1. Princip povratne sprege - Ulazni (referentni) signal r(t) ili R(s). Izlazni signal je upravljana
(regulisana) promenljiva c(t) ili C(s). On se preko elementa povratne sprege H(s) transformise u signal povratne sprege z(t) ili Z(s) i vraca na ulaz sistema. Z(s) se u elementu za sumiranje algeb algebars arski ki sumira sumira sa refere referent ntnim nim ulazni ulaznim m signa signalom lom.. Rezult Rezultat at je signa signall gresk greskee (regu (regulac lacion ionoo odstupanje) E(s)=R(s)±Z(s). Element za sumiranje se naziva detektor (signala) greske. Postoje sistemi sa pozitivnom i negativnom povratnom spregom. Spregnuti prenos sistema je prenos celokupnog sistema sa povratnom spregom ciji je ulaz R(s) a izlaz C(s). Ws(s)=C(s)/R(s)=G(s)/(1 spregom ciji je ulaz R(s) a Wp(s)). Prenos po gresci je prenos celokupnog sistema sa povratnom spregom izlaz E(s). We(s)=E(s)/R(s)=1/(1±Wp(s)). Povratni prenos je prenos dela sistema ciji je ulaz E(s) a izlaz Z(s) tj. redna veza elemenata direktne i povratne grane. Wp(s)=Z(s)/E(s)=G(s)H(s). Imenilac spreg spregnu nutno tnogg preno prenosa sa sistem sistemaa se na naziv zivaa karakt karakteri eristi sticni cni po polin linom om D(s)=1 D(s)=1+Wp +Wp(s) (s)=1+ =1+G(s G(s)H( )H(s). s). Karakteristicna Karakteristicna jednacina se dobija kada se D(s) izjednaci sa 0. 2. Efekti povratne sprege - Povratna sprega moze biti pozitivna i negativna u zavisnosti od znaka kod det detekto ektora ra greske. greske. Funkcija Funkcija H(s) prilagod prilagodjava java izlaznu izlaznu velicinu velicinu ulaznoj ulaznoj i dop doprino rinosi si kvalitet kvalitetuu regulacij regulacijee u sistemu sistemu (kompenz (kompenzaciji aciji). ). Negativn Negativnaa povratn povratnaa sprega sprega umanjuje umanjuje nepo nepovolj voljne ne efekte efekte prenosa i kao takva je bitnija od pozitivne povratne sprege koja je retka u prirodi. 3. Podele sistema automatskog upravljanja (SAU) - SAU se moze klasifikovati po razlicitim kriterijumima (po principu delovanja, karakteru signala, matematickom modelu, vrsti energije…). Prema obliku matematickog modela dele se na linearne i nelinearne i opisuju se linearnim ili nelinearnim diferencijalnim i/ili algebarskim jednacinama. Prema karakteru signala svrstavamo ih u kontinualne kontinualne i diskretne uz mogucu kombinaciju. Diskretizacija se moze izvrsiti po vremenu (impulsni SAU), amplitudi (relejni SAU), kombinovano (digitalni SAU). U zavisnosti od koriscenja energije SAU moze biti elektricni, hidraulicni, pneumatski i kombinovani. Svi ovi sistemi se mogu svrstati u jednu od 4 klase: sistem sa povratnom spregom, sistem bez povratne sprege, kombinovani kombinovani sistemi i samopodesavajuci sistemi (sa ili bez povratne sprege). U zavisnosti od broja regulisanih velicina dele se na monovarijabilne (regulise se samo jedna velicina) i multivarijabilne (regulisu se 2 ili vise velicine). Multivarijabilni SAU se dele na raspregnute (svaki ulaz deluje na samo svoj izlaz) i spregnuti (postoje unakrsne sprege). 4. Osnovni Osnovni principi principi upravljanja upravljanja - Delovanjem signala na ulazu posmatramo izlaz. Tipicni signali pomocu kojih se predstavljaju realni sistemi su Dirakov, Hevisajdov i harmonijski. Kretanje sistema je resavanje unutar sistema pod dejstvom spoljasnjih signala a dobija se izlaz (odziv). Normalni odziv je kad su uneti pocetni uslovi. 5. Matematicki model sistema - Je skup diferencijalnih i algebarskih jednacina koje sa vecim ili manjim man jim stepenom stepenom aproksima aproksimacije cije opisuje opisuje pona ponasanj sanjaa sistema. sistema. Matemati Matematicki cki mod model el se dob dobija ija na osnovu sagledavanja i izucavanja fizickih procesa koji se odvijaju u posmatranom sistemu ili na osnovu eksperimentalnih podataka. Neka je dati element opisan matematickim modelom u obliku y=f(u,t) gde je u(t) ulazni signal. Delovanje ulaznog signala dovodi do odvijanja nekog fizickog procesa u sistemu koja se manifestuje kao neka fizicka velicina y(t), odnosno izlazni signal. Matematicki model odslikava funkcijsku zavisnost izmedju ulaznog i izlaznog signala u eksplicitnom ili implicitnom obliku. Graficki prikaz matematickog modela moze biti u obliku blok dijagrama ili u obliku grafa toka signala. Kod blok dijagrama signal se oznacava strelicom a kod grafa kruzicem (cvorom), a funkcionalna zavisnost u obliku pravougaonika kod blok dijagrama odnosno linijskim segmentom sa strelicom kod grafa. U slucaju da sistem ima vise ulaznih i vise izlaznih signala (vektorski slucaj) matematicki model se zapisuje y=f(u,t). Matematicki model se deli na linearni i nelinearni. Kad se radi o linearnim sistemima sa jednim ulazom i izlazom u teoriji SAU matematicki modeli sistema se prikazuju ne u vremenskom, vec u kompleksnom domenu. Prelaz se vrsi
Laplasovom transformacijom. Tako ralacija y(t)=f(u,t) u kompleksnom domenu je Y(s)=F(u(s)) gde je s=σ+jω. Ako je linearni sistem opisan diferencijalnom jednacinom a nyn+an-1yn-1+…+a1y+a0=bmum+ …+b1u+b0 primenom Laplasove transformacije za nulte pocetne uslove, sistem se svodi na: (Σaisi)Y(s)=(Σbysy)u(s) koja se moze napisati u obliku: Y(s)/u(s)=G(s)=B(s)/A(s) 6. Medjusobna veza elemnata u sistemu: Moguce veze elemenata su: redna, paralelna i veza sa povratnom spregom. Redna veza: Y i=Wi(s)ui(s); ui(s)=Yi-1(s), gde je Y izlazni, a u ulazni signal. Yn(s)=ПWi(s)u(s)=W(s)u(s). W(s)=Y(s)/u(s)=ПW i(s). Paralelna veza: Y(s)=ΣWi(s)u(s)=W(s)u(s). W(s)=Y(s)/u(s)=ΣW i(s). Veza sa povratnom spregom: Kao rezultat povratne sprege dobijamo signal greske E(s)=R(s)±Z(s). Deo sistema izmedju detektora greske i izlaza naziva se direktna grana, u skladu s tim razlikujemo prenos direktne grane G(s) i prenos povratne grane H(s). Kada je H(s)=1, to je sistem sa jedinicnom povratnom spregom. Povratni prenos Wp(s)=G(s)H(s). 7. Algebra blok-dijagrama: je skup postupaka za transformaciju slozenog sistema kako bi se sveo na osnovnu strukturu, odn. nalazenja njegovih karakteristicnih funkcija. Tri osnovna postupka transformacije slozenog sistema su: transformacija redne sprege (W ek(s)=W1(s)W2(s)); transformacija paralelne sprege (W ek(s)=W1(s)±W2(s)); transformacija povratne sprege (W ek(s)= W1(s)/(1 W1(s)W2(s))). Nalazenje funkcija povratnog ili spregnutog prenosa moze se vrsiti na osnovu sistema algebarskih jednacina, napisanih za pojedinacne podsisteme slozenog sistema. Zato postupak transformacije strukturnih blok-sema se pokazao prakticnijim. 8. Graf toka signala : Graf je jedan od postupaka za transformaciju slozenog sistema na
osnovnu strukturu. U slozenim slucajevima primena algebre grafa toka signala daje jednostavnija resenja nego algebra strukturnih blok-sema. Vazni pojmovi su: izvor (cvor iz koga iskljucivo polaze grane); ponor (cvor u kome se grane iskljucivo zavrsavaju); putanja (lanac u istom smeru orijentisanih grana izmedju bilo koja dva cvora); direktna putanja (putanja duz koje se nijedna grana ne ponavlja); zatvorena putanja (kontura – putanja koja izvire i ponire u istom cvoru i duz koje se nijedna grana ne ponavlja); sopstvena zatvorena putanja (zatvorena putanja od samo jedne grane).Grane (putanje) se kvantifikuju pojacanjem. Pojacanje zatovrenih putanja naziva se kruzno pojacanje. Pojacanje putanja se dobija proizvodom pojacanja grana te putanje. Mejsonovo pravilo za odredjivanje funkcije prenosa izmedju bilo kog izvora i bilo kog ponora: W(s)=(Σp di(s)Δ i(s))/Δ(s). pdi(s) je pojacanje i-te direktne putanje, Δ(s) je determinanta grafa koja se odredjuje: Δ(s)=1ΣP j+ΣPiP j-ΣPiP jPk+… P j je kruzno pojacanje (kontura); ΣP iP j je proizvod kruznih pojacanja od dve konture koje se ne dodiruju; ΣP iP jPk je proizvod kruznih pojacanja od tri konture koje se ne dodiruju. Δi(s) je pridruzena determinanta putu p i koje se odredjuje po istoj formuli kao Δ(s), ne uzimajuci u obzir konture koje dodiruju p i. 9. Metoda prostora stanja : Sistem sa vise ulaza i izlaza se predstavlja sistemom diferencijalnih jednacina ili matricom funkcije prenosa ciji elementi povezuju svaki ulaz sa svakim izlazom. Zbog nepogodnosti ovakvog predstavljanja, povoljnije je da se matematicki model prevede u Kosijevu normalnu formu, koja predstavlja sistem od n diferencijalnih jednacina prvod reda oblika: x(t)=f(x,u,t), koje se nazivaju diferencijalne jednacine stanja sistema.(x–vektor stanja sistema, u– vektor ulaza sistema i f–vektor funkcija). Ako je f linearna i stacionarna, onda se svodi na x=Ax(t) +Bu(t), gde su A nxn matrica stanja sistema, B nxr matrica ulaza. Algebarska jednacina izlaza: c(t)=Dx(t)+Hu(t), gde su D mxn matrica izlaza sistema, a H mxr matrica direktne sprege. Kada su upravljanje i izlaz istovremeno vektori, tada imamo multivarijabilni SAU, a ako su skalari imamo
monovarijabilni SAU. Ukoliko na sistem deluju velicine koje ne mozemo da kontrolisemo pravilniji izraz je x(t)=Ax(t)+Bu(t)+p(t), gde je p(t) vektor poremecaja. 10. Transformacije matematickih modela : Cesto je potrebno da se iz modela sistema datog u prostoru stanja predje na model sistema dat u obliku funkcije prenosa. Ako na relaciju x(t)=Ax(t)+Bu(t) primenimo Laplasove transformacije dobije se: sX(s)=AX(s)+BU(s) => X(s)=(sI-A) 1 BU(s). Ako ovu jednacinu zamenimo u C(s)=DX(s)+HU(s), dobija se C(s)=[D(sI-A) -1B+H]U(s). Ako sistem ima jedan ulaz i jedan izlaz ova jednacina se moze zapisati u obliku funkcije prenosa: G(s)=C(s)/U(s)=d[sI-A]-1b+h. 12. Odredjivanje odziva na osnovu funkcije prenosa – Ako je data funkcija prenosa sistema W(s) i ako je poznat pobudni signal u(t) moze se odrediti odziv sitema u kompleksnom domenu. C(s)=W(s)U(s). Najcesce je potreban odziv sistema u vremenskom domenu i on se prevodi iz kompleksnog pomocu inverzne Laplasove transformacije: C(t)=L -1(W(s)U(s)). Pri cemu je funkcija prenosa definisana samo za nulte pocetne uslove. Odziv sistema pri nultim pocetnim uslovima naziva se normalni odziv. U vremenskom domenu javljaju se sledeci odzivi: normalni impulsni, normalni odskocni, normalni frekvencijski i normalni nagibni odziv. Normalni impulsni odziv(w(t)): Pobuda sistema u(t) je Dirakova funkcija δ(t) cija je matematicka definicija δ(t)=0 za t≠0 i δ(t)=∞ za t=0. ∫ δ(t)dt=1. Normalni impulsni odziv u kompleksnom domenu na ovu pobudu se dobija Laplasoom transformacijom: U(s)= δ(s)=∫ δ(t)e -stdt=1; C(s)=W(s) δ(s)=W(s), a inverznom Laplasovom transformacijom se dobija normalni impulsni odziv u vremenskom domenu: c(t)=L 1 [C(s)]=L-1[W(s)]. Da bi se razlikovao njemu se dodeljuje oznaka c(t)=W(t) i naziva se tezinska funkcija. Normalni odskocni odziv(j(t)): Kao pobudni signal koristi se Hevisajdov signal h(t)=0 za t<0 i h(t)=1 za t≥0. Normalni odskocni odziv na ovu pobudu se dobija Laplasovom transformacijom u(s)=h(s)= ∫h(t)e-stdt-∫e-stdt=-1/s∫exdx=1/s. C(s)=W(s)U(s)=W(s)h(s)=W(s)(1/s). U vremenskom domenu se dobija inverznom Laplasovom transformacijom: c(t)=L -1[C(s)]=∫ω(τ)dτ. Normalni nagibni odziv(n(t)): Nagibni signal je definisan sa r(t)=0 za t<0 i r(t)=t za t≥0. Normalni nagibni odziv u kompleksnom domenu se dobija Laplasovom transformacijom L[r(t)]=1/s 2=> U(s)=r(s)=1/s2; C(s)=W(s)U(s)=W(s)r(s)=W(s)/s2. Inverznom Laplasovom transformacijom se dobija normalni nagibni odziv u vremenskom domenu c(s)=L -1[C(s)]=∫j(τ)dτ. 13. Normalni odziv sistema na proizvoljan signal pobude - Se odredjuje pomocu konvolucionog integrala c(t)=∫ω(τ)u(t-τ)dτ=∫ω(t-τ)u(τ)dτ. 14. Normalni frekvencijski odziv sistema- Pobuda je signal oblika u(t)=V 1e jωt, tada je odziv sistema c(t)=∫ω(τ)V1e jω(t-τ)dτ. Ako su amplituda i frekvencija konstantne onda je c(t)=V 2e j(ωt-φ). Izjednacavanjem ove dve jednacine i stavljajuci da integral ide od 0 do ∞, dobija se: V 2e jωte jφ =∫ω(τ)V1e jω(t-τ)dτ. Odatle sledi: V 2e-jφ=V1∫ω(τ)e-jωτdτ. Moze se primetiti da integral u poslednjem izrazu predstavlja Laplsaov integral funkcije ω(τ), pa je W(jω)=(V 2/V1)e-jφ. Odavde sledi da je V 2/V1=| W(jω)| i φ=argW(jω). W(jω) je frekvencijska funkcija sistema (kompleksni koeficijent pojacanja), | W(jω)| je amplitudno frekvencijska karakteristika (AFK), φ je fazno frekvencijska karakteristika. 15. Bodeovi dijagrami elemenata sistema - Osnovna pogodnost Bodeovih dijagrama se odnosi na AFK u opstem slucaju funkcija prenosa se moze napisati u dva razlicita oblika. Prvi oblik W(s)=(N(s)/P(s))e-sτ=(Σb js j/Σaisi)e-sτ, m≤n. Drugi oblik: 2 2 2 2 2 -sτ W(s)=k(П(1+sT j)П(1+2ζ kTks+s Tk )/s П(1+sTi)П(1+2ζvTvs+s Tv ))e , m≤n. Gde je τ transportno kasnjenje, k je Bodeovo pojacanje (k=b 0/a0), a r stepen astatizma sistema. Matematicki izraz za konstrukciju Bodeofih dijagrama za AFK je L(ω)=20 log|W(jω)| [dB]. 16. Nabrojati i opisati osnovne elemente linearnih sistema - Proporcionalni (pojacavacki) -
funkcija prenosa k; integracioni –funkcija prenosa 1/s; diferencijalni - funkcija prenosa s; inercijalni
(aperiodicni) I reda - funkcija prenosa (1+sT) -1; predikcioni I reda - funkcija prenosa 1+sT; oscilatorni II reda - funkcija prenosa (1+2ζTs+s 2T2)-1; predikcioni (diferencijalni) II reda - funkcija prenosa (1+2ζTs+s2T2); element transportnog (cistog) kasnjenja - funkcija prenosa e -sτ. 19. Konstrukcija Bodeovih dijagrama : Postoje dva prilaza: Prvi je da se posle dekomponovanja sistema na osnovne elemente i konstrukcije asimptotskih dijagrama svakog od njih izvrsi sumiranje ordinata sastavnih elemenata na istim frekvencijama. Drugi prilaz je prakticniji: 1) Najpre se uocava tip sistema. Postoje staticki i astaticki sistemi. Prvi, za razliku od drugog ne sadrzi integracione elemente. 2) izrazavaju se prelomne funkcije na osnovu datih vremenskih konstanti. 3) Prvo se konstruise tzv. niskofrekvencijska asimptota, ciji nagib zavisi od tipa sistema i iznosi r*20dB/dek, gde je r stepen astatizma. 4) za staticki sistem (r=0) to je prava paralelna ω-osi na rastojanju 20logk dB od nje. Za astaticki sistem (r≠0) potrebno je poznavati i jednu tacku na ωosi, koju nalazimo: niskofrekventni deo sistema se moze napisati u obliku redne veze pojacavackog i integracionog elementa, tj. k/s 2 ili L(ω)=20logk-r20logω. Presek ove prave sa ω-osom se dobija iz relacije: L(ω)=0 ω=r √k, a to je apscisa tacke prenosa niskofrekventne asimptote. 5) uocava se sledeci prelomni frekventni element i njegov tip. Ako je taj element inercijalni I reda, od njegove prelomne frekvencije do prelomne frekvencije narednog elementa asimptota dijagrama slabljenja ima nagib od -20dB/dek (kod statickih sistema), odn. –(r+1)20dB/dek (kod sistema astatizma n-tog reda). Ako je naredni element predikcioni I reda, asimptota ima nagib od +20dB/dek, odn (1r)20dB/dek respektivno. 6) ako je umesto inercijalnog/predikcionog elementa I reda, sledeci oscilatorni/predikcioni element II reda, nagib asimptote je -40dB/dek [+20dB/dek], odn. – (r+2)20dB/dek [(2-r)20dB/dek]. fazni dijagram se najcesce konstruise tacno na osnovu matematicke relacije ili priblizno, koristeci asimptotski dijagram. Asimptotski fazni dijagram se dobija spajanjem faznih asimptota vertikalnim duzima na prelomnim frekvencijama. Faze asimptote su duzi izmedju susednih prelomnih frekvencija, paralelne ω-osi na rastojanju od nje za N∏/40rad, gde je N nagib logaritamskog dijagrama slabljenja u dB. 20. Odredjivanje odziva iz modela u prostoru stanja : Za resavanje sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom, ciji je model u prostoru stanja: x=Ax+bu i c=d tx, postoje razliciti nacini. Jedan od nacina je prevodjenje modela u oblik funkcije prenosa uz koriscenje ranije datih postupaka i ako se traze odzivi za trenutak pretpostavimo da je sistem autonoman i da se krece pod dejstvom nenultih pocetnih uslova: x=Ax, x(0)=x0=const≠0, c=dtx. Primenimo za ovu homogemu diferencijanu jednacinu Laplasovu transformaciju: sX(s)-x(0)=AX(s) [sI-A]X(s)=x0 X(s)=[sI-A]-1x0, a u vremenskom domenu je x(t)=L -1{[sI-A]}xo=Φ(t)x0. Φ(t)=L-1{[sI-A]} je matrica oblika dij[e sit]nxn. Normalni odzivi se ordedjuju istim postupkom: X(s)=[sI-A] -1bU(s) x(t)=L-1{[sI-A]-1bU(s)} x(t)=∫Φ(tτ)bu(τ)dτ=∫Φ(τ)bu(t-τ)dτ. Izlaz sistema pri delovanju Dirakovog impulsa je ω(t)=d t∫Φ(t-τ)bδ (τ)dτ=dt∫Φ(τ)bδ(t-τ)dτ, a pri delovanju Hevisajdovog signala je j(t)=d t∫Φ(t-τ)bh(τ)dτ=dt∫Φ(τ)bh(t-τ)dτ. 21. Fudamentalna martica:Φ(t) je fudamentalna martica ili matricni eksponent (e At). I nacin:x=Ax, x(0)=x0=const≠0, c=dtx. sX(s)-x(0)=AX(s) [sI-A]X(s)=x0 X(s)=[sI-A]-1x0, a u vremenskom domenu je x(t)=L-1{[sI-A]}xo=Φ(t)x 0. Φ(t)=L-1{[sI-A]} je matrica oblika dij[e sit]nxn. II nacin:x(t)=Ax(t), x o je dato. Resenje je x(t)=e Atx, pa je Φ(t)=eAt. III nacin: se zasniva na metodi sukcesivne integracije diferencijalnih jednacina: Φ(t)=e At=ΣAktk/k! (razoj e At u red). Pri tome se uzima konacan broj clanova i fundamentalna martica se izracunava sa odredjenom greskom koja se moze unapred zadati. 22. Transformacije modela u prostoru stanja : Cesto je potrebno transformisati jedan oblik matematickog modela u prostoru stanja u drugi. Najpogodniji oblik je dijagonalna forma, koja se dobija postupkom paralelnog programiranja kada sistem poseduje proste polove. Ako svi polovi nisu prosti dobija se blok-dijagonalni oblik matrice stanja sistema sa Dzordanovim submatricama.
Direktnim programiranjem se dobija kanonicka kontrolabilna forma. Neka je dat model sistema u prostoru stanja dobijen nekim od nacina programiranja:x(t)=Ax(t)+Bu(t) i c(t)=Dx(t)+Hu(t) i drugi sistem: x(t)=Ax(t)+Bu(t) i c(t)=Dx(t)+Hu(t). Potrebno je naci konstantnu nesingularnu matricu P, koja sistem 2 prevodi u sistem 1. x=Px x(t)=Px(t). Sprovodeci ocigledne transformacije: Px(t)=Apx(t) +Bu(t) x(t)=P-1APx(t)+ P-1Bu(t), c(t)=DPx(t)+Hu(t), dobija se A=P -1AP; B=P-1B; D=DP; H=H. 25. Kontrolabilnost i opservabilnost : Su pojmovi vezani za problem optimalnosti SAU. Analiza optimalnosti se najcesce vrsi u vremenskom domenu preko modela sistema u prostoru stanja, uvodjenjem novih osobina sistema: kontrolabilnost (upravljivost) i opservabilnost (stanje merljivosti). x=Ax+Bu; c=Dx+Hu; x(t) je vektor stanja, c(t) je vektor izlaza, a u(t) vektor ulaza. Kontrolabilnost je povezana sa mogucnoscu prevodjenja stanja sistema iz bilo kog pocetnog u bilo koje krajnje stanje izabravsi vektor upravljanja. Sistem je potpuno kontrolabilan ako za bilo koje trenutke t0 i t1 (t0t0 da se na osnovu poznatog ulaza u(t) i izlaza c(t) u toku intervala [t 0,t1] moze odrediti stanje x 0. Potreban i dovoljan uslov potpune opservabilnosti sistema po Kalmanu: rangM o=rang[DT¦ATDT¦(AT)2DT¦…¦(AT)n1 T D ]=n, gde je n red sistema. 26. Kretanje sistema u prostoru stanja - Dejstvom pobude na neki sistem nastaje odvijanje
nekog procesa koji zovemo kretanjem. Kada se kretanje odvija samo na racun ne nultih pocetnih uslova (unutrasnje energije), tada kazemo da se sistem autonomno (slobodno) krece. Ako se sistem krece samo usled delovanja spoljnih sila, tada govorimo oprinudnom kretanju. Svako kretanje sistema pod dejstvom spoljasnjih sila se sastoji iz slobodnog i prinudnog kretanja. Uspostavljanjem prinudnog kretanja sistem prelazi u stacionarno stanje. Prelaz iz jednog u drugo stacionarno stanje naziva se prelazni proces. Proces na izlazu sistema usled delovanja na te pobude zove se odziv sistema. 27. Pojam stabilnosti - Zbog kruznog toka signala u petlji povratne sprege SAU moze biti doveden u rezim samooscilovanja ili nekontrolisanog povecanja upravljane velicine (signala greske), kao i drugih promenljivih velicina. Takav SAU je nestabilan. Stabilnost je unutrasnja (sopstvena) osobina sistema. Postoje 2 sustinske stabilnosti sistema: 1) stabilnost stanja ravnoteze (stabilnost autonomnih sistema): SAU je stabilan, ako se po izvodjenju iz ravnoteznog stanja, bez uticaja spoljasnjih sila vraca u to stanje ili njegovu blisku okolinu; 2) stabilnost pri delovanju ogranicene pobude (stabilnost neautonomnih sistema): SAU je stabilan ako na ograniceni ulazni ima ograniceni izlazni signal. Ova definicija se skraceno naziva BIBO stability, odnosno KUKI stabilnost (Konacan Ulaz – Konacan Izlaz). Za stabilnost sistema odgovorna je jedino slobodna komponenta kretanja sistema. 28. Potrbni i dovoljni uslovi stabilnosti linearnih sistema - Neka je dat linearan SAU opisan funkcijom spregnutog prenosa Ws(s) ili odgovarajucom tezinskom funkcijom w s(t) i neka je podvrgnut delovanju ogranicenog ulaznog signala |r(t)|≤R 0<∞ za svako t i |r(t-τ)|≤R 0<∞ za svako t≥τ. Konvolucioni integral daje odziv sitema c(t)=∫Ws(τ)r(t-τ)dt, |c(t)|≤∫|Ws(τ)||r(t-τ)|dt, ako t ∞ |c(t)|≤R0∫| Ws(τ)|dτ. Odziv je ogranicen ako je ∫|Ws(τ)|dτ<∞, tj. apsolutna integrabilnost tezinske funkcije je dovoljan i potreban uslov stabilnosti. Pored ovog uslova postoje i sledeci uslovi: SAU je stabilan ako
i samo ako njegov spregnuti prenos Ws(s) ima sve polove u levoj poluravni kompleksne (S) ravni; Polovi spregnutog prenosa su istovremeno i nule karakteristicne jednacine f(s) pa vazi: potreban i dovoljan uslov stabilnosti linearnog SAU je da svi koreni njegove karakteristicne jednacine f(s) leze u levoj poluravni kompleksne ravni, tj. imaju negativne realne delove. Ocena stabilnosti se vrsi utvrdjivanjem rasporeda korena f(s). Ako postoji bar jedan koren sa pozitivnim realnim delom sistem je nestabilan. Imaginarna osa je granica stabilnosti, pa je potrebno definisati problem stabilnosti u odnosu na nju; Ako su svi koreni f(s) levi osim jednog koji se nalazi na granici stabilnosti (u koordinatnom pocetku S ravni), tada kazemo da se sistem nalazi na aperiodicnoj granici stabilnosti. Ako su svi koreni f(s) levi osim para imaginarnih koji se nalaze na imaginarnoj osi tada je sistem na oscilatornoj granici stabilnosi. Resavanje f(s)=0 ume da bude komplikovano pa su razvijene razlicite metode za ispitivanje stabilnosti na osnovu f(s)=0. One se dele u 2 grupe: algebarske i grafoanaliticke. One se jos nazivaju i kriterijumima stabilnosti. 29. Formulacija stabilnosti kontinualnih sistema po Ljapunovu - Postoji velika razlika izmedju linearnih i nelinearnih sistema kada se govori o stabilnosti. Linearni sistemi poseduju jedinstveno stanje ravnoteze i ako su stabilni bice to i za sve moguce ulazne signale i pocetne uslove. Za nelinearne sisteme to ne vazi, mogu imati vise (moze i bezbroj) stanja ravnoteze, i ako su stabilni pri delovanju jednog ulaznog signala, mogu biti nestabilni za druge ulazne signale. To vazi i za pocetne uslove. Zato se za nelinearne sisteme koriste izrazi lokalna i globalna stabilnost i jos neki, a najopstija definicija se zasniva na definiciji stabilnosti po Ljapunovu koja glasi: Stanje ravnoteze x c je stabilno ako pri ogranicenom poremecaju x 0(t): ||x0(t0)-xc||<δ=f(ε) stanje sistema x(t,x0) ne napusta unapred definisanu okolinu: ||x(t,x 0)-xc||<ε tog ravnoteznog stanja. Ova definicija nije dovoljna pa se uvodi pojam asimtotske stabilnosti: Ako postoji δ=δ a takvo da svako poremeceno stanje koje polazi iz δ a okoline ravnoteznog polozaja, onda je stanje ravnoteze asimptotski stabilno. 30. Direktna metoda Ljapunova - Zasniva se na utvrdjivanju stabilnosti na osnovu modela sistema u prostoru stanja. Ona je nezamenljiva za ispitivanje stabilnosti nelinearnih sistema. Koristi se za ocenu kvaliteta ponasanja linearnih SAU, kao i za sintezu regulatora. Za ispitivanje stabilnosti po direktnoj metodi Ljapunova koristi se skalarna funkcija V vektora stanja x za koju vazi: da je neprekidna funkcija koordinata stanja u oblasti prostora stanja koje obuhvata stanje ravnoteze; da u toj oblasti ima neprekidne parcijale izvode po koordinatama stanja sistema; da je u toj oblasti V(x)>0 osim za x=0, kada je V(x)=0, tj. da je pozitivno definitna funkcija. Stanje ravnoteze x=0 linearnog sistema x=Ax je asimtotski stabilno ako i samo ako za bilo koju realnu, simetricnu, pozitivno definitnu matricu P, postoji realna, simetricna, pozitivno definitna matrica Q, takva da vazi matricna jednacina Ljapunova: A TP+PA=-Q. Kod linearnih sistema vazi sledeca teorema: Stanje ravnoteze x=0 linearnog sistema x=Ax je asimtotski stabilno sa sistemom eksponencijalne stabilnosti δ ako i samo ako za bilo koju realnu, simetricnu, pozitivno definitnu matricu P, postoji realna, simetricna, pozitivno definitna matrica Q, takva da vazi matricna jednacina Ljapunova: -2δP+A TP+PA=-Q. Problem je odredjivanje funkcije Ljapunova V(x). 31. Kriterijum stabilnosti Rausa: Kod ovog kriterijuma je moguce odrediti broj desnih korena
karakteristicne jednacine ako je sistem nestabilan, sto je veoma znacajno kod utvrdjivanja stabilnosti visestrukih sistema primenom Nikvistovog kriterijuma stabilnosti. Ovaj kriterijum se zasniva na formiranju odgovarajuce tabele (Rausove tabele). Na osnovu koeficijenata karakteristicne jednacine dobijamo na pr. D(s)=a 6s6+ a5s5 +a4s4+ a3s3+ a2s2+ a1s1+a0
a6s6+
a5s5+
a4s4+
a3s3+
6
s
a6
a4
a2
a0
s5
a5
a3
a1
s4
A1
A2
a0
s3
B1
B2
s2
C1
a0
s1
D1
s0
a0
a2s2+
a1s1+
a0
Prva kolona se naziva Rausova kolona i ona je bitna za odredjivanje stabilnosti sitema. Rausov kriterijum glasi: Dovoljan uslov stabilnosti sistema je da su svi clanovi rausove kolone istog znaka ukoliko nisu sitem je nestabilan. Broj poromene znaka u koloni jednak je broju desnih korena karakteristicne jednacine. Ako je clan rausove kolone koji adgovara vrsti s 1 jednak 0 sistem se nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti. Frekvencija je ω=√(a 0/Rs2). 32. Haritonovljev kriterijum robustne stabilnosti: U realnim sis. svi parametri sadrzani u koeficijentima karakteristicne jednacine mogu se menjati pod dejstvom okoline. Zato je pitanje da li ce sistem sa tim podacima biti stabilan. Stabilnost za krajnje slucajeve parametra (najgore slucajeve) zove se robusna stabilnost. Haritonov je pomocu 4 granicna karakteristicna polinoma ocenio stabilnost pri svim mogucim promenama parametara sisema. Karateristicnmi polinom sistema (1) D(s)=∑aksn-k , a0≠0, (2) Neka parametri polinoma imaju bilo kooju vrednost u granicama ak €[ak, ak], k= 0,n gde je a k , ak donja i gornja granica k-tog koeficijenta karakteristicnog polinoma. Zadatak je odrediti uslove pri kojima ce svi koreni svih polinoma biti levi ovaj problem resavamo koriscenjem Hartonovljeve teoreme: Potrebani dovoljan uslov da sistem dat sa (1) i (2) ima sve leve korene je da 4 polinoma iz tog skupa imaju sve leve korene. Ti polinomi treba da budu odredjeni skupovima koeficijenata: D 1(s): an-2k , an-2k-1= (an-2k , an-2k-1) ,za k parno, (a n-2k , an-2k-1) za k neparno; D2(s): an-2k , an-2k-1= (an-2k , an-2k-1) ,za k parno, (a n-2k , an-2k-1) za k neparno; D 3(s): an-2k , an-2k-1= (an-2k , an-2k1) ,za k parno, (a n-2k , an-2k-1) za k neparno; D 4(s): an-2k , an-2k-1= (an-2k , an-2k-1) ,za k parno, (a n-2k , an-2k-1) za k neparno. 33.Kriterijum stabilnosti Mihajlova: Ovaj kriterijum pripada grupi grafickih kriterijuma stabilnosti. Za utvrdjivanje stabilnosti koristi se njegov karakteristicni polinom a postupak ispitivanja stabilnosti je sledeci: 1) Odredjuje se karakteristicni polinom u obliku: D(s)=a nsn+ an-1sn-1 +…+a1s+a0 . 2) U karakteristicni polinom se izvrsava smena s=jω. 3) Karateristicni polinom D(jω) se razdvaja na realni i imaginarni deo. 4) Koristi se hodograf Mihalova u D(jω)-ravni pri promeni ucestanosti od 0 do beskonacno. 5) Ocenjuje se stabilnost sistema na osnovu definicije kriterijuma stabilnosti MIhajlova: Potreban i dovoljan uslov stabilnosti SAU je da kriva (hodograf) MIhajlova polazeci, pri ω=0, iz tacke a 0≠0 na realnoj osi, redom, u suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu, prolazi kroz n kvandranta, gde je n stepen karakteristicne jednacine sistema. 34. Nikvistov kriterijum stabilnosti i Cipkinovo pravilo prelaza: Najprakticniji kriterijum satabilnosti. Zasniva se na Kosijevoj teoremi argumenta, a primenjuje se na funkciju povratnog prenosa. Njime se utvrdjuje da li ce sistem nakon zatvaranja povratne sprege biti stbilan ili nestbilan. Informacija o stabilnosti dobija se na osnovu AFFK, u otvorenoj povratnoj sprezi, koja se moze snimiti eksperimentalno. *Nikvistovom konturom naziva se polukrug beskonacnog velikog radijusa koju obuhvata celu desnu poluravan (S-ravan). p- broj polova u desnoj poluravni, odnosno indeks nestabilnosti sistama (ako nema polova u desnu poluravni sistem je stabilan). *Nikvistovom krivom naziva se kriva u W p(s) ravni kokja se dobija preslikavanjem Nikvistove konture iz S-ravni u
Wp(s) ravni. *Ako povratni prenos sitema ima indeks nestabilnosti p, spregnuti prenos bice stabilan ako Nikvistova kriva W p(jω) u Wp(jω)-ravni, pri promeni frekvencije od 0 do beskonacno obuhvata kriticnu tacku (-1/k, j0) p/2 puta u suprotnom smeru kazaljke na satu. Odavde sledi: primenom negativne povrane sprege mozemo stabilisati nestabilne sisteme. Na osnovu datog opsteg kriterijuma stabilnosti lako se dolazi do uslova stabilnosti spregnutog sistema kada je njegov povratni prenos stabilan tj. p=0. *Ako je povratni prenos stabilan, spregnuti prenos bice stabilan ako Nikvisatova kriva W p(jω) ,u Wp(jω) ravni, pri promeni frekvencije od 0 do beskonacno ni jednom ne obuhvati kriticnu tacku (-1\k, j0). Cipkinovo pravilo: Oznacimo prelaze Nikvistove krive preko realne ose, levo od kriticne tacke, strelicama u smeru porasta frekvencije ω. Dodelimo strelicama navise tezinski faktor -1, a strelicama nanize faktor +1. Ako Nikvistova kriva prolazi ili se zavrsava na realnoj osi, tada imamo polu prelaze sa tezinama -1/2 i +1/2. Precizna formulacija Cipkinovog pravila: Ako povratni prenos sistema ima indeks nestabilnosti p, spregnuti prenos bice stabilan ako je algebarska suma prelaza jednaka polovini indeksa nestabilnosti.
35. Pretek faze i pretek pojacanja: Neka je povratni prenos sistema stabilan i neka njegova
Nikvistova kriva ima izgled kao na slici. Potrebno je postaviti dva pitanja 1) Za koliko treba promeniti fazu sitema ne menjajuci pojacanje pa da sisitem dodje na oscilatornu granicu stabilnosti? 2)Za koliko treba promeniti pojacanje u sistemu ne menjajuci frekvenciju da sistem dodje u oscilatornu granu stabilnosti? *Sistem je oscilatornoj granici stabilnosti kada Nikvistova kriva prolazi kroz kriticnu tacku (-1/k, j0) to znaci da je moduo frekvenciske funkcije prenosa jednak 1 a njena faza – π/2. Frekvenciju u presecnoj tacki jedinicnog kruga i AFFK oznacimo sa ω p, i nazivamo je presecna frekvencija pojacanja jer je pri ovoj frekvenciji |W p(jωp)|=1. Ako kroz tu tacku iz kordinatnog pocetaka povucemo pravu ona ce u odnosu na pozitivan deo realne ose odredjivati fazni ugao AFFK za ω p: φ(ωp)=argWp(jωp) kad je |W p(jωp)|=1. Sistem ce doci na granicnu stabilnost samo promenom faze, ako se ona pomeri (zakosi) za iznos ugla izmedju pomenute prave i negativnog dela realne ose: Φ pf = π+φ(ωp). *Drugi zahtev je: Frekvenca pri kojoj AFFK sece negativni deo realne ose oznacava se sa ω π i naziva se presecna frekvenca faze. φ(ω π)=arg Wp(jωπ)= -π, | Wp(jωπ)|=d sa slike se vidi da je potrebno povecati pojacanje povratnog prenosa za 1/d puta bez promene faze, da sistem dodje na oscilatornu granicu stabilnosti. Ovaj odnos se naziva pretekom pojacanja tj. : A=1/d=1/ |W p(jωπ)| za arg W p(jωπ)= -π. 36. Bodeov kriterijum stabilnosti: On se moze koristiti i za ocenu stabilnosti sistema sa transparentnim kasnjenjem i neminimalno faznih sitema. Potrebno je definisati sledece pojmove: *Indeks stabilnosti p- je broj polova funkcije povratnog prenosa koji se nalaze u desnoj poluravni (S ravni), *Bodeova FFK-ka – prilikom prelaza kroz nivoe –(2k+1)π, k=0,1,… ostvarice se jedan pozitivan prelaz (+1) krecuci se odozdo navise, a krecuci se odozgo nanize (-1). Ukoliko FFK-ka
prelazi ili se zavrsava na neparnim ili parnim nivoima onda imamo polu prelaze (+1/2) ili (-1/2). *Logaritamski dijagram slabljenja (LDS)- moduo frekvenciske funkcije prenosa izrazen u [dB], predstavljen graficki, u funkciji kruzne ucestanosti ω u logaritamskoj razmeri, tj. L(ω)=20log|W(jω)|. Sada se moze definisati Bodeov kriterijum: Ako povratni prenos W p ima indeks nestabilnosti p, onda ce njegov spregnuti prenos biti stabilan ako je algebarska suma prelaza FFK preko nivoa – (2k+1)π=p/2, u oblasti frekvencije gde je Bodeov dijagram slabljenja pozitivan (L(ω)>0). 37. Stabilnost sistema u prostoru stanja: Ako je model sistema u prostoru stanja dat u obliku: x= Ax onda se karakteristicni polinom moze odrediti iz relacije f(s)=det[sI-A] na osnovu koga se moze odrediti stabilnost sistema nekom od vec poznatih metoda. 38.Metode za ocenu kvaliteta sistema: Posto je SAU izlozen raznim spoljnim poremecajima, onda se zbog toga mora izvrsiti ocena kvaliteta sistema u razlicitim uslovima. Za tu svrhu koriste se testirajuci signali. Kao tipicni testirajuci signali koriste se pojedinacni signali: impulsni, odskocni, nagibni i parabolicni, koji definisu ponasanje sistema u prelaznom rezimu i u stacionarnim stanjima, ili periodicni signali sinusoidnog karaktera koji karakterisu dinamicka stacionarna stanja. Zavisno od tipa ulaznog signala, ocena ponasanja sistema moze se vrsiti u vremenskom ili frekvencijskom podruciju. S toga se i metode ocene klasifikuju na vremenske i frekvencijske. Vremenske metode: ocenjuju bilo prelazne rezime (dinamiku) bilo ustaljena stanja (stacionarne rezime). Frekvencijske metode: se vezuju za dinamicka ustaljena stanja sistema, ali se na osnovu njih mogu priblizno ocenjivati i prelazni rezimi u vremenskom domenu. Sve metode za ocenu imaju smisla samo ako je SAU stabilan. U pogledu utroska energije imamo jednu vaznu klasu kriterijuma za ocenu kvaliteta ponasanja sistema- integralna metoda ocena. U pogledu stepena stabilnosti koriste se metode stepena stepena stabilnosti. U pogledu uticaja promene parametra na kljucne osobine koriste se metode-ocene robusnosti sistema ili teorije osetljivosti. 39 Generalisane konstante greske: U onim slucajevima kada na ulaz sistema ne deluju tipicni signali(nagibni, odskocni…) vec proizvoljni signali onda se za odredjivanje signala greske u stacionarnom stanju mogu koristiti generalisane konstante greske. W e(s)=E(s)/R(s)=1/(1+ Wp(s)) Na osnovu lim f(t)=lim sF(s): 1/(1+ W p(s))=[ 1/(1+ W p(s))|s=0 + ∑[1/i!*di/dsi*[1/(1+ Wp(s))]]|s=0 *si=C0+C1*s+1/2!*C2*s2+1/3!*C3*s3… Velicine C i nazivaju se koeficijenti greske ili generalisane konstante greske. Signal greske u stacionarnom stanju se odredjuje na sledeci nacin: E(s)/R(s)= C0+C1*s+1/2!*C2*s2+1/3!*C3*s3… /*R(s)/L -1; e(t)=C0r(t)+C 1r(t)d/dt+1/2!C2r(t)d 2/dt2 +1/3! C3r(t)d3/dt3+….. Ovaj izraz vazi za dovoljno veliko t, teorijski t tezi beskonacno, kada se prelazni procesi u sis. zavrse i nastupi stacionarno stanje. 40 Konstante greske za tipicne referentne ulaze : Izraz za signal greske, u operatorskom obliku, kada deluje samo referentni ulazni signal je:E(s)=R(s)*W e(s)= 1/(1+ Wp(s))*R(s). Za odredjivanje signala greske u stacionarnom stanju e(beskonacno) moze se primeniti teorema o granicnoj vrednosti: e( )=lim s*E(s)=lim s*1/(1+ W p(s))*R(s). Kada je referentni ulazni signal: (1) jedinicna odskocna funkcija (2) nagibna funkcija (3) parabolicka fukcija. *Konstanta polozajadefinise gresku sistema u stacionarnom stanju, kada se zadata ugaona pozicija skokovito menja. *Konstanta brzine-definise gresku ugaonog pozicioniranja kada se zadata pozicija menja konstantnom brzinom. *Konstanta ubrzanja-definise gresku ugaonog pozicioniranja kada se zadata pozicija menja konstantnim ubrznjem.
41. Parametri odskocnog odziva u vremenskom domenu : SLIKA! Tk (vreme kasnjenja) je
vreme potrebno da odskocni odziv dostigne polovinu svoje ustaljene vrednosti; T n (vreme uspona) je vreme potrebno da odskocni odziv sistema poraste od 10% do 90% svoje ustaljene vrednosti. Za sisteme sa preskokom manjim od 10% empirijski je utvrdjeno da vazi relacija: T nω0=2-2,5; Π (preskok) je razlika izmedju vrednosti prvog maksimuma u odzivu i vrednosti odziva sistema u ustaljenom stanju. On se daje u %; t s (vreme smirenja) je vreme potrebno da odziv sistema dodje u zonu deklarisane staticke tacnosti i da iz nje ne izlazi; τ (period oscilovanja) je interval izmedju dva susedna maksimuma (minimuma) odskocnog odziva; Td (dominantna vrednost konstante) predstavlja vreme potrebno da donja anvelopa odziva poraste na vrednost 63% od ustaljene vrednosti odziva, odn. da gornja anvelopa opadne na vrednost od 137% od vrednosti ustaljenog stanja odziva; stepen prigusenja je odnos razlike prvog i drugog preskoka sa prvim preskokom:Ψ=(П-П1)/П. 42. Metoda GMK : Usled promene parametara menjaju se koreni karakteristicne jednacine, a samim tim i osobine sistema. Skokovita izmena parametara dovodi do skokovite promene, dok kontinualna dovodi do kontinualne promene korena karakteristicne jednacine. Geometrijsko mesto koreno (GMK) je skup kontinualnih krivih u s-ravni po kojima se krecu koreni karakteristicne jednacine pri kontinualnoj promeni nekog parametra sistema, najcesce pojacanja povratnog prenosa, takvih da je u svakoj njihovoj tacki: 1) |Wp(s)|=1 i 2) argWp(s)=±(2k+1)∏ (k=0,1,…). Argument funkcije prenosa u nekoj tacki s 1 u s-ravni jednak je algebarskoj sumi argumenata vektora povucenih iz svih kriticnih frekvencija (polova i nula sistema) u posmatranu tacku, smatrajuci da su uglovi iz nula pozitivi, a iz polova negativni. argW(s 1)=Σarg|zisi|-Σarg|p js j|. Moduo funkcije prenosa u tacki s1 u s-ravni jednak je kolicniku proizvoda modula vektora povucenih iz svih nula i proizvoda modula vektora povucenih iz svih polova u posmatranu tacku: |W(s 1)|=(Π|zisi|)/ (Π|pisi|). 43. Pravila za konstrukciju GMK : 1) broj grana GMK: jednak je stepenu karakteristicne jednacine sistema. S obzirom na uslov fizicke ostvarljivosti, tj. m≤n, stepen karakteristicne jednacine jednak je broju polova funkcije povratnog prenosa sistema; 2) kompleksne grane GMK: su simetricne u odnosu na realnu osu za sisteme cija karakteristicna jednacina ima realne koeficijente; 3) za k=0 GMK se nalazi u polovima funkcije povratnog prenosa, tj. GMK izvire (polazi) iz polova funkcije povratnog prenosa; 4) za k=∞ GMK se nalazi u nulama funkcije povratnog prenosa, tj. GMK se zavrsava (ponire) u nulama funkcije povratnog prenosa; 5) asimptotske osobine grane GMK koje se zavrsavaju u nulama u ∞, teze asimptotski ka njima. Sve n-m asimptote se seku u jednoj tacki na realnoj osi (u zvezdistu asimptota), cija je apscisa odredjena izrazom σ a=(Σp j-Σzi)/(n-m). Uglovi asimptota se odredjuju po formuli: Φ a=(2k+1)∏/(n-m), za k=0,…,n-m; 6) GMK na realnoj osi: nalazi se levo od neparnog broja kriticnih frekvencija, odn. delovi realne ose koji se nalaze levo do neparnog broja polova i nula su istovremeno i delovi GMK; 7) Presek GMK sa realnom osom: odredjuje se na osnovu faznog kriterijuma i nalazi se izmedju dveju susednih istorodnih kriticnih frekvencija (polova ili nula), na delu realne ose koji pripada GMK; 8) uglovi izlaska (ulaska) GMK iz kompleksnih polova (u kompleksne nule): se odredjuje na osnovu faznog kriterijuma izborom tacke sk koja se po pretpostavci nalazi na GMK beskonacno blizu posmatranog pola p k (nule z k) i odredjivanjem algebarske sume argumenata vektora povucenih iz svih kriticnih frekvencija u posmatranu tacku, ukljucujuci i posmatrani pol (nulu):Σ /zis1-Σ /p jis1-βk=-(2k+1)∏ ili Σ /zis1+αk-Σ /p jis1 =(2k+1)∏ (k=0,1,…) gde su β k (αk) trazeni ugao izlaska (ulaska) GMK iz posmatranog pola p k (u nulu zk); 9)Odredjivanje pojacanja duz grana GMK: pojacanje k(s k) u nekoj tacki s k koja pripada GMK, odredjuje se na osnovu amplitudskog kriterijuma |Wp(s)|=1 kao kolicnik proizvoda duzina vektora povucenih iz polova i proizvoda duzina vektora povucenih iz nula u posmatranu tacku: k(s k)=(Π| p jsk|)/(Π|zisk|); 10) Divergencija grana GMK: ako je (n-m)≥2 i neke grane GMK krenu u levo, druge
grane GMK ce obavezno krenuti u desno tako da algebarska suma realnih delova korena karakteristicne jednacine ostane konstantna; 11) Presek GMK sa imaginarnom osom: se nalazi primenom nekog od kriterijuma stabilnosti (Mihajlova, Rausa, Hurvica) odredjivanjem vrednosti kriticnog pojacanja k=k kr i kriticne frekvencije ω=ω kr za koje sistem dolazi na granicu stabilnosti; 12)Konstrukcija konjugovano kompleksnih grana GMK: se moze ostvariti na osnovu 11-tog pravila translirajuci imaginarnu osu i trazeci preseke GMK sa pomerenim imaginarnim osama. 44. Sinteza kompenzatora metodom GMK - za sintezu kompenzatora na osnovu metode GMK
razvijeni su standardni postupci za izbor parametara diferencijalnog, integralnog, i integrodiferencijalnog kompenzatora. Za primenu ove metode TU moraju biti izrazeni u vremenskom domenu i neposredno su vezani za s-domen. Karakter prelaznog procesa kompenzovanog sistema odredjen je parom dominantnih polova, a njihov polozaj u s-ravni moze se okarakterisati polarnim koordinatama ωn i Ψ(ζ). Ovi parametri definisu prelazni rezim. TU sadrzi triplet ζ, ω n, kg gde je k g zahtevana konstanta greske. Proces projektovanja zapocinje ispitivanjem ispunjenosti TU. Sistem ce ispuniti zadate dinamicke zahteve ako pol definisan sa s 1=-ζωn±jωn√(1-ζ2) pripada GMK sistema. Tacke na granama GMK ispunjavaju osnovni fazni kriterijum: argWp(s)=-(2k+1)∏ (k=0,1…) pa se kontrola ispunjenja dinamickih zahteva svodi na proveru uslova: Φ n(s1)=argWp(s1)=-∏. Ako ovaj uslov nije ispunjen potrebno je u sistem uneti diferencijalni kompenzator cija je funkcija prenosa Wd(s)=(s+a)/(s+b), a
rekurzivne - izlazni signal zavisi od prethodnog i trenutnog odmerka ulaznog signala i prethodnih odmeraka izlaznog signala: y(kT)= b0μ(nT)+b1μ(nT-T)+…+bm μ(nT-mT)- a1y(kT-T)-…- any(kT-nT); 2) Nerekurzivne - izlazni signal zavisi samo od trenutnog i prethodnog odmerka ulaznog signala: y(kT)= b0μ(nT)+b1μ(nT- T)+…+bm μ(nT-mT). 48. Impulsni modulator – Diskrenti element – Generalno, sistem se smatra diskretnim ako neke njegove promenljive podlezu diskretizaciji po nivou, po vremenu, ili i po nivo i po vremenu. U prvu kategoriju sistema u kojoj su promenljive kvantovane po nivou, spadaju realni sistemi. Ako se kvantovanje promenljivih vrsi po vremenu rec je o impulsnim sistemima sa amplitudskom modulacijom odbiraka. Pod digitalnim sistemom se podrazumeva sistem u kome se kvantovanje promenljivih vrsi po nivou i po vremenu. Pod izvesnim uslovima impulsni i digitalni sistemi se mogu tretirati istim metodama. 49. Komponente digitalnih SAU – Komponente su: enkoderi, A/D i D/A konvertori, razliciti digitalni moduli (flip-flopovi, logicka kola, binarni brojac, reverzibilni brojac, kolo za kasnjenje, memorijski registar…), mikroracunar. 50. Opticki enkoderi kao senzori pozicije – Opticki enkoder se sastoji od 3 glavna elementa: diska, svetlosnih izvora i svetlosnih detektora. Analogno provodnim i neprovodnim segmentima enkodera sa cetkicama, kod optickih enkodera segmenti su prozirni i neprozirni. Za ovu vrstu enkodera ne postoje ogranicenja u pogledu brzine okretanja diska. 51. Filtriranje impulsnog signala. Kola zadrske – Kod vecine digitalnih sistema upravljanja visi harmonici u spektru povorke odabira moraju se ukloniti ili prigusiti pre dovodjenja diskretnog signala. Upravljacka promenljiva se generise u realnom vremenu kao rezultat obrade po zadatom programu, povorke odabiraka signala greske ili nekih drugih promenljivih sistema, zbog toga je upravljacka promenljiva povorka odabiraka u vidu digitalnih reci. Signal takve prirode nije moguce dovesti neposredno na objekat uptavljanja. Neophodno je najpre upravljacku promenljivu u vidu povorke digitalnih signala konvertovati u kontinualan naponski signal. Za to se koriste kola zadrske. Kolo zadrske ima ulogu: da ukloni ili u potpunoj meri prigusi vise harmonike u spektru diskretnog signala i da povorku digitalnih signala konvertuje u kontinualan signal. U praksi se najcesce koristi kolo zadrske nultog reda koje procenjuje m(t) kao stepenast signal cije su vrednosti izmedju sukcesivnih trenutaka odabiranja konstantne i jednake odbircima u povorci u*(t). (gde je u*(t) povorka odabiraka upravljacke promenljive, a m(t) je odovarajuci kontinualan upravljacki signal na izlazu kola).Postoji i kolo zadrske prvog reda koje se redje koristi.
