SOAL-SOAL ELIPS
1. Sebuah elips mempunyai persamaan
+ = 1 . Tentukanlah:
a. Koordinat pusat, fokus, dan puncak dari elips b. Panjang sumbu mayor mayor dan sumbu minor c. Gambarkan elips tersebut! Jawab:
a. Gunakan
+ = 1
+ = 1 A = 5, b = 4 dan c =
√a b = √5 4 = √ 9 = 3
Koordinat titik pusat di O(0,0) Koordinat focus di F 1(-3,0) dan F2(3,0) Koordinat titik puncak di A(-5,0) dan B(5,0) Titik potong dengan sumbu y di C(0,-4) dan D (0,4) b. Panjang sumbu mayor 2a = 2 . 5 = 10 Panjang sumbu minor 2b = 2 . 4 = 8 c. Gambar elips y 4 D (0,4)
B (-5,0) (-5,0)
F1
0
F2
A (5,0) X
C (0,-4)
2. Carilah persamaan elips dengan fokus (0, 2) dan direktris
= 4 ...?
P enye nyelesa lesaii an:
sebagai sumbu panjang < dalam hal ini = 2 . … . d : = = 4 → = 4 … … … … …. = = 2 → = 2 → = … … .
Fokus F1 (0, 2) dan F2 (0, -2) dan sumbu Direktris :
1
Dari persamaan ....(i) dan (ii) diperoleh :
= 4 ↔ = 4 2 ↔ = 8
Maka :
= = = 8 4 = 4 + =1
Jadi persamaan elips adalah :
3. Diketahui elips dengan persamaan
−
+ − =1
, tentukan :
a.
Koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor dan koordinat focus.
b.
Persamaan sumbu utama, persamaan sumbu sekawan, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor.
c. Nilai eksentrisitas dan persamaan direkstriks. d.
Panjang latus rectum
e.
Gambar
Jawab:
−
+ − =1
, merupakan elips horizontal dengan a 2 =
b = 2, dari hubungan a.
= , didapat = 4 =
a = dan
= 4
=
Koordinat titik pusat di M (4,3) Koordinat titik puncak
(p – a,q) = 4 ,3=1 , 3 +, =4+ ,3=6 ,3
Koordinat titik ujung sumbu minor B 1 (p, q-b) = (4, 3-2) = (4,1) B2 (p, q+b) = (4,3 + 2) = (4,5) Koordinat focus
, =4 ,3=2 , 3 +, = 4 + ,3=5 ,3
b.
Persamaan sumbu utama adalah y=3 dan persamaan sumbu sekawan adalah Panjang sumbu mayor = 2a =
2 = 5
panjang sumbu minor = 2b= 2(2) = 4
b. Nilai eksentrisitas = =
= =0,6
= − = 4 −⁄⁄ = − = = + = 4 + ⁄⁄ = 8
c. Persamaan direktrik
x =4
d.
= = Panjang latus rectum = ⁄
e. Gambar
4. Selidiki apakah garis
Penyelesaian:
√ 3 8 = 0 memotong, menyinggung/tidak memotong sama sekali elips + = 1
2√ 3 8 = 0 = 2√ 3 + 8 = 0 … …… 1 Elips + = 1 +4 1 6 = 0 .........................(2 ) Garis
Substitusi ( 1) ke ( 2) sehingga di peroleh :
2√3 + 8 + 4 1 6 = 0 12 + 32√ 3 + 64 + 4 1 6 = 0 16 + 32√ 3 + 48 = 0 + 2√ 3 + 3 = 0 = 2√ 3 4.3 = 1 2 1 2 = 0, karena D = 0, maka garis tersebut menyinggung elips. Titik singgungnya dapat di cari sebagai berikut :
+√3 = 0 → = √ 3 = 2√ 3 + 8 = 2√ 3 .(√ 3 ) + 8 = 6 + 8 = 2 Di dapat titik singgung ( 2, √ 3
5.
+ = 1 Persamaan garis singgung pada elips , dengan gradient m = 3. Tentukan persamaan garis singgung tersebut! Jawab:
+ = 1
, diperoleh
= 4 , = 2
= 16 , = 4 Persamaan garis singgunngnya adalah: = ± = 3 ± 4 23 = 3 ± √ 4 × 9 + 1 6 = 3 ± √ 3 6+16 = 3 ± √ 52 Jadi persamaan garis singgungnya adalah
= 3 ± √ 3 6+16
6. Tentukan persamaan kedua garis singgung pada elips
+ = 1
Disuatu titik pada elips yang ordinatnya 2.
Penyelesaian: Titik – titik pada elips yang ordinatnya 2, abisnya didapat dari :
+ 2 =1 → = 3 → = 75 → ± 5 √3 25 16 25 4 4 2 Titik – titik itu adalah M ( √ 3 ,2 dan N √ 3 ,2 Persamaan garis singgung di M
√ 3, 2) adalah :
+ = 1 atau x1x + y1y - = 0
16 52 √ 3 + 25.2 25.16 = 9 √ 3 + 50 400 = 0 4√ 3 + 5 40 = 0 40
Persamaan garis singgung di M ( 16.(
√ 3, 2 adalah
√ 3 ) +25.225.16=0
4√ 3 +540=0 4√ 3 5+40=0
7.
− + − = 1 Tentukan persamaan garis singgung pada elips, dititik potong nya dengan sumbu x. Penyelesaian:
Dicari dahulu titik – titik potongnya dengan sumbu
→ = 0
1 + 02 = 1 12 16 1 + 1 =1 → 1 = 3 1 = 9 12 4 12 4 1 = ±3 → x = 4. Didapat M (4, 0) 1= 3 → x = -2 . Didapat N (-2, 0) 1
2
Garis singgung di M (4, 0)
− − − – + = 1 −− − − + =1
1 + 2 = 2 1 2 = 8 4 8 22+2=8 28=0 Garis singung di N (-2, 0)
8.
11 1 + 12 2 = 1 12 16 21 1 + 0 2 2 = 1 12 12 1 + 2 = 2 1 2 = 8 4 8 22+2=8 28=0 Tentukan persamaan garis singgung pada elips + 2 1 6 = 0 dititik 2 √ 2 ,2 ? Jawab:
+ 2 1 6 = 0 + 2 = 16 + = 1 16 8 Di titik 2 √ 2 ,2 + =1 ↔ + = 1 = 1 ini artinya (2√ 2 ,2)terletak pada elips + = 1,jadi persamaan garis singgungnya:
+ =1 ↔ 2√ 2 + 2 = 1 16 8 2√ 2 +4=16 √ 2, x + 2y = 8
= 4 √ 2,
2 = 8 √ 2
9. Jarak maksimum bumi dari matahari adalah 94,56 juta mil,dan jarak minimum nya
adalah 91,45 juta
mil,bagaimana eksentrisitas dari orbitnya dan bagaimanakah diameter mayor dan diameter minornya?
Penyelesaian:
Matahari a
c
Dengan melihat rotasi pada gambar kita dapat melihat bahwa
+=94,56 =91,45
Dalam menyelesaikan persamaan-persamaan untuk a dan c maka di peroleh a = 93,01 dan c = 1,56
, = = , = 0,0 17 dan diameter mayor dan diameter minornya dalam juta mil adalah 2 = 186,02 2 = 2 = 185,9 9 Maka
10. Tentukan persamaan garis singgung pada elips
+ = 1 yang sejajar dengan garis 4x –
2 +23 =0
Penyelesaian : Garis yang sejajar dengan garis 4x-2y + 23 = 0 mempunyai gradien 2. Persamaan garis singgung pada elips dengan gradien 2 adalah : y
= ± √ +
y
=2 ± √ 3 0.2 + 24
2x
+ 12 = 0 2 12 = 0.
11. Di Washington D.C., terdapat taman elips yang terletak di antara Gedung Putih dan Monumen Washington. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan yang berbentuk elips dengan panjang sumbu mayor dan minornya secara berturut-turut adalah 458 meter dan 390 meter. Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing-masing fokus taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut.
Pembahasan: Karena panjang dari sumbu mayornya 2 p = 458 maka kita peroleh p = 458/2 = 229 dan p2 = 229 2 = 52.441. Sedangkan panjang sumbu minornya 2q = 390, sehingga q = 390/2 = 195 dan q2 = 1952 = 38.025. Untuk menentukan f , kita dapat menggunakan persamaan fokus.
Jadi, jarak antara kedua air mancur tersebut adalah 2(120) = 240 meter.
12. Jika lithotripter tersebut memiliki panjang (sumbu semi mayor) 16 cm dan berjari-jari (sumbu semi minor) 10 cm, seberapa jauh dari titik puncak seharusnya batu ginjal terse but diposisikan agar diperoleh hasil yang maksimal?
Pembahasan: Dari soal, kita dapatkan panjang sumbu semi mayornya adalah q = 16, sehingga q2 = 162 = 256 dan panjang sumbu semi minornya adalah p = 10, sehingga p2 = 102 = 100. Dengan menggunakan persamaan fokus,
Sehingga, jarak titik puncak dengan titik fokus di mana batu ginjal diposisikan dapat ditentukan sebagai berikut.
Jadi, agar diperoleh hasil yang maksimal, batu ginjal tersebut seharusnya terletak pada jarak 28,49 dari titik puncak lithotripter. 13. Suatu kelengkungan tanah yang berlubang berbentuk setengah ellips dengan lebar alas 48 meter dan tinggi 20 meter. Berapa lebar kelengkungan itu pada ketinggian 10 meter dari alas !
Pembahasan:
Gambar diatas memperlihatkan sketsa lengkungan dan sumbu-sumbu koordinat dapat dipilih sedemikian hingga sumbu- x terletak pada alas dan titik asal adalah titik tengah alas. Maka sumbu utama ellips terletak sepanjang sumbu- x, pusatnya di titik asal, a = ½ 48 = 24, b = 20. Persamaan ellips berbentuk :
≫ 576 + 400 = 1 Pada ketinggian 10 meter, berarti untuk nilai y = 10 akan diperoleh x yang menyatakan lebar setengah lengkungan pada ketinggian 10 meter. Jadi :
10 ≫ 576 + 400 = 1 sehingga diperoleh :
√ 3
x2 = 432 , x = 12
Dengan demikian pada ketinggian 10 meter dari alas, lebar kelengkungan adalah AB = 24
√ 3 meter.
14. Sebuah satelit mengitari bumi dengan lintasan berbentuk ellips. Jarak terdekat satelit terhadap bumi adalah 119 mil dan jarak terjauh 881 mil. Tentukan persamaan baku ellips tersebut j ika pusat ellips adalah titik ( -2, 1).
Pembahasan : Diketahui: a) Jarak terdekat satelit terhadap bumi (sumbu minor/sumbu pendek) : 119 mil b) jarak terjauh satelit terhadap bumi (sumbu mayor/sumbu panjang) : 881 mil c) titik pusat M (α,β) : (-2,1) Ditanya: Persamaan baku elips?
Jawab: Persamaan elips yang berpusat pada (α,β) adalah :
+ = Dari persamaan diatas sudah diketahui titik pusatnya, yakni : α = -2
,
β = 1
Dan untuk mencari Untuk mencari
adalah : = ; .881 = 440,5 ; = 440,5 = ,
adalah : = ; .119 = 59,5 ; =59,5 = ,
Titik fokusnya :
= = 194040,25 3540,25 = 190500, = √ 1 90500 = 436,5
Maka persamaannya :
+ + = , , + + = , ,
15. Bumi mengitari matahari dengan lintasan berbentuk ellips dengan matahari pada salah satu fokusnya. Jarak matahari terhadap bumi yang terdekat adalah 9,3 x 106 mil, sedangkan jarak yang paling jauh adalah 9,6 x 106 mil. Tentukan persamaan lintasan bumi tersebut jika matahari terlatak pada salah satu titik fokusnya dan menganggap titik pusat adalah (0, 0).
Pembahasan :
= ; .9,6 .106 = 4,8 .106 Untuk mencari b adalah : = ; .9,3 .106 = 4,65 .1 06 Untuk mencari a adalah :
Karena titik pusatnya (0,0) maka bentuk persamaannya :
+ = , . + , . =
