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UNIVERSIDAD NACIONAL DE

CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

2° PRÁCTICA PRÁCTICA DE INTEGRAL MULTIPLE MULTIPLE CURSO DOCENTE

:

ANÁLISIS :

MATEMÁ MATEMÁTICO TICO III

ING. HORACIO URTEAGA

BECERRA BECER RA

ESTUDIANTES: CHUQUIRUNA CHÁVEZ CHÁVEZ MARVICK ALAIN RAMIREZ CHÁVEZ CHÁVEZ ANTONY SOLANO VARGAS DIEGO RENATO RENATO

CAJAMARCA, SEPTIEMBRE DEL 2015

PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL

INTRODUCCIN De la misma manera en que la integral integral e una !un"i#n !un"i#n $%siti&a $%siti&a e una &aria'le e(nia en un inter&al% $uee inter$retarse "#m% el )rea entre la gr)("a e la !un"i#n * el e+e , en ese inter&al%- la %'le integral e una !un"i#n !un"i#n $%siti&a $%siti&a e %s &aria'les&aria'les- e(nia e(nia en una regi#n regi#n el $lan% ,*- se $uee inter$retar "%m% el &%lumen entre la su$er("ie e(nia $%r la !un"i#n * el $lan% ,* en ese inter&al%. Al realiar una /integral tri$le/ e una !un"i# !un"i#n n e(ni e(nia a en una regi# regi#n n el es$a"i es$a"i% % ,*- el resul resulta ta% % es un 0i$er&%l1men 0i$er&%l1men-- sin sin em em'a 'arg rg% % es 'uen 'uen% % n%ta n%tarr que que si el resulta% se $uee inter$retar "%m% el &%lumen e la regi#n e integra"i#n. Para integrales e #renes su$eri%res- el resulta% ge%m2tri"% "%rres$%ne a 0i$er&%l1menes e imensi%nes "aa &e su$eri%res. La manera m)s usual e re$resentar una integral m1lti$le es anian% sign%s e integra"i#n en integra"i#n en el %ren in&ers% al %ren e e+e"u"i#n 3el e m)s a la iquiera es el 1ltim% en ser "al"ula%4- segui% e la !un"i#n * l%s i!er i!eren" en"ia iale less en %re %ren n e e+e" e+e"u" u"i# i#n. n. El %min %mini% i% e inte integr gra" a"i# i#n n se re$resenta s%'re "aa sign% e integral- % a menu% es a're&ia% $%r una letra en el sign% e integral e m)s a la ere"0a5

Es im$%rtante esta"ar que n% es $%si'le "al"ular la !un"i#n $rimiti&a % $rimiti&a % antieri&aa antieri&aa e e una !un"i#n e m)s e una &aria'le $%r l% que las integrales m1lti$les indefnidas n% e,isten.

OBJETIVOS UTILI6AR LOS SO7T8ARES 3AUTOCAD- DERIVE 9- MAT:CAD4 PARA EL DIBU;O DE LOS S RESULT RESULTADOS DE LAS INTEGR INTEGRALES ALES DOBLES DOBLES > VOLUMENE VOLUMENES S DE LOS LOS S
APLICA APLICAR R LOS CONOCIMI CONOCIMIENT ENTOS OS PAR PARA EL C?LCUL C?LCULO O DEL TEMA DE INTEGR INTEGRALE ALES S MULTIP MULTIPLES LES MEDIAN MEDIANTE TE LOS M@TODO M@TODOS S APREND APRENDIDO IDOS S PREVIAMENTE EN CLASE. AN?LISIS MATEM?TICO III




!. E"#$%& $#' '()%(*+,*' '()%(*+,*' (+,*)-#$*' #/0(#+1 *$ -1*+ -1*+ 1* (+,*)-#(3+. 1

a4

1

∫ ∫ √ ( x x + 1 ) dxdy 2

0

√y

π / 2

1

'4

∫ ∫ √ ( 1 +cos x ) cosxdxdy 2

0

arcsen ( y )

1

"4

4

1

∫∫ x

3

sen y 3 dydx

2

0

x

3

9

∫∫ yco s xdxdy 2

0

y

1

2

3

∫∫ e dydx 2

e4

x

0 3 y

8

!4

2

∫∫ 0

x

4

e dxdy

∛ y

1

a¿

1

∫ ∫ √ ( x x + 1 ) dxdy 2

0

√y

SOLUCI
Gra(" a("a e e l% l%s llmites ites e la la in integr egral % %'le. le.

AN?LISIS MATEM?TICO III




ii4

Integram%s "am'ian% el %ren e integra"i#n. 1

1

IID =∫ ∫ √ ( x2 + 1 ) dxdy 0

√y

1

x2

2 IID =∫ ∫ √ ( x + 1 ) dydx 0

0





(

3 2 IID = √ − 8

1

'4

ln

( √ 2 + 1 ) 8

)

π / 2

∫ ∫ √ ( 1 +cos x ) cosxdxdy 2

0

arcsen ( y )

SOLUCI
Gr)("a e l%s lmites e la integral %'le.





ii4

Integram%s "am'ian% el %ren e integra"i#n. π 1

2

∫ ∫ √ ( 1+ cos x ) cosxdxdy 2

IID =

0

arcsen ( y )

π senx

IID =∫ ∫ 0

0

√ ( 1+ cos x ) cosxdydx 2

IID =0.61 1

"4

1

∫∫ x 0

x

3

3

sen y dydx

2

SOLUCI


F


ii4


1

IID =∫ ∫ x sen y dydx 3

3

2

0

x

1

√y

0

0

IID =∫ ∫ x 3 sen y 3 dxdy

I ID = 3

1 12

( 1−cos ( 1 ))

9

∫∫ yco s xdxdy 2

4

0

y

2

SOLUCI


9


ii4


9

IID =∫ ∫ ycos 2 xdxdy 2

0

y

9

√x

IID =∫ ∫ yco s2 xdydx 0

0

ID=

1

e4

sen ( 81 ) 4

3

∫∫ e

x2

dydx

0 3 y

SOLUCI




i4


ii4


3

IID =∫ ∫ e x dxdy 2

0 3 y

x 3

3

IID =∫ ∫ e dydx x

0

2

0

e 9− 1 1

ID= ¿ 6


H


8

2

∫∫ e

x

!4

0

4

dxdy

∛ y

SOLUCI

ii4


2

∫∫ e

x

IID =

0

3

2

x

4

dxdy

√ y 3

IID =∫ ∫ e x dydx 4

0

0





1

16 IID = ( e −1 )

4

2.

E"#$%#-: ❑

∬ ( x tanx + y + 4 ) dA 2

3

Sien%

R

{

R= ( x , y )/ x + y ≤ 2 } 2

2

SOLUCION5 2 2 4 Regi#n e integra"i#n5 R= {( x . y )/ x + y ≤ 2 }


J


4 es$e+an% , en !un"i#n e *5





4 EVALUANDO5 x x

∫ (¿ ¿ 2 tanx + y + 4 ) dxdy 3

x1 y 2

❑

∬ ( x tanx + y + 4 ) dA =∫ ¿ 2

3

R

y 1

❑

∬ ( x tanx + y + 4 ) dA =8∗π 2

3

R





4. EVALUAR: ❑

∬ xdA R

Sien% R la regi#n el $rimer "uarante- a"%taa $%r las

2 2 2 2 "ir"un!eren"ias5 x + y =4 ∧ x + y =2 x usan% el $r%grama eri&e.

Gra(que la regi#n e integra"i#n

SOLUCION5

{

2 4 Regi#n e integra"i#n5 R= ( x . y )/ √ x ( 2− x ) ≤ y ≤ √ 4 − x ∧ 0 ≤ x≤ 2 }

4 es$e+an% , en !un"i#n e *5





4 e&aluan%5

❑

x 2 y2

2

√ 4 − x

∬ xdA =∫∫ xdydx =∫ ∫ R

x 1 y1

0

2

xdydx

√ x ( 2− x )

❑

∬ xdA =−1.356 R






F


5. H#$$* *$ "$%/*+ 1*$ '$(1 %0(#1 1*0#6 1*$ 7#-#0$(1* 2 z =3 x + y ∧ '0-* $# -*)(3+ #,#1# 7- y = x ∧ x = y − y . 2

2

SOLUCI
{

1

}

2 4 Regi#n a"%taa5 R= ( x . y )/ y − y ≤ x ≤ y ∧− 4 ≤ x ≤ 2


9


4 S%li%5

2 2 z =3 x + y

x = y 2− y

y = x

4 V%lumen el s%li%5 V y 2 x 2

2

v =∬ zdA =∫ ∫ zdxdy =∫ y 1 x 1


0

y

∫

3 x

2

2

+ y dxdy

y2 − y




8. H#$$* *$ "$%/*+ 1*$ '3$(1 #,#1 7- $# '%7*-9(* 2 2 x + z = 9  $' 7$#+' x =0 ; y =0 ; z =0  x + 2 y =2 ; *+ *$ 7-(/*- ,#+,*. SOLUCI
Gr)("% el s#li%.


H


•

2 2 S 1: x + z =9

3Cilinr% regular4 •

S 2: x =0 (Plano yz)

•

S 3: y =0 (Plano xz)

•

S 4 : z = 0 3Plan% ,*4

•

S 5: x + 2 y =2

3Plan%4

ii4

V%lumen el s#li%. dV = zdxdy

∬ zdxdy

V =

R

1 2− 2 y

V =∫ 0

∫

√ ( 9 − x 2) dxdy

0





V =2.88 un d

3

<. H#$$* *$ "$%/*+ 1*$ '$(1 %0(#1 '0-* $# '%7*-9(* 2 2 2 z =√ x + y = 1*0#6 1* $# '%7*-9(* x + y + z =1 . 2

2

SOLUCION I.

GRA7ICO DE LA REGION DE INTEGRACION5 2 2 S 1: z = √ x + y

S 2: x

2

2

2

+ y + z =1

KC%n% e re&%lu"i#n KEs!era

2 2 2 2 S 1 ∩ S 2 : √ x + y =√ 1− x − y


J


x 2+ y 2 =1− x 2− y 2 x 2+ y 2 =

II.

1 2

1

 r = 2

KCir"un!eren"ia

GRA7ICO DEL SOLIDO5





III.

VOLUMEN DEL SOLIDO5

dV = zdA =( z 1− z 2) dA 1 2 π √ 2

❑

V =∬ ( z 1− z 2) dA =∫ ∫ ( √ 1− r 2−r 2 ) rdrdθ R

0

0

1

√ 2

I =∫ ( r √ 1 −r 2−r 2 ) dr 0

2 π

V =¿

∫ dθ 0

V =0.6134 unid

3





>.

H#$$* *$ "$%/*+ 1*$ '$(1 #,#1 7- $#' '%7*-9(*' 2 2 2 2 z =3 x + 3 y = 1*0#6 1* $# '%7*-9(* z =4 − x − y . SOLUCION

I.

GRA7ICO DEL SOLIDO5 2 2 S 1: z =3 x + 3 y

KPara'%l%ie e re&%lu"i#n- se a're 0a"ia arri'a *

"%n V3J-J-J4 S 2: z = 4 − x 2− y 2

KPara'%l%ie e re&%lu"i#n- se a're 0a"ia a'a+% *

"%n V3J-J-4 S 1 ∩ S 2 : 3 x

2

2 2 x + y =1

II.

2

2

+ 3 y = 4− x − y

2

KCir"un!eren"ia

VOLUMEN DEL SOLIDO5 ❑

2 π 1

2 2 V =∬ ( z 2− z 1) dA =∫ ∫ ( 4 −r −3 r ) rdrdθ

R


0

0




V =¿

?. H#$$* *$ "$%/*+ 1*$ '$(1 @%* *', 1*+,- 1*$ ($(+1- 2 2 x + z = 4 = 1* $# '%7*-9(* 4 x + 4 y + z = 64 . 2

2

2

SOLUCION I.

GRA7ICO DEL SOLIDO5





:a"em%s5 y 1=

√

(

64 − 4 −5 sen (θ )

)r

4

2

C%n&irtien% a "%%renaas $%lares

"%n x =rcos ( θ ) ∧ z =rsen ( θ ) II.

VOLUMEN DEL SOLIDO5 2 π 2

❑

V =∬ f ( x , z ) dA =∫ ∫ R

V = 49.0396 unid


0

0

√

(

64 − 4 −5 sen ( θ ) 4

)r

2

r drdθ

3

F


. H#$$#- $# /#'# = *$ *+,- 1* /#'# 1* %+# $/(+# @%* ,(*+* $# -/# 1* %+# -*)(3+ #,#1# 7- $# %-"# y = sen ( x ) ; *$ *6*  = $#' -*,#' x =0 ∧ x = π  '( $# 1*+'(1#1 1* -*#; *+ %#$@%(*7%+,; *' ()%#$ # $# -1*+#1# 1*$ /('/. L# /#'# '* 1# *+ '$%)' = $# 1(',#+(# *+ 7(*'. SOLUCION I.

GRA7ICO DE LA PLACA5 En %ne5 ρ ( x , y )= y

II.

MASA DE LA PLACA m=∬ ρ ( x , y ) dA R

π

sin

m=∫

( x )

∫ y dy dx

0

0

( x ) ¿ ¿

sin

¿ 2 dx ¿ m=

1 2

π

∫¿ 0


9


π

m ¿ 4 s!u"s

III.

MOMENTOS5 ❑

π

sin

( x )

∬ yρ ( x , y ) dA =∫ ∫ y

#x =

R

0

π

2

∫ 13 ( sin ( x )) dx 3

dy dx =

0

0

4

$ #x = s!u" . %ies 9

❑

π

R

0

#y =∬ xρ ( x , y ) dA =∫

sin ( x )

1

π

∫ xy dy dx = 2 ∫ x ( sin ( x ) ) dx 0

2

0

2

#y = AN?LISIS MATEM?TICO III

π 8

s!u" . %ies




IV.

CENTRO DE MASA5 2

π x´ =

8

π

4

π 9 16 = %ies ´ y = = %ies 2

4

π

9 π

4

!. H#$$#- $# /#'# = *$ *+,- 1* )-#"*1#1 1* /#'# 1* %+# $/(+# @%* ,(*+* $# -/# 1* %+# -*)(3+ #,#1# 7- $# %-"# r =2 cosθ ; 0 ≤θ ≤ π / 2 ; *$ *6* 7$#- '( $# 1*+'(1#1 1* -*#; *+ %#$@%(*- 7%+,; "#-# *+ -/# 1(-*,#/*+,* 7-7-(+#$ # '% 1(',#+(# #$ 7$. L# /#'# '* 1# *+ '$%)' = $# 1(',#+(# *+ 7(*'. SOLUCI
Gr)("a e la l)mina.

ii4

Regi#n e integra"i#n5

{(r ,θ )/ 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ π /2 } iii4

Masa en "%%renaas $%lares.


H


dm= ρ ( x , y ) dA ❑

m=∬ ρ ( x , y ) dA R

x

(¿ ¿ 2 + y ) ρ ( x , y )= &r = √ ¿ 2

dA =rdrdθ

Ent%n"es5 π 2

1

m=∫∫ & r drdθ 2

0

m=

i&4

0

&π s!u"s 6

Centr% e masa en "%%renaas $%lares.





a4 C%n res$e"t% a x . # x´ = y m π 2

1

# y =∫ ∫ & r cosθdrdθ 3

0

# y =

0

& 4

Lueg%5 # y x´ = m & x´ =

4

&π 6


J


x´ =

3

%ies

2 π

'4 C%n res$e"t% a y . # x y´ = m π 2

1

# x =∫ ∫ & r 3 senθdrdθ 0

# x =

0

& 4

Lueg%5 # x y´ = m




segundotrabajoanalisis-150926134301-lva1-app6891.docx

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