Lembar Kerja Siswa (LKS) Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas/ Semester Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Alokasi Waktu
: SMA : Matematika :X/2 : Ruang Dimensi Tiga : Jarak pada Bangun Ruang : 2 x 45 menit (1 x pertemuan)
Kedudukan Titik Terhadap Garis
Dari gambar di samping kita melihat bahwa pohon dan dan tiang lampu jalan terletak di pinggir jalan. Terletak artinya tidak ada jarak antara benda-benda tersebut dengan jalan raya, sebesar atau setinggi apapun benda itu. Sedangkan antara burung dan lampu terhadap jalan raya ada suatu jarak, karena memang burung dan lampu itu tidak terlekat di jalan/pinggir jalan raya.
Jarak dua benda pada ruang merupakan jarak terdekat antara dua titik pada benda tersebut. Hubungan titik dan ruas garis pada gambar di atas dapat disajikan berikut:
Titik A terletak pada garis g. Garis g melalui titik A. Jadi jarak titik A dengan garis g adalah ….
Titik B berada di luar garis g. Garis g tidak melalui titik B. Jadi jarak titik B dengan garis g adalah ….
Jadi bila benda-benda dan burung itu diandaikan sebagai titik dan jalan raya itu sebagai garis maka: a. Titik dikatakan terletak pada garis jika antara titik dan garis itu tidak ada jarak sama sekali. b. Titik dikatakan di luar garis, jika ada jarak antara titik dan garis itu
Contoh Soal
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Tentukan jarak titik F ke garis AC. Beberapa langkah dalam menyelesaikan soal tersebut adalah sebagai berikut:
a. Gambarkan kubus tersebut ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. Jumlah titik sudut ada….. Jumlah rusuk ada….. Jumlah sisi ada….. Diagonal sisi adalah AC, BD, …,…. Diagonal ruang adalah BH, …,…. Bidang diagonal adalah ACGE, …… b. Panjang AB = BC = BD = ….= 2 cm Panjang semua rusuk kubus adalah ……… = 2 cm Sisi ABCD // sisi EFGH, sisi BCGF // sisi……, dan …… / / ……. Jadi ketiga pasang sisi kubus saling ….. Sketsa segitiga yang terbentuk : ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. Jadi jarak titik F ke garis AC adalah ………. c. Jika A, C, dan H dihubungkan maka akan membentuk bidang segitiga….. Panjang sisi-sisi segitiga itu adalah : AC adalah sisi miring dari segitiga siku-siku ABC. Maka menurut dalil Pythagoras AC2 = AB2 + BC22 sehingga AC =
2
AB
2
BC
= 2 .... = ... 4 = 8 = 4.2 4. Karena segitiga sama sisi maka AC = CF = … = … 2
2
2
...
....
AP = ½ AC = ……. Jarak titik F ke garis AC sama dengan garis FP, sehingga panjang FP adalah: FP =
AF
2
2
(2 2 ) 2 ......2 = …..
AP =
d. Jika kubus ABCD.EFGH berukuran
a, tunjukkan
bahwa panjang diagonal sisinya
adalah a 2 Perhatikan segitiga ABC pada kubus. Segitiga ABC siku-siku di B. menurut teorema Pythagoras AC2 = AB2 + BC22. 2
AB
Sehingga AC =
a
=
2
2
BC
.a
2
... a
=
2
=
2a
2
=
a
2
2
a
2
.
2
a
2
AC adalah salah satu diagonal sisi kubus. Karena panjang diagonal sisi kubus sama panjang maka panjang AC = panjang diagonal sisi kubus =
a
2
e. Jika M adalah titik potong diagonal sisi EG dan FH pada kubus ABCD.EFGH di atas. . Misalkan titik M dihubungkan ke titik A, B, C dan D, maka akan terbentuk bangun …….. Jarak titik M ke rusuk alas limas sama dengan mencari jarak titik ….. ke rusuk AB. Misalkan N adalah titik tengah AB, maka jarak tit ik M ke ruas garis AB sama dengan jarak titik M ke titik N. Misakan pula O adalah titik tengah EF, maka OM = ½ FG dan ON = AE. OM tegak lurus EF dan ON tegak lurus AB sehingga ruas garis MN te gak lurus ruas garis AB. Hal ini berarti segitiga MON siku-siku di O. H
G
M E
O
F
D A
C B
N
Menurut dalil Pythagoras, OM2 = OM2 + ON2 OM
O
......... ON
2
N
M
2
1 OM a ...... 2
.... ... ...
2
5
1
a
4 1 a
2
4 4
a
2
2
.....
a
2
.....
1 a 5 2
5
2
Jadi jarak titik M ke rusuk alas limas M.ABCD =
OM
1
2
a
5
KUNCI JAWABAN PENILAIAN PRODUK DAN PROSES
Jawaban
Tingkat berpikir Visualisasi
a. Gambar kubus S
R
P
Q
N
M
K
L
Rusuk kubus : KL, LM, MN,KN, KP,LQ,MR,NS,PQ,QR,RS,SP Diagonal sisi : KQ,LP,LR,MQ,MS,RN,KS,NP,KM,LN,QS,PR Diagonal ruang :KR,LS,BQ,MP b. KL, LM, MN,KN = 8 cm. sehingga panjang seluruh rusuk kubus adalah 8 cm panjang KM = panjang MS = panjang KS. Karena ketiga sisi tersebut sama panjang maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama sisi. Gambar sketsa segitiga adalah:
Analisis
M
K
T
S
Jadi jarak titik M ke garis KS adalah MT c. Menghitung panjang KS.
Deduksi informal
KS adalah sisi miring dari segitiga siku-siku KSP. Maka menurut dalil Pythagoras KS2 = KS2 + SP2 sehingga KS = =
2
KS 8
2
SP
8
2
2
=
64 64 = 8 2
Karena segitiga sama sisi maka KS = KM = SM = KT = ½ KS = ½ .
8 2
8 2cm
4 2
Jarak titik M ke garis KS sama dengan garis MT, sehingga panjang MT adalah:
Skor
MT =
KM
2
(8 2 ) 2
2
KT =
(4 2 ) 2
4 6
Jadi jarak M ke garis KS adalah 4√ 6 cm d. Menentukan jarak titik sudut ke diagonal sisi M
Deduksi
KT = ½ KS = ½. A =
1 2
a
2
Jadi a
2
MT = K
1 2
a
2
T
KM
2
KT
2
S
(a 2 ) 2 2a 2
1
2
a
( 12 a 2 ) 2 2
3
2
a
1
2
a
6
e. Semua diagonal ruang kubus berpotongan di satu titik, yaitu Rigor dipertengahan ruas garis diagonal ruangnya. Misalkan perpotongan diagonal-diagonal ruang adalah titik T, maka T.KLMN, T.OPQR, T.LMQP, T.KNRO, TKLPO dan T.MQRN adalah limas persegi beraturan dengan tinggi ½ rusuk kubus KLMN.OPQR. Jarak titik T ke salah satu rusuk kubus sama dengan jarak titik T rusuk alas limas. Salah satu limas yang terbentuk dapat digambarkan berrikut.
Pada gambar limas T.KLMN di atas, O adalah titik potong diagonal sisi KM dan LN, serta P adalah titik tengah LM. Pada segitiga POT, siku-siku di O dan OP = ½ KL dan OT = ½ LQ.Menurut dalil pythagoras, PT2 = PO2 + OT2 2
1 1 PT a a 2 2
PT
1 4
a
2
1 4
a
2
2
PT
2
a
2
4 2
a PT 2 PT
a
2
2
2
Jadi jarak titik potong semua diagonal ruang kubus dengan salah a
satu rusuk alas bangun yang terbentuk (limas) adalah
2
2
