skripta-OF1-1

OPĆA FIZIKA 1 odgovori na ispitna pitanja prema predavanjima prof. Emila Babića

I. DIO (pitanja 1 – 56)

2

OPĆA FIZIKA 1 odgovori na ispitna pitanja (I. dio)

Sažetak Ovo je prvi dio odgovora na pitanja iz kolegija Opća fizika 1, na prvoj godini istraživačkog smjera studija fizike. Odgovorena su pitanja od 1 do 56 koja se mogu pronaći na http://www.phy.hr/~ebabic/pitanjaOFI.html. Osnovna literatura su predavanja profesora Emila Babića iz Opće fizike 1, uz koja ide udžbenik Mehanika (Berkeley) [1]. Korištene su još zbirka zadataka Numeričko modeliranje složenih gibanja [2] i Riješeni zadaci iz opće fizike [3]. Namjena ove skripte jest lakše praćenje predavanja te lakše pripremanje usmenog djela ispita. Ne može zamijeniti profesorova predavanja i propisanu literaturu za kolegij. Skriptu je recenzirao i grafički uredio Krešimir Cindrić, a Bruno Klajn ju je pažljivo pročitao i uočio mnogo grešaka. Od srca im zahvaljujem na trudu, a za greške koje su eventualno ostale preuzimam odgovornost. U Zagrebu, 2007.

Dijana Tolić

Literatura [1] C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman, Mehanika, Tehnička knjiga, 2003. [2] E. Babić, Numeričko modeliranje složenih gibanja, Školska knjiga, 1988. [3] E. Babić, R. Krsnik, M. Očko, Riješeni zadaci iz opće fizike, Školska knjiga, 1990. 3

4

Sadržaj Sažetak

3

Uvod i osnovni pojmovi 1. Predmet proučavanja fizike i veza s ostalim znanostima. 2. Fizikalne veličine dimenzije i jedinice SI sustav. 3. Relativnost gibanja, sustav i objekt opažanja (dimenzije). Referentni i koordinatni sustav. 4. Dimenzija i jedinica brzine, ubrzanja, količine gibanja, sile i energije u SI sustavu. 5. Dugodosežne interakcije, ovisnost sila o dimenzionalnosti prostora.

10 10

Vektori 6. Skalarni produkt dvaju vektora. Kosinusni poučak. 7. Vektorski produkt dvaju vektora. Sinusni poučak. 8. Operacije s vektorima. Derivacija vektora. 9. Četiri osnovna meñudjelovanja.

11 12 13 15

7 8 9

Newtonovi zakoni 10. I Newtonov zakon. Pokus. 11. Drugi Newtonov zakon. Pokus. Značenje i ograničenja. Relacije neodreñenosti. 12. Treći Newtonov zakon. Pokusi. Problem istovremenog odreñivanja sile. Problem elektromagnetnih sila.

18

Referentni sustavi i Galilejeva invarijantnost 13. Apsolutna i relativna brzina. 14. Apsolutna i relativna akceleracija. Machov princip. 15. Galilejeve tranformacije. Hipoteza Galilejeve invarijantnosti. 16. Ubrzani sustav. Fiktivne (inercijalne) sile. Mjerač ubrzanja. 17. Sustav koji rotira. Brzina i ubrzanje čestice koja se vrti. 18. Centrifugalna i Coriolisova sila. 19. Centrifugalna sila na površini Zemlje. Ovisnost o geografskoj širini.

19 19 20 20 22 23 24

Trenje 20. Zakoni trenja izmeñu suhih površina. Trenje na kosini. Proklizavanje i porijeklo trenja kotrljanja.

25

Jednadžbe gibanja 21. Jednadžba gibanja. Rješavanje u slučaju stalne sile. Numeričko rješavanje. 22. Slobodni pad. Atwoodov ureñaj. Pokusi. 23. Neovisnost gibanja. Vodoravni hitac. Pokusi i film. 24. Kosi hitac. Pokusi. Lovac i majmun. 25. Utjecaj otpora zraka na padanje tijela. Pokusi. Granična brzina. 26. Put i brzina pri slobodnom padu s trenjem razmjernim brzini.

27 28 30 31 33 33

16 16

5

Zakoni očuvanja energije 27. Zakoni očuvanja. Porijeklo, svojstva, primjene. 28. Izvod kinetičke energije preko impulsa i rada sile. Film. 29. Pretvorba potencijalne energije u kinetičku pri slobodnom padu. 34. Pretvorbe energije pri slobodnom padu. 30. Sačuvanje mehaničke energije. Pokusi. 31. Rad i snaga. Rad kao linijski integral sile. 32. Konzervativne sile i rad izvršen konzervativnom silom. 33. Potencijalna energija. Veza izmeñu sile i potencijalne energije. 35. Skok s motkom. Film. Pretvorbe energije. 36. Istraživanje sile i potencijalne energije iz ovisnosti o položaju. Granice gibanja. 37. Unutarnja energija sustava čestica. 38. Brzina potrebna da tijelo zauvijek napusti Zemlju. Zakoni očuvanja količine gibanja 39. Očuvanje količine gibanja. Izvod i pokusi. 40. Sudari i raspršenja čestica. Vrste i značajke. 41. Savršeno elastični centralni sudar dviju čestica iste mase i jedna miruje. Pokusi. 42. Očuvanje količine gibanja i homogenost prostora. 43. Savršeno neelastični sudar dviju čestica iste mase: jedna miruje. Pokusi. 44. Sustav centra mase (SCM). Brzina i ubrzanje centra mase. 45. Karakteristike sudara u SCM i LS. 46. Veza izmeñu kuta sudara u LS i SCM 47. Veza izmeñu količina gibanja i kinetičkih energija dviju čestica u SCM i LS. 48. Endo i egzotermne reakcije. Neelastični sudar dva tijela: promjena unutrašnje energije. 49. Potisak i konačna brzina rakete. Potisak mlaznog motora. 50. Očuvanje kutne količine gibanja. Veza sa momentom sile. Pokusi. 51. Moment centralne sile. Primjer. 52. Momenti unutrašnjih sila u sustavu N čestica. 53. Drugi Keplerov zakon. Geometrijsko značenje sačuvanja kutne količine gibanja. 54. Kutna količina gibanja i kinetička energija tijela koje kruži. 55. Oblik galaksije. Efektivna potencijalna energija tijela koje kruži. 56. Očuvanje kutne količine gibanja i izotropnost prostora.

6

36 37 38 38 39 39 41 41 43 44 45 47 48 49 50 50 51 52 53 54 56 57 58 60 61 62 63 64 65 66

Uvod i osnovni pojmovi 1. Predmet proučavanja fizike i veza s ostalim znanostima Fizika je znanost koja proučava strukturu svemira i prirodne mehanizme. Ona predstavlja veliko poopćenje prirode i prirodnih zakona. Priroda, kao golem i složen aparat znatno se pojednostavljuje u svojim dijelovima koje smo uspjeli teorijski objasniti. Tako na primjer dio fizike koji proučava gibanje dijelova Sunčevog sustava, mehanizme nastanka zvijezda i galaksija te ostala gibanja u svakodnevnom životu, svrstavamo u zakone klasične mehanike (tri Newtonova zakona, sila gravitacije, zakon očuvanja energije, količine gibanja i kutne količine gibanja) i ti zakoni vrijede za sva makroskopska tijela. Klasična mehanika se proširuje na specijalnu i opću teoriju relativnosti. Imamo dio fizike koji proučava atomske pojave, sastav tvari, zračenje svjetlosti… odnosno zakone kvantne mehanike (Schrödingerova jednadžba i temeljna načela koja su relativno neodreñena). Zakoni klasične elektrodinamike (četiri Maxwellove jednadžbe, Lorentzova sila u vakuumu – u tvari je potreban Ohmov zakon za vodiče te polarizacija tvari za izolatore) izvrsno objašnjavaju razne električke i magnetske pojave te meñudjelovanje svjetlosti i tvari. Četiri zakona termodinamike fenomenološki opisuju makroskopske sustave, toplinske strojeve i procese u živim bićima. Svi zakoni fizike koje smo uspjeli shvatiti odlikuju se jednostavnošću i ljepotom. Fizika je temelj svim prirodnim znanostima. U kemiji, koja se dijeli na anorgansku (fizikalnu i teorijsku) te organsku (biokemiju i molekularnu) kemiju, koristimo kvantnu mehaniku i termodinamiku. Zatim u biologiji, takoñer kvantnu mehaniku i termodinamiku, a u astronomiji koja je zapravo i starija od fizike, kvantnu i klasičnu mehaniku. Matematika je pak jezik fizike, ona nije njezin dio. Ona omogućuje da fizikalni zakoni budu jasno zapisani. Smisao teorijske fizike jest da nañe pravu formulu kojom će opisati prirodnu pojavu i to pomoću matematike (matematičkog formalizma).

7

2. Fizikalne veličine, dimenzije i jedinice. SI sustav. Da bismo razmjenjivali informacije o gibanjima potrebni su nam etaloni ili standardi za duljinu, vrijeme i masu. Silu, rad i bilo koju fizikalnu veličinu uopće (dakle sve karakteristike sustava/tijela) moramo moći izraziti pomoću tri temeljne jedinice za vrijeme, duljinu i masu. Meñutim, često se zbog praktičnih razloga uvode i dodatne mjerne jedinice, kao npr. za električnu struju ili za temperaturu. U SI sustavu jedinica meñunarodno su dogovorene i priznate sljedeće osnovne mjerne jedinice, koje se danas definiraju ovako1: sekunda (s) – vrijeme potrebno da se u atomu cezija izvrši 9 192 631 770 oscilacija. metar (m) – duljina koju svjetlost prevali u vakuumu za vrijeme od 1 299 794 258 sekundi. amper (A) – električna struja koja, ako konstantno teče kroz dva paralelna, 1 metar udaljena, beskonačno duga vodiča zanemarivog presjeka, proizvodi meñu njima silu koja po metru duljine iznosi 2 ⋅10−7 N. kelvin (K) – jedinica za temperaturu. Skala se definira preko dvije točke – apsolutne nule (0 K) i trojne točke specijalno pripremljene vode (273.16 K). mol – jedinica za količinu tvari (množinu): 1 mol sadrži Avogadrov broj (približno 6.022 142 ⋅1023 ) čestica. kandela (Cd) – je intenzitet svjetlosti u odreñenom smjeru izvora monokromatskog zračenja frekvencije 540 ⋅1012 Hz, ener-

getske jakost 1 683 W sr −1 u tom smjeru. kilogram (kg) – masa valjka od platine i olova koji se čuva u Sevresu u Francuskoj. Osim ovih sedam službenih jedinica imamo brojne izvedene kao što su primjerice: tona, minuta, sat i litra. One su izvan SI ali dozvoljene. Prefiksi odreñuju red veličine. Najćešće korišteni prefiksi su: tera (T) = 1012 giga (G) = 109 mega (M) = 106

kilo (k) = 103 hekto (h) = 102 deka (da) = 10

deci (d) = 10−1 centi (c) = 10−2 mili (m) = 10−3

mikro (µ) = 10−6 nano (n) = 10−9 piko (p) = 10−12

U toku provoñenja složenih proračuna vrlo je važno biti siguran da se jedinice na jednoj strani dobivene jednadžbe podudaraju sa jedinicama druge strane. Analiza ove vrste naziva se dimenzijska analiza: nije uopće potrebno kazati kojim se mjernim jedinicama služimo već samo voditi računa da se radi o dimenziji mase [M], duljine [L] ili vremena [T]. 1

Ovdje su, zbog kompletnosti, navedeni etaloni SI sustava. Naravno, te podatke nije potrebno pamtiti.

8

3. Relativnost gibanja, sustav i objekt opažanja (dimenzije). Referentni i koordinatni sustav. Budući da gibanje definiramo kao premještanje nekog tijela u odnosu na ostala tijela koja miruju, kažemo da samo relativna gibanja imaju smisla. Slično, samo relativni prostor ima smisla, odnosno o prostoru možemo govoriti samo kao o prostoru koji je ispunjen nekim objektima.

Stanje sustava u mehanici potpuno je opisano s položajem i brzinom {r , v} te

uobičajeno još i sa masom m, {r , p}. Referentni sustav je dogovorno odreñen sustav kojega izabiremo proizvoljno u smislu pogodnosti. Objekt se u svom vlastitom referentnom sustavu ne giba. Opis gibanja ovisi o izboru referentnog sustava (dok samo gibanje naravno ostaje isto). Primjerice, za opis gibanja Zemlje oko Sunca ishodište našeg referentnog sustava postavit ćemo u Sunce, dok ćemo za promatranje kosog hica na površini Zemlje naravno uzeti neki pogodniji sustav. Osnovne pretpostavke su da postoji jedinstveno, homogeno vrijeme te da je prostor ravni euklidski, homogeni. Imamo dvije klase referentnih sustava: inercijalni i neinercijalni sustavi. 1) inercijalni: u njemu vrijede Newtonovi zakoni. Ne možemo nikakvim pokusom utvrditi mirujemo li ili se gibamo. Primjeri dovoljno dobrih inercijalnih sustava su zrakoplov koji leti konstantnom brzinom i soba u kući. 2) neinercijalni: sustav koji naspram nekog inercijalnog sustava ubrzava. Postoje vanjske sile te ne vrijedi drugi Newtonov zakon u standardnom obliku, već ga treba prilagoditi i uključiti postojanje inercijskih pseudo-sila (primjer: npr. zrakoplov koji ubrzava). Referentni i koordinatni sustav su različiti pojmovi, premda se referentni sustavi mogu koordinatizirati. Koordinatni sustav naprosto se odnosi na potrebu popisivanja svih točaka prostora u kojima je boravila materijalna točka tijekom gibanja. Kartezijev koordinatni sustav opisuje položaj pomoću koordinata {x, y, z}, cilindrični sustav pomoću koordinata { ρ, φ, z}, a sferni sustav pomoću koordinata {r , θ , φ}. I na kraju, za vektorski prikaz ne treba nam koordinatni sustav nego
naprosto ishodište 0 i radijus vektor r .

Vrijedi2 r (t ) = x(t ) xˆ + y (t ) yˆ + z (t ) zˆ, gdje vrh vektora r (t ) opisuje putanju objekta kojeg promatramo. Ako ga deriviramo po vremenu t dobit ćemo brzinu

objekta v (t ), a brzinu dalje deriviramo po t za akceleraciju a (t ).


Da bi se razlikovale od skalarnih, vektorske veličine se označuju sa strelicom: a. Modul vektora
(tj. njegova duljina ili norma) označuje se ovako: | a |, ili budući da je to skalar, jednostavno bez
strelice: a. Jedinični vektori označuju se s kapicom: aˆ. Vrijedi: a = aaˆ. 2

9

4. Dimenzija i jedinica brzine, ubrzanja, količine gibanja, sile i energije u SI sustavu. Brzina: (vektor) Ubrzanje: (vektor) Količina gibanja: (vektor) Sila: (vektor) Energija: (skalar)


v

[L][T]−1

ms


a

[L][T]−2

m s2


p

[M][L][T]−1

kg m s = N s


F

[M][L][T]−2

kg m s 2 ≡ N (njutn3)

E

[M][L]2[T]−2 kg m 2 s 2 = N m ≡ J (džul) [F][L]

5. Dugodosežne interakcije, ovisnost sila o dimenzionalnosti prostora. Četiri su temeljne interakcije: gravitacijska, elektromagnetska, slaba i jaka sila4. Doseg ovih sila uvjetovan je masom prijenosnika, što je masa prijenosnika veća doseg sile je manji i obrnuto, što je masa manja sila ima veći doseg. Fotoni i gravitoni su prijenosnici bez mase, tako su elektromagnetska i gravitacijska sila beskonačnog dosega – nazivamo ih dugodosežnim interakcijama5. Dugodosežne sile obje opadaju sa kvadratom udaljenosti. Gravitacijska sila je vrlo slaba, za oko 40 redova veličine je slabija od elektromagnetske (efekt gravitacije osjećamo samo zahvaljujući činjenici da je gravitacijska sila uvijek privlačna – tj. nema negativne mase, a budući da je naš okoliš više ili manje električki neutralan, elektromagnetsku silu ne osjećamo tako jako). Elektromagnetska sila ima relativnu jakost 10 −2 (ako uzmemo da je jakost jake (nuklearne) sile jednaka 1), a gravitacijska 10−39. Elektromagnetska sila je jako važna u atomima, a gravitacijska odreñuje gibanja na Zemlji, gibanja zvijezda i galaksija (tzv. gibanja na velikoj skali). Ovisnost sila o dimenziji prostora može se opisati kao F ∝ r1− D , gdje je D dimenzionalnost prostora, 1, 2 ili 3. U jednoj dimenziji sila je tako proporcionalna sa r1−D = r 0 = 1, tj. konstantna je. U dvodimenzionalnom svijetu imamo F ∝ 1 r , a u 3D sila opada sa kvadratom udaljenosti: F ∝ 1 r 2 (Coulombova, gravitacijska).

Relaciju N ≡ kg m s 2 čitamo: jedan njutn definiramo kao silu potrebnu da tijelu od 1 kilograma da ubrzanje od 1 m s 2 4 Stariji naziv za jaku i slabu silu je „nuklearne sile“. 5 vidi pitanje 9. 3

10

Vektori 6. Skalarni produkt dvaju vektora. Kosinusni poučak. Skalarni produkt dvaju vektora definiramo kao broj koji dobijemo množeći iznos prvog vektora sa iznosom drugog vektora te kosinusom kuta meñu njima:





a ⋅ b ≡ | a || b | cos ∡ (a , b )

(6.1)

Iz (6.1) vidimo da, ako je skalarni produkt nula, onda su vektori okomiti. Ovakav skalarni umnožak ne oslanja se ni na kakav koordinatni sustav. Budući da je kosinus kuta izmeñu prvog i drugog vektora isti kao kosinus kuta izmeñu drugog i prvog (tj. cos φ = cos(−φ), odnosno, kosinus je parna funkcija), skalarni produkt je


komutativan (vrijedi a ⋅ b = b ⋅ a ). Skalarni produkt dvaju jediničnih vektora upravo je kosinus kuta meñu njima. Skalarni produkt u Kartezijevim komponentama: xˆ ⋅ xˆ = yˆ ⋅ yˆ = zˆ⋅ zˆ =1

xˆ ⋅ yˆ = yˆ ⋅ zˆ = zˆ⋅ xˆ = 0

a ⋅ b = (ax xˆ + a y yˆ + az zˆ )(bx xˆ + by yˆ + bz zˆ ) = ax bx + a y by + az bz

Primjer: primjena skalarnog produkta za izvod kosinusnog poučka

Neka je razlika dvaju vektora a i b neki
treći vektor c :



b a − b = c.

Uzimajući skalarni produkt svake strane tog izraza sa samim sobom, dobivamo:





(a − b ) ⋅ (a − b ) = c ⋅ c



| a |2 + | b |2 −2a ⋅ b =| c |2

(6.2)




c = a −b



γ = ∡ (a , b )
a Slika 6.1 : Kosinusni poučak

što daje poznatu relaciju za trokut, zvanu kosinusni poučak: a 2 + b 2 − 2ab cos γ = c 2

(6.3)

Ostale primjene: jednadžba ravnine, rad sile na nekom putu, električni i magnetski vektori u elektromagnetskom valu, brzina vršenja rada, brzina promjene volumena koji nastaje gibanjem dijela ravne plohe itd.

11

7. Vektorski produkt dvaju vektora. Sinusni poučak. Vektorski produkt definira se na sljedeći način:





(7.1) a × b ≡ | a || b | sin ∡(a , b ) cˆ



Iznos mu je | a || b | sin ∡(a , b ), što je jednako površini
paralelograma sa stranicama duljina
| a | i | b |, a smjer cˆ je vektor koji
je okomit
na ravninu u kojoj leže a i b . Hoće li cˆ gledati prema gore ili dolje iz te ravine, odreñujemo pravilom desne ruke (dogovor, tzv. pravilo desne ruke).




c = a ×b
a



| a ×b |


b


−c = b × a

Slika 7.1 : Vektorski produkt

Budući da je sinus kuta izmeñu prvog i drugog vektora suprotnog predznaka od sinus kuta izmeñu drugog i prvog (tj. sin φ = − sin(−
φ), sinus

je neparna
funkcija) vektorski produkt je antikomutativan (vrijedi a × b = −b × a ). Vektorski

produkt vektora sa samim sobom jednak je nuli, jer je sin ∡ (a , a ) = sin 0 = 0. Vektorski produkt u Kartezijevim komponentama:

xˆ

a × b = ax bx

yˆ ay by

zˆ ay az = xˆ by bz

az a − yˆ x bz bx

az a + zˆ x bz bx

ay = bz

(7.2)

= xˆ (a y bz − azby ) + yˆ (az bx − axbz ) + zˆ (axby − a y bx ) Primjer: primjena vektorskog produkta za izvod sinusnog poučka


Promotrimo trokut definiran sa c = a + b . Množimo vektorski s lijeva obje
strane jednakosti s a:





a ×c = a ×a + a ×b

uzevši u obzir da je a × a = 0 i da obje strane moraju imati iznos, slijedi







| a || c | sin ∡ (a , c ) =| a || b | sin ∡ (a , b ) što je poznati sinusni poučak za trokut:





sin ∡(a , c ) sin ∡ (a , b )
=
|c | |b |

12

(7.3)

8. Operacije s vektorima. Derivacija vektora.

z

Raspis u Kartezijevim koordinatama
a

 ax 
  a =  a y  = ax xˆ + a y yˆ + az zˆ a   z Zbrajanje vektora
b


a

a +b

Slika 8.1: Raspis u Kartezijevim koordinatama

az

zˆ yˆ

xˆ

x

ax

y

ay



Zbroj dvaju vektora a + b definira se geometrijskom konstrukcijom koja se često naziva pravilom paralelograma. Zbrajanje vektora je komutativno i asocijativno.



(komutativnost) a +b =b +a





(asocijativnost) a + (b + c ) = (a + b ) + c

U Kartezijevim koordinatama:

a + b = (ax + bx ) xˆ + (a y + by ) yˆ + (az + bz ) zˆ Množenje sa skalarom



λ a = aλ


( λ + µ ) a = λ a + µa



λ(a + b ) = λa + λb

(komutativnost) (distributivnost) (distributivnost)

Skalarno i vektorsko množenje





a ⋅ b ≡ | a || b | cos ∡(a , b )





a × b ≡ | a || b | sin ∡(a , b ) cˆ Deriviranje vektora
A( s ) - vektorska funkcija skalarne varijable s


dA d
A( s + ∆s ) − A( s ) = A( s ) = lim = ds ds ∆s ∆s →0 dA ( s ) dA ( s ) dA ( s ) = x xˆ + y yˆ + z zˆ ds ds ds Vrijedi:

d

dA dB (derivacija zbroja) ( A + B) = + ds ds ds
d
dλ
dA (d. produkta sa skalarom) ( λA) = A+ λ ds ds ds

13



d

dA

dB ( A ⋅ B) = B+ A ds d
s ds




d dA dB ( A × B) = × B + A× ds ds ds

Parcijalno deriviranje A = A(λ ,η , µ ):
∂A ∂A ∂Aλ ˆ ∂Aη = λ+ ηˆ + µ µˆ ∂λ
∂λ ∂λ ∂λ ∂ A ∂ A ∂A ∂Aλ ˆ = λ + η ηˆ + µ µˆ ∂η ∂η ∂η ∂η
∂A ∂A ∂Aλ ˆ ∂Aη = λ+ ηˆ + µ µˆ ∂µ ∂µ ∂µ ∂µ

(d. skalarnog produkta) (d. vektorskog produkta)


▪ Totalni diferencijal dA:



∂A( λ, η, µ ) ∂A( λ, η, µ ) ∂A( λ, η, µ ) dA = dλ + dη + dµ. ∂λ ∂η ∂µ

14

(po λ)

(po η) (po µ)

9. Četiri osnovna meñudjelovanja/interakcije. Sve što postoji u svemiru meñudjeluje, a sve što znamo o prirodi i svijetu znamo iz posljedica tih meñudjelovanja. Kvantitativna mjera jakosti interakcije jest sila. U prirodi postoji obilje zakona naspram kojeg je ovaj broj temeljnih interakcija doista malen. Te četiri temeljne interakcije su gravitacijska sila, elektromagnetska, slaba nuklearna i jaka nuklearna. Gravitacijska sila. Što se tiče relativne jakosti ovo je vrlo slaba sila (10 −39 ), no doseg joj je velik te je uvijek privlačna pa je odgovorna za gibanja u svemiru (zvijezde, planeti, galaksije). Ova sila poput elektromagnetske opada sa kvadratom udaljenosti, no za oko 40 redova je slabija od nje. Pretpostavlja se (postoje vrlo dobri teorijski razlozi) da su čestice prijenosnici gravitoni, no tek ih je potrebno eksperimentalno potvrditi. Elektromagnetska sila je važna u atomima. Njena relativna jakost je 10 −2 (vrlo jaka sila). Takoñer je dugodosežna poput gravitacijske. Prijenosnik: foton (γ). Slaba sila javlja se kod raspada atomske jezgre. Ovo je kratkodosežna sila koja ima isto porijeklo kao i elektromagnetska. Relativna jakost joj je 10−5 , a djeluje na −15 ± 0 ≪ 10 m. Prijenosnici: W , Z bozoni. Jaka sila drži na okupu protone i neutrone te cijelu atomsku jezgru. Na fundamentalnoj skali ima beskonačan doseg, no ostatak te sile koji drži atomsku jezgru zajedno ima vrlo mali doseg (postoji eksponencijalni član u jednadžbi) −15 10 . Relativne je jakosti 1. Prijenosnici: meñu nukleonima djeluju mezoni ( π ± ,0 , K ± ,0 ,...), a fundamentalni prijenosnici (meñu kvarkovima) su gluoni (g). Nebeska gravitacija Opća gravitacija Zemaljska gravitacija

Newton (1686. g.)

Električna sila

Maxwell (1864. g.)

Salam, Glashow, Weinberg (1979. g.)

Elektromagnetska sila Magnetska sila

?

Elektroslaba sila Slaba sila

Jaka sila

Slika 9.1: Četiri fundamentalne sile

15

Newtonovi zakoni 10. Prvi Newtonov zakon. Pokus. Kad je ukupna sila na neko tijelo nula, onda je i akceleracija kojom se to tijelo giba nula. Brzina je u tom slučaju konstantna, a vektor akceleracije ima sve komponente jednake nuli, i tangecijalnu i radijalnu. Prvi Newtonov zakon glasi:



Fuk = 0 ⇔ a = 0 ⇔ v = const. (I. N.z.) ''Tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu kad na njega ne djeluju vanjske sile.'' Prvi Newtonov zakon je nužna pretpostavka drugom i trećem. On definira inercijalni referentni sustav (sustav na koji ne djeluju vanjske sile). Samo u inercijalnom referentnom sustavu Newtonovi zakoni vrijede u obliku u kojem ćemo ih napisati. Pokusi: zračna klupa, kotrljanje kuglice po uglančanoj i hrapavoj podlozi, Galilejev pokus.

11. Drugi Newtonov zakon. Pokus. Značenje i ograničenja. Relacije neodreñenosti.


d d 2v
m=const . dv
F = (mv ) = m = m 2 = ma dt dt dt

(II. N.z.)

''Promjena količine gibanja tijela proporcionalna je sili koja djeluje na to tijelo.'' Količina gibanja je definirana kao umnožak mase i brzine.
Kada govorimo o sili F mislimo na ukupnu silu koja djeluje na tijelo i to na silu koja djeluje izvana (sila teža, reakcija podloge, sila trenja,…), a ne primjerice na pogonsku silu motora, koja djeluje iznutra. Drugi Newtonov zakon kaže da je ta ukupna sila koja djeluje na tijelo jednaka umnošku njegove mase i akceleracije. Ovaj zakon nije definicija operativne sile, on samo govori što će se dogoditi ako sila djeluje na tijelo. Kada su brzine bliske
brzinama svjetlosti, Newtonov zakon u
gornjem obliku još uvijek je prikladan jer F = dp dt uvijek vrijedi pa i za v ∼ c uz

uvjet6 p = γ(mv ) gdje je 1 (11.1) γ≡ . 1 − v2 c2

Besmisleno je tu relaciju promatrati kao p = (γm)v i umnožak (γm) smatrati „relativističkom masom“ – koncept relativističke mase je besmislen. 6

16

Ograničenja: ne vrijedi za kvantne čestice. Primjerice u atomu nam koncept putanje potpuno beskoristan. Zatim, u slučaju v ∼ c uvodimo specijalnu teoriju relativnosti i Lorentzov faktor γ. Pokus: pokazali smo na malim kolicima i utezima, da ubrzanje uz konstantnu silu ovisi o masi kolica odnosno masi utega - što smo više utega upotrijebili, kolica su
imala manje ubrzanje a (odnosno ubrzanje je obrnuto proporcionalno masi m):



F (11.2) F = ma ⇒ a = m Relacije neodreñenosti7 odnose se na nemogućnost točnog poznavanja (neodreñenost) brzine i položaja čestice, odnosno količine gibanja i položaja čestice. Iste relacije postoje u kombinaciji vrijeme i energija, a u pitanju su uvijek parovi veličina. Javljaju se kod kvantnih (vrlo sitnih8) čestica i tamo nam jednadžba gibnja tj. koncept putanje, nije korisna. Neodreñenost u količini gibanja i položaju prikazujemo relacijom: ∆p x ∆x ≥

ℏ 2

(11.3)

Uzmimo da istovremeno trebamo izmjeriti položaj i količinu gibanja neke čestice (kvantnog objekta). Javit će se neodreñenost položaja ∆x koja je razmjerna valnoj duljini λ svjetlosti kojom obasjavamo tu česticu. Samim obasjavanjem čestice mi smo joj promijenili brzinu (količinu gibanja). Obasjavanjem sa svjetlošću neke valne duljine česticu „udaramo“ sa fotonima svjetlosti te ju time skrećemo sa njene prvotne putanje, odnosno utvrñivanjem položaja čestice mi smo istovremeno promijenili njezinu količinu gibanja. Dakle istovremeno nije moguće poznavati položaj i količinu gibanja, jer se samim odreñivanjem položaja mijenja količina gibanja. U kvantnoj mehanici sam čin mjerenja drastično utječe na sustav. Ovo ne znači da čestica doista ima točno odreñenu količinu gibanja i točno odreñen položaj istovremeno, a da ga mi naprosto ne možemo odrediti zbog nedovoljno preciznog mjerenja. Konceptualno ne postoji mjerenje koje ne bi poremetilo sustav te zato nije fizikalno pitati se o njihovim istovremenim vrijednostima – sustav po svojoj prirodi doista niti nema istovremeni položaj i količinu gibanja. Heisenbergova relacija neodreñenosti javlja se kada istovremeno pokušamo odrediti položaj i količinu gibanja objekta.9

7

odnosno Heisenbergove relacije neodreñenosti. Javljaju se i kod makroskopskih čestica, samo što u makrosvijetu nisu tako zamjetne. 9 Policajac zaustavlja automobil na cesti zbog prekoračenja dozvoljene brzine. Automobilom upravlja Heisenberg. Policajac ga upita: „Gospodine, znate li vi koliko ste brzo vozili?“ na što mu Heisenberg odgovara: „Ne znam. Ali znam gdje sam.“ ☺ 8

17

12. Treći Newtonov zakon. Pokusi. Problem istovremenog odreñivanja sile. Problem elektromagnetnih sila.

F12 = F21
''Kad dva tijela djeluju jedno na drugo, sila F12 kojom
prvo tijelo djeluje na drugo, jednaka je po iznosu ali suprotnog smjera od sile F21 kojom drugo tijelo djeluje na prvo.'' Ako primjerice ispustimo kredu na pod, tijela će meñusobno djelovati jedno na drugo, ona će se ubrzavati. No, budući da je Zemlja puno tromija od krede njena će akceleracija biti puno manja od akceleracije krede. Sve sile su meñudjelovanja, sve što je u svemiru meñudjeluje. Najbolji primjer trećeg Newtonovog zakona je pritisak prsta o podlogu, ne bismo se doista uvjerili da postoji sila protureakcije. Ovaj zakon nam govori kada više ne vrijede zakoni klasične mehanike, tj. odstupanja od trećeg Newtonovog zakona su najbolji pokazatelji neadekvatnosti klasične mehanike. On nikada ne vrijedi za elektromagnetska djelovanja. Relacija zakona očuvanja količine gibanja proizlazi upravo iz ovog zakona. Problem istovremenog odreñivanja sila sastoji se u tome što se meñudjelovanja svemirom zapravo beskonačno šire pa nismo nikada sigurni da li na tijelo djeluju neke sile ili ne. Teško je uzeti u obzir sve utjecaje na neki objekt, tj. odrediti postoje li učinci udaljenih dijelova svemira. Problem elektromagnetnih sila se odnosi na to da treći Newtonov zakon naprosto ne vrijedi za magnetske sile. Ako se dva naboja gibaju, osim Coulombove sile meñu njima se javlja i magnetska sila koja ovisi o brzini kojom se naboji gibaju, pa ukupne sile koje djeluju izmeñu dva naboja nisu nužno jednake i suprotne.

18

Referentni sustavi i Galilejeva invarijantnost 13. Apsolutna i relativna brzina. Relativnost brzina je potvrñena nizom pokusa. Apsolutna brzina nema nikakvog smisla. Dolazimo do temeljne hipoteze o Galilejevoj invarijantnosti: zakoni fizike u svim inercijalnim sustavima su jednaki. Prema ovoj hipotezi nikakvim pokusom ne možemo utvrditi da li se motritelj jednoliko giba s obzirom na zvijezde stajačice ili miruje. Brzina je relativna i zbog toga nije moguće razlikovati inercijalne sustave. Ovo načelo bilo je u temeljima Newtonove slike svemira i jedno je od glavnih oslonaca specijalne teorije relativnosti.

14. Apsolutna i relativna akceleracija. Machov princip. Newtonov zamišljeni pokus sa kantom vode: kantu s vodom objesimo na nit i zavrtimo. Promatramo iz sustava kante i sustava promatrača (mi). Voda se u početku vrti u odnosu na kantu, a u odnosu na nas miruje i ima ravan oblik. Voda se ubrzava i počinje se gibati u odnosu na nas, a mirovati u odnosu na kantu – vidimo kako poprima paraboličan oblik. Naš sustav je inercijalan, a sustav kante nije jer kanta akcelerira u odnosu na naš sustav. Isto tako možemo reći da i naš sustav akcelerira u odnosu na sustav kante, pa bi onda voda trebala biti ravna i parabolična u obrnutim slučajevima – no nije tako. Ovo je Newtona navelo da zaključi da je prostor apsolutan, tj. da je sustav kante nije onaj pravi sustav, nego je naš. Newton je zastupao apsolutno ubrzanje. Suprotni nazor, da samo ubrzanje s obzirom na zvijezde stajačice ima smisla naziva se Machov princip. Zasad nije naišao ni na potvrdu ni na prigovor sa eksperimentalne strane, no neki fizičari poput Macha i Einsteina su relativnom ubrzanju ipak davali prednost pred apsolutnim. Ekvivalentna formulacija Machovog principa: uvijek se kao protudjelovanje bilo kojoj gravitacijskoj sili može naći odgovarajuća inercijska pseudosila (npr.


ubrzava li dizalo prema gore sa a = − g poništit će g ). Uvijek postoji sustav u kojem su tijela u bestežinskom stanju. Posljedica toga je da je masa, tj. inercija svojstvo prostora.10 To je temelj opće teorije relativnosti.

10

Još jedna ekvivalentna formulacija: ako maknemo svu masu, nema više prostora.

19

15. Galilejeve tranformacije. Hipoteza Galilejeve invarijantnosti. Promatramo dva sustava, S i S ′ i pitamo se čime je dan položaj čestice P gledano iz oba sustava. Vrijeme t = t ′ = 0 u oba sustava počnemo mjeriti od nule. Galilei je zaključio da je vrijeme invarijanta – fizikalna veličina koja se ne mijenja pri prelasku iz jednog sustava u drugi: uvijek je t = t ′. Pretpostavimo da se ishodišta 0 i 0′ oba sustava poklapaju. Sustav S ′ se sada započinje gibati stalnom brzinom V u x smjeru. U tom slučaju imamo sljedeće transformacije koordinata: t = t′

x = x′ + Vt ′

y = y′

z = z′

(15.1)

Ovo su tzv. Galilejeve transformacije koordinata i za njih vrijedi hipoteza Galilejeve invarijantnosti: Osnovni zakoni fizike imaju oblik u svim sustavima povezanim Galilejevim transformacijama (sustavima koji se stalnom brzinom V gibaju jedni prema drugima). Takoñer, pokusi pokazuju da je ubrzanje nekog objekta jednako u S i S ′ tj. a = a′ (pokažite), a duljina objekta se ne mijenja nego je L jednak L′. Neposredna posljedica ovih jednadžbi je pravilo zbrajanja brzina:

vx =

dx dx dx′ = = + V = v′x + V dt dt ′ dt′

⇒

vi = vi′ + V

(15.2)

Provjera Galilejevih transformacija se svodi na provjeru slaganja brzina (da je čovjek u vlaku doista brži za brzinu vlaka). Galilejeve transformacije su dobre za brzine mnogo manje od c, tj. u nerelativističkoj granici. Za brzine bliske c, morat ćemo koristiti Lorentzove transformacije – specijalna teorija relativnosti.

16. Ubrzani sustav. Fiktivne (inercijalne) sile. Mjerač ubrzanja. Ubrzani ili neinercijalni sustav klasa je referentnog sustava. U takvom sustavu postoje vanjske sile koje djeluju na sustav, u njemu vrijeme nije jedinstveno, a prostor nije više euklidski Što se tiče Newtonovih zakona, bitno je reći
homogeni.

da se akceleracija a iz F = ma odnosi na ubrzanje mjereno u odnosu na neubrzani sustav. Smatramo li Zemlju neubrzanim odnosno inercijalnim sustavom dok
pratimo neki pokus na njenoj površini, ubrzanje a objekta
koji promatramo doista

jest „ a inercijalno“ i vrijedi Newtonov zakon u obliku F = ma. Zemlja doista i jest približno dobar inercijalni sustav, jer je njezina centrifugalna akceleracija vrlo

mala. Ali, ako bismo htjeli biti jako precizni, F = ma na površini Zemlje (gdje je
a primjerice akceleracija
nekog kamena čije gibanje promatramo) Newtonov


zakon moramo pisati kao F = m(a + a′) gdje je a′ centrifugalna Zemljina akceleracija.

20

Dakle, ako smo u ubrzanom sustavu moramo uzeti u obzir i ubrzanje tog
sustava. Odavde odmah vidimo da ako je a′ = 0 sustav je inercijalan i Newtonov

zakon se svodi na F = ma:






F = m(a + a′) = ma + ma′ = ma − F0 (16.1)

Korisno je označiti F0 = −ma0 što je upravo i definicija fiktivne (inercijalne) sile. Ova sila se dakle uvijek javlja u neinercijalnim sustavima zbog njihovog ubrzanja. Svakom11 tijelu u neinercijalnom sustavu daje ubrzanje jednakog iznosa kao ubrzanje sustava i suprotnog smjera. Dakle u svakom sustavu
neinercijalnom
se osjeća fiktivna sila koja se treba dodati pravoj sili F da bi dobili ma koja se doista opaža:


ma = F + F0 Opća svojstva inercijalnih sila: ne postoje u inercijalnom sustavu, nisu posljedica meñudjelovanja (primjerice centrifugalna sila nije nekakva reakcija na
centripetalnu silu!) i a je neovisno o masi. Mjerač ubrzanja (akcelerometar, slika 16.1) je ureñaj koji se sastoji od opruge neke konstante elastičnosti i mase pričvršćene na tu oprugu ograničene na gibanje u samo jednom smjeru. Tako se pomakom mase može mjeriti ubrzanje neinercijalnog sustava. Opruga u a′ inercijalnom sustavu (lijevo na slici) miruje pa a = 0. Akceleracije sustava a′ takoñer nema. Sila na masu m je F = −kx = 0, jer je x = 0. U neinercijalnom sustavu (desno) imamo F = m(a + a′) = ma′. Slijedi da je: m −kx = ma′, odnosno akceleracija neinercix jalnog sustava jednaka je a′ = −kx m . m Primjerice, čovjek unutar rakete mjereći x može saznati točnu vrijednost ubrzanja rakete. Slika 16.1: Akcelerometar


bez obzira radilo se o ping-pong loptici ili primjerice o sumo hrvaču, jer ubrzanje a naravno ne ovisi o masi. 11

21

17. Sustav koji rotira. Brzina i ubrzanje čestice koja se vrti.
Sustav se vrti oko svoje osi kutnom brzinom ω. Linearna ili obodna brzina svake čestice u takvom sustavu će biti:


(17.1) v = ω× r
gdje je r udaljenost čestice od središta vrtnje. Zamislimo
kuglicu koja se vrti na
niti duljine r . Znamo da na
česticu djeluje napetost niti T koja vuče česticu prema središtu vrtnje. Dakle sila T preuzima ulogu centripetalne sile (ulogu centripetalne sile uvijek „igra“ neka druga sila, recimo u slučaju vrtnje planeta oko Sunca to je gravitacijska sila izmeñu Sunca i planeta):


T = Fcp = macp (17.2)

| Fcp | = m

v2 , r

tj. centripetalna akceleracija je po iznosu v2 acp = = ω2 r , r a usmjerena je prema središtu vrtnje (zato minus):

acp = −ω2 r .

(17.3)

(17.4)

(17.5)

Ako bismo istu ovu vrtnju promatrali iz samog sustava vrtnje, tj. neinercijalnog sustava (zamislit ćemo si da smo muha mase m i da sjedimo na loptici koja se na niti vrti ukrug) imamo sljedeću situaciju: budući da smo u ubrzanom sustavu, nužno se javlja nekakva fiktivna sila koja je posljedica ubrzanja sustava. Znamo već (iz svakodnevnog iskustva na vrtuljcima) da nas ta sila gura prema van i da se moramo napregnuti točno odreñenom silom ako želimo mirovati i ako ne želimo izletjeti van s vrtuljka. Rekli smo već da je sila u neinercijalnom sustavu zapravo

uvećana za neku fiktivnu silu koja ovisi o ubrzanju sustava, iznosi F0 = −ma′:


ma = F + F0 (17.6)
s tim da se muha sama od sebe ne ubrzava pa je sila F = 0 (odnosno rekli smo da
želimo mirovati na vrtuljku pa stavimo da je naša akceleracija a = 0). Ostaje

ma = F0 (17.7)

gdje je F0 odreñena ubrzanjem vrtuljka acp i masom muhe:
a′=acp


F0 = − macp = −m(−ω2 r ) ⇒ ma = mω2 r (17.8) Dobili smo fiktivnu silu koja nas doista gura prema van (predznak je sada pozitivan). Ova sila naziva se centrifugalna sila i zamjećuje se isključivo iz samog ubrzanog sustava tj. zamjećuje ju samo muha na loptici ili mi na vrtuljku. 22

18. Centrifugalna i Coriolisova sila. Recimo da naša muha (vidi 17.) pokuša hodati po loptici u isto vrijeme dok se loptica vrti na niti. Ako se tijelo giba u neinercijalnom sustavu koji rotira, na njega osim centrifugalne sile djeluje i tzv. Coriolisova sila. Ova sila ovisi o brzini kojom se tijelo (muha) giba. Njeni učinci se opažaju katkad u letovima aviona, jer je i Zemlja takoñer slabo neinercijalan sustav zbog dnevne vrtnje oko svoje osi12. I centrifugalna i Coriolisova sila su dakle fiktivne sile.



Muha se počinje gibati brzinom v′, uz brzinu v = ω × r , koju već ima zbog
vrtnje (na nekoj udaljenosti r od središta, što je u ovom slučaju duljina niti). Ukupna brzina muhe je sada:


(18.1) u = v + v′. Sila koju muha osjeća u neinercijalnom sustavu: F0 = ma



u2 (v ′ + v ) 2 = − macp = − m = −m r r


2 (v '+ ω × r ) = −m , r

što nakon kvadriranja postaje: ma = −m

v′2 − 2mωv′r − mω2 r. r

(18.2)

Prvi član predstavlja realnu interakciju – centripetalnu silu kao što je primjerice sila trenja. Druge dvije sile su fiktivne, Coriolisova i centrifugalna (zadnji član).

12

Zemljina centrifugalna akceleracija na ekvatoru dana je sa acp =

v2 = ω2 RZ . RZ

23

19. Centrifugalna sila na površini Zemlje. Ovisnost o geografskoj širini. ω

r = RZ cos θ acf

Kutna brzina Zemlje je vrlo centrifugalna akceleracija još manja: acf = ω 2 r

mala

pa

je

g θ

RZ

Slika 19.1: Centrifugalna sila na površini Zemlje

udaljenost do osi vrtnje Zemlje r možemo napisati kao r = RZ cos θ. Kut θ mjerimo iz središta Zemlje tako da je na ekvatoru 0 a na polu 90 stupnjeva. Vidimo da centrifugalna akceleracija ovisi o mjestu na površini Zemlje (jer ovisi o njenom radijusu):

(19.1) acf = ω 2 RZ cos θ .


Pa i ukupno akceleracija slobodnog pada g uk = g + acf ovisi o mjestu na površini Zemlje, jer centrifugalna akceleracija ovisi. Akceleracija slobodnog pada je uvijek umanjena za akceleraciju centrifugalne sile (jedna nas privlači ka središtu, druga nas gura od središta). Centrifugalna akcele-racija je prema gornjoj relaciji najveća za θ = 0, što je na ekvatoru. Prema
tome, na ekvatoru je g umanjen za najveći iznos i tamo je najmanji
( g E = 9.78 m s 2 ), a na polovima je g najveći ( g E = 9.83 m s 2 ). Da zaključimo, što je geografska širina veća, centrifugalna sila je manja. Na polovima je nema, a na ekvatoru je najveća. No, čak i na ekvatoru radi se o zanemarivo malenom ubrzanju (acf = 0.034 m s 2 ). Meñu druge, još manje doprinose akceleraciji slobodnog pada možemo navesti i činjenicu da Zemlja nije savršena kugla, već spljošteni elipsoid te da raspored kopnenih masa nije homogen na Zemlji. Meñutim, ti doprinosi su jedva mjerljivi.

24

Trenje 20. Zakoni trenja izmeñu suhih površina. Trenje na kosini. Proklizavanje i porijeklo trenja kotrljanja. Ftr = µN .

(20.1)

Kad god površina jednog tijela klizi preko površine drugoga, svako od ta dva tijela djeluje na drugo silom trenja. Sila trenja djeluje u smjeru paralelnom sa dodirnim površinama. Općenito je trenje posljedica djelovanja molekularnih sila na površini tijela, i detaljni mehanizam trenja bio bi vrlo složen. Suho trenje je sila koja se javlja pri kontaktu krutih i približno glatkih površina. Razlika izmeñu suhog trenja i trenja s fluidom jest da suho trenje ne raste sa brzinom: Ftr

Ftr

v v Slika 20.1. Lijevo: suho klizanje: stick – slip: „malo se zalijepi pa malo krene“. Desno: trenje s fluidom.

Neke pojave vezane uz suho trenje su stagnacija, odnosno tijela miruju i u neravnotežnim položajima, te proklizavanje. Sila trenja za dano tijelo ne ovisi o površini u kontaktu. Može djelovati i kada nema relativnog gibanja. Zamislimo teški drveni sanduk na podu. Postoji cijeli spektar sila za koji sanduk uopće ne možemo pomaknuti (možemo napraviti i pokus sa dinamometrom ne bi li se uvjerili.) Silu koja ovo uzrokuje nazivamo silom statičkog trenja. Ona može poprimiti sve vrijednosti od nula do µ st N . Dok god je primijenjena sila jednaka statičkoj sili trenja – nema gibanja. Dakle statičko trenje može doseći samo neku konačnu vrijednost nakon koje više ne može rasti, tako da djelovanje primijenjene sile može pretegnuti (s vremenom ipak uspijemo pomaknuti sanduk). No, u principu se sila trenja uvijek malo smanjuje kada se tijelo počne jednoliko gibati po podlozi – zbog deformacije. Statička deformacija uvijek je veća od dinamičke (kada tijela miruju propadanje u podlogu je najveće).

25

Trenje na kosini. Ako želimo da tijelo miruje na kosini, moramo vidjeti kada će sile koje djeluju na njega biti u ravnoteži.13 Niz kosinu imamo sinusnu komponentu sile teže, a uz kosinu imamo kosinusnu komponentu sile trenja. Lako se uvjerimo da u ravnoteži vrijedi: µ = tgα

Ako tijelo miruje na kosini u ravnotežnom položaju, i ako ga pokušamo pomaknuti u bilo kojem smjeru, ono će proklizati jer će se poremetiti ravnoteža sila. Porijeklo trenja kotrljanja je deformacija podloge. Zbog te deformacije javljaju se lijeve i desne sile koje djeluju prema centru kotrljajućeg tijela. Kad ne bi bilo deformacije, tijelo bi se stalno gibalo (jer ne bi bilo trenja kotrljanja).

Sile u x smjeru: mg sin α − Nµ = 0 , sile u y smjeru: N − mg cos α = 0 ⇒ N = mg cos α (uvrstimo u prvu jednadžbu) 13

26

Jednadžbe gibanje 21. Jednadžba gibanja. Rješavanje u slučaju stalne sile. Numeričko rješavanje.
Jednadžba gibanja sastoji
se od drugog Newtonovog zakona i izraza za silu F . Pod utjecajem ukupne sile F čestica stalne mase podliježe ubrzanju u skladu sa drugim Newtonovim zakonom. Jednadžba gibanja:

d2r
F = ma = m (II. N.z.) dt Integracijom ove diferencijalne jednadžbe dobivamo izraze za vektor brzine i položaja čestice kao funkcije vremena. Da bismo uopće riješili jednadžbu, moramo poznavati silu, tj. izraz za silu:


⌠F ⌠
v (t ) =  dt r (t ) =  v (t ) dt (21.1, 21.2) ⌡ ⌡m Rješavanjem ovih izraza dobit ćemo samo opća rješenja – sve moguće krivulje

r (t ) i v (t ). Na nama je onda da izborom početnih uvjeta odaberemo i naše rješenje.
Vidimo da lakoća rješavanja problema zapravo ovisi o samom izrazu za silu F . Primjer stalne sile. Ako je sila stalna i ubrzanje je stalno. Pogledajmo primjer gravitacijske
sile (slobodan pad, vertikalni ili kosi hitac, sve ovisno o početnim
uvjetima). F = mg uvrstimo u prvi integral (21.1):

⌠F ⌠
v (t ) =  dt =  g dt ⌡ ⌡m

(22.3) ⇒ v (t ) = gt + C1


⌠
r (t ) =  ( gt + C1 ) dt ⌡
1
⇒ r (t ) = gt 2 + C1t + C2 2

(22.4)

Uzmimo početne uvjete za vertikalni hitac prema dolje (dolje je minus, gore plus smjer): v(t = 0) = −v0 , r (t = 0) = h.

27

i uvrstimo ih u (22.3) i (22.4): v(0) = − g ⋅ 0 + C1

⇒ C1 = −v0

r (0) = g ⋅ 0 + C1 ⋅ 0 + C2 = h

⇒ C2 = h

  ⇒ 

v(t ) = −( gt + v0 ) r (t ) = h − 12 gt 2 − v0t

(22.5)

Numeričko rješavanje
uvijek je primjenjivo i danas su ga jako olakšala računala. Ako je sila F poznata, numeričko rješenje je moguće. Svodi se na odreñivanje položaja čestice u trenutku t + ∆t , ako ga poznajemo u trenutku t. r (t + ∆t ) = r (t ) + v(t )∆t

(22.6)

Da bismo odredili brzinu u svakom trenutku moramo znati akceleraciju: v (t + ∆t ) = v (t ) + a (t )∆t

(22.7)

dakle položaj u t + 2∆t će biti: r (t + 2∆t ) = r (t + ∆t ) + v (t + ∆t )∆t = r (t + ∆t ) + v(t ) + a(t )∆t itd.

Uzastopnom primjenom prvog izraza se može odrediti numerički položaj čestice u bilo kojem trenutku, što je zapravo njezina putanja. Problem se svodi na poznavanje akceleracije, a najveća pogreška dolazi otud što koristimo brzinu iz prethodnog trenutka. (Grešku možemo smanjiti ako umjesto s ∆t računamo s manjim vremenskim intervalom, npr. ∆t 2.)

22. Slobodni pad. Atwoodov ureñaj. Pokusi. Slobodni pad je vrsta gibanja blizu površine Zemlje – tijelo postavimo na neku visinu i bez početne brzine pustimo da vertikalno padne na Zemlju. Samo tijela velike gustoće padaju slobodnim padom, jer se jedino onda trenje sa zrakom može u potpunosti zanemariti. Rješavamo jednadžbu gibanja:

⌠F ⌠ v(t ) =  dt = − g dt ⌡m ⌡ ⇒ v(t ) = − gt + C1 ⌠ y (t ) =  (− gt + C1 ) dt ⌡ 1 ⇒ y (t ) = − gt 2 + C1t + C2 2

28

Početni uvjeti za slobodni pad: v(t = 0) = 0, y (t = 0) = h, daju jednadžbu gibanja za slobodni pad:

v(t ) = − gt  ⇒  ⇒ C2 = h  y (t ) = h − 12 gt 2

v(0) = − g ⋅ 0 + C1

⇒ C1 = 0

y (0) = g ⋅ 0 + C1 ⋅ 0 + C2 = h

(22.1)

Pokusi. Sva tijela padaju jednakim ubrzanjem jer ono ne ovisi o masi. Napravili smo pokuse sa Newtonovom cijevi, sa Galilejevom kosinom i dvije kuglice različite mase smo puštali da padaju na stol. Sa Atwoodovim strojem smo pokazali da brzina ovisi linearno sa vremenom, a put ne. s

v

t Graf 20.1: Ovisnost prijeñenog puta o vremenu pri jednolikom ubrzanom gibanju.

t Graf 20.2: Ovisnost brzine o vremenu pri jednolikom ubrzanom gibanju.

Atwoodov ureñaj. Problem rada ovog stroja temelji se na I. i II. Newtonovom zakonu. Dvije nejednake mase, m2 > m1 , obješene su pomoću konopca preko koloture. Za koloturu i konopac pretpostavljamo da su bez trenja i da im je masa zanemarivo mala. Zbog nerastezljivosti konopca i zanemarive mase koloture, napetosti su nužno jednake s obje strane koloture. Iznos ubrzanja će biti jednak za obje mase. Popišimo sve sile koje djeluju na prvu i drugu masu: m1a = T − m1 g m2 a = m2 g − T .

−

+

T

T

m1 m1 g

m2 m2 g

Slika 20.2: Atwoodov ureñaj.

Zbrojimo li gornje jednadžbe dobit ćemo (m2 + m1 )a = (m2 − m1 ) g , tj. ubrzanje bilo koje od masa je: m − m1 a= 2 g. m2 + m1

29

23. Neovisnost gibanja. Vodoravni hitac. Pokusi i film. Gibanja u x i y smjeru bit će neovisna onda kada na tijelo djeluje jedna ili više sila s komponentama u oba smjera koje nisu meñusobno povezane. Dakle neovisnost gibanja odnosi se na činjenicu da konkretno vodoravni hitac možemo rastaviti na slobodni pad i jednoliko gibanje u vodoravnom smjeru. Ta dva gibanja možemo potpuno zasebno promatrati i računati. Ako sila nema komponenata u nekom smjeru onda ona u tom smjeru ne može ni djelovati. Neovisnost gibanja posljedica je toga što sila teža djeluje samo u y smjeru, pa će „padanje“ biti jednako i za slobodni pad i za vodoravni hitac. Zanimljiva posljedica neovisnosti gibanja: ispustimo li istovremeno neki predmet sa visine y, a istovremeno bacimo drugi predmet prema prvom s neke udaljenosti x i s iste visine y, oni će se uvijek susresti (uz pretpostavku da prije toga ne udare u tlo). Jednadžba gibanja za vodoravni hitac dobije se integrirajući odvojeno silu u x smjeru (nula) i silu u y smjeru (silu težu). Dobit ćemo izraze za x (t ) i y (t ):

 d2 x d2 y
ma = m  2 xˆ + 2 dt  dt


yˆ  = −mgy ⇒ 

d2 x =0 i dt 2

g 2 t 2 x (t ) = v0 xt

y (t ) = h −

d2 y = −g dt 2 (23.1) (23.2)

To je parametarski oblik jednadžbe gibanja. Ako izrazimo vrijeme iz (23.2) i uvrstimo u (23.1) dobit ćemo jednadžbu putanje14 tijela: y ( x) = h −

g 2 x v0

Pokusi. Istovremeno bacamo jednu kuglicu vodoravno, a drugu puštamo padati sa iste visine – obje kuglice zajedno udaraju u pod. Domet bačene kuglice proporcionalan je brzini v0 i korijenu visine h.

14

Jednadžba putanje je samo drugačiji zapis jednadžbi gibanja u kojem ne postoji eksplicitna ovisnost o t. Parametarski oblik jednadžbi gibanja koristan je kad želimo znati položaj tijela u nekom trenutku t, a jednadžba putanje je korisna kad želimo nacrtati putanju kojom se tijelo giba.

30

24. Kosi hitac. Pokusi. Lovac i majmun. Tijelo izbacimo sa ili bez početne visine pod nekim kutom u odnosu na horizontalu. Ono se giba pod utjecajem jednolikog gravitacijskog polja. Zanemarujemo druge sile (kao što je trenje sa zrakom) i iz drugog Newtonovog zakona dobijemo jednadžbu gibanja:

 d2 x d2 y
ma = m  2 xˆ + 2 dt  dt


yˆ  = mg + 0 ⇒ 

a = −g

(24.1)

Vidimo da opet treba posebno integrirati x i y smjer sile (nezavisnost gibanja). Smjerovi komponenata su okomiti pa jednadžbu razdvajamo na dvije jednadžbe za komponente. Integriramo izraze: d2 x =0 i dt 2

d2 y = −g dt 2

(24.2, 24.3)

uz početne uvjete za kosi hitac: vx = v0 cos α ,

v y = v0 sin α − gt ,

x0 = 0,

y0 = 0,

jednadžbe gibanja za x i y smjer su: x (t ) = v0t cos α g y (t ) = v0t sin α − t 2 . 2

(24.4)

(24.5)

Iz jednadžbi gibanja (24.4) i (24.5) možemo dobiti i jednadžbu putanje kojom se tijelo giba, eliminirajući vrijeme: y ( x ) = tgα ⋅ x −

g x2 2v0 cos α

(24.6)

Uočimo da je (23.6) jednadžba parabole.

31

Lovac i majmun. Skica problema:

h α

d Lovac nišani majmuna na visini h. Postavlja se pitanje hoće li tane pogoditi majmuna ako u trenutku kada lovac opali, majmun ispusti granu (tane se giba kao kosi hitac). Hoće, jer kada tane nakon nekog vremena t stigne na udaljenost d (vodoravna udaljenost izmeñu lovca i majmuna), majmun i tane će zbog sile teže pasti za jednak iznos ( gt 2 2). Tane ima sljedeće jednadžbe gibanja: yT (t ) = v0t sin α −

g 2 t , 2

xT (t ) = v0t cos α ,

a majmun sljedeće: yM = h −

g 2 t , 2

xM (t ) = d .

Tane i majmun će se susresti u trenutku τ , kad je yT ( τ ) = yM ( τ ) i xT ( τ ) = xM ( τ ): xT ( τ ) = v0 τ cos α

  d = v0 τ cos α ⇒ 

xM ( τ ) = d

τ=

d v0 cos α

Uvrštavajući τ u yT (t ) ili yM (t ) dobit ćemo visinu na kojoj će tane pogoditi majmuna: yM ( τ ) = h −

g d  2  v0 cos α 

2

2

=

yT ( τ ) = v0

d g d  sin α −  . v0 cos α 2  v0 cos α 

Uočimo da će lovac pogoditi majmuna samo ako je gañao pod kutom α takvim da vrijedi h = d tan α, gdje je h visina s koje je majmun počeo padati, a d vodoravna udaljenost izmeñu majmuna i lovca.

32

25. Utjecaj otpora zraka na padanje tijela. Pokusi. Granična brzina. i 26. Put i brzina pri slobodnom padu s trenjem razmjernim brzini. Ako se tijelo giba kroz fluid na njega djeluje sila trenja koja ovisi o njegovoj veličini, obliku, brzini, itd. te naravno o karakteristikama samog fluida (gustoća, viskoznost, itd.). Općenito izrazi za silu trenja imaju dva člana, linearnog i kvadratičnog u v. Pri malim brzinama prevladava prvi član, a pri velikim drugi. Ftr ≈ −cv − kv 2

Ftr

(25.1)

kv 2 cv

v Graf 25.1. Dva doprinosa iznosu sile trenja u fluidu o brzini.

Prvi član (linearni) povezan je sa viskoznošću fluida, dok je drugi posljedica stvaranja vrtloga. Ako promatramo vrlo sitna tijela vidimo da se u slučaju vrlo malog polumjera doprinos kvadratičnog člana sili trenja može zanemariti. Zato čestice prašine i magla padaju s trenjem Ftr ≈ −cv, a krupna tijela poput kamena, kapi kiše i padobranca s trenjem Ftr ≈ −kv 2 . Promotrimo utjecaj otpora zraka ako je trenje linearno proporcionalno brzini. dv c (25.2) ma = mg − cv ⇒ a = =g− v dt m −cv

mg

S vremenom će, zbog djelovanja sile trenja prema gore, doći do jednolikog gibanja i čestica više neće ubrzavati dok pada. Drugi izraz dakle moramo izjednačiti sa nulom. Čestica ostatak puta pada jednolikom brzinom koju nazivamo vg (graničnom brzinom):

dv c = 0 ⇒ g = vg dt m Uvrstimo g nazad u jednadžbu gibanja: dv c c c c = g − v = vg − v = (vg − v). dt m m m m

(25.3)

(25.4)

33

Ovu diferencijalnu jednadžbu rješavamo integrirajući lijevu stranu po dv, a desnu po dt. dv c = dt (25.5) (vg − v ) m Uzimajući supstituciju y = vg − v dobije se sljedeće rješenje gornjeg integrala: ln(vg − v) = −

c t + K. m

(25.6)

Početni uvjet je v (t = 0) = 0 pa je ln vg = K . Lako dobijemo da je konačni izraz za brzinu čestice: c − t  m  v = vg 1 − e

g − t    = vg 1 − e vg  

  .

(25.7)

za Ftr = 0

v

vg za Ftr ∝ v

t Graf 25.2. Brzina slobodnog pada u slučaju kada nema trenja te kada je trenje proporcionalno s brzinom

Ako pogledamo graf 25.2 vidjet ćemo da u slučaju kada zanemarimo trenje, brzina čestice jednoliko raste s vremenom. To je jednoliko ubrzano gibanje odnosno slobodni pad u ovom slučaju. U slučaju trenja proporcionalnog sa brzinom, brzina čestice ne može rasti više od granične brzine vg . Pogledajmo sada kako bi izgledao s-t graf: s

za Ftr = 0 za Ftr ∝ v

t Graf 25.3. Funkcija s(t ) u slučaju bez trenja (parabola) i slučaju s trenjem gdje prvo ide približno kao parabola, a zatim postaje linearna.

34

Izraz za put dobijemo integriranjem izraza za brzinu:

s(t ) = vg ( t − tk (1 − e− t / tk ) )

(25.8)

a akceleraciju lako dobijemo deriviranjem istog izraza. Ubrzanje slobodnog pada u slučaju trenja nije konstantno: −

t tk

a = ge . gdje je tk ≡

vg v

=

(25.9)

m . c a za Ftr = 0

g

za Ftr ∝ v

t Graf 25.4. Funkcija ubrzanja a(t ) u usporedbi sa konstantnom akceleracijom g kada nema trenja

Izrazi za brzinu, akceleraciju i put u slučaju trenja proporcionalnog sa kvadratom brzine dobiju se iz izraza:

ma = mg − kv 2

(25.10)

jednakim postupkom, odnosno integracijom jednadžbe gibanja. Dobit ćemo nešto kompliciranije izraze (integrale rješavamo pomoću Bronštejna):

s= s

vg tk 2

( e2 gt v

g

ln

e

+ 1)

2 gt vg

e g −1 v = vg 2 gt vg , e +1

2

2 gt v

,

a=g−

a

v

za Ftr = 0

za Ftr = 0

za Ftr = 0

vg

za Ftr ∝ v 2

za Ftr ∝ v 2

t

k 2 v. m

za Ftr ∝ v 2

t

t

35

Zakon očuvanja energije 27. Zakoni očuvanja. Porijeklo, svojstva, primjene. Stanje sustava zadano je njegovim položajem i brzinom. Zakoni očuvanja pomažu nam naći to stanje kada je zakon sile nepoznat. Postoji mnogo zakona očuvanja i svi su posljedica neke odreñene simetrije sustava u kojem vrijede15. Oni su nam posebno korisni za kvantne čestice (u atomu nam je putanja potpuno beskoristan pojam). Pomažu nam donijeti zaključke o stanju sustava bez da moramo rješavati jednadžbu gibanja. Dakle svi zakoni očuvanja imaju neka dobra svojstva: • ne ovise o pojedinostima putanje, • njima lako prikazujemo posve općenite (i vrlo značajne) posljedice jednadžbi gibanja, • mogu nam unaprijed reći je li nešto moguće ili nemoguće, • upotrebljavamo ih kada su sile potpuno nepoznate (npr. u fizici elementarnih čestica), • u bliskoj su vezi s transformacijama, odnosno mogu nas uputiti na ideje o invarijantnosti.16 Neki važniji zakoni očuvanja: 1) Zakon očuvanja energije – ukupna energija izoliranog sustava je konstantna. Ovo je posljedica homogenosti vremena (sekunda danas traje jednako dugo kao i sekunda prije sto godina). 2) Zakon očuvanja količine gibanja (impulsa) – ukupna količina gibanja izoliranog sustava takoñer je konstantna. Slijedi iz homogenosti prostora (svojstva objekta se ne smiju mijenjati translacijom tog objekta u prostoru). 3) Zakon očuvanja kutne količine gibanja – ukupna kutna količina gibanja izoliranog sustava je očuvana. Ovo je posljedica izotropnosti prostora (svojstva objekta se ne mijenjaju rotacijom u prostoru). Postoje još i zakoni očuvanja ukupne količine naboja, mase, broja bariona, leptona, stranosti, itd. Neki vrijede egzaktno, a neki su aproksimativni17.

15

Matematički iskaz te tvrdnje zove se Noetherin teorem. Primjer: očuvanje impulsa se može tumačiti i kao neposredna posljedica invarijantnosti s obzirom na Galilejeve transformacije. Takoñer primjer za Noetherin teorem. 17 To ovisi o tome je li simetrija sustava savršena ili samo približna. 16

36

28. Izvod kinetičke energije preko impulsa i rada sile. Film.

Impuls sile definiran kao I ≡ F ∆t jednak je promjeni količine gibanja:



F∆t = p − p0 = ∆p


F ∆t = mv − mv0 .

Pokažimo to:

F = ma ⇒



dv F = dt m

(28.1)


v


t
F ⌠ ⌠ ⇒  dv =  dt m ⌡ ⌡
v

t

0 0



F

□ v − v0 = (t − t0 ) ⇒ mv − mv0 = F ∆t m

Uvjerili smo se da je impuls sile F ∆t jednak promjeni količine gibanja ∆p. To ćemo iskoristiti za izvod kinetičke energije:

F

dx v = v0 + t , v= m dt
t x
 ⌠
⌠
F  dx =   v0 + (t − t0 )  dt m  ⌡ ⌡
x0 t0
F ( ∆t ) 2


(28.2) x − x0 = v0 ∆t + 2m

Uvrstimo ovdje ∆t iz (28.1) i sredimo do sljedećeg izraza:




m m F ( x − x0 ) = v 2 − v02 . 2 2 RAD – ENERGIJA TEOREM

∆W = ∆Ek Ovaj teorem vrijedi za sve sile i sve putove. Uvijek se kinetička energija čestice pretvara u njezin rad (doduše, za nerelativistička gibanja). Film. Stroboskom je obasjavan disk koji se vrti. Valjak se pušta padati s odreñene visine i udara u čavao. Udarac pretvara v0 u kinetičku energiju. Ako bismo samo pritiskali čavle sa čekićem nikad ih ne bismo zabili u dasku, potrebna je brzina. Povećamo li masu dva puta, napravit ćemo i dvaput veći rad, a uteg će zabiti čavao dva puta više. Za dvostruko povećanje brzine imali bismo veći učinak zbog v 2 (četverostruko veći rad i četverostruko zabijen čavao).

37

29. Pretvorba potencijalne energije u kinetičku pri slobodnom padu. i 34. Pretvorbe energije pri slobodnom padu. Postavimo česticu da miruje na nekoj visini h iznad površine Zemlje ( y0 = h, v0 = 0). Sila teže F = − mg vuče česticu okomito na dolje. Kada tijelo pada prema dolje sila teža vrši rad koji je, prema rad – energija teoremu, jednak prirastu kinetičke energije tijela. WFG = (−mg ) ⋅ (0 − h) = mgh 1 2 1 2 1 2 mv − mv0 = mv 2 2 2 1 mgh = mv 2 2

WFG = mgh =

(29. 1)

Iz gornjeg izraza čitamo da na visini h tijelo ima potencijalnu energiju (odnosno mogućnost da vrši rad ili da poveća kinetičku energiju) koja je jednaka mgh, i to s obzirom na površinu Zemlje kao nultočku potencijalne energije. Kada bismo pustili masu m padati, potencijalna energija bi joj se smanjivala, a kinetička povećavala tako da zbroj Ep + Ek ostane konstantan:

Ep + Ek = const. E

(29.2)

Euk Ep

Ek

t Graf 29.1. Ukupna energija je konstanta u vremenu (zakon očuvanja energije)

38

30. Sačuvanje mehaničke energije. Pokusi. Postoji skalarna funkcija položaja i brzine čestice koja je invarijantna s obzirom na promjene u vremenu. Zakon o očuvanju energije kazuje da je u izoliranom sustavu (tj. u sustavu na koji ne djeluju vanjske sile) ukupna energija stalna.18 Rekli smo da je zakon očuvanja energije slično kao i svi zakoni očuvanja, posljedica neke odreñene simetrije svemira. Konkretno, zakon očuvanja energije proizlazi iz homogenosti vremena. Možemo ga dobiti integracijom Newtonovog zakona po prostoru (za zakon očuvanja količine gibanja integriramo po vremenu). Sile moraju biti funkcije samo prostornih varijabli, ne smiju ovisiti o vremenu. No, u fantastičnoj situaciji kad bismo padali u crnu rupu, mogli bismo pisati Fg (t ).

Pokusi. Pretvorbe energije proučavali smo prije svega na matematičkom njihalu, Sommerfeldovom njihalu, zatim na slobodnom padu kuglice sa neke visine h, gibanju kuglice preko sustava dvije spojene kosine itd.

31. Rad i snaga. Rad kao linijski integral sile. Skalarni umnožak vektora sile i djelića puta definira diferencijal rada:

dW ≡ F ⋅ dr ⌠

W =  F dr ⌡

(31.1)

r

Samo komponenta sile duž puta vrši rad (zato skalarni umnožak). Snaga P je veličina koja mjeri brzinu obavljanja rada (prenošenja energije) i računamo je kao: P≡

dW

= F ⋅v dt

(31.2)

Rad možemo pisati pomoću snage P(t ) kao funkcije vremena: t2

⌠ W (t1 → t2 ) =  P(t ) dt ⌡

(31.3)

t1

U slučaju stalne sile rad raste linearno s pomakom.

18

Pod uvjetom da se masa ili elementarni naboj takoñer ne mijenjaju s vremenom.

39

F

W (t1 → t2 )

x Graf 31.1. Rad pri konstantnoj sili.



Pretpostavimo sada da F nije stalna sila nego da ovisi o vektoru položaja r . Put možemo tada rastaviti na niz od N odsječaka tako da je sila na svakome od njih približno konstantna. Možemo pisati: N











∆W ≈ F (r1 ) ⋅ ∆r1 + F (r2 ) ⋅ ∆r2 + ... + F (rN ) ⋅ ∆rN = ∑ F (rj ) ⋅ ∆rj

(31.4)

j =1

U gornjem izrazu možemo pisati znak jednakosti jedino ako imamo granični slučaj beskonačno malih pomaka, odnosno ako svaki djelić puta teži u nulu. N


⌠


∆W = lim ∑ F (rj ) ⋅ ∆rj =  F (r ) dr N →∞ ⌡ j →0 j =1

(31.5)

r

U općem slučaju rad je dakle linijski integral sile na putu od A do B i definira se kao:

⌠


W ( A → B ) =  F ( r ) dr . ⌡ A →B

40

(31.6)

32. Konzervativne sile i rad izvršen konzervativnom silom. Sila je konzervativna ako je rad W (A → B) neovisan o putu po kojem se čestica giba izmeñu A i B. Takve sile su primjerice gravitacijska i elektrostatska sila (centralne sile19) kao i sve fundamentalne sile. Za gravitacijsku silu je to pokazano i eksperimentalno – Zemlja je dosada učinila oko 109 punih okretaja oko Sunca, a da joj se udaljenost nije značajnije promijenila. Konzervativne sile nisu funkcije vremena. B

A

⌠

⌠

 F dr = −  F dr ⇒ ⌡ ⌡ A

B

B

A

⌠

⌠

⌠

 F dr +  F dr = 0 =  F dr ⌡ ⌡ ⌡ A

(32.1)

B


Ako gornji izrazi vrijede sila F je konzervativna. Za konzervativne sile integral po zatvorenom putu iščezava. Lako je vidjeti da sila trenja nije konzervativna sila. Njen smjer je uvijek
protivan smjeru gibanja, pa je što ga izvrši stalna sila trenja na odsječku dr
rad
puta

od A prema B jednak F dr , a ako je gibanje od B prema A opet dobijemo F dr . Zbroj ta dva rada je različit od nule i nije ispunjen gornji uvjet.

33. Potencijalna energija. Veza izmeñu sile i potencijalne energije. Potencijalna energija Ep u nekoj točki može se jednoznačno i korisno definirati
samo u slučaju konzervativnih sila. Poznavanjem sile sustava F možemo na sljedeći način izračunati potencijalnu energiju Ep :

⌠ Ep ( x) = − F ( x) dx ⌡

(33.1)

Ep ( x) se odnosi na jednodimenzionalan slučaj potencijalne energije. Vidimo da je lijeva strana jednakosti u gornjem izrazu zapravo negativan izraz za rad. Općenito,
F može ovisiti o položaju x i biti konstantna, a ovdje uzimamo najopćenitiji slučaj. Poznavanje potencijalne energije Ep ( x) omogućuje nam da izračunamo silu.

F ( x) = −

dEp ( x) dx

(33.2)

19

Centralnoj sili iznos ovisi samo o meñusobnom razmaku dvije čestice/dva naboja, a smjer joj je uvijek na njihovoj spojnici. Nisu sve centralne sile konzervativne, no gravitacijska i elektromagnetska sila jesu.

41

Primjer: gravitacijska potencijalna energija blizu površine Zemlje je Ep = mgh, odnosno mgy za bilo koju vrijednost y izmeñu 0 i h. Zanima nas izraz za gravitacijsku silu. Služimo se izrazom (33.2): Ep ( y ) = mgy F ( y) = − =− ⇒

dE p ( y ) dy

=

d (mgy ) = −mg dy

F ( y ) = −mg

Slično kao što smo našli vezu kinetičke energije i rada preko rad energija teorema, možemo naći vezu izmeñu potencijalne energije i rada. (31.6)
⌠


Ep (rB ) − Ep (rA ) = −∆Ep = W ( A → B) =  F (r ) dr ⌡ A→B

−∆Ep = ∆W

Jednadžba (33.2) je jednodimenzionalni odgovarajući izraz u tri dimenzije glasi ovako:

(33.3) slučaj

općenitog pravila,



∂E ∂E ∂E
F (r ) = − xˆ p − yˆ p − zˆ p = − grad Ep (r ) ∂x ∂y ∂z

a

(33.4)

Kažemo da je sila negativni gradijent potencijalne energije. Gradijent neke skalarne veličine definiran je kao vektor čiji je smjer jednak smjeru najvećeg prostornog porasta skalara, a njegov iznos mjeri brzinu te promjene. To je operator koji djeluje na funkciju i sadržava informacije o tome koje operacije treba napraviti na funkciji. Gradijent možemo ugrubo shvatiti kao neku vrstu 3D derivacije.

42

35. Skok s motkom. Film. Pretvorbe energije.

energija

Primjer pretvorbe energije različitih vrsta iz jednog oblika u drugi jest skok s motkom. Skakač u početku samo trči, za to vrijeme čitava njegove energija je kinetička i potječe od brzine koju razvija trčeći. Kad stavlja prednji kraj motke na tlo, savijanjem motke skuplja u njoj elastičnu potencijalnu energiju. Zatim se diže uvis. To radi tako da mu je ostao još znatan dio kinetičke energije, koja je sada pridružena vrtnji oko donjeg kraja motke. Iz kinetičke energije i el. energije motke skakač se prebacuje preko prečke. Njegova potencijalna energija sada potječe od sile teže i elastične potencijalne energije motke. U trenutku kada prelazi preko prečke njegova kinetička energija je vrlo mala (jer se giba sasvim polagano, dok je potencijalna energija sile teže velika.

Ek trčanja

Ep savijanja motke

potencijalna grav. energija vrtnja motke vrijeme

Graf 35.1. Pretvorbe energije skakača s motkom.

Pri skoku s motkom ukupna energija nije uvijek stalna zbog trenja (vanjskog ili mišićnog), a i zbog toga što skakač vrši rad dok savija motku. Taj rad uključuje unutarnji tjelesni rad koji nije uzet u obzir gibanjem skakača ili njegovim podizanjem.

43

36. Istraživanje sile i potencijalne energije iz ovisnosti o položaju. Granice gibanja. Gibanje je moguće u svakom području gdje je ukupna energija veća od potencijalne. Da li će biti gibanja i u kojem prostoru, ovisi o tome da li će biti brzine tj. kinetičke energije.

Ep ( x)

E F =0 F >0

F <0

F >0

x x0 x1 x2 Graf 36.1 Primjer jednodimenzionalnog slučaja potencijalne funkcije Ep(x)

Kinetička energija je uvijek pozitivna veličina, pa ako ukupna energija E koju tijelo ima nije veća od potencijalne energije, naprosto nema kinetičke energije i nema gibanja. Vidimo da su sljedeći izrazi uvjet za gibanje: E > Ep ili Ek > 0

(36.1)

Iz grafa 36.1 vidimo da je gibanje moguće u području od x0 do x2 , i za x > x2 . Potencijalnu energiju možemo derivirati po x da dobijemo silu. U području od x0 do x1 će postojati pozitivna sila (derivacija je manja od nule, ali sila je negativna derivacija ili negativni gradijent potencijalne energije pa će biti veća od nule), u području od x1 do x2 sila će biti negativna (tj. prema nazad), a u području od x2 nadalje, sila će opet biti pozitivna. Iz grafa vidimo i da će u području od x0 do x2 biti oscilatorno gibanje ili titranje čestice. Ako poznajemo masu čestice, ukupnu energiju E i izraz za Ep ( x) , možemo računati period titranja na sljedeći način: mv 2 + Ep ( x) = E = const. 2 2 ( E − Ep ( x) ) dx =v= dt m

x2

⌠ ⌠ T =  dt = 2  ⌡  0 ⌡ T

⇒

x0

dx 2 ( E − E p ( x) )

(36.2)

m

Treba uočiti da je period dvostruki gornji integral, jer se tijelo giba od x0 do x2 i nazad od x2 do x0 u jednom periodu.

44

Još napomenimo da su klasičnoj mehanici sve energije dozvoljene, ali kod kvantnih čestica koje su zarobljene u nekoj potencijalnoj energiji to nije tako. Postoje točno odreñene diskretne energije u kojima se čestica može naći. Primjerice, elektron u potencijalu harmoničkog oscilatora može imati samo sljedeće energije: E = ( 12 + n ) hf (36.3) gdje je n = 0,1, 2... itd., h Planckova konstanta20, a f frekvencija elektrona21. Za kamen na nekoj udaljenosti od površine Zemlje to nije tako i njegov spektar energija je kontinuiran. Ukupna energija kamena može biti bilo koji broj, za razliku od ukupne energije elektrona koja može poprimiti samo odreñene vrijednosti dane gornjim izrazom.

37. Unutarnja energija sustava čestica. Ukupna kinetička energija sustava čestica je ukupan zbroj kinetičkih energija svake pojedine čestice: mi vi 2 Ek = ∑ (37.1) 2 i Promotrit ćemo istu stvar iz sustava centra mase. Tamo vrijedi: ui = vi − vCM

⇒ vi = ui + vCM

(37.2)

pa možemo pisati Ek = ∑ i

mi vi 2 m (u + v ) 2 m (u 2 + 2ui vCM + vCM 2 ) = ∑ i i CM = ∑ i i = 2 2 2 i i

mi ui 2 mi vCM 2 =∑ + vCM ∑ mi ui + ∑ = Ek,CM + vCM ⋅ 0 + Ek,transl. 2 2 i i i ⇒

Ek = Ek,CM + Ek,transl.

(37.3)

U zadnjem koraku smo iskoristili činjenicu da je ukupna količina gibanja u sustavu centra mase nula, tj. da je ∑i mi ui = 0. Zadnji član dolazi zbog translacije centra mase, a prvi član zbog unutrašnjeg gibanja centra mase. Možemo to ilustrirati sa rojem komaraca, zadnji doprinos dolazi od translacije kompletnog roja komaraca, a prvi se odnosi na unutrašnje rojenje komaraca. Napomenimo još da je za slučaj izoliranog sustava brzina centra mase konstantna.

h = 6.626 ⋅10−34 Js U kvantnoj mehanici elektron ima svojstva čestice i svojstva vala i zato možemo govoriti o odreñenoj frekvenciji f koju elektron 'ima'. Ovo se zove de Broglievo načelo o dualnosti. 20 21

45

Pogledajmo sada što se dogaña sa ukupnom energijom sustava čestica: E = Ek + Ep =



= Ek,CM + Ek,transl. + Ep (r1 ,...rN )

(37.4)

Translacijsku kinetičku energiju možemo napisati kao: Ek,transl. =

2 pCM 2M

gdje se masa M odnosi na ukupnu masu svih čestica, tj. M ≡ ∑i mi . Slijedi da je E = Ek,CM +

2 pCM p2

+ Ep (r1 ,...rN ) = Eun + CM 2M 2M

U zadnjem koraku smo definirali unutrašnju energiju:

Eun ≡ Ek,CM + Ep (r1 ,...rN )

(37.5)

(37.6)

Unutrašnja energija sustava čestica je suma kinetičke energije koja dolazi zbog unutrašnjeg rojenja, te potencijalne energije koja dolazi zbog meñudjelovanja svih čestica. Kao što vidimo iz gornjeg izraza, na unutrašnju energiju ne utječe jednolika translacija sustava. Kada bismo umjesto ovih N čestica imali samo jednu česticu (zvali bi ju materijalna točka) unutrašnja energija bi joj bila jednaka nuli. Unutrašnja energija dakle ima smisla samo za sustave tijela. Može biti veća, manja ili jednaka nuli. Napišimo ponovno ukupnu energiju kao 2 pCM E = Eun + = Eun + Ek 2M

odnosno

E = ∑ ( Eun,i + Ek,i ) = const. i

⇒

∆Ek = −∆Eun

(37.7)

Ako je kinetička energija porasla, promjena unutrašnje energije je manja od nule unutrašnja energija se smanjuje. Takve procese zovemo endotermnima (sustav mora apsorbirati toplinu izvana). Ako je promjena unutrašnje energije veća od nule, proces je egzoterman (oslobaña se toplina). Ako je promjena unutrašnje energije nula, kinetička energija je konstantna, nema oslobañanja toplina – takav proces nazivamo elastičnim.

46

38. Brzina potrebna da tijelo zauvijek napusti Zemlju. Problem možemo riješiti integracijom jednadžbe: m

dv Mm = −G 2 dt r

ili energijski: mv 2 Mm =G 2 R

gdje je R polumjer Zemlje. Drugi način puno je brži i jednostavniji pa ćemo njega iskoristiti. v2 M 2GM =G ⇒ v= 2 R R Uvrštavanjem konstanti dobijemo da je najmanja brzina potrebna da tijelo zauvijek napusti Zemlju iznosi: 2GM II. kozmička brzina. v= = 11.2 km s R

47

Zakon očuvanja količine gibanja 39. Očuvanje količine gibanja. Izvod i pokusi. Zakon očuvanja količine gibanja posljedica je homogenosti prostora tj. invarijantnosti na translaciju u prostoru te vrijedi uvijek. Treći Newtonov zakon integrirajmo po vremenu: F12 = − F21

⌠ ⌠  F12 dt = − F21 dt ⌡ ⌡ ⌠ dp1 ⌠ dp dt = −  2 dt  ⌡ dt ⌡ dt p1 + p2 = const.

∑p

= const.

i

i

dpi

∑ F = ∑ dt , i

i

i

ako je derivacija dpi dt jednaka nuli pi je konstanta. Provjeravamo da li je doista ∑i Fi = 0. Primjenimo li treći Newtonov zakon vidjet ćemo da će se sve sile meñusobno poništiti:

∑F = F i

12

+ F13 + ⋯ + F21 + F23 + ⋯ + F31 + F32 + ⋯ = 0

i

Slijedi da je količina gibanja doista očuvana: N

∑p i =1

i

= const.

(39.1)

Pokusi. Dva mala kolica spojena su oprugom i niti. Kad prekinemo nit opruga se rasteže i svaka kolica dobivaju količinu gibanja u svom smjeru. Ako kolica nisu iste mase brže se giba onaj sa manjom masom. Top i čep: ispalimo čep iz malog topa, top otkliže prilikom pucnja u suprotnom smjeru od čepa.

48

40. Sudari i raspršenja čestica. Vrste i značajke. Raspršenja su procesi odvajanja jedne čestice na više njih koji se odvijaju u ograničenom dijelu prostora. Sudari se dogañaju u jednoj točki prostora. I kod raspršenja i kod sudara značajno je da početno i konačno stanje nije isto. Tijela koja sudjeluju u sudaru se i prije i poslije sudara gibaju slobodno. Sudari za razliku od raspršenja traju jako kratko (10−4 s za kruta tijela). Vrste sudara su sljedeće: 1) 2) 3) 4)

Čestice ostaju iste prije i poslije sudara. U sudaru nastaju nove čestice. Jedna čestica se raspada u dvije nove. Od nekoliko čestica nastane jedna.

Svaku česticu predstavljamo njenim vektorom količine gibanja. Newtonovi zakoni nam garantiraju da je ukupan impuls uvijek očuvan (vidjeti izvod zakona očuvanja količine gibanja) i to neovisno o tome da li se kinetička energija mijenja. Zakoni očuvanja energije i količine gibanja su dovoljni za opisivanje početnog i konačnog stanja, ali samo kod centralnih sudara. Sudare prema količini osloboñene topline dijelimo na elastične i neelastične, premda u stvarnosti ni jedan sudar nije potpuno elastičan ili neelastičan. Kakav je sudar odreñujemo mjereći omjer relativnih brzina prije i nakon sudara. Taj broj nazivamo koeficijentom restitucije, tj. odbijanja i on može biti bilo koji broj izmeñu nula i jedan. Ako je sudar savršeno elastičan r = 1, ako je savršeno neelastičan r = 0. relativna brzina nakon sudara v2′ − v1′ (40.1) r= = relativna brzina prije sudara v1 − v2 Kod necentralnih sudara zakoni očuvanja nam nisu dovoljni. Treba raspisati sile u svim smjerovima, jer nakon necentralnog sudara se čestice ne gibaju na istom pravcu. Sudare često opisujemo u praktičnijem sustavu centra mase.

49

41. Savršeno elastični centralni sudar dviju čestica iste mase i jedna miruje. Pokusi. Primjenjujemo zakone očuvanja energije i količine gibanja: m1v12 m2 v22 m1v1′2 m1v2′ 2 + = + 2 2 2 2 m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m1v2′

v2 = 0

⇒

v2 = 0

⇒

v12 = v1′2 + v2′ 2 v1 = v1′ + v2′

(41.1) (41.2)

Riješimo sustav dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice i dobijemo v1′ = 0

i

v2′ = v1

Druga čestica se odbije brzinom kojom je pristigla prva čestica, a prva se zaustavila nakon što je predala svoju energiju drugoj. Da su kuglice u pitanju ne bi se predala sva energija zbog kotrljanja pa prva kuglica ne bi stala u potpunosti.

42. Očuvanje količine gibanja i homogenost prostora. Potencijalna energija je funkcija koja ovisi samo o apsolutnim razlikama vektora položaja izmeñu čestica u sustavu. Zanima nas što
će se dogoditi sa potencijalnom energijom ako translatiramo cijeli sustav za δR ≠ 0. Očekujemo da ako je prostor homogen, udaljenosti unutar čestica se ne mijenjaju pa potencijalna energija ostaje ista.





Ep,1 (r1 , r2 ,…) = Ep,2 (r1 + δR, r2 + δR,…) (42.1) Kao što smo rekli u odgovoru na pitanje 33, veza izmeñu rada i potencijalne energije je −∆Ep = ∆W = Ep,2 − Ep,1 (42.2) pa slijedi





∆W = Ep,2 (r1 + δR, r2 + δR,…) − Ep,1 (r1 , r2 ,…) = 0 (42.3)
Ako je rad jednak nuli, a pomak δR je različit od nule, onda preostaje Fi = 0:

∆W = 0 ⇒ ∑ Fi δR = 0 i

dp1 dp2 d

=− ⇒ ( p1 + p2 ) = 0 dt dt dt


(42.4) ⇒ p1 + p2 = const.

50

43. Savršeno neelastični sudar dviju čestica iste mase: jedna miruje. Pokusi. Zakon očuvanja energije: m1v12 m2 v22 (m1 + m2 )v 2 + = +Q 2 2 2

(43.1)

gdje je Q ≠ 0 jer je sudar neelastičan. Čestice će se slijepiti i poslije sudara se gibati zajedno, polovicom brzine koju je imala prva čestica (druga je mirovala pa v2 = 0 ). Zakon očuvanja količine gibanja: m v + m2v2 (43.2) m1v1 + m2v2 = (m1 + m1 )v ⇒ v = 1 1 m1 + m2 m1 = m2 ≡ m; v2 = 0 ⇒

v=

v1 2

(43.3)

Gibaju se slijepljene brzinom upola manjom od početne brzine prve čestice. Ukupna energija poslije ovakvog sudara bit će manja jer se unutrašnja energija povećala. Smanjenje unutrašnje energije ovisi o masama. ∆Ek = Ek,prije − Ek,poslije ∆Ek =

m1v12 (m1 + m2 )v 2 (43.3) m1v12 − = 2 2 4

(43.4)

Ako izračunamo omjer kinetičkih energija vidjet ćemo da točno pola Ek odlazi na toplinu, a druga polovina u promjenu unutrašnje energije.

Ek,2 Ek,1

(m1v1 + m2v2 ) 2 (m v ) 2 1 1 2(m1 + m2 ) m =1 4 = = 2 2 m1v1 + m2v2 m1v12 2 2 2

(43.5)

Pokusi. Sudar kuglica iste mase. Bilijarske kugle u žlijebu. Niz kuglica (sudaraju se jedna s drugom). Mariotteovo njihalo (duplo matematičko njihalo): jedna kuglica ostaje mirovati, a druga se odbije brzinom kojom je ova pristigla. Pokazali smo da je koeficijent restitucije omjer kvadrata visine odbijanja i početne visine. Dvije kuglice sa namazom plastelina – gotovo savršen neelastični sudar.

51

44. Sustav centra mase (SCM). Brzina i ubrzanje centra mase. Prvi zanimljivi teorem o gibanju krutog tijela možemo demonstrirati ako bacimo objekt nepravilnog oblika pod nekim kutom u odnosu na površinu Zemlje. Znamo da se pri kosom hicu tijelo treba gibati po paraboli, ali ukoliko ono rotira i izvodi piruete, jedina točka za koju možemo biti sigurni da će se uvijek gibati po paraboli jest točka koju nazivamo centrom mase. Naš prvi teorem dakle tvrdi da u svakom tijelu postoji nekakva težinski usrednjena točka koja nije nužno unutar tog tijela, čiji je položaj moguće matematički odrediti, a njeno ubrzanje odreñeno je isključivo djelovanjem vanjske sile. Ovo nazivamo teoremom o centru mase. Drugo svojstvo centra mase odnosi se na ravnotežu krutog tijela. Ukoliko govorimo o jednolikom gravitacijskom polju, možemo se zapitati u kojoj točki treba primijeniti silu kojom ćemo poduprijeti tijelo da ne rotira, a odgovor je naravno u centru mase. Gibanje centra mase odreñeno je ukupnom vanjskom silom koja djeluje na tijelo. Za sustav centra mase karakteristično je sljedeće: giba se kao da je u njemu skupljena sva masa sustava na koju djeluje rezultanta svih vanjskih sila. Brzina centra mase je konstantna u izoliranom sustavu, odnosno ako nema vanjskih sila. Centar mase sa sustav od N čestica definiramo (s obzirom na neko nepomično ishodište) kao:
1 N
(44.1) RCM ≡ ∑ rn mn M n =1 To je položaj usrednjen s obzirom na masu cijelog sustava, M ≡ ∑ nN=1 mn . Deriviranjem gornjeg izraza po vremenu dobivamo brzinu centra mase:
ɺ 1 RCM = M

N




∑ rɺ m n =1

n

(44.2)

n


gdje je brojnik ∑ nN=1 rɺn mn zapravo ukupna količina
gibanja sustava. Ako nema vanjskih sila količina gibanja je konstantna pa je i RɺCM = const. odnosno i brzina centra mase je konstantna. Ubrzanje centra mase dobijemo ponovo derivacijom gornjeg izraza. Ubrzanje je omjer vektorske sume vanjskih sila i ukupne mase sustava:

1 ɺɺ
RCM = M

N


1 ɺɺ rn mn = ∑ M n =1

N




∑F n =1

n

N

Fvanjska = ∑ mn aCM

=

1
Fvanjska M (44.3)

n =1

I iz zadnjeg izraza takoñer se vidi da se centar mase giba kao da je u njemu skupljena sva masa sustava na koju djeluje rezultanta svih vanjskih sila.

52

45. Karakteristike sudara u SCM i LS. Laboratorijski sustav (LS) je sustav u kojem mi promatramo i opažamo, a sustav centra mase (SCM) je sustav u kojem centar mase miruje. Ima neka dobra svojstva koja nam koriste pri opisima gibanja. Primjerice ako u LS čestica mase m1
i brzine v1 nalijeće na mirujuću m2 , promatrajući iz sustava centra mase te dvije

čestice izgledat će kao da se jedna drugoj približavaju brzinama u1 i u2 . U sustavu centra mase vrijedi da su količine gibanje dvije čestice isti samo suprotnih orijentacija:



p1 + p2 = 0 ⇒ p1 = − p2



p1′ + p2′ = 0 ⇒ p1′ = − p2′ Vidimo da jedini način da ukupna količina gibanja bude jednak nuli jest da se čestice nakon sudara i dalje gibaju po istom pravcu (dolazi samo do zakretanja pravca gibanja). Ako je sudar elastičan, iznosi brzina i prije i poslije sudara ostaju isti. U laboratorijskom sustavu vrijedi očuvanje ukupne količine gibanja prije i poslije sudara, ali ne nužno da je impuls obje čestice prije i poslije sudara jednak nuli.
p′1


p1

θ
p2
p2′

Slika 45.1: Količina gibanja u sustavu centra mase

Pokusi. Pokazali smo da je tijelo u ravnoteži ako ga podupremo u centru mase, i da ako šipku postrance lupimo točno u CM ona će se gibati translatorno.

53

46. Veza izmeñu kuta sudara u LS i SCM.


v1′

α


vCM


u1′ θ


u1

Slika 46.1: Kut sudara u LS i SCM.


Čestica mase m1 i brzine v1 nalijeće na česticu mase m2 koja miruje. Promatrajući iz sustava centra mase dvije čestice se jedna drugoj približavaju brzinama

u1 i u2 :


u1 = v1 − vCM (46.1)



u2 = v2 − vCM = −vCM

Po definiciji je brzina centra mase


m1v1 + m2v2 m1v1
vCM = = m1 + m2 m1 + m2

(46.2)

Pogledajmo sada sliku 46.1. Treba naći vezu kuta α s kutem θ. tan α =

u1′ sin θ sin α v1′ sin α = = cos α v1′ cos α vCM + u ′ cos θ

(46.3)

Sudar je elastičan pa je u1′ = u1: tan α =

u1 sin θ sin θ = v vCM + u cos θ CM + cos θ u1

Ranije smo dobili koliko iznosi brzina centra mase, pa slijedi

m1v1 m2v1



u1 = v1 − vCM = v1 − = m1 + m2 m1 + m2

(46.4)

(46.5)

Računamo omjer vCM u1 :

m1v1 vCM m1 + m2 m1 = = , m2v1 u1 m2 m1 + m2

54

(46.6)

što ako uvrstimo u (46.4) daje i konačan rezultat: tan α =

sin θ

(46.7)

m1 + cos θ m2

Ovisno o omjeru m1 m2 razlikujemo 3 slučaja: tan α

tan α

tan α

θ

π θ0 2

m1 < m2

π

θ

π 2

m1 = m2

π

θ

π 2

θ0 π

m1 > m2

1) Za m1 < m2 izraz (46.7) teži u beskonačnost za θ = θ0 = arccos(− m1 m2 ), a α može biti bilo koji kut izmeñu θ i π. 2) Za m1 = m2 izraz teži u beskonačnost za θ = π. Mogući su svi kutovi α izmeñu 0 i π 2. 3) Za m1 > m2 funkcija ne teži u beskonačnost, kut α poprima vrijednosti izmeñu 0 i arcsin(m1 m2 ) < π 2. Ako želimo doznati najveći mogući iznos kuta α to možemo naći grafički iz (46.7) ili izračunati maksimum tan α kao funkcije od θ. Odmah vidimo da za m1 > m2 nazivnik nikad ne može iščeznuti, pa zato maksimalni kut α uvijek mora biti manji od π 2. Ako je m1 = m2 onda je maksimalni α točno jednak π 2. Za m1 < m2 kut α može imati bilo koji iznos.

55

47. Veza izmeñu količina gibanja i kinetičkih energija dviju čestica u SCM i LS. Brzinu i masu prvo mjerimo u laboratorijskom sustavu i tek onda preračunavamo u sustav centra mase. Količina gibanja dvije čestice u laboratorijskom



sustavu neka je p1 = m1v1 i p2 = m2v2 . U sustavu centra mase:



p1 = m1 (v1 − vCM ) = m1u1 (47.1)



p2 = m2 (v2 − vCM ) = m2u2

Ako u ove izraze za količinu gibanja uvrstimo izraz za brzinu centra mase22 lako pokažemo da su oni doista jednaki po iznosu i suprotnog smjera. U SCM imamo dva važna pojma: reducirana masa i relativna brzina čestica. Reducirana masa je definirana kao harmonijska sredina masa dvije čestice, ona ne predstavlja ni jednu od čestica, nego fiktivnu česticu sa masom µ. 1 1 1 m1 + m2 ≡ + = µ m1 m2 m1m2

⇒

µ=

m1m2 m1 + m2

(47.2)



Relativna brzina je jednostavno razlika brzina v1 i v2 :


rɺ = v1 − v2

(47.3)

Ukupna količina gibanja u SCM ovisi upravo o te dvije veličine.


p1 = µ (v1 − v2 )


p2 = µ(v2 − v1 )

(47.4)



Do gornjih izraza dolazimo tako da u p1 i p2 iz (47.1) uvrstimo izraz za brzinu centra mase i iskoristimo definiciju reducirane mase. Što se tiče kinetičke energije u LS, nju znamo izračunati: Ek = Ek,1 + Ek,2 =

p12 p2 + 2 2m1 2m2

(47.5)



U SCM samo iskoristimo da je p1 = − p2 : Ek,CM =

22

56



m v + m2 v2
vCM = 1 1 m1 + m2

p2 p2 p2  1 1  p2 1 + = + = 2m1 2m2 2  m1 m2  2 µ

⇒



p = µrɺ

(47.6)

Ek,CM =

1

2 µ (v1 − v2 ) 2

(47.7)

′ (kinetička energija u SCM nakon sudara) jednaka nuli Napomenimo još da je Ek,CM ako je sudar savršeno neelastičan jer je relativna brzina nakon sudara jednaka nuli.

48. Endo i egzotermne reakcije. Neelastični sudar dva tijela: promjena unutrašnje energije. ∆Ek = −∆Eun

(48.1)

Znamo da ako je sudar neelastičan nema promjene unutrašnje energije, a kinetička energija je konstantna (očuvana). Gubitak na toplinu je nula, Q = 0. Ako imamo neelastičan sudar, postoji gubitak na toplinu tj. kinetička energija nije ista prije i poslije sudara nego postoji promjena unutrašnje energije prema relaciji (48.1). U slučaju da je promjena unutrašnje energije različita od nule, imamo mogućnost za dvije vrste reakcija: endotermne i egzotermne reakcije. Reakcija je endotermna ako je kinetička energija porasla odnosno ako se unutrašnja energija smanjila. U tom slučaju je Q < 0. Ako je promjena unutrašnje energije veća od nule, reakcija je egzotermna i toplina se oslobaña, Q > 0. Ako je promjena unutrašnje energije točno jednaka nuli radi se o elastičnom sudaru. Napišimo zakone očuvanja energije i količine gibanja za neelastični sudar dvije čestice: m1v12 m2 v22 (m1 + m2 )v 2 + = +Q (48.2) 2 2 2


(48.3) m1v1 + m2v2 = (m1 + m1 )v Čestice se poslije sudara gibaju brzinom




m1v1 + m2 v2 v= . m1 + m2

(48.4)

Ako izračunamo razliku kinetičkih energija uzevši u obzir gornji izraz za konačnu brzinu, dobit ćemo da ona iznosi ∆Ek = Ek,prije − Ek,poslije =

1

2 µ (v1 − v2 ) 2

(48.5)

što znači da je promjena unutrašnje energije 1

∆Eun = Eun,prije − Eun,poslije = − µ (v1 − v2 ) 2 2

(48.6)

Kinetička energija poslije ovakvog sudara bit će manja jer se unutrašnja energija povećala. 57

49. Potisak i konačna brzina rakete. Potisak mlaznog motora. Pri opisivanju gibanja rakete prije svega u drugom Newtonovom zakonu moramo uzeti u obzir da se radi o tijelu promjenjive mase tj. m = m(t ). Zbog toga što je masa funkcija vremena i akceleracija će biti funkcija vremena. Raketni pogon zasniva se na očuvanju količine gibanja. Raketa mijenja brzinu izbacivanjem mase u obliku goriva (i odbacuje svoje dijelove). Treba imati na umu da se omjer izbačene mase i mase rakete stalno mijenja jer je goriva sve manje i da će jednaka količina izbačenog plina više ubrzati raketu na kraju nego na samom početku gibanja. Ukupna količina gibanja rakete ostaje očuvana. Označit ćemo sljedeće: m mg dmg
v
dv
u0 αg

– masa rakete, – masa goriva, – masa djelića goriva koje je izbačeno, – brzina rakete, – promjena brzine rakete, – brzina kojom se izbacuje gorivo, – promjena mase rakete u vremenu (zbog izbacivanja goriva).

i promatrati trenutak t u kojem raketa ima masu m i brzinu v (količina gibanja prije) i t + dt u kojem ima masu m − dmg i brzinu v + dv (količina gibanja poslije). Tražimo konačnu brzinu rakete.



Iz zakona očuvanja količine gibanja, p = p′ ⇒ mv = m′v′, slijedi:





mv = (m − dmg )(v + dv ) − dmg ( u0 − (v + dv ) ) =






= m(v + dv ) − dmg (v + dv ) + dmg (v + dv ) − dmgu0 =


= mv + mdv − dmg u0

mdv = dmg u0 (49.1) Došli smo do jednadžbe gibanja: m


dv dmg
u0 = dt dt

(49.2)

gdje je F = m dv dt sila potiska i proporcionalna je sa αg ≡ dmg dt . Sila potiska će biti konstantna ako je αg konstantna. Vratimo se na izraz (49.1) i integrirajmo ga za konačnu brzinu rakete. Budući da se masa rakete smanjuje kako se gorivo izbacuje: dm g = − dm (49.3)

58

(49.1) postaje:



mdv = −u0 dm

⌠  ⌡



dm dv = −u0 m
vk

Mk

vp

Mp


⌠ dm ⌠
 dv = −u0  ⌡ ⌡ m



vk − vp = u0 (ln m)

Mk

= Mp


= u0 (ln M k − ln M p ). Došli smo do tzv. jednadžbe Ciolkovskog: Mp


vk − vp = u0 ln . M

(49.4)

Uvrstimo početne uvjete vp = 0 i M p = M 0 i dobijemo izraz za konačnu brzinu: M0 . Mk

(49.5)

M0 = e−vk u0 . Mk

(49.6)

vk = u0 ln Omjer početne i konačne mase rakete:

Potisak mlaznog motora. Za razliku od rakete, mlazni motor usisava zrak koji koristi za sagorijevanje goriva te ga zajedno s gorivom izbacuje van – potrebno je uvesti još jednu veličinu, brzinu usisavanja (i izbacivanja) zraka: αz ≡ dmz dt . Sila potiska tada je jednaka



Fpot = αg u0 + (u0 − v )αz (49.7)

Brzina izbacivanja zraka ovisi o visini, a na visinama većim od 30 km zrak je previše rijedak da bi mlazni motor mogao raditi. Optimalna visina za rad mlaznog motora jest do 10 km.

59

50. Očuvanje kutne količine gibanja. Veza sa momentom sile. Pokusi. Sačuvanje kutne količine gibanja poslijedica je izotropnosti prostora. Definicija vektora kutne količine gibanja:


L≡r×p (50.1)

L = rp sin ∡ (r , p )


Vektor L je okomit na ravninu u kojoj je paralelogram odreñen sa vektorima r i p. Mjerna jedinica je Js, ista kao za Planckovu konstantu. Dok za jednu česticu očuvanje količine gibanja nije imalo smisla, očuvanje kutne količine gibanja ima smisla i samo za jednu česticu. Pogledajmo vezu sa momentom sile.



dL d

dr

dp
dv


= (r × p ) = × p + r × = r ×m = r×F ≡ M dt dt dt dt dt


(50.2) M ≡ r ×F

M = rF sin ∡(r , F )

Moment
sile je definiran kao
vektorski umnožak sile F i kraka sile r . Odnosi


se prema F i r jednako kao i L prema r i p, tj. to je vektor koji je okomit na paralelogram definiran vektorima sile i kraka sile. Zakon očuvanja kutne količine gibanja: ako nema vanjskog momenta sile vektor L je konstantan/očuvan.

dL

= 0 ⇒ L = const. (50.3) M= dt Pokusi. Prandtlov stolac.

60

51. Moment centralne sile. Primjer. Centralna sila je sila koja je usmjerena po spojnici dva tijela, a iznos joj ovisi o njihovoj meñusobnoj udaljenosti. Moment centralne sile će biti nula, budući da je on definiran kao vektorski umnožak sile i kraka sile


(51.1) M ≡ r ×F

Ako je F centralna sila možemo pisati F = F rˆ pa slijedi: rˆ× rˆ = 0


M ≡ r × F = F ⋅ rˆ × r ⋅ rˆ = 0

(51.2)

Vidimo odmah da je za centralnu silu vektor kutne količine gibanja očuvan. Vrijedi sljedeća veza izmeñu momenta sile i vektora kutne količine gibanja:



dL d

dr

dp
dv


(51.3) = (r × p) = × p + r × = r ×m = r×F ≡ M dt dt dt dt dt
ako je M = 0 imamo
dL (51.4) =0 dt
iz čega slijedi da je L konstanta. Primjer centralne sile je gravitacijska sila izmeñu Zemlje i Sunca, djeluje isključivo po spojnici ova dva tijela, a iznos joj ovisi o njihovoj udaljenosti (opada sa kvadratom udaljenosti). Moment gravitacijske sile je nula pa je i kutna količina gibanja očuvana.

mm M = r × G S 2 Z rˆ = 0 r

(51.5)



QQ M = r × k 1 2 2 rˆ = 0 r

(51.6)


Činjenica da je L očuvana
znači da je putanja čestice ograničena na ravninu gibanja okomitu na vektor L, što i jest slučaj sa gibanjem Zemlje oko Sunca. Coulombova sila takoñer je primjer centralne sile, a za nju vrijedi


gdje je r udaljenost izmeñu dva naboja.

61

52. Momenti unutrašnjih sila u sustavu N čestica. Promatramo sustav od N čestica. Sila koja djeluje na i-tu česticu mase mi iznosi:


Fi = Fvanjska + ∑ Fij (52.1) j ≠i


Ako je sustav izoliran nema vanjskih sila odnosno Fvanjska = 0. Zadnji član odnosi se na unutarnje sile sustava koje djeluju meñu česticama. Uočimo da uvjet j ≠ i pri sumiranju znači da čestica sama na sebe ne djeluje nego sumiramo isključivo doprinose ostalih čestica. Ukupni moment sile


(52.2) M = ∑ (ri × Fi ) i

u slučaju izoliranog sustava iznosi




M = ∑ (ri × Fi ) = ∑∑ (ri × Fij ). i

i

(52.3)

j ≠i

Poslužimo se sada malim trikom:
1



M = ∑∑ (ri × Fij + rj × Fji ) 2 i j ≠i

Ako iskoristimo da je Fij = − Fji lako dobijemo sljedeće:
1


M = ∑∑ (ri − rj ) × Fij 2 i j ≠i

(52.4)

(52.5)


Sada pogledajmo zadnji izraz – da bi M bio jednak nuli, moramo učiniti dodatnu

pretpostavku: vektori unutarnjih sila i vektori ri − rj moraju biti kolinearni. Dakle ako su sile meñu česticama centralne odnosno djeluju po spojnici dviju čestica, moment sile će biti nula. 23
Zaključak je da unutarnje sile ne mogu promijeniti ukupan L sustava čestica.

23

tzv. četvrta jednadžba klasične mehanike (uz tri Newtonova zakona)

62

53. Drugi Keplerov zakon. Geometrijsko značenje sačuvanja kutne količine gibanja. Drugi Keplerov zakon možemo formulirati na ovaj način: spojnica Sunce – – planet u jednakim vremenskim intervalima prebriše jednake površine elipse po kojoj se planet giba oko Sunca. Sunce A2


r

A1



v, p planet

Slika 53.1: Drugi Keplerov zakon garantira da su površine jednake

Budući da je gravitacijska sila centralna sila, kutna količina gibanja je prilikom gibanja planeta oko Sunca konstantna:





(53.1) L = r × p = mr × v = const. Promotrimo sada infinitezimalni komadić površine iz slike 53.1:
dA ⊙


dr


r


1

dA = r × dr 2

dA 1
dr 1

= r× = r ×v dt 2 dt 2

(53.2)


Veličinu
dA dt nazivamo sektorskom brzinom. Ako sada usporedimo definiciju vektora L i izraz za sektorsku brzinu, vidimo da vrijedi sljedeća veza ovih dviju veličina:

dA L (53.3) = dt 2m
odnosno dA dt je konstantna veličina. Zbog drugog Keplerovog zakona planeti se brzo gibaju kada su blizu, a sporo kada su daleko od Sunca (mora biti tako ako su površine uvijek iste).

63

54. Kutna količina gibanja i kinetička energija tijela koje kruži. Osim gravitacijske sile, sila napetosti konca takoñer djeluje po spojnici dva tijela te je takoñer centralna sila. Promotrimo kruženje kuglice na niti. Kutna količina gibanja je očuvana.




dL (54.1) M = r × Trˆ = 0 = ⇒ L = const. dt Ako je kutna količina gibanja konstantna jednaka je za sve duljine niti r i za svaku brzinu kuglice v: L = mv0 r0 = mvr (54.2) pa je odnos izmeñu duljine niti i brzine kuglice: v0 r0 = vr ⇒

v0 r = . v r0

(54.3)

Izračunajmo sada kinetičku energiju kuglice. mv02 2 2 (54.3) mv02 r02 mv Ek = = 2 2r 2 Ek,0 =

(54.4) (54.5)

Kod kružnih gibanja moment impusa djeluje kao odbojna efektivna potencijalna energija – ako je moment impulsa u procesu očuvan, potrebno je izvršiti dodatni rad ukoliko želimo pomaknuti česticu sa r0 na r. Prema rad energija teoremu promjena rada jednaka je promjeni kinetičke energije. Da bismo skratili duljinu niti moramo obaviti sljedeći rad: 2  1 2   r0  ∆W = mv0    − 1 2  r  

64

(54.6)

55. Oblik galaksije. Efektivna potencijalna energija tijela koje kruži. Rekli smo da bi se svako vrteće tijelo pomaklo sa r0 na r mora se obaviti rad: ∆W =

2  1 2   r0  mv0    − 1 2  r  

(55.1)

Ovu energiju smatrat ćemo doprinosom potencijalnoj energiji - nazivamo ju centrifugalnom potencijalnom energijom. Na svaku zvijezdu u galaksiji djeluje gravitacijsko privlačenje od svih zvijezda koje su bliže centru vrtnje od nje i odbojna efektivna sila: Ep (r ) = −G E

M z v02 2

M galax. M z r

 r0    r

M v2  r  + z 0 0 2 r

2

(55.2)

2

rmin Ep −G

r

M galax. M z r

Graf 55.1: Oba člana potencijalne energije posebno i ukupna potencijalna energija

Prije ili kasnije će se zvijezda naći na najmanjoj mogućoj udaljenosti od centra vrtnje. Možemo ju dobiti iz uvjeta za minimum potencijalne energije: ∂Ep ∂r

=0 r = rmin

⇒

rmin =

v0 2 r0 2 GM galax.

(55.3)

Sažimanje galaksije u ravnini okomitoj na L je ograničeno jer centrifugalna potencijalna energija raste brzo kada r teži u 0, tj. potencijalna energija ima najmanju vrijednost za neki konačni r = rmin (graf 55.1). Galaksija se zato sažima tako da se iz kuglastog oblaka pretvara u „palačinku“ (kojoj ostane nešto manje kuglast središnji dio), odnosno sažima se u smjeru vektora L).24 24

Napomenimo još da trenutno ne postoji dovoljno dobra teorija koja bi objasnila oblike i gibanje galaksija. Brzine vrtnje pojedinih djelova galaksije dovele su do pretpostavke o tzv. „tamnoj materiji“, a ubrzano širenje svemira izmeñu galaksija pokušava se objasniti „tamnom energijom“.

65

56. Očuvanje kutne količine gibanja i izotropnost prostora. Izotropnost prostora znači da se objektu kojeg rotiramo neće zbog te rotacije promijeniti svojstva. Meñudjelovanja čestica unutar tog tijela ne mijenjaju se potencijalna energija ostaje ista. Pokazali smo ranije da se translacijom objekta u prostoru potencijalna energija takoñer ne mijenja, a sada ćemo se poslužiti sličnim dokazom za rotaciju u prostoru.


ri

θ δρ


Fi

δρ

Slika 13. Rotiramo sustav od N čestica i promatramo što se dogaña sa potencijalnom energijom meñu česticama

Sljedeće veličine se odnose na i-tu česticu.

Fδr = δW = −δE p

δr = rδρ π  δW = Fδr cos  − θ  = Fr sin θ δρ 2  Znamo da je moment sile M definiran kao

(56.1)

(56.2)

M = Fr sin θ

pa je

δW = M δρ.

(56.3)

Promjena potencijalne energije mora biti nula. Iz zadnjeg izraza slijedi M=

δE δW =− p δρ δρ

(56.4)

pa ako je E p ≠ E p ( ρ) odnosno ako potencijalna energija doista ne ovisi o zakretanju u prostoru (56.5) M = 0. odnosno L je konstantan. Izveli smo očuvanje kutne količine gibanja iz uvjeta da potencijalna energija ne ovisi o rotaciji ρ.

66