Clases de Problemas 1 1.-a) Determine los índices de Miller de los planos A y B, respectivamente, mostrando en la celdilla unitaria adjunta. b) Usando una o varias celdillas cúbicas, dibuje, además del plano A, almenos, otro plano vecino que tenga exactamente la misma designación de Miller que dicho plano A. c) Calcule la distancia mínima de separación entre los diversos planos A en función de “a” (el parámetro de la red).
̅
a) A: cortes con los ejes: 1, 1, -1, índices B: cortes con los ejes: ½, 1/3, b)
c)
, índices (230)
√ √ √ Gráficamente;
√ √ √
D= √3 a;
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Clases de Problemas 1
2.- El titanio tiene una celda unidad HC y la relación de parámetros de red c/a es 1,58. Si el radio del Ti es 0,144nm, a) determinar el volumen de la celda unidad y b) calcular la densidad del titanio y compararla con la de la literatura.
a) La estructura del titanio HC es la que se muestra en la figura adjunta y en ella es fácil comprobar que el número de átomos por celda unidad es de 6at/celda . Luego tengo como datos de partida: c/a = 1,58
rTi= 0,144 nm y Pa(Ti)= 47,9 g/mol
a) Volumen celda¿? Para calcularla lo que tengo en cuenta es que la base del prisma hexagonal son 6 triángulos equiláteros de lado a y que la altura del prisma puedo determinarla considerando la relación dada c/a. Teniendo esto en cuenta tendríamos:
√ ;
. Por tanto la base del prisma sería
√ √ √
. A partir de aquí podemos obtener el volumen de nuestra celda te, teniendo
en cuenta que el de un prisma hexagonal es el área de la base por su altura: , por lo que sustituyendo los valores de partida obtendremos:
b) Ahora conocida el volumen de la celda unidad es fácil la determinación de la densidad del titanio, determinándola a partir de la unidad estructural
=
3.- El hierro tiene una densidad de 7,866 gr/cm 3, siendo su estructura a temperatura ambiente BCC. Posee un peso atómico de 55,85 gr/mol. Determinar el parámetro de red y su radio iónico.
En la estructura CCI, el número de átomos en la celdilla unidad es 2.
√ =2,86
= 2,86
El contacto entre átomos se produce a través de la diagonal principal del cubo. CCMM(G.I. Mecánica)1314
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√ √ √
4.- El hierro presenta a 20ºC una estructura cúbica centrada en el interior (BCC). Sabiendo que su radio es de rFe = 0.124nm, calcular su constante de red a.
El contacto entre los átomos en una estructura cúbica centrada en el interior se produce a través de la diagonal principal del cubo: 4R=a√3; a=4R/√3=4·0,124nm/√3= 0,286 nm. 5.- Dibuje en una celdilla unidad cúbica, las siguientes direcciones cristalográficas: b A: [ 110] B: [121] C: [ 0 1 2 ] D: [121] y los planos perpendiculares a dichas direcciones.
A)
B)
C)
D)
6.-La
celdilla unidad del Al2O3 tiene simetría hexagonal con parámetros de red a = 0.4759 nm y c = 1.2989 nm.
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Clases de Problemas 1 (a) Si la densidad del material es 3.99 g/cm3, calcule su factor de empaquetamiento atómico. (b) ¿Cuál será la nueva densidad del material si un 2 % de la posiciones aniónicas están vacantes y se conserva la estequiometría del material? DATOS: R(Al3+) = 0.053 nm , R(O =) = 0.140 nm , M(Al) = 26.98 umas , M(O) = 16 umas.
a) Al2O3, la relación Al+3/O-2= 2/3 Base de cálculo: 1 unidad de Al 2O3.
( )
b) Base de Cálculo 1 unidad de Al2O3
2% de vacantes aniónicas de 3 O -2, pasamos a 3ˑ0.98 átomos de O -2, al conservarse la
estequiometria tendremos
7.- El hierro es un metal que presenta dos transformaciones alotrópicas. En una de ellas, a la temperatura de 906 ºC, el Fe (α) (CCI) pasa a Fe (γ) (CCC), siendo sus parámetros de red 0.286 nm y 0.356 nm, respectivamente. a) Realice los cálculos necesarios para indicar cuál de las dos estructuras posee mayor densidad. b) Calcule el radio atómico del átomo mayor que puede insertarse en el Fe(γ) a la temperatura de 906 ºC sin llegar a deformarla. c) Calcular la proporción de celdillas a átomos de C en un acero cuando la solubilidad del C es máxima en el Fe (γ). DATOS: M (Fe)= 55.84 uma, M(C)= 12.01 uma.
a) Determinamos la densidad de cada una de las estructuras para determinar cuál es la que presenta mayor densidad
Luego la estructura que presenta mayor densidad es el Fe ( ).
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Clases de Problemas 1 b) El hueco mayor que existe es la estructura cúbica centrada en cara, es el hueco octaédrico, que se encuentra situado en el centro del cubo y el centro de arista. Si tomamos el del centro del cubo, tenemos que: 2RFe + 2RI.O= a por tanto conocido a puedo determinar el R I.O
√ √
c) En primer lugar tenemos que saber que la máxima solubilidad del C en el Fe ( ) es de 2.11 %C, por lo que si partimos de 100 gr, tendremos 97,89 gr de Fe y 2.11 gr de carbono. Del hierro obtendremos el número de celdas que hay y del C el número de átomos de C.
8.- (a) Calcule el número de coordinación y realice el cálculo de la fracción de empaquetamiento volumétrico del Fe sabiendo que en las condiciones en que se encuentra tiene una densidad de 7.63 g cm3 (b) Si se alea una pieza de 25g de Fe con 3g de Ni y 0.25g de C, ¿cuál será la densidad de la aleación obtenida en las mismas condiciones de presión y temperatura que el Fe del apartado anterior? Datos: R(Fe)=0.129nm, M(Fe) = 55.85 umas M(Ni) = 58.69 uma, M(C)= 12.01 uma
Primero tenemos que determinar qué tipo de estructura interna presenta el Fe: CCI ó CCC Supongamos que es CCC:
√ √ ̀ √ √ ̀
Luego es CCC, y si comprobar si que no es por tanto CCI
Por tanto es CCC, con número de coordinación 12 y factor de empaquetamiento
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Clases de Problemas 1
a) Los 25 gramos de Fe y los 3 de Ni, proporcionan los átomos que ocupan posiciones reticulares, mientras que el carbono ocupa posiciones intersticiales Para calcular los átomos totales calculo los que hay de Fe y Ni
9.- El circonio tiene una estructura HC, y una densidad de 6,51 gr/ cm3; a) ¿Cuál el volumen de la celda unidad en m3?, b) Si la relación c/a = 1.593 calcular los calores de c y a.
La estructura del circonio HC es la que se muestra en la figura adjunta y en ella es fácil comprobar que el número de átomos por celda unidad es de 6at/celda . Luego tengo como datos de partida: c/a = 1,593
=
6,51 gr/cm3 y Pa(Ti)= 91.22 g/mol
a) Volumen celda¿? Para calcularla lo que tengo que tener en cuenta es que tengo 6 átomos por celda
b) Para calcular la c y a, a partir de la relación podemos partir del volumen de la celda . Teniendo en cuenta que el volumen de un prima hexagonal es Abasex H. Para calcularla lo que tengo en cuenta es que la base del prisma hexagonal son 6 triángulos equiláteros de lado a y que la altura del prisma puedo determinarla considerando la relación dada c/a.
Teniendo esto en cuenta tendríamos:
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√ √ √ √ ;
. Por tanto la base del prisma sería
. A partir de aquí podemos obtener el volumen de nuestra celda te, teniendo
en cuenta que el de un prisma hexagonal es el área de la base por su altura:
10.- Calcular la densidad atómica planar del plano de índices de Millër (110), en la estructura cúbica centrada en cuerpo del hierro «, en átomos/mm2. La constante de red es de a = 0.287nm.
Para calcular los puntos de corte con los ejes coordenados debe calcularse la inversa de los índices de Miller, es decir: 1/1 1/1, 0/1 lo que da como resultado: (11 ∞). La representación gráfica de una celdilla unidad sería:
a
√
Átomo de vértice compartido por 4 cubos
Nº átomos= 1+4·1/4=2átomos a= 0,287 nm= 0,287·10-9m=0,287·10-6mm Área= a·a·
√ √ = a2
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√
= (0,287·10-6)2·
=1,17·10-13 mm2
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Clases de Problemas 1 Densidad planar
átomos/mm2
Densidad planar
11.-Comprobar que la fracción de empaquetamiento de la estructura cúbica simple es 0.52.
El factor de empaquetamiento atómico está definido como el radio del volumen esférico y el volumen total de la celdilla unidad o APF=VS/VC. Entonces, hay una esfera asociada con cada celdilla unidad para la estructura CS:
Como la celdilla unidad tiene simetría cúbica:
Para la estructura CS:
=a
Vc=a3=(2R)3=8R3
0.52
12.- Compara las densidades planares de los planos
, en la estructura
CCC del Pd, e indica a través de cuál de ellos, y en que direcciones es posible el deslizamiento. Datos; P atómico (Pd) = 106,4 gr/mol, Estructura FCC y 12,0 gr/cm 3-
Para la determinación de la densidad planar necesito conocer el radio del elemento, ya me es necesario para la determinar el parámetro de red, necesario para determinar el área del plano, ya que la densidad planar viene dada por
Por ello lo primero que determinaremos es el radio del elemento. Para ello partimos de los siguientes datos: Pa(Pd) = 106,4gr/mol, Estructura FCC y 12,0 gr/cm 3. Por ello utilizaremos la densidad para determinar el radio del elemento, partiendo de su estructura. Como se observa en la figura el número de átomos de la celda es de 4, y la relación entre el parámetro de red y el radio es:
√
, por lo que si a través la densidad determinamos el
parámetro de red, podremos determinar con posterioridad el radio.
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Clases de Problemas 1
; parámetro podemos calcular partirel radiode dicho según la relación vista anteriormente; √ √
̇
Conocido el radio ya podemos comenzar a determinar las densidades de los planos dados, por lo que en primer lugar determinaremos los
planos de los que se trata. Los planos son
̅ ̅
El primer plano que hemos representado es el plano tomando como ejes coordenados los mostrados obtendríamos el plano que se encuentra fuera del cubo, por lo que para determinar los átomos que intercepta y su superficie trazamos el paralelo que si se encontraría dentro del cubo. Esto nos facilita la determinación de la densidad planar. Si colocásemos los átomos en las posiciones FCC, solo son interceptados los que aparecen pintados, por lo que el número de átomos cortados serán 3 en los centros de caras que intercepta el plano y 3 en los vértices
̅
; por otro lado puede comprobarse que el área del seleccionada de dicho plano es
un triángulo equilátero de lado luego la densidad planar será:
√
√ √ √ √ ̇ √
, por lo que su área es
,
Como puede observarse en realidad no hubiera sido necesaria la determinación del radio para ver cuáles son las densidades planares de los planos presentados, ya que al existir un único átomo por punto reticular, el radio del elemento no influirá. A continuación realizamos lo mismo para los dos planos restantes. En la figura que aparece a continuación se representa el plano (010)y los átomos interceptados por él.
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Clases de Problemas 1 A partir de la figura se ve que el número de átomos interceptados por el plano es de
: Luego ̇ √
̅
En la figura de la izquierda se dibuja el plano tomando como ejes coordenados los dibujados, como este se encontraría fuera de la celda, por lo que se traza el paralelo a éste dentro de la celda. En la figura de la izquierda se vuelve a representar el mismo plano pero con la celda algo deformada para una buena visualización del plano y los átomos interceptados. A partir de aquí puede comprobarse que el plano intercepta cuatro átomos de los vértic1es del cubo y 2 de los centros de caras, por lo que el plano intercepta
√ √ √ ̇ , y su superficie es
. Por tanto:
. Por último para poder comparar las densidades planares de
los tres átomos haremos una tabla: Plano
̅ ̅
̇
Densidad Planar
̅
Podemos comprobar que efectivamente el plano de máxima densidad es el plano , y por tanto el deslizamiento se producirá en dicho plano. Por último solo quedaría determinar las direcciones del plano por las que se produce dicho deslizamiento entre planos. Para ello volvemos a recurrir a la figura primera donde representamos el plano
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Clases de Problemas 1 Las direcciones a través de las cuales se produce el deslizamiento son las de máxima compacidad, que son las señaladas en el dibujo, por ser las correspondientes a las diagonales de las caras de la celda, que son a través de las que se tocan los átomos en la FCC. Si las nombramos estas son: .
[] [] [̅]
13.- Se adjunta el peso atómico, la densidad y el radio atómico de tres hipotéticas aleaciones. A) Determinar para cada una si su estructura es CCC, CCI o cúbica simple y justificarlo. B) Indicar en la aleación cuya estructura es CCI, cuál será la densidad planar del plano (002) Aleación A B C
Peso atómico (gr/mol) 43,1 184,4 91,6
Densidad (gr/ cm3) 6,4 12,3 9,6
Radio Atómico (nm) 0,122 0,146 0,137
El mecanismo a seguir consistirá en partiendo del radio de éstas, y considerando las distintas estructuras posibles, determinar a cuál de ellas corresponde la densidad correcta. La que me de la densidad correcta, corresponderá a la estructura que presenta dicho elemento. A continuación se presentan las características que necesitaremos de cada estructura: Cúbica simple: 1 átomos y 2r=a Cúbica Centrada en el interior: 2 átomos y Cúbica centrada en caras; 4 átomos y
√
√
Aleación APa(A)= 43,1, rA= 0.122 nm. Si suponemos que la estructura es cúbica simple entonces
,como puede comprobarse la estructura de esta aleación no puede ser cúbica simple, ya que no nos da la densidad correcta, luego probamos con la siguiente. Supongamos la CCI entonces
(√ ) , esta densidad si que se corresponde con la que aparece en la tabla y por tanto la aleación A posee una estructura CCI. Aleación B Pa(B)= 184,4 y rB= 0,146 nm Comenzamos suponiendo que posee estructura Cúbica simple y por tanto
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Clases de Problemas 1
Al coincidir la densidad con la dada en la tabla es correcto decir, que la aleación B posee una estructura cúbica Simple. Aleación C Pa( C)= 91,6 gr/mol y r C= 0,137 nm En este caso probaremos en primer lugar con la CCC y por tanto
(√ ) luego nuestra estructura no es CCC. Probamos ahora con CCI.
(√ ) Luego
la aleación B también posee una estructura
CCI.
Resultado:
Aleación
Estructura
A B C
CCI CS CCI
Densidad (gr/ cm3) 6,4 12,3 9,6
Radio Atómico (nm) 0,122 0,146 0,137
Apartado b
Como la densidad planar no depende del radio, esta nos dará igual en cualquiera de los dos elementos que utilicemos, por lo que simplemente hallaremos la fracción atómica planar del plano indicado en una estructura cúbica centrada en caras. Plano (002). Si tomamos mismo número de átomos por lo que podemos calcular a partir de la fracción representada en el cubo, la fracción atómica planar del plano (002). Como se puede comprobar dicho plano solo contiene un átomo y su área es a 2, luego
√
.
Resultado: Se deduce por tanto que cualquier plano (002) de la estructura BCC, independientemente de la aleación, tendrá una fracción atómica planar de
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Clases de Problemas 1 14.- Sabiendo que el parámetro de red del Fe, Cúbico centrado es de a (Fe-CC)= 2,91 A, calcula e indica si la densidad de una aleación que contiene un 0,02%C, posee una densidad mayor o menor que la del Fe-CC. Razona el resultado obtenido. P atómico Fe= 55.85 g/mol, P atómico C=12.01 g/mol.
Aunque la cantidad de carbono es muy pequeña, y por tanto la diferencia en cuanto a la densidad será pequeña, para determinar cuantitativamente cuanto mayor es la densidad de uno respecto al otro, vamos a determinar la densidad de cada uno de ellos. Para determinar la densidad del hierro solo tenemos que tener en cuenta, que al ser una celda centrada, posee dos átomos por celda y la relación entre el radio y el parámetro de red se determina a través de la diagonal del cubo:
√
Para determinar la densidad de la aleación del 0,02%C, vamos a partir del número de celdillas por átomo de carbono del problema anterior, para no volver a repetir los cálculos, ya que necesitaríamos conocer los átomos de carbono que tengo en una celda para calcular la masa de la celda. Tenemos que tener en cuenta que hablamos de una solución sólida intersticial, y por tanto el número de átomos de Fe por celda será igualmente 2, y lo que necesitamos es determinar el número de carbono intersticial que hay ocupados en una celda unidad que será el inverso del número de celdillas por átomo de carbono del problema anterior. Por lo que si
tengo 537,49 celdillas/at C, en una celdilla habrá
Como puede observarse las densidades difieren en 0,002gr/cm 3 15.- Calcular el número de átomos que hay de cobre y Zinc en 1m3 de una aleación que contiene 1,0% Zn y 99,0% Cu en peso, Sabiendo que las densidades de los elementos puros, son respectivamente 7,13 y 8,93 gr/cm 3. P atómico Zn= 65.37 g/mol, P atómico Cu= 63.54 g/mol.
Los porcentajes dados nos indican que en 100 gramos de Aleación Zn-Cu, 1 gramo es de Zn y 99 gramos son de Cu. Partiendo de esto puedo determinar el número de moles y de aquí la fracción atómica que ocupan cada uno de ellos.
= 1,558 moles de Cu 0,015297 moles de Zn
La fracción atómica es la misma que la molar por lo que la fracción atómica de cada uno de ellos puede calcularse como: CCMM(G.I. Mecánica)1314
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Clases de Problemas 1
Por otro lado a partir de la densidad conocemos el número de átomos de cobre que tenemos por centímetro cúbico.
Como sabemos que cada átomo de Zn sustituye un átomo de Cu, y además suponemos que el volumen no cambia, el número de átomos de la aleación por centímetro cúbico corresponderá al hallado anteriormente es decir, 8,46x1022átomos /cm3. Por tanto conociendo las fracciones atómicas de cada uno de los elementos que forman la aleación, podemos determinar el número de átomos, de cada especie que hay por m 3.
Resultado:
y
Grupo
Ejercicios
Grupo
Ejercicios
A1, B1
1 y 15
A6, B6
6 y 10
A2, B2
2 y 14
A7, B7
1y9
A3, B3
3 y 13
A8, B8
2y8
A4, B4
4 y 12
A9, B9
3y7
A5, B5
5 y 11
A10, B10
8 y 12
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