2
Preguntas Propuestas
Trigonometría Identidades trigonométricas del arco múltiple II 1.
Si
1
+ x =
x
2 sen θ, calcule x 3
A) 2sen3q
1 +
B) – 2sen3q
x 3
6.
.
2 sen 2 x sen 6 x
+
2 sen 2 y sen 6 y
+
2 sen 2 z sen 6 z
A) a –1
B) a+3
E)
6−
3
3
7.
Simplifique la siguiente expresión.
sen 4θ tan 2 x
A)
1 4
B)
4
C)
3
D) 1
E)
a
2
Reduzca la siguiente expresión sen 3θ ⋅ cos θ + sen θ ⋅ cos 3θ
3.
C) a – 3
E) 1– 2sen3q D) 3 – a
2.
a,
=
calcule tan2 x · cot6 x+tan2 y · cot6 y+tan2 z · cot6 z.
C) 4sen3q
D) 1+2sen3q
Si
3
π 2π + tan − x − tan x − 3
tan x
3
+ tan 2 x − tan 3 x
4
A) cot2 x D) tan2 x
1 2
Del gráfico, calcule sen2a.
8.
B) – cot2 x
C) tan2 x E) tan3 x
Si BC =1, calcule BM . C
b
B
M
a
A
α
A)
b − a
4 b
B)
b + a
C)
4 b
N
B) 3
A) 2
a− b
4.
a+ b
E)
2 b
2 b
cos 12º ⋅ cos 72º
A) 10 D) 14 5.
5 −
B) 4
Si x =
8π 7
calcule
rad,
(cos 3 x + cos 7 x + cos10 x + 1) tan 2 x sen 10 x + sen 7 x + sen 3 x
C) 4 E) 12
Si cot x – 3cot3 x=2, calcule 3cot x – tan x. A) 3 D) 6
E) 3 3
3
−1
cos 84 º +2 sen 6 º ⋅ cos12º
B) 8
3
Identidades de transformación trigonométrica 9.
5 + 1) ⋅ csc 42º
2 3
a− b
Calcule el valor de la expresión
(
C)
4 b D) 2
D)
40º 30º
10º 10º
α α
C) 5 E) 7
A)
7
B)
8
D) −
7 7
7 7
C) −
E) –1
2
7 2
.
Trigonometría 10.
Calcule el valor de la expresión sen
A)
7
π
24
5
π
− sen2
24
1
B) −
2
π 11π ⋅ 1 − 2 cos 24 12
1
3
C)
2
3
D) −
11.
⋅ sen
14.
2
4
4
6 u
2
B) 2
5u
2
C) 2
2u
E)
A) 0 D) –1
B) 1
=
mBAC
3
5 x
D 3u
3 2u
=
mBCA
2
A)
A
D)
1 + 4 cos 20º 3
B) tan10º
D) tan20º
es igual a
C) cot20º E) 2tan10º
= θ.
1
B)
3
B
2
A) cot10º
16.
Si cos ( A
2
2 x x x
O
3 x
2
El valor de x =
Calcule cot2q · csc2q, si BC =CD= DA. 3
C)
2
2 3
E)
3
3
π π − B) ⋅ sen C − = cos ( A + B) ⋅ sen C + 4
4
halle cot A · cot B · cotC .
2
A) 1 D) 3/2
2 3
B) 1/2
C) 2 E) 1
Si a+ b+c=prad y sen ( a + b) + sen ( a + c ) sen a
2
C) 2 E) – 2
En un cuadrilátero ABCD, se cumple que mCAD
13.
C
14π − 4 cos π . Calcule sec 9 9 15.
12.
A) 2
D) 2
3
E)
Calcule el área de la región sombreada en el gráfico siguiente si OA=2.
calcule tan
A) cot B) tan C) cot D) tan E)
tan
b
2
⋅ tan
⋅ tan
17.
En el gráfico si AC =5, la suma de las coordenadas de C es Y
c
C ( x; y)
c 2
⋅ cot
2 b
sec x,
2
2 b
=
x . 2
2 b
Introducción a la geometría analítica I
c
A (1; 2)
2 ⋅ sec
2 2 b
2
B (4; 2) X
c 2
⋅ cot
2
A) 4 D) 6
c 2
3
B) 10
C) 8 E) 9
Trigonometría 18.
Los extremos de la base de un triángulo son
C Y
los puntos A(0; 0) y B(3; 0). Determine la orde-
B
D
1 2
nada del vértice opuesto C ; y , de tal ma-
H E
A
nera que la medida del ángulo CAB es igual al
F
doble de la medida del ángulo CBA. (3; 0)
A)
D)
15
B)
15 2
15
15
C)
4
A) 10 D) 13
15
E)
6
B) 11
C) 12 E) 14
8 22.
19.
X
A(a; b), B(a; – b), C (– a; – b), D(– a; b) son los
vértices de un rectángulo. Si P( x; y) cumple
En el gráfico, ABCD es un rectángulo, donde A(12; 3) y B(4; 9). Si AD=8 y M es punto medio de CD, determine la diferencia de coordenadas del baricentro del triángulo AMC .
que DP=6 u, CP=7 u y BP=5 u, entonces el
C
valor de AP es B M
A)
5u
D) 4 u
20.
B) 2
3u
C) 3 u E)
3 2u
D
A
Dados los siguientes puntos A(0; 0), B(5; 0), R(5; 7) y S(12; 8). Sabiendo que el segmento
A)
RS es la diagonal de un cuadrado. Halle un
punto P en el perímetro de dicho cuadrado,
D)
para que el triángulo ABP tenga área máxima. ¿Cuál es el valor del área máxima?
23.
B)
15
21
C)
5
23 15
B) 17,5 C) 48,0 D) 2,5 E) 27,5 UNI 1998 - I
7 5 14
E)
15
En el gráfico, AB= BC =CO. Calcule el área de la región sombreada, si cot α =
A) 22,5
21.
22
A) 25 u2 B) 26 u2 C) 27 u2 D) 28 u2 E) 29 u2
Y A (0;
E
4
.
5) C
O
cisa del punto D, si la abscisa en el punto H es 5.
5
B (3;
1)
Sea ABCDEF un hexágono regular, calcule la abs-
4
X
233º – α
Trigonometría 24.
En el gráfico, calcule
x1 − x2 y1 − y2
A) – 9 D) – 5
si BN es bisectriz y
B) – 8
C) – 6 E) – 4
AM altura. Considere 2 = 1, 4. 28.
B (4; 9)
M ( x1; y1)
N ( x2; y2)
A (2; 3)
A)
D)
65
B)
9
9
C)
17
24
E)
13
A) B(4; 6) y C (2; 4) B) B(1; 6) y C (3; 2) C) B(6; 6) y C (1; 1) D) B(11; 6) y C (1; 3) E) B(6; 6) y C (2; 2)
C (8; 1)
13 24
UNI 1996 - II
35
29.
16
Introducción a la geometría analítica II 25.
Dados los puntos A(– 2; – 3), B(2; 1), C (4; – 9) y M punto medio de BC . La distancia de M al
26.
B) 2 2
C) 4 E) 6
2
Sobre las rectas x+ y – 4=0 y x – y=0 se encuentran las diagonales de un rombo. Si uno de sus vértices es el origen de coordenadas y la medida de sus diagonales es igual a la medida del lado del rombo, entonces el área del rombo es A) 5
D)
27.
9
3
B)
16
C) 6
3
3
E)
3
2
14
30.
En el plano xy se tiene las rectas paralelas y+2 x+4=0 e y+2 x – 8=0. Halle la recta equidistante a ellas contenida en el plano xy. A) y+2 x –1=0
3
B) y+2 x – 2=0 3
3
Los puntos A(– 2; – 2), B(0; 4) y C (c1; c2) son los vértices de un triángulo equilátero. Si C esta en el segundo cuadrante, entonces 3 ( c1 + c2 ) es igual a 5
Halle la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas L 1: x +2 y+1=0 y L 2 : 2 x+ y –1=0 y que es perpendicular a la cuerda común de las circunferencias c1: x2+ y2+3 x=0, c2: x2+ y2+3 y=0. A) 2 x+ y –1=0 B) y – 2 x+3=0 C) 2 y+ x+1=0 D) x – y – 2=0 E) y+ x=0
segmento AC es A) 2 D) 4
El punto A(3; 9) es uno de los vértices del triángulo ABC y las ecuaciones de dos de sus medianas son L1: y – 6=0, L2: 3 x – 4 y+9=0. Determine las coordenadas de los otros dos vértices.
C) y + 2 x −
2 5
=
0
D) y+2 x – 3=0 E) y+2 x – 5=0 UNI 2005 - I
Trigonometría 31.
Sean A(– 2; 1) y B(4; 7) dos vértices de un trián-
34.
Sean las funciones f y g con reglas de corresR2
x 2 , R
gulo ABC , se sabe que las alturas se cortan en
pondencia f ( x)= x n, n par y g( x )
4 5 el punto P ; ; entonces la ecuación de la 3 3
gráficas de f y g siendo a y b los ángulos en posi-
=
−
constante. Si P y Q son los puntos de corte de las ción normal determinados por P y Q, respecti-
recta que pasa por los puntos A y C es
vamente, entonces tana+tanb+cota+cotb es A) 5 x – 2 y – 27=0 B) 5 x+ y – 27=0 C) x+2 y=0 D) x – 2 y=0 E) x+2 y – 2=0
igual a A) 0 D) UNI 2007 - I
32.
Sean las rectas L1: x – y – 2=0, L2: x – 2 y –1=0 y L3 con pendiente m > 1, Si L1 es la bisectriz del ángulo formado por L2 y L3, halle m.
35.
B)
1
C)
2
1
E)
4
1 2 1 4
2
En el gráfico, T , Q y M son puntos de tangencia. Calcule OM (cosa – sena). Y 4 x+3 y – 12=0
A)
5
B) 2
4
C)
5
M
2
T α
D) 3
E) 4
O
UNI 1997 - II
Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal 33.
A) 1
36.
X
B) 1/5 145
D)
En el gráfico mostrado, halle tanq+cot q, sabiendo que m > 0. Y
Q
C)
145
E) 5
5
En un círculo de radio r =3, se ubica el radio vector en la posición ( x; y) en el instante t =0, después de cinco unidades de tiempo de giro
y=mx
constante, el radio vector esta en una posición tal que los valores del seno y del coseno son
θ
X
opuestos e intercambiados con respecto a la 3
posición inicial. Si al inicio y > 0 ∧ x = , el án2
gulo de la posición final es
1 + m2 1 + m2 1 + m2 A) −3 B) −2 C) − m m m D) −
2 m 2
1 + m
E)
m − 1 + m2
A) D)
≠
B)
6 4≠
≠
3
C) E)
3
5≠ 6 7≠ 6 UNI 2006 - II
6
Trigonometría 37.
Si cosq < 0 y sen q < tanq, al simplificar k =
sen θ
+
sen θ
A) – 3 D) 1 38.
tan θ
+
tan θ
cot θ cot θ
múltiplo de dichos números es 675. Si ( A+ B)º es el menor ángulo cuadrantal posible, calcule
se obtiene sen
B) – 2
C) –1 E) 2
2
Dado P( x)=tanq · x + bx+cosq y θ ≠
A) −
kπ 2
D)
, k ∈ Z.
¿En qué cuadrantes se cumple que P( x) > 0 y P( x) < 0, ∀ x ∈ R?
40.
B) I y II
C) III y IV E) II y IVC
1 2
Al descomponer en sus factores primos a los números de los ángulos A y B estos se expresan como A=(3a · 52)º y B=(3b · 5)º, a y b consecutivos. Se sabe que el mínimo común
CLAVES
7
1
C)
2
5
E)
2
∑
sen ( nπ + α ) +
n=1
3 2 3 −
2
D) −
10
∑
cos ( nπ − α ) = 1, α ∈ −3π;
n= 6
A) – 2p 39.
B)
Calcule el mayor ángulo cuadrantal negativo que cumpla con la igualdad. 5
A) II y III D) I y III
A + B + cos A + B + sen ( A − B) 4 6
5π 2
B) −
3π 2
C) – p
E)
π −
2
π 2
