Diferencial Total; Total; Regla de la Cadena
Ernaldo Caruajulca Muñoz
[email protected]
¿Qué es un acimut?
http://www.youtube.com/watch?v=Kj5VVjLh_xo
¿En
qué plano se calculan los acimut? ¿Qué relación tiene el plano acimutal con la superficie terrestre en un determinado punto de la tierra?
Responda las siguientes preguntas:
¿Qué relación existe entre el plano tangente y la superficie, localmente?
¿qué contenido matemático nos permite aproximar el cambio que experimenta una función, localmente? http://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/derivadas/nivel3/teoria/derivadas9.htm
Resuelva el siguiente problema de aplicación:
LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la gestión e ingeniería a partir de la regla de la cadena usando el teorema de la función implica así como la derivada como variación total, e interpretando su resultado, de forma coherente.
TEMARIO •
•
•
Incrementos y Diferencial Total Regla de la cadena para funciones de varias variables. Diferenciación parcial Implícita
INCREMENTOS Y DIFERENCIALES Para funciones de una variable y=f(x) , se define:
El incremento de y como: y
El diferencial de y como:
dy f ( x)dx
f ( x x) f ( x)
y representa la variación en y a lo largo de la recta tangente cuando x varía en una cantidad dx = ∆x.
y representa el cambio en la altura de la curva y=f ( x). Gráficamente
Observe que ∆y – dy se aproxima a cero más rápidamente que ∆x , ya que:
y dy
dx
f ( x x ) f (x ) f (x ) x x
f (x x ) f (x ) x
f ( x)
Por tanto ∆y = dy + ε ∆x donde ε →0 conforme ∆x →0
y al hacer ∆x →0 , tenemos que ε →0
INCREMENTOS Y DIFERENCIA TOTAL Ahora consideremos una función de dos variables z = f ( x, y) Si ∆x y ∆y son los incrementos en x y y, entonces el correspondiente incremento en z es: z
f ( x x, y y) f ( x, y)
Con lo cual ∆z representa el cambio en el valor de f cuando ( x,y) cambia a ( x+ ∆x , y+ ∆y ).
DIFERENCIAL TOTAL Si z = f ( x, y) y ∆x y ∆y son los incrementos en x y en y , las diferenciales de las variables independientes x y y son dx= ∆x y dy= ∆y Y la diferencial total de la variable dependiente z es:
dz f x ( x, y ) dx
f y ( x, y ) dy
Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables
Ejemplo 1 Hallar la diferencial total de cada función.
) z = f ( x, y) = 2 x sen y – 3 x2 y2 a Solución:
dz f x ( x, y ) dx
f y ( x, y ) dy
dz (2seny 6 xy 2 ) dx
(2x cos y 6x 2 y ) dy
) w = f ( x, y, z ) = x2+ y2 + z 2 b Solución:
dw f x ( x, y, z ) dx
dw 2 x dx
f y ( x, y, z ) dy f z ( x, y , z ) dz
2 y dy 2z dz
DIFERENCIABILIDAD Una función f dada por z = f ( x, y) es diferenciable en ( x0 ,y0) si ∆z puede expresarse en la forma z
f x ( x0 , y0 ) x
f y ( x0 , y0 ) y
1x 2 y
donde ε1 y ε2 →0 cuando ( ∆x , ∆y ) → (0 ,0). La función f es diferenciable diferenciable en todo punto de R .
en una región R si es
Observación: Esta definición afirma que el cambio real en z es aproximadamente igual a la diferencial total dz , cuando los incrementos ∆x y ∆y son pequeños, es decir, z dz
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE : dz y ∆z En una variable, ∆ y = f ( x0 +∆ x) – f ( x0) se puede aproximar con el diferencial.
dy
f ( x0 ) dx
De manera similar, el cambio en f en dos variables es, ∆ z = f ( x0 +∆ x, y0 +∆ y ) – f ( x0, y0) se puede aproximar con el diferencial total, df = f x ( x0, y0)dx + f y ( x0, y0)dy. Es decir, si f es diferenciable en ( x0, y0) y si ∆x y ∆y son pequeños, entonces f se puede aproximar usando el plano tangente: f ( x, y) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
Si z = f ( x, y) es diferenciable, el diferencial total df representa el incremento de f a lo largo del plano tangente a f en el punto ( x, y). Sería como calcular con el plano tangente en vez de usar la superficie S .
Ejemplo 2: Análisis de errores El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es ±0.1 mm. Las dimensiones de la caja son x =50 cm, y =20 cm y z = 15 cm, como se muestra en la figura. Utilizar dV para estimar el error propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja. Solución El volumen de la caja está dado por V=xyz, y por tanto dV
V x
dx
V y
dy
V z
dz yzdx xzdy xydz
Utilizando 0.1 mm = 0.01 cm, se tiene dx = dy = dz = ±0.01, y el error propagado es aproximadamente: dV
(20)(15)(0.01) (50)(15)(0.01) (50)(20)(0.01) 20.5
Como el volumen medido es V=(20)(50)(15)=15 000 cm 3 el error relativo, ∆V/ V es aproximadamente: V
V
dV V
20.5 15000
0.14%
cm3
REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Sea w = f ( x, y), donde f es una función derivable de x y y. Si x= g (t ) y y = h(t ), donde g y h son funciones derivables de t , entonces w es una función diferenciable de t , y
dw dt
w
dx
x
dt
w
dy
y
dt
Ejemplo 3 Sea z = x2 +3 y2, donde x = et y y = cos(t ) , entonces z x
z
z y
y
x dx
dy
dt
dt
dz dt dz dt
t
t z
d x
x
d t t
z
d y
y
dt
2 xe 6 ysen(t )
REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES
Sea w = f ( x, y), donde f es una función diferenciable de x y y. Si x= g ( s,t ) y y = h( s,t ) son tales que las derivadas parciales de primer orden ∂ x/∂ s, ∂ x/∂t , ∂ y/∂ s y ∂ y/∂t existen, entonces ∂w/∂ s y ∂w/∂t existen y están dadas por w s
w x x s
w y y s
y
w t
w x x t
w y y t
Ejemplo 4 Sea f una función derivable y z = f ( x,y), con x= r.cos(θ ) y y= r.sen(θ ) , entonces f
f
z
x
y
y
x x
x
y
y
r
r
θ
r
r z
f x
r
x r
z
f x
x
f y
y r
f y y
f x
cos
f x
θ
f y
sen
sen r
f y
r cos
DERIVACIÓN PARCIAL IMPLÍCITA
Si F ( x,y) = 0 define a y implícitamente como función derivable de x , entonces: dy
d x
F x ( x, y) F y ( x, y )
,
F y ( x, y ) 0
Si F ( x,y,z ) = 0 define a z implícitamente como función diferenciable de x e y , entonces: z x
F x ( x , y, z ) F z ( x, y, z )
,
z y
F y ( x , y, z ) F z ( x, y, z )
,
Fz ( x, y, z ) 0
Ejemplo 5 Sea z definida de manera implícita por F ( x, y, z ) = xyz + x + y =0. Entonces: F y F x zy 1 zx 1 z x z y , F z xy Fz xy
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE APLICACIÓN
BIBLIOGRAFÍA #
CÓDIGO
1
515 THOM 2007
2
515 CLA PITA 2009
3
515 LARS 2008
AUTOR
TÍTULO
THOMAS
Calculo en Varias Variables
CLAUDIO PITA.
Cálculo Vectorial
LARSON, RON
Cálculo II
