SESIÓN 6 Límites y continuidad de una función – Cálculo de Limites Cálculo de Límites 1. Calcular los límites siguientes: 2 a) l xi→m2 3 x
−x−2
Solución: lim 3 x 2 − x − 2 = 8 x → 2
b) lim
x − 27
x → 27 3
x − 3
Solución: x − 27 x − 27 3 x 2 + 33 x + 9 ( x − 27) 3 x 2 + 33 x + 9 lim = lim × = lim = 27 x → 27 3 x − 27 x − 3 x →27 3 x − 3 3 x 2 + 33 x + 9 x→ 27
c) lim
x →16
x − 4 x − 16
Solución: x − 4 x − 4 lim = lim × x →16 x − 16 x →16 x − 16
d) lim x →3
x x
x − 16 +4 1 = xlim = + 4 →16 ( x − 16) ( x + 4) 8
2 x + 3 − x x − 3
Solución: lim x → 3
2 x + 3 x − 3
− x = lim x → 3
= lim x → 3
2 x + 3 x − 3
− x ×
2 x + 3
+ x = lim x 2 − 2 x − 3 2 x + 3 + x x →3 ( x − 3) ( 2 x + 3 + x )
( x − 3) ( x + 1) 2 =− 3 ( x − 3) ( 2 x + 3 + x )
1
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 3 x 2 − 17 x + 20
e) lim
4 x 2 − 25 x + 36
x → 4
Solución: 3 x 2
lim
x → 4
4 x
2
− 17 x + 20 = ( 3 x − 5 )( x − 4 ) =1 lim − 25 x + 36 x → 4 ( 4 x − 9)( x − 4 )
3 2 x + 4 x − 3 x − 2
f) lim
x 2 + 13 x − 14
x →1
Solución: lim
( x 2 + 5 x + 2)( x − 1) = 8 + 4 x 2 − 3 x − 2 lim = x →1 ( x + 14)( x − 1) 15 x 2 + 13 x − 14
x 3
x →1
g) lim
x →64
x − 8
4 − 3 x
Solución: ( x − 64) 16 + 43 x + 3 x 2 x − 8 x − 8 x + 8 16 + 43 x + 3 x 2 lim = lim × × = lim = −3 x → 64 ( x + 8)( 64 − x ) 4 − 3 x x →64 4 − 3 x x + 8 16 + 43 x + 3 x 2 x →64 3
h) lim h →0
x + h
−3x
h
Solución: x + h − 3 x lim h→ 0 h 3
x + h − 3 x = lim h→0 h 3
= lim h→0
lim x → 4
( x + h ) 2 + 3 x ( x + h ) + 3 x 2
3
( x + h ) 2 + 3 x ( x + h ) + 3 x 2
( x + h ) − x h 3 ( x + h )
i)
×
3
2
+ 3 x( x + h ) + 3 x 2
=
3
x 3x
3 − 5 + x 1 − 5 − x
Solución: 2
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería lim
x → 4
3 − 5 + x 1 − 5 − x
3
j)
lim x →0
3− = lim x → 4 1 −
5 + x
× 3+ 5 − x 3 +
5 + x
× 1+ 5 + x 1 +
1 ( 4 − x ) (1 + 5 − x ) = xlim = − → 4 (3 + 5 + x )( x − 4 ) 2 5 − x 5 − x
x + 27 − 3 x + 4 − 2
Solución: 3 3 x + 27 − 3 x + 27 − 3 = × lim lim x → 0 x →0 x + 4 − 2 x + 4 − 2 = lim x →0
(
x + 4 + 2 x + 4 + 2
×
3
( x + 27 ) 2 + 33 x + 27 + 9
3
( x + 27 ) 2 + 33 x + 27 + 9
)
x + 4 + 2 ( x + 27 − 27 )
=
4
( x + 4 − 4) 3 ( x + 27) + 33 x + 27 + 9 27 2
Límites Laterales x + 1 ; si x < −1 . Sea la función f! de"nida por: f ( x ) = x 2 ; si − 1 ≤ x ≤ 1 1 − x ; si x > 1 Calcular: lim− f ( x) = lim ( x + 1) = 0 a) b) c) d)
x →−1
x→−1
lim+ f ( x) = lim ( x
x→−1
x →−1
lim− f ( x) = lim( x
x→1
2
x →1
2
) =1
) =1
lim f ( x) = lim(1 − x ) = 0
x →1+
x →1
4 − x 2 ; si x ≤ 2 !. Sea la función h! de"nida por: h ( x ) = 2 ; si 2 < x ≤ 5 x − 5 ; si x > 5 Calcular:
lim− f ( x) = lim( 4 − x ) = 0 2
a) b) c)
x →2
x →2
lim f ( x) = lim 2 = 2
x→2+
x→2
lim f ( x) = lim 2 = 2
x →5−
x→5
#
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería
lim+ f ( x) = lim( x − 5) = 0
d)
x→5
x→5
ax 2 + bx + 1; si x ≤ 1 ". Sea la función h! de"nida por: h ( x ) = 2 ax − b; si 1 < x ≤ 2 $ x + 1; si x > 2 h( x ) & lim h( x ) e(istan$ Calcular los %alores de a! & b! tales 'ue lim x →1 x → 2
Solución: h( x ) e(iste tenemos: a) Como lim x →1
lim h( x) = lim+ h( x)
x →1−
x →1
lim( ax 2 + bx + 1) = lim( 2ax − b ) x →1
De lo cual se tiene: a − 2b
=1
x →1
a + b + 1 = 2 z − b
h( x ) e(iste tenemos: b) Como lim x → 2
lim h( x ) = lim+ h( x )
x → 2 −
lim( 2ax − b )
x →2
x →2
( x + 1) = lim x→ 2
4a − b = 3
a − 2b = 1 4a − b = 3
De las dos ecuaciones anteriores tenemos: *esol%iendo este sistema tenemos: a =
5 7
&b
=−
1 7
Límites al In#nito $. Calcular los límites al in"nito siguientes: 2 x 2 + 3x + 5 a) lim x →∞ 3 x 2 − 2 x + 1 Solución: lim
x → ∞
b) lim x →∞
2 x 2 3 x
2
+ 3 x + 5 = 2 − 2 x + 1 3
16 x 2 + 4 x 2 + 7
+
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería
Solución: 16 16 x + 7 2
lim
x → ∞
x 2 + 7
+
7
2 4 = lim x x = 0 x → ∞ 7 1+ 2
x
→+∞ (
c) lim x
x
2
− 5x + 6 − x)
Solución:
(
)
lim x − 5 x + 6 − x = lim x − 5 x + 6 − x × 2
x→∞
x→∞
= lim x→∞
2
2 2 x − 5 x + 6 − x
x 2 − 5 x + 6 + x
x 2 − 5 x + 6 + x x 2 − 5 x + 6 + x
= lim x →∞
− 5 x + 6 x 2 − 5 x + 6 + x
=−
5 2
Límites y %rá#cas de &unciones 6. ,ara la función g! abajo calcular: g (t ) = −1 a) xlim →0− c) e)
lim g (t ) = 0
x →2 +
g ( 0)
= −1
g (t ) = −2 b) xlim →0 + g (t ) = 2 d) xlim →2− f) g ( 2) = 1
'. -n el caso de la función * cu&a gr."ca se muestra estable/ca lo siguiente:
R ( x ) a) lim x → 2 c)
= −∞
lim− R ( x) = −∞
x → −3
R ( x ) = +∞ b) lim x →5 d) lim+ R( x) = +∞ x → −3
(. -n el caso de la función f! cu&a gr."ca se muestra abajo estable/ca lo siguiente: 0
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería
f ( x ) = −∞ a) xlim → −7 c) e)
f ( x ) = +∞ b) xlim →−3
lim f ( x ) = +∞ x →0
d) lim− f ( x) = −∞
lim f ( x) = +∞
f) f (0) = +∞
x →6
x →6+
). -n las siguientes situaciones utili/ar la función de posición s (t ) = −16t 2 + 1000 'ue da la altura m) de un objeto 'ue lle%a ca&endo t! segundos desde la altura de 1 m$ 3a %elocidad en el instante t 4 a segundos est. dada por: s (a ) − s (t ) lim $ t →a a − t a) 5 un mec.nico se le cae una lla%e desde una altura de 1 m$ 65 'u7 %elocidad est. ca&endo luego de 0 s8
Solución: lim t →5
s (5) − s(t ) 5 − t
− 400 5 − t t − 5 t 2 − 25 ( t − 5)( t + 5) = −16 lim = − = −160 16 lim t → 5 t − 5 t →5 t − 5 = lim t →5
600 + 16t 2
− 1000
= − lim t → 5
16t 2
-l objeto est. ca&endo a una %elocidad de 19 ms$ b) 6Cu.nto tiempo tardar. en llegar en el suelo8 63legar. con 'u7 %elocidad8
Solución: ,ara determinar el momento en 'ue llega al suelo hacemos lo siguiente: s(t ) = 0
− 16t 2 + 1000 = 0 t = 7.90 ,ara determinar la %elocidad con 'ue llegar. al piso hacemos lo siguiente: lim
t →7.90
s(7.90) − s(t ) 7.90 − t
= lim
1.44 + 16t 2 − 1000
t →7.90
= −16 lim
t →7.90
7.90 − t t − 62.41 2
t − 7.90
= − lim
t →7.90
= −16 lim
t →7.90
16t 2 − 998.56 t − 7.90
( t − 7.90)( t + 7.90) t − 7.90
= −252.8
-l objeto est. ca&endo a una %elocidad de 202$; ms$
1*.
3os impuestos de cierto -stado se aplican al 12< los primeros 2 euros & al 19< el resto del capital$ Se tiene la función: 9
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería
a + 0,12 ×x ; si x ≤20000 T ( x) = b + 0,16 ×( x −20000 ) ; si x T ( x ) = 1000 & adem.s se sabe 'ue Se sabe 'ue xlim → 0+
>20 000 lim T ( x) e(iste$
x → 20000
a) =allar las constantes a! & b!$ 1$ Sabemos lim T ( x) = 1000 lo cual signi"ca 'ue: x → 0 +
lim ( a + 0.12 ) x → 0
⇒ 2$ Sabemos
= 1000 a = 1000
lim T ( x) e(iste lo cual signi"ca 'ue:
x →20000
lim T ( x ) =
x → 20000 +
lim T ( x)
x → 20000 −
lim (1000 + 0.12 x ) = lim [ b + 0.16( x − 20000 ) ]
x→ 20000
x → 20000
⇒ b = 3400 b) 6Cu.l es la importancia de la e(istencia estos límites8 3a e(istencia de los límites es importante pues de esa manera se obtienen los %alores de a & b &a 'ue de lo contrario no sería posible$ c) >ra"car la función e indicar si es o no continua$ De la gr."ca siguiente podemos concluir 'ue la función sí es continua$
