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Calculo Calcul o 2_Ingeniería
SESIÓN 7 Tema: Volúmenes
1.
En los ejercicios 1 a 6, formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado al girar la región alrededor del eje x. 1) y x 1 Solución: De acuerdo a la gráfica establecida, se puede ver que el radio de este sólido es:
R( x) f ( x) x 1
Aplicando el método de los discos, el volumen del sólido de revolución es:
V V
b
2
1
2
a R x dx 0 x 1 dx 1
V x 2 2 x 1dx
0
V x 2 2 x 1
1 0
V 12 2(1) 1 02 2(0) 1
Al girar en el eje “x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de: 1 V 3 2) y 4 x
2
Solución:
De acuerdo a la gráfica establecida, se puede ver que el radio de este sólido es:
R( x) f ( x)
4 x2
1
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Aplicando el método de los discos, el volumen del sólido de revolución es:
V
2
b
a R x dx 2
2
2
2
V 4 x 2 dx 0 V
0 16 8x
4 x 4 dx
V 16 8 x 2 4 x 4
2 0
8(22 ) 25 V 16(2) 0 3 5 Al girar en el eje “x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de: 256 V 15 3) y
x
Solución:
De acuerdo a la gráfica establecida, se puede ver que el radio de este sólido es:
R( x) f ( x)
x
Aplicando el método de los discos, el volumen del sólido de revolución es:
V
2
b
a R x dx 4
2
x dx
1 2 V xdx 0 V
x 2 2 V 20 15 V 0 2 Al girar en el eje “x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de:
2
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V 4) y Solución:
15 2
9 x2
De acuerdo a la gráfica establecida, se puede ver que el radio de este sólido es:
R( x) f ( x)
9 x2
Aplicando el método de los discos, el volumen del sólido de revolución es: 2
b
V
a R x dx
V
2 0 9 x dx
V
2
3
3
2 0 9 x dx
3 3 x V 9 x 3 0 3 3 V 9(3) 0 3
Al girar en el eje “x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de:
V 18
2
5) y x , y x Solución:
3
De acuerdo a la gráfica establecida, se puede observar que los radios exteriores e interiores son:
R( x) x2 r ( x) x3
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
V
b
a R x
2
r ( x)2 dx 3
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0 ( x ) ( x ) 1 V x 4 x6 dx 0
V
2 2
3 2
dx
x5 x7 1 V 5 70 1 1 V 0 5 7 Al girar en el eje “x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de: 2 V 35 6) y 2, y 4
x 2 4
Solución:
De acuerdo a la gráfica establecida, se puede observar que los radios exteriores e interiores son:
x 2 R( x) 4 4 r ( x) 2
Para hallar las intersecciones entre ambas rectas, se igualan ambas igualdades 2 4
x
2
4
8 16 x2 x2 8 x 2 2 Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
x 2 2 2 4 (2) dx V 2 2 4 4 2 2 x V 2 2 x 2 12 dx 0 16 x5 2 x3 2 2 V 2 12 x 80 3 0 2 2
4
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128 2 32 2 24 2 V 2 3 80 V
448 2
15 Al girar en el eje “x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de: V 132.69 2.
En los ejercicios 1 a 6, formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado al girar la región alrededor del eje x. 7)
y x2 Solución:
Al girar la región alrededor del eje y, se debe colocar los radios en función a esa variable:
y x 2 y x Obteniendo:
R( y )
y
Aplicando el método de los discos, el volumen del sólido de revolución es: 4
2
y dy
V
0
V
0 ydy
2
4
y 2 V 2 0 V 8 8)
y 16 x 2 Solución: Al girar la región alrededor del eje y, se debe colocar los radios en función a esa variable:
y 16 x 2
16 y 2 x 2 Obteniendo:
R( y ) 16 y 2
5
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Aplicando el método de los discos, el volumen del sólido de revolución es:
V V
2
2 0 16 y dy 4
2
2 0 16 y dy 4
y3 V 16 3 0 128 V 3
9)
y x
2/3
Solución: Al girar la región alrededor del eje y, se debe colocar los radios en función a esa variable:
y x
y
3
2/3
x2
y3 x2 y3 x Obteniendo:
R( y ) 2 y 3 Aplicando el método de los discos, el volumen del sólido de revolución es: 2
1
V y 3/2 dy 0 V
1
3 0 y dy 4
y 4 V 4 0 V 4
10) x y 4 y 2
Solución:
De acuerdo a la gráfica establecida, se puede ver que el radio de este sólido es:
R( x) f ( x) 2
y 4 y
6
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Aplicando el método de los discos, el volumen del sólido de revolución es:
V
2
b
a R x dy 4
2
y 2 4 y dy
1 4 V y 4 8 y3 16 y2 dy 1 V
4 y 5 16 y 3 4 2y V 5 3 1 45 15 16(4)3 16(1) 3 4 V 2(4)4 2(1) 5 3 5 3
3.
Al girar en el eje “y”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de: 459 153 V 15 5 En los ejercicios 11 a 14, encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de las ecuaciones al girar alrededor de las rectas dadas. 11) y
x , y 0, x 3
Solución:
a) El eje x:
De acuerdo a la gráfica establecida, se puede ver que el radio de este sólido es:
R( x)
x , r ( x) 0
Aplicando el método de los discos, el volumen del sólido de revolución es:
V
2
b
a R x dx 4
2
V x dx 0 7
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V
4
0 xdx 4
x 2 V 2 0
Al girar en el eje “x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de:
V 8
b) El eje y: Al girar la región alrededor del eje y, se debe colocar los radios en función a esa variable:
R( y) 4
y x
^
y 2
x2
r ( y) y 2 Obteniendo:
R( y ) 2 y 3 ^
r ( y) y 2
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
V V
2
0 R( y)
2
( y 2 )2 dy
2
4 0 16 y dy 2
5 y V 16 y 5 0 128 V
5
c) La recta x = 4 Al girar la región alrededor del eje x=4, los nuevos radios formados son:
R( y) 4 y
2
^
r ( y) 0
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: 8
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V
b
a (R( y)) 2
V
0
V
2
2
(r ( y ))2 dy
2
4 y 2 dy
0 16 8 y
2
y 4 dy 2
3 5 8 y y V 16 y 3 5 0 256 V
15
d) La recta x = 6
Al girar la región alrededor del eje x=4, los nuevos radios formados son:
R( y) 6 y
2
^
r ( y) 2
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
V V V
b
2
2
2 2
a (R( y)) 0 (6 y 2
(r ( y ))2 dy
) 4 dy
0 32 12 y
2
y 4 dy 2
5 y 3 V 32 y 4 y 5 0 192 V
5
2
12) y 2 x , y 0, x 2 Solución:
a) El eje y: 9
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Al girar la región alrededor del eje y, se debe colocar los radios en función a esa variable:
R( y) 2
y 2x
^
y 2
2
x 2
r ( y)
y 2
Aplicando el método de los discos, el volumen del sólido de revolución es:
V
b
a (R( y))
2
(r ( y ))2 dy
2 y (2) dy 0 2 8 y V 4 dy 0 2
V
8
8
2 y V 4 y | 4 0
(8)2 V 4(8) 0 4 Al girar en el eje “x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de:
V 8
b) El eje x: De acuerdo a la gráfica establecida, se puede ver que el radio de este sólido es:
R( x) 2 x2 , r ( x) 0
10
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Aplicando el método de los discos, el volumen del sólido de revolución es:
V
2
b
a R x dy 2
2
V 2 x 2 dx 0 V
2
0 4 x dx 4
2
4 x 4 V 5 0
Al girar en el eje “x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de: 128 V 5 c) la recta y = 8 Al girar la región alrededor del eje y=8, los nuevos radios formados son:
R( x) 8
^
r ( x) 8 2 x
2
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: b
V
a (R( y))
V
8
V V
2
2
0
2
(r ( y ))2 dx
(8 2 x2 )2 dx
2
0 64 64 32 x 2
0 32x
2
2
4 x4 dx
4 x4 dx 2
32 3 4 5 V x x 5 0 3 896 V 15
11
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d) La recta x = 2
Al girar la región alrededor del eje x=2, losnuevos radios formados son:
R( y) 2 y / 2
^
r( y) 0
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
V
b
a (R( y))
2
(r ( y ))2 dy 2
y V 2 dy 0 2 8 y y dy V 4 4 0 2 2 8
8
4 2 3 2 y 2 V 4 y y 3 4 0 16 V 3
2
13) y x , y 4x x
2
Solución: a) El eje x Para poder determinar los puntos de intersección e ntre ambas rectas, igualaremos los valores de y: 2 2 x 4x x 2
2 x 4x 2 2 x 4x 0
2 x( x 2) 0 Obteniendo: 12
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x 0, x 2 Reemplazando en y: y x
2
2
y 2 4 De acuerdo a la gráfica establecida, se puede ver que el radio de este sólido es:
R( x) x2 , r (x) 4 x x2
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: b
V
a (R( x))
V
4 x x2 2 x4 dx 0
V
0 16x
2
(r ( x))2 dx
2
2
2
8 x3 dx 2
16 x3 8x 4 V 3 4 0 V
16(2)3
2(2)4
3 Al girar en el eje “x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de: 32 V 3 b)
la recta y = 6
Al girar la región alrededor del eje y=6, los nuevos radios formados son:
R( x) 6 x
2
^
2
r ( x) 6 (4 x x )
13
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Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: b
V
a (R( x))
V
6 x2 2 (6 4 x x2 )2 dx 0
2
(r ( x))2 dx
2
V 8
2
0 x
3
5 x2 6 x dx 2
1 4 5 3 2 V 8 x x 3x 3 3 0 64 V 3
2
14) y 6 2x x , y x 6
Solución: a) El eje x Para poder determinar los puntos de intersección e ntre ambas rectas, igualaremos los valores de y: 2
6 2 x x x 6 2
x 3x 0
x( x 3) 0 Obteniendo:
x1 0, x2 3 Reemplazando en y:
y1 x 6
y2 x2 6
y1 0 6
y2 3 6
y1
6
y2 3
De acuerdo a la gráfica establecida, se puede ver que el radio de este sólido es:
R( x) 6 2x x2 , r ( x) x 6
14
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Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: b
V
a (R( x))
V
6 2 x x2 2 ( x 6)2 dx 3
V
2
(r ( x))2 dx
0
0
3 x
4
4 x3 9x 2 36 x dx 0
x5 V x 4 3x3 18x 2 | 5 3 (3)5 V 0 (3)4 3(3)3 18( 3) 2 5 Al girar en el eje “x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de: 243 V 5 b)
la recta y = 3
Al girar la región alrededor del eje y=3, los nuevos radios formados son:
R( x) 6 2 x x
2
3
^
r ( x) ( x 6) 3
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: b
V
a (R( x))
V
3 2 x x2 2 ( x 3)2 dx 3
V
2
(r ( x))2 dx
0
0
3 x
4
4 x3 3x2 18 x dx 0
1 5 4 3 2 V x x x 9x 5 3 108 V 5
15
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4.
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En los ejercicios 15 a 18, encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de las ecuaciones al girar alrededor de la recta y= 4. 15) y x, y 3, x 0
Solución: Al girar la región alrededor del eje y=4, los nuevos radios formados son:
R( x) 4 ( x), r ( x) 4 3 R( x) 4 x, r ( x) 1
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
V V V
b
2
0
2
a (R( x))
3 (4 x) 0
3 x
2
(r ( x))2 dx (1)2 dx
8x 15dx 3
x3 2 V 4 x 15x 3 0 (3)3 4(3)2 15(3) V 3 V 18 16) y
1 2
x
3
,
y
4,
x0
Solución:
Al girar la región alrededor del eje y=4, los nuevos radios formados son:
x3 R( x) 4 , r ( x) 4 4 2 16
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R( x) 4
x
3
2
, r ( x) 0
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
V
b
a (R( x))
2
(r ( x))2 dx
x3 2 V (4 ) (0) 2 dx 0 2 2 x6 V 16 4 x3 dx 0 4 2
2
7 x 4 V 16 x x 28 0 128 V 32 16 28 144 V
7
17) y
3 1 x
,
y 0, x 0, x 3
Solución: Al girar la región alrededor del eje y=4, los nuevos radios formados son:
R( x) 0 4, r ( x) 4
R( x) 4, r ( x) 4
1 1 x
1 1 x
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
V
b
a (R( x))
2
(r ( x))2 dx
2 2 1 V (4) 4 dx 0 1 x 3
17
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8 1 dx V 2 0 1 x 1 x 3
3
1 V 8 ln(1 x) 1 x 0 1 V 8ln 4 1 4 3 V 8ln 4 32.485 4 18) y sec x, y 0, 0 x
3
Solución: Al girar la región alrededor del eje y=4, los nuevos radios formados son:
R( x) 0 4, r( x) 4 sec x R( x) 4, r (x) 4 sec x
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: b
V
a (R( x))
V
0 (4)
V
3
3
2
2
(r ( x))2 dx 2
4 sec x dx
0 8 sec x sec
2
x dx
V 8ln sec x tan x tan x
3 0
V 8ln 2 3 3 8ln 1 0 0
V 8ln 2 3 3 V 27.66
5.
En los ejercicios 19 a 22, encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de las ecuaciones al girar alrededor de la recta x = 6. 18
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19) y x, y 0, y 4, x 6
Solución:
Al girar la región alrededor del eje x=6, los nuevos radios formados son: R( y) 6 y ^ r ( y) 0
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
V V V
b
a (R( y)) 4
0 6 y
2
2
(r ( y ))2 dy
dy
4
2 0 36 12 y y dy 4
y 3 V 6 y 2 36 y 3 0 208 V 20) y 6 x, y 0, y 4, x 0
3
Solución:
Al girar la región alrededor del eje x=6, los nuevos radios formados son: R( y) 6 ^ r ( y) 6 (6 y) y
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
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V V V
b
a (R( y)) 4
0 6)
2
2
(r ( y ))2 dy
( y)2 dy
4
2 0 36 y dy 4
3 y V 36 y 3 0 368 V
3
2
21) x y , x 4
Solución: Al girar la región alrededor del eje x=6, los nuevos radios formados son:
R( y) 6 y
2
^
r ( y) 6 4 2
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
V V
b
2
2
2 2
a (R( y)) 2 (6 y
V 2
2
0 y
4
(r ( y ))2 dy
) (2)2 dy
12 y 2 32 dy 2
y5 V 2 4 y 3 32 y 5 0 V
384 5
22) xy 6, y 2, y 6, x 6
Solución: Al girar la región alrededor del eje x=6, los nuevos radios formados son:
R( y ) 6
6 y
^
r ( y) 0 20
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Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
V
b
a (R( y))
2
(r ( y ))2 dy
2
6 V 6 dy 2 y 6
V 36
2 1 2 1 y y 2 dy 6
6
1 V 36 y 2 ln y y 2 35 3 2ln 6 2ln 2 2 6
V 36
1 13 2ln 3 3
V 36
V 12 13 6 ln 3 241.59 23) El volumen de un tanque de combustible Un tanque en el ala de un avión de motor de reacción tiene la forma de un sólido de revolución y generado al girar la región acotada por la gráfica y
1 8
x
2
2 x alrededor del eje x , donde x e y son medidos en metros. Calcular el
volumen del tanque.
Solución:
De acuerdo a la región formada, el radio de este sólido es:
R( x)
1 8
x2 2 x
Aplicando el método de los discos, el volumen tanque es:
V
b
2
a R x dy 2
1 V x 2 2 x dx 0 8 2
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V V
2
2
x 64 0
4
2 x dx
(2 x 64 0
4
x5 )dx 2
2 x5 x6 V 64 5 6 0 Al girar en el eje “x”, el volumen del tanque es:
V
30
24) El volumen de un recipiente de vidrio Un recipiente de vidrio se modela al girar la gráfica de
y
0.1 x3 2.2 x2 10.9 x 22.2, 0 x 11.5 2.95, 11.5 x 15
Alrededor del eje x donde x y y son medidos en centímetros. Representar la función y encontrar el volumen del recipiente
Solución: Para poder determinar el volumen del sólido formado por ambas funciones por partes: El volumen se hallará por:
V
11.5
0
15
11.5 (2.95)
( 0.1x3 2.2 x2 10.9 x 22.2) 2 dx 11.5
0.1 x 4 2.2 x3 10.9x 2 V 4 3 2 0
2
dx
15
2.952 x
11.5
V 1031.9016cm3 25) Profundidad del agua en un tanque Un tanque de agua es una esfera de 50 pies de radio. Determinar las profundidades del agua cuando el tanque se llena a un cuarto y tres cuartos de su capacidad total.
Solución: Hallar el volumen de agua en el tanque:
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V
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50
2500 y 2
y0
2
y0
V
50 (2500 y
2
dy
)
y
0 3 y V 2500 y 3 50
y
0 y03 25000 V 2500 y0 3 3 50
y
0 y03 25000 V 2500 y0 3 3 50
Cuando el tanque es ¼ de su capacidad:
y03 25000 2500 y0 3 3
1 500000
4
3
125000 7500 y0 y03 250000 y03 7500 y0 125000 0 y0 17.36 La profundidad sería: -17.36-(-50)=32.64 pies Cuando el tanque es tres cuartos de su capacidad, su profundidad será:
100 32.64 67.36 pies
23
