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Curso: Métodos Cuantitativos

Semana 1

Material de clase Semana 1 Producción

1.

Una pequeña empresa fabricante de carteras de cuero, ha conseguido establecer vínculos comerciales con una importante cadena de tiendas por departamentos que está interesada en adquirir en los próximos tres meses todas las carteras que pueda producir en sus dos modelos: cartera estándar y cartera de lujo.

Productos Cartera Estándar Cartera de Lujo

Corte 0.5 h 1.5 h

Costura 1.0 h 0.5 h

Acabado 0.5 h 0.5 h

El precio de venta de cada cartera estándar es S/. 70, mientras que cada cartera de lujo se vende a S/. 100. Además, el departamento de Contabilidad ha det erminado que los costos unitarios de ambos modelos son S/. 50 y S/. 85, respectivamente. El departamento de Producción estima que para los siguientes tres meses estarán disponibles 750 horas de tiempo para Corte, 600 horas de tiempo para Costura y 350 horas de tiempo para Acabado. También se sabe que el lote mínimo de producción es de 300 unidades. La empresa desea trabajar logrando la máxima utilidad posible. Xi = cantidad de carteras del modelo i (1: estándar, 2: de lujo) a producir durante los próximos tres meses. MAX 20 X1 + 15 X2 ST 2) 0.5 X1 + 1.5 X2 <= 750 (Horas disponibles Dpto. Corte) 3) X1 + 0.5 X2 <= 600 (Horas disponibles Dpto. Costura) 4) 0.5 X1 + 0.5 X2 <= 350 (Horas disponibles Dpto. Acabado) 5) X1 + X2 >= 300 (Lote mínimo de producción) Xi>=0 2.

fabrica raquetas de tamaño estándar y grande. Las raquetas de la empresa son extremadamente ligeras debido al uso de una aleación especial de magnesio y grafito. Cada raqueta de tamaño estándar utiliza 0.125 Kg. de aleación especial y cada raqueta grande utiliza 0.4 Kg. de aleación especial. Para el siguiente periodo de producción de dos semanas sólo hay disponible 80 Kg. de aleación especial. Cada raqueta de tamaño estándar ocupa 10 minutos de tiempo de fabricación y cada raqueta tamaño grande utiliza 12 minutos. Las contribuciones a la utilidad son de S/.10 por cada raqueta estándar y S/.20 por cada raqueta grande y están disponibles 40 horas de tiempo de producción por semana. La política del departamento de marketing ha especificado que por lo menos 20% de la producción total debe ser de la raqueta de tamaño estándar. Se desea maximizar las utilidades de la empresa, asumiendo que venderá todas las raquetas que puede producir. SPORT S.A.

X1 ... Cantidad de raquetas estándar a fabricar las próximas dos semanas. X2 ... Cantidad de raquetas grande a fabricar las próximas dos semanas. Max 10 X1 + 20 X2 st 2) 0.125 X1 + 0.4 X2 ≤ 80 (Aleación disponible) 3) 10 X1 + 12 X2 ≤ 4 800 (Tiempo disponible) 4) 0.8 X1 - 0.2 X2 ≥ 0 (Mezcla de producción) X1, X2 ≥ 0 (No negatividad)

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3.

Semana 1

Una fábrica de alimento medicado para mascotas tiene que decidir si produce en sus propias líneas y/o emplea tercerización para la comercialización de sus principales productos: alimento para gatos con problemas en el sistema urinario, alimento para perros con problemas en las encías y alimento para conejos descalcificados. Los datos relacionados con los costos, disponibilidad de tiempo en las líneas de producción, oferta del proveedor (tercerización) y demanda mensual se muestran a continuación: Alimento para…

Gatos Perros Conejos

Costo por kilo S/. 2.40 S/. 3.00 S/. 1.20

Producir Tiempo requerido 1 hora / 10 kilos 2 horas / 25 kilos 1 hora / 20 kilos

Tiempo disponible

40 horas

Comprar Costo Oferta por kilo S/. 2.00 S/. 3.40 240 kilos S/. 1.50

Demanda

140 kilos 400 kilos 85 ilos

La empresa ha determinado que: El tiempo no utilizado en las líneas de producción ocasiona un costo equivalente a S/. 4.70.  Sólo se pueden procesar hasta 100 kilos de alimento para gatos.  Debe cumplir una cuota de utilización de mínimo el 60% del tiempo disponible en las líneas de  producción. Xij Cantidad de kilos de comida para i (G: Gatos, P: Perros, C: Conejos) a j (1: Producir, 2: Comprar) mensualmente TO Tiempo ocioso mensual (en horas) Min 2.4G1 + 2G2 + 3P1 + 3.4P2 + 1.2C1 + 1.5C2 + 4.7TO ST 2) 0.1G1 + 0.08P1 + 0.05C1 + TO = 40 (Tiempo disponible) 3) G2 + P2 + C2 <= 240 (Oferta para comprar) 4) G1 + G2 >= 140 (Demanda gatos) 5) P1 + P2 >= 400 (Demanda perros) 6) C1 + C2 >= 85 (Demanda conejos) 7) G1 <= 100 (Procesar para gatos) 8) 0.1G1 + 0.08P1 + 0.05C1 >= 24 (Condición utilización tiempo) Xij >=0 (No negatividad) 4.

El administrador de una fábrica de guitarras artesanales, debe decidir respecto a la cantidad de guitarras que fabricará durante el próximo mes. Los modelos que lanzará son: principiante, de estudio, avanzado y profesional; que venderá en 500, 300, 750 y 1500 soles la unidad, respectivamente. El equipo de artesanos a cargo de la producción está conformado por cuatro expertos, los que trabajan 4 semana por mes, 8 horas diarias de lunes a viernes. Para el próximo mes se cuenta con un presupuesto de 75,000 soles para la producción. En el tablero se muestra el costo de producción unitario de cada modelo, así como el tiempo de mano de obra requerido para la fabricación de una guitarra, y la demanda mínima que espera tener: Modelos Costo unitario (soles) Mano de obra (horas) Demanda (u) Precio

Principiante 250 8 30 500

De estudio 180 8 40 300

Avanzado 450 12 20 750

Profesional 600 14 10 1500

El departamento de mercadeo ha establecido que como máximo se venderán 45 unidades de los modelos avanzado y profesional, en conjunto. Además, la empresa desea que el costo total de producción de los modelos principiante y de estudio, no supere al 50% del costo total de producción del modelo profesional. Asimismo, por cada diez equipos del modelo De estudio, a lo más se deberán fabricar quince guitarras de los modelos avanzado y principiante, en total. Formule el modelo matemático de programación lineal que asegure las mejores utilidades.

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Semana 1

Xi: Cantidad de guitarras artesanales del modelo i (1=principiante, 2=de estudio, 3=avanzado, 4=profesional) a fabricar mensualmente Max 250X1+ 120X2+300X3+900X4 ST 2) 8X1 + 8X2 + 12X3 + 14X4 <= 640 (Tiempo disponible) 3) 250X1 + 180X2 + 450X3 + 600X4 <= 75000 (Presupuesto) 4) X1>= 30 (Demanda principiante) 5) X2>= 40 (Demanda estudio) 6) X3 >= 20 (Demanda avanzado) 7) X4 >= 10 (Demanda profesional) 8) X3 + X4<= 45 (Máximo de modelo avanzado) 9) 250X1 + 180X2<=0.5(600X4) => 250X1+180X2-300X4<=0 (Condición de costos) 10) 15X2 - 10 X1 - 10X3 >=0 (Condición de fabricación) Xi >=0 (No negatividad) 5.

Una tienda de artículos deporticos ofrecerá a sus clientes dos nuevos diseños de camisetas para maratonista: transpirable y antialérgica, ambos diseños serán ofertados en dos modelos: con mangas y sin mangas. El área de marketing de la empresa ha establecido que para el próximo mes se debe esperar una demanda máxima de 300 unidades del diseño transpirable, considerando ambos modelos. En cambio, los dos modelos, del diseño antialérgico, tendrán un nivel de ventas que, en conjunto, no será inferior a las 220 unidades. El presupuesto para la compra de materiales directos con el que se trabajará el próximo mes será de 12000 soles. Para el pago de los costos de fabricación se dispondrá de 20000 soles. En la planta, se cuenta con 8 trabajadores que hacen jornadas de 8 horas diarias, 25 días por mes. En el tablero se muestra el tiempo de mano de obra requerido para la confección de cada camiseta, así como el costo unitario de los materiales directos, el costo unitario de fabricación; y el precio de venta de cada camiseta: CAMISETAS Precio de venta (soles) Mano de obra (minutos) Costo de materiales directos (soles) Costo de fabricación (soles)

Transpirable con mangas 125 15 32 8

Transpirable sin mangas 99 12 25 6

Antialérgica con mangas 99 15 20 8

Antialérgica sin mangas 79 10 15 6

La empresa desea que el tiempo de mano de obra utilizado en la confección de los modelos sin mangas sea por lo menos igual al 40% del tiempo total empleado en los otros modelos. Además, por cada veinte camisetas antialérgicas con mangas, a lo mucho se deben confeccionar quince sin mangas del mismo diseño. Formule el modelo matemático de programación lineal que asegure las mejores utilidades. Xi = cantidad de camisetas i (1: transpirable con mangas, 2: transpirable sin mangas, 3: antialérgica con mangas, 4: antialérgica sin mangas) a producir por mes. MAX (125-40) X1 + (99-31) X2 + (99-28) X3 + (79-21) X4 Max 85 X1 + 68 X2 + 71 X3 + 58 X4 ST 2) 15 X1 + 12 X2 + 15 X3 + 10 X4 <= 96000 (Tiempo de mano de obra) 3) 32 X1 + 25 X2 + 20 X3 + 15 X4 <= 12000 (Presupuesto materiales) 4) 8 X1 + 6 X2 + 8 X3 + 6 X4 <= 20000 (Presupuesto costos de fabricación) 5) X1 + X2 <= 300 (Demanda máxima) 6) X3 + X4 >= 220 (Demanda mínima) 7) -6X1 + 12 X2 - 6X3 + 10 X4 >= 0 (Condición de tiempo MO) 8) 15 X3 – 20 X4 >= 0 (Condición de confección) Xi >= 0, entera

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Semana 1

Mezcla

6.

RMC es una pequeña empresa que fabrica una variedad de productos basados en sustancias químicas. En un proceso de producción particular, se emplean tres materias primas para producir dos productos: un aditivo para combustible y una base para solventes. El aditivo para combustible se vende a compañías petroleras y se usa en la producción de gasolina y combustibles relacionados. La base para solventes se vende a una variedad de empresas químicas y se emplea en productos para limpieza en el hogar e industriales. Las tres materias primas se mezclan para fabricar el aditivo para combustible y la base para el solvente tal como se indica en la siguiente tabla. Requerimientos de materiales por tonelada Materia Prima / Producto Aditivo para Base para el combustible solvente 0.4 0.5 Material 1 Material 2 0.2 Material 3 0.6 0.3 La producción de RMC está restringida por una disponibilidad limitada de las tres materias primas. Para el período de producción actual, RMC, tiene disponibles 20 toneladas de materia 1, 5 toneladas de materia 2 y 21 toneladas de materia 3. El departamento de contabilidad analizó las cifras de producción, los costos relevantes y llegó a obtener los siguientes precios para cada tipo de crudo: $40 por cada tonelada de aditivo para combustible producida y $30 por cada tonelada producida de base para solventes. Formule un modelo de PL para determinar la cantidad de aditivo para combustible y la cantidad de base para solvente por producir a fin de maximizar la ganancia. X: Cantidad de toneladas de toneladas de aditivo para combustible a producir Y: Cantidad de toneladas de toneladas de base para solventes a producir MAX 40 X + 30 Y Sujeto a 2) 0.4 X + 0.5 Y ≤ 20 (Material 1) 3) (Material 2) 0.2 Y ≤ 5 4) 0.6 X + 0.3 Y ≤ 21 (Material 3) X, Y ≥ 0 (Restricciones de no negatividad)

7.

Una refinería de petróleo, tiene 2 fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, cuyo costo por barril es $ 35 y crudo pesado, cuyo costo por barril es $ 30. Con cada barril de crudo ligero, producen 0.3 barriles de gasolina, 0.2 barriles de combustible para calefacción y 0.3 barriles de combustible para turbinas; mientras que con cada barril de crudo pesado producen 0.3 barriles de gasolina, 0.4 barriles de combustible para calefacción y 0.2 para turbinas. La refinería tiene pedidos contratados para suministrar 900 000 barriles de gasolina, 80 000 barriles para calefacción y 50 000 barriles para turbinas. Construir un modelo de PL que determine las cantidades de crudo ligero (xl) y de crudo pesado (xp) para satisfacer la demanda al menor costo. Entendiendo el problema: CRUDO LIGERO PESADO DEMANDA

GASOLINA 0.3 0.3 900000

CALEFACCION 0.2 0.4 80000

TURBINAS 0.3 0.2 50000

COSTO/barril 35 30

Variables de decisión: xl: número de barriles de crudo ligero para satisfacer la demanda xp: número de barriles de crudo ligero para satisfacer la demanda

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Semana 1

Min 35xl + 30 xp s.a. 2) 0.3xl + 0.3xp >= 900000 3) 0.2xl + 0.4xp >= 80000 4) 0.3xl + 0.2xp >= 50000

8.

Una refinería de petróleo produce dos tipos de gasolina: regular y extra, las cuales vende a los distribuidores en US$12 y US$14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan a partir del inventario de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado que tiene la empresa (es decir mediante mezcla), las que deben cumplir las especificaciones que se presentan en la primera tabla:

Las características del inventario de petróleos refinados se presentan en la segunda tabla de arriba. Se requiere formular un modelo de Programación Lineal que permita determinar la cantidad de petróleo nacional (xn) y de petróleo importado (xi) para maximizar el ingreso semanal de la refinería, satisfaciendo los requerimientos previamente detallados. (Sugerencia1 Presión de vapor y octanaje de la mezcla son promedios ponderados) (Sugerencia2: Debe usar cuatro variables de decisión que tienen que ser definidas: xnr, xne; xir, xie) http://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/ejemplo-de-un-problema-de-mezclade-productos-en-programacion-lineal/ 9.

Una empresa de golosinas planea vender tres tipos M, B y N de bolsitas/snack con mezcla de maní, pasas blancas y pasas negras. Cada porción de 100 gr. de maní cuesta S/1.50, la porción de pasas blancas S/1.20 y la porción de pasas negras S/1.80. Cada bolsita M, B o N tendrá un peso de 250gr. El maní será predominante en las bolsitas M con una porción mínima del 50% de la bolsa, al igual que las pasas blancas en las bolsitas B, así como las pasas negras en las bolsitas N. En los tres casos el mínimo de cada uno de los ingredientes será del 10% del peso de la bolsita. Construya un modelo de PPL que genere la cantidad de cada clase de ingrediente en cada tipo de bolsita; con un costo mínimo total. Variables de decisión: Mm: Cantidad de maní que contendrá la bolsita M …..

Bn: Cantidad de pasas negras que contendrá la bolsita B Nb: Cantidad de pasa blancas que contendrá la bolsita N El modelo (considerando etiqueta y/o comentarios) (No considera RHS numérico) Min = 0.015*(Mm + Bm + Nm) + 0.012*(Mb + Bb + Nb) + 0.018*(Mn + Bn + Nn); [PesoM] Mm + Mb +Mn = 250; !Prioridad mani; [PesoB] Bm + Bb + Bn =250; !Prioridad psablanca; [PesoN] Nm + Nb + Nn = 250; ! prioridad psanegra;

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Semana 1

[MIMAM] 0.5*(Mm + Mb +Mn) <= Mm; !Mínimo mani en M; [MIPBB] 0.5*(Bm + Bb + Bn)< =Bb; !Mínimo psablank en B; [MIPNN] 0.5*(Nm + Nb + Nn )<=Nn; !Mínimo psanegr en N; [MIPbM] 0.1*(Mm + Mb +Mn) <=Mb; !Mínimo psablank en M; [MIPnM] 0.1*(Mm + Mb +Mn) <=Mn; !Mínimo psanegr en M; [MIPnB] 0.1*(Bm + Bb + Bn) <=Bn; !Mínimo psanegr en B; [MIMaB] 0.1*(Bm + Bb + Bn) <=Bm; !Mínimo mani en B; [MIMaN] 0.1*(Nm + Nb + Nn ) <= Nm; !Mínimo mani en N; [MIPbN] 0.1*(Nm + Nb + Nn ) <= Nb; !Mínimo psablank en N; End Para resolverlo en LINDO debe colocar las variables al lado izquierdo de las restricciones y el RHS numérico. Para resolverlo en LINGO puede usarlo conforme aparece aquí.

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