Sean las funciones f y h que cumplen lo siguiente: f( x )
halle el rango de H ( x) donde
B) 16
C) 7 E) 1
Halle la función f o g si f( x )
E) {1; 2}
g( x)=1+ x 2; si x ∈ [2; 4].
=
x
1 + x − 1; x ∈ 10; 26
C) {0; 2}
−
A) f o g={( x; y)/ y= x2+ x; x ∈ 〈3; 4]}
Sea
1, t ≥ 0 = 0; t < 0
si definimos g( t)= h( t+2) – h( t – 2), entonces se cumple que 2
t ≤ 1
X
Se define f I : R → R
h( t )
<2 t < 2
UNI 2003 - I 4.
3.
1 < t
E) X
2.
t < 1
B) f o g={( x; y)/ y= x2 – x; x ∈ 〈3; 4]} C) f o g={( x; y)/ y= x2+ x; x ∈ 〈2; 5]} D) f o g={( x; y)/ y= x + x ; x ∈ 〈3; 4]} E) f o g={( x; y)/ y= x − x; x ∈ 〈3; 4]}
Álgebra 6.
Dada la función f ( x) representada por f ( x)3 – f ( x)+3 x2= x3+3 x determine g( x) si f o g= I .
Y
A)
4
–2 3
A) x 3 − x
2
X
+1
Y 3
B) x
3
x −1 +1
−
B)
4
C) 3 x 3 + x + 1 − 1
1
2
X
D) 3 x 3 − x + 1 − 1 Y 3
E) x 7.
3
4
x −1 +1
−
C)
Sea f una función real para cualquier real x en la que se cumple las 2 condiciones: a. f (10+ x)= f (10 – x) b. f (20+ x)=– f (20 – x) Indique si es verdadero (V) ó falso (F) según corresponda. I. f es impar. II. f es periódica cuyo periodo es 40. III. f es inyectiva. IV. f es par.
2
4 X
Y
4 2
D) –1
1
2
X
Y
E)
4 2 1
A) VFVF
X
Función inversa
B) FVFV C) VVVF D) VVFF
9.
E) FVFV 8.
Sea h( x)= |x|+ x; x ∈ R, indique la gráfica de g( x)= f ( x+ |x|) si la gráfica de f es Y
4
–2
2
4
X
Dada la función f( x ) = 4 x − 1 − x + 1 para x ∈ [1; 2] determine la función f *. A) f *( x)= ( 2 +
4 − x
)
B) f *( x)= ( 2 −
4 − x
)
2
C) f *( x)= ( 2 −
4 − x
)
2
D) f *( x)= ( 2 −
4 − x
2 ) ; x ∈ [0; 3]
E) f *( x)= (1 +
4 − x
)
; x ∈ [1; 2]
+1
; x ∈ 〈1; 2〉
+1
; x ∈ [0; 3]
+1
2 +
2; x
∈ [0; 3] 3
Álgebra 10.
Determine la función inversa (si existe) de
x ; 2 > x ≥ 0 f ( x ) = 2 x − 2 ; 3 > x ≥ 2 3 x≥3 x − 23 ;
A) f *( x )
B) f *( x )
x ;2> x ≥0 x = +1 ; 9 > x ≥ 2 2 3 x + 23 ; x≥9
* f ( x )
D) f *( x )
II.
III. f *( x )
12.
11.
* f ( x )
x ;2> x ≥ 0 x + 1 = ; 4 > x ≥ 2 2 3 x − 23 ; x≥4
13.
≤−
I.
* f ( x )
a =
+
4 x + a2 − 4b 2
4b
;
a<
0
C) solo II E) ninguna
B) VVFF
C) FVFV E) VVVF
t
−e
−t
)
− ln 2 ≤ t <
}
ln 3
Y
Y
8/3
ln3
B)
– ln2
– 3/2
ln3 X – 3/2
– ln2
8/3 X
Y
8/3
C)
– ln2 ln3 X – 3/2
Y
Y
ln3
ln2
a
2 indique las proposiciones verdaderas.
4
{( t; e
Dada la función f biyectiva tal que f : A → R f x
−
0
Determine la gráfica de la función in versa de f =
x ;2> x ≥ 0 x = + 1 ; 4 > x ≥ 2 2 3 x + 23 ; x≥4
f ( x)= x +ax+ b; b ≠0; a ≠ 0;
4 x + a2 2
B) II y III
A) V VFV D) VV VV
x ;2> x ≥0 x − 1 = ; 4 > x ≥ 2 2 3 x + 23 ; x≥4
2
=
−a −
a>
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si f es estrictamente decreciente y g es estrictamente creciente y f o g existe, entonces f o g tiene inversa. II. Si f ( x)= x3+ax+ b; a > 0 ∧ b < 0, entonces existe f *. III. Si f es biyectiva, entonces f * es bi yectiva. IV. f ( x)= |x |x2+1 tiene inversa.
A)
E)
=
4 x + a2 − 4 b ; 2
a+
A) todas D) solo III
x ;2> x ≥0 x = +1 ; 8 > x ≥ 2 2 3 x + 23 ; x≥8
C)
* f ( x )
D)
E)
– 3/2 – ln2
8/3 X
– 8/3 3/2 X ln3
Álgebra 14.
Sea f una función, f : A →
R
tal que
determine el valor de
se cumple que ( f * o g)( x)= x ; x ≥ 0 además Ran f *
⊂
[1; +∞〉, g( x )
A) 8
determine f .
B) f ( x)= x
2
18.
+1
C) 2 E) 1
Represente gráficamente todas las solucio-
nes del siguiente sistema de inecuaciones
C) f ( x)=– x 2 + 1
lineales.
D) f ( x)= x2+1
x + 2 y ≥ 8 − x + 2 y ≤ 4 3 x − 2 y ≤ 8
E) f ( x)= x + x 15.
B) 1/2
D) 4
A) f ( x)= x 2 + 11
.
y0
x +1
=
x0
Si f
t − 2 = t; t ≠ 3 t − 3
Y
A)
g*={(2; 1); (– 3; 2); (4; 5)}
y ( g o f *)(a)=4 entonces determine
X
( f + f *)(2a+1). A) 5
B) 10/3
D) 15/2 16.
Y
C) 16/3 E) 13/3
Sea f (sen x+cos x)=sen2 x; x ∈ 0;
π
4
B)
,
X
indique las proposiciones verdaderas.
Y
I. Existe la función inversa de f .
II. f es creciente.
III. f * es decreciente. A) V VF D) FVV
B) VVV
C)
Introducción a la programación lineal 17.
X
C) FFF E) VFF
Y
D) X
Si ( x0; y0) ∈ Z×Z es solución del sistema de inecuaciones
3 y − 2 > 2 x + 3 x + y > 5 x + 2 y < 11
Y
E) X
5
Álgebra 19.
Determine los valores máximo y mínimo 1
1
2
4
de la función objetivo f( x; y) = x + y + 40 en la región factible indicada.
y=x
A) 96 y 104 B) 69 y 104 D) 292 y 121
1 1
A) 42 y
4
X
8
81 2
C) 42 y
83 2
D) 81 y 161 2
4
81 83 y 2 2
20. Dadas las siguientes proposiciones res-
pecto a la programación lineal. I. Las restricciones de desigualdad son polinomios de primer y segundo grado. II. El punto óptimo se encuentra en la región admisible. III. La región admisible contiene puntos, los cuales tienen algunas de sus coordenadas valor negativo. Son correctas A) solo I D) I y II
B) solo III
C) solo II E) II y III UNI 2006 - II
6
C) 69 y 227 E) 205 y 292
22. Una fábrica de sillas produce dos mo-
delos. El modelo A toma 3 horas de ensamblado y 0,5 horas de pintura. El modelo B toma 2 horas de ensamblado y 1 hora de pintura. El número máximo de horas disponibles para ensamblar sillas es 240 por día y el número máximo de horas disponibles para pintar es de 80 diarios. Determine un sistema de desigualdades que describa la situación. Sea x el número de modelos A producidos en un día y el número de modelos B producidos en un día.
323
B) 42 y
E)
Determine el valor mínimo y máximo de la función f ( x; y)=3 x+7 y sujeto a las siguientes restricciones.
5 x + 2 y ≥ 100 x + 4 y ≥ 110 5 x + 11y ≤ 460 x ≥ 0; y ≥ 0
Y 4
21.
x + 6 y ≤ 480 x + 2 y ≤ 80 A) x ≥ 0 y ≥ 0
y + 6 x ≤ 480 y + 2 x ≤ 80 B) x ≥ 0 y ≥ 0
x + 3 y ≤ 250 x + 2 y ≤ 80 C) x ≥ 0 y ≥ 0 2 x + 3 y ≤ 100 x + 2 y ≤ 250 D) x ≥ 0 y ≥ 0
3 x + 2 y ≤ 240 x + 2 y ≤ 160 E) x ≥ 0 y ≥ 0
Álgebra Límites
23. Se toma un examen que contiene pre-
guntas del tipo A valuadas con 4 puntos y del tipo B, con 7 puntos. Se debe responder al menos 5 del tipo A y 3 del tipo B; las limitaciones de tiempo impiden responder más de 10 de cada tipo. En total no se pueden responder más de 18 preguntas. Suponiendo que todas las respuestas son correctas, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. La mínima nota posible es 41. II. La máxima nota posible es 102. III. Para maximizar la nota se debe resolver 10 de A y 8 de B. A) VVV D) FFV
B) VVF
C) VFV E) FVF
25. Indique verdadero o falso según corres-
ponda. I.
II.
III.
n3 + 3 n − n + 1
lím n → 0 2 n3
+
n + n −1
x 3 − 7 x + 6
lím x → 2 x 3
lím y→+∞
sen
5
x2 − 4 x − 4
+
( y3
( y
3
A) FVV D) FFF
=1
3
+3
3 +
y)
y)
=
12
=1
B) VVF
C) VVV E) VFV
26. Determine el límite siguiente
n2 + 2010 + 2n
lím n → +∞
2
4 n
+
n +1
24. Sea S la región limitada por las siguien-
A) 3/4 D) 2
tes inecuaciones •
•
•
y – x ≤ 4 y + x
2 •
x 2
≤6
27.
B) 3/2
C) 2/3 E) 3
Halle el siguiente límite sen ( x − 1) lím x → 1 x 2 + x − 2
− y ≤ 0
x – y ≤ – 2
–
al minimizar f ( x; y) sobre S se afirma que A) Si f ( x; y)= x+ y, entonces se tiene 2 soluciones. B) Si f ( x; y)= y – x, entonces solución. C) Si f ( x; y)= solución. D) Si f ( x; y)=
x
2
4 ; 16 es 13 3
, entonces (2; 0) es
+ y
x
− y , entonces se tiene 2 infinitas soluciones.
E) Si f ( x; y)= y − solución.
x
2
A) 1/3 D) 2
B) 1/2
C) 0 E) 1
28. Calcule el siguiente límite.
x 2 tan (5 x ) lím x → 0 sen x
A) 3 D) 2
B) 1/2
C) 0 E) 1/5
29. Determine el siguiente límite. lím
( x 2010 (ln x )2005 )
x → 0+
, entonces (6; 3) es UNI 2009 - II
A) + ∞ D) – 1
B) – ∞
C) 0 E) 1 7
Álgebra 30. Sea la función f : N → N tal que
f ( n+2)= f ( n+1)+ f ( n); f (1)=2 ∧ f (2)=4
entonces determine el siguiente límite f ( n+1)
lím
f ( n)
n → +∞
A)
5
−1
B)
2
1+
5
2
D) 0 31.
C)
5 2
E) +∞
32. Con respecto a la siguiente función 1
f ( x )
=
2 x
1
−
indique verdadero o falso según corresponda. I. lím x → 1– f ( x)=0 II. lím x → 1+ f ( x)=+∞ III. lím x →+∞ f ( x)=lím x → – ∞ f ( x)=1 IV. La gráfica de f ( x) tiene la forma aproximada siguiente. Y
Se define la función siguiente f : N → N tal que 3 f( n) + 1; si f ( n) es impar . f ( n+1) = f ( n) ; si f ( n) es par 2
X
y f (1)=10, entonces con respecto al siguiente límite lím
