ANÁLISIS MATEMÁ MATEMÁTICO TICO PARA ECONOMISTAS I 1) La demanda x de cierto artículo está dada por x = 2 000 - 15p, en
dond donde e p es el preci precio o por por unid unidad ad del artícul artículo. o. El ingr ingreso eso mensu mensual al I obtenid obtenido o de las entas entas de este artículo artículo está dado por I = 2000p 2000p 2 15p !"#mo depende I de x$ l=2000p-15p^2 sidespej aspdel apr i mer aecuaci ónnosda: p=( 2 00 0-x )/1 5 yl uegosust i t uyesl apenl asegundaecuaci ónquedando: l=2 00 0* ( ( 2 00 x )/1 5)-1 5* ( ( 2 00 x )/1 5)^2porl ot a nt olde pe ndedecómos ec ompor t e x,enpocaspal abr as. . . . . Eli ngr esomensualdependedel ademandadelar t í cul o
2) %n &abricante &abricante puede ender ender ' unidade unidades s de un produ producto cto al precio precio p
por por unid unidad ad,, en dond donde e 20p ( )' = *00. *00. "omo "omo una &unc &unci# i#n n de la cantidad ' demandada en el mercado, el ingreso semanal total está dado por + = )0' - 0.15' 2. !En 'u &orma depende + del precio p$
Cant demandada=20p+3q=600= q= (600-20p)3 R = 30q - 0!"#q 2 R=30$(600-20p)3-0!"#((600-20p)3) ^2 R=6000-200p-(#%000+3600p-60p ^2)/ 9 R=6000-200p-6000-%00p+6!6&p ^2 R=6!6&p ^2-600p En p'a p'a pa*a pa*a, ,a a a ma' ma',, ea ea e* p,e p,e.' .' men' men',, e,/ e,/ e* .n,e' emana* 3) %na empresa 'ue &abrica radios tiene costos os de /)000 el costo
de la mano de obra del material es de /15 por radio. etermine la &unc &unci# i#n n de cost costo, o, es deci decir, r, el cost costo o tota totall como como una una &unc &unci# i#n n del del nme nmerro de radi radios os prod produc ucid idos os.. 3i cada cada radi radio o se end ende e por por /25, /25, encuentre la &unci#n de ingresos la &unci#n de utilidades. Ct = Cv +Cf a) Ct = 15x + 3.000 I = Px= Ingreso =Precio por unidad X Núero de unidades producidas !) I = "5 #15x + 3000) = 3$5x + $5000 I = 3$5x + $5000 %= I & C = %ti'idad = Ingresos ( Costos %= 3$5x +$5000 & #15x + 3000)c) % = 30x + $"000
4) %n &abricante puede ender )00 unidades de su producto al mes a
un costo de /20 por unidad 500 unidades a un costo de /15 por unidad. Exprese la demanda del mercado x 4el nmero de unidades 'ue pueden enderse al mes como una &unci#n del precio por unidad, suponiendo 'ue es una &unci#n lineal. Exprese los ingresos como6 a %na &unci#n del precio b %na &unci#n de x #300*"0) #500*15) =,"(,1- X"(X1 =15("0- 500(300 =(5-"00 = ( 0.0"5 a) P = x + ! %na funcin de' precio "0 = ( 0.0"5 #300) + ! "0 = ( $.5 + ! "0 + $.5 = ! "$.5 = ! P = (0.0"5x + "$.5 !) P = x + ! %na funcin de x 300 = (0.0"5 #"0) + !
300=-0!#+ 300+0!#= 300!0#= -- p=-0!02#1+300!#
5) 3e construe una cisterna de modo 'ue su capacidad sea de )00
pies cbicos de agua. La cisterna tiene como base un cuadrado cuatro caras erticales, todas 7ec7as de concreto una tapa cuadrada de acero. 3i el concreto tiene un costo de /1.50 por pie cuadrado el acero cuesta /8 por pie cuadrado, determine el costo total C como una &unci#n de la longitud del lado de la base cuadrada. Se axl al ongi t udde ll a dodel aba seyhl aal t ur a ,da doqueelv ol ume ndel aci s t e r na e st áda doporV=x ² h,s et i e nel os i gui e nt e : x² h=300 h=3 00 / x ² Pors upa r t eelá r e at ot a l( A)v i e neda dapor A=x²+4xh+x²
s i e ndounx ²e lf ondoyelot r ol at a pa ,y aqueene st eca sos ondedi f e r e nt ema t e r i a ly donder eempl azandoh,r esul t a A=x ²+4.3 00 / x ²+x ² A=x ²+12 00 / x ²+x² Port ant o,t omandoahor al oscost osdemat er i al ,nosqueda C( x )=1. 5 0x ²+12 00 / x ² .1 . 5 0+4 x² C( x )=5. 5 0x ²+1 80 0/ x ²
6) +epita el eercicio 5 si la cisterna es un cilindro con base tapa circulares. Exprese el costo C como una &unci#n del radio r de la base
del cilindro. 7) El a9car tiene un costo de 25: para cantidades 7asta de 50 libras
de 20: por libra en el caso de cantidades superiores a 50 libras. 3i C4 x denota el costo de x libras de a9car, exprese C4 x por medio de expresiones algebraicas apropiadas bos'uee su gráca.
C(1) = 0!2#$1 . 1= #0 0!20$1 . 14#0
8) %n detallista puede comprar naranas al maorista a los precios
siguientes6 20: por ;ilo si ad'uiere 20 ;ilos o menos< 15: por ;ilo en el caso de cantidades por encima de 20 ;ilos 7asta de 50 ;ilos 12: por ;ilo para cantidades maores de 50 ;ilos. etermine el costo C4 x de ad'uisici#n de x ;ilos de naranas.
C(1)= 0!20$1 . 1 = 20 "#$1 . 201=#0 "2$1 . 14#0 9) %n edicio de departamentos tiene 0 7abitaciones 'ue puede rentar
en su totalidad si la renta se a en /200 al mes. >or cada incremento de /5 en la renta, una 7abitaci#n 'uedará acía sin posibilidad alguna de rentarla. Exprese el ingreso mensual total + como una &unci#n de6 a x, si x es el nmero de incrementos de 5 d#lares en la renta b La renta mensual p
P(1)= (200+#1)$(&0-1) 10) La ecuaci#n de demanda del producto de una compa?ía es 2p ( )x
= 1*, en donde x unidades pueden enderse al precio de /p cada una. 3i el costo de producir x unidades es de 4100 ( 2x d#lares, exprese la utilidad % como &unci#n de6 a La demanda x b El precio p
P= ("6-31)2 CT="00+21 IT= 1p = 1$5("6-31)2 = 1$ (7-"8#1) = 71-"8#1 2 IT= 71-"8#12 9=IT-CT = 71-"8#1 2-("00+21) = 61-"8#12-"00 11) %n agente de iaes o&rece un pa'uete acacional de /500 por
persona para grupos de seis o más personas, con un descuento de 10@ de este precio a partir de la persona nmero doce en el grupo. "onstrua la &unci#n "4x dando el costo promedio por persona en un grupo de tama?o x 4xA *.
C(1)= #00$1 . 6=1="" (#00-#0)$1 . 14="2 12) >or medio de un examen a sus competidores, una compa?ía
manu&acturera conclue 'ue el nmero B de sus empleados aumenta exponencialmente con su olumen de entas semanales x de acuerdo con la &#rmula B = 100e 0,02x. El costo promedio del salario es /* por 7ora con una semana laborable de )5 7oras. El producto de la empresa se ende en /2000 cada uno. ibue grácas del pago semanal de los ingresos semanales como &unciones de x para 10 C x C 1)0, estime grácamente el interalo de alores de x en el 'ue la compa?ía puede obtener ganancias.
CT= 6$3#$N = 6$3#$"00e08021 IT= 2000$1
: "0 #0 &0 "20 "30
N "2 2& %" ""0 "3#
CT 2#6# #&07 7#"6 23"%; 272&%
IT 20000 "00000 "%0000 2%0000 260000
13) "ierta regi#n con depresi#n econ#mica tiene una poblaci#n 'ue está
en disminuci#n. En 1D0, su poblaci#n era 500 000, a partir de ese momento su poblaci#n estaba dada por la &#rmula > = 500 000e 0,02t,
en donde t es el tiempo en a?os. Encuentre la poblaci#n en 1D0. 3uponiendo 'ue esta tendencia contina, determine la poblaci#n para el a?o 2000. F?o 1D0 2000
G -10 -)0
> 80D)*5 2880*
14) %na má'uina se compra en /10 000 se deprecia de manera
continua desde la &ec7a de compra. 3u alor despus de t a?os está dado por la &#rmula H = 10 000e -0,2t. a etermine el alor de la má'uina despus de a?os. b etermine la disminuci#n porcentual del alor cada a?o. F?os 1 2 ) 8 5 * D 10 11 12
H@ 0,1)0 5) 0,*0)20 08* 0,5811 *)* 0,88D)2 D*8 0,)*D 881 0,)011D8 212 0,28*5D* D*8 0,201D* 51 0,1*52D 0,1)5))5 2) 0,1100) 15 0,0D01 D5)
H 1 *0) 58 88D) )*D )012 28** 201D 1*5) 1)5) 110 D0
Cada a<' d.m.ne "7> ap,'1.madamente!
15) %na compa?ía manu&acturera encuentra 'ue el costo de producir x
unidades por 7ora está dado por la &#rmula "4x = 5 ( 10 log41 ( 2x. "alcule6
a El costo de producir 5 unidades por 7ora. b El costo extra por aumentar la tasa de producci#n de 5 a 10
unidades por 7ora. c El costo extra por aumentar de 10 a 15 unidades por 7ora.
C(#) = # + "0 *'(" + 2$#) = "#!%"3;267#"#722#0% C("0) = # + "0 *'(" + 2$"0)= "7!222";2;%&33;";3 C("#) = # + "0 *'(" + 2$"#)= ";!;"36"6;373%2&26 C("0) - C(#)= "7!222";2;%&33;";3 - "#!%"3;267#"#722#0% = 2!7072660;#%26 C("#) ? C("0)= ";!;"36"6;373%2&26 - "7!222";2;%&33;";3 = "!6;"%23;;"003#33
16) %na compa?ía encuentra 'ue la cantidad de d#lares 'ue debe
gastar semanalmente en publicidad para ender x unidades de su producto está dada por la siguiente &#rmula6 = 200 ln800J4500-xK. "alcule el gasto publicitario 'ue se necesita para ender6 a "00 b 300 c %;0
n.dade = 0 !m n.dade = "37862;%36" !m n.dade = &3&8&07 !m
17) %na compa?ía está ampliando sus instalaciones tiene opci#n para
elegir entre dos modelos. Las &unciones de costos son " 14x = ),5 ( log 42x ( 1 " 24x = 2 ( log 4*0x ( 105 donde x es la tasa de producci#n. Encuentre la tasa x a la cual los dos modelos tienen los mismos costos. !>ara alores grandes de x, cuál modelo es más barato$
C"(1) = C2(1) 38# + *' (21 + ") = 2 + *' (601 + "0#) *' (21 + ") - *' (601 + "0#) = -"8# *' 5(21 + ") (601 + "0#) = -"8# "0-"8#= (21+")(601+"0#) "87;&%1 + 3832 = 21+" 2832 = 08"0261 2286" = 1
"on alores más grandes de x, el modelo más barato es el " 2. 18) La poblaci#n del planeta en 1D* era de 8 mil millones estaba
creciendo a un 2@ anual. 3i esta tasa de crecimiento sigue igente, !cuándo alcan9ará la poblaci#n los 10 mil millones$
"0=% $("802)1 28# = "8021 L'"802 28#=1 L' 28#L' "802= 1 %682& = 1 @een paa, m/ de %6 a<'!
19) La poblaci#n de "7ina en 1D0 era de 50 millones está creciendo
a un 8@ al a?o. !"uándo alcan9ará esta poblaci#n los 2 mil millones, suponiendo 'ue contine la misma tasa de crecimiento$ 4La tasa de crecimiento actual es bastante menor.
200=&# $("80%)1 286& = "80%1 L'"80% 286&=1 L' 286&L' "80%= 1 2# = 1 A*anB d.a ant.dad p', e* a<' ";;#! 20) "on los datos de los eercicios 1 1D, calcule cuándo la poblaci#n
de "7ina será igual a la mitad de la poblaci#n de la ierra.
P'*a.Bn de C.na en e* a<' ";&6D P=&# $("80%)6 = ;%7;7;26% a.tante a**and' *' a<' qe deen paa, pa,a qe *a p'*a.Bn de C.na ea *a m.tad de *a p'*a.Bn mnd.a*D ;%7;7;26%$("80%) 1 = 2000000000$("802) 1 08%&%# = ("802)1 ("80%)1 : = *'(08%&%#) *' (08;70&&) : = 3783; C.na .a*a,/ a *a m.tad de *a p'*a.Bn ap,'1.madamente en 37 a<'!
mnd.a*
21) Las utilidades de una compa?ía 7an crecido a un promedio del 12@
anual entre 1D0 1D5 en este ltimo a?o alcan9aron el niel de /5,2 millones. 3uponiendo 'ue la tasa de crecimiento contina, !cuánto tendrán 'ue esperar antes de alcan9ar los / millones por a?o$
22) os peri#dicos 'ue compiten tienen circulaciones de 1 mill#n 2
millones, respectiamente. 3i el primero aumenta su circulaci#n en 2@ al mes, mientras 'ue la circulaci#n del segundo decrece en 1@ al mes, calcule cuánto deberá transcurrir antes de 'ue las circulaciones sean iguales. 23) 3uponga 'ue se inierten /1 000 a un inters compuesto anual del
@. a !"uánto le lleará incrementarse a /1 500$ b !"uánto tardará en multiplicarse a /) 000$ 24) La regla práctica siguiente a menudo se emplea en nan9as6 si la
tasa de inters es el + por ciento anual, entonces el nmero de a?os, n, 'ue la inersi#n tarda en duplicarse se obtiene diidiendo 0 entre + 4es decir, n = 0J +. "alcule n exactamente para los alores siguientes de +6 8, , 12, 1* 20. "ompare sus respuestas con a'uellas obtenidas por la &#rmula n = 0J + estime la precisi#n de la regla práctica. 25) La poblaci#n actual de Fsia es de 8 mil millones crece a una tasa del 2@ anual. Exprese la poblaci#n al tiempo t 4en a?os a partir de este momento en la &orma expresada por = ae ;t.
En e* p,.me, a<' t,an,,.d' dee ede, *' ..enteD eFt = "!02 Reemp*aand'D
eF!"="802 Ln "802 = G!" 080";7 = G P', *' tant' *a e1p,e.Bn e,Ha *a ..enteD = %000000000 ! e0!0";7t
26) %na compa?ía ad'uiere una má'uina en /10 000. "ada a?o el alor
de la má'uina decrece en un 20@. Exprese el alor en la &orma be ;t, en donde b ; son constantes el tiempo t = 0 corresponde a la &ec7a de ad'uisici#n.
27) Entre enero de 1D5 enero de 1D0, el índice de precios al
consumidor I pas# de 121 a 1D*. a "alcule el incremento porcentual promedio por a?o durante este periodo. b Exprese I en la &orma be;t, con t = 0 correspondiente a enero de 1D5. c 3uponiendo 'ue esta tasa de crecimiento contina, determine cuándo I alcan9ará 250. 28) 3e obser# 'ue la ra9#n de aumento de precio de cierta acci#n
cambi# entre el principio de 1D2 1D de acuerdo con la &#rmula + = 841.2t , donde t es el tiempo en a?os a partir de 1D2. !"uál era el alor de la ra9#n en 1D 4t = 5$ 3uponiendo 'ue se mantiene el incremento, !cuándo alcan9ará la ra9#n el alor 20$ 29) Esteban Martíne9 acaba de recibir una 7erencia. Nran parte de ella la
depositará en una cuenta bancaria. En el banco F su dep#sito deengaría una tasa de inters de 11,)0@ anual capitali9able semestralmente mientras 'ue en el banco O la tasa de inters es de 11,15@ anual capitali9able mensualmente. "on el prop#sito de obtener la meor tasa de inters, !d#nde le recomendaría depositar su dinero a Esteban$ 30) La poblaci#n de cierta naci#n en desarrollo crece al 2,5@ anual.
!"uánto tiene 'ue incrementarse anualmente el >BO, si el ingreso per cápita debe duplicarse en 15 a?os$ 31) El >BO de la naci#n F se incrementa de /1,5 mil millones a /2,2 mil
millones entre 1DD0 2000. a "alcule el porcentae de crecimiento promedio anual. b Exprese el >BO en el instante t en la &orma ae ;t. c 3uponiendo 'ue esta tasa de crecimiento continua, determine cuándo el >BO alcan9ará /),1 mil millones.4+edondee al a?o más cercano. 32) En un ecosistema, ciertas especies proeen de comida a otras. El
elemento " de la matri9 de consumo es igual al nmero de unidades de la especie consumidas diariamente por un indiiduo de la especie i. "onstrua la matri9 4"i para el siguiente ecosistema simple 'ue consiste de tres especies. a "ada especie consume en promedio 1 unidad de cada una de las otras especies. b La especie 1 consume una unidad de la especie 2< la especie 2 consume 1 unidad de cada una de las especies 1 )< la especie ) consume 2 unidades de la especie 1.
c La especie 1 consume 2 unidades de la especie )< la especie 2
consume 1 unidad de la especie 1< la especie ) no consume de ninguna de las otras especies. 33) %na
compa?ía tiene plantas en tres localidades, G, P Q, cuatro bodegas en los lugares F, O, " . El costo 4en d#lares de transportar cada unidad de su producto de una planta a una bodega está dado por la siguiente matri96 a 3i los costos de transportaci#n se incrementan uni&ormemente en /1 por unidad, !cuál es la nuea matri9$ b 3i los costos de transportaci#n se elean en un 20@, escriba los nueos costos en &orma matricial.
34) %n contratista calcula 'ue los costos 4en d#lares de ad'uirir
transportar unidades determinadas de concreto, madera acero desde tres di&erentes localidades están dados por las siguientes matrices 4una matri9 por cada localidad.
Escriba la matri9 'ue representa los costos totales de material de transportaci#n por unidades de concreto, madera acero desde cada una de las tres localidades. 35) %na empresa produce tres tama?os de cintas magneto&#nicas en dos
calidades di&erentes. La producci#n 4en miles en su planta de Oaa "ali&ornia está dada por la siguiente matri96
La producci#n 4en miles en su planta de Monterre está dada por la siguiente matri96
a Escriba una matri9 'ue represente la producci#n total de cintas en
ambas plantas.
b El due?o de la empresa planea abrir una tercera planta en
"7i7ua7ua, la cual tendría una e9 media la capacidad de la planta en Oaa "ali&ornia. Escriba la matri9 'ue representa la producci#n en la planta de "7i7ua7ua. c !"uál sería la producci#n total de las tres plantas$
