dx
F
(20)
(p - t)
tga.
(1 - tg a .
tg
L -
dx
dT
""dX
p. dx représente le poids des terrains, éventuellement déjaugés, de la tranche d'épaisseur dx (fig. 18).
47
extérieure
Fig. 18 - Calcul du poids déjaugé d'une tranche.
La méthode théorique ne permet pas de dépasser le stade de cette équation implicite en F.
3 - Méthode numérique de résolution Pour résoudre l'équation (20) implicite en F, la méthode de Janbu procède par approximations successives. Cette approximationse fait en trois étapes Première étape. on suppose: ce
qu~
t = 0 et na
=
J en tout point.
permet de calculer une coefficient primitif FPO
l (c' l -p
FPO
+
(p -
U)
•
tgw') dx
tga dx
Deuxième étape, on recalcule n (FPO) (valeur de n pour FPO) , en a a supposant toujours t O. Ceci conduit à un coefficient de sécurité F 0 Cl
(p -
+
no:
FO
l -
U)
•
tg
(FPO)
dx
p • tga • dx
Troisième étape, au moyen de FO. on calcule toutes les forces intertranches puis on recalcule un coefficient FI par la formule:
l
Cl
+ (p - t - U)
• tgw
l
na (FO)
FI
l -
(p - t)
. tga . dx
48
dx
Par le même processus, on passe de FI à F2, puis on itère pour passer de FN au coefficient suivant. On continue jusqu'à obtenir une stabilité du coefficient. 4 - Conclusion Etude des résultats
-~----~------------
Dans la plupart des cas. nous avons pu constater que la convergence des FN vers une valeur stable est très rapide. Il n'est pas nécessaire de dépasser F3. Problèmes rencontrés a) - Cas de divergence Au cours des essais, nous avons rencontré un exemple où la méthode divergeait: il s'agit d'un talus théorique (fig. 19) et la méthode a été appliquée à une courbe de rupture circulaire.
y
Fig. 19 Cas de divergence de la méthode.
On peut s'interroger sur les raisons de cette divergence. Ceci vient du fait que pour les méthodes itératives de ce type, on n'est sûr de la convergence que si on part d'un voisinage de la solution et si l'application F(N) ~ F(N + 1) est contractante.
49
b) - Problèmes théoriques L'hypothèse (c) de la méthode de Janbu est trop restrictive. dE si on annule le terme dx . (e - y) on ne peut se placer que dans l~deux cas suivants : Premier cas :
dE
0, ce qui implique
dX
E(x)
= constante.
Or, les efforts étant nuls au deux extrémités, nous avons donc En utilisant l'équation (19), il vient:
E(x)
O.
a
T(x)
On retrouve ainsi les hypothèses de la méthode de Fellenius. ~ et l'équation dx ( 19) devient T + y' E : : : O. On retrouve dans ce cas la méthode où la ligne d'action est confondue avec la ligne de rupture, que nous étudierons plus loin. Deuxième cas
. l' de 0, ce qui lmp lque dx
(e - y)
c'est donc sur ces points que nous avons porté notre attention pour définir la méthode modifiée.
B - METHODES DERIVEES Notre souci principal fut de respecter l'ensemble des équations de la statique et en particulier l'équation de moment. 1 - Méthode à ligne de passage fixe
Nous reprendrons les hypothèses (a), (b) de la méthode de Janbu. Nous ajouterons la donnée de la fonction e (x) pour tout x (x Xl)' o Résultats ---_ ..... _-- ..... Nous avons conservé le même algorithme de résolution que celui de la méthode de Janbu en ne modifiant que la relation entre T et E : nous avons pris la relation: T + de dx tion exacte de moment.
E
+
dE dx
. (e - y)
= a ,qui
représente l'équa-
Tous les points de passage sont ainsi fixés dès le début< La convergence de la méthode itérative reste rapide, quand elle existe, mais on a pu constater qu'une partie de l'hypothèse n'est plus verifiée : on a supposé E(x ) = a o
T(x ) = 0, la méthode conduit à E(x ) = a mais on constate que T(x) l o toujours différent de a même au terme de l'itération.
50
est
Nous avons tenté d'expliquer cette anomalie en faisant le décompte du nombre des équations et de celui des inconnues (fig. 20) Considérons un découpage en n tranches. Dans une tranche les inconnues sont: E, T, N, S, e ; pour l'ensemble, il faut ajouter le coefficient de sécurité F. Les inconnues sont donc F
~nconnue
El , E2'
e
'"
0
!li
(1
fi
..
,E
n+l
n' En+l
~nconnues
) ) ) )
TI
•
T , 2
e '" (1"
(1
G
'"
n+1
oTn' T
n+1
~nconnues
) )
SI , S2'
o
0
fi
'"
fi
0
(1
Il
S
n
n
inconnues
) )
NI
, N2 ,
(1
(1
0
(1
fi""
eN
n
n
inconnues
) )
el
, e2,
!li
8
0
0"
•
Il
0
8
e
n-J inconnues
n-J
Fig. 20 - Forces internes au talus.
51
)
5 n + 2 inconnues
Ces lnconnues sont liées par les relations T
n+1
o fournies par la donnée de la ligne de passage
3 équations de la statique équation déduite du critère de Coulomb
( ) (
pour chaque tranche
Soit au total 5 n + 3 relations. Il y a donc une relation de trop ce qui explique que l'on ne puisse pas fixer dans ce cas T '1 = 0 les autres relations n+
étant par ailleurs vérifiées. Nous avons ainsi été conduits à introduire un paramètre supplémentaire. 2 - Méthode à ligne de passage variable
La première façon d'introduire un paramètre supplémentaire consiste à libérer un des points de la ligne de passage et à l'ajuster de telle sorte que la conditionT(x j ) = 0 soit vérifiée. Cette solution n'est pas satisfaisante car le point trouvé est de la ligne de passage.
totalement incompatible avec la géométrie du talus et
Nous définissons la ligne de passage par la relation e(x) = y(x) + f(x). (z(x) - y(x)) où f(x) est une fonction arbitraire. Cette représentation permet d'avoir: e(x ) :::: y(x)
z(x)
0 0 0
L'idée de la méthode est de remplaçer f(x) par H{x) où À est un paramètre. Ce paramètre nous permet alors d'obtenir en plus T(x)) = O. Nous avons ainsi résolu l'un des problèmes que nous avions soulevés à la suite de la méthode de Janbu.
Il ne restait alors à résoudre que le problème de convergence. Devant l'échec de la méthode itérative, nous avons opté pour une méthode de descente. Le principe en est le suivant : On choisit une fonction f(x) et une valeur de À à partir de ces données, on recherche la valeur de F annulant E(x\). On fait alors un accrOlS-
52
sement dÀ et on étudie la variation de T(x ) lors de cet accroissement. Trois 1 cas sont possibles : on procède alors par interpolation
- T(x ) change de signe 1
1
T(x )
1
1
signe de 1
ÀJ
T(x )
=
dÀ 1
1
À+
croît et
T(x ) ne change pas de signe on change alors le 1
et on itère.
décroît et T(x ) ne change pas de signe. On pose alors 1
dÀ
et on itère le processus à partir de
À) avec le même
dÀ La solution ainsi trouvée satisfait à toutes les équations de la statique. Résultats -------_._..,..
Les cas où l'algorithme précédent divergeait, ont pu être traités avec succès par cette méthode qui présente cependant deux inconvénients - la méthode est lente car elle nécessite une double itération, - pour certaines fonctions
f(x), il n'existe pas de solutions en F.
Il nous a été impossible de démontrer théoriquement l'existence et l'unicité de F pour une fonction f(x) donnée. Cependant, dans tous les cas numériquement traités, nous avons trouvé une valeur unique. Les valeurs ainsi trouvées sont voisines de celles que fournissent les autres méthodes comme on peut le constater dans le chapitre 8. Nous avons testé l'influence de différentes formes de ligne de passage sur le coefficient de sécurité. Les résultats consignés dans le tableau cidessous se rapportant respectivement aux fonctions f(x) de la figure 22 montrent que, lorsque la solution existe, elle dépend assez peu de la ligne de passage choisie. - fO(x) est une constante sur l'intervalle (x O ' xI) Fonction fO(x)
Fonction fi (x)
r------------------r------------------F '"
F = 2.029
2.030
Valeurs de
F
Fonction f (x) 2 ~-----------------
F. 2031
pour différentes lignes de passage (voir figures 21 et 22)
53
Des essais ont été réalisés afin de déterminer l'influence du nombre de tranches sur la valeur de F. Les résultats représentés dans le tableau ci-dessous montrent que le coefficient de sécurité est sensible au nombre de tranches quand ce nombre est faible et qu'il se stabilise au-delà de 50 tranches. 10
N
--- ..... _-------- ..... 0.736
F
25
30
----_ .......... - !-------0.644
0.630
50
~~_
.....
_~-
0.626
Variation de F en fonction du nombre de tranches c) Les forces inter tranches Si la fonction E(x) est peu sensible aux différents facteurs précédemment cités, il n'en est pas de même de la fonction T(x) pour laquelle on constate une oscillation (figures 21 et 22). On remarque que cette oscillation se produit essentiellement lorsque T est petit devant E. Nous proposons une explication intuitive de ce phénomène (exemple 2, chapitre 8). Considérons la tranche (fig. 23) : comme le point A situé au milieu de la tranche 1 est un point de moment nul NI ' SJ ' W] , nous en déduisons que RI passe par
A.
y
10m Fig. 21 - Talus étudié pour deux fonctions fI et f 2 (voir Fig. 22).
54
X
@
Tonnes/métre linèaire
5
°1
x
1
1 1
1 1
1 F2 1
1
1
=2,031
1
1
1
1
1
1
01
xC)
1
0
FI =2,029
I X1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
Tonnes /
mètre
linéaire
1
5
fonction
Ei)
/
1 1
1 1
1 1 1
o
x Fig. 22 -
Répartitions de E et T pour les fonctions fI et f 2 (talus de la Fig. 21).
55
Fig. 23 - Analyse des forces en haut de talus .
.R) a donc un moment négatif par rapport à B, situé au milieu de la 2 qU1 est lui-même un point de moment nul N , 8 , W • Il faut 2 2 2 donc que R ait un moment positif par rapport à B. Or, nous supposons que E 2 est resté positif ce qui nous conduit soit à changer le signe de T, soit à le faire varier assez fortement car, nous le rappelons, il était dans ce cas petit par rapport à E. tranche
En poussant plus avant cette prem1ere explication intuitive, il a été facile de trouver une ligne de passage particulière qui permettait de stabiliser la fonction T. En effet, pour que les équations des moments soient toutes satisfaisantes, il suffit que, si une action Ri passe par le point de moment nul de la tranche (i - 1), elle passe aussi par le point de moment nul de la tranche i (fig. 24). On obtient donc par ce moyen tous les points de passage des forces et par conséquent la ligne de passage. Ce système a été effectivement essayé et programmé et on a pu constater la stabilité de la fonction T(x). On peut se demander pourquoi, dans ce cas, on peut délibéremment bloquer la ligne de passage. c'est-à-dire se priver du paramètre À. tout en vérifiant l'ensemble des équations de la statique. La remarque de base qui explique ceci est : si les actions R. et R. . sur la 1 1+1 tranche i passent par le point de moment nul par rapport à N. , 8 . • W. , 111 alors l'équation d'équilibre de moment de la tranche 1 est automatiquement vérifiée.
56
c Fig. 24 - Ligne de passage permettant la stabilisation de T(x).
Un rapide bilan des inconnues et des équations prouve alors que le paramètre À est inutile. Pour faire ce bilan, remarquons qu'un vecteur dont la direction est donnée n'est plus équivalent qu'à une seule inconnue scalaire (fig. 25).
Fig. 25 - Schéma des inconnues dans le cas de la ligne de passage de la figure 24.
57
Les lnconnues sont : E , E3' 2 N} , N2 ,
. S} , .F
S2'
&
é
fi
é
e
"
0
(1
"
,
li
0
•
0
li
&
0'
•
iii
,
Il
0
••
Il
"
•
e
01
,
E n
-
Cn
})
lnconnues
N n
n inconnues
S n
n lnconnues
( )
C ) ( ) (
inconnue
3 n lnconnues
Pour chaque tranche il reste seulement - 2 équations de projections - 1 équation déduite du critère de Coulomb Soit au total 3.n relations pour
( ) (
3 relations
3.n lnconnues.
si on passe à la limite en faisant tendre le nombre de tranches vers l'infini, on peut remarquer que cette méthode tend vers la méthode où la ligne de passage est confondue avec la ligne de rupture (voir chapitre 5).
Dans la plupart des cas, la ligne de passage déterminée comme solution des équations, s'est située dans le tiers inférieur du talus et souvent proche de la ligne de rupture. Cependant, pour certains talus, la ligne de passage est située à l'extérieur du talus:ceci n'est pas particulièrement gênant car nous avons admis que le torseur des efforts sur une verticale était réductible à une force unique ce qui excluait la présence d'un moment. Conclusion Cette méthode de la ligne de passage a donc apporté une plus grande rigueur dans la résolution des équations de stabilité du talus. Mais ceci est obtenu au prix d'un calcul relativement long et l'usage d'un ordinateur est absolument nécessaire.
58
CHAPITRE 5 UNE SOLUTION ANALYTIQUE SIMPLE DU PROBLEME DANS LE CAS OÙ LA LIGNE D'ACTION EST CONFONDUE AVEC LA COURBE DE RUPTURE
A - INTRODUCTION Les calculs de divers talus, par les méthodes de Janbu et de Morgenstern et Priee, ont montré qu'en général la ligne d'action est proche de la courbe de rupture, et, dans l'ensemble, nettement plus basse que le tiers central. On sait qu'en cas de rupture, seule une zone de sol sur la ligne de rupture est en équilibre limite, le reste du talus étant en équilibre surabondant. Il n'est pas déraisonnable d'admettre que c'est dans cette zone que le sol va mobiliser les contraintes les plus fortes. Si nous traçons la courbe donnant la contrainte a normale à une verticale, notre hypothèse consiste à admettre que la réparti~ion de a présente un pic au voisinage de la courbe de rupture (fig. 26). n
Résultante
E
l Fig. 26 - Hypothèse sur la répartition de OTj.
59
e(x)-y{x)
E est la résultante des contraintes cr • Son point d'application, d'ordonnée e(x), sera d'autant plus proche d~ y(x) que le pic des cr sera n plus accentué. Nous admettons donc, comme hypothèse simplificatrice, qu'il y a accumulation de contrainte au niveau de la ligne de rupture, et donc que
f
la ligne d'action de la force E + Cela se traduit par la relation:
est confondue avec la ligne de rupture.
e(x)
y(x)
Nous verrons plus loin que cette hypothèse permet de pousser les calculs analytiques pratiquement jusqu'à la résolution complète des équations. On remarque que cette méthode peut être considérée comme un cas particulier de la méthode de Morgenstern et Price et de celle dérivée de la méthode de Janbu.
B - DEVELOPPEMENT ANALYTIQUE Nous avons à résoudre les équations (4), (7) et (9) compte tenu de l'hypothèse e(x)
y(x)
::::
L'équation (4) devient T + E
~ dx
""
0
ce qui entraîne par dérivation par rapport à dT dx
+
dE dx
dy dx
+
x:
o
E
L'équation (9) peut donc s'écrire, compte tenu de dE dx
+
Ay" . cos 2Cl'. . E +
c' - tgcp'
U + Ayh
2
_ _ _ _~_L-_ _• _ _
cos Cl'.
F
Pour vérifier les conditions (7), nous devons trouver de l'équation (21) vérifiant E(x o ) "" 0 vérifie aussi
60
tgCl'. "" È.L.. dx
F
o
(21)
tel que la solution
Pour cela, nous allons transformer l'équation (21) en tenant compte des relations suivantes dx
cosa.
ds
da
ds "" R
(R "" rayon de courbure) 3
1 == y" . cos a
L'équation (21)
A.E
dE ds
+
+ -R-
R
s'écrit donc ( c' - t~~' . U + A yh cos 2a ) "" 0
cosa
Si nous posons
(22)
E
Z
cosa
nous avons
E
cos a
.Z
- sin a. Z
T
ce qui entraîne z2
""
2 E
+
T
2
1
zi est donc le module de la force
Z
vérifie l'équation (23) : dZ ds
~
+
F
Z R
+
tg~
c' -
e
Z
•
C
(0) "" 0
+
2
[ Z(S)
=
o
Ayh . cos a
(23)
est
1 ~d~ Ol
,
-01"
Pour aV01.r
U
T.
s
-j~d~ Z (s) ::: -
•
-+
E +
F
dont la solution telle que : d-
1
-+
e' - tg ljI • U
eto
+
A.Yh.CO;(O!)]
•
F
!t
ds (24)
F
0,
F
doit vérifier l'équation (25)
1
-
tg ~ • U
::
F
0
(25)
61
On démontre aisément que, dans le cas d'un terrain homogène, cette équation en F admet une solution unique positive. La résolution numérique ne pose pas de problèmes particuliers. Si nous supposons connue la valeur de 2(s) est entièrement déterminée.
F
qui vérifie (25). la fonction
Calcul de E E ( s)
2 ( s ) • co sa.
T ( s)
- 2 ( s ) . s i na.
Calcul de
C5
dE dx
On sait que
c' - tg4>' • U
+A.C5+
F
o
ce qui entraîne dE ds
+
(A.
C5
+ c' -
tg4>
1
•
U )
F
cos (a. )
Compte tenu de (22), nous pouvons écrire 2
C5
yh
cos a +
C5
yh
cos a +
E (s)
R • cosa
soit
Remarque
Z(s)
2
2 yh . cos a
R
est la contrainte de Fellenius.
C - APPLICATIONS Etudions deux cas particuliers classiques :
tg'
"" 0
L'équation (25) devient explicite en F
1
F ::
C .
S
62
o
Nous retrouvons ainsi une formule connue dans le cas de la rupture circulaire : Xl
J
moment moteur
X
moment résistant et
c'
R.
sina. yh . dx
o
. S • R
moment résistant
F
moment moteur
La ligne de rupture est plane donc
R
o
ce qui entraîne a
= yh
• cos
Pour l'équation (25) c' F
+
A . yh •
2
a
soit vérifiée, il faut avoir 2
cos a
'" 0
ce qui peut s'écrire, en appelant zontale : Cl
L l'angle que fait le terrain avec l'hori-
F '" ~----~~~------~~ yh • sin (i) . cos (i)
+
~
tg(i)
ce qUL est la formule classique du glissement plan. D - CONCLUSION Les résultats fournis par cette méthode seront comparés dans un chapitre suivant à ceux fournis par d'autres méthodes. La concordance des coefficients de sécurité est en général très bonne. Le plus grand intérêt de cette méthode est de donner des répartitions de a, E ,et T très régulières, et en général, mécaniquement acceptables. Les calculs numériques sont aussi simples que ceux de la méthode de Bishop.
63
TROISIÈME PARTIE eTUDE DE LA CONTRAINTE NORMALE
cr
ET RECHERCHE DE SA REPR SENTATION ANALYTIQUE
Les méthodes de Bishop et Fellenius donnent des expressions simples de la contrainte normale a. Mais la contrainte déduite de la méthode de Bishop simplifiée présente l'inconvénient de pouvoir devenir localement infinie, en traction ou en compression, et de ne pas vérifier les équations de la statique. La contrainte de Fellenius conduit à des coefficients de sécurité jugés en général trop faibles. La méthode du chapitre 5 donne une expression simple de a en fonction de la contrainte de Fellenius. L'objet de cette troisième partie est de généraliser ces résultats en cherchant la forme analytique la plus générale de la contrainte a. Nous avons pour ce faire élaboré deux méthodes nouvelles: - une méthode dite de «perturbation)}, en partant des propriétés tensorielles du champ des contraintes, - une méthode dite de «minimisation», en partant de la notion d'énergie potentielle de la courbe de rupture.
CHAPITRE 6 MÉTHODE DES PERTURBATIONS
A - ETUDE TENSORIELLE - Forme analytique générale de a(x) Nous nous proposons de déterminer la forme analytique de a en faisant appel aux propriétés tensorielles du champ des contraintes. Dans la base orthonormée xOy, la matrice représentative du tenseur des contraintes en un point a la forme générale suivante :
M '"
(26)
où gl ' g2' g3 ' et g4
sont des fonctions du point considéré.
Le vecteur normal à la courbe de rupture est -+
La contrainte en ce point est Les composantes de
x
(- sina , cosa )
-+
M. n
sont :
Nous en déduisons la valeur de a (x) "" -
a (x) ""
n
g 1 sina + g2 cosa
"" -
soit, en posant
-+
a
F
a
F
""
x
sina
a(x) ~
+ 2
yh cos a
[~
cosa
y
(contrainte de Fellenius)
yi 2 _
yh
g3 + g2 yh
y'
+
~]
(27)
yh
L'objet du paragraphe suivant est de préciser les relations de dépendance entre les paramètres gj , g2' g3 et g4·
66
2 - Etat de contrainte étudié par la méthode du pole Si nous étudions la répartition des contraintes à l'aide de la méthode du pôle, nous obtenons le diagramme suivant (fig, 27) :
a
Fig. 27 - Méthode du Pôle.
Un calcul simple montre que
cp' 2
13
-+
-+
ce qui définit deux directions principales, de vecteurs directeurs VI et V , 2 -+
(cos 13
VI
-+
sin 13)
-+
(
V 2
-
sln 13
-+
, cos 13
)
Exprimons que VI et V sont des vecteurs propres de la matrice M, 2 -+ -+ -+ -+ c'est-à-dire que MV et MV sont respectivement parallèles à VI et V , 2 2 I Nous sommes conduits au système suivant g2 g2
"" g3 2 cos 13 - g
3
,
. 2 Sln 13
-
(g4 - g 1)
,
sini3
cos 13
ce qui peut encore s'écrire : g2 g2
= g3
1 2
(g4 - g 1) tg (213)
67
}
(28)
En tenant compte des relations (27) et (28), nous pouvons écrire sina 8 1 • cos26
s1.n
(a - 26 )
+
cos a 84 . cos2S
• cos (a - 26 )
(29)
3 - Etude des problèmes soulevés
L'équation (29) pose quelques problèmes lorsque 6 traîne
cos2 6 '"
0
Si nous voulons que
0
reste bornée dans ce cas, il faut avoir s1.na
sin a . cosa La quantité
ou
où
6
:::: a
ïT
cosa
o
sina . cosa ne peut pas être nulle car on aurait
a "" 0
Comme
ïT
a=:- -2-
ou
3ïT
-2-
4
2
Il faut donc avoir gl "" g4 au point où 6 4>' ïT
a ==
3ïT
prendrait les valeurs
+4
qui sont toutes deux différentes de
-4-
ïT
--4-- , ce qui en-
ïT
-4-
4> ' 2
ïT
4
c'est-à-dire au point
"'""2
Deux cas peuvent se présenter : . d'ff~ 4>' a est toujours 1. erent d e --2-
ïT
2
, ce qui est le cas le plus fréquent,
et il n'y a pas de condition spéciale à vérifier sur gl et g4 . En certains points de la courbe de rupture on a ::::
et il faudra choisir gI
4>'
ïT
2
2
et g4
égaux en ces points.
4 - Conclusion Cette étude montre que o(x) s'exprime en fonction de a (donc de yi), de 4>' (par l'intermédiaire de 6 ). et dépend linéairement de deux fonctions 1.nconnues gl et g4 qui ne peuvent être choisies indépendemment l'une de l'autre.
68
B - LA METHODE DES PERTURBATIONS Le calcul des valeurs de o(x) par les méthodes précédemment décrites montre qu'en général 0 est de l'ordre de grandeur de oF' contrainte de Fellenius. Il est donc naturel d'étudier le rapport
P ""
P
est le rapport
de perturbation, que l'on espère trouver voisin de 1. 1 - Les paramètres
° dépend
Ainsi que nous l'avons vu précédemment,
• h, y,
des quantités
y'.
Cl
•
°
et T doivent vérifier les trois équations de la statique et la relation de Coulomb, l'une de ces relations sert à définir T en fonction de cr ,une autre sert à calculer F il nous reste donc deux relations indépendantes ce qui nous conduit à faire dépendre
P ""
de deux paramètres
En introduisant deux fonctions
f) et f
2
À
et
jJ
( qui jouent le rôle de gl et
g4 dans la relation (29)>. nous posons donc
f 1 et f
2
sont des fonctions construites à l'aide de h, h'. y', y", etc.
L'influence des termes en deux coefficients À et jJ .
et
Cl
est globalement traduite par les
2 - Calcul de F A F fixé, les deux prem~eres équations de la statique, dans lesquelles cr est remplacée par son expression en fonction de À et jJ forment un sytème linéaire en À e r jJ. La résolution de ce système permet donc de définir deux fonction À(F) et jJ(F). Il reste ensuite à vérifier l'équation des moments avec
On obtient ainsi une équation en la seule variable F, qui se présente, ainsi qu'on peut facilement le vérifier sous la forme d'un polynôme du 3°degré.
69
3 - Choix des fonctions f
et f
2
Les essais que nous avons effectués ont montré que l'utilisation de h (qui intervient dans oF)' h' et y" dans la construction de fI et f conduit 2 à des répartitions de contraintes inacceptables, faisant apparaître de larges zones de terrain en traction. Les meilleures répartitions sont obtenues en combinant y' et y'2 et une constante.
Trois formes simples semblent alors possibles
° ..
oF
° :: °=
(À
y'
of-
]1
oF (ÀY'
of-
11 Y
oF ( À
of-
j.l
)
(forme J)
,2 )
y
,2
(forme 2)
)
(forme 3)
La forme 2 peut être à priori rejetée, car au point le plus bas de la courbe de rupture elle entraîne : y' = 0 donc = O. Par contre les formes 1 et 3 conduisent à des résultats satisfaisants.
°
4 - Résultats La méthode a été soumise à des tests sur des courbes circulaires et des courbes non circulaires. Les résultats nous ont conduits aux remarques suivantes : -Influence du nombre de tranches. La valeur de F dépend du nombre de tranches en lequel on décompose l'intervalle d'intégration (x • xl)' Cette dépendance a été testée sur l'exemple 2 O (chapitre 8). Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous: nombre de tranches F
10
0.720
15
25
50
0.670
0.640
0.628
Au-delà de 50 tranches la valeur de F ne varie plus. Il semble que cette dépendance soit beaucoup plus faible dans le cas d'un sol homogène. -Influence du choix de y' ou de y,2 Les deux choix ont été comparés sur les exemples J. 2 et 3 de la 4ème partie. Les résultats sont les suivants:
70
F
o ""
o "" oF 0. + lJ y,2)
o O.+lJY') F
Exemple 1
2.029
2.031
Exemple 2
0.626
0.629
Exemple 3
3.451
3.448
Nous constatons que la concordance de ces résultats est très bonne. -Forces inter tranches et lignes de passage Les forces E et T sont très régulières; la ligne de passage semble être généralement située dans la masse en glissement potentiel, tant que E ne s'annule pas (voir chapitre 8, exemple 2). Le choix de y' ou de y'2 influe assez peu sur les forces E et T, ainsi que sur la ligne de passage.
71
CHAPITRE 7 MÉTHODES DE MINIMISATION ÉNERGÉTIQUE
L'objet de ces méthodes est de cherch~la forme analytique la plus générale que l'on peut donner à la fonction 0 . Pour cela nous supposons qu'il existe une fonction "potentiel de la courbe de rupture fi, Parmi toutes les répartitions de contraintes satisfaisant aux équations de la statique nous choisirons celle qui rend le potentiel minimum,
A - LA MINIMISATION DU POTENTIEL ENERGETIQUE Envisageons une zone de sol d'épaisseur long de la ligne de rupture (fig. 28),
01
et de longueur ds
Fig. 28 - Elément de la ligne de rupture potentielle.
72
le
La partie inférieure de cette zone est soumise aux forces ods et ds. On sait (7) que le potentiel énergétique accumulé dans un solide soumis à des actions FJ ' F2' .•.... ·.. Fn est la forme: T
a.
F~
~
2 "2
P
lij
+
~
i
b .. F. F. ~J
~
J
Nous admettrons donc que le potentiel de la zone de sol envisagée plus haut est : 1 -2-
2
(
2
(ds)2
)
+ T
0
. 81
Le potentiel par unité de longueur comptée le long de l'axe des abscisses et par unité de longueur en épaisseur est donc : 2
1
2
+
( 0
2
T
(ds) 2 dx
)
ou bien 2
2
+
( 0
T
(.s!L.) 2
)
dx
dx
2
Le potentiel de l'ensemble de la ligne de rupture est donc
P
2
=
(0
2
+T
2 d ( ds) dx . x
)
Parmi toutes les répartitions de contraintes satisfaisant à l'équilibre, nous allons choisir celle. qui rend le potentiel minimum et qui vérifie la relation de Coulomb. Nous sommes donc amenés à minimiser la fonctionnelle
L (
O,T )
dx
'"
(12) et de la relation de Coulomb
compte tenu des équations (10) , (Il) T ..
c' + tg
73
(1) , (5)
L'équation d'Euler
3
1 2
(
30
( a 2
du problème est
A
= À •
+
+
]J .
B
où À et ]J sont les deux multiplicateurs de Lagrange correspondant aux équations (10 ) et (Il) .
on sait que
1 2
3
1 2
3
2 ( ( )
a
30
('(2)
t~q,'
.
c' + tSq,'
(a - U)
F
F
30
Cela entraîne donc a(x)
a
0
=
a (x) + (À • o
(x)
.
tgq, ,
F
avec o (x. F)
cos F
2
A + ]J. B) .0
(x, F)
(c' - tgq,1 • U) + tgq,,2
2 (a) 2 • F
2
+ tgq,,2
À et]J sont déterminés en fonction de En effet, si nous posons
<
f, g>
à l'aide des équations (10) et (11)
F
f (x) • g (x) . o(x,F) . dx x
o
les équations (10) et (11) peuvent s'écrire
j
'" -
X1 1
c' _ tg~ U [
F
+
Xo
"- w
~ (x) . A ]
j
dx
XI[_c l
-
F
Xo
74
~'
t",,----9 U
. tg{ol) -
B
I!:' Vo
(x)
J
.dx
Nous obtenons a~ns~ un système linéaire en ( toujours de Cramer car son déterminant vaut :
A,A
<
B,B
• <
>
A,B
-<
>
>
À,~
). Ce système est
2
est toujours positif strictement (on utilise le fait que et On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz).
f::,
Donc, à
F
~
fixé, À et
0 (x,F)
> 0
sont déterminés sans ambiguïté.
F est alors calculé en écrivant que l'équation (12) est vérifiée, en prenant pour a(x) la valeur : a(x)
a
o
(x,F) +
A+~(F).
(À(F).
J.
B
0 (x,F)
B - GENERALISATION Nous avons remarqué au paragraphe précédent que le potentiel énergétique est une forme quadratique définie positive de a et T • et nous en avons donné une expression plausible. D'autres formulations sont à priori possibles pour ce potentiel :
21
si
T
•
Q ( a,T)
est une forme quadratique définie positive en
a
et
elle peut Jouer le rôle de potentiel énergétique.
Nous pouvons à partir de Q construire une répartition de contraintes vérifiant les équations (10), (11) et (12) en minimisant la fonctionnelle:
1. (
cr,
r+
T )
X
Q
(cr,
clx
T )
o
L'équation d'Euler est alors 1 -2-
~
1
+
2
Cette équation est linéaire en 6 (x) :::
~(
XI
a;, ( x)
F) ::: _
~
F ) +
a (x
, •
c -
tg
'2
Ô(x,f).::----t '" 1 Q(1,-g-'I'F
À
F
~
1
a et
T
F ) . ( i\ A + l-' B )
,
èJQ (1
W'
.U
F
Q( 1)
>
0
75
•
A
+
~
• B
est donc de la forme
a
1
~) F
~ F
(30)
A partir de ces expressions analytiques, de la façon suivante :
À,
~
et
F
sont calculés
- en remplaçant 0 par sa valeur dans les équations (10) et (II), on obtient un sytème linéaire de Cramer en À et ~ , à F fixé - la résolution de ce système fournit deux fonctions
À(F)
et
- F est solution de l'équation (12) dans laquelle on a remplacé et 0 par leurs valeurs en fonction de x et de F.
~(F). 0
0
,
À , ~
On remarquera que les équations (30) représentent la forme analytique la lus énérale de 0 ui soit solution du roblème. En effet, toute répartition de contrainte • vérifiant les équations du problème peut être obtenue par la méthode de minimisation: il suffit pour cela d'utiliser la fonctionnelle :
I
I
X
!.(O,T)
-21
(
0 -
l
o
dont la minimisation, compte tenu des équations (10). (Il) et (12) donne o = l . ainsi qu'on peut le vérifier aisément. Le calcul de la stabilité des pentes à la rupture se ramène donc. par l'application de cette méthode, au choix d'une forme quadratique définie positive. Il convient alors de faire ce choix de manière à ce que les répartitions de contraintes que l'on peut obtenir soient mécaniquement acceptables. Parmi les choix "raisonnables", nous pouvons citer a) -
du module de la contrainte
m~n~mum
:2 :2 ds:2 Q :: ( G ' + l ) . ( - ) a clx :2
1
- tg ~ • U )
+ (À.A +llB) .
(.0$
(0() • F
:2
.l.' :2
tg",
b) - minimum du carré de la variation de la force inter tranche E .. T
(~)
:2
cl x
..
(~)
:2
cl x l
81"h
( c' - tg~.u ) tg~ F:2cos2(0{) :2
A
..
8
,
..
:2
76
c) - minimum du carré de la différence entre Féllénius y h. cos
Ôc :::
y h
2
+
cos (0.)
2
(À. A
c - INFLUENCE DU CHOIX
a et la contrainte de
(a )
+
1L
8
).
2 COS
(ex )
SUR LA VALEUR DE
LA FORME
F
Il semble que d'une man~ere générale, la valeur obtenue pour F ne dépend que très peu (2 à 3 %) du choix de Q. Il n'en est pas de même de a, T, et E. Nous allons prec~ser ce phénomène dans le cas d'un talus homogène. sans eau. de pente 1/1. étudié en rupture circulaire (fig. 29). Les caractéristiques du sol sont Cl
cas
1
T/m
tg'
1.0
0.0
,...---------- 1----------- -----------cas
2
,...---------cas Les formes
3
Q
yT/m 2.0 """----= .......... _---
0.0
0.5
2.0
1.0
0.5
2.0
---------- ------------1-----------
choisies sont Q • Qb' Q définies au paragraphe précédent. a
77
c
y
x
Fig. 29
Nous allons comparer les valeurs de F obtenues à celles calculées en utilisant la méthode de Bishop simplifiée modifiée par le Laboratoire Central des Ponts et Chaussées. Valeurs 'comparées du coefficient de sécuri té
F
Qa
cas
cas
J
0.356
1.557
0.356
1.505
2
------_ ..... ---------------------------Qb ..,.,-<=-~---
--------------- ,-------------
cas
3
J.907
_ _ _ _ _ =<0 . . . . . _ _
1.863 ....................
_ _.......... ....
J.503 1.857 0.356 _Qc -- --------------- 1------------- ..... _-_ ..... _.............
..... .......... """' .....
Bishop
0.356
1.380
1.734
Nous constatons au vu de ces résultats que : - Il Y a une bonne concordance entre les résultats de Qa' Qb'
Qc(~;
=
3%)
- Les valeurs données par la méthode de Bishop sont plus faibles dans les cas 2 et 3 (environ 6 %) : cela vient probablement du fait que cette méthode ne respecte pas les équations de la statique.
78
Dans les cas l, (tg~' = 0) les quatre résultats sont identiques: cela vient de ce que pour un sol purement cohérent le cisaillement mobilisable est c' . - Il Y a une bonne concordance entre ces résultats et ceux donnés par d'autres méthodes satisfaisant aux équations de la statique. Cela sera précisé dans le chapitre de comparaison des diverses méthodes. Il semble que, d'une manière générale, la forme Q donne les répartie tions de cr, E et T qui paraissent être mécaniquement les meilleures. C'est cette dernière que nous conseillons de retenir.
79
QUATRIÈME PARTIE COMPARAISON DES MI:THODES
CHAPITRE 8
COMPARAISON DES MÉTHODES
Dans les chapitres qui prêcêdent, nous avons dêcrit plusieurs mêthodes de calcul de stabilitê en rupture non circulaire. Mêthode
Mêthode de Morgenstern et Priee, avec la variante numêrique que nous avons mis au point (2° partie, chapitre 3)
Méthode
2
Mêthode de Janbu (2° partie, chapitre 4)
Méthode
3
Mêthode de la ligne de passage imposée (2°
Mêthode
4
Mêthode de rêsolution lorsque la ligne d'actio~ est confondue avec la courbe de rupture (2° partie, chapitre 5)
Mêthode
5
Mêthode de minimisation (3° partie, chapitre 7)
Mêthode
6
Mêthode des perturbations (3° partie, chapitre 6)
Mêthode
7
Dans le cas de talus en rupture circulaire, nous avons aussi utilisé la méthode de Bishop simplifiêe, modifiée par le Laboratoire Central des Ponts et Chaussées.
par~ie,
chapitre 4)
La modification apportée par le LCPC a pour objet d'éliminer les contraintes a de module infini en compression, et les contraintes a de traction, ce qui peut se produire si la quantité : 1 - tg (a) . tg
-
Sl
aB le rapport aF
-
Sl
aB est négative, on fait
de la contrainte
aB calculée par la méthode 2 de Bishop à la contrainte de Fêllénius a = yh.cos a est F supérieur à 2, on remplace aB par a p ' T =
6.
- dans tous les autres cas, on utilise la valeur de aB calculée par la méthode de Bishop simplifiée.
82
La modification va dans le sens de la sécurité. Remarque
Nous avons utilisé la méthode de Morgenstern et Price avec la relation : T "" À(c' • h(x) + tg1>' . E) (2°partie. chapitre 3)
Nous avons utilisé la méthode de minimisation avec la forme quadratique Q-
[cr -
y h. cos
2
(~)2 dx
aJ
(3°partie. chapitre 7) Nous allons comparer ces différentes méthodes sur plusieurs exemples pour lesquels nous donnerons les valeurs de F et les lignes d'actions des forces inter tranches E + T. Exemple
Talus homogène, en rupture circulaire. traité par Morgenstern et Price (12; et cité dans le chapitre 3.
Exemple
2
Remblai sur sol mou (sol frottant sur sol cohérent), en rupture circulaire.
Exemple
3
Talus homogène. en rupture non circulaire. cité par J.M. BELL ( 1 )
Exemple Remarque
4
Glissement de versant naturel instable, situé à Ville au Val Les courbes de rupture utilisées dans les exemples l, 2 et 3 ne sont pas les courbes critiques. Dans l'exemple 4, nous avons utilisé la courbe suivant laquelle se produit actuellement le glissement.
A - CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES ET MECANIQUES DES EXEMPLES PRESENTES
On les trouvera dans les pages suivantes.
83
Exemple 1 (fig. 30) a) - talus homogène en rupture circulaire, pente 2/1 hauteur 5 m b) - caractêristiques du sol : y
=
2 T/m , c'
= T/m
,~ = 20°
c) - le talus est hors d'eau d) - courbe de rupture: cercle de centre
~ (5,10) et de rayon 10 m.
y
:x
1Üm
Q
(5,10)
10m X Fig. 30 - Exemple 1
84
Exemple 2 (fig. 31)
a)
-
remblai sur sol mou, pente 2/1 hauteur 10 m
b)
-
caractéristiques du terrain remblai
y
2,1 T/m
c'
sol mou
y
2
c'
T/m
0 T/m
30°
T/m
0°
==
c) - le talus est hors d'eau d) - courbe de rupture: cercle de centre
0
~
(12,17) et de rayon
20 m
0 (12,17)
y
Remblai
o -~----------~--------------------~--~----
-Sol cohérent
bedrock Fig. 31 - Exemple 2
85
Exemple 3
(fig. 32)
a) - talus homogène, pente 4/1 hauteur 6,23 m b) - caractéristiques du sol y
>=
2 Tlm
c' == 1 Tlm
c) - le talus est hors d'eau d) - la courbe de rupture est schématisée sur la figure 32. Elle n'est pas très éloignée d'une courbe circulaire
Fig. 32 - Exemple 3
y
o
5
10
15
20
2530
35
40
45
Fig. 33 - Exemple 4
86
50
--- -- 55
60
65
70m
X
Exemple 4 (fig. 33) Glissement de Ville au Val a) - pente naturelle, faiblement inclinée, b)
-
caractéristiques moyennes du sol :
• c' = 0 Tlm • .p'=
y :::: 2 Tlm Ci
11
0
20'
est ici la cohésion résiduelle que l'on admet être nulle. La valeur de .p' n'a pas pu être déterminée avec précision sur le terrain: le problème qui nous était posé était de déterminer .p' de façon à obtenir F:::: 1. Nous avons adopté pour cela la valeur tg.p' =: 0.2.
c) - la pente est le siège d'une nappe légèrement inclinée, donnée par son toit. La pression interstitielle U a été calculée par la formule ~
:::: y
w
• h . cos
2
B
(fig. 34)
avec Yw B
poids spécifique de l'eau =:
angle du toit de la nappe avec l'horizontale
Ce calcul suppose que les équipotentielles soient sensiblement parallèles, ce qui est le cas 1C1.
toit de la nappe
AB" AD.cos 2 ,B
1
1 ' - direction
des équipotentielles
1
A
1 Fig. 34 - Calcul de la pression interstitielle.
87
B - VALEURS DU COEFFICIENT DE SECURITE Les valeurs de F correspondant aux exemples décrits précédemment sont rassemblées dans le tableau ci-après. Les calculs ont été effectués sur l'ordinateur du LCPC (CAE 510) et sur celui de l'IRT (CIl 10 070).
F
2,090
2,031
2,029
2,033
,634
0,629
0,642
3,321 ,916
0,942
Les valeurs de F données dans le tableau précédent sont dans l'ensemble très cohérentes. a) - Les valeurs données par les méthodes vérifiant les équations de la statique (l, 3, 4, 5, 6) sont très voisines les une des autres, ainsi que l'on peut s'en rendre compte à la lecture du tableau ci-après des moyennes et écarts de F. F
Valeur moyenne
Ecart maximum avec la moyenne en valeur relative
Ex. 1
2,032
0,25 %
Ex. 2
0, 630
2
%
Ex. 3
3,372
2,4
%
Ex. 4
0,922
2,2
%
L'écart maX1mum est de :
A"F -p=
2,4 %. ce qui est de l'ordre de gran-
deur de la précision des calculs numériques que nous avons effectués : nous avons remarqué en particulier. que la nature du découpage et le nombre de tranches peuvent avoir une influence sur la valeur de F de l'ordre de 3 à 4 %. Il apparaît donc que les méthodes 1. 3, 4, 5 et 6 sont équivalentes en dehors de toute autre considération. en ce qui concerne les valeurs de F.
88
Les valeurs données par Morgenstern et Price des nôtres
(6 F F
=
(12)
sont voisines
5 %).
Nous remarquons une concordance analogue dans les résultats donnés par J.M. BELL (1) (~ 1 ,5 %) F b) - Les valeurs calculées à l'aide de la méthode de Bishop modifiée par le LCPC sont assez voisines et légèrement inférieures aux valeurs données par les autres méthodes. Il faut, toutefois, ne pas généraliser ces conclusions car nous avons rencontré d'autres cas où la différence est nettement plus marquée (voir par exemple le chapitr~ 7, 3°partie). c) - La méthode de Janbu semble fournir des résultats superleurs à ceux des autres méthodes. Signalons que dans l'exemple 1, la suite des valeurs de F n'a pas convergé, mais prenait successivement les valeurs 2~072 et 2, J07 (voir 2° partie, chapitre 4). Remarque: Nous avons donné les résultats précédents au 1/1000 près, ce qui est bien sûr illusoire compte tenu des incertitudes inévitables sur les caractéristiques mécaniques des sols, et superflu dans la pratique. C - LES LIGNES DE PASSAGE Dans les pages qui suivent, nous donnons les lignes de passage des efforts internes E + T calculées par les méthodes l, 3, 5 et 6. Il ne nous a pas semblé utile de calculer ces courbes pour les méthodes 2 et 7 qui ne satisfont pas aux équations de la statique; rappelons, d'autre part, que la méthode 4 suppose que la ligne de passage est confondue avec la courbe de rupture. Il faut noter cependant que les efforts internes calculés par cette dernière méthode sont très proches de ceux qui ont été calculés par les méthodes 1, 3, 5 et 6. Les lignes de passage dessinées sur les figures 36 à 43 ont en commun le fait d'être dans l'ensemble voisines de la courbe de rupture potentielle cela tend à justifier l'hypothèse faite au chapitre 5, 2°partie (ligne de passage confondue avec la ligne de rupture). Les courbes présentées comportent dans les exemples 2 et 4 des irrégularités Exemple 2 Les méthodes 1, 5 et 6 donnent des courbes qui présentent une asymptote au voisinage de la séparation entre le remblai frottant et le sol cohérent. Cela tient au fait qu'aux alentours de ce point, la force E qui est normalement positive s'annule et devient négative. Comme l'ordonnée de la ligne de passage e(x) est calculée par la formule (4) . e(x) on voit que si
y(x) E
E
.r(
T +
E. y'
Xo
s'annule. e(x) devient infini.
89
J
dx
(4)
Ce problème ne s'est pas posé avec les méthodes 3 et 4 qui reposent sur la donnée de la ligne de passage, Il faut toutefois noter que toutes les méthodes ont donné des distributions de E très voisines, Nous pouvons interpréter ce phénomène de la façon suivante Si nous assimilons la masse de sol en glissement potentiel à un solide formé de deux blocs distincts ABC et BCD (fig, 35), et si nous calculons
A Remblai
D sOl Fig. 35 - Schématisation de l'exemple nO 2.
le coefficient de sécurité de chacun des blocs séparément, nous constatons que : - le bloc ABC repose sur un sol dont l'angle de frottement interne élevé ( ~' = 30°). son coefficient de sécurité est voisin de F
~'
est
0,7,
- le bloc BCD repose sur un sol de caractéristiques très faibles (c' = 1 t/m 2 , ~I = 0°) • Son coefficient de sécurité est F 0.575, Il apparaît donc que le bloc BCD est nettement moins stable que le bloc ABC; il est donc normal d'avoir une zone de traction à la limite entre le remblai et le sol cohérent. Avec un sol cohérent de cohésion c' sécurité du bloc BCD est de : F = 1,15,
2 t/m, le coefficient de
BCD est stable et retient le bloc ABC qui ne l'est pas, nous avons pu constater par le calcul que l'ensemble de la masse en glissement est alors en compression, Cet exemple montre que les limites de l'hypothèse qui consiste à adopter un coefficient de sécurité unique le long de la courbe de rupture, sont vite atteintes, Exemple
4
(glissement de Ville au Val)
Les méthodes 5 et 6 ont donné des lignes de passage sortant de la masse
90
en glissement. Dans ces deux méthodes qui reposent sur une hypothèse portant sur les contraintes o(x), nous avons calculé numériquement F et la répartition de d (x), et ensuite E et T par les formules:
E(x)
=
r[ x
T(x)
=
+
c' - tg
)
. dx
0
frx
A.o (x)
B.a (x)
+y h
+
c' - tg,p , . U F
• tg (a)
)
. dx
0
La ligne de passage a été ensuite calculée numériquement par la formule (4), en partant de l'extrémité gauche du talus. Or, même en déterminant F et o(x) avec une précison de 1/1000, les valeurs de e(x) résultant de deux intégrations numériques successives sont entachées d'une erreur absolue non négligeable dans la mesure où le glissement se produit sur une très grande longueur. Cela explique que les lignes de pasBage soient correctes dans la partie gauche du talus et ne le soient plus dans la partie droite. Le calcul de e(x), effectué à partir de l'extrémité droite, a donné de bons résultats dans la partie droite et des irrégularités dans la partie gauche. Remarquons que les méthodes 1 et 3 (hypothèse sur E et T) donnent des lignes de passages correctes: il n'y a qu'une seule intégration numérique pour obtenir e(x). Il faut retenir de cela que le calcul numérique précis de la ligne de passage peut être parfois assez délicat.
91
Lignes de passage
y
x
o Exemple 1
Méthode 1
y
x Fig. 36 Méthode 3
Exemple 1
92
Lignes de passage
y
o
x Méthode 5
Exemple 1
y
o
x Fig. 37
Exemple 1
Méthode 6
93
Lignes de passage
Remblai
------ Sol
cohérent
\\\\\\\\\\\\\\\'\ ;\
\
\:\\\\\\\\\\~ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ~
bedrock Exemple 2
Méthode 1
y
Remblai
o sol
----- - - - - - - - - - - " ' - -x-
cohérent
\\\\ \ \\\ \ \ \ \\\\\\\'\\\\\\\\\\\\\~\\\'\'\\\'\ bedrock Fig. 38
Méthode 3
Exemple 2
94
Lignes de passage
Méthode 5
Exemple 2
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Fig. 39
Méthode 6
Exemple 2
95
Lignes de passage
Exemple 3
Méthode 1
Fig. 40
Méthode 3
Exemple 3
96
Lignes de passage
Exemple :3
Méthode 5
Fig. 41
Exemple :3
Méthode 6
97
Lignes de passage
Méthode 1 Exemple 4
Fig. 42 Méthode 3 Exemple 4
98
,>""" .. " gau,", du "lu' _ _ _ e>IW do' 1.1 ,p.rt"" " d"'" du "'U' I
_ _ cal,ul ",. (.1
fig. 43
99
CONCLUSI)N
A ceux qui pourraient trouver paradoxal de s'attacher à améliorer des méthodes de calcul à la rupture qui ne tiennent pas compte des lois effortdéformation des sols alors que cela apparaît aujourd'hui possible par la méthode numérique des éléments finis, nous répondrons simplement que les seules méthodes ayant eu jusqu'à présent un réel support expérimental permettant d'en tester la validité sont justement les méthodes de calcul à la rupture qui serviront encore longtemps de référence dans les calculs de stabilité des pentes. Il faut d'ailleurs remarquer que la déformabilité du sol n'est pas tout à fait absente dans le calcul à la rupture : on en tient compte plus ou moins globalement en faisant l'hypothèse complémentaire décrite dans le premier chapitre de ce rapport. On constate cependant que le lien logique entre cette hypothèse complémentaire et le comportement rhéologique du sol est loin d'être apparent. Dans ces conditions, quelle méthode de calcul faut-il choisir pour se rapprocher le plus possible de la réalité? Si on se contente d'évaluer un coefficient global de sécurité à la rupture, le choix importe peu' dans la mesure où les équations de la statique sont toutes vérifiées, car alors les divers 'coefficients de sécurité sont très voisins (nous avons pu le constater sur quelques exemples ; il est peutêtre possible de le démontrer en utilisant la méthode énergétique généralisée présentée au chapitre 7). Le choix d'une méthode devrait à notre avis dépendre essentiellement de la commodité des calculs sur ordinateur. Par contre, si l'on désire restituer les contraintes internes du talus, des divergences peuvent apparaître entre les méthodes et le choix est moins aisé. Dans la pratique, nous conseillons de s'attacher à une seule méthode (par exemple la méthode dite des perturbations - chapitre 6) et de l'utiliser pour chiffrer d'une manière relative l'efficacité des paramètres géométriques et hydrauliques des systèmes confortatifs, sans accorder à la valeur F = 1 une trop grande importance.
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zusammenfassung
StabiIitatsberechnungen von Boschungen bei nicht kreisformigen Gleitflachen Seit langem bestehen zahlreiche Berechnungsverfahren für Boschungsbrüche. Diese Verfahren kannen meist nul' kreisfOrmige GleitfHichen behandeln; statische Gleichgewichtsgleichungen werden nicht berücksichtigt. Deswegen haben sich die Verfasser des vorliegenden Berichtes bemüht, Verfahren zu entwickeln, die untel' Berücksichtigung der statischen Gleichungen die Untersuchung nicht kreisfOrmiger GleitfHichen ermoglichen .. Der Bericht enthiHt zunachst einen Überblick über die klassischen Berechnungsannahmen (Coulomb'sches Prinzip, konstanter Sicherheitskoeffizient Uings der potentiellen Gleitlinie). Anschliessend werden die im vorliegenden Fall anzuwendenden allgemeinen Gleichungen entwickelt ; dabei ist es notwendig eine zusatzliche Hypothese einzuführen, wodurch dem rheologischen Verhalten des Bodens (Verformungs - Spannungsgesetz) generell Rechnung getragen werden kann. Es ist jedoch nicht leicht das rheologische Modell und die mathematische Formulierung der Hypothese in Zusammenhang zu bringen. Drei Hypothesenarten werden untersucht, und zwar hinsichtlich : a) der Verteilung der innerhalb der Boschung vorhandenen Krafte, b) der Lage der Anbringungslinie der Resultanten diesel' innel'en Kl'iifte, c) der Verteilung der Spannungen, die senkrecht zur Gleitflache wh'ken. Fül' jeden diesel' drei Falle entwickeln die Vel'fasser ein analytisches Vel'fahren zur Lasung der Gleichungen. Die Methoden von Morgenstern und Price und von Janbu werden untersucht und dieVerfasser schlagen neue Hypothesen VOl', die zur Formulierung von 4 neuen Berechnungsverfahl'en für nicht kreisfOrmige Gleitflachen führen, die den statischen Gleichungen Rechnung tragen. Rein rechnungsmassig sind diese Verfahren recht einfach. Eînige Beispiele wurden durchgerechnet, wobei eine gute Übereinstimmung zwischen den verschiedenen Verfahren festgestellt wurde.
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abstract
CaIculation of the stability of sI opes interms of non-circulaI' failure Numerous methods of calculating the failure of slopes have existed for a long time. Most of them can deal only with circular lines of failure, and do not verify the equations of static equilibrium. The authors have attempted to develop methods whieh, while conforming to static equations, make it possible to study non-circular lines of failure. After reviewing the classie hypotheses of failure calculation (Coulomb's inequality, constant coefficient of safety along the line of potential failure) the authors establish the general equations of the problem and indicate the need to formulate an additional hypothesis. This hypothesis makes it possible to take account, very generally, of the rheological behaviour of the soil (stress-strain law), though the link between the rheological model and the mathematical formulation of the hypothesis is not easy to establish. Three types of hypotheses have been envisaged : (a) those relating to the distribution of internaI forces in the slope, (b) those relating to the position of the line of application of the resultants of the internaI forces in the sI ope, (c) those relating to the distribution of stresses normal to the curve of failure. In each case, the authors give the analytie pattern of solution of the equations. They analyse the methods of Morgenstern and Priee, and of Janbu, and propose new hypotheses leading to the formulation of four new methods of calculation of non-circular failure conforming to static equations. Numerical calculations, on the whole very simple, have made it possible to deal with sorne examples which show good agreement between these various methods.
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resumen
Cakulo de estabilidad de pendientes en ruptura no circular Desde hace tiempo existen mùltiples métodos de câlculo en la ruptura de las pendientes. En la mayoria de los casos, tan sôlo pueden tl atar de las lineas de ruptura circulares, si bien no verifican las ecuaciones deI equilibrio estâtico. Los autores se han dedicado a desarrollar métodos que, si bien respetan las ecuaciones de la estâtica, permiten estudiar lineas de ruptura no circulares. Tras recordaI' las hipôtesis clâsicas deI câlculo en la ruptura (desigualdad de Coulomb, coeficiente de seguridad constante a 10 largo de la linea de ruptura potencial), establecen los autores las lineas generales deI problema, indicando la necesidad de formulaI' una hipâtesis adicional. Con esa hipâtesis se puede tener en cuenta muy globalmente el comportamiento reolôgico deI suelo (ley esfuerzo-deformaciôn) sin que, pOl' 10 mismo, sea sencillo establecer el nexo entre el modela reolôgico y la formulaciôn matemâtica de la hipôtesis. Se consideran tres clases de hipôtesis : a) aquellas que se refieren a la distribuciôn de las fuerzas internas al talud, b) aquellas que se refieren a la posiciôn de la linea de aplicaciôn de las resultantes de las fuerzas internas al talud, c) aquellas que se refieren a la distribuciôn de las tensiones normales en la CUl'va de ruptura. En cada caso, dan los autores el esquema analitico de resoluciôn de las ecuaciones. Analizan los métodos de Morgenstern y Price y de Janbu, proponiendo nuevas hipôtesis que llevan a la formulaciôn de cuatro nuevos métodos de câlculo en ruptura no circulaI' que respetan las ecuaciones de la estâtica. Con los câlculos numéricos, pOl' 10 general muy sencillos, se pudieron tratar algunos ejemplos que dejan aparecer correcta concordancia entre los diversos métodos.
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pe:nome
PaClIeT YCTOÜll]IBOCTH CHJlOHOB MeTOJJ.OM CJJ.BHra no nOBepXHOCTSIM He HpyrJlOUHJlHHJJ.pHlIeCKoro OllepTaHHSI
.IlaBHo H3BeCTHhI MHOrO'lHCJ1eHHhIe MeTO}J;hI paC'IeTa yCTofi'lHBOCTH CHJ10HOB. B 60J1hIIUmCTBe CJ1y'laeB B 3TH X MeTO}J;ax 3a}J;aeTCH HpyrJ10IIHJ1HH}J;pH'leCHaH cpOpl\1a J1HHHfi CHOJ1hmeHHH H He npOBepHlOTCH ypaBHeI-IHH CTaTH'leCHOrO paBI-IOBeCVlH. ABTOphI 3a}J;aJIHCh IjeJ1hlO pa3pa6oTaTh MeTO}J;hI paC'leTa, HOTophle, npH COXpaIleHHH ypaBHeHHfi paBHOBeCHH, n03BOJIHlOT IICCJ1e}J;OBaTh nOBepXHOCTII C}J;BIIra He HpyrJ10IjHJIIIH}J;pII'leCHOrO O'lepTaHIIlL PaCCMOTpeHhI HJIaCCH'leCIŒe }J;onyIIJeI-UlH paC'lëTa no MeTO}J;y HapyweHHH yCTofi'lHBOCTH (HepaBeHCTBO HyJ10Ha, rrOCTOHHHoe 3Ila'leHHe H03cpcpHIIHeHTOB 3arraca B}J;OJ1h B03MomHofi JIHHHH CHOJIhmeHHH); 3aTeM BhIBep;eHhI 06IIJHe ypaBlleHHH 3a}J;a'lH H BhlHBJIeHa He06xo}J;HMOCTh }J;orrOJ1HHTeJ1hHOrO yCJ10BHH. 81'0 yCJ10BHe n03BOJI>IeT y'lHThIBaTh B caMOM 06IIJeM BH}J;e pe0J10rH'leCHHe cBoficTBa rpyHToB (3aHoH HX HarrplDReHHo-}J;ecpop:MHpyeMoro COCTOHHHH), HO 31'0 He 3Ha'lHT, '11'0 TaHHM 06pa30M y}J;aeTcH JIerHO yBH3aTh peOJIOrH'lecHylO MO}J;eJ1h C MaTelVIaTH'leCHOfi qJOplVlyJIHpOBHOi1. PaCCMOTpeHhI l'pH BHAa yCJIOBHfi : a) yCJ10BHH, HOTophle HacaIOTCH pacnpe}J;eJ1eHHH BHyTpeHHHX CHJ1 B OTHoce, b) yCJIOBHH, HOTOphIC HacalOTCH n0J10mCHHH J1HHHH npHJ10meHHH paBHOAcficTBylOIIJHX BHyTpeHHHX ClIJ1 B OTHOCC, c) yCJ10BlIH, HOTOphIC r-\acalOTCH pacnpCAeJ1eHHH HanpHmCHHH rrepncHAlIHyJ1HpHhIX H JIHHlIH CABHra. B HamAOM CJIY'Iae rrpeAJIaraCTCH cxeMa pcweHHH rrOJIY'IaCMhIX ypaBHeHHH. AHaJIH3HpyIOTCH MeTOAhI MopreHcTepHa - IIpafica H lliaH6y (Morgcnstern et Pricc, Janbu); npeAJ10mCHhI HOBhIe rHnOTC3hI, HOTophle npHBoAHT H 'leThlpeM HOBhIM MeTOAaM paC'lCTa Ha CABHr no rrOBepXHOCTHM He HpyrJ10IjHmmAPH'leCHOrO O'lepTamfH C c06mOAeHHCM ypaBHeHHfi CTaTH'leCHOfi yCTofi'lHBOCTH. BhIHJ1aAHH, HaH rrpaBHJ10 npOCThle, rr03BOJIHJ1H Ha HeCHOJIhHHX rrpHMepax BhIHBHTb XOpOWyIO CXOAHMOCTb pe3yJ1hTaTOB peweHHfi, nOJ1y'laeMhIX 3THMH pa3J1H'lHbIMH MeTOAaMH paC'leTa.
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