logo.png
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Kontes Bulanan Agustus 2017 XX–XX Agustus 2017
Berkas Soal
Definisi dan Notasi
Berikut ini adalah daftar definisi yang digunakan di dokumen soal ini. 1. Notasi N menyatakan himpunan semua bilangan asli, yaitu 1, 2, . . . .
{ } 2. Notasi Z menyatakan himpunan semua bilangan bulat, yaitu {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }. 3. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ab dengan a, b adalah bilangan bulat dan b = 0.
4. Notasi Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional. 5. Bilangan real yang tidak rasional disebut sebagai bilangan irasional. 6. Notasi R menyatakan himpunan semua bilangan real. 7. Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, n ! (dibaca n faktorial) bernilai 1 2 n. Contohnya, 4! = 1 2 3 4 = 24. Selain itu, 0! didefinisikan sebagai 1.
× ×
···×
× × × 8. Untuk setiap bilangan real x, notasi x menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x . Sebagai contoh, 2.3 = 2, π = 3, −2.89 = −3, dan 4 = 4. 9. Untuk setiap bilangan real x, notasi x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x . Sebagai contoh, 2.3 = 3, π = 4, −2.89 = −2, dan 4 = 4. 10. Notasi a | b menyatakan a habis membagi b (atau b habis dibagi a). Notasi a b menyatakan a tidak habis membagi b.
11. a
≡ b (mod c) jika dan hanya jika c membagi |a − b|.
12. Dua bilangan bulat a dan b disebut relatif prima bila fpb(a, b) = 1. 13. Fungsi Euler-phi (atau fungsi Euler), biasa didefinisikan sebagai ϕ(n), menyatakan banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai n yang relatif prima ke n. 14. Pada
ABC :
(a) Garis berat dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan membagi garis BC menjadi dua bagian yang sama panjang. (b) Garis bagi ∠A adalah garis yang melewati titik A dan membagi ∠BAC men jadi dua bagian yang sama besar. (c) Garis tinggi dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan tegak lurus dengan garis BC . (d) Titik berat ABC adalah perpotongan garis berat dari titik A, garis berat dari titik B , dan garis berat dari titik C .
(e) Titik tinggi ABC adalah perpotongan garis tinggi dari titik A, garis tinggi dari titik B , dan garis tinggi dari titik C .
(f) Lingkaran luar
ABC adalah lingkaran yang melewati titik A, B , dan C .
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Halaman 1
(g) Lingkaran dalam ABC adalah lingkaran di dalam segmen BC , CA, dan AB .
ABC yang menyinggung
15. Luas dari sebuah segi-n dibungkus dengan kurung siku, yakni [ dan ]. Contohnya, [ABC ] dan [DEFG] masing-masing menyatakan luas segitiga ABC dan luas segiempat DEF G.
{ }
−
16. Suatu barisan an disebut barisan aritmetika bila ai 1 ai bernilai konstan (bisa jadi 0) untuk setiap i. Contohnya, 3, 5, 7, 9, . . . dan 2, 2, 2 merupakan barisan aritmetika. −
17. Suatu barisan an disebut barisan geometrik bila aa+1 bernilai konstan taknol (bisa jadi 1) untuk setiap i. Contohnya, 4, 6, 9 dan 5, 5, 5, 5, 5, . . . merupakan barisan geometrik.
{ }
i
i
18. Rata-rata aritmetik dari dua bilangan real a dan b adalah
a+b
2
.
19. Rata-rata geometrik dari dua bilangan real a dan b adalah
√ ab.
20. Rata-rata harmonik dari dua bilangan real a dan b adalah
1
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
2 1
+b a
.
Halaman 2
Bagian A
Untuk setiap soal, tuliskan saja jawaban akhirnya. Setiap soal bernilai 1 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah atau dikosongkan. Jawaban soal-soal bagian A dipastikan merupakan bilangan bulat. 1. Jumlah dua buah bilangan genap berbeda adalah 8. Berapakah hasil kali terbesar yang mungkin dari kedua bilangan genap tersebut? 2. Tentukan banyaknya barisan himpunan A1, A2 , A3 , A4 , A5 (tidak harus semuanya berbeda dan mungkin ada yang merupakan himpunan kosong) sehingga
⊆ A ⊆ A ⊆ A ⊆ A ⊆ {0, 1}.
A1
2
3
4
5
3. Sebuah trapesium sama kaki memiliki panjang dua sisi sejajar 5 dan 15. Jika panjang kaki dari trpesium adalah 13, berapakah luas trapesium teresebut? 4. Misalkan a, b, c, d, e adalah permutasi dari 1, 2, 3, 4, 5 sehingga a < e, c < b, e < b, a < c
dan b < 5
Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari (ab + cd )e . 5. Tentukan 2 digit terakhir dari 21072017 . 6. SMA KTO Pekanbaru menawarkan empat kelas bahasa, yaitu bahasa Jepang, bahasa Korea,bahasa Latin dan bahasa Inggris. Diketahui bahwa tidak ada siswa yang mau mengambil kelas Jepang dan Korea secara bersamaan. Setiap siswa harus ikut minimal 1 kelas bahasa. Jika ada 2003 siswa di SMA KTO Pekanbaru, dan ada p kombinasi kemungkinan kelas yang diikuti siswa-siswanya (semua siswa berbeda), hitunglah p mod 1000 7. Diketahui terdapat sebuah polinom monik P berderajat 4 dengan koefisien real, sedemikian sehingga
−2, P (2014) = 4, P (2015) = 8, P (2016) = 16
P (2013) =
. Tentukan P (2017). 8. Berapakah rata-rata aritmatika dari median semua subhimpunan tak kosong dari himpunan 1, 2, 3, , 2017 dengan 69 elemen?
{
·· ·
}
9. Diketahui pada suatu hari, probabilitas turun hujan ialah 0.6. X dan Y akan pulang sekolah. Kemungkinan X membawa payung ialah 0.3 Kemungkinan Y membawa payung ialah b. Jika tidak hujan, kemungkinan mereka pulang bersama ialah c. Jika hujan, mereka pulang bersama jika dan hanya jika satu orang membawa payung, sementara satunya lagi tidak. Jika peluang mereka pulang bersama ialah 0.4, dan nilai minimal dari b2 + c2 ialah , hitunglah 100 .
♥
♥
10. ω adalah lingkaran luar segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3, BC = 7 dan CA = 5. Garis bagi luar ∠BAC memotong lingkaran ω dan sisi BC di titik D dan E berturut-turut. Apabila Γ adalah lingkaran dengan diameter DE dan Γ memotong ω sekali lagi di titik F , tentukan nilai 19AF 2 . Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Halaman 3
11. Didefiniskan barisan b1, b2 , b3 , . . . sebagai
n
bn =
sin(k ),
k =1
dimana k dinyatakan dalam satuan radian. Tentukan indeks suku ke-1000 yang membuat bn < 0. 12. Misalkan N adalah banyak cara menuliskan bilangan 2072 dalam bentuk 2072 = a 3 103 + a2 102 + a1 10 + a0
·
· di mana a merupakan bilangan bulat dan 0 ≤ a ≤ 99 untuk setiap i = 0, 1, 2, 3. i
·
i
Tentukan nilai N .
13. Diketahui bahwa AB C adalah segitiga dengan panjang sisi AB = 7, BC = 8, CA = 9. E dan F adalah titik yang terletak pada sisi AB dan AC sedemikian hingga AF = AE = 4. Garis tegak lurus BC dan melalui pusat lingkaran dalam ABC memotong E F di titik Q. Apabila titik berat segitiga ABC adalah G dan panjang a GQ dapat dinyatakan dalam bentuk di mana a dan b adalah bilangan bulat b positif yang relatif prima, tentukan a + b. 14. Terdapat 100 kartu di meja yang dibaliknya tertulis sebuah bilangan bulat dan berbeda-beda untuk setiap kartu. A dan B bermain sebuah permainan. Pada setiap langkah, B dapat menunjuk 3 kartu yang berbeda di meja, dan A akan mengatakan sebuah bilangan bulat, yang merupakan nilai salah satu dari ketiga kartu tersebut (B tidak tahu yang mana). B dapat melakukan langkah tersebut berkali-kali. Berapa maksimal kartu yang pasti dapat ditebak B dengan benar?
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Halaman 4
Bagian B
Tuliskan jawaban beserta langkah pekerjaan Anda secara lengkap. Jawaban boleh diketik, difoto, ataupun di-scan. Setiap soal bernilai 7 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah. 1. Diberikan segitiga samasisi ABC . Titik D, E dan F masing-masing terletak pada sisi AB , BC , dan AC sedemikian sehingga AD = AF dan DB = EB . Lingkaran luar segitiga ADF dan DBE berpotongan di titik G. (a) Tentukan besar
∠EGD ?
(b) Tunjukkan bahwa ∠AGD + ∠EGD = 180 . Simpulkan bahwa A, G dan E segaris. (Catatan: membuktikan persamaan seperti pada bagian (ii) merupakan salah satu cara untuk membuktikan tiga titik segaris ) ◦
(c) Apakah B , G dan F juga segaris? Jelaskan jawaban Anda. (d) Tunjukkan bahwa ∠ADG =
∠BDC .
(e) Misalkan H adalah pencerminan titik C terhadap garis AB . Tunjukkan bahwa G, D, dan H segaris. 2. Untuk setiap bilangan asli n , misalkan a (n) menyatakan banyaknya tripel bilangan bulat (x , y , z) dengan 0 x, y , z n dan
≤ ≤ max{x , y , z} = min{x + y, y + z, z + x}.
Tentukan (dengan bukti) formula eksplisit untuk a(n).
{ }
}
Catatan: notasi max a,b,c menyatakan nilai terbesar dari a,b, atau c, sedangkan notasi min a,b,c menyatakan nilai terkecil dari a,b, atau c. Sebagai contoh, max 1, 1, 3 = 3 dan min 1, 1, 3 = 1.
{
}
{
{
}
3. Buktikan ketaksamaan a2 + 8 ab b2 + 8 bc c2 + 8ac + + ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
≤ 2a + 2b + 2c + 3
Untuk setiap bilangan real positif a, b, c dengan abc = 1. 4. Tentukan, dengan bukti, apakah ada bilangan bilangan bulat n sehingga 22017 n n
| − 2017.
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Halaman 5