Relación de problemas: Tema 6
1.- Un coche de 1500 kg choca a 20 m/s con una pared de cemento. a) Si la temperatura ambiente es de 20ºC, calcula la variación de entropía. b) Se calienta 1 kg de agua ag ua de 0ºC a 100ºC. Calcula la variación variaci ón de entropía del agua. a gua.
1 a)
∆S =
b)
∆S =
2
mv 2 = 1023
T
∫
T 2
mcdT
T 1
T
J
∆S=1023 J/K
K
= mcLn
T 2 T 1
= 1304
J K
∆S=1304 J/K
2.- Dentro de un recipiente adiabático se coloca un litro de agua a 20ºC, en contacto con una fuente térmica cuya temperatura se mantiene constante a -20ºC. Calcular la variación de entropía del agua y de la fuente hasta que ambos quedan en equilibrio. (calor específico del hielo = 0.5 cal/ºC·g; calor de fusión del hielo = 80 cal/g).
Enfriamiento del agua: Q1 = mc (T2 − T1 ) = −83,6 83,6 J ∆S1 = mcLn (T2
T1 ) = −0, 295
J K
Congelación del agua a 0ºC: Q2 = −mL f = −334400 J ∆S 2 = Q2
T 2 = −1224,24
J K
Enfriamiento del hielo: Q3 = mch (T3 − T2 ) = −41800 J ∆S3 = mch Ln (T3
T2 ) = −158, 921
J K
Variaciones de entropías totales: −1383,45 ∆S agua = S1 + S 2 + S 3 = ∆S termostato = −
Q1 + Q2 + Q3 T 3
J K
= 1486,41
J K
1
3.- Un mol de un gas ideal contenido en un pistón se expansiona hasta un volumen doble del inicial, manteniéndose en contacto con una fuente térmica a 400 K. Calcular: a) La variación de entropía del gas, b) La variación de entropía entro pía del universo.
V2=2V1 T= 400 K ∆S= ¿? a) ∆S =
dQ
Q
∫ dT = T ∫
T constante → ∆ u=0 ⇒ Q = W = PdV =
∫
NRT V
dV = NRT ln 2
Q = W = 2304 J ∆S g =
NRT ln 2 T
=
NR ln 2 = 5.76 J / K
∆Sgas =5.76 J/K
b) ∆S F = −
Q
= −5.76 J / K T ∆SU = ∆S F + ∆S g = 0
∆SU =0 J/K
4.- Una bomba de calor extrae energía del exterior más frío y lo cede a una habitación más caliente. Calcular la energía que entra en la habitación por cada julio de trabajo realizado por la bomba, cuando la temperatura de la casa es de 20 ºC y la temperatura exterior es de -5 ºC, siendo el rendimiento de dicha bomba un 10% del valor máximo teórico. η =
Qc W
= 0.10η T = 0.10
T c Tc − T f
=
0.10
293 293 − 268
= 1.172
η=1.17 J
5.- La temperatura de la superficie del Sol es de aproximadamente 5700 K y la de la superficie de la Tierra de 290 K. Calcular la variación de entropía del sistema Sol-Tierra que se produce cuando se transfiere una energía de 1000 J en forma de radiación del sol a la tierra.
T1 = 5700 K T2 = 290 K Q1 = 1000 J 2
∆S =
Q2
−
T2
Q1
=
T 1
1000
−
290
1000
∆S =3.27 J/K
5700
6.- Un salto de agua de 15 m tiene un flujo de 2.5 m 3/s. a) ¿Cuál es la máxima diferencia de temperatura posible entre el agua de la parte superior e inferior de la cascada? b) ¿Qué potencia utilizable utili zable se pierde?
a) mgh = mc mc ∆T ⇒ ∆T =
gh c
= 0,0352
K
∆T =0.0352 K
b) La potencia utilizable perdida es la que se disipa en forma de calor al caer el agua en el salto: Potencia = Φgh = 368 W . P = 368 w
7.- Un acondicionador de aire reversible mantiene una habitación a 290 K, mientras la temperatura exterior es de 305 K. a) ¿Cuánto trabajo debe producirse para cada transferencia de 5000 J de calor desde la casa? b) ¿Qué cambio de entropía entro pía ocurre dentro y fuera de la casa para esta transferencia tran sferencia de calor?
a) Sea 1 = exterior de la casa, 2 = interior de la casa. Aplicando el primer principio y teniendo en cuenta que si el sistema es reversible, la máquina térmica tendrá el mismo rendimiento que una máquina de Carnot operando entre las mismas temperaturas −Q1 = Q2 + W −Q1
Q2
=
T 1 T 2
W = −258,621 J
W=-258.6 J
donde el signo indica que el trabajo se está realizando sobre el sistema de refrigeración.
3
b) Los cambios de entropía dentro y fuera de la casa son: S 1 = S 2 =
Q1 T 1
J
= −17.24
Q2 T 2
= 17.24
K J
S1 =-17.24 J/K S2 = 17.24 J/K
K
8.-Se calientan 0,5 kg de hielo a 0ºC hasta que se funde por completo. a) ¿Cuál es el cambio de entropía del hielo? b) Si el foco calorífico es una masa muy grande a una temperatura t emperatura de 20ºC, ¿cuál es el el cambio de entropía de ese cuerpo? c) ¿Cuál es la variación de entropía del universo? Dato: Calor de fusión del hielo: 80 cal/g.
Sea Q = calor intercambiado ente foco y hielo. a) ∆S hielo =
Q
=
Thielo
mL T
∆Shielo =612.118 J/K
b) ∆S foco =
−Q
T foco
∆Sfoco = -570.356 J/K
c) ∆SU = ∆S hielo + ∆S foco
∆SU =41.761 J/K
9.-Un gramo de agua se convierte en 1671 cm3 de vapor cuando hierve a 100º C, a la presión de 1 atm. El calor de vaporización vap orización a esta presión pres ión es 539 cal/g. Calcular: Calcul ar: a) La variación de energía interna. b) La variación de entropía entro pía del agua.
Se considera que la densidad del agua a 100ºC es 103 kg m3 .
a) La variación de la energía interna es Q = m Lv = 2253.02 J W = P (V − V0 ) = 169, 213 J U = Q − W = 2083,81 J U=2083.81 J b) 4
b) La variación de entropía es ∆S =
Q T
= 6,0378
J K
∆S =6.0378 J/K
10.-Diez moles de un gas ideal monoatómico, a 8 atm. y 400 K realizan el siguiente proceso cíclico: 1º) 1 º) Se expansiona isotérmicamente isotérmi camente hasta cuadruplicar cuadrupl icar su volumen; 2º) 2 º) Se comprime isobáricamente hasta su volumen inicial; 3º) Se calienta isócoramente hasta su temperatura inicial. a) Trazar el diagrama P-V de este ciclo. b) Hallar el trabajo realizado, reali zado, el calor absorbido absorbi do y las variaciones de d e energía interna y de entropía del gas en el ciclo. c) Hallar el rendimiento del ciclo.
b) Sea 1, 2 y 3 los estados de este ciclo según se citan en el enunciado. W12 = nRT1Ln [V2 V1 ] = 454, 705 atm·l W12= Q12= 454.705 atml Q12 = W 12 = 454,705 atm·l U12= 0 atml U 12 = 0 atm·l S12=1.14 atml/K atm·l S12 = nRLn [V2 V1 ] = 1,14 K W23 = P2 (V3 − V2 ) = −246 atm·l
W23= -246 atml Q23= -615 atml U23= -369 atml S23= -2.84 atml/K
Q23 = nc p (T3 − T2 ) = −615 atm·l U 23 = Q23 − W 23 = −369 atm·l atm·l
S23 = nc p Ln [T3 T2 ] = −2, 84
K
W 31 = 0 atm·l Q31 = ncv (T 1 − T 3 ) = 369 atm·l ∆U 31 = Q31 − W 31 = 369 ∆S31 = ncv Ln [T1
atm·l
T3 ] = 1, 71
atm·l
c) El rendimiento es η = 1 −
W31=0 atml Q31= 369 atml U31= 369 atml S31= 1.71 atml/K
K
Q23 Q12 + Q23
= 0, 2534
η=25.34%
5
11.-Calcular el rendimiento de un motor térmico en el que un gas ideal diatómico efectúa reversiblemente el ciclo de la figura.
P(atm) 3 1 V(l) 50
70
Sean 1,2,3,4 sucesivamente los estados de las esquinas del ciclo de la figura, empezando a numerar por la inferior izquierda. Sea n el número de moles del gas.
Las temperaturas de cada uno de estos estados son: T1 = P1V1 nR = 609, 756 n K T2 = P2V1 nR = 1829, 27 27 n K T3 = P2V2 nR = 2560, 98 n K T4 = P1V2 nR = 853, 66 n K Los calores intercambiados son: Q12 = ncv (T2 − T1 ) = 250 atm·l Q23 = nc p (T3 − T2 ) = 210 atm·l Q34 = ncv (T4 − T3 ) = −350 atm·l Q41 = nc p (T1 − T4 ) = −70 atm·l
El rendimiento es: η = 1 −
Q34 + Q41 Q12 + Q23
= 0, 08696
η=8.7 %
12.-Calcúlese el cambio de entropía del Universo como resultado de cada uno de los siguientes procesos, hasta alcanzar el equilibrio: a) Un bloque de cobre de masa m= 0,4 kg y con una capacidad calorífica a presión constante CP = 150 J/ºC a la temperatura de 100ºC, se sumerge en un lago a 10ºC. b) El mismo bloque, a 10ºC, se deja caer ca er al lago desde una altura altur a de 10 m.
6
a) Q = C (TCu − Tlag o ) = 13500 J ∆SCu = CLn ∆Slago = Q
(T
lago
TCu ) = −41, 42 J K
∆SU =6.28 J/K
T lago = 47, 7 J K
∆SU = ∆SCu + ∆S lago = 6, 28 28
J K
b) Supongamos el proceso dividido en 2 etapas: 1) Al caer, el bloque se calienta al impactar con el agua a P=cte, y 2) se enfría hasta 10ºC. La ∆S total será la suma de las dos. 1) ∆T en la caída : ∆T =
Q
mgh
C
Despreciando ∆T, ∆S1 = 2)
=
=
0, 4·9,8·10 4·9,8·10
C Q
=
T
39,2 373
150 = 0,105
= 0,261 ,261
º C
J / K
La variación de entropía es la misma de a)
La variación de entropía final es ∆SU =6.385 J/K
J
∆SU = ∆S1) + ∆S a ) = 6,385
K
13.- Una máquina irreversible opera entre dos focos a temperaturas 550 y 350 K, con un rendimiento del 25%. En cada ciclo la máquina absorbe del foco caliente un calor de 1200 J. Calcular: a) El cambio en la entropía del universo por cada ciclo de operación. b) El trabajo adicional adiciona l que podría realizar si la máquina fuese reversible. revers ible.
a) T1 = 550 K T2 = 350 K η =
η =
25% W Q1
=
Q1 − Q2 Q1
=1−
∆Su = ∆S Fc + ∆S Ff = −
Q2 Q1
⇒ Q2
1200 550
+
= 900 J
900
∆SU =0.39 J/K
350
b) Para un sistema reversible:
7
1200
Q2′
⇒ Q2′ = 764 J 550 350 W = Q1 − Q2′ = 1200 − 764 = 436 J ∆S = 0 = −
+
Wirrevers = Q1 − Q2 = 1200 − 900 = 300 J ∆W =
436 − 300 = 136 J
∆W = 136 J
14.- Un mol de helio que ocupa un volumen inicial de 22 l y está a una temperatura de 280 K, sufre un proceso tras el cual ha duplicado su volumen y ha pasado a una temperatura de 1120 K. Calcular el cambio de entropía del gas realizando las suposiciones adecuadas.
V2 = 44 l → T1 = 280 K T2 = 1120 K
V1 = 22 l
Consideremos un proceso reversible en el que se absorbe una cantidad de calor Q a temperatura T: ∆S =
Q
=
∆u
+
T T ∆u = P − W ∆S =
W
=
T T
3 2
T
+
PdV T
V
Ncv ln T ]T2 + NR ln V ]V 2 = Nc v ln 1
= 1⋅
Ncv dT
⋅ 8.31⋅ ln ln
1120 280
1
+ 1⋅ 8.31⋅ ln ln 2 =
1120 280
+ NR ln 2 =
23 J / K
∆S = 23 J/K
15.- Dos kilomoles de un gas ideal diatómico (γ=7/5) evolucionan según un ciclo de Carnot entre 180 ºC y 40 ºC. La cantidad de calor absorbida de la fuente caliente es de 4·106 J y la presión máxima alcanzada es de 106 Pa. Dibujar el ciclo en el diagrama P-V y calcular: a) El volumen del gas al finalizar la expansión isoterma. b) El trabajo realizado realizad o por el gas en el ciclo. c) La variación de entropía en la compresión isoterma. d) El rendimiento del ciclo.
8
1 atml =101.3 J γ=7/5 N=2 ·103 moles T1 =180 ºC= 453 K T2 = 40 ºC=313 K Q1 = 4 ·106 J Pmax = PA =106 Pa= 9.87 atm
a) PV = NRT → V A =
TV V B
γ −1
=
V A
= cte → T1V A
V C V B
⇒ VC
V B V A
γ −1
=
2 ⋅103 ⋅ 0.082 ⋅ 453
P A
9.87
= T2VD
γ −1
⇒ 453 ( 75 7 527.1)
= 7527.1l
0.4
=
313VD
0.4
⇒ VD
= 18968.9l
= 2.52V B
∆U = 0 ⇒ Q = W
ln
NRT A
= 0.53 ⇒
⇒ Q1 = NRT1 l n
V B V A
=e
0.53
⇒ V B
V B V A
⇒ 4 ⋅ 106
=
2000 ⋅ 0.082 ⋅ 453 ln
V B V A
= 12796 l
VC = 32245.9 l
VB =12796 l
b) Q2 = NRT2 ln
V C V D
=
27.6 ⋅ 10 105 J
W = Q1 − Q2 = 4 ⋅106 − 27.6 ⋅ 105
W =12. =12.4 4 ·10 ·10 J
9
c) ∆S BC = ∆S AD = 0 ∆S AB =
Q1
=
T 1
∆SCD = −
4 ⋅106 453
Q2 T 2
= 8830
J / K ∆SCD =-8830 J/K
= −8830
J / K
∆S T = 0
d) η = 1 −
T 2 T 1
= 1−
313 453
= 0 .3 1
η = 31%
16.- Se está diseñando una máquina de Carnot que usa dos moles de CO2 como sustancia de trabajo, con una temperatura máxima de 527 ºC y una presión máxima de 5 atm. Con un aporte de 400 J por ciclo se desea obtener un trabajo útil de 300 J. Calcular: a) La temperatura a la que debe estar el foco frío. b) El número de ciclos que tiene t iene que efectuar la máquina máqu ina para derretir un trozo t rozo de hielo de 10 kg.
a) T=527 ºC Pmax =5 atm Q1 =400 J W=300 J N=2 moles
η = 1 −
1−
T2
=
T1
W Q1
T 2
=
527 + 273
300 400
= 0 .7 5
T2 = 0.25T 1 T2 =200 K= -73 ºC
b) Para derretir un trozo de hielo de 10 Kg:
10
1−
Q2 Q1
= 0.75 ⇒ Q2 =
0.25 ⋅ 40 400 = 100 J → Q2 en un ciclo.
Q = mL = 10 ⋅ 10 103 ( g ) ⋅ 80 ( cal / g ) ⋅ 4.16 ( J / cal ) = 3.3 ⋅ 106 J → Cantidad de calor necesaria para derretir 10 Kg. Q2 ( nº de ciclos ) = 3.3 ⋅ 106 J ⇒ nº de ciclos = 3.3⋅ 104 3.3·104 ciclos
17.- Un mol de un gas ideal diatómico (γ=1,4, C V=5/2 R) se encuentra en un estado inicial a 27 ºC ocupando un volumen de 3 litros. Se expansiona isotérmicamente hasta alcanzar un volumen doble del inicial y a continuación se enfría isobáricamente hasta un estado, a partir del cual sigue un proceso adiabático hasta finalizar el ciclo. Representar gráficamente el ciclo en un diagrama PV y calcular: a) Los volúmenes, presiones y temperaturas correspondientes a cada estado del ciclo. b) El trabajo realizado realizad o por el gas en el ciclo. c) La variación de entropía y energía interna en el proceso isobaro. d) El rendimiento de una máquina reversible que operase según este ciclo.
N=1 Cv =5R/2 γ = C p / Cv =1.4 TA=300 K VA= 3 l VB = 6 l
C p =7R/2
a) PV = NRT ⇒ P = P B =
1 ⋅ 0.082 ⋅ 300
6 PC = PB = 4.1 atm
NRT V
TC =
γ
PCV C R
=
= 8.2
atm
= 4.1 atm
P AVA = PCVC ⇒ VC = γ
⇒ P A
γ
P AV Aγ P C
= 2V A
γ
A (8.2 atm, 300 K, 3 l) B (4.1 atm, 300 K, 6 l) C (4.1 atm, 245 K, 4.9 l)
⇒ V C = 4 .9l
245 K
11
b) Proceso A → B: T ct cte → ∆ u = 0 ⇒ Q1 = W
∫
W AB = PdV =
cte
∫V
dV = NRT ln
V B V A
= 1728
J
Proceso B → C : P cte; W = P (VC − VB ) = 4.1( 4.9 − 6 ) = −4.51atml = −456.83 J ∆u = Q − W ∆u =
⇒ Q = ∆u + W
Ncv (TC − TB ) =
5 2
= −11.275 − 4, 51= −15.785atml
R ( 245 − 300 ) = −11.275atml
Proceso C → A:
∫
Q=0; ∆u = Q − W ⇒ ∆u = −W = − PdV ∆u =
Ncv (TA − TC ) = 11.257 atml = 1142.2 J
Wtotal = 1728 J − 456.8 J − 1142.2 J = 129 J
Wtotal=129 J c) ∆uTotal = 0
; ∆uCA = − ∆u BC
∆uCA = 1142.2 J ∆S BC =
∫
dQ T
=
∫
c P dT T
= cP ln
T C T B
=
7 2
R ln
245 300
= −5.89 J
/K
∆uCA=1142.2 J ∆SBC=-5.89 J/K
d) η =
W
=
1728 − 456.8 − 1142.2
Q
1728
= 7.5%
η= 7.5 %
18.-Un extremo de una varilla de cobre está en contacto con un foco calorífico a 450 K. El otro extremo está en contacto con un foco a 300 K. Una vez que el sistema ha
12
alcanzado el estado estacionario se observa que en una hora se transfieren 2400 cal desde el extremo caliente al frío de la varilla. a) Hallar el cambio de entropía de los focos y de la varilla. b) ¿Cuánta entropía se ha h a creado? c) Hallar la energía degradada en el proceso. a) Las variaciones de entropía son: ∆S1 = − Q
T1 = − 22, 29 2933 J / K
∆S 2 = − Q
T2 = 33, 44 J / K
∆S var illa = 0
∆S1=-22.29 J/K ∆S2=33.44 J/K ∆Svarilla=0 J/K
b) La entropía del Universo ha variado en ∆SU = ∆S1 + ∆S 2 = 11,147
J K
∆SU=11.147 J/K
c) La energía degradada en el proceso, puesto que este es irreversible, es la cantidad de calor que ha pasado del foco caliente al frío Q = 10032 J. Edeg radada = T frio ∆S = 300 300·11,1 11,147 47 = 3344 3344,1 ,1 J Edegradada=3344.1 J/K
19.-Tres moles de oxígeno evolucionan según el ciclo de la figura y en el sentido indicado. Si P1=3 atm, V1=2 l y V2=4 l; Calcular: a) Q,W y ∆U para el proceso de compresión isotérmica. b) El rendimiento del ciclo. cicl o. c) Si la máquina realiza 20 ciclos/min, ¿cuál es la potencia que desarrolla en C.V.?
P Isoterm P1
P2 V V1
V2 13
Sean 1,2 y 3 los estados del ciclo en los que se pasa de un proceso a otro, empezando a numerar por el estado de coordenadas (V1,P1). a) Cálculo de las variables termodinámicas en los estados 1, 2 y 3:
P2 = P1 V1 V 2 = 1,5 atm T1 = P1V1 n R = 24,390 K T2 = P2V2 n R = 48,781 K T3 = P3V3 n R = 24,390 K El trabajo, calor y variación de energía interna son, aplicando la ley de Joule para la energía interna del gas ideal: W31 = nRT1Ln (V1 V3 ) = −4.159 atm·l
W = Q = −4.159 atm·l
Q31 = W 13 = −4.159 atm·l
∆u=0
U 31 = 0
b) Para calcular el rendimiento del ciclo se calculan los calores intercambiados en los otros dos procesos: Q12 = nc p (T2 − T1 ) = 21 atm·l Q23 = ncv (T3 −T2 ) = −15 atm·l El rendimiento es: η = 1 −
Q23 + Q31 Q12
= 0, 08767 = 8, 77%
η= 8.77%
c) En un ciclo el trabajo realizado por el sistema es: W = Q12 + Q23 + Q31 = 1,841 ,841 atm atm·l = 186 186,552 ,552 J . La potencia es
W t
=
W20 60
·
1 736
=0,08449 CV .
P= 0.08449 CV
14
20.- Una central de energía produce una potencia eléctrica de 1000 MW a partir de turbinas que reciben vapor a 500 K y expulsan agua a 300 K a un río. El agua del río, tras pasar por la central se encuentra 6 K más caliente debido a la energía cedida por la central. Calcular el caudal del río suponiendo que la central se comporta como una máquina de Carnot. η = 1 −
η =
W
T 2 T 1
= 0.4
W =
Q1
Q1
∆t
=
∆t
P Q1
⇒
Q1
P
=
∆t
∆t
η
W = Q1 − Q2 ⇒ Q2 = Q1 − W Q2
=
∆t
Q2
Q1 ∆t
−
W ∆t
⇒
Q2 ∆t
Q = cm∆T m
1
∆t
∆t
η
=
Q1 ∆t
P (1 − η )
Q2 ∆t
=
=
=
P
− P =
P (1 − η )
P (1 − η )
η
=
η
cm∆T ∆t
η
9
⋅1 ⋅ 10
6 º C ⋅ 4186 J / Kg º C
− P =
W
⇒
1 − 0 .4 0 .4
m ∆t
≃
=
1 P (1 − η ) ∆Tc
η
5.97 ⋅ 104 Kg / s
m 4 = 5.97 ⋅10 Kg / s ∆t
15
