T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI
MEGEP
(MESLEKİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ)
İNŞAAT TEKNOLOJİSİ
STATİK HESAPLAR 2
ANKARA 2007
Milli Eğitim Bakanlığı taraf ından geliştirilen modüller; •
Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığının 02.06.2006 tarih ve 269 sayılı Karar ı ile onaylanan, Mesleki ve Teknik Eğitim Okul ve Kurumlarında kademeli olarak yaygınlaştırılan 42 alan ve 192 dala ait çerçeve ö ğretim programlar ında amaçlanan mesleki yeterlikleri kazandırmaya yönelik geliştirilmiş öğretim materyalleridir (Ders Notlarıdır). r).
•
Modüller, bireylere mesleki yeterlik kazandırmak ve bireysel öğrenmeye rehberlik etmek amacıyla öğrenme materyali olarak hazırlanmış, denenmek ve geliştirilmek üzere Mesleki ve Teknik Eğitim Okul ve Kurumlarında uygulanmaya başlanmıştır.
•
Modüller teknolojik gelişmelere paralel olarak, amaçlanan yeterli ği kazandırmak koşulu ile eğitim öğretim sırasında geliştirilebilir ve yapılması önerilen değişiklikler Bakanlıkta ilgili birime bildirilir.
•
Örgün ve yaygın eğitim kurumları, işletmeler ve kendi kendine mesleki yeterlik kazanmak isteyen bireyler modüllere internet üzerinden ulaşılabilirler.
•
Basılmış modüller, eğitim kurumlarında öğrencilere ücretsiz olarak dağıtılır.
İÇİNDEKİLER AÇIKLA AÇIKLAMALA MALAR R .................................................................... ........................................................................................................ ........................................... ....... ii GİRİŞ ..................................................................... ........................................................................................................ .............................................................1 ..........................1 ÖĞRENME FAALİYETİ-1 ....................................................................... .................................................................................................3 ..........................3 1. ATALET (EYLEMS İZLİK) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA.....................................3 1.1. Tanımı .......................................................................................................................3 1.1.1. Ağırlık Merkezi Merkezi................................ ................................................................... ...................................................................3 ................................3 1.1.3. Atalet Yarıçapı ....................................................................................................7 1.2. Çeşitleri itleri ................................................................... ....................................................................................................... ..................................................7 ..............7 1.2.1. Basit Kesitlerin Atalet (Eylemsizlik) Momenti.....................................................7 1.2.2. Bileşik Kesitlerin Atalet (Eylemsizlik) Momenti................................................10 1.2.3. Paralel Eksen (Steiner) Teoremi.........................................................................11 UYGULAMA FAALİYETİ............................................................................................12 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME..................................................................................16 ÖĞRENME FAALİYETİ-2 ....................................................................... ...............................................................................................17 ........................17 2. MUKAVEMET (DAYANIM) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA................................17 2.1. Mukavemet (Dayanım) Momenti ....................................................................... .............................................................................17 ......17 2.1.1. Tanımı ...............................................................................................................17 2.1.2. Çeşitleri................................................................... itleri....................................................................................................... ..........................................20 ......20 UYGULAMA FAALİYETİ............................................................................................25 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME..................................................................................31 MODÜL DEĞERLENDİRME...........................................................................................33 CEVAP CEVAP ANAHTA ANAHTARLARI RLARI .................................................................. .................................................................................................35 ...............................35 KAYNAKLA KAYNAKLAR R .................................................................. ...................................................................................................... ................................................39 ............39
i
AÇIKLAMALAR AÇIKLAMALAR KOD ALAN DAL/MESLEK MODÜLÜN ADI MODÜLÜN TANIMI SÜRE ÖN KOŞUL YETERLİK
460MI0008 İnşaat Teknolojisi Alan Ortak Statik Hesaplar 2 Atalet ve mukavemet momentlerinin tanımı, çeşitleri, birimleri ve hesap uygulamalar ını anlatan bir öğrenme materyalidir. 40/32 Statik Hesaplar 1 modülünü başarmış olmak. Gerekli ortam sağlandığında atalet ve mukavemet momenti hesaplar ı yapabilmek.
Genel Amaç Ø
MODÜLÜN AMACI
Bu modül ile gerekli ortam sağlandığında, atalet ve mukavemet hesaplar ını doğru olarak yapabileceksiniz.
Amaçlar 1. Atalet momenti hesaplar ını yapabileceksiniz. 2. Mukavemet (dayanım) momenti hesaplar ını yapabileceksiniz.
EĞİTİM ÖĞRETİM ORTAMLARI VE DONANIMLARI
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
Ortam: Sınıf, atölye, laboratuvar ve kütüphane,ev gibi öğrencinin kendi kendine veya grupla çalışabileceği tüm ortamlar. Donanım: Sınıf, kütüphane, tepegöz, projeks pr ojeksiyon, iyon, bilgisayar ve donanımları,öğretim gereçleri vb. Bu modüldeki her faaliyet sonrasında, verilen ölçme araçlar ı ile kazandığınız bilgi ve becerileri ölçerek kendi kendinizi değerlendirebileceksiniz. Modül sonunda öğretmeniniz taraf ından hazırlanan ölçme aracı ile kazandığınız bilgi ve beceriler ölçülerek değerlendirilecektir.
ii
GİRİŞ GİRİŞ Sevgili Öğrenci, İnşaat teknolojisi alanının geçmişi, ilk insanların barınma ihtiyaçlarını karşılamak için yaptıkları geleneksel yapılara kadar dayanmaktad ır. Mukavemet alanındaki ciddi çalışmalar ve araştırmalar, Rönesans devri ile ba şlamıştır. Leonardo Da Vinci (1452-1519) ve Galileo (1564-1642), yapı malzemelerinin mekanik özellikleri ve kirişlerin mukavemetleri ile ilgili incelemeleri incelemeleri yapmışlardır. İnşaat sektörü, günümüzde h ızla gelişen teknoloji sayesinde çok gelişmiştir. Elle çizilen ve hesaplanan projeler artık bilgisayarla yapılmaktadır. İnşaat teknolojisi çok geniş bir alandır. Birçok önemli bölümleri vardır. Statik hesaplamalar hesaplamalar da bunlardan biridir. Mühendislik yapısı, bir bina veya bir köprü, bir makine, bir uçak, bir gemi veya bir otomobil olsun; bunların taşıyıcı sistemlerini oluşturan elemanların boyutları, dış kuvvetlerden kaynaklanan iç kuvvetlere dayanabilecek biçim ve büyüklükte olmalıdır. Bunun tersi de söz konusu olabilir. Yani boyutları bilinen bir elemanın taşıyabileceği dış yükün bulunması ya da gerilmelerin kontrol edilmesi gerekebilir. Bu modülde, dış kuvvetlerin etkisine dayanabilecek kirişlerin boyutlarını hesaplayabilmek için seçilen kiriş kesitinin atalet (eylemsizlik) ve mukavemet (dayanım) momentlerinin momentlerinin nasıl yapılacağı uygulamalı olarak anlatılmıştır.
1
2
ÖĞRENME FAALİYETİ-1 ÖĞRENME FAALİYETİ-1 AMAÇ Bu öğrenme faaliyeti ile öğrenci, gerekli ortam sa ğlandığında atalet momenti hesab ı yapabilecektir.
ARAŞTIRMA Ø
Bu faaliyeti tam olarak kavrayabilmek için ağırlık merkezi ve moment konusunu öğrenmeniz gerekmektedir. Burada size k ısa bilgi verilecektir; ancak bu konuyla ilgili araştırma yapmanız gerekecektir.
1. ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA
1.1. Tanımı
Yer çekiminin doğurduğu kuvvetlerin bileşkesinin uygulama noktasına, cismin ağırlık merkezi denir.
1.1.1. Ağırlık Merkezi Bir cismi meydana getiren küçük parçacıklara etki eden yer çekimi kuvvetlerinin bileşkesinin, cisim üzerindeki uygulama noktasına, o cismin ağırlık merkezi denir (cm, dm, m.). Herhangi bir yüzey veya eğri alalım. Aşağıdaki şekli sonsuz derecede df parçalar ına bölelim. bölelim. Yüzeyi bir koordinat sistemine oturtalım. En küçük alandan koordinat sistemine bir paralel çizelim. Her minimum alan için ayn ı şeyleri tekrar ettiğimizde paralellerin kesiştiği nokta, o yüzeyin ağırlık merkezidir(Şekil 1.1).
y
y dF x xg y
0
dF
G F
x xg y
yg x
0 Şekil 1.1 3
F
G yg
x
1.1.1.1. Basit Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi Ø
Dairenin ağırlık merkezi, kendi merkezidir (Şekil 1.2).
M
G Şekil 1.2 Ø
Kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, paralelkenar a ğırlık merkezleri köşelerinin kesiştiği noktalardır (Şekil1.3).
M
M
G
G Şekil 1.3
Ø
Üçgenin ağırlık merkezi, kenar ortaylar ının kesişme noktasıdır. Bu nokta, yüksekli ğin 3/1’inden geçer (Şekil 1.4).
A b/2
c/2
b
c
b/2
c/2 h/2
C
a/2
a G Şekil 1.4 4
a/2
B
Ø
Yamuğun ağırlık merkezini hesaplarken alt kenar ı üst kenara, üst kenarı ters yönde alt kenara ekleyelim, köşegenleri egenleri birleştirelim. Köşegenlerin kesişme noktası, ağırlık merkezidir (Şekil 1.5). A
B ICDI
IABI D
C
G
Şekil 1.5 Ø
Herhangi bir dörtgenin ağırlık merkezi, köşegenlerinin egenlerinin birle birl eştirilmesinden ortaya çıkan 4 üçgenin ağırlık merkezlerinin kar şılıklı birleştirilmesiyle ortaya çıkan köşegenlerin kesiştiği noktalardır (Açıklamaya göre şekli tamamlayınız) (Şekil 1.6). A D
B
C Şekil 1.6 Ø
Yarım dairenin ağırlık merkezi, geometrik merkezinden (Şekil 1.7).
4r 3 M G
Şekil 1.7
5
4r kadar uzaktadır 3π
Ø
Çeyrek dairenin ağırlık merkezi, kendi ağırlık merkezinden
4r 2 kadar 3π
uzaktadır (Şekil 1.8).
y x M
Şekil 1.8
y x
0
x yF
1 6 5 90
4
y
0 x y F
y
1 4 1,69 25,12 x r=4 cm y
G
15
x
x
G
0
x yF
y
1 8 2 64
16
y
6
G
x y F
y
1 2,4 2,4 12,56 x
G r=4 cm y
x
x
6
x
0M Şekil 1.9
y = 3 x4 x3,414 = 1,69
F =
G = ( 2,4 x 2,40)
r 2
π
xy =
2
4 x 4 x 1 , 41 3 x 3 ,14
=
2 , 40 cm
1.1.1.2. Birleşik Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
Verilen birleşik yüzey, koordinat düzlemine düzlemine oturtulur. Birleşik yüzey, bilinen basit yüzeylere ayrılır. Her basit yüzeyin ağırlık merkezi bulunur. Her basit yüzeyin ağırlık merkezinden koordinat eksenlerine dikler inilir. Her basit yüzeyin alanlar ı tespit edilir. x ve y mesafeleri hesaplanır. gx ve gy bulunur. 6
1.1.2. Atalet Momenti Herhangi bir yüzeyin sonsuz derecede küçük alan parças ının, herhangi bir x eksenine mesafesinin karesi ile çarpımının toplamına, o alanın x eksenine gelen atalet momenti denir. Atalet momenti ,”J” ile gösterilir. Birimi dm4 cm4 ’tür.
y F
Jx = SdFy 2
x dF
Jy = SdFx 2
y
x
0 Şekil 1.10
1.1.3. Atalet Yarıçapı Kendi ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet yar ıçapı aynı eksene göre al ınan atalet momentinin kesit alanına bölümünün kareköküne eşittir. “Ix” ile gösterilir. Atalet yarıçapının birimi “cm, dm” olur.
İ x =
Jx F
İ y =
cm
Jy F
cm
Burada: Ix: Atalet yarıçapı Jx: x eksenine göre atalet momenti F: Şeklin (kesitin) alanı
1.2. Çeşitleri Ø Ø
Basit kesitlerin atalet (eylemsizlik) momenti Birleşik kesitlerin atalet (eylemsizlik) momenti
1.2.1. Basit Kesitlerin Atalet (Eylemsizlik) Momenti En çok kullanılan kesitlerin ağırlık merkezinden geçen tarafs ız eksenlerine göre( x-x’ ve y-y’ eksenleri ) atalet momentleri, aşağıda maddeler hâlinde verilmiştir. Örneğin X-X’ eksenine göre atalet momenti JX ; Y-Y’ eksenine göre atalet momenti J Y ile gösterilmiştir. Ø
Kare (kendi ağırlık merkezine göre)
7
y b=hh b= G
x
h
J x , J y =
h4
12
b Şekil 1.11 Ø
Dikdörtgen
y
G
x
h
Jx =
bh3
Jx =
hb3
12 12
cm
4
cm
4
b Şekil 1.12 Ø
Üçgen
h
Jx = b
Şekil 1.13
8
bh
3
36
cm
4
cm4
Ø
Daire NORMAL DAİRE
Jx = Jy =
D4
π
64
cm 4
Şekil 1.14 DELİKLİ DAİRE
Dı
Jx = Jy =
D
π
( D 4 − D1 4 ) 64
cm 4
Şekil 1.15 Ø
Yarım daire Jx = Jy = 0,00686 D 4 cm 4 Şekil 1.16
Ø
Çeyrek daire
4
4
Jx = Jy = 0,00344 D cm Şekil 1. 17 Ø
Parabol a b
G x
Şekil 1.18 9
a×b 3
Jx =
π
Jy =
π
4 b× a 3
4
cm
4
cm4
1.2.2. Bileşik Kesitlerin Atalet (Eylemsizlik) Momenti Herhangi bir yüzeyin kendi ağırlık merkezine göre bulunan atalet momenti ile yüzey alanının ağırlık merkezi ve eksen aras ındaki mesafenin karesiyle çarpımının toplamına eşittir.
1. 2 e2
J 1−1 = Jx + Fe1
y
J 2−2 = Jy + Fe2
G
x
W 1−1 = 1 e
İ =
1
2 01
J 1−1 e
atalet
mukavemet
J 1−1 F
ataletyar ııçapı
Şekil 1.19
2. 2
2 1
y
J x − x =
G
J 1−1 =
x
14
14 x12 3 12
= 4502 cm
16 2 01
14 x13 3 12
1
= 2016 2
+ (14 x12 )(16 )
4 3
W 1−1 =
4502 16
= 2814 cm
İ x =
4502 168
= 16 ,37 cm
Şekil 1.20
3. 2
J X = 12510 cm
INP 320
F = 77 , 7 cm
4
J 1 − 1 = 12510
2
1
1
Şekil 1.21
10
W 1 − 1 =
J 1 − 1
İ 1 =
J 1 − 1
40
77 , 7
= =
→ tablodan
→ tablodan + 77 , 7 x 40
= 136 , 830 cm m c 0 4
4
2
4
136 , 830 40
= 3420 , 75 cm
136 , 830 77 , 7
= 42 cm
3
Not: Kaynak için INP profil tablolarına bakınız (statik. MEB). Basit kesitlerin atalet momentinde verilen formüller, kesitlerin ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleridir. Bir kesitin kendi ağırlık merkezinin dışından geçen eksenlere göre atalet momentini de hesaplamak gerekebilir. Böyle durumlarda paralel eksen teoreminden yararlanılır.
1.2.3. Paralel Eksen (Steiner) Teoremi Bir kesitin aynı düzlem içinde bulunan bir eksene göre atalet momenti; tarafsız eksene göre atalet momentine, kesitin alan ı ile paralel iki eksen aras ındaki uzaklığın karesinin çarpımı eklenerek eklenerek bulunur.
JXN = JX + F X e12
…………………….. cm4
JYN = JY + F X e22
…………………….. cm4
yn e2
y G
x 1 e
0
Xn
Şekil 1.22
Birleşik kesitlerin atalet momentleri, Steiner teoreminden yararlanarak bulunur. Birleşik kesitlerin atalet momentini bulmak için; 1- Verilen kesit, basit geometrik şekillere bölünmelidir. 2- Her şekil numaralanıp, teker teker alanlar ı bulunmal ıdır. 3- Birleşik kesitin (tarafsız eksenin geçtiği), ağırlık merkezi bulunmalıdır. 4- Steiner teoremine göre her kesitin atalet momenti bulunarak cebirsel toplam yapılmalıdır. Atalet momentinin birimi cm4, dm4’ dir.
11
UYGULAMAFAAL FAAL İYET UYGULAMA İYET İ İ Atalet Momenti Hesap Uygulamaları 1. Aşağıda verilen bileşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yol ile bulunuz.
y
18
x y F 1 6 8 192 2 15 3 36
0 1 6 1
xı
Gı yı
0
x2
12
G2
6
y2
x
6 Şekil 1.23
İşlem Basamakları
Öneriler
Ø
Şekilleri, basit geometrik şekillere ayırınız.
Ø
Ayırmış olduğunuz her şeklin ağırlık merkezini bulunuz ve tablonuzu oluşturunuz. Şekil 1.23’ te sağ üstte bulunan tablo
Ø
Ayırmış olduğunuz her şeklin alanlarını hesaplay ınız.
Ø
Ayırma işleminden yararlanarak şeklin basit şekillere ayrılmamış durumun ağırlık merkezini bulma formülünü oluşturunuz. Gx
=
Gy = Ø
Ø
Hesaplanmas ının kolay olduğu şekilleri elde etmeye çalışınız.(Kare,dikdörtgen,üçgen)
Ø
Ağırlık merkezini bulurken eksenlerden almanız gereken değerleri karıştırmayınız. X – X yönündeki değeri alırken yataydaki ölçüleri kullanacak kul lanacakssınız. Y-Y yönündeki değeri alırken dikeydeki ölçüleri kullanacak kul lanacakssınız.X yönünde X1 için 12/2 = 6 X2 için sıf ır noktasından ikinci şeklin köşesine olan ölçü (12 ) + ( şeklin ağırlık merkezi ) 6/2 = 15 Y yönündeki değerlerin bulunmasında X yönündeki değerlerin bulunması yöntemini kullanınız. Tüm hesaplamalar ımızda sıf ır noktasını esas aldığımızı unutmayınız.
Ø
Dikdörtgenin alan formülü; kısa kenar x uzun kenar mesafesidir.
F 1 x1 + F 2 x2 +... ... + F n xn F 1 + F 2 +... ... + F n
F 1 y1 + F 2 y 2 +...+ F n y n F 1 + F 2 +...+ F n
Formüldeki simgelerin yerine yazılacak değerleri, çizim üzerinden ve tablodan 12
alınız. Gx =
Gy =
16x12= 192 6 x192 +15 x 36 192 + 36 8 x192 + 3 x 36 192 + 36
= 7,42 cm
= 7 ,210 cm
6x6=36
Ø
Formülü oluştururken ağırlık merkezlerini ( F ) Gx te X değerleriyle Gy’de Y değerleri ile çarpılması gerektiğine dikkat ediniz.
Ø
Değerleri yerine yazarken do ğru yere yazdığınızdan emin olunuz. X değerlerini Gx e, Y değerlerini Gy formülünde kullanacaksınız. Hesaplamalar ı yaparken matematiksel hata yapmadığınızdan emin olunuz.
2. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yoluyla bulunuz.
y
8
6
x2
G2
G1
y2
8
x1 6 1
y1
10
x3
G3
x 1 4 2 11 3 19 4 2
y3
x
0 Şekil 1.24
G1 x =
192 x 4 + 48 x11+ 240 x19 192 + 48+ 240
= 12, 2cm
G1 y =
192 x12+ 48 x 20 + 240 x12 192 + 48+ 240
= 12,8cm
13
y F 12 192 20 48 12 240
3. Aşağıda verilen basit yüzeyin (kesitin) atalet momentini ve atalet yar ıçapını hesaplay ınız. y 6
G
x
2 1
10
Jx =
bh3
= 10 x1212 = 1440cm
Jy =
hb3
= 12 x1210 = 1000cm
12
12
3
4
3
4
İ x =
Jx F
=
1440 120
= 3,46cm
İ y =
Jy F
=
1000 120
= 2,88cm
Şekil 1.25
4. Aşağıda verilen şeklin atalet momenti ve atalet yarıçapını hesaplay ınız.
m c 4 4
3
3
20 x44 , cm4 Jx = bh 12 = 12 = 47324
İ x =
Jx F
=
47324, 44 440
=107,5cm
20 cm Şekil 1.26
5. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplay ınız.
y 6 , 2 9 , 8 1 1
4,1 x2
9
Gı 2,1 2,9 y2
x1
y1 0
4
6 Şekil 1.27 14
9 , 0 1
x
nu 1 2
72 x 2 + 54 x 7 72 + 54
Gx =
Gy = Jx 1 =
Jx2 =
x 2 7
y 9 13,5
=
12 bh 3
=
12
4 x 18 3 12
6 x 93 12
ex 1,9 2,6
Ey 2,1 2,9
4 ,1 cm
=
72 x 9 + 54 x 13 , 5 72 + 54 bh 3
F 73 54
= 10 , 9 cm
=
1944 cm 4
= 365cm
4
2
2
Jx − x = (1944 + 72 x1,9 ) + ( 365 + 54 x 2 ,6 ) = 2934 cm İ x =
2934 72154
Jx − x F
=
Jy 1 =
hb 3
=
18 x 4 3 12
Jy 2 =
hb
3
=
9 x63 12
∑
12
12
=
4 ,8 cm
= 96 cm
4
= 162 cm
4
2
2
Jy − y = ( 96 + 72 x 2 ,1 ) + (162 + 54 x 2,9 ) = 1030 cm
15
4
4
ÖLÇME ĞERLEND İRME ÖLÇME VEVE DEDE ĞERLEND İRME 1. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yol ile bulunuz.
4 1 0 2 6
12
9
4
Şekil 1.28
2. Çapı 20 cm olan dairenin atalet momentini ve atalet yar ıçapını bulunuz. 3. Aşağıda verilen bileşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
4 2 1 8
4
4
6
4
Şekil 1.29
Not: Bu soruları doğru olarak çözebildiyseniz diğer öğrenme faaliyetine geçiniz. Ya da takıldığınız yerde modülün ilgili bölümüne bakınız.
16
ÖĞRENME FAALİYETİ-2 AMAÇ
ÖĞRENME FAALİYETİ-2
Bu öğrenme faaliyeti ile öğrenci, gerekli ortam sağlandığında mukavemet momenti hesabı yapabilecektir.
ARAŞTIRMA Ø
Bu faaliyeti tam olarak kavrayabilmeniz için ağırlık merkezi ve moment konusunu öğrenmeniz gerekmektedir.Burada kısa bilgi verilecektir;ancak verilecektir;ancak bu konuda araştırma yapmanız gerekecektir.
2. MUKAVEMET (DAYANIM) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA 2.1. Mukavemet (Dayanım) Momenti 2.1.1. Tanımı Kuvvet ile kaldıraç kolunun (kuvvet kolunun) çarpımına, kuvvetin döndürücü etkisi veya mukavemet momenti denir.
2.1.1.1. Eğilme Momenti Bir kirişin kesitinde, dış kuvvetlerin etkisiyle (kiriş tarafsız ekseninden geçen bir düzlem içerisinde) kuvvet çifti doğuyorsa buna basit eğilme adı verilir. Kuvvet çiftinin belirttiği düzleme eğilme düzlemi denir. Kuvvet çiftinin momentine ise eğilme momenti denir. Ve (Mb) ile gösterilir. Mb=σ x W dir. Eğilen kiriş kesitinin bir taraf ında çekme, öteki taraf ında basınç gerilmeleri doğar.Çubuğun çekme taraf ında lifler uzar. Basınç taraf ında kısalır .Bu nedenle çekme taraf ında kopma; basınç taraf ında ezilme olabilir. Tarafsız eksende uzama ve k ısalma yoktur.Eğilme momenti birimi tm, tcm, kgm, kgcm ile gösterilir.
17
Tarafsız eksen
b A
ç
B
L
Şekil 2.1
2.1.1.2. Eğilme Gerilmesi Eğilmeye zorlanan cisimlerin en dış noktalarında meydana gelen çekme ve bas ınç gerilmelere denir. σ (Sigma) sembolü ile gösterilir. Birimi kg/cm2 ile ifade edilir..Basit kirişlerde yükleme durumuna göre eğilme(fleş) miktarını veren formüller vardır.(Daha fazla bilgi için kaynak statik.mukavemet MEB.)
2.1.1.3. Kesme Kuvveti ve E ğilme Momenti Diyagramlarının Çizilmesi P=100 kg 20 cm
80 cm B
A
RB +1600 cm2 -1600 cm2
A' A''
B'' 400 800 1200 1600 Mmax
Şekil 2.2
Kuvvet diyagramında alanlar bulunur(+;-). Moment diyagramı alanlara göre çizilir.
M max =
B'
Pxdxd 1 L
=
100 x 80 x 20 100
= 1600 kg .cm
18
Önce mesnetlere gelen kuvvetleri buluruz.
R A =
Px80 L
=
100 x 80 100
= 80 kg
R B =
Px 20 L
=
100 x 20 100
= 20kg
Daha sonra kirişe paralel olan A’B’ noktasından R A kadar yukarı çıkılır. RA nın bitim yerinden A’B’ eksenine paralel olarak P kuvvetinin uzantı çizgisine kadar gidilir. P’ yi kesen noktadan P istikametinde ve P şiddeti kadar inilir. P şiddetinin bittiği noktadan A’B’ eksenine paralel RB şiddeti kadar çıkılır. Böylece kesme kuvvetleri diyagramı çizilir ve kirişteki en tehlikeli nokta görülür. A’B’ çizgisine paralel A’’B’’ çizgisi çizilir.
M max = M max =
Pxdxd 1 L
Pxdxd 1 L
formülünden
80 x 20 = 100 x100 = 1600 kg.cm bulunur.
Bu sonuç bize en büyük e ğilme momentini verir.
Şekillerde çeşitli yüklemelere göre kirişlerin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramları görülüyor. L/3
P1
P2
2L/4 B
A RB A'
B' RB
En tehlikeli kesit L
Mmax
Şekil 2.3
19
q kg/m
q 1000 B
A RB En tehlikeli kesit
A'
B' RB
Mmax
Şekil 2.4
R A− B =
qxL
M max =
2 qxl
8
x1 = 1000 = 500kg 2 2
=
1000 x12 8
M max = 125kgm = 12500kgcm
2.1.1.4. Mukavemet Momenti Herhangi bir kesitin kendi ağırlık merkezinden gelen mukavemet momenti, aynı eksene göre alınan atalet momentinin tarafsız eksen ile yüzeyden uzak mesafenin atalet momentine bölümü, o yüzeyin mukavemet momentini verir.”W” ile gösterilir.
2.1.2. Çeşitleri Ø Ø
Basit kesitlerin mukavemet (dayanım) momenti Birleşik kesitlerin mukavemet (dayanım) momenti
2.1.2.1. Basit Kesitlerin Mukavemet (Dayan ım) Momenti En çok kullanılan kesitlerin ağırlık merkezinden geçen tarafs ız eksenlerine göre( x-x’ ve y-y’ eksenleri ) mukavemet momentleri a şağıdaki maddeler hâlinde verilmiştir. Örneğin X-X’ eksenine göre atalet momenti WX , Y-Y’ eksenine göre atalet momenti WY ile gösterilmiştir.
20
Ø
Dikdörtgen y
Wx=
2 / h
G
x
h
Wy=
b/2
bh3
12 h
2
hb3
12 h
2
3
2
2
2
3
= hb6 = bh6 cm
b
Şekil 2.5 Ø
Kare y b=h G
x
h
Wx = b
h3
6
3
cm
Wx = Wy Şekil 2.6
Ø
Üçgen
G 2 / h Şekil 2.7
21
3
2 bh = bh 12 × h = 6 cm
2 3
h=
bh 2
1 3
h=
bh 2
24 12
cm 3 cm 3
Ø
Daire NORMAL DAİRE
Wx = Wy =
D3
π
32
cm3
Şekil 2.8 Ø
Yarım daire
3
3
Wx = 0,0323 D cm Şekil 2.9 Ø
Boru DELİKLİ DAİRE
Dı
D
Wx = Wy =
π
( D 4 − D14 ) 32 D
cm3
Şekil 2.10 Ø
Çeyrek daire
2 e
G
1 e
W 1 = 0,0162 D 3 W 2 = 0,012 D 3
Şekil 2.11 22
Ø
Parabol y
a
b
G x
Wx =
π
Wy =
π
ab 2
4 ba
2
4
Şekil 2.12
2.1.2.2. Birleşik Kesitlerin Mukavemet (Dayanım) Momenti Atalet momentini (J), tarafsız eksenden kirişin üst kenarına olan uzaklığa (e)’ ye bölerek (W) dayanım momenti bulunur. Aşağıdaki formüle dikkat ediniz. W =
1.
J X e
e: Tarafsız eksene olan kirişin en uzak noktası 2 e2
J 1−1 = Jx + Fe1
y
J 2− 2 = Jy + Fe2
G
x
W 1−1 = 1 e
1
2 01
İ =
J 1−1 e
J 1−1 F
atalet
mukavemet ataletyar ıçapı
Şekil 2.13
2. 2
2 1
y
J x − x =
G
J 1−1 =
x
2 01
14 x12 3 12
= 2016 + (14 x12 )(16 2 )
= 4502 cm 4
16 14
14 x13 3 12
1
Şekil 2.14 23
W 1−1 =
4502 16
= 2814 cm 3
İ x =
4502 168
= 16 ,37 cm
3.
J X = 12510 cm
2
INP 320
F = 77 , 7 cm
m c 0 4
2
1
→ tablodan
→ tablodan
J 1 − 1 = 12510
+ 77 , 7 x 40
= 136 , 830 cm
4
W 1 − 1 = 1
4
4
İ 1 =
J 1 − 1
40 J 1 − 1
77 , 7
= =
136 , 830 40
= 3420 , 75 cm
136 , 830 77 , 7
= 42 cm
INP profil tablolar tablolarına bakınız (statik.MEB). Şekil 2.15 Kaynak INP
Mukavemet momentinin birimi ‘cm3. dm3 ‘tür.
24
2
3
UYGULAMAFAAL FAAL İYET UYGULAMA İYET İİ Mukavemet Momenti Hesabı Uygulamaları 1. Aşağıda verilen basit yüzeyin (kesitin) atalet ve mukavemet momentini hesaplay ınız. y 6
G
x
2 1
10
Jx =
bh 3
=
10 x12 3 12
= 1440 cm
4
Jy =
hb
3
=
12 x10 3 12
= 1000 cm
4
12
12 2
Wx =
bh
Wy =
hb 2
12 12
10 x12 2 12
= 240cm
3
= 12 x1210 = 200 cm
3
=
2
Şekil 2.16
2. Aşağıda verilen şeklin atalet ve mukavemet momentini hesaplay ınız.
Jx =
m c 4 4
bh 3
12
Wx =
bh 2
Wx =
bh 2
20 x 44 3 12
=
24 12
= 47324,44 cm
=
20 x 44 2 24
= 1613,33cm
=
20 x 44 2 12
= 3226,63cm
4
3 3
20 cm Şekil 2.17
3. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız. Birimleri cm alınız. x y F 1 6 8 192 2 15 3 36
18
0 1
xı
6 1
Gı yı
0
Gz
x2
y2 6
12
Şekil 2.18 25
6
x
e1y x y F 1 6 8 192 2 15 3 36
e1x
Gı
G e2x
G2
0
x
e2y Şekil 2.19
4. Kesiti basit şekillere ayırarak teker teker alanlar ı hesaplay ınız. Birleşik kesitin ağırlık merkezinin yerini bulunuz. 4.1. e1x , e2x , e1y , e2y uzunluklarını bulunuz. 4.2. J1X , J2X , J1Y , J2Y hesaplayınız. 4.3. Steiner teoremini uygulayınız. 4.4. Mukavemet momentini hesap ediniz.
ÇÖZÜM: 4. F1 = 16x12 = 192 192 cm2 F2 = 6x6 = 36 cm2 ∑F= F1+F2 = 192+36 = 228 cm2 X ve Y eksenlerine göre F 1 ve F2 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatları X1 = 6 cm X2 = 15 cm. Y1 = 8 cm. Y2 = 3 cm.
Gx =
F 1 x1 + F 2 x2 +... ... + F n xn F 1 + F 2 +... ... + F n
Gx =
6 x192 +15 x 36 192 + 36
Gy =
F 1 y1 + F 2 y 2 +...+ F n y n F 1 + F 2 +...+ F n
Gy =
8 x192 + 3 x 36 192 + 36
Gx = 7,42 cm
Gy = 7,21 cm ağırlık merkezinin yeri
26
= 7,42cm
= 7 ,210 cm
4.1. e1x = (y1-gy) = 8 – 7,21 = 0,79 cm.
e2x = (gy-y2 ) = 7,21-3 = 4,21 cm
e1y = (gx-x1) = 7,42 - 6 = 1,42 cm.
e2y = (x2-gx ) = 15-7,42 = 7,58 cm
Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz F ex ey ex2 ey2 192 0,79 1,42 0,62 2,016 36 4,21 7,58 17,72 57,45
nu x y 1 6 8 2 15 3 4.2.
Jx =
12 x163 12
= 4096cm
3
x12 Jy = 1612 = 144cm
4
4
64 12
Jx =
= 108cm
4
4
4 6 = 108cm Jy = 12
4.3. JX-X = ( J1X + F1 .
e1y2 ) + ( J2X +
JY-Y = ( J1y + F1 . e1x2 ) + ( J2y +
F2 . F2 .
e2y2 ) e2x2 )
4
3
4 x16 Jx − x = ( 1212 + 192 x0,62) + ( 126 + 36 x17,72) ⇒ Jx − x = 4960,2cm 3
4
x12 6 + 36 x57,45) ⇒ Jy − y = 4864,32cm4 Jy − y = ( 1612 + 192 x 2,01) + ( 12
4.4.
Wx − x =
4960, 2 8, 73
= 564,3
Wy − y =
4864, 32 10,58
= 459,76
5. Şekil 2.20’de görüldüğü gibi yüklenen 15 cm çapında bir kiriş bu yükün altında ne kadar eğilir? Elastisite modülü 2,1x106 kg/cm2 dir. p=14 ton L/2
d=15 cm
B
A
5m
Şekil 2.20 27
Ortadan yüklenmiş kirişlerdeki eğilme miktarını aşağıdaki formülle bulabiliriz. 3
f =
PxL 48 xExJ dir.
f: eğilme miktarı P:yük L: Açıklık E: Elastikiyet katsayısı J: Atalet momenti
j = j =
D 4
π
64
olduğundan
3,14 x154 64
=
158962,5 64
= 2483,78cm4
olur.
J yi eğilme formülünde formülü nde yerinde koyacak olursak: olursa k:
f =
PxL3 48 xExJ
=
14000 x 5003 48 x 2,1 x106 x 2483, 78
= 1750000 = 6,98cm 250365
Sonuç: Kirişte eğilme miktarı 6,98 cm olur. 6. p=40 ton 3m
1m B
A RA
+ -
RB
Mmax
Şekil 2.21
Şekildeki kiriş dairesel kesitli olup çapı 10 cm dir. Bu kirişin kesme kuvveti eğilme momenti momenti diyagramını çizerek;
a) Mesnet tepkilerini b) En büyük eğilme momentini c) Ne kadar eğileceğini bulalım.
28
Elastisite modülü E = 1,1 x10 6 kg / cm 2 a) Mesnet tepkileri ∑MA= 0 P x 300 – B x 400 =0 → 40000x300 -400B=0 →12000000=400B B=30000kg
∑MB= 0 -P x 100 + A x 400 =0 → -40000x100 +400A=0 →-4000000+400A=0 400A=4000000 →A=10000kg
b) En büyük eğilme momenti
M max = c)
PxL1 xL 2 L
=
40000 x 300 x100 400
= 3000000 kgxcm
Eğilme miktarı
f =
PxL2 3 xExJxL (Daha fazla bilgi için kaynak statik.mukavemet MEB.)
Eğilme miktarını bulmak için önce atalet momentini bulmamız gerekir. Kesit daire olduğu için çizelgeden;
J =
D
π
4
64
=
3,14.104 64
=
31400 64
4
= 490cm bulunur.
Eğilme miktarı
f =
PxL2
3 xExJxL =
40000 x100 3 x1,1 x106 x 490 x 400
=
4000000 646800 x106
−6
= 6,18x10
7. Şekildeki çıkmalı kiriş, kuvvet ve yüklerle yüklenmiştir. Kirişin güvenli dayanımı 960 kg/cm2 olduğuna göre kesit çapı ne olur?
A
P=800 kg/m
100 kg/m
100 kg/m
B
RA 4m 600
2m 1200 cm2
-800 cm2
4m
2m
800 800 cm2
400
200 cm 2400
-400 -800
4m
1200 400
1600 2000
Şekil 2.22 29
-2400 2400Mmax.
Çözüm: Önce mesnetlerden gelen yükleri buluruz. bulur uz.
∑ M A = 0 ∑ M B = 0 dan ∑ M = −400 x 2 + 400 x 4 + 800 x8 − 12 xR A
B
=0
− 800 + 1600 + 6400 = 12 R B
12 R B = 7200 R B = 600kg ∑ M B = −800 x4 − 400 x8 + 12 xR A − 400 x14 = 0 − 3200 − 3200 + 12 R A − 5600 = 0
12 R A = 12000 R A = 1000kg Kirişin kesme kuvveti (v) ve E ğilme momenti : (M) diyagramlarını çizeriz. En büyük eğilme momenti Mb =2400 kgm =240000 kgcm bulunur. σb
=
M b W b
960 =
240000 W b
W b = 250cm W b =
D
π
250 =
3
3
32 .3,14 D 3 32
D 3 = 2547,7 D = 13,65cm
30
ÖLÇMEVE VEDE DE ERLEND İRME ÖLÇME ERLEND ĞĞ İRME 1. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yol ile bulunuz.
4 1 0 2 6
12
9
4
Şekil 2.23
2. Çapı 20 cm olan dairenin, atalet momentini ve mukavemet momentini momentini bulunuz. 3. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin, atalet ve mukavemet momentini hesaplay ınız.
4 2 1 8
4
4
6
4
Şekil 2.24
31
4. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.
6 1
0 2
0 2
6 1
8
14
20 Şekil 2.25
32
MODÜL DEĞERLENDİRME MODÜL DEĞERLENDİRME
1. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet, mukavemet momentini ve atalet yar ıçapını hesaplay ınız.
10
16
20 6 1
4 1
Şekil 2.26
2. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet, mukavemet momentini ve atalet yar ıçapını hesaplay ınız.
6 1
0 2
0 2
6 1
8
14
20 Şekil 2.27
Öğretmeniniz, modüldeki faaliyetleriniz ve araştırma çalışmalar ınız sonunda kazand ığınız bilgi ve becerilerinizi ölçme araçlar ıyla ölçerek modülle ilgili durumunuzu değerlendirecek ve sonucunu size bildirecektir. 33
PERFORMANS TESTİ Dersin İnşaat Teknolojisi / Meslek Hesaplar Hesapları adı Amaç Konu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Öğrencinin
Atalet ve mukavemet momenti hesaplar ını Adı-soyadı doğru olarak yapabilme becerilerinin ölçülmesi. Atalet ve mukavemet momenti hesaplar ı Sınıf Nu yapmak. DEĞERLENDİRME KRİTERLERİ Verilen birleşik yüzeyi, koordinat düzlemine oturttunuz mu? Birleşik yüzeyi, bilinen basit yüzeylere böldünüz mü? Her basit yüzeyin ağırlık merkezini buldunuz mu? Her basit yüzeyin ağırlık merkezinden koordinat eksenlerine dikler indirdiniz mi? Her basit yüzeyin alanlar ı tespit ettiniz mi? x ve y mesafelerini hesapladınız mı? Ağırlık merkezi koordinatlarını (gx ve gy) buldunuz mu? e1x , e2x….enx ve e1y , e2y...eny uzunluklarını buldunuz mu? J1x , J2x….Jnx ve J1y , J2y….. .Jny hesapladınız mı? Steiner Steiner teoremini uyguladınız mı? Atalet yarıçapını buldunuz mu? Mukavemet momentini buldunuz mu?
34
EVET HAYIR
CEVAP ANAHTARLARI CEVAP ANAHTARLARI
ÖĞRENME FAALİYETİ-1’İN CEVAP ANAHTARI
1.
y
0 2
7,86 Gx G x1 G1 y1 Gy
4 1
G3 G2 x3 x2 y3 y2 9 12 4
0
x y F 1 6 10 240 2 14 3 24 3 19 4 27 6 8 , 8
6
x
Şekil 1. 33
Gx = Gy =
240 x 6+ 24 x14+ 27 x19 240+ 24+ 27 240 x10 + 24 x 3+ 27 x 4 240 + 24 + 27
= 7,86cm = 8,86 cm
2.
r =10 cm
Jx = Jy = İ x = İ y =
4
=
3 ,14 x 20 3 64
Jx F
=
7850 314
D
π
64
= =
7850 cm 5 cm
35
4
ÖĞRENME FAALİYETİ-2’NİN CEVAP ANAHTARI 1.
y
0 2
0
x 1 6 2 14 3 19
7,86 Gx G x1 G1 y1 Gy
4 1
G3 G2 x3 x2 y3 y2 9 12 4
y 10 3 4
F 240 24 27
6 8 , 8
6
x
Şekil 2.23
Gx =
240 x 6 + 24 x14 + 27 x19 240 + 24 + 27
Gy =
240 x10 + 24 x 3+ 27 x 4 240 + 24 + 27
= 7,86br
= 8,86br
2.
r =10 cm
Jx = Jy =
D 4
π
Wx = Wy =
64
=
D 3
π
32
3 ,14 x 20 3 64
= 36
=
3 ,14 x 20 2 32
7850 cm
4
785 cm
3
=
3.
y
6,41
x2
4
x3
4 4 2 , 2 , 4 0
8
G2 G3
G
5,59
x1 G1
6 7 , 9 4
y2
4,41
y1
0
y3
0,59 6
4
2 1
4
4
x
Şekil 2.24
nu 1 2 3
Gx = Gx =
Jx1 =
x 2 7 12
64 x 2 + 24 x 7 + 48 x 12 64 + 24 + 48 64 x 8 + 24 x 14 + 48 x 10 64 + 24 + 48
bh
3
12
=
4 x12 3 12
y 8 14 10
F 64 24 48
ex 1,76 4,24 0,24
Ey 4,41 0,59 5,59
= 6 , 41 cm =
9 , 76 cm
= 1365,3cm
4
3 6 x 4 3 4 6 x 43 = = Jx 3 = bh cm = 32 cm 4 Jx 2 = 576 12 12 12 Jx − x = (1365,3 + 64 x1,762 ) + (32 + 24 x4,242 ) + (576 + 48 x0.242 ) = 2605,77cm4
Jx − x ex
Wx − x = Jy 1 =
hb 3
Jy 2 =
hb 3
12 12 hb 3
=
=
16 x 4 3 12
=
4 x63 12
12 x 4 3 12
2605 , 77 9 , 76
=
= 85 ,33 cm = 72 cm
266 , 93 cm
3
4
4
64 cm 4 Jy − y = (85,33 + 64 x 4,412 ) + (72 + 24 x0,59 2 ) + (64 + 48 x5,59 2 ) = 2974,27cm4 Jy 3 =
12
Wy − y =
=
Jy − y ey
=
=
2974 , 27 9 , 59
=
310 ,14 cm 3 37
4.
20,22
y
6 1
0 2
x2
2 x e 6 1
0
1 x e
y1
y2 ey1
8
14
3 e G3 x
x3
ey2
G1
x1
G2 G
0 2
y3
ey 3
x
20 Şekil 2.25
nu 1 2 3
Gx = Gx =
x 4 15 32
y 8 18 10
F 128 504 400
128 x 4 + 504 x 15 + 400 x 32 128 + 504 + 400 128 x 8 + 504 x 18 + 400 x 10 128 + 504 + 400
Jx − x =
8 x16 3 12
ex 5,65 4,35 3,65
ey 16,22 5,22 11,78
ex2 31,92 18,92 13,32
ey2 263 27,24 138,76
= 20 , 22 cm = 13 , 65 cm
+ 128 x31,92 +
14 x 36 3 12
+ 504 x18,92 +
20 4 12
+ 400 x13,32
4 Jx − x = 6816 , 42 + 6396 ,68 + 18661,33 = 89445 , 43cm
W x − x =
Jx − x ex
=
89445 , 43 22 , 35
J y − y =
hb 3
=
16 x 8 3 12
12
=
4002 , 03 cm 3
+ 128 x 263 +
+ 400 x138 , 76 = 125144 ,8 cm Wy − y =
Jy − y ey
=
125144 , 8 21 , 78
=
36 x 14 3 12
4
5745 ,8 cm 3 38
+ 504 x 27 , 24 +
20 4 12
KAYNAKLAR KAYNAKLAR Ø
AYKUTLU Ali, GÖNÜL Hasan,. Statik ve Yapı Hesapları, MEB Yayınlar ı, İstanbul 2001.
Ø
ARSLAN Mehmet, Cisimlerin Dayanımı, Arslan Basın Yayın, İstanbul 1998.
Ø
KARATAŞ Hasan, Prof. Dr. Mukavemet, İTÜ Mim. Fak. Yayınları, İstanbul 1984.
Ø
YILMAZ Yusuf, Yapı Öğrtm. Statik Ders Notları, İSOV. Yapı Mes. Lis, İstanbul 2001.
39
