TRILCE
C ap ítulo
PROPORCIONALIDAD Y SEM EJ A N ZA
9 T EO EO R E M A D E T H A L E S
S i tres o m ás rect rectas as paral p aralelas, son son in terseca ersecad d as po p o r d o s rectas ectas secan seca n tes a las pa p aralelas; ent en to n ces, se det d eterm erm in an ent en tre las recta ecta s p ara lelas, segm ent en to s p ro p o rcio n ales. ales.
L1
a
S i:
c L2
b
* *
L 1 // L 2 // L 3
m y n secantes
d a
L3
m
b
c
d
n
Propiedad :
B
L
x
S i: L // A C
z
x
M
y
z w
Teorem a de T hales en un trián gu gul lo.
N w
y
C
A
Prop iedad de la Bisectriz E n u n trián gul gu lo, lo s lad o s que qu e fo fo rm an el vértice d e d o n d e se traza la b isectriz so n p ro p o rcio n ales a lo s segm segm ent en to s d eterm erm inad na d o s po r dicha bisectriz en el lad o o pu esto o su p ro lo n gació n.
* B i s e c t r i z E x t e ri ri o r
* Bisectriz Interior B
c a
m
c
B
n
a
m n
a
a A
C
D m
n
A
E C
n m
10 5
Geometría
T EO R E M A D E L I N C E N T R O E l incen tro determ ina en cada bisectriz dos segm entos que son proporcionales a la sum a d e los lad os que form an el vértice d e donde parte la bisectriz y altecer lado.
B "I"
incentro BI
a
ID
ca b
I
A
C
D b
T EO R E M A D E M E N E L A O Si se traza una recta tran sversala los lad os de un trián gulo, se determ inan sobre dicho s lad os 6 segm entos,donde el producto de 3 de ellos no consecutivo s es igual al producto de los otros 3 restan tes.
B
L
x L
n
secante
m .n .q = x.y.z
E D
m
y
A
C
F
q
z
TEOREMA D E CEVA Si en un trián gulo se trazan 3 cevian as interiores con currentes, se determ inan sobre los lad os 6 segm entos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivo s es igual al producto de los otros 3 restan tes.
B n
x F
D m .n .q = x.y.z
O
m A
* A D , B E y C F cevianas * "O " cevacentro
z
y E
q
C
SEMEJANZA Definción : D os figuras son sem ejantes se tienen la m ism a form a, y tam años distintos. E jm .:
*
*
4u
3u
l
l l
10 6
2l
2l
2l
TRILCE S E M E J A N Z A D E T R I ÁN G U L O S D o s trián gulos son sem ejan tes si tienen sus ángu los respectivam en te co ngruentes y sus lad os ho m ólogo s respectivam ente prop orcionales. : Se denom ina así a aq uellos lad os qu e se oponen a ángulos con gruentes en triángulos sem ejantes Lados H omólogos
Prim er Caso : D os trián gulos serán sem ejan tes si tienen 2 ángulos internos respectivam ente de igual m ed ida.
:D os trián gulos serán sem ejan tes sitienen d os lad os respectivam ente proporcionales y elán gulo com prendido Segundo Caso entre dicho s lad os con gruentes.
ak
a
bk
b
Tercer Caso : D os triángulos serán sem ejantes, si sus tres lados son respectivam en te proporcionales.
ck
ak
c
a
bk
b
Observaciones : E n dos trián gulos sem ejan tes, sus lad os hom ólogos, así com o sus elem entos hom ólogo s : (alturas, bisectrices, m ed ian as, inradios, circunradios, etc.), son respectivam ente proporcionales.
E B
d a
h
c
H
f
r1 r
A
C
D
b
F e
Se cum ple :
a d
b e
c f
r r1
h H
...... k
10 7
Geometría
Test de apr endizaje pr elim in ar 01. "O " es centro de la sem icircunferencia.
04. E n elgráfico,B C = 15 u. C alcule D C ,si:G es baricentro
C P = 8 u;D P = 2 u;AB = 8u.C alcule PB .
del triángulo A B C y L es paralela a A B .
B
B
D D P G C
A
O
C
A L
02. C alcule el lad o del cuadrad o, m ostrad o en la figura, en funció n de la b ase "b" del triángu lo sob re el cual descansa y d e la altura "h" relativa a d icha base.
05. D el gráfico, calcule M Q , si: B C = 2 5 u y T C = 4 AT. M y T : pu ntos de tangencia. B
h
M b
A
C
T
Q
03 . Según elgráfico : B C //O D y O D = 2A B . C alcule B C . Si: A D = 4u.
D
06. E n el gráfico, calcule el rad io de la cicunferencia m ayor d ond e : O C = 5 m , B C = 4 m .
A A B
C
C O
O
10 8
B
TRILCE 07. E n el gráfico, se tiene un rectángulo A B C D en el cual :
10 . P,Q y T son p untos de tangen cia, a y b son los radios de
AD = 2CD , y donde :
las sem icircunferencias. D eterm inar la d istan cia de T a
m ) O M A = m ) B PO .Si: M N y P Q se intersectan en
la recta P Q .
O , d e m o do qu e : P O = 2 cm ,Q O = 4 cm y M O = 5 cm . C alcule N O .
P P
B
Q
C
M
a O
O
N A
2
Si: x y 20 u 2 ; l
T
O'
D
Q
08. C alcule la m edida de la hipo tenu sa del triángulo A B C . 2
b
P r ac t i q u e m o s :
8 u. 11. E n un triángulo A B C , se ubica el incentro "I" sobre la
B
bisectriz B M , de tal m anera que : 3IB = 2B M . C alcule AC , si: A B + B C = 24 u.
l A
x
C
y
l
12. E n un triángulo A B C , se trazan las cevianas interiores
A M , B N y C L con currentes en P,de tal m anera que: PB 5A L = 2A B y 9B M = 5B C . C alcule : ( ). PN 0 9 . R S = 1 0 u ,E S = 5 u, V E = 3 u . C alcule ST. R
S
13. E n un trián gulo A B C , se traza la bisectriz interior B F , E
luego por F se traza FQ //A B (Q en B C ), la bisectriz
V
T
del ángulo FQ C intersecta a A C en R. Si : FR = a y R C = b. C alcule A F.
10 9
Geometría
14 . D elpun to m edio P delcateto A B de un triángu lo A B C , recto en B ,se traza la perpendicular P H a la h ipotenusa A C . D e talm anera que : A H = 6 u y H C = 9 u.
19. E n un triángulo A B C , se trazan las alturas A M y C N , de m odo que : A B = 5 u,N B = 3 u y B C = 6 u.C alcule BM .
C alcule P B .
20. Se tiene un triángulo A B C , A B = c, B C = a y AC = b; 15. C alcule la longitud de la altura de un trap ecio rectán gulo,
dond e la m edida delángulo "A " es dos veces la m edida
cuyas diago nales son perpen diculares entre sí y las bases m iden 6 y 12 unidades.
del ángulo "B ". Si : b = 4 y c = 5. C alcule :
a b
.
16. Los lados A B y A C de un triángulo A B C m iden 8 m y 10 m . Si la distan cia del incentro al excentro relativo a B C es "x" y la distancia del incentro al vértice A es
P r o b l e m as p r o p u e st o s
5 m . C alcule "xº". 21. E n u n triángulo A B C , se trazan las alturas B H y C N ; de tal m anera qu e : AN = 12 u, BN = 4 u y AH = 9 u.C alcule H C . a) 15 u d) 13,2 u 17. E n un triángulo rectángulo A B C , recto en B , se inscribe un cuadrado P LM N ,de m od o que ellado P N descansa sobre la hipotenusa A C . C alcule A C , si : LM = 12 u y A P - N C = 10 u.
b) 13,8 u
c) 14 u
e) 12,3 u
22. Las longitud es de los lad os de un triángulo son 4, 7 y 10 cm . Si otro trián gulo sem ejan te alprim ero, tiene un perím etro de 147 cm . C alcule la longitud de su lad o m enor. a) 28 cm d) 20 cm
b) 24 cm e) 48 cm
c) 32 cm
23 . Lo s lado s de un triángulo A B C m iden : B C = 6 u, C A = 8 u, A B = 4u, respectivam ente. Po r un pu nto M de A B se traza la paralela M N al lado 18. Se tiene un triángulo A B C , sobre los lad os A B y B C se construyen exteriorm ente los cuad rad os A B P Q y B C M N . C alcule la m edida del m enor ángulo q ue determ inan A N y M Q .
B C . C alcule la lo ngitud de A M , d e m od o qu e el perím etro del triángulo M A N sea igual al perím etro del trapecio B M N C . a) 3,5 u d) 2,5 u
b) 2,0 u e) 3,0 u
c) 1,5 u
24 . E n un rom bo A B C D ,de 12 m de lado,se tom a elpunto m edio M de B C . A M corta a B D en G y D M a A C en H . C alcule G H .
11 0
a) 4 m
b) 6 m
d) 3 2 m
e) m
c) 2 2 m
TRILCE 25. E n un trián gulo rectán gulo, la bisectriz del án gulo recto d ivid e a la hip o ten usa en d o s segm en to s cuy as
30 . En la figura, A B C D es un cuadrado y E D =
3 2 u.
C alcule N C .
longitudes son
3 y 1, respectivam ente. E l m enor de sus ángu los m ide : a) 30º d) 60º
b) 45º e) 15º
B
C 45º
c) 18º
N
26 . E n un triángulo A B C , se cum ple que : m ) B A C = 2m ) B C A ; A B = 6 u y A C = 8 u.
M
C alcule B C . a) 3 21 u
b)
21 u
d) 2 14 u
e) 3 14 u
A
c) 2 21 u a)
27. E n la figura m ostrad a, el pu nto "O " es elortocentro del triángulo A B C ; B N = 2u, M B = 3u.
2 u
D
E
c) 2 2 u
b) 2 u
d) 3 u
e) 3 2 u
31. E n un triángulo rectángulo A B recto en B , se trazan las
C alcule O C . A B + BC = 10u.
bisectrices interiores A M
C
1 AN
N
1 CM
y C N , de tal m anera que :
5 . C alcule la longitud del rad io d e la
circunferencia inscria en el triángulo A B C .
O A
B
M
a)
5 u
b) 1 u
d)
3 u
e)
1 5
c)
2 u
u
32 . E n la figura, A y B son puntos de tangen cia. a) d)
3 3 8
27 2 3
u
b)
u
e)
8 3 3 3 3 2
u
c)
8 3 3
2 Si : M N . PQ = 4 2 u . C alcule : A M . B P. .
u
u N
28. Si los rad ios de dos circunferencias m iden 3 y 1 m . La m ínim a d istan cia entre los centros es 10 m , entonces la distancia entre elpunto de intersección de las tangentes interiores y el punto de intersección de las tangentes exteriores com unes a las dos circunferencias es : a) 14 m d) 1,2 m
b) 7,5 m e) 6,5 m
c) 7 m
29. Po r el baricentro G , de un triángulo A B C se traza una recta q ue corta a A B en E y a B C en F. C alcule FC . Si :A E = a,EB = b y BF = c.
a) d)
b(a c) a c(b a ) b
b) e)
c(a b) a (b a)
c)
Q P
M A
a) 4 2 u 2
b) 8 u 2
d) 8 2 u 2
e) 6 2 u 2
B
c) 4 u 2
33 . E n la figu ra m o strad a, calcule la relació n de lo s pe rím etro s de
lo s trián gu lo s B A M
y
BC M
respectivam ente. B
c(b a) b
b
A
C M
a) 1
b) 2
d) 1/3
e) 3/4
c) 1/2
11 1
Geometría
34. En un triángulo A B C , A B = 3u, B C = 12u.
39. E n un triángulo A B C , se trazan 3 cevianas concurrentes
C alcule la longitud de la bisectriz interior BM , si :
A M , B N y C P ; la p rolongación d e P M intersecta a
m ) B = 120°.
la p rolongación de A C en Q .
a) 2 u d) 5 u
b) 2,4 u e) 6 u
Si : A N = a y N C = b. C alcule C Q .
c) 4 u
35. Se tiene u n triángulo rectángulo A B C recto en B . Si en
A B se ubican los puntos P y Q , tal qu e : m ) A C P = m ) PC Q = m ) Q C B ; A P = a y P Q = b.
a)
d)
a(a b)
b)
a b a(a b)
C alcule Q B .
e)
2a b
b(a b)
c)
ab
b(a b) a 2b
b(a b) 2
40. E n la figura : P, Q , T son pu ntos de tangencia. a)
d)
a(a b) 2b b a
(2a b)
b)
e)
2 a(a b)
c)
b
b a
(a b)
Si: R S = a. C alcule A C . B
b(a b)
S
Q
2a P R
36 . E n elgráfico : E F = 3u, FG = 2u. C alcule G H , si : "T" es pu nto de tangencia.
C
T A
a) a
T
d)
c) a 2
b) 2a 3a
e) 0,75 . a
41. D el gráfico, calcule "xº", en función d e " º".
E a) 1 u
b) 2 u
d) 4 u
e) 2,5 u
F
G
H
c) 3 u º
37 . Se tiene un triángulo A B C acutángulo con A C = 12 m . E n su interio r, d esd e u n p unto "F ", se trazan las perpen diculares FD y FE a los lad os A B y B C respectivam ente. Si : D E = 4 y B F = 6. C alcule el circun rad io del trián gulo A B C . a) 10 m
b) 9 m
d) 15 m
e) 20 m
c) 12 m
xº a
2a
a) º d) 90 º - º
b) 2 º e) 90º - 2 º
a
c) 3 º
42. Si : P, T y R son pu ntos de tangencia en la figura. C alcule "xº".
B
38 . Sea A B C un triángulo, do nde : A B + B C = 18 d m y elsegm ento qu e une elincentro con el baricentro es paralelo allado A C . C alcule A C . a) 6 dm
b) 8 dm
d) 12 dm
e) 16 dm
T
c) 9 dm
P
A a) 20° d) 50°
11 2
xº 40º
C
R b) 30° e) 60°
c) 40°
TRILCE 43 . E n un paralelogram o, en la prolon gación de A B se ubica elpun to E , E D interseca a B C y a A C en M y N respectivam ente. C alcule ED , si : M N = 9 u y N D = 15 u.
48 . E n un triángu lo A B C ; se traza la m ediana A M y sobre ella se u bica el pu nto P, d el cu al se trazan las p erpend icu lares
PQ
y
PR
a
y
AB
AC
respectivam ente. C alcule P R , si:
a) 20 u d) 25 u
c) 16 u e) 31 u
d) 40 u
44. E n la figura m ostrad a, el triángulo A B C es isósceles,
P Q = 3 u, A B = 9 u y A C = 1 2 u . a) 9 u d) 9/5 u
b) 9/2 u e) 3 u
c) 9/4 u
"O " es el cen tro de la sem icircunferencia M N es tangente a la circunferencia.
49. D ado un cuad rilatéro A B C D inscriptible, se prolongan
Si : A M = a y N C = b. C alcule AC .
los lad os D C y A B , (se cortan en E ) y A D y B C (se cortan en F). Las bisectrices, los ángulos D FC y B E C se
B
cortan en "O " y M y N son los puntos m edios de A C y
B D respectivam ente. C alcule la m ) M O N .
N
a) 165° d) 150°
M A a)
2
c) a b e)
b) 2 ab
ab 2
d)
c) 135°
50. E n u n triángulo A B C , se trazan las cevianas B D y B F , tal que :
C
O
b) 160° e) 180°
m ) FB C
2 ab
m ) A BD = m ) D B F =
ab
Si : AD = 3 u,D F = 2 u y FC = 10 u.
3 ab
3
.
C alcule la m ) D BF. .
ab
45. E n u n triángulo A B C , se traza la bisectriz A E qu e interseca allado B C en "D ".Luego,desde los vértices B , C se trazan las perpendiculares B H , C E a d icha bisectriz. Si: H D = 1 u y D E = 2u. C alcule A H .
a) 45º
b) 15º
d) 45º/2
e) 37º/2
c) 22º
51 . E n un trapecio rectángu lo A B C D , se tiene qu e : m ) A = 60°,m ) C = m ) D = 9 0°y B C = C D .E n A C
a) 5 u d) 2 u
b) 4 u e) 1 u
se ubica el punto F y se traza FM A D y FN A B .
c) 3 u
C alcule : FN , si : FM = 4u.
46 . E n un triángu lo A B C , se ubican los puntos D , E y F en A B , B C y E C respectivam ente, tal que : D E = E F, A E D F ; E D A B , por B se traza una recta
a) 2 u
b) 2 3 u
d) 4 3 u
e) 8 u
c) 4 u
que intersecta perpendicularm ente a la p rolongación de A E en H y a la prolongación d e A C en G . Si : E H 2 u y A B = B C = 2 10 u. C alcule B E . a)
7 u
b) 2 2 u
d)
10 u
e) 4 u
52. E n la figura m ostrad a, calcule M N , si : M , N y P son pu ntos de tangencia. B H = 2 u y A C = 18 u.
B
c) 3 u
M N
H
47 . E n un p aralelogram o A B C D , po r el vértice A se traza la recta seca nte a la d iago nal B D en M , al lad o B C
A
en N y a la prolongación d e D C en Q . Si : A M = a y
C
P
M N = b, calcule N Q .
a)
d)
a 2 b2 b a2 b2 a
b)
e)
a2 b2 a
c)
a 2 b2
a) 4 u d) 8 u
b) 5 u e) 9 u
c) 6 u
b
b 2 a2 b 11 3
Geometría
53. La circunferencia inscrita del trián gulo A B C es tan gente al lado A C en "Q ", una recta secante al triángulo es tangente a la circunferencia en P,e interseca a los lad os
57. En un trapecio A B C D (B C //A D y B C A D ),po r B se traza una paralela a C D , que intersecta a A C en M y
A B y B C en M y N respectivam ente.
por C se traza una paralela a A B que interseca a B D en N .
(M C PQ ) {F } , M P = 4 u, Q C = 8 u y F C = 1 0 u .
C alcule la longitud del segm ento M N , sabiendo qu e:
C alcule M F.
B C = 3u, A M = 6u y C M = 4 u.
a) 3 u d) 6 u
b) 4 u e) 8 u
a) 1,40 u d) 1,25 u
c) 5 u
54 . E n un triángu lo A B C (recto en B ); la m ) B A C = 5 3°, sea P un punto de la región interior de d icho trián gulo,
b) 1,50 u e) 1,35 u
c) 1,20 u
58. Si "I" es el incentro del trián gulo A B C , y : 3(A H ) = 4(R Q ) = 6(C T) = 6(TR ) = 12 u. C alcule H C .
talque :
N
PA = 15 u,PB = 12u y PC = 20 u. C alcule AC .
M
J
a)
11 u
b)
4 5
B
5 u
I A
c)
25 6 3 5
u
d)
25 6 3 5
u
H
a) 1 u d) 4 u
C T R
Q
b) 2 u e) 4/7 u
c) 3 u
e) 5 25 12 3 u 59 . E n elgráfico m ostrado : 55. En elgráfico : AB = 7u, B C = 9 u y A C = 8 u. C alcule :
EI ET
A E = 4 dm , E F = 2 dm , A M = 5 dm y N C = 12 d m . C alcule la d iferencia entre F B y M N .
.
B B F H E
T I A
C M
A
C
N
E
a) 3/5 d) 2/3
b) 3/4 e) 5/6
a) 1 dm
b) 2 dm
d) 3 dm
e) 4 dm
N
c) 2,5 dm
c) 2/5 60. E n elgráfico, "I" es elincentro del trián gulo A B C y B M
56. D e la figura, calcule : PQ . R M , si: es una m ediana.Si:
2
ST . LK = 27 u .
ID IB
2 3
,E B = 6 d m y F M = 4 dm .
C alcular EF. B P S L
R
E I Q
T
K
M
A
a) 25 u 2
b) 25/2 u 2
d) 27/2 u 2
e) 9 u 2
11 4
F
c) 27 u 2 a) 1 dm d) 2,5 dm
C D
b) 1,5 dm e) 3 dm
M
c) 2 dm
TRILCE
Claves Claves 21.
e
41.
a
22.
a
42.
c
23.
e
43.
d
24.
a
44.
b
25.
a
45.
c
26.
d
46.
d
27.
c
47.
c
28.
b
48.
c
29.
c
49.
e
30.
d
50.
d
31.
e
51.
b
32.
a
52.
c
33.
a
53.
c
34.
b
54.
e
35.
e
55.
a
36.
d
56.
c
37.
b
57.
c
38.
c
58.
a
39.
b
59.
d
40.
c
60.
c
11 5
Geometría
11 6
