2 - 6 x + 10)

(x + 4)(x2 ~ 6 x + 10)

x2 - 6 x + 10

Luego la función f(x) tiene una discontinuidad removible en x = -4 Por lo tanto se puede definir la función de tai manera que sea continua en x = -4.

— 4

f(x) =

, x =3

2x2 + 3x x3 - 9 x


182

Ah uto Diferencial

.5.

x2 - l ____ JC —1 ¿Es f(x) continua en x =-1? /(* ) = x + l ’ -2 , x = -l Desarrollo La función f(x) es continua en x = -1 si y solo si liin f ( x ) = / ( - 1 ) = -2

183

MIRIVADAS.A)

DEFINICION. -

B)

PROBLE MAS.-

dy _ ¡im /(x + A v ) - / (x) dx a<~»o Sx

x —»-1

. x2 - l lim / ( x ) = lim JC—»—1i —>~1 X + 1

®

x2 + 3 x -1 0 / ( x ) = ------ ---— para x *2 x-2 continúen en x = 2?

je2 + 3 jc- 1 0

/ ( 2 ) = lim / ( x ) = lim x-»2

¿y _ ]im / ( x + A x ) - / ( x ) dx a *-> o Ax

¿Qué valor debe asignarse a f(2) para hacer a f(x) , Desarrollo

@

Para cada una de las siguientes funciones f(x), determine la primera derivada — dx haciendo uso de la definición:

f(x) es continua en x = -1

lim x - l = -2

JT—>—1

■= lim

( I;

(JC+ 5X.V-2)

x—>2

/( x ) = x2 - x + 1 Desarrollo

= limx + 5 = 7 X — 2 x->2 X —2 x-»2

1

f(2) = 7 fty = f .(jc) = Hm f ( x + A x ) - f ( x ) _ ljm | (x + Ar)2 - (x + Ax) +1] - [x 2 - x +1] dx A»~>0 Ax Ax—»0 Ax

f ( x ) = \¡x, ¿Es f(x) continua en x = 0?

x 2 +2Ax.x + Ax2 - x - A v + l - x 2 + x - l = lim ---------------------- ---------------------------Ax ~>0 Ax

Desarrollo La función / (x) = ifx es continua en x = 0 si !im /(x ) = / ( 0 ) = Q x->0

Ax2 + 2 xA x —Ax - lim --------------------- = Jim Av + 2 x - l = 0 + 2 x - l = 2 x - l Ax—>0 AxAx-»0

Por lo tanto /( x ) = Ifx es continua. f x2 - 7 x + 12 x _3

1

©

/ «

=pr

para x * 3 ‘ ¿Es f(x) continua en x = 3?

Desarrollo

para x = 3

1_____l_ & = fX * ) = lim ñ i ± M z m dx Ax-»o

Desarrollo

, ,ta ( I ± 4 ! ) U « Í , i¡m

AxAt->oAxa*~»ox

La función f(x) es continua en x = 3 si y solo si lim /( x ) = /( 3 ) = 1 .v—>3

„ ,• x - 7 x + 12 .. ( x - 4 ) ( x - 3 ) . .. . . lim /(x ) = lim --------------- = lim ----------------- = lim x - 4 = - l * /( 3 ) = 1 x— »3 x— >3 X—3 x->3 x —3 jc— »3 Por lo tanto la función f(x) no es continua en x = 3.

x2 - x2 - 2x.Ax - Ax2 -2xA x~A xz = lim ----- ---------------- -— = lim —-------------- — ^*-+0 x .Ax.(x+Ax) ¿*->0x“.Ax.(x + Ax)“ ¡jm

~2x~ Ax _

^*-*0 x2(x +Ax)2

-2 x ~ 0

-2 x _

2

x2(x + 0)2

x4

x3

* - / w dx ©

<álculo Diferencial


184

dy = lim f ( x + A x ) - f ( x ) _ 1¡m [6 - 2(x + Ax)3] - (6 - 2x3) dx A r -»0 Ax Ax—>0 Ax

~ 4 x

/ W = VTx

6 - 2 x -6.x A x-6xA x - 2 A r ~ 6 x x -6 x Ax-6.x.Ax -2A x = h m -----------------------------------:----------------= h m ------------------------------- A x-»0 Ax A i-»0 Ax

Desarrollo

¿X

185

Al— >0

Ai

= lim - 6x2 - 6xAx - 2Ax2 = -6 x 2 - 0 - 0

,\

Ax—>0

c/y J 2 (x + A x ) - \ Ì 2 x 2(x + A x ) - 2 x — = lim ----------------------= lim ----------------------- p=~ ¿¿x Ar->o Ax Ax-*o Ax(^2(x + Ax) + v2x)

0

— = / '( x ) = - 6 x 2 d.X

f ( x ) = 5x4 - 2 Desarrollo

2Ax 2 = Imi ------ ---------------- r— — = I'm —f = = = r ~ —== Ax->o Ax(yj2(x + Ax) + \¡2x) >/2(jc + Ax) +V2x ^ =/W dx

________ 2 ____________ 2____ 1 ■j2(x + 0) + V2x

©

\Í2x + \f2x

\¡¡2x

= lim /< * + * » > -/< * > = lim Ax—>0 . Ax Ax—>0

5(x + 4x Ax + 6.x .Ax +4x.Ax +Ax ) - 2 - 5 * + 2 = h m -------------------------------------------------------------------Ax-»0 Ax

/(* ) = * - Desarrollo

= lim Ax—»0

r,

,

£ ./W

.

.

A*-*0

( x + A x -------- Í—

.

A r -»0

Ax

1

=

,,

1

x + A x --------------x H— i i m ------------------£ ± A v------------ x = A x ->0

Ax

1

Ax—>0

1

A x --------------) i m ---------- x + A x , _ x

Ac->0

x 2 + .xAx +1 x2 + 0 + 1 x2 + l = lin i----------------= ------------- = — ,2 : Ax->o x(x +Ax) x(x + 0) x

^ = . / w = ' 2+1 2 dx

= lim 20.x3 - 3 0 x 2.Ax+ 20x Ax2 +5A x3 = 20jc3 + 0 + 0 = 20.x3

Ax

a

x

/(x ) = 6 -2 x 3

Desarrollo

20x3.Ax + 30x2.Ax2 + 20xAx3 + 5 .Ax4 Ax

) - ( . x ~ —)

= [ im ------------

. lim

-Í¿C

©

Ax

~ = f (x) = 20.x3 dx

Ax

[2.6.

REGLAS PARA LA DERIVACIÓN.-

186

2.7.


187

PROBLEMAS.Obtener la primera funciones y = f(x).

®

derivadas

con

respecto a x para cada una de las siguiente y = 5x 3 + 5 =>

dy_ dx

y = óx + 2 Desarrollo

y = 5x5 + 6x Desarrollo

y = 6x + 2 => — = 6 dx 0

í/v -7 y = 5x5 + 6x => — = 3x 5 + 6 dx

y = x3 + * Desarrollo f« )

y = l x 2 + 8x 2 + 2 Desarrollo

y = x3 + x => — = 3x2 + l dx (5 )

_I j _3 y = 7x2 + 8x 2 + 2 => — = 14x —4x 2 dx

y = 4x2 + 2x Desarrollo

1

(V)

y = 4 x2 +2x => — = 8x + 2 dx

y = 9x3 + 5 x 4 Desarrollo

y = 9x3 + 5x 4 =>

y = x2 + 4

—

dx

= 21 x 2 - —X 4

4

Desarrollo 5

y = x 2 + 4 => — = - x 2 + () = _ ! _ 2 2>/I

Hi)

10x4 + 2 x 4 Desarrollo 5

©

2

10x4 + 2 x 4 => —- = 40x3 + —x 4

y = 3x2 - x 3 +2

í /x

2

Desarrollo H í — y = 3x2 - x 3 + 2 => — = 6 x — x 3 dx 3

(J)

_I y = 5x 3 +5

(Ti)

y = 12x2 + 6x2 + 2 Desarrollo

3

Ì

j

I

_I

y = 12x2 + 6 x 2 + 2 => ~ ^ = 18x2 +3x 2 dx

188

@

189

1, ni. 1 IHprencial

Eduardo Espinoza Ram

v (2 jc2 + 4 jc- 5 ) 6

y = .x5 + 3 / 3 +5


1

-2

y = x 5 +3x 3 +5 =>

2.8.

dx

10

V (2.x2 +4.-C-5)6 => —- - 6 ( 2 x 2 + 4 x - 5 ) 5(2x2 + 4 x - 5 ) ' dx

= 15jc4 —7.v 3

= 6(4x + 4)(2x2 + 4 x - 5)5 = 24(x + l)(2x2 + 4 x - 5)5

OTRAS REGLAS DE DERIVACIÓN.(l)

dx

y = f(x).g(x) =» — = / ’(*)■£(■*) + f(x ) .g '(x) dx

B

1 - 1 y =- x 2 + - x 2 ■ Desarrollo

r>\

( 3)

v_ / w g(x)

dy - s ( x ) - f \ x ) - f ( x ) . g Xx) dx

y = g(u), u = f(x) entonces: y = g(f(x))

(g(x))2

dx

=

du dx

1 f 1I dy 1 f 1 { J x . „ y=z~X2 + ~ X 2 => — = —X2 -i X2 ---- (x + l) 5 3 dx 2 2 2 \_ y = (1 --T )2

0

Desarrollo ( 4)

2.9.

(? )

si y = (/(* ))" => ^ = n ( f( x ) ) n- l. f \ x )

PRQBLEMAS.-

1 / í — 1 y = ( l - X 2)2 ^ ^ - = - { \ - x 2) 2(1-X 2) ’ = - ( 1 - X 2) 2(~2 x ) dx 2 2

Escribir la primera derivada con respecto a x para cada una de las -funciones

dy

x

siguientes y = f(x).

dx

^ /l^ ?

y = 2x3 +4x2 - 5 x + S Desarrollo

, \ (í.)

64 y = - +— — y X X* X

3 Desarrollo

y = 2x3 +4x2 - 5 x + 8

@

— = 6x2 + 8 x - 5 dx

6 4 3 , -1 y = - + —----- - v= 6x X X X

, -2 +4x

n -3 —3x

y = -5 +3 x - ~ x 2 - 7 x 3 — = -6;c 2 - 8 * 3 +9x' 4 = —t _ "T + _T dx x x x

Desarrollo y = —S + 3 x ~ —x 2 ~ l x i =¡> — = 3 - 3 x —2 \x 2 2 dx

©

y = (.r3 —3x )4 Desarrollo

190


y = (x3 -3 x )4 =* — = 4(x3 - 3a:)3(jc3 - 2x) ' dx

dx

(It)

y = (x + x - ' f

= 2(a + 1)(a2 + 1)"3 - 6 a(a + 1)2(a2 + 1)-4 = 2(a + 1)(a2 + l ) '3[l - 3a(a + 1)(a2 +l)~']

= - 2 ( a + 1)(a2 + 1)-4 (2 a2 + 3a - 1)

— = I2(x2 - l) ( x 3 -3jc)3 = 12a3(x2 - l ) ( x 2 - 3 ) 3 dx ®

I9l

I till ulo Diferencial

2a + 1 V ’ a2- l

DesarroUo

Desarrollo 2a + 1 dy (a2 - 1)(2a + 1 ) ( 2 a + l)(x2 - 1)' y = —~---- => —- = ------------------ ------ ---------------a2- I dx (A - I ) 2

^ ( x + x-1)2 ’=> ^ = 2(x + x~l)(x + x-1)'= 2 (X + X-1)(1-A~2) dx ®

2 (A 2 - 1) - 2 a (2 a + 1) _ 2 a 2 - 2 - 4 a 2 - 2 a

y —(a -1 )3(a + 2)4 Desarrollo >> = ( a - 1 ) 3 ( a + 2 ) 4

=> —

dx

dy

= 3 (a - 1 ) 2 ( x + 2 ) 4 + 4 ( x - 1 ) 3 (x + 2 )3

dx _

— = (x - 1 )2 (x + 2 ) 3 [3x + 6 + 4x - 4] = (7x + 2 ) ( a - 1 ) 2 ( a + 2 ) 3 dx 10)

(a 2 - l ) 2

~

(a2 - l ) 2

2 a2 + 2 a + 2 (a5 - l7^2 ) A

rift

A +1 Desarrollo

y = (a + 2)2( 2 - a ) 3 Desarrollo

a dy >’ = - 7 - 7 => a2 + l dx

(a 2 + 1)(a) ’- x(x2 + 1)' _ a 2 + 1- 2a2 (a2 + l)2

(a2 + l)2

y = (a + 2 ) 2 ( 2 - a ) 3 = > — = 2 ( a + 2 ) ( 2 - a)3 + 3 ( a + 2 ) 2 ( 2 - a)2 ( 2 - a) ' dx dy _ dx

1 -a 2 (a 2 + 1)2

■= 2 ( a + 2 ) ( 2 - x Y - 3 ( a + 2 y ( 2 - x)

# = ( a + 2 ) ( 2 - x)2[ 2 ( 2 - x) - 3 ( a: + 2 ) ] = - ( 5 a + 2 ) ( a + 2 ) ( 2 - a )2

@

y = (a + 1)2(a2 +l)~3

X+ l. V= < ~ ) r’ x-l Desarrollo y

Desarrollo y = (A + l)2(A2 + l)"3 => — = 2( a + 1)(a2 + 1)-3 - 3(A + l)2(a2 + 1)-4 (A2 + 1) dx

A+ J. 2 dy A+ l A+ l A+ 1 (a - 1)(a + 1 ) ( a + !)(a - 1)' =* — = 2( ------------------- rX--r) = 2 (-- )(--------------- ------ — -5 ) A -l dx A -l A I X -l (X -l)

= (-----r)

-

dx

dy_ _

x+l x - l - x - l

dx

x-l

(x - l)2

_

4(x + 1) (x - l)3

Eduardo Espinoza Ra

192 @

( illi hIii Diferencial

193

y = (x2 - x r 2 — = x (1 6 -x 2) 2

Desarrollo

dx

y = (x2 - x Y 2 =* ^ - = -2 (x 2 - x)~3(x2 - x ) ' = - 2 ( 2 x - l)(x2 - x)~3 dx

(1*1

y = — í-¡-

(AT+ 1)! Desarrollo

^ = -2 (2 x - l)(x - 1)-3 x~3 = -2x~3(2 x -l)(x -1 )~ 3 dx @

i < * + » * ------(x + l)2x '-x ((x +r>2) ' _________2(x + l)2 dx~ x+\ ~ x+l

x

y = x2(x + l)_1 V“

Desarrollo

y = x2(x + l)_1 => — = 2x(x + l)~‘ - x 2(x + l)~2 dx

dy

-------- —x + 1 (x + 1)

tfy

i ^ (* + l)2

2

2(x + l)2 dy _ 2 x ( x + l) - x 2 _ x 2 +2x dx

(x + l)2

(x + 1)2

(í) Desarrollo I 1 1 (x2 + 2)2 dy x((x2 + 2)2) '-( x 2 + 2)2(x)' y = ------------ =» 7 - = ------------------ 2---------------x dx X

(x2 - 9 ) 2 Desarrollo

®

)-y[x2 + 2

x(-

y = ----- — r = (x2 - 9 ) 2 => *?- = - ~ { x 2 - 9 ) ~ H x 2 - 9 ) ' dx '2 (x2 - 9 ) 2

.

i

x ¿ +2

x2 - ( x 2 + 2) x¿+2

^ = -x (x 2 -9 )~ 2 dx

dy

2

^

x 2yjx2 + 2

•

y- — — r

(x5 +10)8

(1 6 - x 2)2

Desarrollo

Desarrollo

y = ----- ------- = (1 6 - x 2) ' 2 =* — = ,1 dx (16—ar)2

2

(1 6 - x 2) 2(1 6 - x 2)'

2x

3

2(x + l)2

x+2

dx

2 (x + l)-x

_

1 ^ (x5 +10)8

dy dx"

1 i (x5 + 10)8)(2x)'-2x((x5 +10)8)' 1 ((x5 +10)8)2


dy

I _Z 2(x5 + 10)s - J ( x 5 +10) 8(5.x4)

( illculo Diferencial

195

^ = -2 (x 3 - 4 ) 3(x3 - 4) ' ^ = - 6 x2( x3 - 4) 3 dx dx

dx (x5 +10)8 (x + 1)2

I .5 . 8(x3 +10)8 -

5x3 (2x + 4)4 (x +10)8

4(x5 +10)8

S ^ + lO J -S x 5

3x +80

Desarrollo

9

9

4(x5 +10)8

4(x5 +10)8 y=-

y = (x + 2)3(x2+ ir 1

(x2 +l ) 2 (2x + 4)4

Desarrollo y = ( x + 2)3(x2 +1)_1 ^ = 3(x + 2)2(x2 + 1)"1 - (x + 2)3(x2 + 1)“2 2x = (x + 2)2(x2 + 1)-1 [3 dx

2x(x+2)

dy _ (2x + 4)4 [(x2 + 1)2 ] '- (x2 + l)2 ((2x + 4)4)' dx i ((2x + 4)4 )2

x2 +1 1 — ) - —(x2 + l ) 2(2x + 4) 4(2)

(2x + 4)4(

= (x + 2)2(x2 + 1)"1( - - ■--- ) = ( x + 2 ) \ x z + 1)“2(xz - 4x) X +1

x(2x + 4)4 Vx2 +1

((2x + 4)4 )

y = (£ l± 1 0 ),o X

2(2x + 4)4

(2x + 4)4

2x(2x + 4) - (x +1)

Desarrollo

Vx2 +1

dy dx

2\[x2 + l(2 x + 4)4

3x + 8 * - l 2\lx2 + l(2 x + 4)

y = (x + 2) 2 (3x2 +1) ± = 10(i i í l 2 ) » ( ¿ ± ! 2 ) ' = l o c k ’ d -i® > = dx x x x x 2

x

Desarrollo

x2 >’ = (x + 2 ) 2 (3x2 +1)

y -(x - 4) 3

i Desarrollo dx

J J = — (x + 2 ) 2 (3x2 +1) - 6x(x+2) = -( x + 2) 2 [3(3x2 +1) - 6x(x + 2)] 2

= -( x + 2 ) 2 (9x 2 - 6 x 2 -1 2 x + 3 )

— = -(3 x 2 -1 2 * + 3)(.* + 2) 1 dx


I ni culo Diferencial dy dy dx dy 2 dx — = ~ . — donde — = -------- — = 3¿r du dx du dx (x + 2)" du

y = x3(x2 +3)~l Desarrollo y = x3(x2 +3) 1

2 du

= 3x2(jc2 + 3 r l - x 3(x2 +3)"22x dx

d*

3a'2------ 2x4 - 3x2{xl +3) 2x* (x2 + 3)2 ( x2 + 3)2

x 2 +3

( m)

2

3m2=_ 6 ^ = 6( « )2

(x + 2)

(x + 2)

*+2

Si v = y 3 y y = x2 + 2 x , encuentre Desarrollo

(x2 + 3)

dv dy

4 y = x6 + x 3 + 6x2

V

dy dx

--------------►

y

-------------- ►

X

Desarrollo d d -y = x6 + x 3 + 6 x 2 => — = 6x5 + -~x 3 + 3x 2 í¿c 3

dv dv dy „ -4 -6 (x + l) _ 6(x + l) — =— = -3 y .(2 x + 2) = ------— = ----- ~------- 2 dx dy dx ~ y (x +2x)

—

C-2 y du Si u = x y x = ---------, encuentre — Cy + lj dy

dv

6(x + l)

dx

x (x + 2)2

Desarrollo (52) v y

du^_du dx dy d x 'd y

du du dx , du „ dx 1—y — - — .— donde — = 2 x , — = --------dy dx dy dx dy (1+y)

2y 1 - y _ 2 y ( l- y ) ( y + l)2 ‘(1 + y ) 3 ( y + 1 )5

o ■ X dy Si y = -----y x = u 3 - 5 encuentre — x+2 du

Desarrollo

Si x = y3 + 2 y - l

— dx y y = v 2 encuentre — Desarrollo

198

Si y = v 2 y v = x 2 + 5, encuentre

lili.

dy dx

199

I 'élculo Diferencial


FROBLEMAS.Encontrar la primera derivada de cada una de las siguientes funciones:

Desarrollo (0

y = log (1 - 2t) Desarrollo

dv

dy

dv y ------- ► u

dx

dy dt

dy dy dv 1 -* dy x ~ r ~ — •— = “ ~ v -2x = — - de donde — = ------------ - = - x ( x 2 + 5) 2 dx dv dx 2 2 dx 2 v2 (x2 + 5)2 c-

Jm x

dx

dy dx

dy du

dx dy _ 24 ,x , , , .. --------------- ,( 2 « - 5 ) de donde se tiene: dy du (y + 7)2

©

y = loga u , u = f(x) => — = íix * = ,„(„00)

^ =

dx 24(2 « -5 ) — = ——^--------— du (u2 - 5 u + l ) 2

0

dx

2 log 2 1 -2 1

(1-4jc)’ (1 + 4jc)’ _ ___ 4 _ ___ 4 _ l-4 x l + 4x l - 4 x l + 4x

-4(1 + 4 x )-4(1 - 4x) (l - 4-r)(l + 4x)

- 4 - l 6 x - 4 + l6x (l - 4.x)(l + 4x)

1-I6x2

R = log0(a 2 - x 2)3 Desarrollo Ä = loga (a 2 - * 2)3 =31oga (a2 - x 2)

dx

0

m( jc)

©

u

dy dt

d y = ____ 8__

!.10. DERIVACIÓN LOGARÍTM ICA Y EXPONENCIAL.©

. "

1_ 4 r y = ln(-—;— ) = ln(l - 4x) - ln(l + 4x) \ + 4x

dx

du

2 loge 1—2f

Desarrollo

Desarrollo

. dy X ------ --- y

_

1+ 4*

3y —1 j dx = ------- y y = u - 5u , encuentre — y+7 du

dx

loga e 1 - 2 1'

dR

31oga e

dx

(a 2 -.* 2)

2 _ 2y _ ~6jrlogg e _ 6xloga e

a2- x 2

x2 - a 2

.

dR _ 6x\oga e dx

x2- a 2

t = 6e~2“ Desarrollo , = 6
dx

©

y = «■*Inx Desarrollo

~ = -12
200


y = ex lax => ~ = (e’‘y \ n x + ( \ n x ) 'e x = ex \ n x + — dx x

-dx

, jd n x + L e \ ---------- ) x

i ~ 1 % y -- lo g (r - 3 a ) 3 = -lo g (x 3 - 3 x )

y/7+1

&

dy 1, (jc3 -3 * ) ' *2 - l — = -lo g g - 3 = r --dx 3 x - 3x x - 3x

y ~ lí7 v i Desarrollo

Tomando logaritmo se tiene:

J x +l In y = In - = = = In \[x +1 - ln Zjx+2 Vx + 2

@

v - t 2 lnf Desarrollo v = r ln <

=> — = 2rlnf + < di

ln y = ~ ln(x + 1) - ^ ln(x + 2)

y '_ 1 y 2 (* + l)

2 3( x + 2)

201

( 'rilado Diferencial

3(x + 2 ) - 4 ( jc+ 1) 6( x +1)(jc+ 2)

Desarrollo

, r6x + 6 - 4 x “ 4 1 . „ x +\ y ~'y 6(x + 1)(jc + 2) 6 (* + !)(* +2)

J j *2

i __p.

------) = ln------ = ln (l-í2)-ln í t

t

dy

y

yjx+l

dy

(1 - t 2)'

t'

-21

dx

3(x+2)

3%x+2(x + 2)

dt

í-r2

r

i-;2

t = e'nx

12}

1~2t2-1 +í 2_ í 2 + l í 2 + l t

(l-r)t

t = e>nx = x

y = a xex Desarrollo

Desarrollo — =1 dx

i y = logU 3 - 3 x )3 Desarrollo

— = óx25V ~6 ln 25

y = 25x3x2~6 => ^ - = 25A-3AÍ“6ln25.(3A-2-6)' dx

13}

dx

y =e * Desarrollo

_i

y = a xex = (ae)x => — = (ae)x ln(ac) dx

)

t(r-l)

y = 25x 3x ~6

Desarrollo Aplicando propiedades se tiene:

(1 - r ) t

y -e x ^

©

-i

dy _ — —~ = e x (— ) ’= 2 dx x x2

.

y=x Desarrollo

dy _ e x ••- 2 dx x


203

Tomando logaritmo y aplicando sus propiedades (17)

y = 2x2ex'*3

In y = In x x = x 3 ln x derivando implícitamente

Desarrollo

— = 3x2lnx + x2 => y ' = a:2y(3lnjc +1) x

dx

= x*>x (31nx + l)

y = 2 x V ’+3 => — = 4xex‘+3 + 2x2ex*+3(x2 +3)' = 4xex' +3 + 4x3ex' +3 dx

y = x í*2*' dx

Desarrollo Tomando logaritmo y aplicando sus propiedades

y» ln y = ln xe = ex+l ln x , derivando

(IH)

■4xex +3(l + xv21 ¿)

y = logs (x3 + x 2)6 Desarrollo

~ = (ex!+1) 'ln x + e jc!+,(lnx)'

=>

y ' = y [ e ^ +l2 x ln x + ex' +i- ]

y = log5 (x3 + x 2)6 = 6 logj (x 3 + x 2 )

dx -*2+l v2, 1 — = x? - e * +1[2 x ln x + ~ ] dx x

* , í l ^ (^ t , 2 ) . = É 5 l i í 2 i l í 2 í > dx x3 + x 2 x 3 + x2

( x + i )6 y =

©

(x 2 + 2 x + 2)3

f i = 6 Io g 5 í(3 f ± í dx x +x

>’ = x 2x' +x Desarrollo

Desarrollo

Tomando logaritmo y aplicando sus propiedades

Tomando logaritmo y se aplican sus propiedades ln y = ln x 2x +x = ( 2 x 4 + x) ln x , derivando ln y = ln(- - / * + ^ — -) = ln(x + 1)6 - ln(x 2 + 2x + 2)3 (x +2x + 2)3

— = (8 x 3 + 1) ln x + (2 x 4 + x )— =* .V X

y ' = y[(8x 3 + 1) ln x + 2 x3 + 1]

ln y = 61n(x+l)-31n(x2 + 2x+3) y' _ y

63(2x+2) _ 6(x2 + 2x + 3 )-6 (x + l)(x + l) X+Ì

x 2 +2x + 3

— = x2*4+t[(8x3 + 1) ln x + 2x3 +1] dx

(x + l)(x2 + 2 x + 3) y = log h( b - x 3)2

,

,6 x 2 + 1 2 x + 1 8 -6 x 2 - 1 2 x - 6 , y = y ( ------------------ 5-----------------------------------------) (x + l)(x 2 +2x + 3)

Desarrollo y = log&( b - x 3)2 = 2 logfc(b - x 3) , derivando

dy _ dx

(x + 1)6

12

(x2 + 2 x + 3 ) 3 ( x + 1 ) ( x 2 + 2 x + 3 )

12(x + l)5 ( x 2 + 2 x + 3 )4

dy

( b - x 3)'

- 6 x 2 logê

dy

6 x J ¡ogh f

204

@^


<¡tirulo Diferencial

y = ( v^—1) 2 x -1

205

y = e**+4x+3 => — = e-*2+4-*+3(x2 + 4x + 3)' = (2x + 4)e'*3+4j:+3 dx Desarrollo

, = ( £ t í ) ’ =, X -1

— = 2(x + 2)e*+4j;+3 dx

^ = 2 ( í i í x i ^ ) ' = 2 ( £ t 5 x - — --> fite X -1 JC-1 X-1 (x -1 )

© dy

8(x + 3)

dx

(x -1 )3

y _ ^lnU+3) Desarrollo Aplicando la propiedad etao = a , se tiene:

y = eta* Desarrollo

(27)

y = — = 1 dx

y = logs ( 6 - x 2)4 Desarrollo

y = eln*2 = x 2 => — = 2x dx

y = l°g8 (6 - x2)4 = 4 log8(6 - x2) , derivando

y = Ib**'2*

£ = 4 1 o g , ¿ * ^ = 4 1 o g ,,¿ M * 6 -x!

Desarrollo

M 6 —í & 6 - í 2

y = x't3+2

y = l6x* 2x => — = 16* 2x In 16(x2 - 2 x )' dx


— = 2( jc —1)16 ^ -2jc. In 16 dx

ln y = ln x* +2 = (x3 + 2) ln x , derivando

i

y =x Desarrollo

=> y ' = y(3x2 ln x + — t . 2 ) , de donde

—- = 3x2 lnx + — —

y

*

x

Tomando logaritmo y aplicando sus propiedades - I = Xy+2(3x2 lnX + i - ± 2 ) dx X

ln y = In x* = x4 ln x , derivando implícitamente

— = 4x3 ln x + x 3 => _v' = y(4x3 lnx + x3) y

— = x3jcx*(4 lnx +1) dx

{29)

¡ Av*“N y = 21n(x^ +i 4x )4 Desarrollo

y = e*2+4x+3

_ Desarrollo

|

y = 21n(x3 + 4 x 2)4 =~-in(x3 + 4 x 2) , derivando

Eduardo Espinoza Ramm

206 dy _ 1 (x3 + 4 x 2)' _ 1 3x2 + 8* dx

30)

2 x3 + 4x2

2

x

3+4

x

_ dy _ __ 3.x+ 8 dx

2

Diferencial (

207

y = ^M-*4+3*í+10) Desarrollo

2(x2 +4x) y = e'n(x^

y = (x2 +4)2e*2+l

+u» = x 4 +3x2 + l0 => ^ = 4.v3 +6x dx

Desarrollo (W)

y = (*+!)* Desarrollo

y = (x2 + 4)2e*I+l => — = 2(x2 + 4)2xex +1 + (x2 +4)2ex+1 dx

Tomando logaritmo y aplicando sus propiedades: — = 2x(x2 + 4)ex*+l (6 + x 2) dx

— = ln(x + l) + —i — => y ' = y [ln (x + l)+ —^—] y x+1 jc+1

y = - e 3[nx 3

dx x - f = U + l)* [ln U + l) + ---- -] dx • x+1

Desarrollo (g ) y = i e3tax= - e ^ = — 3 3 3

ln y = ln(jc+l)x = x ln (x + l)

y = (x + l)AÍ+1

=> ^ = x 2 dx


¿2)

y = xeln(jr+5) Desarrollo Mediante la propiedad e>na = a se tiene:

y = xelmx +5) = x(x2 +5) = x 3 +5x

— = 3*2 +5 dx

33)

y =

ln y = ln(x+ 1)*3+1 = (x3 + 1) ln(x+1), derivando — = 3x2 lnOt + l) + (.t3 + 1)— y x+ l

=> y ' = y[3x2 ln(x +1) +

jr + 1

x. ± ,*>]

--- = (x + i y ’4l[3.v2 ln(.t + i) + x 2 —x + l] dx

12*J2* ÍXJ]

x 2e x+4x+2

Desarrollo

A > _ R E G L A D E P E B IV A C IÓ N P E L Á S F W C K W ¡ÍS T K IG 0 Ñ 0R to7

y = x 2ex¡+4x+2 => — = 2xex>+4x+2 + x 2ex2+4x+2(2x + 4) dx

(T )

y = sen u(x) =» •— =: cosu(x).u \x ) dx

^ = 2*e*!+4*+2[l + x2 + 2x] = 2x(x + \ f e*2+4x+2 dx

C l) ^

y = eos u(x) => — = -senu(x)u '(*) dx

k

IC%¿. |

208


( lílculo Diferenciai (4 )

209

y - Ig x cosec x

( 3)

y = tgu(x) => ~ = sec2 u { x )u \x ) dx

(4)

y = ctgu(x) =* — - - eos ec2u{x).u \x ) dx

dy 2 -— = (tgx)' eos ecx+ tgx(cos ecx)' = see x. eos ecx - tgx. eos ecx.ctgx dx

fi)

y = see u(x) => — = secu(x).tgu(x)ji'(x) dx

dy J J *> —- - see xco s ecx - cos ecx - (see x - l)eos ecx = tg“x. eos ecx dx

(é )

y = cosec u(x) => — = - eos ecu(x).ctgu(x).u '(.r) dx

.\

B)

Desarrollo

PROBLEMAS.-

(? )

dy 2 — - ig x. eos ecx dx

y = sen (3x). tg (3x) Desarrollo

Detennine la primera derivada de cada una de las siguientes funciones:

dy — = (sen3x) 'tg3x+ sen3x.(tg3x) ' ~ 3cos3xJg3x+ 3sen3x.sec3x dx

cos ecx

y=-

Desarrollo dy _ x ( - eos ecx.ctgx) - eos ecx _ dx x2

-

eos ecx(xctgx+1) x2

/.

3sen3x+ 3scn3x. sec2 3x = 3sen3x(l + sec2 3x)

— = 3sen3x(\ + sec2 3.v) dx

senx - eos x

y = ---------------

(¿)

x

y = ctg(x2 +1) Desarrollo

Desarrollo dy _ (senx - eos x ) ( x ) x ( s e n x - eos x ) ' _ senx - co&x - x(cos x + senx) dx

x2

y -- ctg(x2 +1) => — = -e o s e c 2(*2 + l)(x 2 +1)’ = - 2 x cosec2(x2 +1) dx

x2

_ senx - xsenx - eos x - x eos x _ (1 - x)senx - (1 + Jt)cos x

( 7)

y = x + ctg x Desarrollo

D

y = x ctgx Desarrollo

dy , ? y = x + ctg x => — = 1—cosec * dx je + sen* v = —------Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramot x + senx dy

(x + sen x)(x)'-x(x +senx)' “ ----------------------------------dx

y = ----------

x + senx - x ( l + eos *)

„/„ i)iferenc¡ai

©

y= -

211

senx Desarrollo

senx ~ x eos x _ senx x

^ dy _ x(senx)'~ senx.íx)' _ x c o s x - s e n x dx x2 ~ x2

dy _ s e n x - x eos x dx

x2

•

Q . - x c o s x ~ sen x dx

x2

y = eos2 2x Desarrollo

©

y - x 2-e o sx Desarrollo

dy y = eos2 2x => — = 2cos2x(cos2x)' = -2cos2x.sen2x(2x)' dx • dx

y - x 2 —eosx =* — = 2x+senx dx

= -Acos2x.sen2x

tgx

©

(1 + jt)2

y = sen x . eos x

Desarrollo

Desarrollo y-

sen2x dy , y = senx.eos, x = -------- => — = eos 2x 2 dx y

dy

dx

(1 + Jt)4

dy _ (1 + x) see 2 x - 2 tgx dx (l + x)3

Desarrollo 2

dy _ (l + x)2( t g x ) fgx((l + x)2)'

(1+ * )2

= sen2* + eos2 x

2

l«x

@

n

y = sen x+ cos x = l => — = 0 dx

y = senx.2 Desarrollo

y = x sen x

y - s e n x 2 => — =cosjr2(A.-2)' = 2xcosjt2 dx

Desarrollo y = xsenx

dy dx

(V )

=> — = (jc)'se»u: + jc(jínx)' = íe / u + j:c0sj:

dy — = senx+ xc o sx dx

y = tg 3x

Desarrollo y = t g 3 x => — = 3see2 3*

J

dx

(l + x)2s
Eduardo Espinoza Ramo»

212

©

I rilento Diferencial

y = tgx + see2 x

y _ ___|___dy _ l + ctgx dx

Desarrollo dy ■> _ 2 — = see x + 2 see c xjgx dx

2

y = rgx+sec x

dy _ dx

19)

213 (1 + cfgx)’ _ cos ec2x (l + ctgx)2 (1 + ctgx)2

1 („ítínx +cos x)2

secx

(H)

Desarrollo

\ + X~

Desarrollo

senx dy . y = -------= se nx. cos x => — = senx(cos x) + (senx) cos x secx dx rtg* dy

2

y

2

— = cos x - s e n x dx y = cos x . cosec x

^

y = cos x . cosec x => — = (cos jc) ' cos ecx + cos x(cos ecx) ' dx

|MÍ

(1

+ x2)2■“ (1 +x2)2

(1 + x2)2

D E R Í^ C IÓ n I ^ L AS Si y = f(x) y x = g(y) entonces:

dy . 2 2 — = -senx.cos ecx - cos x. cos ecx^tgx = -1 - etg~x = -c o s ec 'x dx

dx

dx dy

y = see2 3je Desarrollo y = see2 3x => — = 2sec3x(sec3x)’ de donde se tiene: dx

12.14. Í Í —- = 6 see2 3xJg3x dx

x secx

y = ------

x dy . dy y = ------ = x cosx => — = (x) 'cos a + a ( c o s x ) ' de donde se tiene: — = cos x - xsenx seex dx dx 1 1 + ctgx

Desarrollo

q Í lÍ m

As J

Obtener la primera derivada con respecto a x de cada una de las siguientes funciones x = f(y). (¡)

Desarrollo

y=

~

(1 + x2) cos e c ' x + 2x.ctgx

dx

Desarrollo

dy _ (1+ X2 ) ( c t g x ) cfgx(l + x2)' _ -(1 + X2 ) cos ec2x - 2xxtgx d x "'

1 + X2

dy _ g )

cosec2x cos ec2x.sen2x {senx + co sx )2 ~ (senjc+ cosx)2 senx

x = y 2 + 3y + 2 Desarrollo

Eduardo Espinoza Rami

214

(2)

J x = y 3 - y i +6y

I illudo Diferencial ■ )

215

x = y sec y Desarrollo

Desarrollo x = y secy dx 2 3 ì ^* = 3 y - - y 2 +6 dy 2

x - y3 ~ y 2 + 6 y

1

1 _

rfx

1

dx *

(y)

secy + y(secy)

dx =>— = secy+ysecyfgy í/y

-

dy _

dy dx

dx . => — = ¿y

dx

1

_

secy + y sec y J g y

eos y

dy

1+ yJgy

dx

eos y 1+

y tg y

dy

o I 3y 2 - | y 2 + 6

Determine la primera derivada con respecto a y de cada una de las siguientes funciones y = f(x).

(¿ )

jc = 5y4 - e Desarrollo

(7 )

y = e~x - 6 Desarrollo

í/x jc = 5y‘, - e )’ => — = 20y 3 ~ e y dy

( 4)

dy

1

1

dx

dx dy

20 y 3 - ey

dy _ dx

y -e

-x

1 20 y3 -<

( ü)

¿ ¿y -x j j j dx 1 1 , dx , - 6 => — = —e de donde — = ——= ------ = - e => — = - e dx dy dy -e~x dy dx

y = tg x . sen x

Desarrollo

.x = ln(y 5 - 6 )

dy j y = tg x . sen x => — = (tgx)' senx + tgx(senx)' = sec x.senx + tgx. eos x dx

Desarrollo . , 5 dx 5y a a a x = ln(y - 6 ) => — = —-----de donde dy ' y —6

dy dx

1 y -6 - — dx 5 y4 dy

dy

y5 - 6

dx

5 y4

dy

2

dx _ l _

©

jc = c o s

2

— = sec x.senx + senx = (sec x + 1)senx dx

y + seny

dy Desarrollo (v )

dy dx

1

dx _ eos ecx

(sec2 x + \)senx

dy

sec2 x + 1

y —ln(—— ■) x +2 Desarrollo v = ln(— —) - !n a-3 - ln(x + 2) = 3 In x - ln(x+2) x+2

216

Eduardo Espinoza Ramai dy dx

3 x

1 x +2

3(jc+ 2 ) - jc

dx _ 1 _ x(x>+ 2) _ dy dy^ 2x + 6 dx

©

y--

i 'tirulo Diferencial

2 jc+6 x{x+2) x(x+2)

i / íi k dy D J x + ^ll + x i ) 1= ln(x + \'1 +jr ) =» = dx x + sll + x 2

dx x(x+2) dy 2x + 6 dy _

1+Vi +

dx

x + yjl+ x2yll + x 2(x+yjl + x 2)

eos JC

2_ y =

Desarrollo

1

dy

dy dx

1 Sec jc(1 + xtgx)

eos* 1+ xtgx

dx dy

•Jl + X2 + x

*

,x

y = — = 2e x => - = -2e~x ex dx

eos* 1+ xtgx

jc3 +1

di) Desarrollo

2.15. PROBLEMAS.-

+ il , 121 j i i dy n •x3 v 'r i1 2x* -1 y = ------- = x + — dedonde — = 2 x — - = , * * dx x2 x2

Obtener la primera derivada de cada una de las siguientes funciones:

©

y =

©

x+i

y =

X2 +2

Desarrollo

Desarrollo

dy y=

©

s =

x +l

yjl + x 2

Desarrollo

x dy y = ------ = x se c x => — = see .x+ jt sec xtgx = see x ( 1+ x tg x) cOsx dx dx

217

dx

3 dy -3 (x + 2)' y = — ----- => — x 2 +2 dx (x2 + 2)2

( at + 1)

6 +4

©

5=

1 1 -2 / Desarrollo

Desarrollo _ 0+4 , 4 dS 4 S = ------ = 1+— => — = — e e do e2

-6x (x2 + 2 )2

1

dS

(1 -2 t y

l-2 f

dt

(1 -2 1)2

2 (1 - 2f)2

x‘ 0

y - ln(jc + J l + x 2 )

y ~ 4 -x2 Desarrollo

Desarrollo

dy

1

dx

yflT x2

218

Eduardo Espinoza Ram -(4 -x ) + 4 4 —x dy _

4-xT

q + - 4 ( 4 - x 2Y

dx

©

( 4 - x 2)2

, 4 = -l+ 4 -x1

dy — = cos ecx dx

¿‘ x

Sx ÈL: dx ( 4 - x 2)

( 4 - x 2)2

y= Desarrollo

y = eaxsenbx

dy ——= (eai ) !sx+ eax (senbx) ' = ae‘Lisenbx + beal cos bx = eaï [asenôx + b cos fexl dx y=

B

y = log

Desarrollo

dy _ ( x 2 + l)(x) x(x2 +1)1 dx (*2 + l)2

X

x2 + l dy _ dx

x2 +1 - x(2x)

1 -x 2

(x2 + l)2

(x^+ l)"

2 , „ , . . y = log —= log 2 - log x derivando se tiene: x (II)

log g x

Desarrollo

1 -x 2 (1 + x2)2

ax + b cx + d

(lï>)

Desarrollo

(cx-d )2

@

.S’ =
dS S = e“' cos 2f =î> — - = (e“' ) 1cos 2f + e~' (cos 2?) ' = -e~! cos 2t - 2e~‘sen2t àî

Desarrollo

= - e 1(cos 2 r + 2sen2t)

X

. (tg—) sec — sec— 1 . , x. dy y 6 o 2 2 y = \n(tg~) => -f- = ---- — = ------ ----------- *2 iiv x „ x „ x tg-2t g —2sen— 2sen—c o s 2

2 ax

ax2 + b ax2 + &

Desarrollo

y = ln(tg~)

2

(ax2 +b)'

dy _ ad ~bc dx

2 X

y = ln(ax2 +è)

, 2 .s dy y = ln(ox +fc) — rfx

(cx + d)

(cx + d )2

X. .

^ = nln 10.10*“ dx

a(cx + d ) - c ( a x + b)

acx + a d - a c x - b c

.

=> — = 10"* lnlO(nx) dx

Desarrollo

ax + b _ dy __ (cx + d)(cx + b )'-(a x + b)(cx + d)' y --------- => cx+ d dx (cx + d)

@

dy „ loge — = 0 ----— : dx x

y = 10“

y = 10” y=

2 x

x 2 +1 Desarrollo

y

rfy _ 31n2 x dx x

3 ___ . dy 2 „/•!_ _ 31n2 x v = In’ x => — = 3 In x(ln x) dx x

Desarrollo

@

219

aIn Diferencial

2

2

1 senx

2

- = cos ecx I®)

y = -îg30 - / g 0 + 0

dy _ dx

2ax ax2 +b

Eduardo Espinoza R a m o t^ m

220

Desarrollo

y =x

221 dy x-i dx x, dx — = x.x — -t-x I n x — dx dx dx

*

y = - t g ' Q - t g d +6 => — = tg29.sec29 ~ s e c 29 + \ 3 d0 dy

■

— = x x + x x ln x = x x (1 + In x) dx

!-2. — Cf»o2 0 ( ^ 0 -1 )+ 1 = see"

dx

■xA(l + ln.ï)

de

(l4)

y = xn(a + bx)n

a + bt + ct2

S>

Desarrollo

~ 7 T ~ Desarrollo dx a + bt + ct2

1

1

3

= at 2 +bt2 +ct2 derivando se tiene

dS dt

a + bx + cx2

a 4 2

b

4

3

1

dy n—! = xn l(a + bx)m l[n(a + bx) + mbx] = x " '1(a + bx)m i[(n + m)bx + na] dx y = x se"' Desarrollo

Desarrollo a + bx + cx a , , . . dz a z - --------------- = —+ è + ex derivando se tiene — = — r + c x x dx x2

y = x senx => — = senx.x dx

z = a 2y

y = x^x Desarrollo

senx- 1 dx ^ X senx

dx

^ d(senx) s era- 1 , „senx = senx.xsewr~‘ + xs" “ .ln x.cosx dx

Desarrollo

z = a 2y => —- = 21n a.a2y dy

•x

dy r dx ^ d(yfx) => — = y x .x -— + jt .ln x.-------------dx dx dx

Æ

y = e* Desarrollo y = ex

=> — = ex\ x 2)' = 2xex dx

••

2"v x

s= (-y t Desarrollo

y = xx Desarrollo Aplicando la formula:

dx

_

5=

= nxr 1(a + bx)m + mx" (a + bx)'n 1(a + bx) ’ = nxn~l (a + bx)m + mbx" (a + bx)m 1

222 (28)


223

nli) Diferencial

y = (cos x f


y = (cos x)x =>

dx

= ,r(cos *)* 1

dx

b 2 dx b ^,b ^-_ 2 b ,_ b s x = ( a ---- T => — = 2 ( a ---------- )(— ) = — ( a ----- ) ¿y y y2 y2 y

(cos .r) + (cos x ) KIn(cos) ~ dx

dy ■(cos x f In cos x - x(cos x)x senx dx

QU)

dy _ dx

y

2

lh(a— _b ) 2b(a y

x = yJ a 2 + y2 Desarrollo

. d\ Detennme — para cada una de las siguientes funciones dx

dx _

x = y [ \-2 y Desarrollo dx

x= y jl~ 2 y

dy

( 53)

r r j: ±

Desarrollo ln y

dx _ y(ln y )'-ln y(y)' dy y2

Desarrollo

dy _

-9

d'y

3^/(4- 9 y ) 2

(\¡4 -9 y)2 _

dx

3

(ID

dx

’

x2

dx „ 2 -v 2 y - y 2 > =* — - 2ye } - y e y = —-------dy

2 -v

jc = ln y 2ey Desarrollo

Desarrollo * = ( 2 - 3 /2)\3

.

dy _ d*

y

dx 2\2 = 3(2-3.y2)2(-6 y ) = 1 8 y (2 -3 y 2) dy

dx _ 2yey + y V

x = ln(y2ey)

dx 2 + y — dy y

1 8 y (2 -3 y 2\2 )

b o jc= ( « — y

_

dy _

y2 y 2dx 1 - ln

x = y 2e y

x=

x 3 (■!.’)

* = ( 2 - 3 y 2)3

1 - ln y

Desarrollo

dy _ dx

T

_ / 2 + 2y 2

y

x = %¡4^9y ■%¡4-9y

y2

ln y dy dx

J i-2 y

n

— —x i* ’ + y + —p = = = — ¡— i— ^ Ja + y ¥ y2

•l.í)

dy

=>

y2e y

_ 2y + y 2 y" 2

dy y — dx 2 + y

x - in yfcos2y Desarrollo

dy — : dx 2 y - y

Eduardo Espinoza Ram*

_______

225

In Diferencial

I

x = In Jcos 2 y = —ln(cos 2 y)

du

É.L du dx _ 1 (cos2y)' _ _ sen2y _ dy 2 cos2y cos2y

dy dx

■-c tg iy i

dx dy _ dy du dx du dx

u dy dx

x= a/'secy

Desarrollo dx --- I x = 4(sec y) 2 derivando — = -2(sec y) 2 .sec y.tgy = - 2 sec y 2 jgy ] dy

^/sec~y dx___ 2tgy

dy _ dx

yj'.'sec y

dy

jsecy

}« = \ + 2yfx

dx

... (2)

yfx dy

6u5

6(1 +- 2 \fxy’

dx

Jx

sj'x

y = u sen u, u = ln x Desarrollo dy _ dy du dx

l-r seny r 1, A + seny. x = in(--------¿)2 = in(--------£) 1- se/ry 2 1—seny

=

= 6„! du du _ 1

2tgy

Desarrollo

I cosy 2o 1+ seny

*

\y = u

reemplazando (2) en (1) se tiene:

. \+ sen y x = ln(--------~ )2 1- seny

dx 7dy "

cos y , I - s e -----ny +

y = usenu 1

1

] = cos cos* y

1 ^

cos y

dy = —

dx

w —ln x = cos y

... (1)

du dx

x = ~[ln(l + iewy) -- ln(l - seny )]

1

dy = senu+u cos u du du _ 1 dx x


x = (sen2y)

y = m2 cosk , u = ax2 x = (sen2y)2 => — = —(sen2y) 2 — (sen2y) = dy 2 dy yjsenly dy _ yjsen2y cos 2y

y = ub ; u = l + 2yfx Desarrollo

...(2)

dy .1 sm(ln x) + ln xcosdn x) — = {senu + u cos m)—= dx x

Desarrollo

dx

... (I)

Desarrollo

226

Eduardo Espinoza Kamoi dy = (2u eos u - u senu)2ax = (2ax cos ax - a x s e ñ a r )2ax dx

1ni» Diferencial

227


- 2a2x 3(cosax2 - a x 2senax2)

e = ——

— = 4x3. dz z

z

Si v = e3“ y u - 2 x 3 - 3 x determine —dx

a -u b -x y = ------ , u —— -----a +u b+x

Desarrollo Desarrollo dy _ dy du dx du dx

dy _ dy du dx du dx a -u y=a +u b-x u =b+x

■(1)

.(1)

dy

- ( a +u ) - ( a - u )

dx

(a + u)

¡m - 2x3 - 3x

(u + a )

du _ -(b + x ) - ( b - x ) dx

y = e 3«

-2 a

(b + x)2

(2)

-2b

du du = 6x - 3 dx

• (2)

~ (x + b)2 reemplazando (2) en (1) se tiene:

— = 3c3" ( 6 a 2 - 3) = 9(2x2 - l)e3<2jc' 3x) dx

reemplazando (2) en (1) se tiene: dy _ ^ -2a dx

(u + a)2

^ ^ -2b (x + l$2

^_

4 ab

_

(u + a)2(x + b)2

- x | ^ 2^ | b +x

Aab

Si u = ln (y + 4), y = x 2 , determine ^ U dx

b - x + ah + ax Desarrollo du _ du dy dx dy dx

dy _ Aab dx ( a - l ) x + ¿>(l+a)

5 l)

4ab

Si y = x A + 5 y x = log z, determine

dy dz

Desarrollo

u - ln(y + 4) y = x2

... (1) du dy

1 y +A

...(2)

dy = 2x dx


du dx

. 4 y +2 3 Si x - -------- , y = u +10m obtenga y +6

1 „ -,2x = y+4 dx du

Desarrollo

2x x

2 +A

228

Eduardo Espinoza Ramon dx _ dx dy du dy du

t álculo Diferencial

(1)

4y + 2 x— y +6

dx

22

dy

(y + 6)2

y = u+ lO u

~ = 3«2 +10 du

4 i-8 ■y = 7 T 4 t - x 2- 4

(2)

dy dt

24 (í + 4)2

... (2)

dt_ = 2x dx

. - /s\\ • reemplazando (2) en (1) se tiene:

rfy 24 48x 48j — = —----- -r.2x = — ---------- = —dx (t + 4) (x —4 + 4) x4

_48 dx

22

du

(y + 6):


-(3W1+10) =

22(3 u2 +10)

dt

x3

(m3 + 10h + 6)2

[2 . 55)

Si y = e' + 6 , t = ln(x~ + 6x) obtenga

dy dx

Desarrollo dy _ dy dt dx dt dx

) y = e' + 6 li = ln(x2 + 6x)

( 1)

dt dt dx

= e‘ ( 2)

2x + 6 x

dx es la diferencial de x; dx = Ax

2 +6x

dy es la diferencial de la función: dy = f \x)dx dx

dt dx

x2 + 6x

x + 6x

x + 6x

APROXIMACIONES Ay = dy aproximadamente igual

/. — = 2x + 6 dx

/ ( x + Ax) - / (x) = / \x)dx

f ( x + Ax) ~ f ( x ) + f \x)dx

4 /-8 2 , ¿y Si y = ------ r , f = x - 4 obtenga i+4 dx Desarrollo

si dy es el error en y entonces: dv — es el error relativo al calcular el valor de y y ¿y

100— es el porcentaje de error de la evaluación de y. y


2.17.

PROBLEMAS.

í nimio Diferencial

(1 )

231

3/34 Desarrollo

Utilizando las diferenciales calcule el valor aproximado de cada uno de las siguiente! expresiones:

/ ( a + Ax) - f ( x ) + f '(a)Ax , donde

3/ÍOÍO

/(2 7 + 7) = /(2 7 ) + / '(27)(7) de donde.

f ( x ) = \ f x , x = 27, Ax = 7 /(3 4 ) = /(2 7 ) + /'(2 7 )(7 )

Desarrolla f ( x + A x ) = f í x ) + f \x )d x donde

3/34 = 3/27 h— - tL í — (7) = 3 + ~ 3(3/27) 27

f ( x ) = 3/* , x = 1000, dx = 10

/(1010) = /(1000) + / '(1000X10)

» O

= lÍMM

1 3(3/1000)'

3/34 = 3 + 0.296 = 3.296

3/34 = 3.296

-do)

=>

Obtenga, dy, Ay para cada una de ¡as siguientes expresiones:

^ 0¡ ó = i 0 + _ i 2_ = 1 0 + i

30

3(10)

« 3/1010 = 10+0.033 = 10.033

=>

y = jc4

para x = 2, Ax = 0.1

=> ^/íolo = 10.033

Desarrollo

#5

= (4r* - *)íü => ¿fy| 1=2 = (4(2)3 - 2)(0.1) = (30)(0.1) = 3

Desarrollo f ( x + Ax) = f ( x ) + f X x ) á x donde

f ( x ) = $[x, x = 16, Ax = -1

/(1 6 - 1 ) = /(1 6 ) + y ’(16)(—1) de donde se tiene:

/(1 5 ) = 3/Í6

Ay = f(x + Ax) - f(x) = f(3.1) - f(3) = (2.1) 1 4(t/Í6)3

/(1 5 ) = 2 + — (-1) = 2-0.031 32

441 = 19.4481----------16 + 2

(--1)

VÍ5 =---1.969

«

12.8

.-. Ay = 5.4481 - 2.205 = 3.2431

para x = 10, Ax = 0.24 Desarrollo

v66 Desarrollo f ( x + Ax) = f ( x ) + f \ x ) A x , donde

'A = -----—Aí 12-8 A dy

¡

_

^L=I0

12.8

102 (0.24) = -1280 (0.24)

f ( x ) = \ f x , x = 64, Ax = 2 Ay = f(x + Ax) - f(x) = f(10 + 0.24) - f(10)

/(6 6 ) = /(6 4 ) + / ’(64)(2) = Vó6 = Vó4 + — J = ( 2 ) 2V64 V66 = 8 + —= 8 + 0.125 = 8.125 8

Ay = / (1024) - / (10) : >/66 = 8.125

12.8 10.24

12.8 = 1 2 5 -1 2 .8 = 11.55 10 Ay = -11.55

dv = -307.2


232 y = (x +1)


para x = -3, Ax = -0.003

233

Mediante el uso de diferenciales, determine el porcentaje de error permisible en el diámetro de un circulo si el máximo error en el área debe ser de 4%.

Desarrollo Desarrolio y = 3(x + l)2Ax: => rfy|

= 3 (-3 + l)2(-0.003)

=*

dy = -0.036

D Sea r = — , D = diámetro 2

Ay = f(x + Ax) - f(x) = f(-3 - 0.003) - f(-3) .

2

nD

A = i z r = ------

= /(-3 .0 0 3 ) - / ( - 3 ) = (-3.003 + l)3 - (-3 + 1)3 = (-2.003)3 - (-2 )3 = -8.036054+8

dA IUU-—= porcentaje de error en la evaluación de A. A

Ay = -0.036054 y = \[x para x = 4, Ax = 0.04

K

Ax

0M = 0 M =0m 2V4 4

2yfx

D.AD

100— = 100-2-

Desarrollo

dy =

dA = — DAD 2

dy = 0.01 AD = 0.02 D

Ay = f(x + Ax) - f(x) = f(4 + 0.04) - f(4) = /(4 .0 4 ) - / ( 4) =

- V4 = 2.01 - 2 = 0.01

&

200A D tAD D nM n — -----= 4 => AD = ------= — = 0.02 D D 200 50

AD ; 0.02 . Luego el porcentaje de error es 2. D

Demuestre que el error relativo en la potencia n-esima de un valor medio es aproximadamente n veces el error relativo es la medición.

Ay = 0.01

Desarrollo

Un recipiente se fabrica en forma de un cubo de 10 cm, de arista, de modo que tenga un] volumen de un litro (1000 cm3) ¿con que posición se debe hacer la arista interna pa

dy_

que el máximo error en el volumen sea de 3 cm3?

y

Desarrollo Sea x la arista del cubo = 10 ; dv = 3 c m 3

dx

= el error relativo al calcular el valor de y

el error relativo es la medición

; v = x3 ; Ax = ? Luego y - x ” es la potencia n-esima.

v = x3 => dv = 3x2Ax dy

3 = 3(10)2Ax de donde Ax = —— = — = 0.01 300 100

nxn~‘dx

dx = n— x

, . es decir:

dy _

dx

y

x

Por lo tanto el error relativo en la potencia n - esima es aproximadamente igual u n ve< c» Ax = 0.01

el error no debe de exceder de 0.01 cm

el error relativo en la medición.

234 (l2 )

Eduardo Espinoza Ramoi

I rilado Diferencial

Demuestre que el error relativo en la raíz n - esima de una medición es aproximadamente!

y = x ln x => — = lnjc + l dx

— veces el error relativo en la medición. n Desarrollo

D

y

dx

= el error relativo en la medición

1 dy = y ~ log( ) = > —x dx

log
=> dy =

loge

3 X

n x

y = x 2ex Desarrollo

1

= sfx

x

Desarrollo

dy _ 1 dx

Por demostrar que:

1

dx2

y = log(-) JC

Sea y = \[x la r a íz n - eesima si

— = el error relativo en la raíz y

d 2y

x n~'dx y = x 2ex

-1

dy _ x n dx x ~ d x y _x n nxn

1 dx -

dy _ 1 dx y n x

n x

2.18. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.-

— = 2xex + x 2ex dx

,2

I

— - = 2ex + 2xex + 2xex + x 2ex = x 2ex + 4xex + 2e dx y =e Desarrollo

Si

y = f(x)

dx"

= /»«>(,) = D; y y - elnU ~3) = x3 - 3 , derivando se tiene:

PROBLEMAS Obtener la primera y la segunda derivada de cada una de las siguientes funciones.

— = 3x dx

,x ~ 5 , t ) À'4-1

y ~ (~

3)

y =e

Desarrollo

Desarrollo x-5

y = ( ----- r ) .v + 1

dx ^

,

x+1

=— r x -5

dx' dy _

y = x ln x Desarrollo

dx

( jc —5 ) — ( jc -4-1)

(x-5 )2

_

ó

(x -5 )2


236

2.19.

( tílculo Diferencial

DERIVACIÓN IMPLÍCITA. ' y 22 x - 2 x 2y — dx

d 2y Si f(x,y) = 0 =» — = dx

método practico

f y(x,y)

2xyz - 2 x 2y ( - - —)

dx2

f .(x, y) es la derivada con respecto a x manteniendo a y como constante

2xy2 + ~ ________y _ _ _ 2xy + 2x _

2

PROBLEMAS.-

..4

2x ~

2

x 3 + y 3 =1

& dx

b)

Desarrollo dx /„ < * y > — V 3*3

En el caso de cada una de las siguientes funciones mediante derivación implícita Sea / O, y) = a-3 + y3 —1 => O

2x(x + y )

«,4

/ {x, y) es la derivada con respecto a y manteniendo a x como constante.

2.20.

237

x2 + y2 = l

f y(x,y) = - 2 j Desarrollo 3y3 U ( x , y ) = 2x

Si f ( x , y ) = x 2 + y 2 - 1 =>

dy _ dx

,2

dx2

\ f y(x,y) = 2y

/ , ( * . y ) _ 2x _ f y(x,y) 2y

* y

y - X --—

■)

=_

y2

> “ ■*('

= ______ y y2

dx

^ dx

y

2 , 2

>’ + * y3

,

_ i y3

.

f x ( x , y ) _ 3x> f y ( x ,y ) _2_ 1 3y3

I v 3 dy

y

1 x 3y 3 f y 3 , 3 I

1 - —

c3 ¿ _ S . , Í . y 3 j t

dx2

x3 + y3 = 1

dx

r3

j2

«_ dx

3 dx

©

yì

.¿

2

3 ___

3

v3

Desarrollo \ f x(x,y) = 3x„2 Sea / (*, y) = X5+ y3 -1

dy

f x(x ,y)

dx

f y ( x ,y )

-i

[ f y(x ,y ) = 3 y 2

x 2 --^ dy _ _ y2 dx

x2 y2

1 1 1 x3 + y 3

i _2

_ 1 y 3 + y 3* 3

3l

1 x3

’

3

i i ' je3 y3

xy + y 2 =1 Desarrollo

y 3* 3

4


238

( rilrulo Diferencial

i f (x, y) = y Sea f ( x , y ) = xy + y 2 - 1 => I * J J [ f y(x,y) = x + 2 y

dy = dx:

A ( * .y ) = f y(x,y)

y x +2y

e

^

239

,

[/* (* > y ) = y

Sea f(x,y) = xy - a =* i {,f y(x ,y) = x

4y = y dx x + 2y

dy

_

dx

f x(x,y) f y{ x ,y )

y x

dx2

(x + 2 y )2

y

(* + 2y)2

0)

y(

x + 2y _ j¡y + 2y2 +;ty _ 2xy + 2y2

(* + 2)“

(x + 2y)

(x + 2y)

x+y

x

/ ys

dy

<¡2> dx2

dx

X* , - y * - ¿ - y x2 x2

2y x2

dx7

x2

x 2y 2 =b

^

Desarrollo

(*+ 2 y )J

í f A x , y ) = 2xy2 Sea f ( x , y ) ~ x 2y 2 - b .

d 2y _ 2 y (x + y ) de2

©

f ( x , y) U<*y'

(x + 2y)3 -'i=- M i 'l l = dx f y (x,y)

Desarrollo [/*(*, y) = -3 * 2

Sea / (jc, y) = y 2 - x 3

dy _

f x(x, y) _

dx

f y(x,y)

d y _

\ f y(x ,y) = 2y

~3x2 = 3x2 2y

2y

.2

dy _ 3x dx 2y

2 2xy - x 2 - 2 x y - x 2( - ~ ) 2y ) = 3 (4*y - 3 * ) = 3 ( 4x - 3x d y. = 2 (---------_ & ) = !(■ 2y 2y dx" y* 2

®

d 2y

3x 4

3jc4

3jc

dx'

4y3

4x3y

4y

x(--)-y

dx

dx2

dy dx

2xy 2 2x2y

dy x — —y

,2

2x y

.1 x

2y

¿2 y _ 2y dx2 x 2

x2

2 x y -~c Desarrollo

Sea f ( x , y ) ~ x 2y i - c

=>

¡ f x (x ,y ) = 2xy3 \ f y (x,y) = 3x2y 2

dy_ _

f x(x, y) _

dx

f y (x,y)

2.ry3 _ _ 2y 3x 2 y, 2

3x

dy _ _ 2y dx

xy = a

3x

d 2y lüv ... ff*

Desarrollo dx 2

3

x2

'

3

x

9x

d*a

<»V

240

Eduardo Espinoza Ramot x + y - xy = 2

dy x -f-y dx „2

Desarrollo

,,

,,

,

„

Sea f(x,y) = x + y - x y - 2

241

I ri/i i//í Diferencial

¿x2

\ f x (x ,y ) = l~ y

_

/ x(— ) - y x ,2

6?2y _ 2y „2

dx2

x2

=* \

Cm)

[ / , ( * , y) = l ~ x

x + y + xy + y 2 - b Desarrollo

dy _ dx

f x ( x >y) ff y((x,y)

__

dy dr

i- y

\- x

y- 1 1- x

\ f x(x,y) = 1+y Sea /( x ,y ) = x + y + ;xy + y - b

x 7 ,>

^

<¿x2

2 (y -1 )

(1 —jc)2

a -xr

(I-* )2

dy _ dx

(l--v )2

x2y 2 +xy = l

f x(x,y) _ / v(x,y)

\ f x (x,y) = 2xy2 +\

Sea / ( x , y) = x2y2 + xy —1 =>

\ f yX x,y) = l + x + 2 y rfy dx

1+ y 1+ x + 2y

1+ y 1+ x + 2y

(l + x + 2 y ) ^ - ( l + y)(l + 2 ^ ) ___ (¿X dx (1 + A'+ 2)0"

^ !Z : dx2

Desarrollo

^

(1 +

X+

2y)( —

\ f y (x, y) = 2 x2y + x

—

l + x + 2y

- (1 + y)(l -

: 2 (1 - j - )

1+ x + 2y

( l+ x + 2 y )

dy

f x(x,y)

2xy2 + y

y(2xy +1)

y

dx

f y(x,y)

2x2y + x

x(2xy +1)

X

dy dx

+ >’) - ( + y

x

l+ x + 2 y -2 -2 y i +x + 2y

(1 + y)(l + x + 2y + x -1 ) _ 2(1 + y)(x + y) (l + x + 2y)'

(l + x + 2v) dy x ~—— y dx

x (-l)-y

d ' y „ 2y dx2 x2

ji

dx2 3 3 x ry + x 2Ly 2l - a

=»

J / t (x,y) = 3x2y3 +2xy2

dx

f x(x,y) _ f y( x ,y )

3x2y 3 +2xy2 _

xy2(3y + 2) _

3x3y2 + 2 x 2y x 2y ( 3 x + 2 ) ~

2

=a Desarrollo

O. = dx

{//-*> y) = 3x3y 2 + 2 x 2y

dy _

x 3y

. , Sea /( x ,y ) = x y - a

Desarrollo

Sea f ( x , y ) = x 3y 3 + x 2y 2 - a

@

x

y

±.-i

___* __ i _

(l + x + 2 y )

= f y(x,y)

dy ,2 x— -y ^ y _ _ 3 t dx ■7 92- (- x 2 dx"

\ f x(x ,y) = 3x2y 2 =» \ [ f y(x ,y ) = 2x y

3x y _ _ 3 y 2x 2x3y

dx

2

2x

4x

3y 2x

Eduardo Espinoza Ramo» 2

x +xy = a

( itlculo Diferencial

2

(jt + 3 y 2) — - y ( l + 6 y — )C* + 3 y )( ■ ’ dx ' ' ¿x Cx+3y2)2

,2

d y_

Desarrollo

243

dx¿

^ -y í-y O x + 3y (x + 3 y 2)2

*+3y2

[ f (x v) = 2 x + y y

x -3 y 2

4 . -----------—

x + 3 y 2 _ ^ + 3y3 + jc -3 y 2 dy_ _ dx

f x(x, y) _ fA x,y )

.

2x f y x

£y

_

U + 3 y 2)2

_. 1

dx

X

© x “l - y dx _________ x

(x + 3 y 2)3

-2 x-y-y

2(x+ y)

d 2y

Desarrollo

2(x+ y)

dx2

dx2

(,x + y)2 + (x + y )3 = a 2

-2

2 , , Sea f ( x , y ) - (x + y ) + ( x + y) - a entonces xy2 + y 2 = a

í / j[(jc,y) = 2(jr+ y) + 3 U + y ): | / y(*> y ) = 2(x + y) + 3(x + y):

Desarrollo 2

2

Sea J ( x ,y ) = xy + y - a

dy ^ dx

f x(x, y) ^ f y(x, y)

¡ U .-L dx¿ 2

_¡ p o n » « , ,, ,

f / , ( * . y) = y 2

dx

=$ < \ f y(x,y) = 2xy + 2y

y 2xy + 2y

@

y

■ J >' . . .

2(x+ 2(x+l) l)

! (. - y —2y (x + l)¿

(x + l) ¿

2 2(jc+ 1)2

f y(x,y)

M 2(x+l )

3y

* . ,1

„

dx

£

1

. dx2

x 2 + y 2 = ab Desarrollo 2 2 \ f x(x,y) = 2x Sea f ( x , y ) = x + y - a b => \ [ f y(x,y) = 2y

4(.x+l)2 ÉL - - l í — l L l dx f y(x,y)

xy + y3 = b

2(x+ y) + 3(x+ y)

2x 2y

y

dy _

x

dx

y

Desarrollo

ff x ( x . y ) - y Sea f ( x , y ) = xy + y3 - b

dy

f x(x,y) _____ y _

dx

f y(x,y)

x+3y2

éI l

dx2

y - x , dy dx

x~ + y “

ab

i d 2y

ab

j dx2

r3

[ / ,( * . y) = * + 3 y 2

dx

x+Zy2

dy Obtenga — para cada una de las siguientes funciones por el método de la dcrivm dx implícita.

ióii


244

@

2 _ X -\ X+ l

( 'rilento Diferencial

©

245

i l i y = x 2 + x3 +x4

Desarrollo

dx 0

a3

dx

(x + l)

Desarrollo 1 dy_„________ dx y(x + l)2

(a + 1)2

j dy 11- -1 11 —2 1, —3 — = — x 2 + - x 3 +—x 4 dx 2 3 4

-xy+ y3=1

y2 = i ì z l

Desarrollo

*

"> 1 A- + 1

Desarrollo dy dy 2 dy 3a - y - A — + 3 y — = 0 => ( 3 y - x ) — = y - 3 x dx dx dx

=>

dy

y - 3x

dx

3y ~ x

dy 2' * -

(x + 1 )2 a -(x -l) 2 x (A 2 + 1 )2

<2 = ± Z l x +y Desarrollo x+ y-(x+ y)< ^--x+ y--(x-y)-^ dx ---------(x+y)~

(x + l ) ( l - ^ ) - ( A - y ) ( l + ^ )

2 x = ________ & ------ — ____ => (x+yY

2y + ( - x - y - x + y ) 2x = ( x + y )2

dx

2x = -

dy 2y-2x dx =5 2x = ■ (x+ yY

dy ,x(x + y r = y - x — dx

dy x + x ~ x + x v— = dx (x 2 + 1)2

dy

2x

dx

y(x2 +l)2

(x + y)3 + (x - y)3 = xA + y 4 Desarrollo 3(x + y )2(1 + — ) + 3(x - y)2(1 - — ) = 4x? + 4y3 dy dx dx dx 3(x + y)2 + 3(x + y )2 — + 3(x - y)2 - 3(x - y )2 — = 4a3 + 4y3 ^ dx dx dx

dy _ y - x j x + y Y dx

=»

x [3(x + y): - 3(x - y)2 - 4y3]— = 4x3 - 3(x + v)2 - 3(x - y )2 dx

y = x ( x 2 + l) 2 Desarrollo

(3 a 2 + 6xy + 3 y 2 - 3a 2 + 6xy - 3 y 2 - 4 y3 )-— = 4 x 3 •- 3a 2 - 6xy - 3 y 2 - 3 x 2 + 6xy + 3 y 2

dx

dy = ( x 2 + l) 2 dx

1 2

x (x 2 + l) 2 2 x =

1

_

(a 2 + 1 )2

d y = ___ 1 _ dx 1 U 2 *! ) 2

x2

3- -

(x 2 + l) 2

x2+ l- x 2 3 ( * 2 + l) 2

( I 2 x y - 4 y )— = 4a - 6 a dx

dy

2x2(2 x -3 )

x 2(2 x - 3 )

dx

4 y (3 x - y 2)

2 y (3 x - y 2)

y = (a + 5)4(x2 - 2 ) 3 • Desarrollo


dy i dy 2 n - c o s e c x c t g x - s e c y t g y — + sec y ----- cosec x ~ 0 dx dx

^ = 4( jc+ 5)3{>2 - 2 ) 3 +3(* + 5)4(x2 - 2 ) 22x = (x + 5 ) \ x 2 - 2 ) 2(4(j:2 - 2 ) + 6.rú+5))

(jr+5)3(.t2 - 2 ) 2(10jc2 + 3 0 .Í-8 )

? dv 2 (see y - see y íg y) — = eosee a + eos ec x. ctg x dx

1 1 , --+ - = 1 y *

dy _ eos ec2x +eos ecx ctg x Desarrollo

I +i . , . y

X

y 2 dx

247

I tit ulo Diferencial

dx d y =_ r dx x2

--L 4 -- L .o X2

(M)

see2 y -s e c y tg y

xyex + ey = 0 Desarrollo (xy)'ex + xy(exy+ (ey)' = 0

y = (x2 +3)* x~l

=> (y + x y > * +xyex + ey.y' = 0

Desarrollo vex + xex y '+ eyy '+ xyex = 0 => (xex + ey) — = - x y e x - y e x dx dx

3

2

(x2 + 3)3

2 3(a + 3 )3

x2

x 2 + 3) 3 2xx 1- (x 2 + 3)3jc 2 :

2x - 3 ( j t +1)

x 2 +3

2

3x 2( x 2 + 3 )3

dy_ _ dx ( \:)

2

y(xe* +ex) _ -y (x + l)e * _ -y (.r+ l)e* _ - y ( * + l) xex +ey xex + ey xex - x y e x x-xy

dy _ dx

y ( 1+ ^ ) x 1 -y

yex = l0 + ycy Desarrollo

3x 2( x 2 + 3)3 ex — + yex ~ e y ~ + y e y — dx dx dx

eos *+fgy.sgny = 0

=>(ey + yey '- e x)— = ye' ' dx

Desarrollo dy ^ yex "dx e y + yey - e x

dy 2 eos x(-sen x) + sec2 y sen y — + tg y eos x — = 0 dx dx (u )

- 2 sen xcos x + see2 y sen y — + sen y —- = 0 dx dr

Desarrollo ■

jen y (see2 y + 1)— = 2 co sxsenx dx eosee x - see y + tg y + etg x = 0

x5 + 4jty3 - 3y5 = 2

dy 2cosx sen x dx sen yíl + see2 y)

5a4 + 4 y 3 + 12jcy2— -1 5 y 4 ^ - = 0 dx dx dy

Desarrollo

5x* + 4y3

dx ~ 15y4 - 1 2 jy 2

-

=> (12xy2 -1 5 y 4) ^ = -5>4 - 4 y 3 dx

Eduardo Espinoza Ramos I

249

( «leído Diferencial ¿y = 3 (x -2 )(x + 2 ) dx

x2 + xy + y 2 = ! Desarrollo para x = -2 2x+ y +x — +2y— =0 dx dx

(x-f 2y) — = - ( y + 2x) de donde — = dx dx 2y + x x < -2,

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS,A)

MÁXIMO Y MINIMO RELATIVO (Criterio de la primera derivada)--

^>0* dx

-2 < x < 2, * < ( T dx

3 máximo relativo en x = -2

y = 12 - 12(-2) - 8 = 28.

Luego el máximo (-2,28)

Si f(x) es una función definida en (a,b) Para x = 2 Si / '(c) = 0 donde c e (a,b) punto critico

Si

Si

/ '(x) > 0 V x e (a,c) 3 máximo relativo en x = c

-2 < x < 2, * « T dx

3 mínimo relativo en x = 2

x > 2,

y = 1 2 - 12(2) + 8 = -4.

f ' ( x ) < 0 V x e (c,b) y f ( c ) es el valor máximo / '(x) < 0 V x e (a,c) 3 máximo relativo en x = c

^ > 0 + dx

f '(x) > 0 V x e (c,b) y / ( c ) es el valor mínimo

Si / '(x) > 0 V x e (a,b)

f(x) es creciente sobre (a,b)

Si / '(x) < 0 V x e (a,b) => f(x) es decreciente sobre (a,b) B)

PROBLEMAS.Para cada una de las siguientes funciones, determine los valores máximos y mínimos relativos; trace la curva que representa cada función.

©

x+1

y = 1 2 -1 2 x + x3

Desarrollo Desarrollo dy _

dy 2 — - -1 2 + 3 x = 0 para los puntos críticos dx -1 2 + 3x 2 = 0

=*

x

2 = 4

=> x = ± 2 puntos críticos

-2

dx

1 (x + l)‘

- = 0 para los puntos críticos

Luego mínimo (2,-4)

250

Eduardo Espinoza Ra

251

«,(/
J? x 1 y --------------6x 3 2 Desarrollo

Desarrollo

dy n — = x ~ x - 6 - ~ 0 para los puntos críticos dx

dy _ 4x3 , „3 - 3 2 = 0 para obtener ios puntos críticos dx

(x - 3)(x + 2) = 0 => x = -2, x = 3 son puntos críticos

4x3 - 3 2 = 0

x'J - 8 = 0 => ( x - 2 ) ( x 2 +4x+ 4) = 0 de donde x ~ 2 punto critico

-2 dy_ = (x -3 )(x + 2 ) dx

— = 4(x - 2)(x2 + 4x + 4) dx

para x = -2 Si x < -2, ^ > 0 + dx -2 < x < 3, —•< 0 dx

3 máximo en x = -2

y=

22

x > 2, --- > 0+ dx

22

Luego máximo (-2 ,— )

para x = 3 -2 < x < 3, ^ < 0 dx

3 mínimo en x = 3, y = -

x > 3,

27 Luego máximo (3,— —)

dx

>0+

x < 2 , d- l « r dx

27

Luego (2,0)

252

Edita do Espinosa Ra

I dlculo Diferencial

(!)

y=

253

y = x2-4 r +3 Desarrollo

V ?+7 Desarrollo dy dx

(x2 + 7)3

■0 para obtener los puntos críticos pero % x e R tal que

dy dx (x2 + 7)3

por lo tanto no se tiene puntos críticos lo cual implica que no hay máximo ni mínimo.

2x - 4 = 0 para los puntos críticos

2x - 4 = 0 => x = 2 punto critico „ d\ x < 2, — < 0 dx

3 mínimo en x = 2 de donde y = -1

x >2, ^ > 0 + dx

Luego mínimo es (2,-1)

2x Desarrollo 2 2 __________ = 0 para ios puntos críticos pero p. x e R tal q u e --------- —= 0 dx 3 U 2 -l) 2 U 2- l) 2

= W l^ ; Desarrollo

Luego no tiene puntos críticos por lo tanto no hay máximo ni mínimo. = -n/í —x2 — t = ¿ = = 0 yfl-X 2 dy 1—2x2 — ~ ~== ¿X

0

-y dy / es decir: dx

jc =

para los puntos críticos

v ** ±— 2

o 1—x = 0

=¡>

puntos críticos también son puntos críticos cuando

x = ± 1 son puntos críticos porque la función esta

definida en esos puntos.

“1

-+------------h V2 -J l

1

Eduardo Espinoza Ra

254 dy _ (1 - J2x)(i + J 2 x , dx

y/2 \Í2 dy _+ -----< x < — , — > 0 2 2 dx - £ < x<£ , 2 2

3 máximo en x - 0 de donde y - 2

x <0, ^ > 0 + dx

V i-/ \/2 1 3 nummo en x = — — , y - - —

■ l < x < ~ — , d- l < O2 dx

255

I oli tilo Diferencial

Luego mínimo en

dy < x < 2, — < 0 *• dx

0

Luego el máximo es (0,2)

dy 0
3 mínimo en x = 2 de donde y = -2

x > 2, ^ > 0+ dx

Luego el mínimo es (2,-2)

*

± > O* dx sÍ2 1 Luego el máximo es (— , - )

^ < , < 1 , ^ < 02 dx

2

2

Desarrollo dy _ dx

©

2x

= 0 para obtener los puntos críticos

(x2 + 4 )2

2x ------------—= 0 (x + 4)

’ = x3 - 3 x 2 +2

^

Desarrollo

x = 0 punto critico ----------1------0

— = 3x2 - 6 x = 0 para obtener los puntos críticos dx 3x2 -

6x = 0

=>

3x(x - 2) =

0

=>

dy

-2x

dx

(x2 + 4)2

x = 0 , x = 2 puntos críticos x < 0, ^4y- > 0 + dx

— = 3 x (x -2 ) dx

>0.

i y « r

dx

3 máximo en x ~ 0 de donde y =

J

Luego el máximo es (0,—) 4

256


Cálculo Diferencial

257

para x = 4 2 V2 < x < 4 , ^ < 0 “ >

3 mínimo en x = 4, y = 4^2

dx

> 4,

dx

> 0+ *

Luego el mínimo es (4,4^2)

V 7 --8 Desarrollo dy

2x

dx

4 x 2 -%

2x(jr2 - 8 ) - x 3

•= 0 para obtener ¡os puntos críticos Cx2 ~ 8 )2 x3 -1 6 *

„

-------------------3------“ ----------- '— 3 ' = 0

(JC2 -8 )2

/

3

A Desarrollo

=í> X - 1 6 x = 0

(x2 - 8)2

x(x -1 6 ) = 0 => x = 0, x = ± 4 los puntos críticos

d\ \ 2 — = 4x - I2x = 0 para los puntos críticos dx 4x (¿c-3) = 0 => x = 0, x = 3 los puntos críticos

-4

H------------ 1------------ 1------------ h -2 -JÎ 0 2V2

0

dy __ x (x ~ 4 )(x + 4) dx

— = 4jc2(x - 3 ) dx

U 2 -8 )2 Para x = 0

para x = -4 x < -4,

— < 0~ dx

-4< x< - l y j l , ^ > 0 + dx

3 mínimo en x = -4, y = ~4\¡2

X< 0 , & < 0 ~ dx 0 máximo ni mínimo

Luego el mínimo es (-4,4>/2)

0 < x < 3, — < 0 dx

Eduardo Espinoza Rama» W

258

259

1 'l,‘ ll,( Diferencial

para x = 3 O < x < 3, — < 0“ dx

3 mínimo en x = 3, y = -15

x > 3, ^ - > 0 + dx

Luego el mínimo es (3,-15) Yi y =

12

A

16- x 2 Desarrollo

0

\

1

y

/

¡ y

x

dy _ dx

2x (1 6 - x 2)2

: 0 para obtener los puntos críticos

2x n -------- ——= 0 (1 6 - x 2)2

3x 4 x 2 +7>

n ' x = 0 punto critico

Desarrollo dy _ te

6x

3 r3 ------------ -- o para los puntos críticos

4 x 2 +3

3x3 + 18x

dy

2x

dx

(1 6 -x )

(x2 + 3 )2 -4 < x < 0, — < 0 dx

3 mínimo en x = 0, y =

0 < x <4, ^ > 0 + dx

Luego el mínimo es (0,— ) 16

16

= 0 => 3x3 + 18x = 0 —•» x = 0 punios críticos

(x2 + 3 )2 O dy _ 3x(x2 + 6) dx í (x + 3 )2

x < 0, — < 0~ dx

3 mínimo en x = 0, y = 0

x > 0, ^ > 0 + dx

Luego el mínimo es (0,0)

260

Eduardo Espinoza Ram 2 i , v = —x ~ 4 x +6x + 2 ' 3

h iilo Diferencial dy _ dx

261

8

16a 2

x 2 +4

(x2 + 4 ):

• = 0 , para obtener los puntos críticos

Desarrollo dy i — = 2x —8x+ 6 = 0 para obtener los puntos críticos dx 2x2 - 8 x + 6 = 0 => 2(x2 - 4 x + 3 ) = 0

8

16x2

x2 + 4

(x2 + 4)2

32 8'X (x2 + 4 )2

n 8(jc2 -»-4)—16jc2 n ----- r-----—0 = 0 => ------- — (x2 + 4 )2

0 => 3 2 - 8x2 = 0 ^

x2 = 4 =* x = ± 2

2(x~ l)(x - 3) ■=0 =» x = 1, x = 3 puntos críticos

-2 1 dy dx

= 2(jc—1)(jc—3)

x < 1, ^ > 0 + dx dy l < x < 3 , — < 0 ** dx

x < -2, 14, Luego el mínimo es (1,— ) 3

* « T dx

2

rfy

8(2 - x)(2 + x)

dx

(x2 + 4 )2

3 mínimo en x = -2, y = -2

-2 < x < 2, —- > 0+ À dx

Luego el mínimo es (-2,2)

dy 1 < x < 3, — < 0“ *\ 3 mínimo en x = 3, y = 2 dx ' J

-2 < x < 2, -~y~ > 0 + dx

3 máximo en x = 2, y = 2

x >3, ^ > 0 + dx

x > 2, — < 0“ dx

Luego el máximo es (2,2)

y=

Luego el mínimo (3,2)

8x x2 + 4 Desarrollo


262

■17}

y--

í (líenlo Diferencial

x+ 3

263

x < 0, ^ > 0 *

}í máximo ni mínimo

dx

Desarrollo x >0, ^ > 0 +

— = dx x

dx

= 0 para obtener los puntos críticos x4

2 - 2 x2 - 6 x

,0

=,

x4

-U + 6)

= 0 => x = -6 puntos críticos

-6

0

dy _ -( x + 6) dx x3 x < -6, — < 0 dx

(íí)

3 mínimo en x = 6, y = -

I 1 y = ( * - l ) 3( x + l) 3 Desarrollo

12 dy

-6 < x < 0, ^ > 0 + . dx

1

— - 2 3(x + l) 3 + ~ ( j c - l) 3(jc + l) 3 = 0 para obtener los puntos críticos

Luego el mínimo es (-6, — ) ., 2

(

-6

-)3 + 2(

x -l

,1

-)3 = 0

x+1

jr + l + 2 (jr-l) 2 1=0 (jc-1 ) 3(jc+ 1)3

i

3.T-1 1 —2-------- f = 0 => 3x - 1 = 0 => x = — punto critico. ( x - l ) 3U + l)3

X También cuando j í — se obtiene los puntos críticos siempre que en dichos puntos la función este definida. 3.x-1 I J (jc-1)3(.x + 1)3

y = x5 +6 Desarrollo = 5x4 = 0 para obtener los puntos críticos dx

5x4 = 0 => x = 0 es punto critico

<=>

X = 1, X = -1

-+■ -1

T 1

+ 1

Eduardo Espinoza RamM

264 dy__ dx

3 -r-l I

♦ tih ah» Diferencial

265 Desarrollo

1 í/y 1 — = —(3jc“ - 12jc+9) = 0 para obtener ios puntos críticos dx 6

( jc - 1 ) 3 ( jc + 1 ) 3

para x = -l 1 x < -1, ^ > 0 + dx

3 máximo en x = -l, y = 0

1 dy 1 < jc< —, - i < 0 ~ 3 dx

Luego ei máximo es (-1,0)

7

( jc

~4jc+3) = 0

=> (x - l)(x - 3) = 0, de donde x = l , x: 3 son los puntos críticos

f £ = I ( ,- lX * - 3 ) dx 2 Para x = — 3 5

23

-1 < x < —, < 0~ 3 dx

3 mínimo en x = - , 3

- < * < 1 , É L > o+ 3 dx

1 23 Luego el mínimo es ( - , ------) 3 3

y=-

Para x - i

3

x < 1, É l > o+ dx

3 máximo en x = l , y = -

1 < x < 3, ^ < 0 ~ dx

Luego el máximo es (1,—)

5

Para x = 3 1 < x < 3, ^ < 0 dx

3 mínimo en x =3, y = 1

x > 3, - ^ > 0 + dx

Luego el mínimo es (3,1)

Y ‘

5

(20)

y = - ( x i - 6 x 2 +9x + 6)

Eduardo Espinoza Ramt

266 C)

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA.-

I lUrulo Diferencial

267

d 2y —y - 6 x = 0 para obtener los puntos de inflexión

Si y = f(x) es una función los puntos en donde la segunda derivada se anula denomina puntos de inflexión, es decir en x0 se tiene punto de inflexión ■ como 6x - 0 => x - 0, y •- 1 2 - 0 + 0=-12. Luego el punto de inflexión es (0,12) /"(* „ ) = 0 Si ^ es punto critico es decir / '( * ,) = 0 o ¿ í /'(•*, )• Si

/ ”(*!) > 0 entonces 3 mínimo en x - xx

f "(*,) < 0 entonces

D)

3 máximo en x -

Si

/ ”(*) > 0 , V x e => f(x) es cóncava hacia arriba

Si

/ "(*) < 0 , V x e => f(x) es cóncava hacia arriba

PROBLEMAS.-

y-

jr + 1 Desarrollo

Determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y míni" relativos, y los puntos de inflexión (si los hay). Trace la curva que representa a o* función.

©

-

*+1

y = 1 2 - l 2 x + x* Desarrollo dy o — = - 1 2 + 3x - 0 para obtener los puntos críticos dx x 2 = 4 => x = ± 2 son los puntos críticos d y d y — f = ¿6* => — f dx2 dx2

j.- _ *

= 12 < 0 = * 3 mínimo relativo en x = 2 y el punto mínim«

x

+

l

x+l

__ L =1_ . 1 x+l

x+l

dy 1 ~ r ---------- r como A x tal que — = 0 dx (* + l)2 4 dx entonces no se tiene puntos críticos y por lo tanto no hay máximo ni mínimo. d 2y _ dx2 ~

2 d 2\ ( r + j)3 como P x tal que —y = 0 , entonces no hay puntos de inflexión

pero x — 1 es un punto de discontinuidad

x=2

y = 12 - 24 + 8 = -4 es decir (2,-4) d 2y = - 1 2 < 0 = > 3 máximo relativo en x = -2 y su punto máximo es: dx2 jc=-2 y = 12 + 24 - 8 = 28 es decir (-2,28).

-1 d 2y Para x < -1, — — > 0 =í> f(x) es cóncava hacia arriba dx l’ara x > -1, — ^-< 0 dx'

f(x) es cóncava hacia abajo

268

Eduardo Espinoza Ra>mal

269

' 11/< uto Diferencial

=2 x-l £¿>c2 1 d y Para x < —, — < 0 =* es cóncava hacia abajo 2 dx2

x> —, > 0 => es cóncava hacia arriba 2 dx~

©

y - ------------ 6jC 3 2 Desarrollo dy • 2 — = x - x - 6 = 0 para los puntos críticos dx x - x - 6 = (x -3 )(x + 2 ) = 0 => x = -2, x = 3 d^y_ dx2

■2 x - l entonces:

d 2y dx

-5 < 0

(J)

y = x4 -32.V + 48 Desarrollo

22

de donde y = - - - 2 + 12= — 3 3

dx2

= > 3 máxitno en x = -2

= -2

jc

’T >

= 5 > 0 => 3 mínimo en x = 3

dy = 4x3 - 32 = 0 para los puntos críticos dx 4x3 - 3 2 = 0 =» x3 = 8 =* x = 2 punto critico d 2y

9 27 27 dedonde y = 9 ------ 18 = ------ => (3,-------- ) 2 2 3

^ f = 12x2 dx2

d 2y dx

de donde y = 1 6 - 6 4 + 48 = 0

= 2 x - l = 0 para los puntos de inflexión 2x - 1 = 0 => x = — dedonde 2

= _ L _ i _ 3 = _ 32 ^ 24 8 12

A 37. J (—,----- ) punto de mflexión 2 12 -+2

d^y_

dx2

= 48 > 0 = > 3 mínimo en x = 2 X~2

(2,0)

= 12x2 = 0 para obtener los puntos de inflexión

dx2 como 12x2 = 0 => x =0 de donde y - 48 Luego (0,48) es un punto de inflexión.

Eduardo Espinoza R

< ilh ulii Diferencial

271

d 2y Para x > 0, — —< 0 dx2

=> es cóncava hacia abajo

£ y > 0O => es cóncava hacia arriba Para x < O, — dx2 *11 x > O, — —> 0 dx2

=> es cóncava hacia abajo

2x

y=

Desarrollo dy

-2

dx

Y = 0 para obtener los pimtos de inflexión

O 2- » 2

V*2 + 7 Desarrollo dy

1 x 2 +1

3

(7 + jé2) 2

7 -------= O 3

M para los puntos críticos como ,3 x tal ql

(7 + x2)2

■= 0 => no hay puntos de inflexión por lo tanto no hay máximo ni mínimos. (7 + x2)2

—L dx¿

l uego 0 x tal q u e --------- —= 0 entonces no hay puntos critico y por lo tanto no se tiene (*2 - l ) 2 máximos ni mínimos. d y 2 — - = --------- = 0 para obtener los puntos de inflexión. dx , (*2 - l ) 2

---------- = o para obtener los puntos de inflexión. I .liego

(7 + x 2)2

x tal q u e --------- —= 0 entonces no hay puntos de inflexión.

(,x2- \ ) 2 Como

-3x J (7 + *2) 2

= 0 => x = 0 de donde y = 0 entonces (0,0) es el punto de inflex

-1 d 2y para x < 0, — > 0 => es cóncava hacia arriba dx2

d 2y Para x < - l , — r > 0 dx2

1

=> es cóncava hacia arriba


272

d 2y Para x > 1, — ~ > 0 =* es cóncava hacia abajo dx

f 'Aleuto Diferencial

273

y = x-JlDesarrollo

para los puntos críticos

1-JC2 -JC2 2 /-------= 0 => ] - 2x = 0 V I-je2

jc = ± —

n/2

puntos críticos

2

,H — =* 1- x2 = 0 => x = ± 1 punto critico dx 2)

y = x2 - 4 x +3 Desarrollo

dy _ i - 2 s 2

¿ 2y

dx

dx~

7 J T x2 -

2x3 - 3 x _

para los puntos de inflexión

(l- .v 2)2

dy — = 2x - 4 = 0 para los puntos críticos 2 x - 4 = 0 => x = 2 punto critico dx d 2y — =2>0 dx2

= * 3 mínimo en x = 2 para x = 0, y = 0, (0,0) es punto de inflexión x = ±

no pertenece al dominio.

y = 4 - 8 + 3 = -l => (2,-1) punto mínimo d V — £ = 2 = 0 , 0 por lo tanto no hay puntos de inflexión dx'

2I J _ _ 3 d^l dx2

Va — y

d 2y como — — > 0 , V x e R entonces y es cóncava hacia arriba dx rf2}’ dx

2 V2 y/2 J2 . _ . . 72 1 ,V2 1 - -----2 -------— = ---- ~ < 0 => 3 máximo en jc = — , y = —, (— ,—) 1 3 1 3 2 2 2 2 0 . 1 ) 2 (1)2

1 2 . ~vf2 '" T í

JL

2

V2

1(~ )2 2

> 0 => 3 mínimo en x-

4 ’1 -1

d 2y para -1 < x < 0 , — ~ > 0 dx2

0

1

es cóncava hacia arriba

ñ ■2

’

4 2 . ( - #2 . 2» )

Eduardo Espinoza Ra

I .i/, uh) Diferencial

d 2y

x < 1,

( ) < x < l , — < O =* es cóncava hacia abajo dx

275

< 0 => es cóncava hacia abajo dx2

d *y x > 1, — ~ > 0 => es cóncava hacia arriba dx2

Desarrollo

((•') dx

= 3x¿ - 6x - 0 , para obtener los puntos críticos.

3x2 - 6 x = 0 => 3 x (x -2 ) = 0 =* x = 0, x = 2 puntos críticos

Desarrollo

y = -K

i

x2 +

d 2y . , “ = 6x 6 => ¿x"

d 2y = -6 < 0 z~ ¿xz x=0

= » 3 máximo

4

dy

2x

dx

(x2 + 4 )2

= 0 para obtener los puntos críticos.

2x

C o m o ----------- - = 0 => x = 0 punto critico (x 2 + 4 ) 2

punto de inflexión en x = 0 de donde y = 2 => (0,2) punto máximo. d 2y dx1

= 1 2 -6 = 6 > 0 => 3 mínimo en x = 2

— r = ~— %■ = 0 para obtener los puntos de inflexión dx2 (x + 4)

x= 2

de donde y = 8 - 1 2 + 2 = -2 => (2,-2) punto mínimo.

É ll = 6x -

6 = 0 para obtener los puntos de inflexión

dx2 6x - 6 = 0

=> x =1, y = 1 => (1,1) punto de inflexión ■+ 1

como — ~— ~ = 0 => 6x2 - 8 = 0 => x = ± - Í (x + 4) V3 1 3 y - —— = — ==> —+ 4 36 3 ¿f2y x~0

= ----- < 0 64

2

3

V3 16

2

3 , — ) puntos de inflexión V 3’ 16"

=> 3 máximo en x = 0, y = 0 luego (0,0) es el punto inrixiino

276

_2_

2_

O

-2 v '2

s

V3

2

2

r~ dA y > 2v 2 , — > 0 , es cóncava hacia abajo dx

y

^ <_ _ t V3

272

- d 2y Para * < -2V 2 , — ~ > 0 , es cóncava hacia arriba dx

2 d y x < — = , — ~ > 0 es cóncava hacía arriba v3 ¿/x — V3

277

I tit ulo Diferencial

Eduardo Espinoza R

< o es cóncava hacia abajo

<¿r

Y'

2 d 2y x > - p r , — - > 0 es cóncava hacia arriba -v/3 ¿*2

- 2 V2

2 V2

X

'

(A

y = *4 —4*3 +12 Desarrollo dy -a -y — = 4* -1 2 * = 0 para obtener los puntos críticos dx

y= V *

- 8

Desarrollo dy

je2 —16*

^

(V*2 - 8 ) 3

como

4x2 (x - 3 ) = 0 => x = 0( x = 3 puntos críticos = 0 para obtener los puntos críticos

x3 -1 6 *

^108 -7 2 = 36 > 0 = 0 => * -1 6 * = 0 => x = 0, x = ±4 son los puntos críticos

(V72~ 8 ) 3

=> 3 mínimo en x = 3, y = -15; (3,-15) en el punto mínimo.

í/^v "i- 8jc^ "t-128 _ |- = -------------- ---- = 0

para obtener los puntos de inflexión como £ x tal que

= (12x2 - 24*)

dx2

(x2 -8 )2 3*4 + 8*2 +128 ------------------- = 0

d 2y

entonces no hay puntos de inflexión, se tiene puntos de

( * 2 - 8)2

discontinuidad en * = ±2\Í2 .

■

£ yj- = 12*2 -

Ir—Q

= 0 no hay información

24* = 0 para obtener los puntos de inflexión

dx !2*2 - 24* = 0 =* x = 0, x = 2

Eduardo Espinoza Ra, Luego x = 0, y = 12; (0,12)

279

i lilculo Diferencial

5

54 = — > 0 = > 3 mínimo en x = 0 dx~ x=0 52

d-y

x = 2, y = -4; (2,-4)

com ox = 0, y = 0 entonces (0,0) punto mínimo. d 2y Para x < 0, — — > 0 dx d 2y 0
=> es cóncava hacia arriba

d “~v 6 ^ x2 — —= 9(---------- - ) = 0 para los puntos de inflexión dx (x2 + 5 )2

=> es cóncava hacia abajo (L_ 2 como 9(------- ——) = 0

d 2y x > 2, — —> 0 => es cóncava hacia arriba dx2

6 - je2 = 0

(*2 + 5)2 jc2 = 6 .=> x = ±Vó , y = 6 luego (~V 6,6), (Vó,6) son los puntos de inflexión.

~v6

\¡6

r~ d 2y x < - V 6 , — — < 0 , es cóncava hacia abajo dx-

- s/6 < x < \ 6 , —~ > 0 , es cóncava hacia arriba dx¿ y =

3x2

r~ d y x > y¡6 , — y < 0 , es cóncava hacia abajo. dx

x ¿ +3 Desarrollo dy_ _ 3(_£*+6x ) = 0 para obtener los puntos críticos dx ' 2 (x + 3 )2

como 3( X

) _ q => jc3 +6jc = 0 =* x(x2 + 6) = 0 => x = 0 punto critico

to

y=

i 1 6 -* 2 Desarrollo

280

Eduardo Espinoza Ramut dy

2x

dx

(16 —je2 )2

como

= O para obtener los puntos críticos

2x ( l ó - x 2)2

I illmlo Diferencial

||» )

y = -j* 3 - 4 jc2 + 6x + 2 Desarrollo

= 0 => x = 0 dy

d 2y dx1

281

32 + 6x2 (16- x ,2)\3

d 2y dx1

dx —-—> 0 128

= 2a2 - 8x+ 6 = 0 para obtener los puntos críticos como 2x2 - 8 x + 6 ~ 0

= > 3 mínimo en x = 0, y = — ' 16 x ' ~ 4 x + 3 = 0 => (x - l)(x - 3) = 0 => x = 1, x = 3 son los puntos críticos.

Luego (0,— ) es el punto mínimo. 16 d 2y —dx'

32 + 6x2 --------r - r = 0 (16- x y

para obtener los puntos de inflexión pero como

32 +.6x2 n -------- — = 0 entonces no hay punto de inflexión. (16—j c ) . En x = ± 4 se tiene puntos de discontinuidad

n_ A x tal uül ^

d~y y ~ 4x-S dx2

=>

d 2y y dx2

= 4 -8 = -4 < 0

14 Luego ( I ,- - ) es punto máximo

d 2y dx-

= 12 ~8 = 4 > 0 =>3 mínimo en x = 3 de donde y = 2 x=3

d 2y Para x < -4, — —< 0 es cóncava hacia abajo dx2

Luego (3,2) es el punto mínimo.

d 2y -4 < x < 4, — —> 0 es cóncava hacia arriba dx2

d 2y

d 2y x > 4, — —< 0 es cóncava hacia abajo dx2

14 => 3 máximo en x - 1, y = — 3

dx'

= 4x - 8 = 0 para los puntos de inflexiOon.

Como 4 x - 8 = 0 => x = 2, y = — luego el punto (2,“ ) es el punto de inflexión

d y Paia x < 2, — —< 0 es cóncava hacia abaio dx' d 2v x > 2. — —> 0 es cóncava hacia amba. dx2

282

Eduardo Espinoza Rank

283

I tilculo Diferencial x=0

,>=0

, (0,0)

x = 2>/3

,y

, (2 y ¡ 3 ,S )

x - -2 sfi

, y = -V 3

=

y/3

}

son puntos de inflexión

, ( - 2 V3 , —n/3)|

-- 2 V 3

o

2V3

- 2 V3 , — t < 0 es cóncava hacia abajo dx" d 2y

r

y =

-2 v 3 < x < 0 , —

8x

> 0 es cóncava hacia arriba

dx2

x2 +4 Desarrollo

r d 2y 0 < x < 2 > /3 , — ~ < Q

es cóncava hacia abajo

dr dy

32-8 x "

dx

(x 2 +4)

como

= 0 para obtener los puntos críticos r- d 2 y : > 2 V 3 , — f > 0 es cóncava hacia arriba

32 - S x 2 (x2 + 4 )2

dx =0

=> 32 - 8x2 = 0 => x 2 = 4 => x = ± 2 puntos críticos

d 2y 16x3 -1 9 2 x ----- _ ------ --------- entonces dx (x + 4 )

d 2y dx~

256 í=2

< 0 => 3 máximo en x = 2

163

16

de donde y = — = 2 luego (2,2) es el punto máximo. 8 d 2y dx1

-1 2 8 + 384 x = -2

163

> 0 =» 3 mínimo en x = -2

(tv)

x+3

y=_

Desars

de donde y = -2, luego (-2,-2) es el punto mínimo. d 2y _

dx2

16x3 -192.x • = 0 para obtener los puntos de inflexión. (x + 4)

Como — ——r— —

(x + 4)

= 0 => 16x3-1 9 2 x = 0

16x(x2 -1 2 ) = 0 =*

dx x = ±2\/3

~ _ £ í.._ = 0 para obtener los puntos críticos, como x3

d 2y 2x + 18 T* ““ dx¿

6_ J_

d 2y

x=-6

64 " 63

0 r

> 0 => 3 mínimo en x • 6

284

Eduardo Espinoza Ramal

( VUculo Diferencial d 2y , = 20*3 _ dx

de donde y = —— ¡uego (-6, - ---) es el punto mínimo.

d y 2x + 8 — _ =—-----=o para obtener los punios de inflexión dx

dx

—0 no hay información j=0

d 2y i — Y = 20x = 0 para obtener los puntos de inflexión dx~

x

como ■....

d 2y

= 0 =» x = -4 , y = ----- de donde (- 4 ,------- ) 16 1u6

como 20,ví = 0 => x = 0 de donde y = 0 + 6 = 6 Luego P(0,6) es un punto de inflexión.

d 2y Si x < -4, — —< 0 es cóncava hacia abajo dx2 d 2y -4 < x < 0, — —> 0 dx2

d 2v Si x < 0 , — ~ < 0 es cóncava hacia abajo dx

es cóncava hacia arriba d 2y x > 0 , — f > 0 es cóncava hacia arriba dx2

d 2y x > 0, — - > 0 es cóncava hacia arriba dx‘

@

1 2 y = (jc—l )3 (jc+ 1)3 Desarrollo d 1 — - 2 — i U - O c - l ) 3(jc+1)3 + - ( j c - l ) 3( jr f t) 3 - 0 , para obtener los puntos críticos dx 3 3

y = x5 +6 Desarrollo

d y _ r (x + l j t 2 x - l \ _ Q dx

dy 4 — = 5x = 0 para los puntos críticos dx como 5x 4 = 0 => x = 0 es un punto critico.

3 'x —í

A'+1 4- 2{X —1) ( jc- 1 ) 3( jc+ 1)3

3 x+ l 0

=>

3x ~ 1 = 0

=»

Eduardo Espinoza Ramm además x = -1 también es punto critico M — V27

3/32

287

I ch illo Diferencial d~ y Además — ~ = x - 2 = 0 es para obtener los puntos de inflexión dx

4 4 como x - 2 = 0 entonces x = 2 de donde y = - luego el punto (2,—) es punto de 3 3 inflexión.

x —-1, y = 0

y = -(jc 3 -6 jr 2 + 9x + 6) 6 Desarrollo Trace una curva aislada y = f(x) que tenga todas las siguientes propiedades. úíy 1 2-*2 3 — = —(3a: -12.*+9) = ----- 2x+ — = 0 , para obtener los puntos críticos dx 6 2 2 3 c o m o ------2jc+ —

2

a:

2

- 4 a;+ 3

a)

f(l) = 0, f ' ( x ) < 0 p a r a x c l , / '( a ) > Q , x > 1

b)

f(l) = 0, f " ( x ) < 0 p a r a x c l , / "(a) > 0 , x > 1

= 0 =í> (x - 3)(x - 1 ) = 0 Desarropo

de donde x = 1, x = 3 son los puntos críticos

a)

-~ Y = x ~ 2 - , O l í --- - i < 0 =* 3 máximo en x = 1 de donde y ■ dx dx jt=i

Luego (1,-) es el punto máximo

d 2y dx

■=3-2 = l > 0

=> 3 mínimo en x = 3 ^f '(a) < 0 , * < 1

de donde y = 1 luego (3,1) es el punto mínimo.

3 mínimo en x = 1, /(1 ) = 0

[ f Xx) > 0 , x > 1 => (1,0) es mínimo

Eduardo Espinoza Raí l>)

289

Trace ima curva y = f(x) que tenga todas las propiedades siguientes:

/ "(x) < O, x < 1 cóncava hacia abajo

f(-2) = 8, /

/ "(*) > 0 , x > 1 cóncava hacia arriba

'( a:)

> 0 para | x | > 2, / "(x) < 0 , para x < 0

f(0) = 4, / '( 2 ) = / '( - 2 ) = 0 , / " ( * ) > 0 , para x > 0 f( 1) = 0 => (1,0) punto de inflexión. f(2) = 0 Desarrollo Trace una curva atizada y = f(x) que tenga todas las siguientes propiedades. f(0) =10, / ’(6) = 0 , f "(x) < 0 para x < 9 f(6) = 15, /'(1 0 ) = 0 , / "(9) = 0 f(10) = 0,

/" ( * ) > 0 , x > 9 Desarrollo

/ '(6) = 0 => x = 6 punto critico / ’(10) = 0 => x = 10 punto critico

(jíj)

Trace una curva continua

y = f(x) que tenga laspropiedades / '( j t ) > 0 , x < 2.

/ '(*) > 0 , x > 2.

/

" ( je)

< 0 , x < 9, cóncava hacia abajo

a)

/ '(-*■) es continua en x = 2

/

" ( jc)

> 0 , x > 9, cóncava hacia arriba

b)

Si / '( * ) -» l cuando

c)

f ' ( x ) = 1 para x < 2,

/ "(9) = 0 =* x = 9 se obtiene punto de inflexión /( 0 ) = 10 =* (0,10) /(1 0 ) = 0 => (10,0) / ( 6 ) = 15 => (6,15)

x -> 2~ y / '( x ) - > - l cuando / ' ( jc)

= -1

si x > 2

Desarrollo

extremos de la función 8)

x -> 2 +

Eduardo Espinoza Rat

___ b)

291

.*/. alo Diferencial *)

Dibuje una curva continua y = f(x) que tenga las siguientes propiedades. f(0) = 10, f ' ( x ) > 0 para x < 0 , f ’(x)> 0 p a r a x < 0 f(-3) = 0, / '(jc) < 0 para x > 0, / "(*) > 0 para x > 0 f(3) = 0 Desarrollo

Dibuje una curva continua y = f(x) que tenga las siguientes propiedades. a)

/ ( 2 ) = / '(2) = 0 , f(0) = 2 / "(x) < 0 para x < 1, x > 3 / "(x) > 0 para 1 < x < 3

b)

í)

/ ( 2 ) = / '( 2 ) = 0 , f(0) = 2

Demuestre que una curva cúbica cuya ecuación es de la forma y = a*3 +bx2 +cx + d , a,b,c * 0 tiene solo un punto de inflexión.

/" (* )> 0 , Vx

Desarrollo

Desarrollo a)

dy y = ax +bx + cx+ d => — = 3ax +2 bx+c dx d 2y dx2

= 6ax+ 2 ^ = 0 , para obtener los puntos de inflexión

Como 6ax + 2b = 0 => x = - -

valor mínimo para x por lo tanto la ecuación cúbica.

b) , • „ b ab3 b3 be . Tiene un solo punto de inflexión que; x = — , y = -------+ ----------+ d 3 27 9 3

i)

Trace una curva y = f(x) para x > 0 o si f(l) = 0 y / \x ) = — para x > 0 , en dicha x curva necesariamente cóncava hacia arriba o hacia abajo.

292


a)

Desarrollo

293

I ¿h ulo Diferencial

y = 25-8-x + Jt2 Desarrollo

Como / '( * ) = —, x > 0

x

»

=> f ' ( x ) = — ^

x2

Como y = — => y = xy = jt(25~8.x: + jc2) x

Luego V x > 0, / "(x) < 0 , la curva necesariamente es cóncava hacia abajo. y = Jc3 - 8 x 2 +25* => — = 3x2 -1 óx + 25 costo marginal dx el valor mínimo del costo promedio mínimo es cuando: y = — => 2 5 - 8 x + x 2 = 3x2 - 16x+25 dx 2x2 ~-8x = 0 => 2x(x~ 4) = Q =» x = 4

2.22.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN PROBLEMAS ADMINISTRACIÓN — »s —m m — - — a i s a i i g i gYi ECONOMIA.i — a — —-------— % --------- m—¡— "

V "

A)

...

"I"'."'?'"'

"f """ .....'"n"l

^ mm = (25 ~ S x + x 2)|

= 2 5 -3 2 + 1 6 = 2 5 -1 6 = 9

""" ■iM-.'rajriiirriTli.rrvn-niTiîi-T

b)

COSTO TOTAL, COSTO PROM EDIO Y CO S IO MARG1WAL.-

y = 2 +x\n x Desarrollo

y = f(x) costo total

— y — 2 y=z— =} y = x y = 2x + x lnjc x

x = unidades de un articulo

— y y = — = — 1-- costo promedio (costo medio o por unidad) X

X

dy — - f '(*) costo marginal dx

y = 2 x + x 2 ln x => — = 2 + 2xln x + x dx ¡

— dv como y = — para el valor mínimo dx

El costo promedio es mínimo cuando el costo medio y el costo marginal son iguales, es decir las curvas del costo marginal y el costo promedio se acortan en su pumo

2

+ x In x = 2 + 2x !n x + x => x(ln x + 1) = 0 =* In x =-1

=> x - e " 1

mínimo del citado costo promedio. B) l)

y min = ( 2 + x l n x )\

PRO BLEMAS.-

Para cada una de las siguientes funciones de costo promedio, obtenga el valor mínimo del costo promedio mínimo, y demuestre que dicho promedio mínimo, el costo marginal y el costo promedio son iguales.

c)

, = 2 + e ~ l \n e ~ l = 2 - -

e

y = 2 e x + e~x Desarrollo

y min » 2 - '

e


Cálculo Diferencial dy — dy — - 4x + 5 , como y = — = para el valor mínimo dx dx

v = xy = 2xex + xe~x

y = — => x

295

— = 2ex + 2xex ~ x e x +e x dx

, t 18 18 2 2 x + 5 + — = 4 x + 5 => 2x = — => x = 9 =» x = ± 3 x x

como >' = — para el valor mínimo dx

18 Jîn = ( 2 x + 5 + — ) X

2ex + e~x = 2ex + 2xex - x e ~ x +e x => 2xex - x e ~ x = 0 => x(2e2x- I ) = 0

f)

= 6 + 5 + 6 = 17 jc=3

y = 20 + 2x2 + 4 x 4 Desarrollo

=> e2x = — => 2* = In— =$ x = — In 2

2

2

2

— —In2 —ln2 2 r— /— p > W ,= 2 e 2 + e 2 = - ^ . + 7 2 = V2 + V2

y = — => y = xy - 20x + 2x3 + 4x5 x

1 2V2 = 22

dx d)

y = 3x + 5 + — *

= 20'+ 6x2 + 20x4 , como y = — para el valor mínimo dx

20 + 2x2 + 4x4 = 2 0 + 6x2 + 20x4 => 16x4 + 4 x 2 = 0 = > x = 0 Desarrollo y miB= ( 2 0 + 2 x 2 + 4 x 4)| =20 u-0

y = — => y = x y = 3x2 + 5 x + 6 dy — dy — = 6x + 5, como y = — para el valor mínimo dx dx 3x + 5 + —= 6x + 5 => 3x = — => x2 = 2 => x = ±V2 x

y,™ = ( 3* +5 + ^ )

e)^

= 3>/2+5 + 3>/2=6V2 + 5

g)

y = 10~4x3 +3x4 Desarrollo y = — => y = xy = 10x - 4x4 + 3x5 x dv i d — dy —- = ÍO -16x +15x , como v = — para el valor mínimo dx dx K 10- 4 x 3 +3x4 = 1 0 -1 6 x3 +15 x4

I« y = ,2 x + 5c + — x Desarrollo >= -^ => y = xy = 2x 2 + 5x +18

12x4 - I 2 x 3 = 0 => 12x3( x -1) = 0 = > x = 1 0 ^min = ( 1 0 - 4x3 + 3x4)| = 1 0 - 4 + 3 = 9 U-1

Eduardo Espinoza Ramo|

296 h)

y = 6x + 7 +

T

I iih ulo Diferencial

297

36


a)

1 ¿y__________ costo marginal dx l / x + 2 5

y ~ y f x + 25

y = — => y = xv = 6x2 + 7 x + 36 í/

¿y

— fjy

<¿x

t/x

y

-1

dx¿

4(x + 25)2

— = 1 2 x + 7 , como y = — = para ei valor mínimo -

y

y min

=6x + 7 +

_ ~

X

dy

36

s i x + 25 ----------- costo promedio

y

=_

X -± y ¡6

7+ 12^1 1

= 6 n/6 + 7 + 6V 6=12>/6 + 7

- < 0 para 0 < x < 10 es decreciente 2x2Vx"í 5

dx

b)

X

X4 5

t-\Í6 Para cada una de las siguientes funciones del costo totaí evalué e) costo marginal, ■

■< 0 para 0 < x < 10 es decreciente

y = 9x + 5 x e ~ 2*

determine el comportamiento dei costo marginal (si es creciente o decrecienle).

a)

b)

y = 1000x-180x2 +3x3

~ ~ 9 + 5e 2x - 1OxtT2' costo marginal dx

y = 220 + 55x - 2x3 + x4

d 2y

Desarrollo a)

f = -10 < r21 - lOe"2* + 2 0 x e ~ 2x

— = 1000 - 3 6 0 x + 9 x 2 costo marginal

dx

dx

=- ^

9

+ 2 Q x e ~ 2x

~20e 2ji( x - 1 )< 0 para x < l es decreciente

dx

— =• 1 0 0 0 - 360x + 9x2 => ^

= - 2 0 e ~ 2x

dx‘

= (x -2 0 )2

dx

El costo marginal es decreciente para x < 20 y creciente para x > 20.

= 20e~2x( x - l )

>

0 para x > 1 es creciente

y = — = 9 + 5e~2x

x

b)

— = 55 - 6x2 + 4 x 3 costo marginal

dx

— = -10
dx

Determine el comportamiento de las funciones de costo promedio y marginal ('creciente ( decreciente) para cada una de las siguientes funciones del costo total.

a)

y = Vx + 25 , 0 < x < 10

b)

y = 9x + 5xe

2x < 0 ,

para 0 < x < 10 es decreciente

Para las siguientes funciones de costo total obtenga la ecuación de la tangente en el punto

-lx

de

inflexión,

con

y = x - 6x +14x + 6

una

aproximación

de

la

función

cerca

de

ese

punto


i nimio Diferencial

La función de ingreso total de la empresa compañía manufacturera de muebles coloniales,

Desarrollo

se expresa mediante ¡a ecuación: cantidad vendida.

dry _ — = 3jc2 -1 2 x + 14 => - = 6 * -1 2 = 0 para el punto de inflexión es decir: dx dx 6x - 1 2 = 0

299

a)

I = 24 .* -3x2 , en la que I es el ingreso y x es la

¿Cuál es el ingreso máximo que la compañía puede esperar suponiendo que la ecuación anterior es valida?

x= 2

x = 2, y = 8 - 2 4 + 28 + 6 = 18 =£ p(^» 1

b)

¿Qué ecuación representa la función de ingreso promedio para esta compañía?

c)

¿Cuál es la ecuación correspondiente a la función de ingreso marginal de csia

dy = 1 2 -2 4 + 1 4 = 2 mL = dx' jc=2

compartía? d)

L: 2x - y + 14 = 0

L: y - 18 = 2(x - 2)

En el mismo sistema de coordenadas, grafique las funciones de ingreso total promedio y marginal? Desarrollo

La empresa denominada fabrica de maquinas herramientas de precisión tiene una funci de costo total representada por la ecuación y = 2 r ’ - 3x2 - 1 2 * , en donde y representa ti a)

costo total, y x, la cantidad producida. a) b)

/ - 48 = -3(x - 4)2 . Luego el ingreso máximo es 48

¿Qué ecuación representa la función de costo marginal? ¿Cuál es la ecuación de la función de costo promedio? ¿En que punto este eos

b)

7 = —= 24- 3 a ingreso promedio x

c)

— = 24 - 6x ingreso marginal dx

promedio alcanza su valor mínimo? c)

/ = 2 4 x -3 x 2 => / - 4 8 = -3 (x 2 - 8 a +16)

¿Es el anterior un conjunto de ecuaciones que podría esperarse encontrar realmenl en la practica? ¿Por qué? Desarrollo

a)

C.M. = —- = 6 x2 - 6 x - 12 costo marginal dx

b)

>’; = !-== ■ - 2x: - 3x - 12 función de costo promedio xX y = — para obtener su valor mínimo dx

,

2x2 - 3 x -1 2 = 6jc2 - ó x - 1 2

3 => 4x - 3 x = 0 =* x - ~

en donde x ~ ~ alcanza un punto mínimo. 4 c)

No porque C.T. no esta en el 1er cuadrante.

©

La compañía Anto S.A. fabrica gabenites para aparatos de televisión, y el costo total de producir cierto modelo esta representado por la ecuación: y = 4 x - x 2 + 2x3, en donde y representa el costo total y x representa la cantidad producida (su valor numérico son millones de unidades). El departamento de ventas ha indicado que la producción x debo estar entre 2 y 6 ¿En que cantidad es mínimo el costo marginal? Explique su respuesta y grafique el costo marginal.

Eduardo Espinoza Ramo» Desarrollo

( aleuto Diferencial

I -23,

y =4 x -x 2+ 2x\ 2 < x < 6

301

ELASTICIDAD (TASA DE CAMBIO PROPORCIONAL). Si y = f(x), La Elasticidad de y con respecto a x se expresa así:

dy - 4 - 2 x -f 6x2 Costo Marginal dx Ex ~ y dx dy = 24 es mínimo Para x = 2, dx *=2

2.24.

FÓRMULAS PARA EVALUAR LA ELASTICIDAD ENTRE LOS PUNTOS (x ,,y ,) Y (x2,y 2).-

ARCO

___

Si la formula general para la función de costo total es C.T. = f (.x) = ax3 + bx +cx+ d y _ *1 y 2 a)

¿Cuál es la ecuación correspondiente a la función de costo marginal?

b)

Que ecuación corresponde a la función de costo promedio?

£,

-vi _ x¡ 4 y_

-vi ’-v2~*i

■elasticidad - punto en (Xj, y, )

y.x’^

yx 2 y 2 ~ >’i XT Ay --- -------.--------- = — .— = elasticidad - punto en ( x . , y, ) Exy 2 X2 ~*i y2 A*

Desarrollo a) C.M. = / '( * ) = 3ax2 +2bx + c , función de costo marginal

=

b)

y=

'

^ = ax2 + bx + c + —, función de costo promedio X

h Z l k = h . + x2 A y_ elasticidad - punto medio yt + y2 \ - * i .vi + >2 a * ~

X

La siguiente generalización se hace con frecuencia para las relaciones que existen en las funcione de ingreso total (I.T.), ingreso promedio (I.P.) e ingreso marginal (I.M.).

ELASTICIDAD - PUNI O SIN AMBIGÜEDAD.

su punto máximo La elasticidad de y = f(x) en (JCj.y,) es:

H~j II

e s ta a

[2.25

*1

Cuando l.M = 0 , l.T.

Ex

E% y, dx

Cuando l.M > I.P., I.P. es creciente

t-s y.>

Cuando l.M < I.P., I.P. es decreciente Cuando l.M = I.P., I.P. novaría

i , J 6 ‘ GENERALIZANDO LA ELASTICIDAD DE y CON RESPIS I O A x |

Ilustre lo anterior con un ejemplo que esta a su alcance, o uno de este libro. _ Ey

Desarrollo La solución es similar ai ejercicio 6 y 7

—

E

*

x dy '

y

' d x


303


I2 28. ELASTICIDAD CRUZAPA.-

27. ELASTICIDAD DE LA DEMANDA.-

La Elasticidad de demanda por A con respecto al precio de B.

E yB

XA

dXB

— = la elasticidad de la demanda donde

y = f(x) y es el precio, x es la cantidad

dy

demandada. La elasticidad -■ arco cruzada cuando cambia de y B cambia de y B a y B y xA cambia de x . a x

es determinado por:

yB¡+ yBl E y,

\

+ x,s y Br

y B¡

2.29. ELASTICIDAD CONSTANTE DE LA DEMANDA.Si x = —

es !a función de demanda:

ym

— = -am v m 1 dy

_ i.

y dx

y

E

x dy

x

— = —(—am y

-m-K

=

y

_f*_

-m- k v m+laniy~m~l m ') = - - ---------------~ - m a

ym

Y ‘i

Y- i

P r e

P r

perfectamente elástica

e c i 0

c i

0 0 cantidad

X

0 cantidad

Luego la elasticidad de la demanda es la constante - m.

perfectamente ineSástica

X

\'230. PROBLEMAS.. (T )

Para cada una de las siguientes funciones de demanda: a)

Determine la elasticidad - arco en el punto especificado.

b)

Obtenga la elasticidad - arco en el punto correspondiente.

c)

Determine la elasticidad - punto en los dos puntos.

Eduardo Espinoza Ramos d)

Evalué la elasticidad - arco con base en ios valores medios de cantidad y precio, y

. e)

d'y dx Demuestre que -— 'v — son reciprocas entre si dx dv

305

Cálculo Diferencial B)

x + 2y = 15, x = 7, y = 4 el precio aumenta 5% Desarrollo yx = 4 , y2 = 4 + (0.05)4 = 4.2

A)

,v = 6 0 - 2 y 2 ; x = 10, y = 5, el precio disminuye 8% Xj = 7 , x2 = 6,6 Desarrollo L - 2 . < ü ) = í . ( 5 ± 2 ) = í (i l ) = Ey x y 2 - y , 7 4 .2 -4 7 0.2

La elasticidad - arco de la demanda es: *

Ex ... y A* , y. = 5 el 8% disminuye Ey x Ay

1

~ 4,6

14 7

En forma similar para los demás ejercicios que se obtiene usando las formulas establecidas.

Xj = 1 0 s x2 -17.68 Ex _ 5 Ev

x 2 ~ x{

I0 'y 2 - y l

Ex _ y dx Ey x dy

*

*

_ 5 -7.68.

7.68

7M =

1 0 -0 .4

0.8

8

5 = — (-4 y)

= -1 0

x = 25 - 5y2,

x = 5, .y = 2 precio crece 5%

D)

Jt = 1 0 -5 y 2,

x = 5, y = 1, el precio crece 10%

E)

y = (x -1 0 )2 , 0 < x < 10, x = 8, y = 4 la cantidad de demanda disminuye 5%

F)

x —19 - 4y2 ,

x = 3, y ~ 2, el precio disminuye 5%

G)

x = 3 6 -4 y 7,

x = 20, y = 2, el precio aumenta 5%

y=5

L . = h ± l i. * = . i i ^ L í Z Í » ) _ -6.66 Ey x l + x { Ay 10 + 17.68 -0.4 dy — dx

C)

dx . dy dx , y .— son reciprocassi — — = 1 dy dx dy

H)

(2 ) x = 6 0 ~ 4 y 2 =* — = -4v dy

Obtenga la elasticidad de la demanda y con respecto al precio x, para cada una do lir siguientes funciones.

, . dy dv 1 1 = ~4> — => •—= -----dx dx 4y dy dx l — = (“4y)(------) = 1 entonces dx dy 4y

y = ( x - 4): , x = 1, y = 9, la cantidad demandada aumenta 30%

a)

y

- —

b)

y = ( x - 8)2 , 0 £ x < 8

d)

y * ~10

1+ 2x~ dv dx y — son reciprocas dx dv

c)\

y~ae

~bx

y*

Eduardo Espinoza Ramos e)

307


2.31. INGRESO TOTAL, INGRESO MARGINAL Y ELASTICIDAD DE LA DEMANDA.*

y = 100- 5 jc2 Desarrollo

y = f(x) función de demanda R = xy = x f{x) ingreso total R (o bien I)

a)

y = — ~ T =* >, + 2P ;2 = 3 => 2y*2 = 3 - y =4 X2 = 1 - ^ = - - - 1 1+ 2* 2y 2y 2 ___

3

*= ll~ L p y

b)

c)

x = numero de unidades demandadas

=* ^

2

= ___ 2 _ _ dx

y = precio por unidad de la cantidad demandada .

d x =_ J _

2^ 3 _ _ 1

y = ( * - 8 ) 2 => x-% = s[y

”

=> x = %+ y[y =* *** <*y

<6’

dR — = dx

^ 3 - y

Ey

= _

1 1 _ £b y a

+ y ingreso marginal con respecto a la cantidad demandada

x dx

elasticidad de ia demanda con respecto al precio.

dx 1 Como — = - — por lo tanto dy dy dx _dR= —y + , = , „ a + _ 1> ,

=

-

<* 1 . S - ’O + T '

fry

[2.32 ' ~ d>

dx

2^/y

\ = ae~bx => e bx = — => -foe = In — => x = - - I n — a a b a

dx dy

dy

10 *=—

dx _ _ 50 ~ - i dy “ 4 V

dx

25

dv

2y4

(jy

PROBLEMAS.—— Cuando los ingresos de una

cierta persona eran de $ 300 al mes

leche en dicho lapso. Cuando su percepción monetaria aumento a $

compraba20litrosde

350, pudo comprar2

litros de leche mensualmente. Suponiendo que no hubo cambio en el precio de la leche o , e)

2

y -1 0 0 - 5.x

1 0 0 -y => x = ---------5 2

____ 1 flQ O -y dx 5 x = J --------- =» — = — ==^-= \ 5 dy 2J Í 0 0 - y

algún otro factor relevante. ¿Cuál es la elasticidad de la demanda de leche con respecto a los ingresos de dicha persona? Desarrollo Nos pide la elasticidad de la demanda

dx dy

¡1 0 0 -y

E

E

xa

y,

_

y B¡ +

~ x. + x.

x a , ~ x a, = y_ —yB ~

“3

"1

300+350 20 + 24

2 4 -2 0 _ 650 3 5 0 -3 0 0 “

4 = 44

1 50 1

Eduardo Espinoza Ramos Cuando el precio de una articulo de A era de $ 5, se vendía 100 unidades de otro producto

Cálculo Diferencial a)

309

y = 5 5 0 -3 a - 6 a 2 Desarrollo

B. Cuando el precio de A disminuyo a $ 4, se vendieron 120 unidades de B ¿Cuál es la elasticidad curzada de la demanda para B en términos del precio de A? R ~ xy - 550x - 3jc2 - 6a3 Desarrollo Ext _ yB, + yB, £ *4 + * . y« -v» A -S

xa,

~ xai

100+120

5- 4

220, 1

— = 5 5 0 -6 * ~ 1 8 * 2 , - = - 3 -1 2 a dx dx

11 5 + 4 120-100 9 20~9 B¡

“i

E x _ y ,

Ey

Cual es la relación entre la pendiente (positiva o negativa) de la curva del costo promedio y la elasticidad del costo total, respecto de la cantidad producida?

1 x dy dx

550- 3 a - 6 a 2 a( - 3 - 1 2 a)

I .

Desarrollo

I

Ex

6a + 3a -5 0 0

Ey

3 a + 12a2

Cuando CP = 0 entonces, Ect = 1 Cuando CP > 0 entonces, ECt. > 1 CM Demuestre algebraicamente que la elasticidad del costo total es igual a E = —— en CP donde CM es el costo marginal y CP es el costo promedio. Desarrollo

E - x dy c‘ y ' d x

CM C.P

6a + 3 a -5 5 0

(5 5 0 -3 a - 6 a2)(6a2 + 3 a - 5 5 0 + 3 a + 12a2) , , 02d ---------------------- -----------------------------------= 550- 6 a -1 8 a = — 6 a + 3a - 550 dx

Cuando CP < 0 entonces, £ Ct, < 1

dy dx y

.3a+ 122

>'(1 + - t - ) = >’(! + — 5-------------- ) = y (l + — 5-------------- )

CP = costo, promedio, Ect = elasticidad de costo total

dy dx y x

6jc2 +3JC-550 3a + 12a2

b)

y=

dR n 1 x ^ = ya+ T - ’ E y 3250 a3

Desarrollo R = xy =

,

E c‘

C.P

Para cada una de las funciones de demanda siguiente demuestre que la relación entre el ingreso marginal y la elasticidad de la demanda esta dada por la ecuación:

y =

Ey

x2

3250 a3

x dl dx I . E,

dR

3250

6500

^

dx~ ax

dy_

9750

dx

x

3250

x-3

a4

1 >_ * V _ 9750 9750 xA l . 3

6500

3250 _ 9750

1 3

dR

„1 K,


311


y = 1 7 - 6x Desarrollo

dx

= 100 - 2 a 2 = y(l + - ^ - ) Er

, d\ y = 1 7 - 6x => — = -6 dx

233, R = xy =- \ l x - 6 x 2 => — = 17-12x dx 1 jy

y

FORMAS INDETERMINADAS.A)

REGLA DE L’HOSPITAL.-

6 jc- 1 7

lim

6a

x-> a

-6 a

g(x)

= lim x -* a

g '(a )

cuando f(a) = g(a) = 0

dx

*

lim — = iim — — cuando f(a) = g(a) = °° g (a) x-*° g '(a)

/i .

1 x /i 6jc . ,6 a -1 7 + 6 a x = y ( l+ - — —) = y(—- — — ) ' +T_J-) = yd +17) 6 x -1 7 6 jc —17 6 x -1 7 \

En ambos casos se puede repetir este caso si persiste la indeterminación.

6x

E

w -tx n ix -m 6at —17

ta M =üm ^ = , i m n í ) *->« g(x) x->a g "(A) x^,a g "'(x)

= „ , +-L , dx t*s ¡tri

^

B) d)

y = 100 - 6 x 2

PROBLEMAS....„........ .................... Evaluar los limites siguientes.

Desarrollo >- = 100 -6x2 => ^ = -12x dx

Desarrollo R = x y - 100 x - 6 a 3 =* J_ _ y dy

x

— = 100~18a2

dx

ey ey ey e°° lim —z = lim — = lim — = — = «> y* V“»®02y y— 2 2

1_ _ i0 0 - 6 x 2 _ 6x2 -1 0 0 12*

—12jt2

“

12 a 2

dx

lim — ex Desarrollo

s 1 6x2 * i - ¿ •) = y ( l+ — r---------) = y 0 + — =--------) 6x - 1 0 0 6x - 1 0 0 6x2 ,12a-2 - 1 0 0 , , 2 ^ 1 2 a2 - 1 0 0 , 1/v, = >’(— -,-) = (100—6 * X— ------------------- ) = 100 - 12a: 6a2 - 1 0 0 6 a2 - 1 0 0

A

1

1

1

.

lim — = lim — = — = — = 0 t>X X-»Wf>X g°° M

hm ——, k > 0 k->°° x


313


Desarrollo r

ln x

Desarrollo

. 1

lim —t~ = lim = h m -----= 0 k ->«> Xfcxn ‘ k—*eo./¿xn

A**“ 1 Hh-Dx*-2 h ( h - l ) ( /t - 2 )...2 .1 u_ M _ n hm — = h m ------- = h m ---------------- =... = h m ------------- ------------ = hm — = 0 x —»oo g x

.. ex - e ' hm*—*Q senx

i m

e*

qx

x —>*>

^ Desarrollo

i™ ex -e ~ x ex +e~x e°+ e° 1+ 1 „ h m ---------- = h m ----------- = ----------= ------= 2 * - » o senx * -* o e o s je cosO 1

.. ln(l - x ) hm —- ----* -» i c t g n x

x2

@

Desarrollo

hm-

1 ,, i _ .r sen^nx 2n sen n x eos n x hm —— — = hm —---- = h m ----------- --------*~*i - n c o s e c n x ( 1 — jc ) •*-*i—1

lnx

* “ »1 X 2 - 1

Desarrollo

X lim í ^ í í ± i H X

1

e x + ____L _

= lim _ V t l , lim ____ < £ ± l ¿ = í l ü = l ± l = 1 *~>o 2x x-> 0 2 2 2

ln x x 1 1 hm —-— = hm — = lim — r-= — *-»! x -1 *->' 2x *-»i 2x* 2

secx + 1

h m ---------x -> *

(S x

2

©

Desarrollo

secx + 1Í +

c o s jc

1 T W !* 2

sen2x hm = ------*-»o x Desarrollo

1 4- p n c ^ ..

sen2x 2$enxcosx ... A ¡un------- h n i------------------ 2sen( 0) eos 0 = 0

1+ 0

lim —-------= h m ----------- = — ------= -------- = | JL t g x * senx 1 2 2

x —>0

X

x —*0

1

senx-x h m ----- -—

ex +e~x - 2 h m -------- -----as-~>0 x ..

x-» 0

x


,im £ l ± í ^ = lim £ l i £ l = . ¡ m ^ *-+o 2x x->o lim - - - , h > 0

X —*eo £>X

=^ 2

e

JT— +1 ctgnx

Desarrollo

x-> 0

x-ôo

2

senx-x c o sx -1 -s e n x 1 h m ----- — = lim -------— = h m —-— = - x jt-*o 3jc x— >0 ox 6

= i ± i = 2 =1 2 2

* -» 0

©

lim

xh lnx Desarrollo

x-*°° e


315

Cálculo Diferencial Desarrollo

lim = lim ---— = lim hxh = O *— ■► “ In x x— >*> 1 x-i°°

p p p' p p 00 lira — = lim — - = lim — = lim — = — ~ — = <*>

x

3jc

x

lim ~ jr_»oo

x~>o° 6jc

x —><**

6

6

6

a 4 - 4 x 3 +16 h m ------ r---------

Desarrollo

jt-»2

Jt — 8

Desarrollo e c e e e lim — - lim — — = lim ---------------------... = lim ---------------- = lim — x~*°° x h(h —\)(h —2) jc-»~h(h —\)...2.1 A! ex ~ e x - 2 senx lim■»->0 3jt

* 4 - 4 *3 + ló 4x*-12x2 4 x -1 2 8 -1 2 4 lim ------ ---------- = h m -------- 7-----= h m ----------= -------- = — x-*2 x —8 x-*2 3x x_>2 3 33

20) Desarrollo

lim

*->0

4 - 3 e x -e ~ 3x 4x Desarrollo

.. ex - e * 2 s e n x e* + e * -2 co s;c ex - c x +2senx lim ----------r------- = lim ---------- —------— = lim --------------------3*3

x -> o

9x

x -> o

4 - 3 e x - e ~ 3x ,, -3e*+3e~3x -3 ex -9 e ~ ix h m ---------r—— = h m -----------------= lira-----------------

18x

x —>0

.. ex + e r + 2 co sx +e^ + 2 eos0 1+ 1+ 2 1 -■lim --------------------- = ---------------------~ -----------= — *~-»o 18 18 8 2

4 x -*-*0 8jc

x

~>ü

8

x3 - 4 x

lim —------x -> 2

X

-

2x

Desarrollo '-»o x - - $ e n x x*-4x 3a2 - 4 1 2 -4 8 . lim —------ = lira----------= -------- = —= 4 x- •') x —2x x~*o 2 x ~ 2 4 —2 2

Desarrollo e2x- \ 2elx 2e° 2 lira-=--------- = hm------------- = ----------- = — = -2 x~*ox - s e n x •*-><) 2* - eos x 0 + co s0 -1 @ .. 2 - 3 e x +e I'm ------— -------*->0 2x

f2 1 -c o sflim------- — 2 . f-»0 14 Desarrollo

Desarrollo 2 -3 e ~ x +e~2x 3e~x - 2 e ' 2x -3e~x +4e~2x - 3 + 4 1 lira---------- -------- = h m -----------------= h m ------------------- = -------- = — x~>° 2x 4x *~>o 4 4 4 lim ^r-

-t—»00 X

c o sí sen t-t c o s í-1 .. -s e n í cosí _ 1 lira------- 7— ^—= hm —— — - lim ------------------------ t— = hm -------- = lim" 24 ""” " 24 /—*0 ¡* t->o 41 /- * o 12 f »->0 2 4 í <-*0

lim

x3 •+•jc2 - 2 Desarrollo


317

Cálculo Diferencial Desarrollo

x3 3x2 6x 6 I n n -------------= h m ---------- = h m -------- = hm — = 0 1 ••*" ex + 2 ex

sen2z - sen2z 2 z eos z2 - 2 sen z eos z lu n --------- —----- = h m --------------- -r------------

z->o

sen h -------- cosh lim — — -------

z-*o

2cosz2 - A z 2sen z2 - 2 c o s 2 z + 2sen2z = Urn-------------------------- ----------------------z->o 12z2

Desarrollo

2cosz2 - 4 z 2se n z2 -2 c o s 2 z = lim -------------------- -----------------’- o 12z

sen h Aen/¡ + /¡cosh h i- s e n h - h c o s h cosh - cosh+ h sen h hm = —- — ------- lun------------------------------------------------------------ ---------- = hm---- ---------- ----------- =- hm a-*o h h->0 h h~>o 3h2 h->0 6h - lim cosh +cosh - k senh h~*o 6

cosO+cosO-OsewO 6

,. -4zsen z2 - 9 z s en z2 - 8 z 3 eosz2 + 4 sen2z = lu n ------------------------------------------------------■->o 24z

1+ 1 1 6 ~3

-12z.senz2 - 8 z 3 cosz2 +4sen2z ■ h m ---------- *------------------------------z— »o 24z

4x2 + 3 x - 6 h m --------------8* + 2 Desarrollo

-1 2 s e « z 2 - 2 4 z 2 cosz2 -2 4 z c o s z 2 +16z4senz2 + 8cos2z =h m --------------------------------------------------------------------------z-»o 24

.. 4 x2 + 3 jc- 6 8x + 3 h m --------------- = h m -------- = °° 8A'+2 *-»'■» 8

-1 2 se « z 2 - 4 8 z 2cosz2 +16z4senz2 + 8cos2z 0 -0 + 0 + 8 1 =Jim----------------------------------------------------------- = ---------------- = — z->o 24 24 3

lm ,í¿ ± ^ 2y

y-»0 3 y 3 +

\-sen 2 x

Desarrollo

l u n -------------

n— x 4

te ,

í¿ t&

v~»o 3 y 3 + 2 y

= ]¡m y ->0 9 y

„ +2

1- sen 2x - 2 eos 2x h m ------------= lim -------------= 0 n re x X— >— y X— >— —i 4 4 4

e* e~ lim — = lim — = oo *-»«■» * JC~*«> 1

z -»0

Desarrollo

0+2

Desarrollo

se»!

4

® ±í = 3

lun —

lim

4z

-- « ttz

,, 1+ cosx h m ---------~ *-**(k - x ) Desarrollo 1+ cos.t -senx .. senx cos* -1 1 h m ---- — —= h m ------------ = h m ----------- = h m ------------- = — * — x-+x (j[ - x ) *-** - 2 (n - x) 2(n - x) *->* -2 ( n - x ) - 2 2


fe

.... W.0

319

í álculo Diferencial tg x-x hmx-M) x —sen x

Q-

Desarrollo

Desarrollo t g d - s-------= e n 8 i,m ------------------_ see eos9 iim -----------2sec' 8.tg6 + sen0 2-----------l„n ------«_>o Ql 0—>o 29 e-»o 2

tg x-x .. see x - í 2sec~ x.tgx 22■2 h m - 5--------= h m ------------ = h m ------------ — = lim — — = — -— = - = 2 x —senx *-*o 1 - cosjc * »o senx *->o c o s ’ x eos 0 1

x-+o

_ 2$ecz 6.tg 9 + sen9 _ 2(l)(0) + 0 _ 0 _ 2 ¡3) -

“

2

~

2

~

(w )

lim 1 « » r~ í

ln(sen x) lim £(«■ - 2x)2 2 Desarrollo

Desarrollo ln(je«jr) tg x .. sec2 a 1 1 hm —i--------------------------------------------------------------- -r -- h m -----------------*£ (K - 2x) x-¿L ~ M n~ 2x) x_*_ 8 X_¿LSeos x 0

lim — JT— *— 3 *+3

2

.19)

lim —

w

x -> « > e x - - l

Desarrollo jf* .. 2x 2 l¡m ------- = hm — = !im — = 0

j t -»~ g x — 1

| ^

gx

2

Desarrollo senx-senB .. eos .r . h m ----------------= h m ------- = eos 0 x~*0 X —9 X~>0 1

.**->-3

Í)

2

senx-sen 6 hm x-*e x~9

Desarrollo .. x3 + 27 .. 3x2 „ h m --------- -• im i----- = 27 .V + 3 x -> -3 1

2

,, e y + seny -1 h m --------- -— ?-»•> ln(l + y) Desarrollo e y + sen y - 1 ey + eo sy .... . y , h m ------------— = lim ------:— - = lim(1 + y)(ey + eos y) = 2 y-*0 ln(l + y) y-*0 1 y-»o . 1+ y

x~*<>° g"®

lt a ,.S £ . «-»o ctg 2x Desarrollo . c tg x ~cosec2x 1 sen22x 1 ,. 4sen2xcos2 x h m— = h m ----------- — = - h m - -----— = - l i m --------- ------x-*o ctg 2x x~*o -2cosec 2x 2*-*o sen x 2^-»o sen x

= —lim 4cos2 x = —(4) = 2 2 *->o 2 '

ctgx h m —2— jt— »o ln* Desarrollo ctgx cosec 1 1 lim — — = lun------ —---- = - h m — — = - h m - ---------------- = x-+o ln x x->0 1 *~+0sen x x -x )2 se n x c o sx 0 x

h m ---=


D)

U\(.\en2x) liui > •<» In(senx) Desarrollo

®

ln(sé7í 2x)

2ctg‘ 2x .. 2 tg x 2 see" x - lim — ----- = lim —2— - - lim-----------x-»o ln(senx) x-*o c tg x x-->otg2x *-*o 2. sec2 2x

lim

321

( 'álculo Diferencial PROBLEMAS.-

lim x 1"*1 x-*l* Desarrollo

2 :1 2 i

C)

OTRAS FORMAS INDETERMINANTES.-

— -

lim a 1-*2 = !im

jc-»r

*~»r

@ Si lim f ( x ) g ( x ) = oo,0, donde lim f ( x ) = x —*a

x —>a

®

2

x->\* —2 x

lim xctg x *->o

r—

V x r 1 lim xctg x - lim ----= lim — -— = — — =1 - = 1 11 *->o x >0tg x *->o sec x sec' O 1

1

x -+ a

¿?U)

= lim — —2 x

Desarrollo

= lim 1 ^ -

1

x->v i - x

1- x 2

y lim g(x) = O entonces

r —t/i

lim /(x )g (x ) = lim

x —>û

l__

x-*v

ln x

°°, 1“ , 0o, c®°, oo-oo se aplica la regla L’Hospital, expresado en la forma ^ o bien

®

1

-

= lim — |— = limln 'V- = lim

/(* )

@

limxln(íé;nx) X-»0 Desarrollo

Si lim g(x) = oo , donde lim g(x) = l y lim £ ( x ) = °o entonces r—

r —k/7

. .. ln(senx) ctgx x 2x hm xln(se/i x) = lim ----- ----- = lim — — = - lim ------ = - hm —- — = x— >o a--»o 1 jc—>0__ 1 x— to tg x *-»o sec x Jí

í( x ) - B m V W 1 1 ln (/(x )) g(x) (4 ) —

Si lim (/(x ))g(x) = O, donde lim / (x) = lim g (x) = O

O =O 1

i lim z z Desarrollo

lim (f(x ))gM = lim

x -* a

x~>a

1

- = lim

x~>a

ln /( x )

®

1 i Inz l limlnz! lim--tan0 hm z z = e‘~ = el z = e‘ z = e =1

1

g (x)

Si lim ( f ( x ) - g ( x ) ) = oo-oo , donde l i m / ( x ) = oo, iim ,g(x) = oo entonces: r—

ï—

r—kn

1

1 lim ( / C * ) - S ( * ) ) = l i ni í —

x ~>a

x-HJ f ( x )

giX)

,

—

X~>a

( 5)

lim tg x(lnsenx) K x—*~ 2

1 1

g lx ) .f( x )

Desarrollo w In(senx) .. ctg x O hm tg x.ln(senx) = lim --------------------------------------= h m ---— = — = O . ,* c tg x -c o se c x -1 2

2

2

322


323

I illculo Diferencial Desarrollo

JC-+0

-2 Desarrollo ln(¡4—) l"i— j 2 !’” — T31™—f j™—2 2 2 limln(l+-)* limxln(l+-> ¡ l+— 777:2 lim(l +—)* - e"~ x - e '" x =e x =e x -e x = e 1+0 = e

2x_ 2 -T liniln'I+A )'" -1^-iim ----— r --. 7 limlnd+jr2)’" fhm--a - 1?j—* lim lim-í±¿ lini— — Iim(l + x )x = £<-» =e * = e'~° 2* = e'-°i+* = ce i1 -=e e ' --- e x—>0

3

X

( ll) lim xe~x

lim X 2 cos e c x c tg x r "^ »0 n A

x->°*

Desarrollo

Desarrollo lim xe~x = Hm — = lim — =

lim .T2 cos ecxctg x = lim — ------ = lim ■*“*0 *->o senxtg x r ->ocosxtg x + senx see7 x

X-±°o

X->o*gX X-*oo gX

g°°

=—= 0

OO

( u ) lim (sQ c x-tg x) .. 2x 2x = lim -------------------- -— = lim x~*° sen x + sen x see x JC->Osenx(l + sec x)

Desarrollo x 1 senx .. 1- s e n x .. -c o s x 0 h m (s e c x -fg x ) = lim ---------------- = lim ------------= lim ---------- = —= 0 * 5 cosx cosx X_¿L cosx X_¿L - s e n x 1

2 2 = lim --------------- T------------------- -------- = --------------= 1 x-*o cos x(l + see x) + 2 cosx see xtg x 1(1 + l)+ 0 8j s- /

lim x lnx x-->0 Desarroiio

2

r|.l)

2

2

2

lim (l + x)* Desarrollo

1 lim xln x = lim - - - = lim x —>0

*-->0

1

X-+0

1

r

= - lim x - - 0 = 0

/, ,

w

1

i

ü m ln d + J t)1

lim (1 + x)x = e M*

x-*Q

,

-e

^ra

In(l+x)

x

=e

_

.. 1

0 _ ,

*+*=«= 1

x2 (i-i) lim(l+i(°rt x)c,g> x-M

lim x " ln x , n > 0 jr->0 Desarrollo

Desarrollo 1 lim x n ln x = lim

,;_ln(l+jfn x) )+senx ri \rtex limbO-Mmx)**' !™ , lini lim(l + s e n x ) g ~e*-* -e g =e ***x ~ e ' - e x-*0

jc— >0

(is )

lim(
jc-»o

1

= lim

= lim —

>0

jc— x n

j = lim - x" = 0 x~*°-nx "-*- *0


325

i rtlmlo Diferencial

Desarrollo

l = - l i m — =£—- = - l i m— =- — Jr-*1 1 _1_ Jr— >1 X+1 2

Y ln(e' +x) e'+l 1+1 ton-------!>m +x = g !+0 —^2 *-« x —e'-0e“

1 .. , , — limln(e +jc)' liin (f J +x)* = e** *~+0

X

®

lim (1 + a x ) x

X— »««

X2

lim (x -l)í-

x —>oo

Desarrollo

Desarrollo ..

,,

* —

lim (1 + a x ) *

liniln(l+ai)'

= e*~~

.. Mn(l+
... = -e

x

a

*—1+“ =

tan-------- bum-----¿

=1

iim ( x —\ ) e x = lim — ~ = lim —Kr- = 0 X— >°° gX *->“ 2xe

n ( jj)

lim x 2ex

, 1 1 x lim f---------- = = ) *-i* Jt-1 V ^ T

Desarrollo Desarrollo ..2 X r x2 2x hm x e = hm ——= lim —— = lim - 3 - = — = — = 0 X— >— 00g x X—»-*0 g X00

2

22

X-t-oo , 1

1

.

..

-J x -l

—(jc—1)

lim (— - — = = ) = lim ---- i -— - = hm *->1 X—1 VJC—1 (X-1)2

2-Vx - 1

1 x-iV¿ 3I7 -- VX -1

(l¿)

l i m C í c / i x ) '* ''

x—*~ 2 Desarrollo

1 - 2 ^ 1 = lim ------------- = —= +oo *->i* 3 ( x - l )

lim(—------- — x->\ In x ln x

limln(se«j:)*' lirarg.tln«nj: iim— _ „« ,_í ctgx lim (sen x ) g =e 1 = e ! =e 2 n x -> — 2

0

lim—c~-~— ,-£-cosec x o - e ' =e -

)

Desarrollo

®

lim (x + senx),gx *->0* Desarrollo

lim(— — ) - lim -—— = lim - x - -1

l+CO»Jt

-

*-»i lnx

lnx jc— *i ln x

*~>i

lim tg x ia (x * s e n x )

lim ln (jf+ « n * )'* *

lim (x + senx),gx = e ^ jc— >0*

lim(—---------— ) ln x x - 1

x~*i

D esarrollo

_

= «"•*

1+cosi - hm------ 5---------

x-tf xcosec x+ casecx _ ^

In(jr+jfnjr) ~~~

= «"*

(l+cosjr)s#«jr - lim---------- — »-o* ic o s í c jt + I

_

lim

c,«x

_

= 1

1

e~ iw 1 x (x -l)-x ln x 1 -ln x -l - in x hm(------------- ) = hm------ ---------- = hm ------------- - = hm *-►1 ln x x - 1 *-»i ( x - í ) l n x *->1 ,x - 1 jt— »i ' In x + -----lnx+1

01

lim (l +
_

¡tfnx

-coi«-1*

I

* _

««

0


X

x

.1 Í1UI’’t HmJSÍtO — ““

............. ........................................... limln(l+
lint(I+«rx)e =e ' ~ -

- e‘"

- e ’~~ e

i itirulo Diferencial

(IV)

327

v T -x -v r + x —— lim----X

x-»0

Desarrollo lim— -

yjl—x - %/í+x u m -------------------= lim — =====— = = ^ = lim -

>+«' = e ”° =1

*-»<>

limxex

x -* 0 *

») Desarrollo

x

-2 x 2

x-»ox(Vl- x+-v/T+x) xô^/l-x+VT+x

limí z ¿ E I

x ->0

x

Desarrollo i ¿

Í

.

eX( - y )

i

1 --s /x + 1 -X 1 1 lim-----=lira-----/===^lim ---1¿ =----= — x * -> 0 x (l + > / x + l ) 1 + Vx + l 1 + 12

—= lime x =e“ = limxe*= lim— ~= lim--- —

x-*0*

x —>0k 1

x —*0*

_

X

1

x —>0*

x->o

X2

©

lim(x - > J x 2 +x) X—>°°

limcosecTTxlogx x— >1 Desarrollo

Desarrollo

loge

lim(x-Vx2- x ) - X-teo limx h —I¡—2*, ■ .=lim ----= 1 = -1 X->~ / I +*

lim coser^xlogx=xlim--^:^=xlim ---— ---=-l2i£ . *-»i >i s e m z x >i ~ n c o s t t x n

1+ . / 1+ -

lim(x-2)e 1 lim(e*+2x)x

Desarrollo

x-»0

Desarrollo

lim(x-2)e“J[J=lim~ ~ ~ =lim—~ =—=0

x —^°o 1

i

limln(e +2*)'

lim (ejr +2x)-* = e ™

ln (e '+ 2 x )

lim---------

=* -

-

..

=é-

x-> 0

x —>*° g x

x —>«» 2 x e r

00

c‘ +2

lm¡-

^

=e3

lim x 2e~3x Desarrollo

1 lim x 1“*1 X->V

Desarrollo

lim x 2e~3x = lim 4„3*- = lim lim sen x-»0*

2x = lim 3x 9e 3e?*

xlnx Desarrollo

=1 = 0

ts |r-4

lim

328

Eduardo Espinoza Ram oi

í lilculo Diferencial

329

1_ .. , .. ln x y s e n x tg x n hm sen x ín x — l i m ---------- = k m ----------—------— = — lim ------ 2— = 0 x-->0’ eos ec x x ->o* - eos ec x ctg x x-*o* x (35)

(8 )

lim(jt2 + a)* Desarrollo

lim e~,gx-sec2 x

K~ JC— >— 2

-1

2

Desarrollo («»)

2 sec2 x 2sec ~ x t g x hm e * sec x = lim -------- = h m ------ — — X * e'gx * sec x e lgx x~+ ~ x x * ~ 2

2

-

1

i- ln(*2+o)limln(j+a)' 2x

h m ( j t + a)* = e x~ X— >00

= e‘~"

x

0

lim tg x cosx

Desarrollo

2

_ tg x . sec2 x _ 1 2 2 = 2 lim -2— = 2 hm — --------- = 2 h m -------= — = — = 0 X—T* ' e,gx X—i s e c x e ,gx X— > e>gx e“ 00 2

ton-----ton-j—

= e ‘" x+ú = ¿ = 1

2

lim in(tgx

_

lim fg *C0SÍ = e 2

, /

x

,•

h m cosjcln (tg x )

ln /g x

sec*

l i m — 2—

*'

=- e " 2

n~ 2

2

..

)

=e’ 2

eos*

h m — =— tg x

*" secjt

l i m — =— sen x

= e' 2

=e 2

x —>—

lim (jc-4)JI>-16

x->4

(4l)

Desarrollo

lim se n x ,gx

jr X— >— 2

Desarrollo h m (x -4 )

'

°

=

<

?

=

e

■* ~16

x~>4

!im ln($
lim rg*ln(jCTiJt)

X H~

limí l s l É l

lim K~ x —>— 2

lim(ÍI4K^±4,

jc) gx - e 2

=«~í hm**«**

( ••.’)

.(-»1

D esarrollo r #«ff ,

CtiKX lim In xc,gKi

C*gKX=i¿>x^, lim *"*nx = e'“’1'” x-»l

=e

r

hm cigK x.lnx

l*1*

1

--------- 5—

1 =-**-*1 = í?" *—TTXSCCTTJC~ ^/ÍT

lim (x + l)*** J

®

'

x—

^*

*-»«> ^ *

oo

lim(l + cí2)' t —>0

Desarrollo

lim (jc+1) ** = e ’-*~

=e-o = i

2 ,• *2 r 2x 2 2 hm x e = hm — = hm — = hm — = — = 0

x -* c r

lim c/y.x.!n(*-fl)

2

lim x2e_JC

*-->«» g x

Desarrollo ,, in (jr-l ^íín ---------

_ e *-*r

v.t

1

_

*,m

*«r(x+l )i ec x

g\ _

~ g

c

, £

-> UmbiO+cf V lim(l + cí2)' = e " /-♦O

..

c. „

lim-ln(l+cr)

2c*2/

lim^— r

x--

x K~-COSeC X

-e

X-*oo

jr-->oo

lira ln(x+l) **

2

Desarrollo .

“Jf, -

T(y~ CtgX

-e

lim - e o s x.sen x

2 x (x - 4 ) _ 2.r _ e ° .

.

li m — ^

lim —

x K~

- e 2

n = e -> == e° = 1

~

=é =1

330

Eduardo Espinoza Ra lim (sena)tga

®

331

i Mlo Diferencial n ,7tó. lim —/£(— ) «-♦o (¡> 2

a -+ 0 ‘

Desarrollo

Desarrollo hm ln(jé»na>*

hm (sen a ) s ~ e a^

lim tg a \ñ { s e n a )

=ea^

.• ln(jíiia) =e"*° aga to a -----------

a -*0 *

ip-*o
c ig a

,u» coseca ~ ; _ ¡ira -cosasena . e „-*>

_ g -0

n iM . —see (— ) k .. 2 2 K lim - t g ( - ~ ) = n hm —------- — = —

_ j

0->o

2

1

2

2

lim (1 + x2 )x Desarrollo Desarrollo 1 , i ln(l+j?) .. 2 x ,• 2>T limtaO+jt )* ™ —— Üüüi+r2 „0 _ , hm (l + x ix = e " ~-e x =e =e - 1

t i limlnt*2-1 lim-j—lim— ijI lim x* _! - í?“"' - e " 1x ! -.tf'-'í-c = ¿2 *-+1

,4é)

lim xsen-

1 lim (ev -l)-v y— »«


1

a sen—

?n( cfy—1)

-

¡j e i

v , y i -,v limln(f’-l)' ™— — lim-flim--ylun(ey - l ) y = « ’— - e y = ey e 1 = ex~~e =e =e

lim x sen — = lim

X—>o®

X

X->«>1

a ,a — j-cos(—) ^ = lim — — —— = a lim c o s(-) = acosO = a X—>°°

1

.X—>oo

X

y -* oo

lim (coaecx)senx

üm (jt - 2x)tg x

x~*0*

x —t -

Desarrollo

lim (cosecx) x~+0*

lun InCcosecx)

= e*-°*

2

lim senx'm icosecx)

-<>” ■>*

,•

= e"*° cmecx

cig X -s e n x _ g . .*5 0‘ - c~o t~e c~x cTl g~x _ e ,lim .^ ■ _ c -0

Desarrollo

ln(cosecjr)

« n i--------------

, .. n ~ 2 x 2 2 lim (tt - 2x)tg x = lim ------------------------------- = lim ----------- r - = —= 2 K ~ ctg---x ¿L x_>* cos ec2x 1 X— >— 2 2 2

_J lim x lux t— >0

lim x 2 cosccx

Desarrollo

x~>0

Desarrollo r

2

X2

,,

2x

0

„

lim x cosecx = lim —---- = lun------- - —= 0 •*-*0 x-*osenx »-»ocosx 1

lim x2 In x = lim —- = lim jc-*o 1 x— >0 x~»0

= lim - - — = 0 2*“*02 7

Eduardo Espinazo. Ra

333

I tilcu lo Diferencial

üm (l-/£ 0 )s e c 2 0

i CAPITULO III Desarrollo

r /1 1 -ig B .. -s e c 2 6 2 , l¡m (\~ igQ \sec29 = lim ---- - h m -------------- —- = - = i e->~ e->~ eos20 e^ - 2 s e n 2 9 2 4

4

4

. . . 1 1 lim(------------ -) i— *i* Inx x ~ l Desarrollo / :

Iim (—--------— ) = jf— *1* lnx X~1 Jt~>0 ( x - l) ln x v '

1_I ,_ I = lim --------- —r = lim Jt->0, X -l *~»0. , 1 ln x + -----ln x + 1 —

I*1 ’•

/> c

R" ■-> R / w = / ( * , , * ■ > , . . , x „ )

d if e r e n c ia c ió n p a r c ia l

.-

Sea z = f(x,y) una función de dos variables

1

La derivada parcial de f con respecto a x es:

: lim A ., - litx, _ 1 _ = 1 x— >0 1 1 JC--»ÜX+ l ~X + T X

dz _ ?*f(x,y)~ üm f ( x + Á x , y ) - f ( x , y ) dx dx Ax-*o Ax La derivada parcial de f con respecto a y es:

lim ( 4 l - x 2 - l ) * “ 1

oz __5/(v,.y) _ 1¡m / ( x ,y + A y )~ /(* ,y ) ijy ■ dv A»-*p Ay

Desarrollo

.. , r ---- 2 t liratníV i^-ir' BmU-OwVW-J) hm (V2 - x2 -1)* = e~ r - e~ r =e

..hm ----In\/Í--?~1 ~ ----- — *~l

I-'-J-

" ¿ » r o b íS m a s .'

x-*y~

(í)

s¡ u = xy - ln (xy), determine ux y uy Desarrollo

u = xy - ln (xy)

du 1 ux = — = y — dx x 5y

(2 )

-x _ -

x- v Si z = ~— determiné zx y zv x+y

Desarrollo

3 /7 r

t r + v1»_ t v _ ví 9(JC+y) z _ dz _ __ y_ __ dx_ y) 3*

dx

_ (- t+ y ) -U - y ) _

2y

(*+ y )2

(*+ y )2

( * + y )2

335



*

* 1 ebr

2

2

3y

(x + y )2 dz _

y

3y

(x + y)2

2

2

y

____________ 2 í _ j r2 - y .2 j r2 + ) r2 2

4xy

3z 4xv2 3a ~~ jc4 - y 4

7 ^ 7

)_ 7 7 7

dz

3/2 2\ -y ) dy

3/2 2\ v - U 2 + y2) 3y

-2 y

2y

3y

x2 - y 2

x2 + y2

x2 - y 2

x2 + y2

dz 2y ••• ?b = t - = 3-x (x + y )2

y

y) ; r2 + ) r2

,x + y - x + y N

(

^ (* + y )|-U - y )-(* - y )|-( * + y ) ' _ 3z _______ 3 y ___________ 3 y _______ - ( * + y ) - ( * - y ) __

3 / 2 2\

2\

^ íx~ r > j r2 - j r2

2x __ (x + y )2

^ x 2 + y 2 + x2 - y2 _ —2y( x -y

4yx2 x -y

3z _ 4x2y - - )- - .. z, 3y " a:4 —y4

2x (x + y )2

0

Si u = sen (xy), determine w* y wy

X

Desarrollo

Si z = ye y , determine zx y zv Desarrollo

u = sen (xy) =>

X £ X « , d x „1 i z = — = yey - ( - ) = yey( - ) = ey 3x dx y y

_ * az y •• 2 * = ^ - = * 3x

\6) X

X

X

X

X

3« «t = — ■= ycosxy dx du uy = — = xcosxy dy

Si z = yfxy, determine zx y zy

dz y o(y) , y d .x. ..... , y . x y z = - _ = : e > _ _ - + y e>’_ . ( _ ) = e y (l)+ y c >(— r-) = e y 3y dy dy y y¿

Desarrollo 3

;(xy)

_ 3 z _ axw

_ dz _ y ~ a * ~ 3y ~

y

3x

2^/xy

dz

v-(jcy) dy

3y

2yjxy

..

y

2*jxy

_1

(y

x

2 \x

= 3 z = i 17 dx 2 \ x

e

x 2 —y 2 Si z = ln(—------ ) , determine zx y z y xz +y Desarrollo

Si z = ea“+fev’w

jX c _ 1 17 2 J w ~ 2 > jy 2yfxy , determine z„., zv y zM Desarrollo

_3z [7 y~ dy~2y y

Eduardo Espinosa Ramos

r. 3Z _ 5«

+ &v2 +

_ ¿ « + V W (fl)

dv

33'

7 y y y3 xzx ~ 2 x sen-x y eos ■■■-+ — sen —

3«

,0

Zv


X

-Y

_

Cw — -

da

_~

MC

flM+fcv +CW3

y

y y2

y

X

X

X

X 3

yz= .
dv

= 2bveau+lnl+c*?

dz _ „ a u + b v '+ c w 3 & zw = — = ea“+M'W ^ -(a w +fcv‘ + cw3) = Í 0“^

dw

... (1)

X

Zy •- jeeos—+ 2 v eo s-— — sen—

— (au+bv2 + cw?) = ¿ " ,4*v,+e"'(2&v) dv

^

v

X

dw

X

X

ahora sumamos (5) y (2) se tiene:

m

+cw (3c M'2)

... (2) X

x z x + yzy = 2x 2sen—+ 2y2 eos— x x

si z = eos (xa) sen -'yu), determine. zx , zy y zu Desarrollo

zw = | i = 3c»vV,,+*v W avv z = eos (xu) sen (yu) => zx = ^ - = sen(yu)— cos(xu) = -u s e n (yu) sen (xu) dx dx

Si m = x2y + y2z + z2* , demuestre que: ux + uy +uz = ( x + v + z)2

dz zx - —- ~ - u sen(yu) sen (xu) dx

Desarrollo

óz 3 zv = - - = eos (xu)— (sen yu) = u cos(.xa)cos(ya) dy dy

ux = 2x y + z 2 u = x 2y + y 2z + z 2x

=> ■uy = x2 + 2yz , sumando u = y2 + 2 «

«* + a + «j = jc2 + y2 + z2 + 2(xy+ jcz + yz) (jc+y+z)2

zv ux + uy + uz = (x + y + z)

z„ = cos(jcm) ■— (sen yu) + sen(yu) ~~ cgs( xv ) = « cos(*a)cos(ya) - x sen(yu) sen (xu) du du

i y i y Si z = x sen(—) + y cos(—) , determine xzx + yzv x x r Desarrollo

— = u cos(xu i.eos( ya) dv

zu - = du

®

ucos(xu)cos(yu)- xsen(yu)sen(xu)

~\2 Si z = xy + y ln (xy). Demuestre que:

p\2

pt2

x —- + y ------- = y 2—dx2 ' dydx dy2

Desarrollo

Eduardo Espinom Ramos

. . . dz y d2z / - xy + y m dx * dx 2 z = xy + y ln (xy)

dz dy

yI

t iilt uío Diferencial du _

(i)

339

y

¿y

LM 1 ü

= jc+!n xy + 1

d 2z , i r a2z v T T ' = 1+ _ H y ~ ~ - ~ y + óydx x oyox x

. ó2z dx2

(3)

y

dy dx2

4 ( x - y 2)2

(2)

ahora comparamos (1) y (2) obteniéndose:

,(2)

ahora sumamos (1) y (2) obteniéndose:

du d 2u

fijj)

Si z = xy + x e y , Demuestre que:

dyiix

du d 2u

du d2u

dx dxdy

dy dx2

-Z = ---- d.vdy dydx Desarrollo

z = xu + y in (xy) =>

dz 3.y

32z 1 , 3y y

jc-f-ln.xy-1

v z = xy + x e y

3z ~ => — = y + e y dx

.(4) 3 Z = 1 “ fyT2 = l - yf2 dxdy , ... .... . comparando (3) y (4) se tiene;

r — T

Si u - i j x - y ‘ , demuestre que:

d2z d2z 2 $2Z x ——+ y ~ — - = y —— dx oyox dy

d it d 2u

y z^xy+ xey

- (1)

i 3z => — = a------ ay y

I I 32z e* y2 - e y => —- - = 1— r = ~ -..r ... oyox yL

...(2)

d u d 2u

= — . —dx dxdy ay dx

a 1comparar (1) y (2) se obtiene:

02

g2

3.t3y.

dyáx

Desarrollo (H )

x+y 3 2v Si v = -----—, Demuestre que: x-y dxdy

d2v dydx

Desarrollo

3v dx dv _ dx

(x-y)2 2y

d 2v _ 2 (x+ y)

(x-y)2

dxdy ( x - y ?

(* -y )-(* + r). (X -y)2

2y (x-y)2

( 1)


(X- y ) 0 (x + y ) _ ( x + y)d—- ( x - y ) dv _ ______oy______________dy (x-y)2

~dv dv _ dy

_ ( x - y ) + (;t+ y ) _

2x

d2v _

( x - y ) 22

dydx

al comparar (1) y (2) se tiene:

~

(x-y)2

341


. . 2 2\ z —ln(x + y )

2x

ay

-

2y x + y

3^v

d 2v dydx

Si z = 2x - 2 y - 3 x - 4 x y , demuestre que:

—(2)

3 2z d ? z 2(y2 —A'2 ) 2(y 2 - x 2) ——+ — —= —-------— --------------------- ---------------- — dx2 dy2 (x + y ) (jc + y )

(2)

dxdy

- 2 ( y 2 - x 2) . 2 —/ 2 2\2 dy (x~ + y~)

~ (x-y)2 , al sumar (1) y (2) se tiene:

2(x+ y) 7 (~x ~- yJ)

d~z

2 =*

*£ +*£ =0 dx2 dy2

d2z dxdy

(Í7)

d 2z dydx

Si f ( x , y ) = x 3e*2+y, Determine f x , f y , f v Desarrollo

Desarrollo f ( x , y) = x 3ex' +y z = 2x2 - 2 y 2 - 3 x - 4 x y 2

~ = 4 .r - 3 r 4y2 dx d2z ■= - 8 y dxdy

f x( x, y) = 3x2e*2+y + jc V ’^ 2x = (3x2 + 2x4 )ex‘+y

=>

f y(x,y) = 2xi ex+y ...(1)

fx = (3-^2 + 2x4)e @

z = 2x2 - 3 y 2 - 3 x - 4 x y 2 => — = -4y-8;
y => f „ ( x , y ) = (3x2 +2x4)ex+y

Si f ( x , y ) = Ax+ By + Ce2y , determine / „ , f vy, f xy Desarrollo

al comparar (1) y (2) se tiene:

d2z dydx

8y

d2z dxdy

d2z dydx

7 •> 327 d2? Si z = ln(x + y ) , demuestre que: —- + — - - 0 dx1 dy2

... (2)

f ( x , y ) = A x+ B y + Ce2y

f x(x,y) = A

=> f xx(x ,y) = 0

f y(x,y) = B + 2Ce2v => / yy(x,y) = 4Ce2y f x( x ,y ) - A 19)

=> f xy(x, y) = 0

Si / ( * , y) = x2 eos y + y 2s e n x , Determine

/ yv,

Desarrollo

Desarrollo f ( x , y ) = x 2cosy + y 2senx

=>

f x(x,y) = 2 x c o sy + y 2 cosx /«(*> y ) = 2cos ^

■*

Eduardo Espinoza Ramos / ( x , y) = x2 eos y + y 2senx

=>

f y(x,y) = ~ x2seny + 2y senx

Cálculo Diferencial 22)

Si / ( x ,y ) = 2x2 - 3xy + 4 y 2, determine /,(1 ,-1 ) y f y (1,-1) Desarrollo

f yy (x, y) = - x 2 eos y + 2 sen x

/ ( x ,y ) = 2x2 -3 x y + 4 y 2 => / r(x,y) = 4 x - 3 y => / i ( l,- l) = 7 f x(x ,y) = 2 xc osy + y 2 cosx

=> f xy(x,y) = - 2 x s e n y + 2yco%x

Si /( x ,y ) = x3 + 3x2y+ 6xy2 - y 3, determine f „ ( 2 , 3 ) , f yy(2,3), f xy(2,3)

23)

2 a‘ Si / ( x ,y ) = — —— , determine / x ( 3 , l ) y / y ( 3 , l ) x y Desarrollo

Desarrollo / ( x ,y ) = x3 +3x2y + 6xy2 - y 3 => f x (x,y) = 3x2 + 6xy+ 6y2

/ ( x ,y ) = —— x -y

=> f x(x ,y ) = ----- => / (3,1) = - —= - — (x -y )2 4

2

/ „ ( * , y) = 6x + 6y porlotanto ^ ( 2 , 3 ) = 12 +18 = 30 f y ( x ,y ) = / ( x ,y ) = x3 + 3x2y + 6xy2 - y 3 =f

f y(x,y) = 3x2 + I 2 x y - 3 y 2

f yy(x ,y ) = 1 2 x -6 y porlotanto

(2,3) = 2 4 -1 8 = 6

23)

“ (x -y )

=> / ( 3 , 1 ) - - - 4 2

Si / (x, y) = e J\se/j(x+ 2y), determine / ( 0 , -T-) y / (O,—) 4 y 4

/,( x ,y ) = 3x2 +6xy + 6y2 => / „ ( x .v ) = 6x + 12 y

Desarrollo / ( x ,y ) = e *«>«(x + 2y)

^ ( 2 , 3 ) = 12+36 = 48

=> / t (x,y) = - e -Jcsert(x + 2y) + e~*eos(x +

/• /a 7T TT 7T . . / .( O ,- ) = -sen — + cos — = -1 + 0 = -1 4 2 2

Si / ( x , y) = x4 - 4x3y + 8xy3 - y4 , determine /„ (0 .1 ), / w (0,l) y /^ (0 ,1 ) Desarrollo

/ ( x , y) = e~xsen(x + 2 y) => / (x, y) = 2
/( x ,y ) = x4 - 4 x 3y + 8xy3 - y 4 => yj.(x,y) = 4x3 -1 2 x 2y + 8y3 / >(0 ,^ ) = 2 e o s | = 2(0) = 0 / Xt(x,y) = 12x2 -2 4 x y => /„ (0 ,1 ) = 0 ( /( x ,v ) = x4 - 4 x 3y + 8xy3 - y 4 => f y(x,y) = - 4 x 3 + 24xy2 - 4 y J

25) ' y

x2v2 Si w = — :— , demostrar que: xwr + yw„ = 3w x+ y x y Desarrollo

/ v>(x,y) = 48xy~12y2 => f „ ( 0,1) = -1 2 f x(x,y) = 4x3 -1 2 x 2y + 8y3 => / ^ ( x ,y ) = -1 2 x 2 + 24y2 => /^ (0 ,1 ) = 24

x2y 2 w = ------x+ y

xy2(x + 2 y ) x2y 2(x + 2 y ) => w, = - ¿ - i----- => xw = — — — -H (x + y ) 2 (x + y )2

Eduardo Espinoza Ramo» ■ yx2(2 x + y) w y ~ ~ --------------- T ~

(x+yY

y 2x 2(2 x+ y) y w y = ~ --------

=>

:r ~

yuy =

(x + y )2

(x + 2y) | x2y2(2x + y) _ 3x2y2(x + y) _ 3x2y2 (x + y )2

(x + y )2

(x+ y)2

345

I illculo Diferencial (Cx2 + Dy2)Bnyn - 2Dy2(Axn + Byn) (Cx2 +D y2)2

xux + yuy

x+ y

(Cx2 + Dy2)Anx" - 2Cx2(Axn + By") + (Cx2 + Dy2)Bnyn - 2D y2(Axn + Byn) (Cx2 + Dy2)2

xwx + yWy = 3w

(Cx2 + Dy2)(A/xx" + Bnyn) - 2(Cx2 + Dy2)(Axn + By") (Cx2 + Dy2)2

Si u = ln (x + y + z), demuestre que: Inux + ln uy + ln uz = - 3 u _ (Cx 2 + Dy2)[(Anxn + Bnyn) - 2 ( A x n + Byn)] _ (n - 2)(Ax" + Byn) PesarroHo

(Cx2 + Dy2)2

u = Jn (x + y + z) =$ ux = -----------=> ln« = -ln (x + ;y + z) x +y+ z (ík) x+y+z

Cx2 + Dy2

xux + yuy = ( n - 2 )u

= - ln ( x + y + z) ’

u y = --------------- => ln m

~

S iu = f(x,y), v = g(x,y), ux —’Vy y uy = -v x Demuestre que si x = rc o s 0 , y = rs e n 0 , 1 1 entonces ur = - v a y vr = — ug r r Desarrollo

x+y + z

lnw = -In (x + y + z)

lnux +lnMy +lnw, = -3 1 n (x + y + z) = -3w

lZ/J ^

Si

u=

Axn + Byb J — ---------, demuestre que: x«r + y«v = ( n - 2 ) u Cx + Dy x y Desarrollo

u=

lnux + ln iív + ln « ; = -3«

Axu + Byh Cx2 + Dy2

_ (Cx2 + Dy2)Anxn~l - ( A x n + Byn )2Cx ‘

9

0

r

r

^ 0 ur = ux.ur + uy.yr = ux cosd + uysenG ve =vx-xe +vy-ye = —rsenB.vx + rcos0.vy

(Cx2 + Dy2f ur = v eos# - vxsen6 , — = - v xsenQ + v eos0

_ (Cx2 + Dy2)Anx" - 2Cx2(Axn + Byn) (Cx2 +Dv2)2 comparando se tiene:

ur = —

_ (Cx2 + Dy2)BnynX - (Axn + Byn )2Dy Uy

(Cx2 + Dy2)2

vr = vx.xr + v ,yr = vx eos6 + v send


í 'álculo Diferencial

uB =ux.xe +uy.yd = - u xsen6.r + u eosd.r

(zx.xu + Zy.yu)

z«“

= - u xsenO+uy eos6 = - v ysenO ~ v x cosd

comparando se tiene:

347

zx.xuu + xu. ^ (Zj.) + Zyym + yu — ( )

vr = — ' UU

' X ^ U U + -X« •

Si u = f(x,y), x = r eos 0, y = r sen 0, determine u2 +--¡4 en términos de x e y. r

) + Zy ..y,,,, +

.

( Zy )

.(1)

xr

Desarrollo

v

V

U

u

*"

ur = ux.xr + uy.yr = eos0.it, +send.uy

0

«2 = eos 6.ux +sen 9.uy +2sen9cos9.ux.uy ... (1)

r ®

u

ue = Mx..re +Mv._ve = - r sen0.ux + rcosG.uy 3 / 0M -

— = -sen0M x + eosOji , de donde r

... (2) ^yX'Û

Zyy-yu

ahora reemplazamos (2) en (1) - y = sen~Odix + cos2 9 m 2 -IsenOcosQ .ux.uy

... (2) ~kh ~ zx.xuu + xu(zxx.xu + zxy.yu) + z y.ym¡ + yu(zyx.xu + zyy.yu)

ahora sumamos (1) y (2) obteniéndose:

O

Ma

Mr + ~

^

= h* +

A

Z¡1U ~ Zxx-Xu + Z yy ■V,, + 2ZXy.Xu.Xy + 2.x -X^ + Zy■)’uu

©

Si z = f(x,y), x = g(v,w), y = h(u,v), determine z„

Si

u

= ln f

x 2

+y

, demuestre que:

= - u yy

Desarrollo

Desarrollo U

u -- ln yjx2 + y 1 = ~ ln (x 2 + y 2)

V

u

7

*2 + y2 y2- jr 2

« = zx .xu + Zy .yu , derivando nuevamente

^

=> « . « w

ux = x 2 ,2 x +yÁ

2

*

2

*

(x2 + y 2)2

j;2 - y 2

' (x2 + y2)2 " ~ ( x 2 + y2)2 '

*c

,2 2\2 (xr + y )

Eduardo Espinoza Ramo\

Si m= - y r =

349

Cálculo Diferencial dw Luego a — se denomina la derivada total de w con respecto a t. dt

+ y2 + z2 , demuestre que: k2 +Mv+m? = *T Desarrollo

En forma semejante, si w = f(x,y,z) y además x, y, z son funciones diferenciables de r y s entonces ^ y pueden obtenerse así: d) ds

= (x2 + y 2 + z2) 2 yjx2 + y 2 + z 2

r

dw dr

dw ___ dx 4. dw d y . dw dz dx dy dr "dz dr

ux = — *

(je2 + y2 + z2)3 „2

Uy

(x2 + y2 + z2)3 2 Z

(*2 + y2 + z 2)2 y

, sumando 3

( je 2

dw _ 9w ___L dx dw d2 , dw dz ds 3.V ds dy ds dT ds ---------------------------------------- --------------------------------------------- ---------------

+ y2 + z2)2

3.6.

«? = z (jt2 + y 2 + z2)3

z 3

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ÍM PI ICITAS.La ecuación f(x,y) = 0, define á x e y como funciones implícitas, entonces:

(x2 + y 2 + z 2)2 2

2

Jl . „2 , ,2

2

J C + y + Z

u xi + u" yi + u z: = — -------; ------- r r = — ; —

(X2 + y 2 + z2)3

t

(jc2 + y2 + Z2)2

1

1

( r 2)2

r4

dy _ dx

2 2 2 ^ Mx +Mv +M; - — r

dF dF n & _3tc dx ~ áF . para - - ^ 0

Sea w = f(x,y,z) una función donde su diferencial total es:

dy

í 3.7.

df dy df dx

tiene derivadas parciales

dw Dw’ ——, ——, dx dy

di

PROBLEMAS.-

Desarrollo x, y, z

soni d z = ~ d x + ~ d y = : (3x2 + 2xy)dx + (x2 - 3 y2)dy dx ay

funciones de otra variable t, entonces: 3tv dx dx dt

dw . — continuas y az

dw dy dy dt

dw dz dz dt

d f’ dy dz

Si z = x3 + x 2y - y3, determine dz

DERIVADA TOTAL.-

dw

dz ; —=

dz

dw dw dw dw = -— d x + -— d y + —- d z ex ay dz

w =f(x,y.z)

dx

Si z define como una función implícita de x e y por la ecuación F(x,y,z) = 0, entonces:

DIFERENCIAL TOTAL.-

Si

df dx df dy

dz = (3jc2 +2xy)dx + (x2 - 3 y 2 )dy

dF n , para - - ^ 0

Eduardo Espinoza Ramos I Si u = ln(x2 + y2 + z2)2 , determine du

Cálculo Diferencial (ó )

Si u - xy2z3 , determine du Desarrollo

Desarrollo

u —ln(.x2 + y 2 + z 2)2 =~ln(AT2 + y2 + z 2)

351

du = - ^ - d x + ~ d y + ~ d z de donde se tiene: dx dy dz (7)

du = v1zi dx + 2xyzi dy + 3xy2z 2dz

Si x 2 + y 2 + z2 = a2 , determine dz

, du , du . du , du - — d x+ —- d y + — dz dx dy dz

Desarrollo Sea F (x ,y ,z ) ~ x2 + y 2 + z 2 - a 2 , de donde Fx = 2 x , Fy = 2 y , Fz = 2 z , entonces

x 2 + y 2 + z2

dx H— r— ~ — -rdy + ~ — -■-----dz = —.------ ------ r (x d x + y d y + zdz) x2 + y2 +z2 x2+ y2 + z2 x2 +y 2 +z2

— --fj. dx F,

_£ 2z

z

9z _ Fy _ 2y _ y ’

dy

Fz

2z

z

Si u - em , determine du Desarrollo

, dz . dz x , y , como d z = — dx + — d y = — d x - —dy dx dy z z

du , du , du , du = — dx +— dy + — dz dx dy dz (» )

Si u = x+ 4.x2y 2 - 3 y , x = P ,

= yzem dx + xzem dy + xye^'dz = exyz(yzd x + xz dy + xy dz)

x v dz = — d x - —dy z z

y = - determine — t dt Desarrollo

Si u —ezsen((x - y )z ), determine du dudu dx du dy , , - ----- + --------, de donde dtdx dt dy dt

DesarroHo du , du , du , du = — d x+ — d y + — dz dx dy dz

1

f

Si x3 + y3 - 3 bxy = 0 , determine — dx

Si z = I x 1- 4 x y 2 + 3y*, determine dz Desarrollo

x2

y2 ( 9)

1

1

= ( l + 2 f ) 3 < í +<2T - - 3 ) ( - i )

= e zz c o s ( ( x - y ) z ) d x ~ zez (co$(x-y) z)dy +[ezsen(x - y)z + (x -y )e * co s(x-y)z]dz = ez[z cos(* - y)z dx - z cos( <- y )zd y]+ [s
1

Desarrollo Sea / (x,y) = x 3 + y 3 - 3bxy => f x(x,y) = 3x2 -3 b y f J x , y ) = 3y2 -3 b x

y2


dy _

/,(■*,y) _ 3x2 - 3 by _

dx

f y ( x ,y )

Cálculo Diferencial dy f x(x ,y) A + Cyexy — = — í--------------------------------------------- = -------- — , para x = y = 0 dx f y(x,y) B + Cxe*

x2 -by

3y2 - 3 b x

y2-bx

11 dy Si x + 2xy + 2 y ~ 15, determine — si x = 2, y = 3 dx

Desarrollo Sea f ( x , y) = x 2 + 2xy + 2 y ~ \ 5 , de donde dy _

f x(x,y)

dx

f y( x ,y )

2x + 2y _ 2x + 2

x+ y x+1

353

13)

dy

A +0 _

A

dy

A

dx x^ o

0+0

B

dx

B

Si Ax + By +Cz = D , determine zx , zy

f x(x,y) = 2 x + 2 y ; f y (x ,y ) = 2x+ 2

Desarrollo Sea F(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2 - D , de donde

, para x = 2, y = 3 Fx(x ,y ,z ) = 2 A x , Fy(x ,y ,z) = 2By , F ,(x ,y,z) = 2Cz

dy dx x=2 y=3

Si x

i

2+ 3 2+ 1

5 3 Zx~

i1 dy - y - Axy = — , determine — 2 dx

si x = 2, y -~ 2

(¡4 )

Fx

2Ax

Ax

Fz ~

2 Cz ~

Cz

'

^

Fy

2 By

By

Zy ~

Fz ~

2 Cz ~

Cz

Si xy + yz + zx = 9xyz, determine zxX> , zy Desarrollo

Desarrollo

Sea F(x,y,z) = xy + yz + zx - 9xyz, de donde Sea / ( x y ) = x3 - y 3 -4 x y + -^; de donde f x (x, y) = 3x2 - A y ; f y(x,y) = - 3 y 2 - A x Fx(x ,y ,z ) = y + z - 9 y z : Fy (x ,y ,z ) = x + z - 9 x z ; Fz(x ,y ,z ) = y + x - 9 x y ; dy

f x(x ,y) _

dx

f y(x,y)

3x2 - 4 y _ 3,r2 - 4.v -3 y2-A x

, para x = 2, y = -2

3.y2 +4x

- 3 (4 )-4 (-2 ) _ 12 + 8 = ( dy dx x=2 ~ 3(4)+4(2) “ 12 + 8 ~

Fx = F. y F

y+ z-9yz y +x - 9 x y x+ z-9yz y + x - 9 xy

Zy = - ~ = r = ---------------- ---

y —2

dy Si A x+ B y + Cexy = D . determine —- si x = y = 0 dx l

_

Desarrollo

Sea / (x,y) = Ax + By + Ce** - D , de donde f x(x,y) = A + Cyc** ; f y ( x , y ) ~ B + Cxexy

_ 9y z - y - z y + jc-9 x y

=>

9y z - x - z -------------y + x -9 x y

Zy = —

Si xz = eos yz + a, determine zx y zy Desarrollo Sea F(x,y,z) = xz - eos yz - a, de donde Fx(x ,y ,z ) = z ; Fy(x ,y ,z ) = z s e n y z ; Fz(x ,y ,z ) = x+ ysenyz

354


Z

7

@

Fx

z

F;

x+ ysenyz

Fy

zs en v z

Fz

x+ ysenyz

= ----- i = ----------------------- =>

—

———

7 = -----


i

du _ du dx ( du dy dr dx dr dy dr

x + yseny;

Zy —

zsenn x + ysenyi

u = x 3 -S xy + y3 =>

Si ex + ey +ez = axyz, determina yx dx r2 -+ s U: = r* [_y = rs2

Sea F(x, y, z) = ex +ey +ez - axyz, de donde Fx(x ,y ,z ) = ex - a y z ; Fy(x ,y ,z ) = ey -axz; F¡(x,y,z) = ez - a x y _

Fx _ Fy

du dr

ey - a x z

D e s a rro llo

Fy(-x' y - z) . Fx(x ,y,z) ’ Fy(*,y,z)

Fz( x , y , z ) . z _ fyx.y.z) Fy(x,y,z) ’ * fyx.y.z) F„(x,;y,z)

du = 3* 2 ~ 3y * — dx

(2)

f&y.z),

Si u = x 3 - 3 x y + y 3; x = r 2 + s, y = rs2 determine — dr Desarrollo

= 2r

(3) ^ = í2

reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:

ex - ayz

Si F(x,y,z) = 0, demuestre que xy.yz.zx = -1

* v

.(1)

— = -3jr + 3y dy

D e s a rro llo

(TÍ)

355

(iSy

= (3x2 - 3 y ) 2 r + (-3 x + 3 y2)s2 =6(x2 - y ) r + 3 (-x+ y 2)s2

Si u = xy + yz, x = — , y = - — , z = t 2 determine / t dt Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene: du dt

.te1- e 1. r

,

— = y( ---- 5— ) + ( * + z )(


357

=(« - v +
- te ' - e ' -) + J>(20 i2

= (u - v + l)e“+v + (u + v + l)eu

Si z = ln(x2 + y 2) + y]x2 + y 2 , x = eu eos v , y = e" senv determine

du

Desarrollo ,3

,3

í-1 . (ite~* + « "') + 2 e = 2(—r-) + (í + l)e

Si z = x ln y + y ln x, x = eu v , y = e ~

dz dx

3z 3z determine — , du 3v

z = ln(x2 + y 1) + -Jx2 + y 2

Desarrollo X ...

[y = eusenv

3z _ dz dx du dx du

dz dy dy 3v

z = x l n y + y ln x

=> -

2y

dy

x 2+ y2

+ y2 (1)

y¡x 2 + y 2

(2)

dz dy dy du

(3 )

(1) reemplazando (1), (2) en (3) se tiene: dz y — = ln y + — dx x dy

\x = e

dz

yjx2

ÜL = e senv du

u dz __dz dx du dx du

+ y2

dx - = e cosv du

jx = e eosv V

2x x

3jc ■= e 3z/

|y =
(2)

y

dz . 2x x \ u , 2 y y „„ = (—------ + — = )e eosv + (- . _ +- = ¿ )e senv du x + y 2 ■Jx2'f y 2 ' + y2 ij x 2 + y 2 , 2eu eos v (- Jlu e ~

(3 )

eu eos v . „,2 eusenv eusen vx „ )e cosv + (----- —— H---- — )e senv e" e~

= 2cos2 v + eu eos2+ 2 sen2v + eusen2v

du = 2(cos2 v + sen2v) + eu (eos2 v + sen2v) = 2 + eu reemplazando (2) y (3) en (1) Si u = xy + yz + xz, x = rs , y = 5r, z = r + s. Determine ur Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos _ du dx dx dr

du dv dy dr

du dz dz dr du

u = xy + yz + xz =>

dx du

dz

=>

z = r +s

ln xz

z(x - x ln yz) __ _ xz(i - ln yz) y (x ~ y ) v (x - y )

(2)

= y +x (24)

dx ■= sr s ~ l d~r dy - s dr dz =1 dr

x =r y = sr

= y+ z = X+ Z

359

—-ln x z = - i . - 2 --, . i í í z z ü « ) x ln “< £ .2 v (^ - y ) Z Z

(1)

dy du


Si exyz ~ ex +ey +ez , determine zv ; zy Desarrollo

.( 3 )

Sea F(x, y, z) =

- ey ~ e z , de donde

Fx (x, y, z) = yze^2 - ex ; • Fy(x, y, z) = xz
Fz (x, y, z) = x y e ^ -

reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene: Fr -------------------z yzexyz~ e x ---F, xye^ -e z x

,5-1 ur = ( y + z ) s r s~l + (x + z )í + (y + x)(l) = (sr + r + s)sr* 1 +(r5 +r + s)s + (sr+r*)

ex - y z e xyz xyexyz ~ e z

s+ _i_s„2„5— = s V + r5 + s2rs~l + sr* + rs + s ¿ +sr+ rs = (s ¿ +s + l)r4 V _I1 + 2 rs + s Fy _ Fz

ur = (s2 + s + l)r s + s V -1 +2rs + s 2 Si x In yz - y ln xz = 0, determine zc y zy

25)

xzexyz- ey _ xyeKy' - e z y

_ _ ey - x z e xyz xyexyz —ez

Si ex +ey + e' = ex+y+z, determine zx , zy

Desarrollo ux = ln yz — x

Desarrollo Sea F (x ,y ,z ) = ex + ey + ez - e x+y+z, de donde

X

u = x ln yz - y ln xz => \ y y = — lnxz x y uz = ------z z

= _«* = .

Inyzx

y

x __ z(x ln yz - y) x(x-y)

Fx(x, y ,z) —ex - e x+y+z ; Fy(x ,y ,z ) = e y - e x+y+z ; Fz(x ,y ,z ) = ez ■ ex+yu ,

Fx _

ex - e x+y+z

Zx

Fz

ez - e x+y+z ~ e z - e x - e y - e z ~ ex + ey

Z y= ~

ex - e x - e y - e z

e y + ez

Fx(x ,y ,z)

ey - e x+y+z

ey - e x ~ e y - e z

Fz(x, y, z)

ez - e x+y+z

ez - e x - e y - e l ' ex + ey

ex +ez


Cálculo Diferencial C)

I

.8 .

Si Mln(—)-H'ln(Mv) = 0 , determine uv , uw w Desarrollo

361

DEMANDA M ARGINAL.x = f(p ,q )

, las funciones de demanda de los artículos relacionados.

y = g (p ,q )

Sea F(u, v,w) = u ln(—) - wIîi(kv) w

— es la demanda marginal de x con respecto a P. dp

V IV u w F (w, v,w) = ln(—) — - , Fy(M,v,w) = -™~ — , Fw(u,v,w) = w w v v v

«v = —

u

w

V

V

V

dy — es la demanda marginal de y con respecto a P. 3p

u(u - w) W

ln(—) — w u

aq

V

v(u ln(—) - w) w

es la demanda marginal de x con respecto a q.

dy — es ia demanda marginal de y con respecto a q. dq

w !n'rtVi _ (iju + ln(Mv)) U"'

F

V

V

W

ln(—) ---w u

vau

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIA.A)

D)

ln(—) - w) w

PARCIALES EN ________

Las funciones de demanda para dos artículos relacionados son:

x = f(p ,q ) y = g (p ,q )

entonces las elasticidades parciales de la demanda están dado por:

COSTO MARGINAL.C = Q(x,y), función costo, conjunto de producir dos bienes x e y.

ac es el costo marginal con respecto a x 3*

ac es el costo marginal con respecto a y ay B)

ELASTICIDAD PARCIAL DE LA DEM ANDA-

SUPERFICIES DE DEM AN DAR \x = f(p ,q )

El Ep

= «

dx

a

-, —-(ln x ) - —.— l dx = - d---------x , elasticidad parcial de la demanda de x con respecto al Eq X i n ^ p=c, - —r i(lnç) dx precio q, para un precio constante p = c2 3 P dy ^ (lnj0 —.— = --------, elasticidad parcial de la demanda de y con respecto al

los precios. Ep

representada por una superficie denominada, superficie de demanda.

xdp

Y { ) = -------------, elasticidad parcial de la demanda de x con respecto a

P, para un precio constante q = ci

, funciones de demanda donde x e y son los bienes relacionados, p y q

Si una función de demanda de dos variables independientes es continua, podrá ser

p dx

«

ydp

JW )

precio P, para un precio constante q = c3


( 2)

- (ln >')

-1 = -, elasticidad parcial de la demanda de y con respecto al y dq d (Inç) dx

E<

E)

363

En lo referente a las siguientes parejas de funciones de demanda determine las cuatro demandas marginales, la naturaleza de la relación entre los dos artículos y las cuatro elasticidades parciales de demanda. Las cáitidades se denotan por x e y, y los precios correspondientes por p y q respectivamente.

precio q, para un precio constante p = c4. . Ex . Ey


son elasticidades parciales cruzadas de la demanda.

a)

x = 20-2 p - q

b)

y =q -p -2 q

Ep

PROBLEMÀS.-

En el caso de las siguientes funciones de costo conjunto determine el costo, determine el

d)

a)

c = x ln(y + 10)

b)

c = x3 + 2 y 2 -Ay + 20

c)

c = ex + ey + xy + 5

d)

e = x 2y 2 - 3 x y + y + 8

Desarrollo

e)

a)

c = x 1 ln(y + 10) =$

dx

pq2 Desarrollo dx dp

x = 20 - 2p - q

y +10

de

2

— = 3x * - y dx

c = x3 + 2y2 - Ay + 20

de

■A y - x

dy de

c = e +e} + xy+ 5 =>

dx

=e + y

de dy

■— =

d)

= -1

de

y = 9 - p - 2q =>

c)

= -2

dq

= 2xln(y + 10)

dy

b)

p q 16

q

a)

c - x 2y 2 - 3xy + y + 8 ==>

dx de dy

2 x y 2 —3y

■2x2y - 3 x + l

como

y

0

I

-

I

' “2

< 0 y ~ < 0 , los artículos son complementarios.

x= 5-2p+ q y =S -2 p -3 q

_ 4

x =—

dx de

.y = 16+p - q

4

'x = — P y =¿

costo marginal con respecto a x y el costo marginal con respecto a y.

x = 15-2p+ q

0

pq 16 y=—

pq


E y _ q dy E q y dq

2q y

g ( 2)

y dx

b)

dp

x = 1 5 - 2 p + q =>

dx

2q q -p -2 q

= -2


365

como ——> 0

£ /_ 2 ) =

E

x

x dp

=1

P dy y dp

P [* = 1 dp

dx

d

dq

dq

< O , los bienes no son compatibles ni complementarios.

dq

£ l _ £ ^

Ü?

_ q dx

dy _

y

dq

E

x dq

y

2P 5 -2 p + q

& -2 p -3 q

|>o

2/> \5 -2 p + q

x

S -2 p -3 q

q 5 -2 p + q

como — > O y - - < O los bienes no son competitivos ni complementarios

a: dp

2/>

(-2 ) = -

dx _

q

dp

p1

dx _ Î dq

a * .= i ï ë = i n ) ~ q E q x dq x \5 -2 p + q

p

dy _ 2 p

dp

v=Ep

y dp

y

1 6 + P -0

£ y _ <¡ dy _ <¡ (

£0

y

dy_^_É dq q2

g

'

1 6 + P -?

!*- = £- ÈL = £.(-JL): E

3x c)

x = 5 - 2p + q =>

q

3/3 dx 3
x dp

x

p2'

= -1 P (~ )

= -2 =1

E y. =_ üP dy - =_ üp ,2 ( p - .) = 2 p 2 = 2 2 y y q „ ,p q (^ ~ ) q

dy = -2 y = 8 - 2p - 3q =* Í*L = - 3 dg

E X _ g dx _ g ( 1 ) xd?

x /7

q p (í }

1


=1

- q ( pl ) -

3.12.

pl = i ' / j '

367


CURVAS DE PRODUCTO ( 6 PRODUCCIÓN) CONSTANTE.La función de producción z = f(x,y) se estudia con frecuencia considerando la familia de curvas f(x,y) = constante en el plano XY, estas líneas dos o mas nunca se cortan, reciben

Í.9.

el nombre de curvas de producto constante.

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN.La función de producción se representa por z - f(x,y) donde z es ia cantidad de un cierto producto, x e y cantidades de insumo.

».10. PRODUCTIVIDAD MARGINAL.Sea z = f(x,y,z) la función de producción

^ es la productividad marginal de x. dx dz

3.13.

es la productividad marginal de y.

FUNCIÓN DE UT1LIDAD.La función de utilidad es:

u ^ f ( q v q2)

Si la función z = f(x,y) es una función con la propiedad donde q{ y q2 son las cantidades de los bienes Q¡ y Qz que aquel consume. t

f( X x ,X y ) = X.nf { x , y )

La diferencial total de ia función de utilidad u = f ( q l,q2) es: en este caso se dice que f es homogénea de grado n. du = f xdqs + d2dq2 Si z = f(x,y) es homogénea entonces x ~ + y ~ = n f( x ,y ) esta relación se conoce dx ay como Teorema de Euler.

.11.

donde / , = ~ ; f 2 = dq i dq2

3.14. Si una función de producción z = f(x,y) es lineal homogénea entonces:

dx Producción f üc‘or *

dz r— dy total de la producción debido al fa cto r y

= f(x .y )

(j)

PROBLEMAS.Para cada una de las funciones de producción siguientes: obtener las productividades marginales, la producción se designa con z y los insumo mediante x e y.

a)

z = 25-— en x = 1, y = 1 x y Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos dz 1 — =— OX

| 3z para x = 1, —

X

Cálculo Diferencial Sea F ( x , y , z ) ~ 6 z i ~ z 2 - 6 x - 2 4 y + x 2 + 4 y 2 +50

- 1 . La productividad marginal de x en x = 1

OX

369

JC-l Fx(x ,y ,z ) = - 6 + 2 x , Fy (x ,y ,z ) = - 24 + 8 y , Fz(x ,y ,z ) = 18z2 - 2 z

dz 1 = —r , para y = 1, dy dy y dz

b)

= 1. La productividad marginal de y en y = 1 y=l

La productividad marginal de x es:

x-3

3z — dx

FA.(x,y,z)

dz _

Fy(.x,y,z)

8y-24

3y

Fz(x,y,z)

18z2 ~ 2 z

Fz(x ,y ,z )

2 x -6 18 z 2 - 2

z

9 z2 -

z

z = 5xy~2x2- 3 y 2 , e n x = l, y = l La productividad marginal de y es:

Desarrollo La productividad marginal de x en x = 1, y = 1 es

dx

■5 y - 4 x

dz dx

( 2)

4y-12

9z2 - z

La función de producción de COBD - DOUGLAS, para la ciencia económica en su aspecto integral (como un todo) esta dado por: z = axb y c , en donde z es la producción

=5-4=1 jr=l

total, x es la cantidad de trabajo, y es el monto del capital, y a,b,c son constantes, A

y=t

menudo se supone que b .+ c = 1 ¿es homogénea esta función y de ser así de que grado es? La productividad marginal de y en x = 1, y = 1 es Desarrollo dz , , dz = 5 —6 - —1 — = 5 x - 6 y => —dy dy ( i,D c)

Sea z = f ( x , y) = axhy c la función de producción total f( X x , X y ) = aXbx bXcy c - a X h+cxby c , como b + c = 1 entonces se tiene:

16z2 - z - 8 0 + 4 ( j t - 5 ) 2 + 2 ( y - 4 ) 2 = 0

/(A *, Ay) = aXxbyc = X(axby c) = X f (x , y ) , es decir:

Desarrollo

iÍAx.Xy) -■ Af(x,y) entonces f(x,y) es homogénea de grado 1 en x e y.

Sea F (x,y, z) = 16z2 ~ z - 8 0 + 4 ( j r - 5 ) 2 + 2 ( y - 4 ) 2 , de donde Fx(x, y, z) = 8(x- 5 ), Fy (x, y, z) = 4(y - 4 ), F, (x, y , z) = 32z -1

La productividad marginal de x es:

La productividad marginal de y es:

dz dx

Fx( x , y , z ) Fz(x, y,z )

-8 (x -5 ) 3 2 z-l

dz — dy

Fy(x ,y ,z )

- 4 (y - 4 )

F„(x,y,z)

3 2 z-l

d) 6 z 3 - z 2 - 6 z - 24 v + x 2 + 4.y2 + 50 = 0 Desarrollo

(2 )

Para cada una de las siguientes funciones de producción, determinar el grado de homogeneidad y la naturaleza de los rendimientos a escala. La producción se representa por z y los insumos mediante x e y respectivamente. a)

z = 3x3 +5;ty2 + y3 Desarrollo Sea z - f ( x , y ) = 3*3 + 5xy2 + y3, entonces: /(A x,A y) = 3A3*3 +5A3x>>2 +A3y3 = A3( jc3 + 5xy2 + .y3) = A3/(jt,y ) por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado 3.

Eduardo Espinoza Ramos .. I»)

z y z z —= 8 1(—) es decir ~ es una función de —

14 20 z = --------x

X

y

.y

C 14 20 , entonces se tiene: Sea z = /r(.x , y)x = ---------* >'

Ay

X

X

y

y

y

óz y Oz y — = /i, (—) es decir —- es una función de — dx x dx x — = Ají—) es decir — es una función de — dy y dy y

fíl 3 -i 2^ 2^ \ /(Ax,A y) = - — — = A '(----------) = A1 -17t(x/ ,y )\

A*

X

z x z z — = g2(—) es decir — es una función de —

Desarrollo

c)

371


y

x

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado-1

á 2z _ dx2

y d 2z x dxdy

z = 25y6 - x 2y 4

d 2z _ dy2

x d 2z y dxdy

Desarrollo Determine si cada una de las siguientes funciones es homogénea, para las que lo sean, Sea z = / ( x , y) = 25y6 - x 2y 4 , entonces se tiene:

determine el grado y determine el Teorema de Euler: En el caso de las funciones lineales homogéneas demuestre también las otras tres propiedades citadas anteriormente.

/(A x , Ay) = 25A6/ - A6x2y4 = A6 ( 2 5 / ' -

X2 /

) = A6/ ( x , y) a)

z = 3x2 + 4jty + 15y2

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado 6

d)

Desarrollo Sea z = / ( x , y) = 3*2 +4jcy + 15y2 , entonces:

3 25 6 Z = -T + — + - T Xxy y í

/( A x , A y) = 3A2x 2 + 4A2.xy + 1 5A2y 2 = A2(3x2 + 4xy + 1 5 y 2) = A 2/ ( x , y)

Desarrollo

V

,, , 3 25 6 Sea z = / ( x , y) = — 4 — + — , entonces se tiene: jc xy y 1

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado 2 b)

z = 4x3 + x 2y-3A y2- 7 y 3 Desarrollo

,,,

- ,

/(A x ,A y )-

3 A jü

25

6

A xy

A2y 2

+— —

,-

3

26

x2

xy

5" —A (—-H-----+- -y) = A 2/ ( x ,y ) :

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado -2. Además de la propiedad conocida como teorema de Euler Las funciones homogéneas lineales tienen la siguiente propiedad. Si z = f(x,y) es una función homogénea lineal, entonces:

Sea z = / ( x , y) = 4x3 + x 2y - 3 x y 2 - 7 y3, entonces F(Ax,Ay) = 4A3x3 + A3x2y -3 A 3Jiy2 -7 A 3y3 = A3(4x3 + x2y -3 x y 2 - 7 y 3) = A3/( x ,y ) por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado 3


C)

z = 3ex +3ey

8)

Desarrollo Sea z = f ( x , y) = 3ex + 3ey , entonces:


.v6 Desarrollo

F(Xx, Ay) = 3elix + 3eXy / X(3ex + 3ey) X 2 y -f- y 3

Sea z = f ( x , y) - :------— , entonces x6

por lo tanto f(x,y) no es homogénea d)

373

z = 6 ln 3~2x - ln 4~5> Desarrollo z = / ( * , y) = 6 ln 3~lx - ln 4~Sy = 12jcln 3 + 5 ln 4.y

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado -3

f(Xx,A.y) = -12 ln 3 A,x + 5 ln 4 Xy = 7J-M ln 3 x + 5 ln 4 y) = X f(x,y) h) por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado 1

x 2 +3xy + y 2 z = --------- — — y3 Desarrollo

e)

jt4 + 3 r y + A / + 6 y 4 z= , X

„ ,, . x 2 + 3xy + y2 Sea z = f ( x , y) = --------- -------------- , entonces se tiene: y

Desarrollo x +3x y +xy +(>y z = f ( x , y ) = .............. . ..entonces x

f (X x ,X y ) =

, A4*4 + 3 A V y 2 + A V + 6A4y4 f ( X x ,X y) = ----- ------------- ------------------------

= r ^ i l í ^ + y2 ) y3

por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado -1 i)

x4 +3x2y 2 +xy3 + 6 y4 . - A(------ -L ---------------= X f ( x , y) x

z = 4x2y 4 + 3y2x 4 Desarrollo


0

iV X y

Sea z = / ( a , y) = 4.v2y4 + 3y2.«4 , entonces se tiene:

í Z z = 3jcln3y -9 y ln 8 *

f( X x ,X y ) = 4X6x 2y 4 +3X6y 2x 4 - A 6(4x2y4 + 3 y 2jc4) = A6/(*>y) Desarrollo por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado 6

2 3a2 9 y2 Sea z = f ( x , y ) = 3 x la e y -9 y ln 8 * = -----ln 3 — ~SnE y x j) n l x ,l y í = 3 í ! í ! í 2 - M ! ¿ J í É = Ay Xx por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado 1

= X f(x.y) y

x

L _l z = 3x2 ln a Jc:- 5 y 2 ln ¿ ' Desarrollo L i. Sea z = f ( x , y ) = 3x2 \na*2 ~ 5 y 2 \n b y = 31na-51n/>

374

Eduardo Espinosa Ramos


37.

n) z = xy - ln xy

f (Xx, Ay) = 3 ln a - 5 ln /? = A °/(x, y) (función constante)

Desarrollo por lo tanto f(x,y) es homogénea de grado cero.

k)

z-

Sea z = f(x,y) = xy - ln xy, entonces se tiene:

x 2 + xy

/ ( Xx, Xy) = A2xy - ln A2xy * X2(xy - ln xy)

3.v Desarrollo „ . x 2 +xy Sea z = f (x, y) = --------- , entonces se tiene: 3y

por lo tanto f(x,y) no es homogénea. (? )

Si la función de utilidad de un consumidor esta dado por u = q{q2 y el consumida compra 4 unidades de 0, y 5 de Q2 .

, . X x + X 'xy x 2 +xy f(.Xx, Ay) = ---- —--------- = A(—— ¿-) = A f ( x , y) 3Ay 3y

a)


b)

,

¿Qué cantidad de 0, debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si si compra de Qz aumentara a 6 unidades? ¿Qué cantidad de 0 , debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su compra de 0, se incrementa a 6 unidades?

1)

z = 3x2y + 4;iy2 + y3 + 10 Desarrollo

c)

¿Qué cantidad de Q¡ debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su compra de 0 2 decrece a 4 unidades?

Sea z = f ( x , y) = 3x2y + 4xy~ + y 3 + 10, entonces se tiene: d)

¿Qué cantidad de Q2 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su compra de 0, decrece a 2 unidades?

f( X x ,X y ) = 3X^x2y + 4Xi xy2 + A3y3 + 1 0 * A 3(3jc2y + 4;icy2 + y i +10)

Desarrollo

por lo tanto la función f(x,y) no es homogénea

u ~ q xq\ para 0 j = 4 , 0 2 = 5 se tiene u = 4(25) = 100 m)

z = - xy x+y

100

a)

0, = ?, 0 2 = 6 se tiene:

Sea z = f(x, y) - —— , entonces se tiene: x+ y

b)

0 2 = ? . 0i = 6 se tiene:

lOO = 6 0 f => Q2 = ^ ~

f ( X x ,X y ) =

= A ( - ~ ) = A f ( x , y) x+ y

c)

Q¡ = ?, 0 , = 4 de donde

100 = 6 0 => 0, = — 4


d)

y 02 =?. 0 = 2

Desarrollo

100 = (2,(36) => 0, == ~

xy

Xx+Xy

dedonde

1OO = 2 0 | =* 0 ¡= 5 > /2


I ¡tit ulo Diferencial

A < 0 => no hay máximo ni mínimo en x = a, y = b en este caso (a.b) es un punto silla

Obtenga las utilidades marginales para cada una de las siguientes funciones de milidad, I» utilidad se denota por u y las cantidades de los dos artículos consumidos se designan mediante

377

A = 0 => la prueba falla, la función debe de analizarse cerca de x = a, y = b

y q2 respectivamente.

»16. PROBLEMAS. a)

1

u —q\ q2 Determinar los puntos máximos y mínimos y de silla (si ios hay) para cada una de las

Desarrollo

siguientes funciones.

du 2 Las utilidades marginales de u es /, en q]t / , = —— = 3q¡ q-, dqt

g fx ,y ) = 2x" ~ 2xy + y + 5 x - 3 y Desarrollo

Las utilidades marginales de u es f 2 en q2; f2 = b)

íá gU '.y) = 4 jc- 2 v+ 5 = 0 dx J dg(x, y) = - 2 x + 2y - 3 = 0 dy

u = q¡q2 +q¡ Desarrollo du /[ = — es la utilidad marginal en a?,

MAXIMOS

Y

MINIMOS

DE

LAS

FUNCIONES

DE

d 2g(x ,y)

D O s|

a 2/ ( - i ^ ) =2

2 _ =2

=> dy2

d 2g ( x ,y ) = -2 dydx dydx

d2g ( - i , i ) 3 2í ( - i , | ) dx1

_d 2f ( a , b ) d2f ( a , b ) d 2f ( a , b ) 2

A > 0 =>

2

dx2

=4

dy2

df(a,b) =0 dx => (a,b) se denomina punto critico df(a,b) =0 dy dy2

i” “ 5

dx

Sea f(x,y) es una función de dos variables

'

1 => P ( - 1,—) punto critico

=4

d 2g(x ,y)

_____ VARIABLES.-_________ ______________ ___ ____________ ___

dx2

1

, /[ = q2 + 2qx

du f 2 = -----es la utilidad marginal en q2, /-> = q. dq2

3.15.

[ jc = —1

3y

-= - 2

a 2í ( - i , ~ ) i_)2 = 8 _ 4 = 4 > o dydx

entonces:

dydx

d 2g ( ~ l b d 2g(~ l i ) ' como --------> 0 y -------------- > 0 , entonces se tiene un mínimo en ( - 1 ,- ) . dx2 dy2

, . d2f ( a , b ) A d 2f{ a ,b ) n max en x = a, y = b si — — — < 0 y — —- — < 0 dx1 3y‘ . . d2f ( a , b ) n d 2f ( a , b ) n min en jc = a, y = b si — — — > 0 y ------- — > 0

©

h(x,y) = 3 + 2 x + 2 y - 2 x 2 - 2 x y - y 2 Desarrollo

, 2

Eduardo Espinoza Ramoi dh(x, y) = 2 -4 x -2 y =0 (x dx => 1 [y dh(x, y) =-2 x+ 2 y-3 =0 dy

<.tirulo Diferencial

@ = 0

Desarrollo

=> P(0,1) punto critico

= l

a /U ,y ) = 2 x + y -6 = 0 dx d f(x ,y ) = ,r + 2y = 0 dy

d2h ( - 1 ± ) d 2h(x,y)

--------------- 2_ . = _ 4

a 2/« (-i,x) = - 2 =>

dy2

. = -2

a/

d2h(x, y) dydx

a 2A ( - i , - > 1_ = - 2 dydx

A=

= -8 - 4 < 0 , a*2

ay2

aya*

d2f ( x , y)

a 2/ ( 4 ,- 2 )

a*2

dx2

d2/ ( * ,y ) dy2

d2f ( 4 ,-2 )

d 2f ( x , y ) =1 dydx

a 2/ ( 4 ,- 2 ) dydx

ay

ay

©

^ y ) = , _ 1=0 3y

u(x,y) = 4x+ 2 y - x 2 + x y - y 2

j => i U=i

Desarrollo => P(l,-1) punto critico

a2/a,-i) = 0

a 2/ U y )

du(x, y) = 4 -2 x + y = 0 dx du(x,y) 2 +x - 2 y = 0 dy

= 0 =>

a>’;

a 2/ ( i , - i )

=0

d 2u(x, y)

ay2

d 2f ( x , y ) =1 dydx

a 2/ ( t , - i ) = 1 dydx

mínimo, luego P(l,-1) es punto silla.

a>2

dy2 = o - 1<0 ,

dydx

a V — ,- ) ____ 3 _ 3 - * - 2

d 2u(x,y) d2u(x,y)

dy2

= -2

a 2- A $ ) 3 3 = _ -2 dx2

a*2

9 2/ 0 . - U _

dx2

10 3 „,10 8 V ' => r ( — ,—) punto critico 8 3 3 y=3

dx2

dx2

A =

(a 2/(4 ,.-2 ))2 _ 1 dydx

a 2/ ( 4 ,-2 ) n a 2/ ( 4 ,- 2 ) A c o m o ------ ——— > 0 y ---- — ---- > 0 entonces P(4,2) es un máximo. dx2 2

Desarrollo = y + 1= 0

=2

ay2

a*-

f(x,y) = xy + x - y

d 2f ( x , y )

P(4,-2) punto critico

y —~2

A _ a 2/ ( 4 ,- 2 ) a 2/ (4 ,-2 )

esto indica que no hay máximo ni

mínimo, luego el punto P(0,1) es punto silla.

d/(x, y)

x =4

a*2

= -4

dx2 d 2h(x,y)

f ( x , v) = Jt'2 +xy + y 2 - ó * + 2

entonces no hay máximos ni

dydx

=1

JO 8, a-«(— , - ) 3 3 _! ay a*

380

Eduardo Espinovi Hamol _ d 2u d 2u dx2 'dy2

d 'u 2 (dydx>

A .

~

n ^ > = 6 x 3x2

d u « d2u „ 10 8 como •—r < 0 y — v < 0 => 3x' dy3 3

3)

381

I lUt ulo Diferencial

3x2

32/ ( x , y) _ = 6y 3y

es un punto máximo.

=>

= 6¿>

3y 3 2f ( b , b ) _ , 3b dydx

32/ U y) = -26 dydx

r(x, y) = x2 + y 2 - 2 x + 4y + 6 Desarrollo

A = £ w w a V ( M ) _ (j V ( M ) )i =36fci_ 9í,2 > 0 3x2 dy2 dydx

í ^ . 2 , . 2 . 0 3x x=1 => < ^ =* PO.-?) punto critico 3r(x,y) = 2y + 4~- 0 3} 32r(x,.y) dx

3 2r(l,--2)

=2

dx2

d 2r(x, y)

¿>2r( 1,-2)

dy

3y2

3 2r(x, y) dydx

d2f 32 f y como — - - > 0 y —- - > 0 , entonces P(b,b) es punto mínimo. 3a” 3y' (« )

=2

Desarrollo 2S £ ¿> = 2 .-2 y -2 -0

3 2K l,-2 ) =0 dydx

=0

/ ( x, y) = x2 -2 x y + 2y2 - 2 x + 2y + l

4 = % á > . 9 % á ) . (9 ^ ) ) ! = 4 . „ « 4 > 0 dx" 3>’ dydx

_ _ 2 j;+ 4y + 2 = o

D2/( x ,y )

32/ ( l,0 )

=2

3 2r(l,-2 ) 3x

•> 0 y

3 2r(l,-2 )

d2f ( x , y )

= -2

3y 32/(x , y) _ _2

> 0 , entonces P(l,-2) es punto mínimo.

dy2

=>

=2

3 2/(1 .0 )

= -2

3y 32/ ( l,0 ) = -2 dydx

dydx

f ( x , y ) = x3 - 3bxy + y 3

=> P(t,0) puntocrilico

l> '“ 0

dx

dx como

,

-^5 | 1

3y

5)

32/ < M )

Desarrollo ^ W dx 3 f(x ,y) 3y

- 3

^ 0

= —3&x+3y2 = 0

A= —— — 3x2 x = Z> v = fe

=» P(b,b) punto critico

©

-f - — 3y2

—)2 = - 4 - 4 < 0 , entonces el punto P(1,0) es punto silla 3y3x

/( x ,y ) = x2 - y 2 - 2 x + 4y + 6 Desarrollo


2=0

dx

\x = \

2y + 4 - 0

dy d 2f ( x , y )

d f(x ,y ) dx d f(x,y)

=2 "

d 2f ( x , y ) _ „ d 2f i 1,2) -- Z —i' ' 3y2

„

dx2 d 2f i 0,0)

=>

——4

dydx

d 2f ( 0,0) =1 dydx

a , 8 V (0 .0 ) 3 V dx dy

(

0

. 0 ) dydx

Desarrollo

Desarrollo dh(x, y) = 2x+2y = 0 dx dh(x, y) = 2x = 0 dy

d2h(x,y) _ =2 dydx A =

\y = o

=> P(0,0) punto critico

«

d 2h( 0,0)

df(x, y) = ay = 0 dx d f(x ,y ) = ax = 0 dy t i - f ( x , y)

=2

dx2

dx dy2

íx = 0

d2h(0,0)

=2

d 2h j x , y ) _ Q

= 0 - l = - l < 0 , entonces P,0.0, esp u n to si« ,.

f(x,y) = axy

h(x, y) = x + 2 xy

d2h (x ,y )

= -4

dy2

d2f ( x , y ) =1 dydx

)2 = -4 - 0 < 0 , entonces el punto P( 1,2) es punto silla dy

d 2f(0 ,0 )

=0

dy2

a 2/ d , 2 ) _ Q 3y0z

0

A= d ■ dx2

d2f ( x , y )

P(0,0) punto critico

y=0

= jc -4 y = 0

dx2

dx2

383

*=0

d 2f ( x , y)

d2f i l , 2 ) _ ^

0

a»1 “ "

d2f i x , y ) dydx

P(l,2) punto critico


dx2

d 2f ( 0,0)

=0

dydx _ ( d ^ ( 0 L0 ) ) 2 _ 0 _ 4 < 0 ^ entonces P (0 0) es punto Rilia.

dydx

d 2f i 0,0)

dy2

dy2

A=

dx¿

=0

dx2

d2f ( x , y) =a dydx

d2h(0,0)

P(0,0) punto critico

y=0

d 2f ( x , y ) =0

dy2

*=0

=0

a 2/(0 ,0 ) =a dydx

áV W » dy

dydx

=„ , . W

< 0 , emonces W .0 , es ponto

Obtener las cantidades y precios que maximicen la utilidad y el monto de mi valoi

f ( x ,y ) = x y ~ 2 y ' Desarrolíf»

máximo para cada uno de los siguientes conjuntos para ds satisfactores.



Las cantidades se denotan mediante x e y, y los precios correspondientes, por p y q

385

Sea P = px + qy + c, reemplazando

respectivamente, el costo total se simboliza por c. 3 2 X 2 e ■-* p = xy — x + —+ x y - y - 5 y - 3 x - y

x - 1 - p + 2 q , y = 11 + p - 3q, c = 4x + y Desarrollo

5 x =—

|. - t a - 2 , +2 ,- | =0 x = 1- p + 2q

p =25-3x-2y

y =ll+ p -3 q

q —V I - x —y

3 2 7 - 5 . => p = — x - y + 2 x y — x + 4y

dp = ~2y + 2jc+ 4 = 0 a7

^ =» /*(—,—)

punto critico

p = px + qy - c = x(25 - 3x - 2y) + y(12 - x - y) - 4x - y ^ £ = - 3 - Ü £ = _2- Ü £ - = 2 dx2 dy2 dydx

p = 2 5 x - 3 x 2 - 2 x y + \ 2 y - x y - y :L- 4 x ~ y => p = - 3 x 2 - y 2 ~3xy + 2 lx + l l y ~ = - 6 x - 3 y + 21 = 0 dx dp - - 2 y - 3 .t + l l = 0 dy

jt = 3 y=l

d2P a 2P ( ó 2P.q A = — —,— ——(^—~~) = 6 —4 = 2 > 0 y como dx2 dy2 dydx'

=» P(3,l) punto critico

p = 25 - 9 - 2 = 25 - 11 = 14

5 9 máximo en el punto (—,—) y Pm 6 2 q = 12 —3 —1 = 1 2 - 4 = 8

= 9__15 J__ P ~~ 2

d 2p dx2 d 2p dy2 3 2p dvdx

= -6

d2p( 3,1)

= —2

dy2 •3

2

15__5

< 0 , se tiene un ay2

25 + 27 _ 2 ¡ _ 9 _ 1 8 + 2 2” 8 5 9 9 = — —+5 = - 2 + 5 = 3 2 2

4 ~4

15)

9 5 9 c = 3(—) + —= —+ —= 7

6

2

2

2

p = 4 0 - 2 x , q = 12 - 3y, c = 8 + 4x + 3y Desarrollo

= ~2

3 2p (3,d = —3 dydx

f /> —40 —2x2 . [
d2p d 2p dx dy2

y

= -6

dx2 d 2p(3,l)

4

d 2p “ <0 dx'

, d 2p 2 (—•—)" = 1 2 - 9 = 3 > 0 dydx

máximo en el punto (3,1) y Pm

y como

----- < 0 dx

-2 7 - 1 -9 + 6 3 + 1 1 = 37

x = 11 - 2 p - 2 q , y = 16 - 2p - 3q, c = 3x + y Desarrollo

y

40- p 2 12- q

< 0 , se tiene un dy' P = px + # y - c = x (4 0 -2 x 2) + y (1 2 -3 y ), de donde ^ = -6 x 2 + 36 = 0 dx dP = -6 y + 9 = 0 dy

3

P = -2 x 3 - 3y2 + 36x + 9y - 8

=» P(y¡6,—) punto critico

-V = 2

d 2P 32P , a 2p _ . , , = —I 2 x , — - = - 6 , ------ = 0 , de donde dx2 dy2 dxdy


,3 2P . __ rr _ d2p . ■ y = 72V6 -O > O y como — ^ < 0 dydx dx

máximo en el punto (2,1 ).

y

3 máximo en el punto (y/ó, - ) , donde

p = 40 - 12 = 28,

2

2

=j9 -q

, como P = xp + yq - c

?~- = - 6 x - 2 dx2

a:

d2P( 2,1)

= -14

a*2 3 2P(2,1)

a 2p

a 2p (2,i)

dydx

, x-

8 3 punto critico

y = l , y = -3

d2P ^ - = ~ 6 y - 6 => 3y■0

= 2

P = px +q y - c = x (2 6 -x ) + y ( 4 0 - 4 y ) - x 2 - 2 x y - y 2 ■26x - x 2 + 40 y - 4y 2 - x 2 - 2jcy - y 2

- 4 x - 2 y + 26 = 0

x-

-10y-2jc + 40 = 0

y=-

20 20 32 =* P(— .— ) punto critico 32 9 9 9

d 2p = - 4a , d2p 32/5= - 2 , de donde *.j -—— -- = - 1 0 , -----3.v dy dxdy 32P d 2P _ , ^ P 2 A - — —.— - - ( ——_) = 4 0 - 4 = 36 > 0 dx2 dy'2 ( dydx

P = 16a-- x3 + 9y - y 3 - jc2 - 3y2 dP ■16~3x2 - 2 * = 0 dx dP = 9 -3 .y - 6 y = 0 dy

p = 26 - x, q = 40 - 4y, c = x 1 + 2xy + y 2

3P 3a: 3P

Desarrollo

[q = 9 - y 2

©

P = -2 a ;2 - 5v 2 - 2xy + 26a + 40y

/? = 16 —je2 , q = 9 - y 2 , c = x 2 + 3y2

=JÍ6 -p

p = 16 - 4 = 2, q = 9 - 1 = 8 , c = 4 + 3 = 7

2

27 Pmax = - 1 2 > /6 - — + 5 4 + — - 8 = 4 6 -1 2 7 6 4 4

j p —16 —jc

32p a — — < 0 , se tiene un dy

Desarrollo

9 7 q = 1 2 - - = — , c = 8 + 4y/ó- - = - + 4^6 2

387

. 3 2P(2,1) 32P (2,1) .32P(2,1),2 . d2p . 3 2p . A = ------ -— ------ ------ (———— ) = 1 6 8 > 0 y como — ~ < 0 y — í~ < 0 se tiene dx' dy dydx dx~ dy

d 2P(.y[6,l) d2P ( S , b 2 _ -6 , 21-, dydx dy2

d2P ( J e , h

. d2P d?P A = — —.— dx dy

( iilculo Diferencial

= -12

d2p y como -“ - < 0 dx¿

?le. y -r - ~ < 0 , entonces se dyT

20 32 tiene un maxuno en (— ,— ) 9 9 20 214 32. 232 p = 20------= ------, q = 4 0 - 4 ( — ) = ------ , 9 9 9 9

400 1280 024 14996 c = -----+ -------+ -------= ----- — 81 9 81 81

p - 3 5 - 2 x 2, q = 2 0 - y , c = 16~2.í3 + xy + 30x + l2 y + ~ Desarrollo

3y2 dydx

jc2

= 0

P - p x + q y - c = A r(3 5 -2 A ¿) + y ( 2 0 - y ) - 1 6 + 2A:3 - j c y - 3 0 . v - 1 2 y - — -



389

p = 2 8 -3 x 2 , q = 5 6 - y 2 , c = 2x2 + y 2

x2 , P = —— ~ y " -xy+5jc+8_y-16

Desarrollo — — =— - xa. - y + 5 = 0y • 3x

r fx = 2

= —2y —xi-j-8=-n +8 = 0

P = px + q y - c = x ( 2 8 - 3 x 2) + y ( 5 6 ~ y 2) - 2 x 2 - y 2 P(2,3) punto critico

1^ = 3

P = -3 x 3 - y3 - 2x2 - y2 + 28x + 56y

ày

3 2P — dx

3P = -9 x 2 - 4 x + 28 = 0 dx 3P = -3 y - 2y + 56 = 0 3y

d 2P d 2P • — 5- = - 2 , — — = - 1 , de donde 3y o vdv ,

4 = f Ü f . ^ . (| ^ a ,1
= 2 _ ! = 1 > 0 ycom o Í £ < 0 , a ,’

Í £ < 0 , entonces se tien cij'

un máximo en el punto (2,3)

, puntos críticos > = 44

= -3 2

dx2

p = 4 0 - 5 x , q = 30 - 3y, c = x 2 + 2xy + 3y2

d 2P 2 = -6 y -2 3y 32P =0 dydx

32P (— ,4) = -2 6

=> 3y2 3 2P (— ,4) dydx

P = xp + y q - c = * (4 0 -5 * ) + y ( 3 0 - 3 y )- x 2 - 2 x y - 3 y 2

dP — = - 1 2 x - 2 y + 40 = 0 dx ~ dy

, „ íx = 3 => < => P(3,2) punto critico = -1 2 y - 2 x + 3 0 = 0 l-y ~ 2

d2P d 2P a 2p . — —= -1 2 , — - = -1 2 , ——- = - Í , de donde dx dy oxdy

,

14

dx

:-1 8 x -4

p = 35 - 4 = 31, q = 20 - 3 = 17, c = 16 - 16 + 6 + 60 + 36 + 4 = 106

= 4 0 x -5 x 2 + 3 0 y - 3 y 2 --x2 - 2 ; t y - 3 y 2 de donde P = ~(,x2 - 6 y 2 - 2xy + 40x + 30)’

14

3 P (-,4 ) 3 2P

Desarrollo

x = -2 , x =

d2 l -.— d2p A = ::-4 x— ( ^á2p —y = 782 > 0 dx2 dy2 dydx

ycom o

¿Le. < 0 óx2

y

< 0 , entonces el punto dy2

14 (— ,4) se tiene un máximo. 9 p = 28~3(— )2 = 2 8 - —- = , ? = 5 6 - 4 2 = 5 6 -1 6 = 40, c = 2(— )2 +16 = - ^ 9 27 27 9 81 Determine la máxima utilidad empresarial (ganancia) si la función de producción es z = 2 0 - x2 + 1 0 x -2 y 2 + 5 y , los precios de los insumos x e y son 2 y 1 respectivamente,

. d 2P d2p A= — 3xz 3 v

, d 2F . 2 3y3x

. . . . 1/in A d2p A 3 2/ = 1 4 4 -4 = 1 40> 0 y co m o — < 0 y —-Í < 0 , entonces se 3x 3y

tiene un máximo en el punto (3,2). p = 40 - 15 = 25 , q = 30 - 6 = 2 4 , c = 9 + 12 + 12 = 33

y el precio unitario del producto z es 5. Desarrollo Sea P = 5 z - 2 x - y = 5 (2 0 - x 2 + 1 0 x -2 y 2 + 5 y ) - 2 x - y

Eduardo Espinoza Ramon P = - 5 x 2 - 1 0 y 2 + 4Sx + 24y + 100

dP dx dP dy

I ulculo Diferencial

( l ')

391

Los datos siguientes se obtuvieron de una muestra aleatoria de minerales de uranio; x representa el grado de pureza del mineral, y representa los gramos de uranio obtenido por

= -IOjt + 48 = 0 = -2 0 y + 24 = 0

_ 24 X~ 5 punto critico 6 " =5

cada 1000 ibr de mineral (1 Ibr = 453.6 gr). x 85 65 73 90 82 80 68 88

d2P d2P d2P — r- = -1 0 , — —= -2 0 , ——- = 0 , de donde ox dv" dydx -\2 -\2 d2P 2 -(■r-^r-)2 - 2 0 0 - 0 = 200 > 0 y como — ~ < 0 y ~~~ < 0 , entonces el dx2 dy2 Xdydx' J dx2 J dy2

_ d 2P d 2P

,24 6. . punto (— , - ) tiene un maximo y P¡mx = 229 j

y 2.3 1.2 1.5 1.9 1.8 2.0 1.3 2.1

Obtenga la ecuación de regresión por mínimos cuadrados de y respecto de x Desarrollo

Determine

la máxima

utilidad

empresarial,

si

la función

de

producción es

z = 10 —2.x'2 + xy - y ‘ + 5y , los precios de los insumos x e y son iguales a 3 para cada

La ecuación de regresión por mínimos cuadrados de y respecto de x es: __

uno de ellos, y el precio unitario del producto z es 6.

A

y¡ = a+ ¡3x¡, donde

Desarrollo

n

Sea P = 6 z - 3 x - 3 y = 60-12jc2 +6j¡y-6> ’2 + 3 0 y - 3 * - 3;y p

=

n

Í~i______ 1=1 n

n

1=1

1=1

y Q _ Í=Í__1=1

/=1 J

"

P = ~ U x 2 ~ 6 y 2 + 6 x y - 3 x + 2 7 y + 60 [dP_ = -2 4 * + 6 y - 3 = 0 dx dP = -1 2 y + 6* + 27 = 0

x=

_ 8(1135.8)-(631X13.1) _ 820.3 QQ3S 8(50373)-(398.161) ~ 4823 _

punto critico y -

A 13.1-0.038(631) a = ------- — - = -1.21 d2P d P d 2P — 5-= -2 4 , — - = - 1 2 , — — = 6, de donde dx dy dydx y, = -1.21 + 0.038.*, A _ —— d x \ dy¿

- ) 2 = 288 - 3 6 = 252 > 0 , y como — < 0 dydx dx2

1 5 en el punto (—,—) se tiene un máximo y Pmax = 93

y

dy2

< 0 , entonces

La pureza de una lamina de plástico (por ejemplo polietileno), medida por un método estándar, esta relacionada con el tiempo que permanece en un reactor químico cuando la temperatura y la presión se mantienen constantes. Los datos que siguen se obtuvieron dii un reactor determinado x en el numero de segundos, y representa la pureza.

Eduardo hspirwza Ramo» x 1.5 7.5 0.890 y 1.538

2.0 8.0 0.974 1.555

f

<álculo

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 8.5 1.175 J.0 9 6 1.349 1.347 1.417 1.440 1.492 1.519 1.523 i.531 1.560

393

D i f e r e n c ia l

D = 1350 mezcladores (demanda) T = 1 año (periodo) c, = $150 (costo de inicio de una partida de producción)

Obtenga la ecuación de regresión por mínimos cuadrados de y respecto de x. c2 = $40 (costo de almacenamiento)

Desarrollo

c3 = $50 (costo de escasez)

A

La ecuación de regresión por mínimos cuadrados es:

y¡ = a+ ¡ix¡ , donde Se pide hallar

1=1

1=1

1=1

i=1

t = intervalo entre ordenes de producción Í2q (c 2 + c3)D _ 12(150X40 + 50)1350 _ 1300(90)(1350) _ , „

1=1

15(1074.740)-15304.500 816.600 15(44500) -562500 " 105000 n

q ~]¡ P=

515000

= Tq _ 1(135) _ o i D 1350

408 2 0 . 4 0 6 - - —-(7 5 0 ) 52500 15

A 20.406-58.328 a =— 15

c 2c 3T

'

40(50)(1)

V

2000

4083

n

£ y ,-/* Í> í=i cc = -&-

q = cantidad que de producirse en cada partida

27.822 :-1.854 15

de donde (o .i)(i2) = 1.2 de donde 1.2(10) = 12, entonces

La cantidad que debe producirse es de 135 mezcladores en cada partida de producción y la frecuencia a que debe producirse es de 10 veces por año. 26)

La compañía Filaway tiene un contrato para suministrar 600 gabinetes de archivo según una tasa uniforme en un periodo de 9 meses. El costo de almacenamiento durante este periodo es de 30 unidades monetarias (u.m) por gabinete; el costo de escasez es de 60

— , . 4083 y¡ = -1 .8 5 4 + --------- X: 525000 '

u.m, por gabinete faltante, y cuesta 20 u.m. iniciar una partida deproducción.

Si la

fabricación se hace a una tasa constante de 2400 unidades por periodo de 9meses,

La compañía Pórtland tiene un contrato para suministrar 1350 mezcladotes anualmente.

obtenga la frecuencia con que debe programarse la producción, y la cantidad que debe

El costo de almacenamiento anual es de 40 dólares por maquina; el costo de escasez es de

producirse en cada partida para minimizar el costo total promedio anual.

50 dólares por unidad faltante y por año, y cuesta 150 dólares la iniciador; de una partidal de producción. Si las ordenes de producción se cumplen sin demoras y la demanda signai una tasa constante, determine la frecuencia con que debe programarse la producción, y la ¡ cantidad que debe producirse en cada partida para minimizar el costo total promedio anual. Desarrollo

Desarrollo D = 600, q = 2400, c, = 20, c2 = 30, c3 = 60

L = 8- => t = 36 intervalo entre ordenes de producción. T D



n , . • • • .30txz 30(36)z 30(9)z2 Costo de iniciar una partida: — — = ----------- ------------2 2(2900) 2(600)

395

d 2F

A*:

d2F

dx2 t=a dy 'y=b

-0 x=a y-b

d 2F

36—íj = t2 !l = £ t 9

‘i " 36

300(0.015)z

y-b

, . d2F d 2F max en x = a, y = b si — —< 0 y ---- < 0 dx2 dy2

/, = 0.015z

2900

) , entonces

d y d x x-a

A* > 0

min en x = a, y

30(9)z

z = 72900 ; r, =0.015z = 1093.5

2(600)

,

. d 2F si — — > 0 y dx

d 2F

------- > 0

n

dy2

A* < 0 => la prueba falla, debe analizarse la función será de x = a, y = b C=

9

2g

29

3.18. PROBLEMAS. de _ c 2Tz dz q

c3T(q —z ) = 0 q

=> c 2Tz = c 3 + ( q - z )

Obtener los máximos y mínimos de cada una de las siguientes funciones con base en al restricción dada.

60(2400) = 1600 z=■ 90 ac a?

© =0

f ( x , y ) = 3x + 4 y ~ - x y s i 2 x + y = 21

=> c3T(q2 - z2) = 2clD + c2Tz2

60(9)(24002 -16002) = 2(20)(600) + 307(1600)2

Desarrollo T = 22.49

3.17. MÁXIMOS Y MINIMOS SUJETOS A RESTRICCIONES MULTIPLICADORES DE LACRANG E .- ______________________

Sea F(x, y. A) = f ( x , y) - Ág(x, y) = 3*2 - 4y2 - xy - A(2* + y - 21) dF

dx dF_

= 6 *x - y --2 2A 0 A =U 6x-y A= 2 [A = 8 y -;c

S y -x -A = 0

Sea f(x,y) la función que se va a maximizar o minimizar con la restricción g(x,y) = 0.

dy

Luego se forma la función objeto.

- ~ = -(2x +y -2 1 ) = 0

F(x,y,A.) * f(x,y) - \ g(x,y). Ahora se determina los puntos críticos.

como 2x + y - 2 1 = 0 => 42x = 357 =>

dx2

A=

dy d 2F d2F

dydx

a 2F , 2 ~ (-,“ ) = (6 X8 ) -1 = 47 > 0 dx2 dy2 dydx

&x y =-

x = 8.5 y=4

397



d2F F y como — —> 0 y > 0 entonces (8.5,4) es un mínimo restringido de f(x,y). dx1 a /

como x - y - 18 = 0 =» 9y = 18 =*

/ (x, y) = x2 + y 2 - 2xy si x2 + y 2 = 50

f í - 2 . 3x¿

dy

dydx

y=2 .r = 20

=0

Desarrollo Sea F(x, y, A) = / ( x , y) - Ag(x, y) = x 2 + y 2 - 2xy - A(x2 + y 2 - 50) dF = 2x - 2 y —2Ax = 0 dx dF = 2 y -2 x -2 A y = 0 dy dF

A= A=

A = Tdx2 T T f )2 = (2X -20> - ° = ^ ° < ° dyT _ ( ^dydx por lo tanto en (20,2) se tiene un punto silla

x-y y-x

=> y = -x

/( x ,y ) = 3.xy + 4 y 2 si x2 + y2 =10

, , = ~(x + y - 50) = 0

Desarrollo Sea F (x , y, A) = f ( x \ y) - Ag(x, y) = 3xy + 4 y 2 - A(*2 + y 2 10)

como x2 + y 2 = 50 => x2 = 25 => x = ± 5

— = 3 y - 2Ajc = 0 dx dF = 3 ¿ -2 A y + 8y = 0 dy

x = ± 5 , y = + 5 =¡> X = 2

a*2

= 2 -2 A = 2 - 4 = - 2 ; ^

a? 2

V r

"j Zn

= 2 -2 A = 2 - 4 = - 2 ; | - | ^ = - 2

dF I

f) F

A = ----- .-------- (-------)2 = (-2 )(-2) - (-2 )2 = 4 - 4 = 0 como A = 0, no hay información. dx2 dy2 dydx / ( x ,y ) = *2 -1 0 y 2 - A ( x ~ y - 1 8 )

dF = 2 x -A = 0 dx dF -20y + A = 0 dy

(x

- y -18)

A=

2y

x + y -1 0 = 0 6y - 3 0 Luego «i . => x = 8y [3y2 + 3x2 = 8xy

( a

=>

3y 2x =» 3y = 3ji;2 +8^y 3* + 8y

13A

Desarrollo Sea F(x,y,X) = f(x,y) - X g(x,y) de donde F(x, y, A) = x 2 - 10> 2 -

-(x2 + y2 -1 0 ) = 0

A=

6y - 3 0-) 2 +. y 2 =10 _ , n _=> y..4 —lOy , n ..2 +9 = 0 8y

(y 2 -9 ) ( y 2 -1) = 0 de donde y = ± 3 , y = + l

A = 2* A = 20y

x = lOy

para y = ± i, x = ± 3 => P(± 3, ± 1), A = 9 y = + 3, x = ± 1 => P(± 1, ± 3), A = - puntos críticos

398


399

d 2F

d^F d F ■= -2A , — —= -2A + 8 , ^ ^ = 3 dx dy dydx

Para P( ~— 2

2

), A = - — , > 0 y - - f > 0 entonces en ~ ^ 7 ~ J dy27 ' ' ■ 2 ' dx1

2 '

2

se

tiene un mimmo A = f f . í f - ( | ^ , - ( - 2 « - a + 8 ,-9 dx dy~ dydx

(?)

f ( x , y ) = x 2 +24xy + 8y2 si .x2 + y2 =25 Desarrollo

A = 4A2 -1 6 A - 9 para P (± 3 ,± l), X-

Sea F(jf, y, A) = / ( jc, y )- Ag(;c, y) = .v2 + 24^y + 8y2 - A(,t2 + y 2 - 25) dF —— = 2x + 24y —2Aj: = 0 dx 3F : 24 .t + 16y - 2Ay = 0

A = 4A2 ~ 1 6 A ~ 9 , para P(± 1, ± 3), X = ~

A = 81 - 72 —9 = 0 ==> no se tiene información

A=

Jt

A= 3F fìA

f(x,y) = x + y si i 2 + f = l

* + 2y 12* + 8y

12jc2 + 7 x y -1 2 y = 0

-(jt2 + y 2 - 25) = 0

Desarrollo 3jc 12;t2 + 7.vy-12y2 = (3x + 4 y )(4 .v -3 y )- 0 , de donde y = ——, y = ~

Sea F (x,y,X ) = f ( x , y ) - A , g ( x , y ) = x + y - A(x2 + y 2 -1 ) dF dx

Ir Si y = —— 4

-l-2 X x = 0 _L 2x 1_

™ = l~ 2A y = 0 dy

Qx => x2 +------= 25 =» 25 je2 = 25(16) 16

jr2 = 16 => x = ±4 => y = -3, y = 3, P ,(4 ,-3 ), f t (-4,3)

2y

|^ - = - ( * 2 + y 2 - l ) = 0

Si v = 2 2 ^2 -Jl „ yfl corno x + y =1 => x = ± — , y = ± ---- , A,--±— 2 2 2

4x 3

A=

dy

d2F d 2F -. d.x“ dy

dydx

d 2F 2 À,2 » a i2 ~ r \ _ (•—— ) -4 A - 0 = 4A > 0 en avox

V2 V2 entonces en el punto P( —

n, J 2 />(2

se tiene un maximo

x 2 = 9 => x = + 3

Si x = 3, y = 4, ft (3,4), si x = -3, y = -4, f t (-3 ,-4 )

—y = 2 - 2A , dxz

1(Ly x 2 -)— — = 25 9

2

d2F „ <0 y 3x2

92F

<0,

^

3y"

= 1 6 -2 A ,

1^

oyoA

= 24

A- ~ ~ " ( | t - ) 2 = (2 ~ 2A)(16 - 2A) - (24)2 dx dydydx 4 -3 6 calculando A, para ^ ( 4 ,- 3 ) , A = --------= -8

A = (2 - 2A.)(16 - 2X.) - 576


400

401

A = (18)(32) - 576 = 576 - 576 = 0, no hay información

! 120.

PROBLEMAS.-

- 4 + 36 para P2(-4 ,3 ), A = --------- = - 8 , A = 0 -4

( l)

Determine el mínimo de f ( x , y) = 4 x2 + 5y2 - 6y si x + 2y > 18 Desarrollo

calculando X para P¡ y P4 , X = 17 /(.*, y) = 4x2 + 5y2 - 6 y , g(x,y) = x + 2y - 18 A = (-32)(-50) - 576 = 1600 - 576 = 1024 > 0 ’d f(x ,y ) d2F — —= -3 2 < 0 dx2 P4(-3, -4 ) se tiene máximos

entonces como

d2F y— —= - 5 0 < 0 dy2

~

entonces en el punto P,(3,4), 1

^ d g (x ,y )_ n

x

0

W ( * ,y ) ay

A

_„

cond¡cionesdeK U H N _ XUCKER

dy

Ag(*,y) = 0

3.19.

g(x, y) > 0

CONDICIONES DE KUHN - TUCKER.-

desigualdades se conoce como condiciones de KUHN - TUCKER.

3(4 jc2 + 5 y2 - 6 y ) &

Para el caso de una función de dos variables sometida a una restricción de desigualdad las

á(4.v2 + 5 y 2 - 6 y ) _ , d(x + 2 y -1 8 ) _ ^ dy dy

Las condiciones necesarios para un máximo o mínimo sometido a restricciones de

, 3(x + 2 y -1 8 ) _ A & "°

A (jc+2y-18) = 0

condiciones de KUHN - TUCKER esta dado en la forma: un punto (x,y) es un máxim local de f(x,y) cuando g(x,y) < 0, solamente si existe un valor no negativo de X tal que X y

jc+

2y —18 > 0

(x,y) satisface la siguientes condiciones. 8 x -A = 0 d f(x ,y ) ^ dg(x,y) dx dx d f( x ,y ) ^ dg(x,y) dy

1 0 y -6 - 2 A = 0 Í8jc = A 8a + 3 ■i =$ •! => y = ------A(x + 2 y -1 8 ) = 0 (5 y -3 = A 5 A+ 2 y - 1 8 > 0

Q

dy como A.(x + 2y - 18) = 0 =Â. = 0 v x + 2 y - 1 8 = 0

A g (x,y) = 0 g (x ,y ) < 0

si X = 0 =* x = 0,

3 3 = ~ luego Pt (0, - )

un polinomio de segundo grado de la forma / (x, y) = Ax~ + Bxy + Cy2+Dx + Ey + F , es cóncavahacia arriba si 4 A C - B 2 > 0 A > 0,

C

> 0; y es cóncava hacia abajo si

y

4AC - B 2 >0 y A < 0 y o bienC < 0, y no

es cóncava hacia arriba ni hacia abajo si 4AC - B 2 < 0 .

6 no verifica x + 2y - 18 > 0 =* — 18 > 0 falso 5 • 3 por lo tanto P¡ (0, - ) no es punto optimo

E d u a r d o E sp in o za

Ramo»

„ 16a + 6 fx = 4 si x + 2 y - 1 8 = 0 => a-i---------- = 18 => < 5 [y = 1

403 P2{1,4) también es un punto optimo

Por lo tanto

y/( x ,y ) = 16x + 1 2 y -2 x 2 - 3 y 2

entonces f(4,2) = 44 y f(7,4) = 14,por lo tanto enf¡(4 ,2)

setiene un máximo.

el punto P2(4, 7) es optimo porque satisface la condición de KUHN - TUCKER ( 4 + 1 4 -1 8 = 0 > 0 ,

ahora veremos la concavidad:

de la ecuación

y) = 4A2 +5_y2 - 6 y

/(a ,

Determine el mínimo def ( x , y) = 3x2 + 3 y 2 si x + y > 10 Desarrollo

se tiene A = 4, B = 0, C = 5 y como - - ( 3 x 2 + 3 y 2) - A ^ - ( * + y - 1 0 ) = 0 ax ax

4 AC - B~ = 80 > 0 y además A = 4 > 0 y C = 5 > 0 entonces es cóncava hacia arriba, entonces en P2(4 ,l) se tiene un mínimo.

. — (3x2 + 3 y 2) - A — (* + y - 1 0 ) = 0 , condiciones de KUHN - TUCKER ay dy Obtenga el máximo de / ( x , y) = 16a +12y - 2x2 - 3y2 si x + y < 11

A (x + y -1 0 ) = 0 A +y~10>0

Desarrollo 6 x -A = 0 — dx

(16A + 1 2 y -2 x 2 - 3 v 2) - A — ( A + y - l l) = 0 ax

6 v- A = 0 A(x + y -1 0 ) = 0

^ (16a+ 12y - 2x2 - 3y2) - A — (x+ y -11) = 0 , condición de KUHN - TUCKER ay ay

ÍA = x

=> í[A„= y =* y=x

A + y —10>0

M x + y - 11) = 0 X(x + y - 1 0 ) = 0 =s> X = 0 v x + y - 1 0 = 0

x+ y -ll< 0

Si X = 0 => x = y = 0 pero P](0,0) no satisface la condición:

1 0 -4 x -A = 0 1 2 -6 y -A = 0

f A = 16 ~ 4x

A(x + y - l l ) = 0

[A = 1 2 -6 y

2x-2 =>>• = 3

x + y - 1 0 = 0 + 0 - 1 0 = -10 < 0, Luego f¡ (0,0) no es un optimo.

x + y -ll< 0

Ía = 5 Si x + y - 1 0 = 0 como y = x => \ punto optimo [y = 5

X(x+ y - l l ) = 0 =>X = 0 v x Si X = 0, x = 4, y = 2,

+y -ll= 0 Ahora veremos la concavidad de

Pv(4,2) satisface la condición x + y - 1 1 = 4 + 2 - 1 1 = -5 < 0

Luego el punto

=>

P2 ( J A )

2x - 2

a-i --------- =

3

11 => 5x = 35 =>

satisface la condición 7 + 4 - l l < 0

y) = 3a2 + 3y2 de donde A - 3, B = 0, C = 3

Como 4AC - B 2 = 36 - 0 = 36 > 0 y además A > 0 y C > 0 entonces escóncava

Por lo tanto /¡(4,2) es un punto optimo.

S ix + y - íl= Q

/(a ,

arriba por lo tanto / ( x , y) = 3x2 + 3y2se minimiza sujeto cuando x = 5, y = 5.

fx = 7 ly = 4

a la restricción

.i ( j)

Encuentre el mínimo / ( a , y) = 12a’ + 4y 2 - 8x_v - 32a si x + y > 1 Desarrollo

hacia

x + y >. 10


í ~ ( 1 2 j c 2 + 4 y 2 - 8 x y - 3 2 x ) - A — ( je+ dx dx d

2

v-1)

1 0 y - 1 0 .c + 4 0 - A = 0

=0

d

2

405

l álculo Diferencial

— (12* +4y~ -8 x y - 3 2 jr ) - A —- ( x + y - l ) = 0 ay ay

condiciones de KUHN - TUCKER 1

lO.v —14y —A = 0

A = 10y-10.í + 40

A (je+v-13) = 0

A = 10jc~14_y

5 jc—10

V

6

jE + .y -1 3 < 0

A(je+ y -1 ) - 0 X(x + y - 13) = 0 => X. = 0 v x + y - i 3 = 0

jE + y-l> 0

2 4 jc -8 y - 3 2 -A = 0 8 y -8 jc -A = 0 . A ( x + y - l) = 0 je + v

Si X = 0 -.

ÍA = 2 4 jc -8 y -3 2 . [A = 8 .y - 8 jE

l0 y -1 0 * + 40 = 0

je =

14

10jc-14y = 0

y = 10

. y = 2x - 2 Pero el punto Px(14,10) no satisface la condición

-1 > 0

je

+ y -1 3 = 14 + 1 0-13 = 1 X 0 por lo

tanto / >,(Í4,10) no es optimo.

A(x + y - l ) = 0 => A. = 0 v x + y - l = 0

, 5je — 10 Si x + y - 1 3 = Ü y como y = — - — se tiene:

Í je = 2

Si X = 0 => y = x, 2 4 x -8 y = 32 => 16x = 32 => <

17=2

Pero P¡( 2,2) satisface 2 + 2 - l = 3 > 0 . Por io tanto P¡(2,2) es un punto optimo a

jeh

H

Í je = 1

5 *-1 0 ' [x = 8 ---------- = 13 =» l l x = 88 => ^ 6 {y = 5

como el punto P2(8,5) satisface la condición 8 + 5 - 1 3 = 0 < 0 por lo tanto P2( 8,5) es

S ix + y - l = 0 = > 3 x - 3 = 0 => < \y =0

optimo. Ahora veremos la concavidad de la función

Se tiene el punto /^(l.O) satisface x + y - l = l + 0 - l = 0 > 0 entonces punto optimo

(1.0) es un

/(jE,y) = 10jEy-5jE2 - 7 y 2 +40jE de donde A = -5, B = 1 0 y C = -7

f(2,2) = 48 + 16 - 32 - 64 = -32, f(l,0) = 12 - 32 = -20

4 A C - B 2 = 4(—5)(—7) —102 = 140-100 = 40 > 0 y A = - 5 < 0 y C = - 7 < 0

f (jE x ,,y y ) = 12 12.aje2 + 4 y 2 - 8 j t y - 3 2 j E Luego /( cuando x = 2, y = 2

f(x,y) es cóncava hacia abajo entonces en P2(8,5) se tiene un máximo.

se minimiza sujeto a la restricción x + y > 1

Obtenga el máximo de f ( x , y ) = \ 0 x y - 5 x 2 - l y 2 +40x s i x + y < 1 3

©

Determine el máximo de /

( je ,

y) = 6xy - 3x2 - 4 y2 si 3x + y < 19 Desarrollo

Pesarrolto — ( 10xy-5jE2 - 7 y 2 + 4 0 j E ) - A — ( j E + y - 1 3 ) = 0

dx

ay

dx

(1 O x y -5 x 2 - 1 y 2 + 40x ) - A ^ - ( * + y - 1 3 ) = p , condiciones de KUHN- TUCKER ay A( je+ y —13) = 0 je+

y~13<0

— ( 6jcy-3je 2 - 4 y 2 ) - A “ (3jf+ y - 1 9 ) = 0 dx dx

~ dy

( 6 je v

- 3je2 - 4y2) - A

ay

(3x + y -1 9 ) = 0 , condiciones de KUHN - TUCKER

A (3 x + y -1 9 ) = 0 3 x + y -1 9 < 0



407 a

6 y - 6 * ~ 3A = O 6 A -8 y -A = 0

ÍA = 2 y - 2 x

4x

A(3A+y~19) = 0 ^

[A = 6jc-8y

^ >_T

como 2x + 3y = 74

3 a + y -1 9 < O

12a

2 a + -------- = 74 => 74x = 74(31)

31

= 31

y —4 A = 41

Luego las cantidades que maximizan la producción son: cuando x = 31 y y = 4 sujeto a la restricción 2x + 3y < 74

X(3x + y - 1 9 ) = 0 =>X = 0 v 3 x + y - 1 9 = 0 Si X = 0

-

2y - 2x -- O

y =

6 x -8v= O

3a - 4 V = 0

a

b)

x=y=O

Si 2x + 3y < 74 se aplica KUHN - TUCKER. - - ( A 2 + 5 A y - 4 v 2 ) - A — (2 A + 3 y - 7 4 ) = 0

Luego el punto fj(0,0) satisface la condición 3x + y -- 19 = 0 + 0 - 19 = -19 < O por lo

óx

tanto /' (0,0) es punto optimo.

--- ( a 2 + 5*y - 4y 2 ) - A ( 2 a dy * dy

4x Si 3x + y - 19 = 0 y como y = — J J 5

4x fje == =>3 a + — = J9 => < 5 \y = 4

5

dx

+

3y —7 4 )

=

0

A(2* + 3 y -7 4 ) = 0 2 A +3 y -7 4 < 0

Luego el punto P2(5,4) satisface la condición 3x + y - 1 9 = 1 5 + 4 --1 9 = 0 < 0 f(0,0) = 0, f(5,4) - 11 por lo tanto la función f(x,y) se maximiza sujeto a la restricción

2 a + 5 v -2 A = 0

A=

5 A -8 y -3 A = 0 A (2A +3y-74) = 0

3x + y < 19 cuando x = 5, y = 4.

A=

2 a + 3y - 74 < 0

2 ^ La producción P, como función de dos insumos x e y esta dado por: P = x~ + 5xy - 4 y ~.

2 A+ 5 y

2 5A-8_y

y=

4a

31

X(2x + 3y - 74) = 0 =* X = 0 v 2x + 3 y - 7 4 = 0

Evaluar las cantidades de x e y que maximizar la producción si: a)

b)

2x + 3y = 74 Desarrollo

a)

2x + 3y < 74

Si X = 0 => x = y = 0

y como P{(0,0) satisface la condición

2x + 3y - 74 = 0 + 0 - 74 = -74 < 0 entonces el punto /j (0,0) es optimo.

Si 2x + 3y = 74, aplicando Lagrange. Si 2x + 3y - 74 = 0

F(x,y,X) = P(x,y) - X(2x + 3y - 74)

=>

2a + ^ - = 74

=> x = 31, y = 4 y como el punto

P2(31,4) satisface las condiciones entonces P2(3 1,4) es un punto optimo. F(x, y, A) = x 1 + 5 x y - 4 y 2 -A (2* + 3 y -7 4 ) f(0,0) = 0, f(31,4) = 1517. Luego las condiciones de maximizar la producción son dF = 2A+ 5y-2A = 0 3* 3F = 5A-8y-3A =0 3y 3F_ M

= —(2 a + 3y - 74) = 0

A=

para x = 31, y = 4 sujeto a la restricción 2x + 3 y < 7 4

2a + 5y 2 5a -8 y

4a

==> y = — 31

El importe de las ventas S, como función de las sumas x e y gastadas en dos tipos de c 240 a 150y promoción comercial, esta dado por: S = —-—— + 25 + 3a 10 + y

Eduardo Espinoza Ramali

I .a utilidad neta es

1 ¡ 0 s - x - y - Determine la asignación de x e y que maximizara 1«

ganancia neta si x + y = 15

409


©

El costo de producción C, en una función de las cantidades producidas, x e y, de dos tipos de artículos, esta dado por C = 6*2 + 3y2 para minimizar tal costo ¿Qué cantidad de cada uno de los dos artículos debe producirse si:

Desarrollo a)

j Utilidad neta = u = — S - x - y , de donde 10

10 +- y

dF _ 24(25 + 3*) -3(24*) -l-A = 0 dx (25+ 3*)2

3A

a)

Minimizando / ( * , y) = 6*2 + 3y2 s i x + y = 18 para esto aplicamos multiplicador de Lagrange. F(*, y. A) = / ( * , y) —A(* + y -18) = 6*2 + 3 y 2 - A(* + y —18)

- * - y - A(x + y -15)

Í3F =V 0 = 112*-A ¿X-A= 3* 3F = 6 y -A = 0 dy

A= — ^ % - - l (25 + 3*)2

3/"" (1 0 + y )~ v , ~ = 15------ - 1 - A = o dy (10+ y) dF

x + y > 18

Desarrollo

1 , 240* , i 50y x 24* 15 v ~ + JO+y -~ y ~ x ~ y - ~ * —~ + ~ --------x - y , aplicando Lagrange se tiene! 10 25 + 3* 25 + 3.\ 1 0 + V /’ (*, y, A) - u - A(* + y -2 5 ) = ~ 25 + 3*

b)

x + y=18

A= - i™ -i " (1 0 + y)2

dF

ÍA = 12* A = 6y

=> y = 2x

= -( * + y -1 8 ) = 0

IdA

= -(*+>> -1 5 ) = 0

como x + y - 18 = 0 =í> 3x = 18 => x = 6, y = 12

150

600 dx“

25 + 3x = 2(10 + y) => y = - + - r 2 2

5*

5

3600

d 2F

3*

(25 + 3*)

dx2

_n

2

. 4. 3x = 25 => -X - 5, y — 10.

d2F

A ~ d 2F' d 2F

d 2F d 2F d 2F d2F , d2F f . ^ 4 - ( - ^ r - ) 2 = (1 2 )(6 )-0 = 7 2 > 0 y como — - = 1 2 > 0 , = 6>0 rdydx lv r lv rdx2 ir“ oy dx1 dy2 ' ’

5 3 * + —+ —* = 15

reemplazando en x + y -1 5 = 0

. d 2F -2

entonces tenemos que (6,12) es un mínimo restringido

2

Luego el punto critico es P(5,10)

d2F 300 < 0 , —— = -r-— T =» dy2 (10+.y)3 .

¡w¡» ? i V y c u ‘” ° máxima ganancia se obtiene cuando x = 5, y = 10.

6 , | Í = „ dy' dydx

d 2F

32F

a ? * 0 y

¿ 7 <0

Ahora veremos la mínimización de / ( * , y) = 6*2 + 3y2 si x + y > 18 en este caso aplicamos las condiciones de KUHN - TUCKER. —~(6*2 + 3 y 2)-A -^ -(* + y -1 8 ) = 0 dx dx d_ — (6*2 + 3y2) - A — (* + y - 1 8 ) = 0 , condiciones de KUHN - TUCKER. dy dy

<0

dy2

3 2F

b)

cmonc' s l a

A (* + y -1 8 ) = 0 * + y -1 8 > 0



12a- A = O 6v-A -O A(.í+y-18) = 0

—

fA = 12* A = 6y

dx

=^> y = 2x

= 4 x + y -2 2 -A = 0

dF = 6¿ y + x + A i = 0n — dy

•*+y~18>0

3F l3A

X.(x + y - 18) = O => X = 0 v x + y - 18 = O

411

^

A = 4 x + y -2 2

=» 4x+ v -2 2 = - x - 6 y

A = —x - 6 y

-5.X + 22 y = ---------'7

= -(x -y -2 )= o

x-3

_ _ 22- 5 x _ . como x - y - 2 = 0 => x --------------2 = 0

y =l

Si X,= O, x = O, y = O pero el punto P(O.O) no satisface la condición Luego cuando x = 3, y = 1 se tiene un optimo. Ahora veremos la concavidad de C = 2x2 + 3 y 2 + x y -2 2 x + 5 de donde A = 2, B = l ,

x +y - 18 = O+ 0 -18 j2f O falso por lo tanto P(0,0) no es optimo.

C = 3 por lo tanto 4AC - B2 = 24 -1 = 23 > 0 y además A > 0, C > 0 entonces se tiene Si x + y -1 8 = 0 y como y = 2x => 3x = 18

fx = 6

una concavidad hacia arriba luego para minimizar el costo de numero de inspecciones

{ y = 12

debe ser para x = 3 y para y = 1.

Como P(6,12) satisface la condición x + y - 18 = 6 + 12 - 18 = 0 > 0 entonce

(n )

El número de averías N, en función de los números x e y de las reposiciones de dos

P(6,12) es optimo. Ahora veremos la concavidad de f ( x , y) = 6x2 + 3y~ de donde

elementos de una maquina, está dado por: N = 3 a : + y2 + 2xy - 22.x + 6 para minimizar

A = 6, B = 0, C = 3

el número de fallas ¿Cuántas operaciones de reposición deberían hacerse para cada parte, si 2x = y? Desarrollo

4AC- B2 —7 2 - 0 = 72 > 0 y además A > 0 y C > 0 entonces f(x,y) es cóncava hacia arriba esto quiere decir en P(6,12) se tiene un mínimo en la producción que se encontraba bajo la restricción x + y - 1 8 > 0 .

3>

El costo de las separaciones C, un una función de los números x e y de impresiones por: C - 2 r +3y2 + xv - 22.x + 5

para minimizar tal costo ¿qué numero de inspecciones

deberá llevarse a cabo en cada punto si x - y = 2?

Aplicando multiplicadores de Lagrange t \ x , y , X ) = 3x2 + y2- + 2 x y -2 2 x + 6 -A (2 x —y) dF dx 3F dy dF_

Desarrollo

<1A

- h6vx--72 y\) -—2727 -— ) A = 2A = 11 0

■-2y + 2x + X = 0

A —3at+ y —11 A= -2 x -2 y

11 - 5 a-

y =-

= —(2.v - y) = 0

_ 11 - 5x _ como 2 x - y = 0 => 2 x ----------- = 0

Aplicando multiplicador de Lagrange:

x —1

y =2

para minimizar el número de fallas se necesita hacer 1 operación de reposición para un F (x, y, A) = 2 a 2 + 3y 2 + xy - 2 2 x + 5 - A(x- y - 2 )

elemento y 2 para el otro.

Eduardo Espinoza Ranún

( lílculo Diferencial

413

condiciones de KUHN- TUCKER

El costo de reparaciones C, en función de los números x e y de inspeccionas en do» puntos en un proceso industrial esta dado por C = 4 x2 + 2y" + 5xy - 20* + 30 a fin itc

8* + 5 y - 2 0 - A = 0

minimizar dicho costo ¿Qué numero de inspecciones debería hacerse en cada punto si gU

4y + .5* - A = 0

A = 8* + 5 y - 2 0

número total de inspecciones es:

A(* + y -1 0 ) = 0

A = 4y + 5*

a)

b)

10

*+y-10>0

no menor de 10

Desarrollo a)

C = 4*2 + 2 y 2 + 5 x y -2 0 * + 30 sujetoa 1

J

V función objetivo

X(x + y - 1 0 ) = 0 => X = 0 v x + y - 1 0 = 0 * + y = 10 *■' 1 V función restricción

Si X = 0

r 8xr 4+-5Syv -- 2? 0n == 0n j8 [5* + 4y = 0

A = 8* + 5_v-20 A = 4y + 5*

ÉL= 4y + 5* - A = 0

==> y = 2 0 -3 *

Si x + y - 10 = x + 2 0 - 3x = 10 => x = 5 , y = 5 Es decir para minimizar los costos de reparaciones es de 5 inspeccionesen un punto

ÉL

y 5 inspecciones en el otro punto.

(x + y - 1 0 ) = 0

como x + y - 10 = 0

x + 20 - 3x - 10 = 0

*=5 y=5

para minimizar el número de fallas se necesita hacer 5 operaciones de reposición

©

Usando los multiplicadores de Lagrange, determine la utilidad (ganancia) máxima si la función de producción es z = 2 0 - x 2 + 1 0 x -2 y 2 +5y , los precios delosinsumos x e y son 2 y 1, respectivamente, y el precio del producto es 5.

para un elemento y 5 para el otro. b)

~

80 100 Pero no satisface la condición x + y - 1 0 = ------------- 1 0 ^ 0 falso 7 7

dy

3A

_ 80 x

100 y= —

/•"(*,y, A) = 4x2 +2 y 2 + 5jiy ~20* + 3 0 -A (* + y -1 0 ) dF = 8x + 5 y - 2 0 - A = 0 dx

y = 20 - 3x

Desarrollo

Si el total de inspecciones es no menor que 10. C(x,y) = 2 x + y , costototaly R (x ,-) = 5z = 5 (2 0 -x 2 + 1 0 x -2 y 2 + 5y) C = 4*2 + 2 y 2 + 5 * y -2 0 x + 30 sujetoa v ----- v--------------- ' función objetivo

x+y>10 s v '

función restricción

aplicando las condiciones de KUHN - TUCKER

dx

d_ (4x2 + 2 y 2 + 5 x y -2 0 * + 3 0 )-A ~ -(jc + y ~ 1 0 ) = 0 dx

, — (4x2 + 2 v2 + 5x y - 20* + 30) - A (* ■+y -1 0 ) = 0 dy dy A(*+ v -1 0 ) = 0 * + y - 10 > 0

R(x, y) = 1 0 0 -5 * 2 + 5 0 * -1 0 y 2 +25y , el ingreso total P(x, y) = R(x,y) —C(x, y) = (100 —5*2 +50* —10y2 + 2 5 y )-(2 * + y) P(x, y) = —5*2 + 48* —10y2 + 24y + 100 dP = -1 0 * + 40 = 0 dx dP = -2 0 y + 24 dy

*=

24

5 6 " =5


415

<álcuio Diferencial u = q 2.q2 ; P\ = 4 ; P2 = 5, 4
£ - 1 0 , dx'

20. g . O dydx

dy

aplicando multiplicador de Lagrange se tiene: F(ql ,q2,X) = q2q2 - A(4g¡ + 5q2 - 120) ~

3*

.~ - (| ~ ) 2 = (-1 ° )(- 20)- 0 = 200 > O y dy dydx

entonces en el punto

24 6

como

dx

y

dF

dy

dqx

se obtiene Pmax - 229--

dF

= 2qxq2 -4 A = 0 2 = q ( - 5A = 0

A= ^ 2 n

A=—

Empieando los multiplicadores de Lagrange, determine la utilidad (ganancia) si la funci oA

de producción es z = 20 - x 2 + 10* - 2 y ’ +5}’ , los precios de los insumos x e y son ca

- ( 4 ^ + 5 9 ,- 1 2 0 ) = 0

pero 4q, + 5^, -1 2 0 = 0 => 4qx+ 2qx =120 Desarrollo

1_ x =2 5

dy

y -2

= _24* + 6 .y -3 = 0 ox dP ^ — = -1 2 y + 6;t + 27 = 0

= _24,

Í f . - B . dy~

q2 = 8

P(x,y) = ~-I2x2 - 6 y 2 + 6 x y - 2 7 y - 3 x + 60

dP

dx

,

9 =20

u = (20) (8) = 3200

Sea C(x,y) = 3x + 3y, R(x,y) = 6z = 60-12jc2 + 6 x y - 6 y 2 +30y

^

5

5

uno igual a 3, y el precio de! producto es 6.

P(x,y) = R(x,y) - C(x,y) =>

2q: =* ?2 = —i

dydx Las cantidades que maximizar la utilidad son qx = 2 0 , q2 = 8

c)~P r)*" P

c ftP

A = — A s - í — r )2 = (-2 4 )(-1 2 )-3 6 = 2 5 2 > 0 dx dy dydx

r)^ P

y como - - - - < 0 dx

y — dy

<0,

16)

Si la función de utilidad (satisfacción) del consumidor es m= c/¡ .<72 ~ 9 2 . ^ = 3 , P2 = 6 y y° = 90, determine las cantidades g, y q2 que debería comprar para maximizar la utilidad

entonces en

se tiene máximo y P[mx =17 que se deriva de ellos. Desarrollo

Si la función de utilidad (satisfacción o provecho) del consumidor es u = c¡¡.q2 , /¡ = 4 , P2 = 5 y y° = 120, determine las cantidades minimizar la utilidad. Desarrollo

«=

-9 i2 > 3<7i + 6q2 = 90

F ( 9 , , 92, A) = qv,q2 - q2 - A(3qx+ 6 q2 - 90)

Eduardo Espinoza Ramos dF_ = q2 - 2qx - 3A = O dq, dF c)q2 dF ~dA

como 5 + 1 0<72 - 90 = 0 => 5g, + — 6

A . -
z=qx- 6 A = O

417


= 90 => 40^, = 90(6)

L* - 4

3 A=ÍL 6

= -(3 qx + 6q2 - 90) = O

27 2 9

2 27 9 Las cantidades que debe comprar de qx y q2 para maximizar su utilidad son y y respectivamente.

como 3 qx + 2g 2 = 30 a, + 5 <7, = 5 , q2 = 12.5 reemplazando se tiene: u = (5)(12.5)-5 2 -3 7 .5

( l 8)

Si la función de utilidad del consumidor es u = qx.q2 ~2>q\ ; Px = 10, P2 = 15 y el ingreso del consumidor en el precio considerado es 180, determine las cantidades qx y q2 que debería comprar para maximizar tal utilidad. Desarrollo Aplicando multiplicadores de Lagrange

u = qx.q2 - 3 q l , pxqx + p 2q2 = 180 => IOí?,+15<72 = 180 => 2qx + 3q2 = 36 Las cantidades que maximizar la utilidad son qx = 5 y q2 =12.5 F(qx,q2,Á) = qx,q2 - 3 q\ - A(2qx + 3q2 -3 6 ) Si la función de utilidad del consumidor es u = qx + 2q\ +Sq[.q2 ;

= 10, P2 = 15 y el

ingreso del usuario en el periodo es 90, determine las cantidades qx y q2 que debería comprar para maximizar la utilidad que de ellos obtiene. Desarrollo

dF = q2 —2 A = 0 dqx dF

Aplicando multiplicador de Lagrange se tiene:

dq2

u = qx + 2q¡ + 5qx.q2 , pxqx + p 2q2 = 90 es decir 5q, +\0q2 = 90

dF dA

= qx - 6¡y2 - 3A = 0 = ~(2qx + 3<72 - 36) = 0

~ 2 A _ g ,~ 6 q 2 3

15

F(qx,q2,X)--= qx + 2q\ + 5q¡,q2 - A(5
como 2#, + 3 ^ - 3 6 = 0 => 2 g , + ^ - = 36 =» 2q¡ + =>

x _ 2q2 +5q2 5 X - - - 4 q 2 + 5 q i

10

= 36

9i -1 5 q2 = 2

q2 = 9i Las cantidades que debe comprarse qx y
Eduardo Espinoza Ramo\

3.21.

419

( aleuto Diferencial 3

SUCESIONES Y SERIES.-

es convergente por ser una serie P = —>\

PROBLEMAS como an
En el caso de cada una de las series siguientes, diga cual es el primer termino y determ ina

es convergente, entonces por el criterio de comparación rt-1

si la serie es divergente o convergente (condicional o absolutamente, tratándose de se rie i* directa ÍT

altemos).

£)

i ¿ ( - i r 1n2 +1 n=\

©

Desarrollo

Aplicando la propiedad: Si

un | es convergenti n=l

Aplicando la propiedad si lim an * 0 => ^ ---- — es divergente n -4eú “ , H 4- / n=l n + 2

u„ es absolutamente convergente.

entonces la serie

n=l

Como a - — — => lim an = lim ---- —= 1 / 0 n +2 n->~ »-*•= n + 2

°° 1 00 1 y | (-1)"+1 —z— | = y —— es convergente. tt « +1 t í " +1

En efecto an = —-— < ^ — = bn => n +\ n¿ 00 comparación > ——

Por lo tanto Y — — es divergente. “r - \ n + 2

\ \ es convergente entonces por el criterio ~ n 2

1 es convergente. Por lo tanto > (-1)"+1 ——

convergente.

n~l

- ■2 Desarrollo

un es una serie alternado; si n=l

es convergente.

| es absolutamente

=i Desarrollo Por el criterio de comparación directa.

Si

n2 +1 Desarrollo

Aplicando el criterio de comparación directa

oo ” .^ ^Ta,, es una serie y bn < an donde ^ b n es divergente entonces ¿¿a,, es „=1 n=l «“I

divergente. Como ln(n) < n => 1 + ln(n) < n + 1 => ---- < -—-— b n + 1 1+ ln/i

de donde > ----- es divergente entonces > — — - es divergente. ■ “1= 1 n + i r<1-1í 1+lnn <


< uh ulo Diferencial

421

y (i)n+i — í— Desarrollo

Desarrollo

«n = ( - D n+1— (2n + l)!

=* «n+1= ( - i r 2

( - l ) n+2 r

Ì

¡“m i!

1-

I

1 (2n + 3)!

2h

, <\n+2 (n + l)2 I ____2n+1 k = lim I-4±L |= Jim | -----------— |= lim, ,| , ( - i r 2(/. + l)22” »-»«■' un ' «-»«•' n2 «->“ (-l)" +1«22n+1

1

(2/1 + 3)! |

..

(2/1 + 1)!

k = lim !—5±i-|= lini ¡--------- — :-------1= h m 77-—^ 7 ;i-» ~

Un

»-*«■

f . ì-.n+i

J

=> “n+. = ( - i ) ,,+2(n+1)2 —n+l 2i

n -» ~ (ZH + 3 ) !

2"

(2/1+1)!

(n + l)2 1 n + 1 21, = hm - = - hm (------) = - < 1 w->o° i r 2 2n-+°o n 2

(2/1 + 1)! 1 = h m ------------------ ----------- -- lim --------------------= 0 < 1 »-♦- (2/i + l)!(2n + 2)(2 n + 3) «-»- (2n + 2)(2/i + 3) °° 1 por lo tanto ^ ( - l ) n+1---------- es absolutamente convergente. a (2 n + ,)!

Por lo tanto

(n + 3)!

(n + l)(n + 2) In-1 “

'* n^ (- l) " +l — es absolutamente convergente. 2‘ n—\ L °°

n=0 3!n!3"

.n! ..

Desarrollo

Desarrollo (n + 3)! (n + l)(/i + 2) U„ = ------------------------

(/i + 2)(n + 3) =>

3!.n!.3"

M_.. = -------------------------

ni

(n + 4)! "+1

3!(n + l)!3n+1

(n + 1)! (n + 4)! (n + 2)(n + 3)

, ,■ i Mn+i . ,• , 3!(n + l)!3"+l . . (n + 4)!n!3" . 1 ,. n + 4 1 k = lim = hm — — = hm — i---------------------------------------------------r = «->” un «->“ (n + 3)! «-»“ (n + 3)!(n + l)!3 3n->°°n + l 3 3!n!3"

.. i un+\ . .• ¡ (n + 1)! i ,• (« + 2)(/i + 3)/i! A: = lini - 2±i- = Imi ¡—— —---- — ¡= iim ----- —----- —----- — n-*~ un n->“ (n + l)(n «-»«> (n + 1X/1 + 2)(n +1)! _ + 2)

V 1(/i + 3) ! . , por lo tanto > ------- — es absolutamente convergente. n=o 3!n!3

(n + 3)n ! n+3 = iim ------------------ = iim -------- - = 0 < 1 n -> ~ ( n + l ) ( / i + l).w !

»-►“ ( « + 1 ) “

© por lo tanto

y 1 »1=1

+

p - > r ' £

es absolutamente convergente. Desarrollo


«n = H )

( úlculo Diferencial (n + 1)! t i i “ »h i ,• i 9n+1 i •• 9"(n + 1)! 1 ,. (n + 1)!1 k = lnn 1 - ^ 1 = lim ¡ - 2 —— 1= l i m— —- = - l u n - ----- - = - hm (n + l) = »

^_j^n+2

n+1 2” n~ + 1

=> Unfl =

423

(n + 1)3 +1

n—>o°

Uf¡

n-*°o

H!

n--><*> 9

.AZ!

9 w—>°°

ÌÌ !

9

9n

(_l)«+22»+i ,

..

, (n + 1)3 +1 , ,.

por lo tanto

2"+1(n3 +1)

* - ! Z 1i f l=i™1T í F T l= ” 5 W 7 > Í

/i ! - es divergente. n=] ^

n3 +1 3

1

00

: 2 lim —“—■—— = 2(1) = 2 > 1 M—ion / »» _!_ I V

Y

por lo tanto ^ ( - l ) " +i

2W

t í 10(2«-D es divergente.

Desarrollo

1

io "

"

n2 -----10(2n -1)

(n + 1)2 => «n+i = "+l 10(2n + l)

^n-1 ni Desarrollo 10" «„ = — n!

>+l)2 t r i un+\ i i- i 10(2« +1) . 10(2n-l)(n + l)2 2 n - l n + l s2 , £ = hm | -2±¿-1= lim | — — i-1= lim — ------ - — = lim --------(------ )2 = 1 n-*~ un n->~ ««-+■» 10(2n + l)n «->«■ 2n +1 n

10"+1 => «„^.1 = "+1 (n + 1)!

fo ^ -ü

10n+1

1 * 2 no hay información p e r o ------------ < ------------- de donde > -------------- es divergente. 1 0 (2 n -l) 10(2n -1 ) ^ 1 0 (2 n - l) 5

k = lim | ~ | = lim l ~ ~ ~ l = lim »-*“ ' un ' n-w ' 10" ’I-*“ 10* (n +1)! T í

~ n2 L: ego por el criterio de comparación directa V — ------- es divergente. n=i ^®(2n 1)

= 10 lim — = 10 lim — — — = 10 lim - i - = 0 < 1 «-»»(n + 1)! n-»~n!(n + l) »-»~n + l B)

■v-i 10’“ por lo tanto > ---- es divergente. ¿~i n I H=l> « !

n=l Desarrollo 1 ~ Como —< e n donde n

V '1 n ' JLiQn n-\ y

'IT' 1 > — es divergente “ n n=l

Desarrollo n\ ^

(n + 1)! “"+‘ _ gn+l

Luego por el criterio de comparación la serie

es divergente.

n=l

Eduardo Espinoza Ramos >>n

X fr

|(-1 )

». 2n «=o

Desarrollo

3 ri

.

».=h » - -

/ i\*+2

425

( tilculo Diferencial 2 i 3/2^ ~ 1 —------ 1< 2 , — 4 n=0 ^ 2 3/2 ^

°°

n=

(-1)"+23"+i

o

4 10

1 (5 n -2 )4

n =0

r , (« + 1)2"+1 , n.2”.3n+l 3 .. n 3 , lnn ¡—----- ------- = h m ---------------------------- ;— = - lim --- = - > 1 (—1) 3" «-** (n + l).2 3 n +l 2

Desarrollo

n.2n

10

10

! (5 n -2 )4

xt' \ 3n esto quiere decir que V (-1)"+1— — es divergente. n=l

— J «+l

0 < an+l < an , V n y además lini an = lim ---- —- = 0 n— >°° n— _ (5 n - 2 ) 4

s«+l 3h -1

«=0

i (5n + 3)4

n 2 "

comparando se tiene:

S (- 1)n

1

tiene que ^ T ( - l ) n+!---- -— es absolutamente convergente.

o/i+l

3

+1

, k = lim ¡ - 2 i‘n~>™ un

es convergente por el criterio de comparación directa se

4"

^

Luego por el criterio de Leibniz la serie es condicionalmente convergente. Desarrollo

'*)

S < -» n=0

n+i (n + 3)! 3- , J

Desarrollo ( - l) ',+2(3n + 2) , r ! 1, ,• I 4"+1 ■ .. 4"(3«+ 2) 1 3n + 2 1 &= hm | - = hm ¡------- -¡---------- = lim — ~------------------------ — = -• h m ---------- = - < 1 n-»~ wn n-»~ (—l)”"1” (3n —1) n~*°°4 (3n —l) 4«-»“>3n —1 4 4« ' por lo tanto la serie

( - !)'!+1 »-o

es convergente absolutamente.

( - l ) " +1(n + 3)! _

( - l ) n+2(/i + 4)!

=> u„+1 -

3„

(- l) " +2(n +4)! lim |Ííü±L |= iim ¡------ J f -------- 1= lim 3" «->“ un n->°° (—!) (« +3)! n ->~ 3 (n + 3)! 3»-!

4 J

v.' ■■

1 (n + 3)!(n + 4) 1 . .. = —hm ------------------ = - hm (n + 4) = +°° 3«-»“ (n + 3)! 3«~*~

3n 3 -1 X < -»

«.-o

4" Desarrollo

por io tanto la serie > (-1) n~0

| í f j 4- 3 ) ^

3

es divergente.

Eduardo Espinoza Ram of

426

@

illculo Diferencial

n+2 X . (_1)',+ n + 1 n=l

427

= 9 lim —- — ------= 9(1) = 9 > 1, por lo tanto la serie V «->~(n +1)2 +1 .

2+l

es divergente.

Desarrollo f%~\~ 2

Como lim an - lim ------ = 1 * 0 , entonces la serie > (-l)"*1------- es divergente. n ~>oo „_>oo ti 4-1 n + 1 «=1 oo

§>

2)

¿ í - i r '- i . tí V« Desarrollo

"i,

1 a n = -;=■ r~ => ~ “«+1

s#1=1f r

1 /---- r

V«

Vn+1

Desarrollo >v «„=— n!

(n + 1)3

=* Mn+,

( a h - 1)!

como Vñ < V ñ +1

. ,. de donde

=> —. J = < -|= r, de donde all+l
además lim a„ = lim - = = 0 . n —>oo

<£±1>1 «-»«»

tín

n3

«!

. « + 1 ,3

1

-,

,

= lim (.------) -----------= lim (------ ) ------= 0 < 1 «->■» n n!(n + l) «->“ n n+1 /J —- es convergente

por lo tanto la serie i

M=1

y

32”-'

é « 2 +» Desarrollo

ft

Luego por el criterio de Leibniz, la serie es condicionalmente convergente.

n -> ~ ¡i ,(ji + 1 ) !

ñT « + L 3

rt-»oo


C A P IT U L O

429

Cálculo Integral

2 - 2 du.. 1 f ! . 3 4 3 5 í (2 —l t ) 3dt = f 1*3(-— ) = - ¡ u 3du= — «3 + c = ~ ( 2 ~ l t ) 3 + c J J 7 1* 35 35

IV

(3 )

j j 2 + 5ydy

Desarrollo

4.

CALCULO INTEGRAL.

1.1.

REGLAS PARA LA INTEGRACIÓN.0

3

j J 2 ^ d y = i J (2 + 5 y ) 2 5 ¿y =

dx

JúÍX = x + c

®

©

Jk dx = A:J d x ,

k constante cualquiera

@

J (du + dv) = ^du -f d v , donde u = f(x) y v= g(x) son funciones diferenciables de x

v ~/

í xndx = --— + c , n ¿ -1 J n+1

®

(2 + 5y)2 +

L (3.a + . 2)2 , Desarrollo

1

du Sea u = 3x + 2 => du = 3 dx => tic = — 3 í/jc (3jc+ 2)2

------------ =

r

f du ■» 3a

1 f _2 , du 3j

rr — I u

1 , 3«

1 , 3(3*+ 2)

= --------- 1- C = ------------------------Y c

3rdr

\ u ndu = ------- he, n * -1, en la cual u = f(x) es una función diferenciabie de x. J n +1

Desarrollo

.2.

PROBLEMAS. Sea u2 = l - r 2 = > 2 u d u = - 2 r d r = > r d r = - udu Evaluar las siguientes integrales.

)

f 3rdr

J*(jc2 -- V3c + 4 )dx

J

~udu " J u

f -u—r d u j+-3c \/l - r 2 a fdu =-3w + c = —„3vl

J

Desarrollo fó )

J x ^ 2 x 2 +1 dx

í (x 2 - - J x + 4)dx = í (x2 - x 2 +~4)dx = — ~ + 4 x +c «* J 3 3* 3 .'•*•

Desarrollo Sea

)

9

7 ~ , j J lldU = 2x +1 = > 2 u d u = 4xdx => xdx = - - —

¡ ( 2 - 1 1) Desarrollo Sea u = 2 - 7t => du = -7 dt => di -

du

J ___— f $ udu 1f 2, m3 .(2*2 \xsl2 x2 + l d x ^ j y j 2 x 2 + l x d x = j u . - Y = - j «
+1)


•30

f ilíenlo Integral

431 —

j)

j(y fx

( x \ f x - 5 ) 2dx = j ( jc3 - I O J

+- ~ ) d x Desarrollo

x3- l

(B>

4

5

+25)¿¿c = - — 4jc2 + 2 5 í + c 4

dx Desarrollo

1 1 2*2 ' = J ( * 2 + •* 2 )dx = +..............2x2 + c(

J (sfx +

x -l f ( . t - l ) ( . r + x + l) f 2 x3 A2 ------ £¿t= I ---------------------- d x = \ ( x +.V + 1)dx = — + — + x + c x-l J x-l J 3 2

(z + \)d z

D

x-l

jc2

i yfz2 + 2 z + 2 (•>)

Desarrollo

(2x + 3)dx Desarrollo

Sea

w3

=

z

2+2

z

+ 2

=* 3w2d w = 2 (z + l)dz

3w2 => ( z + l)dz = —— dw (2x + 3)dx = x +3 x + c

f —p £ Í ^ ¿ = r = — f —

■* >/z2 + 2z + 2

2J w

rfw = —

\w d w

= ^ - + c

2J

4

= —(z 2 + 2 z + 2 )3

+c

(X2 - yfx )d x

4

Desarrollo

*)

J

2*

J

{ l z * i ± * * L d x = - L \ ( x ~ 2 - 4 x 2 + 4 x2)dx J V2* V2 J '

VI

J

($

2jc2

3

3

s¡2 + 5 y

dy

Desarrollo

i I o 2 8 i__ 4 4 , = 4 = tÍ 2 x 2 - - jc 2 + - * 2) + c = > ¡ 2 x ( l - - x + - X 2 ) + C 4l 3 5 3 5

Sea z 2 =2 +5y =* 2z dz = 5 dy => í/y = 2~.dz

afjc

$

-3

( x 2 + y f x ) d x = f ( x 2 - X 2 ) d x = —— —— + c

Desarrollo

jy j2 + 5y dy = j 2 ”

J <\Í2x

^ = | J z 2*

= ^ z 3 + c = ^ ( 2 + 5 y ) 2 +<

Desarrollo

(8> 2* = ~ £ '

íí)

dy Hallar la ecuación de la curva que tiene pendiente — = 2 * - 5 y que pasa por el punto dx

(5,4). Desarrollo dy — = 2x - 5 => dy = (2 x -5 )d x integrando dx

f ( W I - S ) 2 rfx

D esarrollo

Eduardo Espinoza Ramni

j dy = j (2x - 5)dx

Cálculo Integral

433 dx

=> y = x 2 - 5 x + c

—f =

+ C =>

\l2ax

p = ------------h C

V2
para x = 5, y = 4 se tiene 4 = 25 ~ 25 + c =» c = 4

dy Hallar la ecuación de la curva que tiene pendiente — = (x+l)(.v + 2) y que pasa por el dx 3 punto ( - 3 , - - )

a

para p = 2a, cuando x = — 2

==> 2a = a + c de donde c = a entonces p = ^ ^ —+ a a

para x = 2«3 => p = 2 a + a = > p = 3a ©

Hallar la ecuación de la curva para la cual y '" = 2 y cuya pendiente en su punto de inflexión (1,3) es -2.

Desarrollo

Desarrollo dy — = (x + 1)(jc + 2) dx r

e

j d y = j ( x 2 +3x+2)dx

o dy —(x + 3x + 2)dx

integrando

d*y , — f = > •= 2 dx3

X3 3 => _v = — + ~ * 2 + 2x + c

d 2y como (1,3) es punto de inflexión entonces — —= 0 para x = 1 =* 0 = 2 + c => c = -2, dx

Si - = 2 x - 3 siendo y = 2 cuando x = 3. Hallar el valor de y cuando x = 5. dx Desarrollo dy — = 2 x - 3 => dv = (2x - 3) dx integrando dx

J dy = j ( 2 x - 3 ) d x + c

.

Para x = 5, y = 2 5 - 15 + 2 = 12

dedonde dy — = x -2x+c dx entonces

=> y = jc2 “ 3 * + c

cuando x = 3, y = 2 = i > 2 = 9 - 9 + c = * c = 2

d 2y => — f = 2* + c <¿t2

.

^-~- = 2 x —2 dx2

=> — = f(2 x - 2)<¿x + c á J

2¿y como la pendiente es -2 en (1,3) entonces para x = 1, - = -2 dx

— = x2 - 2 x +c dx

=> -2 = l - 2 + c = > c = l

entonces — = x 2 - 2x +1 dx

=> rfy = (jc2 - 2x + l)¿ r

jd y = ^ ( x 2 - 2 x - l ) d x +c

=> y = — - J t‘ - x + c

y = x 2 - 3x + 2 \ y = 12 por ser (1,3) punto de inflexión entonces está en la curva es decir:

Si — = —= L = , siendo p = 2a cuando x = — , hallar el valor de p si x = 2a3 ¿x V2ax 2

„ 1 , , 14 3 = — 1-1 + c =» c = — 3 3

x3 214 >>= ------ x - x + — 3 3

Desarrollo ~ - = -=L=r dx

s¡2ax

=> dp = -^L=- integrando \¡2 a x

4 Hallar la ecuación de la curva para la cual y ’ = - j y que es tangente a la recia x3 2x + y = 5 en el punto ( 1,3).

Eduardo Espinola KamaM ..... ..............- --- ----------

( lilculo Integral

Desarrollo

435

3

Sea L: 2x + y = 5 =» mL = 2

X y = — + 2x + c como (1,2) esta en la curva entonces 6

d 2v „ 4 dv f 4 dy 2 . . . . dy A —— - = y = —— => — = — dx + c => — = — -- + c dedonde para x = l , — = - ■ dx x3 dx J x* dx x2 dx

.'.

-2 = -2 + c = > c = 0 => — = — dx x

@

=> d>’ = — ~ d x => íd>’= f — \ d x + c x J J x

2 y = —+ ccomo (1,3) esta en lacurva entonces 3 = 2 + c x

=> c = 1

y™—+11

2 j

(0,2) j i

10 d 2y como (-1 ,— ) es punto de inflexión => en x= l, — ~ = 0 de donde 0 = -4 + c =* c = 4 3 dxr

Desarrollo

d 2y dy ? — - = 4 x + 4 => — = 2 x ' + 4 x + c como la pendiente es cero en el punto (0,2)

=> — = 2*3 + c dx

dx

dx

dy

x4 + cx + k C : y = —2 (0,2), (-1,3) e C

Hallar la ecuación de la curva que tiene pendiente cero en el punto (0,2), tiene punto de

d 3y d 2y — f = y " = 4 => ——^ = 4x + c dv3 dx2

(1,3).

í f . y W dx2

*3 f-2x+— o 1 v = ---6 6

inflexión en (-1 ,— ), y tiene y = 4 3 Desarrollo

x i

Hallar la ecuacióndela curva para lo cualy" = 6x2 y quepasa por los puntos

1 1 2 = —v2 + c => c = — 6 6

entonces para x = 0, — = 0 dx

2-0+0+* k= 2 1 => 1 3 = —- c + ¿ c=— 2

...

2

4 x x M y= _ + - + 2 2

0 = 0 + 0 + c =¿> c = 0 de donde — = 2x2 + 4x dx

2¿>

|q

y ~ — - + 2x 2 + c , como pasa por los puntos (0,2) y (-1, — ) se tiene:

Hallar la ecuación de la curva para lo cual y ” = x y que pasa por el punto (1,2) con un 2=0 +0 +c=>c = 2

9 v3

y = ----- + 2x2 + 2 3

Desarrollo d 1y „ dy x 2 dy — f = y ”= x =>~ — — c para x = l, — = dx dx 2 dx

5 2

4.3.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL ADMINISTRACIÓN Y LA ECONOMIA.A)

5 1 » — —-be => c = 2 =» 2

2

y

2 «

2)dx

EN

LA

cosm -

dy dx

2

d

x2 — = -i- 2

INDEFINIDA

y = f(x) es la función de costo total de producir y comercializar x unidades de una mercancía

2

=> J dy = j (:~~+2)dx +c

y = -----/ ( * ) es el ,costo promedio por unidad. j . — x x


437

Cálculo Integral ( 2)

Si R'(x) = 0 y R(0) * 0 ¿Cuál es la naturaleza de la curva de demanda?

— = / '(*) es el costo marginal dx B)

Desarrollo

INGRESO«-]

R(x) = x f(x) => R \ x ) = f ( x ) + x f \ x ) = 0

y = f(x) es cualquier función de demanda, donde “y” es el precio por unidad f ( x ) + x f \ x ) = 0 => - - - - - = - — integrando f(x) x

“x” es el número de unidades. R = x.y = x f(X) es el ingreso total

\ ^ —^ - d x = - \ — +c =» ln f(x) = - ln x. k

J ff((xx))

— = R '(x) es el ingreso marginal dx fe

f ( x ) = - 1xk

RENTA NACIONAL CONSUMO Y AHORROS^]

J x

xf(x )= Y k

c = f(x) es la función consumo donde R(x) = \- =* K ( 0 ) = 4 * 0 k k

“c” es el consumo nacional total “x” es la renta nacional total

Luego la curva de demanda es una hipérbola da — = / '(-*) es la propensión marginal a consumir dx

(J)

Si el costo marginal es constante, demostrar que la función de costo es una línea recta. Desarrollo

si x = c + s, donde s son los ahorros, entonces

I»

dS , dC .. . , . — = 1 ------ es la propensión marginal a ahorrar. dx dx

dy dy — = f X*) costo marginal, pero — = c , c = constante dx dx

PROBLEMAS.-

dy = c dx => | dy = jcdx + k

--=> y - ex

+k

es una línea recta

Si el ingreso marginal es una constante diferente de cero, demostrar que el precio es ■constante. Desarrollo Ingreso marginal = — - c t- 0 dx

( 4) ^

La propensión marginal a consumir (en billones de dólares) es — = 0.6 + dx

cuando la I 2x2 renta es cero, el consumo es de 10 billones de dólares. Hallar la función de costo.

=> dR = c dx => R = xc + r para x = 0, R = 0

se tiene r = 0 => R - xc además R = x f(x) es el ingreso total Luego x f(x) = xc -> f(x) = c y = f(x) = c que es el precio es constante

Desarrollo — propensión marginal a consumir dx x renta nacional = 0

;

c consumo nacional = 10 billones

E d u a r d o E sp in o z a

(l( - 0 .6 + — p dx 2x2

integrando se tiene:

de = ( 0. 6+—

Ramos

Cálculo Integral

x = renta nacional - 0

+k

2x^

;

c = f(x) ftmción consumo = 6

ds _ de 1 dr 1 /¡y v pero —- = 1— — = -- de donde se tiene: — = — => cic = = - - = > c = -- + k dx dx 2 dx 2 2 2

c = 0.6x+0.5x2 +k para x = 0, c = 10 reemplazando tenemos: 10 = 0 + 0 + k => k = 10

43‘

para x = 0, c = 6 => 6 = 0 + k => k = 6

c = Q.6x + 0.5x2 +10

La función costo marginal para la producción es y' = 1 0 + 2 4 x -3 x 2 ; si el costo (total)

(2 )

c = /(x ) = - + 6 2

Si el ingreso marginal es R = 1 5 - 9 x - 3 x " , hallar las funciones de ingreso y demanda.

para producir una unidad es 25, hallar la función costo total y !a función costo promedio.

Desarrollo

Desarrollo

J(15 - 9x - 3x2)dx

R(x) = J R \x)d x =

y ' = / ’(x )- 1 0 + 24x - 3.Í2 función costo marginal R(x) = 15x - —x2 - x3 función de ingreso y es el costo total = 25 R( r) Q R(x) = x f(x) => y = / ( x ) = ------ de donde y = 15 — x —x2 función demanda x 2

x es la unidad de mercancía = 1 ~ = 1 0 + 2 4 x -3 x 2 =» í/y = (10+ 24x- 3x2)dx integrando dx j d y = J (1 0 + 2 4 x -3 x 2)
©

y = \ 0 x + l 2 x 2 - x 3 +k para x = 1, y = 25

25 = 10+ 1 2 - 1 + k => k = 4

î

ingreso marginal es— , hallar las funciones de ingreso y demanda x x si R(l) = 6. Desarrollo R(x) = j R ' d x = j ( - \ - - ) d x + k X

^

y = / ( * ) = 10x+12x2 - x 3 + 4 función costo total 3

R(x) = ~ - - 2 ln x +

para x = 1, R = 6 reemplazando se tiene;:

y = — = 1 0 + 12x~ x2 +■— función costo promedio X

X

3

6 = -3-21nl+k

= > k = 9 de donde

La propensión marginal a ahorrar es — cuando la renta es cero, el consumo es 6 billones de dólares. Hallar la función consumo.

.....R(x) 3 21nx 9 f ... J y --------- — r---------- - + — función demanda X

Desarrollo ds • 1 — = propensión marginal a ahorrar = — dx 2

R(x) = ----- 21nx + 9 , función de ingreso x

(9)

X

X

X

Si el ingreso margina! es R ' = 10 - 5 x , hallar las funciones de ingreso y demanda. Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramos ( átculo Integral R(x) = ¡ R ' d x = ¡ ( 1 0 - 5x)dx = lO x -

441

5 a2 x = renta nacional = 0

~2

— dx

y = / ( a) = — — = 10 - —a función demanda a 2

;

c = consumo = 9 billones de dólares

= propensión marginal a ahorrar

c = f(x) = ? = función de consumo Si el ingreso marginal es R' = 20- 3 x 2 , hallar las funciones de ingreso y demanda. de = 1 - 0 .4 dx

Desarrollo

-y integrando

¡ d e = J (1 -0 .4 --- — ^ )dx + k

6a 3

R(x) = ¡ R'dx = ¡ ( 2 0 - 3x2)dx = 20x - . r

6x3

i

c = x - 0 . 4 a - 0 . 5 a 3 +k para x = 0, c = 9, reemplazando se tiene: R(x) = 20a - x 3 función ingreso 9 = 0 -0 -0 +k y —f ( x ) = — —= 20 - x 2 función de demanda x

! c = f ( x ) = x - 0.4a—0.5a3 +9 función consumo

de 1 La propensión marginal al consumo (en miles de millones de dólares) es — = 0.5 h-----dx 3a 3 cuando el ingreso es cero, el consumó es 6 mi millones de dólares, hallar la función consumo. Desarrollo

;

4.4.

de 1 — = 0.5 + — - integrando' c = 0.5a +0.5 a 3 +k para x = 0, c = 6 dx i 3a3 .'.

c

®

J

(a 2

- 2a + 3)dx Desarrollo

2 = 0.5 a + 0.5 a 3 + 6

de 1 La propensión marginal a ahorrar (en billones de dólares) es — = 1 - 0.4-----—, cuando dx 6a 3 la renta es cero, el consumo es 9 billones de dólares. Hallar la función de consumo. Desarrollo

PROBLEMAS.Rvaluar las siguientes integrales

c = consumo = 6 billones

6 = 0 + 0 + k => k = 6

INTEGRAL DEFINIDA.f f ( x ) d x = lim Y f(x¡ )Ax¡ = F(b) - F(a) Ja n— >°° i=1

! 4.5.

— = propensión marginal a consumir dx x = renta nacional = 0

k = 9 por lo tanto

„3 £

(2 )

(a 2

- 2 A + 3)Ja = ( - - -

A2

+ 3 a )/’ =

-1 + 3) - (0) = 1

J (v +1 )dv Desarrollo f1 v2 #i 1 1 í (v + 1)dv = ( ~ + v ) / = ( - + l ) - ( - - l ) = 2 2 • -i 2 2

J-i


442

Cálculo Integral

s>

( 4x + l ) 2dx

r

©

J

(je2 + 1 f d

x

Desarrollo r2

1

Ir2 ( 4 x + 1 )2dx = - \ (4x + \)24dx

Jo

r1

3 ^

4 Jo

.

Desarrollo 3

1

- i2

= —(4;c+l)2 / 6

13 = —

» 0 3

í J-i

( x 2 + \ ) 2dx = f ( x 4 + 2 x2 + \)dx = ( — +

+

3

x)/

' -

dx

í (2x+l)3 Jo

1 2 1 2 2 4 = (—+ —+ !) —(-----------1) = - + - + 2:

v-------,

Desarrollo r1

5

J-i

dx

2 dx 2 J o (r 2jí ? r ++ n1)33

_ 1 f1

J oo (2a: í 9 r ++ 1) n3

5

_

3

5

3

5

6 + 20 + 30

3

15

1/ ' _ 1 ^ 1 ^

4
44 9 9

36 ~ 9

(

9)

(a + z)dz

J

Desarrollo 0

j \ ( t + 2)2dt C2a

Z2

(a

Desarrollo

t la

+ z)dz = ( a z + -—■)/

Ja

2

■) = (2 a

• a

1 ■y a 2 5a 2 + 2 a - ) - ( a ~ + — -) = — 2 2

4

I 2t(t + 2)2dt = j \ t * + 4 t 2 + 4 t ) d t = 32

ox

81

+

108

+ 2 t 2) I *

1C1

109

,

10)

I ^-Adx J,1 x4 Desarrollo

7;

= ( 4----- + 8 ) - ( ----------- + 1 8 ) = ------- 6 = — 3

®

4

3

12

12

f 2 X —1 f / 1 1 w , 1 1 , / 2 , 1 1v , , K — 7 ~ d x = \ ( ~ T — r ) dx = (— + ~ r V , = (- T + ^ 7 ) - ( - 1+t ) Jt4 Ji x2 x4 X 3x3 ' 1 2 24 3

\2( x l + ~2^dx

Ji

Desarrollo

^

.8 I j

f (* 2 J2

®

r

+ -U ¿ X

(2 0 +

= ( - - - ) / ’ =

JC2

3

x '

2

( - - ! ) - ( - —

3

5

3

) =

2

29 +

-I

( u 3 —u

*)du

293 —

10

Desarrollo

10 f 8, í (m Ji

1X3- 6 ) d 6

—m

, 3 x 3 r .8 ~~u )/ = 4 2 ' 1

3 )
Desarrollo 2 ) J 3( 2e +1)(3- 9 ) d d = J (3 + 50 - W 2)d9

3

3% ,

3 27 4 4

( 1 2 — 6 ) — (— ——) = 6 + — = -—-

J ° (2* + x2 - *3)<¿c Desarrollo

4 2

444

I ì)


( a 3 + 3 ax2 +

í

Ja

( álculo Integral

14.6.

x 3 )dx

445

ÁREA COMO INTEGRAL DEFINIDA. Trazar cada una de las siguientes curvas y determinar el área comprendida entre la curva,

Desarrollo

el eje X y las ordenadas que se indican. X \ /2a (a3 +3ax2 + xi )dx = (a3x + a x 2 + — ) /

í Ja

4

(T )

I a

y = V x , x = 1, x = 1 6

Desarrollo ■(2 a 4 + 8 a 4 + 4 a4) - ( a A + a 4 + ——) = 1 2 a 4 - — = - - - ■4

4

4

A = \ 16 y fx d x = —x 2 f 16

Ji

Í5)

J ‘ (7 Í

Desarrollo

i'fa - \ f x ) 2d x -

í

Jo

3

/ 1

~ \ f x ) 2dx

í

Jo

(a

A = - ( 6 4 - 1 ) = 42 3

- 2 y/a^fx + x)dx = ( a x 4 — > / a x 2 + —- ) / 3

2

>o

@

6

y = 2 x + 1 , x = 0 , x = 4-

Desarrollo p V i - z ) 2*

A = f ( 2 x + l)d x

Jo

Desarrollo f4

Ji

.— ( V z - z ) “
Ji

(z -2 z 2 + z

A = ( x 2 + x ) ^ = 16 + 4 - 0

z¿ 4 ~

z \ , 4(»4—

2

3 • 1

7 ^ 4 ~ 7 ‘^ á ' 4

)dz. = ( - -------- z 2 + — ) /

5

X = 4 /0

128

64

5

3

1

4

1

15

124

5

3

2

2

173

37

: (8-------- + — ) - ( ---------------------------+ - ) = ---------+ 21 = + 21= — -

¡4 )

J

2

10

10

(j)

( x 2 + x ) ( 3 x + 1 )dx

Desarrollo f¿ 2 \ f2 3 a 2 i / 3x 4X X #2 I (x +x)(3x + l)d x = I (3x + 4 x + x ) d x = (------i- -------+ — ) / ■>-1

J-i

4

3

2

7

:(1 2 + 3 2 + 2 ) _ ( 3 _ 4 + l ) = 1 4 + 1 2 _ 5 = 2 6 _ 5 = 1 0 4 - 5 = 99 3

4

3

2

4

4

4

4

>’ = x " , x = 0, x = 1

x

A = 20u


s

Cálculo Integral

447

y = - x 2 + 4je = - ( je 2 - 4x)

3.1 , x = 1, x = 3

y -4 = - u - 2 ) 2

A = f

Jo

( - je2

A =( ~

+ 4x)dx

+ 2x2) /

A =- 16 + 32 = 16 de donde A = 16w'

© y = x 2 - 3 x , x = -1, x = 4

D esarrollo D esarrollo

y =x2-3 x

9 9■> 9 => y + —= je - 3 je + — de donde se tiene: 4 4a

9 3 ? y + —= (■*-—) ' a °

Y-

'j

---------- ----------- ►

I

2

0

\

X

, o 11 37 , ,, A = 5 ------= — por 10 tanto el area es:

j] V

x= 1

3

6

\ J Z

3

A - 1° (x2 - 3x)dx+1 £ (x2 - 3x)dx | +J (x2 - 3x)dx

x=4

X

©

f(x) =

6

2je + 3 , je < 3 - x + 12 , je > 3

.je3

(i

3je2.# o f /- ,+

x 33x2 #3.x3

T _" y / »

i

Q

37 , A- —u

6

, x = 2, x = 5 D esarrollo

f(x) = -x + 12

t

O

A = - + ( — + 1 8 ) - ( - 2 + 12)

A = £ (2x + 3)dx +

J

( - j e + 12)< ¿v

3x2 f / j

11 . 9 . 11 11 9 49 2 A= —+ — = _ +_ = t,z 6 2 6 3 2 6

25

A= (9 + 9 )-(4 + 6 )+ (~ + 6 0 )-(L

A

y = - j : 2 + 4 x , (y eje x) Desarrollo

A = 8 - 8 + 6 0 - 3 6 = 24 por lo tanto el área es

A = 24u2

s> I vo

A = ( je2 + 3 je) / + ( - — + 1 2 je) /


N

I )ctcrminar el área entre la curva y = 2jc4 - x 2, el eje X, y las ordenadas mínimas.

Cálculo Integral

449

Trazar una grafica y hallar el área limitada por las siguientes curvas.

y =2x

Desarrollo

y - x —4 y = 2 je 4 - x 2 =s- y ’ = 8 * 2 - 2 ; t = 0 => (4jc2 - 1)jc = 0 = > x = 0, * = ± ~

y " = 24x2 - 2

=>

y "|^_0 = - 2 < 0 3 máximo

A =|

J°, ( 2 x * - x 2)dx\ + \ j 2(2.x4 - x 2)d x| 2

'4- | m

A = 2\ ¡ 2(2x4 - x 2)dx i Jo 2x5 x3 / A = 2 1(— — )/ , 5 3*0 7 7 A = 2 |( -------) I - -----por lo tanto el área es 240 120

7 2 A = -------u 120

x~ = 2 a y , y = 2a Desarrollo

Calcular el área limitada por los ejes coordenados y el arco parabólico \fx + -Jy = Va A = f 2“ ~ d x - — J J-2a 2a 6a ’ -■

Desarrollo = Vfi - V*

=>

>' = o + X —2-J 2sfx A = — (8a3 - ( - 8 a 3)) = — 6a 3

A = í (a+ x~2-Ja-Jx)dx Jo

8a‘ 2 A = -----u 3

A = (ax + - - - —sfax2) j 2 3 y = x - x 2 , y = -x « 2 ,.2

Desarrollo


Ml

A = f ( x - x 1-(-x))dx

Cálculo Integral

451

y = (x-l)\

y = x2 - x - l

Jo

Y

Desarrollo

t

A = (x2 - - ) í = 4 - 'k / o 3

1

A = * M2 3

^( i y

\

y2 = 4 a x , x2 - 4ay

V Desarrollo

. 3

I y2 = 4ax ^ [x2 = 4ay

/

,

/

/

/

If/ 7

1.2 2

I y —( x - i)

( x - l ) 3 = x2 —x —1

[y = x - x - l

X x3 - 3 x 2 + 3 x - l = x2 - x - l x3 ~ 4 x 2 + 4 x = 0

=> x = 0, x = 2

x4

■= 4ax => x = 4a, y = 4a I da2

A = i ’ [ ( x - l ) 3 - ( x ’ -x -l)]< ix = (

( x - l f4_ x”3 ^ x2 X — + 3 + 2

.2 X )/

‘ o

= f 4‘' ( 2 > / ^ - i l M x

Jo

4a

4 r- I A = (—'Ja. .ax " 3

12a

32 2 64a2 32 16% , 162 A = — a --------------------------------- = (------ ~ )a" = - ~ a 3 12 3 3 3

5>

2

,

¡

Jo

A

5 4

y + - = ( x —z)

1 1 /* /¡ // i 1 / 1

Desarrollo

i y =*

A = (—- —+ 2 + 2 ) - —= 4 - - = —w2 4 3 4 3 3 y 2 = 5 a 2 - a x , y 2 =4ax Desarrollo | y = 5a - ax

=> 4 a x = 5 a - a x => 5ax = 5a

=> x = a ; y = ± 2 a

{y 2 -- 4ax

A= f [(5 a -Z l)-f]d y J -2a a 4a => x = 0, x = 1

b -* 3

v3

A

y3

/2 a

= (5ay——— — ) / 3a 12 • -2a

r~ 2X2 X A = j o( y f r - X i )dx = (— - — ) / o 8« 2 8f l 2 8fl 2x Aa = (a 1n 0 a2 --------------) - ( - 1 0 a ¿2 + ----+ ----)

3

r2 K)w2 - — 5 u2 Aa = (-----3 4 12

12

3

60a —20a 40 2 2 A= = ------------------= — a w 3 3

12


Cálculo Integral

f1

r2 ? 4 A = I (7 - 3 x — -)dx Jl r-

v

r8

\

-

A ~ J i ~ C —2jc —1)]í¿v + J (x 3 - ( ; t - 4 ))dx

Desarrollo

*

453

.3 f

^ - (~ + 2) - ( " +1 -1 ) + (— - 32 + 32) —(———+ 4) 5 5 5 5 2

19 1 2 A = (10— —) = —u 2 2

y = x 2 , y = 8 —jc2 , y = 4x + 12

^ _ 99

;

1 _ 99

3 _ 198-15

5

'

2

2 ~

5

10

183 2 ~ 10 U

Desarrollo y = x , y = x + 2, y = -3x + 16 A= J

(4x + 12~8 + x2)dx + £ (4.X+ 12- x ^ ) d x Desarrollo X \

,6

A = (2x2 + ~ + 4 x ) / 2 + (2x7 + I 2 x - — ) / ^

6

x

A = (16 + | ) - ( - - ) + ( 1 4 4 - 7 2 ) - ( 3 2 - - ) A - 56 + 8 = 64i/2

y 3 = x 2 , 2x + y + 1 = 0, x - y = 4 Desarrollo

2

C

2

X'

A= [ \ x 2T x ^ - 2 )d x + ¡ \- 3 x +l S - x - 2 ) d x = ( ~ - — - 2 x ) / \ ( - — - — + l6 x )/ Jl J3 3 2 / 2 2 22 / , 11 . 23 , A = ~ + 2 = — «"

6

@ )

6

y = 4 x - 4 , ' ’y =

y~6- x Desarrollo


45:

Cálculo Integral 24)

y = 25 - x 2 , y = (5 - x ) 2

A = f [(25 x2) - (5 - x)2]dx JQ

-+■

A = f ( lO .r - 2 x 2)dx

X

A = (5x2 r6 -2 v l4 A = J -6

-------3

10 125.2 =* A = 25(5- ^ f ) = —^ —u 3 3

r2

x

^

/l

Jo

"^X+

1

, -274

~ X^ ~

~ 4 ^ dX

(25)

y = x 3 - 3 x 2 -IO * , y = -6x Desarrollo

y = .ì3 +3x2 + 2 , v = Xs ± 6 x 2 -2 5 Desarrollo

IH

= (ì 1 _ x3_2jc2) / ° + ( - — + x 3 +2 x 2) / * = 0 - ( —+ l - 2 ) + (- 6 4 + 64 + 32) = 4 4 » - 1 4 '0 4 A = J 3 (~3x2 + 27)dx = (-X* + 21 x) j \ y = (x + 2)(x - l)(x - 5), y = (x + 2)(x - 1) A = (-27 + 81) - (27 - 81) de donde se tiene:

A =108«"

Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramo*

Cálculo Integral

Y y = (x + 2)(x -1 )(x - 5)

-2 /\

y \l

/5

X

i X

y = (x + 2)(x -1 ) »1 A¡ J [(x2 -(sx1 - 1 x + \ 0 ) - ( x 2 + x - 2 )] d x = j (x3 - l x 2 -&x + 2)dx

, x 4 7x3 ,*■ >x a 2 ,~ ^ 93 = (--------------4x~+\2x) =— 4 3 1 -2 4

y = X3 + 3x2 + 6 A = í [ - U 3 + 4x2 -i- 5x) + (jc3 + 3x2 + ó)]dx = - í (jc2 + 5je- 6)dx J-6 J-6

x(x - 3)(x + 3), y = -5x Desarrollo

= - ( — + —— 6X) / ' = - [ ( - + —- 6 ) - ( - 7 2 + 90+36)] = — 3 2 1-6 3 2 6 y = .x - 5 * —8jc + 12, y = x - 6 x +21 Desarrollo

4

4

2^2) / 0i + ( - ^ + 2 x 2) f o = (0 - (4 - 8)) + (-4 + 8) = 4 + 4 =!

xi + 3„r2 + 6 , y —x ¡ +Ax2 +5x Desarrollo

58


A=

J ^[(a3 - 6x2 + 21) —(j:3 —5x2 ~ 8x + 12)]dx = J

44

(~x2 + 8x + 9)dx

® ■ ( - - - + 4 x2 + 9 x ) / ' = (-27 + 144 + 8 1 ) - ( - + 4 - 9 ) = 198-+- — = - - — 3 / -i 3 3 3

.7.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL ADMINISTRACIÓN Y LA ECONOMIA.-

l

PROBLEMAS.Si la función de demanda y = 39 - x , hallar el excedente del consumidor si

a)

DEFINIDA

EN

459

( tí/culo Integral

*0 =-

5

b) Desarrollo

LA

5

a) A)

el articulo es gratis (es decir _y0 = 0 )

25

131

EXCEDEiNTE DEL CONSUMIDOR.excedente del consumidor f ( x ) d x - x 0y0 ,

Excedente del consumidor =

5

= Jq2 (39 —x2) d x - x 0y0

donde y = f(x) es la función demanda o también.


f"V,

g (y )d y , donde

I

,.3 5 , 5, 131, 2215 =( 3 9 x - ~ ) /2 ~ ¿ ) ( ~ ) = 3 1o 2 4 24

655 = 10.41 8

x = g(y) es la función de demanda. b) B)

y0 = 0 , x0 = s¡39

EXCEDENTE DEL PRODUCTOR.-

E ^'o.yo)

Excedente del producto

= x0y0 - j

f( x ) d x

E.C.= f ^ (39 —x 2 )dx = (39 a - — ) / ^ Jo 3 ' o

=26>/39

donde y = f(x) es la función de oferta, o también como excedente del producto donde x

=

f-lo

JlHo g(y) es la función de oferta.

g(y)dy,

©

Si la función de demanda es y = 16- x 2 y la función de oferta es y = 2x + 1, determinar el excedente del consumidor y el excedente del productor en situación de competencia

C)

INGRESO FREN TE A COSTO.-

pura. Desarrollo

La utilidad máxima se determina igualando el ingreso marginal y el costo marginal y la ganancia total es la integra) de la diferencia entre el ingreso marginal y el costo

y = 1 6 -*

marginal desde cero hasta la cantidad para el cual la utilidad es máxima.

y = 2x + l

1 6 - x2 = 2 x + l => x 2 + 2 x -1 5 = 0 =* (x + 5 )(x - 3 ) = 0

Eduardo Espinoza Ramo» de donde

a0

461

í álculo Integral

= 3 , y0 = 7 y = i( 9 - * ) 2 4

excedente del consumidor =

J (1 6 -* 2)rf*-*0y0 = (16*- W

—( 9 - * ) 2 = —(1 + 3*) => (9 - *)2 =1 + 3* 4 4

y =4 (1 + 3*)

. + 3(7)

4

= ( 4 8 - 9 ) - 2 1 = 18

*2 —1 8*+ 81 = 1+ 3 * => * 2 - 2 1 * + 8 0 = 0 => x = 5, x = 16

Si la función de oferta es y = y¡9 + x y *0 = 7 , hallar el excedente para el productor. Desarrollo Excedente del productor = x0v0 - f ° f ( x ) d x , donde f(x) es la función de oferta. Jo -7

^

^

y

Excedente del productor = 7(4) - £ s¡9 + x dx - 28 - [~ (9 + *)2 ] /

.2 8 - ( i H .i8 ,= 4 6 - i “ -1 2 3 3 3 a: Si la función de oferta es y = 4 e3 y x(j = 3 , hallar el excedente para el productor.

(ó ) Desarrollo Para *0 = 3 , >>0 = 4e r\¡ Excedente del producto = x,yn -

Jo

[i f( x ) d x = (4e)(3) -

La cantidad vendida y el precio están determinados en un mercado monopólico, por las *3 funciones de demanda y = —(1 0 -* )2 y de costo total v = — + 5* de tal manera que se 4 4 maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente del consumidor.

-

Jo

Desarrollo

4e*dx X

Ingreso total = xy = —(10 - *)

'y

= 1 2« -[1 2 « 3] / ’ = 1 2 e - P 2 * - 1 2 ] = 12

IM = Las funciones de demanda y de oferta (en situación de libre competencia) son 1 2 i y =~(9~ x) y y (1 + 3*) respectivamente, si se establece un impuesto adicional de 3 por cantidad unitaria sobre la mercancía, calcular la disminución en el excedente del consumidor. Desarrollo

(1 0 - * ) 2

*

- —(1 0 -* ) 2

y = — + 5* costo total 4 3* C.AÍ. = ----- +5 costo marginal 4

ft)


pero IM = CM por lo tanto

(10 - x ? 4

x 3x" ----- (10 —x) = ------ h5 2 4

463

Cálculo Integral

=> x - 2

Excedente del consumidos = J (20—4x2)dx - x0 y0 = f 2- 3 2 = —

/ o La cantidad vendida y el precio en un mercado monopólico,

4 , .1 4 4 8 = ( 2 0 x - —x ) / -16 = 2 0 - —-1 6 = 4 — = 3 '0 3 3 3

3

sedetermina por

(20 - 4 x 3dx - (1)(16)

las

funciones de demanda y = 2 0 ~ 4 x 2 y de costomarginaly ’= 2 x + 6 , de maneraque se

(ü)

Si la función de demanda corresponde a la parte de la hipérbola equilátera y = —~ ~ 2

maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente dei consumidor. situado en el primer cuadrante, y la función de oferta es y = ~ ( x + 3), calcule el Desarrollo excedente del consumidor y el excedente del producto en un mercado de libre Ingreso Total = R = xy = 20 y - 4x3

competencia. Desarrollo

Ingreso Marginal = IM = R ' = 20 - 1 2 x 2 Costo Marginal = CM - y ' = 2 x + 6 La ganancia máxima se obtiene cuando IM = CM 20 - 1 2x2 = 2x + 6 de donde 6 x 2 + x —7 = 0 , factorizando (6x + 7)(x - i) = 0 => x = 1, x = ~ —

se considera x 0 1, y se desprecia x = — por ser negativo 6 como y - 20 - 4x~ para x = 1, y = 16

8 1 En este caso se tiene: y = — —- 2 = —(x + 3) x+1 2 De donde 2(6 - 2x) = (x + l)(x + 3) de donde x2 + 8 x - 9 = 0 (x + 9)(x - 1) = 0 de donde x = -9, x = 1 se considera el positivo x0 = 1 entonces y0 = 8 i 8 * 1 Excedente del consumidos = Jq(---- - 2)dx- x0y0 = [8ln(x + 1 ) - 2x]/ Q-%

= 8 1 n 2 - 2 - 8 = 8 >/2 - 1 0

í)


i*xcociente del producto = x0y0 -

(x + 3)dx = (1)(8)- ( - — + ~ ) / ^ - 8 - ( ~ - + 4

= 8 _ Z _ 32~ 7 4 ~

4

f 'álculo Integral

10) 2

Las funciones de demanda y oferta en un mercado de competencia pura son, respectivamente y = 14 -

25 ”

465

a)

4

a2

y y = 2 a 2 + 2 ; determine:

El excedente del consumidor

b)

El excedente del producto.

Desarrollo

La cantidad vendida y el correspondiente precio, en un mercado de monopolio, estiín x2 determinados por la función de demanda y = 4 5 - x 2 y el costo marginal y ' = 6 + — ilr

Para este caso se tiene: y - 14 -

4

modo que se maximice la utilidad, calcule el excedente del consumidor.

3 a 2 =12

=>

a2

a 2

= 2 a 2 + 2 , de donde

= 4 =» x = ± 2, se considera solamente

a0

= 2 , y0 = 10

Desarrollo Ingreso Total = R = xy = a ( 4 5 - a 2 ) = 4 5 a Ingreso Marginal = R ' = 4 5 - 3

a

a


3

2

•

f1

i

x3 /-

( 1 4 - x ~ )d x - x0y 0 = ( 1 4 a ---------- y

o ~ -(2 )(1 0 )

= 28———2 0 = 8 ——= — 3 3 3

La utilidad se maximiza cuando IM = CM A2

4 5 - 3 a2 = 6 + — 4

Excedente del producto = x0yQ=>

a2 =

12 =>

a=

2-V3

para x0 =2%/3, y0 = 33

( 2 a 2 + 2)dx = ( 2 ) ( 1 0 ) -

+ 2 a ) j ^ = 2 0 - (— + 4 )

| = 16

excedente del consumidor = J j ^ ( 4 5 - A 2 ) < ¿ A - - A o ; y 0 = ( 4 5 x - ~ ) / ^ ~ ( 2 > / 3 ) ( 3 3 )

16

32

3 ” 3

= 9 0 V 3 - 8 V 3 - 6 6 > /3 = 1 6 v/3

©

La función de demanda es y = 2 0 - 3

a

2 y la función de oferta es y = 2 a 2 ; obtenga los

excedentes del consumidor y del producto en un mercado de competencia libre o pura. Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramo* y - 2 0 -3 *

467

('álculo Integral

de donde 2 0 - 3 x 2 = 2 x 2 => x z = 4 => x = ± 2

a)

[y = 2x¿

El excedente del consumidor =

m

2 2x (32 - 2x" )dx - x0_y0 = (32x-)J —(3)(14) 3 • o

= 9 6 - 1 8 - 4 2 = 9 6 - 6 0 = 36

se toma el positivo, Aq = 2 , y0 = 8 b)

Excedente del consumidor - Jq (20 - 3.x2 )dx - x 0y0 = (20* - x3) / ^ - (2)(8)

3 x2

El excedente del producto = x0y0 - Jq 0 ^ - + 2x + 5)dx = (3)(14) -

+ x2 + 5x) j

= 4 2 - ( 3 + 9 + 15) = 4 2 - 2 7 = 15 = ( 4 0 - 8 ) - 16 = 4 0 - 2 4 = 16 (n ) _ . , r2 2 , 2x3 /2 . , 16 32 Excedente del producto - x0y0 — 2x dx = (2)(8)— J " / 0 = 1 6 - — = —-

Obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total Pmax (suponiendo competencia pura) si IM = 2 0 - 2 x y CM = 4 + ( x - 2 ) 2 Desarrollo La máxima utilidad ocurre cuando 1M = CM 2 0 -2 x = 4 + (x -2 )2

x2 - 6 x = 0

=í> x = 0 ,

d

d 2P (IM - C M ) = — —= 6 - 2x de donde dx dx2

d 2P „ dx2

x

=6

6 -1 2 = - 6 < 0 x~6

Luego la utilidad se maximiza para x = 6 Utilidad total = j^ (IM - C M ) d x =

(6x - x 2)dx = (3x2 ~ ~ ) / 0 = 36

Las funciones de demanda y de oferta, en un mercado de libre competencia son, Si la función de ingreso marginal es IM = 25 - 3x y la función de costo marginal es

^2

respectivamente y = 3 2 - 2 x 2 y y = -— + 2x + 5 evalué:

CM = 25 - 7 x + x2 , determine la cantidad que se debe producir para maximizar la utilidad y la correspondiente utilidad total en un caso de competencia pura.

a)

El excedente del consumidor

b)

El excedente del producto Desarrollo

Desarrollo La máxima utilidad ocurre cuando IM = CM 2 y = 3 2 - 2 x 2 = -----v 2x + 5 de donde 7x2 + 6 x - 8 1 = 0 3 27 (x - 3)(7x + 27) = 0 de donde x = 3, x = —— , se considera el positivo Xq = 3, y0 = 14

2 5 -3 x = 2 5 -7 x + x

x —4x = 0 => x = 0, x = 4

d d 2P — ( ¡ M - C M ) = — —= 4 —2x de donde dxK dx2

d 2P dx1

= 4 -8 = -4 < 0 x~4


( (ílculo Integral

469

1-uego la utilidad se maximiza para x = 4 (IM dx

Utilidad total = ¡*(IM -~CM)dx = ^ \ ( 2 5 - ' i x ) - ( 2 5 - l x + x 2)\dx

CM) - ——(20 —4*) = — —= --4 dedonde ~ —~ dx dx1 dx1

= -4 < 0 x=5

Luego la utilidad se maximiza para x = 5 =

Jo

{ A x - x 2 )dx = (2x2 —- —) / * = — 3 ' o 3

Utilidad Total = ¡q ( I M - C M ) dx = j* (2 0 -4 x )d x = ( 2 0 x - 2 x 2) / ^ = 1 0 0 -5 0 = 50

Si IM = 44 - 9x y CM = 2 0 - I x + 2x2 , establezca el nivel de producción que maximi la utilidad y la correspondiente utilidad total (PmM) en un mercado de competencia pura

Si ÍM = 15 - 5x y CM = 1 0 -3 a + 3x2 , determine el nivel de producción que maximice i la utilidad y la correspondiente utilidad total (/>maJ en un mercado de competencia pura.

C1! )

Desarrollo

Desarrollo

La máxima utilidad ocurre cuando IM = CM

La máxima utilidad ocurre cuando IM = CM

4 4 - 9 jc = 2 0 - 7 jc+ 2je2 =*

15- 5 a —10 —3a + 3.y

x2 + a -

12 = 0, factorizando

(x + 4)(x - 3) = 0 => x = -4, x = 3

(3x + 5)(x - 1) = 0 entonces x = 1, x = - — 3

d 2P d 2P (IM - CM) = — - = - 2 - 4 x de donde dx dx~ dx d

= - 2 - 1 2 = -1 4 < 0 x=3

dx

Luego la utilidad se maximiza para x = 3 Utilidad total = ¡ J I M - CM )dx =

dedonde 3.v“ + 2a —5 = 0 , factorizando

C M ) - —( 5 - 2 x - 3 x ~ ) = ( - 2 - 6 x ) = ~—^ d ed o n d e dx dx2 dx2

= -2 - 6 = -8 < 0 x=i

Luego la utilidad se maximiza para x = 1

(24 - 2 x - 2 x 2)dx Utilidad total = £ (/M - C M )dx = £ (5 - 2x - 3x2 )dx = (5* - a 2 - a 3) / ‘ = 5 -1 -1 = 3-

= ( 2 4 x - x 2 - ~ x 3) / ^ = 7 2 - 9 - 1 8 = 7 2 - 2 7 = 45

¡4J9.

Suponiendo un mercado de libre competencia, obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total si CM = 4 - 2 x - x 2

MÉTODOS ESPECIALES DE INTEGRACIÓN.FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN]

IM = 2 4 - 6 x - x 2 y

©

Jdx = x + c

© ©

Desarrollo

©

[ k dx = X-Jdx

J(du + dv) = j d u + J dv

©

: rn+l \ x ndx = - ----

J

r un+] \ u nd u - ----- + c , u = f(x) J n+

©

f du 1— = ln#+c

La máxima utilidad ocurre cuando IM = CM 2 4 - 6 * - x 2 = 4 - 2 x-

jc2

dedonde 4x = 2 0 = > x = 5

1

J u

M+ l

Eduardo Espinoza Ramo•

¡70

(7 )

j e udu = eu +c

(jj)

I tilt ulo Integral

U >

\ a“du=z' ^ ~ +C

I

471

sen xc o s x d x Desarrollo

(? )

(ll)

js e n u d u = -c o s« + c

(ío )

J ígnito = -ln cosM + c = InsecM + c

(l2 ) j c t g u d u = \nsenu + c

jcos«
+ c

Jsen2xcos xdx = J(sen x)2 cos x d x Q>

senr'x -+ c

I sen ax cos ax dx Desarrollo

(O )

I sec u du = In | sec u + ig w | +c

(l4 )

JcosecM<ÍM = ln |co seca -c/g M ¡+ c

(l? ) Jsec 2 udu = tgu + c

(16)

J cos ec2u d u = -ctg u + c

(l7 ) Jsecwigwdw = secu + c

f , 1i , sen“ax J senaxcosaxdx = —J senaxcosaxadx = —------ + c 2a (0

fsec2 - J g —dx J a a Desarrollo

®

Í

^cosecuctgu du = -c o secu he

du

r

u~—a~

1 , , 11- a - In I— -----l+c 2a u +a

2 l)

f

du ~a

-1 1

1 . ,a + u In I------ +c 2 ~ 2a a -u

f„a x j x dx = ~a t g 2~ 2 X +c sec, 2-xt .g —dx = a \ft g -x.s e c 2 —.— J a a J a a a 2 a sec 2*

U----- = In Iu + \[a2 +u2 I+c

K [+ tg2 x

) dx Desarrollo

22)

> Z$)

Jue“du = u e " - e " + c

I ]nudu = u \ n u - u + c

2. |V sec2.v 2j,v I" sec" 2xd x 1 f sec" 2x(2dx) _ *! 1+■tg tg 2x te 2x)2 t o l r 'i 2 JJ( (\ l ++tg2 x)2 2 j2 j (\ n++tg2x)2

f du ■= In I In u I +c J ulnu

4.10.

^ ( x 2 +\)5x>^ xdx Desarrollo

PROBLEMAS.-

Sea z = Xs + 3* => dx = 3(x2 + \)dx

Evaluar las siguientes integrales

®

Jxex’dx

U x2 +Y ) 5 ^ d x = [ 5 ^ = I . i l + c = ^ l + c J J 3 3 In 5 3 In 5 Desarrollo

(?) je**xd x = ^ j e i 2xd x = ~ - + i

f' cos f " xd x

J l +■isen x Desarrollo

1 +c 2(1 + tg 2x)


Sea /. = 1 + sen x

Cálculo Integral

47 fl-eosx r 2 = ------=— dx = I (cosec x - c t g x eos ecx)dx = ctg x + cosec x + c J sen x J

=> dz = eos x dx

f cos* — = f — = lnz + c = In (1 + sen x) + 1 J 1+ sen x J z

^3)

J" 2xeos x 2d x Desarrollo

í

em%xsenxdx z = x 2 => dz = 2x dx

Desarrollo

J2x cos x 2dx = j eos zdz = senz + c = sen x2 +i

Sea z = cos x => dz = - s e n x d x | ecmxsen xdx - - J ezdz = ~e~ + c = - e ÍO x + c 14)

¡ J f ^ L dx eos2 2x

dx

f

Desarrollo

sen2ax x

f sen2x .t . ' ■ 1 ---- r— dx = tg 2xsec 2xdx = —see 2x + c J eos2 2x J 2

Desarrollo f —^ — = f Cos ec2axdx = — f eos ec~ax adx <¡f>n2a J sen axx

J

a

ctg ax + c a

j (sen x + eos x)dx

Desarrollo

dx

í eos2 Xx

Desarrollo

f- = í see2 xdx = tg x + c J eos2 x ■'

j (sen x+ eos x)dx = j sen x d x + Jcosxcfcc (tó )

("(3x2 + 5 eos x)dx Desarrollo

í

sec axdx J(3 x 2 + 5 eos x)dx = J 3x 2dx + J 5 eos xdx = x3 + 5sen x + <

Desarrollo

í see axdx = — f sec(ax).a dx = - !n | see ax + ig ax\+c aJ a

J

(n)

Desarrollo

dx + eos x

ÍT

J(3x +ex )dx j ( 3 x + ex )dx = j 3 x d x + j e xdx = ^ - + ex +c

Desarrollo 18)

j ( e x - e ~ x )dx Desarrollo

Eduardo Espinoza Ram<>\

74

álculo Integral

J(ex - e~x )dx = fexdx - Je~xdx = ex + e~x + c 9)

j

xe , e ------ + e +c = ------ + c 1+ x 1+ x

I

2x see x 2tg x 2dx

xe Xdx

Desarrollo

Desarrollo

J2x sec x~tg x 2dx = Jsee x 2tg x12xdx = secx2 + c «)

475

J(x3 + 3x)(3x2 + 3)ex>+ixdx

u =x

du=dx

dv = e~xdx

v - -é~x

J xe Xdx = —e x - j - é Xdx = - e x - e x +c Desarrollo J x 2e xdx

z = x3 + 3x => dz —(3x2 + 3)dx

Desarrollo J ( x 3 + 3x)(3x2 + 3)ex +3xdx - J (x 3 + 3x)ex +3;t (3x2 + 3)dx = J zezdz -- zez - ez + c

j u —x

\du = 2xdx

1dv = exdx

i v = ex

: e; ( z - l ) + c = ex’+ix(x3 + 3 x - ] ) + c J x 2exdx = x 2ex - 2 J xexdx = x 2ex - 2(xex - e x) + c = ex (x~ —2x + 2) + c

.11.

INTEGRACIÓN POR PARTES.xe2xdx

Sean u = f(x) y v = g(x) funciones derivables u dv = HV -

I’

Desarrollo

J du V

u=x fórmula de integración por partes xe

>

J( i + * r

dv = e2:dx

-dx

du = ex(x + l )dx

dx dv = • a+ xf

v = —

xexdx (1 + x f

Jx l n x d x Desarrollo

1 1+ X

xe il_ _ 1+ X J

1+ x

^(x+Dd&c =

v - e2X

xe2 e2x f 2x j *e2x ffee“2x J xe dx = — - I --dX + C = ------------------hC J2 2 4

Desarrollo u = xe

du = dx

~ + 1+ x j

f exdx


76

, x , f x ' dx x v fx xx J.vln xdx = — ln jc- — .— = — i n x - —dx = — In x -------+ c 2 J 2 x 2 J2 2 4

)

( álculo Integral

17)

jxe

479

3xdx Desarrollo

J'x2e~ixdx

du = dx

u=x

Desarrollo

-3x

dv = e~3xdx

V= —

du = 2xc?x M= X

•-3x

! ¿/v = e~3xdx

V =

2 ^ -3 jc

[ x V 3*dx =

u

* e ?”

—

j xe->’dx = - * ^ - ¡ - e—

, f £_-3x JA „ , x2e 3* 2 I------- 2xdx = ------ ------1- Jx e 3vidx J 3

-+ c

-3*

dz Sea z —x +8x + 10 => dz = (4x + 8)<¿x => — = (x +2)<¿c

2 „-3 x x"e "" dx = -------

2 _i. ,

)

e ~ 3x

Desarrollo

dv = e~3xdx

í

x e ~ 3x

x3 + 2 -dx í— j x4 + 8x +10

du = dx

=x

x¿e

dx= .

„ „ “ 3* 2o , xe

, „-3a:

x*-2„_3 e jc

2 x e -3 *

2 e ~ 3*

27

-+ c

■ x +2 1 fdz . 1 1 . 4 . —¡----------- dx = — — = —lnz + c = —ln x + 8 x + l +c x +8x + 10 4J z 4 4

JV(X+1)2dx

senx Desarrollo

í/ x

+ C OSX

Desarrollo « = ( x + ir

dv - 2(x + \)dx

d v = exdx

v = ex

z = 1 + eos x => dz = - sen x dx

j e x(x + 1)2dx = e?(x + 1)2 - 2J (x + \)exdx u =x+1

du =dx

d v = exdx

v = ex

rse n x d x cdz , , -----:----- = - | — = - l n z + c = -ln(l + eos x) + c J 1+ cosx J z

k Desarrollo

j e x(x

i

D

+ l)2dx = e x ( x + l)2 - 2

(x

+ l)ex + e x +c = e x ( x 2 + l) + c

i

J(x 2 + x 4y dx Desarrollo


Cálculo Integral

"* \¡2 —eos x

Desarrollo z=

x2

senxdx

f

j x s e n x 2dx

481

Desarrollo

=> dz = 2x dx r -r ( 2 -c o s x ) 2 . rz-------------J ( 2 - c o s x ) 2 s e n x d x = ---------- j------------ l-c = 2 v 2 - c o s x + c

f

2 . 1 f , CO SZ

xsen x dx = ~

J

2J

senzdz =

------ +

c

2

COS*2

= ---------------+ <

2

2

see2 0 d 9

@

J ( x + se« 2 x ) d x

j

Desarrollo f,

J

,

, w

(x + sen2x)dx

Desarrollo

x2 c o s2x = --------------- + c

2

' see2 9 dO

fi£ L jL £ * L = Í ( l + 2 t g 9 ) ■* y f ]i + 2 tg O ■*

2

2

sec2 d d 9 = - f ( I + 2íg0) 2 2sec 2 0 d 6 2J

1^

x a xd x

1

(l + 2 tg d ) i

= - - ---- i ~

Desarrollo

+ c =\Jl + 2tgO+c

2 u=

du

x

=

v=-

d v = a xdx

dx

27)

ax

f x eos xdx

Desarrollo

In a w —x

f

xa

x

dx =

J

1

xax

xax

f

1,

-------------- a d x = -------------- — a In« In a J In a ln ~ a

dv

+c

íd u =

= eos xdx

J x eos x d x

dx

|v = sen x

—xsenx —

j

senxdx

= x sen x + eos x + c

J x " ln jx d x

Desarrollo

u

v=

Je ~ ax s e n ( n x ) d x Desarrollo

dx

du -

= ln x

(28)

v=-

dv =

n +1

f „ x

J

= ~ae “ dx

du

„«+i

x"dx

x n+ !n x fx dx x ln x i f „ ln x d x = -----------------------.— = ------------------------ x dx n+ 1 J n +l x Ti + 1 n+lJ

- l n x ---------- - + c n+l

(n + l)

J

sen(nx)dx

cos(nx)

v= —

n

n

J

n

nJ


Cálculo Integral

483

du - ~ae axdx

u =e

J

sen(nx)

[dv = cos(nx)dx

Íe ‘“ cos(nx)dx = ~—- ~ nX— + — [g axsen(nx)dx J n nJ e

a e axsen(nx) n n

c o s(n x )

4.12. a

wcsen(nx)dx

n

Í

— —— - ( « c o s (nx)

J

n

E v a lu a r c a d a u n a d e la s in te g ra le s s ig u ie n te s u s a n d o fra c c io n e s p a rc ia le s

J

— dx x 3- x 2 - 2x Ix

+ asen(nx)) + c

Desarrollo

a +n 4x-

6 s e c " 9 d6

n

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES.-

4 x -2

f e “ sen(nx)dx J

n

í xr —xo

- 2' x H

A

C

x ( x —2 ) ( x

f , A i-------------------B+c-------u )dx -dx = j(— J * x - 2 x+l

+ l )>

( 1)

Desarrollo \u = e

\dv = sec 28 d9

du = d6

x

v = tgd

B

- + -------- + x —2 x +

4 x -2 l

x ( x —2 ) ( x + 1 )

A (x - 2 ) (x + 1) + B x (x + 1 )+ C x ( x - 2 ) = 4 x - 2

J9 s e c 2 9 d 0 = 9tg6 - Jtg9 d9 = 0t g 9 - In | s e c 9 | + c A(x2 - x -

Jy 2sen(ny)dy

(A +

2) +

6 + C)x

+

B(x2 +

x) + C (x 2 - 2x) = 4x - 2

(—A + B - 2C)x - 2 A = 4 x - 2

Desarrollo A+B+C= 0 \u = y [i/v = sen(ny)dy

du = 2 ydy

A = 1

-A +B -2 C =4

c o s (ny)

=>

C=-

-2 A = -2

2

B =1

( ) 2

re e m p la z a n d o (2 ) e n (1 )

J y 2sen(ny)dy = -

+ —j y cos(ny)dy 4 x -2

h u=

v

dv = cos (ny)dy

3

x 2 - 2x

dx= f(—+ J

x

—— — — x —2 x+ l

du = dy sen(ny) v= -

x (x -2 ) = l n — ------- ¿

(x + l)2

+c

)dx =

ln x + ln (x - 2) - 2 ln (x +

1) + c

E d u a r d o E s p in o z a R a m o s

•4x 3+ 2.r +1 , ---------------- dx 4x - x

z"dz

© Desarrollo

• 2x2 + x +1 X+ i —---:------- dx j 4x - x

B 2x + l

B C +--------7 + ------- j)dz Z -l ( Z - l) 2 ( Z - l) 3

l )3 ((zz— - 1)

A ( z - l) 2 + g ( z - l ) + C

... (1) ( z - l )3 ■ Z - l

( Z - l) 2

( z - l )3

( z - l )3

z 2 = A (z 2 - 2 z + l) + f l( z - l) + C

*2x 2+ x +1 . f .A ¿? C -------dx = (—+ --------------------- ■+------)dx 4x —x ' x 2x + l 2x - l A x

(z-l)3 _ r _A a_

2x2 + x + l , f 2x2 + x + l , ax = -------------------- dx 4x3 - x J x( 2x + l)( 2x - l )

2x 2+ x + l 4 x3 - x

J

Desarrollo

‘ 4x 3-f 2x~ +1 ,f„ r 2x 2 2x -t-x ++lxl +, l f , r f2 x 2r2+xx ++lx . * dx = (1 + ———------------------------ )á í = dx+ ------ --------- dx y 4 x 3- x J 4x - x J 4x' - x

í

485

C á lc u lo I n t e g r a l

A =1

A= 1

- 2A + fi = 0

B=

A -B + C =0

C =1

r z2é?z _ r

C _ A(2x + l)(2x-1 ) + Bx(2x-1 ) + Cx(2x +1) 2x - l x( 2x + l)( 2x - l )

B)Z +

A ~B +C

2

2

i

z 2 = A z2 +(~2A +

2

i

+-------j ) d z = ln | z - 1 1------- ---------J(z-l) r-7_n3"J z - l +'-----—j /(-z - l"2 )2 ' ( z - l )3 Z - l ( Z - l )2

2x 2+ x + l = A(4x 2~1) + B(2x 2 - x ) + C(2x 2+ x)

©

1

+c

/-8 J ,v3+ 2r dy Desarrollo

= (4A + 2B + 2C )x2 + (- B + C)x - A 4A + 2B + 2C = 2

A= -l

-B +C = 1

B =1

—A = 1

C=2

f J

4x

f y 4- 8 f ,4 \ I 3 ; 2 d y = \ ( y ~ 2 + ~ J y + 2y y •'v+ 2>’2

= ln V2l T Í ( 2x - l )

f4 x 3+ 2 x 2 + l , , v 2 x + l ( 2 x - l) ------- --------- í£c = x + ln --------- ----------- he J 4x + x x

8 dy

(1)

y 2(y + 2)

A B —8 )dy d y = ¡ ( --- J--- —-f"~ y y- y + 2 ( y + 2)

Jy

. .. (2)

4y

-8

_ A + B_+ C

y 2(y + 2) 4y 2 -

y

y2

_ A y ( y + 2) + B (y + 2) + Cy¿

y +2

8= A(y2 + 2y) + B(y + 2) + Cy2

A+ C = 4 . (2) en ( 1) se tiene:

4y2 -

f 4y

f ( _ i + _._L_+ __?__)iix: = - i n x + —ln 12x + l |+ ln ¡ 2x - l | +c J * 2x + l 2x ~ l 2

-x

2

-2 y + l

A= 2

2A + B = 0

B = -4

2 B = -8

C = 2

y 2(y + 2) 4 y 2 - 8 = (A + C ) y 2 + (2A + B)y + 2B


’

f ( 2 - ± + _ _ L ^ y = 2 ln y + —• J y y y+2 y

y ( y + 2)

Cálculo Integral a 3 + 3a = A(a 3 + a) + S (a 2 +1) + Ca + D

■( 2 )

reemplazando (2) en (1) se tiene: c y4 - 8 v2 4 —------- —= -----(-2y + 21ny + —+ 21n(y + 2) + c J y +2y2

2

487

A=1

A= 1

S=0

B=0

A+ C =3

C =2

B+ D = 0

D =0

y ’ x +3a

•4a 2+6

í/jc

( a 2 + 1)2

ix

Desarrollo

2a

- í< A2 + 1

+6 , f 4 a 2 +6 , r,A Bx + C s — ------d x = — 5-d x = (” + - t —r ) j a (a

“ + 3 )j

A

A

a +1

Desarrollo

+3

f 4 a2 + 7 _ A

Bx + C _ A(a2 + 3) + Bx 2 + Cx

a3+3a

a 2 +3

a

2

í ( t2 + 4 )2

■4a 2

+ A

)dx = -ln(A 2 +1)— ^ — + c

(A2 +1)

t5dt

© A

a 3 "i- 3a —Aa3 + ¿?a~ + (A + C ) x + B + D

í3c*

J f(/r2++44'i2 )

r ,

r8 í3 +16í

J

J (r2

1

r1

4)2

~ 2

r 8f3 +16f J (f 2 + 4 )2

í/f

a(a2 +3) ‘8f3 + 16? (í 2+ 4 )2

4 a + 6 = (A + B ) x + Ca + 3A A+B = 4

A= 2

C=0

B= 2

3A = 6

C =0

. 8/3 +16/

dt

Ai + i? Q + D j----- + — ------ T)dt

í<7

+ 4

(r+ 4 )-

At + B

Ct + D

t2 + 4

(r+ 4 )2

(í2 + 4 )2

_ (At + B)(t2 + 4 ) + Ct + D

(í2 + 4 )2

8í3 + 16í = A(í3 + 4 1) + B U 2 + 4 ) + Ct + D = A/3 + B r + (4A + C)í + 4fí + D f

— d x = f(—+ —r ——)dx =21nA + ln(A2 + 3) + c = lnA2(A2 +3) + c J A A2 +3

j a3+3

a3+3a

i Cc2+ 1)2 dx

A= 8

A= 8

fi = 0

£ =0

4A + C = 16

C = -16

4 ff + D = 0

D =0

Desarrollo 8r3 +16r

I (í2 +4)

f a 3 + 3a , t Ax + B Cx + D ----- —dx = (— -----+ —------ T)dx + n2 J y 4-1 ív 24-n 2 a

+3a

(a 2 + 1)2

Ax + B

Ca + ¿)

(Aa + jB)(a +1) + Ca + £>

a 2 +1

(a 2 + 1)2

(a 2 + 1)2

©

dt

8í

J<7 + 4

16í -)dt =41n(í2 + 4 ) + - r ? — + c (r+ 4 )‘ t2 +4

f 2t - 8 / - 8 J ----------r----- di ( f - 2 )(f + 4 )

Desarrollo

( 1)

MM

E d u a r d o E sp in o z a R a m o s

•

2r - 8f -8

f A B +C Bt dt = (— r + )dt J t— 2 t +4 ( t - l ) ( t 2 +4)

489


©

r ■* J 2yft +\¡t Desarrollo

2t - 8 r - 8

A

£r + C

(/-2 )(r -4 )

f-2

?2 + 4

A(/2 + 4) + (Bt + C)(t- 2)

Sea z6= í f_ * f + 3/7 *2yft+y¡t

2r2 - 8f - 8 = A(t1 + 4) + B{t2 - 2t) + C(t - 2) = (A + B ) r + (-2B + C)t + 4A - 2C A +B ~ 2

A = -2

~2B + C = -8

B =4

4 A - 2C = -8

C=0

di = 6z5dz de donde \[t = z3, Ifz = z 2 r j ^

JJ ?73 2z3++ z722

J-

4

-)dt = -2 ln(i - 2 ) + 21n(i + 4) + c = 2 ln(------- ) + c t-2 +4

-v/7 h— —

4

Desarrollo

2 i X -—Xv3

Evaluar por nacionalización cada una de las siguientes integrales

í

yd y

J Desarrollo

1 6x 4

9

Sea z 2 = x + l => x = z2 - l

z2 - 2 y=-

3

r(z! _ 4Mz ==I ( Í 1 _ 2Z) + C = ¿ ( i l - 2) + C sJ 8 3 8 3

8

-

Desarrollo

J y fx + í-l

8

9

1 > / ^ T - 7
Sea z2 = 2 + 4_v => 2z dz = 4 dy =* dy =

[ i = l = i J ,/2 + 4y j 4z 2

13

4 H )t( 3

6

13

I r 1 4 — 12 —24 ___ £ - 2 ~i4 ___,_12 <¿v - i( x 4~ x 2)dx = —(—x^ 4 ----- x 12) + c = — x 4 ----- x 12 +c él 6 99 13 13 27 27 13' 13 6

VT+T+i

©

=*

8

6x 4

INTEG RACION POR SUSTITUCIONES DIVERSAS

z = 2 + 4y

l n 1 2 ^ / 7 + 11 + e

©

.13. INTEGRACION POR RACIONALIZACION.-

)

= 6f [£ . _ I + i . I (_ i _ )1(fc 2 j 424 8 8 2z + l

: 6[—— i _ + i — L ln(2z + l)]*+c = z 3 - — + - - - l n | 2z + l|+ c 6 8 8 16 4 4 8 •V r—

-dt J (r / -- 2)(i +4)

=6f JJ 2z 2z++1l

=> dx = 2zdz

[ i ± 1 .2zdz = 2 [ — - dz = 2 Í(z + 2+ )dz z —1 J z-l J z-l J = 2 ( ~ + 2 z + 21n | z —11) + C- = z 2 +4z + 41n | z - l |+c = x + l + 4Vx + J + 4 1 n | v /x + T -l| +c

E d u a r d o E sp in o za R a m o s


491

eosecO sla2 + x 2 -+ c = — -+ c a 2x

l + Z/x + a Desarrollo Sea z3 =.x + a = > x = z ’- a

dx

=> d z - i z 2dz

Desarrollo

= --¿/(.* + a )2 -TÁjx + a +31n ¡ \¡x + a -

2

seed = — a x = a see 8

- a'

11+c

tgd = Desarrollo

_ f - ~ = 2 Í( 1— — )rfz = 2( z - ln | l + y fx

J 1+ z

J

1

f

1

f tg d

J + l

( sen 9 1 d6 = - V | sen20 cose de secO a J

sen30 ,y¡x2 - a 2 * 1 - + c = (• y-r+ c 3a X 3a-

*

dx

] x2yfx2 7 ?

©

Desarrollo

J

x y jl x - x 2 Desarrollo

1

t - — => * x = a t g 0 => dx = asee2 0 dO

Va- + x2

sec 0 = -----------a asec~6d0

dx x 24 x + a

+

.2tg20M see 6

l~~2 2"

= ~ \ ^ ^ - d d

a 2 J tg-6

a

v a +x' =asec0

a 2 J sen 0

=

sjx2 - a 2 = af £0

atgO

1 + z | ) + c = 2(V x -ln 11+ Vx |) + c

Evaluar cada una de las siguientes integrales por sustitución reciproca

Jx2- a 2

= arc sec(-) a dx = aseeO tgO dd

1 r t g 2e dO -asecOtgO dO = — f a 4 see4 ' a2 J seei ú

'\lx 2- a 2

=> dx = 2z dz

z2 = x

=>

1

x=~ /

=>

.

dt

<¿c = — -

r

dt ' .2 J - A - - Í - J - — Í -J L - = -V ^ T + c l 2 _ l _1 J x s j l x - x 2 J 1 [2 j 7^ 1

n t

t2

-V [ c i n c o s e c O d O

a 2 •> Desarrollo


senO = --

2

dt

0 = arcsen(-)

=*

dx = 2eos GdO

x = 2setiO

cosO =

493

Cálculo Integral

sÍ4-

f dx - f K 2y Í 2 ^ x I ~ ^

2 eos 9 = y ¡ A -x 2 z 2 = 2í -1

72 + l => í = --------

1 r e o s # dd X dx = f - - ^ L 0-.2 c o s Odd = - J 4 J senl6 ' 16sen46 2q jn _

= — Í c í p j 0 . e o s í c z0 d 0 = 4 J

1—C„.„le tg ^ + C

12

r+c

= - —— (

12

jc

-dx x\Jl+4x + 5x2

J dt dx = —— t2 di

r

í ~dx -\ ’ x j l + 4 x+ 5 x2 J

'2

-i f

dt -í Vi2+4t + 5

r yJ(t

dt

+ 2)2 +1

u

= ln \t + 2 + y¡t2 + 4í + 5 |+ c = l n | - + 2 + J -V + - + 5 |+ c a \x ¿ x , 2x + l\ll + 4x + 5x2 ln------------------------- + c x dx U lx-x2 Desarrollo

7 , (z +3) + c 6 12 + x . x + l .

Desarrollo 1 => x = — => t

=> dt = z dz

z 2+ 1

=

1 t =— a:

t _2 __ _ _ f tdt 1 /2 T _ J >/2~ l t2 \ t t2

J lt +1 „ 12 + x . 2 + 2x. = - - -------(2í -1 + 3) + c = - . -------- (— — ) + c 6 V x 6x


CAPITULO Y

Ecuaciones Diferenciales

495

3 x Á 2 =4xy dx

®

Desarrollo Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de segundo grado. d^z = dz dx2 dy

ECUACIONES DIFERENCIALES.-~| l.

Desarrollo

PROBLEMAS.-

Es una ecuación diferencial parcial de segundo orden y de primer grado.

Indique e! tipo, el orden y grado de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

d 2y dx2

dy

+ 6x + y = 0

Desarrollo Desarrollo Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y de primer grado.

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y primer grado.

/V, 2

dy

x 2dy - xy2dx Desarrollo

Desarrollo Es una ecuación diferencial de tercer orden y de segundo grado.

Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado.

&

( ^ - t ) 2 +5 xy = 0 dx2

0

= .O ,

Desarrollo

Desarrollo

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y de segundo grado. dz

dz

Es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y de primer grado. (ll)

> Desarrollo

Verifique que y 2 =

e .t+ - c 3

8

solución particular para y =

Desarrollo

Es una ecuación diferencial parcial de primer orden y de primer grado. ) 1

c3 Derivando v 2 =c.v+— se tiene: 2 yy’= c ahora remplazamos

(—)2+ — - 2.* = 0 dx

1

es irna solución de y = 2x-— + v2( — ) ' dx ' dx cuando x = 0.

8

dy

Desarrollo Es una ecuación diferencial parcial de primer orden y de segundo grado.

j

obtenga la

E d u a r d o E s p i n o z a R a m o si

c3 para y = 1, x = 0 se tiene 1 = Oh---- => c 3 = 8 => c = 2

497

E c u a c io n e s D i f e r e n c i a l e s

(l4)

Verifique que x = eos 2t + 2c, eos 3? + 3c2sen 3t es una solución de ^ - l + gx = 5Cos 2í dt2 Desarrollo

y 2 = 2x + l Compruebe que (x —c, )2+ y 2 = c2 es una solución de y —y- + (-“ la solución particular si y = 3 y y ’ =

4

)2+1 = 0

y determine

— = —2sen 21- 6c, dt 1

Desarrollo 2 (x - c ,) + 2yy' = 0

3

d 2x

cuando x = 5.

dt

Derivando ( x - c ,)2+ y 2 = c 2 se tiene:

3?+9c, cos 31

2 = -4 cos 2/ —18cj cos 3/ -

21cysen 3t

9x = 9cos2í + 18c2 c o s 3 í + 21c3sen3t , sumando => x --c ,+ y y ' = 0

d 2x — —+ 9.x = 5 cos 21

dt2

l + y ’2+yy" = 0 => y ^ + Á 2 + l = 0 dxz Compruebe que y 4 para y ' = ——, x = 5

= ( c , + c->. ln x)\[x + c 2

es una solución de 4x 2— ^ + 8x^—2. + í ! Z - Q dx3 dx2 dx

=> 5 —c, - 4 = 0 => c, = 1 Desarrollo

(x - 1)2+ y 2 = c2 => 16 + 9 = c 2 => c2 = 25

(x —l )2+ y 2= 25

dy

=

c ,+ c ,ln x

c2Vx

2/ x

x

¿x

Compruebe que y = c,ex + c-}e~x + x 2 + 2 es una solución de (— ~-)2 --------- —= x 2 - ln y y dx y dx~

A

c ,+ c , ln x + 2c,

- + - 2 ------ = - L — --

-------- 1

2-v/x — = c, + c - > l n x + 2 c 2

2>/x

1 dy rd"y c2 , , , -------—= —--CU UI1UC — -~~t+ 2vVA---x— r— U de donde V/ *v /y o vr

r-dv

=*

dx“

dx

1-2

r~dy ~ d 2y V A--Vx — + 2x 2 — f = a: ¿/jc/-/v-

v /7v J ..2

Desarrollo e l y = c¡e2x + c2+ (x 2+ 2)e* derivando exy + exy ' ~ 2c 1í’2' + 2xe* + (x 2+ 2)ex e~xy + e~xy ' = 2c, + 2xe x + (jc2+ 2)e~x , derivando

1 dy r-d y r-d^y , : d y —7^ - f + V x— f + 3Vx— f + 2x2 — f = 0 2v x dx dx’ dx" dx . ->d ?y d 2y dv . 4x_— f + 8x — f + — = 0 dx3 dv2 dx

—e~xy + e~xy e ~ xy ’+ e~xy" = 2e~x - 2xe~x + 2xe~x - (x2 + 2)e~x Compruebe que y = x 3+ c,x 2+ c 2 es una solución de e~x y e ~ x y = - x 2e~x => y

y = -x 2

Luego y = c,
solución particular si y =

1

cuando x =

1

y y=

Desarrollo

5

- - - 3 x = 0 y obtenga la dx' x dx cuando x = 2.


— = 3 jt + 2cxx ¿a: d 2y d ly dx2

1' dydy 3

=>

jc dx

= 3jc+2c,, derivando — x 1 dx

x dxL


499

=^

, =0

x dx

1 d ^y Verifique que y = ct eos x + c2sen x ——eos 2x es una solución de ~~2

solución particular que satisfaga la condición y = 2, — = 1 cuando x = 1. dx y = cos ~x

Desarrollo

Desarrollo

y 2 =ctx 2 +c2x => 2yy' = 2c¡x+c2 ••• ( 1)

y = c, cos x + c2sen x - ~ cos 2x

2 y '2+ 2 y y " = 2q

=> c2 = y'2+yy"

2y '2 = 2 x y ,2+ 2Aryy"+ c2

» 2 — = -c, sen x + c-t cos x + —serí2x dx 1 3

=> cz = 2 y y 2xy ,2- 2;tyy"

y 2 = .r2y ,2+ a:2yy"+ 2j r y y 2a:2y '2- 2x 2yy"

d 2v 4 — ^- = - c 1co sjc-c 2.ví,njr + —cos 2*

••• w

d 2}1 o — - + y - c o s 2x dx"

sumando ( 1) y (2) se tiene:

dy -x Compruebe que y = e X(x + c) es una solución de -j- + y = e Desarrollo

5.2.__ ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIM ER ORDEN Y DE _____ PRIM ER GRADO.-________________________________________ p r o b l ím a s J

y = e~x(x + c) => exy = x + c

Determine la solución general de cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes. exy + e xy ' = \

dy => — + y = < dx

CD

d 3y 3 c/‘ y Verifique y = c,x+ — + c , es una solución de — r + —•— ' A'
— -c, dx

*2

<¿t2

r

=* x 3^—^ = 2 c2 derivando dx~

(x2 + y 2) d x -2 x y d y = 0 Desarrollo Es una ecuación diferencial homogénea Sea y = ux

dy = u dx + x du

(x2 + x 2u 2)dx —2x2u (u d x+ xd u ) = 0 => (l + u 2)d x -2 u (u d x + xdu) = 0



( l - u 2) d x - l u x d u

=0

separando la variable — + x u

-1

dx

= 0 , integrando

1-

501

sen ¿t Desarrollo

[dx _[ udu , , . 2 ---- h2 i —-— = c => lnjc+ln(w -1 ) = c J Je J « 2- l ln*(M2- l ) = c

Separando las variables se tiene: dx = (1 - sen 2t) dt,

=> x(m2 - 1) = A:

eos 21 JC—/ H---------+ C

j d x = J (1 - sen 2t)dt + c

••• xy2 - x i =kx 2

,( x y - x ) ^ - = y 2 dx

integrando

© Desarrollo

2

-e~x

% dx 1

Desarrollo

* (> '-\)dy - y 2dx separando la variable v -1 , dx . , dy = — integrando y x

*11 = J e~xdx + c, = -e~x + c. dx 2

[y -l , [dx ------ dy = I — + c y J x

J

dy dx

[ J

_x

— - = | ( - e

y - ln y = ln x + c

+ c ,) í ¿ * :

' + c2

dy =>— = e dx

y = ln xy + c Q

P

y = \(e~x +c{x + c2)dx + c3

y 3d x - x i dy = 0 Desarrollo Separando las variables se tiene: ^ x edx 'dx

[dy

1

+c,x + c?

(?) ^

^ = 0 , integrando y

x3 J /

y = -é~x + - L

—

+ c 2.r +

*Í2=_LA2 dy

[d x

1

dx

Jx

x

- - = J — + c, = — + c,

(y + 3)dx + ctg x dy = 0

y

= | ( - - ^ + c ,) d jr + c 2

=-lnA +

c ,A + c 2

Desarrollo Separando las variables se t i e n e : --------1— — = 0 , integrando ctg x y + 3

©

secxcos 2ydx = eosx.senydy Desarrollo sec at. cos

^

1° sec x + 1° (y + 3) = c

2

see x (y + 3) = k

y

dx = cos x.sen y dy separando las variables

=> In see x (y + 3) = c sec xd x senydy 2,,. ----------= 5— => sec xd x = tg y see y d y , integrando eos x eos y -

jtg x d x +j —

c3

Desarrollo

. 1---------1 — ---- 2 = k " y”2 x~2

c

=>

y =

-ln

jc + c , * + c 2


Jsec2xdx = Jig y sec y ¿y+ c sen x cos' ydx + cos xdy

2

tgx = secy + c

jc(y: - l ) d x + y ( x 2 + l)rfy = 0 =>

=0 Pesarrolto

Separando las variables se tiene:

seti x dx

J r dy

503


+1

J y 2-1

«

In(jc2 + l)(y 2- 1) = 2c

----- -— + — ~— = 0 eos* x eos 2 y

Jíg xsecxí¿r + Jsec2 ydy = 0

secx + tgy = c

2

2

— +cosQd6 =Q , integrando J — + Jcos0 d
(x2 + l)(y 2- 1) = *

dy _ xy + y dx x + xy

— dx

.% In r + sen0 = c

dy _ x - y dx x + y

= separando las variables jc(y + l)

y+1 , x+1 , , ---- dy = ------ d x , integrando y x y + l n y = x + lnx + c =>

Desarrollo

(x - y)dx - (x + y)dy = 0, es homogénea entonces y = ux => y = u dx + x du

(1—u - u - u 2)dx—(l + u)xdu = 0

= 0,

=> (w2+ 2 u - l ) d x + (u + l)xdu

. f dx integrando

=0

f— +u I+—-----------1 , du = c J x J u + 2 u -l

y

fy + i . f* + l , ------ dy = ------ dx + c J y J x

y - x + ln —= c x

dy _ 2 x —y dx x + 4y

(x - ux)dx - (x + ux)(u dx + x du) = 0 => (1 - u)dx - (1 + u)(u dx + x du) = 0

X

- l ) «


u+1 ---------- du u + 2 u -l

+ , = 0, integrando y —1

íb t f +n + W

dr + r eos 0 d0 = 0

dx —+

jT +1

Desarrollo (2x - y)dx - (x + 4y)dy - 0 es homogénea entonces y = ux =>dy = u dx + x du (2x - ux)dx - (x + 4ux)(u dx + x du) = 0 => (2 - u)dx - (1+ 4u)(udx - x du) = 0 ( 2 - u - u - 4 u 2) d x - ( \ + 4u)xdu =0

lnjc+—ln|m 2+ 2h - 1 |= c

\n x 2(u2 + 2 u - l) = 2c

=> lnx 1 + ln(u2 + 2 u - 1) = 2c

=*

x 2( ~ + - ^ - l ) = k x x

(xy2 - x)dx + (x2y+ y )d y = 0 Desarrollo

dx 4u + l _ 2. ---— ---------- du = 0, x 2u +m —1 y 2 + 2x y - x 2 = k

2 \n x + ln(2u2 + u - l ) = c

jc2(^ 4- + —- 1) = x2 x

=$ 2(2u2 + u -l) d x + (4 u + l)xdu = 0

. , „ f dx f 4í< + 1 integrando 2 ----- 1- — ----------du = c J x J 2u +M-1 => ln x 2(2u2 + u - 1) = c

2 y2 + x y - x 2 =k


ily = 2xy dx


19)

Desarrollo

505

(r 2+l)d9 + - ^ r - = 0

see26

Desarrollo

r dv

d\

c

— = 2 x d x , integrando — = y J y J

p dd

p

2

2xd x + c

=> ln y = x +c

9 dr see 6 d 9 + —— = 0 , integrando r +1

+1

Jsee 20í/ 0 + J - ^ Y = c

Desarrollo

=> tg 0 + arctg r = c

P d p = t g d d 9 , integrando f P..~ — d p = [ tgddO + c p ( p Z- 1) J p ( p 2- 1) J

(xy - y 2)dx + (y 2 - ~ ) d y = 0

f(__L+ _ L . + _ J — ) d p = f tg d d d + c J P o pP + +11 Pp -1 J

(2xy ~ 2j 2)í¿c + (2y'? - x 2)dy = 0 , es homogénea entonces y = ux =» dy = udx + xdu 2

- In p + In (p + 1) + ln (p - 1) = In see

0+ c

Desarrollo

^

(2x2u - 2 x 2u 2)dx + (2x2u2 - x 2)(udx +xdu) = 0

=> ln ~ ----- = In£secx (2 u - 2 u ') d x + (2u2 - l ) ( u d x + xdu) = 0

p 2-1 = k p s e c x

=> (2u3 - 2 u 2 +u)dx + (2u2 - \ ) x d u

dx , = 0„ , integrando . — -l----^2«2-^ l — üm

r d0 + 8 dr = 2 dr

*

2u - 2 u +u

Desarrollo r d0 +

(0 - 2)dr = 0

rdx ííx f 2w 2« 2-1 J____ _ . f/ 1, 4 /1 w --2 2 — + — :---- d u = c => lnx+ I (— + — ----------- )du= c x J 2 u -2 u ~ + u J u 2u - 2 u + l

dG dr „ . => ------ + — = 0, integrando 0 —2 r

ln x -ln M

f - ^ - + f — = c => l n( 0 - 2) + lnr = e => lnr( 0 - 2) = c J 0 -2 J r r (0 - 2) = k

(5Í)

+

,

2

„

ln(2i< - 2m+ 1)

= c

,

x ( 2 m 2 - 2 k + 1)

ln --------------------------=

c

— dx + ( x - y ) d y = 0 x

Desarrollo

dp + p tg 0 d0 = 0 Desarrollo — + tgd dd = 0, integrando

ln p + In see 0 = c

=>

=> In p see 0 = c

y 2dx + x ( x - y)dy =c

=> p see 0 = k

=0

es homogénea entonces y = ux => dy = u dx + x du

x 2u 2dx + x ( x - xu)(udx + xdu) = 0 => u 2dx + ( l - u ) ( u d x + xdu) = 0 (u2 + u - u 2)dx + ( l - u ) x d u

=0

=> u dx + (1 - u)x du = 0

=0

Eduardo Espinoza Ramos tdx rl-w , ----- 1- ----- du = c J x J u

, c o s e c u - c tg u ln-- — = c => cosec u - ctg u = kx X In y -

In x + In u - u = c => In xu - u = c

,

y X

X

y eos ec-- cl

sen x eos y dx + eos x sen y dy = 0

<*1 Iv:

dx I - « . . , — + ---- du - O, integrando x c u

507


Desarrollo 22)

(xy3 - x)dx + xy2dy = 0

sen xd x sen ydy „ . ---------- V------ ——= 0 , integrando eos x eos y

Desarrollo jf(y3- \)dx + xy2dy ~ 0 simplificando (y 2-l)d x + y 2dy = 0 , separando las variables

jtg xdx + jtg ydy = c

y2dy dx-i— -— = 0, integrando y -— - l1

23)

f\dx+ f-----y2dy = c J'

1

* + y h— ln " 2 y+1 2

-Jyy*2--1 i

sec x sec y = k í^ = _Z dx x

tg xsen2ydx+ cos2 xctg y d y = 0

Desarrollo

Desarrollo tg x d x c tg y d y n . ---- — (.------ — ~ o , integrando eos x sen y tg2x

dy dx . — = - - — integrando y x

2 . f , tg xsec" xd x + ctg y eos ec y d y = c J J

ctg2 y 2 2 , ~ = c =* l8 x ~ ct8 y = k

í — = - f — + c => ln y = -ln x + c => lnxy = c J y J x

— 2 --------- 7

©

dy y x ------- y - x s e n — = 0 dx ' x

Desarrollo (x3 —2 y 3)dx + 3xy2dy = 0 es homogénea entonces y = ux => dy = udx + x du

Sea y = ux => dy = u dx + x du y

=>

u dx + xdu - u dx -- sen u dx = 0

x du - sen u dx = 0, separando las variables eos ecitdu- f — = ’c J x

(jc3- 2 x 3u3)dx + 3x3u 2(udx + xdu) = 0 => ( l - 2 u 3)dx+3u2(u d x + xd u ) = 0

reemplazando se tiene:

x(u dx + x du) - (xu + x sen u)dx = 0

xy = k

x 3 - 2 y 3 +3xy2~dy- = Y 0,

Desarrollo

x d y - ( y + x s e n —) d x - 0 X

=> ln | sec x | + ln sec y = c => ln sec x sec y = c

— — = 0 , integrando

senu

x

=» In j cosec u - ctg u | - ln x = c

(u3 + l)dx+3u2xdu = 0

rdx Jt

r3u2du +J í 3 + l

1 ____ -i. I _______ — - r* c

lnx(« 3 + l) = c

—< =>

dx 3u2 = » ---- h—r— du = 0 , integrando X UJ + 1 .l n v 4- l «, í 11. 3 lnjc + ln(w + l) = c

v3 => x(u3 + l) = k => — + x = k => x 3 + y 3 = k x2 x


tly dx


x^_ y3

(x3 - x 3u3)dx + x 3u 2(udx + xdu) = 0 => Desarrollo

(1-M 3+ u 3)dx+ u2xdu

J

y 3dy = x 2d x , integrando J y 3dy = x 1dx + c v4 r3 Z_ = — + c 4 3

509

rrdx dx — J x

=» 3 / = 4 x 3 + k

(32)

=0

(1- u 3)dx + u 2(udx +xdu) 0

=> — + « 2d« = 0, integrando x

-3 r- ^ m + « d w = c => lnx + — = c J 3

~3 v* => 31nx + - - = £ *3

(x + y)dx + x dy = 0 Desarrollo

x dy - y dx = 0

Sea y = ux => dy = u dx + x du

Desarrollo dy dx „ — ----- = 0 , integrando y x

(x + xu)dx + x(u dx + x du) = 0 =>

f dv fdx ------ — = c J y J x

y

y

—= k x

l n y - l n x = c =* ln —= c x

(1 + u)dx + u dx + x du = 0

(2u + l)dx + x du = 0, separando las variables

=>

dx du . , 0. , integrando — H—---

y = kx

x

2u + l

rdx

du — + Ir-------=c

J x

J 2u + l

1 -> ln x+ —ln(2w+l) = c => ln* +ln( 2w+ l) = 2c

(x2 + 2 y 2)dx= xydy Desarrollo

ln* 2( 2M+ l) = 2c =» x 2( 2—+ 1) = k

Sea y = ux =» dy = u dx + x du (x2 + 2 x2u 2)dx = x 2u(udx + xdu) , 7 . . . (u +l)dx = uxdu

f— J x

= f 11 J u 2 +1

= K (w dx

+ xdw)

33)

2

^ = ex~y dx Desarrollo

dx udu => — = —r— , integrando X Uz + 1

+ c =» lnx = —ln(w2+ l) + c

eydy = exd x , integrando j e ydy = j e xdx + c

=> ln *2 = ln («2+ l) + 2 c

(34)

=> ey - e x +c

x(2y - 3)dx + (x2 + l)dy = 0 Desarrollo

■y

• u +1 ln— -— = - 2c x

=>(l + 2 u 2 ) d x

2xy + x 2 = k

=*

M +1 . — — =k x

=>

2 < u ¿ +\

i

2

2 , 2 i 4 = kx ■■y +x =kx t

(jc3- y* )dx + xy2dy = 0 Desarrollo y = ux => dy = u dx + x du

xd x dy „ . —---- + -------- = 0 , integrando x 2 +l 2y - 3 ^ ln(jc2 + 1 )+ -~ ln(2)> - 3) = c

f xdr f dy I —— + — -— = c 6J* 2 + l J 2 y - 3 => ln(* 2 + 1)(2>-- 3) = 2c (* 2 + l)(2 y - 3 ) = k

Eduardo Espinoza Ramos 511

E c u a c io n e s D i f e r e n c ia l e s

4

(* t y)dx = x dy Desarrollo

(

55)

xy dx + \ + x 2 dy = 0 , y = 1 cuando x = 0

y c ux => dy = u dx + x du

Desarrollo

(x + ux)dx = x (u dx + x du) =>

(1 + u)dx = u dx + x du Separando las variables se tiene:

dx = x du separando las variables — = du , integrando se tiene: f — = \du + c x J x J

f—

- + — = 0 , integrando yjl + x 2 y

+ f — = c => v l + x 2 + ln v = c , para y =

JViTI2 J y

1

cuando x = 0

y

ln x = u + c => In x = —+ c x

1 + ln 1 = c

x d y - y d x = yfxydx

39)

Desarrollo

=> c =

1

.\

yjl + x 2 + ln y = 1

(x2 + y 2)dx = 2xy dy , y = 0 cuando x = 1 Desarrollo

Sea y = ux => dy = u dx + x du Sea y = ux => dy = u dx + x du x(udx + x d u ) - u x d x = x>fü dx => udx + x d u - u d x = yfüdx (x2 + x 2u2)dx = 2x2u(udx + xdu) => (l + u2)dx = 2u(udx + x d u ) xdu = yfüdx separando las variables

2

(u - \ )dx + 2 xu du y/u

= — , integrando x

2-v/ü = l n x + c

=> 2. -- = ln x + c Vx

Obtenga la solución particular para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales según las condiciones dados. dy

d x 2 u ---- ¥ — ----du = 0 , integrando X U -1

0

í ^ + f ^ i í í i = c => ln x + ln(n2 - 1 ) = c 1 u2 - 1

J x

lnx(M2 - l ) = c

x («2 - l ) = fc => y 2 - x 2 =kx

y

— = —, y = 3 cuando x = 1 dx x

x dy + 2y dx = 0, y =

1

cuando x = 2

Desarrollo Separando las variables se tiene:

X =$ — = k

y

1 + 3k => k = — => y = 3x 3

Desarrollo

— - — = 0 , integrando se tiene: x

X ln x - ln y = c => ln— = c

=»

y

y

=> x = ky

para y = 3 cuando x = 1

Separando las variables se tiene: — + = 0 , integrando y x [ — + 2f — = c J v J x

=> ln y +

para y = 1, x = 2, ln ln yx2 = ln 4

21n x = c

1 + 2 ln 2 = c

=> yx2 = 4

=» c =

2 ln 2

ln y + 2 ln x =

2 ln 2


l (»<•x + y)dx = xdy , y = O cuando x =

j x d x - j y d y = c => x 2 - y 2 = k para y = 2, x = 5

1

Desarrollo (44)

=>

(eu +u)dx

=>

para y = 0, x = l

=>

=> !n x + e

[L É L + ÍlÉ L -c Jjt + l J y + 1

* =c

lnl + e°=c = > c = l

In x + e

=> x - l n ( x + l ) + y - l n ( y + l) = c

x + y - ln (x + l)(y + 1) = c, y = l, x = 0

—*

0 + 1^5)

y 2( y d x - x d y ) + x3dx = 0, y = 3 cuando x = 1

ln 2 = c => c =

1-

ln 2

Desarrollo

(y 3+ x 3)dx —xy2dy = 0 es homogénea

y = ux => dy = u dx + x du

y = ux => dy = u dx + x du

(x -x y fü ) (u d x + x d u ) = uxdx

(jc3m3 + xi )d x ~ x }u2(udx + xdu) =0 =£ (u 3 + \) d x - u 2(udx + x d u ) = 0

( u - u y f ü - u ) d x + x (\-y fü )d u

d x - u 2xdu = 0 separando las variables — - u 2du = x

dx —

j - - j u 2du = c => ln A r - ^ - = c

para y = 3, x = 1

=>

3 ln 1 —27

=>

0,

integrando

X

=> (\-\[ u )( u d x + xdu) = udx

=0

=> -uyfu dx + x ( l- y / ü ) d u = 0

\fü— - 1 . . .. . Cdx frV« yju — \H ., -11 , + ---------j=^du = 0 integrando I-1- I------- j=^du = < U \U J X J Uy/u

2

3 1 n x --^ - = c

= c => c = -27

/. x + y - ln (x + l)(y + 1) =

( x - J x y ) d y = y d x , y = 1 cuando x = 4

Desarrollo Agrupando se tiene:

cuando x = 0

Separando las variables se tiene: - í ^ + —— = 0 , integrando x +1 y +1

_i

\nx = -e ~ "+ c

1

Desarrollo

* |Ví

,

x(y + 1) dx + y(x + l)dy = 0, y =

= udx + xdu

e'dx = xdu , separando las variables — = e~“ du , integrando x

j - - = je ~ ud u + c

jf2—y 2 = 21

25 - 4 = k => k = 21

y = ux => dy = u dx + x du (xeu + xu)dx = x(udx + xdu)

513

E c u a c i o n e s D i f e r e n c ia l e s

ln jc + in u + —= = c ■Ju

2

=> ln xm+ —= = c -Ju

y3

31n x

-—

21

toy + 2^

= c para x = 4, y = 1

x dx - y dy = 0, y = 2 cuando x = 5 Desarrollo

ln 1 + 4 = c => c= 4

ln y + 2 ^

=-

1-

ln 2



( v + 4)(2y + 6)dy + x y 2dx = O , y = 1 6 cuando x = 0

515

y(x +l)
Desarrollo Separando las variables se tiene:

2 í -—r ~ d y + f =c J j2 •> jc + 4

para x = 0, v = 16 F '

Desarrollo

^~V* —■dy 4- —— dx = 0 , integrando y x+4

Separando las variables se tiene:

=> 21ny~ —+ ;t-ln(.x + 4) = c y

Jy

x 2 +l

ln(y 2+ 1) + ln(oc2+ 1) = 2c

+ ( J ^ L =C ^ J x ¿+1

ln(y 2+])(j£2 +1) = 2c =* (y 2+ 1)(jc2 +1) = k

2 ln 16—— - l n 4 = c 16

(y 2 + l)(x 2+ l) = 10

para x = 0. y = 3 => l0 = k

3 , 256 3 3 c = 2 1 n l6 - — ln4 = ln-~-------= ln 6 4 — 8 4 8 8

® /.

+1

= 0 , integrando

+1

y

2 1 n y ----- i-A:-ln(jc+4) = l n 6 4 - y 8

dx

ey dy

xy

x3 - l

=0 Desarrollo

.V3-1 Separando las variables se t i e n e : ------- d x + e y y dy = 0 , integrando

( xy2 + x 2y ) d y - x y 2dx = 0 , x = 6, y = 1

x

Desarrollo

fx 3- l

xy (y + x) dy - xy.y dx = 0 simplificando

r

2

] - —~ - d x + y y y d y = 0

x3

ey

,

=» —— ln;t + - y = c , x = 1, y = 0

(y + x)dy - y dx = 0, es homogénea entonces y = ux => dy = u dx + x du 1 3

, ,

1 2

dy

y

y

dx

x

x

- - l n l + — = c

(ux + x)(u dx + x du) - ux dx = 0 => (u + l)(u dx + x du) - u dx = 0 u2dx + (u + \ ) xd u = 0 separando las variables

—- = —+tg — ,

=>

y = 7t,cuando x =6 Desarrollo

dy = (—+ tg —)dx x x y

ln

1 - 6= c

=> c = 6

I n y - — = c p a r a x = 6, y = l y

y

es homogénea entonces y = ux =* dy = u dx + x du

u dx + x du = (u + tg u) dx => x du = tg u dx separando las variables ••• l n y - - = 6 y

ctg udu = - ~ , X

integrando

¡ctg u d u = \~ ~ + c j

e y*

5

2

6

--------- l n * + —

6

dx u + l . rdx ru + l — + —-—du —0 , integrando— + —— d u = c X ll J X J U { ln jr+ ln w -—~-c => ln jc « -—= c u u

x3 3

5 £ =- —

J

X

= —

Eduardo Espinoza Ramos , senu

l n -----------=

c

X

=>

senu

,

------------=

k

.= >

y , sen — ~ k x pues x -

X

6,,

v


= tc

para x = 1, p = p 0

X

517

=>

1 = k( p 0 +b)a

=> k

1

=

(Po+b)a sen —

6

= 6

k

=>

— = 6

2

k

=>

y x sen — = — x 12

fc = —

12

=>

jc

y = 12sen — Je

(2)

ahora reemplazamos (2) en ( 1) x

ctg y dx + ctg x dy = O, y = Ocuando x = 0

= -

(P+ b)a

, función de demanda del bien x

(Po+b)a

Desarrollo Hallando la grafica: Despejamos p Separando las variables se tiene: tg x dx + tg y dy = 0, integrando J

tg x d x + 1 tg y d y = c

=> ln sec x

+

(P + b)a x = ~,-----------^ P = (Po+b)xa - b , para x = 1, p = pQ; x = 0, p = -b (Po+b)

ln sec y = c

para p = 0, se tiene x = (------ -)" en este caso se toma la parte positiva del gráfico. Po+b

ln sec x sec y = c => sec x sec y = k para x = y = 0 => c =

1

sec x sec y =

1

La relación entre el precio p y la cantidad demandada x es tal que la tasa de reducción en la cantidad demandada a medida que aumenta el precio, es directamente proporcional a la cantidad demandada, e inversamente proporcional a la suma del precio mas una constante, determinar la función de demanda si p = p 0 cuando

x =

1

grafique la

relación obtenida. Desarrollo dx ax Sea p = el precio, x = cantidad demandada de la condición del problema: — = ■ •dp p +b (53) de donde — = —, integrando ambos miembros x p +b

La tasa de incremento del costo total y a medida que crece el numero x de unidades fabricadas, es proporcional a la suma de las unidades fabricadas, es proporcional a la suma de las unidades manufacturadas mas una constante, e inversamente proporcional al costo total. Establezca la función de costo si y = y 0 cuando x = 0, grafique la relación

í— = a í de donde ln x = a ln (p + b) + c J x Jp+b

obtenida. Desarrollo

ln x = ln( p + b)a + c

ln(

■) = c ( P+b)a

= k => x = k (p + b)°

de donde (p+bf

Sean

(1)

x = unidades fabricas y = y(x) costo total de las unidades fabricadas

de acuerdo al problema la descripción matemática es

Eduardo Espinoza Rumttt

55)

dy _ a(x + b) , de donde y dy = a(x + b)dx, integrando dx y J"y dy = a j (x + b)dx + c de donde

>-2

a(x + b)2

2

2

l.cuaciones Diferenciales

519

La relación entre el ingreso R y la cantidad demandada x es tal que la tasa de crecimiento del ingreso a medida que aumenta la cantidad demandada, s igual al doble del cubo del ingreso menos el cubo de la cantidad demandada, todo dividido entre tres veces el

+c

producto de la cantidad demandada y el cuadrado del ingreso. Determine la relación entre el ingreso y la cantidad demandada si R = 0 cuando x = 10, grafique la relación

calculando la constante c; cuando x = 0, y = y0 yo _ ab2

obtenida. Desarrollo

+c

2

2

„2 _t2 Luego — = -^—— —+ — . 2 2 2

2

De la condición del problema se tiene la ecuación: => y 2 = ax2 + 2abx + ab2 + y% -a b2

dR dx

2 R3 - x 3 3R2x

( 1)

0

— — - R = - - —R 2, ecuación de Bemoulli, multiplicando por R 1 dx 3x 3

y = ijax2 + 2abx + y% La tasa del incremento de las ventas v a medida que crece el gasto en publicidad x, es igual a una constante mas el gasto publicitario. Halle la relación entre las ventas y dicho

dx

costo si v = v0 cuando x = 0, grafique la relación obtenida. Desarrollo

3x

(2)

3

Sea

dR z = R3 =* — = 3R 2 — reemplazando en (2) dx dx

3 dx

— —z = 3x

De la condición del problema se tiene: dv = c + x , de donde dv = (c + x)dx, integrando dx j d v = j ( c + x)dx + c

=> v = cx + —— he, cuando x =

por lo tanto v = e x +— + v0 , rama de parábola

0,

v = v0 => c = v0

3

, simplificando se tiene:

— - —z = - x 2 , ecuación lineal en z dx x

z =e

z

-f--dx

f

x [je

f- - d x

.

x (~x~)dx + c\

= e2tnx[je~2iax(—x 2)d x + c], simplificando

z = - x 3+ ex2, para z = R3 se tiene

0 = -1000 + c ( 100)

=> c =

10

R 3 = - x 3 + 1 0 x 2 => R = (1 0 x 2 - x 3) 3

z

= x 2[ -^ d x + c \ = x 2( - x + c)

R3 = - x 3 + cx2 , para x = 10, R = 0



521

Graficando

La relación entre el costo promedio y , y el numero de unidades producidas x. es tal que el cambio en el costo promedio a medada que crece el numero de unidades es igual a la

57)

La tasa de incremento en el costo y a medida que crece el numero x de unidades

razón del numero de unidades menos el costo promedio, dividida dicha diferencia entre el

fabricadas, es igual al doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del numero de

numero de unidades. Determine la relación entre el costo promedio y el numero de

unidades, dividido todo entre el producto del costo y el numero de unidades. Determine la relación entre el costo y el numero de unidades fabricadas si y = 3 cuando x = 1, grafique

- 9 unidades producidas si y = — cuando x = 1, grafique la relación obtenida.

la relación obtenida. Desarrollo

Desarrollo Sea y = costo,

De la condición del problema se tiene:

x = numero de unidades fabricadas de acuerdo a las unidades del

problema, la ecuación es: d y x —y d y 1— — — = ------ de donde — + —y = 1 , ecuación lineal en y dx x dx x

dy 2y —x dy 2 i — = ----------- de donde —;---------- y = -x y dx

xy

dx

x

aplicando la solución general para las ecuaciones lineales que es una ecuación de Bernoulli multiplicando a la ecuación (1) por “y” f dx

rdx

y = e J7 [j e 17 (Y)dx+c] = e_lnx[J etoxdx + c]

y dy------2 y dx

1 ,x r x - x c y = - ( — + c) => y = - + — X 2 2 X

( 1)

calculando c, para x = 1, y = — de donde

2

9 1 — = —+ c => c = 4, reemplazando en (1) — x 4 y = —+ — relación entre el costo promedio y el numero de unidades 2 x

2

... (2)

x

sea z ■

^ = 2y £ , reemplazando en (2)

\ dz 2 ----------z = -x

dz 4 de d o n d e --------- z = -2 x

2 dx

x

dx

x

que es una ecuación lineal en z, cuya solución general es:

_f z =e

r * [jV

* ( - 2x)dx + c]


; = ¿41n*[J

J x3

x (-2x)dx + c] = x 4[

z = x 4(x~2 + c) = x 2 + ex4 como z = y

ln v - ü l n | p - c \ = k x entonce^ lnv(/>-c)° = Jfcj

+ c]

2

y 2 = x 2 + cx4 , para x = 1, y = 3 se tiene 9 = 1 + c => c =

523


Je => v = ---------- , v = v0 cuando p = p0 (P ~ c ) a

v ( p - c ) a =k

8 de donde

,

v0(P o -c ) - k

(p -c)

y 2 = x 2+ 8x4 => y = y[x2 +Sx4 (59)

••

.

v-

Si el interés es capitalizado continuamente:

graficando a)

Detennine la cantidad de que sedispone a los 10 años si se depositan $ 5000 al 4%.

b)

Evalué el monto disponible a los 20 años si se

depositan $ 20000 al 6%.

Desarrollo a)

Si la tasa de interés es 100i% capitalizable continuamente y “A” es el monto en cualquier tiempo (principalmente mas los interés acumulados) entonces podemos hallar una relación que indique la tasa de variación del monto. dA

— = ¿A, ecuación de variable separable La tasa de crecimiento del volumen de ventas, v, a medida que decrece el precio p, es proporcional al volumen de ventas e inversamente proporcional al precio menos una constante, halle la relación entre dicho volumen de ventas y el precio, si v = v0 cuando P = PoDesarrollo De la condición del problema, las ecuaciones: dv

-a v

, donde v = v0 cuando p = p0

dv _ a d p ' ¡ujggjgjjjjQ ambos miembros v p-c

dt dA . , , f dA r . . — = i d t , integrando J — - = J 1 dt + c

ln A = it + c de donde A ~ ke " , para t = 0, A = A<} A^-k

entonces A - A ^ e “

capital inicial $ 5000, interés 4% anual <=> 0.04 anual calculando el monto en 10 años después 'A = 5000e(° 04)10 = 5000e°4 = 7450 aproximadamente

f — = - a f + k, de donde hi v = - a ln | p - c | J v J p -c

El monto luego de 10 años, será aproximadamente de $ 7450


10


Monto inicial S 20000, interés 6% anual <=> 0.06 anual

525

Datos: x = población

calculando el monto luego de 20 años

;

t = tiempo

k =s tasa de crecimiento 5%

A = 20000e(ü06x20) = 20000*’° 12 = 66402 aproximadamente la ecuación del problema: — = k x , de donde — = k d t , integrando se tiene: dt x

Luego el monto después de 20 años será aproximadamente de $ 66402. Si el crecimiento de población es continuo y la tasa r es proporcional al numero N de dN a 'I individuos presente en una población, entonces = r N , r > 0 creciente, r < 0

j — = k j d t + c entonces lnx = kt + c

decreciente. Si N = N 0 cuando t = 0, obtenga una formula para el numero de individuos

x = Aek>, para t = 0, x = x0 se tiene:

jcq = A = 200 población inicial

de la población al tiempo t. Desarrollo

x = 200«?^ , k = 0.05 tasa de crecimiento X

dN

= r N , separado las variables se tiene: ---- = r d t , integrando dt N ^ ~ = ^ r d t + c de donde ln N = rt + c, calculando c, cuando t = 0, N = N0

ln N0 = c entonces

ln N = rt + ln N0

N ln N - l n N0 =rt => ln — = r t , levantando logaritmo No — = en => N = N0ert, de donde N0

x=

mj B

(62)

200
para t =

10 se tiene:

* = 2OOe(005,(10) = 329.8

Un fabricante ha descubierto que el cambio en el costo de distribución D a medida que aumenta las ventas v, es igual a una constante multiplicada por las ventas mas otra constante. Halle la relación entre el costo de distribución y las ventas si D = 0 cuando v = 0, trace la grafica de la relación obtenida. Desarrollo

De la condición del problema se tiene dD , — = k, v + k-,, que es una ecuación de variable separable dv

N0 — numero de individuos para el tiempo t = 0 dD

= (&, v + k2) d v , integrando ambos miembros

r = tasa de crecimiento de la población, t = tiempo

j d D = j ( k lv + k2)dv

Si el crecimiento de una población es continua a razón de 5% al año, y el numero original de individuos es 200 ¿Cuál será el tamaño de la población a los 10 años? Desarrollo

de donde

D=~

— hk2v + c ,

cuando v = 0, D = 0 entonces c = 0 ky 2 por lo tanto D -- -y v 4-k2v , su gráfico es:


Eduardo Espinoza Jtflmn

| (64)

527

La relación entre el costo de operar un almacén o bodega y el numero de litros de aceite almacenados en el mismo esta dado por — = k x + a , en donde y es el costo mensual de dx

operar dicho deposito (en pesos) y x es el numero de litros de aceite almacenados. Obtenga a y como función de x si y = y0 (costo fijo) cuando x = 0. Grafique la relación obtenida. Desarrollo dy

Como —- = kx + a , entonces dy = (kx + a)dx, integrando

La renta de los departamentos para estudiantes (con dos recamaras y muebles comunes) en un lugar cercano a una universidad, varia según sea la distancia de la vivienda con

dx

¡ d y = ¡ ( k x + á) dx de donde y = ^ —+ ax + c

respecto a la institución educativa. Suponga que tal relación esta dada por ~~~ = - ( —+ a ) ,

1 < x < 10, en donde y es la renta mensual (en unidades monetarias determinadas) y x es

cuando x = 0, y = y0 => .y0 = 0 + c => c = y0

la distancia (en kilómetros) a la universidad; k y a son constantes. Exprese a y como una función de x, si y = 225 cuando x = l, grafique la relación obtenida.

kx Luego y = - ^ - + o* + x0 , cuya grafica es:

Desarrollo

—

dx

= —(—+ a) de donde

x

dy = - ( —.+ á )d x , x

integrando

ídy = —{(—+ a)dx+c x

y = -k In x - ax + c , cuando x = 1, y = 225 se tiene: 225 = 0 - a + c => c = a + 225 y = a + 225 - ax - k ln x, es la respuesta

5.3.

PROBLEMAS.-

Obtenga la solución general para cada una.de las siguientes ecuaciones diferenciales. 0

x dy - 3 y d x = x 1dx

Desarrollo

Eduardo Espinoza Ramo* , , , dy 3 de?donde ---------------y = x

-

dy „ x 3y = x dx

dx

e~y r „ x ——-—[J e dy + c] =>

x

es una ecuación diferencial lineal en y ©

como la solución es

*

f—^ d x

[Je 1 x d x + c]

=>

dy

dx 2 * .. ---- 1- —x = 3 ecuación lineal en x dy y - jJ - VJ y

y = eilnx[je~ilnxxdx+c]

y = *3[, {Jd—x + c] — + 2xy - 2xé~xl dx

y — + 2x —3y = 0 Desarrollo

x

- í - —dx

e~y e2y

y = ----- H r + Cí

y = e S PMdx[ \ ¿ PMdxQ(x)dx + c]

por lo tanto P(x) = —3 y Q(x) = x y = e*

529


3, 1 y = xJ( - - + c)

,» JJ-4y V

1 [Je y ^ dy+c] =» x = e~21n,'[Je 2lny3dy + c]

r

y f j3 y2dy + c] =» -x = ~ [ y 3 +c]

Desarrollo

Desarrollo

ecuación lineal

y = e ^~xdx[je}~xd*2xe x dx + c]

y

fP = x(6xy + 5) {,Q - 2x 3 + y

y = e~x (x 2 + c)

como d /( x ,y )

=0

dx 1+ y -----h------x = —ey ecuación lineal en x y

y

dy

— = 6x2

ap dy

a<2 dx

es exacta => 3

f(x,y)

tal

que

3/(x,y)

= P (x,y)

dx

Q(x,y)

dy Desarrollo

dy

f— = 6x2

3jc

=> y = e x [J ex 2xe* dx + c]

= e~x [J2xdx + c]

y — + (l + y)x —ey dy

y

x(6xy + 5)dx+ (2x3+ y)dy = 0

=0

— + 2xv = 2xe~x dx

X = y + — ,r

-^ ^ - = P(x,y) = 6x2y + 5x 3x

integrando

f ( x , y ) = f(6x2y + 5x)dx + g(y)

J

5 jc / (x, y) = 2x3y + — -+ g(y) derivando con respecto a y df(x,y)

3y

■= 2x + g '(y) = Q(x, y) = 2x + y

y


(? )

tt\y) = y => g{y) =-

f(x,

531

y efe + 3x2exdx = dy Desarrollo

i 5x 2 v“ IXs y + — - + J L + C

y) =


dy

4x3y + 5x2 + y 2 --=k

y + 3x2ex , de donde

dx

(<3[x + bxy + q )dx + (i>,x+ b2y + c2)dy = O

- y = 3x2ex ecuación lineal dx

y - e í dx[je^ d*3x2exdx + c]

=> y = ex[ j3 x 2dx + c]

Desarrollo y = ex[x* +c] P = alx+ b ly + c l Q = blx+ b2y + c2

dP = b¡ dy dQ

. 5x

(? )

(ye** + 2 xy)dx + (xe^ + x 2)dy = 0

= bl

Desarrollo

dP = dQ como — = es exacta => 3 f(x,y) dy )y dx

\ p = yexy+2xy |(? = xe** + x 2

d f(x ,y ) tal que ^ ~ ^ - = P (x,y) y dx

dy

= Q(x, y)

d f( x y) f — ~ ~ = P = alx+b,iy + cl integrando f ( x , y ) = J (a1x+ b¡y+ c1)d x+ g(y)

^ = exy+xyexy + 2x dy ^ = exy+xyexy+2x dx

($P 00 como ——= — es exacta, entonces 3 f(x,y) oy dx

tal que — — = P(x, y) = ye** + 2xy integrando /( x ,y ) = jíye** + 2xy)dx+ g(y) / ( x , y) =

+ b{xy + c,x + g ( y ) , derivando / ( x , y) = exy + x 2y + g ( y ) , derivando

dy

= blx + g \ y ) = Q(x, y) = b¡x + b2y + c2 dy

= x e v + x 2 + g '(y) = 2 (x, y) = x ^ + x 2

g'(y) = b2y + c2 => g (y ) = b2^ - + c 2y + c

g'(y) = 0 =* g(y) = c

, fr(,x , y)n= a\X— f fc,xy + c ¡ x +bi- ^y ~ + c2y + c

f ( x , y ) = exy + x2y + c

...

_a¡x2 L _ + _b2y ^ _2 + ¿kJty + e iJC+ C 2y = t

exy + x 2y = k

(x + 1) — + 2y = e ^ x + l )“1 dx Desarrollo

Eduardo Espinoza K
V.cuaciones Diferenciales (3x2y + xy2 + ex )dx + (x 3+ x 2y + sen y)dy = 0

1 v + ----- y ~ e x( x + 1)“2 ecuación lineal dx x + l ‘ rldx

533

Desarrollo

r2dx

y = e x+l[ j e X^ e x(x + \)~2dx + c]

¿P , 2+ 2. xy — —= 3jc dy

| P = 3x¿y + xy2 +ex y = y = ■

1 - y [J (x + l)2ex (x + 1)-2dx + c)

[Q = x 3+ x 2y + seny

1 .fj. ,ex +c y “ --------■-[ \e dx + c] => y = --------(x + l)2 J ( x + l )2 (y eos x -

2 sen y)dx = (2x eos y -

dP dQ como — = - — es exacta, entonces 3 f(x,y) dy dx

sen x)dy Blque m i ¿ L ^ n x , y) dx

Desarrollo (y eos x -

2 sen y)dx - (2x eos y -

Q = - ( 2 x eos y - sen *)

= c o s x - 2cosy

1 xV / (x, y) —x y H— ~ —+ ex + g ( y ) , derivando

ÓQ = - 2cosy + cosx dx

dy

2x sen y + g(y),

= x 3+ x 2y + g'(y) = Q(x, 3;) = x 3+ x2y + sen y

g ’(y) = sen y

y V i ± y ) = Q (xy) dy

( l 2)

derivando

=> g(y) = -eos y + c

-i x 2 y2 f ( x , y ) = x y + ■■■ ■ + ex - eos y + c

df(x, y) = P(x,y) = y c o s x -2 s e n y , integrando f ( x ,y ) = J ( y c o s x - 2seny)dx+ g(y) dx f(x,y) = y sen x -

M í í l l =Q (x, y) dy

— ■v ^ = P(x, y) = 3x2 v + xy2 + ex , integrando dx

dP ÓQ a et \ como — = — es exacta, entonces 3 f(x,y) dy dx

dx

y

sen x)dy = 0

dp_ P - y eos x - ¿sen >’

dQ = 3x~+ 2xy dx

2y sen xydx + (2x sen xy + y 3)dy = 0 Desarrollo

df(x, y) dy

■= sen x —2 x eos y + § '(y) = Q(x, y) = - 2xcos .y + sen x P = 2 ysenxy

g'(y) = 0 => g(y) = C f(x,y) = y sen x -

2x sen y + c

Q ~2xsenxy +y3 y sen x - 2 x sen y = k

— = o2¿en xy + 2xy eos xy dy — = 2 sen xy + 2 xy eos xy dx

2 2

x3y + *~y + e * - c o s y = ¿

2

Eduardo Espinoza Ramo*

535

Ecuaciones Diferenciales dP

como — = — - es exacta, entonces 3 f (x,y) ay dx

P = y 2 eos e c 2x + 6xy - 2

I

Q = ~ ( 2 y c t g x - 3x2)

alqUC W ± l 2 = P U y ) y V £ l > = Q ( X, „ dx dy

. dx dP

dQ

dy

dx

como — = — ^f( * y)

—— — = P(x, y) = 2y sen xy , integrando

r /( x ,y ) = J 2ysen xyd x + g(y)

■2 ycosec2x + 6 x

dy

=2 ycosec2x + 6 x

_ , . es exacta, entonces d f(x,y)

tal que - - - - - - = P(x, y) y

dy

- Q(x, y)

dx

f ( x , y ) = ~2cosxy + g ( y ) , derivando

dy

d f ( x y) 9 o —— — = P - y" eos ec x + 6 xy •- 2 , integrando

- = 2x sen xy + g '(y) = Q{ x, y) = 2x sen xy + y3

dx f ( x , y) ■- J ( y 2 eos ec 2x + 6xy - 2 )dx + g (y)

3 g '(y )= y

y4

=> g(y) = ¿ - + c 4

/( x , y) = - y 2ctg x + 3x2y - 2 x + g ( y ) , derivando

y4 /( x ,y ) = ~ 2cosxy + -— +c 4

'

4 8cosxy = k

y -

(3y sen x - eos y)dx + (x sen y - 3 eos x)dy = 0 Desarrollo Agrupando adecuadamente (3y sen x dx - 3 eos x dy) + (-eos y dx + x sen y dy) = 0

df (x, y) - = - 2 y ctg x + 3x 2 + g \ y ) = Q = - 2 y c t g x + 6 x 2 dy g '(y ) = 0 => g(y) = c

c o s y d x - ( x $ e n y - y )dy = 0 Desarrollo

d(-3y eos x) + d(-x eos y) = 0, integrando se tiene J¿/(-3ycosx) + j"í/(-A COsy) = c

=$ -3y eos x + (-x eos y) = c

Í3P

= -sen y

P = eos y

3y

Q = —x se n y + y 2

3G ■= - s e n y 3x

3y eos x + x eos y = k (y 2 eos ec2x + 6xy —2)dx = (2y ctg x - 3x2 )dy

3x 2 - y 2ctg x = k

/( * > y) = - y 2ctg x + 3x2 + c

dP

dQ

dy

dx

como — = —

c. . es exacta, entonces d f(x,y)

Desarrollo (y 2eos ec2x+ 6xy - 2)dx ~ (2 y ctgx —3x‘ )dy = 0

m

^ i =P(x, y) y m > i = e i x , y) dx

dy

Eduardo Espinoza Ramm

dx

f ( x , y ) = - ~ + ^ j +c X y

= - x sen y + g'(y) = Q = - x sen y + y

dy

17) 8 \y) = y

g ( 3, ) = T + c

l 2x . . ( A r +— )dx = (-= -+ — r )d y y x y Desarrollo

-+ 2 y -x =0 dx

y - e i 2dx[ je ^2Jxxdx + c]

y = e

-2xfxe2x [_ _ _

=>

y = e~2x[J e2xxd x + c]

_ e2x _ _ + c]

y = _ _ _ + Cx £ 2x1~2 x

.1

* . ,

2x “ . , . 2(— + — )dx - (— + — ~ \dy - 0 x y x y y

18) p = * 4 +4 ) x 3 >-2 Q =

,

1

at

i d p = jt__4* dy

*3

3.x

7”3 “ ?-■3

2x2.

-(— +— ) yJ

2

y3 4x

ä/5 5ß t í -, v como — = —=■ es exacta, entonces d f(x,y) dy dx

dx d f(x ,y )

=k x¿ .

dy — + 2 y - - x ecuación lineal en y dx

3;ccosy + y = k

y* „ ,

x

y

Desarrollo

/ ( x, y) = xcos y + — + c

2

537

g ' ( y ) - 0 => g(y) = c

- P = cos y , integrando f ( x , y) = fcos y d x + g (y ) = xcos y + g(y) J

—

df(x, y)


x — = x3 + y dx Desarrollo —— - y = X2 ecuación lineal en y dx x f dx

=e

xlje

Xx 2dx + c] =¡> y = elr":[ê~lnxx 2áx + c] = x(^~- + c)

x y = — + ex 3

ay 2y 2x p - ^ Z + 4 , integrando f ( x , y ) = [ ( ^ + “ ><¿*+5^) x v J x y

r dx

dx

X+ l

y2

Desarrollo

f ( x , y ) = —~ + ^ T + g ( y ) , derivando x y

dy 2 x _2 j ™ ecuación de Bernoulli — -----------y - _ y dx 3(* + l) 3

5 i < i r t = _ 4 _ ^ + s .w = e = - 4 - ^ dy je y x y

y 2 - ¿ - + --------------v 3 = -

2

dy

2

dx

3(x + 1)

3

x 3


sea z = y

3


v dz - 2 dy — = 3y — dx dx

¿ ----- xz = xe 2~dz dx

- — + — - — z = —, de donde — + z = x , ecuación lineal en z 3 dx 3(x + l) 3 dx x + l •

r 2
z =e

dz x xex . => ---------z = ------ ecuación lineal en z dx 2 2

- f~ d x r f - - d x xex — C e 4 xex 2 [Je 2 —— dx + c] => z = e 4 [J ---- — — d x+ c]

1

r 2dx

539

£3^2

X2

I

3j2

z = e •t+l[J e x+lxd x + c] => z = e~2 bKX+1)[ j e 2ln(x+l)xd x + c]

y2=e4[Je4 —dx+c] => y2=e4[—e 4 +c]

z - ---- L_;_ [[(Jf4. 1) 2A-¿jC+ c] =;> y 3= ---- L__ [ f ( x 3+ 2x 2 +x)dx + c] (x + l )2 J (X + l )2 J

dy x — - xy=dx y Desarrollo

1 (---x+ 42x 3 +X----+ 2 y } -------------C) . (x + l )2 4 3 2 3

dy _i ----- xy = xy ecuación de Bernoulli dx

dx _v — +x=e y dy

dy 2 2 dz ~ dy y ----- xv“ = x sea z = y --=> — = 2y — dx dx dx Desarrollo

— +x = dy

- - - - - x z = x , de donde - - - 2xz = 2x ecuación lineal en z 2 dx dx

ecuación lineal en x

z = e \ ~xdx[ j ei

- x J x 2 xdx+ c]

=> z = e x

[ je ~ x

2x d x + c]

x = e l d}[je^dye~ydy + c] => x = e_>,[JVv.e~vdy + c] =» x = e_>[y + c] y 2 = e * * ( - e ~ x ‘ + c) dy l x2 ----- xy = y l xe dx

2 3 ;

y

¿

x

+

x y

~

= - l + ce x2

X e

Desarrollo dy 2 — - xy = xe* y 2 ecuación de Bernoulli dx

Desarrollo dy — dx

_2 o + xy = xe y

• -i ¿/y a _2 ecuación Bernoulli y — + xy =xe dx

,, 4 dz . 3 dy Sea z = y => — = 4y — dx ' dx

1 dz _*j ==>------+ xz = xe 4 dx

dz ~3 — + 4xz = 4xe x ecuación lineal en z dx


=> z = e~2x [ j e2x

z = e Âxdx[ j e ^ xdx4xe x dx + c]

£ --e~2' j j 4xex

dx+c]

dy , dx

x dx + c]

y 4 = 2e

=> z = e iA j2eK +c]


541

1 y

-Z + Cy---- )X = i) Desarrollo

+c.e

dy y2 dx+ ------y x -- 0

xydy = (x2 - y 2)dx

separando las variables

Desarrollo x y ^ L - x 2 - y 2 => — + —v = xy dx dx * ‘ Sea z = y

2

=>

—~- =

dx

2 y —dx

dz

=>

*,Bemoulliy ^ - + — y 2 = x dx

_ dy - + - z 2 dx x

=

x

1 dz 1 jc

- 4 “ + x dx = 0 , integrando í + f x dx = c y "1 J y 2-1 j

4 i n ! y 2 - 1 1+-~- ~ c l 2

=> ln(y2 - l ) + x2 = k

ds — - s c t g t = í - { t + 2 )c t g t dt

— +—z = 2x ecuación lineal dx a

Desarrollo

z = e-fcfa[J^* z =
ds ~ ~ ctS t s - i - (t + 2 )ctg t , ecuación lineal

y 2 =~ [ x

[2*3dx+c] =* y 2 =-y [—+c]

J

X

2

s - e ■ 11 J! [j J

(x + y)dx + (x -

ctg ,dl

(1 - (t + 2 )cig t) dt + c]

2y)dy = 0 Desarrollo s = e ^ e'“ [ ¡ e ^ ‘ ( l - ( t + 2)ctg t) dt + c]

Sea y = ux =» dy = u dx + x du (x + ux)dx + (x - 2ux)(u dx + x du) = 0 =>(1 + u)dx +

(1 - 2u)(u dx + x du) = 0

=>

, = f-1- ^ + 2)cfgfd/ + c] J sen?

J

s = sen íf (eos ec t - (/ + 2)cíg /.eos ec í )dí + c]

(í+ u + u ~ 2 u 2)dx + (l~ 2 u)xdu = 0 => ( 2 u " - 2 u - l ) d x + (2u-V)xdu = 0 s = sen 11 in | cosec t - ctg 11 + (t + 2)cosec t + Ir. ¡cosec t —ctg — + —^ ——- du = 0 , integrando x 2m - 2u

t J + c]

s = 2 sen t ln |cosec t - ctg 1 1+ t + 2 + c ds

s

se n t

---H— = eos t + -----dt t t Desarrollo _ rdt

s =e

edt

‘ [ j e ‘ (eost + ~--~~)dt + c]

=* j = e [n‘[ j e m‘(eost + ~ ) d t + c]

Eduardo Espinoza

R a m o»

Ecuaciones Diferenciales S

= -[J (íco sí + sent)dt + c]

=> s = ~ [jd (tsen t) + c]

1. . c s = - ( t sent + c) = sent + — t t dy — dx

(5Ì)

543

(y sen + xy eos x)dx + ( a: sen x + sen y + ey )dy = 0 Desarrollo

s - sen t + — t

\dP dy

P = y sen x + xy eos x

+ y = cos x - sen x

Q = xsen x + sen y + ey

dQ ——= sen x + a eos x dx

Desarrollo y =e

(cos x - s e n x ) d x + c]

=> y = e~x[ j e x (cos x - s e n x)dx + c] como

y = e~x[ j"d (ex cos a ) + c]

y

,al que Í Í Z ñ . r dx Desarrollo

dy

IQ = - x 2seii y

dQ = -2xsen y dx

,

=e dy

df(x, y) : y sen x + xy eos x , integrando /(.v ,y ) = | ( y í e « A + AycosA)<¿r4-g(y) dx

= - 2xsen y

j P = 2x cos y - ex

f ( x , y) = Jd(yx sen a) + g(y) f(x,y) = vx sen x + g(y), derivando

dP dQ -, c, s. como — = — es exacta, entonces 3 f(x,y) dy dx lalque V t ± y ) = P y dx

dQ es exacta entonces 3 f(x,y) dx

= ^ ( ^ cosA-f c) => y=c os A + c e jC

( 2.Vcos y - ex )dx - x^sen y dy = 0 dP

dP dy

d f (x, y) — - x s e n x + g'(y} = Q = x s e n x + s e n y + ey dv

dy

g'(y) = seny + ey => g(y) = - e o s y + e y +c

-Ú —ll}. - p = 2 x c o s y - e x , integrando f ( x , y ) = [ ( 2 x c o s y - e r)dx+ g(y) dx J

f ( x , y) = yxsenx —eos y + e y +c

f ( x , y) = x 2 eos y ~ e x + g ( y ) , derivando

J 11 dy T x2 —— xy = e~ cosa dx

df(x, y) 2 ^ 2 — —— = - x sen y + g (y) = Q = - x sen y dy

y x s e n x —co sy + e y = k

Desarrollo - f - x d x . j* S -x d x ~Zx l

y=e J

8'(}’)=■■0 => g(y) = c f ( x , y ) = x eos y - e 1 + c

sen x + x eos x

x l eos y - e y = k

[J e 1

—f —

y = e 2 [je

e2

.

-x 2

2 co sxe2

,

cosxdr + c]

í/a + c]

il

=> y = e 2 [Je5** cosa<£c + c]

*

Eduardo Espinoza Ruin»*

Ecuaciones Diferenciales 36)

COS0.— = 2 + 2 rsend de

eos y dy + (sen y -

545

1) eos x dx = 0 Desarrollo

Desarrollo eos y

-dy + cosxdx = 0 , integrando se« y -1

dr - ItcQ.r = 2sec 0 , ecuación lineal

de

r = e- i - 2>*6‘“, [ \ e¡-2,ged62 s e c ed 0 + c] => r = e 2lnsec0[Je 2lncose2 sec 0 dO + c r = sec20[

J 2cos0í/0 + c]

feos y d y f J------------h \ c o s x d x = c J sen y -1 J

■

37)

=> r = sec20.[2sen 0 +c]

, .,. ln ¡ sen y - 1 ¡ + sen x = c

x tg 2y d y + xdy = (2x2 + tg y)dx Desarrollo

eos 26.r = 2sen9 +c

x(tg2y + l)dy = (2x2 +tgy)dx

eos xsec y dx +sen x sen y sec 2 ydy = 0

2 dy „ 2 xsec — - 2* = í s v dx

Desarrollo -C-°S* dx i 5eWy Se° 2 ~V - dy ~ senx sec y ^ctg x d x+ ^tg yd y = c

0

=¡> c tgxdx + lgy dy = 0, integrando

, „ ln sen x. sec y = c

sen x sec y = k

Desarrollo

%

cdx r dx x [ j e X 2dx + c] => z = emx[ê~{nx2dx + c

Desarrollo

J

=> s = ehlcos' [ e!nsec' ( 21+ f2íg t)dt + c] _ 3 dz „ 2 dy Sea z = y => — = 3y — dx dx

.V= eos/[J sect(2t + t 2tg t)d t+ c] => s = c o s /ljd (/ 2sec/) + c] ,

ecuación lineal en z

38)3>,: — - xy 5= e 2 eos x

Es una ecuación diferencial lineal a s

,2

z =e

2

, f 2dx , z = 4 1----- + c] => tg y = x (2 ln x + c) J JC

^ - + s tg t = 2t + t 2tgt dt

i = cosr(f sec/ + c)

2 dy dz „ dz z = tg v =s> — = sec V— => x ----- 2x = z dx dx dx

dz 1 ----- —z = dx x

=> ln sen x + ln sec y = c

s = e ^ ,d’[ \ e ^ ' ( 21+ t2tg z)dt + c)

=» xsee 2 y dy = (2x2 +tg y)dx

’

J = *2 +C-.COSÍ

— ~ x z = e 2 cosx, ecuación lineal dx

Eduardo Espinoza Kiinun

46 x1 cosxdx+c] íl y 3 = e 2 [Jcosxdx + c] ¡9) ^

, =*


_ _£. £_ => z = e M j e ' 2 .e 2 cosx
x = e^ 2y- ^ [ j el (2^

il y 3= e 2 (senx + c)

547 ^

x = e~y +yitj*e y2~y4.2y3e y' dy + c]

x = e~y2+yt[y2e r - e y> +c]

(ln y + y 3+ ye '7)<¿x+ ( - + 3xy2+ xe^ )<¿y = 0 v Desarrollo

1

■1

@

Q = — + 3xy2 + xex>'

=> x = y V * - e y' +c.e~y’*y'

jf

Desarrollo

* Q = l + 3y¡ +xye» dx y '

P —y 2 +- —+ yev

y

como — = — es exacta, entonces 3 f(x,y) dy dx *

=> •

Q = 2xy -- ~ + xey + xyey y dP dy

como

dy

9x

=* x = e~y^ y\ l j e y2y 3dy + c]

(y 4-----f- yey )dx + (2xy — —+ xey + xyey )dy = 0 y y

— - —+ 3y 2+ xye” dy y

P = l n y + y ' +ye'*y

2 y \ ey4dy+c]

df(x, y) = P = lny + y 3+ y e " , integrando f ( x , y ) = |(ln y + y3+ yexy)dx + g(y) dx

dP l y —- = 2y — - + e y + y ey dy y2 30 . 1 y ' — = 2y — ~ + ey + yey 3x v

dQ es exacta => 3 f(x,y) tal que dx

dx

- P

y

=

q

dy

3/(x, y) = F = y 2 + i + yÉ.v , integrando / ( x , y ) = í ( y 2+ - + y e y )dx + g(y ) ' dx ' y J v

/ ( x , y ) = xl ny + .xy + exy+ g(y) / (x, y) = y"x + —+ xyey + g ( y ) , derivando W ^ ± =U W dy y

+ xe*y + g X y ) = Q = - + W y

+ * xy = 2xy - ~ + xey + xyey + g \ y ) = Q y2

dy

g'(y) = o => g(y) = c xln y + xv3+ exy = k

f ( x , y) = xln y + xy3+ e** + c

2xy —

+ xey +xyey + g '(y) = 2xy - ~ + xey + xyey y‘

y

dx + (2 x y - 4xy3-

2y V

)dy = 0 Desarrollo

dy_ + ( 2 y - 4 y3 )x = 2 y V v" ecuación lineal en x dx

g Xy) - 0

=> g(y) = c

/( x ,y ) = y 2x + —+xyey + c

xy + — + xyey = k

y

Eduardo Espinoza R u m o s

licuaciones Diferenciales u

3 /(* ,y )

v: — + (y ¿ + 2y)x -1 = 0 dy

549

xy + 1

1

y

y

— 5 ------------------------------------------------------- =

ax

f 1 ^ = -----------= x + —, integrando J y

Desarrollo o Jt~ JC f ( x , y ) = — + —+ g(y), derivando

*

É l +x = —— ecuación lineal en x dy y y

2

3/Cx,y)

x

ay

y-

v x

„

2y-x

2

x

-------= ------- T + g ( y ) = Q = - ¿ — . = ----------

fz ü * . . fn i ,

= e_í^ [ J e JZ^ ^ - + c ]

=* * = ^ - 2^ [ J ^ +2ta^ + c ]

2

.X= -

y

xy = 1+ c e y

* = ~r-C ^ + c) y

-ljV V y + cJ

g \y) =— y

1

v

y

y

g(y) = 2 ln y + c

f ( x , y ) = — +—+ 21n y + c 2 y

x dy = (5y + x + l)dx

i _ + i + 21n y = ¿ 2 y

esarrollo

45) _z------y = ------ ecuación lineal en y dx x ' x

z=e

M'

* - — - dx+c] x

Desarrollo dx ----- x = dy

=> y = ? '« *[ r[ l¿ to* ! ± i d x + c ] J

+ l ¿Jx + c] .£ ¿. y-----5r^ - V y = x:5[J■* ^ -< => = *5(4x

"7 + Cl => y = —T - 7 + C0'x5

5x

46)

x ~ + 2 y = 3.x3y 3

y

Desarrollo

Desarrollo

P=

3)'

y2

30 =_J_

e = ^

3.x

3*

~í Z= y 3 ^

y2

como — = — es exacta, entonces B f(x,y) tal que "

3y

dy 2 o — + —y = 3x2y 3 ecuación de Bernoulli y 3— + —y dx x dx x '

IdP = _ _ 1_

*y+l

ecuación lineal en x

:~ e ^ ^ [ j e i “yeydy + c] => * = e,’[ f e -'.e^’í/y + c] =» x- = ey(y + c)

4 5

xy + 1 , 2 y ~ x , n — dx + -¿—~ d y = 0 y

— = x+ey dy

~ ~ ** >

a

'

dz 1 ~ ^dy dz 2 „ 2 —- = - - y 3 — => - 3 — + —Z = 3x
--------- z = - x 2 ecuación lineal en z dx 3*

1 3 = 3x 2

/ ( x ,y )

Eduardo Espinoza Éarnot 2 -In.x z = e3

2dx 3a (-X )dx + c]

2dx

2

U| J

-ta i

'-1


z = e ^ '[ je ^ 't e 'd t + c]

=> z = e~,[Je‘ J.e‘dt + c]

"dx + c\

eose = e ‘[ [ e ^ t d t + c] =* cos 0 = e ' [ —- — i-c] => eos6 = —— — + ce 1 J 2 4 2 4

* z = x 3[ ~ J x 3d* + cl

-

¿

1 2 - 1

551

9

3

_i

y 3 = JC3 L—~JC3 +C] => .V 3 = ~

eos ec y ctg t dy = (cc.sec y + ex }dx

\

7*

+C,X

Desarrollo Sea z = cosec y => dz = - cosec y ctg y dy =s> -d z = ( z + e x)dx

x 2— + y 2 =xy dx

Desarrollo

j

i

i

^ L - i y = — - y 2 e c u a c ió n d e B e rn o u lli

d x x

y

_2 dy 1

^ ~ ~ -v ~

-i

— + z = - e * , ecuación lineal en z dx

_^

x2

z=e

x~

z= y

dz -2 dy ^ = "y *

*

z = e_*[-J
^ [J e ^ í-e 'jd b t+ .c ]

e2* ex cosec \ = e~x[------ + c] => cosec y = ------- l-c.e *

2

¿ £ _ I Z= -J L de donde — + - z = -V >ecuación lineal dx x dx x x xx2 2 z = e.

z=

1

td x rdx J r f[ê/i x ,

x2dx + c]

/»

=> z = « toJt[|e ln x 1

,

X

4

50)

x ^ j - + y = y 2x 2 eosx Desarrollo

dx + c] _1

[ í x dx + c] => z = - [ - — + c] x J * 4

X3

4

c

, •y = --------- 1

x

dv 1 2 •.? i n t.— + —y = xcosx.y , ecuación de Bernoulli dx x O Sea

send d d +cosd dt = te'dt

2

—i dy 1 _i y — l— y = xcosx dx x

dz = - y -2 — dy z = y -i => — dx

dx

Desarrollo dd

a . i senQ — + cos 6 = te dt

dz 1 dz 1 -------1— z = x eos x , de d o n d e -------- z = -x c o s x ecuación lineal en z dx x dx x _ f dx

z = cos0

dz =» -— --s e n e dt at

— + z = te' dt

ecuación lineal en z

z =e

x [je

f dx

x (~xcosx)dx + c] =» z =e'ax[-^é~ [axxc o s x d x + c]

z = x[-j"cosxdt + c]

/. y -1 = x(~sen x + c)



dx - x c t g y = ey ( \ - c t g y ) dy

y - e l C,gXíU[ je ¡ ctsxdx sec x d x + c] => y = e lnsenx[ j e ]nsenx secxdx+c] Desarrollo

l rf y - ------ U s e n x secx d x+ c ] senx J

dy_ - ctg yjc = ey( l - ctg y) ecuación lineal dx

1

=> y = -------[lnsecjt+cl senx

y sen x = In sec x + c para x = 0, y =

1

x = e~$~ag vrf>[J ef ~ag ydyey (1- ctg y)dy + c]

0 = In 1 + c

x = e'nseny[ f e- tnsmyey (1 - ctg y)dy + c] J

(y 2+l)-j~ + 2xy = y , y = -l cuando x = 0 dy

=> x = s e n y [ f ^ ^ eydy + c] J sen y

=> c = 0

y sen x = ln sec x

Desarrollo x = s e n y [ j (eos e c y - c t g y eos ecy)eydy + c] =» x = seny[jd(cosec y e y) + c]

dx 2y y2 ——i- —z— x = —— ecuación 1ineal en y dy y 2 +l y 2 +l 3

x = seny[cosecyey +c] => x = ey +c.seny Encuentre la solución particular para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

x =e

V+1

y r l¡e

- dy + c]

según las condiciones dadas.

y2+

— + y t g x = sec x , y = l cuando x = 0 dx Desarrollo

y

+1 J

+

y = e-l'g*dx[ je ¡ ‘gxdxsec x d x +c] => y = e>ncosx[ jiginsecx sec Jt£ÍX+ c]

0= ^ ( - i + c)

y = cosjc[j"sec2.x:í¿E+ c] => y = eos x [tg x + c]

y + -1)\ x = — 1 t(— y +1 3 3

y = sen x + c. eos x, pitra x = 0, y =

2

=> jc = e - ‘n(^ +1, [ f e ^

X= ~T~, + y +1 3

Desarrollo

-1

3jc(y2+ l) = y3 + l

dy - x(l - e2y r )d x, y = 0 cuando x = 0 Desarrollo

dy + (y ctg x - sec x)dx = 0 , y = 1 cuando x = 0

para x = 0, y =

1+ y 2

=* c = — 3

y = sen x - eos x

=> c = -l

y2+l)- ^ — d y + c]

J

-1 55/

-1 =0 + c

3

1

dy = x - x e 2y-jtJ -j±> — dy — + xe x e2y = x dx dx


E c u a c i o n e s D if e r e n c ia l e s

1 dz .y ------- + xe z = x 2 z dx

*3

f ( x , y) = - - + lnAr + e'°' + j?(y), derivando

- 2xz = -2 e * x.z'

— dx

555

_ xe*y + g ~ Q = e y + 3y 2 + xe*7

ecuación de Bernoulli dy

g'(y) = 3 y2 + ey => g(y) = y 3 +ey +c

z~2 - - 2 x z ~ l = -2xé~x dx w= z

_i

dw _2 dz => — = - z — dx dx

— + 2xw = 2 dx

ST)

* ecuación lineal en w

w = e l 2xJx[ j e ^ xd*2xe~*‘d x + c ] => w = e~* [ je * 2xe ' d x+ c]

w = e~* [j2 x d x + c ]

=> c =

=» —= e ~ *[x 2 + c]

1

1

Q = e y + 3y2 +xexy

=>

f XOT

:= e

. dz x 2— + -----rZ = x dx 1- x

i 9/1

(

f *

v2\ T J o/iv2\ JC

>[ fe J

0

> - ¿ v + c] => z = 2

1 é>4

^ = exy + xyexy dx y 2 = - - —- + c t f \ - x 2 3 58)

= p = x 2 + —+ y e " , integrando / ( x , y ) = U x 2 + —+ ye*y )dx + g(y ) x J x

, 1

—ln(l—jc ) f — ln(l-*2) r

[fe J

4

____ 3 : - \ J l - x 2[ ~ j j j ==!~ ^ dx+c] => z = y j l - x 2[ - ^ ( \ - x 2)* + c]

dP = e*y +xye*y dy

dP dQ _ d f(x ,y ) D d f(x ,y ) como — = — es exacta, entonces 3 f(x,y) tal que — —— = P y — ------ = Q dy dx dx dy

dx

=>

1 2=x

dz x x ——h-------- r—z = — ecuación lineal ¿r 2(1- X 2) 2

e*' = e2y(x2 +1)

(x2 + —+ ye*y )dx+(ey + 3y2 + xexy)dy = 0 , y = 0 cuando x = 1 x Desarrollo

P ~ x ¿ + —+ ye**' x

i ( , l - x 2) — + xy = * ( l - x 2) y 2 , y = 1 cuando x = 0 dx Desarrollo

\ dz 1 -r dy sea z = y 2 => — = —y 2 -¿dx 2 dx

V.

— + ln x + e ^ + y 3 + ey = k

dy x -- d x —+ ----- - y = xy2 ecuación de Bernoulli y 2 — + ----- - y dx 1—x dx l - x 2

ex = e2y(x2 +c) para x = y = 0

1 = 0+ c

3

f ( x , y ) = — + lnx+e*y + y 3+ ey +c

dw „ . _ = > --------- 2 xw = ~2xe dx

— + y = y 2e~*, y = 2 cuando x = 0 £¿í Desarrollo

-<¿c+c] 2


_2 dy y

Z =

y

x=e

e -i

=>

+ J

dz dx

—

=

-y

-2

dy dx

jc = _

-r-

z = e ^ dx[je^ dx(-e~x)dx + c]

1

r f ( l+ y ) [ f í l t Z > dy + c]

61) y -1 = -—

2y dx = (x2y i + x )d y , y = l cuando x = l Desarrollo

= 2ex

de donde y

2 _ dx 2 4 2 y —~ = x y + x dy

y d x + 2(x - 2 y 1 )dy = 0, y = -l cuando x = 2 Desarrollo y - ~ +2 x - 4 y 2 =0 dy '

-2 dx dy

=> ~ + —* = 4 y, ecuación lineal en x dy y ' z =x

,2 t2d x = e y [ j e y 4yd y + c] => x = e~2b,y[ j e 2lny4 y d y + c]

=

1+c

=> c ~

1

_i

1 2y

dx 1 y3 t = > ------------x - — x~ ecuación de Bernoulli dy 2y 2

_i _ y 3 2

dz -7 dx => — = - x --dy dy

dz 1 y3 a a a dz 1 y3 — -------- z ~ — de d o n d e ----- 1----- z = ------ , ecuación lineal dy 2 y 2 dy 2y 2

x = \ [ \ 4 y i dy + c] => jcy2 = y 4 + c parax = 2, y = -l

2

y

x(l + y 2)2 = lny + ~ — — 2 2

=> c = —— 2

2

y-> = e JC[ _ _ + c ] para x = 0, y = 2

=$ c = 0

=> x = -----dy + c] d + r )2 J

=> z = ex[ - j e ~ x.e~xdx + c]

0 = 0+ i + c

2

x = e-2H lW )[ í e2 H l W ) _ ± _ _ + c] Jy +y*

1 y2 x = ------ r T [lny + ^r + c] (l + y 2)2 2

e ~ix

2

^

y + yá

(i + y 2Y J y + y 3

- — + z = e~* => — ~ z - - e ~ x ecuación lineal en z dx dx

1 = i +c

557

r4 yd y

r^ y d y

_i

j +y dx

Sea


xy2

/+ !

z = « A f A - ¿ x ,« j J 2

=» ¡ = . ^ ’ [ - [ . ^ 4 « ] J 2

7

(y + y 3)dx+ (4xy2 - l ) d x = 0 , y = l cuandox = 0 Desarrollo

L .[_ fZ _ ¿ y + c] reemplazando j f 1 = - ^ = [-—y 2 +c]

yjy J 2

Vy

9

— + A ?L —~ — 1— => —~+ f y . ~ x = — , ecuación lineal en y dy y + y 3 y + y 3 dy 1+y y +y

/— >/y =

y2

Para x = i. y = 1

9


Ecuaciones Diferenciales 2

i= - i«

9

«

9 ,= 12

'

y

1

559

2 av

(-------j)d x + (--------)dy = 0, y = 2 cuando x = y xl X y 2

,/? -* -£ ♦ £ > 9 9

1

Desarrollo

(*2- 1 ) —

djc

+(x 2- l )2+ 4 y = 0

p= Desarrollo

dx

^— y = ~(x2 - 1) ecuación lineai x2 - l | 4 dx

y =^ f J e ^

y

f 4 dx

_ 2 ln (-— )

(x2 - ì)dx + c]

= (£ l |) 2[-f (^ -j) V

*-1

j JC+ 1

*+1 [ - j e

y =e"

=>

- \)dx+c)

f

l)dx + c]

-6 = 0 + 0 + c

ax

(yex - 2 x ) d x + e xdy = 0 , y =

x2 2x ^ ~x ~ 7

dy

y2

x2

1

3 0 ___ 1_ _ 3a

x2

y = é~x(x2 +c)

f(x,y)

= P (x,y) = - - 2 - t integrando f ( x , y) = [(——~ ) d y + g(y) y x J y x

g \ y ) = 0 => g(y) = c

6 cuando x = 0

6= 0+ c

2x

f ( x , y ) = ~ +L + c = c y x

=> — + y = 2xé~x ecuación lineal en y dx

= e~x(x2 +c) para x = 0, y = 6 se tiene:

3

y & Z £ .< X x .,) ^

@

(2y - xy - 3)dx + x dy = 0, y = 1 cuando x =

1

Desarrollo

y = e ^d*[je^d'2xe~xdx + c] => y =e X[ j2 x d x + c ]

y

2 y2

d f(x ,y ) 2x . 1 . s _ 1 2x — = — ¿ + - + g (y) = Q (x,y) = -------— ay y 2 x x y2

Desarrollo e* — + yex = 2x dx

y

•

f (x, y) = -----—+g(y), derivando y x

=* c = -

y = (iL Ìl)2[_ £ Ì + 2x2 - I x + 8In | * + 11- 6] x -1 3 S3)

1

J JC+1

y = ( i - t l ) 2[ - — + 2x2 -7jt + 81n | jc+ l |+c] * -1 3 para x = 0, y = -6 se tiene

2

„„„e ^ í . r o c . , ) dx

=> y = (£ ± I ) 2[_ Ü i-J A ~ ¿ * + c] JC-1

dP _

dP 3 0 como — = —— es exacta, entonces ay dx

21n(—— )

J[+1 (*2-

2 _JL

=> c =

6

2 y - x y - 3 + x — = o dedonde dx

x -~ + (2-x)y = 3 dx

d\ 2 - x 3 • — + ------y = — ecuación lmeal en y dx x x

Vi |s-

il)


y =e ^ x ^ [ ¡ J x ^-d x+ c] J x

=> y = e 2blx+x[ t e2tox x - d x + c] J x

fiX f PX y = — ( I e~x3xdx + c] => y = —r-[~3xe x - 3 e x +c] x" J • x X +1


cex

y z z - 3 —-— h—— para x = 1, y = l se tiene: l = x x

-6 + c.e

67) =>

c

7

=— e

x2

le x

+

ex

* 2 + y 3 = k para x = 2, y = 0, k = 4

•••

(y « y

/.

(yey + y)x + x 2 + y 3= k

+

(3x ~ y — —- 6x4)dx + dy = Q, y = 0 cuando x = -l x Desarrollo dy

2 2

dx

x

—

3(x + l)

+ y )*

561

+ (3*

2

4

— )y =

6x , ecuación lineal en y

2, , ,* [(3 * *, —2.)dx , , e , x [je x 6x dx + c] => y = e x +2'nx[ 6 \ e x * d x + c]

- f ( 3 j r — )J x

y =e (yey + 2x+ y)dx + (xey + xyey + 3y2 + x)dy = 0 , y = 0 cuando x = 2

e~x f j e~^ 3 y - ——[(<\ex x 2dx + c\ => y = —— [2ex +c] para y = 0, x = -l x~ J x

Desarrollo ídP — = yey + e y +1 dy

j P = yey + 2x+ y [q = xey + xyey + 3 y2 + x

0 ( 68)

dP dQ r . como — = — es exacta, entonces 3 f(x,y) dy dx y

dx

x 2y = 2 - ^ e - ¿

V £ zl

dr = (1 + 2r ctg 0)d0 , r = 3 cuando 9 = — 2 Desarrollo dr ——- 2ctg9.r = 1 ecuación lineal en r du

= e ( s ,y )

dy

r —

1

yey + e y +1

dx

dx

= 2e~x + c => c -

= P (x ,y) = yey + 2x + y , integrando f ( x , y ) = f (yey + 2x + y)dx + g(y) J

.

e

-

l

=, , =

[J,e~2insenOdd + c]

i r d9 r = sen~9[ I---- — + c] => r = sen29[-ctg9 + c] , para 9 = — , r = 3 J sen 0 2

f ( x , y ) = (yey + y ) x + x 2 + g(y) , derivando

3 = -0 + c => c = 3

= (yey + ey + \ )x + g '( y ) = Q = (ey + yey + l)x + 3y 2 (69)

r = -s e n 9 c o s 9 + 3sen29

El cambio en la utilidad neta p a medida que cambia el gasto en publicidad x, esta dado dp por la ecuación — —k —a(p + x) en donde a y k son constantes, establezca p como una dx función de x, si p = p0 cuando x = 0 .

E d u a r d o E sp in o z a R a m o s


Desarrollo --- = k - a ( p + x) => — + ap = k - a x , dx dx

(Zi)

Los

COS.OS

c de fabricación , comfflcializacáSn están relacionados con el „„mero x

productos según la ecuación: ~ + ac = b + kx pn dnnri* k i dx ’ en donde a, b y k son constante establezca c como función de x si c = 0 cuando x = 0.

ecuación lineal en p

p = e âdx[jeâdx(k —ax)dx + c] => p = e nx[êux(k - a x ) d x + c\

p=

+ a

a

a

a

Desarrollo

de ~ + a c = b + kx ecuación lineal en c

+ c.e- ax para x = 0, p = Po

k 1 apQ- k - l p0 = —+ —+ c => c = — --------a a a

c = e i a* [ j e ¡ a* ( b + kx)dx+a] => c = e-“ x[je™ (b + kx)dx + a J

.= O~oxtb + k x-e

C = e ~ ax[-

—

k

m

k - a x + ] + (ap0 - k - \ ) e ~ ax P = ----------------------------------a „ _ a b +a k x -k ^70)

2

El cambio en el costo c de elaborar un pedido (u orden) y supervisarlo, a medida que de c cambia la cantidad x, esta dado por la ecuación — = a — , en donde a es una constante, dx x halle c como función de x si c = c0 cuando .v = .íq Desarrollo

c =e

~3~ + a =* a = — — . a

©

••

El cambio en el consumo c de

x [ê Xadx + k] => c = e~inx[Jeh'xadx + k]

1 f 1 ax 2 ax k c = —f I axdx+k] => c = —(------ ¥k) = —-H— , para c = c0 , x J x 2 2 x

1. onde k es una constante, obtenga c como función

de ¡ — —c —ke , ecuación lineal en c. x

—Xq

c = e ~ ^ l f J - d/ ije k e 'd l+ a ] =* c = e ' \ j e - ' k e , d l + a] c = e '[kl+ a ] para

co = - 5 r + — => k = c oxo - ~ z - =* k =

1 = 0,

c= c0

c0 = a dedonde c = e '( k l + c0) • c=^

+ ~coAo ~ axó "

2jc

_ -------------

ciem mereantía. a medida que cambia el ingreso I.

Desarrollo

r dx

_ ax 2c0aá °~~2+ 2x

„ _ a b + a k x - k + (k -a b )e ~ ax

a2

esta dado por la ecuación —- = r + le* dJ de I si c = c0 cuando I = 0.

— + —= a ecuación 1ineal en c dx x r dx

+a.e ax para x = 0, c = Ó

I


Ecuaciones en Diferencias

CAPITULO VI M i ___ e c u a c i o n e s

ECUACIONES EN DIFERENCIAS.I.

l i n e a l e s " e n I p i f e r e n o a s .-

Una ecuación en diferencia se dice que es lineal si es expresado en la forma:

DEFINICIÓN.-

an(x)yx+„ +a„-i(x)yx+n_i + ... + a](x)yx+2 +a0(x )yx = R(x)

Sea y = f(x) una función definida para valores enteros, o sea x = 0,1,2,3,...

... (i)

donde a0, a l ,..., an y R son funciones solo de x definidas para x = 0,1,2,... . La ecuación (1) es de orden n.

En las ecuaciones en diferencias, a la relación funcional de y = f(x) se indica por yx .

__ s o l u c i ó n

El cambio en y cuando x varia de x a x + 1 es la primera diferencia de yx , y se escribe

d e

l a s e c ilÁ c ío ñ e s í ñ m i j í ^ c i A ^ T

Ayx = y x+i - yx que se lee “delta ye sub - equis” Una solución de una ecuación en diferencia es una funcional definida para entero positivos y que satisface a la ecuación en diferencia.

Ayx es también una función x

L.a solución general de una ecuación en diferencia de orden n es la que contienen i constantes arbitrarias.

A es un operador que proporciona la regla para evaluar Ayx . La primera diferencia de yx es Ayx = yx+J - vx

Una solución particular de una ecuación en diferencia se obtiene de la solución genera La segunda diferencia de yx es Azyx = A(Ayx) = A(yJt+1 - yx) - Ayx+l ~~Ayx

asignando valores particulares a las constantes arbitrarias de una ecuación en diferencia que son determinados por medio de condiciones de frontera o condiciones iniciales.

= y'x+2 - y *+1 - yx+\ + y x = y t+2 - 2 y x+] + yx

[6.4.

PROBLEMAS.^

(j)

Determine el orden de cada una delas siguientes ecuaciones lineales en diferencias.

La tercera diferencia yx es: A3yx = A(A2yx) = A( y x+2 ~ 2 yx+\ + .y*) = A-V,+2-2 A ^ +1 +A.vx

a)

3 y x+2 “ 3 ^ + j = 3 x

Desarrollo

= yx+3 - yx+i - 2(yx+2 - yx+i >+yx+i - yx

E! orden de una ecuación en diferencia se obtiene de la diferencia del índice mayor con el índice menor: El orden es: (x + 2) - (x + 1) = 1 es de orden 1

= ^ + 3 - 3 ^ + 2 + 3^ +l b)

8^+3 ~ yx = * Desarrollo

La k - esima diferencia de yx es: El orden es: (x + 3 ) - x = 3 es de orden 3


c)

Ecuaciones en Diferencias * 2yx = 4 y * « - 2Ayx+l + Ayx = ((* + 2 )3+ 3) - 2((x + 1)3+ 3) + *3+ 3

7^ + i - 5^ = 3 Desarrollo

= (x 3+ 6x 2+12x + l l ) - 2 ( x 3+3x 2+3x + 4) + x3+ 3 = 6x + 6

El orden es: (x + 1) - x = 1 es de orden 1 d)

A3yx= >**+3- 3yx+2+3^ +i - y,

byx+2 - 1 yX =5x Desarrollo

= (x + 3)3+ 3 - 3[(jc+ 2)3+ 3] + 3[(x +1)3+ 3] - (.v3+ 3) = 9x + 6

El orden es: (x + 2) - x = 2 es de orden 2 (5 ) Si y = x 2 + 2 x , evalué A2yx

Demuestre que

y, = —— es una solución de l + CX

yx+í =

1+ yx

y obtenga una solucióu

particular si y0= -4

Desarrollo

Desarrollo A2yx = A(Ayx) = A(yx+1 —yx) = Ayx+1 -A y x = (yx+2 - yx+1) ~ ( y x+l - yx)

c 1+ cx + c

l + c + cx

c

_

_

Xt+i = 77 ----— = ---------= yx+2 -

2^ +i + y ,

= k * + 2)2+2(-x +

~ 2[(JC+1)2+ 2 ( x + 1)1+ x 2 + 2 x

= (x2 + 6jc + 8) - 2[jc2 + 4x+3] + x2 +2 x = x 2 + 6 x + 8 - 2 x 2 - 8 x - 6 + x 2 + 2x = 2

yx

i+ cx C

\ + cx

A2y , = 2 l

1+cx

____ c

l+CX+l

í + cx

comparando ( 1) y (2) se tiene:

Si y = ex , determine A2.y*

... ( 1)

yx+í

Desarrollo Se conoce: A2yx = yx+2 - 2yx+l + yx = ex+1- 2ex+l + ex = e x (e2 - 2 e + l) = ex(e -1 )2

Demuestre que yx =c¡+c22X es una solución de yx+2 - 3 y x+l + 2 y x = 0 y halle una solución particular si y0= 1 , y, = 3 Desarrollo y x + 2 ~ 3 ^ +i + 2yx =cl + c22X+2 - 3(c, + c22x+[) + 2(c, + c22X)

)Si y = x 3+3,obtenga A2y., y A3y, Desarrollo A2yx = yx+2-2yx+i+ y* A3yx = A(A2yx ) = A(yx+2 —2yx+l + yx ) = Ay^+2 —2Ayx+l + Ayx

=(yx+3 -

(ó )

l + yx

yx+2>- 2(yx+2 - yx+¡)+(**♦! - >*) =y** ~ 3y** +3>w - y*

= c2 2X+1 - 3c2 2x+1 + 2c2 2X = 4c22X - óc22X+ 2c22X = 6c22x - 6 c 22x =0 Luego yr = c, + c 22X es solución de la ecuación en diferencia Como yx = q + c22 \ y0= 1 , y, = 3

Eduardo Espinoza Ramos íl = c,+c-, • [3 = c, + 2 c2

=>

fe. = —1-i por lo tanto |c 2 = 2


y = -1 + 2.2

56«

l = Cj+.C2 +C 3

c. = 0

1 = C[ + 2c2 + 3c3

c2 = 2

—1 = Cj + 4 c2 + 9 c3

•••

y =

2-2X

3Ja

l c3 = “ 1

Pruebe que yx = c, + c22X - x es una solución de y x+2 - 3y*+1 + 2 yx =1 y determine una yx = c, + c2x + c3x 2 + c4x3

que

Pruebe

solución particular si y0 = 0 , y, = 3

yx+*~4yx+i +6yx+2 -4 y ;c+1 + yx = 0

Desarrollo y ,+2- 3 y ,+1 + 2yx = fe, + c22X+2 - (* + 2)} - 3[c, + c22X+1 - (x +1)] + 2[c, + c , 2 A- x]

es

una

solución

y encuentre una solución particular si y0 = 1,

y, = 5 , y2 = 9, y3 = 7. Desarrollo

= c2 2X+1 - 3c22x+] + 2c22x +1 = 4c2 2 x - óc22A+ 2c2 2 '+ 1 = 1

Por lo tanto yx = 1+ c22x - x es solución de la ecuación en diferencia

y x+4 = ci + c2 (X + 4 ) + c3 (x + 4 )2 + c4 (x + 4 )3

= -4 c , - 4c2(.v + 3 ) - 4 c 3(x + 3)2 —4c4(x + 3)3

- 4 y x+i

Como yx =Cj + c 22x - X , y0 = 0 , y, = 3 6 Vx+2 =

{ 1 2 => I '* [3 = c,+ 2 c2 -1 [ c2 = 4

por lo tanto

y = - 4 + 4.2*-.* = 4(2't - 1 ) -jc

-ty-x+ i

6ci + 6^2 (-* + 2) + 6c3 ( x + 2 )2 + 6c4( * + 2 )3

=

~ 4ci -

4c2 (x + 1 ) - 4c3 (jc + 1)2 - 4c4 ( x + 1)3

y * = c, + c2x + c3A'2 +c4x Demuestre que y x = c l + c 2x + c 33x es una solución de y x+3- 6 y x+2 + H y + i ~ 6 y x ~ 0 y obtenga una solución particular si y0 = 1, y, = 1, y 2 = -1 Desarrollo Vj+ 3 = q + c2 2X+1 + c3 3X+3 = c, + 8 c2 2X + 27c3 3A

- 6 y x+2

= - 6 c, - 6 c 22x+2- 6 c 33x+2 = - 6 c , - 2 4 c 22 x - 5 4 c 33x

l l y ^ , = 1 le, +1 lc 2 2*+1 +1 lc3 3x+i = 1 le, + 22c2 2x + 33c33X

—6 y x = “ 6c¡ —6c2 2x —6 c33 ' = -6 c , —6c2 2* —6c3 3A yx+3-

6>’t+2 +1 ly + i -óy^ = 0+ 0+0 = 0

Luego y x =c, + c22A+ c33A es solución de la ecuación en diferencia. Como yx = c, + c2 2A+ c 3 3A, y 0 = 1, y, = 1, y 2 = -1

y x+4 - y x+3+ 6 y x+2 -

4 >’.r+i +

=o

yx

Luego y^ = c, + c2x + c3.v2 + c4.í3 es solución de la ecuación en diferencia. Como yx = c, +c2x + c3x 2 + c4jc3 , y0 = 1 , y, = 5 , y2 = 9 , y3 = 7

1 = c,

c,=l

5 = c, + c2 + c3 + c4 9 = c¡ + 2 c2 + 4 c3 + 8c4 7 = c, + 3c2 + 9c3 + 27c4

=> •

c2 = 2 c3 =3

yx --1 + 2jc+ 3jc2 - x 3

l c4 = - 1

Escriba cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias en términos de valores de y. a)

Ay, = 10 Desarrollo Ay x

=

- y = io

de


A2yx -3 A y x - 5 = 0

por lo tanto la ecuación en diferencias y r+1 = A y x + B es la ecuación general lineal t primer orden y con coeficientes constantes.

Desarrollo = yx+2 -


2yx+i + y x

La solución de la ecuación yx+l = Ayx +B se puede obtener por inducción.

A>'x = yx+i - y x

y, = Ay0+ B

A 2yx -3 A y x - 5 = yx+2 - 2yx+i + yx - 3 y x+l+3yx - 5 = 0 y2 = Ay, + B = A(Ay0 + B)+ B = A2y0 + AB + B •••

>',+2 - 5 y Jr+1 + 4 y ;r- 5 = 0 >3 = Ay2 + B - A(A“y0 + AB + B) + B = A3y0 + A 2B + AB + B

c)

A2yx - 4 y , = 2 Desarrollo A2yx = yx+2-

y4 =

= A 4y0 + A3B + A2B + AB + B

2^ + 1 + ^

Ay, = y * f i - y ,

yx = Axy0 + Ax~lB + AX~2B + Ax- 3B + AX~4B + ... + AB + B

A2yx - 5 y , = yJC+2- 2 y J(+1 + y * - 4 y J( = 2 d)

^>'3 +B = A(A3y0 + A 2B + AB + B) + B

yJ+2 - 2 y ,+1 - 3 y x = 0

= Axy0 + fi(l + A + A2+ A3+... + A*-1)

A3yx +5Ayx = yx 1- A x yx = A *yo + B (-— —) para A * 0, 1- A

Desarrollo A3y , = A(A2yx) = A(yx+2 - 2 yx+l + yx ) = (y ,+3- y í+2 )~ 2 (y *+2 -jv + iH O '« ! - y , ) = y*+3 - 3 y x+2 + 3 >-t+1 - y ,

x

= 0, 1,2,...

para A = 1, x = 0, 1,2,..., yx = y 0 + Bx Se obtiene de:

yx+í = yx + B

A3y , +5Ay, = y,+3 - 3 y ^.2+3yJC+, - y , + 5 yxtl - 5 y , = y, •••

5.5.

yi = y0 + B

yx+3 - 3 y I+2+8yx+i - 7>’x = o

ECUACIONES LINEALES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.-_________________

y2 = yl + B = y0 + 2B y3 = y 2 + B = y0 +3B

Una ecuación en diferencias lineal y de primer orden se expresa en la forma: a ]>’x+\

como a ¡ * 0 , a 0 * 0 =*

+aoyx = b , x = 0, 1,2,...

yx+l ~ - ~ - y x + a¡ a

; yx+i = AyX+B

yx = y 0 + Bx En el análisis de datos de administración y economía en la ecuación y x+l = A yx +B representan tres casos especiales.

Eduardo Espinoza Ramos 1ro.


La diferencia de primer orden es una constante y x+] - y x = B y la solución es

1- A x La solución es yx = A xy u + B( -------- ) 1- A

yx = yo + Bx ■ 2do.

La diferencia de primer orden es proporcional a la variable yA.+, - y x = c t y x+,

1

1

1- a

1- a

1—( - i.)-1 yx = ( - \ ) x y0 + |(--------f - ) = (-^ ) J'y0- + ( i - ( - | ) J‘) = ( " ) * ( y 0 ~ V + 1

(caso especial: A = ------, B = 0) y la solución es: y = (-------) y0 . 3ro.

La

diferencia

de

primer

orden

es

función lineal 1 1 y*« ~ y x = c/y x+t + P (caso especial: A = ------, B = — - ) . i Oí 1 Oí

1+2 de

la

variable:

••• y , = (— )*(%- D + i (D

La solución es

yx =

l- a

y*+i + 3 y ,= o Desarrollo

)* y0 + —[(—^—)* -1] a

\-a

Como

6.

57

= - 3 y x de donde A = 3, B = 0

PROBLEMAS.La solución es yx = Axy0 + B = ( - 3 ) x y0 +0

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias.

®

3y*+i = 2 y x +3

yx+i+ y x - 2 = o Desarrollo

Desarrollo

Como >’x+l = - y x + 2 de donde A = -1, B = 2

A la ecuación dada expresamos así:

2

yk = (~3)xy0

2

La solución yx = Axy0 + B ( ~ - ~ ) = (-1)* y0 + 2(-1- ^ ~ ) = (~1)Ty0 +1 - (-1)* 1 A 1+1 —

yx+] = —yx + 1 de donde A = — , B = 1, la solución es de la forma

••• y, = (-!)"(% - D + i

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias, determine c comportamiento de la secuencia solución y calcule, los primeros valores de esta sucesión.

- (~)*()'o -3) + 3 >

••• yx =( f)*(y0-3) + 3

@

y * + i - y ,- io = o . % = 2 Desarrollo Como y x+x = y x +10 de donde A = 1, B = 10

2yx+\ + yx - 3 = o Desarrollo 1 3 A la ecuación dada escribimos en la forma: y x+, = -■- y x + — de donde A =

La solución es yx = y0 +Bx => yx = 2 + l0x 1

3 , B=—

como A = 1, B > 0, es monótona creciente y diverge en + ~ y así mismo se tiene

y0 = 2 ,

y, = 12 , y2 = 2 2 , y¡ = 3 2 , y4 = 4 2 , y5 =52

574

2)



>*+i = 7^ + 6, y0 = l Desarrollo

@

\6 yx+x - f ) y x = 1 , y0 = ~

Como yJt+1 - l y x +6 donde A = 7, B = 6

Desarrollo

3

Como yjc+|= - y 0 + _ o lo

yx = r y 0 + 6( ^ y ) = 7 'y 0- ( 1 - 7 ' ) => y , = 7 jr(y 0+ l ) - l

1~ A X La solución es yx = Axy0 + B{---------) 1- A

1

de donde A = - , B = — 8 16

3x

como A > 1, yx > y * , y0 > y * la solución es monótona creciente y diverge a +°° *

2)

3

1

1—Ax La solución es y x = Ax y0+ B(— — ) 1- A

8yx+‘i+ 4 y jr- 3 = 0, y0 = ^

’'

& » ■

‘ 0

»

- ‘i » ' * '

8 Desarrollo ■

Como y z+, = - —y0+ - de donde A = - —, B = — x+l 2 0 8 2 8 ® La solución es

1-A * yx = Axy0 + B(----------- ) 1—A

1+ 2 Si y „ = - => y. = (— ) (-) + - = - ( — ) * + 2 x 2 2 4 4 4 2 1 3 como A = — , B = - , 2 8

«

por lo tanto

3yx+1 - 2yx - 3 = 0, y0 =5 Desarrollo

!-(--)* 1 1 1 1 f — ) = ( - 2)J:ô + - ( ! - ( - - ) " ) =» ^ = ( - - ) " ( % - 4) + -

-

y , = ( - 2>*%+gC

Si , 0 = ±

=> v. = - ( — ) + 4 * 4 2

1

1

2 2 Como y l+1 = - yx + 1 , de donde A = —, B = 1 3 3 x j _ (—)x La solución v, = A'y 0+ B { j ~ ) = ( | ) ' y 0+ ----- => y c = ( |)* ( y 0- 3 ) + 3 1_3

4

i? 1 -A

Si y0= 5 , y c = ( |) * ( 5 - 3 ) + 3 = 2 (|)* + 3

y* = ------ porque -1 < A < 1

3 O 1 y* —— = —, el comportamiento de la soluciones oscilatorias amortiguada converge en 1+ i- 4

Como A = | , B = 1, y* = - ^ - = —1— = 3 3 1 -A , 2

3 Es monótona decreciente converge en y* = 3 >’o = 5 , y, = 4 1 , y 2 = 3 f , y3 = 3 f , y4 = 3 § , y5 = 3 ^


T

6

O

2


©

3yx+i ~ 2 yx = - , y0 = -

y x+i

57

= 3 y I - i , y0 = ^

Desarrollo

Desarrollo

2

2

2

Como yx+l = 3y, —1, de donde A = 3, B = -1

2

Como y_+l = —y r + — dedonde A = — ~,B = — t+l 3 5 3 5

1- A* La solución es yx = Axy0+ B(--------) 1- A

1- A * La solución yx = Axy 0+ # (--------) 1- A 2, 2 / 1- ( 3)\

2t

2* 6 2. r A *, 6. 6 ^ = ( 3) y0+ - ( — Y * ) = ( - ) y0 + - ( ! - ( - - ) ) => yx = ( - ) • (y 0- g ) + j Si y n = — => v, = — constante 0

2

/2 .J .2

Si y0 = — , 0 5

6

4 2 , 6 y r = — (—) + —

6

y , - ( - ) (------ ) + * 3 5 5 5

2

2

*

5 3

5

©

2

'T

2

2yx+l- y x = 2 , y0 = 4 Desarrollo

'

6

Como y l+1 = ^ y x + \ , de donde A = ~ , B = 1

como A = —, B = — , y* = — entonces es monótona creciente y converge en y* =

1-A * La solución es yx = Acy0+ B(------- ) entonces 1- A

y x ti+ 3 y ,+ i = o, y0 = 1 Desarrollo Como yx+l = ~3yx -1 de donde A = -3, B = -1

1 _ (A)* y x = ( \ ) x y 0 + -----\ - = ( ~ ) x yo + W - ( { ) x )

1 - A* La solución es yx = Axy0 + B(------- ) , entonces 1- A

1 -3

--) = (~3)Ay0-

si v0 = l => y = ( - 3 ) í (l + — -u

*

4

4

1 2

7 (1 - ( - 3 ) ') => 4

de donde

y x = ( - 3 r ( y 0+ \ ) ~

4

4 B 1 y* = = — - = 2 , 0 < A < 1 1 A | * ~2 converge a y* = 2.

yx = —(~3)x - — *

4

4

B —I 1 como A = -3 / 1, B = - 1 , y* = ------ = ------ = — de donde yn > y * 1 - A 1+ 3 4

decreciente y converge en y* =

Si y0= 4 , y , = 2 (1 )' + 2

-

y x = (“ 3)x y0- ( - —“

a

y0> y *

es monótona

© 4

=» y x = ( ~ ) xí y 0 - 2 ) + 2

y x+i = y x ~ 1 ’

>’o = 5 Desarrollo

entonces es monótona decreciente y


578


Si y0= 3 ,

Como yx+l = yx - 1 , de donde A = 1, B = -1 yx =

La solución es

>'0+ Bx = 5 - x

como

A = 1, B < 0,

yx < y0, entonces es

= 4 ( - l ) * - l dedondey* = ~ ^ — = -----------— = - ] l-A l-(-l)

como A = -1, y0* y * , entonces oscila finamente y diverge.

monótona decreciente y diverge a -«>. K) 3)

y

15yx+I-1 0 y JC- 3 = 0 , y0= 1

7 yx+l+2yx - 7 = 0 , y0 = l


Como

2 yx+{ = - —yx + 1 ,

dedonde A = ~ —, B = 1

Como y

2

2

+1 = —y 3

1

2

1

+ - , de dondeA = ~ , jB = — 5 3

5

J_

La solución es yx = A xy0 + B(--------) 1 - j4

l-A * La solución es yx - A xy0 + B( — -— ) 1—A 2x

^ = (1)^

0+ ^ - —

) = ( | )Xy° + 1Ó - ( | }*)

=> y , = ( ^ ( y o - | ) + |

__

i j. 2 2 r 7 Si y0= 1, v = - ( — ) * + u

-1

9

7

* -f< f)* + §

Si

9

ademis 3

1 7 Como -1 < A < 0, y0* _y* donde y* = — —= — entonces oscilatoria amortiguadora y 1 +9 7

7 converge en y** = —.

Como 0 < A < l, y0 > y * es monótona decreciente y converge a y* = ¿ 2)

5.v*+1 -

yx ~ 60= o . y0= 15 Desarrollo

í$)

y*n+ x . + 2= o , >0=3 Desarrollo

Como yx+l = - yx + 12 , de donde A = —, B = 12 5 5

Como y .,+1 = - y x - 2 , de donde A = - l , B = -2

1_ a x

La solución es yx = Axy 0+ $ (-------- ) l-A

X 1—(—)* Como yx = Aí y0+ fi(ip-A- ) = ( V y 0+12(-----$— ) = ( V y 0+ 1 5 ( 1 - ( V ) 1~ — 5

1

y* = ( - ) (y0 ~15) + 15

y, = (-D xJo - 2(7 T ^ y ) = (-1)" y0 - (1 - ( - 1)") =* y, = (-!)'(% + D - 1

si y0 = 15 , yx = 5 , constante



Como y_., = —y, + —, de donde A = —, B = — . 4 4 4 4

^ +i + 4^ + 1? f ° - y o = 6 Desarrollo

i _ ( i )-1

x

Como yx+1 = - 4 y x - 1 2 , de donde A = -4, B = -12

y ,= A * y 0 + B ( i ^ ) = ( V y 0 A

1 -A

4

4

------- \ ~ )

1- A x La solución es yx = Axy0 + B (-------) i —A

4

3 calculando y* = —- = ■— = 1 ' 1 -A j _ l 4

como 0 < A < 1, *y0< y * entonces es monótona creciente y converge en y* = 1.

42 12 Si y0= 6- y x = y ( - 4) - y 12

y x = ( I ) * ( y 0 - 1) + 1

4 si y„= —, y = - —(-•)*+! 0 2 * 2 4

B -1 2 - _Ji_. = — y* *= 1—A 1—(—4)

=>

22)

4y JC+1 + 3yx - 4 = 0 , y0= 1 Desarrollo

como A c-l, y0 * y * , entonces oscila infinitamente y diverge

5

3 • Como y x+1 = - —yx +1 , de donde A =

3

®= 1

1

8y*+i + y * - 4 = 0 > % = 3

1—A 1 La solución es yx = Axy0 + B(------ -) de donde: 1-A

Desarrollo

yComo yx = AJcy0+ B (^ -^ -) = ( - i ) JCy0 + ^ ( ------ y - )

=> y*

(- ^ - Vo+7

^ ( 4

= ( - ^ % + 7 ( 1- (- í n

=*

° - K

(yo~g) + g B

3 3 4 S¡ w - 1. y . - z j i - f + i ^

1

4 4

si

^ - (4 )’ <4 ) + ? ’ , * = r r 7 7 “ í r 5

como -1 < A < 0, y0 = y * entonces es oscilatoria amortiguadora, converge en y * =

8 como - 1 < A < 0, y0* y * , entonces oscilatoria amortiguadora, converge a y* = —

23)

3y J+1 - 2 y Jt- 6 = 0 , y0 = 4 Desarrollo

2

Como yx+1 = ~ yx + 2 , de donde A = —, B = 2

4yJ+i - y ^ - 3 = o, y0 =-^ Desarrollo

2

4


Ecuaciones en Diferencias Si g(x) ^ 0 a la ecuación y x+2 + A ^ + i.+ \ y x ~ />(•*) - se llama ecuación en diferem

Como y* = A*y0^ ^ - ) = ( |) * y 0+ 2(----- ~ ) l~A 3 i_±

=> yx = & x(y 0-

3

lineal no homogénea de segundo orden de coeficientes constantes.

6)+6

3

2

Si y0 = 2 , yx = - 2 ( - ) x + 6 3

Para obtener la solución de la ecuación homogénea y x+1 + Axy x+x + A2y x = 0

^ 2 además y* = —— = — — = 6 L

/i

Se forma la ecuación auxiliar

j _

3

donde las raíces pueden ser reí

diferentes, reales iguales, o bien números complejos y la solución de la ecuación

como 0 < A < 1 , y 0 < y *, entonces monótona creciente y converge en y* = 6 !4)

m ~ + A¡m + A2 = 0

... (2)

depende de las raíces de la ecuación m 2 + Axm + A2 = 0.

9 ^ + 5 ^ - 1 8 = 0, y0 =1

1ro.

Desarrollo

Si m; y m2 son las raíces reales y diferentes ml # m 2 . La solución y x = c,///,* + c 2m2

Como yx+1 =

yx + 2 , de donde A = - ~ , B = 2

1- A * La solución es yx = A x y0 + B(-------- ) í A y , = ( - í ) ' % + 2( i - í - ¿ - ) . ( - í ) ' , 0+ | ( i - ( - | ) - ) l-(--)

Si > o = l .

2,

5^

9

, , * B ademas y* = _ - =

=»

Si m j y m2 son reales iguales ( mx = nu = m ). La solución es y x = cxmx +c2xm

3ro.

Si mx y m2 son complejos ( mx = a + b i , m2 = a - b i , i = V - í ). La solución yx = r x (c¡ eos 6 x + c2s e n O x ) , donde r = \ ¡a2 +h2' , 9 = arctg — a

f)+ f

'

6.8. 2

2do.

9

COMPORTAMIENTO DE LA SOLUC IÓ N ^ 1ro.

=-

Si mx * m 2 cuando | mx \ > \ m 2 1

9 9

como -1 < A <0, y0* -V* entonces oscilatoria amortiguadora y converge en y* = —

mx

mx

Si |/ m, | < 1, la secuencia converge

i.7.

ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES Y DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.________

Si | mx |> 1, la secuencia diverge

La ecuación en diferencias lineales, de segundo orden y con coeficientes constantes, se

Si mx < - 1, la secuencia oscila infinitamente.

puede expresar en la forma: Si mx = rn2 = m , de donde si | m | > 1 la secuencia diverge, si | m | < |, secuencia converge a cero.

Si g(x) = 0 se tiene la ecuación en la forma yx+2 + \ y

x+1 + A¿yx ~ 0 » llama ecuación en

diferencias lineales homogénea de segundo orden de coeficientes constantes.

Si mx = a + b i, t n ^ - a - b i

0< \ja2 +b2 < 1 , diverge si

la solución es oscilatoria, converge a cero \¡a2 +b 2 > 1


Eduardo Espinoza Ramos La ecuación en diferencias lineal de segundo orden no homogénea ■Ví+2 + A, vt+i + A2yx = g(x) tiene la solución general yx + y p , donde yx es la solución de la ecuación homogénea y y

es la solución particular de la ecuación no homogénea.

La solución general es: yx = cl( ^ ) x + c2(2)x ®

3 )',+2 -

6y.t+i+ 4 ^ = 0 Desarrollo

La forma y p depende de la función g(x). c Si g(x) = c, constante entonces y „ = k si 1+ A¡ + A, * 0 , y p = -— ----- —1"f*ítLi + An

La ecuación auxiliar 3w 2-6 w + 4 = 0 => m2 - 2 m + \ = ~ - => ( m - l ) 2 = - \_ 3

Si A + A , + A , = 0 , A + 2 * 0 , } ’ = —- — p Aj + 2

m= l ± y í

0= —

Si 1+ A, + A2 = 0 , Aj + 2 = 0 (es decir A, = - 2 , A2 = -1 ), y p = ^ x 2

6.9.

3

PROBLEMAS.-

, 73. =* « 1=1 + ^ - / , « , = 1- ^ .

=> fl

r = J Ü | = (±)2

-

6

y* = (— )2[c, eos — + c2sen— ] 3 6 • 6

Obtenga la solución general para cada una de las ecuaciones en diferencias siguientes: © y . ^ i + 2yx+x+ y x = o

Halle la solución general para la ecuación en diferencia yx+2 + 2yx

=0

y la solució

particular si y0 = 1 , ^ = 72

Desarrollo

Desarrollo

La ecuación auxiliar es: m2 + 2m + \ = 0 de donde (m + l)2 = 0 => m , = m 2 = m = - 1

La ecuación auxiliar es: m 2 + 2 = 0 =» m{ = 7 5 i , m2 = -7 2 í

La solución general es: yx = c, (-1)* + c2x ( - l ) x tg8 - = Desarrollo

°° => 0 = * , r = V2

. ;rx ir* yx =('J 2) [c,eos-— + c2íe « — ]

La ecuación auxiliar es: m2-1 = 0 de donde m, = 1 , m2 = -1 La solución es: yx = c¡(l)* + c2( - l) Jr por lo tanto 2yx+2 ~ $yx+i+ 2yx -

>0=1

yx = c, + c 2(-l)*

es decir: x = 0, y = l se tiene l = c,+0

y para x = 1, y = 7 2

0 Desarrollo

se tiene 7 2 = 0 + c 27 2 de donde c2 = l

yx = (T^Vjcos — + sen — ] 2 2

La ecuación auxiliar es: 2m2 -5>n + 2 = 0 ©

Obtenga la solución general para la ecuación en diferencias yx+2 + 3 yx+l + 3 yx = 0 y lt solución particular si y0 = 3„ .y, = 0



586 Desarrollo

p

26 ■= — 26 = „2 , luego , la solución general es: 1+ 4 + 8 13

La ecuación auxiliar es: m~ + 3m + 3 = 0 , completando cuadrados 3 - i 3 3 \Í3 3 V3 ( m + —) = — => m + — = ± — i de donde w, = - —+ — «, ^

2

4

^T

2

r

V3

'*e = - r = T

*

2

2 2

2

yx = ( 2V2)jr[c, eos— + c2sen — ] + 2 4 2 4

3 \¡3 . rz = - - — —i , r~V3

2 2

para x = 0, y = 6 se tiene:

7T

6= c, + 2

=> c¡ =4

para x = l , y = 3 se tiene: 3 = 2sÍ2 [-~ cl + ^ c 2] => 3 = 2 c, +2c2 +2

?

2 como c , = 4 => 3 = 18+2c2 => c2 = - ~ y =.(- 3 = c, 6

6

•

y,=(2>/2)*[4cos— - l Sen— ] + 2 4

x = 1, y = 0 => 0 = >/3[-y-c, + y ] => V3c, + c2 = 0 => c 2 =-3>/3

® v = (V3)J:[3 eos— - 3y¡3sen 6

2

^+2+ 8yx+i+16yx = 25• %

4

^ =4 Desarrollo

6

En el caso de cada una de las ecuaciones en diferencias siguientes, determine la solución

La ecuación auxiliar es: m2 + Sm +16 = 0 , de donde

general y la solución particular para los valores iniciales especificados. (m + 4)2 = 0 => m = -4, multiplicidad 2 ©

>’^ 2 + 4>,x+i + 8 ^ = 2 6 » y0 = 6 - 3'i=3 La solución general de la ecuación homogénea es: yx = c¡ (-4)* + c2x(—4)x Desarrollo La ecuación auxiliar es: m2 + 4m + 8= 0 =* m2 + 4m + 4 = - 4 => (m + 2) = -4

Calculando la solución particular v„ se tiene: y = — —__ = — = 1 P p 1+ 8+ 16 25

de donde mj = —2 + 2 i ,

La solución general de la ecuación no homogénea. yx = c, f- 4)x + c-, x(-4)x +1

= -2 - 2 i , r = >/4 + 4 = 2>/2

35 9=f y , = ( 2V2)JC[c1eos— + c2sen — ], 4 4 calculando la solución particular

para x = 0, y = 0, de donde se tiene:

0= c,+0 + l

para x = 1, y = 4, de donde se tiene:

4 = -4 c 1 - 4 c 2 + l =>

v =i yp

4= 4- 4£-2 +i

es la solución general de la ecuación homogénea -4 c2 = - l => c2 = j ^

+1 4


88

)

y x +2

“ ■8.Vjf+i - 9 y , = 24, y0 =

2,

E c u a c io n e s e n

Diferencias

La solución general de !a ecuación no homogénea es: yx = c,(-)* + c2(3) ' -

y, = O

Desarrollo

Para x = 0, y = 5; 5 = c, + c2 -

8

8

La ecuaciónauxiliar es: m2 - S m - 9 = 0 , de donde (m -9)(m +l)=0 => m , = - l , n u = 9 La solucióngeneral de la ecuación homogénea esyx - c, (-1)* + c2(4)* 24 Calculando la solución particular: y_ = --------- = ------ = — F ' p 1-8-9 Luego la solución general de la ecuación no homogénea es:

24 3 16

Luego

2

X nx yx = c ,( - l) + c 29

61 c, =^ 4

| c, + c2 =13 ic, + 9 c2 = 33

por lo tanto: y , = - ( - ) * + —(3)*-8 * 5 3 5

3 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias, determine

para x = 0, y = 2,

2 = c, + c2-

comportamiento de la secuencia solución particular y calcule los primeros valores de c

3 -- de donde

.. ( 1) 11)

para x = 1, y = 0, 0 = -c , +9c 2

3

de donde

-cj+9c2

3

y,+2 ~ 3 y x+l + 3y ,

=

5 , y0= 5, y,

.. (2)

1 7 7 1 „ sumando(1 )y (2), 10c2 = 5 => c 2 = — como Cj+c2 = — => c , = — =3

= 8

Desarrollo

La ecuación auxiliar es: m 2 - 3m + 3 = 0 de donde m = — —- —— = —± — / 2 2 2 , , , 3 y¡3 . 3 73 . de donde m. =»—h----- 1 , m~ = ~ .-------1 2

í)

3 j „ 2- 1 0 y „ 1+3)'I = 8 , y0= 5 , y, = 3

2

2

2

V3 además r = / —+ — = V3 y tgd = =— V4 4 3 3

Desarrollo

=> 9 = --

6

La ecuación auxiliar es: 3w2 - 1 0m + 3 = 0 La solución general de la ecuación homogénea yx = (V3)*[c, eos— + c 2sen—•■] (3m - l)(m - 3) = 0 de donde m, = ^

La solución general de la ecuación homogénea es: particular es: y„ = ---------- = -8 F p 3 -1 0 + 3

6

=3

yx = c ,( - ) JÍ + c2(3)* y la solución

Calculando la solución particular de la ecuación homogénea es: y = p 1-3+3 por lo tanto la solución general de la ecuación no homogénea es:

6



■ La solución de la ecuación en diferencias es: yx + y p , /r.r, nx n x , v, = ( v 3) [c, eos — + c7.sen— 1+ 5 6 6

Calculando yx : para esto tenemos la ecuación auxiliar: 6m 2+ 5m —1 —0

Para x = 0, y = 5 se tiene: 5 = c, + 0 + 5 => c ¡ = 0 (6m - l)(m + 1) = 0 => Para x = l, y = 8, de donde se tiene:

8= \ 3 [ - ~ + — ]+ 5 3

V

=> c 2 = 2y¡3 2

rru,= — 6

20

1

yx = q (—1)"* + c2calculando yp - k donde k = /.

D

—- = 2

yx = 2>¡3('j3)xsen— +5 como r = J —+ —= >/3> 1 es divergente oscilatoria 6 V4 4 La solución general de la ecuación no homogénea es: yx = c, (-1)* + c2(~)x + 2

9y J+2 -

6yx+1 + y , = 16, y0= 0,

y, = 3 Calculando c, y c2 Desarrollo

La ecuación auxiliar es: 9m2 - 6 m +1 = 0

2

1

de donde ( 3 / n - l ) " = 0 = > w = — de multiplicidad 2.

3 = c, + c2 + 2 => c, + c2 -

1

Para x = 1, y = 8,

8= -c , + ^ - + 2

~6c, +c2 -“ 36

6

dedonde

La solución particular de la ecuación homogénea es yx = c, (~)x + c2x(-Í-)*

De) sistema { 1 2 =» í 1 [ - 6c, + c2 = 36 |c 2 = 6

16 Calculando la solución particular y „ = ----------= 4 " 9 - 6 + 1.

el comportamiento de la secuencia solución como m, ^ m 2 y p = max{| mx |,¡w2 | } ;

Para

x

= 0, y = 0 se tiene:

Cj

+ 0 + 4 = 0 de donde

” -4

Para x = 1, y = 3; 3 = — + — + 4 dedonde c. + r, - - 3 J

3

yx = - 4(1 .)* + •*(“ )* + 4

3

*

como m -

Desarrollo

6

2

=>

©

4y*+2 -

y,

= 5 - yo = 15 - >'i = 10 Desarrollo

La solución de la ecuación es: yx + y p , Calculando yx . =í

l_ J L —

< 1 , la secuencia converge a cero.

6>i+2+ 5^+1 ~ yx = 20, y0 = 3, y, = 8

y* - J-5(-l)'t + 6(—)x +2

entonces es divergente (oscilatorio).

Luego la solución general de la ecuación no homogénea es: yx = c, (-)* + c2x{~~)x + 4 3 3

)

Para x = 0, y =3,

para esto tomamos la ecuación auxiliar:

4mr

-1 = 0

=> m, =

La solución de la ecuación homogénea es: yx = c, ( - - ) x + c2(--)*

Calculando yp = k donde k = ——- = 5

1

_

1

- —



5<

q + c 2 =7 del sistema <

Luego la solución de la ecuación general de la ecuación en diferencias.

|2 q + c 2 =8

(q=l => <

,1 , , 1 y.. = (—) + 6(—)A+ 3 ,x

[c2 = 6

2

4

i i yx = ci ( - —) + c2(—) + 5 , calculando c¡ y c2 como m, * m2 y p = max{| w¡, |,¡ m2 |} = ~ < para x = 0, y = 15; 15 = c, + c2 + 5 de donde

1

entonces es convergente.

c, + c 2 -10 ©

c c para x = 1, y = 10; 10 = —Í- + - 2- + 5 de donde

2 2

c. '•i T+ c-

y*+2 ~ 4>Vh + 4>’* = 1> % =°> >’i =1

-10

Desarrollo La solución de la ecuación en diferencies es yx + y p

del sistema

como m¡ *

c¡ +c2 =10

=0 c 2 = 10 c,

—Cj +c2 = 10

p = max{|

|,|

yx = m - r + 5

Calculando yx , para esto consideremos la ecuación auxiliar m L - 4 w + 4 = 0 , de donde ( m - 2 ) 2 =0 => m =

|} = ~ < ] entonces convergente.

2

de multiplicidad 2.

1

8y +2 “ 63’*+i + y , = 9 , y0= 10,

y , = c ,2 +c-,x2 , calculando v n = k donde k = ---------- = 1 p 1-4+4

y{ = 5

Luego la solución general de la ecuación no homogénea:

Desarrollo

yx = q 2X +
Calculando q y c2

La solución de la ecuación en diferencias es yx + y p

Para x = 0, y = 0; 0 = q + 0 + l => q = -1 Calculando yx , pero se considera la ecuación auxiliar: Para x = 1, y = 1; l = 2 c, +2 c2 + l dedonde o

2-

6±2 1 * 1 « 6 ±> /3 6- 32 6m +1 = 0 => m = ---------------- => /n = ------ => m, = —, 16 16 2

c,+c2 =0

1

=— 4

1 1 9 vr = c, (—■)* + e-, (—)x , calculando y„ = k , k = ----------= 3 * 12 24 p 8- 6+1

©

=>

c 2 = -1

y^ = 2X —x2x +1, Como | m | = | 2 |= 2 > 1, la secuencia solución es divergente. - y +2 - 53’x+i + 6y x = 4 * y o = 0 ’ ^ í ^1 Desarrollo

1 X í X Luego la solución general de la ecuación no homogénea. yx = q (—) + c2(—) + 3

La solución de ecuaciones en diferencias es yx + y p

calculando c, y c2

Calculando yx : para esto consideremos la ecuación auxiliar m 2 ~5m + 6 = 0

para x = 0, y = 10; 10 = q + c 2+ 3 de donde c, + c2 = 7 ¡

(m - 3)(m - 2) = 0 de donde /n, = 3 y m2 = 2

para x =1, y = 15;

5 = — + — + 3 de donde ¡~2c, + c - - 8 2 4 i— ---------

yx = c,3* + c 22X, calculando y„ = k donde k =

4 1 -5 + 6



594

Luego la solución general de la ecuación no homogénea: yx - c, ¥ + c22 ’ f 2 Calculando c, y c2 :

Del sistema

l,y

c , + c 2 = -2

c,= 3 [c2 = -5

La solución es: yx + y p

y, = 3 . 3 * - 5 . 2 * + 2

Calculando yx : sea m 2 - 2 m + 2 = 0 de donde

y *+2-

-ti í 2

r* 0 = - U l

como p = max{2,3} = 3 > 1 es divergente

@

=6

Desarrollo

= l, l = 3c, + 2c2 + 2 => fe; 4 2 c 2 - - 1

[3q + 2.Cj = -1

y x+i + 2y , = 3 , y0 = 5 , y,

Cj + c2 = -2

Para x = 0, y = 0, 0 = c, + c2 = 2 Parax =

y x+ 2- 2

( § )

7-vx+i + 12>x = 2 - y0 = o ■ y\ = 1

=>

0= |

por lo tanto

—v r + T —•

y , = (V 2)*[c, c o s ^ + c2*?«^~]

calculando y D= k , donde k = — -— = 3

1-2 + 2

Desarrollo

Luego la solución general de la ecuación no homogénea es:

La solución de ia ecuación es yx + y p

yx -

Calculando yx :'para esto consideremos la ecuación auxiliar:

2

4

2

4

Calculando c, y c2

wi2 -7 /n + 12 = 0 de donde (m - 3)(m - 4) = 0 => ml =2>, »10=4 yx =c{3x + c24 x , calculando y p = k , donde k = —

(V frfc eos— + c,jí>h— ] + 3

1

Para x = 0, y = 5; 5 = c,+0 + 3 => c, =

=-

2

* * 1 Luego la solución de la ecuación no homogénea es: yx - c, 3 + c24 + Calculando c, y c2

1

Para x = 0, y = 0; 0 = c , + c 2 + -

1

=> ci + c2 - ~ ^

1

Para x = 1, y = 1, l = 3c¡+4c 2+ 3 Cl +C2 = ~ ~

2

®

=> 3q + 4c2 - —

Desarrollo

c,= -2

Del sistema 3c, + 4c2 = —, p = max {i m, I, ! m2 ¡} = 2 > 1, es divergente.

y*+2 ~ 4 yx = 9 , y0= o , y, = i

j

ya - —2.3* +

V) | CO

1

como r —>/«■ +b2 = y¡2 > 1 , es divergente

La solución de la ecuación es: y x + y p Calculando yx : para esto consideremos la ecuación auxiliar m2 - 4 = 0 m2

= ~2 Por lo tanto

yx = c[(~2)x + c 22*

m,

=-2

Eduardo Espinoza Ramos E c u a c io n e s e n D ife r e n c ia s

9_ calculando y p = k , donde k - -------- -3 1 -4

Sea p - max{--,—} = - <

Luego la solución de la ecuación no homogénea

y , = c, (-2Y +c22X 3

©

1,

es convergente.

3yx+2 + 5 ^ +, + 2y t = 4 , y0= 0, y, =

1

Calculando c, y c2 ; p a r a x = 0, y = 0; 0 - c ¡ + c 2 - 3 - - ^ c , + c 2 - 3 Desarrollo para x = 1, y = 1; 1 = - 2 c] + 2c2 - 3 => —^ + c2 - 2

fe, + c2 = 3 Del sistema: i ,, => -c¡ + c2 = 2

La solución de la ecuación es y + v

c -2 por lo tanto y* .= ~ (-2)* + —2X - 3

Calculando yx : pero se considera la ecuación auxiliar:

3m 2 + 5m + 2 = 0 , de dond

c? = —

2

(3m + 2)(m + 1) = Q => W]_ _ _ i m2 = -1 porlotanto ^

+<•,(-!)*

como p = max{| —2 1,¡ 2 1} = 2 > 1 es divergente. Calculando

1 2 ^ 2 - 7 ^ , + ^ = 18, v0 = 0 , y¡ = 3

y~k,

donde

k = —- — = 1 3+5+2

5

Desarrollo Luego la solución de la ecuación no homogénea es:

La solución de la ecuación es; y x + y p

y x = c¡ ( - — Y + c 2 ( -

1)* + í

3

Calculando y x ; se considera la ecuación auxiliar

Calculando c, y c2 :

1

5

para x = 0, y = 0, 0 = c , + c 2 =s - => c +.c = - 5 5

12?w2 ~7m + l = 0 =» ( 3 m - l ) ( 4 m - 1) = 0, de donde m) = - , m 2 para x - 1, y = l, l = - | Cl_ C2+|

i

y x = ci(—)x + c 2 ^

!

^

10c,+15c2 = - 9

18

x * calculando y p =-k , donde fc- 12_ 7 + 1 “ J

Del sistema Luego la solución de la ecuación no homogénea es: y x - c¡(- ) + c 2( ) Calculando cl y c2

+3

De! sistema i4c1+3c2 = 0 »

í"‘ .2 [c2 ^= - U

POr“)“n‘0

=> 4 c, + 3 c2 = 0

J

c2 =

5

-1

porlotanto yx

como p —max{ | m, ¡,| m2 |} = 1 , es divergente.

Para x = 0, y = 0. 0 = c, + c2 + 3 => c, + c2 = -3 Para x = 1, y = 3, 3 = ~ + ^ - + 3

c,+c2 = - 5 => 10c, +15c2 = - 9

+'

53

- ( - 1)' +

..........

PEDIDOS AL POR MAYOR Y MENOR ASOCIACIÓN DE VIVIENDA (EL HERALDO) Mz.A Lte.14 San Juan de Liiriganeho Teléfono: 3888564 - 5343996 - 9853365 L IM A -P E R U

IM PRESO EN:

EDITORIAL EDUKPERU E.I.R.L.

«

Eduardo Espinoza Ramos Graduado y Titulado en Matemática Pura. Catedrático de las principales Universidades de la Capital

□ BRAS PUB LIC AD AS: Númhihm ëâ»i>liüiji»fi v' Ecuaasn«* Pslinérnim»

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