767
Resumen
Resumen DEFINICIONES
La corriente eléctrica I en en un conductor se define como I
dQ
(27.2)
dt
donde dQ es es la carga que pasa a través de una sección transversal del conductor en un intervalo de tiempo dt . La unidad del SI para corriente es el ampere (A), donde 1 A 1 C/s.
La densidad de co en un conrriente J en ductor es la corriente por unidad de área: J
I A
(27.5)
La resistencia R de de un conductor se define como R
¢ V
(27.7)
I
donde V es es la diferencia de potencial a través de él e I es es la corriente que conduce. La unidad del SI para resistencia es volts por ampere, que se define como 1 ohm (); es decir: 1 1 V/A. CONCEPTOS Y PRINCIPIOS
La corriente promedio en un conductor se relaciona con el movimiento de los portadores de carga mediante la correspondencia I prom prom nqv d A
La densidad de corriente en un conductor óhmico es proporcional al campo eléctrico de acuerdo con la expresión J s E
(27.4)
donde n es es la densidad de portadores portado res de carga, q es es la carga en cada portador, es el área v d es la rapidez de arrastre y A es de sección transversal del conductor. Para un bloque uniforme de material, con área de sección transversal y longitud , la A y resistencia en toda la longitud es R
r
A
(27.10)
(27.6)
La constante de proporcionalida proporcionalidadd s es es la conductividad del material del conductor. El inverso de s se se conoce como resistividad r (esto es, r 1/s ). ). La ecuación 27.6 se conoce como ley de Ohm, y un material materi al obedece esta ley si s i la relación relaci ón de su densidad den sidad de corriente a su campo eléctrico aplicado es una constante independiente del campo aplicado.
En un modelo clásico de conducción eléctrica en metales, los electrones se tratan como moléculas de un gas. En ausencia de un campo eléctrico, la velocidad promedio de los electrones es cero. Cuando se aplica un campo eléctrico, los electrones se mueven (en promedio) con una velocidad de arrastre v d que es opuesta al campo eléctrico. La velocidad de arrastre está dada por S
S
S
v d
q E m e
(27.13)
t
donde q es es la carga del electrón, m e es la masa del electrón y t es es el intervalo de tiempo promedio entre colisiones electrón-átomo. De acuerdo con este modelo, la resistividad del metal es
donde r es es la resisti vidad del material.
r
m e
(27.16)
nq 2t
donde n es es el número de electrones libres por unidad de volumen. La resistividad de un conductor varía de manera aproximadaaproximadamente lineal con la temperatura, de acuerdo con la expresión r r 0[1 a (T T 0)] (27.17)
donde r 0 es la resistividad a cierta temperatura de referencia T 0 y a es es el coeficiente de temperatura de resistividad.
Si a través de un elemento de circuito se mantiene una diferencia de potencial V , la potencia , o proporción a la que se suministra energía al elemento, es I V
(27.20)
Ya que la diferencia diferencia de potencial a través de de un resistor es conocido por V IR , la potencia entregada al resistor se expresa como 2
I R
1 2 ¢ V
R
2
(27.21)
La energía entregada a un resistor por transmisión eléctrica aparece en la forma de energía interna en el resistor.
768
Capítulo 27
Corriente y resistencia
Preguntas O indica pregunta complementaria. 1. A menudo los artículos periodísticos contienen afirmaciones
10. Si las cargas circulan muy lentamente a través de un metal,
como la siguiente: “pasaron 10 000 volts de electricidad a tra vés del cuerpo de la víctima”. ¿Qué es lo incorrecto en esta frase? 2. ¿Cuáles son los factores que afectan la resistencia de un conductor? 3. O Dos alambres A y B con secciones transversales circulares elaborados del mismo metal tienen iguales longitudes, pero la resistencia del alambre A es tres veces mayor que la del alambre B. i) ¿Cuál es la relación del área de sección trans versal de A a la de B? a) 9, b) 3, c) 1 3 , d) 1, e) 1/1 3 , f) 13, g) 19 , h) ninguna de estas respuestas necesariamente es verdadera. ii) ¿Cuál es la relación de los radios de A al de B? Elija entre las mismas posibilidades. 4. O Un alambre metálico de resistencia R es cortado en tres piezas iguales que después se trenzan lado a lado para formar un nuevo cable con una longitud igual a un tercio la longitud original. ¿Cuál es la resistencia de este nuevo alambre? a) R /27, b) R /9, c) R /3, d) R, e) 3R, f) 9R, g) 27R. 5. Al duplicar la diferencia de potencial aplicada a cierto conductor, se observa que la corriente aumenta en un factor igual a tres. ¿Qué puede deducir del conductor? 6. Utilice la teoría atómica de la materia para explicar por qué la resistencia de un material se incrementa conforme aumenta su temperatura. 7. O Un alambre de metal óhmico es portador de corriente y tiene un área de sección transversal que a partir de un extremo del alambre gradualmente se vuelve más pequeña. La corriente tiene el mismo valor para cada sección del alambre, así que la carga no se acumula en algún punto. i) ¿Cómo varía la rapidez de arrastre a lo largo del alambre conforme el área se vuelve más pequeña? a) Aumenta. b) Disminuye. c) Permanece constante. ii) ¿Cómo varía la resistencia por unidad de longitud a lo largo del alambre conforme el área se vuelve más pequeña? Elija entre las mismas posibilidades. 8. ¿De qué forma cambia la resistencia del cobre y del silicio en función de la temperatura? ¿Por qué estos dos materiales tienen comportamientos diferentes? 9 Durante el intervalo de tiempo después de que se aplica una diferencia de potencial entre los extremos de un alambre, ¿qué ocurriría con la velocidad de arrastre de los electrones en un alambre y a la corriente en el alambre, si los electrones pudieran moverse libremente sin resistencia a través del alambre?
¿por qué no es necesario que pasen horas para que se encienda una luz cuando usted activa el interruptor? 11. O Un alambre metálico y cilíndrico a temperatura ambiente conduce corriente eléctrica entre sus extremos. Un extremo está a un potencial V A 50 V, y el otro a un potencial V B 0 V. Clasifique las siguientes acciones en términos del cambio qu e cada uno produciría por separado en la corriente, del mayor aumento a la mayor disminución. En su clasificación, señale cualquier caso de igualdad. a) Considere V A 150 V con V B 0 V. b) Haga V A 150 V con V B 100 V. c) Ajuste V A para triplicar la potencia con que el alambre convierte la energía eléctricamente transmitida en energía interna. d) Duplique el radio del alambre. e) Duplique la longitud del alambre. f) Duplique la temperatura Celsius del alambre. g) Cambie el material a un aislador. 12. O Dos conductores hechos del mismo material son conectados a través de la misma diferencia de potencial. El conductor A tiene el doble de diámetro y el doble de longitud que el conductor B. ¿Cuál es la relación de la potencia entregada a A, a la potencia entregada a B? a) 32, b) 16, c) 8, d) 4, e) 2, f) 1, g) 12 , h) 14. 13. O Dos alambres conductores A y B, con la misma longitud y radio, son conectados a la misma diferencia de potencial. El conductor A tiene el doble de resistividad del conductor B. ¿Cuál es la relación de la potencia entregada a A, a la potencia entregada a B? a) 4, b) 2, c) 1 2 , d) 1, e) 1/1 2 , f) 12 , g) 14, h) ninguna de estas respuestas necesariamente es correcta. 14. O Dos focos funcionan a partir de 120 V. Uno tiene una potencia de 25 W y la otra de 100 W. i) ¿Cuál foco tiene mayor resistencia? a) El foco débil de 25 W. b) La brillante lámpara de 100 W. c) Ambas tienen la misma. ii) ¿Cuál foco conduce más corriente? Elija entre las mismas posibilidades. 15. Las baterías de los automóviles están especificadas en ampere-hora. ¿Esta información designa a) la corriente, b) la potencia, c) la energía, d) la carga, o e) el potencial que se puede obtener de la batería? 16. Si tuviera que diseñar un calentador eléctrico utilizando alambre de nicromo como elemento calefactor, ¿qué parámetros del alambre deben modificarse para cumplir con una potencia de salida específica, como por ejemplo 1000 W?
Problemas Sección 27.1
2. Una tetera con un área superficial de 700 cm 2 que debe re-
Corriente eléctrica
cubrirse de plata por electrodeposición, se fija al electrodo negativo de una celda electrolítica que contiene nitrato de plata (Ag NO3). Si la celda está alimentada por una batería
1. En un tubo de rayos catódicos, la corriente medida en el haz
es de 30.0 m A. ¿Cuántos electrones chocan contra la pantalla del tubo cada 40.0 s?
2 intermedio; 3 desafiante;
razonamiento simbólico;
razonamiento cualitativo
Problemas
3.
4.
5.
6.
7.
8.
de 12.0 V y tiene una resistencia de 1.80 , ¿en cuánto tiempo se formará sobre la tetera una capa de plata de 0.133 mm de espesor? (La densidad de la plata es 10.5 103 kg/m3.) Suponga que la corriente que pasa por un conductor se reduce de manera exponencial en función del tiempo, de acuerdo con la ecuación I (t ) I 0e t /t , donde I 0 es la corriente inicial (en t 0), y t es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considere un punto de observación fijo dentro del conductor. a) ¿Cuánta carga pasa por este punto en el intervalo de tiempo entre t 0 y t t ? b) ¿Cuánta carga pasa por este punto en el intervalo de tiempo entre t 0 y t 10t ? c) ¿Qué pasaría si? ¿Cuánta carga pasa por este punto en el intervalo de tiempo entre t 0 y t ? Una esfera pequeña que tiene una carga q se hace girar en círculo en el extremo de un hilo aislante. La frecuencia angular de rotación es v . ¿Qué corriente promedio representa esta carga en rotación? La cantidad de carga q (en coulombs) que ha pasado a través de una superficie de área igual a 2.00 cm 2 varía en función del tiempo según la ecuación q 4t 3 5t 6, donde t está en segundos. a) ¿Cuál es la corriente instantánea que pasa a través de la superficie en t 1.00 s? b) ¿Cuál es el valor de la densidad de corriente? Una corriente eléctrica está definida por la expresión I (t ) 100 sen (120 p t) , donde I está en amperes y t en segundos. ¿Cuál es la carga total que genera esta corriente de t 0 hasta t (1/240) s? El haz de electrones que sale de cierto acelerador de electrones de alta energía tiene una sección transversal circular con un radio de 1.00 mm. a) La corriente del haz es de 8.00 m A. Determine la densidad de corriente en el haz, si es uniforme en todos sus puntos. b) La rapidez de los electrones es tan cercana a la rapidez de la luz que su rapidez se puede tomar sin un error apreciable como 300 Mm/s. Encuentra la densidad del electrón en el haz. c) ¿Cuánto tiempo se necesita para que emerja el número de Avogadro de electrones del acelerador? La figura P27.8 representa una sección de un conductor circular de diámetro no uniforme que porta una corriente de 5.00 A. El radio de la sección transversal A 1 es 0.400 cm. a) ¿Cuál es la magnitud de la densidad de corriente a través de A 1? b) ¿El radio en A 2 es mayor que el radio en A 1?. ¿La corriente en A 2 es mayor, menor o igual? ¿La densidad de corriene es mayor, menor o la misma? Suponga que una d e estas dos cantidades es diferente en A 2 en un factor de 4 de su valor en A 1. Especifique la corriente, la densidad de corriente y el radio en A 2. A 2
A 1
I
Figura P27.8
9. Un generador Van de Graaff produce un haz de 2.00 MeV de
deuterones, que son los núcleos pesados de hidrógeno que contienen un neutrón y un protón. a) Si la corriente del haz es de 10.0 m A, ¿qué tan separados están los deuterones? b)
2 intermedio; 3 desafiante;
razonamiento simbólico;
769
¿Es un factor significativo en la estabilidad del haz la fuerza de repulsión eléctrica presente entre ellos? Explique por qué. 10. Un alambre de aluminio de sección transversal de 4.00 106 m2 transporta una corriente de 5.00 A. Determine la velocidad de arrastre de los electrones en el alambre. La rapidez del aluminio es de 2.70 g/cm 3. Suponga que cada átomo de aluminio aporta un electrón de conducción. Sección 27.2
Resistencia
11. Una diferencia de potencial de 0.900 V se mantiene a través
de una longitud de 1.50 m de alambre de tungsteno que tiene un área de sección transversal de 0.600 mm 2. ¿Cuál es la corriente en el alambre? 12. Un foco tiene una resistencia de 240 cuando está funcionando con una diferencia de potencial de 120 V. ¿Cuál es la corriente que pasa por el foco? 13. Suponga que desea fabricar un alambre uniforme a partir de 1.00 g de cobre. Si el alambre debe tener una resistencia R 0.500 , y si debe utilizarse todo el cobre disponible, ¿cuál será a) la longitud y b) el diámetro de este alambre? 14. a). Estime el valor de la magnitud de la resistencia entre los extremos de una banda elástica. b) Estime el valor de la magnitud de la resistencia entre los lados “cara” y “cruz” de una moneda de un centavo. Proporcione las cantidades que toma como datos y los valores que mida o estime para cada caso. c) ¡PRECAUCIÓN! ¡No intente hacer esto en su casa! ¿Cuál sería el valor de la magnitud de la corriente que existiría en cada uno si estuvieran conectadas a una fuente de alimentación de 120 V? 15. En la atmósfera de una ubicación donde el campo eléctrico es de 100 V/m, existe una densidad de corriente de 6.00 1013 A/m2. Calcule la conductividad eléctrica de la atmósfera de la Tierra en esa región. Sección 27.3
Modelo de conducción eléctrica
16. Si se duplica la corriente en un conductor, ¿qué sucede con
a) la densidad de los portadores de carga, b) la densidad de la corriente, c) la velocidad de arrastre de los electrones, d) e l intervalo promedio de tiempo entre las colisiones? Explique sus respuestas. 17. Si en un alambre de cobre la magnitud de la velocidad de arrastre de los electrones libres es de 7.84 104 m/s, ¿cuál es el campo eléctrico en el conductor? Sección 27.4
Resistencia y temperatura
18. Cierto foco tiene un filamento de tungsteno con una resisten-
cia de 19.0 cuando está frío y de 140 cuando está caliente. Suponga que la resistividad del tungsteno varía linealmente con la temperatura, incluso en el amplio intervalo de temperaturas que aquí se mencionan. Determine la temperatura del filamento caliente. Suponga que la temperatura inicial es de 20.0°C. 19. Un alambre de aluminio con un diámetro de 0.100 mm tiene aplicado en toda su longitud un campo eléctrico uniforme de 0.200 V/m. La temperatura del alambre es de 50.0°C. Suponga que sólo existe un electrón libre por cada átomo. a) Utilice la información de la tabla 27.2 y determine la resistividad. b) ¿Cuál es la densidad de corriente en el alambre? c) ¿Cuál es la corriente total en el alambre? d) ¿Cuál es la rapidez de arrastre de los electrones de conducción? e) ¿Cuál es la diferen-
razonamiento cualitativo
770
Capítulo 27
Corriente y resistencia
cia de potencial que debe existir entre los extremos de un de alambre 2.00 m de longitud para producir el campo eléctrico establecido? 20. Una ingeniera necesita un resistor con coeficiente de resistencia de temperatura global cero a 20°C. Ella diseña un par de cilindros circulares, uno de carbono y el otro de nicromo, como se muestra en la figura P27.20. El dispositivo debe tener una resistencia global de R 1 R 2 10.0 , independiente de la temperatura y un radio uniforme de r 1.50 mm. ¿Puede satisfacer las metas de diseño con este método? Si es así, establezca lo que pueda determinar acerca de las longitudes 1 y 2 de cada segmento. Ignore la expansión térmica de los cilindros y suponga que ambos siempre están a la misma temperatura.
mentación de 120 V. ¿Cuál es la corriente en el tostador y cuál es su resistencia? 24. Un generador Van de Graaff (vea la figura 25.24) está funcionando de forma tal que la diferencia de potencial entre el electrodo de alto potencial y las agujas de carga en es de 15.0 kV. Calcule la energía necesaria para impulsar la banda en contra de fuerzas eléctricas en un instante en el cual la corriente efectiva entregada al electrodo de alto potencial es de 500 m A. 25. Un calentador eléctrico de agua bien aislado calienta 109 kg de agua de 20.0°C a 49.0°C en 25.0 min. Encuentre la resistencia de su elemento calefactor, que se conecta a través de una diferencia de potencial de 220 V. 26. Un motor de 120 V tiene potencia de salida mecánica de 2.50 hp. Es 90.0% eficiente al convertir la potencia que toma por transmisión eléctrica en potencia mecánica. a) Encuentre la corriente en el motor. b) Encuentre la energía entregada al motor mediante transmisión eléctrica en 3.00 h de operación. c) Si la compañía eléctrica carga $0.160/kWh, ¿cuánto cuesta que funcione el motor durante 3.00 h? 27. Suponga que una oscilación de voltaje produce durante un momento 140 V. ¿En qué porcentaje se incrementa la potencia de salida de una lámpara de 120 V, 100 W? Suponga que su resistencia no cambia. 28. Una batería recargable de 15.0 g de masa suministra una corriente promedio de 18.0 mA a 1.60 V a un reproductor de CD durante 2.40 h antes de que dicha batería necesite recargarse. El cargador mantiene una diferencia de potencial de 2.30 V en las terminales de la batería y entrega una corriente de carga de 13.5 mA durante 4.20 h. a) ¿Cuál es la eficiencia de la batería como dispositivo de almacenamiento de energía? b) ¿Cuánta energía interna se produce en el interior de la
batería durante un ciclo de carga-descarga? c) Si la batería está rodeada por un aislamiento térmico ideal y tiene un calor específico efectivo global de 975 J/kg °C, ¿cuánto aumentará su temperatura durante el ciclo? 29. Una bobina calefactora de 500 W, diseñada para funcionar a 110 V , está hecha de alambre de nicromo de 0.500 mm de diámetro. a) Si la resistividad del nicromo se mantiene constante a 20.0°C, determine la longitud del alambre utilizado. b) ¿Qué pasaría si? Ahora considere la variación de la resistividad en función de la temperatura. ¿Cuál será la potencia que se da a la bobina del inciso a) cuando se calienta a 1200°C? 30. Una bobina de alambre de nicromo tiene 25.0 m de largo. El alambre tiene un diámetro de 0.400 mm y está a 20.0°C. Si el alambre transporta una corriente de 0.500 A, ¿cuáles son a) la magnitud del campo eléctrico en el alambre y b) la potencia entregada? c) ¿Qué pasaría si? Si la temperatura se incrementa hasta 340°C y la diferencia de potencial aplicada al alambre se mantiene constante, ¿cuál es la potencia entregada? 31. Las baterías se especifican en ampere-hora (A h). Por ejemplo, una batería que puede producir una corriente de 2.00 A durante 3.00 h se especifica como 6.0 A h. a) ¿Cuál es la energía total, en kilowatt-horas, almacenada en una batería de 12.0 V, nominalmente de 55.0 A h? b) A $0.060 por kilowatt-hora, ¿cuál es el valor de la electricidad producida por esta batería? 32. Los reglamentos de construcción para residencias requieren el uso de alambre de cobre calibre 12 (diámetro 0.205 3 cm) para cablear los contactos de pared. Estos circuitos llevan corrientes de hasta 20 A. Un alambre con un diámetro menor (de un calibre superior), podría llevar una corriente similar, pero el alambre se podría calentar a una temperatura elevada y causar un incendio. a) Calcule la rapidez a la cual se produce energía interna en 1.00 m de alambre de cobre calibre 12 que lleva una corriente de 20.0 A. b) ¿Qué pasaría si? Repita el cálculo, pero para un alambre de aluminio. Explique si un alambre de aluminio calibre 12 sería tan seguro como el de cobre. 33. Un lámpara fluorescente ahorradora de energía de 11.0 W está diseñada para producir la misma iluminación que una lámpara incandescente convencional de 40 W. ¿Cuánto ahorra el usuario de la lámpara ahorradora de energía durante 100 horas de uso? Suponga que la compañía eléctrica cobra $0.080/kWh. 34. Se estima que en Estados Unidos existen 270 millones de relojes de conexión eléctrica, es decir, aproximadamente un reloj por persona. Los relojes convierten energía a una rapidez promedio de 2.50 W. Para suministrar esta energía, ¿cuántas toneladas métricas de carbón se queman por hora en las plantas generadoras eléctricas de carbón, que son, en promedio, 25% eficientes? El calor de la combustión para el carbón es de 33 MJ/kg. 35. Calcule el costo diario de operación de una lámpara que toma una corriente de 1.70 A de una línea de 110 V. Suponga que el costo de esta energía es de $0.060 0/kWh. 36. Problema de repaso. El elemento calefactor de una cafetera opera a 120 V y tiene una corriente de 2.00 A. Si el agua absorbe toda la energía suministrada al resistor, calcule el tiempo que se necesita para elevar la temperatura de 0.500 kg de agua de la temperatura ambiente (23.0°C) hasta el punto de ebullición. 37. Cierto tostador tiene un elemento calefactor hecho de alambre de nicromo. Cuando se le conecta por primera vez a una alimentación de 120 V (estando el alambre a una temperatura
2 intermedio; 3 desafiante;
Figura P27.20
21. ¿Cuál es el cambio fraccionario en la resistencia de un filamen-
to de hierro cuando su temperatura pasa de 25.0°C a 50.0°C? 22. Problema de repaso. Una varilla de aluminio tiene una resis-
tencia de 1.234 a 20.0°C. Calcule la resistencia de la varilla a 120°C, considere los cambios tanto en las resistividades como en las dimensiones de la varilla. Sección 27.6
Energía eléctrica
23. Un tostador es especificado en 600 W al conectarse a una ali-
razonamiento simbólico;
razonamiento cualitativo
Problemas
de 20.0°C), la corriente inicial es de 1.80 A. Sin embargo, la corriente empieza a reducirse conforme el elemento calefactor se calienta. Cuando el tostador alcanza su temperatura de operación final, la corriente se ha reducido a 1.53 A. a) Determine la potencia entregada al tostador cuando está a su temperatura de operación. b) ¿Cuál es la temperatura final del elemento calefactor? 38. El costo de la electricidad varía ampliamente en Estados Unidos; un valor representativo es $0.120/kWh. Con este precio unitario, calcule el costo de a) dejar encendida la luz de 40 W del pórtico de una casa durante dos semanas mientras el propietario está de vacaciones, b) obtener una rebanada de pan tostado oscuro en 3.00 min utilizando un tostador de 970 W, y c) secar una carga de ropa en 40.0 min en una secadora de 5 200 W. 39. Hacer una estimación de orden de magnitud d el costo de usar diario una secadora de pelo durante un año. Si usted no utiliza una secadora, obser ve o entreviste a alguien que la use. Enuncie las cantidades que estime y sus valores. Problemas adicionales Una lámpara está marcada como “25 W 120 V” y otra “100 W 120 V”; esto significa que cuando cada lámpara esté conectada a una diferencia de potencial constante de 120 V, recibirá cada una la potencia que se indica. a) Encuentre el valor de la resistencia de cada lámpara. b) ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que pase 1.00 C a través de la lámpara de menor potencia? ¿Ha cambiado la carga en alguna forma a su salida de la lámpara en comparación con su entrada? Explique c) ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que pase 1.00 J a través de la lámpara de menor potencia? ¿Mediante qué mecanismos entra y sale esta energía de la lámpara? d) Determine cuánto cuesta mantener encendida la lámpara de menor potencia durante 30 días, si la empresa eléctrica vende su producto en $0.070 0 por kWh. ¿Cuál es el producto que la compañía eléctrica de hecho vende ? ¿Cuál es el precio de una unidad en el SI? 41. Un oficinista usa un calentador de inmersión para calentar 250 g de agua en una taza aislada, cubierta y ligera de 20°C a 100°C en 4.00 min. En términos eléctricos, el calentador es u n alambre de resistencia de nicromo conectado a una fuente de poder de 120 V. Especifique el diámetro y longitud que pu ede tener el alambre. ¿Puede estar hecho a menos de 0.5 cm 3 de nicromo? Puede suponer que el alambre está a 100°C durante todo el intervalo de tiempo. 42. En un capacitor de capacitancia C se coloca una carga Q . El capacitor está conectado en el circuito que se muestra en la figura P27.42, junto con un interruptor abierto, un resistor y un capacitor inicialmente descargado con una capacitancia de 3C . Después se cierra el interruptor y el circuito se equilibra. Determine, en función de Q y de C, a) la diferencia de potencial final entre las placas de cada capacitor, b) la carga de cada capacitor, y c) la energía final almacenada en cada capacitor. d) Determine la energía interna que aparece en el resistor.
40.
3C
C
R
Figura P27.42
2 intermedio; 3 desafiante;
razonamiento simbólico;
771
43. Una definición más general del coeficiente de resistividad por
temperatura es
1
a
d r
r dT
donde r es la resistividad a la temperatura T . a) Si a es constante, demuestre que
1
r 0e a T
r
2
T 0
donde r 0 es la resistividad a la temperatura T 0. b) Utilizando la expansión en serie e x 1 x para x 1, demuestre que la resistividad es conocida aproximadamente por la expresión r r 0 [1 a (T T 0)] para a (T T 0) 1. 44. Una línea de transmisión con un diámetro de 2.00 cm y una longitud de 200 km lleva una corriente estable de 1000 A. Si el conductor es un alambre de cobre con una densidad de cargas libres de 8.49 1028 electrones/m3, ¿cuánto tarda un electrón en recorrer la línea de transmisión completa? 45. Con la finalidad de medir la resistividad eléctrica del nicromo se lleva a cabo un experimento con alambres de diferentes longitudes y áreas de seccion transversal. Para un conjunto de mediciones, el estudiante usa alambre de calibre 30, que tiene un área de sección transversal de 7.30 108 m2. El estudiante mide la diferencia de potencial de un extremo a otro del alambre, así como la corriente en el mismo, utilizando un voltímetro y un amperímetro, respectivamente. Para cada una de las mediciones que aparecen en la tabla, calcule la resistencia de los alambres y los valores correspondientes de la resistividad. ¿Cuál es el valor promedio de la resistividad, y cómo se compara este valor con el valor incluido en la tabla 27.2?
L (m)
V (V)
I (A)
0.540
5.22
0.500
1.028
5.82
0.276
1.543
5.94
0.187
R ( )
R (
m)
46. Una empresa pública eléctrica suministra energía al domicilio
de un cliente a partir de las líneas de energía propias (a 120 V) mediante dos alambre de cobre, cada uno de los cuales tiene 50.0 m de largo y una resistencia de 0.108 por tramo de 300 m. a) Determine la diferencia de potencial en el domicilio del cliente para una corriente de carga de 110 A. Para esta corriente, encuentre b) la potencia que está recibiendo el cliente y c) la proporción a la cual es producida la energía interna en los alambres de cobre. 47. Un alambre cilíndrico recto que yace a lo largo del eje x tiene una longitud de 0.500 m y un diámetro de 0.200 mm. Está fabricado de un material que obedece la ley de Ohm con una resistividad r 4.00 108 m. Suponga que se mantiene en x 0 un potencial de 4.00 V, y que en x 0.500 m, V 0. Determine a) el campo eléctrico en el alambre, b) la resistencia del mismo, c) la corriente eléctrica que pasa por el alambre y d) la densidad de corriente J en el alambre. Exprese la dirección del campo eléctrico y de la corriente. e) Demuestre que E r J . 48. Un alambre cilíndrico recto que yace a lo largo del eje x tiene una longitud L y un diámetro d . Está fabricado de un material que obedece la ley de Ohm y tiene una resistividad r . Suponga que en x 0 se mantiene un potencial V y que el potencial es igual a cero en x L . Deduzca, en función a L ,
razonamiento cualitativo
772
Capítulo 27
Corriente y resistencia
d , V y r , así como otras constantes físicas, expresiones para a) el campo eléctrico en el alambre, b) la resistencia del mismo, c)la corriente eléctrica que pasa por el alambre y d) la densidad de corriente en el alambre. Exprese la dirección del campo J . y de la corriente. e) Demuestre que E r 49. Un automóvil eléctrico (no un híbrido)ha sido dise ñado para funcionar a partir de un banco de baterías de 12.0 V con un almacenamiento total de la energía de 2.00 107 J. a) Si el motor eléctrico consume 8.00 kW, ¿cuál es la corriente que se le suministra al motor? b) Si el motor eléctrico consume 8.00 kW conforme el automóvil se mueve a una rapidez constante de 20.0 m/s, ¿qué distancia recorrerá el automóvil antes de quedarse sin energía? 50. Problema de repaso. Cuando se calienta un alambre recto, su resistencia está expresada por R R 0[1 a (T T 0)], de acuerdo con la ecuación 27.19, donde a es el coeficiente de resistividad por temperatura. a) Demuestre que un resultado más preciso, ya que tanto la longitud como el área del alambre se modifican al calentarse, es R
3
R 0 1
1 31
a T
T 0
2 4 3 1 1T 1T T 2 4 a ¿
2a ¿
T 0
24
0
donde a9 es el coeficiente de expansión lineal (vea el capítulo 19). b) Explique cómo se comparan estos dos resultados para el caso de un alambre de cobre de 2.00 m de largo con un radio de 0.100 mm, primero a 20.0°C y después calentado a 100.0°C. 51. Los coeficientes de resistividad por temperatura que aparecen en la tabla 27.2 se determinaron a una temperatura de 20°C. ¿Cómo serían de haberse determinado a 0°C? Observe que el coeficiente de resistividad por temperatura a 20°C satisface la expresión r r 0[1 a (T T 0)], donde r 0 es la resistividad del material a T 0 20°C. El coeficiente de resistividad por temperatura a9 a 0°C debe satisfacer la expresión r r90[1 a9T ], siendo r90 la resistividad del material a 0°C. 52. Una oceanógrafa estudia cómo dependen las concentraciones de iones de la profundidad del agua de mar. Su procedimiento es sumergir dentro del agua un par de cilindros metálicos concéntricos (figura P27.52) en el extremo de un cable y registrar los datos para determinar la resistencia entre dichos electrodos en función de la profundidad. El agua entre los dos cilindros forma una envoltura cilíndrica de radio interior r a , de radio exterior r b y una longitud L mucho mayor que r b . La científica aplica una diferencia de potencial V entre las superficies interna y externa, produciendo una corriente radial hacia fuera I . Suponga que r representa la resistividad del agua. a) Determine la resistencia del agua entre los cilindros en función de L , r , r a y r b . b) Exprese la resistividad del agua en función de las cantidades medidas L, r a , r b , V e I .
resistencia original entre sus extremos, y d L /L i (L – L i )/ L i la deformación resultante de la aplicación de tensión. Suponga que la resistividad y el volumen del alambre no cambian conforme el alambre se estira. Demuestre que la resistencia entre los extremos del alambre bajo deformación está dada por R R i (1 2 d d 2). Si las suposiciones son precisamente ciertas, ¿este resultado es exacto o aproximado? Explique su respuesta. 54. En cierto sistema estéreo, cada altavoz tiene una resistencia de 4.00 . El sistema es nominalmente de 60.0 W por canal, y cada circuito de altavoz incluye un fusible de 4.00 A nominales. ¿Este sistema está protegido adecuadamente contra sobrecargas? Explique su razonamiento. 55. Existe una gran analogía entre el flujo de energía por calor debido a una diferencia de temperaturas (vea la sección 20.7) y el flujo de cargas eléctricas debido a una diferencia de potencial. Tanto la energía dQ como la carga eléctrica dq pueden transportarse mediante electrones libres en el material conductor. En consecuencia, usualmente un buen conductor eléctrico es también un buen conductor térmico. Considere una placa conductora delgada de espesor dx , área A y de conductividad eléctrica s , con a una diferencia de potencial dV entre sus caras opuestas. a) Demuestre que la corriente I dq/dt se conoce por la ecuación de la zquierda: Conducción de cargas Conducción térmica
dq dt
` dV ` dx
` dT ` dx
dQ
s A
kA
dt
(ecuación 20.15)
En la ecuación de conducción térmica análoga de la derecha, la rapidez del flujo de energía dQ/dt (en unidades del SI es joules por segundo) se debe al gradiente de temperatura dT/ dx , en un material de conductividad térmica k . b) Establezca reglas similares que relacionen la dirección de la corriente eléctrica con el cambio en el potencial, y que relacionen la dirección del flujo de e nergía con el cambio en temperaturas. 56. Un material de resistividad r se modela como un cono truncado de altura h, según se muestra en la figura P27.56. El extremo inferior tiene un radio b , en tanto que el extremo superior tiene un radio a . Suponga que la corriente está uniformemente distribuida en cualquier sección transversal circular del cono, de forma que la densidad de la corriente no dependerá de la posición radial. (La densidad de corriente variará dependiendo de su posición a lo largo del eje del cono.) Demuestre que la resistencia entre ambos extremos del cono queda descrita mediante la expresión r
R
a ab h b
p
a
r b
r a
h
b
L
Figura P27.56
Figura P27.52
53.
deformación en un alambre se monitorea y calcula al medir la resistencia del alambre. Sea L i la longitud original del alambre, A i su área de sección transversal original, R i r Li /A i la
57. Un material con una resistividad uniforme r se modela en forma de cuña como se muestra en la figura P27.57. Demuestre que la resistencia entre la cara A y la cara B de esta cuña es igual a
La
2 intermedio; 3 desafiante;
R
r
y a b w 1 y y 2 y L
2
razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
ln
1
2 1
Respuestas a las preguntas rápidas
773
cas. Ahora la placa dieléctrica se retira del capacitor, como se observa en la figura P27.61. a) Determine la capacitancia cuando el borde izquierdo del material dieléctrico esté a una distancia x del centro del capacitor. b) Si se va retirando el dieléctrico a una rapidez constante v , ¿cuál será la corriente en el circuito conforme se retira el dieléctrico?
y 1 Cara A
Cara B y 2 L w
Figura P27.57
v
58. Una envolvente esférica, con radio interior r a y radio exterior r b , se forma a partir de un material de resistividad r . Porta corriente radialmente, con densidad uniforme en todas direcciones. Demuestre que su resistencia es R
59.
r
a r 1
4p
a
1 r b
b
d x
Figura P27.61
62. La curva característica corriente-voltaje de un diodo semiconductor en función de la temperatura T está dada por la ecuación
Los problemas 56, 57 y 58 se refieren al cálculo de la resiste n-
cia entre superficies específicas de un resistor con forma extraña. Para verificar los resultados experimentalmente, se puede aplicar una diferencia de potencial a las superficies indicadas y medir la corriente resultante. Después se calcula la resistencia a partir de su definición. Describa un método para asegurar que el potencial eléctrico es uniforme en toda la superficie. Explique si después puede asegurar que la corriente se dispersa sobre las superficies completas donde entra y sale. 60. El material dieléctrico que existe entre las placas de un capacitor de placas paralelas tiene siempre alguna conductividad s diferente de cero. Suponga que A representa el área de cada placa y d la distancia entre ellas. Sea k la constante dieléctrica del material. a) Demuestre que la resistencia R y la capacitancia C del capacitor están interrelacionadas mediante RC
V
k P0 s
b) Determine la resistencia entre las placas de un capacitor de 14.0 nF con un dieléctrico de cuarzo fundido. 61. Problema de repaso. Un capacitor de placas paralelas está constituido por placas cuadradas de bordes de longitud separadas una distancia d , donde d . Entre las placas se mantiene una diferencia de potencial V . Un material de constante dieléctrica k llena la mitad del espacio entre las pla-
I
1
>
I 0 e e ¢V k BT
1
2
En este caso, el primer símbolo e representa el número de Euler, es decir, la base de los logaritmos naturales, la segunda e es la magnitud de carga de un electrón; k B representa la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta. Prepare una hoja de cálculo para calcular I y R V/I para V 0.400 V a 0.600 V, en incrementos de 0.005 V. Suponga que I 0 1.00 nA. Trace R en función de V para T 280 K, 300 K y 320 K. 63. El oro es el más dúctil de todos los metales. Por ejemplo, un gramo de oro se puede convertir en un alambre de 2.40 km de largo. ¿Cuál es la resistencia de tal alambre a 20°C? En este libro puede encontrar la información de referencia necesaria. 64. Una línea de transmisión de alto voltaje lleva 1000 A desde 700 kV al inicio por una distancia de 100 millas. Si la resistencia del alambre es de 0.500 /milla, ¿cuál es la pérdida de energía debida a la resistencia del alambre? 65. La diferencia de potencial entre los extremos del filamento de una lámpara se mantiene en un nivel constante mientras se llega a la temperatura de equilibrio. Se observa que la corriente en estado estacionario de la lámpara es de sólo la décima parte de la corriente que utiliza la lámpara cuando se enciende por primera vez. Si el coeficiente de temperatura de resistividad para la lámpara a 20.0°C es de 0.004 50 (°C) 1, y si la resistencia aumenta linealmente al elevarse la temperatura, ¿cuál será la temperatura final de operación del filamento?
Respuestas a las preguntas rápidas 27.1 d), b) c), a). La corriente en el inciso d) es equivalente a dos cargas positivas moviéndose hacia la izquierda. Los incisos b) y c) representan cada uno cuatro cargas positivas que se mueven en la misma dirección, ya que las cargas negativas que se mueven hacia la izquierda son equivalentes a las cargas positivas que se mueven hacia la derecha. La corriente del inciso a) es equivalente a cinco cargas positivas moviéndose hacia la derecha. 27.2 b) La duplicación del radio hace que el área A sea cuatro veces mayor, por lo que la ecuación 27.10 indica que la resistencia disminuye.
27.3 b) De acuerdo con la ecuación 27.7, la resistencia es la relación del voltaje a través de un dispositivo respecto a la corriente en el dispositivo. En la figura 27.7b, una línea dibujada desde el origen hasta el punto en la curva tendrá una pendiente igual a I /V , que es el inverso de la resistencia. Conforme V aumenta, la pendiente de la línea también aumenta, de modo que la resistencia disminuye. 27.4 a) Cuando el filamento está a la temperatura ambiente, su resistencia es baja, y por lo tanto la corriente es relativamente grande. Conforme el filamento se calienta, su resistencia se incrementa y la corriente se reduce. Las lámparas viejas a
2 intermedio; 3 desafiante;
razonamiento cualitativo
razonamiento
simbólico;
774
Capítulo 27
Corriente y resistencia
menudo fallan justo en el momento en que se encienden debido a que este gran “pico” inicial de corriente produce un incremento rápido en la temperatura y por tanto un esfuerzo mecánico sobre el filamento que lo hace fallar. 27.5 I a I b I c I d I e I f . La corriente I a sale de la terminal positiva de la batería y se divide para fluir a través de las dos lámparas; de ahí que I a I c I e. Por la ecuación 27.21 la potencia disponible es inversa a la resistencia. Por lo tanto
la corriente que circula en una lámpara de 60 W es mayor a la que fluye en la lámpara de 30 W. Puesto que la carga no se acumula en las lámparas, la misma cantidad de carga que circula en una de las lámparas del lado izquierdo debe fluir del lado derecho; en consecuencia I c I d e I e I ƒ . Las dos corrientes que salen de las lámparas se combinan de nuevo para formar la corriente de regreso a la batería, I f I d I b .
