N´ umeros Hipercomplejos y su relaci´ umeros on con la on F´ısica Aldo Al do Mart´ Mart´ınez ınez-Me -Meri rino no Divisi´ on on de Ciencias Cienci as e Ingenier Ingeni er´ ´ıa Universidad de Guanajuato, Campus Le´ on on
Facultad Facul tad de Cienci Cie ncias as en F´ısica ısica y Matem´ Mate m´aticas ati cas,, UNACH 23 de Marzo, 2017
Introducci´ on on
Diversas clases de objetos algebraicos nos ayudan a formular modelos que nos permiten entender mejor fen´ omen omenos os f´ısic ısicos, os, co como mo las ´algebras algebras de Clifford para describir descr ibir el esp´ esp´ın, y los n´ umeros umeros complejos en la formulaci´ on on de Me Mec´ c´anic anicaa Cu´anti antica ca.. ¡Int ¡Inten ento toss de hacer una cuantizaci´on on de la gravedad se han llevado a cabo con una Relatividad General compleja! Al construir modelos que describen tales fen´ omen omenos os f´ısic ısicos os,, el introducir un sistema de n´ umeros umeros diferente a los n´ umeros umeros reales produce, por ejemplo, diversas soluciones a estos modelos.
Introducci´ on
En este modelado, la interacci´ on entre la F´ısica y la Matem´atica se vuelve esencial. Como es el caso de Teor´ıa de Cuerdas, una teor´ıa en 10 dimensiones cuyo prop´osito es describir, entre otras cosas, la interacci´on de la gravedad con las otras fuerzas fundamentales. Para tal meta, aparecen en juego diversos espacios relacionados con n´ umeros hipercomplejos.
Plan de la charla
1. Motivaci´ on: Rotaciones en el espacio de tres dimensiones. 2. Descripci´ on en t´erminos de cuaterniones. 3. Proceso de Cayley-Dickson; octoniones. ´ 4. Ejemplo de interacci´ on disciplinaria: Algebras de Jordan. 5. Consideraciones Finales
Rotaciones en el espacio Consideremos una rotaci´ on alrededor de un eje particular en por ejemplo alrededor de z
cos θ (θ) = sin θ
R
0
donde E 3 =
0 0 = exp(θ
− sin θ cos θ 0 1
0 (θ) = 1 θ 0
dR d
θ =0
E 3 ),
0 0 .
−1 0 0 0
R3 ,
(1)
(2)
Similarmente para las otras direcciones, E 1
0 = 0
0 0 0 1
0 −1 , 0
E 2
=
1 0 .
0 0 0 0 −1 0 0
(3)
Rotaciones en el espacio Estas matrices cumplen con la siguiente relaci´on E i E j − E j E i
=
ijk E k .
k
Es decir, no conmutan. Y en realidad es lo que esperamos, porque...1
(4)
Rotaciones en el espacio Por otro lado, consideremos las matrices de Pauli σ1 =
0 1 1 0
, σ2 =
0 − i
i
0
, σ3 =
1
0 0 −1
, (5)
que satisfacen una relaci´ on similar,
σ σ −σ σ = 2 i j
j i
i
ijk σk .
(6)
k
Llega a ser (4) si tomamos en su lugar a σi /2i. De hecho, ¡tienen que describir el mismo objeto!: so(3). En verdad, existe un mapeo que nos lleva de SU(2) a SO(3). Las matrices de Pauli tambi´en satisfacen la relaci´ on σi σ j + σ j σi = 2δ ij I 2 2 . ×
Descripci´ on en t´ erminos de cuaterniones
Si consideramos ahora las matrices iσi , y siendo σ0 = I 2 tenemos que (iσi )2 = −σ0 , i = 1, 2, 3.
2,
×
(7)
Estas matrices se ven como ra´ıces de menos uno . Identificando iσ1 → i, iσ2 → j y iσ3 → k, definimos un cuaternion puro , r como la siguiente combinaci´ on r = x i + y j + z k,
x , y , z ∈ R.
Estamos haciendo la identificaci´ on de {puntos en {cuaterniones puros}.
(8) 3
R
} con
Descripci´ on en t´ erminos de cuaterniones De hecho, se cumplen las relaciones ij = k, jk = i y ki = j. Adem´as, ijk = − 1. Si p y q son dos cuaterniones puros pq = −p · q + p × q.
(9)
Un cuaternion es la combinaci´ on q = q 0 + q ∈ H, con q 0 ∈ R. A q¯ = q 0 − q se le conoce como el cuaternion conjugado , y cada cuaternion distinto de cero, se define su inverso como q −1 = 2
donde |q | = q q¯ =
q 02
+
2 i q i ,
q¯ |q |2
es la norma de q .
(10)
Descripci´ on en t´ erminos de cuaterniones
Entonces, una rotaci´ on del espacio 3 dimensional es llevada a cabo por la operaci´ on R (q )r = q rq −1 ∈ R3 ,
y
¡porque |qp | = | q | |p |! R (q ) y R (−q ) definen la misma rotaci´ on.
|R (q )r| = |r|,
(11)
Proceso de Cayley-Dickson
Las propiedades mostradas hasta ahora no son una curiosidad: Los n´ umeros reales R, los n´umeros complejos C, y los cuaterniones H, juntos con los misteriosos octoniones O forman parte de las llamadas ´algebras de Cayley-Dickson, construidas a partir del proceso de Cayley-Dickson: Sea B un ´algebra con unidad ; para elementos a, b , c , d ∈ B los pares formados (a, b ) y con la multipicaci´on definida (a, b )(c , d ) = (ac − d¯b , da + b c¯ ) dan lugar a un ´algebra A = B ⊕ B.
A que
tiene unidad que se ve como
(12)
Proceso de Cayley-Dickson
Comenzando con los n´ umeros reales: se obtiene C = R ⊕ R; si utilizamos los complejos: se obtiene H = C ⊕ C; si usamos los cuaterniones: se obtiene O = H ⊕ H. Sin embargo, si usamos los octoniones obtenemos un ´algebra, llamada sedeniones S, para la cual la ecuaci´on ab = 0 no implica forzosamente que a = 0 ´o b = 0. Esto es, las anteriores son ´algebras con divisi´ on. ¡Y todas cumplen con la ecuaci´ on |qp | = |q | |p |!
Proceso de Cayley-Dickson La suma de cuadrados de n´ umeros, es el producto de suma de cuadrados :
(x 12 + · · · + x n2 )(y 12 + · · · + y n2 ) = z 12 + · · · + z n2
− C(2) − H(4) − O(8) − R(1)
tienen todas las propiedades algebraicas; ya no son ‘bien ordenados’; ya no conmutan; ya no asocian .
Esto u ´ltimo quiere decir que a(bc ) = (ab )c .
Los Octoniones
Los octoniones O son el ´algebra normada de mayor dimensi´ on sobre los n´ umeros reales. Su base consiste de 7 unidades complejas, e i , i = 1, . . . , 7, y una real e 0 la cual es la unidad dentro del ´algebra, y que satisfacen las siguientes reglas de multiplicaci´ on: e i e j = − δ ij e 0 + C ijk e k ,
con i , j = 1, . . . , 7,
(13)
donde C ijk forman las componentes de un tensor totalmente antisim´etrico y que toma el valor de +1 para las combinaciones 123, 617, 257, 536, 145, 246, 347.
Los Octoniones e 7
e 2
e 1 e 4
e 5
e 3 Figura: Plano de Fano
e 6
´ Ejemplo: Algebras de Jordan
Las ´algebras de Jordan se introdujeron en un intento por encontrar una formulaci´ on de la Mec´anica Cu´antica que aliviara lo siguiente: • Producto de matrices Herm´ıticas no es Herm´ıtica, a menos
que conmuten • Producto por un escalar no es Herm´ıtico, a menos que el
escalar sea real Entre las propiedades que las definen se encuentran • J 1 • J 2 = 21 (J 1 J 2 + J 2 J 1 ), • (J 2 • A) • J = J 2 • (A • J ), la identidad de Jordan.
´ Algebra de Jordan
El intento no fructifer´ o, dado que la u ´nica ´algebra de Jordan que no depende expl´ıcitamente del producto matricial utilizado es H 3 (O), y es de 27 dimensiones. La forma expl´ıcita de los elementos del ´algebra son J
α = ¯
o1 o 2
o¯2 β o 3 o¯3 γ o 1
,
α, β, γ ∈ R and o 1 , o 2 , o 3 ∈ O. (14)
Sin embargo, estas ´algebras est´an relacionadas con geometr´ıas excepcionales, como planos proyectivos octoni´onicos OP2 , que a matem´aticos han sido bastante interesantes.
Consideraciones Finales • Hay modelos para describir teor´ıas de norma que usan ´ algebras de Freudenthal con la finalidad de describir interacciones
electrod´ebiles. ¿Podr´ıa describir una teor´ıa gravitacional? • Existen formulaciones de Teor´ıa de Yang-Mills no asociativas
donde se pueden estudiar efectos no perturbativos. • Para obtener modelos que reproduzcan la naturaleza, en teor´ıa M uno compactifica sobre espacios de holonom´ıa G 2 , grupo de
automorfismos de la parte imaginaria de los octoniones. • Otra posibilidad es utilizarlos para tener un espacio donde
modelar las 10 dimensiones que teor´ıa de cuerdas predice, ya que en t´erminos de grupos se tiene que sl(2, O) ∼ = so(9, 1),
que recuerda a
sl(2, C)
∼ so(3, 1). =
(15)
¡Gracias!
