Repaso
Seminario Especial de Matemática
SEMINARIO ESPECIAL DE MATEMÁTICA Ciclo Repaso – UNI 2008
Aritmética 1.
A)
62 7
D)
41 6
Si se sabe que mn obreros pueden realizar una obra en ab días. Al cabo de cb días de trabajo se retiraron x obreros,
por tanto luego de algunos días se
4.
contrataron y obreros para cumplir con el
B)
55 7
C)
48 7
E)
47 6
Se sabe que
plazo fijado. Si x e y están en relación de
MCD ((a+1)(a – 1)a; bb0(a – 1))=63
7 a 10, calcule a los cuántos días de
además, al extraer la raíz cuadrada de
iniciada la obra se contrataron a los y
abcd se obtiene residuo máximo.
obreros.
Calcule el residuo por exceso al extraer
Considere que
la raíz cúbica de cba.
abb(2c – 1)(2n)=(m+2)n(m – 2)6
A) 83 A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
D) 86
Se cumple que
E) 87
Luis compra una computadora y firma por ella una letra de S/.2420 pagadera en
o
aab( 2b )( )(3c)(3 c )(3c − 2)b = 126
un año; luego de 3 meses Luis obtiene un premio de S/.1900 e inmediatamente
Determine la cantidad de ceros en que termina (abc6)! en base 10.
lo deposita en un banco a una taza de 5%
A) 15
C) 17
¿Luego de cuántos meses, como mínimo
E) 22
podrá cancelar la computadora con
B) 30
D) 31 3.
C) 85
E) 21 5.
2.
B) 84
mensual, capitalizable bimestralmente.
lo obtenido en el banco, si la tasa de
Si se cumple lo siguiente:
descuento es del 12% ?
c d × 1a × × • a(2a)(d+1)cc = 3b
• N =a×b+c×d
descomposición canónica
A) 2 D) 4
halle la tercera convergente de N .
–
1
–
B) 2,5
C) 3 E) 5
Academia Cesar Vallejo
6.
8.
El siguiente diagrama muestra la clasificación de un grupo de alumnos teniendo en cuenta sus edades.
El gráfico muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta x.
Si la esperanza matemática de x es 7; 1, calcule m.
Si el ancho de clase es común y hay 54 alumnos que tienen desde 17 hasta 23 años, ¿cuántos términos comunes tienen las siguientes sucesiones?
A) 9 D) 12
B) 10
Álgebra
• 13; 20; 27; 34; 41; ...; (2 b)(b+c)b 9.
• c; aa; a8; b7; 38; ...; (c – 1)(a+b)a
Si la función cuadrática f( x )
A) 4 D) 7 7.
B) 5
= 2x 2 −
bx + 1; b ∈ Z
tiene rango R+, calcule la suma de los valores que admite el parámetro b.
C) 6 E) 8
A) 15 D) 12
En cierto sector de Lima hay cuatro supermercados A, B, C y D. Seis damas que viven en este sector seleccionan al azar y en forma independiente un supermercado para hacer sus compras. Determine el número de formas posibles para que se cumplan lo siguiente: I. Todas las damas compran solo entre los tres primeros supermercados. II. Solo dos escogen el supermercado B. Determine la diferencia de los resultados que se obtienen
10.
B) 10
D) 486
B) 343
x 2 − x + 10
= 1 − 2 x tiene C.S.={x0}.
Luego, se cumple que A) x0 ∈ 〈 – 1; 0 〉 B) x0 ∈ 0; C) x0 ∈
1 2
1 1 2 2
− ;
C) 1215 E) x0 ∈
E) 686
–
2
–
C) 6 E) 7
La ecuación irracional
D) x0 ∈ 〈– 2; 0〉 A) 12
C) 11 E) 13
−1;
1 2
Repaso
11.
Seminario Especial de Matemática
15.
Para una función f real de variable real se
x ; x ∈R ∑ 2 x + 1 n= 0
Halle el punto fijo de f( x )
=
x−
A) 5 + 1
x
+ 1−
1
2 5 −1 C) 2
B)
D)
1+ 3i − 3 + i S = n ∈Z 2 + 2 = 0 n
E)
si S ⊂ 〈1; 10〉, indique su cardinal. A) 1 D) 4 13.
B) 2
1− x + x 2 1+ x + x 2 1+ x 2 1− x 2
Dado el conjunto n
1+ x + x 2
2 1 x x + + C)
2 5 +1 E) 4
2 5 +1 D) 2 12.
A)
x
5 +1 B) 2
n
∞
define “x0 es punto fijo de f si f (x0)=x0”. 1
Determine el valor de convergencia de
16.
C) 3 E) 5
Sean x; y; z y m números reales positivos distintos de la unidad. A partir del sistema de ecuaciones logarítmicas.
log z x + 2 = log y x + m log x y ⋅ log z y + m = 2 + log x y
1+ x 2 1+ x + x 2 1+ x 2 1− x + x 2
Cada mes, una empresa puede gastar como máximo 10 000 soles en salarios y 1800 soles en energía (electricidad y combustible). La empresa solo elabora dos tipos de productos: A y B; por cada unidad de A que elabora gana 0,8 soles y por cada unidad de B gana 0,5 soles. El costo salarial y energético que acarrea la elaboración de una unidad de cada producto aparece en la siguiente tabla:
calcule el valor de log 3 yz ( y ⋅ 3 z ). A) 1
1 B) 2
Costo salarial
5 E) 2
3 D) 2 14.
5 C) 4
Costo energético
1 cos θ y M =A · AT . = 0 sen θ
A) 1000; 6000 B) 5000; 6000 C) 2400; 5200 D) 2000; 4800 E) 2400; 5600
Halle la matriz (2 M – M 2).
D) 0
B) cos2 θ.I
Producto
A
B
2
1
0,1
0,3
Determine cuántas unidades de cada producto A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo.
Sean A y M dos matrices de manera que
A) sen2 θ·I
Producto
C) I E) A+2I –
3
–
Academia Cesar Vallejo
Geometría 17.
D)
a 3
3
2a 3 3
C) E)
C) 4π E) 5π
20. Se sabe que VABC es un tetraedro regular
y MNP - QRS es un prisma recto. Si M , N y P son baricentros de las caras BAV , ACV
y BCV, respectivamente, calcule la razón
a 3
2
de volúmenes de dichos sólidos.
a
2
Según el gráfico A es punto de tangencia. Si AM =MB, calcule x en términos de β.
A) 90º – β D) 2β 19.
B)
B) 6π
D) 7π
Una hoja de forma rectangular ABCD se dobla de modo que C coincide con un punto R de AB. Si GD es la línea del doblez (G ∈ BC ), mBRG=mGDC y AR=a, calcule GC . A) a
18.
A) 9π
B) 45º – β/4
C) β E) 90º – β/2
En el gráfico, la esfera está inscrita en el cilindro de revolución; la suma de áreas de la superficie esférica y la superficie lateral del cilindro es 40 π. Calcule el volumen del cono circular mostrado.
A)
1 3
D)
4 9
B)
2 3
C)
1 9
E)
3 7
21. En un triedro O - ABC , en OB se ubica
el punto P, además se trazan PR, PS y
PH , perpendiculares a OC , OA y la cara OAC . Si RS ∩ OH ={M }, RM =MS= 3 y PR2+PS2 – 2(PH )2=56, calcule OM .
–
4
–
A)
6 5
D)
7 4
B)
2 5
C)
3 5
E)
4 3
Repaso
22. En
Seminario Especial de Matemática
el gráfico mostrado, CG=GD y
AB+AR=8. Calcule el máximo valor
entero que puede tener el área de la región paralelográmica RBCD.
A) 4 D) 3
B) 2
C) 5 E) 3,5
Trigonometría A) 4
B) 6
D) 4 2
23. En
25. En un cono de revolución, la distancia
C) 7
del centro de la base a una generatriz es igual a m unidades y el ángulo formado entre dos generatrices diametralmente opuestas es θº. Calcule el área de la superficie lateral del cono.
E) 8
el gráfico mostrado, m AR = 72º.
Calcule m RG .
θ
A) πm2 sec 2 csc θ 2
θ
B) 2πm2 csc 2 s e c θ 2 C) πm2 csc θ s e c
θ 2
D) 2πm2 csc θ s e c E) 2πm2 s e c θ csc
θ 2
θ 2
26. Descendiendo por una colina, inclinada
A) 54º
B) 36º
D) 45º
un ángulo de 37º respecto a un plano horizontal , un hombre observa un objeto de dicho plano con un ángulo de depresión α. Si a la mitad del descenso el ángulo de depresión es β, calcule 2tanα – tanβ.
C) 60º E) 30º
24. Si A, B y C son puntos de tangencia, r =2
A)
es el inradio del triángulo ABC y R=6, calcule a+b+c.
3 4
D) 5
–
5
–
B)
4 3
1 5 2 E) 5
C)
Academia Cesar Vallejo
27.
29. Al resolver la ecuación trigonométrica
En el gráfico se muestran dos circunferencias concéntricas cuyos radios son r y R (r < R). Si D y E son puntos de tangencia, entonces, ¿cuál será el equivalente de la expresión
θ
= (1 + cot θ)2 ; −
π
< θ < 2π 2 3 el número de soluciones obtenidas será 2 cot
1 − cos θ + 1 + cos θ ?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 2
30. Halle el rango de la función f, cuya regla
de correspondencia es
π π . ; 12 6
f (x)=tan3x+1 – sen6x, x ∈
A) 〈1; +∞〉
B) [1; 2〉
D) [2; +∞〉
A) 2 1 + B) 2 1 + C) 1 +
r R
31.
r R
6 + 1 − arccos 2 3 B) π/3
D) π/4
C) π/6 E) 5π/12
32. En el gráfico se muestran dos polígonos
regulares cuyas longitudes de sus lados
r / R
son a y b (a < b); además el punto T pertenece a la circunferencia circunscrita
28. Según el gráfico, ABCD es un rectángulo
al triángulo ABM . Calcule TV.
AD
en el cual mECF es 30º; entonces AB será igual a
A) A) 3 3 D) 6 3
2 3
A) π/12
D) 2r / R E)
E) [1; +∞〉
Calcule el valor de la siguiente expresión arccos
r R
C) 〈1; 2]
B) 3
C) 6 2 E) 3 2
a+ b
B)
2
D) ( b − a)
3 3
b− a
2
C) ( b − a) 3 E) ( b − a)
3 2
Lima, 19 de febrero de 2008 –
6
–
