TRILCE
C ap ítulo
7 *
Á n g u l o C e n t r al al
NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA *
Á n g u l o I n t er i o r
C
A A O
º
º = m A B
D
B B
*
º = m A B + m C D 2
Á n gu l o I n sc r i t o B
* A
º = m B C 2
Á n g u l o E x t er i o r
C
x
A
D
C
*
Á n g u l o S e m in i n s c r it it o
B
E
F xº = m A B - m C D 2 FH º = m E FH 2
H
x
A *
Á n g u l o Ex E x i n s c r it it o
B
C
A
C
B xº = m A B - m A C 2
º = m A B C 2
79
Geometría
Segunda condi ción : B
º
C
º
Si: º = º
º
AB C D es un cuadrilátero inscriptible
D
A
º + º = 180º Observaciones :
Polígono In scri to
R
*
S i un cuadrilátero cum ple con u na d e las do s condiciones, entonces se cum plirán las dos a la vez.
*
Si un cuadrilátero es inscriptible, entonces la m edida de un ángulo interior es igual a la m ed ida d el án gulo exterior opuesto.
C ircunferencia : circunscrita R adio : circunradio
C
B
Polígono Ci rcu nscr it o
A
D
A B C D inscriptible *
r
D ado un triángu lo altrazar do s alturas, se ob serva que se d eterm ina un cuadrilátero inscriptible.
B C ircunferencia : inscrita R ad io : inrad io
F
E C U A D R I L Á TE R O I N S C R I P T I B L E E s aquel cuad rilátero que acepta q ue se le describa una circunferencia por sus cuatro vértices. Para q ue esto suced a es necesario y suficiente que el cuad rilátero cu m pla con un a de las dos condiciones siguientes :
A
C A E FC : inscriptible
Prim era condición :
Q B
Si : º+ º = 180º
º
A
P
C
B
º D
A BC D es un cuadrilátero inscriptible
C
A A PQ C :inscriptible
80
TRILCE
Test de apr endi zaj e preli m in ar 01 . E n el gráfico, TP = 4 u y A B = 6 u, calcule : m TL , siendo "T" pun to de tangencia.
04. D elgráfico, calcule "xº".Si:P,Q , R ,F,S y T,son puntos de tangencia.
P B T
L 40º Q
xº
P A
R
B
O
T
A
F
C
S
02. E n el gráfico, A B C es un triángulo equilátero. C alcule " º ".
B º
05 . E n e l gráfico : O 1 y O 2 son cen tro s de las
D
circun ferencias. Q y T son puntos de tan gencia. C alcule
m PQ .
100º
A
C
O1
44 º
O2
T 44º
P Q
03 . E n elgráfico,O es centro y C H = 4 u . C alcule C D . C
D H A
O
B
06. Se tienen 2 circunferencias de m anera que la distancia en tre sus cen tro s y lo s rad ios de cad a un a d e las circunferen cias están en la relació n d e 3, 4 y 1 respectivam en te. Por tanto, las circunferencias serían :
81
Geometría
07 . E n el gráfico A B C D un rom bo ide. C alcule "x°", B y D son pu ntos de tangencia.
10. E n elgráfico, calcule "º". Si : M F = M E.
B
º
B
F
C M
º A A
xº
15 º
C
E
H
D
P r ac t i q u e m o s :
08. E n el gráfico, calcule : "x°".
11. E n la circunferencia de cen tro "O ", calcule " º " . 100º xº
B
50º
A
20º
C
O
09 . E n elgráfico : A C = B C , m ) A C B = 6 0°, calcule "xº".
N
M
xº
12. D el gráfico, calcule "º " . B
N
5 xº A
M
3º R
C
82
A
2º O
B
TRILCE 13. D el gráfico, calcule "xº". (P es pu nto de tan gen cia).
16. Se tiene un trapecio A B C D inscrito en un a circunferencia (B C //A D ). C alcule la m ) B D A , si:
m B C + m A D = 100º .
P xº
17. Se tiene un trián gulo A B C y se traza la b isectriz interior
B D , luego se traza una circunferencia que pasa por el vértice B y es tan gen te a A C en el pun to D , adem ás corta a los lados A B y B C en los puntos E y F, calcule la m edida d el ángulo C , si: m B E = 68°. 14 . Si: A , B y C son pu ntos de tangen cia. C alcule "xº".
68º A
B
xº C 18 . E n elgráfico,P y Q puntos de tangen cia, la m ) AB C = 10° y m P R = 32°. C alcule la m Q S .
B
R
15. E n elgráfico, "T" es punto d e tangencia A C //M N y la
P
m ) C A B = 20°. C alcule la m ) TFA. A.
N S
T
Q
C
A
C
F
M
A
O
B
83
Geometría
19. E n elgráfico,calcule " º ",si"N " es punto de tan gencia.
P r o b l e m as p r o p u e st o s
A 21. E n el gráfico, calcule la m TP , si : 2(B O ) = 3(A B ).
M M
T
N
P O
B A a) 37° d) 60°
C
O
B b) 53° e) 36°
c) 30°
22. D el gráfico m ostrad o, calcule "xº".
xº 20 . E n un triángu lo isósceles A B C :
M
(AB = BC ) m ) B FE = 32°,siend o E y F los puntos de tan gen cia sob re los lados A B y A C determ ina do s por la circunferencia inscrita. C alcule la m ) B .
4xº xº
a) 20° d) 22,5°
b) 30° e) 18°
c) 37°
23 . E n el gráfico,calcule A D , si : B D = 4u y A C = 12u . B
D
E
A a) 6 u d) 10 u
C
b) 7 u e) 5 u
c) 8 u
24. E n el gráfico se m uestra d os circunferencias tangentes exteriorm ente en T, y tangentes a d os de los lad os del trián gu lo rectán gu lo A B C , sien d o lo s pu nto s d e tangencia P, R , S, Q y T. C alcule la m edida del ángulo REN.
B E P
M T
Q
N
A R a) 30° d) 53°
84
b) 37° e) 60°
C
S c) 45°
TRILCE 25. E n el gráfico, m A B C = 220º , calcule la m ) Q P S .
B
29 . E n el gráfico : A , B , C y D son puntos de tangen cia, 2
ET N B es un rom boide y m C D = la m ) B N C .
P
T D
E A
A
a) 30° d) 35°
(m ) A LB ).C alcule
3
Q
S
b) 40° e) 80°
C
C
K B
L
c) 50° a)
26. E n el gráfico, calcule "xº",si: m A B + m B C = 8 0º . D on de : A y C son pun tos de tangencia.
45
N
b) 45°
2
d) 37°
c) 135°
e) 53°
30. D esde un punto "P"exterior a la circunferencia, se trazan
C A
las tangentes P A y P B ; en P A está el punto "E ", tal que:
B
O E = E P; la tangente E F de term ina el arco F B
xº
(m FB = 32º). C alcule la m ) E O P y "O " : centro d e la circunferen cia. a) 50° d) 35°
b) 40° e) 30°
c) 5°
a) 16° d) 48°
27. E n el gráfico, el pu nto "H " es elcentro de los do s arcos de circunferencia m ostrad os.T y P pun tos de tangencia
b) 24° e) 64°
c) 32°
31. E n el gráfico, calcule "xº", siend o F punto m ed io de tan gencia, m ) AFB = 30°.
y la m ) H B C = 50°, calcule m ) BTP. .
B
D
P E
70 º
P M
T
A
A
b) 20° e) 30°
c) 40°
28 . E n el gráfico,E F = FC . C alcule la m A C . (F y E son puntos de tangencia). A
F
C
H
a) 60° d) 50°
xº B
a) 50° d) 40°
b) 45° e) 35°
c) 30°
32. E n el gráfico : m A B = 100°. C alcule la m ) A P Q .
C
C E P F
D
D
O a) 15° d) 26°30'
E b) 18° 30' e) 30°
B c) 22°30'
A a) 50° d) 45°
b) 60° e) 55°
Q B c) 30°
85
Geometría
33. Se tiene un triángulo A B C inscrito en un a circunferencia; sobre A B y B C se ubican los puntos P y Q , tal qu e :
38. E n el gráfico, calcule la m edida d el ángulo B FC , silos arcos A B y D EG m iden 80 ° y 100 °, respectivam ente.
m P B = m B Q .C alcule :m ) B AC + m ) B E Q ,siendo:
a) 90° d) 180°
B
A
{E } = B C PQ . b) 100° e) 160°
C
c) 120°
D G E
34. E n elgráfico, calcule la m ) E PF,si: ºº = 140°,E y F
F son pu ntos de tangencia. A dem ás : E F //A B .
E
a) 20° d) 10°
F
º
º
P
b) 15° e) 25°
39 . E n el gráfico, A B
c) 30°
y
A C son tange ntes a la
circunferen cia.
A
Si : m ) B A C = 72º y los arcos B D , D E y E C son
B
a) 120° d) 150°
b) 140° e) 125°
congruentes, calcule la m edida del ángulo D B E .
c) 130°
B D
35 . E n u n triángu lo isósceles A B C (A B = B C ) se trazan las
A
cevian as A D y B F ,que se form an en un pu nto "E ",tal qu e la m ) D A C = 60 °. C alcule la m ) A B E , si el
E
cuadrilátero C D E F es inscriptible. a) 20° d) 30°
b) 60° e) 5°
c) 80°
a) 28° d) 42°
C
b) 36° e) 48°
c) 40°
36. E n elgráfico se m uestra un arco de circunferencia A D C B , donde A B es eldiám etro del arco de circunferencia se cum ple que :m ) C A B = 20°,adem ás : D P es paralelo a A C y D P es tan gente al arco. C alcule la m ) P D B .
40. E n el gráfico, la recta P T es tangente com ún a las dos circunferencias secantes. Si el ángulo A B C m ide 3 8°. C alcule la m edida del ángulo M Q N .
P
B 38º
D C
Q
P M
T
B
A a) 45° d) 65°
b) 55° e) 35°
A
c) 25°
37 . E n el gráfico : º 62 , º 68 , º 50 . E n la circu nferen cia in scrita, d eterm inad o s pu nto s d e tangencia son E ,F,G .C alcule las m edidas de los ángulos
N
C a) 148° d) 152°
b) 142° e) 128°
c) 138°
G E F, E FG y FG E respectivam ente. 41. D el gráfico, calcule m O B .
B
º E
B
F
M
O A
a) 65°, 59°, 56° c) 50°, 62°, 68° e) 62 °, 68°, 60° 86
º
º G
C
15º
b) 60°, 60°, 60° d) 68°, 60°, 62° a) 20° d) 30°
b) 35° e) 50°
c) 40°
TRILCE
42. E n el gráfico la m B C = 40°.C alcule la m ) P Q R .
46. E n el gráfico : m A B = º y m B C = º. E ncuen tre la relación correcta :
C Q
B
B
A
C
R
P D A a) 120° d) 160°
b) 150° e) 135°
c) 140°
a) º 2º
b) 2 2º º
c) º2º 90
d) º2º 18 0
e) 2º3º 27 0 47 . E n elgráfico :
43. E n elgráfico : m A P - m B P = 28º . C alcule lam ) A M B , do nd e : A , P y B , son p untos de tangencia.
m M N = m N P ; m A M = m N B = 4 0 °.C alcule "xº".
M
P R
P
M
N
A B
a) 28° d) 7°
b) 21° e) 30°
a) 20° d) 35°
c) 14°
B b) 25° e) 40°
c) 30°
48. E n elgráfico,calcule " º" m A B = 50º ;A y B son pun tos de tangencia.
44. E n el gráfico : m A B = 100°. C alcule "xº". (T es punto de tan gen cia).
A
A
xº
xº
R
A
º B
B
T
O a) 85° d) 100°
a) 25° d) 50°
b) 40° e) 80°
c) 45°
b) 110° e) 90°
c) 80°
49 . E n el gráfico, A B = 12 m y "O " es centro d e la circun ferencia. C alcule O H .
45 . E n elgráfico,si: B H = 4 u y H E = 6 u. C alcule B C . C
F C
H
B
A
D O
A
H
D
B E a) 2 u d) 5 u
b) 3 u e) 6 u
c) 4 u
a) 4 u d) 6 u
b) 5 u e) 1 u
F c) 3 u
87
Geometría
50. E n el gráfico, calcule "xº", si: A , B , C ,D , E ; son puntos de tangencia.
53 . E n el gráfico : A , B , C y D son puntos de tangen cia. m A B = 12 0º y m A E = 110º. C alcule "xº".
C
A
A B
E
xº D
a) 30° d) 20°
xº
xº B
D C
E
O
b) 15° e) 25°
c) 22°30' a) 50° d) 25°
b) 40° e) 20°
c) 30°
51. E n el gráfico, calcule la m ) A B C , si : P, Q , R y T son puntos de tangen cia y ad em ás :
54. E n elgráfico, m A B = 10 0º . C alcule "xº".
m ) PM T = m ) A B C .
P B
xº
Q M
B
C Q A
a) 30° d) 60°
R
P
A T
b) 45° e) 80°
C a) 50° d) 70°
b) 40° e) 80°
c) 60°
c) 50° 55. E n el gráfico, calcule la m ) M S L. Si: m A P = 10 0º , m A B = 20º;(P,S y T son pu ntos de
52. E n elgráfico : M P //C D y
tan gencia) y L 1 //L 2 .
m A M C + m N B = 1 60º. C alcule "xº". M
A
C
L
1
P
S
B
N A
P
a) 80° d) 65°
b) 100° e) 70°
L
B
xº
L
D
T M
c) 50° a) 60° d) 85°
88
2
b) 70° e) 90°
c) 80°
TRILCE 59 . E n elgráfico,T y M son puntos de tangen cia. C alcule "xº". x
56. D el gráfico, calcule "xº".
T
100º
xº
10º M
a) 30° d) 53°
b) 45° e) 90°
c) 60°
57 . E n el gráfico, calcule "xº", siend o C y D pu ntos de tangencia.
a) 20° d) 40°
b) 10° e) 35°
c) 15°
60. E n elgráfico, calcule "xº". A , B , C ,D y E son pu ntos de tan gen cia.
E D
B
A C
E
A a) 50° d) 65°
x
xº F xº O
B
C
b) 70° e) 55°
c) 60°
58. E n elgráfico :B ,C y D son pun tos de tangencia.C alcule
D a) 30° d) 90°
b) 45° e) 50°
c) 60°
la m A B .
A
B
º º
C
D
a)
3 º
d) 90º
c) º
b) 2 º
2 º 2
e) 90
º 2
89
Geometría
Claves
90
21.
b
4 1.
c
22.
b
4 2.
c
23.
c
4 3.
a
24.
c
4 4.
d
25.
b
4 5.
a
26.
a
4 6.
d
27.
c
4 7.
c
28.
d
4 8.
b
29.
c
4 9.
d
30.
a
5 0.
c
31.
e
5 1.
d
32.
a
5 2.
a
33.
d
5 3.
a
34.
b
5 4.
a
35.
b
5 5.
c
36.
b
5 6.
c
37.
a
5 7.
c
38.
d
5 8.
b
39.
d
5 9.
a
40.
b
6 0.
b
