Sajmon Sing - Fermaova Poslednja Teorema, 1. Pitagora

AOWb08J6qu10w Euqw

J

t60l6WOW

A9'1J8 89' q686t 6'oq!U9" JC1q9'86 blA!

bnr

8fJ8l60 89' E,6lW9'0U608tA9'l6U9" 19'J9'U9'b0J16 ! bl61'A9'l9'J9' rr blg:iT ~019' 16' W6qfJ+!W' fJA6~ 08t9'19'J9' W9'+!9JC1U9'6'9'q9'U19'!~ ~JfJp9' n ~OW6 86 0~fJbJ19'1fJbLOl68OL!bLOP!1'6W9'+!99'L! 8b6~fJH89'H ~O P! wo6'9'O ?t9' 19'qm'

bOU6JC1qP! 86 W9't6-

E,6lW9'OA01b08J6qu101 t6OL6W! 968j'O 86 bl!99'J9' fJS 99'1 qo~ 8fJ W9'W9't6W9'+!9~06' bLOPJ6W9" .L9'p6

bl!96 U!8fJ PH6 U60P!9U6' bl!99' 0

19'+! l6?6U16W E,6lW9'OA6b08J6qu16 t60l6W6'

8A6t8~! u9'1bo~u9'1'!1G6'

bO?t9' brsjco IUt6LU6t9' U9'6'OA6?t9'A9'J9' 16 qs «6 bl6q9'A9'U16 ~fJJW!U!A68t! 8fJ b096J6 qs 86 bLOIJ086 bl6tIJOqIJ06' q9'IJ9" EJ6HLOIJ8JC1 86 096~!A9'JOq9' «6 pm !8+!IJ8~!!81'0ln8~! qo6'9'Q9'1' 16 bl6~l!A9'J9' t9'PJII" 081'9'1'~ 16

pro rrr

p8tO JC108A6qo~ OIJOW6?1'0

W6A9'J9'rr bOl'bfJU08+! 6'fJ8l'fJW6?9'A!IJfJ6'l9~!P 8!WPOJ9'! 9'J6'6pl6 ~019' W9't6W9'+!99'l9' 86q6JO 16 fJ~096UO' 29'WO 96tAl+!IJ9' oq U1!p 16 19'~fJmJo 16 to U9'1A9'~IJn6W9'1'6W9'+!9~0bl6q9'A9'U16 A6JC1' DA6 81'0+!IJ6

sa: llJIJ

J883l

K6llJPL!q~

C'

H" H9'lq!

'\s(J),~()\)S\'~(J'\s'aS\''S(J ill(J ~t(J ~t() ().\S(J ill()*~ ill()*~

'S'\s(JI1.~t~'

~St~ ~ill~~'\s(J L~I1.\ (J\S fl~L()fl(Jt.\S() ill(Jt~ill(Jt~I1.(JL Sill(J

~t() )~'Ssc~ S\'ill~LS\'\(J ill(Jt~ill(Jt~I1.Y:~ ~q~)~ .\s~' 'fL\l'Sill~q(J

~~WP~J!IJJ qg

~ll OAq6

J !A

I!,EH'WVOAV b02rED111V

J,EOH'EWV

\"B~~illLt.\S()~t\

((~ ~~ ~~(((Jt~ Y:(Jq(J "R~\l'S\(J ~S\'qS\' 'S(J~()L(Jflm 'S(Jt()

afgf!~~

2

FERMAOVA POSLED

JA TEOREMA

Ovoga puta prica je bila drugacija, Jedan postdiplomac sa Kernbridza je toliko verovao u pricu da je bez daha otrcao u kladionicu da ulozi 10 funti za opkladu da ce Fermaova poslednja teorema biti resena u roku od sedam dana. Medutim, covek koji je primao uplate nesto je posumnjao i odbio je da prihvati njegov ulog. Ovo je bio peti student koji mu se obracao tog dana trazeci da se kladi na istu stvar. Fermaova poslednja teorema je zaokupljala najvece umove na planeti citava tri stoleca, pa su sada cak i kladionicari poceli da predosecaju da je na ivici resenja. Tri table su bile prepune racuna i predavanje je zastalo. Zatim je prva tabla bila obrisana i ponovo se otpocelo sa algebrom. Svaka linija matematike izgledala je kao jedan mali pomak ka resenju, ali posle trideset minuta predavanja predavac jos uvek nije bio objavio resenje. Profesori su bili stisnuti u prvim redovima nestrpljivo ocekujuci zakljucak. Studenti, koji su stajali pozadi, gledali su u starije ne bi li dobili neki znak 0 tome sta ce biti na kraju. Da li oni to prate kompletan dokaz Fermaove poslednje teoreme ili je predavac sarno priblizno predstavljao jedan nekompletan dokaz koji ce ih razocarati? Predavac je bio Endru Vajls, uzdrzani Englez koji je emigrirao u Ameriku 1980. i postao profesor na univerzitetu Prinston gde je zadobio reputaciju jednog od najtalentovanijih matematicara svoje generacije. Medutim, poslednjih godina nije se pojavljivao na godisnjim konferencijama i seminarima i kolege su pocele da smatraju da je sa Vajlsom gotovo. Nije bilo neobicno za briljantne mlade talente da pros to "izgore", kao sto je matematicar Alfred Adler primetio: "Maternaticki zivot matematicara je kratak. Rad retko napreduje posle dvadeset pete ili tridesete. Ako je malo do tada postignuto, uvek ce malo i biti postignuto." "Mladi ljudi bi trebalo da dokazuju teoreme, stari bi trebalo da pisu knjige", zapazio je G. H. Hardi u svojoj knjizi A Mathematician's Apology. " Nijedan matematicar nikada ne bi trebalo da zaboravi da je matematika, vise nego bilo koja druga nauka, igra

1. "Mislim da cu ovde stati"

3

mladih ljudi. Radi ilustracije, prosecne godine izabranih u Kraljevsko drustvo su najnize za matematicare." Njegov najbriljantniji student Srinivasa Ramanujan izabran je u Kraljevsko drustvo u svojoj trideset prvoj godini, napravivsi seriju otkrica u mladosti. Uprkos tome sto je formalno bio slabo obrazovan u rodnom selu Kumbakonam u juznoj Indiji, Ramanujan je mogao da kreira teoreme i resenja koja su izmakla matematicarima na Zapadu. U matematici, iskustvo koje dolazi sa godinama izgleda da je manje vazno nego intuicija i smelost koje ima mladost. Kada je poslao svoje rezultate Hardiju, profesor sa Kembridza je bio toliko impresioniran da ga je pozvao da napusti posao nizeg cinovnika koji je imao u juznoj Indiji i da pohada Triniti Koledz, gde je mogao da bude u kontaktu sa nekim od vodecih svetskih naucnika u teoriji brojeva. Nazalost, ostre zime istocne Engleske nisu bile dobre za Ramanujana. Dobio je tuberkulozu i umro u trideset trecoj godini. I drugi maternaticari su imali podjednako briljantne ali kratke karijere. Norvezanin iz devetnaestog veka Nils Henrik Abel dao je svoj najveci doprinos matematici sa devetnaest godina i umro je u s~romastvu, sarno osam godina kasnije, takode od tuberkuloze. Sarl Ermit je za Abela rekao: "Ostavio je matematicarima nesto sto ce ih drzati zaposlenima sledecih pet stotina godina" i zaista je istina da Abelova otkrica jos uvek imaju snazan uticaj ~a danasnje matematicare iz oblasti teorije brojeva. Abelov podjednako talentovan savremenik Evarist Galoa je takode napravio svoj proboj kao mladic i umro sa sarno dvadeset jednom godinom. Ovim primerima nismo imali nameru da pokazemo da mate~a~icari umiru prerano i tragicno nego da su njihove najdublje idejs zacets jos dok su mladi i, kako je Hardi jednom rekao: "Ja ne z~am za primer nekog znacajnog matematickog otkrica koje je dao covek posle pedesete." Srednjovekovni matematicari cesto su s~ p.o:,laCili i provodili svoje preostale godine u poducavanju drugih III obavljanju administrativnih poslova radije nego da nastave

4

FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA

da se bave naukom. U slucaju Endrua Vajlsa nista ne bi moglo biti dalje od istine. Iako je dostigao starije doba - cetrdesete godine, proveo je poslednjih sedam godina radeci u kompletnoj tajnosti, pokusavajuci da resi najveci problem matematike. I dok su drugi pretpostavljali da je njegovo proslo, Vajls je napravio izvanredne pomake otkrivsi nove tehnike i alate koje je sada bio u stanju da prikaze. Njegova odluka da radi u apsolutnoj izolaciji bila je strategija visokog rizika i bez presedana u istoriji matematike. Bez otkrica koje bi se moglo patentirati, maternaticki fakultet svakog univerziteta je zapravo najmanje tajanstven. Ponosi se otvorenom i slobodnom razmenom ideja, a pauze za caj su pretvorene u dnevne rituale gde se, uz keks i Erl Grej, razmenjuju i diskutuju nove ideje. Kao rezultat toga, veoma je cesta pojava da se i radovi objavljuju od strane vise koautora ili Citavog tima matematicara, pri cemu se i slava deli na jednake delove. Medutim, ako bi profesor Vajls zaista otkrio kompletan i tacan dokaz Fermaove poslednje teoreme, onda bi najpozeljnija nagrada u istoriji matematike bila njegova i samo njegova. Cena koju je morao da plati zbog rada u tajnosti je ta sto je, prethodno ne proverivsi i ne razmotrivsi ni jednu od svojih ideja sa ostalim matematicarima, postojala velika sansa da je napravio fundamentalnu gresku. Vajls je zeleo da posveti vise vremena svom radu sto bi mu omogucilo da potpuno proveri svoju finalnu verziju. Ali, tada se pojavila jedinstvena prilika da se rad obelodani u Institutu Isak Njutn u Kembridzu, tako da je odustao od opreznosti. Jedini cilj postojanja ovog instituta je da okupi na jednom mestu najvece svetske umove na nekoliko nedelja da bi odrzali seminare u vezi sa najaktuelnijim naucnim istrazivanjima. Dislocirana od univerziteta, podalje od studenata i ostalih uznemiravanja, zgrada . instituta je specijalno dizajnirana da pcdstice akademike da se koncentrisu na saradnju i "brain storming". Ne postoje "slepi" hodnici za skrivanje, a sve prostorije gledaju na centralnu salu za okupljanje. Ideja je u tome da matematicari provode najveci

1. "Mislim da

cu

ovde stati"

5

deo vremena u ovom otvorenom prostoru i podstaknuti su da ne zatvaraju vrata svojih kancelarija. Saradnja je moguca prakticno na svakom mestu u institutu - cak i lift, koji putuje samo tri sprata, ima ugradenu tablu za pisanje. U stvari, svaka prostorija u zgradi ima bar jednu tablu, a to vazi i za toalet. Ovom prilikom je seminar u Institutu Isak Njutn bio pod naslovom "L-funkcije i aritmetika". Svi najpoznatiji svetski matematicari koji se bave teorijom brojeva sastali su se da bi diskutovali probleme vezane za ovu visoko specijalizovanu oblast ciste matematike, ali je jedino Vajls shvatio da L-funkcije mogu sadrzati kljuc za resenje Fermaove poslednje teoreme. I mada je bio privucen sansorn da otkrije svoj rad takvoj eminentnoj publici, glavni razlog za objavljivanje rada u Institutu Isak Njutn bio je taj sto je institut u njegovom rodnom gradu, Kernbridzu. To je mesto u kome je Vajls roden, gde je odrastao i razvio svoju strast za brojevima, a u Kembridzu se i susreo sa problemom koji ce dominirati ostatkom njegovog zivota. Poslednji problem Kada je imao deset godina, 1963. godine, Endru Vajls je vec bio fasciniran matematikom. "Obozavao sam da resavam probleme u s~oli; poneo bih ih kuci i pravio sopstvene probleme. Ali najb?IJ~ problem koji sam ikad nasao, otkrio sam u svojoj lokalnoj blbhoteci" . Jednog dana, dok se vracao kuci iz skole, mladi Vajls je odlucio da poseti biblioteku u ulici Milton. Bila je siromasnija od biblioteka na koledzu, ali je uprkos tome imala sjajnu kolekciju knjiga sa zag?netkama i problemima, a to je upravo bilo ono sto je cesto privlac~l~ Endruovu paznju. Ove knjige su bile prepune svakojakih na_uc~lh problema i matematickih zagonetaka i za svako pitanje re~enJe bi postojalo negde na nekoliko poslednjih stranica knjige. Ali, ovog puta, Endru je bio privucen knjigom .koja je u sebi imala

6


sarno jedan problem, ali ne i resenje. Bila je to knjiga Poslednji problem Erika Templa Bela, istorija matematickog problema koji ima svoj koren u antickoj Crckoj, ali koji je dostigao svoju "zrelost" u sedamnaestom veku. Bilo je to tada kada je veliki francuski maternaticar Pjer de Ferma nenamerno postavio problem kao izazov ostatku sveta. Jedan za drugim, veliki maternaticari bivali su osramoceni Fermaovom zaostavstinom i za trista godina niko nije uspeo da resi problem. Postoji jos neresenih pitanja u matematici, ali ono sto cini Fermaov problem izuzetnim je njegova jadnostavnost koja zavarava. Trideset godina posle prvog citanja Belove knjige, Vajls mi je ispricao kako se osecao u trenutku kada se upoznavao sa Fermaovom poslednjom teoremom: "Izgledalaje tako jednostavna, pa ipak svi veliki matematicari u istoriji nisu mogli da je dokazu. Tu je stajao problem koji i ja, desetogodisnjak, mogu da razumem i znao sam da ga od tog trenutka necu pustiti. Morao sam da ga resim" . Problem je izgledao vrlo jednostavno zato sto je baziran na jednom delu matematike koje se svako moze podsetiti, Pitagorinoj teoremi: U pravouglom trouglu, to zna svako dete, kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad obe katete. Zahvaljujuci ovoj Pitagorinoj jednostavnoj "pesmici", teorema se urezala u milione ako ne i u milijarde ljudskih mozgova. To je osnovna teorema koju i svako naivno skolsko dete mora da nauci. Ali, uprkos cinjenici da je moze razumeti i desetogodisnjak, Pitagorina kreacija je bila inspiracija za problem koji je frustrirao najvece rnatematicke umove tokom istorije. Pitagora sa Samosa je bio jedan od najuticajnijih umova u matematici, ali i veoma misteriozna licnost. Posto ne postoje spisi 'iz prve ruke' njegov zivot i rad su obavijeni mitom i legendom, ucinivsi tako teskocu istoricarima da razdvoje cinjenice od fikcije. Ono sto je izvesno je to da je Pitagora razvio ideju numericke 10-. gike i da mu pripadaju zasluge za prvu zlatnu eru matematike. Za-


7

hvaljujuCi njegovom geniju, brojevi nisu vise bili korisceni sarno za prebrojavanje i racunanje, nego su postali postovani sami za sebe. On je proucavao osobine pojedinih brojeva, odnose medu njima, kao i pravila koja oni formiraju. Shvatio je da brojevi postoje nezavisno od opipljivog sveta, te da zbog toga njihovo proucavanje ostaje nezaprljano greskama percepcije. Ovo je znacilo da je bio u stanju da otkrije istine koje su bile nezavisne od rnisljenja ili predubedenja i koje su bile 'apsolutnije' od bilo kakvog prethodnog znanja. ZiveCi u sestom veku p.n.e. Pitagora je stekao svoje matematicko umece na putovanjima kroz anticki svet. Pojedine price govore da je putovao cak do Indije i Britanje, ali ono sto je vise verovatno je da je sakupio puno matematickih tehnika i alatki od Egipcana i Vavilonaca. Oba ova anticka naroda bila su otisla preko granica pros tog brojanja i bili su sposobni da izvode slozene racune, koji su im omogucavali da kreiraju sofisticirani sistem knjigovodstva i da grade mocne gradevine. U stvari, oni su videli matematiku sarno kao alat za resavanje prakticnih problema; motiv za otkrice nekih od bazicnih pravila geometrije je bio da se omoguci rekonstrukcija meda izmedu njiva koje su se gubile svake godine zbog poplava usled izlivanja Nila. Sarna rec geometrija znaci 'meriti zemlju'. Pitagoraje primetio da Egipcani i Vavilonci obavljaju racun u obliku recepta koji se mogao slepo slediti. Ovi recepti, koji su se prenosili sa kolena na koleno, uvek su davali tacan rezultat tako da se ~iko nije zamarao razrnisljanjem 0 njima ili istrazivanjern logike koja stoji iza jednacina. Ono sto je bilo vazno za ove civilizacije je to da je racun funkcionisao, a kako, bilo je nevazno. Posle dvadeset godina putovanja Pitagora je asimilovao sva ~atematicka pravila koja su postojala u poznatom svetu. Zatim je okrenuo jedra prema svom rodnom ostrvu Samosu u Egejskom moru sa namerom da osnuje skolu posvecenu studiranju filozofije, sa posebnim interesom za istrazivanje upravo prikupljenih mate-

8


rnatickih znanja. Zeleo je da razume brojeve, a ne sarno da ih koristi. Ponadao se da ce pronaci puno slobodoumnih studenata koji bi mu mogli pornoci da razvije radikalno nove filozofije, ali, u njegovom odsustvu, tiranin Polikrat je pretvorio nekada liberalni Samos u netolerantno i konzervativno drustvo. Polikrat je pozvao Pitagoru da se prikljuci njegovom dvoru, ali filozof je na vreme shvatio da se radi 0 postupku kroz koji ce biti utisan i odbio je takvu cast. Umesto toga napusta grad i odlazi u pecinu na udaljenom kraju ostrva, gde je mogao da razrnislja bez straha od kazne. Pitagora, medutim, nije uzivao u izolaeiji pa na kraju dovodi jednog mladica da mu bude prvi ucenik. Identitet mladica je nepoznat, ali neki istoricari misle da se i on zvao Pitagora i da je kasnije stekao slavu time sto je prvi savetovao atletama da jedu meso da bi poboljsali svoju anatomiju. Pitagora, ucitelj, placao je svom studentu tri obola za svaki cas koji je pohadao i primetio je da se, kako su nedelje odmieale, mladiceva ne prevelika zelja za ucenjem trasformisala u entuzijazam za znanjem. Da bi isprobao svog studenta Pitagora se pretvarao da vise ne moze da placa i da ce zbog toga poducavanje morati da prestane, ali je tada niladic rekao da bi radije placao za svoje obrazovanje nego da se ono zavrsi. Ucenik je postao njegov sledbenik. Nazalost, ovo je bio njegov jedini uspeh na Samosu. Doduse, uspeo je da privremeno osnuje skolu, poznatu kao Pitagorin polukrug, ali su njegovi pogledi na drustvene reforme bili neprihvatljivi i bio je primoran da napusti koloniju zajedno sa majkom i jedinim sledbenikom. Pitagora zatim odlazi u juznu Italiju, koja je tada bila deo Velike Grcke i nastanjuje se u Krotonu, gde je imao srece da nade patrona u Milu, najbogatijem coveku u Krotonu i jednom od najsnaznijih ljudi u istoriji. I mada se Pitagorina reputaeija filozofa sa Samosa vec bila prosirila po citavoj Grckoj, Milova slava je bila jos veca, Milo je bio covek herkulovskih proporeija, koji je bio sam pion Olimpijskih i Pitijskih igara rekordnih dvanaest

1. "Mislim da

cu

ovde stet!'

9

puta. Osirn svoje atletike Milo je takode voleo i studirao filozofiju i matematiku. On je odvojio deo kuce i obezbedio Pitagori dovoljno prostora da osnuje skolu. Tako su najkreativnija glava i najsnaznije tela formirali savez. Obezbeden u svom novom domu, Pitagora je osnovao Pitago- . rejsko bratstvo, grupu od sest stotina sledbenika, koji nisu samo bili sposobni da shvate njegovo ucenje vec i da ga nadograde novim idejama i dokazima. Po ulasku u Bratstvo svaki clan je morao da preda sve sto poseduje zajednickom fondu i ako bi neko ikada otisao iz Bratstva, primio bi dvostruki ulog od pocetnog, a takode bi mu bio podignut i spomenik u znak secanja, Bratstvo je bilo egalitarna skola i imala je u svojim redovima i nekoliko sestara. Pitagorin omiljeni student bila je Milova cerka, prelepa Teano, kojom se, uprkos razliei u godinama, na kraju i ozenio. Odmah posto je osnovao Bratstvo Pitagora je skovao rec "filozof" i uradivsi to definisao je eiljeve skole. Dok je bio na Olimpijskim igrama, Leon, prine od Fliusa, pitao je Pitagoru kako bi opisao samog sebe. Pitagora je rekao: "Ja sam filozof", ali posto I:eon nije do tada cuo za tu rec, trazio je objasnjenje. Zivot se, prince Leone, moie uporediti sa ovim igmma zato sto u gomili koja se ovde okupila, neki su priuuceni sakupljanjem poena, a drugi nadom i ambicijama za slavom i uspehom. Ali medu nJzma postoji samo nekolicina koja je dosla da posmatm i da proba da mzume sve sto se ovde doqtula. I sto je i. u iiuotu. N eki su pod uticajem ljubavi za bogatstvom, dok su dru?z slepo uodeni ludom groznicom za moci i dominacijom, ~ok se najfiniji tip iioueka predaje otkrivanju smisla i cilja samog zzvota. On poku§ava da otkrije tajne prirode. Takvog coueka ja zovem filozofom i mada ne postoji couek. koji je mudar u svakom pogledu, on zna ceniti mudrost kao kljuc za prirodne tajne. M~~a su mnogi bili svesni Pitagorinih aspiraeija niko van Bratstva nije znao d t 1· ·1· . njegovog . . e a je 1 1 gramee uspeha. Svaki clan skole je morao da se zakune da nikada nece otkriti spoljasnjem svetu

10


ni jedno od njihovih matematickih otkrica. Oak i posle Pitagorine smrti, jedan clan Bratstva je udavljen zbog krsenja zakletve on je javno objavio otkrice novog geometrijskog tela dodekaedra, konstruisanog od dvanaest pravilnih petouglova. Tajanstvenost Pitagorejskog bratstva je jedan od razloga zbog kojeg su se ispredali mitovi u vezi sa cudnim ritualima koje su oni mozda sprovodili, a slicno tome, ostalo je i malo pouzdanih izvora 0 njihovim maternatickim dostignuCima. Ono sto se sigurno zna je da je Pitagora ustanovio etos koji je promenio kurs matematike. Bratstvo je prakticno bilo religijska zajednica i jedan od idola koje su oni obozavali bio je Broj. Razumevsi relacije izrnedu brojeva, verovali su da mogu otkriti duhovne tajne univerzuma i pribliziti sebe bogovima. Bratstvo je posebno usmeravalo paznju na proucavanje brojeva koji sluze za prebrojavanje (1,2,3···) i njihovih delova (razlomaka). Ovi brojevi za prebrojavanje se nazivaju celi brojevi i zajedno sa razlomcima (odnosima celih brojeva) cine racionalne brojeve. Medu svim brojevima Bratstvo je trazilo one sa specijalnim znacenjem, a najinteresantniji medu njima su se zvali "savrseni" brojevi. Prema Pitagori, savrsenost broja je zavisila od njegovih delilaca (to su brojevi koji bez ostatka dele pocetni broj). Na primer, delioci broja 12 su 1, 2, 3, 4 i 6. Kada je zbir delilaca broja veCi od samog broja, on se naziva "ekscesivan" broj. Stoga, 12 je ekscesivan broj, jer je suma njegovih delilaca 16. S druge strane, kada je suma delilaca nekog broja manja od samog broja, takav broj se naziva "defektan". Tako je 10 defektan broj, jer je zbir njegovih delilaca (1, 2 i 5) samo 8. Najznacajniji i najredi su oni brojevi Ciji zbir delilaca daje tacno taj broj i oni se nazivaju "savrseni" brojevi. Broj 6 [ma delioce 1, 2 i 3 te je zbog toga savrsen broj, jer je 1 + 2 + 3 :::::6. Sledeci savrsen broj je 28, zato sto je 1 + 2 + 4 + 7 + 14 :::::28. Osim sto je imala maternaticki znacaj za Bratstvo, savrsenost brojeva 6 i 28 je bila priznata i od drugih kultura koje su primetile

11

1. "Mislim da CU ovde stati"

da Mesec obide oko Zemlje za 28 dana i koje su smatrale da je Bog stvorio svet za 6 dana. U Boijem gradu, sveti Avgustin je dokazivao da, madaje Bog mogao da stvori svet odjednom, odlucio je da to uradi za sest dana da bi kroz to reflektovao savrsenost univerzuma. Sveti Avgustin je primetio da sest nije savrsen broj zato sto ga je Bog odabr:ao, vec zato sto je savrsenost inherentna samoj prirodi broja 6: "Sest je broj savrsen za sebe, ne zato sto je Bog stvorio svet za sest dana; pre je obrnuto istina. Bog je stvorio svet za sest dana zato sto je to savrsen broj. I ostao bi savrsen cak i da ceo posao od sest dana nije postojao." Kako celi brojevi postaju veci, postaje sve teze naci savrsene ~~oje~:. TreCi savrsen broj je 496, cetvrti je 8128, peti je 33 550 336 1.sesti Je. 8589869056. Osim sto predstavljaju zbir sopstvenih del~laca, P1~agora je primetio da svi savrseni brojevi poseduju nekohko drug1.h .eleg~ntnih osobina. Na primer, savrseni brojevi uvek predstavljaju zbir nekoliko uzastopnih celih brojeva. Tako imamo:

6=1+2+3 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +

+ 30 + 31 + 126 + 127

Pitagora se zaba li _. . ro ti k . v jao savrsenim brojevima, ali nije bio zadovoljan P S im sa upljanj ih ... je da tkrii .. jem OV1 .spec1Jallllh brojeva; umesto toga zeleo je bilao dar~J: nJ1h~vo dublje znacenje. Jedna od njegovih ideja Brojevi 4 (J :;)rsenost usko povezana sa urnnoskom broja dva. 2 kao stepeni d ik 8 x 2 x 2), 16 (2 x 2 x 2 x 2) itd. su poznati broj dvoJ.k. kV?J e 1 mogu se napisati kao 2n, gde n predstavlja 1 oje se mnoza S·· ... zato sto je zbir nf . .. VI OV1stepeni dvojke lllSU savrseni, njihovih delilaca uvek za jedan manji od samog

P


12

broja.

avo ih cini sarno pomalo defektnim:

22 = 2 x 2 = 4

delioci 1,2

zbir

23 = 2 x 2 x 2 = 8

delioci 1,2,4

zbir

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

delioci 1,2,4,8

zbir

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

delioci 1,2,4,8,16

zbir

= = = =

3 7 15 31

Dva veka kasnije Euklid ce fino uobliciti Pitagorinu vezu izmedu ovakvih brojeva i savrsenosti. Euklid je otkrio da su savrseni brojevi uvek proizvod dva broja, od kojih je jedan step en dvojke, a drugi sledeci stepen dvojke minus 1. Tako imamo,

6 = 21 28 496

= =

X

(22 - 1)

22 x (23

-

1)

5 -

1)

-

1)

24 x (2 8128 = 26 x (27

Danasnji kompjuteri su nastavili sa trazenjem pronalaze tako ogromne prim ere kao sto je

savrsenih brojeva i

2216090 x (2216091 - 1) broj sa preko 130000 cifara, koji zadovoljava Euklidovo pravilo . Pitagora je bio fasciniran bogatstvom formula i osobina koje su imali savrseni brojevi i postovao je njihovu suptilnost i skrivenu logiku. Na prvi pogled, savrsenost je relativno prost koncept za razumevanje, pa ipak anticki Grci nisu uspeli da razumeju neke od fundamentalnih momenata teme. Na primer, mada ima pu~~ brojeva ciji je zbir delilaca za jedan manji od samog broja, l.ll da kazemo - sarno su pomalo defektni, izgleda kao da ne postoje brojevi koji bi bili pomalo ekscesivni. Grci nisu bili u stanju da pronadu ni jedan broj cija je suma delilaca za jedan veca od samog broja i nisu mogli da objasne zasto je to tako. Jos gore,

-

, 1. "Mislim da ell

Oilde

s t a,ti" 1

-----

13

. ko nisu uspeli da pronadu pomalo ekscesivne brojeve, nisu mol~i da dokazu da takvi brojevi ne postoje. Misljenje da navodno ne gostojc pomalo ekscesivni brojevi nije imalo nikakvog prakticnog ~nacaja; bez obzira na to, bio je to problem koji je mogaoda osvctli prirodu brojeva i stoga je bilo vredno studirati ga. Takve zagonetke su zanimale Pitagorejsko bratstvo, a dye i po hiljade godina kasnijc, maternaticari jos uvek ne mogu da dokazu da pomalo ekscesivni brojevi ne postoje. Sve je broj Pored proucavanja relacija ruedu brojevima Pitagoru je takode zanimala veza izmedu brojevai prirode. On je shvatao da su prirodne pojave odredene zakonima, a da ti zakoni mogu biti opisani matematickim jednacinarna. Jedna od prvih veza koju je otkrio bila je fundamentalna relacija izmedu harmonije u muzici i harmonije brojeva. Najvazniji instrument u ranoj helenskoj muzici bio je tetrakord ili lira sa. cetiri zice. Jos pre Pitagore muzicari su cenili te posebne tonove koji, kada zvuce zajedno, stvaraju prijatan utisak i podesavali su lire tako da trzanje dye zice generise takvu harmoniju. Medutim, rani muzicari nisu shvatili zasto su odredene note harmonicno i nisu imali objektivan sistem za stimovanje svojilt instrumenata. ani su podesavali svoje lire prosto culom sluha sve dok se stanje harmonije ne bi uspostavilo - to je bio proces koji je Platan nazivao tortura kljuceva. Jarnblikus, uceni covek iz cetvrtog veka, koji je napisao devet knjiga 0 Pitagorinoj sekti, opisu.i(~ kako je Pitagora dosao do otkrica principa na kojem je Pociv:~la hiHlnOnija u muzici: Jednom je bio potpuno obuzet mzmisljanjem 0 tome kako da pronaue rnehanicko pomagalo za cu!o sluha, koje bi bilo i pouzdano ; pa1netno. smisljeno. Takvo pomagalo bilo bi slicno sestarima, enJznrna z opiickim instrumentima napravljenim za iiulo vida.

14

FERMAOVA

POSLEDNJA

TEOREMA

Culo dodim je vee imalo vage i koncept teiine i mere. Imajuci neku boiansku sreeu on je slucajno prolazeci pored mdionice nekog kooaca, CUO kako cekiei udamju po gvoiau proizoodeci mznovrsni sklad odjeka, osim u slucaju jedne kombinacije zvukova. Sudeci po Jamblikusu, Pitagora je istog trenutka utrcao u kovacnicu da bi proucio harmoniju cekica, Primetio je da vecina cekica moze udarajuci simultano da proizvodi harrnonican zvuk, dok je bilo koja kombinacija, koja je ukljucivala jedan odredeni cekic, uvek generisala neprijatnu buku. On je analizirao cekice i shvatio da oni koji zvuce harrnonicno imaju prostu matematicku relaciju - kolicnici njihovih masa su bili prosti razlomci. To bi znacilo da su cekici polovine, dye trecine ili tri cetvrtine tezine odredenog cekica zajedno proizvodili harrnonicne zvuke. S druge strane, cekic koji je generisao disharmoniju, kada je udarao zajedno sa bilo kojim drugim cekicem, imao je tezinu koja nije zadovoljavala prostu relaciju prema drugim masama. Pitagora je otkrio da jednostavni numericki odnosi imaju zaslugu za harmoniju u muzici. Naucnici malo osporavaju tacnost J amblikusove price, ali ono sto je vise izvesno je to kako je Pitagora primenio svoju novu teoriju odnosa u muzici na liru, proucavajuci osobine pojedinih zica. Prostim trzajem zice generise se standardni ton koji se proizvodi celom duzinom zice. Ako se zica fiksira na odredenom mestu moguce je generisati druge vibracije i tonove, kao sto je ilustrovano na slici 1. I sto je od najveceg znacaja, harrnonicni tonovi se pojavljuju na tacno odredenim mestima. Na primer, fiksirajuci zicu na mestu koje je tacno polovina duzine, a zatim trzanjem zice, generise se ton koji je za oktavu visi i koji je u harmoniji sa originalnim tonom. Slicno tome, fiksirajuCi zicu na mestima koja su tacno trecina, cetvrtina ili petina duzine, proizvode se drugi harrnonicni tonovi. Medutim, fiksirajuci zicu na mestu koje nije prost a frakcija duzine cele zice, generise se ton koji nije u harmoniji sa ostalim tonovima. Pitagora je prvi otkrio matematicki zakon koji je odredivao


15

Slika 1: Otvor •. ko i . . s •. . ena zica oja slobodno vibrira generise osnovni ton. Ako e Zica fikslra tac I'" vis' . cno na po ovim duzine, ton koji se generise je za oktavu II u harmoniJ'i sa " I' bit'. ongma rum tonom. Ostali harrnonicni tonovi mogu I genensani pom . 'k . . prost f' .. eranjem tac e fiksiranja na druge pozicije, koje su e rakcIJe (na pri ",. . primer trecina, cetvrtma, petma) duzine cele zice.

16


fizicki fen omen i demonstrirao postojanje fundamentalne relacije izmedu matematike i nauke. Od ovog otkrica, naucnici su tragali za matematickim zakonima koji su odredivali svaki ponaosob fizicki proces i pronalazili da se brojevi na razne nacine i iznenada pojavljuju u prirodnim fenomenima. Na primer, pokazuje se da jedan odreden broj karakterise duzine meandrirajucih reka. Profesor Hans Henrik Stolum, geograf sa Univerziteta u Kembridzu, izracunao je odnos izrnedu stvarne duzine reka od izvora do usca i direktne duzine u vazdusnoj liniji. I mada taj odnos varira od reke do reke, prosecna vrednost je nesto malo veca od 3, sto ce reci da je prava duzina otprilike tri puta veca od direktne duzine. U stvari, taj odnos je priblizno 3.14, sto je blisko vrednosti broja it , odnosu obima kruznice i njenog precnika. Broj 7r je originalno izveden iz geometrije krugova, a ipak se pojavljuje stalno i nanovo u raznim naucnim okolnostima. U slucaju odnosa recnih duzina, pojava broja 7r je rezultatat bitke izrnedu reda i haosa. Ajnstajn je prvi primetio da reke imaju tendenciju ka sve vecern krivudanju zato sto mala krivina stvara brze struje na spoljasnjim obodima, a ovo dalje vodi ka vecoj eroziji i ostrijim krivinama. Sto je ostrija krivina, to su brze struje na spoljasnjim obodima reke, vece su erozije, reka vise zaokrece i tako dalje. Medutim, postoji prirodan proces koji umanjuje haos: povecanje krivudanja ce dovesti do priblizavanja dye krivine i, praktic~o: do kratkog spajanja. Reka ce postati pravija i krivina ce bltl ostavljena na jednoj strani, forrnirajuci jezero u obliku slova U. Ravnoteza izrnedu ova dva suprotna faktora vodi ka prosecnom odnosu 7r izrnedu stvarne duzine i direktnog rastojanja od izvora do usca. Odnos 7r se najcesce nalazi kod reka koje teku preko ravnica kao sto su one u Brazilu ili sibirskim tundrama. Pitagora je shvatao da su brojevi skriveni u svemu, od harmo-

'.'s:,e

nija u muzici do orbit a planeta i ovo ga je navelo da objavi: je broj". Istrazujuci smisao matematike, Pitagora je razvijao jezl~ koji bi omogucio njemu samom, a i drugima da opisu prirodu unl-

1. "Mislim de GU ovde stati"

17

verzuma. Od tada naovamo, svaki proboj u matematici davao je naucnicima recnik koji im je bio potreban da bolje objasne pojave aka sebe. U stvari, razvoj matematike je inspirisao revolucije u nauci Osim sto je otkrio zakon gravitacije, Isak Njutn je bio i mocan matematicar. Njegov najveci doprinos matematici bio je pronalazak diferencijalnog i integralnog racuna, ciji su jezik fizicari kasnije koristili da bi bolje objasnili zakone gravitacije i pri resavanju gravitacionih problema. Njutnova klasicna teorija gravitacije netaknuta j~ prezivela vekove sve dok nije bila zamenjena Ajnstajnovom opstorn teorijom relativnosti, koja je razvila detaljnije i alternativno objasnjenje gravitacije. Ostvarenje Ajnstajnovih ideja bilo je ornoguceno novim matematickim konceptima, koji su mu obezbedili finiji jezik za njegove slozene naucne misli. Danas je objasnjenje gravitacije ponovo pod uticajem novih dostignuca u matematici. Vrlo sveza kvantna teorija gravitacije povezana je sa razvojem rnatematickih struna, teorije u kojoj geometrijske i toploske karakteristike supljeg cilindra izgleda da najbolje objasnjavajn sile prirode. Od svih veza izrnedu brojeva i prirode, koje su studirali clanovi Br~tstva, najvaznija je relacija koja nosi irne svog tvorca. Pitagorma teorema nam daje jednakost koja vazi za sve pravougle trouglove i koja, stoga, definise i sam pray ugao. Zauzvrat, pray ugao definis« pojam 'perpendikularnosti', tj. relacije vertikalnog prema ~orizontalnom i, napokon, relaciju izrnedu tri dimenzije ~a~a bhskog univerzuma. Maternatika, pomocu pravog ugla, delllse neposrednu strukturu prostora u kome zivimo. To je veorna duboko saznanje, a ipak matematika potrebna da ~: shvati Pitagorina teorema je relativno jednostavna. Da bi se zkumela, prosto treba poceti merenjem duzine dye krace strane ne og drate p~avo2uglog trougla (x i y), zatim izracunati njihove kvakr .. ~x , y ). Tada sabrati ove brojeve (x2 + y2) da bi se dobio aJnJl b . . rOJ' Ako pronadete ovaj broj za trougao prikazan na

V

? \..A

J

V


18

1. "Mislim de. CU ovde steti'

19 +»

sliei 2, odgovor je 25.

z

y

x x=3, y=4, z=5 X2+ y2=z2

9+16=25 Slika 2: Za: sve pravougle trouglove vazi Pitagorina

teorema.

Sada mozete izmeriti najduzu stranieu z, takozvanu hipotenuzu, i izracunati kvadrat ove duzine. Upecatljiv rezultat je taj sto je ovaj broj z2 identican onom kojeg ste upravo izracunali, tj. 52 = 25. To se moze iskazati ovako:

koji mozete zamisliti. To je univerzalni zakon matematike i mozete se osloniti na njega kad god naiciete na trougao sa pravim uglom. I obratno, ako imate trougao koji zadovoljava Pitagorinu teoremu, mozete biti potpuno sigurni da je to pravougli trougao. Na ovom mestu potrebno je zapaziti da je ova teorema, mada ce zauvek biti povezana sa Pitagorom, zapravo bila koriscena od strane Kineza i Vavilonaea hiljadu godina ranije. Meciutim, ove kulture nisu znale da je ova teorema istinita za svaki pravougli trougao. Bila je sigurno istinita za trouglove koje su oni testirali, ali nisu imali nacina da pokazu da je istinita za sve pravougle trouglove koje nisu testirali. Razlog sto Pitagora ima pravo na teoremu je taj sto je on bio prvi koji je demonstrirao univerzalnost ove istine. Ali kako je Pitagora znao da je teorema istinita za sve pravougle trouglove? Nije mogao ni da se nada da moze testirati besk?~acno mnogo vrsta pravouglih trouglova, a jos uvek je mogao biti sto proeenata siguran da je teorema apsolutna istina. Razlog ovo~ samopouzdanju lezi u koneeptu matematickog dokaza. Tra~anJe za ~~~ematicki:n dokaz~m je traganje za znanjem koje je ~ps~lutn!Je od znanja nagornilanog od strane bilo koje druge discipline. Zelja za dostizanjem univerzalne istine metodom dokaza Je o.no sto je pokretalo matematicare poslednje dye i po hiljade godma.

:=J

Apsolutni dokaz U pravouglom trouglu, kvadrat nad hipotenuzom nak je zbiru kvadrata nad ostale dye straniee.

jed-

Ili drugim recima (bolje receno simbolima): X2

+ y2 = z2

.

O Ovo je svakako slucaj za trougao na sliei 2, ali ono sto je znacajn aO je to da je Pitagorina teorema istinita za svaki pravougli troug

Prica 0 Fermao' Id . . zorn k .. vo~ pos e njoj teoremi vrti se oko traganja za dokaod k OJI nedostaJe. Matematicki dokaz je daleko mocniji i strozi oneepta dokaza ko i . bic .. ziku ili c k OJI mi 0 icno koristimo u svakodnevnom jeRazlika ~ od koneepta dokaza po shvatanju fizicara ili hernicara, iZmeciu na -. . duboka' d i uenog I matematickog dokaza je i suptilna i 10 IZuzetne t" tematicar d Pi vaznos I je za razumevanje rada svakog rnaa 0 Pltagore naovamo.

20

-


Klasicni maternaticki dokaz pocinje serijom aksioma, postavki za koje se pretpostavlja da su istinite ili su same po sebi oCigledne. Tada, dajuci logicke argumente, korak po korak, moguce je doCi do zakljucka. Ako su aksiome tacne i ako je logika ispravna, tada ce zakljucak biti nesporan. Ovaj zakljucak se naziva teorema. Matematicke teoreme se oslanjaju na ovaj logicki proces i iednomdokazane ostaju istinite zauvek. Matematicki dokazi su apsolutni. Da bi se uocila vrednost takvih dokaza, trebalo bi ih uporediti sa njihovim siromasnim rodakom naucnim dokazom. U nauci se predlozi hipoteza koja objasnjava fizicku pojavu. Ako se opservacije pojave dobro slazu sa hipotezom, ovo postaje dokaz u korist hipoteze. Dalje, hipoteza ne mora samo objasnjavati poznatu pojavu, vec moze predvidati rezultat neke druge pojave. Mogu se izvesti eksperimenti koji ce testirati predvidajucu moc hipoteze i ako hipoteza nastavi da bude uspesna to je onda samo jos jedan dokaz vise koji je podrzava. Na kraju, kolicina dokaza se moze toliko povecati da hipoteza postaje prihvacena kao naucna teorija. Medutim, dokaz naucne teorije nikada ne rnoze dostici isti apsolutni nivo dokaza neke maternaticke teoreme: ona se prosto smatra vrlo verovatnom na osnovu postojecih dokaza. Takozvani naucni dokaz se oslanja na opservaciju i percepciju od kojih su obe podlozne greskama i obezbeduju samo aproksimaciju istine. Kao sto je Bertrand Rasel istakao: "Mada moze zvucati paradoksalno, u svim egzaktnim naukama dominira ideja aproksimacije". Cak i najsire prihvaceni naucni 'dokazi' uvek u sebi sadrze rnali element sumnje. Ponekad se ova sumnja smanjuje ali nikad ne nestaje potpuno, dok se u nekim drugim okolnostima dokaz na kraju moze pokazati i pogresnim. Ova slabost u naucnorn dokaZU dovodi do naucnih revolucija u kojima se jedna teorija, za koju se pretpostavljalo da je tacna, zamenjuje drugom, koja maze biti samo poboljsanje originalne teorije ili kojajoj moze biti kompletna kontradiktornost.


21

Na primer, traganje za fundamentalnim cesticarna materije je dovodilo svaku generaciju fizicara do pobijanja ili, u najboIjem slucaju, samo do poboljsanja teorije njihovih prethodnika. Moderno traganje za gradivnom jedinicom univerzuma pocelo je pocetkom devetnaestog veka, kada je niz eksperimenata naveo Dzona Daltona da postavi hipotezu da je sve sastavljeno od pojedinacnih atoma i da su atomi fundamentalni. Na kraju veka, J. J. Tomson je otkrio elektron, prvu poznatu subatomsku cesticu, te tako atom vise nije bio fundamentalan. Na samom pocetku dvadesetog veka fizicari su razvili "kernpletnu" sliku atoma - jezgro koje se sastoji od protona i neutrona oko kojeg kruze elektroni. Protoni, neutroni i elektroni su tada postali kompletan skup sastojaka univerzuma. Tada su eksperimenti sa kosmickim zracima otkrili postojanje drugih fundamentalnih cestica - piona i miona. Jos veca revolucija je dosla otkricern ant~materije 1932: godine - saznanjem 0 postojanju antiprotona, antmeutrona, antielektrona itd. Tada fizicari cesticari nisu vise mogli biti si~~rni koliko razlicitih cestica postoji, ali su ipak mogli pouzda_no reci ~a su ove cestice zaista fundamentalne. Tako je bilo sve do sezde~etlh godina ovog veka, kada je roden koncept kvarka. Sam. proton Je navodno izgraden od naelektrisanih kvarkova isto ~O.I ne~tron i pion. Pouka price je ta da su fizicari stalno'menjali svoju sliku univerzuma, a ponekad je brisali i pocinjali potpuno ' . d e kadiI, sam koncept cestice kao tackastog . k iznova . U s Ie d ecoj o b Je ta mo - - k bi . . tih ze ca It! zamenjen idejom cestica kao struna onih IS I struna koje 'b I' . .. ... ' mogu naj 0 Je objasniti gravitaciju. Teorija je ta da s t rune T' di l od '1" 'r.n ijar It I deo od milijarditog dela od milijarditog dela rrn IJardltog del t d -' ( su tackaste a ~e. ra.u uzm~_.tako ~ale da se cine kao da proiz d' d) mogu vibrirat] na razlicite nacine, a svaka vibracija vo I rugu c ti 0 . jedna t ~~ ICU. vo je analogno Pitagorinom otkricu da s runa na liri m . -' od tog kak '. oze proizvesti . raz l'icite tonove u zavisnosti a 0 vibrira. p' isac naucne f an t as tik . 1 e I futurolog Artur Klark je napisao da

-


22

1.

"Mislim da

cu

ovde stati"

23

ako jedan eminentni profesor tvrdi da je nesto bez sumnje tacno, velika je verovatnoca da ce se to pokazati netacnim sledeceg dana. Naucni dokaz je neminovno nestabilan i loseg kvaliteta. S druge strane, matematicki dokaz je apsolutan i potpuno bez sumnje. Pitagoraje umro potpuno uveren u znanje da ce njegova teorema, koja je bila istinita 500 godina p.n.e., ostati istinita zauvek. N auka funkcionise po principu pravnog sistema. Za teoriju se pretpostavlja da je istinita ako postoje pokazatelji koji je dokazuju 'bez svake razumne sumnje'. Matematika se ne oslanja na rezultate nepouzdanih eksperimenata nego je izgradena na cvrstoj 10gici. avo je demonstrirano problemom 'defektne sahovske table', ilustrovanim na slici 3. Imamo sahovsku tablu sa uklonjena dva polja u suprotnim uglovima, tako da su preostala sarno 62 kvadrata. Sada uzmemo 31 dominu takvog oblika da svaka domina prekriva tacno dva kvadrata. Pitanje glasi: da li je moguce poredati 31 dominu tako da one pokriju sva preostala polja (62) na sahovskoj tabli? Postoje

dva prilaza problemu:

(1) Naucni prilaz Naucnici bi pokusali da rese problem pornocu eksperimenta i posto bi probali nekoliko desetina mogucih kombinacija, otkrili bi da ni jedna ne odgovara. Na kraju, naucnici bi verovali da postoji ~~voljno dokaza da bi se moglo reci da se tabla ne moze prekntL Medutim, oni nikada ne mogu biti sigurni da je ovo zaista ta~o zato sto moze postojati neka kombinacija koja nije testirana i kop resava' problem. Postoje milioni razlicitih kombinacija i moguce je sarno istraziti mali deo njih. Zakljucak da je trazeni zadatak nemoguce obaviti baziran je na eksperimentu, ali naucnik ce m.o~ rati da zivi sa cinjenicom da njegova teorija jednog dana rnoze biti opovrgnuta. (2) Matematicki

prilaz

Slika 3: Problem defektne sahovske table.

Mate.~~tiCar pokusava da odgovori na pitanje razvijajuci logicko ~a~~~slJanje koje ce izroditi zakljucak koji je bez sumnje tacan i OJl:e ostati neopovrgnut zauvek. Jedno takvo razrnisljanje je s ledece: • Oba ugaona polja uklonjena sa sahovske table su bele boje. Stoga sada imamo 32 crna polja i sarno 30 belih. • Svaka domina prekri~a dva susedna polja, a susedna polja su uvek razlicitih boja, tj. jedno crno i jedno belo.

24

-


• Zato, bez obzira na to kako su rasporedene, prvih 30 domina poredanih na tablu mora prekriti 30 belih kvadrata i 30 crnih kvadrata. • Posledica toga je da ce vas ovo uvek ostavljati dominom i nepopunjena dva crna polja. • Ali, setimo se, sve domine prekrivaju polja, a susedna polja su suprotna preostala polja iste boje ona ne mogu preostalom dominom. Zakljucujemo nemogucel

sa jednom

dva susedna kvadratna po boji. Posto su dva biti prekrivena jednom da je prekrivanje table

Iz ovog dokaza se vidi da bilo koja od mogucih kombinacija domina nece .uspeti da prekrije defektnu sahovsku tablu. Na slican nacin, Pitagoraje konstruisao dokaz koji pokazuje da svaki moguci pravougli trougao zadovoljava njegovu teoremu. Za Pitagoru, koncept matematickog dokaza bio je svetinja, a upravo je metod dokaza bio taj koji je omogucio Bratstvu da otkrije toliko toga. Najskoriji moderni dokazi su neverovatno komplikovani i pracenje njihove logike bilo bi nernoguce za neupucene, ali na srecu u slucaju Pitagorine teoreme, razmisljanje je relativno jednostavno i oslanja se na znanje matematike iz osnovne skole. Dokaz je skiciran u Dodatku 1. Pitagorin dokaz je neoboriv. On pokazuje da je njegova teorem a istinita za svaki pravougli trougao u univerzumu. Pronalazak je bio od takve vaznosti da je stotina volova bila zrtvovan~ ~ znak zahvalnosti bogovima. Otkrice je bilo preokret u matematl~1 i jedan od najvaznijih proboja u istoriji civilizacije. Znacaj je .~I~ dvostruk. Prvo, razvijena je ideja dokaza. Dokazan matematlc~1 rezultat poseduje dublju istinu od bilo koje druge istine zato sto Je rezultat postepene (korak-po-korak) logike. Mada je filozof T~les vec bio otkrio neku vrstu primitivnog geometrijskog dokaza, Plt~ze gora je razvio ideju mnogo dalje i bio je u mogucnosti da doka

25

1. "Mislim de CU ovde sieti"

mnogo genijalnije matematick~ tvrdnje. D:uga kons~~v~nca Pitaorine teoreme je ta da povezuje apstraktni maternaticki metod sa ~eCim opipljivim. Pitagora je pokazao da istine matematike mogu biti primenjene na naucni svet i da mu mogu obezbediti logicku osnovu. Matematika daje nauci rigorozan pocetak, a na ovu stabilnu osnovu naucnici dodaju neprecizna merenja i nesavrsene opservacije. Beskonacno mnogo triplet a Pitagorejsko bratstvo je udahnulo novu snagu matematici svojim strasnim traganjem za istinom pornocu dokaza. Vesti 0 njihovom uspehu su se rasirile, a ipak detalji 0 njihovim otkricima su ostali dobro cuvana tajna. Mnogi su trazili pristup unutar svetilista znanja, ali su sarno briljantni umovi bivali prihvatani. Jedan od odbijenih bio je i kandidat po imenu Silon. Silon se veoma razljutio zbog ovog sramnog odbijanja i dvadeset godina kasnije on se i osvetio. Za vreme sezdeset sedme olimpijade (510. p.n.e.) izbila je pobuna u obliznjem gradu Sibarisu. Telis, voda pobunjenika koji su pobedili, je otpoceo varvarsku kampanju kaznjavanja svih onih koji su podrzavali prethodnu vladu, sto je mnoge nateralo da potraza zastitu u Krotonu. Telis je zatrazio da se izdajnici vrate u Sibaris da bi zasluzeno bili kaznjeni, ali su Milo i Pitagora nag~vorili gradane Krotona da ustanu protiv tiranina i zastite izbeghce. Telis je odmah sakupio vojsku od 300 000 ljudi i krenuo je ~a Kroton gde je Milo branio grad sa 100 000 naoruzanih gradana. zuzetan dar vojskovode doneo je Milu pobedu posle sedamdeset d ana rata a ka kt I· . . na S' .' 0 a zas uzene kazne skrenuo je tok reke Kratis ibaris da bi I" '.' d U pop avio I unistio gra . svad pr~os kraju rata, grad Kroton je da ,e 0 0 ~oga sta bi trebalo uraditi sa se ~:l'ze~IJ,a. pripasti pitagorejskoj eliti, 1. ec je postojala rastuca ljutnja

i dalje ratnim obican medu

bio u haosu zbog plenom. U strahu narod je poceo da masama zbog toga

- -

FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA.

26

sto je tajno Bratstvo i dalje cuvalo svoja otkrica, ali nista se ne bi desilo da se Silon nije pojavio kao glas naroda. On se uzdao u strah, paranoju i zavist masa i poveo ih je u misiju unistenja najbriljantnije skole matematike koju je svet ikada video. Milova kuca i skola koja joj je pripadala bile su opkoljene, sva vrata zakljucana i zablokirana sipkarna da bi se sprecilo bekstvo i tada je otpocelo paljenje. Milo se nekako izborio i uspeo da pobegne iz pakla, ali je Pitagora, zajedno sa mnogim svojim sledbenicima nastradao. Matematika je izgubila svog prvog velikog heroja, ali pitagorejski duh je nastavio da zivi. Brojevi sa svojim istinama su besmrtni. Pitagora je pokazao da je matematika, vise nego bilo koja disciplina, tema koja nije subjektivna. Njegovim sledbenicima nije bio potreban njihov ucitelj da bi odlucili 0 ispravnosti neke odredene teorije. Istinitost teorije je bila nezavisna od neCijeg misljenja, Umesto toga, matematicka logika je postala sudija istine. avo je bio Pitagorin najveci doprinos civilizaciji - nacin dostizanja istine koji je izvan nepouzdanosti Ijudske procene. Posle smrti svog osnivaca i nakon Silonovog napada, Bratstvo je napustilo Kroton i poslo u druge gradove Velike Grcke, ali proganjanje je nastavljeno, pa su na kraju mnogi od njih morali da se nastane u stranim zemljama. Ova nasilna migracija je ohrabrila Pitagorejce da sire svoje matematicko ucenje kroz ceo anticki svet. Pitagorini sledbenici su osnovali nove skole i ucili su svoje ucenike metodi logickog dokaza. Pored njihovog dokaza Pitagorine teoreme, takode su objasnili svetu tajnu pronalazenja takozvanih pitagorejskih tripleta. Pitagorejski tripleti su kombinacija tri cela broja koja zadovoIjavaju Pitagorinu jednacinu: X2 +y2 = z2. Na primer, Pitagorina jednacina je tacna za x 32

=

3, y

+ 42 = 52,

=4iz = 9

5:

+ 16 = 25 .

Jos jedan nacin da se zamisle pitagorejski tripleti je kombinacija

1. "MisJim da

eu

27

ovde stati"

+[9-11 52 25

+ +

Slika 4: Pronalazenje celobrojnih resenja koja zadovoljavaju Pitagorinu teoremu se moze zamisliti kao pron alazenje takva dva kvadrata koji se mogu 'sabrati' da bi se formirao treci kvadrat. Na primer, kvadrat sacinjen od 9 manjih kvadratica moze se dodati na kvadrat od 16 istih takvih kvadratica i zatim poredati tako da formira treci kvadrat sacinjen od 25 kvadratica.

kva~~ati~~. Ako se ima jedan 3 x 3 kvadrat, nacinjen od 9 kvadratlca, I jedan 4 x 4 kvadrat, sacinjen od 16 takvih kvadratica tada svi kvadratici zajedno mogu biti poredani tako da forrniraju 5 .x. 5 kvadrat, sacinjen od 25 kvadratica, kao sto je prikazano na slici .. su ze - 1el'I d a pronadu ostale pitagorejske . l' 4 Pitag orejci tri~ ~~e, ostale kvadrate koji se mogu 'sabrati' da bi formirali treci, eci kvadrat. Jos jedan pitagorejski triplet je x = 5 y 12 i z == 13: ' 25 + 144 = 169 . Nesto v ". . P't e? pitagoreJski triplet je x = 99 y = 4900 i z = 490l. I agoreJski tripl e tiI oostai '..,. . .. hovo pos aju re diI kako se brojevi povecavaju 1 nJ1god ;~on~laz:_nje ~ostaje sve teze i teze, Da bi otkrili koliko je Za njih guce VIse tnpleta Pitagorejci su izmislili rnetodican nacin ovo pronalazenje i, ucinivsi to, takode su demonstrirali da 52

+ 122 =

132,

-

FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA.

28 postoji beskonacan Od Pitagorine

broj pitagorejskih

tripleta.

-

1. "Mislim da

eu

29

ovde stati"

teoreme do Fermaove poslednje teoreme

Pitagorina teorema i beskonacan broj njenih tripleta obradeni su u knjizi E. T. Bela Poslednji problem, knjizi iz biblioteke koja je skrenula paznju mladom Endruu Vajlsu. I mada je Bratstvo dostiglo kompletno razumevanje Pitagorejskih triplet a, Vajls je uskoro otkrio da ova naocigled nevina jednacina, X2 + y2 z2, ima svoju mracniju stranu - Belova knjiga je opisivala postojanje matematickog monstruma. U Pitagorinoj jednacini, sva tri broja, x, y i z su podignuta na kvadrat (tj. X2 = X X x):

=

Medutim, knjiga je opisivala srodnu jednacinu u kojoj su x, y i z podignuti na treci stepen (tj. x3 = X X X X x). Takozvani stepen x-a u ovoj jednacini nije vise 2, vec 3:

Pronalazenje celobrojnih resenja, tj. pitagorejskih tripleta, za originalnu jednacinu bilo je relativno lako, ali menjanje stepena sa '2' na '3' (kvadrat u kub) i pronalazenje celobrojnih resenja za srodnu jednacinu izgledalo je nemoguce. Generacije maternaticara, ispisujuci citave sveske, nisu uspele da pronadu brojeve koji bi zadavoljavali jednacinu. Sa originalnom 'kvadratnom' jednacinorn izazov je bio da se kvadratici iz prva dva kvadrata poredaju taka da forrniraju treCi, veci kvadrat. 'Kubna' verzija izazovaje u tome da se preurede dye kocke tako da formiraju trecu, vecu kocku. Navodno, bez obzira na to sa kojim se kockama pocne, kada se one preurede, rezultat je ili kompletna kocka sa nekoliko suvisnih kockica ili nekompletna

+ +.

6' 216

512

9'-1 729-1

Slika 5: Da Ii je moguce dodati kockice od jedne kocke na drugu da bi se formirala treca, veca kocka? U ovom slucaju, 6 x 6 x 6 kocka dodata na jednu 8 x 8 x 8 kocku nema dovoljno kockica da bi se formirala 9 x 9 x 9 kocka. Ima 216 (63) kockica u prvoj kocki i 512 (83) u drugoj, Ukupno je 728 kockica, sto je za jedan manje od 93.

kocka. Najblizs sto se ikada primaklo savrsenom slaganju je ono u kojem je jedna kockica viska ili manjka. Na primer, ako pocnemo sa ko~kama 63 (x3) i 83 (y3) i preuredimo kockice, onda imamo samo jednu kockicu manjka, pa da napravimo kompletnu 9 x 9 x 9 kocku, kao sto je prikazano na slici 5. 1 Pronalazenje tri broja koja zadovoljavaju kubnu jednacinu iz; :da.d~je nemoguce. Sto ce reci, izgleda da ne postoje celobrojna ./ esenJa Jednacine x3 + y3 = z3 . I dalje k n (t'. a 0 se stepen menja sa 3 (kub) na bilo koji drugi veci broj nem~ ',5,6 ... ), tada pronalazenje resenja jos uvek izgleda da je Jedn ~~ce. Izgleda kao da ne postoje celobrojna resenja za opstu

4

aClllu

/

x

n

+ yn

= zn,

za n vece od 2 .

30

-


Prostom zamenom broja 2 u Pitagorinoj jednacini za bilo koji veci ceo broj, pronalazenje celobrojnog resenja se pretvara iz relativno jednostavnog u iznenadujuce tesko. U stvari, veliki Francuz iz sedamnaestog veka, Pjer de Ferma, dao je zapanjujucu tvrdnju da je razlog zbog kojeg niko ne uspeva da pronade neko resenje taj sto resenja ne postoje. Ferma je bio jedan od najbriljantnijih i najzanimljivijih matematicara u istoriji. On nije mogao proveriti beskonacno mnogo brojeva, ali je bio apsolutno siguran da ne postoji kombinacija koja bi zadovoljila jednacinu, zato sto je njegova tvrdnja bila bazirana na dokazu. Slicno Pitagori, koji nije morao da proveri svaki trougao da bi demonstrirao ispravnost teoreme, Ferma nije morao da proveri svaki broj da bi pokazao ispravnost svoje teoreme. Fermaova poslednja teorema, kao sto je poznato, tvrdi da jednacina

nema celobrojnih resenja za n vece od 2. Citajuci poglavlja Belove knjige Vajls je shvatio kako je Ferma postao fasciniran Pitagorinim radom i kako je na kraju poceo da proucava izmenjenu formu Pitagorine jednacine. Tada je procitao kako je Ferma tvrdio da cak i kada bi svi matematicari sveta potrosili sve vreme trazeci resenje jednacine, oni ne bi uspeli da ga pronadu. Mora biti da je Vajls radoznalo okretao stranice, zadovoljno misleci da ce prouCiti dokaz Fermaove poslednje teoreme. Medutim, dokaza nije bilo tu. Nije ga bilo nigde. Bel je zavrsio knjigu tvrdeci da je dokaz davno izgubljen. Nije bilo nikakvog znaka 0 tome sta se moglo desiti, nikakve ideje 0 konstrukciji ili izvodenju dokaza. Vajls se nasao U cudu, razljucen i uvucen u sve to. Bio je u dobrom drustvul Preko 300 godina mnogi od najvecih matematicara su pokusavali da ponovo pronadu Fermaov izgubljeni dokaz i nisu uspeli. Buduci da je svaka generacija bila neuspesna, sledeca je postajala jos vise frustrirana i resena da uspe. Godine 1742, skoro jedan vek posle Fermaove smrti, svajcarski matematicar Leonard Ojler

1. "Mislim da CU ovde stati"

-

31

. molio svog prijatelja Kleroa da pretrazi Fermaovu kucu, u JeI za . - uve k tu. Nikaka - 'u da je neki vrlo vazan papir. JOS I v zna k ni ill~;:Jnije pronaden 0 tome kakav bi Fermaov dokaz mogao biti. U drugom poglavlju saznacerno nesto vise 0 misterioznom Pjeru de Fermau i 0 tome kako je izgubljena njegova teorema, ali zasada je dovoljno znati da je Fermaova poslednja teorema, problem koji je zaokupljao matematicare vekovima, zaplenila mastu mladog Endrua Vajlsa. Sedeo je u biblioteci u ulici Milton desetogodisnjak, zagledan u najskandalozniji problem u matematici. Obicno je polovina teskoca u matematickom problemu u razumevanju pitanja, ali u ovom slucaju to je bilo jednostavno - dokazati da z" + yn.= zn nema celobrojnih resenja za n vece od 2. Endru nije bio zastrasen saznanjem da najbriljantniji umovi na planeti nisu uspeli da ponovo pronadu dokaz. Odmah se bacio na posao, koristeci sva svoja udzbenicka znanja, da pokusa da ponovo izvede dokaz. Mozda bi mogao pronaci nesto sto su svi, izuzev Fermaa, prevideli. Sanjao je da moze uzdrmati svet. Trideset godina kasnije Endru Vajls je bio spreman. Stojeci ispred auditorijuma u Institutu Isak Njutn, pisao je po tabli i tada, pokusavajuCi da suzdrzi svoju radost, pogledao je u publiku. ~.redavanje je dostizalo svoj vrhunac i publika je to znala. Jedno ili dvoje potajno su uneli kamere u amfiteatar i blicevi su zacinili njegove poslednje reci, "hSa kre~om u ruci, okrenuo se poslednji put ka tabli. PoslednJI nekohko linija logickog izvodenja kompletiralo je dokaz. Prvi ~~t u p.reko tri veka Fermaov izazov je bio resen, Jos nekoliko . cev~ je bljesnulo da uhvati ovaj istorijski trenutak. Vajls je isPIsao hniju k . . se oja js sadrzala Fermaovu poslednju teoremu, okrenuo prema publici i rekao: "Mislim da cu ovde stati". Dve stotine matematicar' I . koj: a je ap audiralo i uzvikivalo u znak slave. Cak i oni ren~~u ;redvi~eli sta rezultat moze biti, sirili su osmeh u nepove. osle tri decenije Endru Vajls je verovao da je ispunio svoj

32


~

1.

"Mislim de

eu

ovde steu"

33

san i nakon sedam godina izolacije mogao je predstaviti svetu svoj tajni rad. Medutim, dok je euforija ispunjavala Institut Isak Njutn nesreca je bila blizu da uzvrati udarac. Posto je Vajls uzivao u trenutku, on je, zajedno sa svima ostalima u amfiteatru, bio potpuno nesvestan uzasa koji se priblizavao.

Vajls je odrzao predavanje u Institutu Isak Njutn u Kernbridzu 23. Ovo je bio trenutak odmah po objavljivanju svog dokaza Fermaove poslednJ·e teo reme. 0 n, zaje. dno ... rnje .. III. . no sa sa svi svima u prostoriji,

juna 1993.

sanJao

0

mori koja ga je ocekivala,

Sajmon Sing - Fermaova Poslednja Teorema, 1. Pitagora

Recommend Documents