CAPÍTULO 8
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Geometría y aritmética de los números complejos
DEFINICIÓN 8.13 Conjunto compacto Un conjunto K de números complejos es compacto si es cerrado y acotado.
Cualquier disco cerrado es compacto, mientras que un disco abierto no lo es (no ( no es cerrado). El con junto de puntos in para n entero no es compacto ya que no está acotado (a pesar de ser cerrado). Cualquier conjunto finito es compacto. Ahora probará que cualquier conjunto compacto infinito debe contener al menos un punto límite. Este es un resultado notable, ya que los conjuntos cerrados no tienen que contener (o incluso tener) ningún punto límite, y los conjuntos acotados no necesitan tener puntos límite.
Bolzano-Weierstrass eierstrass TEOREMA 8.9 Bolzano-W Sea K un conjunto compacto infinito de números complejos. Entonces K contiene un punto límite.
�
Prueba Como K es cerrado, cualquier punto límite de K debe estar en K . Se concentrará por tanto en demostrar que hay un punto límite de K . Elija cualquier número z1 en K . Debido a que K es infinito, puede elegir un segundo número z2 en K , distinto de z1. Ahora elija algún z3 en K distinto de z1 y z2 y continúe este proceso. De esta manera genera una sucesión infinita { zn} de puntos distintos en K . Como K es un conjunto acotado, esta sucesión es acotada. Por tanto, { zn} contiene una subsucesión { z n j} que converge a algún número L. Como cada término de esta sucesión es distinto de todos los demás, elija la subsucesión de manera que ningún z n j sea igual a L. Por el teorema 8.7, L es un punto límite de K . � Ahora está listo para empezar el cálculo de funciones complejas.
SECCIÓN 8.2 PRO PROBL BLEM EMAS AS En cada problema del 1 al 11, determine el conjunto de todos los puntos z que satisfacen la ecuación o la desigualdad dada. En algunos casos puede ser conveniente que especifique el con junto con un diagrama claramente claramente etiquetado. 1.
z − 8 + 4i| = 9 | z
2.
| z z| = | z z − i|
3.
z|2 + Im( z z) = 16 | z
4.
| z z − i| + | z z| = 9
5.
z| + Re( z z) = 0 | z z + z– 2 = 4
6. 7.
z − i) = Re( z z + 1) Im( z
8.
| z z| = Im( z z − i)
9.
z + 1 + 6i| = | z z − 3 + i| | z
10.
| z z − 4i| ≤ | z z + 1|
11.
z + 2 + i| > | z z − 1| | z
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En cada problema del 12 al 19, un conjunto de puntos (números complejos) está dado. Determine si el conjunto es abierto, cerrado, abierto y cerrado, o ni abierto ni cerrado. Determine todos los puntos límite del conjunto, todos los puntos frontera, y la frontera del conjunto. También También determine si el conjunto es compacto. 12.
S es el conjunto de todos los puntos z con | z z| > 2.
13.
K es el conjunto de todos los puntos z que satisfacen | z z − 1| z + 4i|. ≤ | z
14.
T es el conjunto de los puntos z con 4 ≤ | z z + i| ≤ 8.
15. M
z) < 7. consiste en todos los puntos z con Im( z
16. R
es el conjunto de todos los números complejos 1 /m + (1 /n)i, en donde m y n pueden ser enteros positivos.
17.
U es el conjunto de todos los puntos z tal que 1 < Re( z z) ≤ 3.
18.
V es el conjunto de todos los puntos z tal que 2 < Re( z z) ≤ 3 z) < 1. y −1 < Im( z
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8.2
Lugares geométricos y conjuntos de puntos en el plano complejo
19.
W consiste en todos los puntos z tales que Re( z) > ( Im( z))2. 23.
20.
Suponga que S es un conjunto finito de números complejos, a saber consiste en los números z1, z2 , . . . , zn.
24.
{en i/ 3}
(a) Pruebe que S no tiene punto límite.
25.
{−(i4n)}
(b) Pruebe que todo z j es un punto frontera de S .
26.
{sen(n)i}
27.
(c) Pruebe que S es cerrado. En cada problema del 21 al 27, encuentre el límite de la sucesión, o establezca que la sucesión diverge. 21.
22.
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�
1+
{i
2 n}
2in n+
1
1 + 2n2 n2
n
−
−1 n
i
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π
1 + 3n2 i 2n2 − n
28.
Considere la sucesión {en i/ 3} del problema 24. Encuentre dos subsucesiones convergentes diferentes de esta sucesión.
29.
Encuentre dos subsucesiones convergentes diferentes de la sucesión {i2n} del problema 22.
π
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