Álgebra Leyes de exponentes NIVEL BÁSICO
II.
3
3
3
III. Si n 1.
=
8
2 1 9 27
−
−
−
−
y
B
=
4
1 4 2
−
−
−
A)
3
B) 3
2
C)
D) 2
5
=
Si
−
2
x
−
3 =
14 ,
halle
2
2
A) 5 D) 7
B) 4
3
3 m
⋅a
4
10
= a a
C) VFV E) FFF
2 m
⋅a
6
A) 6 D) 60
;
a ∈N
;
a ≠
x +1
Si x x
=
27 ,
halle el valor de
A) 9 D) 12
B) 20
8.
C) 5 E) 12 x
+
y
x x x
n
m
( x )
1 3
C) 30 E) 20
3 =
3 3 x 9 , halle ( x − 1) . −
1
B)
9
−
2
−
1
C) 3
3
D) 2
E)
.
C) 30 E) 24
9.
E)
( 0,1)
D)
m
m
−
( 0,1)
11
2m
−
0, 001
B) −
12
=
10 10 ?
11 15
12
C) E)
11
11 8 −
11 12
UNMSM 2009 - I
n m
10.
Sean m, n números naturales, tal que n
Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto de las siguientes afirmaciones y elija la secuencia correcta. 11 2 + 2+ ... + 2=2 I. 2+ 1024 veces
3
¿Qué valor debe tomar m para que se verifique la igualdad
n
D) n
4
UNMSM 2012 - I
x
C)
=
B) 27
con x ≠
A)
B) m
4
−
A)
.
A) mn
4
Si ( 3 x 1) 3 x
Sean x e y números reales mayores que la unidad, de modo que x y = y x ∧ x m = y n. Calcule el valor de
3
A) 21 D) 28
1
B) 10
3
Determine el menor valor de m + n.
C) 3 E) 6
Determine el valor de m si se sabe que a
B) VVF
.
Sean m, n número númeross entero enteross positiv positivos, os, tale taless que cumplen
x 2 + 9 UNMSM 2013 - II
6.
1
2, entonces n =
E) 1
x 2
x − 2
5.
−
−
NIVEL INTERMEDIO
2
7.
4.
2 n n
A) VFF D) FFV
calcule el valor de A + B.
3.
−
3
Dados los números A
2.
27
=
n =
32
8 y
m
m =
9
3
Determine el valor de m + n. A) 81 D) 91
B) 90
C) 95 E) 92
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Álgebra 11.
Halle el valor de x en la ecuación 15
−a
a
8
a
x −
4
14.
1, tales que cumplen
x
−a
Sean , y número númeross reales reales positiv positivos os distin distintos tos de
3
,
donde
= a
a >
0 y
a ≠
1.
x
B) 10
E) 13
m
Calcule el valor aproximado de 5+
12 +
12 +
15.
12 + …
x
=
y
y ; m≠ n
m
−n
m B) n
m
−n
n
n C) m
m
D) 12.
n
y ; x
n A) m
C) 11
D) 9
=
Calcule el valor de .
UNMSM 2014 - I
A) 12
m
n
m
m
−n
n
−n
E)
n m
m
−n
Si x es un número racional positivo, tal que satisface
A) 2
B) 3
D) 3
x x
C) 2 2
=
4
2
calcule el valor de x 3 .
E) 4
2
2
−
A) 8
NIVEL AVANZADO
B)
1 8
D) 2 2 13.
C) 64 E)
1 64
Si
(( x
a
⋅
y
b
)
2 ⋅
x
c
)
3 ⋅
y
d
=
(x
⋅
y)
16.
6
Halle el valor de E si a2 b = a 2c + bc 2 c
para todo valor positivo de x e y, determine el valor de
A) 0 D) 1/3
2a + c 6 b + d
.
a x b+ c b x c + a c x a+ b 2 a+ b E = . . a x b− c b x c − a c x a− b UNMSM 2004 - II
B) 1/4
C) 1/8
A) x 3
E) 1/2
D) x −1
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B) x 4
C) x 2 E) x
Álgebra Productos notables 6.
NIVEL BÁSICO
Reduzca (a
S
=
+
4
b)
(
ab a 1.
Si x
m
1
+
x
m
=
2; m ∈ Z +
calcule x 3
m
+ x
−
3m
.
−
2
( a − b)4 b
+
2
)
si a = 7 + 1
y
A)
35
B)
D)
63
5
b= 36
−
7.
C)
49
E)
64
UNMSM 2013 - I
A) 4 D) 8
B) 6
NIVEL INTERMEDIO
C) 2 E) 12
7. 2.
2 x
Considere la ecuación cuadrática 5 y 2 + 6 y + 9 = 4 xy; x, y ∈ R Determine el valor de ( x − y) 2 .
x
2
3.
x
+
A) 25 D) 9
B) 4
C) 13 E) 16
A) D) UNMSM 2003
4.
B) 216
b
= b +
c
=
c+
8.
D) 5.
B)
E)
2
D)
B)
36
a
B) 4
2
1 +
b
2
1 +
c
2
.
C) 1 E) 9
C)
18
E)
36
9 17
5 18
=
3
3 a b
=
b +
a
3
a +
c
2
c +
a
b +
c
c +
B) 3
1
. C) 0 E) –1
3 a y b números
b 3 a
+
b
2
no nulos que satisfacen = 3 ab. Calcule el valor de
+
b
3
( a + b ) ( a − b) 2
2
10.
1
7
5
Sean
D)
−
indique el valor de A) 2 D) 0
3
A) 1
Dadas las condiciones a+ b+ c = 0 ab + ac + bc = 2 2 abc =
=
7
halle
C) 1
3
5
Si
a
3
y
=
A) 1
9.
A) 3
+
2
ab + bc + ca
abc . 2
3y
abc =
a
Calcule el valor de
+
a+ b+ c
C) 729 E) 343
Sean a, b y c números reales no nulos y distintos entre sí que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones. 1 1 1 a+
2
2 x y Halle el valor de − . 2 3
Si 3 2 x + 3 2 y = 27; 3 x + y = 11, 3 calcule el valor de k = (3 x + 3 y ) .
A) 512 D) 125
Sean m, n números reales, tales que
B) 0
1
C) 2 E) – 2
2
Si α es un número real, tal que tonces el valor de 2 7 1 + α + α + … + α es
α
3
= α −
1, en-
UNMSM 2009 - I
A) α − 2 D) 2α − 1
B) α + 1
C) α − 1 E) 2α − 2
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Álgebra 11.
Simplifique la expresión
(a
b
+
b
a
) (a
a
+
si a + b = 1
b
b
)−
y
(2
ab
14.
a
b
2
+ 22
=
)
Si m −
x =
m
x
1 − x
a
+
1
B) a + 1
E) 1
A)
S
(
=
2
2
+
b
2
2
+
c
2
) ( a3 + b 3 + c 3 ) 2 2
a b c + ab c
+
2
a bc
Considere que abc ≠ 0 y A) 6
B) 3
D) – 6
+
2
1 − x
m >
0
2
x
m
B) 2 m
4 D) 4 m
Si a + b + c = 0, calcule el valor de a
y
C) 0
D) b a + 1 12.
4
halle el valor de
2.
z =
A)
−
2 m
UNMSM 2012 - I b
2
15.
2
ab + bc + ca ≠
0.
C) – 3 E) 0
Sean
C)
m
2 E) m
x, y
número númeross real reales es pos positiv itivos, os, tal que 3 3 x + y ∈ Z y x + y ∈ Z. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) y elija la secuencia correcta. I. x − y ∈ Q II. x 2 + y 2 ∈ Q III. x 4 + y 4 ∈ Q
NIVEL AVANZADO
13.
Sea b ≠ 0 y a+
1 b
=
1 y
c≠
b +
A) FVV D) VVF
0 si
1 c
=
16.
1
Halle el valor de abc.
A)
1 2
B) 1 C) 2
2
+
y
2
+
z
D) – 2 D)
=
3
=
−9
2 2 7
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2
4 Calcule el valor de 1 1 + + xy + z − 1 yz + x − 1
xyz
A)
E) –1
C) FFF E) VVV
Sean , y, z núm número eros, tale taless que que cump cumple len n x + y + z = 2 x
UNMSM 2013 - I
B) FFV
B)
−2
9
1 zx
+
y −1
C) E)
9 2 −2
7
Álgebra Sistema de ecuaciones lineales 6.
NIVEL BÁSICO 1.
Si el par ( x1; y1 ) con x1 = única del sistema lineal ax + by = − 11 ; d ≠ c c x d y − = 1 halle el valor de A) 12 D) –10
a+ b d
c
−
y1 es la única solución
Dado el sistema lineal (2 k − 1) x + ky = 2 y + 3 kx + 2 y = 3 y + k + 2 halle los valores del parámetro k para que el sistema posea infinitas soluciones. B) R − {−1; 1}
A) R D) 1
.
B) –11
C) 1 E) 11
C) −1 E) –1
∨
1
NIVEL INTERMEDIO
UNMSM 2013 - I 7. 2.
Dado el sistema lineal 2 x + 3 y + z = 1 x − y + z = 2 x + 2 y − z = 3 determine el valor de . A) 1
Dado el sistema
( k + 2) x + ky = 2 4 x + ( k + 1) y = −1 halle los valores de k para que el sistema tenga t enga solución única con e y núme número ross real reales es nega nega-tivos.
B) 0
C) 2
D) –1
E)
−1
A)
2
B) 3.
2 3
<
k <
( x + y) 3
D) k > −10
+
( y + z)3
+
( z + x )
x
3
y
B) 24
E)
A) 10 D) 14
=
128 y
2 x
−
y
=
2, halle el valor de xy.
B) 16
C) 12 E) 15 UNMSM 2014 - I
El sistema lineal mostrado by = 2a − 6 ax + by bx + ay = 30 + 2 b tiene como solución a (1; 2). Halle el valor de ab. A) 144 D) 96
3
−10 <
1 3
k < −
C) – 27 E) 18 UNMSM 2013 - I
Si 2 x + y
2
k < 10
C) k > −
A) – 8 D) 3
5.
3
<
Si se verifican simultáneamente las ecuaciones 3 x + y + 4 = 0; 3 x − z + 2 = 0; 3 z − y + 2 = 0, halle el valor de z
4.
−2
B) 108
C) 104 E) 128
8.
2 3
UNMSM 2002
Si el siguiente sistema de ecuaciones tiene solución única
x + ky + z = 3 kx + y + kz = 2 − ky + z = −1 halle los valores de k. A) k ∈ R − {±1} B) k ∈R − {−1} C) k ∈R D) k ∈R − {1} E) k ∈R − {0} UNMSM 2012 - I
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Álgebra 9.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones. x 2 + y = 5 xy − 7 3 x − 2 y = − 1 Determine la suma de componentes de una de las soluciones.
NIVEL AVANZADO
13.
Si
x
e
y
son número númeross reale realess negat negativo ivos, s, halle halle
los valores enteros de a para que el sistema de ecuaciones
A) -3
B)
31
C)
13
D) 13
E)
−1
6 x + ( a + 3) y = −2 ( a + 4) x + ay = 3
13 −31
tenga solución única.
13
UNMSM 2009 - I 10.
Halle la suma de los valores de k, tales que la recta y = kx sea tangente a la curva x
2
A)
+
y
2
−
6x
−
3
B) −
5
D) −
2y + 6
5
=
6 5
0
C) E)
6
5
C) {a ∈ Z / −12 < a ≤ −1} D) {a ∈ Z / −13 < a ≤ −2}
6
E) {a ∈ Z / −13 < a ≤ −3}
6 5
UNMSM 2009 - I 11.
Determine el número de soluciones reales del siguiente sistema de ecuaciones.
x 2 + y 2 = 2 x ( y − z ) 2 2 y + z = 2 y ( z − x ) 2 2 z + x = 2 z ( x − y ) A) 0
B) 1
D) 3 12.
A) {a ∈ Z / −12 < a < 0} B) {a ∈ Z / −13 < a < − 2}
14.
Dado el sistema lineal
a1x + b1y + c1 = 0 L 1 a2 x + b2 y + c2 = 0 L 2 a3 x + b3 x + c3 = 0 L 3 representado por el siguiente diagrama. Y
L 1
C) 2 E) 4 X
Dado el sistema ax + by = x − 3 2 x + ay = y − b
L 3
L 2
si ( a; 1) es la solución del sistema, calcule el valor de a2 + b2 .
Señale la afirmación correcta.
A) 21 B) 20 C) 25 D) 13
A) El sistema tiene 3 soluciones.
E) 29
E) El sistema tiene infinitas soluciones.
B) El sistema tiene 2 soluciones. C) El sistema tiene solución única. D) El sistema no tiene solución.
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Álgebra 15.
Dado el sistema de ecuaciones x 3 − 4 y = y 3 − 16 x 2 2 y − 1 = 5 x − 1 si ≠ 0 ∧ x > y, halle el valor de la expresión
(
E
x2 =
A) B) C) D) E)
−
)
y2
16.
Si xy x
+
=
y
x
donde
ns
A)
31
B)
2
n,
z
, ,
n + s
8
+
=
m n s
m ≠
66
xz
m,
yz y
+
=
s
z
son son núm núme eros ros pos posit itiv ivos os con con
, halle el valor de z.
3 mns mn + ms − ns
2 mns mn + ms − ns
31
C)
−2
4 mns mn + ms − ns
31
D)
−2
31
E)
−14
31
mns
2 ( mn + ms − ns ) mns
3 ( mn + ms − ns )
UNMSM 2014 - I
UNMSM 2014 - I
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Álgebra Polinomios NIVEL BÁSICO 1.
NIVEL INTERMEDIO
Calcule el valor de P ( a + b) si se sabe que un polinomio lineal mónico.
es
7.
P( x + a) = xP( a) + a; a ≠
3 2 3 P( x ) = ( a − 27) x + ( b − 7) x + b − a
A) 3 D) – 4 2.
B) 4
=
=
A) 1 D) 0 3.
B) –1
Si P( x ) + Q( x) P( x )
−
y P(5)
Q( x) =
4,
=
A) 0 D) 1 8.
calcule el el valor de P(Q( ) ) .
D) 4.
B)
3
3
5
E)
3
=
A) 2 D) 0
2 3 −4
3
6.
C) – 2 E) –1
A) B) C) D) E)
3 3 3
−
x
+
x
2
ax
x
−
2
+
+
2,
bx
+
además, c
B)
23
C)
4
10.
E)
27 4 13 4
Sea P( x ) un polinomio lineal, tal que P P ( ( x −1) )
=
4x
+
y Q( x )
3
=
2 x + m.
Halle el valor de m para que Q P
( x) )
=
5
−
4x
A) 17 D) 19 Si f ( x − 3) =
B) 21
x
2
C) –17 E) 15
y h ( x + 1) = 4 x + 1,
+1
halle el valor de h ( f (3) + h ( −1)) .
x + x 2 + x − x −
2
C) 3 E) 7
D) 4
11.
UNMSM 2013 - I
3 3
− 1 =
A) 0
C) 9 E) 12
Sea P( x +1) = x 3 + 3 x 2 + 4 x + 5. 5. Halle P( x) − P(0) .
( n + 2) x n+ 7 + ...
Determine P ( a + b + c ).
(
B) 11
+
B) 4
) P ( 2 x + 1) =
Sea f ( x ) un polinomio cuadrático mónico, tal que la suma de coeficientes es 3, además, su término independiente es – 2. Halle f (2) . A) 8 D) 10
( n + 1) x n+ 6
Se cumple que P ( 2 x
=
B) 1
+
UNMSM 2010 - I
Sea P( x ) un polinomio cuadrático, tal que P(1) 2, P(2) 5 y P(3) 10. Determine el valor de P( −1). =
5.
C)
n + 5
A) 5 D) 6 9.
A)
nx
=
UNMSM 2014 - I
ax + b, a + bx
1
C) 2a E) a
ordenado y completo. Halle el grado del polinomio P( x).
=
4
B) − a
Sea el polinomio P( x )
C) 2 E) – 2
1
0
calcule el valor de P ( a − 1) / a .
C) 5 E) – 5
Sea P( x ) un polinomio lineal, tal que cumple P(2) 3; P( 3) 1 Determine el valor de P(4) .
Dado el polinomio P( x ) , tal que
A) 117 D) 107
x
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B) 145
C) 115 E) 120
Álgebra 12.
Dada la función f ( x )
=
(3 ( x
+
1) 2
14.
−
)(3 ( x
1
+
1)2
3
+
x
+
)
1+1
P(1)
3 x ( x + 1 + 1) 3
para x ≠ 0 y x ≠ −2, halle f (
10 10
Sea P( x ) un polinomio cúbico, tal que =
1; P( 2)
2; P( 3)
=
=
3; P( 4)
).
A) 16
B) 13
D) 15
B) C)
3
10
10
+1+1
1
15.
Si f ( x + 1) =
halle f ( x) .
1
1 3
10
+1
1 27
Si f( z)
=
z
f 1 f (1) + f ( )
1 −
z
16.
, halle el valor de
=
B) f ( x)
=
C) f ( x)
=
D) f ( x)
=
E) f( x)
=
−5
2 −2
3
x
2
+1
4x
x
2
+
2
x x
2
−
x
+
2
2x x x
2
2
−
2x + 2
+
4
Considere los polinomios P( x ) y Q( x) de grado 3. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto de las siguientes afirmaciones. afir maciones.
+ f (−2)
I.
2
D)
xf (1 − x ) + 2,
x
A) f ( x)
9
NIVEL AVANZADO
A)
E) 20
3
3000 10
13.
C) 18
1
D) E)
5
Halle el valor de P(6). UNMSM 2014 - I
A)
=
B)
−7
3
C) E)
2 3
°
[ P ( x ) + Q ( x )] = 3
II. ° P( x ) ⋅ Q( x) = 6 III. ° P 2( x) ⋅ Q 3( x) = 15
3 2
UNMSM 2014 - I
A) VVV
B) VFV
D) FVV
C) FFF E) VVF
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Álgebra Factorización de polinomios 6.
NIVEL BÁSICO 1.
( a + b + c ) ( ab ab + bc + ca ) − abc
A) ( a + b) (2b + c) ( c + a)
Señale un factor primo de la expresión f( x)
=
x
3
+
Factorice la expresión
(2 x + 1) 3
−
B) ( a − b) ( b − c ) ( c − a )
(1 + 3 x )3
C) ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) A) + 1 D) 2 x − 1 2.
B) 3 x + 1
C) x − 1 E) 2 x + 3
D) (2a + b) ( b − c ) ( c + a ) E) ( a2 + b2 + c 2 ) ( a + b + c )
Factorice el polinomio P( a; b; c )
=
4 2 2
a b c
+
3 3 2
2a b c
−
NIVEL INTERMEDIO
2 4 2
3a b c
e indique la suma de sus factores primos. 7.
A) a + b + c B) 3a + b − 3c C) 3a + 3 b + c D) 3a + 3 b − c E) 5 a + b + c 3.
P( x )
=
x
3
−
3x
2
A) 1 D) – 3
−
4x
8.
=
B) 2
2x
2
+
mx − 6
A) 16 D) 13
B) 15
6
4
3
−x
6
6
4
2
2
z+ y z− x y z− x y
5
determine un factor primo. A) 2 + z 2 B) + z C) − z D) x 2 − yz − E) y 2 + z 2
9.
+
mx
4
un factor primo de −
2x + 3
B) 3
−y
4
+
x3
C) – 3 E) 0
+1
B) 2 x 6
+
x3
C) 2 x 6
−
2
D) 2 x 6
−
x3
E) 2 x 6
+
2
+
2
+
2
Luego de factorizar el polinomio Q( a; b; c)
=
( a + b + c ) ( a − b + c ) − ( a + b) ( a − b)
determine la suma de sus factores primos.
C) 17 E) 20
A) 2a + c D) 2a + 2c
Después de factorizar la expresión x y+ x z
5
3 es
Simplifique la expresión
A) x 6
C) 3 E) 4
determine la suma de todos los valores positi vos de m, tal que P( x ) se factorize en Z.
5.
2x
−
( x 2 − 2 x + 1)( x 2 + x + 1)2 + ( x 3 + 1)2
+ 12 12
Dado el polinomio cuadrático P( x )
2x
A) 1 D) –1
Dé como respuesta la suma de coeficientes de uno de los factores primos.
4.
=
=
halle el valor de m.
Señale un factor primo del siguiente polinomio. P( x )
Si f( x )
z
3
+x
2
4
y z
10.
B) a + 2c
Factorice el siguiente polinomio cuártico. F( x )
=
x
4 −
17 x
2 −
36 x
−
20
A) ( x − 5) ( x + 1) ( x + 2) ( x − 2 ) B) ( x − 5) ( x + 1)( x + 2)2
z
2
C) ( x − 5) ( x + 1) ( x − 2)
2
D) ( x − 5) ( x + 1) ( x − 3)
2
2 E) ( x + 5) ( x − 1) ( x + 2)
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 11
C) 2a + 2 b E) a + b + c
Álgebra 11.
Dada la igualdad x
5
+
x
+ 1=
14.
( x 2 + ax − b) ( x 3 − x 2 + cx + 1)
Si el MCM de los polinomios P( x )
calcule el valor de a + b + c.
=
x
3
+
2x
2
−
x
−
2 y Q( x) es x
4
−
5x
2
+
4 y su
MCD es x − 1, halle la suma de las raíces del polinomio Q( x ).
A) 0
B) 2
C) –1
D) 1
UNMSM 2013 - II
E) 3 A) – 3
12.
Señale un factor primo del siguiente polinomio. P( m; n; p)
=
m2
−
4p
2
+
4 mn + 4 n
p
Si f ( x ) es un factor primo de P( x )
=
(x2 − x)
tal que f (0)
p
D) m + n + 2 p E) mn −
E) – 2
2
B) m + 2n − 2 p C) m − n −
2
2,
=
A) 0
p
−
(
8 x
16.
6x
4
−
x
3
−
2x
2
+
3x
−
2
2 P( x ) = ( ax − bx + b) (3 x − 2) ( x + 1)
calcule el valor de a + b.
D) –1
) + 12
C) 6 E) 7
Se tiene que
∀ x ≠
se factoriza en la forma
A) 0
x
B) 1
A
( x 2 − x − 2) (2 x + 3)
Si el polinomio =
−
¿a cuánto equivale f (1)?
1
P( x )
2
D) 3
NIVEL AVANZADO
13.
C) 3
D) 2 15.
A) 2 m + n +
B) 1
B) 1
2;
− 1;
E) 3
x
+1
B +
2 x
+
C 3
+
x
−
2
−3
2
calcule el valor de A + B + C .
A) 0 C) 2
=
B) 1
D) 2
C) E)
2 7 8 7
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