DERI VATI ONOFTHE SMA MALLDI STURBANCEPOTENTI ALFLOW EQUATI ON 2. 1Pr el i mi nar yRema mar ks I nt hi schapt er ,andt henex tc hapt er ,wedev el opappr o xi mat ef or msoft he go v er ni ngequat i onsf ors ubs oni cands uper s oni cfl ow ov ert hi nai r f oi l s ,wi ngs andbodi esofr ev ol ut i on.Ouru l t i mat ei nt er es ti si nt ec hni quesf orp r edi c t i ngt he pr es s ur edi s t r i but i onCpandt hel oads( l i f tCl ,dr agCdandt hepi t c hi ngmoment aboutt hequar t erc hor dc m) m)ov ert hes egeomet r i es .Fors i mpl i c i t y ,weex t ens i v el y di s c us sonl y2Dpl anarfl ows .Wer ec al l t hatt hee x ac tgov er ni ngequat i onsar e:
( ρφ ) + (ρφ ) = 0 x x
y y
( 2. 1) and
ρ ρ ∞
γ − 1 u + v = 1 + M ∞ 1 − 2 V ∞ 2
2
2
1
γ −1
2
( 2. 2) I ti s pos s i bl et o el i mi nat et he e xpl i c i ta ppear anc e ofd ens i t y ρ f r o m equat i ons( 3. 1)and( 3. 2) ,andar r i v eatt hef ol l owi ngquas i l i nearf or m oft hef ul l pot ent i al equat i on:
(a
2
− u
2
)φ
xx
− 2uvφ xy + (a − v 2
2
)φ
yy
= 0 ( 2. 3)
Equat i on 2. 3i sc al l ed quas i l i nearbec aus ei ti sl i neari ni t s hi ghes t der i v at i v esφx ,φy andφx .I ti s ,ofc our s e,nonl i neari nφ.I ti st hi snonl i near i t y x y y t h ata l l o wsu st omo de ls h oc kwa v e s ,av er yn on l i n ea rp he no me me no n. F r o ma ma t h ema t i c a lt h eo r yc a l l e dt he me t h od o fc h ar a c t e r i s t i c s ,o ne c a ns ho wt ha t equat i on( 3. 3)i sel l i pt i ci f 2) ( u2+v / a2<1 andhy per bol i ci f
2) ( u2+v / a2>1 andpar abol i ci f 2) ( u2+v / a2=1
2. 2Loa dsov ert heAi r f oi l Wede fi net h es u r f a c epr e s s ur ec o effic i e ntCpas ,
=
C p
p − p ∞ 1
2
ρ ∞V ∞
2
=
p −1 p∞ = γ 2 M ∞
γ ρ − 1 ρ ∞
γ 2 M ∞
2
2
( 2. 4) Theai r l oadsov ert heai r f oi l ma ybef oundonc eCpi sk no wnasf ol l o ws : x =c
C Y =
x C d − ) p upper p lower
∫ (C
x = 0
,
,
c
x = c
dY + C dY d x C ∫ p upper dx upper p lower dx lower c x = C l = C Y cos α − C X sin α C d = C X cos α + C Y sin α C X
=
,
,
0
x =c
C m,c / 4
=
∫ [C
p, upper
x = 0
x 1 x − C p lower − d ,
]c
4
c
( 2. 5)
Nor mal For c e, N Li f t
Dr ag
Chor dwi s eFor c e, X
wher eY( x )i st heai r f oi l s hapeandα i st heangl eofat t ac k. Wear ei nt er es t edi nt hes ol ut i onoft hegov er ni ngequat i ons ,i nt heent i r e r egi onbet weent heai r f oi landi nfi ni t y .Bec aus eoft henonl i near i t yoft he e xac t f or m oft he go v er ni ng equat i ons ,we c an no ta nal y t i c al l ys ol v et he go v er ni ng equat i onsex c epti ns uper s oni cflows ,us i ngt hemet hodofc har ac t er i s t i c s .Thus , f ur t herappr o xi mat i onst ot hego v er ni ngequat i onsar enec es s ar y . 2. 3Smal lDi st ur banceAssumpt i ons Theassumpt i onswemakear e: ( i )
Th eb od yi st h i n ,h asas ma l la ng l eofa t t a c k ,a ndha son l yami l dc amb er .
As a r e s ul t ,t h eb od ys l o pe d Y/ d x ,i nac o or d i n at es y s t e m a t t a c he dt ot h e f r ees t r eam ( k nownast hewi ndt unnel c oor di nat esy s t em)i ss mal l . ( i i )
Asaconsequence,weassumet hatt hel ocalflow vel oci t ycomponent su
andvar enots i gni fi cant l ydi ffer entf r om t hei rf r ees t r eam v al ues .
ϕ: Di s t ur banc ePot ent i al Wei nt r oduc eadi s t ur banc epot ent i al ,ϕ,r el at edt ot hef ul lpot ent i alφ as f ol l ows :
φ = V∞x+ ϕ ( 2. 6) I tmu s tb er e me mb er e dt h ati nt h i sc ha pt erwea r eus i n gt h ewi n dt u nne l c oor di nat es ys t em,andt hef r ees t r eam v el oc i t yi spar al l elt ot hex -ax i s .Fr om equat i on( 3. 6) ,weobt ai nt hefl owv el oc i t yc omponent st er msofϕ asf ol l ows : u = φ x
= V ∞ + ϕ x v = φ y = ϕ y ( 2. 7) Fr om t hes mal l di s t ur banc eas s umpt i ons ,i tt henf ol l owst hat ϕ x 〈〈1 V ∞ ϕ y V ∞
〈〈1 ( 2. 8)
3 . 4De r i v at i onoft heSma l lDi s t ur ba nc eEqua t i on Ours t ar t i ngpoi nti st hequas i l i nearf or m oft hef ul lpot ent i alequat i on2. 3. Fr o me qu at i o n2 . 6wen ot et h at φ xx
= ϕ xx ; φ yy = ϕ yy ; φ xy = ϕ xy ( 2. 9)
Nex t ,c ons i dert hesec ondt er mi nequat i on( 2. 3) ,2uvφx .Th i st e r m ma y y bevi ewedas 2uv ϕ xy
= 2 (V ∞ + ϕ x )ϕ y ϕ xy ϕ y ≅ 0 = V ∞ 1 + ϕ x V ∞ V ∞ x 2
2
2
s ma l l
( 2 . 1 0 ) 2 2 Ne x t ,c o ns i d ert h ec o effic i e nta u ,i nf r ontoft he fi r s tt er mi n( 2. 3) . No t i ngt hef ac tt hatt hes peedofs oundi sr el at edt ot hefl ows peedb yt heen er gy equat i o n:
a2
γ − 1
+
u 2 + v 2
=
2
a∞2
γ − 1
+
V ∞2 2
( 2 . 1 1 ) Wec anappr o x i mat et hi sc oeffic i entasf ol l o ws : a 2 − u2
= a ∞ + γ − 1 [V ∞ − u − v ]− u 2
2
2
2
2
2
ϕ x V ∞ 1 − 1 + = a ∞ + 2 V ∞ ≅ a ∞ − V ∞ − (γ + 1)V ∞ ϕ x V ∞ 2
2
2
γ − 1
2
2
ϕ y − V ∞ 1 + ϕ x − V ∞ V ∞ 2
2
2
2
= a ∞ 1 − M ∞ − (γ + 1) M ∞ ϕ x V ∞ 2
2
2
( 2 . 1 2 ) Ex ami net heabo v ea ppr o x i mat i onc ar ef ul l y .No t et hatweha v enegl ec t ed s ec ondpo wer soft he" di s t ur banc ev el oc i t i es "a ss mal l .Weha v e,ho wev e r ,k e pt 2 t hefi r s tpoweroft het er m ϕ / .Thi si sbec aus et het er m( 1M )i t s el fmay xV∞ ∞ bes mal li nt r ans oni cfl ows .Thus ,i nt r ans oni cfl owso nl yt hel as tt er mi nt he 2 abo v eappr o x i mat i onf or( a2u2)ma yb ec o mp ar a bl ei nma gn i t u det o( 1 M ), ∞ a ndc a nn otb en eg l e c t e d. I nav e r ys i mi l a rma nn er ,wec a ns h owt h at a
2
− v ≅ a∞ 2
2
( 2 . 1 3 ) Wi t ht hes e appr o xi mat i ons ,t he quas i l i nearf or m oft he f ul lpot ent i al equat i ont ak esont hef ol l owi ngs i mpl erf or mf ort r ans oni cfl ows :
[1 − M
2
∞
− (γ + 1) M ∞ϕ x ]ϕ xx + ϕ yy = 0 2
( 2 . 1 4 ) I ns u b s o ni ca nd s u p er s o n i cfl o ws ,t h es ma l ld i s t u r b an c ee qu a t i o n bec omes :
(1 − M )ϕ 2 ∞
xx
+ ϕ yy = 0
( 2 . 1 5 ) Ex er c i s e2 . 1 Sh ow t h att h ea x i s y mme t r i cf or m o ft he t r an s on i cs ma l ld i s t ur b anc e equat i oni sgi v enby
[1 − M
2
∞
− (γ + 1) M ∞ϕ x ]ϕ xx + 2
1
r
(r ϕ ) = 0 r r
2 . 5Ma t he ma t i c alCha r a ct e r i s t i c soft heSma l lDi s t ur ba nc eEqua t i on: ( a)
Thet r ans oni cs mal ldi s t ur banc eequat i oni ss t i l lnonl i near ,i ns pi t eoft he
ap pr o x i ma t i on st ha twe r e ma de t oa r r i v ea tt h i se qu at i o n. I ns u bs o ni ca nd s uper s oni cfl ows ,f ort hi n ai r f oi l s ,wi ngs and bodi es ,t he go v er ni ng equat i on ( 2. 15)i sl i near . ( b)
Equat i on( 2. 15)ma ybee l l i p t i c ,h yper bol i corpar abol i c .Thi swasgi v e na s
ahome wor kp r o bl em e ar l i e r . 2 . 6 Sma l lDi s t ur ba nc eAppr o xi ma t i onf orSur f a cepr e ss ur eCoe ffic i e nt . ,Cp: We n ex td e v e l o pas ma l ld i s t u r b an c ea pp r o x i ma t i o nf o rt h es u r f a c e pr es s ur e.Ours t ar t i ngpoi nti sequat i ons( 2. 2)and( 2. 4) ,whi c hma ybec ombi ned t oy i el d:
γ − 1 u + v 1+ M ∞ 1 − 2 V ∞ = 2
2
2
γ γ −1
2
C p
−1
γ 2 M ∞ 2
γ − 1 (V ∞ + ϕ x ) + ϕ y 1 + 2 M ∞ 1 − V ∞ = 2
2
2
2
γ γ − 1
−1
γ 2 M ∞ 2
γ
γ − 1 ϕ γ − 1+ M ∞ −2 x −1 2 V ∞ ≈ 1
2
γ 2 M ∞ 2
I na r r i v i n ga tt h ea bo v ef o r m,weh av en eg l e ct e ds e c on dpo wer soft e r ms suchasϕ / andϕ / xV∞ yV∞ . Ne x t ,weus et hebi nomi al e x pans i on
(1 + ε ) ≈ 1 + n ε n
( 2 . 1 6 ) wher eε i sanys mal l quant i t yε <<1an dni sa nyr e al n umb er .Th en ,
1 − γ M ϕ − 1 ∞ x 2 ≈ 2
C p
γ 2 M ∞ 2
Si mpl i f y i ng,t he f ol l owi ng s mal ldi s t ur banc e appr ox i mat i on t os ur f ac e pr es sur e c oeffic i entr es ul t s : C p
≈−
2ϕ x
V ∞
( 2 . 1 7 ) 2. 7Boundar yCondi t i ons Bef or et het r ans oni cs mal ldi s t ur ba nc eequat i on( 2. 15)ma ybes ol v e d,we ne ed t os p ec i f yt h eb ou nd ar yc o nd i t i o ns .Ofc o ur s e ,t h eb ou nda r yc o nd i t i o ns
mu s tt a k ei n t oa c c o un tt h ep h y s i c so ft h ep r o bl e m,a n dt h e ma t h ema t i c a l c har ac t er i s t i c soft heequat i on. Bou nd ar yCon di t i o nsatt h eSo l i dBo un dar y : y=Y( x )
Atna ypoi nto nt hebodys ur f ac e,t hefl ow mus tbet angent i alt ot hebody . I not herwor ds ,t hes l opeoft hev el oc i t yv ec t orV mu s te qu al t h eb od ys l op e. v u
ϕ y
=
dY
= (V ∞ + ϕ x )
dY
=
V ∞
+ ϕ x
dx
Or ,
ϕ y
dx
ϕ dY = V ∞ 1 + x V ∞ dx
Negl ec t i ngt hedi s t ur banc ev el oc i t ycont r i but i onϕ / nc o mpar i s ont o xV∞ i uni t y ,wegett hef ol l owi ngboundar ycondi t i onatt heai r f oi l s ur f ac e.
ϕ y
≈ V ∞
dY dx
( 2 . 1 8 ) Wh er es h ou l dt h i sb ou nd ar yc o nd i t i o nb ea pp l i e d? Weh av et woc h oi c e s . Thi sboundar yc ondi t i onmaybeappl i edei t heratt heac t ualai r f oi ls ur f ac e,oron as l i tal ongt hec hor dl i ne,l oc at edont hex -ax i s . Thel at t erc hoi c emak est he s ol u t i o np r o c ed ur es i mp l e rb ec a us ewec a nu s eaCa r t e s i a nc oo r d i n at es y s t e m, r at hert han a c ur v i l i nearc oor di nat es y s t em t hati swr appe d ar o und t he body .
Wi t h i nt h ea s s ump t i o ns b ui l ti n t ot h es mal ld i s t ur b an c et he or y ,t h es et wo appr oac hesmaybes hownt obeequi v al ent .Not et hatt hi ss l i ti sadi s cont i nui t y , ac r os swhi c hbot ht hedi s t ur banc ev el oc i t ypot ent i alϕ andi t sy -der i v at i v ear e di s c ont i nuous .
y
Bo un dar yc on di t i ons ma yb ea ppl i e dat y = Y( x )
y Oronas l i t y=0
x x
