2 Preguntas propuestas
Semestral UNI • Aptitud Académica • Cultura General • Matemática • Ciencias Naturales
Trigonometría Identidades de transformación trigonométrica
A) 144º
B) 135º
D) 120º
C) 72º E) 90º
NIVEL BÁSICO 6. 1.
Del gráfico, calcule cos( x – y).
A) sec2 x
cos x+cos y
cos
3 4
D) − 2.
B)
E) 2sen2 x
7 −
8
2
C) E)
3
NIVEL INTERMEDIO 5 −
8 −
7.
1
Calcule el valor de la siguiente expresión 2 sen 10 º − 4 sen 70º cos 50 º se cos 80º
2
Reduzca la expresión sen 50 º +4 sen 10º co cos 35 º co cos 25 º
2 A) 2 D)
B) cos35º cos35 º
C)
D)
2
E) 2 2
2 cos 35º
8.
2
3 2
D)
B)
1 2
4.
Si
+1
C)
E)
4
1 + cos 4θ sen 6θ
B) 1/3
D) 1/2 9.
2 2 3
5.
1 2
=
x cos 80º −
C) 2 E) 3
Reduzca la expresión ( sen 6 º − cos 6 º ) ( sen 24 º − cos 24 º )
−1
B) – sen29º
A) 1/4 D) sen6º
+
2
sen 9º
C) 1/2 E) 1
= n,
10.
calcule csc2q+csc6q. A) n /2 D) n+1
−
De la siguiente identidad, calcule el valor de x.
2 3
2 2
C) E)
−
A) 1
A − B Calcule el mínimo valor que toma cos . 2
2
2
1
−
Si A + B = , tal que 3 sen A+cos A+sen B+cos B ≥ 2,
3
B)
2 2 sen 10º cos 25º 2 sen 20º sen 10º
π
A)
3
A)
cos 25º
3.
C) cos2 x
x+ y
2
−
B) 2cos2 x
D) sen x
53º/2
A)
Calcule N si si se cumple sen x + sen 2 x + ... + sen 5 x N + 1 = tan x N − 1 cos x + cos 2 x + ... + cos 5 x
B) 2 n
C) n2 E) 4 n
Calcule la medida del mayor ángulo de un triángulo ABC si si cos5 A+cos5 B=sen5C .
En un triángulo ABC se se cumple que m C =60º =60º 3 3 y sen A+sen B=1. Calcule cos( A – B). A) D)
4
B)
27 2
7 24
C) E)
31
2
5 27 5 21
Trigonometría 11.
Si cos7 x=6cos x, calcule cos6 x+cos2 x – cos4 x. A) D)
12.
5
B)
2
3
C)
5
1
E)
2
7 2
De las siguientes condiciones sen( x – 45º)= mcsc( x+15º) (I) cos( x+45º)=2 msec( x – 15º) (II) 2 calcule cos 2 x en términos de m.
7 4
A) 3 m – 8 m2 D) 6 m – 2 m2
Si
1 2 2 (cos a + cos b) − (sen a +sen b) − cos(a + b) 2 M ( a; b) = cos( a + b)cos( a − b)
16.
17.
Si
2π
B)
3
5π
C)
3
6
E)
3
tan θ
=
1 + cos
2
x
1 + sen
2
x
A) 3 D) 2
18.
6
2π
sen
9
π
18 3
B)
2
+
sen
3 3
7π 18
3 3 −
4
E)
4
sen
9
C)
2
4π
3
En un triángulo ABC , calcule el mínimo valor de la expresión cos2 A+cos2 B+cos2C . A)
1
−
3
B)
2
5π
D)
3
C)
2
1
3 −
2
E) –1
4
, 29
19.
B) 7
cos 6 x + cos 2 x − cos 4 x −
C) 9 E) 4
cos ( Ax )
1 2
=
Si
∑= cos
k
N cos ( Bx )
calcule A+ B+ N . B) 12
C) 3 E) 10
3
3(
2 k + 1)
0
π 180
=
3 16
M csc
π , N
calcule M + N +12. A) 100 D) 115
De la siguiente identidad
A) 9 D) 7
sen
π
calcule sen(3 x+q)csc( x – q).
18
+
NIVEL AVANZADO
4π
tan x
5π
−
D)
Si f ( x)=cos2 x+cos2( x+q) – cos( x+q)cos x es independiente de x, calcule un valor para q.
D)
15.
sen
calcule M (70º; 20º).
A)
14.
π
9
+sena+sen b A)
13.
C) 3 m – 4 m2 E) 2 m – 8 m2
Calcule el valor de la expresión sen
A) 2sen55ºsen80º B) 2 2sen45ºcos80º C) 2 2sen55ºsen80º D) 2 2 sen35ºsen10º E) 2 2cos35ºcos80º
B) 4 m – 5 m2
B) 105
C) 195 E) 95
Si cos2 Atan( B+C ) – cos2 Btan( A+C )=sen2 A – sen2 B, calcule cos2 A+cos2 B+cos2C .
20.
A) –1 D) 2
B) 0
C) 1 E) 1/2
Trigonometría Introducción a la geometría analítica I
A)
NIVEL BÁSICO 1.
D)
Del gráfico, calcule tanq. 4.
Y B(0;
17
B)
10
13
C)
10
9
E)
10
7 10
19 10
Si ABCD es un cuadrado, calcule la suma de ordenadas de los puntos M y N .
3) Y B(1; C (3;
N
1)
θ
A(– 2;
7)
C (5;
A
0)
X
M D
A) 4/3 D) 1/2
B) 2/3
C) 1/4 E) 1 A)
2.
Del gráfico, calcule tana+tanq. B(– 5;
D)
8) Y
α
45º
5.
θ
A(– 8;
4) X
A) 31/21 D) 25/4 3.
B) 25/28
Si AB=2(OA), calcule Y
m + n
A(5;
B)
5
7
B) (– 9; – 7)
B( m; n)
43 6
29 2
C) (– 8; – 7) E) (– 8; – 6)
Calcule el ortocentro del triángulo cuyos vértices son (1; 2), (5; 5) y (2; 9).
B) (5; 4) X
C)
La longitud del segmento MN es igual a 13, su origen está en el punto M (3; – 2) y la pro yección sobre el eje de abscisas es igual a 12. Calcule las coordenadas del otro extremo del segmento si forma con el eje de ordenadas un ángulo dado.
3)
P
3
X
E)
A) (3; 2)
O
44
35
D) (– 9; – 6) 6.
.
41
A) (– 9; – 8)
C) 31/4 E) 8/7
OP
4)
C) (2; 1) D) (6; 5) E) (5; 5) 4
Trigonometría 7.
Se tiene un triángulo ABC , tal que A(– 4; 0), B(– 2; 6) y C (16; 0). Calcule las coordenadas del punto donde la bisectriz del ángulo ABC corta al lado AC .
10.
Si ABCO es un rombo y M es punto medio de AB, halle el área de la región sombreada. Y B
A) (2; 1) D) (0; 0) 8.
B) (2; 0)
C) (3; 0) E) (1; 0)
M C (9; 12)
A
Si BC =3( AB)=3(OA), calcule el área de la región sombreada. O
Y
A(– 2;
B
A) 18 u 2 D) 32 u2
4) 11.
O
X
B) 27 u2
C) 36 u2 E) 16 u2
Del gráfico, calcule el área de la región sombreada si BAC es un sector circular.
X Y C
A) D)
15
B)
2
25
C)
2
5
E)
2
B(0;
21 2
9
0)
X
2
A) 45/2 D) 15/2
Si OA= AC y OB= BM , calcule el área de la región sombreada.
12.
B) 45/4
C) 15/4 E) 45/7
Si el área de la región sombreada es calcule 3 x+3 y.
2 3
( a2 + b2 ),
Y
Y
C
C (2;
A
NIVEL INTERMEDIO 9.
6)
A(2;
M
X
5)
(– 2 b; 2a) O B(– 3;
A) 13 D) 12
X
( x; y) (a; b)
– 1)
B) 8
C) 11 E) 10 5
A) 4 b D) 3 b
B) 3 a
C) a+ b E) 4a
Trigonometría 13.
Calcule las coordenadas del punto R en términos de q. Y P(0;
D) (120π − 30; 60 − 30 3 ) E) (130 π − 30; 70 − 30 3 ) 16.
2)
Si G(3; 4) es baricentro del triángulo ABC , G1(4/3; 2) baricentro del triángulo AGC y G2(3; 19/3) baricentro del triángulo BGC . Calcule las coordenadas del punto A, B y C .
R
A) (3; – 3), (8; 9), (– 2; 5) B) (3; – 3), (8; 10), (– 2; 5) C) (3; – 3), (8; 10), (– 2; 4) D) (2; – 2), (8; 10), (– 2; 5) E) (1; –1), (6; 10), (– 2; 3)
X
θ
A) (– sen2q; 1– cos2q) B) (– sen2 q; 1+cos2q) 17.
C) (sen2q; 1+cos2q)
Si O(– a; a) y A( b; 0), calcule (cotf –1)(tanq+1).
D) (sen2q; 1– cos2q)
Y
E) (1– cos2q; sen2q) 14.
Dados los puntos A(0; 2); B(6; 4) y C (4; 8), determine las coordenadas del circuncentro del triángulo ABC . 71 73 A) ; 7 7
71 33 B) ; 7 7
13 37 D) ; 7 7 15.
O
φ
17 33 E) ; 7 7
Y
A)
r
r A 30º A
A
A) (10 π − 20; 60 − 30 3 ) B) (130 π − 20; 60 − 30 3 ) C) (130π − 30; 60 − 30 3 )
−
1
B) –1
2
D) – 2
C)
−
1 4
E) – 4
NIVEL AVANZADO 18.
r
X
A
31 73 C) ; 7 7
Si r =60, calcule las coordenadas del punto A en la posición final mostrada.
θ
Se tiene un trapecio rectángulo ABCD( AB es altura), tal que AD=2( AB) y BC = AD + 2 2. Calcule las coordenadas de los puntos C y D si A(5; 1) y B(1; 5). Considere el punto D en el primer cuadrante.
X
A) (11; 15), (13; 9) B) (11; 15), (13; 8) C) (11; 15), (13; 10) D) (11; 16), (13; 9) E) (11; 12), (13; 9) 6
Trigonometría 19.
Del gráfico, calcule el menor valor de la ordenada del punto Q.
20.
Si ABC es triángulo equilátero y A ( 0; 3 ), calcule ( PA)2+( PB)2+( PC )2.
Y
Y A
Q
(a; a+3) P P
X
( B) 6 ( C) 3 ( D) 4 ( E) 6 (
A)
6
2
− 1)
2
+1
A) 5 B) 4 C) 7 D) 6 E) 3
)
2
− 2)
2
− 1)
2
+1
B
)
7
C
X
Trigonometría Introducción a la geometría analítica II
4.
Según el gráfico, O es centro del cuadrado ABCD. Si AP=2(CQ) y D =(6; 0), halle la ecuación de L .
NIVEL BÁSICO 1.
Y
Calcule un punto de la recta L : 3 x+ y+4=0, que equidista de los puntos (– 5; 6) y (3; 2).
L
C
B
Q
A) (– 1; –1) D) (3; –13) 2.
B) (4; –16)
C) (– 2; 2) E) (– 3; 5)
O
Según el gráfico, P, Q y T son puntos de tangencia. Si OT =2(TK ), calcule la pendiente de
P
D
X
L .
Y
A) x – 2 y+2=0
A
B) x – 2 y+3=0 C) x – 3 y+2=0
Q
D) x – 2 y – 3=0
L
E) x – 3 y – 2=0
P 5.
Según el gráfico, ABCDEF es un hexágono regular. Calcule la pendiente de L .
O
A) –1/2 D) – 3/4
A
T
K
B) – 2/3
X
C) –1/4 E) – 2/5
Y C
D
L
3.
En el siguiente gráfico, las pendientes de L 1 y L 2 son 1/3 y 2/3. Halle las coordenadas del punto B, si se sabe que AM = MB y C (0; 1).
B
Y
E
L 2 A
L 1
C
A
A)
2 3
M X
B)
B
C) A) (1; 2) B) (2; – 3) C) (3; – 2) D) (4; 6) E) (8; –10)
D)
1 2
3 5 3 5
E) 2
8
F
X
Trigonometría A) 2 x – 3 y+15=0 B) 12 x – 5 y – 60=0 C) 3 x – y+5=0 D) x – y+5=0 E) 2 x – y – 30=0
NIVEL INTERMEDIO 6.
Según el gráfico, O1 y O2 son centros de los cuadrados, FH =2( AO). Calcule la pendiente de O1O2 .
9.
Y
C
En el gráfico, ABCD es un cuadrado, A es punto de tangencia (36; 12). Halle la ecuación de la recta BC . Y
F
B
O2 O1
A O
B
A) 1/2 D) 1/4 7.
A 45º E
H
B) 1/7
C
X
O
C) 1/3 E) 1/5
Y
10.
O1
X
A) 4 x+3 y – 225=0 B) x –11 y –150=0 C) 3 x –11 y –150=0 D) 4 x+3 y – 253=0 E) x – 22 y –150=0
En el gráfico O y O1 son centros de los rectángulos congruentes. Calcule la inclinación de L .
L
D
Del gráfico, calcule tan qtana, si las ecuaciones de las rectas L 1 y L 2 son
L 1 : 2 x + y − 4 O
=
0
=
0
L 2 : x
−
3y + 3
X
A) 37º/2 D) 45º/2
B) 30º
Y
C) 60º E) 53º/2
L 1 α
8.
En el gráfico, halle la ecuación de
L 2
L 1 si
L 2:
5 x+12 y – 60=0. θ Y X
L 1
L 2
2θ
A)
−
21 4
B) –
7 4
3
C)
−
E)
−
4
θ X
9
D) –
21 2
7 20
Trigonometría 11.
Del gráfico, ABC y BQP son triángulos equiláteros. Si BC =a, halle la ecuación de L .
A) (– 5; 2) D) (– 4; 2)
L
Y B
14.
Q
P C
C) (– 2; 3) E) (– 5; 1)
Halle la ecuación de la recta L de pendiente – 3/4 que forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 24 m2. A) x+4 y=24 B) 3 x+4 y=± 24 C) x – y=8 D) 3 x+4 y=12 E) 3 x – y=24
θ
A
B) (–1; 4)
X
A) tan q x – y – atanq=0 B) senq x – y – a=0 C) tanq x – y – a=0 D) x – tanq y – a=0 E) x – senq y – a=0
15.
Calcule las ecuaciones de las rectas que forman 45º con el eje X y están a una distancia de 2 m del punto P(3; 4).
12.
Del gráfico AM = MB, halle la ecuación de PM .
A) x – y+4=0 B) x – y+2=0 C) x – y+3=0 D) x – y+3=0 E) x – y – 3=0
Y A
16. M
45º P(– 2;
0)
B
Si AB = 2 10 y OB = das del punto A. L
: x+ y+4=0
Calcule un punto M simétrico al punto N (8; – 9), relativo a la recta que pasa por los puntos A(3; – 4) y B(–1; – 2).
X
A) (10; – 5) D) (8; – 7)
A) x – 2 y+2=0 B) x – y+2=0 C) x+2 y+2=0 D) x – 2 y –1=0 E) x – 2 y – 3=0 13.
∨ x – y – 3=0 ∨ x – y –1=0 ∨ x – y – 2=0 ∨ x – y –1=0 ∨ x – y+1=0
17.
B) (9; – 5)
C) (10; – 4) E) (10; – 6)
Determine la ecuación de la recta
L .
P(2; 5) 10 ,
α
calcule las coordenaQ(– 2; 1)
Y
α
L
B
A
71,5º
O
X
A) 5 x+ y –15=0 B) 3 x – y –11=0 C) 4 x+2 y –18=0 D) 7 x+ y –19=0 E) 5 x – y – 5=0 10
R(8; – 1)
Trigonometría A) –1 B) 1 C) 2 D) – 2 E) 3
NIVEL AVANZADO 18.
Calcule la ecuación de la recta L 2, simétrica a la recta L : x – y+1=0 en relación a la recta L 1: 2 x+ y+4=0 20.
A) x – 7 y+3=0 B) x+7 y – 3=0 C) x – 3 y – 7=0 D) 3 x+ y+3=0 E) x – 7 y – 3=0 19.
Calcule la suma de coordenadas de un punto P que pertenece a la recta que pasa por C (0; – 5) y M (4; 3) de manera que PA+ PB sea mínima. Considere A(– 7; 1) y B(– 5; 5)
11
Desde el punto A(9; 1) se traza una perpendicular a la recta L : 3 x – 2 y+1=0 que la corta en B. Tomando AB como base de un triángulo isósceles ABC , cuyo vértice C se encuentra en el eje X ; calcule el área de dicha región triangular. A) 12 u 2 B) 15 u2 C) 11 u2 D) 16 u2 E) 13 u2
Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
4.
Del gráfico, calcule tanq+cotq. (a – b; b)
Y
NIVEL BÁSICO θ
1.
Del gráfico, calcule tanq si AB=3( BC ).
X
Y
(a; a – b)
C B(0;
2)
A) 5/2 D) 7/3 5.
A(– 5;
0)
A) – 8/5 D) – 7/5 2.
Si
R
=
r
B) – 5/8
5 2
X
θ
C) – 5/7 E) – 8/3
R = csc 44 sen 20
π
csc 27
8
9
π
cot 21
7
π
π
8
π
−
sec 6
−
cos 36
π
7
J =
5 π
7
1 + tan 12
π
11
Y
(1; 7)
A) +, –, + D) –, +, –
R
6.
r
= −
5
determine
(I)
0
(II)
6 (csc α + cos α ).
X
θ
A) Si el área de la región sombreada es 60 u 2, calcule tanq – tana. (– 4; n)
4−
3π 2
C) 5 E) 4
;
− π
C) 5 −
3
E)
5
6−
y secq=– 2,6. Halle x si se sabe
5 tan θ + x
X
α
5
que 13 sen θ + x
θ
5
Se sabe que q es un ángulo en posición normal que se encuentra en el intervalo −
(– 5; m)
B) 7 − 4
5
D) 6 − 2 7.
Y
B) – 6
C) –, +, + E) –, –, +
Dadas las condiciones cot α
(– 2; 0)
B) +, +, +
− sec α tan α <
P
A) 6 D) – 5
C) 3 E) 9/2
Indique los signos de las siguientes expresiones. C = sen 25
, calcule 7cotq – 3.
A) 2 B) –1 C) 4 D) 3 E) – 5
3.
B) 7/2
A) D)
−
1
B)
17
−
− cot θ = 0.
−
1
C)
3
84
E)
17
12
1 17 1 4
Trigonometría 8.
Si q, x ∈ 0;
3π
11.
son ángulos que cumplen la 2
Si el área del triángulo ABC es 10 u2, calcule 3tana – 8tanq.
condición 2cosq=tan x+cot x, calcule sen( q – x). Y
A) D)
−
1 2
−
2 2
B)
C)
B(– 2; m)
1 2
A(3; n)
2 2
E) 1 θ
α X
NIVEL INTERMEDIO C (– 1; 9.
Si AOB es un cuadrante y PM = MN , calcule 13 ( cos θ − sen θ) .
A) 11 D) 15
Y O
B
12.
X
θ
– 1)
B) 12
C) 14 E) 13
El área del triángulo ABC es 40 m2. Calcule tana+cota si G es baricentro del triángulo ABC . B(2; a)
Y P
N
M
A A
α
X
A) 4 D) 2 10.
B) 3
Del gráfico, calcule
G
C) 5 E) 1
(
2 1−
)
7 tan θ si AC =8. L
Y
θ
C (6; – 8)
A) – 2,5 D) 1
: x – y+1 = 0
C (4; 1)
13.
B) – 3
C) –1 E) 2,5
Del gráfico, halle cotq.
X
Y
A
37º
A) 3 − 2 7 B) 4 − 2 7 C) 2 − 5 7 D) 1 − 7 E) 1 − 7 7
θ
X
(– 3; – 2)
A) –18 D) – 6/17 13
B) –17/6
C) –1/18 E) –17/8
Trigonometría 14.
Siendo P(13 x; 11 y) que pertenece a la posición final de un ángulo q ∈ IIC. Halle tanq si la suma de las coordenadas del punto P es 431, además, { x; y} ∈ Z y x es máximo. A) D)
−
561
B) –1
130
C)
11
−
E)
442
−
NIVEL AVANZADO 18.
Y
A) 2
13 11
−
Del gráfico, calcule tanf+3 si OA=2 r . φ
B) − 2
7
O
X
C) 2 2
25
O'
D) −2 2 15.
Del gráfico, calcule |sena|csca+|cosq|secq+|tanb|cotb
2 2
E)
Y
19.
r A
Según el gráfico, calcule tan f.
β
Y
1
α
θ
X
3
A) –1 D) – 3 16.
B) 3
C) 2 E) 1 A)
De las condiciones |sena|=– sena |cosa – sena|=sena – cosa |sena+cosa|= m – sena calcule tan2a. A)
D)
1
B)
m2
1 m
−
20.
1
2
4
E)
3
m
C) − E)
3 7
−
3
Calcule tanb – tana si en el gráfico mostrado los puntos A y B tienen ordenadas mínima y máxima, respectivamente.
m Y
B
2
1
3
−
3 3
1 − m
N (– 2;
m2 M (– 4;
17.
B)
3
7
D) −
C)
X
φ
14)
12)
Si x; y; z ∈ [0; 2p], tal que 1 − cos x
+
1 − sec y
=
calcule el máximo valor de x+y+z. A)
9π 2
D) 4p
B) 3 p
C) E)
β
A
2
3 − sen z
5π 2 7π 2
X
α
A)
−
D) −
2 3
B) – 4
3 2 2
C) – 2 E)
3
14
−
3
Trigonometría Circunferencia trigonométrica I
2
C)
NIVEL BÁSICO
4 2
D) 1.
2 + sen θ
Del gráfico, calcule el valor de MN en términos de q.
E)
Y
1 + cos θ 4 2
1 + sen θ
2
θ
3.
30º
C. T.
M
Si el área de la región sombreada es calcule
θ α
1 8
u
2
,
. Y
X N
C. T.
45º
X
A) B) C) D) E) 2.
1 + 2 sen θ + cos θ 2
θ α
1 − sen θ + cos θ 2 1 − sen θ − cos θ 2
A)
−
D)
−
4
1 + sen θ − cos θ 2 1 + sen θ + cos θ
4.
2
Calcule el circunradio del triángulo ABC .
1
B)
−
2 3
1 2
C)
−
E)
−
1
B
Y
A T
θ
P
X
X C. T.
C. T.
C 2
A)
4 + sen θ
A)
4 2
B)
4 + cos θ
D)
4
15
3 5
Si T y P son puntos de tangencia y el área de la región sombreada es 1,125 u 2, calcule senq – cosq.
Y θ
5
4 5 4 3
B)
3 2
C) E)
5 4 7 6
Trigonometría 5.
Si q ∈ IIC y
csc φ
=
2
sen θ + 2 sen θ + 1
, determine la
D)
cos α 2 1 + cos2 α 1
variación de csc f. A) D)
6.
9 2
3 5
; 10
;
B)
3 5
7
;
2 5
C) E)
5
3 4 9 4
;
cos3 α E) 2 1 + sen 2 α 1
7 4
; 4
8.
Calcule el área de la región sombreada en términos de q.
Si x2cos2f – 6 xcosf+8 < 0, calcule la variación de cos( xcosf).
Y
A) 〈cos2; 0〉 B) [–1; cos2〉 C) 〈cos2; 1] D) 〈–1; cos2〉 E) 〈–1; 1〉
O
y= x3+a θ
X
C. T.
NIVEL INTERMEDIO 7.
A) 2cos 2q B) 2sen4q C) 2sen3q D) 2cos4q E) 2cos3q
En la circunferencia trigonométrica, P es punto de tangencia. Calcule el área de la región sombreada. Y
9.
Del gráfico, calcule cotq. Y
α
X
X θ
α cos α A) 2 1 + sen 2 α
C. T.
1 sen
α cos3 α B) 2 1 + cos2 α 1 sen
C)
sen α 2 1 + sen 2 α
A) 2
B)
1 2
C) 3
1
D) 4
E)
16
1 4
Trigonometría 10.
Del gráfico, calcule PM en términos de q.
C)
sen θ + 2 sen θ 2 4
D)
cos θ + 2 sen θ 2 4
E)
cos θ + cos θ 2 4
1
Y θ C. T.
P
M
X
12.
A)
B)
C)
D)
E)
11.
cos θ +
1
1
En la circunferencia trigonométrica, calcule la suma de las coordenadas del punto P. Y
2
3 + cos θ
θ
2 2
2 cos θ +
1 + cos θ 2
X 2
2 cos θ +
P
3 + cos θ 2
cos θ +
2
2 + cos θ 2
3 cos θ +
A) sen q+cosq B) 2senq+cosq C) 2cosq – senq D) cosq – senq E) senq – cosq
2
3 + cos θ 2
Del gráfico, determine la suma de ordenadas de los puntos A y B.
13.
Calcule la variación de x si
2
Y
2 =
1−
q < a < 4,8, además, cos θ = − , q ∈ IIC. 3
θ
B
A
X
A)
−∞
B)
−∞
C)
−∞
D)
−∞
;
;
C. T.
θ A) sen θ + sen 2 4 1
B)
sen α
sen θ + cos θ 2 4 1
;
;
E) −∞;
17
5−3 5
∪
[1;
+∞
∪
[1;
+∞
∪
[1;
+∞
∪
[2;
5 5−6 5 5 5−4 5 5 5−6 5 5 5−6 6 4
+∞
1 ∪ ; +∞ 2
x
y
Trigonometría 14.
Calcule la variación de la siguiente expresión.
17.
π cos 2θ + 2 sen π cos 2θ ; θ ∈ π ; 2π 3 3 3 3
sen 2
2
4 cos θ + csc θ =
3 A) −1; − 4
π
A)
−
B)
−
C)
−
3 D) ; 1 4
D)
−
1 E) ; 2 4
E)
−
B) 3 − 4 3 ; − 3 4 4 1 C) −1; − 2
15.
Los arcos a y q pertenecen al cuarto cuadrante, son negativos y mayores que – 90º. Calcule los valores de q si se sabe que
Si 2|sen2q| ≤ 3, calcule la variación de la expresión 2 3 cos θ , donde 2q ∈ 〈0; 2p〉. A) 0; B) 0;
3
π
2 π
6 π
3 π
3
2
+1
π
;
−
;
−
6 π
3
; 0 ; 0 ;
π −
6
NIVEL AVANZADO 18.
3 ∪ 3; 2 3
2
cot α
En la circunferencia trigonométrica, calcule ab en términos de q.
C) 0; 2 3 D) 0; 3 ∪ 2; 2 3 E) [ 0; 2] ∪ 3; 2 3
Y
P(a; b) 16.
Calcule x si se sabe que está en el tercer cuadrante y es mayor que dos vueltas pero menor que tres vueltas, tal que se cumple cos x
A) B) C) D) E)
X
π = − sen
θ
19
173π 19
175π
A)
−
B)
−
cos θ 2
38 170 π 33 173 π 38
sen θ 2
C) – cosq D) – senq
175π 23
E) senqcosq
18
Trigonometría 19.
Del gráfico, calcule la abscisa del punto P. Y
m tan
A) 1
θ 2
+ 1
− m tan
θ 2
P
m tan
X
B)
θ
1
C. T.
A) – (1+senq) B) – (1 – senq) C) – (1+cosq) D) – (1 – cosq)
E) – (senq+cosq)
1 20.
2
− 1
− m tan
m tan
C)
θ
θ 2
+ m tan
m 1 − tan
D)
θ
1
P
( m; 0)
X
C. T.
19
+ m tan
m tan
E)
θ 2
2
+ 1
Calcule la abscisa del punto P en términos de q y m. Y
θ
θ 2
θ 2 θ 2
− 2
m − tan
θ 2
Trigonometría Circunferencia trigonométrica II
3.
Calcule la variación del área de la región sombreada.
NIVEL BÁSICO 1.
Y
Del gráfico, ¿cuál es el valor de tan2 q?
C. T.
L P(1;
Y
4)
X
θ θ
X
1 A) ; + ∞ 2
C. T.
B) [4; +∞〉
D) [2; +∞〉 A)
−
D)
−
1
B)
5
−
8 15
4 15
C)
−
E)
−
3
4.
8
C) 2 2; + ∞ E) [1; +∞〉
En la circunferencia trigonométrica, calcule el área de la región sombreada en términos de q.
17
Y
4 θ
2.
Si OA=2( AB), calcule la abscisa del punto M . Y C. T.
X
O M
X
A
A) cos q+2senq B) 2senq – cosq C) senq – 2cosq D) senq – cosq E) senq+cosq
α
B
A) B) C) D) E)
1 3 tan α + 1 tan α
5.
Si cscq=1+tana, calcule la variación de q.
3 + tan α
Considere que
2
α ∈
;
π
5π 4
y q ∈ 〈0; 2p〉.
3 tan α + 2
A)
2 3 tan α − 2 tan α − sen α 3
D)
π
4 π
6
;
;
3π
B)
4
5π 6
{} π
−
20
2
π
6
;
5π 6
C) E)
π
3
;
3π 4
2π 3 ; π
Trigonometría 6.
Si
tan β
3 sen θ ,
=
A) 4
q ∈ 〈– 2; 2〉, halle los valores
que toma b en el intervalo
π
;
2
3π 2
B) – 4
.
C)
5π 4 π A) ; 6 3
10 3
D) 2
2π 4 π B) ; 3 3
E) – 2 9.
3π 4 π C) ; 4 3
Si el perímetro de la región sombreada es – cosq – secq+10, calcule AB+ MN . Y
2π 5 π D) ; 3 6
C. T.
θ
2π 3 π E) ; 3 4 7.
Si
1− 2 2
≤
2
X
2 csc β + 1 2
B) 2;
2
cot β
D) 0;
2
A
M
A) 7 D) 6
3 3
N
+ 2.
2
C) 1;
B
≤ − , β ∈ 0; 2π ,
calcule la variación de A) 1;
1
10.
B) 5
Del gráfico, calcule
C) 3 E) 8
A1 . A2 Y
E) 2; 2
θ C. T.
A 2
A 1
NIVEL INTERMEDIO
X
8.
Si las regiones sombreadas son equivalentes, calcule csc(cotq)+sen(cotq). Y
A) cos q C. T.
X
B) senq C)
cos θ 2
D) 2cosq θ
E) 2senq
21
Trigonometría 11.
En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule la ordenada del punto P en términos de q. − cos θ
A)
Y
sen θ + tan θ
B)
C)
D)
E)
14.
Se sabe que q es un arco del tercer cuadrante, indique el máximo valor que toma cotq si se verifica que tan2q(2tanq – 5) ≥ 2(56+37tanq) A) 8
B)
θ
tan θ − sen θ
P
D)
cos θ
X
sen θ
15.
sen θ − tan θ
cos θ
E)
2
A) [0; + ∞〉 B) 〈0; +∞〉 D) 〈cot2; +∞〉
tan θ − sen θ
8
C) [cot2; +∞〉 E) [1; +∞〉
− sen θ
16.
cos θ − tan θ
En la circunferencia trigonométrica, calcule la variación de la abscisa del punto P.
Dada la igualdad a
+ tan θ
X θ
17.
B)
−
1 4
; 0
D) 〈–1; 0〉
Si se sabe que x ∈
19 π 60
;
C)
−
E)
−
1 4 1 2
; −
2
; 0
, calcule la suma 45
del máximo y mínimo valor de la expresión
A) 11 D) 10
B) 14
1 3 3 Si sen θ ∈ − ; − ∪ ; 1 , 4 2 4 calcule la variación de |tanq|.
3 7 A) ; +∞ 7 3 B) ; + ∞ 3
3 7 C) ; + ∞ − 3 7 3 D) 3
C) 12 E) 13
>1
1
23 π
π = 3 tan2 + 1 3 x − 5
a
A) 〈–135º; 30º〉 – {– 90º} B) 〈–135º; – 90º〉 C) 〈– 90º; 0º〉 D) [–180º; – 45º〉 – {– 90º} E) 〈–135º; 0º〉 – {– 90º}
P
A) 〈–1; +∞〉
si
a tan θ
además, el ángulo q es agudo, ¿qué valores toma x en el intervalo 〈– 180º; 30º〉?
Y
L
1
Determine la variación de cot(sen2 x+sen x), x ∈ 〈0; p〉.
1−
13.
C) 4
4
1
tan x = 12.
1
7 7
;
+ ∞
3 7 E) [0; + ∞ − ; 3 3 7
22
Trigonometría NIVEL AVANZADO 18.
A) 0;
Indique el menor valor entero que toma la expresión M =
1 + cot 2 θ 1 + tan θ
si θ ∈ 0;
π
4
.
A) 2 B)
π 3π 5π 1 ; π − arctan 1 ∪ ; − arctan 4 4 4 2 2
C) 0;
π ∪ 4
D) 0;
π 3π 5π 1 ; π ± arctan 1 ∪ − ; arctan 2 4 4 4 2
E) 0;
π 3π 5π π 7π 9 π ; ∪ ; − ; 4 4 4 8 8 8
C) 1 D) 2
20.
Determine el intervalo de valores al que pertenece q para que verifique la igualdad tan x – 2tanqsec x= 3,
3π 4
;
5π 4
1 − arctan 2
{
}
Calcule el mínimo valor de la expresión sec2asec2 b+4sec2acsc2 b+9csc2a
E) 4 19.
3π 5π ∪ ; 4 4 4
B) 0;
1 4
π
θ∈
0;
3π 2
23
.
Considere a; b ∈ 0; A) 30 D) 36
π
2
B) 24
. C) 18 E) 14
Semestral UNI IDENTIDADES DE TRANSFORMACIÓN TRIGONOMÉTRICA
INTRODUCCIÓN A LA GEOMÉTRICA ANALÍTICA I
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA II
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II
