sin_2015_x_02

Preguntas propuestas

2

Álgebra

Funciones reales 5.

NIVEL BÁSICO

Si el dominio de la función f ( x )

1.

Si ={(1; 8), (4; 7), (1; a2+2a), (2; 6), (4; a b+a – 3)} f ={(1; representa una función, determine a+b. A) 6 D) 5

2.

B) 7

B) 15

7.

C) 13 E) 10

4.

3 f ( x )

B) 1

C) 2 E) 3

Halle el dominio de la función f ( x )

=

2+ x 2 x

− −

x

−

x

−

2

9

B) 6

C) 19 E) 23

Determine el rango de la función f ( x)= x2 – 2(| x|+1)+7 B) [– 4; 4〉

C) [4; +∞〉 E) R

Halle el rango de 2 x − 1; x ∈ 1; 2] f ( x ) =  2  x + 1; x ∈ 2; 7

8.

Determine el rango de la función f . f ( x )

x =

2

+

x

2x

2

−1

+1

A) [–1; 1]

2

B) 0; 2 

5

Indique la suma de los valores enteros. A) – 4 D) – 3

2

−

A) 〈1; 3] ∪ 〈5; 50〉 B) 〈1; 3] C) [3; 5〉 D) 〈5; 50〉 E) [1; 3] ∪ 〈5; 50〉

f (2)

A) 3 D) 3 − 1

x

A) [6; + ∞〉 D) [– 8; 3〉

f(4 ) + f (1) +

6

−

rx + t}

Sea f : R → R f ( x + 1) + f ( x − 1) = determine f(3)

2

A) 9 D) 1 6.

Además, f (2)= g(1); f (1)= g(2). Determine 3 r +2 +2 s+ t. A) 14 D) 12

3.

=

−

es Dom f =[ =[a; b〉 ∪ 〈c; d ], ], determine a+b+c+d .

En A={1; 2; 3; 4; 5} se definen las funciones f ∧ g de la siguiente manera. ={(2; 4), (1; 5), (3; 5), (2; 5), (4; 3), (5; t)} f ={(2; g = {( x; y ) ∈ N × N y

C) 8 E) 9

x =

B) 3

C) 0 E) 2

C) − 2; 2 D) 1; 2  E)  − 2; 2 

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados reser vados D. LEG N.º 822 2

Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

14.

NIVEL INTERMEDIO

9.

Si la función de f ={(3; – 6c), (4; 8), (3; 5 – c), (1; 2 b), (4; 10+a), (1; 4 b+4)} halle la suma de elementos del rango de f . A) 8 D) 14

10.

B) 12

A) solo I D) I y II 11.

4 n + 4 n2

R en R

15.

2 n + 1 + 2 n − 1

C) solo III E) todas

; ∀ n ∈ R

C) 294 E) 386

 x  =    x;   x − 4 

17.

=

6−

x

4

− 10 x

3

+

25 x

2

13.

B) 8

C) 11 E) 12 18.

Sea f una función constante f( x )

=

x

−

2

+

x

+

7−6

x

−

2

encuentre Dom f – Ran f .

x

 ⋅ ( x2 − 4) ≥ 0 

B) [2; 4]

3x =

+ 17 +

x

+

2x

+ 13

4

Sea f ( x)=ax2+ bx+c; a ≠ 0. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. f ( – x+c)= f ( x – c) II. f (1 – bx)= f (ax – 1)

A) [2; + ∞〉 – {7} III. f b  = f (− x ) B) [2; +∞〉 – {9}  x −  a  C) [2; +∞〉 – {3} A) VVV B) VVF D) [2; 11] – {9} D) FFV E) [2; 11] – {3} Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 3

C) 〈2; 4] E) 〈2; +∞〉

A) [6; + ∞〉 B) [5; +∞〉 C) 〈 – ∞; 5] D) [10; +∞〉 E) [1; +∞〉

es [a; b] ∪ [c; d ]. Determine a+b+c+d . A) 10 D) 7

C) 18 E) 8

Halle el rango de

El dominio de la función f( x )

⋅

Halle el rango de f ( x) si x ∈ 〈1; 3] f ( x)=| x – 2|+| x – 1|+1

f ( x ) 12.

a b.

B) 63

A) [2; 4 〉 D) [4; +∞〉

B) 278

−

A) 〈 – ∞; – 1〉 ∪ 〈1; +∞〉 B) 〈 – ∞; – 1] ∪ [1; +∞〉 C) 〈 – ∞; 1〉 D) 〈 – ∞; – 1] ∪ 〈1; +∞〉 E) 〈 – ∞; – 1〉 ∪ [1; +∞〉

determine f (1)+ f (2)+...+ f (40). A) 256 D) 364

=

Halle el rango de la función f

16.

−1

Determine N A) 72 D) 36

Se define la función f ( n) =

B) solo II

Al hallar el rango de

 x 2 − x − 12; x ∈ [ −4; 6 ]  f ( x ) =  x − 2 ; x ∈ 6; + ∞   x + 1 se obtiene [a; b].

C) 10 E) 16

¿Cuáles de las siguientes relaciones de que se dan son funciones? I. {( x; y) ∈ R2 / x+y=1} II. {( x; y) ∈ R2 / y=0} III. {( x; y) ∈ R2 / x=| y|}

Material Didáctico N.o 2

4

C) VFV E) FFF

Álgebra

Semestral Intensivo UNI 19.

Sea la función lineal f , definida por

Álgebra 23.

2 2 f ( x)= – x – ax+3+|ax – 3ax+(a – 2)| x

f( x )

∈ 〈 – ∞; +∞〉; determine f (1).

A) – 2

B) – 8

=

x

 x 3 + 1  + sig  2  x + x + 1 

2

A) [0; + ∞〉 D) 〈 – ∞; +∞〉

C) – 6

D) 6

Halle Dom f ∪ Ran f .

E) 4 24.

f ( x )

Determine cuáles de las siguientes son funciones. I. f

=

{( x

II.

=

{( x x ; x)

g

III. h

=

+

2

y ;y+x

{( x; y )

x

x3

2

)

x; y ∈ R

+

}

}

y3

}

B) solo II

C) solo III

D) I y II 21.

=

x

4

+

2

E) II y III

C) 〈0; +∞〉 E) R – {0}

+1

3x

2

+

3

1 B) 0;  2

1 C) 0;  4 1 E) 0;  8

D) 〈0; 1〉 25.

A) solo I

x

1 A) 0;  3

∈R

=

B) R – { ± 1}

Halle el rango de

NIVEL AVANZADO

20.

  1    x2 + 1 

x sgn  

El área de un rectángulo está definido como el área de la superficie rectangular inscrito como indica el siguiente gráfico. Y

Sea f n: [0; 1] → R, con n

f n( x)= x

(1 – x n); n ∈ N

b

calcule el máximo valor de la función. A) 1

B) 1/2

C) 2

D) 1/4

S( x)

E) 4

a 22.

X

Halle el dominio de f ( x )

= 4

x

+1 ⋅

x

x

+1

x −

x

+ +

Halle el rango de la función área.

2 3

+

A) −

A) −1; 3  B)

−

C)

−

7 − x

B) 0;

1 + 3; + ∞

3ab ab ; 4 4 ab

4

D) −1 + 3; 7

 3ab ab  C)  − ;  4 4  D) 〈0; a〉

E) [–1; 7〉

E) 〈0; b〉

1 + 3; 7

5

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 4

Álgebra

SEMANA

07


Material Didáctico N. o 2

Grácas de funciones reales D)

NIVEL BÁSICO

1.

Indique la pendiente de la función lineal f : R

→

R;

B) –1

E)

C) – 2

D) 1 2.

– 2

tal que f (2)=3 y f (3)=2 f (4).

A) 2

E) 3/2

Sea la función cuadrática f : f (0)=0; f (1)=1

R

→

R;

Y

X

2

Y

1 X

tal que

y f (–1)=1. Halle la imagen de 2

mediante f . 4.

A) 5

B) 9

De la gráfica de la función f

C) 4

D) 19

Y

E) 8

f ( x)=2–| x–n|

m 3.

Grafique f( t ) =

 3 3 sgn ( t2 − 3 − 1); t ∈ − ;   2 2 1

A)

Y

calcule el valor de n+f ( m).

1 –3/2 – 2

2

–1

A) 1 D) 3/2

3/2 X

5.

B)

Y

B) 2

Y

3/2 –1

C)

C) 3 E) 1/2

Sea f ( x)=(a – 2) x2+ax+a una función cuya representación gráfica es

1 –3/2

X

X

x0

Y

1

X

Indique el valor de (3a+ x0).

A) 2 D) 8 2 3/2 X –3/2 – 2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 5

B) 6

6

C) 4 E) 10


Álgebra

Álgebra

Grafique la región definida por el conjunto

C)

Y

A = {( x; y ) ∈ R × R x ( x + y ) ≤ 0}

A)

1 X

–1

Y

D)

E)

Y

1

X

1 X

1

B)

Y

X

–1

Y

8.

Indique la gráfica que representa mejor al con junto A = { z + i

X

}.

Re ( z) ≤ 1

A) Im( z)

B) Im( z)

1

C)

Y

Re( z) X

D)

C)

Im( z)

Y

Re( z) Im( z)

D) X

E) Im( z) 1

Re( z)

E)

Re( z)

Re( z)

Y

NIVEL INTERMEDIO X

7.

9.

Sea la función

 x 2 ; x ≤ 0  f ( x ) =  x ; 0 < x < 1  − sgn ( x ) ; x ≥ 1 indique la gráfica que mejor la representa. A)

B)

Y

X

A) y = B) y = C) y = D) y =

1

1 –1

Y

Dado el conjunto S={( x; y)/2 x+3 y ≤ 6; x ≥ 0; y ≥ 0} y el punto P=(2; 3), ¿cuál es la recta que separa a P de S?

1

X

E) y

1 2

9 x

+

x

+

x

+1

1

9

4 1 8

4

4

1

3

10

x

+

16

9 =

x

−

4 UNI 2004 - II

7


Álgebra


10.

Se muestra la gráfica del polinomio cúbico P( x).

D)


E)

Y

Y

Y X

X

P( x)

2a –2a

13.

Si la gráfica de la función f en variable x es

X Y

Si P(a)=20; halle A) 4 D) 8

P ( −3 a) .

B) 10

–2

C) 5 E) 12 UNI 2009 - I

11.

2 X

determine la gráfica de g( x)= f (–| x|).

Sean f ( x)=( x – 1)( x – 2)( x – 3) g( x)=(5+ x)(5 – x) dos funciones, indique la gráfica de h( x ) máx { f( x ) ; g( x ) }.

A)

B)

Y

Y

X

X

=

A)

B)

Y

C)

Y

Y X

X

X

D) C)

E)

Y

Y

Y X

X

X

D)

E)

Y

Y

X

X

12.

14.

A)

Indique la gráfica de la función f ( x )

A)

=

1− x

B)

Y

Y

2

1 + x

X

B)

Y

C)

Y

X

D)

Y

X

Y

X

X

C)

Dada la función f , tal que f ( x)= x3 – 3 x2+3 x – 1; halle la gráfica de g( x ) = 1 − f (1+ x ) .

E)

Y

1

1 X

1

1

X


Y

8

X

Álgebra


Álgebra

Dada la gráfica de la función f

D)

Y

E)

Y

1

1

f

1

Y

1 X

2

4 X

–1

UNI 2005 - II

1

2

X

–1

17.

A

¿cuál es la gráfica que mejor representa a g( x ) = f ( 2 − x + 1) ? A)

B)

Y

Señale la gráfica que mejor representa a

 =  z ∈C 

Im

 1  ≥ 0.   2  z  

A) Im( z)

Y

B)

Im( z)

1 1 1

C)

3

–1

X

Re( z)

3

0

X

C)

Y

Im( z)

1

Re( z)

–2 –1

D)

16.

X

E)

Y

–3 –1

Re( z)

1

–3

3 X

D)

Y

–1

Im( z)

Y

Im( z)

Re( z)

X

Indique la gráfica de g( x)= f ( x+| x|) si la gráfica de f es

E)

18.

Re( z)

Indique la gráfica de la región definida por el conjunto A = {( x; y) ∈R × R x 2 + y2

≤ 4 y + 16 ∧

A)

B)

Y

x 2 + 2 ≤ y}

Y

1

1

A)

2

B)

Y

X

X

C)

Y

X

Y

1

1

X

1

2 X

C)

Y

2 X

D)

E)

Y

Y

1 X

1/2

1 X

9

X


Álgebra


19.

Se definen los conjuntos

21.

A = {( x; y ) ∈ R2 y ≤ 2 x2 + 3} B =

{(

x;

y ) ∈ R2

y≥−

4 5

¿Cuál de las alternativas representa mejor a la gráfica del conjunto

{

A = ( x; y ) y = t ( x − 3)

}

A)

B)

Y

Y

X

}

t ∈[ −1; 1] ?

X

Y

X

Y

X

C)

X

D)

∧

Y

B) C)

2

x+4

Identifique la gráfica de ( A – B) ∪ ( B – A) A)


E)

Y

Y

Y X

X

D)

X

Y

NIVEL AVANZADO

20.

X

Indique la gráfica del conjunto A = {( x; y ) y ≤ x

A)

2

≤

C)

}

Y

4

B)

Y

–2

E)

2 X

X

Y

–2

2 X

22.

Dada la gráfica de la función f ( x) f ( x)

Y

Y

1 1 –2

D)

2

–1

2 X

X

–1

E)

Y

Y

determine el rango de f ( x – | x|).

X

A) [0; 1]

B) 〈 – ∞; 1]

X

D) R Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 9

10

 1 C) 0;   2 E) 〈 – ∞; 0]

Álgebra


Álgebra

Dada la gráfica

D)

Y 3

E)

Y

f ( x)=ax2+ bx+c

2 3

4 X

Y

2

3

4

X

P 2 –2

–1

1

4

X

25.

Si la función f ( x)=( x – 2)( x+1)( x – 1), determine la gráfica de

g x = mx2+ nx+p

–3

A)

1

–1

 − 3 ; 1   2   

 

5

6 13 

D)  − ; 5

 25 

E)

B)

2

X

Y

 − 7 ; 27    5 25 

1

–1

24.

.

7 27 

B)  − ;

 8 37  C)  − ;    5 20  20 

f ( x )

Y

determine el punto P.

A)

1

2 X

Identifique la gráfica de la función f ( x )

1 =

x

−

1 2

+

x

1

−

3

+

x

−

C)

Y

4

–1

A)

B)

Y

3

4

X

3

D)

4 X

E)

C) Y 3

X

Y

–1

2

2

Y

2 2

1

X

2

Y

–1

4

1

1

2 X

X

11


Álgebra

SEMANA

08



Álgebra de funciones NIVEL BÁSICO

D)

−

3 2

; −1

E) no existe f 2+5 g 1.

Respecto de las funciones f

=

g

=

{( x ; x) Z2 1 x 49} {(t; t 2 ) R2 1 t 7} ∈

<

∈

<

5.

<

<

f( x ) =  x + 2; − 2 ≤ x ≤

h={(2; 4), (3; 9), (4; 16), (5; 25), (6; 36)}

2.

B) FVFV

A) {2; – 2; 3; – 3} B) {2; – 2; 3; – 3; 4} C) {2; – 2; 3; – 3; 4; – 4} D) {3; – 3} E) f

C) FFVV E) FFFV

Dadas las funciones f ={(1; 3), (4; 5), (3; – 2), (5; 0), ( – 2; 1)} g( x)= x2 – x+1; x > 0 Halle la función ( f+g).

6.

A) {(1; 1), (4; 13), (3; 7), (5; 21)} B) {(1; 3), (4; 15), (3; 6), (5; 21)} C) {(1; 4), (4; 17), (3; 7), (5; 22)} D) {(1; 4), (4; 18), (3; 5), (5; 21)} E) {(1; 2), (4; 17), (3; 9), (5; 23)} 3.

h( x )

=

4− x

A) 2; 2 2 

B)  2; 2 2 

D) 0; 2 2  4.

7.

x

+

Dadas las funciones f : Z → Z, tal que f ( x)=2 x+1 g={(0; 3), (1; 2), (2; 0), (3; 4)} calcule la suma de los elementos del rango de f o g. A) 20 D) 17

Halle el rango de la función

2

−1; x < 0  g( x ) =  0; x = 0  1; x > 0  Indique el rango de f/g.

Señale la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. f=g=h II. f=h III. f ⊂ g ⊂ h IV. h ⊂ g A) VVVV D) FVVV

Se definen las funciones f y g de la siguiente manera.

C)  2; 2

C) 25 E) 21

Dados f ( x)= x2 / x ∈ [0; 10] g( x)= x+2 halle el dominio de f ( g( ) ). x A) [– 4; 6] D) [– 8; 2]

E) [2; 4]

B) 22

B) [– 2; 8]

C) [2; 8] E) [– 3; 6]

Dadas las funciones f ( x )

=

x  2 x + 3

∧

g( x )

=

4 + 3x

−

x2

determine el dominio de ( f 2+5 g)( x). A) [ – 1; 4] B) −∞; −

3 2

∪  −1; + ∞

8.

Sea f una función, tal que ( f o f )( x)=ax+b, a ≠ 0; b=2 ∧ ( f o f o f )(0)=3. Halle la suma de todas las funciones f que cumplen dichas condiciones. A)

x 2

+ 10

C) 〈 – 1; 5〉 D) x –1 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 11

B)

x 2

+

5

C) x+5 E) 2 x –1

12

Álgebra

Semestral Intensivo UNI

Álgebra

A)

NIVEL INTERMEDIO

B)

Y

Y

3 9.

2

Sean f , g, h funciones; tales que f ( x )

x =

x

−

; g( ) 1 x

x

−

=

x

−

1 2

;

–1

A) {0; 2} D) {2; 4}

g

.

2

B) {0; 4}

1

C) {2; 8} E) {0; 8}

–1

En f ; g: R → R; f es creciente y g es decreciente. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. f – g es creciente II. g – f es decreciente III. Ran f =R

11.

B) VFF

12.

C) FFF E) FVV

B) [2; 4]

C) [2; 6] E) [ – 4; 4]

g( x )

= =

x

+

1

X

A) [1; 2] D) R– 〈1; 2] 15.

B) 〈1; 2]

C) R E) [2; 4〉

Si f ( x)=ax+1; g( x)= bx+1; h( x)=1; con a < 0 < b, determine el conjunto M

 f  > 0 =  x ∈ R   g − h   ( x )  

A)

−

1

b

;+∞

1 1

1

B) − ;

C) − ; 0 a

a b

1

E)

b

16.

1; x ∈ R+

( x + 1) 2 ; x ∈ R0−

Halle la gráfica de f o g. 13

X

x  = h    ; tal que Dom h=[2; +∞〉 x − 1

D) − ; 0

Sean las funciones reales de variable real f y g, tal que f( x )

1

Indique el Dom( f ).

1

a

;+∞

Sean f y g dos funciones, tales que f ( x )

13.

Y

Dado f( x )

Sean las funciones f ( x)= x| x| – 6; x ∈ 〈 – 2; 4] g( x)=| x – 3|+ x+| x2 – 6 x|; x ∈ [0; 3] Determine ( f + g)( x). A) x; x ∈ 〈0; 3〉 B) – 6 x+3; x ∈ [0; 3] C) 6 x+3; x ∈ [0; 3] D) – 6 x – 3; x ∈ [0; 3] E) 6 x – 3; x ∈ [0; 3]

E)

Y

–1

Si f ( x)=| x – 4|+| x – 6| es constante en [a; b] g( x)= f (2 x – 4); determine el dominio de g( x). A) [4; 5] D) [ –1; 1]

X

1

14.

A) VVF D) VVV

X

Y

D) 10.

–1

X

C)

h={(0; 1), (1; 2), (2; 3), (4; 9)} f ⋅ h

calcule el rango de

1

1

1 =

4

−

 x  2

; g( x )

=

sgn ( x 1) −

Determine el rango de f o g. Dé como respuesta el número de elementos.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 12

Álgebra


17.

Se han definido las funciones

3

D) x 3 − x + 1 − 1

f ( x)=ax+2; 3 ≤ x ≤ 7 ∧ a > 0

3

E) x 3 − x − 1 − 1

g( x)= x2 – 4 x+ b+4; – 7 ≤ x ≤ 8 ∧ b ∈ Z+

encontrándose

que

Dom( f o g)=[0; 2]

y

Ran( f o g)=[11; 23]. Encuentre a · b si b es

21.

máximo. A) 7

B) 8

C) 9

D) 10 18.

E) 12

Sean f y g dos funciones definidas en los reales, tales que verifican las siguientes relaciones. f ( x)= g( – x); f ( – x)= – g( x); ∀ x ∈ R

B) – 2 x

D) – 50 19.

C) 2 x E) 50

22.

Se tienen las funciones f ( x)=| x|3+1; x ∈ 〈 – 8; 5〉 g( x)= x2 – | x|+1; x ∈ 〈 – 6; 7〉

 g  .  f  

Determine el Ran 

1

A) 〈 – 1; 1〉

B) − ; 7 7

Dadas las funciones reales 1 − x 2 − 4 ; x ≤ −4 f ( x ) =  2 − x 2 ; 2 < x < 4 g( x)=| x2 – 4| – 4; | x| ≤ 2 Halle Dom( f o g) si e xiste.

C) [ – 2; 4] D) { – 2; 2} E)

23.

Se da la función f ( x), representada por f 3( x) – f ( x)+3 x2= x3+3 x

2; 4

Se sabe que f ( x ) g( x )

=

x

2

−

x =

4x + 8

3

x

+1 +

2

; x ∈ [0; 6〉 y

; x ∈ [0; 2〉

Halle el dominio de ( f o f )( x) – ( g o f )( x)

Determine g( x) si f o g= I. A) x 3 − x

C) FFV E) VVF

B) 〈 – 2; 2〉

1 C)  ; 1  7 

NIVEL AVANZADO

20.

B) VVV

A) f

1  E) ; 1 7 

D) 〈1; 6〉

Señale la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. Si f ; g: R → R son funciones acotadas; entonces ( f – g) es acotada. II. Si f ; g: R → R son funciones acotadas; entonces f o g es acotada. III. La función f : R → R / f ( x)=1 – | x+1|| x – 1| es una función acotada inferiormente. A) VFV D) FFF

Calcule f ( x – 25)+ g( x+25). A) 0


A) [0; 6 〉 B) [0; 2〉 C) 〈2; 6〉 D) [2; 6] E) 〈3; 6〉

+1

3

B) x 3 − x − 1 + 1 3

C) x 3 + x + 1 − 1


14

Álgebra


Si f y g son dos funciones f =

g

=

{( x − 3; x − 3 ) / x ≥ 3} {(1 x; x2 2 x 1) / x R} −

−

+

Álgebra 25.

Indique la gráfica de g( x)= f ( x+| x|) si la gráfica de f es

∈

Y

determine la gráfica de f o g. A)

4

Y

2

–2

X

B)

2

X

4

Y

A)

B)

Y

4

Y

4

X

C)

Y

–2

C)

X

D)

2

X

4

X

1 2

X

Y

4

Y

2 X

E)

D)

Y

E)

Y

4

Y

4

2 X

–1

15

1 2

X

1

X


Álgebra

SEMANA

09



Función inversa 6.

NIVEL BÁSICO

1.

f ( x )

4x =

x

−

−

Halle f *( x) sí e xiste.

Sea f : A → 〈1; 3〉 6

3

si f es suryectiva, determine el conjunto A. A) 〈– 2; 1〉 D) 〈0; +∞〉 2.

B) 〈– 3; 1〉

C) 〈– 3; 2〉 E) 〈– 2; 2〉

Si f : [1; 2] → [4; 9] / f ( x)=ax+b; a > 0 es una función biyectiva, calcule el valor de (a+b). A) 1 D) 4

3.

B) 2

7.

C) 3 E) 5

Si f es una función biyectiva definida por f : [2; 8〉 → [a; b〉 / f ( x)= x2 – 4 x+7; determine E

=

b

−

a.

4.

B) 2

5.

C) 4 E) 8

B) 1/2

=

2+

x

+

5; x ∈

−

B) f(* x )

=

2−

x

+

5; x ∈

−

C) f(* x )

=

x

+

5

−

2; x ∈

−

D) f(* x )

=

x

−

5

+

2; x ∈ 5; 11

E) f(* x )

=

2+

x; x

∈

5; 11 5; 11 11; 5

5; 11

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Sea f : R → R tal que f ( x)= mx+ b; m ≠ 0 es sobreyectiva. II. f ( x)= x3 – x es inyectiva para todo x ∈ R. III. g( x)= x3 – x2+ x – 1 es inyectiva para todo x ∈ R. B) VFV

C) FFF E) FVV

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Si f y g son biyectivas entonces f+g es biyectiva. II. La función g( x )

Si f ( x)=2 x+a; a ∈ Dom f es una función, tal que f (a2)= f *(a+2). Calcule un valor de f (a). A) –1 D) –1/2

A) f(* x )

A) VVV D) FFV 8.

A) 1 D) 6

Dada la función f , tal que f : 〈2; 6〉 → A x → f ( x)= x2 – 4 x – 1

x

=

x

2

+

es biyectiva.

x +1

III. Si a · b > 0 entonces la función f ( x)=ax3+ b es inyectiva.

C) – 3 E) – 3/2

A) VVV D) FFF

B) VFF

C) FVV E) FFV

Sea f : 〈–1; 1〉 → R x →

x

1 − x Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. f es inyectiva. II. f es suryectiva. III. f tiene inversa.

NIVEL INTERMEDIO

9.

Si la función f : [0; +∞〉 → A, tal que f ( x )

x

2

es suryecti-

+1

va; determine A.

A) [0; 1] A) VFF B) VVV C) FVF D) [0; 2] D) FFF E) VFV Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 15

x =

B) [0; 1/2]

16

C) [0; 1/4] E) 〈1; 4]

Álgebra


Álgebra

Si f es una función suryectiva definida por f : [3; 8〉 → [a; b〉

Además, ( h o g* o f )( m)=2 Halle ( g* o h*)( m – 8).

f ( x)= x2 – 6 x+20; calcule el valor de ( b – a).

A) 21 D) 25

B) 24

A) 2 D) 10

C) 26 E) 28 15.

11.

Si f : R → B es una función epiyectiva, tal que f ( x)=| x – 2| – x; halle el conjunto B. A) [2; + ∞〉 D) 〈 – 2; +∞〉

12.

B) 〈 – ∞; – 2]

C) 〈 – ∞; – 2〉 E) [ – 2; +∞〉

16.

C) 3

D) 2

E)

−

=

2x +

x

2

+

4

B) VFFF

C) FVVF E) VFVF

 t − 2   =   t ≠ 3  t;   t − 3  

A) 5 D) 15/2

16 ; x ∈ [0; 3 ]

halle f *( x) e indique su dominio.

Si f

1

g*={(2; 1), ( – 3; 2), (4; 5)} y ( g o f *)(a)=4; determine ( f+f *)(2a+1).

Si f es una función definida por f( x )

+

A) FVVV D) VFFV

B) 2

2

x

=

1

h= f o g o f *; halle h *(– 1).

13.

2 Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. El mínimo de la función es 2. II. Es creciente en R. III. Tiene inversa ∀ x ∈ Dom f . IV. ∀ { x1; – x1} ∈ Dom f : f ( x )= f (– x ).

 1 ; 1 ≤ x < 2  f ( x ) =  x − 1  1 − x ; x < 1  g( x)= x+2

6

C) 8 E) 1

Respecto de la función f( x )

Si

A)

B) 3

17.

B) 10/3

C) 16/3 E) 13/3

Sea f una función f : A → R, en que se cumple que x ; x ≥ 0; además, Ran f * ⊂ [1; +∞〉; ( f *o g)( x) =

2 x −

A)

D)

x2

2 x +

48

+

48

3

x +1 2

x2

x −

+

1

2 2 x +

x +1 3

g( x ) * h( x )

=

=

x

3

; x ∈ 1; + ∞ ; x ∈

x

+

1. Determine f . B) x 2 + 1

C) − x 2 + 1

D) x2+1

E) x

+

x

; 1]

+1

x

−1

3

x

− −

; x

5

1

>

0

≠1

; x

>

18.

Se da la función f( x ) mine la función f *.

=

x

+

x − 3; x

≥ 3. Deter-

−∞

; x ∈[ 0; 11]

x + 2; x

+

x

x =

=

A) x 2 + 11

; x ∈[ 0; 11]

Se sabe que * f( x )

g( x )

; x ∈[ 4; 11]

2

x +

E) 14.

+

3

B) C)

x

2

1

17

A) f(* x )

=

B) f (* x )

=

C) f (* x )

=

D) f(* x )

=

E) f (* x )

=

2 x + 1 + 4 x − 11; x 2 x + 1 + 4 x − 11 2 2 x + 1 − 4 x − 11 2

2

3

; x

≥

3

; x

≥

3

2 x + 1 − 4 x − 11; x 2 x + 1 − 4 x − 11

≥

; x

≥

3

≥

11 4


Álgebra


19.

Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. Sea f : R → R una función biyectiva y creciente, entonces f – 1: R → R es decreciente. II. Sean f , g: R → R funciones decrecientes, tales que f o g e xiste, entonces f o g es decreciente. III. Si f : R → R es una función decreciente y definamos una función g: R → R mediante g( x)= f | x|; ∀ x ∈ R, entonces g es creciente. A) VVV D) FVF

B) VFV

23.


C) f(* x )

=

1−

D) f(* x )

=

2 − ( x + 1) (1 − x ); x ∈ [0; 1]

E) f(* x )

=

2−

x ( x − 2) ; x

x (x

+

[

1; 0 ]

∈ −

2); x ∈ [0; 2]

Dada la función f biyectiva, tal que f : A → R f f ( x)= x2+ax+ b; b ≠ 0; x ≤ −

a

2 Indique las proposiciones verdaderas.

C) FVV E) FFF

I.

* f ( x ) =

II.

f ( x )

*

=

UNI 2006 - I

III. f (* x )

=

a

+

4x

+

2

a

−

4b

2

a+

4 x + a2

4b

−

2 −a −

4 x + a2

−

2

;a>0

4b

;a<0

NIVEL AVANZADO

20.

A) I, II y III D) solo III

Sean f y g dos funciones biyectivas, tales que =

x

−

3

24.

3 g( x ) = x − 3 Si ( g* o f )( u)=9, calcule el valor de ( f * o g)( u+2). x

+

A) – 3/8 D) 3/8 21.

B) –1/8

=

x

2

+

2x + 2

+

3; x ∈

C) 1/8 E) 7/8

; 1]

A) f *( x)=1 – 2 x; x ∈ [ – 2; +∞〉 B) f *( x)=1 – x; x ∈ [2; +∞〉 C) f *( x)=1+ x; x ∈ [2; +∞〉 D) f *( x)=2 – 2 x; x ∈ [ –1; +∞〉 E) f *( x)= x2; x ∈ [1; +∞〉 22.

A) VVF D) FVV

−∞ −

Halle f *( x) e indique su dominio.

Si f es una función definida por f( x )

=

1−

x (4 − x ); x

∈

Sea f (sen x+cos x)=sen2 x; x ∈ 0;

25.

B) VVV

4

C) FFF E) VFF

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. Toda función par tiene inversa. II. Toda función impar tiene inversa. III. Si f es una función creciente y suryectiva entonces existe f *. IV. Toda función decreciente en su rango tiene inversa.

[0; 2]

A) VVVV B) FFVV C) FVVV A) f(* x ) = 1 − x (2 − x ); x ∈[ −1; 1] D) VFVV E) VVFF B) f(* x ) = 2 − (3 − x ) (1 + x ); x ∈[ −1; 1] Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 Determine la función inversa f * si existe e indique su dominio.

17

π

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. E xiste la función inversa de f . II. f es creciente. III. f * es decreciente.

Sea f una función definida por f( x )

C) solo II E) ninguna

2x

*

f ( x )

B) II y III

18

Semestral Intensivo UNI

Álgebra

SEMANA

Álgebra

10

Introducción a la programación lineal A) 320 D) 260

NIVEL BÁSICO 1.

Si ( x0; y0) ∈ Z×Z es solución del sistema de inecuaciones.

4.

3 y − 2 > 2 x + 3   x + y > 5  x + 2 y < 11  x determine el valor de 0 .

B) 240

C) 250 E) 280

Optimice la función z =4 x+2 y sujeta a las restricciones 2 x + y ≥ 4   x − y ≤ 1  x ≥ 0; y ≥ 0  Indique el valor mínimo.

y0

A) 8 D) 2 2.

B) 4

A) 4 D) 8

C) 1/2 E) 1

Identifique la región del plano sujeto a las siguientes restricciones.  y + 2 x ≥ 0 3 y − x ≤ 1   2 ≥ x ≥ 0  y ≥ 0 A)

B)

Y

Y

6.

(2; 1)

X

X

Y

(2; 1)

D)

E)

Y

Y

(2; 1) (3; 2) X

3.

X

Determine el má ximo valor de la función z( x; y)=4 x+3 y si

 x + y ≤ 80  30 x + 20 y ≤ 1800  x ≥ 0; y ≥ 0 

7.

B) 5000

C) 10 000 E) 5000

Al maximizar la función f ( x; y)=3 x+8 y; sujeta a las restricciones 4 x + 5 y ≤ 40  2 x + 5 y ≤ 30  x ≥ 0; y ≥ 0  Determine con qué vértice se obtiene el máximo valor. A) (0; 6) D) (2; 1)

X

C) 12 E) 20

Minimice z=6 x+10 y+3000 sujeta a las restricciones 0 ≤ x ≤ 1000  0 ≤ y ≤ 700 0 ≤ x + y ≤ 800  indique el valor mínimo. A) 4200 D) 7800

(3; 2)

C)

5.

B) 5

B) (0; 3)

C) (1; 3) E) (2; 9)

Halle los valores máximo y mínimo de la función f ( x; y)=4 x – 2 y+15 para valores de x e y que pertenecen a la región que se muestra a continuación. A) 28 y 5 B) 23 y 23 C) 31 y 9 D) 31 y 3 E) 23 y 3

6

(5; 6)

3 (5; 2) 3

19


Álgebra


8.

Determine los valores mínimo y máximo de la función f ( x; y)=3 x+7 y; sujeto a las siguientes restricciones.

A) 42 y B) 42 y

 x + y ≥ 3  x + 2 y ≤ 6    x − y ≤ 3  x; y ≥ 0

C) 42 y D)

A) 7 y 20 D) 9 y 22

B) 9 y 19

C) 19 y 21 E) 9 y 21

E) 12.

NIVEL INTERMEDIO

9.

Si ( x0; y0) ∈ N×N es la solución del sistema de inecuaciones.  x + 2 y > 4 − x + y < 1    x + 3 y < 9  x < 3 Determine el valor de x0 · y0. A) 2 D) 8

10.

B) 4

C) 6 E) 3

Maximice la función z=3 x+2 y sujeta a las restricciones  y + 2 x ≥ 0 3 y − x ≤ 1   2 ≥ x ≥ 0  y ≥ 0 A) Alcanza su valor máximo en el vértice (2; 1). B) No tiene valor máximo. C) Su valor máximo es 7. D) Su valor máximo es 9. E) Alcanza su valor máximo en el vértice (2; 2).

11.

Determine los valores máximo y mínimo de la función objetiva f( x; y )

=

1 2

x+

1 4

81 2 81 2

y y

323 8

Y y=x

81

4

2 83

1

2

1

161

X

83 2

Determine el máximo valor de la función z=2 x+3 y, donde los valores de ( x; y) se muestran en la siguiente gráfica. Y

A) 45 B) 75 C) 100 D) 150 E) 180

(0; 50) (20; 30) (20; 20) (0; 15)

(15; 15) X

13.

Sea S la región limitada por las siguientes inecuaciones  y − x ≤ 4   y + x ≤ 6  2   x − y ≤ 0 2 − x − y ≤ −2  al minimizar f ( x; y) sobre S se afirma que A) Si f ( x; y)= x+ y; entonces se tiene 2 soluciones.

 4

B) Si f ( x; y)= y – x, entonces  ;

16 

13 3

C) Si f ( x; y ) D) Si f ( x; y )

=

x

+

2

x =

2

  es solución.

y; entonces (2; 0) es solución.

−

y; entonces se tiene infinitas

soluciones. =

y

x −

2

; (6; 3) es solución.

en la región factible indicada en Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 19

4

4

E) Si f( x; y )

y + 40


UNI 2009 - II

20


Álgebra

Si u es el número de decenas de sillas y r el

Álgebra 17.

número de decenas de mesas que fabrica una empresa al día. Si la utilidad diaria está dada por 200 u+300 r ; y se tienen las siguientes restricciones. u+ r ≤ 4 2 u+3 r ≤ 10 40 u+20 r ≤ 120 encuentre el número de decenas de mesas y sillas, respectivamente, a fabricar diariamente

A) 1000; 1000 B) 1000; 2000 C) 2000; 1000 D) 2000; 0 E) 0; 2000

de modo que la empresa se obtenga la mayor utilidad. A) 3 y 1 D) 2 y 3

B) 1 y 3

C) 2 y 2 E) 3 y 2

18.

Considere el problema de programación lineal y maximice z=30 x1+20 x2, sujeto a las restricciones

UNI 2009 - I

15.

Ciertas restricciones pesqueras obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de bonito y 2000 toneladas de corvina, además en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio del bonito es de 1000 soles/t y el precio de la corvina es de 1500 soles/t, ¿qué cantidades deben pesar respectivamente, para obtener el máximo beneficio?

10 x1 + 8 x2 ≤ 800  0 ≤ x1 ≤ 60 0 ≤ x ≤ 75  2

Maximice la función f ( x; y)=2000 x+5000 y sujeta a las restricciones 2 x+3 y ≥ – 3 2 x – y – 9 ≤ 0 2 x – 5 y – 5 ≥ 0

Dadas las siguientes proposiciones referidas al problema. I. La región admisible está acotada. II. El óptimo se cumple en el punto (60; 25). III. Un punto de la región admisible es (0; 75).

A) 12 000 D) 27 000

B) 15 000

C) 20 000 E) 18 000

Indique cuáles son correctas. A) todos

16.

Sea el problema ma xz=30 x1+20 x2 x1 ≤ 60 x2 ≤ 75 10 x1+8 x2 ≤ 800 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Se dan las proposiciones I. No existe región admisible. II. El óptimo se da en (60,0). III. Una solución factible es (0,75). Indique cuáles son correctas. A) solo I D) I y II

B) solo II

21

C) solo III E) II y III

B) solo II

D) I y III 19.

C) solo III E) II y III

Un estacionamiento puede atender un máximo de 100 vehículos entre automóviles y camiones. Un automóvil ocupa 10 m 2, mientras que un camión ocupa 20 m 2. Si el área total del estacionamiento es 1200 m2 y, además, se cobra una tarifa mensual de S/.20 por automó vil y S/.30 por camión, ¿cuántos vehículos de cada tipo proporciona al dueño una ganancia máxima? A) 60 y 80

B) 60 y 40

C) 80 y 20

D) 40 y 60 E) 60 y 30 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 20

Álgebra


NIVEL AVANZADO 20.

Si a, b, n ∈ Z y se cumple que n – 1 < a+b < n+1 n – 7 < a – b < n – 5 10 < a+n < 12 halle a+b+2 n. A) 17 D) 42

21.

B) 32

C) 21 E) 28

Sea u el número de decenas de sillas y v el número de decenas de mesas que fabrica una empresa al día. Si la utilidad diaria está dada por 200 u+300 v y se tienen las siguientes restricciones: u+v ≤ 4 2 u+3 v ≤ 10 40 u+20 v ≤ 120 Determine la máxima utilidad. A) 900 D) 1000

22.

Almacén Cliente

B) 800

A) 15 y 0 D) 6 y 12

B) 8 y 10

C) 12 y 6 E) 10 y 8

w1

A

S/.8

w1

B

S/.12

w2

A

S/.10

w2

B

S/.13

A) S/.1105 D) S/.1060 24.

A) VVV D) FFV 25.

21

B) S/.1070

C) S/.1015 E) S/.1080

Se toma un examen que contiene preguntas del tipo A con 4 puntos y del tipo B con 7 puntos. Se debe responder al menos 5 del tipo A y 3 del tipo B. Las limitaciones de tiempo impiden responder más de 10 de cada tipo. En 18 preguntas, suponiendo de que todas las respuestas son correctas, indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. La mínima nota posible es 41. II. La máxima nota posible es 102. III. Para maximizar la nota se debe resolver 10 de A y 8 de B. B) VVF

C) VFV E) FVF

En una urbanización popular se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello un máximo de S/.1 800 000, siendo el costo de cada tipo de casa de S/.30 000 y S/.20 000, respectivamente. El ayuntamiento exige que el número total de casas no sea superior a 80. Si se sabe que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es S/.4000 y de tipo B es S/.3000; ¿cuántas casas de cada tipo se deben construir para obtener el máximo beneficio?

Un distribuidor de aparatos para tocar discos compactos tiene dos almacenes w1 y w2. Hay 80 unidades almacenadas en w1 y 70 en w2. Dos clientes A y B piden 35 unidades y 60 unidades, respectivamente. El costo de embarque de cada bodega A y B aparece en la tabla si A) 20 y 60 guiente. D) 50 y 40 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 23.

Costo unitario de embarque

¿Cuál es el valor mínimo del costo total de embarque?

C) 700 E) 1200

Una empresa fabrica mesas y sillas, que se deben procesar a través de los departamentos de ensamblaje y acabado. El departamento de ensamblaje tiene 60 horas disponibles; y el de acabado, 48 horas. La fabricación de una mesa requiere de 4 horas en ensamblaje y 2 horas de acabado; y cada silla requiere de 2 horas en ensamblaje y 4 horas de acabado. Si la utilidad es de $8 por mesa y $6 por silla, determine el número de mesas y sillas a fabricar respectivamente, para obtener la máxima utilidad.


B) 20 y 50

22

C) 30 y 50 E) 40 y 45

Semestral Intensivo FUNCIONES REALES

GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

ÁLGEBRA

DE FUNCIONES

FUNCIÓN INVERSA

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

sin_2015_x_02

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