´ ESCUELA POLITECNICA NACIONAL Ingenier Ingenie r´ ıa en ciencias cienci as Econ´ omicas omicas y Financieras Financi eras
SANTIAGO TITO
´ ESTRUCTURA ESTRUCTURA BASICA ASI CA DE LOS MODELOS MODELOS DE COLAS COLAS EJERCICIOS 17.2-3. 17.2-3. La tienda tienda de alimen alimentos tos Mom-an Mom-and-P d-Pop’s op’s tiene tiene un estaci estacionam onamien iento to peque˜ no con tres espacios espacios reserv reservados para los clientes. clientes. Si la tienda est´ a abierta abierta los autos llegan y usan un espacio con una tasa media de 2 por hora. Para n = 0, 1, 2, 3, la probabilidad P n de que haya exactamente n espacios ocupados es P 0 = 0,1, P 1 = 0,2, P 2 = 0,4, P 3 = 0,3. a)Describa la interpretaci´ on de este estacionamiento como un sistema de colas. En particuon lar,identifique los clientes y los servidores. ¿Cu´ al al es el servicio que se proporciona? ¿Qu´ e constituye el tiempo de servicio? ¿Cu´ al es la capacidad de la cola? al Un estacionam estacionamient ientoo como un sistema sistema de colas, colas, tiene como usuarios usuarios a los veh´ veh´ıculos ıculos y los servidores servidores son los espacios para aparcar. El tiempo de servicio es la cantidad de tiempo que un auto se encuentra aparcado. b) Determine las medidas de desempe˜ no n o b´ asicas: asicas: L, Lq , W y W q de este sistema de colas.
∞
L = n=0 n × P n L = 0 × (P 0 ) + 1 × (P 1 ) + 2 × (P 2 ) + 3 × (P 3 ) L = 0 × (0, 1) + 1 × (0, 2) + 2 × (0, 4) + 3 × (0, 3) = 1, 9
∞
Lq = n=s (n − s) × P n Lq = 0 No se esperan clientes en la fila, ya que en un estacionamiento no se hace fila por los espacios para
aparcar. L 1, 9 = = 0, 95 2 λ 0 Lq = =0 W q = λ 2 W =
c) Use los resultados de b) para determinar el tiempo promedio que un auto permanece en el espacio. W − W q = 0 , 95 − 0 = 0, 95horas es decir en promedio un auto permanece 57 minutos en un aparcamiento.
17.2-5. El Midtown Bank siempre tiene dos cajeras en servicio. Los clientes llegan a las cajas a una tasa media de 40 por hora. Una cajera requiere en promedio 2 minutos para servir a un cliente. Cuando ambas cajeras est´ an ocupadas, el cliente que llega se une a una cola y espera a an que lo atiendan. Por experiencia se sabe que los clientes esperan en la cola un promedio de 1 minuto antes de pasar a la caja. a) Describa Describ a por qu´ e´ este este es un sistema de l´ıneas de espera. esp era. Es un sistema sistema de l´ıneas ıneas de espera, espera, por que los clientes clientes son las personas que ingresan ingresan al banco a realizar realizar alg´ un un tipo de transacci´on on y los servidores son las personas que sen encuentran en las cajas, las cuales ayudan a los clientes con sus tr´amites. amites. A dem´as as para acceder a un servidor, los usuarios deben hacer fila para ser atendidos. b) Determine las medidas de desempe˜ no no b´ asic as icas as:: W q,W,LyLq de este sistema. (Sugerencia: No q,W,LyLq de se conocen las distribuciones de probabilidad de los tiempos entre llegadas y los tiempos entre servicio de este sistema de d e colas, por lo que ser´ a necesario usar las relaciones entre estas medidas de desempe˜ no para ayudarle a responder la pregunta.) no W q = 1min
1
w = W q +
1 µ
= 1 + 2 = 3 minutos
Lq = λ × W q = L = λ × W =
2 3
2 3
×
×
1 = 0, 6667 minutos
3 = 2 clientes
17.2-6. Explique por qu´ e el factor de utilizaci´ on ρ del u ´ nico servidor del sistema debe ser igual a 1 − P 0 , donde P 0 es la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema. El factor ρ debe ser igual a 1 − P 0 ya que ρ indica la fracci´on de tiempo que el servidor esta ocupado y este puede estar desocupado solo si no hay clientes en el sistema, ya que este cuenta solo con un servidor el cu´al tiene una probabilidad de P 0 de tener cero clientes en el sistema. Es decir ρ = 1 − P 0 .
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