PRÁCTI CADEÁLGEBRA Tema: Cocientes Notables Not ables
Profesor: Walter Rogger Torres Iparraguirre
APRENDIZAJES ESPERADOS 1. Identifica Identifica las divisiones divisiones que originan originan un cociente cociente 2. 3. 4.
notable. Proporc Proporciona iona el desarr desarroll olloo del cociente cociente de una una división notable. Aplica las fórmulas apropiadas para calcular un término término cualquiera y el número de términos en el desarrollo de un cociente notable. Resuelve ejercicios y/o problemas que involucren cocientes notables.
COMENTARIO PREVIO En el estudio de la división algebraica !emos logrado !allar el cociente y el residuo mediante la aplicación correct correctaa de métodos métodos técnic técnicas as procedi procedimie mientos ntos o algoritmos. Ante una determinada estructura de las e"presiones algebraicas denominados #ividendo y #ivisor $a!ora% nos asiste tratar con divisiones que por su forma o est estruct uctura ura las denom nominamos amos #I&I'I()*' )(+ )(+A, A,-* -*' ' que que origi rigina nar rnn en su desa desarrrol rollo Cocientes Notables o Ine!iatos .
CONTENIDO TE"RICO 1. COCIENTES NOT NOTA#$ES A#$ES Reciben este nombre aquellos cocientes que se originan de divisiones que adquieren la forma
xn
n ±a
n ∈ 01
x±a *l desa desarr rrol ollo lo de esto estoss coci cocien ente tess se pued puedee escribir escribir correctamente correctamente sin necesidad necesidad de efectuar la división. *s importante !acer notar que los términos de su desarrollo se caracteri2an por que obedecen a una misma ley de formación de la forma general
Exponente comú xn ± an x±a
Bases Podemos e"traer las siguientes caracter3sticas *l #ividendo y el #ivisor deben ser binomios o cualquier otra e"presión que se redu2ca a ellos.
-as -as base basess est estnn indi indica cada dass en el divisor debiéndose repetir en el dividendo.
-os e"pon e"ponent entes es que afect afectan an a las las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indi indicar car el númer númeroo de térm términ inos os que tendr en su e"pansión el cociente notable.
2. EST%DIO DE $A DIVISI"N NOTA#$E 'e pres present entan an 4 form formas as o casos casos dist distin into toss de divisiones notables que lo vamos a determinar combinando adecuadamente los signos.
P&ie& Caso'
xn
− an x−a
Aplicamos el +eorema +eorema del Resto "5a67 ⇒ "6a Reempla2amos en el #ividendo R 6 an 5 an
⇒
R67
Por tanto podemos afirmar que esta e"presión origina un cociente e"acto. -uego el cociente es
n
" −a
n
="
" −a
n −8
+"
n−9
a+ "
n−: 9
a + .... + "a
n− 9
+a
n −8
C)a&to Caso'
xn
+a
n
x +a
xn
Se()n!o Caso'
+a
n
Aplicamos el +eorema del Resto " 1 a 6 7 ⇒ " 6 5a
x −a
Reempla2amos en el #ividendo Aplicando el +eorema del Resto "5a67
Si n es un número parR: = 2 an
"6a
⇒
n R = (-a) + an⇒
Reempla2amos en el #ividendo
n
" +a
n
="
" −a
n −8
+"
n− 9
a+"
xn
Te&ce& Caso'
n−: 9
a
+ .... + "a
n−9
+a
n −8
+
9a
n
"−a
⇒
-uego el cociente obtenido es 'i ;n< es un número par
"n
+ an = " n −8 − " n − 9 a + " n − : a 9 − .... + "a n "+a =ociente notable entero
x+a
'i ;n< es un número impar
"n
+ an = " n −8 − " n − 9 a + " n − : a 9 − .... − "a n "+a =ociente notable e"acto
Obse&*aciones' Por lo e"puesto anteriormente
Si n es un número parR: = 0
R = (-a) - a
podemos concluir -os divisores de la forma >" 5 a? provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos.
Origina un cociente exacto. Si n es un número impar: R = -2 an
≠
0
Origina un cociente completo.
-os divisores de la forma >" 1 a? provocan un desarrollo cuyos signos estn en forma alternada as3 1 5 1 5 . . . .
*l primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor obteniéndose "n 58.
A partir del segundo término del desarrollo el e"ponente de la primera base disminuye de 8 en 8 mientras que aparece la segunda cuyos e"ponentes aumentan de 8 en 8 !asta >n 5 8?.
*l desarrollo es un polinomio !omogéneo.
-uego el cociente obtenido es 'i ;n< es un número par el último término ocupa lugar par n
" −a
n
"+a
n −8
n−9
n−: 9
n −9
n −8
a+" a − .... + "a =" −" −a =ociente notable e"acto
'i ;n< es un número impar el último término ocupa lugar impar. "
n
−a
"+a
n n−8
n−9
Origina un cociente completo.
− an
Aplicamos el +eorema del Resto " 1 a 6 7 ⇒ " 6 5a Reempla2amos en el #ividendo
n n
n−:
9
n−9
n−8
=" −" +a a+ " a − .... − "a =ociente notable entero
0
Si n es un número impar: R=0 Origina un cociente exacto.
R 6 an 1 an ⇒ R 6 9 a n ≠ 7 Por tanto podemos afirmar que esta e"presión origina un cociente completo o cociente mi"to. -uego el cociente es
≠
+
− 9a
n
"+a
3. PRINCIPIO A C%MP$IRSE EN %NA DIVISI"N NOTA#$E x
m
xq
± ±
p a a r
*s división notable o inmediata si y sólo si
m
p =
=
q
r
=uando el divisor es de la forma >" 5 a? entonces el signo del término buscado ser positivo >1?. =uando el divisor es de la forma >" 1 a? entonces el signo del término buscado ser >5? 'i el lugar que ocupa es PAR. >1? 'i el lugar que ocupa es IPAR.
n
#onde n 6 )úmero de términos del cociente notable m p q r ∈ R ∧ n ∈ 01 #e la división notable e"puesta podemos concluir -os e"ponentes de ;"< y ;a< en el divisor nos indicar la forma como aumentan o disminuyen los e"ponentes de las variables mencionadas. 'i r @ q los grados absolutos del desarrollo aumentarn de acuerdo a la diferencia >r5q?. 'i r q los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia >q5 r?.
PRO#$EMAS E0P$ICATIVOS 1 Jallar la división que origina el siguiente cociente notable x 78
E+e,lo No. 1 "
98
"
:
−a −a
B
8E
+"
8B B
a
+"
89 87
a
+"
•
E+e,lo No. 2 "
"
4
F.A.
8E
−a 97 8C : 89 C = + " " a +" a +" − a: →
*s una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables sin necesidad de conocer los dems Para una división de la forma "
n
± a
" ± a
n
="
n−8 8°
n−9
n−:
a ±" a+" 9°
Tk
•
•
97 @ 8D @ 8E @ 8G @ 8C @ 8B
4. -"RM%$A DE$ TRMINO /ENERA$ DE$ DESARRO$$O DE $OS COCIENTES NOTA#$ES
=
9
n−H
H −8
± ... ± " a
:°
Signo x n
n−9
H°
−
n−8
+ ... ± "a ±a
8
"
8
" E7
8
"9
8
−
•
" E7 "
*?
x4
"
8
x2
+
x +1
=?
8
E7
"
+
8 8
*l primer e"ponente empie2a con GE entonces el e"ponente original es 9 unidades ms >constante? luego el e"ponente inicial es E7 *ntonces uniendo las premisas se tiene 4 2 x − 1 2 x −1
Cla*e C
2 Jallar el octavo término del desarrollo de
− ! 72 x" + !6
x
*l signo del término buscado depender de la forma del divisor y del lugar
,?
++
Identificamos que el cociente solo tiene signos positivos de lo cual deducimos que el divisor y dividendo tienen signo negativo >=aso 8? 'olo identificamos una variable luego uno de los términos es la unidad =ada término disminuye en 9 unidades>constante? donde la variable común es x 2
n
k a k 1
x 74
Resol)cin
F.A. → 8E 97 99 94 9C 9E :7
94
+
GE " 8 #? " 8
:B
="
x 76
" E7
A? Para ser ms objetivos veamos los siguientes ejemplos
+
6
A? " 97y 49 "
" 97 y 49
,?
En 5 89 6 Bn ⇒ :n 6 89 ⇒ n 6 4
=?
Cla*e C
49 97
#?
y
" 49 y 97
*? ) . A.
4 'i el grado del octavo término del cociente
Resol)cin (rdenando la división con los términos comunes x " # ! 6 12
12
x "
− ! 6 x" + !6
Tk
= signo
notable que origina
,? 9E *? 47
Resol)cin
x k −1 $a n − k
=omo el divisor es de la forma >" 1 a? y el término ocupa lugar Par entonces el signo ser negativo >−?.
T8
x 4n + 4
3 =alcular el valor de ;n< en
x n +1
+
−
! "n
! 2n − '
para que sea un cociente notable. ,?: *?G
=?4
x 4n + 4 x n +1
=
x n − 24
+
m
p =
q
−
! "n
! 2n − '
+4 "n = n +1 2n − ' 4& n + 1% "n = & n + 1% 2n − '
KLué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable el término cuyo grado absoluto es 9B9M x16 x4
! 28 7 − !
−
,? :B *? :D
=? :C
Resol)cin
± a p es división notable ± a r
o inmediata si y sólo si
*ntonces en
&1% 8 −1
n 5 94 6 89 ⇒ n 6 :C
A? :: #? :G
Resol)cin Recuerda
=
−8
n '
Cla*e D Cla*e #
xm xq
&x ' % '
-uego
− x 2 ! 42
A?9 #?B
n T8
= − & x " %12 − 8 & ! 6 % 8 −1
=
es 89
=? :9
)úmero de términos ser
T8
−1 −1
#etermine el valor de ;n< A? 94 #? :C
#onde n 6 89 H 6 E
xn x'
=
r
n
se cumple
Jallemos el término que ocupa el lugar ;H< que cumpla la condición dada. Tk = (x 4 ) 40 - k (y 7 )k -1 F A +N 6 8C7 5 4H 1 GH 5 G 6 :H 1 8B: Por dato del problema F.A.+N 6 9B9 ⇒ :H 1 8B: 6 9B9 ⇒ H6 ::
Cla*e A PRCTICA DE C$ASE
4n
1 #esarrollar •
x"
−1 x −1
x'
•
+
a'
m
:7 4B
n
9 :
x+a
m n
− (1 a ' − ( 2
a a
a1"
•
8794 " 97 9" 9
x6
− 64 x+2
•
" G9
a 2 + '2 ( " a 4 + 2 (
•
y87E
"9
y:
x6
4 #eterminar el 4O término de
2 =ompletar
−
a6
x−a
Di*isin notable
Cociente notable x'
8
A? " 9a:
,? − " 9a :
#? − " :a 9
*? ).A.
=? " :a9
+ x 2 ! + x! 2 + ! '
*l desarrollo de x'
a4
x+
− ! *
x'
!4
− x2 + x −1
términos. Jallar >R 1 '?
− 2a ' + 4a 2 − 8a + 16
A? 84 #? −DE
+
,? −84 *? BC
tiene E
=? DE
5 K=ul es el valor de ;a< en el desarrollo de la ")
siguiente división notable
+ "8 + "7 + " 6 + "" + + "
16m 4
− ! "a −18 x 2 − !)
xa
− 24m ' + '6m 2 − "
3 =ompletar
=ociente notable
89
y
"
y:
"
:C
s o n i m r é t e d o r e m ú )
+ermino de lugar H
:
B
G
D
A? 94 #? 47 6 =alcular 2 ) + 28
+
27
++
24
+
2'
+
A? :8 #? :
,? 9E *? 49
22
=? :C
+
22
+
2 +1
2 +1
,? :9 *? ).A.
=? ::
7 #etermine el coeficiente del quinto término de la siguiente división notable &2 x % 21 − m14 &2x % '
− m2
A? 9 #? :9
8
,? E *? C4
14 =alcular el valor numérico del término central
=? 8C
del cociente notable originada al dividir
xa 'ea la división notable x"
− ! ( − !7
( x + ! )1 − ( x − ! )1
término 8G es x11" !112 . =alcular ;b − a< A? :7 #? 877
,? B7 *? 977
1 -a división de
x
"
− ! 2
− !2
,? 87 *? ).A.
origina un
=? E
11 =alcular el valor numérico del C término del =7ciente notable correspondiente siguiente división ( x + 1) 7 + ( x − 1) 7 Para " 6 : 2x A? −894 #? −C9
,? −89E *? 89E
cociente notable.
a
la
=? 894
8 del desarrollo del ( x + ') '6 − x '6 −
2x + ' A? 89E #? :9
,? 9BC *? 8:
=? C4
13 =alcular el cuarto término del desarrollo
( x + ! )18 − ( x − ! )12 ( x + ! )' − ( x − ! ) 2 'i x A? 8C #? :C
=
2
', !
=
,? C4 *? 4
', !
=
2
2
,? C4 *? ).A.
=? E8
x 6n − '
−
x 6n − 6
+
x 6n − )
− $$$ +
x)
−
x6
+
x'
−1
x 'n − '
−
x 'n − 6
+
x 'n − )
− $$$ +
x)
+
x6
−
x'
+1
A? x 'n + ' #? x n + 1
,? x 'n *? x
−1
=? x n
x 14
+
x12
x1 + x 8 + x 6 + x 4 x 6 + x 4 + $$$ + x 2 + 1 +
+
x2
+1
#etermine el resultado de simplificar A? x 8 + 1 ,? x 6 + 1 =?
x" + 1 #? x 7 + 1
*? x 8
+1
PRO#$EMAS PROP%ESTOS
1 #etermine el quinto término de la división 7 − 128 x notable x−2 A? 16x 2 −
8x
,? '2x 4
=?
4
#? '2x " 2) 2 =alcular 2)
*? ).A.
− 28 + 2 7 − − 1 + 28 + 2 7 + + 1
1
=? E8
+1
15 Aplicando cocientes notables
12 Jallar el valor numérico del término de lugar 9D para " 6
=
1 'implificar
cociente notable. Indique la cantidad de términos que posee. A? 89 #? C
Para x A? 89E #? :C
=? E7
− x "n 1
8x! x 2 + ! 2
donde el
A?8/9 #?9/:
,?8/: *? ).A.
=?8/4
3 =alcular el tercer término del cociente notable
=
originado por +
A? " 9
"
&x
,? " 9
9"
8
=? " 9
9"
8
del cociente notable al que da lugar la división x1 − !1" es igual a x a +1 ! ( + 4 x 2 − !'
− 1% " + 1 x #? " 9
8
"
8
*? Qaltan datos
la siguiente división − + k 7 ( 1 + m 7 ( 8 ( −1 ( k +m
,? C *? D
=? G
4 =ul es el valor de a.b sabiendo que la 4 x 2 & 2 x % a − &' !% a + ( 8 x ' − 24' ! "
división
genera un cociente notable A? :EC #? :DC
,? :ED *? :DD
=? :D9
,? C *? ).A.
=? G
a 4 − ( 2 notable. el término que tiene 2 a − ( como grado absoluto :4.
,? : *? E
el valor numérico del cuarto término del cociente notable x12 − ) ' =uando x = − ' −1 x2 + ' A? −: #? 9G
=? B
,? : *? D
=? −9G
8 *l siguiente polinomio x12
+
x8
+
x4
+1
es cociente de
A?
x16
#?
−1
x16
+1 x −1
,?
x2
x16 x
KLué lugar ocupa en el desarrollo del cociente
A? C #? G
A? 4 #? E
7 #eterminar
3 Jallar el número de términos del desarrollo de
A? 4 #? E
6 =alcular a.b sabiendo que el cuarto término
+1 −1
=?
4
−1 x12 + 1 x4 −1
1 'i
x8 *? x2
x p ! 28
+1 −1
x16 ! 2& p − 6%
son
términos equidistantes de los e"tremos en el x
cociente notable de
m
− !n
4
7
x
−!
calcular
;m1n1p<
5 'i un término del desarrollo de x
6a −1 x
a
+ ! " (
+ ! (
A? 99B #? 9BG
es x 2 ! 6
=alcular el valor de m1 n A? 8C #? 8G
,? 8: *? 8E
,? 9:B *? :99
=? 94B
TAREA DOMICI$IARIA =? 8B
1 'i los grados absolutos de los términos del cociente notable x mn
−
!n
xm
−
!
&an disminuyendo de dos en dos y adems el cuarto término tiene un grado absoluto de 98. Jallar su número de términos. A? G #? 87
,? E *? ).A.
=? D
2 Jallar el lugar que ocupa el término de grado 878 en el desarrollo de x18 − - 8 >" 2? 6 x) − -4 A? 88 #? 8G
,? 8: *? 8D
=? 8B
3 -a suma de todos los e"ponentes de las variables del desarrollo de x1
− !1 es 4 −!
x4
A? 9477 #? 9G77
,? 9B77 *? 9E77
=? 9C77
4 'i A es el penúltimo término del cociente notable generado por
x
4
+ !1 !allar el 4 + x !
término A. A? x
#?
x 4
)
!
x
!
8
,? − x 4 ! 8
)
*? − x 8 ! )
=?
8
8
!
x m − !n 'i m − n 6 9G y es un cociente 7 4 x −!
notable determinar el grado absoluto del se"to término del desarrollo A? 47 #? 44
,? 48 *? 4B
=? 4:
