Seminario de Trigonometría
emestra
SEMINARIO DE TRIGONOMETRÍA Ciclo Seme Semestra strall UNI – 2009 2009
iscelánea de problemas 1.
1
A) – 4 e B) 4 e– 1
Con un alambre de longitud 6π cm, se
C) – 4 e– 1/2
orman tres aros de igual radio, tangente
D) 4 e– 1/2
dos a dos. ¿Cuánto mide la longitud del
E) – e– 2
aro que envuelve a los tres aros? .
4π A) (5 3 − 3) cm 3 2π (4 3 3
2) cm
C)
2π (4 3 3
6 ) cm
E)
s n
C cule + en
rminos de β. rm
B) 2 cosβ – 1
2π ( 3 2 3 ) cm 3
C) 2 senβ
π
E) sen3β – cscβ
(4 3
s n6β
cosβ
D) senβ cos3β
3 − 6) cm 4
2.
b se 2 =s n3β
sen4 + sen
B)
D)
se u ple que
Del gráfico, calcule
cot θ m
Simplifique la siguiente expresión
. senθ
Y
2+
sen6θ 2
3π 4
π
A)
2
3θ
B)
2senθ
θ∈
y= mx
x
y= e
–1/2
X
C) cos3θ D) se 3θ E)
– –
2sen3θ
θ θ cos3θ
+ 2
ca em a
5.
sar
a eo
Halle la variación de la siguiente expresión.
A)
2 2
| cos x cos x cos 2 x
B)
2 8
C)
2 4
D)
2 9
E)
2 8
A)
|
2 3 2 ; 2 4 3 2
B) 1 C)
D)
E)
6.
1 ; 0 2
−
3 2 2
.
2 2
eg n som sombre bread ada a en en térm términ inos os de a, b, c y d d .
3 2 4
2 2
Del gráfico mostrado, mostrado, halle el área de la
A
e abe ue AB a BC = b, CD=c y d . C B
En la circunferencia t ig no ét ic mostrada, halle el área e la región breada, si AC =3( =3( BC ) y cos θ =
θ es
2 2 9 an co
α
m-
45º
α I
A
ínimo.
D
A) ac+ bd Y
B)
C
c
bd
ab
cd
B �
C)
− a2
b
4
X
2
D)
A
E)
–2–
2
+c
2
4 b
+ a2 2
2
Seminario de Trigonometría
emestra
PRÁCTICA DOMICILIA DOMICILIARIA RIA 1.
Si O es el centro de la circunferencia mostrada, tal que BC 4 u. Calc Calcule ule el área de la región sombreada. Considere T punto de tangencia.
π π
C)
4
D)
π
−
2
3
π
π
4
4
3π ; 4
π −
π
−
2
A
E)
5π 6
B
O
5.
30º
M
N
Determine el área de la región sombreada si AB= BC =CD 1.
30º
B
T
2.
A)
2π 9
D)
4π 2 u 9
2
π
B)
9
u2
C) E)
π
2
2
2 A
6� 2�
C
Si se cumple que a cos2 x+ b sen2 x=a+ b – c
D
2
Calcule cot x. A) D) 3.
4.
b a
c
a
c
c
b
a
B)
C)
c
E)
Si se =cos
θ , calcule sen 2
A) 1 D) 2/3
B) 2
A) 3sen34θ D) sen34θ
c a
b
a
c
c
b
6.
senθ+1 .
C) 3/2 E) 5/2
π〉, la expresión
(
sec
2
A)
csc x
)
−1
B)
está definida en los reales? C) A)
π
π
4
4
B) 0
−
π 2
D)
π 6
E) –3–
C) sen32θ E) 3sen32θ
En un triángulo ABC , calcule el cosα en unción del inradio ( ) y el semiperímetro p de dicho triángulo.
¿Para qué valores de x en el intervalo 〈0; 2
B) sen3θ
2 ( p c ) +
2
2 ( p c ) −
2
2 ( p a) −
2
2 ( p a) +
2
p 2
r 2
p 2
2
p 2
2
2 p2
r 2
2 ( p c ) +
2
2 ( p c ) −
2
ca em a
.
sar
a eo
an θ en se α d , si AB=a, BC = b, términos de a, b, c y d Del gráfico mostrado, halle
8.
Determine el máximo valor que toma la expresión siguiente. sen 2
x ∈
sen
CD c y AD AD= d
A) 0 D) 2
B
C
9.
�
B) 1/2
π ; π C) 1 E) 3
Del gráfico mostrado, determine la vaiación del radio , si se sabe que θ ∈ IIC. Considere P punto de tangencia. Y
A
�
C.T.
D
P
r
A)
B)
C)
D)
E)
2 ( ac + bd ) a
−b
2
X
ac + bd a
−b
) 2
B)
2 ( ac + bd ) a
+c
1 0
2
C) 0
ac − bd a
−b +b
1 2
D) 0 2 2
2
2 ( ac − bd ) a
2 2
E)
2
1 2
2
2 2 ima, 19 de julio de 2009
–4–
SOLUCIONARIO SEMINARIO DE TRIGONOMETRIA CICLO SEMESTRAL UNI – 2009 1.-Piden:
longitud lon gitud del aro que envuelve a los tres aros.
√ ∴ √
1
√
=
2 3+3 3
R
3
2.- Piden: El valor de
−
(
1 2
;
−
+
1
2 3+3 3
2
3(2
2
+
3
=6
)=6
=1
=
2
3
2 3+3
=
1 2)
=
−− − → − − − − ∴ − 1
•
=
1
•
−− −
( 3.-
1 2;
1 ) 2
•
2
=
− − − − +
2 =
3
5
6
4 +
2
(
4
=
+
= (1
2
)
+ 2
2
3
=2
4 +
2 )+ (
5
=
5
1 2
=
3
3 )
6
)=
6
1 2
1 2
=4
Piden: a+b en términos de
=
2
1
1 2
− − − − − − → � − − − ∴ − √ 〈 〉 √ √ √ √ √ ∈ 〈 〉 → ∈ 〈 〉 √ √ √ √ ≠ ≠ √ − − −√ − − ≤ − ≤ − 4
2
=
+
=
1
=
2
5
= =2
2
6
.
Hallando K
2
=
3
3
=
=
2
+
1
=
4.- Simplifique Simp lifique la siguiente expresión:
2+
2 (2
2+
2 + 2(2 2(2
4 +1)
6
2
2
+
3
+ 2 =
2+
4(1 +
4 + 1) + 2 =
2 2|
3 ; 4 (2
2
2
2
2 |+ 2
3 ;2 2
2 + 1) = 2
3
5.- Piden: Piden : la variación de la siguien si guiente te expresión |
|
2 +|
1+
2| 2
|(|
2 (2| 2
2 + 2| | |
|2
2|
)
|
;|
|
1) =
2
2 |
2
0;
(2 + 1) 1 2
|
|
|
|<1
2
Formando
0
1 2
|
|
4
(2
4 )=
2
3
+ 2 ,
1 1 < 2 2
2
3 4
;
4 +1)
24
+ 2
≤ − − ≤ − − − → √ ≤ −√ − − ≤ √ √ √ 3 4
|
2
1 2
|
0
|
|
3 < 4
1 2
2 2
1 2
2
<
1 4
|
2
1 2
|
2
3 4
3 2 4
2 3 2 ; 2 4
6.- Piden: Piden : Área de la región sombreada. Dato: AC=3(BC)
=
√ 2 2
9
+
;
Si
es mínimo.
→ (
)
≥
Como: 9
+
6
Entonces
S
√ √ √ → ∴ =
2S
−
2 3
(1)
3 =
2
2
3
=
CLAVE D 7.- Piden: Piden : El área área dela región sombreada sombreada en términos de a, b, c y d. C b B
t n
c
450 a r
m
D A
d
=
1 2
− 450 +
1
(1800
2
450 ) +
1 2
− (1800
450 ) +
1 2
− (1800
− − − − − − − − 1
=
450 (
2
+
+
) …………(1)
+
Aplicando teorema de cosenos para cada lado del cuadrilátero. 2
=
2
= 2
2
2
+
2
2
2
+
2
2
2
+
+
2
=
2
=
450 … … … … . ( )
450 … … … … . ( )
2
450 )
(180
2
450 … … … . . (
+2
)
En forma similar…
2
=
2
+
2
+2
450 … … . . ( )
Sumando (i) y (ii) 2
2
+
+
2
=
2
+
2
+
2
+
2
2
450 (
2
=
2
+
2
+
2
+
2
+2
450 (
+
2
+
)………….( )
+
)………….( )
Restando (vi) y (v):
2
Entonces:
(
2
+
2
450 (
) =2
2
+
+
+
=
+
+
2
+
2
(
+
+
2)
450
2
Reemplazando en (1)
=
1 2
2
450
+
2
2
(
2
+
2)
450
− ∴ − − =
1
45
2
=
2
+
+
2
(
2
+
2)
)
450 )
