Semana 9 CURSO : Tema :
CÁLCULO I
Derivada de una función
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Definición La derivada de una función f en el punto x = a denotada con f ' ( a) (léase “ f prima de a”) es f (a + h) − f (a ) f ' (a ) = lím h →0 h Si este límite existe decimos que f es derivable en a .
Si cambiamos el punto de vista y hacemos que el número a varíe, la definición anterior cambia al reemplazar a con una variable x, f ( x + h) − f ( x ) f ' ( x) = lím h →0 h Además de f ' ( x ) , se usan otras notaciones para la derivada de y = f ( x ) . Las más comunes son dy d f ' ( x ) , , y ' , f ( x) dx dx dy La notación , se lee: “La derivada de y con respecto a x” dx
Ejemplo 1. Sea f ( x) = 13x − 6 . Encuentre
f ' (4) .
Solución f ' (4) = lím
f (4 + h) − f (4)
=
h
h→0
lím
[13(4 + h) − 6] − [13(4) − 6] h
h→0
=
lím h →0
13h h
=
lím 13 = 13 h →0
2. Si f ( x) = 1 / x , encuentre f ' ( x) Solución 1
f ' ( x) = lím
f ( x + h) − f ( x ) h
h →0
=
=
−h
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1
x − ( x + h) 1 lím x + h x = lím . h →0 h →0 h ( x + h) x h
1 −1 . = lím h →0 ( x + h) x h h→0 ( x + h) x
lím
−
=−
1 x
2
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3. Si f ( x) = x 3 + 7 x , encuentre f ' ( x) Solución f ' ( x) = lím
f ( x + h) − f ( x) h
h →0
2
= lím
3
]
2
3
+ h + 7h
h
= lím h →0
3
+ 7( x + h) − ( x + 7 x )
h
h →0
3 x h + 3 xh
h →0
[( x + h) = lím
(3 x
2
2
)
2
+ 3 xh + h + 7 = 3 x + 7
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA – PENDIENTE DE UNA TANGENTE Si una curva C tiene la ecuación y = f ( x) y queremos hallar la tangente a C en el punto P (a, f (a )) , entonces consideramos un punto cercano Q( x, f ( x)) donde x ≠ a , y calculamos la pendiente de la recta secante PQ: f ( x) − f (a) m PQ = x − a En seguida acercamos Q a P a lo largo de la curva C , haciendo que x tienda a a . Si m PQ tiende a un número m (esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta secante PQ cuando Q tiende a P)
Definición La recta tangente a la curva y pendiente
= f ( x ) en
el punto P (a, f (a)) es la recta que pasa por P con la
m = f ' ( a) = lím
f ( x) − f ( a ) x − a
x →a
siempre que exista este límite. Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil de usar. Sea h = x − a . Entonces x = a + h , de modo que la pendiente de la recta secante PQ es m PQ
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=
f (a + h) − f (a ) h
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Advierta que, cuando x tiende a a, h lo hace a 0 y, de este modo, la expresión para la pendiente de la recta tangente, dada en la definición anterior, queda
m
= f ' ( a ) =
lím
f ( a + h) − f ( a ) h
h →0
Ejemplo 4. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva
f ( x) = x 2 en el punto (2,4).
Solución La recta cuya pendiente estamos buscando se muestra en la figura. Es claro que tiene una pendiente positiva grande. m = f ' (2) = lim
f (2 + h) − f (2) h
h →0
=
lim
(2 + h )2 − 2 2 h
h →0
=
lim h →0
=
lim h →0
4 + 4h + h 2 h h( 4 + h) h
=
−4
4
5. Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva y
2
= f ( x ) = − x + 2 x + 2 en
los puntos con abscisas -1, 2 y 3.
Solución En lugar de hacer cálculos por separado, parece mejor calcular la pendiente en el punto con abscisa c y luego obtener las tres respuestas deseadas por medio de sustitución.
m = f ' (c ) = lim
f (c + h) − f (c ) h
h →0
(
− (c + h ) + 2(c + h ) + 2 − − c + 2c + 2 2
=
lim
2
lim
2
2
− c − 2ch − h + 2c + 2h + 2 + c − 2c − 2
h
h →0
=
lim
h(−2c − h + 2)
= −2c +
h Las tres pendientes deseadas (obtenidas haciendo c h →0
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)
h
h →0
=
2
2
= −1,2,3 )
son 4, -2 y -4 respectivamente.
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REGLAS DE DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función de manera directa a partir de la definición de la derivada, puede consumir tiempo y ser tedioso. Vamos a desarrollar herramientas que nos permitan acortar este largo proceso, de hecho nos permitirá encontrar derivadas de las funciones más complicadas que se vean.
FUNCIÓN 1.
DERIVADA f ' ( x) = 0
f ( x) = k
2. f ( x) = x
f ' ( x) = 1
3. f ( x) = x n
f ' ( x) = n. x
4. f ( x) = e x
f ' ( x ) = e
5. f ( x) = log a x
f ' ( x) =
n −1
x
6. f ( x ) = ln x
f ' ( x) =
1 x ln a
1 x
Derivadas de las funciones trigonométricas d dx d dx d dx
( senx) = cos x (cos x) = − senx (tan x) = sec 2 x
d dx d dx d dx
(csc x ) = − csc x. cot x (sec x ) = sec x. tan x (cot x) = − csc 2 x
Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones anteriores por adición, sustracción, multiplicación por una constante, multiplicación o división de dos funciones, sus derivadas se pueden calcular en términos de la derivada de las funciones anteriores.
Propiedades Sea k una constante y f y g funciones diferenciables, entonces d d 1. [k . f ( x)] = k . f ( x) dx dx d d d 2. [ f ( x) ± g ( x)] = f ( x) ± g ( x) dx dx dx d d d 3. [ f ( x).g ( x)] = g ( x). f ( x) + f ( x). g ( x) dx dx dx d d g ( x). f ( x) − f ( x). g ( x) d f ( x ) dx dx 4. = dx g ( x) [g ( x)]2
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Derivadas de las funciones trigonométricas inversas d
1.
dx d
2.
(arccos x) = −
dx d
3.
1
( arcsenx) =
(arctan x ) =
dx
1 − x 2 1
d dx
8 ( x
5
5.
dx d
6.
2
Ejemplos 1. Encuentre la derivada de Solución
dx d
2
1 − x 1 1 + x
d
4.
dx
(arc cot x) = − (arc sec x) =
1 1 + x 1
2
2
x x − 1
1
(arc csc x ) = −
2
x x − 1
f ( x) = x 8 + 12 x 5 + 10 x 3 − 6 x + 5
3
+ 12 x + 10 x − 6 x + 5) =
d dx
8 ( x ) + 12 7
= 8 x + 12(5 x 7
d dx
4
5 ( x ) + 10
d dx
3 ( x ) − 6
d dx
( x ) +
d dx
(5)
) − 4(4 x 3 ) + 10(3 x 2 ) − 6(1) + 0
4
3
2
= 8 x + 60 x − 16 x + 30 x − 6
2. Si f ( x) = xe x , encuentre Solución f ' ( x) =
Solución
=
x
d dx
dx
( x 3
( x ) + x.
d dx
x
2 2 ( x + x − 2) − ( x + x − 2) 3
+6
.1 = ( x + 1).e
x
3
+6
d dx
2
)
)
4
3
3
+ 6)
2 3
+ 12 x + 6) − (3 x + 3 x − 6 x
( x
3 ( x
2
2
(2 x 4 + x 3
x
+e
)
+ 6)(2 x + 1) − ( x + x − 2)(3 x
( x
x
(e ) = x.e
, hallar y '
( x
4
=
x
x 3 + 6
+ 6)
y ' =
=
dx
d
( xe ) = e
x 2 + x − 2
3. Sea y = 3 ( x
d
f ' ( x )
+6
2
)
)
2
2
− x − 2 x + 6 x + 12 x + 6
( x
3
+6
)
2
4. Si y = x 4 senx + 5arcsenx , hallar y' Solución
2 1 − x
y ' = ( x senx ) '+(5arcsenx )' = ( x )' senx + x (senx )'+5(arcsenx)' = 4 x senx + x cos x + 5 4
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4
4
3
4
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1
5. Halle la derivada de y = (senx + tan x )( x 8 − 2 x ) Solución 8 8 y ' = (senx + tan x )' ( x − 2 x ) + (senx + tan x )( x − 2 x )' 2 8 7 = (cos x + sec x )( x − 2 x ) + (senx + tan x )(8 x − 2 ) EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Encuentre la derivada de las funciones utilizando las reglas de derivación. 1. f ( x) = − x 2
+3
4. f ( x) = 3 x 7
− 7 x + 21x
3
7. f ( x) = 3 x − 2
13.
−
1 5
−
2
2 x 3 x 2 w = ( z − 1)( z + z + 1)
16. y
=
2 x + 5 3 x − 2
2
19.
r =
31.
s −1
37. y
θ
3
+7
x
+
θ
=
17. y
=
( x
2
x 2 4 1 +
3
x
3
+
3 9. f ( x) = 6 x 2
x
)
+ 1 x + 5 +
x
5
2
+
x
2 4 −3 − 10 x − 5 x
12. r = (3 − θ 2 )(θ 3
− θ + 1)
4
1
x
2 x + 1
15. y
=
1 1 x + x − + 1 x x 2
18. r =
2
x − 1 2
v = (1 − t )(1 + t )
e
x
+ 3x + 7
x
3
+7
26. y
=
−1
θ − 4 θ + 0.5
21. w = (2 x − 7 ) ( x + 5 ) −1
5 x + 1 2 x 1
( x 2 2
1 + 3θ (3 − θ ) 3 θ
=
14. y
6. f ( x) =
4
+
−
x
s +1
x
=
12
23. f ( x) =
r =
34. y
− x
x
− 3x
2
1
=
−3
3
11. f ( x) =
3. f ( x) = 5 x 3
x+8
θ + θ − 2
r = 2
28. y
4 x
5. f ( x) =
20.
θ − 1
22. y (s ) = 25.
2
+
8. f ( x) = −2 x −1
x
1
10. f ( x) =
2. f ( x) = x 2
29. y
t
− 1)( x
2
+ x + 1)
+ 5t − 1
t 2 32. y = ( x + 1)( x − 1)( x 2 =
=
( x
2
=
27. y
=
30. y + 1)
35. y = x −3 e x 38. y
24. v
)ln x + 3x − 7
x
( x + 1)( x + 2) ( x − 1)( x − 2)
=
( x 2 + x )( x 2 − x + 1) x 4
x 2 + 3 x 4 − 1 3 33. y = 12 x x 36. y
−1
1 + x − 4 x
=
xe x
+
2 x
x 3 − 1 39. y = e x ln x + x ln x + e x
ln x
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2. Encuentre las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas 1. y
= −10 x + 3 cos x
4. y = x 2 cot x − 7. y
13. y 16. y
1 + cot x cos x
=
=
=
+
x
1 − cos x senx + cos x
cos x 19. y = (arcsenx)( x 3 − x ) 22. y
=
3
+ 5senx
x 5. y = (sec x + tan x)(sec x − tan x )
8. y
x cos x senx
(3 − 8 x )arccos x −2
=
3. y
=
csc x − 4 x
6. y
=
( senx + cos x) sec x
9. y
=
+7
x
cot x
=
10. y
1
2. y
=
cos x
1 + senx 11. y = x 2 senx + 2 x cos x − 2 senx
12. y
4
+
1
cos x tan x 1 + csc x
=
14. y
=
4 − x senx
1 − csc x 15. y = (1 + sec x )senx
17. y
=
sec x. csc x
18. y = x 2
20. y
=
23.
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2
x arctan x
y = 1 − 2 x + (5 − x
21. y
7
)arctan x
=
− sec x + 1
arc sec( x )
1 / x 24. y = (4 x 8 − 1)arc csc x
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA – RAZÓN INSTANTÁNEA DE CAMBIO Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Por lo tanto, y es una función de x y escribimos y = f ( x ) . Si x cambia de x1 a x 2 , entonces el cambio en x (también conocido como incremento de x) es ∆ x = x 2 − x1 Y el cambio correspondiente en y es ∆ y = f ( x 2 ) − f ( x1 ) El cociente de diferencias f ( x2 ) − f ( x1 ) ∆ y =
∆ x
x 2 − x1
se llama razón promedio de cambio de y con respecto a x sobre el intervalo [ x1 x . 2 ] y se puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura siguiente
Razón promedio de cambio = m PQ Razón instantánea de cambio = pendiente de la tangente en P Por analogía con la velocidad, consideramos la razón promedio de cambio sobre intervalos cada vez más pequeños haciendo que x 2 tienda a x1 y, por lo tanto al hacer que ∆ x tienda a 0. El límite de estas razones de cambio de llama
razón (instantánea) de cambio de y con respecto a x en x = x1 ,
lo cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva y = f ( x) en P( x1 , f ( x1 )) Razón instantánea de cambio = lím
∆ x → 0
Si consideramos x 2
= x1 + h ,
∆ y ∆ x
=
lím
f ( x 2 ) − f ( x1 )
x2 → x1
x 2 − x1
entonces la razón instantánea de cambio se puede expresar como
Razón instantánea de cambio = lím
∆ x → 0
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∆ y ∆ x
=
lím h →0
f ( x1
+
h) − f ( x1 ) h
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RAZÓN (TASA) DE CAMBIO La velocidad es sólo una de las muchas tasas de cambio que serán importantes en este curso; es la tasa de cambio de la distancia con respecto al tiempo. Otras tasas de cambio que nos interesarán son la densidad de un alambre (la tasa de cambio de la masa con respecto a la distancia); el ingreso marginal (la tasa de cambio del ingreso con respecto al número de artículos producidos), y la corriente (la tasa de cambio de la carga eléctrica con respecto al tiempo). Estas tasas y muchas más se estudian en el conjunto de problemas. En cada caso debemos distinguir entre una tasa de cambio promedio en un intervalo y una tasa de cambio instantánea en un punto. La frase tasa de cambio sin un adjetivo significará tasa de cambio instantánea.
Ejemplo 1. Una partícula se mueve a lo largo de un eje coordenado y s, su distancia dirigida en centímetros, medida desde el origen al final de t segundos está dada por s = f (t ) = 5t + 1 . Encuentre la velocidad instantánea de la partícula al final de 3 segundos. Solución La velocidad instantánea en el instante t=3 es igual a la pendiente de la recta tangente en t=3. f (3 + h) − f (3) vinst = lím h→0 h =
lím
5(3 + h) + 1 − 5(3) + 1 h
h →0
=
lím
16 + 5h
h →0
−4
h
16 + 5h − 4 16 + 5h + 4 h →0 h 16 + 5h + 4
lím
=
lím h →0
2.
=
5h
=
h( 16 + 5h + 4)
lím h →0
5 16 + 5h
=
5 8
+4
Concluimos que la velocidad instantánea al final de 3 segundos es de 5/8 de centímetros por segundo. Sea V ( x) centímetros cúbicos el volumen de un cubo cuyas aristas miden x centímetros, medidos con cuatro dígitos significativos. En una calculadora obtenga la tasa promedio de variación de V ( x ) con respecto a x conforme x varía de (a) 3.000 a 3.200 (b) ¿Cuál es la tasa instantánea de variación de V ( x) con respecto a x cuando x = 3.000 ? Solución (a) La tasa promedio de variación de V ( x ) con respecto a x cuando x varía de x1 a x 2 es V ( x 2 ) − V ( x1 ) x 2 − x1
=
(3.200)
3
− (3.000)
3.200 − 3.000
3
=
28.80
Se ve que conforme la longitud de las aristas del cubo varía de 3.000 cm a 3.200 cm, la tasa promedio de variación del volumen es 28.84 cm 3 por centímetro de variación en la longitud de las aristas.
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(b) La tasa instantánea de variación de V ( x) con respecto a x cuando x = 3 es V ' (3) . V ' ( x ) = 3 x 2 V ' (3) = 27 Cuando la longitud de la arista del cubo es de 3cm la tasa instantánea de variación del volumen es 27 cm 3 por centímetro de variación en la longitud de las aristas.
3. En un circuito eléctrico, si E volts es la fuerza electromotriz, I amperes es la corriente y R ohms es la resistencia, entonces de la ley de Ohms IR = E
(a)Si se supone que E es una constante positiva, demuestre que I decrece a una tasa proporcional al inverso del cuadrado de R. (b)¿Cuál es la tasa instantánea de variación de I con respecto a R en un circuito eléctrico de 90 volts cuando la resistencia es de 15 ohms? Solución (a) Si se resuelve la ecuación dada para I, se obtiene I = E .R
−1
Al diferenciar I con respecto a R, se tiene dI dR
. = − E R
−2
=−
E
R 2
Esta ecuación establece que la tasa de variación de I con respecto a R es negativa y proporcional a 1 / R 2 . Por tanto, I decrece a una tasa proporcional al inverso del cuadrado de R. (b) De la ecuación anterior, con E = 90 y R = 15, se tiene dI dR
=−
90 225
= −0.4
La corriente decrece a una tasa de 0.4 amperes por ohm.
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El coste C de pedido y transporte de las componentes utilizadas en la fabricación de un producto es x 200 + , x ≥ 1 x x + 30
C = 100
Donde C se mide en miles de dólares y x es el tamaño del pedido en cientos. Hallar la razón de cambio de C con respecto a x cuando a) x = 10 b) x = 15 y c) x = 20
2. Suponga que el ingreso I(n) en dólares por vender
n casas esta dado por I ( n) = 400 n − n 2 . Encuentra las tasas instantáneas de cambio del ingreso cuando n = 10, n = 100
3. Suponga que una partícula se mueve a lo largo de un eje coordenado, de modo que su distancia dirigida – medida desde el origen – después de t segundos es ( −t 2 partícula estará momentáneamente detenida?
+ 4t ) pies
¿cuándo la
4. Un negocio está prosperando de tal manera que su ganancia total (acumulada) después de t años es 1000t 2 dólares. (a) ¿cuál fue su ganancia durante el tercer año (entre t=2 y t=3)? (b) ¿Cuál fue su tasa promedio de ganancia durante la primera mitad del tercer año, entre t=2 y t=2.5? (c) ¿Cuál fue la tasa instantánea de ganancia en t=2?
5. Si un tanque contiene 5 000 galones de agua, la cual se drena desde el fondo del tanque en 40 min., entonces la ley de Torricelli da el volumen V de agua que queda en el tanque después de t minutos como t V = 50001 − 40
2
, 0 ≤ t ≤ 40
Encuentre la razón de drenado después de (a) 5 min. (b) 10 min. (c) 20 min. (d) 40 min. ¿En qué momento fluye el agua más rápido hacia afuera? ¿Con mayor lentitud?
6. Suponga que un cilindro circular recto tiene una altura constante de 10.00 pulg. Sea V pulgadas cúbicas el volumen del cilindro circular recto, y r pulgadas el radio de su base. (a) Determina la tasa promedio de variación de V con respecto a r cuando r varía de 5.00 a 5.40 (b) Determina la tasa instantánea de variación de V con respecto a r cuando r = 5.00
7. Un sólido consiste de un cilindro circular recto y una semiesfera en cada extremo, y la longitud del cilindro es el doble de su radio. Sean r unidades el radio del cilindro y de las semiesferas y V(r) unidades cúbicas el volumen del sólido. Determine la tasa instantánea de variación de V(r) con respecto a r .
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8. Se vierte arena en un montículo de forma cónica de modo que la altura de éste es el doble de su radio. Determine la tasa de variación del volumen del montículo con respecto al radio cuando la altura de éste es (a) 4 m y (b) 8 m
9. Se estimó que un trabajador en una empresa donde se fabrican marcos para pinturas puede pintar y marcos x horas después de comenzar a trabajar a las 8 a.m. donde, y = 3 x + 8 x 2 − x 3
(a) Determine la tasa a la que el trabajador está pintando a las 10 a.m. (b) Determine el número de marcos que el trabajador pintará entre las 10 y las 11 a.m.
10. Se está extrayendo el agua de una piscina y el volumen del agua, después de t minutos de iniciada la extracción, es V(t) litros, donde V (t ) = 250(1600 − 80t + t 2 ) (a) Determine la tasa promedio de la salida del agua de la piscina durante los primeros 5 minutos. (b) ¿Qué tan rápido sale el agua de la piscina 5 minutos después de iniciada la extracción?
11. Si un cuerpo de peso W libras es arrastrado a lo largo de un piso horizontal a una velocidad constante por una fuerza de magnitud F libras y dirigida en un ángulo de respecto al plano del piso, entonces F está dado por la ecuación F =
θ radianes
con
kW ksenθ + cos θ
Donde k es una constante llamada coeficiente de fricción. Si k = 0.5 , determine la tasa instantánea de variación de F con respecto a θ cuando (a) θ = π / 4 y (b) θ = π / 2
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Semestre 2012 - I
