SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS (1)
2 x 10.
1 R . .: 2 . R. : 3 R . .: 4 . R. : 5 R . .: 6 R . .: 7 R . .: 8 R . .: 9 . R. :
6 x
x 1 1 .
3 x 6 x
R
x 12.
4 x
3 y
x
R
2 x 13.
x 4 x
x
R
x 2 x 14.
x
R
2 x 15.
x 5 x 3 x
R
2 x
x 16.
5 x 3 x 2 x
R
2 x 17.
x 3 x
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS (2)
R
1.
2 x 3 y 4 z 12 4 x 6 y 8 z 24 x y z 3 ( R. : compatible in det er min at )
2.
3.
4.
5.
6.
4 x 3 y 2 z 3 x 3 y 2 z 2 5 x 2 y 3 z 0 x y z 3 3 x y 2 z 1 x y z 5
7.
4 x 3 y 2 z 8 2 x y z 3 2 x 2 y z 5
8.
14 x 10 y 8 z 6 21 x 15 y 12 z 0
9.
x y 1 2 x y 1 3 x y 3
10.
x y z t 0 x y z t 4 x y z t 4 x y z t 2
11.
x y z 4 2 x y z 5 3 x 2 y 2 z k
12.
x 3 y 2 2 x y 3 3 x 2 y k
13.
2 x 3 y kz 1 x y z 0 2 x y z 2
14.
x 2 y 3 z 1 x 3 y (k 3) z 0 2 x ky 6 z 6
21 x 9 y 39 z 24 35 x 15 y 65 z 40 2 x 3 y z 2t 3 x 3 y 2 z t 5 3 x 2 y 3 z 2t 10 2 x 3 y z t 1 R. : x 1, y 2, z 3, t 4
x 3 y z 1 2 z 6 y 2 z 1 3 x 9 y 3 z 1
R. : incompatible
15.
x 2 y 3 z 1 2 x 5 y 4 z 2 x 3 y k 2 z k
16.
2 x y az 0 4 x 2 y az 1
17. Discuteix, resol i interret! "eom#tric!ment se"ons els $!lors del !r%metre &:
3 x 2 y z 1 4 x by 2 z 2 x 5 y bz 1 18. 'esol i discuteix "eom#tric!ment se"ons els $!lors del !r%mertre t :
x ty z t 2 x y tz 2(t 1) tx y z t
19. studi! i resol el sistem! :
2 x y z 3 x 3 y 2 z 1 3 x y 5 z 7
R. : x 2, y 1, z 0 20. studi! i resol el sistem!:
3 x y z t 0 2 x y z 2t 2 3 x y z 4t 3 5 x y z t 6 R. : x 1, y 0, z 2, t 1 21. studi! i resol el sistem!:
x 2 y z 4 2 x 3 y 4 z 6 3 x y 5 z 1
R. : incompatible
PROBLEMES DE PLANTEIG (1)
1.
Dues ro$es de consum dun cotxe *!n don!t els result!ts se"+ents: en l! rimer! s*!n recorre"ut 120 m. er c!rreter! i 30 er ciut!t, i s*!n "!st!t 95 litres de "!solin!, mentre -ue en l! se"on! s*!n recorre"ut 65 m er c!rreter! i 55 er ciut!t, i el consum *! est!t de 9 litres. uins s/n els consums del cotxe (en litres c!d! 100 m) circul!nt er c!rreter! i er ciut!t (R: 5’43 i 9’95 li!"#$1%% &')
2.
n! emres! el#ctric! !&ric! electricit!t er mit!ns *idr%ulics, t#rmics i nucle!rs. l * rodut er !-uests mit!ns cost! 2, 10 i 7 c#ntims deuro resecti$!ment. ! roducci/ tot!l de l!n !ss!t $! ser de 110 milions de * i el cost tot!l, de 85 milions deuros. uin! $! ser l! roducci/ er c!d!scun dels tres mit!ns si lener"i! rodud! *idr%ulic!ment noms reresent! el 8 del tot!l (R: %% %%% &*+ 41 333 333 ’ 33 &* i 59 ,, ,,,’ ,- &* !"#"/i0'")
3.
!lculeu l! o&l!ci/ de dos est!ts s!&ent -ue entre tots dos tenen 17 milions d*!&it!nts, -ue l! rend! er c%it! dun s de 4230 ; i l! de l!ltre, de 3750 ;, i -ue l! sum! dels seus ruts (<=>) s de 67.000 milions deuros. (! rend! er c%it! s el -uocient entre el <=> i l! o&l!ci/ dun est!t). (R.: , --% 33 i 1% 229 1,- *i#)
4.
n! emres! de rein!ri! comr! etroli ! dos !sos -ue !nomenem ? i >. omr!nt 500 &!rrils !l !@s ? i 1500 !l !@s >, el reu mit% del &!rril de crA s de 17 ;. omr!nt 1000 &!rrils !l !@s ? i 1000 &!rrils !l !@s > el reu mi" del &!rril de cru s de 18 ;. !lcul! el reu del &!rril del !@s ? i el del &!rril del !@s >. (R: 2% $!!il l # A i 1, $!!il l B)
5.
n un! %&ric! de cer%mic! es !n dos tius de "erros -ue !nomen!rem ? i >. n determin!t di! un tre&!ll!dor $! roduir 10 unit!ts del model ? i 7 unit!ts del model >, tre&!ll!nt 8 *ores en tot!l. l di! se"+ent $! roduir 8 unit!ts del model ? i 15 unit!ts del model >, tre&!ll!nt 10 *ores en tot!l. u!nt de tems c!l in$ertir er roduir un "erro del model ? i -u!nt de tems er un "erro del model > (R: 25$4- *6!"# 7 31 'i. i 55 #"8. "l 8"!!6 A+
1$4- *6!"# 7 22 'i. i 59 #"8. "l 8"!!6 B)
,.
n! emres! !&ric! tres models de tele$isors, -ue !nomen!rem ?, > i . l model ? necessit! !ss!r dues *ores ! l! unit!t de munt!t"eB el model >, tres, i el model , un!. l model ? *! de !ss!r un! *or! ! l! unit!t d!c!&!t, el model >, dues, i el , tres *ores. n tot!l s*!n rodut 14 !!rells de tele$isor, l! unit!t de munt!t"e *! tre&!ll!t 25 *ores i l! unit!t d!c!&!t *! tre&!ll!t 26 *ores. u!nts tele$isors de c!d! tius s*!n rodut (R: - "l '6"l A+ 2 "l B i 5 "l C)
-.
n comerci!nt comr! &l!t de dues cl!sses dierents. n! setm!n! comr! tres tones de &l!t de l! rimer! cl!sse i 2500 ". de l! se"on!, i !"! 2750 euros en tot!l. ! setm!n! se"+ent comr! 3500 ". de &l!t de l! rimer! cl!sse i 6500 de l! se"on!, i en !"! 4500 euros. uin s el reu de c!d!scun! de les cl!sses de &l!t (R: %’,1, $&8 l !i'"! /l##" i %’3,% $&8 l #"86)
.
n! erson! $! in$ertir 60 000 euros re!rtits en tres emreses i $! o&tenir 4500 euros de &eneicis. !lcul! l! in$ersi/ -ue $! eectu!r ! c!d! emres! si s!&em -ue $! er el do&le din$ersi/ ! lemres! ? -ue ! l! > i l! untes, i -ue els &eneicis de les emreses $!n ser del 5 ! lemres! ?, del 10 ! l! > i del 20 ! l! . (R: 4% %%% l A+ 15 %%% l B i 5%%% l C)
9.
ls !nim!ls dun l!&or!tori *!n do&ser$!r un! diet! estrict!. !d! !nim!l re 10 "r. de rotenes i 3 "r. de "reixos. s disos! de dos tius d!liments: el t ius ?, -ue cont un 5 de rotenes i un 3 de "reixos, i el tius >, -ue cont un 10 de rotenes i un 1 de "reixos. u!nts "r. de c!d! !liment es oden utilitC!r ! i do&tenir l! diet! correct! dun Anic !nim!l (R: % 8! ’A i ,% 8! " B)
1%.
n !mic diu ! un !ltre: Eo tinc el do&le de led!t -ue tu tenies -u!n o teni! led!t -ue tu tens, i -u!n tu tin"uis led!t -ue tinc o !r!, l! sum! de les nostres ed!ts ser% 36F uin! ed!t t c!d! !mic (R: 1, i 12 #)
PROBLEMES DE PLANTEIG (2) 1.
n! erson! *! comr!t dos roductes en unes re&!ixes. ! sum! dels reus dels dos roductes !&!ns de re&!ix!r er! de 50 euros. ?l rimer li *!n !lic!t un! re&!ix! del 10 i !l se"on un! re&!ix! del 20 . Gi *! !"!t 43 euros er tots dos, di "ueu -u!nt $!li! c!d! un dels dos roductes !&!ns de les re&!ixes. (R: 3% i 2% )
2.
Gi un mili/ de $ot!nts de les-uerr! *!"uessin $ot!t l! dret!, les dues co!licions *!ur@en o&tin"ut els m!teixos $ots.
3.
n !i 2’4,)
4.
Dur!nt 3 dies se"uits, 3 ersones, ?, > i , surten de c!s! !m& un! cert! -u!ntit!t de diners c!d!scun! (l! m!teix! c!d! di!) i !osten !l c!nHdrom. l 1r di! !irmen -ue ? *! erdut el 10 del -ue ort!$!, > *! "u!n!t el 20 del -ue ort!$! i n*! erdut el 50 . ! sum! !l"e&r!ic! de #rdues i "u!ns (#rdues !m& si"ne L i "u!ns !m& si"ne M) diuen -ue *! est!t de 20 ;. l 2n di! !irmen -ue ? *! "u!n!t un 20 del -ue ort!$!, > n*! "u!n!t un 40 , i n*! "u!n!t un 60 , i -ue l! sum! !l"e&r!ic! de "u!ns i #rdues *! est!t de 80 ;. l 3r di! diuen -ue ? ni *! "u!n!t ni *! erdut, -ue > *! "u!n!t el 60 del -ue ort!$! , n*! erdut el 30 , i -ue l! sum! de "u!ns i #rdues *! est!t de 60 ;.
5.
l dilluns dun! cert! setm!n! els !rticles ?, > i duns "r!ns m!"!tCems es re&!ixen un 5 , un 6 i un 8 resecti$!ment. l dim!rts, en c!n$i, es re&!ixen un 2 , un 8 i un 6 so&re el reu inici!l (no so&re el reu re&!ix!t del dilluns). Nin!lment, el di$endres es re&!ixen un 4 , un 7 i un 6 so&re el reu inici!l. Gi se s! -ue un client -ue comr! un! unit!t de c!d! un d!-uests !rticles c!d! un d!-uests dies sest!l$i! 21 ; el dilluns, 21 ; el dim!rts i 21 ; el di$endres, -uin s el reu er unit!t d!-uests !rticles (R: 1%%+ 2%% i 5% !"#"/i0'")
,.
xli-ueu -u# $ol dir -ue un sistem! de-u!cions line!ls si"ui incom!ti&le, i -u# $ol dir -ue si"ui indetermin!t. Di"ueu si existeix !l"un $!lor de m er !l -u!l el sistem! si"ui incom!ti&le i si existeix mx y
!l"un $!lor de m er !l -u!l si"ui indetermin!t:
-.
0 y z 0 (R: 'i 6 ?# i/.@ ?# /6'. i."! '1) x z 0
n! emres! !&ric! 3 models de cotxe: ?, > i . l model ? *! de !ss!r 20 *ores ! l! unit!t de munt!t"e. l model >, 30 *ores, i el model , 10 *ores. l model ? *! de !ss!r 10 *ores ! l! unit!t d!c!&!ts, el model >, 20 *ores, i el model , 30 *ores. n tot!l s*!n roduit 14 cotxes. ! unit!t de munt!t"e *! tre&!ll!t 370 *ores i l! d!c!&!ts, 290 *ores. u!nts cotxes de c!d! tius s*!n rodut (R: 1 "l '6"l A+ 11 "l B i 2 "l C)
.
9.
1%.
n un determin!t o&le es reresenten 3 esect!cles, ?, > i . !lculeu el reu de c!d! un dells s!&ent -ue: si !ss@stissim dues $e"!des ! ?, un! $e"!d! ! > i un! $e"!d! ! , ens cost!ri! 34 ;. Gi !nssim tres $e"!des ! ? i un! ! >, ens cost!ri! 465 ;. n el c!s d!ssi stir noms un! $e"!d! ! c!d! un dels esect!cles, ens cost!ri! 215 ;. (R: "#"//l" A+ 12’5 @ "#"//l" B+ 9 @ "#"//l" C+ 8!i#) omreu dos roductes i us costen 220 ;. ! setm!n! se"+ent eu l! m!teix! comr! i, com -ue el rimer !rticle est% re&!ix!t en un 10 i el se"on un 20 resecte ! l! setm!n! !nterior, noms us cost! 186 ;. u!nt us cost!r% l! m!teix! comr! si en un! !ltr! oc!si/ els reus est!n re&!ix!ts un 10 i un 20 , resecti$!ment, en rel!ci/ !m& els reus de l! se"on! setm!n! (R: 15-’% ) !lculeu els "r!ns d!ll -ue es os!$en ! l! $i!nd! re"id! en E!nic, en Ireset! i en Do, s!&ent -ue !-uests tres nom&res s/n roorcion!ls !ls etits de $i $ell -ue es os!$en !l !dor en l! est! de
G!nt! uit#ri! >ened! (el $i !n!$! ! r!l i mi" l! mit! ! c!n Oet P!c/)
(R:
e
7Q852
ln 320000
)
PROBLEMES DE PLANTEIG (3)
1.
!d! 8 *ores un tre&!ll!dor rodueix 10 t!ules de tius ? i 9 t!ules de tius >. n 10 *ores rodueix 8 t!ules de tius ? i 18 t!ules de tius >. !lcul! el tems -ue tri"! ! roduir c!d! tius de t!ul!. (R: %’5 *6!"# "! l
2.
n $i t un 9 d!lco*ol i un !ltre en t un 12 . n -uin! roorci/ s*!n de &!rre!r er-u# l! mescl! tin"ui un 10 d!lco*ol (R: !66!/i 2 1+ 6 #i8
3.
n ore&re t dos lin"ots: el rimer cont 550 " dor i 60 " de coure, i el se"on cont 400 " dor i 100 " de coure. uin! -u!ntit!t *! d!"!!r de c!d! lin"ot er orm!rRne un !ltre -ue esi 640 " i -ue tin"ui un! llei de 0825 (R: 15-’42 8! "l 1! i 42’5 "l 2) Nota: la llei d’un aliatge és la quantitat d’or o de metall preciós que té per unitat. Així si la llei és !’"#$ %ol dir que en & g 'i 'a !’"#$g d’or. (i la llei d’un aliatge és de )!! mil*l+simes %ol dir que en & g 'i 'a !’)!! g d’or. Aquestes de,inicions són %-lides si se substitueix & g per & g o per qualse%ol altra unitat
4.
s $ol o&tenir un lin"ot dor d1 " de es i llei de 900 milSl#simes onent or de 975 milSl#simes i or de 875 milSl#simes. uin! -u!ntit!t de c!d! cl!sse c!l ondre (R: 25% 8! i -5% 8! !"#"/i0'")
5.
Tier/, rei de Gir!cus!, $! don!r 7465 " dor ! un oier er-u# li es un! coron! -ue $oli! oerir ! EAiter.
,.
n !"#s t uns -u!nts &ous -ue men"en l! m!teix! -u!ntit!t de inso c!d! di!. Gi en $en"us 6, el inso dur!ri! 2 dies ms, i si en comrs 4, el inso dur!ri! 1 di! mens. u!nts &ous t el !"#s u!nts dies els ot !liment!r (R.: 3, 6<#+ 1% i"#)
-.
s disos! dun reciient de 24 litres de c!!cit!t i de tres mesures, ?, > i . l $olum de ? s el do&le -ue el de >, les tres mesures omlen el diHsit, i les dues rimeres lomlen ins ! l! meit!t. uin! c!!cit!t t c!d! mesur! (R: + 4 i 12 li!"# !"#"/i0'")
.
>usc! un nAmero de 3 xires, s!&ent -ue les 3 xires sumen 9B si se li rest! el result!t din$ertir lordre de les se$es xires, l! dier#nci! s 198B i, ! ms, l! xir! de les desenes s l! mit!n! !ritm#tic! de les !ltres dues. (R: 432)
9.
n est!t comr! 540 000 &!rrils de etroli ! 3 su&ministr!dors dierents -ue el $enen ! 27, 28 i 31 dHl!rs el &!rril, resecti$!ment. ! !ctur! tot!l u! ! 16 milions de dHl!rs. Gi el rimer su&ministr!dor !cilit! el 30 del tot!l del etroli comr!t, -uin! -u!ntit!t s*! comr!t ! c!d! su&ministr!dor (R: 1,2 %%%+ 3% ,,- i 34- 333 !!il# !"#"/i0'")
1%.
n! &oti"! *! $enut 600 exeml!rs dun $ideooc er un tot!l de 6384 ;. ori"in!l cost!$! 12 ;, erH t!m& n*! $enut cHies, deectuoses, !m& descomtes del 30 i 40 . Gi s!&em -ue l! -u!ntit!t de cHies $enudes $! ser l! meit!t del nom&re dori"in!ls, c!lcul! ! -u!ntes cHies es $! !lic!r el descomte del 30 . (R: "# 0 li/! < 3% " "#/6'" 12% /i"#)
11.
n tren tr!nsort! 500 $i!t"ers i l! rec!t!ci/ de limort dels seus &itll ets s de 3525 ;. !lcul! -u!nts $i!t"ers *!n !"!t limort tot!l del &itllet, -ue $!l 15 ;, -u!nts n*!n !"!t el 20 i -u!nts el 50 , si s!&em -ue el nom&re de $i!t"ers -ue n*!n !"!t el 20 s el do&le -ue el nom&re de $i!t"ers -ue *! !"!t el &itllet sencer. (R: i'6! 6l: 15% 0i8"!#@ 2% + 3%% 0i8"!#@ 5% + 5% 0i8"!#)
12.
n lli&reter $ol comr!r un! -u!ntit!t determin!d! dexeml!rs dun lli&re er 252 ;. u!n ! l! com!nd! ! leditori!l, li diuen -ue el reu de c!d! exeml!r *! u!t 030 ;. l lli&reter !les*ores c!lcul! -ue er in$ertir l! m!teix! -u!ntit!t, *! de comr!r 4 exeml!rs mens dels -ue $! ens!r inici!lment. u!nts exeml!rs *!$i! ens!t !d-uirir i ! -uin reu (R: ,% ""'l!# 4’2% / <).
