S._Control

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO TRABAJO FINAL DE SISTEMAS DE CONTROL

TEMA:

APLICACIÓN DE MATLAB A LOS SISTEMAS DE CONTROL INTEGRANTES: VICTORIA MERA ANDRÉS RODRÍGUEZ 6TO ³C´ INGENIERO: ALEXANDER IBARRA FECHA: 13 DE JUNIO DE 2011

ESCUELA POLITÉCNICA DE EJÉRCITO

onsidere onsidere el sistema masa, resorte resorte y amortiguaor con la masa = , constant constante e de de elasticidad K=3 y coeficiente de amortiguamiento u= .8. Encuentre la funcion de transferencia transferencia de segundo orden (s)=X(s)/ (s) donde, X(s) es es la posicion posicion de de la masa y (s) es la fuerza aplicada a la masa.Cuál es lla a respuest respuesta a natural natural del del sistema sistema ( aga una una simulación en matlab) . Cuales son la frecuencia natural Wn y la relacion de amortiguamiento normalizada del sistema ? Encuentre adicionalmente el modelo en espacio de estado para el sistema . se matlab. 3.1



                                    

Si: k=3 M=2 b=0.8 MATLAB

>> num=[1]; >> den=[2 0.8 3]; >> G=tf(num,den)

Transfer function: 1 ----------------2 s^2 + 0.8 s + 3 >> step(G)

2


FRECUENCIA NATURAL DEL SISTEM A Y FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO Wn= sqrt (1.5) frecuencia natural >> Wn=sqrt Wn = 1.2247 >> e=0.4/(2*Wn) e= 0.1633

factor de amortiguamiento

MODELO EN ESP ACIO DE EST ADOS >> [ A A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A = -0.4000 -1.5000 1.0000 0

B= 1 0 C=

0

0.5000

D= 0 CONCLUSIONES:

Todo sistema mecánico o eléctrico puede representarse a través de varios métodos como por ejemplo en espacios de estado o en mediante la función de transferencia, es decir, en función de la frecuencia y no del tiempo. representación, pues analiza analiza La ventaja de l os espacios de estado, es quizá su sencillez de representación, sistemas con múltiples entradas y salidas, basándose en el uso de matrices. Para determinar el tipo tipo de sistema que se analiza, se debe tomar en cuenta el valor del factor de amortiguamiento amortiguamiento () ( ) que en este caso es =0.1633, =0.1633, lo que indica q ue el sistema es subamortiguado.

Suponga Suponga un un sistema sistema descrito por la función función de transf erencia erencia (s) . Este es conectado en paralelo con el sistema del problema 3.1 descrito por la función (s) . (a) Escriba un programa que genere la función de transferencia del sistema, dado que (s) es una función estable randómica de tercer orden . (b) epetir epeti r la parte (a) usando usando los modelos en espacio de estados para cada uno de los sistemas en paralelo . 3.2

num=1 den=[2 0.8 3] G=tf(num,den) h=rand(1,4) H=tf(1,h) R=parallel(G,H)

num = 1 den = 2.0000

0.8000

3.0000 3


Step(R)

h= 0.8147

Transfer function: 1 ----------------2 s^2 + 0.8 s + 3

0.9058

0.1270

0.9134

Transfer function: 1 -----------------------------------------0.8147 s^3 + 0.9058 s^2 + 0.127 s + 0.9134 Transfer function: 0.8147 s^3 + 2.906 s^2 + 0.927 s + 3.913 -------------------------------------------------------------1.629 s^5 + 2.463 s^4 + 3.423 s^3 + 4.646 s^2 + 1.112 s + 2.74

REPRESENT ACION EN ESP ACIOS DE EST ADO

[ A,B,C,D]=tf2ss(num,den) [E,F,G,H]=tf2ss(1,h) >> [ A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A = -0.4000 -1.5000 1.0000 0

B= 1

>> [E,F,G,H]=tf2ss(1,h) E= -1.1118 -0.1559 -1.1211 1.0000 0 0 0 1.0000 0 F= 1 0 4


0

0

C=

G= 0

0.5000

D= 0

0

0

1.2274

H= 0

CONCLUSIONES La función rand() repre senta una función estable randómica, es decir, devuelve valores aleatorios comprendidos entre 0
el sistema de la figura . Suponga, sin embargo, que (s) provee realimentación positiva en lugar de retroalimentación negativa . (a) enote la función de transferencia del nuevo sistema descrito por ` C2(s). Encuentre `C2(s). b) cuales son las raíces de denominador polinomial de ` C2(s)? Qué comparación hay entre las raíces del denominador polinomial de ` C2(s) y C2(s)? 3.3

Considere

Utilice Matlab para resolver lo solicitado.

a) G¶C2(s). >> Z=[-1]

>> num2=[1 6]

Z=

num2 =

-1

1

6

>> P=[-3 -5]

>> den2=[1 10]

P=

den2 =

-3

-5

>> K=1

1

10

>> G2=tf(num2,den2) 5


K= 1

Transfer function: s+6 -----s + 10

>> G1=zpk(Z,P,K) >> H=feedback(G1,G2,+1)

Zero/pole/gain: (s+1) ----------(s+3) (s+5)

Zero/pole/gain: (s+10) (s+1) ------------(s+9) (s+4)^2 >> J=feedback(G1,G2)

Zero/pole/gain: (s+10) (s+1) ----------------------------(s+11.04) (s+5.285) (s+2.673) b) RAICES DE POLINOMIOS >> pole(H) [G¶C2] ans = -9.0000 -4.0000 -4.0000 >> pole(J) [GC2]

ans = -11.0420 -5.2846 -2.6734 CONCLUSIONES: De acuerdo a los resultados obtenidos, podemos notar que cuando la retroalimentación aplicada al sistema es positiva, los polos de la función de transferencia van a ser raíces exactas ubicadas en el plano izquierdo del plano complejo z que garantizan la es tabilidad del sistema. En cambio, cuando la retroalimentación es negativa, los polos no van a ser números enteros, sino que son raíces no exactas ubicadas en el plano izquierdo del plano complejo.

3.4 Considere

una planta controlada por una retroalimentación negativa donde planta (s) es la función de transferencia en lazo abierto de la planta y ctrl (s) es la función de transferencia del controlador que está localizado en el lazo de retroalimentación. Si planta(s)= (s).GC3(s), donde (s) se muestra en la figura 3.1 y Gcl (s) en la figura 3.2. Considere adicionalmente que G ctrl(s)= Gc3(s), donde G c3(s) se muestra en la figura 3.3 6


a) Encuentre la función de transferencia del sistema de lazo cerrado. Use para ello los comandos feedback, series and parallel. b) Encuentre la función de transferencia del sistema usando los comandos blkbuid y connect.

a)

CI

E TRANS ERENCIA

>> num1=[1]; >> den1=[1 2]; >> num2=[1 3]; >> den2=[1 10]; >> H1=tf(num1,den1)

Transfer function: s+6 -----s + 10 >> G3=zpk(Z,P,K)

Transfer function: 1 ----s+2

Zero/pole/gain: (s+1) ----------(s+3) (s+5)

>> H2=tf(num2,den2) >> G4=series(G2,G3)

Transfer function: s+3 -----s + 10

Zero/pole/gain: (s+1) (s+6) -----------------(s+3) (s+5) (s+10)

>> H=parallel(H1,H2) 7


>> GC3=feedback(G4,1)

Transfer function: s^2 + 6 s + 16 --------------s^2 + 12 s + 20 >> Z=[-1]; >> P=[-3 -5]; >> K=[1]; >> G1=zpk(Z,P,K)

Zero/pole/gain: (s+1) ----------(s+3) (s+5) >> GC1=feedback(G1,1)

Zero/pole/gain: (s+1) ------------------(s+2.438) (s+6.562) >> num3=[1 6]; >> den3=[1 10]; >> Z3=[-1]; >> P3=[-3 -5]; >> K3=[1]; >> G2=tf(num3,den3)

Zero/pole/gain: (s+6) (s+1) ----------------------------(s+11.04) (s+5.285) (s+2.673) >> Gplant=H*G C1

Zero/pole/gain: (s+1) (s^2 + 6s + 16) -------------------------------(s+10) (s+6.562) (s+2.438) (s+2) >> Gctrl=GC3

Zero/pole/gain: (s+6) (s+1) ----------------------------(s+11.04) (s+5.285) (s+2.673) >> Gsistema=feedback(Gplant,Gctrl)

Zero/pole/gain: (s+5.285) (s+2.673) (s+11.04) (s+1) (s^2 + 6s + 16) -------------------------------------------------------------------------------------------(s+6.387) (s+5.081) (s+3) (s^2 + 4.207s + 4.444) (s^2 + 21.32s + 115.6)

b) H1.InputName='a'; H1.Output Name='J1'; H2=tf([1 3], [1 10]); H2.InputName='a'; H2.Output Name='J2'; Sum1=ss([1 1], 'InputName', {' J1', 'J2'}, 'Output Name', 'b'); H=connect(H1,H2,Sum1,'a','b'); disp('Funcion de transferencia H = ') H=tf(H) Gc11=zpk([-1],[-3 -5],[1]); Gc11.InputName='b11'; Gc11.Output Name='y'; Sum2=ss([1 -1], 'InputName', {'b','y'}, 'Output Name', 'b11'); Gc1=connect(Gc11,Sum2,'b','y'); disp('Funcion de transferencia Gc1 = ') Gc1=tf(Gc1) 8


Gc31=tf([1 6],[1 10]); Gc31.InputName='y1'; Gc31.Output Name='y2'; Gc32=zpk([-1],[-3 -5],[1]); Gc32.InputName='y2'; Gc32.Output Name='c'; Sum3=ss([1 -1], 'InputName', {'y', 'c'}, 'Output Name', 'y1'); Gc3=connect(Gc31,Gc32,Sum3,'y','c'); Gc3=tf(Gc3); disp('Funcion de transferencia Gc3=') Gc3=zpk(Gc3) SumT=ss([1 -1], ' InputName', {'r', 'c'}, 'Output Name', 'a'); FTHT=connect(H,Gc1,Gc3, SumT,'r','y'); FTHT=tf(FTHT); disp('Funcion de transferencia Total del Sistema = ') FTHT=zpk(FTHT) CONCLUSIONES: En los dos métodos aplicados para obtener la f unction de transferencia, nos da la misma respuesta, pues la función connect lo que hace es conectar bloques especificando la entrada y salida que se desea obtener. Los que hace esta función es combinar bloques LTI pero con un análisis un poco más extensor y complejo.

3.5.1 Utilice Simulink para crear el gráfico de la figura

Obtenga los gráficos resultantes , analice y argumente los resultados obtenidos.

9


CONCLUSIONES: De acuerdo a las gráficas obtenidas, es posible concluir que la respuesta de un sistema con una entrada escalón, va a depender únicamente de la ganancia que apliquemos. Las curvas de respuesta son exactamente las mismas, pero es cuestión del valor de la ganancia lo que hace que su amplitud sea mayor. L aumento de la ganancia, no g arantiza una estabilidad en el sistema, pues este depende de otros parámetros tales como frecuencia y compensación.

se el criterio de Routh ourtwitz para analizar la estabilidad de los siguientes sistema; dando a conocer en el caso de inestabilidad , cuantos polos con parte real positiva existen Verificar en Matlab los polos que existen para cada sistema . 3.6

                   

1 2

         

5 4

     

6 2 0

10


                                                          

  

0

0

>> den=[1 2 5 4 6 2]

den = 1

2

5

4

6

2

>> G=tf(1,den)

Transfer function: 1 ------------------------------------s^5 + 2 s^4 + 5 s^3 + 4 s^2 + 6 s + 2 >> pole(G)

ans = -0.9123 + 1.5187i -0.9123 - 1.5187i 0.1082 + 1.2706i 0.1082 - 1.2706i -0.3919 >> step(G)

11


R= Existen 2 polos con parte real positiva en este sistema, es decir, hay dos polos de inestabilidad absoluta debido a que mediante el uso del criterio de Routh Hourtwitz se dan dos cambios e signo en la primera columna significativa.

¡

b) s





s



    

>> den=[1 0 2 0 1]

!

1 (0) 4

2 (0) 4

1

                                                                      2

0

0 0 0

den = 1

0

2

0

1

>> G=tf(1,den)

Transfer function: 1 --------------12


s^4 + 2 s^2 + 1 >> A=pole(G) A =

0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i R= Este sistema es estable, es decir, no existe ningún polo con parte real positiva, y esto se puede concluir debido a que en la primera columna significativa de la tabla, todos lo s valores tienen signo positivo, cumpliendo con el criterio de estabilidad absoluta de Rout Hourtwitz.

c) s3



2s2  3s  1 ! 0

   

1 2

                   

3 -1

 0

>> den=[1 2 3 -1]

den = 1

2

3

-1 13


>> G=tf(1,den)

Transfer function: 1 --------------------s^3 + 2 s^2 + 3 s - 1 >> step(G) >> step(G) >> step(G) >> A=pole(G) A =

-1.1378 + 1.5273i -1.1378 - 1.5273i 0.2757 R= Este sistema es inestable y eso lo podemos demostrar a través de este método, en el cual indica que si existe por lo menos un cambio de signo en la columna más significativa, el sistema es inestable. Además, la inestabilidad es apreciable a simple vista, pues no cumple con las condiciones de estabilidad, en donde se indica que todos los coeficientes del polinomio característico deben de tener el mismo signo.

d) s

4



s3



5s2



    

2s  4 ! 0 1 1

5 2

                                                      

4 0 0

0

>> den=[1 1 5 2 4]

den = 1

1

5

2

4

>> G=tf(1,den)

Transfer function: 1 --------------------------s^4 + s^3 + 5 s^2 + 2 s + 4 >> pole(G)

ans = -0.3242 + 1.8926i -0.3242 - 1.8926i 14


-0.1758 + 1.0266i -0.1758 - 1.0266i >> step(G)

Este se puede considerar como un sistema con estabilidad absoluta, debido a que no existen polos con parte real positiva. Esto se puede apreciar en la primera columna significativa, en donde no existe ningún cambio de signo entre sus miembros.

3.52 Considere un sistema cuyos polos y ceros en lazo cerrado se localizan en el plano S sobre una línea paralela al eje j [ . Demuestre que la respuesta a un impulso de tal sistema es una función coseno amortiguado Para poder realizar esta demostración, procedemos primeramente a establecer la gráfica del coseno amortiguado en un determinado lapso de tiempo.

Determinaremos los polos y los ceros para armar el sistema

15


Se puede elegir cualquier recta como par ámetro inicial. Se eligió la recta Re=5, paralela a jw y se escogieron los polos (4i -5, 2i-5, -2i-5 y -4i-5. Los ceros elegidos fueron (i -5, -5, -i-5: y la función de transferencia será la siguiente:

             

CONCLUSION:

Se puede observar que las gráficas del coseno amortiguado y del sistema obtenido son las mismas, comprobando de esta forma que la respuesta ante una entrada impulso para un sistema cuyos polos y ceros en lazo cerrado se localizan en el plano S sobre una línea paralela al eje j [ es similar a tener un coseno amortiguado.

se Matlab para obtener la respuesta escalón unitario, impulso unitario, rampa unitaria del siguiente sistema 3.6

        

num= 10 den=[1 2 10] G=tf(num,den) >> t=0:0.1:10; u=t; >> [y,x]=lsim(den,num,u,t); >> subplot(3,1,1);step(G); >> subplot(3,1,2);impulse(G); >> subplot(3,1,3);plot(t,y,t,u)

16


A través de las gráficas se puede observar claramente que el tipo de entrada va a influir directamente en la señal de salida del sistema y en la estabilización del mismo. La primera gráfica corresponde a la respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario, lo que permite que el valor del e scalón se convierta en el set point del sistema, estabilizándolo después de un lapso de tiempo. El Segundo gráfico corresponde a la respuesta de un sistema ante una entrada tipo impulse, lo que hace este tipo de entrada, es hacer que el sistema eleve su respuesta momentáneamente hasta el valor del impulse, y después v a disminuyendo hasta estabilizarse en cero. En cambio, en la tercera gráfica, es la respuesta ante una entrada tipo rampa. Este sistema nunca va a estabilizarse , pues la señal que se envía a la entrada va a seguir subiendo progresivamente impidiendo que el sistema llegue a estabilizarse.

3.7 Considere

la respuesta al impulso unitario del sistema estándar de segundo orden definido mediante

         

Para una entrada impulso unitario R(s)=1 Considere el sistema normalizado en donde

   En tal caso             

Considere



5 valores de 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7 y 1. btenga las curvas de respuesta impulso unitario para cada a través de Matlab.



17


>>

e=0.1;

>> G=tf(1,[1 2*e 1])

Transfer function: 1 --------------s^2 + 0.2 s + 1 >> impulse(G)

>>

e=0.2;

>> G=tf(1,[1 2*e 1])


18


>>

e=0.3;

>> G=tf(1,[1 2*e 1])


>>

e=0.5;

>> G=tf(1,[1 2*e 1])

Transfer function: 1 ----------s^2 + s + 1 >> impulse(G)

>>

e=0.7;

>> G=tf(1,[1 2*e 1])


19


>>

e=1;

>> G=tf(1,[1 2*e 1])

Transfer function: 1 ------------s^2 + 2 s + 1 >> impulse(G)

CONCLUSIONES Al variar el valor de  dentro del rango 0<<=1, se puede observar como el sistema va disminuyendo las oscilaciones anteriores a su estado de estabilizacion, esto nos indica que mientras mas cercano esté el valor de  a 1, menos perturbaciones se van a observar a la salida y mas rápido va a ser su tiempo de respuesta.

continuación se muestran tres sistemas . El sistema I es un servo motor posicional . El sistema II es un servo posicional que utiliza una accion de control posicional derivativa . El sistema III es un servo posicional que utiliza una retroalimentacion de velocidad . tilice Matlab para comparar las respiuestas a un salto, un impulso y una rampa unitaria de los tres sistemas . acer lo mismo usando Simulink . 3.8 A

20


-

Sistema I

>> G1=[5]; >> G21=[1]; >> G22=[5 1 0]; >> G2=tf(G21,G22) Transfer function: 1 --------5 s^2 + s

>> G=series(G1,G2) Transfer function: 5 --------5 s^2 + s

>> G=feedback(G,1) Transfer function: 5 ------------5 s^2 + s + 5

>> step(G)

>>impulse(G)

21


>> G1=[5]; >> G2=[5 1 5]; >> tf(G) Transfer function: 5 ------------5 s^2 + s + 5 >> t=0:0.1:10; u=t; >> [y,x]=lsim(G1,G2,u,t); >> plot(t,y,t,u)

y

ESCALÓN

y

IMPULSO

22


y

RAMP A

-

Sistema II

>> G11=[4 5]; >> G12=[1]; >> G1=tf(G11,G12) Transfer function: 4s+5 >> G21=[1]; >> G22=[5 1 0];

>> G2=tf(G21,G22) Transfer function: 1 --------5 s^2 + s >> G=series(G1,G2)

Transfer function: 4s+5 --------5 s^2 + s >> Gf=feedback(G,1) Transfer function: 4s+5 --------------5 s^2 + 5 s + 5

23


>> step(G)

>>impulse(G)

>> t=0:0.1:10; >> u=t; >> [y,x]=lsim(G1,G2,u,t) ; >> plot(t,y,t,u)

y

ESCALÓN

24


y

IMPULSO

y

RAMP A

25


-

Sistema III

>> G1=[5]; >>G21=[1]; >>G22=[5 1 0]; >>G2=tf(G21,G22) Transfer function: 1 --------5 s^2 + s

>> G=series(G1,G2) Transfer function: 5 --------5 s^2 + s >> G31=[0.8 1]; >> G32=[1]; >> G3=(G31,G32)

>> G3=tf(G31,G32) Transfer function: 0.8 s + 1 >> G=feedback(G,G3) Transfer function: 5 --------------5 s^2 + 5 s + 5

>> step(G)

26


>>impulse(G)

>> t=0:0.1:10; >> u=t; >> [y,x]=lsim(G1,G2,u,t ); >> plot(t,y,t,u)

y

ESCALÓN

y

IMPULSO 27


y

RAMP A

CONCLUSIONES A través de estas graficas podemos concluir que el tiempo de estabilización más rápido, se da con un servo posicional con control posicional -derivativo (7.56 s), en cambio el servo posicional 28


con retroalimentación de velocidad tiene un tiempo de 8.08 s y el servo motor posicional 36.4s, lo que nos indica que ante una entrada escalón, la estabilización más rápida se da con el servo motor posicional con control posicional derivativo. La relación existente entre los tiempos de reacción expuestos anteriormente, no es exclusiva para una entrada escalón, pues si se tiene una entrada impulso sucede lo mismo, es más rápida la respuesta de un servo motor posicional con control posicional -derivativo. En cuanto a una entrada rampa, este tiempo de estabilización no se lo puede determinar, pues el sistema nunca se estabiliza.

Encuentre el rango del parámetro K para el cual las raíces de la ecuación característica se encuentran en el semiplano izquierdo . Verificar dicha ubicación a través de matlab. sar para ello un valor de K dentro del rango establecido . sar la función roots. 3.9

                 a)

   

1 1

                      

[1] k>0 [2] 1-k>0 k<1 [3] 1-k>0 k<1 Por lo tanto, el rango de estabilidad del sistema es

1 K [1]

 0

: 0
29


Tomando un valor arbitrario para k=0.5 >> den=[1 1 1 0.5]; >> roots(den) ans = -0.1761 + 0.8607i -0.1761 - 0.8607i -0.6478 >> G=tf(1,den) Transfer function: 1 ------------------s^3 + s^2 + s + 0.5 >> step(G)

Valores que no están dentro del rango:

>> den=[1 1 1 1]; >> roots(den)

ans = -1.0000 -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i >> G=tf(1,den) Transfer function: 1 ----------------s^3 + s^2 + s + 1 >> step(G)

30


>> den=[1 1 1 -1]; >> roots(den)

ans = -0.7718 + 1.1151i -0.7718 - 1.1151i 0.5437 >> G=tf(1,den)

Transfer function: 1 ----------------s^3 + s^2 + s - 1 >> step(G)

Nos muestra que el sistema está estabilizado, por lo tanto, está bien tomado el rango de estabilización de este sistema.

b)

   

K [1] 1

                      

[1] k>0 [2] 1-k>0 k<1 [3] 1>0 Por lo tanto, el rango de estabilidad del sistema es:

1 1

 0

0
31


Tomando un valor arbitrario para k=0.85 >> den=[0.85 1 1 1]; >> G=tf(1,den) Transfer function: 1 ---------------------0.85 s^3 + s^2 + s + 1 >> step(G)

Valores que están fuera del rango:

>> den=[1.5 1 1 1]; >> G=tf(1,den)

Transfer function: 1 ---------------------1.5 s^3+s^2 + s + 1 >> step(G)

32


>> den=[-1.5 1 1 1]; >> G=tf(1,den)

Transfer function: -1 --------------------1.5 s^3 - s^2 - s - 1 >> step(G)

CONCLUSIONES Las propiedades transitorias del sistema dependen de los ceros de la función de transferencia a lazo cerrado y de las raíces de la ecuación característica, los cuales determinan la estabilidad relativa y absoluta de un sistema. Es importante estudiar como varían estas trayectorias cuando una modificación en los parámetros del sistema afecta la ecuación característica y consecuentemente la ubicación de sus polos a lazo cerrado. Un criterio válido de análisis de estabilidad, es asegurar que todos los polos del sistema se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s. Existe un método que permite verificar si todas las r aíces de un sistema se encuentran en este semiplano sin necesidad de hallar las raíces. Se conoce como el método de Routh -Hurwitz

3.11

Se tiene el siguiente sistema de 1er orden:

     



sando Matlab obtenga las respuestas del sistema para uan entrada escalon R(s)=1 /s cuando : a) El sistema está sin cero b) El sistema presenta el cero con TN>T c) El sistema presenta el cero con T>TN>0 d) El sistema presenta el cero con TN<0 e acuerdo a los resultados obtenidos, concluya : Cómo afecta el cero al sistema ? NOTA: Para la simulación dar valores a K, T y TN a)

33


b = 1; Tn = 0; T = 2; num_1=[b*Tn b]; den_1=[T 1]; G1=tf(num_1,den_1); step(G1)

b) b = 1; Tn = 1; T = 0.5; num_2=[b*Tn b]; den_2=[T 1]; G2=tf(num_2,den_2); step(G2)

c) b =1; Tn=0.5; T = 1; num_3=[b*Tn b]; den_3=[T 1]; G3=tf(num_3,den_3); step(G3)

34

S._Control

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