1. Salah satu satu persamaan persamaan garis singgung singgung lingkara lingkarann ( x – 2 )² + ( y + 1 )² )² =13 di titik titik yang yang berabsis –1 adalah …. a. 3x – 2y – 3 = 0 b. 3x – 2y – 5 = 0 c. 3x + 2y – 9 = 0 d. 3x + 2y + 9 = 0 e. 3x + 2y + 5 = 0 Penyelesaian
Langkah 1 : Substitusi nilai x = –1 pada persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13, sehingga didapat (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 : (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 : 9 + ( y + 1 )² =13 ( y + 1 )² =13 – 9 ( y + 1 )² = 4 y+1=±2 y = –1 ± 2, sehingga didapat : y1 = –1 – 2
y2 = –1 + 2
y1 = –3
y2 = 1
didapat koordinat titik singgungnya adalah : ( –1,–3 ) dan ( –1,1 ) Langkah 2 : Persamaan garis singgung pada umumnya “ membagi adil “ persamaan. Dari persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13 jika berbagi adil maka menjadi persamaannya menjadi ( x – 2 ) ( x – 2 ) + ( y + 1 ) ( y + 1 ) = 13, kemudian substitusikan kedua koordinat titik singgungnya. ( –1,–3 )
( –1,1 )
(–1 – 2 ) ( x – 2 ) + (–3 + 1 ) ( y + 1 ) = 13 (–1 – 2 ) ( x – 2 ) + ( 1 + 1 ) ( y + 1 ) = 13 –3 –3 ( x – 2 ) + –2 ( y + 1 ) = 13
–3 ( x – 2 ) + 2 ( y + 1 ) = 13
–3x + 6 – 2y – 2 = 13
–3x + 6 + 2y + 2 = 13
–3x – 2y + 4 – 13 = 0 –3x – 2y – 9 = 0
–3x + 2y – 13 + 8 = 0 –3x + 2y – 5 = 0
{kedua ruas dikalikan dengan (–)}, maka akan diperoleh : 3x + 2y + 9 = 0 atau 3x – 2y + 5 = 0 , keduanya merupakan jawaban yang benar tetapi hanya jawaban D yang tersedia pada option . 2. Persama Persamaan an garis garis singgung singgung lingka lingkaran ran x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 di titik titik yang yang berabsis berabsis 5 adalah …. a. 4x – y – 18 = 0 b. 4 x – y + 4 = 0 c. 4x – y + 10 = 0 d. 4 x + y – 4 = 0 e. 4x + y – 15 = 0 Penyelesaian
Langkah 1 : Subti Subtitu tusi sika kann nila nilaii x = 5 pada pada persa persama maan an lingk lingkar aran an untuk untuk mend mendapa apatk tkan an titi titik k singgungnya. x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 5² + y² – 2(5) – 6y – 7 = 0 y² – 6y – 7 + 25 – 10 = 0 y² – 6y + 8 = 0 (y–2)(y–4)=0 y =2
atau atau
y = 4, sehingg sehinggaa koordni koordninat nat titik titik singgun singgungny gnyaa adalah adalah ( 5,2 ) dan
( 5,4 ). Langkah 2 : Persamaan berbagi adil x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0 Langkah 2 : Substitusikan kedua titik singgung pada persamaan x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0
( 5,2 )
( 5,4 )
x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 y1 ) – 7 = 0
x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) –
5x + 2y – ( x + 5 ) – 3( y + 2 ) – 7 = 0
7=0
5x + 2y – x – 5 – 3y – 6 – 7 = 0 4x – y – 18 = 0
5x + 4y – ( x + 5 ) – 3( y + 4 ) – 7 = 5x + 4y – x – 5 – 3y – 12 – 7 = 0 4x + y – 24 = 0
3. Pers Persam amaa aann ling lingka kara rann yang yang pusa pusatn tnya ya terle terleta takk pada pada gari gariss 2x – 4y – 4 = 0, sert sertaa menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative adalah …. a. x² + y² y² + 4x + 4y 4y + 4 = 0 b. b. x² + y² y² + 4x + 4y 4y + 8 = 0 c. x² + y² y² + 2x + 2y 2y + 4 = 0 d. x² + y² y² – 4x – 4y 4y + 4 = 0 e. x² + y² y² – 2x – 2y 2y + 4 = 0 Penyelesaian
Dari soal terdapat pernyataan “ menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative “, itu artinya lingkaran berada di kuadran III. Karena pusat lingkaran menyinggung kedua sumbu maka nilai x dan y pastinya sama sehingga didapat persamaan x = y. Substitusikan x = y pada persamaan garis 2x – 4y – 4 = 0, didapat : 2x – 4(x) – 4 = 0 –2x = 4 x = –2, karena x = y maka koordinat pusat lingkarannya adalah ( –2,–2 ). Karena lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y maka jari – jri lingkaran adalah 2. Subtitusikan nilai yang didapat pada persamaan umum limgkaran : ( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r² ( x + 2 )² + ( y + 2 )² = 2² x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0 4. Persamaan Persamaan garis lingkar lingkaran an yang berpusat berpusat di di ( 1,4 ) dan menyinggung menyinggung garis garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah ….
a. x² + y² y² + 3x – 4y 4y – 2 = 0 b. b. x² + y² y² – 4x – 6y 6y – 3 = 0 c. x² + y² y² + 2x + 8y 8y – 8 = 0 d. x² + y² y² – 2x – 8y 8y + 8 = 0 e. x² + y² y² + 2x + 2y 2y – 16 = 0 Penyelesaian
Karena pusat lingkarannya sudah diketahui maka nilai lain yang tinggal dicari adalah jari – jarinya. Untuk menentukan nilai tersebut kita tinggal mencari jarak dari pusat lingkaran ke garis singgungnya dengan menggunakan jarak titik ke garis yaitu : d =
ax 1
+
by 1
a2
+
+
c
b2
Dari soal diketahui persamaan garisnya 3x – 4y – 2 = 0 berarti nilai a = 3, b = –4, dan c = –4, dengan titiknya yaitu ( 1,4 ) berarti nilai x1 = 1 dan y1 = 4. Masukkan d
=
niliai
3(1) −4( 4) (3)
2
2
−
( 4)
+ −
2
tersebut =
3 −16
ke 2
−
9 +16
=
dalam 15
−
25
=
rumus
jarak
titik
ke
garis
3
Maskkan nilai ( 1,4 ) yaitu pusat lingkarannya dan jari – jarinya 3. ( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r² ( x – 1 )² + ( y – 4 )² = 3² x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0 5. Salah satu satu persamaan persamaan garis garis singgung singgung lingkaran lingkaran x² + y² = 25 25 yang tegak tegak lurus lurus garis 2y – x + 3 = 0 adalah…. 1
a.
y = −
b.
y = −
2
5 x+
1 2
c.
y
=
d.
y
=−
e.
y
=
5 x−
2
2 x −5 5 2x
5
2
5 5
+
2 x +5 5
5
Penyelesaian
Gradien dari persamaan garis ax + by + c = 0 adalah m = − Gradien dari persamaan garis 2y – x + 3 = 0 adalah
a b m
=−
(−1) 2
=
1 2
, karena
persamaan garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis 2y – x + 3 = 0 maka 1
gardien garis tersebut adalah
m1
= −
1 = −
m2
1
2
= −
2
6. Tentukan Tentukan persamaan persamaan lingkaran lingkaran yang yang berpusat berpusat (3,4) (3,4) dan berjari-jari berjari-jari 6 ! 2 2 a. x + y - 6x - 8y - 11 = 0 b. x2 + y2 - 2x - 7y - 35 = 0 c. x2 + y2 - 8x - 8y – 5 = 0 d. x2 + y2 - 3x - 8y -81 = 0 e. x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0 Penyelesaian
(x - 3)2 + ( y - 4)2 = 62
x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0
7. Diketahui Diketahui titik titik A(5,-1) A(5,-1) dan B(2,4). B(2,4). Tentukan Tentukan persamaan persamaan lingkar lingkaran an yang diamete diameternya rnya melalui titik A dan B ! a. x + y - 9x - 1y + 8 = 0 2
2
b. x + y - 7x - 3y + 6 = 0 2
2
c. x + y - 1x - 4y + 4 = 0 2
2
d. x + y – 2x - 4y + 3 = 0 2
2
e. x + y - 2x - 3y + 4 = 0 2
2
Penyelesaian
8. Tentuk Tentukan an persamaan persamaan lingkara lingkarann yang yang berpusat berpusat di titik titik (2,-3) (2,-3) dan menyingg menyinggung ung garis 3x - 4y + 7 = 0 ! a. x2 + y2 – 9x + 3y – 64 = 0 b. x2 + y2 – 7 + 8y – 17 = 0 c. x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 d. x2 + y2 – 9x + 4y – 85 = 0 e. x2 + y2 – 8x + 3y – 15 = 0 Penyelesaian
9. Tent Tentuk ukan an pusa pusatt ling lingkar karan an x2 + y2 + 4x - 6y + 13 = 0 ! a. (-4,3) b. (-2,9) c. (-1,2) d. (-2,3) e. (-6,4) Penyelesaian
10. Tentukan Tentukan jari-jari jari-jari lingkaran lingkaran x2 + y2 - 4x + 2y + c = 0 yang melalui titik A(5,-1) ! a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Penyelesaian
11. Tentukan Tentukan m supaya lingkara lingkarann x2 + y2 - 4x + 6y + m = 0 mempunyai jari-jari 5 ! a. -11 b. - 1 2
c. -13 d. - 1 4 e. -15 Penyelesaian
12. Agar garis y = x + c menyinggung menyinggung lingkaran lingkaran x2 + y2 = 25 maka tentukan c ! a. ±5√2 b. ± 6 √ 8 c. ±2√2 d. ± 1 √ 4 e. ±7√8 Penyelesaian
13. Tentukan Tentukan persamaan garis garis singgung lingkaran lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (7,1) ! a. 4x-3y=25 b. 5x-4y=26 c. 6x-5y=27 d. 7x-6y=28 e. 8x-7y=29 Penyelesaian
14. Tentukan Tentukan persamaan garis garis singgung pada lingkaran lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 di (5,1 ) a. 5x + 7y – 16 = 0 b. 3x + 4y 4y – 19 = 0 c. 5x + 8y – 23 = 0 d. 9x + 9y – 18 = 0 e. 7x + 2y – 65 = 0
Penyelesaian
15. Garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x2 + y2 = 169 menyinggung lingkaran (x - 5)2 + ( y - 12)2 = p . Tentukan p ! a. 167 b. 168 c. 169 d. 170 e. 171 Penyelesaian
16. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu Y ! a. x2 + y2 - 9x - 3y + 7 = 0 b. x2 + y2 - 2x - 1y + 9 = 0 c. x2 + y2 - 4x - 9y + 4 = 0 d. x2 + y2 - 6x - 4y + 4 = 0 e. x2 + y2 - 3x - 6y + 1 = 0 Penyelesaian
17. Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar 90o searah jarum jam terhadap titik O(0,0), kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan, maka tentukan persamaan lingkaran yang dihasilkan !
a. b. c. d. e.
x2 + y2 – 8x + 3y + 5 = 0 x2 + y2 – 9x + 3y + 5 = 0 x2 + y2 – 1x + 2y + 5 = 0 x2 + y2 – 6x + 8y + 5 = 0 x2 + y2 – 6x + 6y + 5 = 0
Penyelesaian
18. Tentukan jari-jari lingkaran yang melalui melalui titik-titik titik-titik A(5,0), B(0,5) dan C(-1,0) ! a. √13 b. √ 1 4 c. √15 d. √ 1 6 e. √17 Penyelesaian
19. Diketa Diketahui hui lingka lingkaran ran dengan dengan persama persamaan an x2 + y2 + bx b x - 6y + 25 = 0 da d an b < 0 menyinggung sumbu X. Tentukan nilai b ! a. -9 b. - 1 0 c. -11
d. - 1 2 e. -13 Penyelesaian
20. Lin Lingkar gkaran an x2 + y2 - 2 px + q = 0 yang mempunyai jari-jari 2, akan menyinggung garis x – y = 0 bila nilai p yang positif = …… a. √2 b. 2√2 c. 3√2 d. 4√2 e. 5√2 Penyelesaian
21. Tentukan Tentukan persamaan lingkaran lingkaran yang sepusat dengan lingkaran lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 17 = 0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 ! a. (x - 9)2 + (y + 7)2 = 32 b. (x - 6) 2 + (y + 2)2 = 27 c. (x - 9)2 + (y + 3)2 = 22 d. (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25 e. (x - 3)2 + (y + 3)2 = 21 Penyelesaian
