S3_Respuesta_de_sistemas.pdf

Fundamentos de Control Respuesta de Sistemas

Ing. José Hermoza

Objetivos Describir sistemas de primer y segundo orden.

•

Analizar la respuesta de sistemas de primer y segundo

•

orden. Comprender el efecto de las entradas típicas a un

•

sistema.

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Objetivos Describir sistemas de primer y segundo orden.

•

Analizar la respuesta de sistemas de primer y segundo

•

orden. Comprender el efecto de las entradas típicas a un

•

sistema.

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Introducción La respuesta de un sistema de control esta formado por dos partes: La respuesta transitoria, es la parte de la respuesta que aparece cuando hay un cambio en la entrada y desaparece después de un breve tiempo. La respuesta en estado estable estable, es la respuesta que permanece después que desaparecen todos los transitorios.

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Introducción Por ejemplo considere un resorte suspendido y lo que sucede si súbitamente se suspende un peso. Se presentara una oscilación hasta que un tiempo después se asienta en un valor estable.

Introducción La entrada y la salida de este sistema resorte – masa varia con el tiempo. La adición de un peso al sistema se conoce como entrada escalón. Para describir el comportamiento de sistemas se utilizan ecuaciones diferenciales.

Introducción Las ecuaciones diferenciales pueden ser de primer orden, segundo orden, etc. Termómetro de mercurio

Sistema de primer orden

Sistema de cuarto orden

Sistemas de primer orden

Sistemas de primer orden Un ejemplo de sistema de primer orden es un tanque de agua controlado por un flotador. En este sistema la razón a la que entra el agua al tanque y, por lo tanto, la razón a la que cambia la altura del agua, depende de la diferencia entre la altura del agua (h) y la altura H a la que el flotador cierra por completo.

Sistemas de primer orden La razón de cambio de la altura es proporcional a ( H-h), luego la razón de cambio es:

K es una constante. Mientras mas sube el nivel de agua el valor de (H-h) es menor y de esta forma es menor la razón de cambio de la altura con el tiempo ( dh/dt).

Sistemas de primer orden En la figura se muestra una grafica de la altura contra el tiempo.

La ecuación que describe esta grafica es:

Sistemas de primer orden Este sistema se puede representar mediante el diagrama de bloques:

H

h

G

Sistemas de primer orden Otro ejemplo de un sistema de primer orden es un capacitor en serie con un resistor. La razón de cambio de la tensión vC a través del tiempo, es decir, dvC /dt es proporcional a la diferencia en valor entre vC y el voltaje de entrada al sistema V . Es decir:

Sistemas de primer orden La figura muestra como varia v C con el tiempo, esta gráfica obedece a la ecuación:

V

vc

G


Todos los sistemas de primer orden tienen la característica que la razón de cambio de alguna variable es proporcional a la diferencia entre esta variable y algún valor de ajuste de esta variable.

Sistemas de primer orden Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y(t) puede ser modelada por una ecuación diferencial de primer orden como:

Donde f(t) es la entrada al sistema, a0, a1 y b son constantes. Además dy(t)/dt es la razón de cambio a la cual la salida cambia con el tiempo.

Sistemas de primer orden Existen diversos métodos para resolver una ecuación diferencial de primer orden. Veamos un ejemplo simple utilizando el calculo fundamental. En el sistema eléctrico RC, el voltaje en el capacitor esta dado por la ecuación:

Que se puede reescribir de la forma:

Sistemas de primer orden Resolviendo la ecuación:

Hacemos un cambio de variable:


e

e


Volviendo a la variable original tenemos:

Aplicando condiciones iniciales para hallar k, finalmente tenemos:

Sistemas de primer orden Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada escalón:

Sistemas de primer orden La respuesta dinámica de un sistema se representa mediante la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:

o de manera equivalente,

Donde:

Sistemas de primer orden K es la ganancia a lazo abierto del sistema y  la constante de tiempo a lazo abierto. Tomando la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación:

Finalmente:


Sistemas de primer orden Respuesta a una entrada en escalón Para un escalón de altura A y un sistema de primer orden la salida y(s) es:

En tiempo real, invirtiendo las transformadas t ransformadas de Laplace, se obtiene:

Sistemas de primer orden Representando la función en coordenadas adimensionales:

Sistemas de primer orden Características: Autorregulación: El proceso alcanza un nuevo estado estacionario sin necesidad de un sistema de control. Cuanto mayor sea τ, menor será la pendiente inicial de la respuesta del sistema y mayor será el tiempo necesario en alcanzar el nuevo estado estacionario. •

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La salida del proceso en el nuevo estado estacionario es:

Sistemas de primer orden Características: Autorregulación: El proceso alcanza un nuevo estado estacionario sin necesidad de un sistema de control. Cuanto mayor sea τ, menor será la pendiente inicial de la respuesta del sistema y mayor será el tiempo necesario en alcanzar el nuevo estado estacionario. •

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La salida del proceso en el nuevo estado estacionario es:

Sistemas de primer orden Respuesta a una función impulso

Sistemas de primer orden Respuesta a una función sinusoidal

La respuesta obtenida es de tipo sinusoidal con la misma frecuencia de oscilación ω que la entrada pero con un desfase ϕ.

Sistemas de primer orden Respuesta a una función sinusoidal

Ejercicio:

Un horno se conecta a una alimentación de voltaje monofásica 220V. En un tiempo largo alcanza una temperatura estable de 300°C y para alcanzar un 98% de ese valor tarda 130 segundos. Determine la función de transferencia de primer orden que represente mejor esta respuesta.

Ejercicio: Desarrollo: Se define la ganancia en estado estable: K 

Temperatur a en estado estable Voltaje de entrada



300 220

 1.364

Se determina la constante de tiempo: Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y se obtiene la constante de tiempo. 



130 4

 32.5

Ejercicio: por último se sustituye en la forma: K

G(s) 

s 1 La función de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es: 

T ( s ) V ( s ) T ( s ) V ( s )

 

1.364 32.5 s  1 0.04196 s  0.30769

Sistemas de segundo orden

Sistemas de segundo orden En la figura se muestra un sistema de segundo orden. Las fuerzas que actúan sobre la masa m son la fuerza aplicada F en una dirección y en dirección contraria la fuerza generada por el resorte estirado y el amortiguamiento.

Sistemas de segundo orden La fuerza neta que actúa sobre la masa es:

Esta fuerza hace que la masa adquiera una aceleración a de este modo:

Luego aplicando la definición de velocidad y aceleración tenemos:

Sistemas de segundo orden Reordenando obtenemos:

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden del sistema que tuvo una abrupta aplicación de una fuerza, es decir, una entrada escalón.

Sistemas de segundo orden La forma en que el desplazamiento x varié con el tiempo dependerá de la cantidad de amortiguamiento. Si no hubiera amortiguamiento (cdx/dt=0) la masa oscilara libremente sobre el resorte.

Sistemas de segundo orden Normalmente el amortiguamiento producirá oscilaciones que desaparecerán con el tiempo. Si el amortiguamiento es grande el desplazamiento de la masa se incrementara lentamente.

Sistemas de segundo orden Otro ejemplo de sistema de segundo orden es un circuito RLC. El amortiguamiento en el circuito RLC serie esta provisto por la resistencia. Si R=0 el circuito oscilara libremente, no obstante la presencia de la resistencia causara oscilaciones que desaparecen hasta obtener la corriente estable. Si la resistencia es lo suficientemente grande no habrá oscilaciones.

Sistemas de segundo orden Régimen transitorio en cc de circuitos RLC. En el instante t = 0 se enciende la fuente de cc. La intensidad I , variable y función del tiempo, será cero ya que la inductancia en ese instante ha de actuar como un circuito abierto o una resistencia de valor infinito, cayendo toda la tensión de la fuente en ella. Cuando el tiempo tienda a infinito la intensidad I, variable y función del tiempo, también será cero ya que el capacitor actuará como un circuito abierto, cayendo en él toda la tensión de la fuente. 41

Sistemas de segundo orden En medio de la carga del Capacitor y descarga de la Bobina, tenemos el régimen transitorio, y en él, las caídas de tensión en cada elemento serán:

Aplicando la LVK:

i. R  L.

di dt



1 C



. i.dt  V

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Sistemas de segundo orden Derivando y reordenando:

Esta última es una ecuación lineal de 2º orden con coeficientes constantes y homogénea cuya solución particular es cero.

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Sistemas de segundo orden La función complementaria puede ser de tres tipos, según los valores de R, L y C. Los coeficientes de la ecuación característica son constantes:

Y las raíces son:

Reemplazando:

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Sistemas de segundo orden Haciendo:

Tenemos:

Se presentan tres casos, que dependerán del subradical B. El discriminante B puede ser positivo, cero o negativo y la solución es, entonces amortiguada: supercrítica, crítica o subcrítica (oscilatoria), respectivamente.

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Sistemas de segundo orden Caso1:

B> 0 entonces r1 y r2 raíces reales y distintas, dando lugar al caso de amortiguamiento supercrítico. La solución es:

Para determinar las constantes aplicamos las condiciones iniciales: a) En t = 0 el valor de i = 0 forman un sistema de ecuaciones que nos permitirá determinar el b) En t = 0 la tensión de la fuente cae en la inductancia valor de las constantes

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B = 0 entonces r1 y r2 raíces reales e iguales y la solución corresponde al caso de amortiguamiento critico. Solución:

Para determinar las constantes aplicamos las condiciones iniciales de la misma forma que en el caso 1.

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B < 0 entonces r1 y r2 raíces complejas conjugadas y la solución corresponde al caso de amortiguamiento subcritico u oscilatorio. Solución:

Para determinar las constantes aplicamos las condiciones iniciales de la misma forma que en el caso 1.

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Sistemas de segundo orden La intensidad de corriente contiene, en todos los casos, el factor e At y como A=-R/2L, el valor final es cero, garantizando que la función complementaria desaparece en un tiempo relativamente corto. Los tres casos se esquematizan en la figura:

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Sistemas de segundo orden Ejemplo1.- Sea el siguiente circuito: Calculamos A y B

Reemplazando obtenemos:

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Sistemas de segundo orden Condiciones iniciales: Para t=0 a) I=0 b) V=VL

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Sistemas de segundo orden Representación gráfica

52



53


finalmente 54


55



56


finalmente 57


58

Sistemas de segundo orden Otra forma de analizar un sistema de segundo orden RLC:

De la comparación tenemos:

Donde wn es la frecuencia natural del circuito,  es el factor de amortiguamiento relativo y w es la frecuencia de oscilación amortiguada.

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Sistemas de segundo orden La grafica muestra la salida como función del tiempo para diferentes valores de factor de amortiguamiento relativo.

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Sistemas de segundo orden Ejercicio: para el circuito RLC de la figura:

Si se aplica una estrada escalón de magnitud A, calcular: a) La frecuencia natural del circuito b) El tipo de amortiguamiento c) La frecuencia de oscilación amortiguada

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Sistemas de segundo orden Medidas de desempeño para sistemas de segundo orden La figura muestra la forma típica de la respuesta de un sistema subamortiguado a una estrada escalón y se muestran los términos para especificar tal desempeño.

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Sistemas de segundo orden El tiempo de levantamiento tr, es el tiempo que toma la respuesta en levantarse desde cero hasta el valor en estado estable y es la medida de que tan rápido el sistema responde a una entrada. El tiempo pico tp, es el tiempo que toma a la respuesta en levantarse desde cero hasta el primer valor pico (medio ciclo).

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Sistemas de segundo orden El sobrepaso, es la máxima cantidad que adquiere la respuesta por encima del valor en estado estable, esta es así la amplitud del primer pico. Con frecuencia, el sobrepaso se escribe como porcentaje del valor en estado estable.

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Sistemas de segundo orden En la tabla se muestran los valores de sobrepaso en porcentaje para algunos valores de amortiguamiento relativo.

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