Ronei_fisica_quantica

Introdu¸c˜ ao ` a Relatividade e F´ısica Quˆ antica

Ronei Miotto Centro de Ciências Naturais e Humanas Universidade Federal do ABC

Armando Corbani Ferraz Instituto de F´ısica Universidade de São Paulo

Universidade Federal do ABC Santo André, dezembro de 2011.

Introdu¸c˜ ao ` a Relatividade e F´ısica Quˆ antica

Ronei Miotto Centro de Ciências Naturais e Humanas Universidade Federal do ABC

Armando Corbani Ferraz Instituto de F´ısica Universidade de São Paulo

Universidade Federal do ABC Santo André, dezembro de 2011.

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R. Miotto e A. C. Ferraz

Dados Internacionais de Cataloga¸ c˜ ao na Publica¸ c˜ ao (CIP) (Cˆ amara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Bibliotec´ ario Gesialdo Silva do Nascimento CRB-8 no 7102

Introdu¸c˜ ao ` a relatividade e f´ısica quˆ antica / Ronei Miotto, Armando Corbani Ferraz – Santo André: Universidade Federal do ABC, 2011. 156 p.

ISBN: 978-85-65212-05-2

1.F´ısica 2. Relatividade 3. F´ısica quˆ antica 4.Ensino a distância I. MIOTTO, Ronei .II. FERRAZ, Armando Corbani III. Titulo.

CDD 530

` a Adriana, Victoria e Ricardo

Apresenta¸ c˜ ao J´ a é centen´ aria a chamada F´ısica Moderna que através de ousadas concep¸c˜ oes transformou e continua a transformar nosso cotidiano e nos propiciou uma nova concep¸c˜ ao de como a natureza se manifesta. Essa verdadeira revolu¸c˜ ao cient´ıfica ocorreu com o desenvolvimento das Teoria da Relatividade e da Mecˆ anica Quˆ antica no in´ıcio do século XX, dando respostas e explicando de maneira inovadora os descobrimentos e resultados experimentais inexplic´ aveis pelas Leis da Natureza conhecidas e estabelecidas até aquela época. O objetivo desse livro é apresentar um breve histórico, os princ´ıpios fundamentais e o desenvolvimento conceitual em um curso de um per´ıodo, voltado aos estudantes que j´ a tenham conclu´ıdo cursos de f´ısica básica e cálculo elementar. Através de exemplos simples associados a nossa atualidade, aplicamos essas novas teorias em alguns sistemas, notadamente os microscópicos.

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Miotto e Ferraz

Apresenta¸ c˜ ao

Sum´ ario Apresenta¸ c˜ ao

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1 Introdu¸ c˜ ao

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2 A Teoria da Relatividade Especial 2.1 Antecedentes Hist´ oricos . . . . . . . . . . 2.1.1 O Conceito Mecˆ anico . . . . . . . 2.1.2 A natureza da luz e o éter . . . . . 2.2 A proposta de Einstein . . . . . . . . . . . 2.3 Consequências dos Postulados de Einstein 2.3.1 A dilata¸c˜ ao temporal . . . . . . . . 2.3.2 O Paradoxo dos Gêmeos . . . . . . 2.3.3 A contra¸c˜ ao espacial . . . . . . . . 2.3.4 Dinˆ amica relativ´ıstica . . . . . . . 2.4 A utilidade da Teoria da Relatividade . .

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3 A Teoria Quˆ antica 3.1 Antecedentes experimentais . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Primeiras Descobertas . . . . . . . . . . . . . 3.2 Radia¸c˜ ao do corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Form´ ulas emp´ıricas da distribui¸cão espectral 3.2.2 A Lei Cl´ assica da Radia¸c˜ ao Térmica . . . . . 3.2.3 A teoria de Planck sobre a radia¸cão do calor 3.2.4 A introdu¸c˜ ao dos quanta . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Implica¸c˜ oes do postulado de Planck . . . . . 3.3 O efeito fotoelétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Os argumentos de Einstein . . . . . . . . . . 3.4 Efeito Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 An´ alise Quantitativa . . . . . . . . . . . . . . 3.5 A natureza dual da radia¸c˜ ao eletromagnética . . . .

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3 3 4 7 15 16 18 21 22 25 32

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33 33 34 35 41 41 45 48 50 52 56 58 59 61

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´ SUMARIO

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4 Modelos Atˆ omicos 4.1 Antecedentes Experimentais . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 F´ ormulas emp´ıricas espectrais . . . . . . . . 4.1.2 A descoberta do elétron . . . . . . . . . . . 4.2 O Modelo de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Modelo de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 A estabilidade do ´ atomo nuclear . . . . . . 4.4 O modelo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Aplica¸c˜ ao do Princ´ıpio da Correspondência 4.4.2 Extens˜ oes do Modelo . . . . . . . . . . . . . 4.5 Confirma¸c˜ oes experimentais . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 O Experimento de Moseley dos espectros de 4.5.2 O experimento de Franck-Hertz . . . . . . . 4.6 A regra de quantiza¸c˜ ao de Wilson-Sommerfeld . . 4.7 Cr´ıtica ` a teoria de Bohr e ` a Velha Teoria Quˆ antica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raios-X . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Propriedades ondulat´ orias de part´ıculas 5.1 Evidências Experimentais . . . . . . . . . . . . . 5.2 Pacotes de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Pacotes de ondas associadas a elétrons . . . . . . 5.4 A interpreta¸caõ probabil´ıstica da fun¸c˜ ao de onda 5.5 O Princ´ıpio de Incerteza . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Dualidade onda-part´ıcula . . . . . . . . . . . . . 5.7 Algumas consequências do Princ´ıpio de Incerteza

. . . . . . .

. . . . . . .

87 . 89 . 92 . 93 . 94 . 97 . 99 . 102

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6 Introdu¸ c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica 6.1 A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Condi¸c˜ oes sobre a fun¸c˜ ao de onda . . . . . . . . . . . . 6.1.2 A Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger independente do tempo . . . 6.1.3 O po¸co quadrado infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 O po¸co quadrado finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Valores esperados e operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Transi¸c˜ oes entre estados de energia . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Elementos de Matriz e Regras de Sele¸cão . . . . . . . . 6.4 Reflex˜ ao e transmiss˜ ao de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Potencial degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Potencial po¸co quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Penetra¸c˜ ao em uma barreira de potencial (tunelamento) 6.5 A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger em três dimens˜ oes . . . . . . . . . . 6.6 A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger para duas ou mais part´ıculas . . . . ´ 6.7 Atomos de um elétron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 O spin do elétron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 O experimento de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Coment´ arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 64 64 67 69 71 73 74 79 79 80 81 81 84 85

105 106 108 109 110 113 116 118 120 121 122 123 124 125 126 130 136 138 140

´ SUMARIO ´ Indice Remissivo

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´ SUMARIO

Cap´ıtulo 1

Introdu¸ c˜ ao Ao final do século XIX a F´ısica parecia ter atingido o seu cl´ımax. As Leis de Newton para a Mecˆ anica e a Gravita¸c˜ ao vinham sendo aperfei¸coadas desde o século XVII, e descreviam com grande precis˜ ao o comportamento dos corpos celestes e terrestres. As propriedades elétricas e magnéticas, por sua vez, haviam sido unificadas por James Maxwell em uma Teoria Eletromagnética. Um dos mais not´ aveis avan¸cos da Teoria de Maxwell foi a demonstra¸cão de que a luz, o raio-X e o raio ultravioleta s˜ ao exemplos de ondas eletromagnéticas que se propagam pelo espa¸co. Do ponto de vista microscópico, a Termodinâmica e a ent˜ ao nascente Mecˆ anica Estat´ıstica relacionavam efeitos macroscópicos, como press˜ ao e temperatura, com causas microscópicas como a distribui¸cão de energia dos gases ideais. Com as regras para o comportamento da matéria e das ondas definidas, caberia aos f´ısicos apenas o trabalho de aplicá-las. Não existiriam fenˆ omenos que n˜ ao pudessem ser explicados através de tais teorias e bastaria o desenvolvimento das técnicas existentes para fenômenos mais complexos. Um fato marcante que ilustra esse quadro ocorreu em 27 de abril de 1900, de forma aparentemente casual. Lorde Kelvin, então dirigente da Royal Institution of Great Britain (uma das mais prestigiadas sociedades cient´ıficas de ent˜ ao), proferia uma palestra intitulada Nineteenth-Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light (As nuvens do século dezenove sobre a Teoria Dinˆ amica do Calor e da Luz), descrevendo as teorias aceitas até então. Kelvin chegou, inclusive, a sugerir que a F´ısica teria atingido o seu limite. No entanto, como ele mesmo observou, havia um porém, dois fenômenos ainda estavam para ser explicados. A esses dois fenˆ omenos Kelvin chamou de nuvens que obscureciam a beleza e clareza das teorias f´ısicas: a primeira nuvem, envolvia a forma como a luz se propaga pelo espa¸co; a segunda, está relacionada ao problema de como distribuir energia de forma homogênea entre moléculas vibrantes. Em sua apresenta¸c˜ ao, Kelvin chegou a propor suas próprias solu¸cões para tais nuvens. Todavia, suas previs˜ oes mostraram-se totalmente equivoca-

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Introdu¸ c˜ ao

das. Ironicamente, o que Kelvin chamou de nuvens no horizonte eram de fato tempestades que modificaram substancialmente toda a F´ısica do século XX. Os fenˆ omenos em quest˜ ao eram o experimento de Michelson e Morley, que procurava determinar a velocidade da luz que incidia sobre a Terra vinda de diferentes dire¸c˜ oes, e o estudo da distribui¸c˜ ao de energia da luz emitida por materiais em altas temperaturas. Para Kelvin, e também para os demais f´ısicos da época, a luz era uma vibra¸caõ e, como qualquer outra vibra¸c˜ ao, podia ser tratada através das Leis de Newton. Tais vibra¸c˜ oes deveriam ocorrer em algum meio, de forma que os f´ısicos propuseram que o espa¸co n˜ ao era vazio, mas sim preenchido por um meio com propriedades quase m´ısticas chamado éter. Todavia isso significa que a velocidade da luz medida a partir de um referencial na Terra deveria depender de qu˜ ao r´ apido e em qual dire¸c˜ ao a Terra se move. Como a Terra gira em torno do sol, essa dire¸c˜ ao muda a cada instante, o que implica dizer que a velocidade da luz também deveria variar no decorrer do ano. Michelson e Morley propuseram um experimento que tinha por finalidade detectar tais varia¸co˜es. Apesar das varia¸c˜ oes na posi¸c˜ ao da Terra em rela¸cão a estrelas muito distantes, n˜ ao foram observadas quaisquer varia¸cões na velocidade da luz nesse experimento. O mistério sobre a velocidade da luz e a existência ou n˜ ao do éter s´ o pode ser resolvido com a introdu¸c˜ ao de uma nova abordagem: a Teoria da Relatividade, que abordaremos no Cap´ıtulo 2. A outra nuvem no horizonte de Kelvin, a distribui¸cão de energia em moléculas vibrantes, demandou uma revolu¸c˜ ao t˜ ao radical na forma de pensarmos quanto a Teoria da Relatividade: a Teoria Quˆ antica. A solu¸cão para tais problemas revolucionaria a forma como encaramos o mundo e são as consequências dessa revolu¸c˜ ao em nosso dia a dia que queremos trazer para vocês. No cap´ıtulo 3, abordaremos as primeiras descobertas relacionadas ao calor e uma de suas formas de propaga¸c˜ ao que levaram ` a proposta de Planck da quantiza¸c˜ ao. Nos demais cap´ıtulos ser˜ ao discutidas outras descobertas que se seguiram, como o efeito fotoelétrico, o efeito Compton e a descri¸c˜ ao microscópica da matéria através de modelos matem´ aticos. Finalmente, abordaremos a descri¸cão moderna dos estados microsc´ opicos da matéria, a chamada Mecânica Quântica.

Cap´ıtulo 2

A Teoria da Relatividade Especial Por mais de 200 anos acreditou-se que as equa¸cões de movimento enunciadas por Newton descreviam a natureza corretamente. Apenas no final do século XIX, observa¸c˜ oes experimentais que n˜ ao podiam ser explicadas através das rela¸c˜ oes de Newton culminaram com o desenvolvimento, por Einstein, da Teoria da Relatividade. Por raz˜ oes hist´ oricas a Teoria da Relatividade é usualmente dividida em duas partes: a Teoria da Relatividade Especial (ou Restrita) e a Teoria da Relatividade Geral. A primeira foi introduzida por Einstein em 1905 e apresenta uma formula¸c˜ ao matem´ atica relativamente simples, enquanto a segunda, desenvolvida também por Einstein em 1916, é baseada em um formalismo matem´ atico elaborado, sendo utilizada principalmente para resolver problemas nas ´ areas de Cosmologia e Gravita¸c˜ ao. Neste trabalho discutiremos como a Teoria da Relatividade Especial foi sendo paulatinamente constru´ıda pelo método indutivo, partindo dos v´ arios fenômenos e dados experimentais relacionados com a velocidade da luz. Nas seçcões seguintes analisaremos o processo de extens˜ ao desse modelo para outros campos e sua utiliza¸cão, mesmo que n˜ ao diretamente percebida, em fenˆ omenos e aplica¸cões cotidianas.

2.1

Antecedentes Hist´ oricos

A Teoria da Relatividade Especial prevê que relógios e réguas que se movem em rela¸c˜ ao a um referencial inercial comportam-se de maneira diferente daqueles que se encontram em repouso em rela¸c˜ ao a este referencial. Relógios em movimento funcionam mais devagar e réguas se encolhem ao longo da dire¸cão do movimento. Se na F´ısica Cl´ assica espa¸co e tempo fornecem, em cada teoria ou experimento, um alicerce absoluto e imut´ avel de qualquer processo f´ısico; na Teoria Especial, este alicerce depende do sistema de referência no qual um

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A Teoria da Relatividade Especial

processo f´ısico particular é medido1 , o que contradiz nossas experiências cotidianas. Mas como ocorreu essa revolu¸c˜ ao nos conceitos f´ısicos? Nessa seçcão vamos analisar os conceitos e experimentos que levaram Einstein a reformular a f´ısica cl´ assica2 . Inicialmente apresentaremos suscintamente o conceito mecˆ anico, ideia predominante na época, os experimentos que culminaram com o seu decl´ınio e a proposi¸c˜ ao de Einstein da Teoria da Relatividade Especial.

2.1.1

O Conceito Mecˆ anico

A Mecˆ anica Cl´ assica, também conhecida como Mecˆ anica Newtoniana, é utilizada na descri¸c˜ ao do movimento de objetos macroscópicos quer sejam eles pequenos projéteis, partes de outros sistemas mecânicos ou objetos astronˆ omicos. Sua formula¸c˜ ao é razoavelmente simples e permite a obten¸cão de resultados bastante precisos das grandezas macroscópicas medidas, sendo uma das mais antigas ´ areas da Ciência. De fato, apesar de sua formula¸cão matem´ atica s´ o ter sido proposta por Newton, fil´ osofos gregos e, em especial, Arist´ oteles est˜ ao entre os primeiros a propor os princ´ıpios abstratos que governam a natureza. Em sua obra De Caelo (ou Nos Céus), Aristóteles já fazia distin¸c˜ ao entre movimento natural e movimento for¸cado e já lan¸cava as primeiras bases para o conceito de inércia. O processo anal´ıtico intuitivo de Arist´ oteles foi, posteriormente, substitu´ıdo pela metodologia cient´ıfica de Galileu, onde a experimenta¸cão era utilizada para a comprova¸c˜ ao de hip´ oteses. Uma das grandes contribui¸cões de Galileu para o avan¸co da Ciência foi propor que as leis da natureza poderiam ser expressas matematicamente3 . Essa proposta, aparentemente simples, revolucionou a forma de representar os fenˆ omenos cotidianos. Algumas contribui¸c˜ oes de Galileu para a compreensão do movimento dos corpos est˜ ao em seu conhecido trabalho de 1638 Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze4 . Esses estudos combinados com o trabalho de Newton sintetizado no Philosophae Naturalis Principia Mathematica5 (Princ´ıpios Matemáticos da Filosofia 1 Na Teoria da Relatividade Geral o problema ´ e ainda mais complexo, pois os alicerces da teoria dependem at´ e mesmo da distribui¸c˜ ao de massa e energia no universo. 2 Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica (vol. 27, n´ umero 1, p. 27 (2004)) 3 Em seu livro Il Saggiatore, de 1623, Galileu j´ a registra: A filosofia est´ a escrita neste grande livro que est´ a sempre aberto diante dos nossos olhos (eu digo o universo), mas n˜ ao se pode entender o que ali est´ a sem se entender a l´ıngua, conhecer os personagens, nem o que est´ a ali escrito. Ele est´ a escrito na linguagem matem´ atica. Tradu¸c˜ ao livre do autor para o original em italiano La filosofia ` e scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si pu` o intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali ` e scritto. Egli ` e scritto in lingua matematica. As obras completas de Galileu est˜ ao dispon´ıveis em italiano em http://www.liberliber.it/biblioteca/g/galilei/index.htm. 4 Ver http://www.liberliber.it/biblioteca/g/galilei/index.htm (em italiano) e http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/tns_draft/index. html (em inglˆ es). 5 Ver http://astro.if.ufrgs.br/newton/principia.pdf (em latim) e http://

2.1 Antecedentes Hist´ oricos

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Natural) constituem a Mecˆ anica Newtoniana, um dos principais fundamentos da F´ısica Cl´ assica. A Mecˆ anica Newtoniana é modernamente expressa através de três Leis Fundamentais (ou Leis de Newton) que representam as bases da Dinˆ amica6 : 1. Todo corpo persiste em seu estado de repouso, ou de movimento retil´ıneo uniforme, a menos que seja compelido a modificar esse estado pela a¸cão de for¸cas impressas sobre ele; 2. Um corpo que sofre a a¸c˜ ao de uma for¸ca move-se de modo tal que a taxa de varia¸c˜ ao temporal do momento linear é igual à for¸ca; 3. A toda a¸c˜ ao corresponde uma rea¸c˜ ao igual e contrária, ou seja, as a¸cões de dois corpos um sobre o outro s˜ ao sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos. Todavia, para que possamos obter de tais leis fundamentais conclusões quantitativas é necess´ ario introduzir uma matematiza¸cão do problema que exige um conjunto de suposi¸c˜ oes, especialmente àquelas relacionadas à natureza do espa¸co e do tempo, sobre as quais muitas vezes não nos damos conta. Um dessas suposi¸c˜ oes é a existência de um tempo absoluto, definido por Newton em seu Principia como: O tempo absoluto, verdadeiro e matem´ atico, por si s´ o e por sua pr´ opria natureza, flui uniformemente, sem rela¸c˜ ao com nenhuma coisa extensa, e é também chamado dura¸c˜ ao. Em outras palavras, Newton prop˜ oe que o tempo f´ısico tem sua defini¸c˜ ao associado a objetos concretos, como rel´ ogios ou outros sistemas de medi¸c˜ ao. Todavia, Newton não considerou a possibilidade de que esses objetos, também sujeitos as Leis da F´ısica, poderiam ter seu funcionamento afetado por alguma condi¸cão f´ısica especial. Outro aspecto fundamental da Dinˆ amica está relacionado à escolha de um sistema de referência, ou por simplicidade, referencial. Um referencial é dito inercial quando nele é v´ alida a Primeira Lei de Newton, ou seja, na ausência de for¸cas o referencial permanece em repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme7 . Decorre desse fato que qualquer referencial em movimento retil´ıneo www.archive.org/details/newtonspmathema00newtrich (em inglˆ es). 6 A breve descri¸ c˜ ao aqui apresentada tem como u ńico objetivo introduzir alguns conceitos que ser˜ ao discutidos no contexto da Relatividade Especial. Para maiores detalhes, consulte a literatura especializada, como por exemplo o livro introdut´ orio Curso de F´ısica B´ asica 1. Mecˆ anica, de autoria de H. Moys´ es Nussenzveig, Edgard Bl¨ ucher 1996. 7 Intuitivamente sabemos que n˜ ao existe uma velocidade absoluta, mas ser´ a que existe uma acelera¸ca õ absoluta, conforme sugerido por Newton? Imagine que vocˆ e est´ a no vag˜ ao restaurante de um trem que viaja em um estrada retil´ınea e plana, tomando um belo prato de sopa. Se o trem move-se a velocidade constante, a sopa no prato est´ a nivelada e n˜ ao oferece a vocˆ e nenhuma informa¸c˜ ao acerca da velocidade do trem. Por outro lado se o trem muda sua velocidade, a sopa apresentar´ a um desn´ıvel para um dos lados do prato e vocˆ e poder´ a afirmar em qual dire¸c˜ ao e com qual intensidade a velocidade varia, ou seja, qual ´ e a intensidade e dire¸ca õ da acelera¸ca õ. A partir desse tipo de observa¸c˜ ao, Newton sugeriu que seria conveniente indicar uma classe de observadores preferenciais: os observadores n˜ ao acelerados ou observadores inerciais. Neste trabalho o termo referencial sempre se refere a um observador ou referencial inercial.

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uniforme em rela¸c˜ ao a um referencial inercial é também inercial. Dessa forma, n˜ ao existe um referencial privilegiado, o que Galileu sintetizou através do que chamamos Princ´ıpio de Relatividade de Galileu: as leis da Mecˆ anica Newtoniana s˜ ao as mesmas em qualquer referencial inercial. Como sugerido pelo pr´ oprio Galileu, é necess´ ario mostrar que esse Princ´ıpio da Relatividade pode ser representado matematicamente. Isso significa que é necess´ ario mostrar que as Leis de Newton devem ter express˜ oes equivalentes em dois referenciais inerciais diferentes. Considere, ent˜ ao, um referencial inercial, que chamaremos O1 , deslocandose com velocidade constante v1 Figura 2.1: Representa¸cão esquemática de na dire¸c˜ ao x em rela¸c˜ ao a um um referencial O1 deslocando-se em rela¸cão ´ outro referencial inercial O. E ao referencial O com velocidade v1 . poss´ıvel mostrar que as Leis de Newton permanecem invariantes através da transforma¸c˜ ao:   x1 = x − vt  y = y 1  z =z 1    t1 = t

(2.1)

Transforma¸c˜ ao que é conhecida como Transforma¸ c˜ ao de Galileu. O sucesso da Mecˆ anica Cl´ assica na descri¸c˜ ao do movimento de objetos macrosc´ opicos, desde projéteis até gal´ axias, levou a tentativas de generalizar seus conceitos aplicando-os a outras ´ areas do conhecimento. Essa apropria¸cão de ideias de uma ´ area por outra é bastante comum em Ciência e Tecnologia e continua a ocorrer. Os economistas, por exemplo, utilizam a Teoria Lagrangeana e Hamiltoniana (importantes ferramentas matem´ aticas da Mecânica Clássica) no estudo e an´ alise de casos relacionados ` a tomadas de decisão, minimiza¸cão de custos e maximiza¸caõ de lucros8 .

8 Um exemplo interessante da aplica¸ c˜ ao da Teoria de Lagrange em outras ´ areas que n˜ ao a F´ısica ´ e o trabalho multidisciplinar de Caldas e colaboradores sobre a ocupa¸ca õ e desmatamento de ´ areas da amazˆ onia que pode ser encontrado na Revista Brasileira de Economia 57, 683 (2003) e dispon´ıvel na base de dados www.scielo.br.


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Detalhes matem´ aticos: A Transforma¸ c˜ ao de Galileu e as Leis de Newton A partir da transforma¸c˜ ao 2.1 ´ e poss´ıvel determinar-se a velocidade u~1 do corpo em rela¸ca õ ao sistema inercial O1 em termos das componentes da velocidade ~ u em rela¸c˜ ao ao sistema inercial O:  dx1 d dx  u1,x = dt = dt (x − v1 t) = dt − v1 = ux − v1 dy1 d (2.2) u1,y = dt = dt (y) = uy   1 = d (z) = u . u1,z = dz z dt dt De forma an´ aloga, determina-se a acelera¸c˜ ao (a~1 ) em rela¸c˜ ao ao sistema inercial O1 em termos das componentes da acelera¸c˜ ao (~a) em rela¸c˜ ao ao sistema inercial O, o que permite escrever a Segunda Lei de Newton (em termos de suas componentes) como:  d d  F1,x = ma1,x = m dt (u1,x ) = m dt (ux − v1 ) = max d d (2.3) F1,y = ma1,y = m dt (u1,y ) = m dt (uy ) = may   d d F1,z = ma1,z = m dt (u1,z ) = m dt (uz ) = maz . ~ = m~a, ent˜ ou seja, se no referencial em repouso F ao no referencial em movimento ~ tamb´ em vale F1 = ma~1 , demonstrando a validade da Segunda Lei de Newton nos dois referenciais.

2.1.2

A natureza da luz e o ´ eter

Um outro exemplo da apropria¸c˜ ao de ideias de uma área da F´ısica por outra é a utiliza¸c˜ ao do conceito mecˆ anico na elabora¸cão de uma teoria para a luz. A teoria é simples e condizente com o conhecimento mais aceito9 em meados do século XVIII: admite-se que todos os corpos iluminados emitem part´ıculas de luz, ou corp´ usculos, os quais, ao atingirem os olhos do observador, criam a sensa¸c˜ ao de luz. Esses corp´ usculos devem caminhar em linha reta pelo espa¸co vazio com uma velocidade conhecida, levando aos olhos do observador mensagens dos corpos emissores de luz. Todos os fenômenos que exibem a propaga¸c˜ ao linear da luz justificam a teoria corpuscular, pois justamente esse tipo de movimento foi previsto para os corp´ usculos10 . Em contraposi¸c˜ ao ` a teoria corpuscular de Newton, Huygens sugeriu em seu trabalho sobre a luz11 que: Se, além disso, a luz gastar tempo para a sua passagem seguir-se-´ a que esse movimento, imprimido ` a matéria intermedi´ aria, é sucessivo; e, consequentemente, ela se espalha, como o faz o som, em superf´ıcies esféricas e ondas, pois eu as chamo ondas por causa de sua semelhan¸ca com as que se vê formarem-se na ´ agua quando nela se joga uma pedra, 9 Isaac Newton, Opticks or a treatise of the reflections, refractions, inflections and colours of light (1704), c´ opias da edi¸c˜ ao original est˜ ao dispon´ıveis em http://www.rarebookroom. org/Control/nwtopt/index.html 10 A teoria tamb´ em explica com muita simplicidade a reflex˜ ao da luz por espelhos como sendo o mesmo tipo de reflex˜ ao que ´ e mostrado na experiˆ encia mecˆ anica de bolas el´ asticas lan¸cadas de encontro a uma parede. A explica¸c˜ ao da refra¸c˜ ao ´ e um pouco mais complexa, exigindo considera¸co ˜es sobre a atua¸ca õ de for¸cas que alterem a velocidade de propaga¸c˜ ao dos corp´ usculos quando da mudan¸ca de meio, mas n˜ ao apresenta grandes restri¸c˜ oes conceituais. 11 Trait´ e de la lumiere (Leiden, Netherlands: Pieter van der Aa, 1690), c´ opias da edi¸c˜ ao original est˜ ao dispon´ıveis em http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5659616j

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e que apresentam uma expans˜ ao sucessiva em c´ırculos, embora estes resultem de outra causa e estejam apenas em uma superf´ıcie plana12 . Assim, Huygens sugere ser a luz uma onda e propõe a existência de uma substˆ ancia hipotética, o éter, um meio transparente que permeia todo o universo. O éter seria, ent˜ ao, o suporte para a transmiss˜ ao da luz, assim como o ar o é para a transmiss˜ ao do som. A existência dessa substância em todo o espa¸co deveria, de alguma forma, influenciar o comportamento de outros corpos que por ela propagassem, notadamente os planetas. Todavia, os astrônomos não observavam quaisquer anomalias nas trajet´ orias dos planetas que pudessem ser associadas ao éter. Isso significa que o éter deveria existir, mas ao mesmo tempo ser im´ ovel e atravessar todos os corpos sem afetá-los de modo algum. Apesar das restri¸c˜ oes relacionadas ao éter, a Teoria Ondulatória de Huygens permitia uma explica¸c˜ ao mecˆ anica mais simples e completa da propaga¸cão da luz, incluindo n˜ ao apenas os fenˆ omenos de reflex˜ ao e refra¸cão, mas também de interferência. A grande restri¸c˜ ao ` a teoria ondulat´ oria de Huygens era a necessidade de supor-se a existência do éter. Esse aspecto, contudo, não impediu a ampla aceita¸c˜ ao da teoria ondulat´ oria da luz, j´ a que como em outras tentativas de compreender os fenˆ omenos da natureza do ponto de vista mecânico, a introdu¸c˜ ao do éter teve o mesmo papel de outras substâncias artificiais com os fluidos elétrico e magnético ou os corp´ usculos de luz: concentrar as dificuldades em um u ńico ponto essencial. Se por um lado, restri¸c˜ oes relacionadas ao éter eram apontadas; de outro, algumas evidências importantes davam suporte a teoria ondulatória de Huygens. O trabalho de Euler sobre a teoria da luz e das cores13 , por exemplo, pode ser considerado um dos mais completos trabalhos sistemáticos em favor da teoria ondulat´ oria publicado no século XVIII. Nesse trabalho, Euler mostra claramente que a difra¸c˜ ao da luz pode ser mais facilmente explicada através de uma teoria ondulat´ oria14 . Outro trabalho decisivo na aceita¸cão da teoria ondulat´ oria para a luz foram os experimentos relatados por Thomas Young em 180315 que demonstravam que nessa teoria o fenˆ omeno de interferência podia ser explicado de forma an´ aloga ` a interferência entre ondas sonoras, além de prever que a luz poderia ser polarizada. Young também mostrou por meio de experimentos de difra¸c˜ ao que a luz se comportava como ondas e que cores diferentes eram causadas por diferentes comprimentos de onda da luz. De todos os estudos que contribuiram para a aceita¸cão da teoria ondulatória da luz, o trabalho de James Clerk Maxwell 16 sobre a radia¸cão eletromagnética 12 Extra´ ıdo de Albert Einstein e Leopold Infeld, A evolu¸c˜ ao da f´ısica, tradu¸c˜ ao Giasone Rebu´ a (Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1980). 13 Nova theoria lucis et colorum, Opuscula varii argumenti 1, 169-244 (1746); dispon´ ıvel em http://eulerarchive.maa.org/pages/E088.html. 14 Ver, por exemplo, R. W. Home, Leonhard Euler’s Anti-Newtonian Theory of Light, Annals of Science 45, 521 (1988). 15 The Bakerian Lecture: Experiments and Calculations Relative to Physical Optics, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 94, 1 (1804), dispon´ıvel em http://www.jstor.org/stable/107135. 16 On Physical Lines of Force, Part 1, Phil. Mag. XXI, pp. 161-175 (1861); Part 2 Phil.


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e a luz merece destaque. Maxwell demonstrou que ondas eletromagnéticas propagam-se pelo espa¸co a velocidade constante e que essa velocidade era compat´ıvel com os valores obtidos por Fizeau para a luz (discutidas na próxima se¸c˜ ao), o que levou-o a concluir que a luz nada mais era do que uma forma de radia¸c˜ ao eletromagnética17 . Quer saber mais? As Equa¸ c˜ oes de Maxwell As propostas de Maxwell em seus trabalhos On Physical Lines of Force e A Dynamical Theory of the Electromagnetic Fielda , posteriormente sistematizados por Oliver Heavisideb nas conhecidas Equa¸cões de Maxwell s˜ ao os alicerces da eletrodinˆ amica cl´ assica. Sua comprova¸cão experimentalc por Hertz em 1886–1887 foi crucial para sua aceita¸cão. O trabalho original de Maxwell baseava-se na ideia de que a luz propagava-se através do éter e que sua velocidade deveria ser por ele afetada, o que, como veremos mais adiante, provou-se um equ´ıvoco. Mas as restri¸cões à Teoria de Maxwell n˜ ao se restringiam ao éter. Ao contrário do que ocorre com as Leis de Newton, as Equa¸c˜ oes de Maxwell não são invariantes por uma Transforma¸c˜ ao de Galileu, isto é, as Equa¸c˜ oes de Maxwell antes e depois de uma Transforma¸c˜ ao de Galileu n˜ ao s˜ ao equivalentes. Essa contradi¸cão levou um grupo de pesquisadores, conhecidos como Maxwellianos, a estudar alternativas ` a Transforma¸c˜ ao de Galileu, resultando nas Transforma¸cão de Lorentz discutidas mais adiante. a Royal Society Transactions 155, 459 (1865), dispon´ıvel em http: //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_ of_the_Electromagnetic_Field.pdf b On the Forces, Stresses and Fluxes of Energy in the Electromagnetic Field Philosophical Transactions of the Royal Society 183A, 423 (1892), dispon´ıvel em http: //www.jstor.org/pss/90590. c Heinrich Rudolph Hertz, Electric waves: being researches on the propagation of electric action with finite velocity through space, (MACMILAN AND CO., London, 1893), dispon´ıvel em http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/ text-idx?c=cdl;cc=cdl;view=toc;subview=short;idno=cdl334.

Além da existência do éter, um outro ponto central na teoria ondulatória de Huygens est´ a no fato da luz ter uma velocidade de propaga¸cão finita. Como veremos a seguir, a determina¸c˜ ao da velocidade da luz desempenhou um papel fundamental no desenvolvimento da Teoria da Relatividade Especial (TER), sendo a constˆ ancia dessa velocidade um dos pontos fundamentais dessa teoria. A hist´ oria por tr´ as da determina¸c˜ ao da velocidade da luz é longa, tendo seus primeiros passos j´ a na época dos fil´ osofos gregos. Aqui discutiremos apenas alguns aspectos que influenciaram decisivamente a TER. Mag. XXI, pp. 281-291, 338-348 (1861); Part 3 Phil. Mag. XXIII, pp. 12-24 (1862); Part 4 Phil. Mag. XXIII, pp. 85-95 (1862), dispon´ıvel em http://upload.wikimedia.org/ wikipedia/commons/b/b8/On_Physical_Lines_of_Force.pdf. 17 Utilizando as palavras de Maxwell ... we can scarcely avoid the inference that light consists in the transverse undulations of the same medium which is the cause of electric and magnetic phenomena.

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Quer saber mais? A determina¸ c˜ ao da velocidade da luz Debates acerca da determina¸c˜ ao da velocidade da luz datam dos tempos da Grécia Antiga. Arist´ otoles cita Empedoclesa como um dos primeiros a sugerir que a luz teria velocidade finita. Essa especula¸cão não era fruto de nenhuma experimenta¸c˜ ao, mas sim de puro racioc´ınio. Uma das primeiras men¸c˜ oes a um valor para a velocidade da luz foi feita por Sayana no Rig Vedab , um livro escrito no in´ıcio do século XIV. Surpreeendentemente, o valor sugerido por Sayana, 302.000 km/s, est´ a muito próximo daquele aceito em nossos dias! No século XVII Galileu propôsc que a velocidade da luz poderia ser determinada por dois observadores dotados de lanternas e postados em dois montes adjacentes da seguinte forma: o primeiro observador descobriria sua lanterna de modo que o segundo pudesse vê-la; o segundo descobriria sua lanterna e o primeiro anotaria o tempo entre descobrir sua lanterna e a observa¸c˜ ao da segunda lanterna. O intervalo de tempo entre os eventos permitiria determinar-se a velocidade da luz a partir do conhecimento da distˆ ancia que separava os dois observadores. Galileu n˜ ao conseguiu chegar a um valor para a velocidade da luz, apenas concluiu que ela deveria ser muito grande. Os astrˆ onomos Jean-Dominique Cassini e Ole Rømerd notaram, quando estudavam as tabelas dos satélites de J´ upiter, que o per´ıodo dos eclipses do primeiro satélite de J´ upiter s˜ ao regulares, mas os instantes em que se iniciam avan¸cavam quando a terra se aproRepresenta¸cão esximava de J´ upiter (movendo-se de Figura 2.2: atica das posi¸cões da Terra e C para A, conforme a figura2.2) e quem´ upiter em rela¸cão ao Sol. atrasavam quando a terra se afas- de J´ tava. Apesar das discordˆ ancias de Cassini, Rømer interpretou corretamente essa diferen¸ca como o tempo necess´ ario para os sinais luminosos do eclipse atravessarem o diâmetro da o´rbita terrestre, mas se limitou a afirmar que a velocidade da luz era extremamente alta, n˜ ao atribuindo a ela um valor numérico. Utilizando o formalismo proposto por Rømer, Huygens e estimou o valor da velocidade da luz como sendo 230.000 km/s. a George Sarton, Ancient science through the golden age of Greece, p. 248 (Dover, London, 1952). b Subhash C. Kak, Sayana’s Astronomy, Indian Journal of History of Science 33, 31 (1998). c Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638). d Laurence Bobis e James Lequeux, Journal of Astronomical History and Heritage 11, 97 (2008). e Trait´ e de la lumiere (Leiden, Netherlands: Pieter van der Aa, 1690).


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No in´ıcio n˜ ao se sabia como a velocidade da luz estava relacionada com a velocidade de seu corpo emissor ou com o éter. Em analogia ao caso mecânico, supunha-se vagamente que a velocidade da luz era maior quando emitida no mesmo sentido que a do corpo emissor e menor quando no sentido oposto e que o éter deveria, de alguma forma, alterar a velocidade de propaga¸cão da luz. Por volta de 1840-1850, diversas teorias conflitantes acerca do éter foram formuladas com o objetivo explicar os resultados experimentais dispon´ıveis, dentre os quais o da aberra¸c˜ ao da luz18 . Segundo Fizeau19 , essas teorias podiam ser resumidas em três hip´ oteses principais que se referem ao estado no qual o éter, dentro de um corpo transparente, deve ser considerado: a primeira hipótese sugere que o éter adere ` as moléculas do corpo e, consequentemente, realizam o mesmo movimento imposto a esse corpo; a segunda que o éter é livre e independente, n˜ ao sendo carregado pelo corpo em seu movimento; finalmente, na terceira apenas uma parte do éter é livre enquanto a outra por¸cão é fixa as moléculas do corpo, realizando o mesmo movimento imposto a ele. A terceira hip´ otese é uma propotas de Fresnell que funde as duas primeiras propostas e foi concebida para satisfazer ao mesmo tempo o fenômeno de aberra¸cão e um experimento realizado por Arago no qual se mostrou que o movimento da terra n˜ ao tem nenhum efeito sobre o valor da refra¸cão da luz de uma estrela em um prisma. Com o objetivo de contribuir para elucidar essas d´ uvidas, Fizeau propˆ os20 em 1851 um experimento que tinha como intuito verificar pequenas varia¸c˜ oes na velocidade da luz. Para tanto Fizeau sugeriu um arranjo experimental (apresentado na Fig. 2.3) que produz franjas de interferência entre dois raios de Figura 2.3: Representa¸cão esquemática luz depois que eles passam através de do aparato experimental concebido por dois tubos paralelos onde ar e ´ agua Fizeau (fonte:wikimedia). podem fluir a grandes velocidades e em dire¸c˜ oes opostas. Em seu experimento, Fizeau verificou um deslocamento das franjas de interferência, o que ele interpretou como sendo uma clara evidência a favor da proposta de Fresnel, segundo a qual o movimento dos corpos produz uma varia¸c˜ ao na velocidade da luz. Além disso, Fizeau sugeriu que a magnitude dessa varia¸c˜ ao depende do ´ındice de refra¸cão do meio. 18 Aberra¸ c˜ ao da luz ´ e o fenˆ omeno no qual a posi¸c˜ ao aparente de um objeto sofre um desvio cuja amplitude depende da amplitude de seu movimento com rela¸c˜ ao ao observador (ou seja, sua velocidade relativa ao mesmo). Este efeito est´ a ligado ao fato de ser finita a velocidade de propaga¸ca õ da luz. Saiba mais em http://www.if.ufrgs.br/oei/santiago/fis2005/ textos/varcrds.htm. 19 Sur les hypoth` eses relatives a ` l’´ ether lumineux, Comptes Rendus 33, 349 (1851), dispon´ıvel em http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29901/f354. 20 Sur les hypoth` eses relatives a ` l’´ ether lumineux, Comptes Rendus 33, 349 (1851).

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A Ciˆ encia em nosso cotidiano: O interferˆ ometro de Fizeau Utilizando o mesmo princ´ıpio de funcionamento do equipamento originalmente descrito em 1851, Fizeau desenvolveu um interferômetro que utiliza espelhos girat´ orios. Posteriormente esse interferˆ ometro foi utilizado por ele e outros pesquisadores como Foucault para determinar a velocidade da luz. Atualmente esse tipo de interferˆ ometro é utilizado na medi¸cão da forma de superf´ıcies o´pticas e sensoresa de temperatura, pressão, etc. a Veja uma aplica¸ c˜ ao interessante em Luciana Montanari; Jaime Gilberto Duduch; Arthur Jos´ e Vieira Porto, Estudo de padr˜ oes de franjas interferom´ etricas aplicadas a sistemas de posicionamento de alta precis˜ ao, Minerva 4, 113 (2007), dispon´ıvel em http://www.fipai.org.br

Os resultados obtidos por Fizeau, embora muito bem recebidos pela comunidade cient´ıfica, n˜ ao eram suficientemente precisos para esclarecer totalmente as ambiguidades inerentes a` teoria do éter. Assim, como esperado outras aproxima¸c˜ oes experimentais estavam em estudo. Uma delas, proposta por A. A. Michelson21 em 1881 admitia-se que o éter est´ a em repouso e que a Terra movese através dele. Dessa forma, o tempo que a luz demora para ir de um ponto a outro da superf´ıcie da Terra deve depender da dire¸c˜ ao em que viaja. Em analagia ao caso mecˆ anico, a velocidade da luz ser´ a Figura 2.4: Representa¸cão esquemática maior quando emitida no mesmo sendo aparato experimental concebido por tido que a do corpo emissor e menor Michelson (retirado do artigo original ublico). quando no sentido oposto. Michel- dom´ınio p´ son utilizou um arranjo experimental como o esquematizado na figura 2.4, a luz emitida em a, passa através de um vidro plano b, parte atingindo o espelho c e parte sendo refletida para o espelho d. O feixe de luz refletido em c e d retorna a b onde foi originalmente refletido/refratado, de forma que os dois raios de luz s˜ ao agora coincidentes. Sendo a distˆ ancia bc igual a distˆ ancia bd, os dois raios de luz tem trajetórias iguais e est˜ ao em condi¸c˜ ao de interferir22 . Segundo Michelson, o feixe de luz 21 The

Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether, American Journal of Science 22 , 120 (1881), dispon´ıvel em http://www.archive.org/stream/ americanjournal62unkngoog#page/n142/mode/1up. 22 O vidro plano g colocado no caminho ´ optico bc ´ e utilizado para compensar a espessura do vidro b.


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4 que viaja na dire¸c˜ ao do movimento da terra o faz 100 de um comprimento de onda a mais do que o faria se viajasse em uma dire¸cão na qual a terra est´ a em repouso (ver Detalhes Matem´ aticos: A hip´ otese de Michelson). O outro feixe de luz estando a um ˆ angulo reto em rela¸cão ao movimento da terra n˜ ao seria afetado. Dessa forma a menor diferen¸ca na velocidade de propaga¸c˜ ao da luz poderia ser detectada através de varia¸cões na figura de interferência formada pelos feixes de luz em e. Michelson realizou uma série de medidas rotacionando o seu equipamento em torno de seu eixo principal mas observou apenas pequenas varia¸c˜ oes nas figuras de interferência obtidas, interpretando-as como desvios inerentes ao seu aparato experimental, o que o levou a concluir que a hip´ otese de um éter estacionário estava incorreta. Nas palavras de Michelson: The result of the hypothesis of a stationary ether is thus shown to be incorrect, and the necessary conclusion follows that the hypothesis is erroneous.

Detalhes Matem´ aticos: A hip´ otese de Michelson Seja V a velocidade da luz, v a velocidade da Terra em rela¸cão ao éter, D a distˆ ancia entre dois pontos, d a distˆ ancia que a Terra viaja enquanto o feixe de luz se propagaga de um ponto a outro, e d1 a distância que a terra viaja quando a luz se propaga na dire¸cão contrária. Suponha que a linha que une dois pontos coincida com a dire¸cão do movimento da terra, com T o tempo necess´ ario para a luz passar de um ponto a outro, e T1 o tempo necess´ ario para realizar o trajeto inverso. Nesse caso T = D+d = vd ; V d1 D−d ario para que um fecho de luz realize e T1 = V = v . O tempo necess´ o movimento de ida e volta é T + T1 = 2D V 2V−v2 . Todavia, se a luz viaja em uma dire¸c˜ ao perpendicular ao movimento da terra, sua velocidade não ser´ a afetada por esse movimento e o tempo total reduz-se a 2 D V = 2T0 . A diferen¸ca entre os tempos de ida e volta nos dois casos vale 1 1 v2 − = τ τ = 2DV 2 2 , T + T1 − 2T0 = 2DV 2 2 2 V −v V V (V − v 2 ) 2

ou aproximadamente 2T0 Vv 2 . No tempo τ a luz viaja a distância V τ = 2 2 2V T0 Vv 2 = 2D Vv 2 , ou seja, a distˆ ancia real que a luz viaja no primeiro caso 2 é 2D Vv 2 maior do que no segundo. 2 Considerando apenas a velocidade da terra em sua órbita, a razão Vv 2 vale 1 aproximadamente 100 000 000 milimetros, ou em termos do comprimento de onda da luz amarela 2.000.000 unidades. Em termos da mesma unidade, 2 4 a distˆ ancia real que a luz viaja no primeiro caso vale 2D Vv 2 = 100 . A precis˜ ao dos resultados de Michelson foi contestada por vários pesquisadores, como Lorentz23 , o que o levou a aperfei¸coar seu experimento. Em 1887, 23 De

l’Influence du Mouvement de la Terre sur les Phen, Lum. Archives N´ eerlandaises

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contando com a colabora¸c˜ ao de E. Morley, Michelson publicou novos resultados obtidos com um aparato experimental onde as incertezas eram menores do que as anteriormente obtidas24 . Nesse experimento, conhecido como Experimento de Michelson-Morley, estabeleceu-se que a velocidade da Terra em rela¸caõ ao éter n˜ ao podia ser maior que 5 km/s, o que era incompat´ıvel com a teoria de propaga¸c˜ ao da luz aceita na época. Mais do que isso, os resultados de Michelson-Morley sugeriam que a idéia de que o éter se comportava como um referencial privilegiado para as equa¸c˜ oes de Maxwell teria que ser descartado. O Experimento de Michelson-Morley foi objeto de in´ umeros testes e versões mais modernas25 utilizando lasers permitem determinar uma anisotropia na velocidade da luz da ordem de 10−17 , o que corresponde a uma velocidade da Terra em rela¸c˜ ao ao éter da ordem de 10−9 m/s. Ao contr´ ario do que se possa pensar, o resultado obtido por Michelson e Morley n˜ ao significou o fim da teoria do éter. Muitos pesquisadores renomados, dentre os quais George FitzGerald, Oliver Lodge, Oliver Heaviside e Heinrich Hertz buscavam alternativas que pudessem conciliar as propostas de Maxwell e a teoria ondulat´ oria, que intr´ınsecamente envolvia o conceito do éter. Assim, G. FitzGerald, publicou uma curta nota26 em 1889, com o claro intuito de reconciliar os experimentos de Michelson-Morley e a teoria do éter. FitzGerald propˆ os que o comprimento dos corpos muda de uma quantidade que depende do quadrado da raz˜ ao entre sua velocidade e a velocidade da luz, nas palavras do autor: ... the length of material bodies changes, according as they are moving through the ether or across it, by an amount depending on the square of the ratio of their velocity to that of light. O trabalho de FitzGerald foi posteriormente aperfei¸coado por H. A. Lorentz27 e expresso matematicamente como um conjunto de rela¸c˜ oes conhecidas como Transforma¸cões de Lorentz, que para um sistema com velocidade relativa v na dire¸cão x tem a forma: 0 t = γ t − v cx2    x0 = γ (x − vt) (2.4)  y0 = y    0 z =z onde γ =

q 1 2 1− vc2

é chamado fator de Lorentz.

xxi, 2me livr. (1886). 24 On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether, American Journal of Science 34, 333 (1887), dispon´ıvel em http://www.aip.org/history/exhibits/gap/ PDF/michelson.pdf. 25 S. Herrmann, A. Senger, K. M¨ ohle, M. Nagel, E. V. Kovalchuk, and A. Peters, Rotating optical cavity experiment testing Lorentz invariance at the 10−17 level, Phys. Rev. D 80, 105011 (2009). 26 The Ether and the Earth’s Atmosphere, Science 13, 390 (1889), dispon´ ıvel em http: //www.archive.org/details/science131889mich. 27 Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems, Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences 1, 427 (1899), dispon´ıvel em http: //www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00014571.pdf.

2.2 A proposta de Einstein

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Um dos aspectos mais importantes relacionados a essas rela¸cões é o fato de que as Equa¸c˜ oes de Maxwell s˜ ao invariantes por uma Transforma¸cão de Lorentz, ou seja, os aspectos f´ısicos observados em diferentes referenciais inerciais n˜ ao se alteram. Note, ainda, que ao contrário da proposta de Galileu, o tempo medido em referenciais em movimento relativo não é necessariamente o mesmo, ou em outras palavras, o conceito de tempo absoluto não existe nessa teoria. Como esse conceito é contr´ ario ` a intui¸cão clássica, Lorentz assumiu a existência de um tempo absoluto, definido em termos de um sistema de coordenadas absoluto e um tempo medido em referênciais em movimento, chamado por ele de tempo local. Quer saber mais? Novamente a velocidade da luz Recentemente, um grupo de pesquisadores, utilizando o European Synchrotron Radiation Facility, encontraram um novo limite para a isotropia da velocidade da luz. Utilizando o que poder´ıamos chamar de um interferˆ ometro sofisticado, eles determinaram que a velocidade da luz não depende da dire¸c˜ ao pelo menos em um parte em 1014 , isto é, a velocidade da luz n˜ ao apresenta varia¸c˜ oes maiores do que 0,000000000001%. Veja o trabalho completo em http://arxiv.org/abs/1004.2867.

2.2

A proposta de Einstein

Assim como FitzGerald e Lorentz, no in´ıcio do século XX, diversos cientistas, como Poincaré e Bucherer, buscavam uma forma de reconciliar as Equa¸c˜ oes de Maxwell, a Teoria Ondulat´ oria e os muitos experimentos derivados de tais tentativas. Em 1905, Einstein apresentou sua contribui¸cão sobre o tema em um longo trabalho28 com sua interpreta¸cão das teorias e resultados dispon´ıveis. Logo em seu segundo par´ agrafo, o trabalho de Einstein já explicita claramente a quebra do paradigma aceito até então: ... o insucesso dos experimentos feitos para detectar qualquer movimento da Terra em rela¸c˜ ao ao éter sugere que os fenˆ omenos da Eletrodinˆ amica, tal como os da Mecˆ anica, n˜ ao apresentam nenhuma propriedade que corresponda a idéia de repouso absoluto. Ao contr´ ario, eles sugerem que em todos os sistemas de coordenadas em que ´ s˜ ao v´ alidas as Equa¸c˜ oes da Mecˆ anica também s˜ ao v´ alidas as Leis Opticas e Eletrodinˆ amicas. Vamos elevar ` a categoria de postulado essa conjectura (que chamaremos daqui em diante Princ´ıpio da Relatividade); vamos, além disso, introduzir o postulado - s´ o aparentemente incompat´ıvel com o primeiro - de que a luz, no v´ acuo, se propaga com velocidade determinada, independente do estado de movimento da fonte de luz. Estes dois postulados s˜ ao suficientes para construir uma eletrodinˆ amica dos corpos em movimento, simples e livre 28 Zur Elektrodynamik bewegter K¨ orper, Annalen der Physik 322, 891 (1905), dispon´ıvel em http://www.archive.org/stream/annalenderphysi108unkngoog# page/n1021/mode/1up.

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de contradi¸c˜ oes. A introdu¸c˜ ao de um “éter” se revelar´ a supérfluo, uma vez que para a teoria que vamos desenvolver n˜ ao necessitamos introduzir um “espa¸co em repouso absoluto”, nem atribuir um vetor velocidade a um ponto do espa¸co vazio no qual o processo eletromagnético ocorre.29 A proposta de Einstein pode ser simplificada em dois postulados: 1. Postulado (ou Princ´ıpio) da Relatividade: as Leis da F´ısica têm a mesma forma em todos os referenciais inerciais; 2. Postulado da constˆ ancia da velocidade da luz: a velocidade da luz no v´ acuo é uma constante universal que independe do movimento de sua fonte. Esses dois postulados s˜ ao a base do que hoje denominamos Teoria da Relatividade Especial ou Restrita. Além desses dois postulados, Einstein indicou claramente que a transforma¸c˜ ao de coordenadas e tempos de um referencial estacion´ ario para outro referencial em movimento uniforme em rela¸cão ao primeiro obedecia as Transforma¸c˜ oes de Lorentz (Equa¸cão 2.4). Quer saber mais? Por tr´ as da Relatividade Em seu trabalho A f´ısica cl´ assica de cabe¸ca para baixo: Como Einstein descobriu a teoria da relatividade especial, J¨ urgen Renn relata os eventos que culminaram com a introdu¸c˜ ao da Relatividade. Veja o trabalho completo em http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/renn.pdf.

2.3

Consequˆ encias dos Postulados de Einstein

O primeiro postulado é uma generaliza¸c˜ ao do Princ´ıpio de Relatividade de Galileu, j´ a que inclui todos os fenˆ omenos e n˜ ao apenas os Mecânicos. Ele implica na inexistência de um referencial inercial privilegiado. Isso significa 29 Tradu¸ c˜ ao livre do autor para o original em alem˜ ao: sowie die mißlungenen Versuche, eine Bewegung der Erde relativ zum ’Lichtmedium’ zu konstatieren, f¨ uhren zu der Vermutung, daß dem Begriffe der absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Elektrodynamik keine Eigenschaften der Erscheinungen entsprechen, sondern daß vielmehr f¨ ur alle Koordinatensysteme, f¨ ur welche die mechanischen Gleichungen gelten, auch die gleichen elektrodynamischen und optischen Gesetze gelten, wie dies f¨ ur die Gr¨ oßen erster Ordnung bereits erwiesen ist. Wir wollen diese Vermutung (deren Inhalt im folgenden ’Prinzip der Relativit¨ at’ genannt werden wird) zur Voraussetzung erheben und außerdem die mit ihm nur scheinbar unvertr¨ agliche Voraussetzung einf¨ uhren, daß sich das Licht im leeren Raume stets mit einer bestimmten, vom Bewegungszustande des emittierenden K¨ orpers unabh¨ angigen Geschwindigkeit V fortpflanze. Diese beiden Voraussetzungen gen¨ ugen, um zu einer einfachen und widerspruchsfreien Elektrodynamik bewegter K¨ orper zu gelangen unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie f¨ ur ruhende K¨ orper. Die Einf¨ uhrung eines ’Licht¨ athers’ wird sich insofern als u ¨berfl¨ ussig erweisen, als nach der zu entwickelnden Auffassung weder ein mit besonderen Eigenschaften ausgestatteter ’absolut ruhender Raum’ eingef¨ uhrt, noch einem Punkte des leeren Raumes, in welchem elektromagnetische Prozesse stattfinden, ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet wird.

2.3 Consequˆ encias dos Postulados de Einstein

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que nenhum experimento pode medir ou detectar o movimento uniforme do sistema de referência utilizado. J´ a o segundo postulado indica que a velocidade da luz (c) é constante em qualquer referencial inercial. Dessa forma a luz se propagando no v´ acuo passa a ter propriedades comuns a outras ondas mecˆ anicas, como o som, por exemplo. O segundo postulado de Einstein, apesar de também parecer bastante razo´ avel, apresenta consequências surpreendentes que contradizem o senso comum. Considere, por exemplo, uma fonte de luz L e dois observadores O1 , em repouso em rela¸c˜ ao a L, e O2 , em movimento em rela¸cão a L com uma dada velocidade v. A velocidade da luz emitida pela fonte medida a partir do referencial O1 vale c ' 3.108 m/s. Utilizando os conceitos de velocidade relativa da Mecˆ anica Cl´ assica, esperamos que o valor da velocidade da luz emitida pela fonte medida a partir do referencial em movimento O2 seja v + c. Observe que, como um sistema no qual o observador O2 está em repouso e a fonte L e o observador O1 est˜ ao em movimento, do ponto de vista de O2 é a fonte que est´ a em movimento. Se levarmos agora em considera¸cão o postulado da constˆ ancia da velocidade da luz que é claro ao dizer que c independe do movimento de sua fonte, temos imediatamente que a velocidade medida a partir de O2 também deve ser c. Se a velocidade da luz medida a partir de dois referenciais em movimento relativo é a mesma, isso significa que n˜ ao podemos perceber o movimento absoluto. Mais do que isso, Einstein sugere que nenhuma experiência poder´ a medir ou detectar o movimento uniforme do sistema de referência utilizado, o que é coerente com as propostas de Galileu e Newton nas quais se baseiam a Mecˆ anica Cl´ assica. Vamos analisar outro exemplo sugerido por Einstein30 . Considere uma sala em movimento com dois observadores: um posicionado dentro da sala (observador interno) e outro fora dela (observador externo). Um sinal luminoso é emitido do centro da sala e pergunta-se aos dois o que esperam observar considerando apenas os postulados propostos por Einstein. Citamos suas respostas: Observador interno: O sinal luminoso que caminha do centro da sala atingir´ a as paredes simultaneamente. Isso significa que todas as paredes estão equidistantes da fonte de luz e a velocidade da luz é a mesma em todos as dire¸c˜ oes. Observador externo: Em meu sistema, a velocidade da luz é exatamente a mesma que a medida pelo observador que se move com a sala. Não me importa se a fonte de luz se move ou n˜ ao em meu referencial, seu movimento não influi sobre a velocidade da luz. O que vejo é um sinal luminoso caminhando com uma velocidade padr˜ ao idêntica em todas as dire¸cões. Um das paredes se afasta do sinal e a parede oposta aproxima-se dele. Logo, a parede que se afasta ser´ a atingida pelo sinal um pouco mais tarde do que a parede que se aproxima. Embora a diferen¸ca seja diminuta se a velocidade da sala for pequena em compara¸c˜ ao com a velocidade da luz, o sinal luminoso não atingirá 30 A. Einstein e L. Infeld, A Evolu¸ ca õ da F´ısica, tradu¸c˜ ao de Giasone Rebu´ a, Quarta Edi¸c˜ ao, Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1980, p. 146-147.

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simultaneamente as duas paredes opostas, perpendiculares à dire¸cão do movimento. Mais do que isso, as paredes paralelas ` a dire¸caõ do movimento também n˜ ao ser˜ ao atingidas no mesmo instante que as paredes perpendiculares, mesmo que todas estejam dispostas simetricamente em rela¸cão ao centro da sala. Comparando as previs˜ oes de nossos dois observadores, encontramos um resultado que contradiz frontalmente os conceitos aparentemente bem fundamentados da Mecˆ anica Cl´ assica. Dois acontecimentos, no caso os dois raios de luz atingirem as paredes, s˜ ao simultˆ aneos para o observador interno, mas não para o observador externo. Na Mecˆ anica Cl´ assica t´ınhamos um relógio, um escoamento do tempo, para todos os observadores em todos os referenciais. O tempo, e, portanto, palavras como simultaneamente, mais cedo e mais tarde, tinham um significado absoluto, independente de qualquer referencial. Dois acontecimentos que ocorressem ao mesmo tempo em um referencial, necessariamente ocorreriam simultaneamente em qualquer outro referencial. Os postulados de Einsten nos for¸cam a abandonar esse ponto de vista. Descrevemos dois acontecimentos ocorrendo ao mesmo tempo em um referencial, mas em instantes diferentes em outro referencial. Isso significa que dois observadores inerciais em movimento relativo discordam se dois acontecimentos que tenham ocorrido em lugares diferentes s˜ ao simultˆ aneos ou n˜ ao.

2.3.1

A dilata¸c˜ ao temporal

Mas como explicar esse aparente paradoxo? Para abordar esse problema, considere um exemplo similar ao sugerido por Einstein31 no qual dois espelhos A e B est˜ ao dispostos paralelamente, separados por uma Figura 2.5: Representa¸cão esquemática de dois distˆ ancia d, conforme es- espelhos, A e B, separados por uma distância quema ao lado. Um obser- d e de um observador O em repouso (esquerda) vador O determina o tempo e em movimento (direita). necess´ ario para que um flash de luz, que viaja em linha reta com velocidade c, efetue o movimento de ida e volta entre os dois espelhos, tal qual o tic-tac de um relógio. No esquema à esquerda, o observador O est´ a em repouso, o que nos permite escrever a distˆ ancia entre os espelhos d em termos do intervalo de tempo que a luz leva para viajar de A para B (t0 ) e da velocidade da luz: c=

d → d = ct0 . t0

31 Relativity: The Special and General Theory, traduzido por Robert W. Lawson, Methuen and Company, London, revised edition 1924.


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Agora vamos nos concentrar no caso em que o observador O viaja com velocidade v. Nesse caso, como exemplificado no esquema à direita, o observador ver´ a, ap´ os um certo intervalo de tempo 2t, o flash de luz refletido por B. Nesse caso, o raio de luz viaja uma distˆ ancia de A para B maior do que d. Como a velocidade da luz é constante, essa distˆ ancia vale ct. Nesse mesmo intervalo de tempo t, o observador O ter´ a se deslocado vt em rela¸cão à sua posi¸cão inicial. Do triˆ angulo retˆ angulo formado, temos c2 t2 = v 2 t2 + c2 t02 , ou seja,

02

t =t

2

v2 1− 2 c

0

→t =t

s

v2 1− 2 . c

(2.5)

Observe que a equa¸c˜ ao acima indica que os tempos medidos em diferentes referenciais em movimento relativo n˜ ao s˜ ao idênticos. A expressão acima indica que o tempo medido por um observador em repouso (t0 ) é menor do que aquele medido por um observador em movimento (t). Em outras palavras, relógios que se deslocam em rela¸c˜ ao a um referencial inercial andam mais devagar. Esse efeito é conhecido como dilata¸ c˜ ao temporal e pode ser enunciado como: dois observadores em movimento relativo medem tempos diferentes para o mesmo acontecimento e para os intervalos entre dois acontecimentos. Não se trata de uma ilus˜ ao, mas de um efeito f´ısico real decorrente da não simultaniedade de eventos em referenciais em movimento relativo. Note que nos eventos cotidianos, a dilata¸cão temporal não pode ser percebida, pois as velocidades dos objetos que nos cercam são muito menores do que a velocidade da luz. Considere, por exemplo, o movimento transla¸cão da Terra em torno do Sol. Nosso planeta realiza esse movimento com uma velocidade média de aproximadamente 30 km/s, o que é extremamente alta para nossos padr˜ oes32 . Apesar de parecer muito grande, a velocidade de transla¸cão 2 da Terra resulta em um raz˜ ao vc2 = 10−8 ! Considere dois observadores, um na Terra e outro no Sol. Para que a diferen¸ca nos relógios dos dois observadores fosse de 1 segundo, ter´ıamos que esperar cerca de 108 segundos, ou seja, milhares de dias! Para que a dilata¸c˜ ao temporal fosse percept´ıvel, os objetos deveriam moverse a grandes velocidades. Apenas algumas part´ıculas naturais, como os m´ uons33 , por exemplo, que s˜ ao raios c´ osmicos, possuem velocidades comparáveis à velocidade da luz. Os m´ uons viajam com velocidade média em torno de 0,9992c, o que torna poss´ıvel verificar efeitos relativ´ısticos. 32 Como compara¸ c˜ ao, considere a nave New Horizon desenvolvida pela Nasa para atingir Plut˜ ao. A New Horizon atingiu uma velocidade m´ axima de aproximadamente 16 km/s, sendo considerada um dos objetos mais velozes concebidos pelo homem. Confira a trajet´ oria da New Horizon em www.nasa.gov. 33 No modelo padr˜ ao da f´ısica de part´ıculas, o m´ uon ´ e uma part´ıcula elementar similar ao el´ etron, com carga el´ etrica negativa unit´ aria e spin 12 .

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Quer saber mais? Comprova¸ c˜ ao experimental da dilata¸ c˜ ao temporal Uma comprova¸c˜ ao experimental da dilata¸c˜ ao temporal foi obtida por Hafele e Keatinga . Durante outubro de 1971, Hafele e Keating utilizaram quatro rel´ ogios atˆ omicos transportados em vˆ oos comerciais, com velocidades médias de 900 km/h, em rotas ao redor do mundo a oeste e a leste e compararam suas medidas com rel´ ogios de referência montados no U.S. Naval Observatory. Observe que os rel´ ogios de referência não estão de fato parados, mas sim em movimento, devido ` a rota¸c˜ ao da Terra. Os relógios de referência est˜ ao no paralelo 39◦ , o que significa que eles percorreram uma trajet´ oria de cerca de 31.000 km em aproximadamente 24 horas, ou seja, viajam com uma velocidade de aproximadamente 1.300 km/h. Considere inicialmente o avi˜ ao voando na dire¸c˜ ao oeste, ou seja, contrária a rota¸c˜ ao da Terra. A velocidade relativa rel´ ogio no avião/relógio de referência é v = 1300 + 900 = 2200 km/h. No experimento de Hafele e Keating o avi˜ ao, viajando a aproximadamente de 900 km/h demora cerca de t = 31000 ' 31,4 horas ou 124.000 segundos para completar a volta em 900 torno da Terra. Assim, a Equa¸c˜ ao 2.5 tem a forma s 0

t = 124.000

1−

1.3002 (3,6 × 3 × 108 )2

s

−

1−

2.2002 (3,6 × 3 × 108 )2

!

= 170 × 10−9 s.

Observe que o valor acima é uma aproxima¸c˜ ao, pois arredondamos os n´ umeros de forma a facilitar os nossos c´ alculos. Os valores previstos por Hafele e Keating a partir da Teoria da Relatividade Restrita indicam uma varia¸caõ de 275(±21) nanosegundosb compar´ aveis aos 273(±7) nanosegundos obtidos considerando-se a média de mais de 5.000 observa¸cões experimentais. Agora ´ e com vocˆ e! Estime o valor previsto para a varia¸c˜ ao no rel´ ogio colocado no avi˜ ao que viaja para leste e compare com o resultado experimental de 59(±10) nanosegundos e com o valor por eles estimado de 40(±23). Nesse caso, o desvio em rela¸c˜ ao ao valor experimental é um pouco maior do que o observado no caso anterior. Você saberia dizer o por quê? a Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains, Science 177, 166 (1972). b 1 nanosegundo = 1 × 10−9 segundos


2.3.2

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O Paradoxo dos Gˆ emeos

Em um trabalho de 1911, Einstein34 sugeriu que suas observa¸cões relativas a dilata¸c˜ ` ao temporal também se aplicam a organismos vivos35 : Se considerarmos, por exemplo, um organismo vivo contido em uma caixa e aplicarmos as mesmas condi¸c˜ oes observadas anteriormente para os rel´ ogios humanos, é poss´ıvel que o organismo retorne ao seu local de origem de um vˆ oo arbitrariamente longo com pequenas modifica¸c˜ oes em rela¸c˜ ao ao seu estado original, enquanto organismos semelhantes mantidos no local de partida j´ a deram espa¸co a novas gera¸c˜ oes h´ a muito tempo. Se o movimento ocorreu a velocidade pr´ oxima da luz, o longo per´ıodo contabilizado por seus semelhantes no local de origem, para o viajante nada mais representou do que um breve instante! Essas s˜ ao as consequências irrefut´ aveis dos princ´ıpios por n´ os estabelecidos e que a experiência nos imp˜ oe. Com base nessas conjecturas, Langevin 36 propôs um experimento mental que classificou como singular e que modernamente denominamos Paradoxo dos Gˆ emeos. Ao invés de discut´ı-lo na sua forma original, vamos apresentar uma vers˜ ao mais aplic´ avel ao nosso cotidiano. As transforma¸c˜ oes de Lorentz possuem uma simetria com rela¸cão à dire¸cão da velocidade do observador. Se invertermos apenas o sentido da velocidade, ou seja, considerarmos ~v → −~v , as transforma¸cões de Lorentz não se alteram. Este fato est´ a associado com a equivalência entre observadores inerciais. Descrever o afastamento de um observador B com velocidade ~v com rela¸cão a um observador A parado é equivalente a descrever o observador B parado e A se movendo com velocidade −~v . No entanto, a passagem de tempo depende do estado de movimento do observador, logo, poder´ıamos fazer a seguinte pergunta: se dois gêmeos s˜ ao separados, um permanecendo na Terra e o outro sendo levado para viajar numa espa¸conave com velocidade comparável a da luz durante alguns anos terrestres, ao retornar à Terra como será a rela¸cão entre as idades dos dois gêmeos? Considere, por exemplo, o caso em que um dos gêmeos fez uma viagem de ida e volta a um determinado local. Essa viagem teve a dura¸cão de 1 ano medida pelo gêmeo no referencial da Terra, e foi feita a uma velocidade média 34 Die Relativit¨ ats-Theorie, Naturforschende Gesellschaft, Z¨ urich, Vierteljahresschrift 56, 1 (1911), dispon´ıvel em http://www.archive.org/stream/ vierteljahrsschr56natu#page/1/mode/1up. 35 Tradu¸ c˜ ao livre do autor para o original em alem˜ ao ... Wenn wir z. B. einen lebenden Organismus in eine Schachtel hineinbr¨ achten und ihn dieselbe Hin- und Herbewegung ausf¨ uhren liessen wie vorher die Uhr, so k¨ onnte man es erreichen, dass dieser Organismus nach einem beliebig langen Fluge beliebig wenig ge¨ andert wieder an seinen urspr¨ unglichen Ort zur¨ uckkehrt, w¨ ahrend ganz entsprechend beschaffene Organismen, welche an den urspr¨ unglichen Orten ruhend geblieben sind, bereits l¨ angst neuen Generationen Platz gemacht haben. F¨ ur den bewegten Organismus war die lange Zeit der Reise nur ein Augenblick, falls die Bewegung ann¨ ahernd mit Lichtgeschwindigkeit erfolgte! Dies ist eine unabweisbare Konsequenz der von uns zugrunde gelegten Prinzipien, die die Erfahrung uns aufdr¨ angt. 36 L’Evolution ´ de l’espace et du temps, Scientia 10, 31 (1911), dispon´ıvel em http://fr. wikisource.org/wiki/L’volution_de_l’espace_et_du_temps.

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de 0,8c. Utilizando a equa¸c˜ ao 2.5, é imediato que r 0

t =1 1−

(0,8c)2 3 = anos, c2 5

ou seja, para o gêmeo que viaja, passaram-se apenas 3/5 do tempo! Em outras palavras, a dilata¸c˜ ao temporal indica que o gêmeo que viajou com velocidade compar´ avel a da luz est´ a mais jovem do que o gêmeo que permaneceu na Terra. Se levarmos, agora, em considera¸c˜ ao a simetria das Transforma¸cões de Lorentz, poder´ıamos dizer que do ponto de vista do gêmeo no foguete, é a Terra quem se move a uma velocidade de 0,8c, enquanto ele permanece parado. No seu referencial é o gêmeo terrestre quem deveria ser mais novo, o que nos leva ao paradoxo: qual dos dois irm˜ aos de fato envelheceu mais devagar? A resposta a este aparente paradoxo pode ser dada de diferentes formas37 . Aqui abordaremos apenas uma delas. Embora as transforma¸c˜ oes de Lorentz exibam simetria entre o afastamento dos gêmeos, ao longo de toda a jornada, existe uma diferen¸ca fundamental entre as duas situa¸c˜ oes: enquanto o gêmeo terrestre permanece com velocidade constante ao longo de toda a viagem, o gêmeo viajante é acelerado para possibilitar o seu retorno ` a Terra. Esta assimetria rompe com a argumenta¸cão de equivalência entre os gêmeos. Enquanto o gêmeo terrestre permanece sempre em um mesmo referencial inercial, o gêmeo viajante muda de referencial ao longo de sua viagem. De fato, o gêmeo viajante encontra-se em parte de sua viagem em um referencial n˜ ao inercial, pois é acelerado de forma a possibilitar seu retorno ` a Terra. Lembre-se de que o primeiro postulado de Einstein limita claramente a validade de suas propostas para referenciais inerciais.

2.3.3

A contra¸c˜ ao espacial

Em todos os exemplos discutidos, o fato de dois observadores inerciais em movimento relativo discordarem se dois acontecimentos que tenham ocorrido em lugares diferentes s˜ ao simultˆ aneos ou n˜ ao desempenha um papel fundamental na compreens˜ ao dos fenˆ omenos discutidos. Ocorre que a influência dessa n˜ ao simultaniedade n˜ ao se limita ` as medidas temporais. Considere, por exemplo, o ato de medir o comprimento de um corpo. Se o objeto est´ a em repouso em rela¸c˜ ao ao observador, o ato de medir pode ser feito simplesmente colocando ao lado do objeto um padr˜ ao para sua determina¸cão. Por outro lado, se o objeto estiver em movimento, uma poss´ıvel estratégia seria adotar um eixo coordenado, como o representado na figura ao lado, e medir os intervalos de tempo nos quais o objeto passa por um determinado ponto de referência, no caso o eixo y. Sabendo a velocidade e o tempo necessário para que o objeto passe pelo ponto de referência, obtém-se seu comprimento. 37 Veja, por exemplo, Paul A. Tipler e Ralph Al. Llwellyn, F´ ısica Moderna, tradu¸ca õ Ronaldo S´ ergio Biasi, LTC Editora, Rio de Janeiro, 2001, p. 33.


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Ocorre que, devido a n˜ ao simultaniedade, observadores em diferentes referenciais inerciais podem n˜ ao concordar sobre o instante em que o objeto passa pelo ponto de referência, ou seja, em diferentes referenciais os eventos de medi¸c˜ ao s˜ ao n˜ ao simultˆ aneos. Isso significa que a Figura 2.6: Representa¸cão esquemática de medida do comprimento do ob- duas poss´ıveis formas de se medir um objeto n˜ ao é u ńica, mas depende do jeto. Para um objeto em repouso, colocareferencial38 . mos um padrão ao seu lado. Já para um Vamos agora estimar o valor objeto em movimento, adotamos um eixo dessa varia¸c˜ ao considerando um coordenado e observamos os intervalos de outro exemplo em que a medida tempo nos quais o objeto passa por um dedo comprimento do objeto é feito terminado ponto de referência, no caso o da mesma forma tanto para o re- eixo y. Sabendo a velocidade e o tempo neferencial em repouso quanto para cess´ ario para que o objeto passe pelo ponto o referencial em movimento. Su- de referência, obtém-se seu comprimento. ponha que em um dado referencial, P 0 , o objeto, no caso uma barra, encontra-se em repouso, com uma das suas extremidades na posi¸c˜ ao x01 e a outra na posi¸cão x02 . Nesse caso, podemos medir o comprimento da barra em um dado instante t0 qualquer através da rela¸c˜ ao Lp = x02 −x01 . Considere, agora, um outro referencial S, em movimento em rela¸c˜ ao a P 0 com velocidade v. Se utilizarmos o mesmo procedimento para medir a barra, seu comprimento no referencial S é dado por L = x2 − x1 , onde x1 é a posi¸c˜ ao de uma das extremidades da barra no instante t1 e x2 é a posi¸c˜ ao da outra extremidade medida no mesmo instante t2 = t1 = t. Como P 0 e S est˜ ao em movimento relativo, a n˜ ao simultaniedade prevê que os tempos medidos nos dois referenciais t0 e t n˜ ao s˜ ao idênticos. Vamos agora, com o aux´ılio das Transforma¸c˜ oes de Lorentz (equa¸cão 2.4) relacionar as posi¸cões das extremidades das barras nos dois referenciais: ( x02 = γ (x2 − vt) x01 = γ (x1 − vt) , com γ =

q 1 2 1− vc2

. Subtraindo as duas equa¸c˜ oes temos x02 − x01 = γ(x2 − x1 ),

38 Como discutido anteriormente, essa constata¸ c˜ ao ´ e consistente com a proposta de FitzGerald segundo a qual o comprimento dos corpos muda de uma quantida que depende do quadrado do raz˜ ao entre sua velocidade e a velocidade da luz, necess´ aria para explicar o ´ Experimento de Michelson-Morley no contexto da Teoria do Eter.

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ou seja r Lp = γL −→ L =

v2 1− 2 c

! Lp .

(2.6)

Como do ponto de vista do observador em S é o objeto que está se movendo, essa express˜ ao equivale a dizer que o comprimento de um objeto é menor quando ele é medido em um referencial em que ele se encontre em movimento. Essa consequência dos Postulados de Einstein é conhecida como contra¸ c˜ ao espacial ou contra¸ c˜ ao de Lorentz-FitzGerald. ´ importante salientar que a contra¸c˜ E ao espacial só se verifica na dire¸cão do movimento relativo entre o referencial e o objeto. Assim, se considerarmos, por exemplo, um quadrado em movimento de tal forma que dois de seus lados est˜ ao posicionados na dire¸c˜ ao do movimento e dois na dire¸cão perpendicular a do movimento, a contra¸c˜ ao s´ o se verificaria nos lados paralelos à dire¸cão do movimento e sua forma final seria a de um retˆ angulo. Se o quadrado estiver posicionado de tal forma que suas faces formam um ˆ angulo em rela¸cão à dire¸cão de movimento, n˜ ao s´ o suas faces ser˜ ao deformadas, mas também os ângulos internos deixar˜ ao de ter 90◦ . Agora ´ e a sua vez: Verifique que um quadrado cujo lado A forma um ângulo de 30◦ em rela¸c˜ ao ` a dire¸c˜ ao x ser´ a visto como um paralelogramo com lados 0,901A e 0,968A, cujos lados menores fazem um ângulo de 33,7◦ em rela¸caõ a` dire¸c˜ ao x0 quando visto de um referencial que se move a uma velocidade v = 0,5c. Quer saber mais? Os m´ uons, um exemplo da dilata¸ c˜ ao temporal e contra¸ c˜ ao espacial Um exemplo interessante que ilustra a dilata¸ca õ temporal e a contra¸c˜ ao espacial est´ a relacionado ao decaimento de m´ uons que se formam na atmosfera a partir dos chamados chuveiros de raios c´ osmicosa . Os m´ uons decaem de acordo com a lei estat´ısica da radiotividade N (t) = No e−τ /r , onde No ´ e o n´ umero de m´ uons no instante t = 0, N (t) o n´ umero de m´ uons no instante t e τ o tempo m´ edio de vida, que no caso dos m´ uons ´ e de aproximadamente 2 µs. Os m´ uons s˜ ao formados nas camadas superiores da atmosfera, aproximadamente 10 km acima do n´ıvel do mar. Um m´ uon t´ıpico, com uma velocidadesde 0,998c, percorreria apenas 600 m em 2 µs. Ocorre que tais part´ıculas s˜ ao detect´ aveis na superf´ıcie terrestre e mesmo abaixo do n´ıvel do marb . A explica¸c˜ ao desse aparente paradoxo est´ a na dilata¸ ao temporal: para um observador qc˜ 2 e o na Terra, o m´ uon tem um tempo de vida t0 = t 1 − vc2 = 30 µs. Esse tempo ´ suficiente para que o m´ uon, que tem velocidade 0,998c, percorra cerca de 9.000 metros antes de decair quando visto do referencial da terra. a O estudo dos chuveiros c´ osmicos foi de fundamental importˆ ancia no desenvolvimento da f´ısica no Brasil. Grandes pesquisadores como C´ esar Lattes, Marcelo Damy, Gleb Wataghin, e Paulus Pomp´ eia, dedicaram parte de suas carreiras a essa importante ´ area. S˜ ao dignos de nota os trabalhos de Wataghin, Dami e Pomp´ eia sobre o componente penetrante da radia¸c˜ ao c´ osmica (Phys. Rev. 59, 902 (1941)) e o estabelecimento da existˆ encia do m´ eson-π por Lattes (Nature 159, 694 (1947)). b Em 1947, Wataghin, Damy e Pomp´ eia relataram em seu trabalho a deteçc˜ ao de tais part´ıculas a profundidades equivalentes a 60 m abaixo do n´ıvel do mar!


2.3.4

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Dinˆ amica relativ´ıstica

Na se¸c˜ ao 2.1.1 O Conceito Mecˆ anico vimos que as Leis de Newton s˜ ao invariantes (equivalentes) em rela¸c˜ ao ` a Transforma¸cão de Galileu. Isso ~ significa que a Segunda Lei de Newton F = m~a é válida em qualquer referencial inercial, ou seja, a acelera¸c˜ ao ~a medida em um dado referencial deve ser igual a uma acelera¸c˜ ao a~0 medida em outro referencial inercial em movimento relativo em rela¸c˜ ao ao primeiro. Por outro lado, segundo os Postulados de Einstein, o tempo e o espa¸co medidos em diferentes referenciais inerciais em movimento relativo n˜ ao s˜ ao iguais, o que implica que as velocidades e acelera¸c˜ oes também n˜ ao o ser˜ ao. Em outras palavras, a Segunda Lei de Newton n˜ ao é invariante em rela¸c˜ ao ` a Transforma¸c˜ ao de Lorentz. Dessa forma, faz-se necess´ ario determinarmos uma nova lei de movimento, equivalente à versão cl´ assica de Newton, mas também consistente com os Postulados de Einstein. Para tanto, vamos, inicialmente observar o que ocorre com a velocidade de um corpo quando medida em diferentes referenciais. Transforma¸ c˜ oes de velocidades Considere dois referenciais inerciais S e S 0 , com velocidade relativa ~v = v ˆı na dire¸c˜ ao do eixo x. Nesse caso, as transforma¸cões de Lorentz (equa¸cão 2.4) tem a forma:  0 x = γ (x − vt)   !−1 r  y 0 = y v2 . (2.7) com γ = 1− 2  c z0 = z   0 t = γ t − cv2 x As velocidades, por sua vez, ser˜ ao dadas por:  t xt − v  x0 γ (x − vt) x − vt vx − v  0  v = = = =  x vx v v x = 1 − vvx  t t − γ t − x t 1 −  c2 c2  c2 c2 t  y y 1 vy y0 0 = = = vy = x  t t γ 1 − cv2 xt γ t − cv2 x γ 1 − vv  c2  0  z z z 1 vz   0 = = ,   vz = t = v v x x t γ 1 − c2 t γ t − c2 x γ 1 − vv c2

(2.8)

onde vα = αt é a velocidade na dire¸c˜ ao α com que o um dado objeto se move ´ em rela¸c˜ ao ao referencial S. E importante ressaltarmos que nossa escolha de escrever as posi¸co˜es e velocidades do referencial em movimento S 0 em termos de seus equivalentes no referencial em repouso S não é u ńica. Poder´ıamos ter feito a transforma¸c˜ ao inversa, isto é, verificado como um sistema de referência em repouso se comporta sob a ´ optica de um observador em um sistema de referência em movimento. Por simetria, a transforma¸cão inversa leva ao mesmo conjunto de equa¸c˜ oes, porém com a velocidade com sinal oposto, já que do

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ponto de vista de S 0 é o outro referencial que se move na dire¸cão contrária. Se considerarmos o exemplo anterior, a velocidade na dire¸cão x, por exemplo, seria escrita como: v0 + v vx = x vv0 . 1 + c2x Observe que as express˜ oes que relacionam as velocidades nos diferentes referenciais têm consequências importantes especialmente na determina¸cão das velocidades relativas. Enquanto as Transforma¸c˜ oes de Galileu previam que a velocidade relativa era determinada pela soma algébrica das velocidades (vrel = vA ±vB ), o mesmo n˜ ao ocorre se utilizarmos as expressões relativ´ısticas. Considere, por exemplo, que você est´ a em um foguete, viajando a uma velocidade de 0,5c em rela¸c˜ ao a um referencial qualquer S. Em um determinado instante, você lan¸ca um objeto a um velocidade 0,5c na mesma dire¸cão em que o foguete viaja. Se aplic´ assemos as Transforma¸c˜ oes de Galileu, a velocidade desse objeto do ponto de vista de S deveria ser c. Todavia, ao utilizarmos as express˜ oes relativ´ısticas, temos vx =

0,5c + 0,5c 1+

(0,5c)2 c2

=

1 1 4 c= c = c, 2 1 + 0,5 1,25 5

ou seja, do ponto de vista relativ´ıstico 0,5c + 0,5c = 54 c! Considere a mesma situa¸c˜ ao, mas agora você est´ a observando um pulso de luz, que sabemos viajar a uma velocidade c. Nesse caso, para o observador em repouso teremos: c + 0,5c 1,5c vx = 0,5c×c = 1 + 0,5 = c, 1 + c2 o que é consistente com o Postulado de Einstein que prevê que a velocidade da luz (c) independe da velocidade de sua fonte. Momento e Massa relativ´ıstica Apesar de j´ a sabermos como as transforma¸co˜es de velocidades s˜ ao afetadas pelas transforma¸c˜ oes relativ´ısticas, ainda n˜ ao sabemos quais s˜ ao seus efeitos sobre outras grandezas relacionadas ` a dinˆ amica do sistema, como, por exemplo, o momento. Para verificarmos a dimens˜ ao dessa mudan¸ca, vamos considerar um exemplo com o qual estamos bastante familiarizados: o choque el´ astico entre duas esferas. Considere duas esferas maci¸cas (bolas), idênticas quando em repouso, de massa m, que denominaremos A e B por simplicidade, nas m˜ aos de dois

Figura 2.7: Representa¸cão esquem´ atica do choque perfeitamente elástico de duas esferas idênticas.


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observadores inerciais S e S 0 , inicialmente em repouso. Suponha39 que os dois observadores arremessem suas bolas com velocidade inicial igual ~v = vo ˆ, quando vistas por eles, conforme esquema na figura 2.7. Note que isso significa que, para cada observador, sua bola tem velocidade +vo e a outra bola tem velocidade −vo . Como os dois observadores estão em repouso, é poss´ıvel analisarmos o evento utilizando as Leis de Newton. Antes da colisão, o momento total do sistema é nulo. Para que o momento seja conservado, as velocidades de retorno devem ser, em m´ odulo, iguais ` as velocidades originais, ou seja, cada observador ver´ a sua bola retornando com velocidade ~v = −vo ˆ. Por outro lado, caso um dos observadores esteja em movimento relativo em rela¸c˜ ao ao outro com velocidade ~v , a solu¸c˜ ao do problema é bem diferente. Isso ocorre porque ao utilizarmos a transforma¸c˜ ao relativ´ıstica das velocidades as bolas n˜ ao ter˜ ao mais as mesmas velocidades. Consideremos, inicialmente, a colis˜ ao do ponto de vista do observador S, como exemplificado ao lado. Neste referencial, a bola A está se movendo ao longo do eixo y, com velocidade uy,A = uo e ux,A = 0. J´ a a bola B, do ponto de vista de S, tem uma velocidade w que podemos decompor em uma componente x dada por ux,B = v e uma componente y dada pela transforma¸c˜ ao inversa da rela¸c˜ ao 2.8: r u0y,B v2 −uo = uy,B = = −uo 1 − 2 . Figura 2.8: Representa¸cão vu0x,B γ c γ 1+ c esquemática do choque perfeitamente elástico de duas Como para v > 0, γ < 1, o valor absoluto da esferas idênticas visto a componente y da velocidade da bola B é menor partir do observador S do que a componente y da bola A. Isso significa (parte superior) e S 0 (parte que, do ponto de vista de S, a componente y total inferior). do momento cl´ assico n˜ ao é nula. Como a componente y das velocidades muda apenas de sinal P em uma colis˜ ao el´ astica, o momento definido classicamente como p~ = m~v n˜ ao é conservado no referencial escolhido. Mais uma vez, ao analisarmos o problema partindo do referencial S 0 (parte inferior da figura 2.8) chegaremos ao mesmo resultado, pois a mudan¸ca de referenciais implica apenas na mudan¸ca dos papéis das bolas A e B. Se, por um lado, os resultados da Mecˆ anica Clássica indicam claramente que o momento p~ é conservado no caso de colis˜ oes elásticas, o exemplo analisado 39 Na an´ alise desse problema escolhemos um sistema de coordenadas conveniente para simplific´ a-lo. Nossa an´ alise n˜ ao mudaria se tiv´ essemos escolhido outro sistema de coordenadas, pois a conserva¸ca õ do momento continuaria v´ alida.

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sugere que isso s´ o ocorrer´ a quando a velocidade v tende a zero, pois nesse caso uy,B ' uy,A = uo . Observe que a igualdade s´ o existe quando v ≡ 0. Para explorarmos melhor esse aspecto, vamos escrever explicitamente as varia¸cões dos momentos para A e para B na dire¸c˜ ao y, j´ a que é apenas nessa dire¸cão que o momento n˜ ao é conservado. Para evitar ambiguidades em nossa análise, vamos indicar explicitamente a velocidade de cada uma das bolas através de ´ındices. Assim, considerando o referencial S, podemos dizer que ∆pA = muo uo − (−muo uo ) = 2muo uo e

r

v2 . c2 Para que a conserva¸c˜ ao do momento seja observada, é necessário que as varia¸co˜es dos momentos se cancelem, o que s´ o ocorre se r v2 ∆pA = ∆pB −→ 2muo uo = 2mw uo 1 − 2 , c ∆pB = mw uy,B − (−mw uy,B ) = 2mw uo

ou seja, se

mu mw = q o . 2 1 − vc2

1−

(2.9)

No caso limite onde uo → 0, a velocidade w é praticamente idêntica à velocidade do referencial v. Nesse caso, podemos reescrever a equa¸cão como mo mv = q 1−

,

(2.10)

v2 c2

onde mo é chamada massa de repouso e, como o próprio nome indica, é medida com o corpo em repouso em rela¸c˜ ao ao referencial onde essa medida é feita. A rela¸c˜ ao 2.10 expressa o fato de que a massa de um corpo aumenta quando sua velocidade aumenta. Esse aumento é praticamente impercept´ıvel para as velocidades que os corpos atingem em nosso cotidiano, mas tem consequências importantes, como discutiremos a seguir. A primeira consequência refere-se ` a conserva¸c˜ ao do momento. A conserva¸c˜ ao do momento continua v´ alida na Teoria da Relatividade desde que o momento p~ de um corpo, com massa de repouso mo , movendo-se a uma velocidade ~v , seja expresso por: mo~v . p~ = q 2 1 − vc2

(2.11)

Essa express˜ ao é muitas vezes chamada de momento relativ´ıstico. A segunda consequência do aumento da massa de um corpo quando sua velocidade aumenta, est´ a na interpreta¸c˜ ao f´ısica da equa¸cão 2.10 e principalmente


Miotto e Ferraz

29

de m, algumas vezes chamado de massa relativ´ıstica. Perceba que quando a velocidade ~v aproxima-se da velocidade da luz, a razão v 2 /c2 aproxima-se da unidade. Isso significa que o momento do corpo tende ao infinito, mas não sua velocidade. Enquanto na Mecˆ anica Cl´ assica momento e velocidade são diretamente proporcionais, na Teoria da Relatividade o mesmo não ocorre, como claramente indicado em 2.11. Se aplicarmos continuamente uma for¸ca a um corpo qualquer seu momento cresce indefinidamente, pois sua massa também cresce. A acelera¸c˜ ao resultante dessa for¸ca aplicada, por outro lado, decresce até tornar-se praticamente nula. Quando uma for¸ca aplicada a um corpo resulta em uma mudan¸ca muito pequena de sua velocidade, dizemos que a inércia desse corpo é muito grande. Essa é, essencialmente, a interpreta¸cão da massa relativ´ıstica dada pela equa¸c˜ ao 2.10. Finalmente, é importante destacar que n˜ ao notamos em nosso cotidiano varia¸c˜ oes na massa de um corpo, pois elas s˜ ao, em geral, muito pequenas. Considere, por exemplo, um avi˜ ao a jato, com peso próximo a 100 toneladas a e movendo-se a uma velocidade de aproximadamente 3.600 km/h. Apesar de 2 considerarmos alto o valor de sua velocidade, a razão vc2 é da ordem de 10−10 , o que faz com que a varia¸c˜ ao observada na massa seja da ordem de miligramas. Quer saber mais? A massa de repouso A verifica¸ca õ experimental de que a massa de um corpo aumenta com sua velocidade ´ e anterior ` a Teoria da Relatividade. Em uma s´ erie de trabalhos iniciados em 1901 e sintetizados em uma publica¸c˜ ao de 1906, Kaufmana j´ a indicava claramente a existˆ encia de evidˆ encias experimentais de que a massa de um corpo varia com sua velocidade. Vale ressaltar que os trabalhos de Kaufman tinham inicialmente o objetivo apresentar ´ ind´ıcios favor´ aveis a Teoria do Eter, e apenas seu trabalho de 1906 faz referˆ encias ` a Teoria da Relatividade. a Uber ¨ die Konstitution des Elektrons, Annalen der Physik 324, 487 (1906), dispon´ıvel em http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15326w/f497. chemindefer.

Energia Relativ´ıstica Tendo estabelecido que, de acordo com a Teoria da Relatividade, a massa de um corpo varia com sua velocidade, vamos agora verificar quais são as consequências dessa modifica¸c˜ ao para a Mecˆ anica Newtoniana. Vamos iniciar nossa an´ alise pela Segunda Lei de Newton40 :   mo~v  d q 2 1 − vc2 d~ p d (m~v ) ~ F = = = . (2.12) dt dt dt 40 Observe que n˜ ~ = m~a, derivada da express˜ ao mais podemos usar a express˜ ao F ao originalmente proposta por Newton, pois sabemos agora que a massa varia com a velocidade e, consequentemente, com o tempo. Ser´ a que Newton j´ a sabia disso?

30

Miotto e Ferraz


Por outro lado, a Mecˆ anica Newtoniana também define a Energia Cinética, Ec , como o trabalho realizado por uma for¸ca para acelerar uma part´ıcula desde o repouso até uma certa velocidade ~v . Considerando o movimento em apenas uma dimens˜ ao, temos Z v Z v Z v d (mv) Ec = dx F = dx = v d (mv) , (2.13) dt v=0 0 0 já que v = dx/dt. Essa integral pode ser determinada:  − 32 Z v 1 v2 Ec = mo 1 − 2 v dv = mo c2  q c 0 1−

 v2 c2

− 1

ou seja, a Energia Cin´ etica Relativ´ıstica é dada por Ec == mo c2 (γ − 1).

(2.14)

Sabemos que no limite de baixas velocidade v c, a expressão 2.14 deve levar a express˜ ao Newtoniana Ec = 21 mv 2 . Podemos demonstrar essa correspondência considerando a expans˜ ao binomial para o caso em que vc 1:   2 1  ' 1 + 1 v + ... γ = q 2 2 2c 1− v c2

Assim, para baixas velocidades, 1 1 v2 + ... − 1 ' mo v 2 Ec = mo c2 1 + 2 2c 2 A express˜ ao que obtivemos para a Energia Cinética Relativ´ıstica Ec = mo c2 (γ − 1) tem um termo que depende de γ, e consequentemente da velocidadade da part´ıcula v, e outro que depende apenas de sua massa (E = mo c2 ). Esse segundo termo é chamado energia de repouso da part´ıcula e estabelece a rela¸ c˜ ao massa-energia proposta por Einstein41 em 1905. Isso significa que ao aplicarmos uma for¸ca F~ em um corpo inicialmente em repouso, o trabalho realizado por essa for¸ca aumentar´ a a energia do sistema de uma energia de repouso (mo c2 ) até um certo valor γmo c2 , ou seja, aumenta sua massa de mo para γmo , o que é consistente com o que vimos anteriormente em rela¸cão ao momento relativ´ıstico. 41 Em seu trabalho original, Ist die Tr¨ agheit eines K¨ orpers von seinem Energiegehalt abh¨ angig?, Annalen der Physik. 18, 639 (1905), dispon´ıvel em http://www.zbp.univie. ac.at/dokumente/einstein4.pdf, Einstein utilizou um outro caminho para chegar a a essa rela¸c˜ ao, posteriormente verificado experimentalmente por Cockcroft e Walton em Experiments with high velocity positive ions (II) - The disintegration of elements by high velocity protons, Proc. Roy. Soc. London A137, 229-242 (1932).


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31

O fato de uma for¸ca agindo em um corpo resultar em um aumento de sua inércia, ou alternativamente, o trabalho realizado por uma for¸ca implicar no aumento de sua massa, leva-nos a conclus˜ ao de que um corpo qualquer teria sua massa aumentada de mo para infinito caso sua velocidade atingisse a velocidade da luz. Em outras palavras, a velocidade da luz c é a velocidade limite que qualquer corpo de massa de repouso mo poderia atingir, sendo que nesse processo, a energia necess´ aria para impulsioná-lo tenderia ao infinito. Logo, do ponto de vista da Teoria da Relatividade, podemos dizer que nenhum corpo de massa de repouso mo pode atingir a velocidade da luz. Esse fato foi verificado experimentalmente, por exemplo, mostrando que elétrons acelerados até atingirem energias da ordem de MeV e determinando suas velocidades para percorrer uma determinada distância42 resultavam em gráficos de energia cinética por velocidade compat´ıveis com o previsto na Teoria da Relatividade. Por outro lado, recentemente (setembro de 2011), colaboradores do projeto OPERA (Oscillation Project with Emulsion-tRacking Apparatus), afirmaram ter detectado43 neutrinos viajando com velocidade maior do que c. Os neutrinos s˜ ao particulas subatˆ omicas elementares que possuem massa de repouso pequena, mas n˜ ao nula. Essas observa¸cões experimentais, apesar de ainda serem objeto de debate entre a comunidade, pois contradizem resultados anteriores, indicam a possibilidade de algumas part´ıculas com massa não nula terem velocidades maiores do que a luz. Como na Ciência não existe uma verdade absoluta, essa afirma¸c˜ ao n˜ ao pode ser simplesmente desprezada, mas deve ser confirmada em outros experimentos realizados por outros grupos de pesquisa. Detalhes Matem´ aticos: Determina¸ c˜ ao da Energia Relativ´ıstica A Energia Cinética Relativ´ıstica pode ser determinada por   Z v Z v m v o . Ec = v d (mv) = v d q v2 0 0 1 − c2 Como



 − 23 m v v2 o   d q dv = mo 1 − 2 2 c 1 − vc2

a integral a ser calculada é Z Ec = 0

v

− 32 v2 m 1− 2 v dv c

42 Ver, por exemplo, William Bertozzi, Speed and Kinetic Energy of Relativistic Electrons, American Journal of Physics 32, 551 (1964). 43 Measurement of the neutrino velocity with the OPERA detector in the CNGS beam, arXiv:1109.4897v1, dispon´ıvel em http://arxiv.org/abs/1109.4897v1

32

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Quer saber mais? A Energia Total Relativ´ıstica A partir da express˜ oes para a Energia Relativ´ıstica e para o Momento Relativ´ıstico, ´ e poss´ıvel demonstrara que para um sistema com energia E e momento p, a quantidade E 2 − p2 c2 ´ e invariante, ou seja, apesar dos valores de E e p poderem separadamente variar em diferentes referenciais, a diferen¸ca dos quadrados dos valores n˜ ao depende do referencial. Aproveitando-se dessa invariˆ ancia, ´ e possivel definir a massa de repouso do sistema mo pela equa¸c˜ ao c4 m2o = E 2 − p2 c2 , que pode ser rearranjada, fornecendo E 2 = m2o c4 + p2 c2 ,

(2.15) m2o c4

que ´ e a Energia Total da part´ıcula em termos de sua Energia de Repouso e do seu momento p. Utilizamos a aproxima¸c˜ ao sugerida pelo Prof. Newton Bernardes, que permite, al´ em de determinar uma express˜ ao para a Energia Total Relativ´ıstica de um sistema, mostrar que a massa de repouso ´ e um atributo pr´ oprio do sistema cujo valor num´ erico n˜ ao depende do referencial. a Ver, por exemplo, Newton Bernardes, Introdu¸ c˜ ao ` a Mecˆ anica Relativ´ıstica, Boletim Did´ atico, USP - CNEN (1972), dispon´ıvel em http://webbif.ifi.unicamp.br/ apostilas/f428/introrelativ-NB.pdf.

2.4

A utilidade da Teoria da Relatividade

Todo esse conhecimento referente aos sistemas idealizados pela Teoria da Relatividade seriam in´ uteis se essa teoria n˜ ao fosse capaz de estabelecer uma rela¸caõ entre os estados inicial e final do sistema. Essa rela¸cão é dada pelos axiomas fundamentais da f´ısica: o Princ´ıpio da Conserva¸cão do Momento e o Princ´ıpio de Conseva¸c˜ ao da Energia. A aplica¸c˜ ao desses princ´ıpios, aliado a aproxima¸c˜ ao cl´ assica para baixas velocidades, permite a solu¸cão de muitos problemas, como, por exemplo, a energia de liga¸c˜ ao dos n´ ucleos atômicos44 . Quer saber mais? Einstein e o Ano Mundial da F´ısica A apresenta¸c˜ ao da Teoria da Relatividade n˜ ao foi o u ńico feito de Einstein no Ano Miraculoso de 1905. De fato, como discutido por Nelson Studart na Revista Brasileira de Ensino de F´ısicaa 27, n´ umero 1, p´ agina 1, de 2005, foram cinco as constribui¸c˜ oes extraodin´ arias de Einstein ` a Ciˆ encia, todas publicadas na prestigiosa revista alem˜ a Annalen der Physik em 1905: a Teoria da Relativade Especial, a Introdu¸c˜ ao do Conceito de Quantum de Luz (Efeito Fotoel´ etrico), a Explica¸c˜ ao do Movimento Browniano, a Equivalˆ encia entre Massa e Energia e um Novo M´ etodo de Determina¸c˜ ao de Dimens˜ oes Moleculares (sua tese de doutorado). N˜ ao ´ e sem raz˜ ao que a ONU (Organiza¸c˜ ao das Na¸c˜ oes Unidas) declarou 2005 o Ano Mundial da F´ısica, em comemora¸c˜ ao ao centen´ ario desse marco hist´ orico da F´ısica. O volume 27 da Revista Brasileira de Ensino de F´ısica ´ e uma Edi¸c˜ ao Especial Dedicada a Einstein no Ano Mundial da F´ısica. Divirta-se!! a Dispon´ ıvel

na p´ agina da Sociedade Brasileira de F´ısica www.sbfisica.org.br.

44 Veja diversos exemplos em Newton Bernardes, Introdu¸ ca õ ` a Mecˆ anica Relativ´ıstica, Boletim Did´ atico, USP - CNEN (1972), dispon´ıvel em http://webbif.ifi.unicamp. br/apostilas/f428/introrelativ-NB.pdf

Cap´ıtulo 3

A Teoria Quˆ antica 3.1

Antecedentes experimentais

As diferentes teorias acerca da natureza do calor remontam os filósofos gregos, sucedendo-se até os dias de hoje. Uma dessas teorias considera o calor como um fluido sutil, el´ astico, imponder´ avel, mas material, que se encontra nos corpos quentes. Este conceito regente no in´ıcio do século XVII tinha como um de seus defensores Galileu. De acordo com esse conceito, o calor é constitu´ıdo por uma substˆ ancia extraordin´ aria capaz de penetrar em todos os corpos e abandon´ a-los facilmente. Essa substˆ ancia termogênea não pode ser gerada ou destru´ıda, mas apenas distribu´ıda e redistribu´ıda entre os corpos. Quando a quantidade de cal´ orico do corpo diminui, sua temperatura abaixa e vice-versa. Esse conceito é atribu´ıdo a um médico escocês chamado James Black. A idéia do calor ser uma espécie de movimento interior aos corpos e não uma substˆ ancia especial, como se acreditava, foi feita inicialmente pelo inglês Bacon, ao observar que fortes e frequentes marteladas produzem o aquecimento de um peda¸co de ferro. Outro inglês, Benjamin Thompson, o Conde de Rumford, observou que a perfura¸c˜ ao de canh˜ oes em uma fábrica de muni¸cões produzia uma enorme quantidade de calor. Para evitar que as brocas utilizadas queimassem, elas eram resfriadas com ´ agua, o que liberava uma enorme quantidade de calor. Uma das hip´ oteses examinadas por Thompson foi a possibilidade de que os corpos materiais na forma de blocos sólidos possu´ıssem uma capacidade maior para o fluido cal´ orico quando comparados a pequenos fragmentos do mesmo material, o que explicaria o desprendimento de calor no momento da perfura¸c˜ ao do canh˜ ao - dada a produ¸cão de limalha. Todavia, ele n˜ ao encontrou qualquer evidência que apontasse nesse sentido. Esse conjunto de informa¸c˜ oes levou-o a concluir que o calor não pode ser uma substância, mas sim alguma coisa em movimento. Esse conceito foi posteriormente desenvolvido pelo f´ısico alem˜ ao Julius Robert Mayer e pelo inglês James Prescott Joule, possibilitando-nos enunciar o conceito moderno de que calor é energia

34

Miotto e Ferraz

A Teoria Quˆ antica

Figura 3.1: Representa¸c˜ ao esquem´ atica do Espectro Eletromagético.

térmica em trˆ ansito. Dessa forma, nosso senso comum sugere que um corpo aquecido deve emitir calor, pois sentimos que est´ a quente mesmo sem toc´ a-lo. A emissão de calor por um corpo aquecido ocorre via radia¸c˜ ao. Esta radia¸c˜ ao é emitida em um largo espectro cont´ınuo de frequências, principalmente na região do infravermelho, que é respons´ avel pela sensa¸c˜ ao de calor. A intensidade da radia¸cão emitida varia, tendo um m´ aximo em um determinado comprimento de onda. Sabemos que um metal a 600 o C, por exemplo, em um forno elétrico, apresenta uma fraca colora¸c˜ ao avermelhada, enquanto o mesmo material, em uma sider´ urgica, por exemplo, apresenta uma cor azulada a temperaturas bem mais altas. O sol, cuja temperatura na superf´ıcie é de cerca de 6000 o C, é o exemplo mais familiar de emiss˜ ao de radia¸c˜ ao térmica, cujo espectro abrange toda a região vis´ıvel, incluindo a de comprimento de ondas maiores - infravermelho - e menores ultravioleta.

3.1.1

Primeiras Descobertas

Tire uma pedra da sombra e coloque-a ` a luz direta do sol. Ela irá esquentar até que, a uma determinada temperatura, cessam as mudan¸cas. Como vimos anteriormente, a emiss˜ ao de calor ocorre via radia¸caõ térmica. Logo, quando cessam as mudan¸cas de temperatura, estamos de fato no ponto de equil´ıbrio térmico entre a radia¸c˜ ao e a matéria. Essa é uma observa¸cão emp´ırica elementar. Em 1770, Josiah Wedgwood obteve o primeiro resultado cient´ıfico sobre o problema em quest˜ ao: a descoberta de que a cor emitida por um forno a alta temperatura independe de qualquer detalhe do forno, seja do material de que

3.2 Radia¸ c˜ ao do corpo negro

Miotto e Ferraz

35

é feito, seja do material que est´ a no seu interior. A cor observada depende apenas da temperatura - que é a temperatura de equil´ıbrio entre a matéria e a radia¸c˜ ao - do forno. A partir da constata¸c˜ ao Wedgwood desenvolveu-se o pirˆ ometro ´ optico, um aparelho que mede a temperatura do forno pela cor da luz emitida. Tamanha foi a importˆ ancia desse instrumento que seu inventor foi eleito para a Royal Society. A Ciˆ encia em nosso cotidiano: Pirˆ ometros ´ opticos O termo “pirˆ ometro” (do grego pyros, fogo) foi originalmente atribu´ıdo a todos os instrumentos destinados ` a medi¸c˜ ao de temperaturas acima da incandescência (aproximadamente 550 o C). Os primeiros pirˆ ometros fo- Figura 3.2: Representa¸cão esram constru´ıdos por Henri-Louis quem´ atica de um pirômetro óptico. Le Chˆ atelier em 1892, quando j´ a recebeu o nome de pirˆ ometro ´ otico. A primeira patente desse pirômetro foi concedida em 1901 e os primeiros modelos comerciais foram introduzidos em 1931. Pirˆ ometros s˜ ao sensores de temperatura que utilizam como informa¸c˜ ao a radia¸c˜ ao eletromagnética emitida pelo corpo a medir. Este aparelho permite a medida de temperatura sem contato. Os modelos utilizados atualmente n˜ ao diferem em muito dos primeiros aparelhos constru´ıdos. A figura 3.2 apresenta o funcionamento esquemático de um pirômetro: olhase através de um telesc´ opio para um objeto incandescente, comparando o seu brilho com o de um filamento dentro do pirômetro. Ajusta-se a corrente no filamento até o seu brilho coincidir com o do objeto, sendo ambos observados através de um filtro vermelho, obtendo-se a temperatura. Este é um método pr´ atico para medir a temperatura de objetos muito quentes, objetos em locais inacess´ıveis como fornos ou câmaras de vácuo, ou objetos em atmosferas oxidantes ou redutoras onde não podem ser utilizados termopares. Pirˆ ometros ´ opticos t´ıpicos cobrem um intervalo de 750o C até o ao de cerca de 4o C no in´ıcio do intervalo e 20o C 3000 C, com uma precis˜ na parte superior.

3.2

Radia¸ c˜ ao do corpo negro

De uma maneira geral, matéria e radia¸c˜ ao interagem e atingem equil´ıbrio termodinˆ amico através de trocas de energia. Sejam e a potência emissiva, isto é, a quantidade de energia radiante emitida por unidade de área e por unidade de tempo, e a a absortividade ou absortˆ ancia, isto é, a fra¸cão de energia incidente sobre a superf´ıcie que é absorvida. Por volta de 1833, W. Ritchie verificou o princ´ıpio de proporcionalidade entre emissão e absor¸cão total através

36

Miotto e Ferraz


de um experimento com dois corpos radiantes A e B, e um termômetro diferencial. No equil´ıbrio térmico, o princ´ıpio estabelece que: eA eB = . aA aB

(3.1)

Supondo que um dos corpos apresenta a especificidade aN = 1, ou seja, ele absorve toda a radia¸c˜ ao sobre ele incidente, teremos eN =

eA . aA

(3.2)

e o corpo com tal especificidade (eN ) foi denominado corpo negro1 . Em outras palavras, todo corpo negro tem uma potência emissiva maior do que a de qualquer outro corpo. Evidentemente, um objeto com essas caracter´ısticas é um corpo ideal que n˜ ao pode ser encontrado na prática, mas pode ser constru´ıdo, com uma boa aproxima¸c˜ ao, através de uma caixa oca, um forno, por exemplo, com paredes internas met´ alicas e uma pequena abertura que permite a passagem de radia¸c˜ ao, como ilustrado na figura 3.3. A caixa deve ser revestida de um excelente isolante térmico e espelhada internamente, refletindo toda a radia¸c˜ ao eventualmente incidente, garantindo que apenas a radia¸caõ no interior da cavidade tenha chance de ser absorvida. A radia¸cão que entra na cavidade, tem uma probabilidade muito pequena de sair, permanecendo em seu interior e sendo refletida pelas paredes da cavidade até atingir o equil´ıbrio térmico. Desta forma, toda radia¸c˜ ao que entra na cavidade é absorvida pelo corpo, da´ı o nome corpo negro. Do ponto de vista experimental, a determina¸c˜ ao do espectro de absor¸c˜ ao do corpo negro é muito dif´ıcil. Todavia, como todo corpo negro, além de ser um absorvedor ideal também tem uma potência emissiva maior do que a de qualquer outro corpo, experimentalmente o estudo do espectro do corpo negro se d´ a através da análise do seu espectro de emiss˜ ao no equil´ıbrio termodinˆ amico. Para tanto, constroem-se cavidades utilizadas como fontes de radia¸c˜ ao2 . Apesar de ser apenas uma idealiza¸cão, o espectro de emiss˜ ao do corpo negro apresenta, em uma larga faixa do espectro, especialmente para grandes frequências, as mesmas caracter´ısticas do espectro obtido para um corpo real, como pode ser observado na figura 3.4. A radia¸c˜ ao contida na cavidade pode ser decomposta em suas componentes espectrais através de uma fun¸c˜ ao distribui¸c˜ ao ρ(ν,T ), tal que ρ(ν,T )dν é a densidade de energia (energia por unidade de volume) da radia¸cão com frequência no intervalo compreendido entre ν e ν + dν quando a cavidade está a uma temperatura absoluta T . O espectro emitido pela cavidade é especificado pelo fluxo de energia R(ν,T ) que, obviamente, deve ser proporcional a 1 O termo corpo negro foi introduzido por Kirchhoff em Uber ¨ das Verh¨ altnis zwischen dem Emissionsverm¨ ogen und dem Absorptionsverm¨ ogen der K¨ orper fur W¨ arme und Licht, Pggendorfss Annalen der Physik 109, 275 (1860). 2 As primeiras cavidades baseadas nos teoremas de Kirchhoff foram contru´ ıdas por Lummer e Wien em 1895 e relatadas em Methode zur Pr¨ ufung des Strahlungsgesetzes absolut schwarzer K¨ orper, Wiedemannsche Annalen der Physik 56, 451 (1895)


Figura 3.3: Representa¸c˜ ao de um corpo negro através de uma cavidade com paredes internas espelhadas.

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37

Figura 3.4: Compara¸cão entre os espectros de um corpo negro (linha cheia) e de um corpo real (linha tracejada). Adaptado de T.M. Lillesand and R.W. Kieffer, Remote Sensing and Image Interpretation, 2nd Ed., 1987.

ρ(ν,T ), com constante de proporcionalidade advinda de fatores geométricos. Experimentalmente, mede-se o fluxo de energia R(ν,T ), muitas vezes chamado de radiˆ ancia espectral, para a determina¸c˜ ao indireta de ρ(ν,T ): R(ν,T ) ∼ ρ(ν,T ).

(3.3)

Em 1859, Gustav Robert Kirchhof apresentou perante a Academia de Berlin o trabalho Sobre a rela¸c˜ ao entre a emiss˜ ao e absor¸ca õ de calor e luz3 , no qual provou que para raios de mesmo comprimento de onda e a mesma temperatura, a raz˜ ao entre a potência emitida e a absorvida é a mesma para todos os corpos. O teorema foi demonstrado com base em considera¸cões teóricas bastante simples e estabelece que, para quaisquer corpos em equil´ıbrio térmico trocando radia¸c˜ ao com comprimento de onda λ, a equa¸cão aeAA = aeBB é satisfeita. Somente em um segundo trabalho, Kirchhoff introduziu a no¸cão de um corpo perfeitamente negro, conforme discutido anteriormente, e mostrou que a potência emissiva de um corpo negro depende só da temperatura e da frequência de radia¸c˜ ao, tal que eN = f (ν,T ) onde f (ν,T ) é uma fun¸cão universal independente da forma, tamanho e composi¸cão qu´ımica do corpo. Com base na Termodinˆ amica e na Teoria Eletromagnética da Radia¸cão, é poss´ıvel deduzir duas leis relativas ` a dependência da radia¸cão do corpo negro com a temperatura: 3 Uber ¨ den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und W¨ arme, Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, December, 783 (1859), dispon´ıvel em http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/ schriften/anzeige/index_html?band=09-mon/1859&seite:int=798.

38

Miotto e Ferraz


A Primeira Lei deriva dos resultados experimentais de J. Tyndall4 , realizados na década de 1860, segundo o qual a emiss˜ ao total de um fio de platina a 1200◦ C (ou 1473 K) é 11,7 vezes maior que a correspondente emissão a 525◦ C (ou 798 K). Através da an´ alise dos resultados obtidos por Tyndall, Josef Stefan5 concluiu, em 1879, que a energia total é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta, ou seja, da temperatura medida em Kelvin, já que (1473/798)'11,7 !!!! Este resultado fortuito, pois as medidas foram realizadas com um corpo de prova que n˜ ao tinha as caracter´ısticas de um corpo negro, foi demonstrado rigorosamente por Boltzmann6 em 1884. O trabalho de Boltzmann se baseou na existência de uma press˜ ao de radia¸cão e considerava a radia¸caõ como uma m´ aquina térmica sujeita ` as Leis das Termodinâmica. O resultado para a densidade de energia de radia¸c˜ ao U pode ser expresso como U = σT 4 , sendo conhecido com Lei de Stefan-Boltzmann. Detalhes Matem´ aticos: Dedu¸ c˜ ao simplificadaa da Lei de Stefan-Boltzmann Considere um g´ as ideal de radia¸c˜ ao com energia E, densidade de energia U e press˜ ao P = U/3 (note que tal valor para a press˜ ao de radia¸c˜ ao pode ser obtida atrav´ es das Equa¸co ˜es de Maxwell). Atrav´ es das rela¸c˜ oes termodinˆ amicas ´ e poss´ıvel demonstrar que: ∂E ∂P =T − P. (3.4) ∂V T ∂T V ∂E Por outro lado, tamb´ em sabemos que ∂V = U. Utilizando a regra da cadeia, ´ e T

poss´ıvel obter:

∂P ∂T

=

1 3

∂U ∂T

,

(3.5)

logo, U =T

1 3

∂U ∂T

−

1 4 T U → U = 3 3 3

∂U ∂T

→4

dT dU = . T U

(3.6)

Integrando ambos os membros teremos U = σT 4 , com σ constante. a S. G. Brush, Heat Conduction and the Stefan-Boltzmann law, Arch. Hist. Exact. Sciences 11, 38 (1973)

A segunda lei, chamada Lei de Deslocamento, data de 1893 e foi apresentada por Wihelm Wien7 . Essa lei, derivada inicialmente a partir de argumentos 4 Os in´ umeros resultados obtidos por Tyndall relativos aos estudos da Radia¸c˜ ao T´ ermica est˜ ao resumidos em seu trabalho Contributions to molecular physics in the domain of radiant heat, New York, D. Appleton and company (1873), dispon´ıvel em http://www.archive. org/details/contributionsto00tyndgoog. 5 Uber ¨ die Beziehung zwischen der W¨ armestrahlung und der Temperatur, Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Bd. 79 (Wien 1879), S. 391-428. 6 Ableitung des Stefan’schen Gesetzes, betreffend die Abh¨ angigkeit der W¨ armestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie, Annalen der Physik und Chemie 22, 291 (1884), dispon´ıvel em http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/ andp.18842580616/abstract 7 Eine neue Beziehung der Strahlung schwarzer K¨ orper zum zweiten Hauptsatz der W¨ armetheorie, Sitzungsberichte der K¨ oniglich Preußischen Akademie der Wis-


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39

termodinˆ amicos e eletromagnéticos8 , estabelece que a distribui¸cão spectral da densidade de energia é dada pela equa¸c˜ ao: ρ(ν,T ) = ν 3 f

ν T

,

(3.7)

ao apenas da raz˜ ao entre a frequência e a temperaonde f ( Tν ) é uma fun¸c˜ tura. A Lei de Deslocamento de Wien também pode ser escrita em termos do comprimento de onda da radia¸c˜ ao, ao invés da frequência, já que λν = c. Assim, c4 c ρ(λ,T )dλ = 5 f dλ = λ−5 φ(λT )dλ. (3.8) λ λT Dessa forma, o tratamento das fun¸c˜ oes f (λ/T ) ou φ(λT ) na descri¸c˜ ao da distribui¸c˜ ao espectral da densidade de energia s˜ ao equivalentes. A origem do nome Lei de Deslocamento deve-se ao fato de que a frequência - ou, alternativamente, o comprimento de onda - na qual a intensidade de radia¸c˜ ao é m´ axima varia com a temperac tura de acordo com a rela¸c˜ ao νmax T = b - ou em termos de comprimento de onda λmax T = b. A Lei de Deslocamento de Wien foi verificada experimentalmente in´ umeras vezes, por exemplo, por Otto Lummen e Ernst Pringsheim9 , conforme extrato de seu trabalho representado na fig.3.5. A excelente concordˆ ancia da Lei de Deslocamento em rela¸c˜ ao aos resultados experimentais levaram essa lei a ser utilizada como referência nos estudos da emiss˜ ao de radia¸c˜ ao. Os dados experimentais detalhados de Lummen e Pringsheim, por exemplo, permitiram a obten¸c˜ ao da constante de proporcionalidade b = 0,294 cm.grau, valor usado posteriormente por diversos pesquisadores em seus trabalhos, dentre os quais Planck.

Figura 3.5: Resultados experimentais obtidos por Lummen e Pringsheim comprovando a concordância entre a Lei de Deslocamento de Wien e os resultados experimentais. Extra´ıdo do trabalho original de 1899.

senschaften zu Berlin I, 55 (1893), dispon´ıvel em http://bibliothek.bbaw.de/ bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band= 10-sitz/1893-1&seite:int=70 8 Jagdish Mera and Helmut Rechenberg, The historical development of quantum theory, New York, Springer-Verlag (1982) 9 Die Vertheilung der energie im Spectrum des schwarzen K¨ orpes, Verh. Phys. Ges. I, 23 (1899).

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Detalhes Matem´ aticos: A Lei de Deslocamento de Wien e a Lei de StefanBoltzmann N˜ ao ´ e dif´ıcil demonstrar que a Lei de Stefan-Boltzmann est´ a contida na Lei de Deslocamento de Wien. Lembrando que Z Z ν (3.9) U = ρ(ν,T )dν = ν 3 f ( )dν, T a mudan¸ca de vari´ aveis x = ν/T leva a Z T 4 x3 f (x)dx = σT 4 ,

(3.10)

j´ a que a integral em dx de uma fun¸ca õ que s´ o depende de x (em um dado intervalo) ´ e uma constante.

A Ciˆ encia em nosso cotidiano: Aplica¸ co ˜es da Lei de Deslocamento de Wien A radia¸c˜ ao de corpo negro e em especial a Lei de Deslocamento de Wien s˜ ao muito importantes para os astrof´ısicos. As estrelas s˜ ao opacas a todos os comprimentos de onda, o que torna imposs´ıvel analisar sua estrutura interna, independentemente da frequˆ encia utilizada para tal. Al´ em disso, as estrelas emitem tanta radia¸c˜ ao que qualquer radia¸ca õ incidente que poderia ser por ela refletida ter´ a intensidade t˜ ao pequena (quando comparada a ` radia¸ca õ emitida pela estrela) que ser´ a imposs´ıvel detect´ ala. Assim, para estudar as estrelas, os astrof´ısicos assumem que sua temperatura n˜ ao muda consideravelmente e que elas cão possam ser aproximadas por corpos ne- Figura 3.6: Intensidade da radia¸ gros. Dessa forma, o estudo do espec- espectral (brilho) obtida para algutro de luz emitido pela estrela pode ser mas estrelas analisada através de comparado ao espectro de um corpo nec˜ ao com o espectro de um gro dando informa¸c˜ oes importantes so- compara¸ bre sua estrutura interna. Al´ em disso, corpo negro. As temperaturas obtiao comparar a curva de radia¸ca õ emi- das a partir da Lei de Deslocamento tida por uma estrela com a curva de um de Wien s˜ ao utilizadas para classificorpo negro a uma dada temperatura, ´ e car as estrelas em quentes ou frias. poss´ıvel utilizar-se a Lei de Deslocamento de Wien para determinar sua temperatura. De fato, o mesmo procedimento ´ e adotado para classificar lˆ ampadas eletrˆ onicas. Na sua pr´ oxima ida a um mercado, repare que todas as lˆ ampadas eletrˆ onicas s˜ ao classificadas de acordo com a sua cor e temperatura, temperatura essa obtida quando o espectro de radia¸c˜ ao da lˆ ampada ´ e comparado ao espectro de um corpo negro. Vocˆ e encontrar´ a diversos exemplos de aplica¸co ˜es da Lei de Deslocamento de Wien, na rede, por exemplo em: http://edmall.gsfc.nasa.gov/inv99Project. Site/Pages/science-briefs/ed-stickler/ed-irradiance.html ou http://csep10.phys.utk.edu/astr162/lect/light/radiation.html (acessos em 06/06/2010).


3.2.1

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41

Form´ ulas emp´ıricas da distribui¸c˜ ao espectral

Nem os princ´ıpios e rela¸c˜ oes b´ asicas da termodinâmica ou do magnetismo permitem, por si s´ o, determinar a forma funcional de f (ν,T ) . Sua determina¸c˜ ao era um dos maiores problemas da F´ısica Teórica no final do século XIX. Uma das conjecturas propostas em 1896 pelo próprio Wien10 , argumentava que se na teoria cinética dos gases a fun¸cão distribui¸cão das moléculas −mv 2

com componente da velocidade em uma dada dire¸cão é proporcional a e kB T , essa express˜ ao também deveria ser v´ alida para átomos em um sólido. Em seu trabalho, Wien considerou uma série de suposi¸cões baseadas não só em suas observa¸c˜ oes, mas também nas de outros pesquisadores: a distribui¸cão de velocidades das cargas elétricas tanto em moléculas quanto em sólidos é capaz de excitar ondas eletromagnéticas; o per´ıodo de oscila¸cão depende da velocidade da molécula e determina o comprimento de onda da radia¸cão emitida; a frequência de vibra¸c˜ ao também é proporcional à temperatura. Assim, usando essas suposi¸c˜ oes e a Lei de Deslocamento, Wien propôs que a distribui¸cão espectral seria dada por: −c

φ(νT ) = Ce λT ,

(3.11)

ou em termos da frequência f

ν T

= αe

−βν T

.

(3.12)

O mais interessante é que essa f´ ormula ajustava-se satisfatoriamente aos primeiros resultados experimentais11 obtidos ao final da década de 1890, ao menos para a regi˜ ao do espectro vis´ıvel e temperaturas até 4.000◦ . Todavia, com o desenvolvimento das técnicas espectrosc´ opicas dispon´ıveis, foi poss´ıvel analisar o espectro da radia¸c˜ ao para comprimentos de onda mais longos e a proposi¸cão de Wien mostrou-se inadequada.

3.2.2

A Lei Cl´ assica da Radia¸c˜ ao T´ ermica

A contribui¸c˜ ao de Lord Rayleig ` a investiga¸cão da radia¸cão do corpo negro baseia-se na Mecˆ anica Estat´ıstica Cl´ assica de Maxwell-Boltzmann, sendo conhecida como o resultado cl´ assico da distribui¸cão espectral. Em uma curta nota, publicada12 em junho de 1900, Rayleigh mostrou através de princ´ıpios cl´ assicos que ρ(ν,T ) = c1 ν 2 T . Em uma carta à revista 10 Uber ¨ die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines schwarzen K¨ orpers, Annalen der Physik 294, 662 (1896), dispon´ıvel em http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10. 1002/andp.18962940803/abstract. 11 F. Paschen em Uber ¨ Gesetzm¨ aßigkeiten in den Spektren fester K¨ orper, Wiedemannsche Annalen der Physik 60, 662 (1897); F. Paschen e H. Wanner em Eine photometrische Methode zur Bestimmung der Exponentialconstanten der Emissionsfunction, Berliner Berichte, p. 5 (1899). 12 Remarks upon the law of complete radiation, Philosophical Magazine 49, 539 (1900).

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Nature13 Rayleigh determinou o valor da constante c1 aplicando a doutrina de Maxwell-Boltzmann da parti¸c˜ ao de energia14 ` as oscila¸cões eletromagnéticas da radia¸caõ na cavidade. Note que essa suposi¸c˜ ao é contrária à hipótese utilizada por Wien na obten¸c˜ ao de sua f´ ormula¸c˜ ao emp´ırica. O método proposto por Rayleigh consistia em calcular o n´ umero de ondas estacionárias, ou seja, a distribui¸c˜ ao de modos eletromagnéticos permitidos com frequência no intervalo entre ν e ν + dν, dentro da cavidade e que denotaremos N (ν)dν. Suponhamos, para simplificar, que a cavidade com paredes metálicas contendo a radia¸c˜ ao eletromagnética tenha a forma de um cubo cujas arestas medem a. A radia¸c˜ ao refletida sucessivamente pelas paredes pode ser decomposta em três componentes (definidas pelas arestas da cavidade). Como as paredes opostas s˜ ao paralelas, n˜ ao haver´ a superposi¸cão das três componentes da radia¸c˜ ao, o que implica que elas podem ser tratadas independentemente. Consideremos inicialmente a componente x e a parede metálica em x = 0. Toda radia¸c˜ ao nessa dire¸c˜ ao [x] que incide sobre a parede é por ela refletida. A superposi¸c˜ ao das ondas incidente e refletida forma uma onda estacionária. Como a radia¸c˜ ao eletromagnética é uma vibra¸c˜ ao transversal, com o vetor campo elétrico E perpendicular ` a dire¸c˜ ao de propaga¸cão e a dire¸cão de propaga¸caõ é perpendicular ` a parede considerada, conclui-se que E é paralelo à parede. No entanto, na parede met´ alica n˜ ao pode haver um campo elétrico paralelo ` a superf´ıcie, pois as cargas elétricas ali presentes sempre fluem de forma a neutralizar o campo. Isso significa que essa componente de E deve ser sempre nula na parede, isto é, a onda estacion´ aria associada à componente x da radia¸c˜ ao deve ter um n´ o em x = 0. Da mesma forma, a onda estacionária dever´ a ter um n´ o em x = a. Por analogia, as componentes y e z do campo elétrico dever˜ ao ter n´ os em y = z = 0 e y = z = a. Essas condi¸cões limitam os poss´ıveis comprimentos de onda, e, consequentemente, as poss´ıveis frequências da radia¸c˜ ao eletromagnética na cavidade. Consideremos, agora, o problema da contagem do n´ umero de ondas estacion´ arias com n´ os nas superf´ıcies da cavidade, com comprimento de onda no intervalo λ e λ + dλ, que corresponde ao intervalo de frequências de ν e ν + dν. Em uma dimens˜ ao temos: 2πx E(x,t) = Eo sen sen (2πνt) , λ onde λ é o comprimento de onda, ν a frequência e Eo a amplitude máxima da onda. Sabemos que a onda estacion´ aria apresenta nodos para 2x λ = 0, 1, 2, ..., e nos extremos da caixa, ou seja, quando x = 0 e x = a. Essas condi¸cões determinam o conjunto de valores poss´ıveis para o comprimento de onda e, consequentemente, das poss´ıveis frequências, j´ a que se c = λν, então ν = cn 2a = 0, 1, 2, ..., com n = 1, 2, 3, 4.... Podemos representar esses poss´ıveis valores de frequência em termos de um 13 The 14 Essa

Dynamical Theory of Gases and of Radiation, Nature 72, 54 (1905) doutrina ´ e modernamente chamada de Teorema de Equiparti¸c˜ ao de Energia.


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diagrama. Para obtermos o n´ umero de frequências poss´ıveis no intervalo entre ν e ν + dν, basta contar o n´ umero de pontos sobre o eixo n neste intervalo. A figura 3.7 apresenta a distribui¸c˜ ao esquem´ atica de um sistema tridimensional. Considerando apenas um dos eixos da representa¸cão da figura 3.7, é poss´ıvel ao verificar15 N (ν)dν = 2a c dν. No entanto, devemos multiplicar essa express˜ por um fator dois, pois para cada uma das frequências poss´ıveis existem duas ondas independentes, correspondendo aos dois poss´ıveis estados de polariza¸cão das ondas eletromagnéticas. Assim, em uma dimensão temos: N (ν)dν =

4a dν. c

(3.13)

No caso de uma cavidade tridimensional, temos uma figura formada por um arranjo de pontos cujas coordenadas s˜ ao valores internos tomados ao longo de três eixos n mutuamente perpendiculares. A cada ponto do arranjo corresponde uma poss´ıvel onda estacion´ aria tridimensional. O n´ umero de frequências entre ν e ν +dν corresponde ao n´ umero de pontos contidos entre camadas de raios correspondentes ` as frequências Figura 3.7: Diagrama representando a ν e ν + dν. Este n´ umero ser´ a prodistribui¸cão de nodos em um dado arporcional ao volume contido nessas ranjo tridimensional utilizado na conta2 duas camadas (ν dν), pois os pontos gem do n´ umero de ondas estacionárias se distribuem uniformemente, o que na cavidade. nos leva a 8πa3 8πV N (ν)dν = 3 ν 2 dν = 3 ν 2 dν. (3.14) c c Para encontrar a densidade de energia devemos determinar a energia média de cada onda estacion´ aria. Para tanto, vamos supor que cada onda seja representada por uma carga elétrica (sujeita ` as Leis de Newton) oscilando. Assim, a energia média de cada onda estacion´ aria é dada pela energia média de cada oscilador. O Teorema da Equiparti¸c˜ ao de Energia16 estabelece que, a uma dada temperatura T , cada termo da energia cinética contribui sempre com a mesma quantidade para a energia média 12 kB T . No caso de um oscilador harmônico 15 A contagem do n´ umero de frequˆ encias poss´ıveis em um dado intervalo ´ e apresentada em ´ detalhes no livro de R. Eisberg e R. Resnick, F´ısica Quˆ antica: Atomos, Mol´ eculas, S´ olidos, N´ ucleos e Part´ıculas (6a edi¸c˜ ao, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1988) p.27. 16 Se cada ´ atomo de uma mol´ ecula diatˆ omica for tratado como um ponto material, os termos correspondentes ` a energia cin´ etica de transla¸ca õ, rota¸c˜ ao e vibra¸ca õ e ` a energia potencial de vibra¸ca õ s˜ ao fun¸c˜ oes quadr´ aticas de velocidades ou coordenadas (lineares ou angulares). Em equil´ıbrio t´ ermico (T = constante), a energia m´ edia associada a cada termo quadr´ atico na express˜ ao da energia total ´ e igual a 12 kB T por mol´ ecula, com kB a constante de Boltzmann.

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2

p + 12 mw2 x2 , e no caso da radia¸c˜ ao eletromagnética ' Eo2 + Bo2 . Como = 2m cada onda estacion´ aria oscila senoidalmente com duas poss´ıveis polariza¸cões, ela ter´ a uma energia total igual a duas vezes sua energia cinética média, ou seja, u ¯(T ) = kB T .

A lei obtida por Rayleigh para a radia¸c˜ ao do corpo negro pode ser expressa pelo produto do n´ umero de ondas eletromagnéticas na cavidade pela energia de cada uma delas, e pode ser escrita como ρ(ν,T )dν = N (ν)dν u ¯(T ) =

8πV kB T ν 2 dν. c3

(3.15)

A Lei de Radia¸c˜ ao de Rayleigh é conhecida como Lei de Rayleigh-Jeans, ap´ os James Jeans17 ter detectado uma falha nos c´ alculos de Rayleigh18 . Como seu resultado era consideravelmente diferente da aclamada fórmula de Wien, Rayleigh introduziu um fator exponencial igual ao proposto anteriormente por Wien, tal que a express˜ ao completa modificada tem a forma: ρ(ν,T )dν = C1 T ν 2 e(−C2 T ) dν. ν

A figura 3.8 apresenta uma compara¸caõ entre a equa¸c˜ ao de RayleighJeans e resultados obtidos para um corpo negro. Observe que a proposi¸caõ de Rayleigh-Jeans s´ o descreve os pontos experimentais na regi˜ ao de baixas frequências (ou grandes comprimentos de onda), além de satisfazer a Lei de Deslocamento de Wien. Todavia, a fórmula falha no limite de grandes frequências e conduz a uma divergência na densidade de energia total conhecida como Cat´ astrofe do Ultravioleta, denomina¸c˜ ao sugerida por

(3.16)

Figura 3.8: Compara¸cão entre a equa¸c˜ ao de Rayleigh-Jeans e os resultados obtidos para um corpo negro. Ehrenfest19 em 1911.

17 On the partition of energy between matter and aether, Philosophical Magazine 10, 91 (1905) 18 Como admitido pelo pr´ oprio Rayleigh em Nature 72, 243 (1905), Jeans apontou a redundˆ ancia de um fator 8 em seus c´ alculos:... In connection with similar work of his own Mr Jeans (Phil. Mag. July [1905]) has just pointed out that I have introduced a redundant factor 8 by counting negative as well as positive values of my integers .... 19 Welche Z¨ uge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der W¨ armestrahlung eine wesentliche Rolle, Annalen der Physik 341, 91 (1911)


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Detalhes Matem´ aticos: Dedu¸ c˜ ao simplificada da contagem do n´ umero de modos eletromagn´ eticos N (ν)dν Determinar o n´ umero de modos eletromagn´ eticos em um dado intervalo corresponde a determinar o n´ umero de frequˆ encias permitidas entre ν e ν + dν, ou seja, determinar N (ν)dν. Para fazer esta contagem, considere o sistema ortogonal de eixos nx , ny e nz da figura 3.7. Cada termo nx , ny , nz define um ponto (que corresponde a uma frequˆ encia permitida) em um octante deste sistema. Dessa forma, cada superf´ıcie de raio r define uma frequˆ encia. Assim, entre as superficies r e r + dr temos frequˆ encias entre ν e ν + dν que em n´ umero ´ e igual ao n´ umero de pontos contidos entre as superf´ıcies de raio r e r + dr. Matematicamente q r = n2x + n2y + n2z ou

2a c r→r= ν. 2a c ou seja, N (ν)dν = N (r)dr ´ e o volume entre as superf´ıcies do octante vezes a densidade de pontos. Como cada ponto da superf´ıcie foi gerado por uma frequˆ encia permitida, sua densidade ´ e igual a um por constru¸ca õ. Como o volume ocupado em um dada regi˜ ao ´ e 2 dado por Voc = 4πr8 dr , πr2 dr N (r)dr = = N (ν)dν. 2 Como vimos no caso unidimensional, r = 2a ν, o que implica que dr = 2a dν. Assim, c c 2 3 3 2a π 2a 4πa 2 π 2aν dν = ν 2 dν = ν dν. (3.17) N (ν)dν = 2 c c 2 c c3 ν=

Lembrando que existem 2 estados de polariza¸c˜ ao poss´ıveis para cada onda eletromagn´ etica, o resultado acima ´ e o valor obtido para cada onda independente. Logo, considerando os poss´ıveis estados de polariza¸ca õ e o fato de que a3 ´ e o volume do cubo, podemos generalizar o resultado para um sistema qualquer como sendo N (ν)dν =

3.2.3

8π 3 2 V ν dν. c3

(3.18)

A teoria de Planck sobre a radia¸c˜ ao do calor

Em seus primeiros trabalhos sobre a radia¸cão do corpo negro, Planck, em uma série de trabalhos20 apresentados ` a Academia de Ciências de Berlin entre 1897 e 1899, deduziu rigorosamente a Lei Emp´ırica proposta por Wien. Os estudos de Planck foram bastente frut´ıferos, sendo ele responsável por demonstrar21 , a partir da Teoria Eletromagnética e da Termodinâmica, que ρ(ν,T )dν =

N (ν) 8π dν u ¯(T ) = 3 ν 2 u ¯(T )dν, V c

(3.19)

onde u ¯(T ) é a energia média por unidade de volume do sistema. Planck, assim como Rayleigh, concentrou seus esfor¸cos na determina¸cão da energia média de um oscilador harmˆ onico a uma temperatura T . Ao invés 20 Uber ¨ irreversible Strahlungsvorg¨ ange, Berliner Bericthe, p. 57 (1897); p. 715 (1897); p. 1121 (1897); p. 449 (1898); p. 440 (1899). 21 Uber ¨ irreversible Strahlungsvorg¨ ange, Annalen der Physik 1, 69 (1900).

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de utilizar o teorema da equiparti¸c˜ ao, Planck preferiu usar uma abordagem termodinˆ amica. Combinando a Lei de Deslocamento de Wien ν ρ(ν,T ) = ν 3 f , (3.20) T a formula¸c˜ ao emp´ırica também proposta por Wien ν −βν f = αe T T

(3.21)

e a sua pr´ opria express˜ ao (equa¸c˜ ao 3.19), temos ρ(ν,T ) = αe

−βν T

=

8π 2 ν u ¯(T )dν. c3

(3.22)

Invertendo a express˜ ao acima, podemos determinar o valor da temperatura T 1 8π u ¯(T ) −1 T = − ln . (3.23) βν αc3 ν Como por defini¸c˜ ao 1 = T

∂S ∂U

,

(3.24)

V

a equa¸caõ pode ser integrada e a entropia do sistema (S) pode ser escrita em termos de sua energia u ¯(T ) (ou simplesmente u para simplificar a nota¸cão) como u u S = − ln , (3.25) βν Aeν 3

onde A = αc umero neperiano. 8π e e o n´ Com a entropia assim definida, Planck determinou a entropia da radia¸cão em equil´ıbrio com o conjunto de osciladores e mostrou que esta satisfazia a Segunda Lei da Termodinˆ amica. Sua equa¸c˜ ao implicava que ∂2S ∝ −u−1 . ∂u2

(3.26)

Tendo sido informado por Rubens22 , um dos grandes expoentes das pesquisas experimentais envolvendo o espectro de um corpo negro, do fato de que ρ(ν,T ) ∝ T , Planck propˆ os uma f´ ormula para a distribui¸cão espectral da radia¸caõ do corpo negro obtida pela interpola¸c˜ ao entre os resultados previstos 22 Ged¨ achtnisrede des Hrn Planck auf Heirich Rubens, Berliner Bericht, p. cxi (1923); ¨ H. Rubens and F. Kurlbaum, Uber die Emission langwelliger W¨ armestrahlen durch den schwarzen K¨ orper bei verschiedenen Temperaturen, Berliner Berichte, p. 929 (1900). Uma reprodu¸c˜ ao dos resultados experimentais obtidos na ´ epoca pode ser encontrada na Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, volume 22, p´ agina 536, que pode ser obtida gratuitamente no s´ıtio da Sociedade Brasileira de F´ısica (www.sbfisica.org.br).


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para os limites extremos da faixa de frequências. Para altas frequências, a for2 mula¸c˜ ao de Planck previa uma dependência da forma ∂∂uS2 ∝ −u−1 enquanto que para baixas frequências, os resultados experimentais de Rubens e Kurl2 baum indicavam23 que ∂∂uS2 ∝ −u−2 . Planck propôs, então, uma expressão quase t˜ ao simples quanto a anteriormente proposta por Wien: ∂2S 1 = . ∂u2 u(α + u)

(3.27)

Segundo Planck ... uso a derivada segunda de S em rela¸ca õ a u porque esta quantidade tem um significado f´ısico simples. Esta é, de longe, a mais simples de todas as express˜ oes que leva S a ser uma fun¸c˜ ao logar´ıtmica de u. Integrando a express˜ ao proposta por Planck temos: ∂S 1 α+u = ln + constante. (3.28) ∂u α u Usando novamente a defini¸c˜ ao termodinˆ amica de temperatura, teremos 1 1 α+u = ln + constante. (3.29) T α u J´ a que no limite de altas temperaturas ambos os lados da equa¸cão devem se anular, conclu´ımos imediatamente que a constante deve valer zero. Assim, a energia do oscilador é dada por u=

α , e −1 α T

(3.30)

e, consequentemente, teremos ρ(ν,T ) =

8π αν 2 . α c3 e T − 1

(3.31)

A Lei de Deslocamento de Wien torna claro que α deve ser uma fun¸cão linear de ν. Uma express˜ ao em termos de duas constantes genéricas A e B pode ser escrita como: 8π Aν 3 ρ(ν,T ) = 3 Bν . (3.32) c e T −1 Essa express˜ ao foi apresentada por Planck ` a Sociedade Alemã de F´ısica em 19 de outubro de 1900. Uma tradu¸c˜ ao do trabalho original de Planck foi publicada em 2000 na Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, volume 22, página 536, e pode ser obtida gratuitamente através do s´ıtio da Sociedade Brasileira de F´ısica (www.sbfisica.org.br). 23 Esse resultado pode ser verificado facilmente se lembrarmos que se ρ(ν,T ) ∝ T , ent˜ ao ∂S u ∝ T . Usando-se o fato de que T −1 = ∂U , obtˆ em-se a dependˆ encia desejada.

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3.2.4


A introdu¸c˜ ao dos quanta

Na reuni˜ ao de 14 de dezembro de 1900, Planck comunicou24 aos membros da Sociedade Alem˜ a de F´ısica a dedu¸c˜ ao te´ orica de sua fórmula, proposta em 19 de outubro, e no que veio a chamar de um ato de desespero teve de introduzir a hip´ otese da descontinuidade da energia dos osciladores. Planck havia mostrado nos trabalhos anteriores que um ponto chave para uma Teoria do Espectro de Radia¸caõ Térmica era a determina¸c˜ ao te´ orica da entropia em fun¸cão da energia de um oscilador harmˆ onico com frequência ν. Se sua expressão para ρ(ν,T ) estivesse correta, seguindo os mesmos passos, seria poss´ıvel obter a entropia do oscilador. Como em sua f´ ormula u = Tαα , invertendo-se essa expressão e e

usando o fato de que T −1 = S=

∂S ∂U

−1

e integrando a expressão obtém-se:

h u i u u u A0 = 1 + 0 ln 1 + 0 − 0 ln 0 , B Aν Aν Aν Aν

(3.33)

3

onde A0 = Ac ao constantes. 8π com A e B s˜ Para deduzir formalmente essa express˜ ao, Planck tinha de procurar outro método, tendo encontrado-o no trabalho de Boltzmann. Segundo Boltzmann, a entropia de um sistema em um dado estado é proporcional à probabilidade daquele estado que, em nota¸c˜ ao moderna, pode ser escrita como S = kB lnW , onde W , segundo Planck, é o n´ umero de complexos25 e kB é a constante de Boltzmann. Considere a explica¸c˜ ao originalmente proposta por Planck: Ent˜ ao, a ` energia total uN = N u de um dado sistema, formado por N ressonadores (osciladores), corresponde uma certa entropia total SN = N S do mesmo sistema, em que S representa a entropia média de um ressonador particular. Essa entropia SN depende da desordem com a qual a energia total uN reparte-se entre os diferentes ressonadores individuais. Importa agora encontrar a probabilidade W de modo que os N ressonadores possuam em conjunto a energia total uN . Para isso, ser´ a necess´ ario que uN n˜ ao seja uma quantidade continua, infinitamente divis´ıvel, mas antes uma grandeza discreta, composta de um n´ umero inteiro de partes finitas iguais. Denominaremos a tal parte elementar de energia, e teremos, uN = P , onde P representa um n´ umero inteiro, em geral grande. Deixaremos, no momento, indeterminado o valor de ..... +P −1)! De acordo com Planck26 , existem W = (N (N −1)!P ! maneiras nas quais N 24 Uma tradu¸ c˜ ao do trabalho original de Planck foi publicada em 2000 na Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, volume 22, p´ agina 538, podendo ser obtida no s´ıtio da Sociedade Brasileira de F´ısica (www.sbfisica.org.br). 25 O n´ umero de complexos ´ e o n´ umero de arranjos microsc´ opicos compat´ıveis com um dado arranjo macrosc´ opico. 26 Como exemplo, considere N = 4 e P = 7. Uma poss´ ıvel distribui¸c˜ ao de energias ´ e R1 = 4, R2 = 2, R3 = 0, e R4 = 4. Para facilitar a discuss˜ ao, considere uma representa¸ca õ esquem´ atica de energia onde a separa¸c˜ ao entre ressonadores ser´ a delimitada pelo s´ımbolo 2 Nesse caso, a distribui¸ca õ proposta ser´ a escrita como k222k (Note que no esquema


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ressonadores (R1 , R2 , R3 , ..., R4 ) podem ser distribu´ıdos pelos vários graus de energia determinados pela série de m´ ultiplos 0, , 2, ..... O c´ alculo da entropia pode agora ser feito diretamente. Usando a fórmula de Stirling para simplificar a express˜ ao envolvendo fatoriais (N + P )N +P W = NNPP e a equa¸c˜ ao de Boltzmann, a entropia do ressonador em fun¸cão da sua energia é dada por: h u u u u i S = kB 1 + ln 1 + − ln (3.34) Observe que esta equa¸c˜ ao é semelhante ` a anterior. Até aqui o valor de é completamente arbitr´ ario. Contudo, sabemos que S deve depender de ν e de u. Além disso, como kB é uma constante universal, a dependência com ∂S a frequência deve aparecer em . Usando o fato de que T −1 = ∂U , Planck encontrou a energia média dos osciladores como sendo

u= e

kB T

−1

.

(3.35)

De modo a satisfazer a Lei de Wien, o elemento de energia deve ser proporcional ` a frequência do oscilador. A express˜ ao mais simples para indicar essa proporcionalidade, modernamente chamada Rela¸c˜ ao de Planck é = hν, sendo h conhecida como constante de Planck. Logo, a distribui¸c˜ ao espectral da densidade Figura 3.9: Compara¸cão entre a de energia deve ter a forma: equa¸c˜ ao de Rayleigh-Jeans (linha azul), 8π hν 3 . (3.36) a expressão emp´ırica de Wien (linha ρ(ν,T ) = 3 hν c e kB T − 1 vermelha) e a expressão quântica de Planck (linha preta) que coincide com Na parte final de seu traba- os resultados obtidos para um corpo nelho, Planck determina os valores das gro. constantes h e kB a partir dos resultados experimentais a ele apresentados por Rubens, obtendo valores muito pr´ oximos aos mais aceitos atualmente. De fato, como pode ser visto na figura 3.9, a concordˆ ancia entre os resultados experimentais e a expressão obtida por Planck é impressionante. proposto 22 indica que um dado ressonador tem energia 2 enquanto 22 indica que o ressonador tem energia zero). Para valores gerais de N e P , a representa¸c˜ ao esquem´ atica ter´ a P vezes o sinal e (N −1) vezes o sinal 2. Evidentemente teremos (N +P −1)! maneiras diferentes de arranjar os s´ımbolos que se repetir˜ ao (N − 1)!P ! vezes.

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Cabe aqui um pequeno coment´ ario acerca do trabalho original de Planck: ele propˆ os que um dado valor de energia do sistema só poderia ser distribu´ıdo entre os diversos osciladores da cavidade se fosse composta de um n´ umero inteiro de partes finitas iguais (lembre-se, arranjos e combina¸c˜ oes s´ o s˜ ao poss´ıveis com n´ umeros inteiros). Dessa suposi¸c˜ ao simples nasceu a F´ısica Quântica, pois est´ a a´ı colocado o argumento b´ asico da quantiza¸c˜ ao de energia: os osciladores n˜ ao podem ter um valor de energia qualquer, mas apenas m´ ultiplos inteiros de um valor elementar.

3.2.5

Implica¸co ˜es do postulado de Planck

Uma formula¸c˜ ao alternativa para o postulado de Planck pode ser escrita como: Qualquer ente f´ısico cuja coordenada generalizada é uma fun¸c˜ ao senoidal do tempo (isto é, executa oscila¸c˜ oes harmˆ onicas simples) pode possuir apenas energias totais que satisfa¸cam ` a rela¸c˜ ao = hν, onde ν é sua frequência e h uma constante Universal. O postulado de Planck tem uma implica¸caõ muito importante: se classicamente a energia de um sistema pode assumir qualquer valor (de zero a infinito), quanticamente Figura 3.10: Representa¸c˜ ao esquemática dos poss´ıveis um ente executando valores para a energia de um sistema clássico (esoscila¸co˜es harmˆ oni- querda) e quˆ antico (direita). cas simples pode ter apenas energias totais discretas E = 0, hν , 2hν, 3hν, ..., nhν. A energia de um ente que obedece ao postulado de Planck é dita quantizada, seus poss´ıveis estados de energia s˜ ao chamados de estados quˆ anticos e os inteiros n n´ umeros quˆ anticos. Essa diferen¸ca fundamental est´ a representada esquematicamente na figura 3.10 Mas por que n˜ ao verificamos esse fato para sistemas muito simples como um pêndulo? Ao vê-lo oscilar parece-nos que o sistema é capaz de possuir um conjunto cont´ınuo de energias. A resposta est´ a no fato de que o incremento de energia (hν) no pêndulo é da ordem de 10−33 J, enquanto que a energia t´ıpica de tal sistema é da ordem de 10−5 J. Para piorar a situa¸cão, não temos condi¸c˜ oes técnicas de medir incrementos de energia da ordem de 10−33 J. O mesmo fato é observado para todos os sistemas mecânicos macroscópicos presentes em nosso cotidiano. Para que possamos identificar tal descontinuidade, é necess´ ario estarmos no limite de grandes frequências ou que a ordem de varia¸c˜ ao da energia seja mensur´ avel.


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A Ciˆ encia em nosso cotidiano: Medidores de temperatura por radia¸ c˜ ao Por volta de 1800, Sir. Frederick Willian Herschel, astrˆ onomo j´ a famoso pela descoberta do planeta Urano, estava envolvido com experiˆ encias relacionadas ao espectro de cores. Em particular, ele queria determinar como o calor se relacionava com as diferentes cores. Para tanto, ele passava luz atrav´ es de diferentes filtros utilizados para ob- Figura 3.11: Representa¸ cão esquemática de servar a luz solar. Ele notou que um medidor de temperatura através de rafiltros de diferentes cores apac˜ ao (gentileza Raytek do Brasil). rentemente permitiam a passa- dia¸ gem de diferentes quantidades de calor. Herschel acreditava que as cores propriamente ditas poderiam ter temperaturas diferenciadas. Para provar suas suposi¸c˜ oes ele imaginou um experimento onde a luz solar direta passa por um prisma para criar um espectro (tal qual na forma¸c˜ ao do arco-´ıris) e depois mediu a temperatura de cada cor, com o aux´ılio de trˆ es termˆ ometros com bulbos escuros (para melhor absorver o calor) sendo que, para cada cor do espectro, um bulbo se encontrava iluminado pela cor e os outros dois mais distantes para servir como controle. Quando mediu as temperaturas individuais das cores violeta, azul, verde, vermelho, laranja e amarelo, ele notou que todas as cores tinham temperaturas mais altas do que o controle. Al´ em disso, ele observou um aumento da temperatura indo do violeta para o vermelho. Este fato levou-o a medir a temperatura pouco al´ em da por¸c˜ ao vermelha do espectro, em uma regi˜ ao onde a luz solar n˜ ao era vis´ıvel. Para sua surpresa, ele encontrou nessa regi˜ ao a mais alta temperatura. Hershchel realizou uma s´ erie de experimentos adicionais com os ent˜ ao raios cal´ oricos. Ele observou que eles eram refletidos, refratados, absorvidos e transmitidos da mesma forma que a luz vis´ıvel. Herschel havia descoberto os raios infravermelhos, o primeiro tipo de luz n˜ ao-vis´ıvel conhecida. Os grandes avan¸cos tecnol´ ogicos propiciados pela Ciˆ encia dos Materiais permitiram o desenvolvimento de detectores de radia¸ca õ infravermelho pequenos, dur´ aveis e extremamente precisos. Na maior parte desses medidores de temperatura a radia¸c˜ ao ´ e coletada por um arranjo ´ optico fixo e dirigida a um detetor do tipo termopilha (associa¸c˜ ao em s´ erie - Figura 3.12: Exemplo de aplica¸ cão ver figura 3.11) ou do tipo semicondutor industrial de um termo-visor (gentinos mais modernos, onde gera um sinal el´ etrico, no caso da termopilha; ou altera leza Raytek do Brasil) o sinal el´ etrico, no caso do semicondutor. A essa altera¸ca õ de sinal corresponde uma intensidade de radia¸c˜ ao espectral. Como o comprimento de onda no qual opera o detector tamb´ em ´ e conhecida, basta utilizar a express˜ ao proposta por Planck para determinar a temperatura do corpo de prova ou para obten¸c˜ ao de imagens t´ ermicas como a da figura 3.12.

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A Ciˆ encia e o seu desenvolvimento: A aceita¸ c˜ ao (ou n˜ ao!) da quantiza¸ c˜ ao A leitura do trecho final da palestra de Wiena proferida em 11 de dezembro de 1911 quando da ocasi˜ ao do recebimento do Prêmio Nobel, mostra o humor da comunidade em rela¸c˜ ao ` as descobertas de Planck. A fim de que n˜ ao restem d´ uvidas quanto ao ceticismo reinante em rela¸cão à introdu¸cão da quantiza¸c˜ ao, o u ´ltimo par´ agrafo da palestra está transcrito abaixo em sua forma original. ... We must admit that the result of radiation theory todate is not a very good one for theoretical physics. As we have seen, only the general thermodynamic theories have proved satisfactory as yet. The theory of electrons has come to grief over the radiation problem, the Planck theory has not yet been brought into a definite form. Research is faced with exceptional difficulties and we cannot discern when and how they can be overcome. In science, the redeeming idea often comes from an entirely different direction, investigations in an entirely different field often throw unexpected light on the dark aspects of unresolved problems. We must base our hope in the future in the expectation that the present era which has proved so fruitful for physics may not pass without a complete solution being found for the problem of thermal radiation. Farreaching and new thoughts will have to set to work, but the result will be great, because we shall obtain a profound insight into the world of the atom and the elementary processes within it.

Quando Wien declara que a Teoria de Planck ainda não está em sua forma definitiva, acrescentando que a resposta esteja em uma dire¸cão completamente diferente, deixa claro que grandes cientistas, com participa¸cão fundamental no estudo da radia¸c˜ ao do corpo negro, tinham muitas restri¸cões ao conceito de quantiza¸c˜ ao. a http://nobelprize.org/nobel\_prizes/physics/laureates/1911/ wien-lecture.html

3.3

O efeito fotoel´ etrico

´ uma das ironias da hist´ E oria da ciência que na famosa experiência de Henrich Hertz27 , em 1887, na qual ele produziu e detectou ondas eletromagnéticas em laborat´ orio (confirmando, assim, a teoria de Maxwell), ele tenha também descoberto o efeito fotoelétrico sem que a ele desse a aten¸cão devida. Foi a partir desse efeito que se pode chegar ` a descri¸c˜ ao corpuscular da luz. Hertz usava um dispositivo de fagulha, com um intervalo de separa¸cão num circuito ajustado para gerar as ondas e outro circuito semelhante para detectá27 Os

resultados obtidos por Hertz foram publicados em uma s´ erie de artigos submetidos a ` revista Annalen der Physik e posteriormente reunidos em seu livro Untersuchungen u ¨ber die Ausbreitung der elektrischen Kraft, Leipizig, Johann Ambrosius Barth (1892), dispon´ıvel em http://de.wikisource.org/wiki/Untersuchungen_ber_die_ Ausbreitung_der_elektrischen_Kraft

3.3 O efeito fotoel´ etrico

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las. Acidentalmente, ele notou que quando a luz do dispositivo gerador não atingia o dispositivo receptor, o intervalo no receptor tinha que ser diminu´ıdo para permitir a passagem de fagulhas. Ele observou, ainda, que a luz de qualquer fagulha que atingisse os terminais do dispositivo facilitava a passagem das fagulhas. Hertz n˜ ao levou adiante suas investiga¸c˜ oes acerca do efeito fotoelétrico, mas outros o fizeram. Constatou-se que part´ıculas negativas eram emitidas por uma superf´ıcie met´ alica quando esta era exposta ` a luz28 . Em uma série de experimentos, P. Lenard29 , desviou esses raios por intermédio de um campo magnético e verificou que eles possu´ıam uma raz˜ ao entre a carga Figura 3.13: Representa¸cão ese a massa da mesma grandeza da quem´ atica de um aparelho utilizado medida por Thompson para os raios para observar o efeito fotoelétrico. A cat´ odicos. A figura 3.13 apresenta luz atinge o catodo que ejeta elétrons. um diagrama esquem´ atico do apa- O n´ umero de elétrons que atinge o relho usado no estudo do efeito fo- anodo é medido por um amper´ımetro. toelétrico. Quando incide luz sobre uma superf´ıcie met´ alica limpa (catodo), s˜ ao emitidos elétrons. Se alguns desses elétrons atingem o anodo, detecta-se a presen¸ca de uma corrente no circuito. O n´ umero de elétrons emitidos que atinge o anodo pode ser aumentado ou diminuindo variando a diferen¸ca de potencial entre catodo e anodo. Seja V a diferen¸ca de potencial entre o catodo e o anodo e i a corrente medida no circuito. A figura 3.14 mostra a curva i × V para dois valores de intensidade de luz incidente sobre o catodo. Quando V Figura 3.14: Curva caracter´ıstica da iné positivo, os elétrons s˜ ao atra´ıdos tensidade (i) pela tensão (V ) observada para o anodo. Quando V é sufici- para um sistema onde ocorre efeito foentemente grande, todos os elétrons toelétrico considerando diferentes inemitidos alcan¸cam o anodo e a cor- tensidades de energia luminosa. rente atinge o seu valor m´ aximo. 28 E. Rutherford em The discharge of electrification by ultraviolet light, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 9, 401 (1898); J. J. Thomson em On the masses of the ions in gases at low pressure, Philosophical Magazine 48, 547 (1899). 29 Erzeugung von Kathodenstrahlen durch ultraviolettes Licht, Wiener Berichte 108, 1649 ¨ (1899); Annalen der Physik 2, 359 (1900); Uber die lichtelectrische Wirking, Annalen der Physik 8, 149 (1902).

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Stoletow30 observou que a corrente m´ axima é proporcional à intensidade da luz. Esse era um resultado esperado, inclusive do ponto de vista clássico, já que dobrando a energia por unidade de tempo incidente no catodo, deveriam dobrar também o n´ umero de elétrons ejetados. Quando V é negativo, os elétrons s˜ ao repelidos do anodo. Segundo o teorema de conserva¸cão de energia, somente elétrons com energia inicial 12 mv 2 maior do que eVo podem alcan¸car o anodo. Pela curva caracter´ıstica (i × V ) fica claro que se V é menor do que Vo , nenhum elétron atinge o anodo. O potencial Vo é chamado de potencial de frenamento e est´ a relacionado com a energia cinética máxima dos elétrons emitidos por: 1 = eVo . (3.37) mv 2 2 max Ao investigar esse sistema, Ladenburg31 percebeu um fato surpreendente: Vo n˜ ao depende da intensidade da luz incidente. Esse resultado era totalmente inesperado, tendo em vista que a teoria cl´ assica da luz previa que a amplitude do campo elétrico oscilante E da onda luminosa deve crescer com o aumento da intensidade da luz, mas isso n˜ ao ocorre mesmo para varia¸cões na intensidade da luz da ordem de 107 lumens. Além disso, sabemos que a energia adquirida por um fotoelétron32 é absorvida da onda incidente sobre a placa met´ alica e que a um dado elétron corresponde uma regi˜ ao espacial, ou ´ area de alvo efetiva, onde ocorreria a absor¸c˜ ao da onda. Em primeira aproxima¸c˜ ao, é razo´ avel supor que essa ´ area de alvo efetiva para um elétron em um metal é limitada pelo diâmetro atômico. Na te´ orica cl´ assica, a energia luminosa est´ a uniformemente distribu´ıda sobre a frente de onda. Logo, se a luz é suficientemente fraca, deveria existir um intervalo de tempo mensur´ avel entre o instante em que a luz come¸ca a incidir sobre a superf´ıcie e a eje¸c˜ ao do fotoelétron. Nesse intervalo de tempo o elétron deveria estar absorvendo energia do feixe até que tivesse acumulado o bastante para ser ejetado. Todavia esse tempo de retardo jamais foi observado experimentalmente. Finalmente, esperava-se que o efeito fotoelétrico deveria ocorrer para qualquer frequência de luz. Porém, tanto os experimentos de Lennard33 , quanto experimentos mais detalhados posteriormente realizados por Millikan34 , em 1916, mostrou que existe, para cada superf´ıcie, um limiar de frequência νo caracter´ıstico, conforme representado na figura 3.15. 30 Sur une sorte de courants ´ electriques provoqu´ es par les rayons ultraviolets, Comptes Rendus 106, 1149 (1888). 31 Untersuchungen u ¨ber die entladende Wirkung des ultravioletten Lichtes auf negativ geladene Metallplatten im Vakuum, Annalen der Physik 12, 558 (1903). 32 Fotoel´ etron ´ e a denomina¸c˜ ao dada aos el´ etrons ejetados do metal como resultado do efeito fotoel´ etrico. 33 Ver nota 29 34 A direct photoelectric determination of Planck’s h, Physical Review 7, 355 (1916).


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Para frequências menores do que νo , o efeito fotoelétrico n˜ ao ocorre, qualquer que seja a intensidade do feixe incidente. No caso do s´ odio, por exemplo, νo = 4,39 × 1014 Hz. Apesar do experimento realizado por Millikan ter sido elaborado quase uma década depois da proposi¸c˜ ao de Einstein para a correta explica¸c˜ ao do efeito fotoelétrico, esse experimento constitui uma comprova¸c˜ ao defini- Figura 3.15: Representa¸cão estiva das propostas de Einstein35 , in- quem´ atica do limiar de frequências cluindo a´ı a inclina¸c˜ ao da reta carac- para um sistema hipotético. ter´ıstica36 observada na figura 3.15 e que vale he , onde h é a constante de Planck e e a carga eletrônica. Em 1905 Einstein37 apresentou uma explica¸cão para as contradi¸cões entre a Teoria Eletromagnética Cl´ assica e os resultados experimentais em um notável artigo publicado no mesmo volume do peri´ odico alemão Annalen der Physik que continha seus trabalhos sobre Relatividade. Einstein considerou que a quantiza¸c˜ ao da energia usada por Planck no problema do corpo negro era uma caracter´ıstica universal da luz. Ao invés de distribuir-se igualmente pelo espa¸co no qual ela se propaga, a energia luminosa é composta de pacotes discretos, ou quanta, de energia. De forma an´ aloga ao proposto por Planck, Einstein sugeriu que esses pacotes de energia tinham valores fixos iguais a hν. Quando um desses quanta, que atualmente denominamos fótons38 , penetra na superf´ıcie do catodo, toda a sua energia é completamente fornecida a um u ńico elétron. Se Φ, ou fun¸c˜ ao trabalho, é a energia necess´ aria para remover um elétron da superf´ıcie39 , a energia m´ axima dos elétrons que deixam a superf´ıcie deve ser hν − Φ. Assim, o potencial de frenamento deve ser dado por: eVo

1 mv 2 2

= hν − Φ,

(3.38)

max

express˜ ao conhecida como Equa¸c˜ ao de Einstein. 35 Apesar das expectativas contr´ arias do pr´ oprio Millikan, como relatado em sua Palestra por ocasi˜ ao da recep¸c˜ ao do Prˆ emio Nobel de 1923: ... this work resulted, contrary to my own expectation, in the first direct experimental proof in 1914 of the exact validity, within narrow limits of experimental error, of the Einstein equation, and the first direct photoelectric determination of Planck’s h. .. dispon´ıvel em http://www.nobelprize. org/nobel_prizes/physics/laureates/1923/. 36 ibid; New tests of Einstein’s photoelectric equation, Physical Review 6, 55 (1915). 37 Uber ¨ einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, Annalen der Physik 17, 132 (1905). 38 A origem do nome f´ oton ´ e atribu´ıda a G. N. Lewis em The conservation of photons, Nature 118, 874 (1926). 39 Φ ´ e chamada de fun¸ca õ trabalho e ´ e uma caracter´ıstica do metal.

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3.3.1


Os argumentos de Einstein

Einstein argumentou que os experimentos ´ opticos bem conhecidos de interferência e difra¸c˜ ao da radia¸c˜ ao eletromagnética haviam sido feitas apenas em situa¸c˜ oes que envolviam um n´ umero muito grande de fótons. Essas experiências fornecem resultados que s˜ ao médias dos comportamentos dos fótons individuais. Segundo Einstein, a presen¸ca dos f´ otons nessas experiências não é mais aparente do que a presen¸ca das gotas de ´ agua isoladas em um jato de água de uma mangueira de jardim se o n´ umero de gotas for muito grande. Evidentemente as experiências de interferência e difra¸c˜ ao mostram que os fótons n˜ ao v˜ ao de onde s˜ ao emitidos até onde s˜ ao absorvidos da mesma forma que part´ıculas cl´ assicas o fariam. Eles se propagam como ondas clássicas, o que corresponderia, em média, a como os f´ otons viajam. Einstein não concentrou sua aten¸c˜ ao na forma familiar com a qual a luz se propaga, mas sim na maneira corpuscular na qual ela é emitida e absorvida. Ele argumentou que o resultado de Planck segundo o qual a energia de um sistema oscilatório assume apenas os valores 0, hν, 2hν, ..., nhν implicava que no processo de transi¸cão entre um estado com energia nhν para um estado com energia (n − 1)hν, a fonte emitiria um pulso de radia¸c˜ ao eletromagnética discreto, com energia hν. Einstein supˆ os ainda que no processo fotoelétrico um fóton é completamente absorvido por um elétron no catodo. A partir desses argumentos, Einstein pˆ ode explicar as falhas no modelo cl´ assico da seguinte forma: 1. A amplitude da onda n˜ ao cresce com o aumento da intensidade de luz. A hip´ otese do f´ oton concorda integralmente com a experiência: dobrar a intensidade da luz meramente dobra o n´ umero de fótons, duplicando a corrente eletrˆ onica sem, no entanto, alterar a energia hν de cada fóton ou a natureza do processo fotoelétrico; 2. A existência de um tempo de retardo é eliminada pela hipótese do fóton, pois a energia necess´ aria é fornecida em pacotes concentradas e não espalhada em uma frente de onda; 3. A existência de um limiar de frequências é imediatamente satisfeita pela Equa¸c˜ ao de Einstein, pois se 21 mv 2 = 0, ent˜ ao hν = Φ, o que significa que um f´ oton de frequência νo tem exatamente a energia necessária para ejetar os fotoelétrons e nenhum excesso que possa ser transformado em energia cinética. Se a frequência for menor do que νo , os fótons, não importando quantos sejam (isto é, independentemente da intensidade da luz incidente), n˜ ao ter˜ ao individualmente a energia necessária para ejetar fotoelétrons. Citando Millikan40 ... O efeito fotoelétrico ...., descrito corretamente apenas pela Equa¸c˜ ao de Einstein, fornece uma prova independente da fornecida 40 Tradu¸ c˜ ao livre do autor para ... The photoelectric effect then, ..., if only it is correctly described by Einstein’s equation, furnishes a proof which is quite independent of the facts


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pela radia¸c˜ ao do corpo negro da exatid˜ ao da hip´ otese fundamental da teoria quˆ antica, ou seja, a hip´ otese da emiss˜ ao descont´ınua ou explosiva da energia que é absorvida das ondas etéreas pelos constituintes eletrˆ onicos dos ´ atomos. Ele materializa, por assim dizer, a quantidade h descoberta por Planck em seu estudo da radia¸c˜ ao do corpo negro e como nenhum outro fenˆ omeno nos faz acreditar que o conceito f´ısico b´ asico que est´ a por tr´ as do trabalho de Planck corresponde ` a realidade. Apesar do sucesso de sua teoria em explicar o efeito fotoelétrico, o que lhe valeu o Prêmio Nobel de 1921, a hip´ otese do f´ oton de Einstein não era plenamente aceita pela comunidade cient´ıfica41 . Em contrapartida, atualmente, a hip´ otese do f´ oton é aceita e utilizada em todo o espectro eletromagnético para explicar com sucesso diversos fenˆ omenos observados experimentalmente.

Leitura Complementar: Mas ser´ a que s˜ ao el´ etrons mesmo? Uma pergunta ´ obvia quando estudamos o efeito fotoelétrico é como ter certeza de que as part´ıculas ejetadas s˜ ao realmente elétrons? Os primeiros experimentos de Lenard j´ a indicavam que essas part´ıculas tinham caracter´ısticas semelhantes aos elétrons caracterizados por Thompson alguns anos antes. Todavia, a prova definitiva veio com a constru¸c˜ ao de sistemas com eletrosc´ opios acoplados, como o exemplificado na figura 3.16. A montagem experimental garante a identifica¸c˜ ao das part´ıculas ejetadas como sendo elétrons, j´ a que o desbalanceamento das cargas no eletrosc´ opio provoca a deflex˜ ao das folhas met´ alicas.

Figura 3.16: Apresenta¸cão esquem´ atica de um dispositivo utilizado no estudo do efeito fotoelétrico acoplado a um eletroscópio.

of black-body radiation of the correctness of the fundamental assumption of the quantum theory, namely, the assumption of a discontinuous or explosive emission of the energy absorbed by the electronic constituints of atoms from ether waves. It materialize, so to speak, the quantity h discovered by Planck through the study of black body radiation and gives us a confidence inspired by no other type of phenomenon that the primary physical conception underlying Planck’s work corresponds to reality. Physical Review 7, 355 (1916). 41 ibid, ... Despite then the apparently complete sucess of the Einstein equation, the physical theory of which it was designed to be the symbolic expression is found so untenable that Einstein, himself, I believe, no longer holds it.

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A Ciˆ encia em nosso cotidiano: Detectores fotoel´ etricos O efeito fotoelétrico é a base de v´ arias aplica¸c˜ oes tecnológicas. Como exemplo, podemos citar os sensores e sua enorme gama de utiliza¸cões. Os sensores fotoelétricos têm, em geral, alcance de vários metros e são aplicados em ambientes que necessitam de resposta de deteçcão rápida. Seu funcionamento é relativamente simples, pois é baseado na deteçcão de altera¸c˜ oes da quantidade de luz que é refletida ou bloqueada pelo objeto a ser detectado.

3.4

Efeito Compton

Uma evidência independente da exatid˜ ao do conceito de quantiza¸c˜ ao e do fato de que o quanta de radia¸c˜ ao (f´ oton) transporta tanto energia quanto momento foi dada por Arthur H. Compton42 , que mediu o espalhamento de Raios X e Raios γ por elemenao esquemática do procetos leves. Em sua Figura 3.17: (a) Representa¸c˜ dimento experimental utilizado por Bragg. Um feixe experiência de 1923, de Raios X ´ e espalhado por um bloco de carbono e a Compton fez com que intensidade do feixe espalhado como fun¸cão do comum feixe de Raios X primento de onda ´ e medido para diversos ângulos. (b) de comprimento de Representa¸ c a ˜ o do resultado obtido por Compton. onda λ incidisse sobre um alvo como mostrado na figura 3.17. Compton mediu a intensidade do feixe de Raios X espalhado como fun¸c˜ ao de seu comprimento de onda para vários ângulos de espalhamento. O resultado obtido est´ a representado na figura 3.17b. Embora o feixe incidente consista de Raios X com um u ńico comprimento de onda λ, os raios espalhados apresentam m´ aximos em dois comprimentos de onda distintos: λ e λ0 . A diferen¸ca ∆λ = λ − λ0 é chamada de deslocamento Compton e varia com o ˆ angulo de incidência. A existência de um segundo pico em λ0 não pode ser explicada se os Raios X incidentes forem encarados como uma onda eletromagnética cl´ assica, pois a onda incidente com frequência ν faria com que 42 A Quantum Theory of the Scattering of X-rays by Light Elements Physical Review 21, 483 (1923), dispon´ıvel em http://prola.aps.org/abstract/PR/v21/i5/p483_1.

3.4 Efeito Compton

Miotto e Ferraz

59

os elétrons livres no alvo oscilassem com a mesma frequência e, consequentemente emitissem ondas apenas com frequência ν. Logo, no modelo clássico dever´ıamos ter simplesmente λ e n˜ ao λ0 . Compton interpretou seus resultados experimentais postulando que o feixe de Raios X incidente não era uma onda de frequência ν, mas um conjunto de f´ otons, cada um com energia hν. Tais f´ otons colidiam com os elétrons livres do alvo da mesma forma que colidem duas bolas de bilhar. O elétron absorveria parte da energia total e o fóton espalhado deveria ter energia menor e frequência mais baixa (e, consequentemente, um comprimento de onda maior). A interpreta¸cão de Compton pressupõe que os f´ otons sejam part´ıculas e n˜ ao ondas, o que só é poss´ıvel se a proposta de existência do f´ oton for considerada verdadeira. Segundo Compton, ... A perfeita concordˆ ancia entre experimento e a teoria, indica claramente que o espalhamento é um fenˆ omeno quˆ antico e que pode ser explicado sem a introdu¸c˜ ao de nenhuma hip´ otese nova ... além disso, o quanta de radia¸c˜ ao carrega consigo tanto momento quanto energia43 . Dessa forma, podemos considerar os estudos de Compton como mais uma confirma¸c˜ ao independente tanto da quantiza¸cão de energia proposta por Planck quanto da existência do fóton proposta por Einstein.

3.4.1

An´ alise Quantitativa

Para a radia¸caõ X de frequência ν, a energia de um fóton no feixe incidente vale hν e seu momento p. A energia relativ´ıstica do fóton44 é dada por m o c2 E=q . 2 1 − vc2

(3.39)

como a velocidade do f´ oton é c e sua energia E = hν é finita, a massa de repouso do f´ oton mo deve, necessariamente, ser nula. Assim, toda sua energia deve ser cinética, o que nos leva a E = pc. Reescrevendo a expressão temos p=

hν h E = = . c c λ

(3.40)

Considere uma colis˜ ao como a esquematizada na fig. 3.18. Nela o elétron é esquematizado por um c´ırculo e a onda incidente por uma linha senoidal. Sejam p1 e p2 os momentos do f´ oton antes e após a colisão,e pe o momento do elétron ap´ os a colis˜ ao. Suponha, ainda, que o elétron esteja em repouso antes 43 Tradu¸ c˜ ao livre do autor para This remarkable agreement between experiment and theory indicates clearly that scattering is a quantum phenomenon and can be explained without introducing any new hypothesis ... also that a radiation quantum carries with it momentum as well as energy. Ver nota 43. 44 O estudo da Relatividade Restrita proposta por Einstein, em 1905, ´ e discutido no primeiro cap´ıtulo.

60

Miotto e Ferraz


da colis˜ ao. Para que haja conserva¸c˜ ao do momento devemos ter: em x p1 = pe cos Φ + p2 cos θ

em y 0 = pe sin Φ − p2 sin θ ou

p2e

2

2

cos Φ = (p1 − p2 cos θ)

p2e

2

sin Φ =

p22

(3.41)

2

sin θ.

Somando membro a membro, temos: p2e cos2 Φ + p2e sin2 Φ = p22 sin2 θp21 − 2p1 p2 cos θ + p22 cos2 θ, ou seja, p2e = p21 p22 − 2p1 p2 cos θ.

(3.42)

Por outro lado, utilizando a conserva¸caõ de energia devemos levar em considera¸caõ antes da colis˜ ao a energia inicial do f´ oton (E1 ) e a energia de repouso do elétron. Ap´ os a colis˜ ao teremos as energias cinética e de repouso do elétron e a energia final do Figura 3.18: Representa¸c˜ ao esquemática do processo fóton (E2 ). Seja mo de espalhamento entre um f´ oton e um elétron. a massa de repouso do elétron. Nesse caso: p (3.43) E1 + mo c2 = E2 + m2o c4 + p2e c2 , onde o primeiro termo do lado esquerdo corresponde à energia cinética do fóton incidente e o segundo ` a energia de repouso do elétron, enquanto do lado direito temos a energia cinética do f´ oton espalhado e a soma da energia de repouso e da energia cinética do elétron espalhado. Usando o fato de que a energia cinética do f´ oton vale E = pc, teremos p (3.44) p1 c + mo c2 − p2 c = m2o c4 + p2e c2 . Elevando ambos os membros ao quadrado, n˜ ao é dif´ıcil mostrar que a equa¸cão se reduz a: p2e = p21 + p22 − 2p1 p2 + 2mo c (p1 − p2 ) . (3.45) Combinando as equa¸c˜ oes 3.42 e 3.45 é imediato que mo c (p1 − p2 ) = p1 p2 (1 − cos θ) .

(3.46)

2.5 A natureza dual ...

Miotto e Ferraz

Multiplicando-se a equa¸c˜ ao 3.46 por teremos finalmente λ2 − λ1 =

hc p1 p2 m o c

e usando o fato de que p =

h (1 − cos θ) , mo c

61 h λ,

(3.47)

que é conhecida como equa¸c˜ ao de Compton e o coeficiente mho c como comprimento de onda Compton, correspondendo ao valor máximo observado para a varia¸c˜ ao do comprimento de onda em um experimento de Compton. Alguns dos f´ otons colidem com elétrons fortemente ligados ao n´ ucleo. Nesses casos os f´ otons n˜ ao perdem energia para os elétrons, o que é conhecido como Espalhamento Thomson, explicando o pico com comprimento de onda idêntico ao da onda incidente. Observe ainda que a diferen¸ca λ2 − λ1 é muito 1 pequena e s´ o observ´ avel se λ for muito pequeno, tal que λ2λ−λ atinja valores 1 apreci´ aveis. Leitura Complementar: Os Raios X Os Raios X foram descobertos em 1895, por W. Roentgen quando trabalhava com um tubo de raios cat´ odicos. Ele descobriu que quando certos raios, que se originavam no ponto onde os raios cat´ odicos (que na verdade s˜ ao el´ etrons), chocavam-se com o tubo de vidro, ou com um alvo dentro do tubo, podiam atravessar materiais opacos a ` luz e ativar uma tela fluorescente ou placa fotogr´ afica. Ele investigou este fenˆ omeno extensivamente e verificou que todos os materiais eram transparentes a esses raios em algum grau e que a transparˆ encia decrescia com o aumento da densidade. Essa caracter´ıstica not´ avel levou ao uso m´ edico dos Raios X alguns meses ap´ os o trabalho de R¨ otengen. R¨ ontegen n˜ ao pode desviar esses raios com um campo magn´ etico nem observar fenˆ omenos de refra¸c˜ ao ou interferˆ encia associados a essas ondas. A natureza misteriosa de tais raios fez com que R¨ otengen desse a eles o nome de raios X. Como a Teoria Cl´ assica do Eletromagnetismo prevˆ e que cargas aceleradas devem irradiar ondas eletromagn´ eticas, ´ e natural esperar que os Raios X sejam ondas eletromagn´ eticas produzidas pela acelera¸ca õ de el´ etrons quando esses s˜ ao freados pelo alvo. Em 1899, H. Haga e C. H. Wind observaram um ligeiro alargamento de um feixe de Raios X depois de atravessarem fendas de alguns poucos milion´ esimos de largura. Admitindo que este fato era devido ` a difra¸ca õ, eles estimaram o comprimento de onda dos Raios X como sendo da ordem de 10−10 m (ou 1 angstron - ˚ A). Em 1912, Laue sugeriu que, como os comprimentos de onda dos Raios X eram da mesma ordem de grandeza dos espa¸camentos entre os ´ atomos de um cristal, esse arranjo regular de ´ atomos num cristal poderia servir como uma rede tridimensional para a difra¸c˜ ao de Raios X. W. Friederich e P.Knipping seguiram a sugest˜ ao e observaram os primeiros espectros de Raios X dos cristais, estimando entre 0,1 e 0,5 ˚ A o seu comprimento de onda. Esse experimento propiciou ainda duas importantes confirma¸c˜ oes: a de que os Raios X s˜ ao ondas eletromagn´ eticas e os s´ olidos (ou pelo menos muitos deles) apresentam arranjo peri´ odico dos a ´tomos que os constituem.

3.5

A natureza dual da radia¸c˜ ao eletromagn´ etica

Em seu artigo Uma Teoria Quˆ antica para o espalhamento de Raios X por elementos leves, Compton escreveu: A presente teoria depende essencialmente da suposi¸c˜ ao de que cada elétron participa do processo espalhando um quantum

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completo (f´ oton). Isto envolve também a hip´ otese de que os quanta de radia¸c˜ ao vêm de dire¸c˜ oes definidas e s˜ ao espalhados em dire¸c˜ oes definidas. O apoio experimental da teoria indica de forma bastante convincente que um quantum de radia¸c˜ ao carrega consigo tanto momento como energia45 . A necessidade da hip´ otese do f´ oton, ou part´ıcula localizada, para interpretar processos que envolvem a intera¸c˜ ao da radia¸c˜ ao com a matéria é clara, mas ao mesmo tempo é necess´ aria uma teoria ondulat´ oria da radia¸cão para explicar os fenˆ omenos de interferência e difra¸c˜ ao. A ideia de que a radia¸cão não é um fenˆ omeno puramente ondulat´ orio e nem meramente um feixe de part´ıculas deve ser ponderada com muito cuidado. O que quer que seja a radia¸cão, ela se comporta como uma onda em certos experimentos e como uma part´ıcula em outros. Sem d´ uvida essa situa¸c˜ ao é colocada em evidência no trabalho experimental de Compton, onde (a) um espectrˆ ometro de cristal é utilizado para medir o comprimento de onda dos Raios X, sendo as medidas analisadas por meio da teoria ondulat´ oria da difra¸c˜ ao; e (b) o espalhamento afeta o comprimento de onda de uma forma que s´ o pode ser compreendida tratando os ´ essencial deixarmos claro que o comportamento da Raios X como part´ıculas. E radia¸caõ eletromagnética como part´ıcula ou como onda está intrinsecamente relacionada ao experimento que ser´ a realizado. Se o experimento é tal que um car´ ater coletivo ser´ a observado (como no caso de fenômenos de interferência), ent˜ ao o comportamento ser´ a o de uma onda. Todavia, se o experimento for tal que um car´ ater individual é observado (como no caso do efeito fotoelétrico), ent˜ ao o comportamento ser´ a o de uma part´ıcula. Essa discussão será retomada mais a frente, j´ a que a caracter´ıstica dual da radia¸cão eletromagnética ser´ a verificada em diversos fenˆ omenos.

45 Tradu¸ c˜ ao livre do autor para ... The present theory depends essentially upon the assumption that each electron which is effective in the scattering scatters a complete quantum. It involves also the hypothesis that the quanta of radiation are received from definite directions and are scattered in definite directions. The experimental support of the theory indicates very convincingly that a radiation quantum carries with it directed momentum as well as energy. Physical Review 21, 483 (1923).

Cap´ıtulo 4

Modelos Atˆ omicos O conceito de ´ atomo n˜ ao é uma novidade. Os mais antigos relatos1 sugerem 2 que foi Leucippus que, por volta do século V a.C., apresentou tal conceito. Apesar de existirem poucas informa¸c˜ oes sobre Leucippus, relatos acerca dos trabalhos de seu disc´ıpulo Democritus3 , dentre os quais os de Epicurus - que foi um grande disseminador dessa teoria - e Aristóteles4 , indicavam que o conceito de ´ atomo baseava-se na hip´ otese de que os constituintes fundamentais do mundo natural eram entes indivis´ıveis e o vazio. Em outras palavras, Leucippus e Democritus pressup˜ oem que existe um limite inferior para a divisão da matéria, a partir da qual n˜ ao se pode passar. Esse limite seria o átomo, que vem do grego atomos, ou o que n˜ ao pode ser dividido. Segundo Epicurus, em sua obra De Rerum Natura5 , se a matéria pudesse ser infinitamente dividida, estaria sujeita a completa desintegra¸c˜ ao e n˜ ao poderia mais ser reconstru´ıda. Apesar de ser poss´ıvel destruir matéria através de sucessivas divisões, Democritus observara que também é poss´ıvel fazer novas coisas ao agregar pequenos peda¸cos de matéria, o que implica que o processo de desintegra¸cão-reintegra¸cão é revers´ıvel. Essa reversibilidade leva ao limite inferior na divisão da matéria. Além de acreditar que a matéria tinha um limite inferior, Epicurus estabeleceu um limite superior para os ´ atomos de forma a garantir que esses fossem sempre invis´ıveis aos olhos humanos. 1 Sylvia Berryman, Ancient Atomism, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.), dispon´ıvel em http://plato.stanford.edu/ archives/fall2008/entries/atomism-ancient. 2 Sylvia Berryman, Leucippus, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2010 Edition), Edward N. Zalta (ed.), dispon´ıvel em http://plato.stanford.edu/archives/ fall2010/entries/leucippus. 3 Sylvia Berryman, Democritus, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2010 Edition), Edward N. Zalta (ed.), dispon´ıvel em http://plato.stanford.edu/archives/ fall2010/entries/democritus/. 4 Os relatos de Arist´ oteles deixam claro sua oposi¸ca õ ` a id´ eia de a ´tomo apresentado por Leucippus. 5 Uma tradu¸ c˜ ao para o inglˆ es da obra Sobre a Natureza das Coisas pode ser obtida em http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/gutbook/lookup?num=785.

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Modelos Atˆ omicos

A existência de vazios entre os ´ atomos, conforme proposta de Epicurus, explicaria as varia¸c˜ oes observadas na matéria, sendo tais varia¸cões atribu´ıdas ao movimento dos ´ atomos. Além das proposi¸c˜ oes originais de Epicurus, Democritus sugeriu, ainda, que os ´ atomos eram completamente sólidos, homogêneos, n˜ ao apresentariam estrutura interna e que diferiam em tamanho, forma e peso.

4.1 4.1.1

Antecedentes Experimentais F´ ormulas emp´ıricas espectrais

Em seu famoso livro Opticks6 , Isaac Newton demonstrou que a luz do Sol decomp˜ oe-se em luz de diferentes cores ao passar por um prisma, formando um espectro, como o arco-´ıris. Essa descoberta levou a diversos estudos que culminaram com a proposi¸c˜ ao das Linhas de Fraunhofer7 . Em 1857, Robert Wilhelm Bunsen inventou o bico de g´ as (conhecido hoje como bico de Bunsen8 ), cuja chama apresentava uma caracter´ıstica incolor. Quando um elemento qu´ımico era colocado sobre a chama, a chama adquiria uma certa colora¸cão t´ıpica. Utilizando o invento de Bunsen, Gustav Robert Kirchhoff9 desenvolveu um estudo detalhado das linhas de Fraunhofer no qual sugeria que as cores emitidas por um dado elemento qu´ımico, quando colocado sobre a chama, seriam melhor identificadas se passadas através de um prisma. O aparato experimental foi ent˜ ao aperfei¸coado e o elemento n˜ ao era mais colocado sobre a chama, mas sim aquecido em um tubo. A radia¸c˜ ao emitida tinha as mesmas caracter´ısticas daquela emitida quando o elemento era colocado sobre a chama. De fato, quando examinada através de um espectrosc´ opio, o espectro emitido era constitu´ıdo por um conjunto de linhas discretas, cada uma de uma cor ou comprimento de onda particular, e cujas posi¸c˜ oes e intensidades s˜ ao caracter´ısticas do elemento em estudo (ver figura 4.1). Os comprimentos de onda dessas linhas foram determinados com precis˜ ao e muito esfor¸co da comunidade cient´ıfica de então foi despendido na tentativa de se encontrar regularidades nos espectros obtidos experimentalmente. Um grande progresso foi alcan¸cado em 1885, quando Balmer10 , mostrou que as linhas no espectro do hidrogênio poderiam ser representadas pela expressão: 6 A primeira edi¸ c˜ ao, de 1704, est´ a dispon´ıvel em http://www.rarebookroom.org/ Control/nwtopt/index.html 7 O Espectro de Fraunhofer ou Linhas de Fraunhofer s˜ ao um conjunto de linhas espectrais associadas originalmente a faixas escuras existentes no espectro solar, e que foram catalogadas pelo f´ısico alem˜ ao Joseph von Fraunhofer. Essas linhas escuras, originalmente observadas por William Hyde Wollaston, foram posteriormente atribu´ıdas a ` absor¸c˜ ao da luz pelos elementos existentes nas camadas mais externas do Sol. Ver, por exemplo, Francis A Jenkins and Harvey Elliott White, Fundamentals of optics New York, McGraw-Hill (2001). 8 William B. Jensen, The Origin of the Bunsen Burner , Chemical Education Today 82, 518 (2005). 9 Ueber die Fraunhofer’schen Linien, Annalen der Physik 185, 148 (1860). 10 Annalen der Physik und Chemie 25, 80 (1885), tradu¸ c˜ ao em inglˆ es dispon´ıvel em http: //web.lemoyne.edu/˜giunta/balmer.html.

4.1 Antecedentes Experimentais

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Figura 4.1: Representa¸c˜ ao esquem´ atica de um experimento de emissão de um g´ as (no caso H2 ). A luz emitida é colimada por uma fenda e depois passa por um prisma. As linhas resultantes s˜ ao observadas no anteparo. Diferentes gases apresentam diferentes linhas (ou frequências caracter´ısticas) de emissão.

2

λ = 364,6 mm e o comprimento de onda em nanometros e m um 2 −4 , onde λ ´ n´ umero inteiro maior do que 2. Balmer utilizou um aparato experimental semelhante ao esquematizado na figura 4.1, obtendo um espectro semelhante ao indicado na figura 4.2. A série obtida através de tal expressão ficou conhecida com Série de Balmer. Ela descrevia corretamente o comprimento de onda das nove linhas espectrais conhecidas na época com precisão superior a uma parte em mil. Essa descoberta iniciou uma busca por fórmulas emp´ıricas similares que pudessem ser identificadas na distribui¸caõ de linhas que constituem o espectro de outros elementos. Balmer sugeriu que sua fórmula poderia ser o caso particular de uma express˜ ao mais geral, aplicável aos espectros de outros elementos. Essa express˜ ao, encontrada por J. R. Rydberg11 e posteriormente rigorosamente demonstrada12 por W. Ritz13 , fornece o inverso do comprimento

11 Research on the Structure of the Emission Spectra of the Chemical Elements, Kongl. Svenska Vetenskaps Akademians Handlingar 23, No. 11, Stockholm (1890) 12 Uma an´ alise detalhada da participa¸c˜ ao de Rydberg, Ritz e outros pesquisadores para o desenvolvimento da express˜ ao hoje conhecida como Express˜ ao de Rydberg-Ritz pode ser encontrada em M. A. El’yashevich, N. G. Kembrovskaya, and L. M. Tomil’chik, Rydberg and the development of atomic spectroscopy (Centennial of J. R. Rydberg’s paper on the laws governing atomic spectra), Sov. Phys. Usp. 33, 1047 (1990), dispon´ıvel em http: //iopscience.iop.org/0038-5670/33/12/R03. 13 W. Ritz, Gesammelte Werke (Collected Works), Paris (1911).

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Modelos Atˆ omicos

Figura 4.2: Reprodu¸c˜ ao do espectro de emiss˜ ao do átomo de hidrogênio na regi˜ ao do vis´ıvel e ultravioleta pr´ oximo. A letra Hx representa a posi¸cão da radia¸caõ. Adaptado de G. Herzberg, Molecular Spectra and Molecular Structure, 2a Edi¸c˜ ao (1944).

de onda e tem a forma:

1 =R λ

onde n e m s˜ ao inteiros, tais que n Rydberg14 Em uma série de trabalhos15 publicados em 1897, Zeeman demonstrou que as linhas espectrais produzidas por diversos gases confinados em um tubo aquecido eram separadas quando o g´ as era submetido ` a uma campo magnético externo (ver figura 4.3). Para algumas espécies, como o hidrogênio, as linhas espectrais dividem-se em três sob a a¸c˜ ao do campo magnético. Esse fato é conhecido como Efeito Zeeman. Para alguns outros ´ atomos, como o s´ odio,

1 1 − 2 2 m n

(4.1)

> m e R é chamada de constante de

Figura 4.3: Representa¸cão esquemática de uma linha de um espectro de emiss˜ ao na ausência e na presen¸ca de um campo magnético externo.

14 A constante de Rydberg n˜ ao ´ e a mesma para todos os elementos, mas apresenta uma varia¸ca õ muito pequena. Seja RX o valor da constante para o elemento X. Enquanto RH = 1,096776×107 m−1 , Relementopesado = 1,097373×107 m−1 . Assim, em geral apenas o valor de RH ´ e utilizado. 15 On the influence of Magnetism on the Nature of the Light emitted by a Substance, Philosophical Magazine 43, 226 (1897); Doubles and triplets in the spectrum produced by external magnetic forces, Philosophical Magazine 44, 55 (1897); e The Effect of Magnetisation on the Nature of Light Emitted by a Substance, Nature 55, 347 (1897).

4.1 Antecedentes Experimentais

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o espectro apresenta um padr˜ ao de separa¸c˜ ao mais complexo e o fenômeno é conhecido como Efeito Zeeman Anˆ omalo. A explica¸cão desse fenômeno representou um grande desafio para os pioneiros da F´ısica Quântica e teve grande influência na elabora¸c˜ ao dos primeiros modelos atômicos, já que indicava claramente que o ´ atomo era uma estrutura complexa. De fato, a descoberta de Zeeman foi a primeira evidência de que cargas elétricas deveriam ter alguma influência no espectro emitido por um dado elemento.

4.1.2

A descoberta do el´ etron

A natureza das descargas elétricas em tubos de raio catódicos foi objeto de estudo de um grande n´ umero de pesquisadores no final do século XIX. Duas vis˜ oes eram prevalentes16 : na primeira, apoiada principalmente pelos f´ısicos ingleses, supunha-se que os raios cat´ odicos eram corpos negativamente eletrificados ejetados do catodo a grandes velocidades; na segunda, apoiada pela grande maioria dos f´ısicos alem˜ aes, acreditava-se que os raios eram algum tipo de vibra¸c˜ ao etérea ou ondas. Para demonstrar que suas suposi¸cões eram corretas, Thomson realizou uma série de experimentos17 em que retirou os gases presentes no interior do tubo e demonstrou que, nessas condi¸cões, os raios cat´ odicos eram eletricamente defletidos. Os in´ umeros experimentos de Thomson permitiram verificar que a deflex˜ ao produzida por for¸cas elétricas e magnéticas tinha uma dire¸c˜ ao que claramente indicava que os raios eram negativamente carregados. O pr´ oximo passo de Thomson consistiu na determina¸cão da velocidade dessas part´ıculas negativamente carregadas, o que possibilitou a determina¸cão da raz˜ ao e/m a partir da for¸ca coulombiana e da for¸ca gravitacional que agem sobre elas. A raz˜ ao e/m obtida por Thomson era quase 1700 vezes menor do que a mesma raz˜ ao obtida para o ´ atomo de hidrogênio carregado18 . Essa grande diferen¸ca s´ o poderia ser explicada se a massa da part´ıcula fosse muito menor do que a massa do ´ atomo de hidrogênio ou se sua carga fosse muito maior do que a carga do ´ atomo carregado. Fazendo uso dos experimentos de C. T. R. Wilson em cˆ amaras de condensa¸c˜ ao, Thomson descartou a segunda hip´ otese, o que permitiu a ele estimar o valor da carga das part´ıculas19 e levou-o a concluir que o ´ atomo n˜ ao era o limite para a subdivis˜ ao da matéria, j´ a que era poss´ıvel detectar uma part´ıcula negativamente carregada com massa 16 Conforme relato do pr´ oprio Thomson em sua palestra por ocasi˜ ao do recebimento do Prˆ emio Nobel de F´ısica de em 11 de dezembro de 1906. 17 Cathode Rays, The Electrician 39, 104 (1897), tamb´ em publicado no Proceedings of the Royal Institution April 30, 1897, foi o primeiro an´ uncio da existˆ encia de um corp´ usculo; Cathode rays, Philosophical Magazine 44, 293 (1897) ´ e o artigo cl´ assico onde a raz˜ ao e/m ´ e obtida. 18 O a ´tomo de hidrogˆ enio carregado utilizado para determinar e/m era obtido atrav´ es da eletr´ olise da ´ agua 19 Thomson estimou a carga como sendo da ordem de 1,1 × 10−19 C e a massa da part´ ıcula como sendo aproximadamente igual a 6 × 10−28 gramas, que s˜ ao da ordem de grandeza dos valores mais aceitos atualmente.

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Modelos Atˆ omicos

aproximadamente 1700 vezes menor do que a massa do átomo de hidrogênio. Essas part´ıculas foram chamadas elétrons20 . A quantiza¸ c˜ ao da carga do el´ etron Os experimentos de Zeeman e Thomson demonstravam através de métodos distintos a existência do elétron. A esses estudos seguiram-se vários outros que levaram a uma aceita¸c˜ ao quase universal da existência do elétron. Ainda assim, inexistia um experimento no qual fosse poss´ıvel determinar de forma independente a massa ou a carga do elétron, o que permitia que alguns ainda especulassem que o car´ ater unit´ ario da eletricidade nada mais era do que um fenˆ omeno estat´ıstico. Uma prova direta da existência do elétron foi o experimento21 idealizado por Robert Millikan22 e Harvey Fletcher em 1909. Esse experimento utiliza um aparato (figura 4.4) semelhante ` a cˆ amara de Wilson e faz uso da determina¸c˜ ao da velocidade terminal de uma gota esférica caindo sob a a¸caõ de um campo gravitacional, num fluido viscoso. Millikan, aproveitando-se do fato de que as gotas est˜ ao eletricamente carregadas, utiliza uma diferen¸ca de potencial para imobilizar as gotas23 . As gotas imobilizadas têm as for¸cas elétrica e gravitacional em equil´ıbrio, o que Figura 4.4: Representa¸cão esquemática permite determinar a carga elétrica do aparato experimental utilizado por elementar através de uma rela¸c˜ ao Millikan. simples como24 p g e = 3,1 × 10−19 (Vx − Vj ) Vj , E onde g é o m´ odulo da acelera¸c˜ ao da gravidade, E o módulo do campo elétrico aplicado, Vx e Vj s˜ ao, respectivamente, os m´ odulos das velocidades terminais 20 O termo el´ etron, que em grego significa ˆ ambar, foi originalmente utilizado por George Johnstone Stoney em 1881 (G. J. Stoney, Phil. Mug. II, 384 (1881)), ou seja, antes da descoberta de Thomson, para identificar o correspondente ao a ´tomo (a menor por¸c˜ ao da mat´ eria) para a eletricidade. 21 Existem v´ arias controv´ ersias acerca desse experimento. A primeira refere-se a participa¸c˜ ao de Fletcher nos experimentos, mas a ausˆ encia de seu nome no famoso trabalho que valeu a Millikan o Prˆ emio Nobel de F´ısica em 1923 (ver, por exemplo, Revista Brasileira de Ensino de F´ısica 17, 107 (1995)) e a segunda a respeito das alega¸c˜ oes de que Millikan escolheu cuidadosamente os pontos que usaria na determina¸ca õ da carga do el´ etron (ver, por exemplo, The Chemical Educator 2, 1 (1997). 22 Science 32, 436 (1910). 23 Veja uma simula¸ c˜ ao computacional do experimento em http://physics.wku.edu/ womble/phys260/millikan.html. ˜ 24 Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica 17, 107 (1995)

4.2 O Modelo de Thomson

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com e sem campo elétrico, e e é a carga do elétron. Em 1913, Millikan apresentou um novo trabalho discutindo modifica¸cões necess´ arias para melhorar a acur´ acia da metodologia original25 . O valor determinado por Millikan em seu trabalho de 1913 difere em cerca de 1% do valor mais aceito atualmente (1,602176487(40) × 10−19 C). Esse desvio se deve em grande parte ao fato de Millikan ter utilizado um valor equivocado da viscosidade do ar26 . Apesar das muitas controvérsias envolvendo o trabalho de Millikan, não se pode negar que juntamente com os experimentos de Zeeman e Thomson ele traz ` a luz um novo aspecto até ent˜ ao desconhecido: a quantiza¸cão da carga. Essa observa¸cao é a primeira evidência de uma propriedade ainda mais fundamental: a quantiza¸c˜ ao dos estados da matéria.

4.2

O Modelo de Thomson

O grande conjunto de evidências experimentais, que apontavam para um modelo atˆ omico complexo, incentivava um grande n´ umero de pesquisadores a somarem esfor¸cos na tentativa de construir um modelo cujo espectro de radia¸c˜ ao fosse compat´ıvel com as f´ ormulas emp´ıricas apresentadas. Sabia-se que um ´ atomo possu´ıa um diˆ ametro da ordem de 10−10 metros, continha elétrons muito mais leves do que ele pr´ oprio e era eletricamente neutro. O grande sucesso das Leis de Maxwell na descri¸c˜ ao das ondas eletromagnéticas fez com que j´ a os primeiros modelos atˆ omicos apontassem para um espectro proveniente das vibra¸c˜ oes de suas part´ıculas carregadas. De fato, diversos experimentos forneciam uma boa estimativa do n´ umero atˆ omico (Z) e indicavam que, numericamente, o n´ umero de elétrons era aproximadamente igual à metade do peso atˆ omico do ´ atomo considerado. Como os ´ atomos em seu estado fundamental s˜ ao neutros, eles devem conter uma carga positiva com mesmo módulo que a carga negativa de seus elétrons. De acordo com esse racioc´ınio, um átomo neutro tem uma carga negativa −Ze e uma carga positiva +Ze. O fato de que a massa do elétron é muito pequena se comparada com a de qualquer átomo implica em dizer que a maior parte da massa do átomo deve estar associada à carga positiva. Essas considera¸c˜ oes levaram ao problema de como seria a distribui¸cão de cargas positivas e negativas dentro do ´ atomo. J. J. Thomson propôs27 uma tentativa de descri¸c˜ ao, ou modelo, de um ´ atomo segundo o qual os elétrons carregados negativamente estariam localizados no interior de uma distribui¸cão cont´ınua de cargas positivas. Por simplicidade, Thomson supôs que a forma da distribui¸c˜ ao da carga positiva fosse esférica com um raio da ordem de grandeza 25 http://www.aip.org/history/gap/PDF/millikan.pdf 26 Em

seu livro Surely you’re joking, Mr. Feynman!, Richard Feynman utiliza esse desvio sistem´ atico para criticar diversos pesquisadores que escolhiam os seus resultados experimentais de modo a obterem valores para e pr´ oximos ao valor encontrado por Millikan! 27 Philosophical Magazine Series 6 7, 237 (1904).

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Modelos Atˆ omicos

do raio de um ´ atomo (10−10 m). Devido ` a repuls˜ ao m´ utua, os elétrons estariam uniformemente distribu´ıdos na esfera de carga positiva, como indicado na figura 4.5. Esse modelo tinha uma distribui¸c˜ ao muito semelhante ` a de um pudim de ameixas tendo ficado conhecido por esse nome. Um ´ atomo em seu estado fundamental tem os elétrons fixos em suas posi¸c˜ oes de equil´ıbrio. Para ´ atomos excitados, os elétrons vibram em torno de suas posi¸co˜es de equil´ıbrio. Como o eletromagnetismo prevê que um corpo Figura 4.5: Representa¸cão esquemática carregado acelerado emite radia¸c˜ ao do modelo de Thomson para o átomo: eletromagnética, o modelo de Thom- elétrons carregados negativamente esson permitia entender qualitativa- tariam localizados no interior de uma ao cont´ınua de cargas positimente a emiss˜ ao de radia¸c˜ ao por distribui¸c˜ vas. átomos excitados. Todavia, quantitativamente, o modelo n˜ ao descrevia os espectros observados. O grande problema do modelo de Thomson residia no fato dele prever apenas uma frequência de emiss˜ ao caracter´ıstica para o átomo de hidrogênio28 enquanto um grande n´ umero de frequências eram observadas experimentalmente. Apesar desse problema intr´ınseco, o modelo de Thomson foi o primeiro a associar, ao menos qualitativamente, a estrutura interna do átomo ao seu espectro de emiss˜ ao. O fracasso desse modelo s´ o foi definitivamente estabelecido em 1911 com os trabalhos de Rutherford29 , cujo aparato experimental est´ a representado na figura 4.6. Ao estudar o espalhamento de part´ıculas alfa (que j´ a se sabia serem elétrons), Rutherford e Figura 4.6: Representa¸cão esquemática do colaboradores verificaram que aparato de Rutherford. elas poderiam ser espalhadas a grandes ˆ angulos30 . 28 Segundo Thomson, os el´ etrons vibravam em torno de sua posi¸ca õ de equil´ıbrio com frequˆ encia caracter´ıstica igual a sua frequˆ encia de emiss˜ ao. Como todos os el´ etrons do sistema s˜ ao equivalentes, n˜ ao existe nenhuma raz˜ ao para que os el´ etrons tenham frequˆ encias de vibra¸c˜ ao diferentes, ou seja, apenas uma frequˆ encia poderia ser emitida. 29 The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom, Philos. Mag. 6, 21 (1911), dispon´ıvel em http://www.lawebdefisica.com/arts/ structureatom.pdf 30 Veja uma simula¸ c˜ ao do experimento de Rutherford em http://micro.magnet.fsu.

4.3 Modelo de Rutherford

Miotto e Ferraz

71

Este fato era incompat´ıvel com o modelo de Thomson, j´ a que a distribui¸c˜ ao cont´ınua de cargas de cada ´ atomo deveria provocar apenas pequenas deflex˜ oes nas part´ıculas inci- Figura 4.7: Representa¸cão esquemática do (a) dentes. Ocorre que Ruther- resultado esperado e (b) resultado obtido por ford verificou que mesmo Rutherford. atomos individuais poderiam ´ espalhar a part´ıcula alfa por ˆ angulos muito grandes (até 180◦ ). Segundo Rutherford: Foi praticamente o acontecimento mais inacredit´ avel de minha vida. Era t˜ ao inacredit´ avel como se você atirasse um obus de 15 polegadas sobre um peda¸co de papel de seda e ele voltasse e o atingisse.

4.3

Modelo de Rutherford

No modelo de Rutherford para a estrutura do átomo, todas as cargas positivas deste ´ atomo e, consequentemente, a sua massa, estão concentradas em uma pequena regi˜ ao central, chamada n´ ucleo. Se suas dimensões forem suficientemente pequenas, uma part´ıcula alfa que passe bem perto desse n´ ucleo poder´ a ser espalhada em um grande ˆ angulo devido a forte repulsão coulombiana. Para que o espalhamento ocorra a um ˆ angulo de θ ∼ 1 rad, ou seja, cerca de 57◦ , toda carga positiva do ´ atomo deve estar concentrada em uma região com raio da ordem de 10−14 m31 . Em suas considera¸cões Rutherford utilizou as seguintes hip´ oteses: 1. O espalhamento ocorreria apenas para ˆ angulos maiores do que alguns graus (o que elimina o espalhamento por elétrons); 2. O espalhamento ocorreria principalmente devido à intera¸cão coulombiana entre part´ıculas alfa e o ´ atomo; 3. Os ´ atomos considerados seriam pesados, isto é, suas massas seriam tão grandes em rela¸c˜ ao ` as massas do elétron que durante o espalhamento n˜ ao ocorreria o recuo do ´ atomo; 4. As part´ıculas alfa n˜ ao penetrariam nos n´ ucleos atômico e a intera¸cão entre ambas ocorreria como se fossem cargas pontuais. Por simplicidade, omitiremos os c´ alculos feitos por Rutherford baseados na trajet´ oria parab´ olica da figura 4.8. edu/electromag/java/rutherford. 31 Hoje sabemos que 10−14 m ´ e, de fato, a ordem de grandeza do raio de um n´ ucleo.

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Modelos Atˆ omicos

Em seu trabalho32 , Rutherford mostrou que o n´ umero de part´ıculas alfa que atravessam o alvo e s˜ ao espelhadas entre um determinado ˆ angulo θ e θ + dθ (que chamamos N (θ)dθ) equivale ao n´ umero de part´ıculas que Figura 4.8: Representa¸cão esquemática incidem no alvo com parˆ ametro de da trajet´ oria hiperbólica considerada impacto sobre o n´ ucleo entre b e por Rutherford. b é o parâmetro de imb + db. A express˜ ao determinada por pacto e θ o ˆ angulo de espalhamento. Rutherford tem a forma: 2 1 zZe2 Iρt2π sin θ (4.2) N (θ)dθ = 4 dθ, 4π0 2mv 2 sin θ2 onde t é a espessura do alvo; ρ é o n´ umero de n´ ucleos por cent´ımetro c´ ubico no alvo; I é o n´ umero de part´ıculas alfa incidentes; θ é o ângulo de espalhamento; Ze, a carga do n´ ucleo; e ze, M e v s˜ ao, respectivamente, a carga, a massa e a velocidade das part´ıculas alfa. A an´ alise da express˜ ao 4.2 indica claramente que o espalhamento em ângulos grandes é muito mais prov´ avel em um u ńico espalhamento por um átomo nuclear (como o sugerido por Rutherford) do que em um espalhamento m´ ultiplo em pequenos ˆ angulos (como sugerido no modelo de Thomson). De fato, Geiger e Marsden33 realizaram um grande n´ umero de experimentos para verificar as dependências sugeridas na formula¸c˜ ao original de Rutherford, obtendo os seguintes resultados: 1. Testou-se a dependência angular usando-se alvos de prata e ouro, e varia¸c˜ oes de θ entre 5 e 150◦ . Embora N (θ)dθ variasse por um fator 105 nessa regi˜ ao, os dados experimentais eram proporcionais à distribui¸cão angular te´ orica; 2. Verificou-se que N (θ)dθ era proporcional ` a espessura do alvo (t) pelo menos para varia¸c˜ oes de t da ordem de 10 vezes; 3. Utilizando diferentes fontes de part´ıculas alfa foi poss´ıvel verificar que N (θ)dθ era inversamente proporcional ` a energia cinética das part´ıculas; 4. N (θ)dθ foi utilizado para determinar com sucesso o n´ umero atômico (Z) de diversos ´ atomos e também para verificar que o n´ umero de elétrons era igual ao n´ umero atˆ omico. 5. Utilizando-se do fato de que a distˆ ancia de m´ axima aproxima¸cão é proporcional ao raio da esfera carregada positivamente, Geiger e Marsden 32 The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom, Philos. Mag. 6, 21 (1911) 33 On a Diffuse Reflection of the α-Particles, Proceedings of the Royal Society, Series A 82, 495 (1909), dispon´ıvel em http://www.chemteam.info/Chem-History/GM-1909.html.

4.3 Modelo de Rutherford

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estimaram o raio atˆ omico do n´ ucleo de ouro como sendo da ordem de 3 × 10−14 metros. O tamanho de um n´ ucleo atômico está, tipicamente, entre 1 × 10−14 e 10 × 10−14 metros. Esse conjunto de experimentos indicava claramente que a proposi¸c˜ ao de Rutherford era compat´ıvel com os resultados experimentais e foi fundamental na populariza¸c˜ ao do aparato experimental por ele desenvolvido. Em s´ıntese, o Modelo de Rutherford prevê um n´ ucleo massivo, carregado positivamente e gran- Figura 4.9: Representa¸cão esquemática des espa¸cos vazios, onde se encon- do modelo atômico proposto por trariam os elétrons carregados nega- Rutherford. tivamente, conforme esquema na figura 4.9.

4.3.1

A estabilidade do ´ atomo nuclear

A verifica¸c˜ ao experimental detalhada das previsões do modelo nuclear de Rutherford para o ´ atomo deixou pouco espa¸co para d´ uvidas em rela¸cão à validade desse modelo. No centro do ´ atomo encontra-se um n´ ucleo cuja massa é aproximadamente a massa de todo o ´ atomo, e cuja carga é igual ao n´ umero atˆ omico (Z) multiplicado pela carga fundamental (e); em torno desse n´ ucleo existem Z elétrons, neutralizando o ´ atomo como um todo. Todavia, surgem sérias quest˜ oes a respeito da estabilidade de um átomo desse tipo. Supondo, por exemplo, que os elétrons em um ´ atomo s˜ ao estacionários, não existe arranjo est´ avel que os impe¸ca de colapsar no n´ ucleo, sob a influência da atra¸cão coulombiana. N˜ ao podemos admitir que o ´ atomo sofre um colapso, pois isso implicaria em termos ´ atomos com um raio da mesma ordem de grandeza do raio nuclear, que é quatro ordens de grandeza menor do que o valor obtido em diversos experimentos. Uma segunda possibilidade seria pensar em um modelo orbital. Nesse caso, os elétrons simplesmente circulariam em torno do n´ ucleo, em órbitas semelhantes ` as dos planetas em torno do Sol. A For¸ca Eletrostática, Fe , exerceria o mesmo papel que a For¸ca Gravitacional exerce no caso planetário. O sistema assim idealizado pode ser mecanicamente estável, como ocorre com o sistema solar. Surge, no entanto, uma dificuldade séria quando tentamos transportar essa idéia do sistema planet´ ario para o sistema atômico: os elétrons, que s˜ ao eletricamente carregados, estariam constantemente acelerados em seu movimento em torno do n´ ucleo, e, de acordo com a Teoria Eletromagnética cl´ assica todos os corpos carregados irradiam energia na forma de radia¸cão eletromagnética.

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Modelos Atˆ omicos

A energia seria emitida ` as custas da energia mecˆ anica do elétron. Para que a energia do sistema seja conservada, a velocidade orbital, ~v , deve diminuir, tornando a o´rbita inst´ avel. Nesse caso, o elétron necessaria- Figura 4.10: Compara¸cão esquemática entre mente descreveria uma tra- um sistema mecanicamente estável, semelhante jet´ oria espiralada até atin- a um sistema planet´ ario, e a instabilidade elegir o n´ ucleo, conforme com- tromagnética, provocada pela emissão de rapara¸caõ esquem´ atica da fi- dia¸c˜ ao pelo elétron acelerado, decorrentes do gura 4.10. Novamente ter´ıa- Modelo de Rutherford. mos um ´ atomo que rapidamente sofreria um colapso: para um ´ atomo de 10−10 m de diâmetro, por exemplo, o intervalo de tempo que um elétron leva para colapsar no n´ ucleo é da ordem de 10−12 segundos. Isso significa que a matéria, tal como conhecemos, n˜ ao poderia existir. Além disso, o espectro cont´ınuo de radia¸cão emitido durante esse processo n˜ ao est´ a de acordo com o espectro discreto observado experimentalmente. O problema da estabilidade atˆ omica foi um dos motivos que levaram Niels Bohr a propor um novo modelo para a estrutura dos átomos.

4.4

O modelo de Bohr

O f´ısico dinamarquês Niels Bohr propˆ os, em 1913, um modelo do átomo de hidrogênio34 que, combinado com os trabalhos de Planck, Einstein e Rutherford, teve sucesso extraordin´ ario reproduzindo o espectro observado experimentalmente. Bohr, que havia trabalhado no laborat´ orio de Rutherford durante as experiências de Geiger e Marsden, formulou a hip´ otese de que o elétron no ´ atomo de hidrogênio movia-se em arios uma o´rbita ao redor do n´ ucleo posi- Figura 4.11: Os estados estacion´ tivo, sujeito ` a atra¸c˜ ao eletrost´ atica. previstos pelo modelo de Bohr e os proNesse sistema, a mecˆ anica cl´ assica cessos de emissão e absor¸cão de energia. prevê que ´ orbitas circulares ou el´ıpticas ser˜ ao est´ aveis. Bohr escolheu, por simplicidade, ´ orbitas circulares. Todavia, j´ a vimos que esse modelo leva ao colapso dos elétrons no n´ ucleo e produz um espectro cont´ınuo de radia¸cão, 34 On the Constitution of Atoms and Molecules, Part I, Philosophical Magazine 26, 1 (1913), dispon´ıvel em http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13/eng.pdf.

4.4 O modelo de Bohr

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Figura 4.12: A explica¸c˜ ao de Bohr para o processo de absor¸cão de luz nos experimentos com gases: o elétron passa de um estado estacionário para outro absorvendo um f´ oton de energia.

o que é incompat´ıvel com os resultados experimentais dispon´ıveis. Essa dificuldade foi resolvida por Bohr postulando que o elétron poderia mover-se em certas ´ orbitas sem irradiar. Essas ´ orbitas est´ aveis foram por ele denominadas estados estacion´ arios. Ele admitiu, ainda, que o átomo irradia quando realiza uma transi¸c˜ ao de um estado estacion´ ario para outro (ver figura 4.11) e que a frequência da radia¸c˜ ao emitida n˜ ao est´ a relacionada com o movimento em nenhuma das ´ orbitas est´ aveis, mas sim com a energia das órbitas: hν = Ei − Ef , onde h é a constante de Planck e Ei e Ef s˜ ao as energias totais para as órbitas inicial e final. Essa hip´ otese, que é equivalente à de conserva¸cão de energia com a emiss˜ ao de um f´ oton, tem papel fundamental na nova teoria, pois se afasta da teoria cl´ assica que requer que a frequência da radia¸cão seja igual a do movimento da part´ıcula carregada. De forma an´ aloga, o processo de absor¸c˜ ao de luz ocorreria quando um fóton excita um elétron, que passa de um estado com energia mais baixa para um estado de energia mais alta (ver figura 4.12). Observe que durante os processos de absor¸c˜ ao e emiss˜ ao a energia dos f´ otons envolvida não é arbitrária, mas sim um n´ umero inteiro de unidades de hν. Isso significa que a energia dos elétrons em um ´ atomo é quantizada . Para determinar o raio das ´ orbitas permitidas (não irradiantes) Bohr introduziu uma hip´ otese adicional que é conhecida como Princ´ıpio da Correspondência: No limite de ´ orbitas grandes e de grandes energias, c´ alculos quˆ anticos devem concordar com c´ alculos cl´ assicos. O Princ´ıpio da Correspondência afirma que quaisquer que sejam as modifica¸c˜ oes da F´ısica Cl´ assica feitas para descrever a matéria a n´ıvel microscópico, quando os resultados obtidos s˜ ao estendidos ao mundo macroscópico, eles devem concordar com os previstos pelas Leis da F´ısica Clássica, já que essas

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foram exaustivamente verificadas no dia a dia. Muito embora o modelo detalhado de Bohr para o ´ atomo de hidrogênio tenha sido superado pela Teoria Quˆ antica, suas hip´ oteses sobre a emiss˜ ao e absor¸c˜ ao da radia¸cão e o Princ´ıpio da Correspondência permanecem como caracter´ısticas essenciais da Nova Teoria. Bohr, no seu primeiro artigo, em 1913, mostrou que seus postulados acarretavam em um momento angular do elétron, no ´ atomo de hidrogênio, que somente poderia assumir valores que s˜ ao m´ ultiplos inteiros da constante de Planck dividido por 2π, isto é, o momento angular é quantizado, podendo somente assumir os valores nh e um n´ umero inteiro. 2π = n~, onde n ´ A express˜ ao obtida por Bohr relacionando a frequência de emissão (ou absor¸c˜ ao) de um f´ oton quando um elétron muda de um estado estacionário para outro com o raio do estado estacion´ ario ocupado pelo elétron 1 1 1 Ei − Ef = − kZe2 − ν= , (4.3) h 2 ri rf foi de fundamental importˆ ancia para a grande aceita¸cão do modelo de Bohr, já que a partir dela é poss´ıvel obter um conjunto de grandezas medidas experimentalmente, como veremos a seguir. Usando a quantiza¸c˜ ao do raio da ´ orbita (vide Detalhes Matemáticos: A quantiza¸c˜ ao do momento angular) e a express˜ ao para a frequência, obtemos facilmente uma express˜ ao para similar ` aquela obtida por Rydberg-Ritz: ! ! 1 1 hν Z 2 mk 2 e4 1 1 1 2 = (4.4) − 2 → =Z R − 2 , hc 4πc~3 n2f ni λ n2f ni 2 4

e onde R = mk 4πc~3 deve concordar com a constante de Rydberg. Bohr calculou R usando os valores de m, e, c e ~ conhecidos em 1913, e o resultado concordou razoavelmente bem com o valor da constante de Rydberg obtido pela espectroscopia. Além disso, Bohr enfatizou em seu trabalho original que essa equa¸c˜ ao poderia ser de valia para a determina¸cão de melhores valores para as constantes m, e e ~ devido ` a extrema precisão poss´ıvel na medida de R, o que de fato aconteceu. Os valores poss´ıveis para a energia do a´tomo de hidrogênio, conforme previsto pelo modelo de Bohr são dados por:

En = − 2 4

2

E0 mk 2 e4 Z 2 = −Z 2 2 2 2~ n n

(4.5)

onde E0 = mk2~e2 Z = 13,6 eV. Os n´ıveis de energia s˜ ao convenientemente indicados pelo diagrama de n´ıveis de energia exemplificado na figura 4.13. As setas verticais indicam as transi¸c˜ oes entre os n´ıveis de energia. A frequência pode ser obtida através da Equa¸c˜ ao de Bohr 4.3 e a energia de ioniza¸c˜ ao (ou de liga¸cão) é a energia requerida para remover o elétron do ´ atomo. No caso do hidrogênio essa energia é de 13,6 eV.


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Figura 4.13: Diagrama de n´ıveis de energia para o átomo de hidrogênio conforme a previs˜ ao de Bohr. As setas verticais indicam as transi¸cões entre os n´ıveis de energia. As séries espectrais de Balmer e Paschen já eram conhecidas ent˜ ao. As séries de Lyman (1916), Brackett (1922) e Pfund (1924) corroboraram as previs˜ oes de Bohr.

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Modelos Atˆ omicos

A excelente concordˆ ancia entre as previs˜ oes te´ oricas de Bohr e os espectros obtidos anos depois por Brackett foram grandes triunfos para o modelo de Bohr. Suas previs˜ oes também se mostraram adequadas para átomos hidrogen´ oides (He+ , por exemplo), mas n˜ ao eram apropriadas para outros elementos neutros que n˜ ao o hidrogênio.

Detalhes Matem´ aticos: O modelo de Bohr Ao inv´ es de seguir a dedu¸ca õ de Bohr baseada no Princ´ıpio da Correspondˆ encia, usaremos a conclus˜ ao fundamental da quantiza¸ca õ do momento angulara para encontrar sua express˜ ao para os espectros observados. Se a carga nuclear ´ e Ze, onde e ´ e a carga 2 1 do el´ etron, a energia potencial a uma distˆ ancia r vale V = − kZe , onde k = ´ ea r 4π0 constante de Coulomb. A energia total do el´ etron que se move em uma ´ orbita circular 2 . A energia com velocidade v pode ser escrita como E = 12 mv 2 + V = 21 mv 2 − kZe r cin´ etica pode ser obtida como uma fun¸ca õ da posi¸c˜ ao usando a Segunda Lei de Newton. Igualando a for¸ca atrativa de Coulomb com a massa vezes a acelera¸c˜ ao centr´ıpeta 2 2 2 temos: kZe = mv ou alternativamente 12 kZe = 12 mv 2 . b Dessa forma, podemos r r2 r2 escrever a energia do sistema como E=−

1 kZe2 2 r

Considerando o primeiro postulado de Bohr, teremos Ei − Ef 1 1 1 ν= , = − kZe2 − h 2 ri rf

(4.6)

(4.7)

onde ri e rf correspondem aos raios inicial e final dos estados estacion´ arios ocupados pelo el´ etron antes e ap´ os a sua transi¸c˜ ao. a A quantiza¸ c˜ ao do momento angular ´ e muitas vezes apresentada como um dos postulados de Bohr. Todavia, esse resultado foi obtido por Bohr a partir do postulado de conserva¸ca õ de energia e do Princ´ıpio da Correspondˆ encia. b Note que esse resultado equivale a dizer que para ´ orbitas circulares, a energia cin´ etica ´ e igual ` a metade do m´ odulo da energia potencial. De fato esse ´ e um resultado que vale para o movimento circular sujeito a qualquer campo de for¸ca que varia com o inverso do quadrado da distˆ ancia.

Detalhes Matem´ aticos: A quantiza¸ c˜ ao do momento angular A seguir apresentamos um dedu¸c˜ ao simplificada da quantiza¸c˜ ao do raio da ´ orbita do ´ atomo de hidrogˆ enio. O momento angular de uma part´ıcula que se move em uma trajet´ oria circular ´ e mvr. Igualando-o a um n´ umero inteiro (n) multiplicado pela raz˜ ao h = ~, obtemos mvr = n~ e o n´ umero inteiro ´ e chamado de n´ umero quˆ antico, ou 2π seja, de acordo com Bohr o momento angular ´ e uma grandeza quantizada. Usando o 2 fato de que 21 kZe = 12 mv 2 e mvr = n~, podemos obter uma condi¸c˜ ao quˆ antica para r2 r eliminando a velocidade: v2 = 2

n2 ~2 kZe2 n2 ~2 n2 a0 = →r= = , 2 2 2 m r mr mkZe Z

(4.8)

~ ˚ e conhecido como Primeiro Raio de Bohr e coincide com onde a0 = mke 2 = 0,529177 A ´ a primeira ´ orbita n˜ ao irradiante do ´ atomo de hidrogˆ enio.


4.4.1

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Aplica¸c˜ ao do Princ´ıpio da Correspondˆ encia

De acordo com o Princ´ıpio da Correspondência, quando os n´ıveis de energia est˜ ao muito pr´ oximos, a quantiza¸c˜ ao deveria ser impercept´ıvel e os cálculos quˆ anticos e cl´ assicos deveriam fornecer o mesmo resultado. Uma inspe¸cão do diagrama de n´ıveis de energia mostra que os estados de energia estão muito mais pr´ oximos quando n é grande, o que nos leva a possibilidade de enunciar o Princ´ıpio da Correspondência de uma forma ligeiramente diferente: na regi˜ ao de n´ umeros quˆ anticos muito grandes, os c´ alculos cl´ assicos e quˆ anticos devem levar aos mesmos resultados. Para ilustrar esse conceito, vamos comparar os resultados clássicos para o atomo de hidrogênio com ` ´ aqueles obtidos pelo modelo de Bohr. Suponha uma transi¸c˜ ao entre um n´ıvel ni = n (onde n → ∞) e um n´ıvel nf = n − 1: c Z 2 mk 2 e4 1 1 2n − 1 Z 2 mk 2 e4 − = . ν= = λ 4π~3 (n − 1)2 n2 4π~3 n2 (n − 1)2 Como n tende a infinito, ent˜ ao podemos fazer as seguintes aproxima¸cões: 2n − 1 ∼ n e (n − 1)2 ∼ n2 . Logo, Z 2 mk 2 e4 2 . (4.9) ν= 4π~3 n3 Classicamente, a frequência de revolu¸c˜ ao do elétron pode ser determinada v , onde v é a velocidade. Por outro lado, utilizando a quancomo νrev = 2πr n2 ~ 2 n~ ou alternativamente r = mkZe tiza¸c˜ ao do momento angular v = mr 2 . Logo, νrev

n~ mr

n~ n~ Z 2 mk 2 e4 = = = = 2 2 n ~ 2πr 2πmr2 4π~3 2πm mkZe 2

2 n3

,

(4.10)

que é exatamente o mesmo resultado obtido a partir da expressão de Bohr (equa¸c˜ ao 4.9).

4.4.2

Extens˜ oes do Modelo

Uma extens˜ ao natural do modelo de Bohr é o tratamento de órbitas el´ıpticas. De acordo com a Mecˆ anica Cl´ assica, para um campo de for¸ca do tipo inverso do quadrado da distˆ ancia, a energia de uma part´ıcula efetuando um movimento orbital depende somente do eixo maior da elipse e não de sua excentricidade. Consequentemente, se a Mecˆ anica Newtoniana não for modificada e a for¸ca considerada variar com o inverso do quadrado da distância, não se esperam varia¸c˜ oes na energia do sistema com varia¸c˜ oes na excentricidade da órbita. A. Sommerfeld35 considerou o efeito da relatividade especial36 no modelo de Bohr. 2 Como as corre¸c˜ oes relativ´ısticas deveriam ser da ordem de vc2 , esperava-se que 35 Atombau 36 Ver

und Spektrallinien, Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig (1919). Cap´ıtulo de Relatividade para maiores detalhes.

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o´rbitas com maior excentricidade teriam corre¸c˜ oes maiores, pois a velocidade do elétron aumenta quando ele se aproxima do n´ ucleo37 . Vamos estimar a ordem de grandeza das corre¸c˜ oes relativ´ısticas evitando a complexidade dos c´ alculos de Sommerfeld. Para n = 1 a conserva¸c˜ ao do momento angular impõe ~2 mvr = ~. Considerando a primeira ´ orbita do ´ atomo de hidrogênio ao = mke 2 obtemos: v=

~ v ke2 1 ~ ke2 → = = . = = 2 ~ ma0 ~ c c~ 137 m mke2

(4.11)

2

Ora, muito embora a raz˜ ao vc2 seja muito pequena, um efeito de tal intensidade seria observ´ avel. De fato, em experimentos de alta resolu¸cão é poss´ıvel verificar que algumas linhas espectrais do hidrogênio são compostas por várias linhas muito pr´ oximas. Na teoria de Sommerfeld, esse resultado é explicado da seguinte maneira: a cada ´ orbita circular de raio rn e energia En correspondem m poss´ıveis ´ orbitas el´ıpticas de mesmo eixo maior, mas com diferentes excentricidades, o que resultaria em energias ligeiramente diferentes. A energia irradiada quando o elétron muda de ´ orbita, depende das órbitas inicial e final, bem como de seus eixos maiores. A separa¸c˜ ao dos n´ıveis de energia é chamada 2 1 separa¸caõ de estrutura fina, e a constante α = ke c~ = 137 de constante de 38 estrutura fina . Muito embora a explica¸c˜ ao de Sommerfeld não forne¸ca uma imagem correta, ela é extraordin´ aria, pois o resultado de seu cálculo concorda perfeitamente n˜ ao s´ o com a experiência, mas também com cálculos detalhados baseados na Equa¸c˜ ao Relativ´ıstica de Dirac (n˜ ao tratada neste curso), que inclui efeitos devido ao spin.

4.5

Confirma¸ co ˜es experimentais

A extens˜ ao da teoria de Bohr para ´ atomos mais complexos do que o hidrogênio apresentava dificuldades. A partir do modelo por ele proposto não foi poss´ıvel efetuar c´ alculos quantitativos dos n´ıveis de energia dos átomos de mais de um elétron. Contudo, experiências realizadas, em 1913, por H. Moseley e, em 1914, por J. Franck e G. Hertz concordavam com a imagem geral de Bohr-Rutherford do ´ atomo: um caro¸co positivo rodeado por elétrons que se movem em estados de energia quantizados, relativamente afastados do caro¸co. 37 Sup˜ oe-se

que as ´ orbitas dos el´ etrons obedecem a `s Leis de Kepler. sabemos que a constante de estrutura fina est´ a relacionada ao spin do el´ etron (uma propriedade que n˜ ao pode ser explicada classicamente e que estudaremos mais adiante) e n˜ ao ` as diferentes excentricidades das ´ orbitas. Assim, embora Sommerfeld tenha o m´ erito de ter determinado corretamente o valor da constante de estrutura fina, sua explica¸ca õ 1 era totalmente equivocada. Cabe ainda destacar que o valor obtido ( 137 ) despertou uma grande curiosidade na comunidade, j´ a que n˜ ao se esperava que a raz˜ ao entre tais constantes universais poderiam resultar em uma fra¸c˜ ao exata. 38 Hoje

4.5 Confirma¸ c˜ oes experimentais

4.5.1

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81

O Experimento de Moseley dos espectros de RaiosX

Moseley39 mediu os comprimentos de onda de linhas espectrais de RaiosX caracter´ısticos de cerca de 40 elementos alvo diferentes utilizando métodos de espectroscopia cristalina. Moseley notou que as linhas espectrais de Raios X variavam de maneira regular de elemento para elemento, como indicado na figura 4.14, muito embora os espectros ´ opticos variassem irregularmente. Ele suspeitou que essa varia¸c˜ ao regular ocorreria porque os espectros caracter´ısticos de Raios X corresponderiam ` as transi¸cões envolvendo os elétrons mais internos dos ´ atomos. Enquanto os elétrons mais externos são responsáveis pelas intera¸c˜ oes com outros ´ atomos, o que resulta em espectros ópticos complexos, os elétrons mais internos s˜ ao blindados do meio externo, sendo fortemente influenciados pelo n´ ucleo atˆ omico. Antes do trabalho de Moseley, o n´ umero atˆ omico era simplesmente o n´ umero de localiza¸c˜ ao do elemento na Tabela Peri´ odica de Mendeleev dos elementos, arranjados de acordo com o seu peso atˆ omico40 . Entretando, várias discrepˆ ancias foram encontradas na tabela peri´ odica com o arranjo de acordo com o peso atˆ omico. O décimo oitavo elemento, por exemplo, de acordo com o peso atˆ omico é o pot´ assio (39,1 uma) e o décimo nono, o argônio (39,9 uma). O arranjo conforme o peso atˆ omico coloca, por exemplo, o potássio na coluna dos gases inertes e o argˆ onio com os metais ativos, justamente o oposto das respectivas propriedades qu´ımicas conhecidas. Moseley mostrou que para que esses elementos estivessem corretamente representados nas linhas espectrais, o argˆ onio deveria ter n´ umero atˆ omico 18 e o potássio 19. O arranjo de elementos conforme o n´ umero atˆ omico obtido pelo gráfico de Moseley, ao invés do arranjo conforme o peso atˆ omico, fornece uma classifica¸cão periódica em completo acordo com as propriedades qu´ımicas conhecidas.

4.5.2

O experimento de Franck-Hertz

Em 1914, J. Franck e G. Hertz41 realizaram uma experiência de grande importˆ ancia que confirmou as hip´ oteses de Bohr da quantiza¸cão da energia nos atomos. Nesse experimento, esquematizado na figura 4.15, elétrons são ejeta´ dos de um catodo aquecido e acelerados em dire¸cão a uma grade que está a um potencial Vo com rela¸c˜ ao ao catodo. Alguns elétrons atravessam a grade e 39 A publica¸ ca õ original de Moseley (H. G. J. Moseley, M. A. Phil. Mag. (1913), p. 1024) est´ a integralmente dispon´ıvel em http://www.chemistry.co.nz/henry_ moseley_article.htm (acesso em 02/05/2011) 40 Numericamente, o n´ umero atˆ omico era tido como sendo aproximadamente a metade do peso atˆ omico. As experiˆ encias de Geiger e Marsden mostraram que a carga nuclear era aproximadamente A , enquanto experiˆ encias de espalhamento de raios X realizadas por 2 Barkla mostraram que o n´ umero de el´ etrons em um ´ atomo era aproximadamente A . Essas 2 duas experiˆ encias s˜ ao consistentes, pois o ´ atomo deve ser eletricamente neutro. 41 Uber ¨ Zusammenst¨ osse zwischen Elektronen und Molek¨ ulen des Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung desselben, Verh. Dtsch. Phys. Ges. 16, 457 (1914).

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Modelos Atˆ omicos

Figura 4.14: Reprodu¸c˜ ao do espectro original apresentado por Moseley do n´ umero atˆ omico em fun¸c˜ ao da raiz quadrada da frequência. Quando um átomo é bombardeado por f´ otons de alta energia (raios-X), um elétron mais interno pode ser arrancado, deixando uma vacˆ ancia na camada mais interna (estado de mais baixa energia). Um elétron das camadas mais externas emite um fóton e passa a ocupar a ´ orbita outrora vacante. Adaptado da publica¸cão original.

4.5 Confirma¸ c˜ oes experimentais

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Figura 4.15: (Esquerda) Diagrama esquem´ atico da experiência de Frank-Hertz. Elétrons ejetados de um catodo aquecido, a um potencial zero, são atra´ıdos por uma grade positiva e alcan¸cam a placa se suas energias são suficientes para vencer o potencial retardador ∆V . (Direita) Resultados da dependência da corrente coletada pelo potencial retardador obtidos por Franck-Hertz para o g´ as de merc´ urio.

alcan¸cam a placa, que est´ a a um potencial ligeiramente inferior Vp = Vo − ∆V . O tubo é preenchido com vapor de merc´ urio. O aparato experimental permite a medida da corrente na placa em fun¸caõ do potencial Vo . Conforme Vo aumenta a corrente cresce até um valor cr´ıtico (cerca de 4,9 V no caso do merc´ urio), quando repentinamente decresce. Como Vo continua a ser aumentado, a corrente cresce novamente. A explica¸caõ dada por Franck-Hertz para esse resultado pode ser expressa da seguinte forma: o primeiro estado excitado do merc´ urio est´ a cerca de 4,9 eV acima do estado fundamental. Um elétron com energia abaixo desse valor n˜ ao pode perder energia para os átomos de merc´ urio, mas elétrons com energia maior do que 4,9 eV podem sofrer colisões inel´ asticas e perder essa quantidade precisa de energia. Se isso ocorre próximo a grade, esses elétrons n˜ ao podem ganhar energia suficiente para vencer a diferen¸ca de potencial e alcan¸car a placa. Nesse caso, a corrente decresce. Os atomos de Hg que s˜ ´ ao excitados para o n´ıvel 4,9 eV acima do estado fundamental deveriam retornar ao estado fundamental, emitindo luz de comprimento de hc = 2530 ˚ A. Essa linha foi então observada ao se examinar o onda λ = νc = eV o tubo com um espectrˆ ometro. Para potenciais acima desse valor são observados decréscimos r´ apidos adicionais da corrente, que correspondem à excita¸cão de outros n´ıveis ou a` excita¸c˜ oes m´ ultiplas do primeiro estado excitado42 . O experimento de Franck-Hertz foi uma confirma¸cão importante da ideia de que espectros ´ opticos discretos existiam devido à n´ıveis discretos de energia nos ´ atomos que podiam ser excitados por métodos não ópticos. 42 Veja uma simula¸ c˜ ao do experimento em http://phys.educ.ksu.edu/vqm/free/ FranckHertz.html

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Miotto e Ferraz

4.6

Modelos Atˆ omicos

A regra de quantiza¸ c˜ ao de Wilson-Sommerfeld

Foi surpreendente que Bohr tivesse explicado o espectro de hidrogênio, que tem como uma de suas condi¸c˜ oes a conserva¸c˜ ao do momento angular, enquanto Planck e Einstein tivessem usado a quantiza¸cão da energia para obter a distribui¸c˜ ao da radia¸c˜ ao espectral do corpo negro e os calores espec´ıficos dos s´ olidos. Alguma liga¸c˜ ao entre tais condi¸c˜ oes quˆ anticas certamente deveria existir, mas essa conex˜ ao permaneceu desconhecida durante algum tempo. Foi somente em 1915-1916 que W. Wilson e A. Sommerfeld anunciaram43 uma regra geral de quantiza¸c˜ ao para sistemas peri´ odicos. Essa regra pode ser expressa como I P dq = nh, onde P é um momento generalizado da coordenada generalizada q e a integral deve ser considerada sobre um ciclo completo do sistema. Para exemplificar a aplica¸caõ dessa regra, consideremos alguns exemplos: 1. Considere uma part´ıcula que realiza um movimento circular uniforme e est´ a sujeita a uma for¸ca central. Seja L seu momento angular e θ a coordenada generalizada. Lembrando que, nesse caso, o momento angular é conservado, a regra de quantiza¸c˜ ao de Wilson-Sommerfeld será escrita como I Z 2π nh Ldq = nh → L dθ = 2πL = nh → L = = n~, 2π 0 que é a condi¸c˜ ao de quantiza¸c˜ ao do momento angular proposta por Bohr. 2. Considere um sistema massa-mola realizando movimento harmônico com amplitude A, massa m, e frequência angular w. De acordo com a Segunda 2 Lei de Newton −kx = m ddt2x cuja solu¸c˜ ao t´ıpica tem a forma: x(t) = Asenwt. Assim, dx = wA cos wtdt e p = mwA cos wt. Por outro lado, a energia mecˆ anica do sistema pode ser escrita como: EM EC = 21 kA2 = 1 2 2 2 mw A . Logo, a Regra de Quantiza¸c˜ ao de Wilson-Sommerfeld terá a forma: I I I 2 2 2 pdx = dt mw A cos wt = nh ; 2E dt cos2 wt = nh Fazendo a mudan¸ca de vari´ aveis θ = wt, a integra¸cão sobre um ciclo completo corresponde ` a integra¸c˜ ao entre 0 e 2π, portanto, Z 2π 2E nhw 2E dθ cos2 θ = π = nh → E = = nhν = n~w, (4.12) w 0 w 2π 43 W. Wilson, Philosophical Magazine 29, 795 (1915); A. Sommerfeld, Annalen der Physik 51, 1 (1916).

3.7 Cr´ıtica a teoria ...

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ou seja, exatamente a condi¸c˜ ao de quantiza¸cão de Planck.

4.7

Cr´ıtica ` a teoria de Bohr e ` a Velha Teoria Quˆ antica

As hip´ oteses quˆ anticas estudadas até o momento e resumidas pela regra de quantiza¸c˜ ao de Wilson-Sommerfeld (conhecidas como Velha Teoria Quˆ antica) explicam razoavelmente bem os resultados experimentais observados. Todavia, deve-se ressaltar que a aplica¸c˜ ao dessa teoria quântica no in´ıcio do século XX era mais uma arte do que uma Ciência, j´ a que ninguém sabia exatamente quais eram as regras. As falhas da teoria de Bohr e da velha teoria quântica foram principalmente falhas de omiss˜ ao, pois n˜ ao se sabia aplicá-las na previsão de sistemas mais complexos. Finalmente, havia o problema filosófico da falta de alicerces para suas hip´ oteses. N˜ ao havia, a priori, razões para se esperar que para explicar o Modelo de Bohr era necessário invocar a Lei de Coulomb, ao mesmo tempo em que era necess´ ario afirmar que as Leis da Radia¸cão não eram v´ alidas. Da mesma forma, recorria-se ` as Leis de Newton mesmo quando se desejava provar que somente determinados valores de momento angular eram permitidos. Apesar da Regra de Quantiza¸cão de Wilson-Sommerfeld funcionar bem para sistemas peri´ odicos, n˜ ao se sabia o porquê, e não havia uma teoria para sistemas n˜ ao peri´ odicos. Tais dificuldades foram superadas gra¸cas aos esfor¸cos de Louis de Broglie, Schr¨ odinger, Heisenberg, Pauli, Dirac e outros. Como veremos a seguir, apesar da formula¸cão que sucedeu a Velha Teoria Quˆ antica ser bastante abstrata, ela pode explicar os fenômenos que observamos sem a necessidade de postulados ou inferências advindas de outras teorias.

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Modelos Atˆ omicos

Cap´ıtulo 5

Propriedades ondulat´ orias de part´ıculas Mauricie de Broglie foi um f´ısico experimental francês que, desde o princ´ıpio, apoiou o ponto de vista de Compton em rela¸c˜ ao à natureza corpuscular da radia¸c˜ ao. Suas experiências e discuss˜ oes em rela¸cão aos problemas filosóficos da F´ısica, notadamente aquelas associadas ` a F´ısica Quântica, impressionaram tanto seu irm˜ ao Louis que ele resolveu trocar de carreira, deixando a História e passando a estudar a F´ısica. Em sua tese de doutoramento Louis de Broglie1 , que posteriormente ficou conhecido apenas por de Broglie, sugeriu que assim como a luz possui propriedades de onda e de part´ıcula, talvez a matéria, em particular elétrons, pudesse também apresentar essa caracter´ıstica. Essa sugest˜ ao era altamente especulativa; n˜ ao existia até então evidências dos aspectos ondulat´ orios para elétrons, o que fez com que o trabalho de de Broglie n˜ ao recebesse a devida aten¸c˜ ao. Supondo a existência de uma onda associada a um elétron de momento p e energia E, de Broglie escolheu para a frequência e o comprimento de onda das ondas associadas a tais elétrons as rela¸c˜ oes ν=

E h

(5.1)

λ=

h p

(5.2)

e

onde h é a constante de Planck. Essas rela¸c˜ oes foram propostas por analogia com equa¸c˜ oes idênticas ` aquelas v´ alidas para f´ otons. Ele salientou que, com essa hip´ otese, a condi¸c˜ ao de Bohr de quantiza¸c˜ ao do momento angular equivale à condi¸c˜ ao de onda estacion´ aria. 1 Recherches

sur la th´ eorie des quanta, Thesis (Paris), 1924.

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Propriedades ondulat´ orias de part´ıculas

Detalhes Matem´ aticos: Rela¸ c˜ ao entre a quantiza¸ c˜ ao do momento angular e a condi¸ c˜ ao de onda estacion´ aria Seja S = 2πr a circunferência da ´rbita circular de Bohr de raio o r representada na figura 5.1. A quantiza¸c˜ ao do momento angular pode ser expressa como mvr = n~. Lembrando que o momento linear pode ser expresso como p = mv e utilizando as rela¸c˜ oes de de Broglie (Eq. 5.2), ent˜ ao nh nh nh mvr = → 2πr = = , 2π mv p ou seja, nλ = 2πr = S

Figura 5.1: Representa¸cão esquem´ atica de uma poss´ıvel onda estacion´ aria (linha cheia) sobreposta a ´ ` orbita de Bohr de um átomo de hidrogênio (linha tracejada).

Segundo a argumenta¸c˜ ao de de Broglie, a regra de quantiza¸cão de WilsonSommerfeld poderia ser interpretada como um requisito para ondas estacionárias. Considere, por exemplo, a condi¸c˜ ao quˆ antica de Wilson-Sommerfeld para uma part´ıcula em uma caixa unidimensional de dimensão L é dada por p = nh 2L . h h nh λ Usando p = λ , a express˜ ao pode ser reescrita como λ = 2L ou n 2 = L, que é a condi¸c˜ ao de onda estacion´ aria em uma corda fixa em ambas as extremidades! Pouco tempo depois, E. Schr¨ odinger2 expandiu as ideias de de Broglie, englobando-as em uma teoria completa, como veremos adiante. Em 1927, Davisson e Germer3 verificaram as hip´ oteses de de Broglie diretamente, observando padr˜ oes de interferência com feixes de elétrons. Podemos entender porque as propriedades ondulat´ orias da matéria n˜ ao eram facilmente observadas se nos lembrarmos que as propriedades ondulatórias da luz não foram notadas até que puderam ser obtidas aberturas ou fendas com as mesmas dimens˜ oes do comprimento de onda da luz. Os efeitos de difra¸cão e interferência n˜ ao s˜ ao observados quando o comprimento de onda da luz é muito menor do que qualquer abertura. Nesse caso, vale a ´ optica geométrica. Como a constante de Planck é muito pequena, as rela¸c˜ oes de de Broglie implicam em comprimentos de onda muito pequenos para qualquer objeto macroscópico, mesmo que extremamente pequeno. Para elétrons de baixa energia, a situa¸c˜ ao é diferente. Considere um elétron que foi acelerado por um potencial Vo . Para elétrons não relativ´ısticos, ou p2 . seja, quando eVo << mc2 , a energia pode ser escrita como E = eVo = 2m Utilizando a rela¸c˜ ao de de Broglie (equa¸c˜ ao 5.2) determinamos o comprimento 2 V. V. Raman and Paul Forman, Why Was It Schr¨ odinger Who Developed de Broglie’s Ideas?, Historical Studies in the Physical Sciences 1, 291 (1969). 3 Reflection of electrons by a crystal of nickel, Nature 119, 558 (1927).

5.1 Evidˆ encias Experimentais

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de onda, em Angstrons, como sendo λ=

h hc 12,26 hc hc =√ = √ . = = √ 2 p pc Vo 2mc eVo c 2mE

(5.3)

Assim, para um elétron acelerado por uma tensão de 10 V, o comprimento da onda associada é de 3,9 ˚ A. Apesar do valor obtido para o comprimento de onda ser pequeno, sua ordem de grandeza é a mesma do valor obtido para o espa¸camento entre os planos de um cristal, ou seja, é poss´ıvel verificar o comportamento ondulat´ orio em elétrons!

5.1

Evidˆ encias Experimentais

Foi Elsasser4 quem mostrou, em 1925, que a natureza ondulat´ oria da matéria poderia ser testada da mesma forma que a natureza dos Raios X, ou seja, fazendo-se com que um feixe de elétrons de energia apropriada incida sobre um s´ olido cristalino. Os ´ atomos do cristal agem como um arranjo tridimensiFigura 5.2: Representa¸cão esquemática onal de centros de difra¸c˜ ao para a da condi¸cão de interferência construonda eletrˆ onica, espalhando fortetiva de Bragg. mente os elétrons em certas dire¸c˜ oes caracter´ısticas de acordo com a Lei de Bragg, exatamente como na difra¸cão de Raios X (ver Leitura Complementar: Novamente os Raios X). Essa ideia foi confirmada, em 1927, por experimentos feitos independentemente por Davisson e Germer5 , nos Estados Unidos da América do Norte; e por G. P. Thomson6 , na Esc´ ocia. Davisson e Germer efetuaram as medidas de comprimento de onda dos elétrons quando estavam estudando a reflex˜ ao por um alvo de n´ıquel, conforme esquema na figura 5.3. A figura menor mostra os dados obtidos para um feixe de elétrons de 54 eV, indicando um m´ aximo pronunciado de espalhamento a um ˆ angulo de 50 graus. Considere o espalhamento por um conjunto de planos de Bragg7 , conforme esquematizado na figura 5.3(direita): a condi¸cão de Bragg para que ocorra interferência construtiva é 2dsenθ = nλ. O espa¸camento dos planos de Bragg pode ser determinado experimentalmente a partir da distância interatˆ omica. No caso do n´ıquel, sabe-se que a distância interatômica é da 4 Bemerkungen

zur Quantenmechanik Freier Elektronen, Naturwiss. 13, 711 (1925). of electrons by a crystal of nickel, Nature 119, 558 (1927). 6 Experiments on the Diffraction of Cathode Rays Proceedings of the Royal Society of London. Series A 117, 600 (1928). 7 Um plano de Bragg ´ e um plano de ´ atomos em um cristal que reflete radia¸ca õ de maneira exatamente igual ao que ocorre com a reflex˜ ao da luz em um espelho plano. 5 Reflection

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ordem de 2,15 ˚ A, o que, para n = 1, equivale a um comprimento de onda λ = 1,65 ˚ A. O valor determinado experimentalmente (λ = 1,65 ˚ A) est´ a em bom acordo com o valor determinado através da rela¸caõ de de Broglie: λ = 1,67 ˚ A. Os comprimentos de onda medidos por difra¸c˜ ao s˜ ao ligeiramente inferiores ` as previs˜ oes te´ oricas, pois foi desprezada a refra¸c˜ ao das ondas associadas a elétrons na superf´ıcie do cristal. Vimos, no estudo do Efeito Fotoelétrico, que é necess´ ario Figura 5.3: Vis˜ ao esquemática do aparato exgastar uma quantidade de perimental desenvolvido por Davisson e Gerenergia (da ordem de al- mer: elétrons produzidos por um filamento são guns eV) para remover um espalhados por um cristal de n´ıquel em um elétron de um metal. Da ˆ angulo φ e detectados em uma câmera de iomesma forma, ao introduzir- niza¸c˜ ao (esquerda). Exemplo de um gráfico pomos elétrons em um metal lar caracter´ıstico da intensidade espalhada vereles sofrem um acréscimo em sus ˆ angulo de espalhamento observado para um sua energia total. Mesmo se alvo de n´ıquel (direita). supormos que apenas parte dessa energia extra seja na forma de energia cinética, esse aumento da energia implica na diminui¸c˜ ao, ainda que pequena, do comprimento de onda de de Broglie dentro do cristal, o que explica a diferen¸ca entre o valor previsto pela rela¸caõ de de Broglie e o resultado experimental. Uma confirma¸c˜ ao independente da rela¸caõ de de Broglie foi feita por G. P. Thomson, filho de J. J. Thomson, na Esc´ ocia, observando que o padr˜ ao de difra¸c˜ ao produzido por Raios X e por um feixe de elétrons incidentes sobre um alvo de SnO2 s˜ ao muito semelhantes. Thomson obser- Figura 5.4: Padrão de difra¸cão circular vou que essa semelhan¸ca era veri- obtido por Raios X (esquerda) e por ficada para diversos materiais dife- um feixe de elétrons (direita). Fonte: rentes. Como exemplo, considere os NIST. padr˜ oes da figura 5.4. Nele, o padr˜ ao circular ` a esquerda foi obtido para um alvo de alum´ınio utilizando Raios X, enquanto o padr˜ ao ` a direita foi obtido para um alvo de ouro utilizando um feixe de elétrons.

5.1 Evidˆ encias Experimentais

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91

Leitura complementar: Novamente os Raios X Inspirado pelas palestras de grandes cientistas como Voigt, Planck e Lummer, von Laue desenvolveu o que ele pr´ oprio chamavaa de uma intui¸ca õ acerca dos processos associados ` a ondas. Essa intui¸c˜ ao foi fundamental para que, confrontado com grande desafio a ele oferecido por Sommer- Figura 5.5: Representa¸cão esfeldb , constru´ısse uma representa¸c˜ ao ma- quemática da difra¸cão de um tem´ atica para a teoria cristalina, o que lhe feixe de Raios X por uma valeu o Prêmio Nobel de F´ısica de 1914. amostra e seu espectro caracPor tr´ as dessa representa¸c˜ ao, posterior- ter´ıstico. mente desenvolvida por Willian Henry Bragg e seu filho Willian Lawrence Bragg, ganhadores do Prêmio Nobel de F´ısica de 1915, é que encontramos a base do que hoje chamamos cristalografia. Já nos primeiros experimentos realizados por dois alunos de Laue, Walter Friedrich e Paul Knipping, tornava-se claro que a difra¸c˜ ao de Raios X, utilizando uma estrutura cristalina como rede de difra¸c˜ ao tridimensional, propiciaria in´ umeras contribui¸c˜ oes ` a cristalografia. Supondo que um cristal qualquer possa ser representado por um arranjo peri´ odico de ´ atomos, como representado na figura 5.2, a diferen¸ca entre os caminhos ´ opticos de dois raios da onda incidente pode ser facilmente determinada em fun¸cão do ângulo de espalhamento θ. A condi¸c˜ ao de Bragg para a interferência construtiva é nλ = 2dsenθ, onde n é um n´ umero inteiro e d o espa¸camento entre dois planos de Bragg consecutivos que pode ser determinado através de métodos espectrosc´ opicos. a Essa terminologia foi utilizada por von Laue em sua palestra de agradecimento quando do recebimento do Prˆ emio Nobel de 1914. b Sommerfeld solicitou a von Laue que preparasse o artigo Wellenoptik no qual deveria apresentar os desenvolvimentos da o ´ptica ondulat´ oria a ser inclu´ıdo na Encyclopedia of Mathematical Sciences.

Agora ´ e a sua vez! ´ poss´ıvel ilustrar os conceitos desenvolvidos por von Laue e os Bragg, no E in´ıcio do século XX, valendo-se de um experimento óptico: utilizando um cd como rede de difra¸c˜ ao bidimensional, observe o padrão de difra¸cão da luz proveniente de um laser em um anteparo distante. Você acha que ele se parece com os padr˜ oes observados na figura 5.4?

92

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Leitura Complementar: Velocidade de fase e velocidade de grupo Para um pacote de ondas genérico, a velocidade do envelope, ou velocidade de grupo, é dada por vg = dw e calculada no n´ umero de dk , onde a derivada ´ onda central. Todavia, nosso pacote é composto por mais de uma onda e cada onda pode ter uma velocidade de propaga¸c˜ ao diferente. Chamamos de velocidade de fase a velocidade de propaga¸c˜ ao de cada onda individual. No caso de uma onda harmˆ onica temos: w 2π w v = νλ = = , 2π k k o que nos leva a conhecida rela¸c˜ ao w = vk. Diferenciando essa rela¸cão, temos dw d dv = (vk) = v + k , dk dk dk ou seja dv vg = v + k . dk Se a velocidade de fase é a mesma para todas as frequências e comprimentos de onda, a diferencial se anula e a velocidade de fase é igual à velocidade de grupo. Um meio onde isso acontece é denominado não dispersivo. Como exemplos temos a propaga¸c˜ ao de ondas sonoras no ar e de ondas eletromagnéticos no v´ acuo. Neste meio o pacote mantém sua forma enquanto se desloca. Em um meio dispersivo a forma do pacote muda com o tempo, tal qual ocorre com a luz em um meio, como o vidro. Nesse caso, o ´ındice de refra¸c˜ ao depende da frequência da onda que se propaga.

5.2

Pacotes de ondas

Um pulso, tal como o gerado por uma sacudidela na extremidade de uma longa corda, é um fenˆ omeno ondulat´ orio familiar que não pode ser descrito por uma u ńica onda harmˆ onica. A principal caracter´ıstica de um pulso é ser localizado no espa¸co e no tempo. Como uma u ńica onda harmônica não é localizada no espa¸co e no tempo, a descri¸c˜ ao de um pulso requer um conjunto, ou grupo, de ondas de diferentes frequências e diferentes comprimentos de onda. Esse grupo é chamado pacote de ondas. A faixa de comprimentos de onda ou frequências das ondas harmˆ onicas necess´ aria para formar um pacote de ondas depende de sua extens˜ ao no espa¸co e dura¸c˜ ao no tempo do pulso. Em geral, se a extens˜ ao no espa¸co ∆x é pequena, a faixa ∆k de n´ umeros de onda necess´ arios para a completa descri¸c˜ ao da onda é grande. De maneira semelhante, se o tempo de dura¸c˜ ao do pulso (∆t) é pequeno, a faixa de frequências ∆w deve ser grande. A rela¸c˜ ao de proporcionalidade entre as grandezas anteriores, ou seja, a

5.3 Pacotes de ondas associadas a el´ etrons

Miotto e Ferraz

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exigência de um ∆x pequeno implica em um ∆k grande (idem para ∆t e ∆w), indica que o produto delas deve ser limitado. Em outras palavras, podemos dizer que produto ∆x∆k n˜ ao pode assumir um valor arbitrário. Suponha que os produtos possam ser expressos por ∆x∆k ∼ 1 e ∆t∆w ∼ 1 . Note que em tais rela¸c˜ oes n˜ ao especificamos os valores exatos dos produtos, mas apenas sua ordem de grandeza, j´ a que valores exatos dependeriam de como as faixas de varia¸c˜ ao s˜ ao definidas, bem como da forma espec´ıfica dos pacotes. Podemos construir um pacote de ondas considerando um conjunto de ondas harmˆ onicas de Pamplitudes, frequências e comprimentos de onda diferentes, tal que y(x,t) = i Ai sen(ki x − wi t), onde Ai é a amplitude da onda de n´ umero de onda ki e frequência angular wi . N˜ ao é poss´ıvel obter um pacote de ondas localizado em uma faixa estreita e bem definida no espa¸co se nos restringirmos a um n´ umero finito de ondas. Quanto maior o n´ umero de ondas, maior a região na qual a interferência destrutiva torna o envelope nulo e, consequentemente, menor é a região do espa¸co onde o pacote est´ a localizado. Todavia, cabe ressaltar que sempre que considerarmos o n´ umero de ondas finito, o padr˜ ao apresentará uma repeti¸cão.

5.3

Pacotes de ondas associadas a el´ etrons

A quantidade an´ aloga ao deslocamento y(x,t), para ondas em uma corda; ` press˜ a ao p(x,t), para ondas sonoras; ou ao campo elétrico ε(x,t), para ondas eletromagnéticas; é chamada de fun¸c˜ ao de onda, para ondas associadas a elétrons (ou simplesmente fun¸c˜ ao de onda) e é usualmente designada por ψ(x,t). Considere uma onda associada a elétrons formada por uma u ńica frequência e comprimento de onda. Poder´ıamos representar essa onda por ψ(x,t) = Acos(kx − wt) ou ψ(x,t) = Asen(kx − wt) ou ainda8 ψ(x,t) = Aei(kx−wt) . Para essa onda hipotética associada a um elétron formada por uma u ńica h E frequência, a velocidade de fase é dada por v = νλ = E = (onde usamos h p p as rela¸c˜ oes de de Broglie para a energia e o momento). Se usarmos a expressão p2 , vemos que a velocidade de fase é n˜ ao relativ´ıstica para a energia E = 2m p E mv v v = p = 2m = 2m = 2 , ou seja, a velocidade de fase obtida é numericamente igual a metade da velocidade de um elétron de momento p! Logo, por coerência, a velocidade de fase n˜ ao é pode ser a velocidade de propaga¸cão do elétron. Além disso, fica claro também que uma onda com uma u ńica frequência não pode ser uma boa representa¸c˜ ao para um elétron, já que ela não é localizada. Para que um elétron seja localizado ψ(x,t) deve ser um pacote de ondas com mais de um n´ umero de onda e frequência angular. Supondo que a posi¸cão do elétron corresponda ` a posi¸c˜ ao do m´ aximo do pacote de ondas, o elétron deve mover-se com a mesma velocidade do pacote de ondas, ou seja, com 8 Pela f´ ormula de Euler eix = cos(x) + isen(x), onde x ´ e um n´ umero real, e a base do logaritmo natural, i a unidade imagin´ aria, e sen e cos fun¸co ˜es trigonom´ etricas.

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Figura 5.6: (a) Representa¸c˜ ao esquem´ atica do Experimento de Dupla Fenda. (b) I1 e I2 representam o padr˜ ao de intensidade da luz observado no anteparo caso estivessem respectivamente abertas as fendas 1 e 2. (c) Padrão de interferência observado quando as duas fendas est˜ ao abertas. I12 representa a intensidade da luminosidade no anteparo no caso das duas fendas estarem abertas.

a velocidade de grupo. Lembrando que a velocidade de grupo é dada por vg = dw caõ da velocidade de grupo pode ser feita encontrando dk a determina¸ uma express˜ ao que relacione a frequência angular e o n´ umero de onda. Para tanto, combinamos as rela¸c˜ oes de de Broglie, E = hν = ~w e p = λh = ~k, com a express˜ ao n˜ ao relativ´ıstica da energia cinética E = ~w =

p2 2m ,

que resulta em

~2 k 2 ~k 2 →w= . 2m 2m

p ~k Nesse caso a velocidade de grupo ser´ a dada por vg = dw dk = m = m , que é exatamente a velocidade de deslocamento do elétron, confirmando nossa suposi¸caõ de que um elétron deve ser representado por um pacote de ondas e n˜ ao por ondas individuais.

5.4

A interpreta¸ c˜ ao probabil´ıstica da fun¸c˜ ao de onda

Vamos agora considerar em detalhe a rela¸c˜ ao entre a fun¸cão de onda e a localiza¸c˜ ao do elétron. Para tanto, faremos, inicialmente, uma analogia entre 2 y(x,t) as ondas associadas a elétrons e o caso da luz. A Equa¸cão de Onda ∂ ∂x = 2 2 1 ∂ y(x,t) v2 ∂t2

descreve a evolu¸c˜ ao de uma onda qualquer e, em particular, da luz

A interpreta¸ c˜ ao probabil´ıstica ...

Miotto e Ferraz

95

se considerarmos que a fun¸c˜ ao de onda é o campo elétrico. A energia por unidade de volume em uma onda luminosa é proporcional ao quadrado do campo elétrico9 . Por outro lado, sabemos que a energia deve ser dada em unidades de hν, pois cada f´ oton possui essa quantidade de energia. Assim, é de se esperar que o n´ umero de f´ otons por unidade de volume seja proporcional ao quadrado do campo elétrico. Considere a famosa experiência de interferência com fenda dupla (também chamada de Experimento de Young10 ) esquematizada na figura 5.6. O padrão observado na tela é determinado pela interferência das ondas provenientes das fendas. Em um ponto da tela no qual a onda proveniente de uma das fendas est´ a 180 graus fora de fase com a proveniente da outra fenda, o campo elétrico resultante é nulo, n˜ ao havendo energia luminosa neste ponto, o que nosso sentido de vis˜ ao detectam como um ponto negro na tela. Se agora substituirmos o anteparo por um filme fotográfico e reduzirmos a intensidade da onda luminosa a um valor muito baixo, ou seja, se o n´ umero de f´ otons que atingem o filme for baixo, poderemos observar a evolu¸cão do padr˜ ao de interferência da onda do ponto de vista quântico11 . Se expormos o filme somente por um tempo curto, não veremos uma versão mais fraca do padr˜ ao de alta intensidade, mas sim pontos no filme, causados pela intera¸c˜ ao dos f´ otons individuais, como representado na figura 5.7. Nos pontos em que as ondas provenientes das fendas interferem destrutivamente n˜ ao h´ a marcas e, em pontos onde as ondas interferem construtivamente, observamos muitas marcas. Se a exposi¸c˜ ao for curta, observaremos flutua¸cões, mas se a exposi¸c˜ ao for longa, as flutua¸c˜ oes desaparecem e a natureza quântica da luz n˜ ao ser´ a percebida. O padr˜ ao de interferência depende somente do n´ umero total de f´ otons que interagem com o filme e n˜ ao com o n´ umero de fótons por unidade de tempo. Mesmo que a intensidade seja tão baixa que somente um f´ oton atinja o filme por unidade de tempo, a teoria de ondas prevê o padrão médio correto. Para intensidades baixas, interpretamos o quadrado do campo elétrico como sendo proporcional ` a probabilidade de deteçcão de um fóton por unidade de volume. Em pontos da tela ou do filme em que o quadrado do campo elétrico é nulo nunca s˜ ao observados pontos. Por outro lado, quando o quadrado do campo elétrico é grande, os pontos são facilmente distinguidos. 9 A energia de uma onda eletromagn´ etica ´ e proporcional ao Vetor de Poyinting, ou seja, aos quadrados do campo el´ etrico e magn´ etico (ver, por exemplo, Curso de F´ısica B´ asica, vol. 3, Eletromagnetismo, H. Moys´ es Nussenzveig, Editora Edgard Bl¨ ucher, 2003). Por simplicidade, estamos considerando apenas o campo el´ etrico. 10 Para uma descri¸ ca õ mais detalhada do experimento, ver, por exemplo, Richard P. Feynman, R. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. 3 (USA: AddisonWesley) pp. 18 (1965). 11 A intera¸ c˜ ao da luz com o filme ´ e um fenˆ omeno quˆ antico, j´ a que ´ e poss´ıvel identificar os f´ otons individuais que impressionam o filme desde que a intensidade da luz seja baixa o suficiente. No caso de uma intensidade de luz alta, ou de um tempo suficientemente grande, o efeito coletivo predomina e a an´ alise s´ o pode ser feita utilizando-se a Teoria Ondulat´ oria.

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Ondas associadas a elétrons produzem padr˜ oes de interferência semelhantes ` aqueles produzidos por f´ otons. Na teoria ondulat´ oria de elétrons, o movimento de um u ńico elétron é descrito pela fun¸c˜ ao de onda ψ(x,t). Por analogia ao caso dos f´ otons, a quantidade ψ 2 (x,t) é proporcional ` a probabilidade de detectar um elétron em uma regi˜ ao do espa¸co. Em uma dimens˜ ao ψ 2 (x,t)dx é a probabilidade de um elétron estar no intervalo dx. Se denominarmos esta probabilidade de P (x)dx, onde P (x) é uma fun¸c˜ ao distribui¸c˜ ao de probabilidade, teremos P (x)dx = |ψ 2 (x,t)|dx. A interpreta¸c˜ ao probabil´ıstica da fun¸c˜ ao de onda, muitas vezes chamada de Interpreta¸c˜ ao de Copenhagen, foi uma teoria desenvolvida por Bohr, Heisenberg e colaboradores entre 1924 e 1927 12 . Essa interpreta¸c˜ ao, apesar de ser a mais aceita, nunca foi uma unanimidade. De fato, a famosa frase de Einstein: I, at any rate, am convinced that He (God) does not throw dice. (em uma tradu¸caõ livre, Eu, de minha parte, estou convencido de que Ele (Deus) n˜ ao joga dados.13


Figura 5.7: Crescimento do padrão de interferência de duas fendas (a → e). Com o aumento da contagem de fótons que alcan¸cam o filme, o padr˜ ao de interferência fica cada vez mais evidente. Experimento realizado pelo Dr. Tonomura e dispon´ıvel na wikipedia.

12 Jan Faye, Copenhagen Interpretation of Quantum Mechanics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.), http://plato.stanford. edu/archives/fall2008/entries/qm-copenhagen 13 The Born-Einstein Letters: Correspondence between Albert Einstein and Max and Hedwig Born from 1916 to 1955, (Walker and Company, New York, 1971), carta de Einstein para Born datada de 4 de dezembro de 1926.)

5.5 O Princ´ıpio de Incerteza

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O Princ´ıpio de Incerteza

Considere um pacote de onda ψ(x,t) que representa um elétron. A posi¸cão mais prov´ avel do elétron equivale ao valor de x para o qual ψ 2 (x,t)dx é máximo. Todavia, ψ 2 (x,t)dx n˜ ao é n˜ ao nulo em apenas um ponto do espa¸co, mas sim em uma faixa de valores. Isso implica que o valor da posi¸cão do elétron tem uma incerteza associada. Se realizarmos um conjunto de medidas de posi¸cão para elétrons idênticos14 , veremos que o resultado obtido não será sempre o mesmo. De fato, a fun¸c˜ ao distribui¸c˜ ao para os resultados dessas medidas será dada por ψ 2 (x,t). Se o pacote de ondas for muito estreito, a incerteza na posi¸cão será pequena. Contudo, um pacote de ondas estreito deve conter uma larga faixa de n´ umeros de onda k. Como o momento est´ a relacionado ao n´ umero de onda por p = ~k, uma larga faixa de valores de k significa uma larga faixa de valores de momento. Vimos na seçc˜ ao 5.3 que para todos os pacotes de ondas, as faixas ∆x e ∆k est˜ ao relacionadas por ∆x∆k ∼ 1. De forma análoga, um pacote que é localizado temporalmente deve conter uma faixa de frequências de modo que a rela¸c˜ ao ∆w∆t ∼ 1 seja satisfeita. Essas rela¸cões são propriedades inerentes das ondas. As ondas associadas a elétrons devem possuir as mesmas propriedades que as outras ondas possuem. Assim, as rela¸c˜ oes ∆x∆k ∼ 1 e ∆w∆t ∼ 1 também dever˜ ao ser v´ alidas para elétrons. Utilizando as rela¸cões de de Broglie p = ~k e E = ~w, obteremos: ∆x∆p ∼ ~ e

∆E∆t ∼ ~.

(5.4)

Essas equa¸c˜ oes expressam o Princ´ıpio de Incerteza, enunciado pela primeira vez por W. Heisenberg15 em 1927. A primeira equa¸cão indica que as fun¸cões distribui¸c˜ ao para posi¸c˜ ao e momento n˜ ao podem ser arbitrariamente estreitas simultaneamente. Assim, medidas de posi¸c˜ ao e momento conterão incertezas que est˜ ao relacionadas por ∆x∆p ∼ ~. Devido às incertezas naturalmente associadas ao aparato experimental o produto ∆x∆p pode ser, e geralmente o é, muito maior do que ~. O limite inferior n˜ ao depende de qualquer problema técnico relacionado ao equipamento de medida, mas sim à natureza ondapart´ıcula tanto da matéria quanto da luz. Podemos fornecer uma express˜ ao precisa para o Princ´ıpio de Incerteza se definirmos o que entendemos por incerteza nas medidas de posi¸cão e momento. Sejam ∆x e ∆p os desvios padr˜ ao das medidas de posi¸cão e do n´ umero de onda k. O produto ∆x∆p tem um valor m´ınimo igual a 21 quando as fun¸cões distribui¸c˜ ao s˜ ao gaussianas. Assim, o Princ´ıpio de Incerteza pode ser reescrito como: ~ ~ ∆x∆p = e ∆E∆t = . (5.5) 2 2 14 Por

el´ etrons idˆ enticos entendem-se el´ etrons com mesma fun¸ca õ de onda. den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Zeitschrift f¨ ur Physik, 43, 172 (1927). 15 Uber ¨

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Vejamos como um f´ısico cl´ assico poderia tentar violar o Princ´ıpio de Incerteza: uma maneira comum de medir a posi¸c˜ ao de um objeto é iluminando-o. Pode-se obter o momento iluminando-o novamente após um intervalo de tempo curto e calculando qual a velocidade que ele deve ter tido. Como o nosso f´ısico cl´ assico sabe que, devido a efeitos de difra¸c˜ ao, n˜ ao pode esperar efetuar medidas de distˆ ancias menores do que o comprimento de onda da luz utilizada, ele usar´ a luz ultravioleta ou Raios X de comprimento de onda o mais curto entre os dispon´ıveis. Ele sabe também que a luz carrega momento e energia. Assim, quando a luz alcan¸car o elétron, o momento do elétron será perturbado, influenciando sua medida. Para contornar esse problema ele pode reduzir o m´ aximo poss´ıvel a intensidade da luz. Essa ideia, muito embora pare¸ca boa, n˜ ao é efetiva. Como demonstrado por Einstein em sua explica¸c˜ ao sobre o efeito fotoelétrico, reduzir a intensidade da luz significa meramente reduzir o n´ umero de f´ otons. Como ao menos um f´ oton deve ser espalhado para que o elétron seja observado, a perturba¸caõ n˜ ao deixar´ a de existir e n˜ ao ser´ a minimizada. As rela¸c˜ oes de de Broglie indicam que o momento é inversamente proporcional ao comprimento de onda. Logo, quanto menor o comprimento de onda utilizado para medir a posi¸c˜ ao, mais o f´ oton perturbar´ a o elétron. A u ńica maneira de aumentar a precis˜ ao nas me- Figura 5.8: Esquema de um exdidas do momento é usar compri- perimento mental para observar um mentos de onda mais longos. Toda- elétron: um fóton incide sobre a via, essa escolha far´ a com que au- part´ıcula que será espalhada por um mente a imprecis˜ ao nas medidas da certo ˆ angulo α. Para que a part´ıcula posi¸caõ. seja vis´ıvel, o ângulo de espalhamento A figura 5.8, sugerida inicial- deve ser pequeno o suficiente para que mente por Bohr e Heisemberg16 , o cone de luz coincida com a abertura apresenta um experimento mental da lente. que permitiria a visualiza¸c˜ ao de um elétron: determina-se a posi¸c˜ ao de um elétron observando-o através de um microsc´ opio. Admitiremos que é necess´ ario que apenas um fóton seja espalhado pelo elétron para que seja poss´ıvel observar o elétron. Podemos considerar a incerteza na posi¸c˜ ao como sendo a menor separa¸c˜ ao entre dois objetos para 16 Foundations of Quantum Physics I (1926 - 1932) Edited by: Jørgen Kalckar, Volume 6, (Elsevier, 1985), PART I: The Emergence of the Complementarity Argument, Introduction by Jørgen Kalckar, p. 7-53

5.6 Dualidade onda-part´ıcula

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99

λ que esses possam ser resolvidos, isto é, ∆x = 2sen(α) . Vamos admitir que a componente x do momento do fóton incidente seja perfeitamente conhecida. O f´ oton espalhado pode ter qualquer componente x do momento entre 0 e px = psen(α), onde p é o momento total do fóton espalhado. Pela conserva¸c˜ ao do momento, a incerteza no momento do elétron após o espalhamento deve ser pelo menos igual ` a incerteza do fóton espalhado17 . Assim, escrevemos h ∆px ≥ psen(α) = sen(α). λ O produto ∆x∆p pode ent˜ ao ser calculado e vale

∆x∆p =

h 1 λ sen(α) = h. 2sen(α) λ 2

Observe que mesmo no caso ideal considerado, o valor obtido para o produto é numericamente maior do que ~2 e esse ´ e o ponto essencial do Princ´ıpio de Incerteza! Se fossem utilizados elétrons para localizar o objeto, e não fótons, a an´ alise n˜ ao mudaria, pois as rela¸c˜ oes de de Broglie valem para ambos. O exemplo acima ajuda a esclarecer as dificuldades de medida imposta pela dualidade onda-part´ıcula da luz e da matéria, mas esse pode ser um esclarecimento ilus´ orio. Neste exemplo, admitimos que o elétron tem uma posi¸c˜ ao e momento bem definidos e que somente no processo de medida da posi¸c˜ ao é introduzida a incerteza no momento. Devido à natureza ondulatória do elétron, ele deve ser representado por um pacote. Isso implica que já existe uma incerteza na posi¸c˜ ao e no momento que correspondem aos alargamentos em x do pacote e em k dos n´ umeros de onda. O pacote de ondas do elétron é perturbado durante o processo de medida pelo espalhamento de fótons, por exemplo. Se s˜ ao usados f´ otons de comprimento de onda muito pequeno, a posi¸c˜ ao pode ser determinada com grande precisão. Isso significa que o novo pacote de onda que descreve o elétron é estreito em x, mas naturalmente a distribui¸c˜ ao de k é correspondentemente mais larga. Assim, a incerteza no momento agora é grande.

5.6

Dualidade onda-part´ıcula

Vimos que elétrons, usualmente imaginados como part´ıculas, exibem as propriedades ondulat´ orias de refra¸c˜ ao e interferência. Nas seçcões anteriores vimos que a luz, que em geral é imaginada como um movimento ondulatório, também apresenta propriedades de part´ıculas na sua intera¸cão com a matéria, como é o caso do Efeito Fotoelétrico e do Efeito Compton. Todos os fenômenos (elétrons, ´ atomos, luz, som, etc.) têm caracter´ısticas tanto de onda como de part´ıcula. Muitas vezes diz-se que um elétron não é só uma part´ıcula, mas 17 De fato, a incerteza no momento do el´ etron ap´ os o espalhamento s´ o seria igual a ` incerteza do f´ oton espalhado se o momento inicial do el´ etron fosse perfeitamente conhecido.

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também uma onda. Isso pode trazer confus˜ ao, pois na F´ısica Clássica os conceitos de ondas e part´ıculas s˜ ao mutuamente exclusivos. Uma part´ıcula clássica comporta-se como uma bolinha r´ıgida: pode ser localizada, espalhada, pode trocar energia repentinamente nas colis˜ oes, obedece ` as leis de conserva¸cão, mas n˜ ao exibe interferência e difra¸c˜ ao. Uma onda cl´ assica comporta-se como uma onda na ´ agua, exibe padr˜ oes de difra¸c˜ ao e interferência e sua energia espalha-se continuamente no espa¸co e no tempo. Do ponto de vista clássico, as propriedades de onda e de part´ıculas n˜ ao podem coexistir. Até o século XX, pensava-se que a luz era uma onda cl´ assica e o elétron uma part´ıcula clássica. Vemos agora que os conceitos de ondas cl´ assicas e part´ıculas clássicas não descrevem convenientemente ambos os fenˆ omenos. Cada um comporta-se como uma onda cl´ assica, quando é considerada a propaga¸c˜ ao; e como uma part´ıcula clássica, quando é considerada a troca de energia. Qualquer fenômeno pode ser descrito por uma fun¸c˜ ao de onda que é a solu¸c˜ ao de uma equa¸cão de onda. A fun¸cão de onda para a luz é o campo elétrico, enquanto que para o elétron é ψ(x,t). A probabilidade de um elétron estar em uma dada região é dada pelo quadrado da fun¸c˜ ao de onda (que exibe as mesmas propriedades de uma fun¸cão de onda cl´ assica). Para determinar onde é mais prov´ avel que um elétron esteja, deve-se encontrar a fun¸c˜ ao de onda por métodos semelhantes aos da Teórica Clássica Ondulat´ oria. Quando o elétron (ou a luz) interage e troca energia e momento, a fun¸caõ de onda é modificada pela intera¸c˜ ao que pode ser descrita pela Teoria Cl´ assica de Part´ıculas, como no Efeito Compton. Existem situa¸c˜ oes nas quais tanto a Teoria Cl´ assica de Part´ıculas quanto a Teoria Cl´ assica Ondulat´ oria fornecem os mesmos resultados. Se o comprimento de onda é muito menor do que o objeto ou fenda com o qual ocorre a intera¸c˜ ao, a Teoria Cl´ assica de Part´ıculas pode ser usada para descrever a propaga¸c˜ ao de uma onda, j´ a que os efeitos de difra¸c˜ ao e interferência são muito pequenos para serem observados. Exemplos comuns são a óptica geométrica18 e o movimento de bolas de bilhar. A Teoria Cl´ assica de Ondas funciona muito bem caso o interesse seja apenas por médias temporais de trocas de energia e momento. Como exemplo, lembre-se que a Teoria Ondulatória Clássica prevê corretamente que a corrente total no Efeito Fotoelétrico é proporcional à intensidade da luz. A dualidade onda-part´ıcula pode passar a falsa impressão de que qualquer fenˆ omeno pode ser observado quer usando a Teoria Ondulatória, quer usando a Teoria de Part´ıculas. O exemplo a seguir tem o objetivo de demonstrar que simplifica¸c˜ oes podem muitas vezes levar a conclus˜ oes equivocadas. Considere um experimento de fenda dupla, como o esquematizado na figura 5.6. Como sabemos, o padr˜ ao de interferência é tal que os m´ aximos e m´ınimos são governados pela express˜ ao proposta por Bragg: dsen(θ) = nλ. O padrão de interferência n˜ ao depende da intensidade da luz, mesmo se somente um fóton de cada vez alcance o filme. Se considerarmos a luz como um feixe de fótons, temos a seguinte dificuldade: se um f´ oton passa pela fenda 1, como ele sabe 18 A

´ Optica Geom´ etrica pode ser considerada uma teoria de part´ıculas.

4.7 Algumas consequˆ encias ...

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101

se a fenda 2 est´ a aberta ou fechada? Se 2 est´ a aberta, o fóton nunca se dirige ao m´ınimo de interferência. Todavia, se a fenda 2 estiver fechada, o padrão de interferência é quebrado e alguns f´ otons se dirigem a um ponto de m´ınimo. A an´ alise deste problema em termos da Teoria Clássica Ondulatória não traz qualquer dificuldade, pois a onda passa através de ambas as fendas se elas estão abertas. Assim, a onda certamente sabe se a fenda 2 está aberta ou fechada. Todavia, a Teoria Cl´ assica de Part´ıculas introduz algumas peculiaridades ao problema. Como a luz n˜ ao pode se comportar simultaneamente como part´ıcula e ondas cl´ assicas, se tentarmos observar o aspecto de part´ıcula da luz quando ela passa pela fenda, o padr˜ ao de difra¸c˜ ao ser´ a obrigatoriamente destru´ıdo. Considere a modifica¸c˜ ao apresentada na figura 5.9 no experimento de fenda dupla: detectores s˜ ao colocados a fim de se determinar por qual fenda o elétron passou. Para fazer isto, devemos conhecer a posi¸cão vertical y do elétron dentro de uma distˆ ancia19 de d/2, onde d é a separa¸c˜ ao entre as fendas. Pelo Princ´ıpio de Incerteza, a incerteza no momento vertical de recuo do elétron deve20 ser maior do que ~d . Se o elétron estava dirigindo-se para o máximo de interferência em θ = 0 com momento p = λh , ser´ a defletido de um ângulo cuja incerteza é ∆p . Como esse valor é da ordem de grandeza do expressa21 por ∆θ = p y ≥ ~d h λ valor para o m´ınimo de interferência, conclu´ımos que no processo de medida para verificar por qual fenda o f´ oton passa, ele é espalhado pelo menos de um angulo que faz com que o padr˜ ˆ ao de interferência seja destru´ıdo. Este exemplo demonstra claramente que a medida simultânea dos aspectos de onda e de part´ıcula de luz é imposs´ıvel. Quando colocamos detectores junto ` as fendas para medir as propriedades de part´ıcula da luz, as propriedades ondulat´ orias de interferência n˜ ao podem ser observadas. Da mesma forma, na ausência dos detectores a figura de interferência se forma, mas não podemos determinar por qual das duas fendas um dado fóton passou, ou seja, as propriedades de part´ıcula da luz n˜ ao podem ser observadas. Esse resultado é conhecido como Princ´ıpio de Complementariedade de Bohr22 : os aspectos de onda e de part´ıcula complementam um ao outro. Ambos s˜ ao necess´ arios, mas n˜ ao podem ser observados ao mesmo tempo. A observa¸c˜ ao de um ou de outro aspecto depende do arranjo experimental.

19 Se n˜ ao soubermos a posi¸c˜ ao vertical do el´ etron com uma precis˜ ao d/2, n˜ ao podemos ter certeza de que o el´ etron realmente passou por uma dada fenda. 20 Se ∆y < d , ent˜ ao como ∆y∆p ≥ ~ → ∆p ≥ ~ . 2 2 2 21 Para achar a express˜ ao da incerteza em um ˆ angulo, suponha um triˆ angulo retˆ angulo. Como para a ˆngulos pequenos o seno do a ˆngulo ´ e aproximadamente o valor do ˆ angulo, obtˆ emse a express˜ ao desejada. 22 Foundations of Quantum Physics II (1933 - 1958) Edited by: Jørgen Kalckar, Volume 6, (Elsevier, 1985), PART II: Complementarity: Bedrock of the Quantal Description, Introduction by Jørgen Kalckar, p. 248-287.

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Figura 5.9: Representa¸c˜ ao esquem´ atica do Experimento de Dupla Fenda modificado. Detectores s˜ ao colocados pr´ oximos ` as fendas a fim de se determinar por qual delas o elétron passar´ a. P1 e P2 representam o padrão observado no anteparo caso estivessem respectivamente abertas as fendas 1 e 2. P12 representa o padr˜ ao observado quando s˜ ao colocados os detectores. Observe que o padr˜ ao de interferência foi destru´ıdo.

5.7

Algumas consequˆ encias do Princ´ıpio de Incerteza

Apesar de existirem métodos diretos (como a Equa¸cão de Onda de Schrödinger) para a resolu¸c˜ ao de problemas de F´ısica Atˆ omica que levam em considera¸caõ os aspectos quˆ anticos de um sistema, esses métodos têm uma solu¸cão que é em geral trabalhosa e dif´ıcil. Partindo apenas do Princ´ıpio de Incerteza, sem uma solu¸c˜ ao detalhada do problema, podemos obter muitas informa¸cões semi-quantitativas de comportamentos de sistemas atômicos, como exemplificado a seguir: 1. Uma consequência do Princ´ıpio de Incerteza é que uma part´ıcula restrita a um espa¸co finito (caixa) n˜ ao pode ter energia cinética nula. Vamos considerar o caso de uma caixa unidimensional de lado L. Se soubermos que a part´ıcula est´ a na caixa, ∆x ser´ a inferior a L. Isso implica que ∆p é pelo menos L~ . Note que desprezamos o fator meio, pois só queremos estimar a ordem de grandeza. Vamos considerar o desvio padrão como uma medida da incerteza do momento 2 2 (∆p) = (p − p¯)medio p2 − 2p¯ p + p¯2 medio = p2medio − p¯2 . Na express˜ ao acima, p2medio corresponde ` a média do momento ao quadrado (que denotaremos p2 por simplicidade). Supondo que a caixa seja

4.7 Algumas consequˆ encias ...

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103

simétrica p¯ = 0, j´ a que n˜ ao existe dire¸cão preferencial para a velocidade da part´ıcula. Nesse caso a expressão pode ser simplificada para 2 2 ¯ = p2 ≥ ~ 2 2 . (∆p) = p2 ≥ L~ 2 e a energia cinética média vale E 2m 2mL Considere como exemplo uma part´ıcula pequena, mas macroscópica, de massa m = 10−6 g, confinada em uma caixa de lado L = 10−6 m. Nesse caso teremos energia e velocidade dadas por ¯ E

=

v

=

~2 2mL q

2

2E m

= 5,57.10−48 J = 3,47.10−29 eV = 1,06.10−19 m/s

2. A energia m´ınima de um oscilador harmônico pode ser determinada a ¯ = p2 + 1 mw2 x2 . Como no exemplo partir de sua energia mecˆ anica E 2m 2 2 2 anterior, p¯ e x ¯ s˜ ao nulos por simetria, ou seja, (∆p) = p2 e (∆x) = x2 . 2 ~ Usando o Princ´ıpio de Incerteza temos: ∆p2 ≥ ∆x 2 . Assim, ¯= E

~2

1 2 + mw2 (∆x) . 2 2m (∆x) 2

Quando ∆x → 0, o primeiro termo assume valores grandes, enquanto o segundo termo predomina quando ∆x → ∞. O valor de m´ınima energia é obtido diferenciando-se a equa¸c˜ ao e igualando-a a zero, resultando em Emin = ~w, exatamente o mesmo valor obtido através da solu¸cão da Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger. 3. O Princ´ıpio de Incerteza também nos permite determinar o primeiro ¯= raio da ´ orbita do ´ atomo de Bohr, a partir de sua energia mecânica E p2 ke2 2m − r e usando os mesmos argumentos usados anteriormente. Se considerarmos a ordem de grandeza da incerteza na posi¸cão o valor ∆x = 2 2 ¯ = ~2 2 − ke2 . O m´ınimo da r, temos (∆p) ≥ ~r2 e a energia vale E 2mr r 2 2 4 e m energia ocorre quando r = ke~2 m = ao = 0,529177 ˚ Ae E = k 2~ = 2 13,6 eV, ou seja, exatamente os mesmos valores obtidos por Bohr para o raio da primeira ´ orbita e a energia de ioniza¸cão do átomo de hidrogênio. 4. A rela¸c˜ ao ∆E∆t ≥ ~2 indica que a energia de um sistema não pode ser medida exatamente a menos que se disponha de um tempo infinito para a medida! Um ´ atomo em um estado excitado não permanece nesse estado de energia indefinidamente, mas sofre transi¸cões para estados de energia mais baixos até alcan¸car o estado fundamental. O decaimento de um estado excitado é um processo estat´ıstico. Podemos considerar a onda média para o decaimento τ , chamada tempo de vida, com o tempo dispon´ıvel para determinar a energia do estado. Para transi¸cões atˆ omicas, τ ∼ 10−8 s. Logo, ∆E ≥ τ~ = 10−7 eV. Essa incerteza causa um alargamento ∆λ no comprimento de onda da luz emitida. Para transi¸c˜ oes ocorridas entre um estado excitado qualquer

104

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e o estado fundamental, com energia Eo perfeitamente determinada23 a percentagem de alargamento no comprimento de onda pode ser calculada dλ ∆λ a partir de E − Eo = hc λ → dE = −hc λ2 , ou seja, ∆E = −hc λ2 . A ~ largura de energia ∆E ≥ τ é chamada largura natural da linha. Outros efeitos que causam alargamento das linhas espectrais são o efeito Doppler, o efeito de recuo e colis˜ oes atˆ omicas. Para espectros ópticos, a temperatura ambiente, na faixa de energia de eV a largura Doppler é cerca de 10−6 eV, ou seja, dez vezes maior do que a largura natural. Para transi¸c˜ oes nucleares na faixa de MeV, tanto a largura Dopler quanto a largura de recuo s˜ ao da ordem de alguns eV, ou seja, muito maiores do que a largura natural da linha. Em casos especiais de átomos em sólidos a baixas temperaturas, as larguras Doppler e de recuo são praticamente nulas, e a largura da linha espectral é exatamente a largura natural (Efeito M¨ ossbauer). Essa propriedade é utilizada para se obter fótons com energias muito bem definidas para experimentos de precisão.

23 Para que saibamos E com precis˜ ao absoluta ´ e necess´ ario que sua medida tenha sido o feita em um intervalo de tempo infinito.

Cap´ıtulo 6

Introdu¸ c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica Um dos grandes triunfos da F´ısica no século XX é a Mecânica Quântica. Nas seçc˜ oes anteriores, apenas uma introdu¸caõ da ideia de quantiza¸cão foi abordada. Apesar de seu sucesso na explica¸c˜ ao de diversos fenômenos f´ısicos, a idéia de uma teoria baseada em postulados que não tem embasamento matem´ atico e que utiliza argumentos cl´ assicos para justificar-se ao mesmo tempo que os renega, levou a diversas tentativas de uma formula¸cão mais apropriada, redundando na Mecˆ anica Quˆ antica. Nesta seçcão abordaremos a formula¸cão de Schr¨ odinger da Mecˆ anica Quˆ antica e mostraremos como ela é capaz de explicar (tanto do ponto de vista qualitativo, quanto quantitativo), sem o aux´ılio de postulados ou suposi¸c˜ oes vagas, os diversos fenômenos abordados anteriormente. O sucesso das rela¸c˜ oes de de Broglie na previsão da difra¸cão de elétrons e a constata¸c˜ ao de que ondas estacion´ arias clássicas levam a um conjunto discreto de frequências, sugeriram a existência de uma Teoria Ondulatória de elétrons an´ aloga ` a Teoria Ondulat´ oria da luz. Na teoria ondulatória eletrônica, a Mecˆ anica Cl´ assica apareceria como o limite de comprimento de onda curto, exatamente como a ´ optica geométrica é o limite do comprimento de onda curto para a velocidade da luz. Em 1926, Erwin Schrödinger1 publicou sua equa¸cão de onda que rege a propaga¸c˜ ao de ondas associadas a elétrons. Pouco antes, Werner Heisenberg2 e Max Born3 apresentaram uma teoria aparentemente diferente para explicar os fenˆ omenos atˆ omicos. Na teoria de Heisenberg aparecem somente quantidades mensur´ aveis. Propriedades f´ısicas das part´ıculas, 1 Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung), Annalen der Physik 79, 361 (1926); Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung), Annalen der Physik 79, 489 (1926). 2 Uber ¨ quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Zeitschrift f¨ ur Physik 33, 879 (1925). 3 M. Born, P. Jordan, Zur Quantenmechanik, Zeitschrift f¨ ur Physik 34, 858 (1925).

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Introdu¸ c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica

como energia, posi¸c˜ ao e momento, s˜ ao representadas por matrizes que evoluem no tempo. Embora as teorias de Schr¨ odinger, Heisenberg e Borh parecessem diferentes, logo demostrou-se que elas eram equivalentes4 , isto é, cada qual poderia ser obtida da outra. A teoria resultante, atualmente chamada Mecânica Quˆ antica, tem tido um sucesso espantoso. Embora seus princ´ıpios possam parecer estranhos, pois temos experiências limitadas ao mundo macroscópico, e a matem´ atica necess´ aria para resolver mesmo o problema mais simples seja complicada, parece que n˜ ao existem alternativas para descrever corretamente os resultados experimentais obtidos na f´ısica atˆ omica e nuclear. Nossos estudos se restringir˜ ao ` a teoria de Schr¨ odinger por ser esta de compreensão mais fácil e um pouco menos abstrata que a Teoria de Heisenberg. Quer saber mais? A descri¸c˜ ao da origem das ideias de Heisenberg pode ser encontrada na Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, volume 26, n´ umero 1, página 71, enquanto que sua equivalência com a Mecˆ anica Ondulatória de Schrödinger pode ser encontrada na mesma revista, volume 26, n´ umero 1, página 75, ambos publicados em 2004 e dispon´ıveis na p´ agina da Sociedade Brasileira de F´ısica ( www.sbfisica.org.br ).

6.1

A equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger

A equa¸c˜ ao de onda que rege o movimento dos elétrons (e de outras part´ıculas com massa) é an´ aloga a` equa¸c˜ ao de onda cl´ assica. A equa¸cão de Schrödinger, como a equa¸c˜ ao de onda cl´ assica, relaciona as derivadas temporal e espacial da fun¸caõ de onda. O racioc´ınio seguido por Schr¨ odinger é complexo 5 e não nos interessa neste instante, mas é interessante sabermos o que esperar, ao invés de simplesmente postular a equa¸c˜ ao. A fun¸c˜ ao de onda cl´ assica para a luz em uma dimensão pode ser escrita como: 1 ∂2 ∂2 = 2 2, (6.1) 2 ∂x c ∂t onde o campo elétrico. A solu¸c˜ ao dessa equa¸caõ tem a forma (x,t) = o cos(kx − ωt), onde o é a amplitude m´ axima de oscila¸cão do campo, k o n´ umero de onda, e ω a frequência angular. Substituindo a solu¸cão tentativa em 6.1, obtemos a rela¸c˜ ao de dispers˜ ao ω = kc. 4 E. Schr¨ ¨ odinger, Uber das Verh¨ altnis der Heisenberg Born Jordanischen Quantenmechanik zu der meinen, Annalen der Physik 79, 734 (1926). 5 Se vocˆ e quer conhecer os argumentos originais de Schr¨ odinger para a introdu¸c˜ ao de seu formalismo, consulte a s´ erie de trabalhos do Prof. Prof. Theodoro Ramos publicadas na Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, volume 25, n´ umero 3, p´ agina 326, e n´ umero 4, p´ agina 418, ambos publicados em 2003 e dispon´ıveis na p´ agina da Sociedade Brasileira de F´ısica ( www.sbfisica.org.br ).

6.1 A equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger

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107

Detalhes matem´ aticos: A rela¸ c˜ ao de dispers˜ ao para a fun¸ c˜ ao de onda cl´ assica para a luz ∂ cos(kx − ωt) ∂x ∂2 cos(kx − ωt) ∂x2

= −ksen(kx − ωt) ∂ (−ksen(kx − ωt)) ∂x 2 −k cos(kx − ωt).

= =

Analogamente, ∂2 cos(kx − ωt) ∂t2

=

−ω 2 cos(kx − ωt).

Assim, −o k 2 cos(kx − ωt) ∴ kc

=

−o

1 2 ω cos(kx − ωt) c2

= ω.

Usando as rela¸c˜ oes de de Broglie E = ~ω e p = ~k, fica evidente que a rela¸c˜ ao de dispers˜ ao obtida equivale ` a rela¸c˜ ao momento-energia para o fóton E = pc: E p ω = kc → = c → E = pc! ~ ~ Usaremos, agora, as rela¸c˜ oes de de Broglie para uma part´ıcula com massa (um elétron, por exemplo) para encontrar a rela¸cão de dispersão (ω×k) análoga a obtida para os f´ ` otons. A energia mecˆ anica total de uma part´ıcula livre de massa m, sujeita a um potencial V , pode ser escrita como: E=

p2 + V. 2m

(6.2)

Sua forma equivalente obtida, utilizando-se as rela¸cões de de Broglie, é: ~ω =

~2 k 2 + V. 2m

(6.3)

Essa equa¸c˜ ao difere daquela obtida para o f´ oton (ω = kc), pois além de conter explicitamente a energia potencial V , a frequência angular ω não varia linearmente com o n´ umero de onda k, mas sim com o seu quadrado! Enquanto a rela¸c˜ ao de dispers˜ ao para f´ otons foi obtida explicitamente através da substitui¸c˜ ao de uma solu¸c˜ ao tentativa na fun¸cão de onda clássica da luz, a rela¸c˜ ao de dispers˜ ao que obtivemos para elétrons foi obtida da express˜ ao para energia mecˆ anica total de uma part´ıcula livre. Mesmo assim, a compara¸c˜ ao das duas deriva¸c˜ oes permite-nos inferir uma forma funcional para

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o an´ alogo ` a fun¸c˜ ao de onda cl´ assica da luz no caso de elétrons. Quando diferenciamos uma fun¸c˜ ao de onda harmˆ onica em rela¸c˜ ao ao tempo uma u ńica vez, obtemos um fator ω, enquanto que um fator k é obtido quando a diferenciamos, também uma u ńica vez, em rela¸c˜ ao ` a posi¸c˜ ao. Portanto, esperamos que a equa¸caõ de onda que se aplica a elétrons venha a relacionar a primeira derivada temporal ` a segunda derivada espacial, e que também envolva a energia potencial do elétron. Essa observa¸c˜ ao n˜ ao é uma dedu¸cão formal, mas apenas uma avalia¸c˜ ao da forma esperada da equa¸c˜ ao diferencial para elétrons análoga à equa¸c˜ ao de onda cl´ assica da luz. De fato, a Equa¸caõ de Schrödinger em uma dimens˜ ao tem a forma: −~2 ∂ 2 ∂ ψ(x,t) + V (x,t)ψ(x,t) = i~ ψ(x,t). 2m ∂x2 ∂t

(6.4)

Se, em particular, o potencial for constante, ou seja, se V (x,t) = Vo , a equa¸caõ de Schr¨ odinger 6.4 tem como solu¸c˜ ao uma onda harmônica com a forma geral ψ(x,t) = Aekx−ωt , onde A é uma constante. Detalhes matem´ aticos: Deriva¸ c˜ ao da rela¸ c˜ ao de dispers˜ ao para el´ etrons a partir da Equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger ∂ ψ(x,t) = −iωAekx−ωt = −iωψ(x,t) ∂t Analogamente, ∂2 ψ(x,t) ∂x2 ∴

=

∂ (−ikψ(x,t)) = −k 2 ψ(x,t) ∂x

−~2 −k 2 ψ(x,t) + Vo ψ(c,t) = −i2 ~ωψ(x,t) 2m ~2 k 2 + Vo = ~ω. 2m

Que é exatamente a equa¸c˜ ao 6.3 !!! Observe que em todas as deriva¸c˜ oes utilizadas não existe nenhuma imposi¸caõ de que a solu¸caõ da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger deva ser necessariamente real, o que é consistente com o fato de que n˜ ao é a fun¸cão de onda que é mensur´ avel, mas sim, por exemplo, a probabilidade de encontrar o elétron em dx: P (x,t)dx = |ψ(x,t)|2 dx = ψ ? (x,t)ψ(x,t)dx, onde ψ ? (x,t) é o complexo conjugado da fun¸c˜ ao de onda.

6.1.1

Condi¸c˜ oes sobre a fun¸c˜ ao de onda

A forma geral proposta como solu¸c˜ ao da Equa¸c˜ ao de Schrödinger 6.4 não é necessariamente real. Mas ser´ a que existe alguma condi¸cão de existência para a fun¸c˜ ao de onda? Lembrando que ela representa uma part´ıcula com massa,


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109

como um elétron, por exemplo, e que fisicamente este elétron deve ocupar alguma regi˜ ao do espa¸co, é natural que a fun¸cão de onda deva ser limitada, ou seja, deve se aproximar de zero quando x tende a ±∞. Matematicamente, esta condi¸c˜ ao pode ser escrita como: Z

+∞

dxψ ? (x,t)ψ(x,t) = 1,

(6.5)

−∞

sendo chamada de condi¸c˜ ao de normaliza¸c˜ ao. A condi¸cão de normaliza¸cão é crucial, pois restringe as poss´ıveis solu¸c˜ oes da equa¸cão de Schrödinger. Veremos a seguir que esta restri¸c˜ ao leva naturalmente à quantiza¸cão da energia. Outras duas importantes condi¸c˜ oes sobre ψ(x,t) advém das propriedades f´ısicas de uma part´ıcula: a fun¸c˜ ao de onda e sua primeira derivada devem ser cont´ınuas. Fisicamente, isso implica que n˜ ao existe uma descontinuidade na probabilidade de se encontrar uma part´ıcula em um determinado ponto do espa¸co.

6.1.2

A Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger independente do tempo

As primeiras aplica¸c˜ oes de Schr¨ odinger para sua equa¸cão de onda foram para problemas tais como o ´ atomo de hidrogênio e o oscilador harmônico simples, onde ele mostrou que a quantiza¸c˜ ao de energia pode ser explicada naturalmente em termos de ondas estacion´ arias. Para tais problemas não é necess´ ario considerar a dependência temporal da fun¸cão de onda, pois nestes sistemas a part´ıcula tem uma energia definida (isto é, fisicamente os estados de energia de um ´ atomo de hidrogênio isolado, por exemplo, não mudam com o tempo). Neste caso, podemos simplificar a forma da fun¸cão de onda utilizando o método de separa¸c˜ ao de vari´ aveis. Supondo que a fun¸cão de onda possa ser escrita como: ψ(x,t) = ψ(x)eiωt quando V (x,t) = V (x), então i~

∂ ∂ ψ(x,t) = i~ ψ(x)eiωt = i~(−iω)ψ(x)eiωt = ~ωψ(x)eiωt = Eψ(x)eiωt ∂t ∂t

o que implica que a Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger independente do tempo terá a forma: −~2 d2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x). (6.6) 2m dx2 Essa equa¸c˜ ao diferencial é muito mais simples de tratar do que a equa¸cão geral dependente do tempo. Observe que todas as condi¸cões sobre ψ(x,t) também s˜ ao v´ alidas sobre ψ(x), ou seja, ela deve ser cont´ınua, ter primeira derivada cont´ınua e obedecer a condi¸c˜ ao de normaliza¸c˜ ao: Z

+∞

−∞

dxψ ? (x,t)ψ(x,t) =

Z

+∞

−∞

dxψ ? (x)e+iωt ψ(x)e−iωt =

Z

+∞

dxψ ? (x)ψ(x).

−∞

(6.7)

110

6.1.3

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O po¸co quadrado infinito

Um dos problemas mais simples cuja solu¸c˜ ao pode ser obtida a partir da Equa¸caõ de Schr¨ odinger independente do tempo é o do po¸co quadrado infinito. Fisicamente, esse problema corresponde ` a resolu¸cão do problema de uma part´ıcula confinada em uma caixa e é determinada por um potencial que tem a forma: ( 0 para 0 < x < L; V (x) = (6.8) ∞ para L ≤ x ≤ 0. Apesar de sua simplicidade, o problema do po¸co quadrado infinito é de enorme importˆ ancia, pois é equivalente ao da mola vibrante. Assim, a presente discuss˜ ao poder´ a ser estendida a in´ umeros problemas an´ alogos, tendo sido inclusive utilizada como uma primeira aproxima¸caõ para o problema de um Figura 6.1: Representa¸cão esquemática elétron em um metal6 . de um po¸co quadrado infinito de lado Sabemos que é imposs´ıvel encon- L. trar a part´ıcula fora da caixa, assim temos necessariamente ψ(x) = 0 para L < x < 0 (lembre-se de que o módulo ao quadrado da fun¸c˜ ao de onda é proporcional a probabilidade de encontrarmos a part´ıcula). Como a fun¸c˜ ao de onda dever ser cont´ınua, então ψ(x = 0) = ψ(x = L) = 0 . A essas condi¸c˜ oes chamamos de condi¸cões de ´ interessante destacar que conhecemos muito bem um sistema contorno. E cl´ assico com as mesmas condi¸c˜ oes de contorno: a corda vibrante com extremidades fixas. No caso da corda vibrante, as condi¸cões de contorno levam a solu¸c˜ oes onde apenas algumas frequências s˜ ao permitidas. Foi essa quantiza¸caõ de frequências, juntamente com a hip´ otese de de Broglie, que motivou Schr¨ odinger a procurar uma equa¸c˜ ao de onda para elétrons. A condi¸c˜ ao de onda estacion´ aria para ondas numa corda de comprimento L, fixa em ambas as extremidades, é que um n´ umero inteiro de meio comprimento de onda se ajuste ao comprimento L, ou seja, n λ2 = L, com n = 1,2,3, ... Mostraremos que a mesma condi¸c˜ ao segue da solu¸cão da Equa¸cão de Schrödinger para uma part´ıcula em um po¸co quadrado infinito. Como o comprimento de onda est´ a relacionado ao momento da part´ıcula através da rela¸cão de de Broglie p = λh , e a energia total da part´ıcula no po¸co é justamente a energia 6 Uma das primeiras tentativas de se descrever a dinˆ amica dos el´ etrons em um cristal ´ e o Modelo de Drude, cujo princ´ıpio b´ asico est´ a na existˆ encia de el´ etrons livres confinados em um metal. A descri¸c˜ ao deste modelo, bem como a utiliza¸c˜ ao da Mecˆ anica Quˆ antica em seu aperfei¸coamento, podem ser encontradas em diversos livros de F´ısica do Estado S´ olido, como por exemplo o de C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (John Wiley and Sons, New York, 1968).


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111

2

p , essa condi¸c˜ ao quˆ antica sobre o comprimento de onda implica que cinética 2m a energia também é quantizada e dada por:

E=

2 p2 h2 h2 2 h = = = n 2 2m 2mλ2 8mL2 2m 2L n

(6.9)

Como a energia depende do n´ umero quˆ antico n, é costume escreve-la como En . Em termos de ~, a energia é dada por: En = n2

π 2 ~2 = n2 E1 . 2mL2

(6.10)

Por outro lado, utilizando a Equa¸c˜ ao de Schrödinger, o problema do po¸co quadrado infinito implica na solu¸c˜ ao de duas equa¸cões diferenciais acopladas: uma compreendendo a regi˜ ao fora do po¸co e outra a região interna do po¸co. Como a probabilidade de encontrar o elétron fora do po¸co é nula, a fun¸cão de onda nessa regi˜ ao deve ser necessariamente zero, ou seja ψ(x) ≡ 0. Na regi˜ ao interna ao po¸co, o potencial é nulo (V (x) = 0, para 0 < x < L), logo a Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger tem a forma ~2 d 2 ψ(x) =Eψ(x) 2m dx2 ou, rearranjando os termos −

d2 2mE ψ(x) = − 2 ψ(x) = −k 2 ψ(x), dx2 ~

(6.11)

onde k é o n´ umero de onda. Poss´ıveis solu¸c˜ oes para a equa¸c˜ ao diferencial 6.11 são: ψ(x) = Acos(kx) ou ψ(x) = Asen(kx). Todavia, as condi¸c˜ oes de contorno, ψ(x = 0) = ψ(x = L) = 0, eliminam a solu¸c˜ ao que depende de cos(kx), pois cos(0) = 1. Por outro lado, para a solu¸c˜ ao seno temos ψ(L) = Asen(kL) = 0. Essa condi¸cão é satisfeita π se, e somente se, kL for igual a π, isto é, se kn = n L (com n = 1,2,3,...), ou em termos do comprimento de onda (λ): kn =

nπ λ 2π = ⇒ n = L, λn L 2

(6.12)

onde n é um n´ umero natural (1, 2, 3, ...). Utilizando as rela¸c˜ oes de de Broglie, podemos obter a energia do sistema: En

=

p2 ~2 k 2 n 2 n2 ~2 π 2 = = 2m 2m 2mL2

∴ En

=

n2 E1 ,

que é exatamente igual ` a express˜ ao dada em 6.10.

(6.13)

112

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Note que a quantiza¸c˜ ao das energias do sistema decorre naturalmente da imposi¸c˜ ao das condi¸c˜ oes de contorno do sistema. Utilizando a condi¸c˜ ao de normaliza¸caõ, obtemos o valor da constante A da solu¸c˜ ao da Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger: Z

Figura 6.2: Diagrama de n´ıveis de energia para o po¸co quadrado infinito.

+∞

dxψ ? (x)ψ(x)

=

−∞ L

Z

dxAn sen2

nπx

L cuja solu¸ca õ fornece

=

1,

0

r

An ∴ ψn (x)

2 L r nπx 2 = sen , L L

=

com n um n´ umero natural. Note que a solu¸c˜ ao obtida é idêntica a fun¸cão de onda estacion´ aria para o problema cl´ assico da corda vibrante. O ´ındice n é chamado de n´ umero quˆ antico e aparece como consequência das condi¸cões de contorno. Cada n´ umero quˆ antico define uma fun¸c˜ ao de onda e um valor de energia particular, ou seja, define um estado do sistema. Uma forma de reafirmarmos a importˆ ancia e abrangência dos resultados obtidos através de c´ alculos que utilizam a Mecˆ anica Quˆ antica, é compararmos a distribui¸c˜ ao cl´ assica de medidas de posi¸c˜ ao com a presente solu¸c˜ ao. Classicamente, a probabilidade de encontrar a part´ıcula em alguma regi˜ ao dx é proporcional ao tempo despendido em dx, que é dx e a velocidade. Sendo Figura 6.3: Representa¸cão das fun¸cões v , onde v ´ a velocidade constante, a fun¸c˜ ao de onda (ψ(x)) e das densidades de prode distribui¸c˜ ao cl´ assica normalizada babilidade (ψ 2 (x) para os estados com é Pc (x) = L1 . De acordo com n = 1 e n = 2. o Princ´ıpio de Correspondência de Bohr, as distribui¸c˜ oes quˆ anticas se aproximam das distribui¸cões clássicas quando n for grande, isto é, para grandes energias. Para n grande, a fun¸cão de onda tem muitos picos, e em um ∆x pequeno, somente o valor médio é


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113

observado: |ψn2 (x)|medio =

2 sen2 (kn x) L

= medio

21 1 = , L2 L

ou seja, exatamente o resultado cl´ assico. Finalmente, n˜ ao podemos esquecer que, além da parte espacial, nossa fun¸c˜ ao de onda total tem também uma parte temporal, ou seja, r r En 2 2 −iωt −iωt sen(kn x)e = sen(kn x)e−i ~ t . (6.14) ψ(x,t) = ψ(x)e = L L

6.1.4

O po¸co quadrado finito

Como vimos, a quantiza¸c˜ ao de energia aparece naturalmente na solu¸cão da Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger. Este fato é comum a todas as part´ıculas confinadas, como ser´ a exemplificado a seguir para o caso do po¸co quadrado finito. A diferen¸ca entre o po¸co quadrado infinito (discutido anteriormente) e o po¸co quadrado finito est´ a apenas no valor do potencial (V (x)) que é infinito no primeiro caso e assume um valor fixo (Vo ) no segundo. Um fato importante relacionado ao po¸co quadrado finito s˜ ao as diferentes solu¸c˜ oes obtidas para a Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger dependendo da energia total da part´ıcula E ser maior ou menor do que o potencial da barreira Vo . No caso E > V o, a part´ıcula n˜ ao est´ a confinada, o que equivale a dizer que a quantiza¸c˜ ao da energia n˜ ao poder´ a ser percebida Figura 6.4: Representa¸cão de um po¸co e, aparentemente, qualquer valor de quadrado infinito de lado L. energia ser´ a permitido. Discutiremos esse caso detalhadamente mais adiante. Por hora, analisaremos apenas o que ocorre quando E < Vo , ou seja, trataremos de uma part´ıcula que classicamente estaria confinada em uma regi˜ ao compreendida entre 0 e L. No interior do po¸co a solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger é idêntica a do po¸co infinito: 2mE d2 ψ(x) = − 2 ψ(x) = −k 2 ψ(x), dx2 ~

(6.15)

onde k é o n´ umero de onda. As solu¸c˜ oes s˜ ao senos e cossenos, como vimos anteriormente. Todavia, não podemos mais impor a condi¸c˜ ao de contorno ψ(x = 0) = ψ(x = L) = 0, já que n˜ ao existe mais o v´ınculo de que a probabilidade de se encontrar o elétron nos pontos x ≤ 0 e x ≥ L seja nula. Ocorre que as condi¸cões sobre a fun¸cão de onda devem ser obedecidas para qualquer problema em análise. Nesse caso,

114

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usamos o fato de que a fun¸c˜ ao de onda e sua primeira derivada devem ser cont´ınuas em todos os pontos, inclusive em x = 0 e x = L. Se j´ a conhecemos a solu¸c˜ ao do problema dentro do po¸co de potencial, resta agora determin´ a-la fora do po¸co, ou seja, para 0 > x > L. Fora do po¸co, a equa¸caõ de Schr¨ odinger deve ser escrita como: 2m(Vo − E) d2 ψ(x) = ψ(x) = α2 ψ(x), 2 dx ~2

(6.16)

onde α2 = 2m(V~o2−E) > 0. O método direto para encontrar as fun¸c˜ oes de onda e energias permitidas para esse problema 7 é resolver a Equa¸c˜ ao de Schrödinger dentro e fora do po¸co e impor que a fun¸c˜ ao de onda e sua primeira derivada em rela¸cão à x sejam cont´ınuas em x = 0 e x = L. Na regi˜ ao fora do po¸co, a solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao 6.16 tem a forma ψ(x) = Ce−αx , onde C é uma constante e consideramos apenas x > 0. Restanos impor a condi¸c˜ ao de continuidade e resolver o problema analiticamente. Apesar de poss´ıvel, o método direto é bastante trabalhoso. Ao invés de tomar este caminho, vamos fazer uma an´ alise desta solu¸c˜ ao. Enquanto dentro do po¸co o limite da fun¸c˜ ao de onda quando x tende a um Figura 6.5: Representa¸cão de poss´ıveis n´ umero muito grande é, em m´ odulo, solu¸c˜ oes para o po¸co quadrado finito. zero (ou seja, limx→∞ ψ(x) = 0), fora do po¸co, esse limite tende a infinito. Esse fato pode ser verificado facilmente se observarmos que o sinal da segunda derivada espacial da fun¸cão de onda (que est´ a ligada a curvatura da fun¸c˜ ao) é positivo (negativo) quando a fun¸c˜ ao de onda é positiva (negativa), ou seja, a fun¸cão de onda se afasta do eixo. Dessa forma, para a maioria dos valores de energia a fun¸cão de onda n˜ ao é bem comportada e n˜ ao pode ser normalizada (lembre-se a normaliza¸cão p2 h2 imp˜ oe que a fun¸c˜ ao de onda seja limitada). Para uma energia E = 2m = 2mλ 2, teremos, por exemplo, para λ = 4L uma fun¸c˜ ao que tem a forma dada pela figura 6.5. Todavia, como a fun¸c˜ ao de onda deve ser normalizada, só os valores do comprimento de onda que tornam a fun¸c˜ ao bem comportada, como as representadas na parte inferior da figura 6.5, s˜ ao admitidos . Note que, em contraste com o caso cl´ assico, h´ a alguma probabilidade de encontrar a part´ıcula fora da caixa. Nessas regi˜ oes, a energia total é menor que 7 Esse

´ e de fato o m´ etodo direto para a solu¸c˜ ao de qualquer problema que apresenta formas funcionais diferentes para o potencial em diferentes regi˜ oes espaciais: escreve-se a Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger para as diversas regi˜ oes, obt´ em-se a solu¸c˜ ao para cada regi˜ ao diferente. As constantes de normaliza¸ca õ ser˜ ao obtidas utilizando a continuidade da fun¸c˜ ao de onda e de sua primeira derivada nos limites das regi˜ oes consideradas.


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115

a energia potencial. Assim, pareceria a primeira vista, ser a energia cinética negativa. Como n˜ ao h´ a, na f´ısica cl´ assica, significado para energia cinética negativa, como podemos interpretar essa penetra¸cão da fun¸cão de onda na regi˜ ao da barreira? Ser´ a que podemos medir energias cinéticas negativas na Mecˆ anica Quˆ antica? Em caso positivo, haveria grande falha na teoria, pois estar´ıamos desrespeitando o Princ´ıpio de Complementariedade de Bohr. Felizmente, o Princ´ıpio de Incerteza de Heisenberg nos permite explicar essa aparente contradi¸c˜ ao. Vamos compreender esse fato qualitativamente para a regi˜ ao x > L. Como a fun¸c˜ ao de onda decresce segundo e−αx , o módulo ao quadrado da fun¸c˜ ao de onda também é uma exponencial (e−2αx ), que se torna muito pequena numa distˆ ancia da ordem de ∆x ' α−1 . Se considerarmos que o m´ odulo da fun¸c˜ ao de onda é desprez´ıvel em qualquer ponto além de x = L + α−1, poderemos dizer que encontrar a part´ıcula na região x > L é grosseiramente equivalente a localiz´ a-la na região ∆x ' α−1 . Tal medida ~ introduz uma incerteza no momento da ordem de ∆p ' ∆x = ~α, e uma 2

2

2

~ α cão (vide energia cinética m´ınima da ordem de (∆p) 2m ' 2m . Mas, por defini¸ 2m(Vo −E) ~2 α2 2 equa¸c˜ ao 6.16) α = , ou seja, = V − E. Essa incerteza m´ınima o ~2 2m na energia cinética é suficiente para evitar que uma medida desta grandeza seja negativa. A penetra¸c˜ ao da fun¸c˜ ao de onda em uma região classicamente proibida tem consequências importantes no tunelamento (ou penetra¸cão de barreiras), como veremos a seguir.

Quer saber mais? Aplica¸ c˜ oes A maior parte da nossa discuss˜ ao acerca do problema do po¸co quadrado finito se aplica a qualquer problema em que E < V (x) em alguma regi˜ ao e E > V (x) fora daquela região. Considere um potencial arbitr´ ario V (x) com formato parabólico (essa é uma primeira aproxima¸c˜ ao para o potencial de intera¸c˜ ao entre dois átomos, vide por exemplo, http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/mecanica/ universitario/cap09/cap09_38.htm). No interior do po¸co, d2 x a Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger tem a forma dx2 ψ(x) = −k 2 ψ(x), onde 2m[E−V (x)] k2 = depende explicitamente de x. As solu¸cões dessa equa¸cão ~2 n˜ ao s˜ ao fun¸c˜ oes simples do tipo seno e cosseno, porque o n´ umero de onda varia com x. Todavia, uma vez que a fun¸c˜ ao de onda (ψ(x)) e sua segunda derivada em rela¸c˜ ao a x (ψ 00 (x)) tem sinais opostos, ψ(x) necessariamente ir´ a se curvar em dire¸c˜ ao ao eixo, e as solu¸cões oscilarão. Fora do po¸co, ψ(x) ir´ a se curvar afastando-se do eixo, de sorte que haver´ a somente certos valores de E para os quais existem solu¸c˜ oes que se aproximam de zero quando x é um n´ umero muito grande. Observe que a quantiza¸cão da energia (nem todos os valores de E s˜ ao permitidos) mais uma vez decorreu da solu¸c˜ ao da Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger sem que houvesse a necessidade de qualquer postulado ou suposi¸c˜ ao.

116

6.2

Miotto e Ferraz


Valores esperados e operadores

A solu¸c˜ ao de um problema de Mecˆ anica Cl´ assica fica bem especificada dando-se a posi¸c˜ ao da part´ıcula, ou part´ıculas, em fun¸cão do tempo. Como já discutimos, a natureza ondulat´ oria da matéria nos impede de fazer isso para sistemas microsc´ opicos. Em vez disso, procuramos determinar a fun¸cão de onda ψ(x,t) e a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao de probabilidade |ψ(x,t)|2 . O máximo que podemos conhecer é a probabilidade de medir um certo valor de posi¸cão. O valor esperado de x é definido como: Z +∞ hxi = dxψ ? (x,t)xψ(x,t) (6.17) −∞

O valor esperado é o pr´ oprio valor médio de x que esperar´ıamos obter a partir de uma medida das posi¸c˜ oes de um grande n´ umero de part´ıculas com a mesma fun¸c˜ ao de onda ψ(x,t). Como vimos, para uma part´ıcula num estado de energia definida, a distribui¸c˜ ao de probabilidade é independente do tempo. O valor esperado é, ent˜ ao, dado por: Z +∞ hxi = dxψ ? (x)xψ(x) (6.18) −∞

Para o po¸co quadrado, por exemplo, um c´ alculo simples leva a hxi = L2 e 2 2 L L analogamente hx2 i = 3 − 2n2 π2 . ´ importante salientar que ao realizar uma medida, o valor obtido não é E necessariamente o valor esperado. Isso ocorre porque o valor esperado é a representa¸c˜ ao de um conjunto grande de medidas, tal qual uma média. Para exemplificar esse fato, consideremos dois exemplos. O primeiro é o jogo de cara ou coroa. Sabemos, de antem˜ ao que a probabilidade de cara ou coroa é de 50%. Assim, ao realizarmos dois sorteios, esperamos obter uma vez o valor cara e uma vez o valor coroa. Todavia, nem sempre isso ocorrerá. Os dois sorteios podem resultar em cara (fa¸ca o teste!) e não existe nada errado a´ı. Conforme aumentamos o n´ umero de sorteios, digamos para 100, teremos, por exemplo, 48 resultados cara e 52 resultados coroa. Para 1000, teremos, por exemplo, 505 resultados cara e 495 resultados coroa. Note que ao aumentarmos o n´ umero de sorteios, o resultado obtido aproxima-se cada vez mais do valor inicialmente proposto de 50%. No caso de sistemas quânticos ocorre exatamente o mesmo: ao fazermos uma u ńica medida, o valor obtido não é necessariamente o valor esperado. Todavia, se realizamos um grande n´ umero de medidas, a média dessas medidas aproxima-se cada vez mais do resultado esperado. Como exemplo, considere o caso onde n = 2 para o po¸co quadrado infinito. A probabilidade de se medir x em algum intervalo dx no meio do po¸co (x = L/2) é nula, porque a fun¸c˜ ao de onda sen(nπx/2) se anula nesse ponto. Todavia, como vimos, o valor esperado de x é L/2, porque a fun¸cão densidade de probabilidade (ψ ? ψ) é simétrica em torno daquele ponto.

6.2 Valores esperados e operadores

Miotto e Ferraz

117

Detalhes matem´ aticos: Determina¸ c˜ ao do valor esperado de uma part´ıcula confinada em po¸ co quadrado Z

+∞

dxψ ? (x)xψ(x)

hxi = −∞ Z L

=

dx x 0

2 cos2 (x). L

Para resolver a integral, utilizamos a rela¸c˜ ao trigonométrica, 2cos2 (x) = 1 + cos(2x), de forma que "Z # Z L L 2 x x hxi = dx + dx cos(2x) . L 0 2 2 0 A solu¸c˜ ao da primeira integral é imediata (L2 /4), mas para resolver a segunda o método de integra¸cão por partes. Lembrando R é preciso utilizar R que u dv = uv − v du, identificamos u = x, du = dx, dv = cos(2x), o que implica que v = 21 sen(x). Assim, a segunda integral tem a forma Z Z 1 x 1 1 uv − du v = sen(2x) − dx sen(2x) 2 2 2 2 1 x 1 = sen(2x) − (−cos(2x)) 2 2 4 1 1 = xsen(2x) − cos(2x). 4 8 Substituindo os limites de integra¸c˜ ao (0 e L), chegamos ao valor esperado hxi = L2 . A determina¸c˜ ao de hx2 i pode ser feita de forma análoga. O valor esperado do momento, por sua vez, pode ser escrito como8 : Z

+∞

hpi =

dxψ ? (x,t)pψ(x,t)

−∞ +∞

Z =

?

dxψ (x,t) −∞

~ ∂ i ∂x

ψ(x,t),

(6.19)

enquanto que hp2 i =

Z

+∞

−∞ 8 Para

dxψ ? (x,t)

~ ∂ i ∂x

~ ∂ i ∂x

ψ(x,t).

uma demonstra¸c˜ ao bastante elegante entre a equivalˆ encia entre p e o volume III do livro The Feynman Lectures on Physics, seçc˜ ao 20-5.

(6.20) ~ ∂ , i ∂x

consulte

118

Miotto e Ferraz


Para a fun¸c˜ ao de onda do estado fundamental do po¸co quadrado infinito, por exemplo, ter´ıamos: Z +∞ hpi = dxψ ? (x)pψ(x) −∞ r Z L πx ~ ∂ r 2 πx 2 sen sen = dx L l i ∂x L l 0 Z L Z L ~2π πx πx = dx dx sen cos i LL 0 l l 0 = 0. (6.21) O que é fisicamente coerente com o fato de a part´ıcula ter a mesma probabilidade de estar se movendo no sentido de x positivo ou x negativo, o que implica que o momento médio é sempre nulo. Analogamente, podemos mostrar que o valor esperado de hp2 i, no caso do po¸co quadrado infinito, pode ser calculado como: r Z L πx ~ ∂ ~ ∂ r 2 πx 2 2 hp i = dx sen sen L l i ∂x i ∂x L l 0 Z L πx πx 2 Z L 2 π = dx ~2 dx sen sen L L2 0 l l 0 ~2 L2 = . (6.22) π2

6.3

Transi¸ c˜ oes entre estados de energia

Vimos que a equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger leva ` a quantiza¸cão de energia para sistemas ligados e que esta quantiza¸c˜ ao é observada experimentalmente através das transi¸c˜ oes de energia. Vamos observar alguns aspectos clássicos destas transi¸c˜ oes em uma dimens˜ ao considerando como exemplo uma carga elétrica. Sabemos que uma carga elétrica acelerada emite radia¸cão, enquanto que uma carga elétrica oscilando emite radia¸c˜ ao com frequência igual à frequência de sua oscila¸c˜ ao, e, em contrapartida, uma carga elétrica estacionária não emite radia¸caõ. Por outro lado, do ponto de vista quˆ antico, uma part´ıcula de carga q (um elétron, por exemplo), em um estado quˆ antico n, é descrita pela fun¸cão de onda ψn (x,t) = ψn (x)exp(−i(En /~)t), onde En é a energia do estado quântico n e ψn (x) é a solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger independente do tempo para um dado potencial V (x). A probabilidade de encontrarmos a carga em dx é proporcional a ψn? (x)ψn (x)dx. Se fizermos muitas medidas em sistemas idênticos (isto é, part´ıculas com a mesma fun¸c˜ ao de onda), a quantidade de carga encontrada em dx é proporcional a qψn? (x)ψn (x)dx. Portanto, podemos identificar qψn? (x)ψn (x)dx como a densidade de carga ρ (que é um observável!). Se a

6.3 Transi¸ c˜ oes entre estados de energia

Miotto e Ferraz

119

fun¸c˜ ao de onda contiver uma u ńica energia, a fun¸cão de onda é independente do tempo, o que significa que a densidade de carga também o será. Isso implica que a densidade de carga estacion´ aria n˜ ao irradiará (o que foi utilizado como argumento para explicar o postulado de Bohr das órbitas não irradiantes). Todavia, sabemos que mesmo nesses casos os elétrons sofrem transi¸cões de energia, causadas pela intera¸c˜ ao da part´ıcula carregada com um campo eletromagnético (f´ otons). O tratamento detalhado desse processo é complexo, o que nos restringe ao estudo semi-cl´ assico do problema. Considere uma part´ıcula, um elétron, por exemplo, que pode realizar uma transi¸c˜ ao de um estado n caracterizado pela fun¸cão de onda ψn (x,t), para um estado m caracterizado pela fun¸c˜ ao de onda ψm (x,t). Espera-se que a densidade de probabilidade e a densidade de carga oscilem com frequência angular ωnm , dada pela rela¸c˜ ao de Bohr: hν = ~ωnm = En − Em , ou seja, ωnm = (En − Em )/~, j´ a que essa é a frequência de emissão do fóton quando ocorre a transi¸c˜ ao (de um elétron, por exemplo) de um estado n para um estado m . Escreveremos a fun¸c˜ ao de onda para uma part´ıcula que esteja realizando uma transi¸c˜ ao do estado n para o estado m como uma mistura dos dois estados 9 ψnm (x,t) = aψn (x,t) + bψm (x,t). N˜ ao nos preocuparemos com a e b, apenas vamos consider´ a-los n˜ ao nulos. Quando a part´ıcula estiver no estado n, a = 1 e b = 0, para o estado m, a = 0 e b = 1 e quando a part´ıcula estiver realizando uma transi¸c˜ ao do estado n para o estado m, a e b são simultaneamente n˜ ao nulos. A densidade de probabilidade para a fun¸cão de onda será escrita como: ? ψnm (x,t)ψnm (x,t)

=

? (aψn? (x,t) + bψm (x,t)) (aψn (x,t) + bψm (x,t))

=

? a2 ψn? (x,t)ψn (x,t) + b2 ψm (x,t)ψm (x,t)

+

? abψn? (x,t)ψm (x,t) + abψm (x,t)ψn (x,t).

(6.23)

Para simplificar a nota¸c˜ ao, admitiremos que a fun¸cão de onda ψ(x,t) possa ser escrita como o produto de uma fun¸c˜ ao espacial ψ(x) real e uma fun¸cão temporal imagin´ aria exp(−i(En /~)t) (esse é o caso, por exemplo, de um elétron confinado em um po¸co quadrado infinito). Nesse caso, os dois primeiros termos de 6.23 s˜ ao independentes do tempo10 . Note que isso é coerente com os resultados experimentais, pois no caso do elétron estar, por exemplo, no estado n (a = 1 e b = 0), s´ o o primeiro termo é n˜ ao nulo. Isso significa que a densidade de carga n˜ ao varia com o tempo, ou seja, ele não irradia em concordância com os resultados experimentais. Resta agora verificarmos o que acontece com os dois u ´ltimos termos que s˜ ao n˜ ao nulos apenas quando a part´ıcula estiver 9 N˜ ao

esque¸ca que essa ´ e uma aproxima¸c˜ ao!! ? (x,t)ψ (x,t) = a2 qψ ? (x)exp(i(E /~)t)ψ (x)exp(−i(E /~)t). que a2 qψn n n n n n Como ψ(x) ´ e real, sua parte imagin´ aria ´ e igual a parte real, resultando em ? (x,t)ψ (x,t) = a2 qψ 2 (x), que n˜ a2 qψn ao depende do tempo. n n 10 Verifique

120

Miotto e Ferraz


realizando uma transi¸caõ do estado n para o estado m. En Em ? ? qψn (x,t)ψm (x,t) = qaψn (x)exp i t bψm (x)exp −i t ~ ~ En − Em t = qabψn (x)ψm (x)exp i ~ =

qabψn (x)ψm (x)e(iωnm t) .

(6.24)

Analogamente, ? qψm (x,t)ψn (x,t) = qabψm (x)ψn (x)e(iωmn t) = qabψn (x)ψm (x)e(−iωnm t) , (6.25) onde ωnm é a frequência angular de Bohr. Somando-se essas duas rela¸cões e usando o fato de que eix + e−ix = 2cos(x), temos que a densidade de probabilidade ter´ a a forma geral ? 2 ψm (x,t)ψn (x,t) = a2 qψn2 (x) + b2 qψm (x) + 2qabψn (x)ψm (x)cos (ωnm t) . (6.26)

Logo, a fun¸c˜ ao de onda constitu´ıda pela mistura de dois estados de energia leva a uma distribui¸c˜ ao de carga que oscila com a frequência de Bohr. Podemos escrever a radia¸c˜ ao de um sistema simplificadamente da seguinte maneira: em algum instante, um sistema est´ a em um estado excitado n, descrito por ψnm (x,t), e com a = 1 e b = 0. Por causa da intera¸cão do sistema com um campo eletromagnético, por exemplo, (n˜ ao inclu´ıdo na equa¸cão) a decresce e b n˜ ao é mais zero. Nesse instante, a densidade de carga oscila com frequência angular ωnm . Entretanto, o sistema n˜ ao irradia energia continuamente, como prevê a teoria cl´ assica. Em vez disso, a densidade de carga oscilante implica em uma probabilidade de que um f´ oton de energia ~ωnm = En − Em seja emitido, evento ap´ os o qual o sistema ficar´ a no estado m com a = 0 e b = 1. Observe que essa an´ alise semi-cl´ assica permitiu-nos explicar a emissão de um fóton individual através de um processo estat´ıstico.

6.3.1

Elementos de Matriz e Regras de Sele¸c˜ ao

O sistema de radia¸c˜ ao cl´ assica mais elementar é um dipolo elétrico oscilante. O momento de dipolo qx para uma part´ıcula de fun¸cão de onda ψn (x,t) tem o valor esperado Z +∞

dx qψn? (x,t)xψm (x,t).

qhxi =

(6.27)

−∞

Pela discuss˜ ao anterior, podemos inferir que se a fun¸cão de onda corresponder a um estado estacion´ ario que contém uma u ńica energia, o valor esperado do momento de dipolo ser´ a independente do tempo. Entretanto, se a fun¸cão de onda é uma mistura de dois estados quˆ anticos (ψnm (x,t)), qhxi terá termos que oscilam com a frequência de Bohr an´ alogos aos obtidos no caso anterior: Z +∞ 2 qhxi = a2 qψn2 (x) + b2 qψm (x) + 2qabcos (ωnm t) dx ψn (x)xψm (x). (6.28) −∞

6.4 Reflex˜ ao e transmiss˜ ao de ondas

Miotto e Ferraz

121

A integral na equa¸c˜ ao acima é chamada de elemento de matriz e em muitos casos ela vale zero. Por exemplo, se ψn (x,t) e ψm (x,t) forem fun¸cões de onda para o po¸co quadrado infinito, um c´ alculo direto mostrará que o elemento de matriz na equa¸caõ acima ser´ a zero se n e m forem ambos pares ou ´ımpares. Para esses casos, transi¸c˜ oes de dipolos s˜ ao proibidas entre esses estados. A ausência de transi¸c˜ ao entre dois estados, devido ao fato de que o elemento de matriz é nulo, é usualmente descrita por uma regra de sele¸c˜ ao. Por exemplo, uma regra de sele¸c˜ ao para o po¸co quadrado infinito é que o n´ umero quântico n deve mudar segundo 1,3,5,... e n˜ ao segundo 2,4,6,.... Assim, as transi¸cões entre estados estacion´ arios s˜ ao definidas por regras de sele¸cão derivadas dos elementos de matrizes. As transi¸c˜ oes que temos discutido, e que são resultantes de perturba¸cões de um sistema com um campo eletromagnético, são chamadas transi¸cões espontˆ aneas. Se um sistema est´ a no seu estado fundamental e é exposto à radia¸c˜ ao externa de frequência ωnm correspondente à frequência de Bohr para uma transi¸c˜ ao para um estado excitado, ele pode efetuar a transi¸cão absorvendo um f´ oton da radia¸c˜ ao externa. Se esse sistema voltar ao estado fundamental através da emiss˜ ao de um f´ oton, caracteriza-se uma emissão espontˆ anea. Por outro lado, se tal sistema estiver num estado excitado e exposto ` a radia¸c˜ ao externa de frequência correspondente à frequência de Bohr para uma transi¸c˜ ao para um estado de energia mais baixo, o sistema poderá ser estimulado a emitir um f´ oton (ao realizar a transi¸cão) de energia exatamente igual a energia da radia¸c˜ ao externa. Tal emissão estimulada ocorre em lasers e masers. Tanto no caso de emiss˜ oes estimuladas quanto de emissões espontˆ aneas, as regras de sele¸c˜ ao ser˜ ao sempre as mesmas.

6.4

Reflex˜ ao e transmiss˜ ao de ondas

Até este ponto estudamos apenas problemas com estados ligados, ou seja, a energia potencial é menor do que a energia total do sistema para grandes valores de x. Vamos considerar agora alguns casos simples de estados não ligados para os quais E é maior do que V (x). Para esses problemas, a derivada segunda em rela¸c˜ ao ` a posi¸c˜ ao (∂ 2 ψ(x,t)/∂x2 ) sempre tem sinal oposto ao da fun¸c˜ ao de onda 11 , tal que ψ(x,t) se curva em toda parte em dire¸cão ao eixo e n˜ ao se torna infinito para grandes valores de x. Dessa forma, qualquer valor de E é permitido. Mesmo nesse caso, a natureza ondulatória da equa¸cão de Schr¨ odinger leva a algumas consequências interessantes, como veremos a seguir. 11 Considere, por exemplo, a forma geral ψ(x,t) = Aφ(t)e−ikr , onde A ´ e uma constante e φ(t) representa a parte temporal da fun¸c˜ ao de onda. Nesse caso, ∂ 2 ψ(x,t)/∂x2 sempre ter´ a sinal contr´ ario a ψ(x,t).

122

6.4.1

Miotto e Ferraz


Potencial degrau

Considere uma part´ıcula de energia E movendo-se numa regi˜ ao em que a energia potencial seja uma fun¸caõ degrau: ( 0 para x < 0; V (x) = (6.29) Vo para x > 0. Vamos nos concentrar no caso particular em que a part´ıcula se move da Figura 6.6: Representa¸cão esquemática esquerda para a direita. Nesse caso, do potencial degrau. a resposta cl´ assica é simples. Para x < 0 a part´ıcula q se move com ve2E locidade v = ca impulsiva atua nela. Se E for m . Em x = 0 uma for¸ menor do que Vo , a part´ıcula ser´ a refletida pelo potencial degrau e se mover´ a para esquerda com sua velocidade original. Se E for maior do que Vo , a part´ıcula a se movendo para a direita, mas com velocidade reduzida q continuar´

o) v = 2(E−V . m O resultado quˆ antico é similar para E < Vo . Consideremos uma onda incidindo em tal barreira. A figura ao lado mostra a fun¸cão de onda para o caso E < Vo . A fun¸c˜ ao de onda n˜ ao tende a zero em x = 0, mas decai exponencialmente como faz a fun¸c˜ ao de onda para o estado ligado no problema do po¸co quadrado finito. A onda penetra um pouco na região classicamente proibida x > 0, mas eventualmente é refletida por completo. Esse problema é algo similar ` aquele da reflex˜ ao interna total na ´ optica. Para E > Vo , o resultado quˆ antico difere da previsão clássica. Enquanto que classicamente a u ńica mudan¸ca observada é a redu¸cão da velocidade, no caso quˆ antico observamos uma mudan¸ca abrupta do comprimento de onda em h para λ2 = ph2 = √ h . x = 0 de λ1 = ph1 = √2mE

2m(E−Vo )

Sabemos da ´ optica que, quando o comprimento de onda muda abruptamente (numa distˆ ancia pequena quando comparada ao comprimento de onda) parte da onda é refletida e parte transmitida. Como o movimento de um elétron é governado por uma equa¸c˜ ao de onda, Figura 6.7: Representa¸cão esquemática da ao de uma fun¸cão de onda em um o elétron também ser´ a algumas penetra¸c˜ potencial degrau. Note o decaimento expovezes transmitido e outras reflenencial indicado. tido. As probabilidades de reflex˜ ao e transmiss˜ ao podem ser calculadas resolvendo a Equa¸cão de Schrödin-

6.4 Reflex˜ ao e transmiss˜ ao de ondas

Miotto e Ferraz

123

ger em cada regi˜ ao do espa¸co e comparando as amplitudes das ondas transmitida e refletida com aquela da onda incidente. Esse cálculo e seu resultado são similares a encontrar a fra¸c˜ ao de luz refletida de uma superf´ıcie ar-vidro. Se R for a probabilidade de reflex˜ ao, chamada coeficiente de reflexão, tal cálculo 2 1 −k2 ) , onde k1 é o n´ umero de onda da onda incidente e resulta em R = (k (k1 +k2 )2 k2 o da onda refletida. Esse resultado é o mesmo da óptica para reflexão sob incidência normal. O coeficiente de transmiss˜ ao pode ser calculado a partir do coeficiente de reflex˜ ao, pois a soma da probabilidade de transmissão com a de reflex˜ ao deve ser igual a 1 (T + R = 1).

6.4.2

Potencial po¸co quadrado

Consideremos, agora, um potencial do tipo po¸co quadrado, conforme esquematizado na figura 6.8, e em particular o caso onde a energia da part´ıcula é maior do que zero (E > 0), ou seja, a part´ıcula n˜ ao est´ a confi´ importante destacar nada no po¸co. E que a discuss˜ ao a seguir n˜ ao muda Figura 6.8: Representa¸cão esquemática significativamente se o po¸co for subsdo potencial po¸co quadrado. titu´ıdo por uma barreira, por exemplo. A solu¸c˜ ao cl´ assica é novamente simples: uma part´ıcula se aproximando do po¸co pela esquerda é acelerada e se move a uma velocidade maior no interior do po¸co. Ela é desacelerada quando deixa o po¸co e cont´ınua ` a direita com sua velocidade inicial. Observe que classicamente n˜ ao existe qualquer possibilidade da part´ıcula ser refletida. Por outro lado, na Mecˆ anica Quˆ antica ou no tratamento ondulat´ orio, h´ a duas mudan¸cas abruptas no comprimento de onda Figura 6.9: Sequência temporal de um pacote em x = 0 e x = L e ocorre gaussiano que incide pela esquerda sobre um reflex˜ ao em cada um desses po¸co quadrado.

124

Miotto e Ferraz


pontos. Uma onda que incide pela esquerda é transmitida e refletida parcialmente em x = 0. A onda transmitida prossegue até x = L, onde novamente h´ a transmiss˜ ao e reflex˜ ao parciais. A onda refletida em x = L retorna para x = 0, onde o processo se repete. A figura 6.9 mostra a sequência temporal de um pacote gaussiano que incide pela esquerda sobre um potencial de po¸co quadrado. Eventualmente, s˜ ao formados dois pacotes: um pacote transmitido, movendo-se para a direita; e um pacote refletido, movendo-se para a esquerda. As probabilidades de reflex˜ ao e transmiss˜ ao dependem da energia da onda em quest˜ ao. Quando a dimens˜ ao L do po¸co for exatamente igual à metade do comprimento de onda de uma part´ıcula, a onda refletida em x = L se desloca exatamente de um comprimento de onda inteiro quando retorna para x = 0 e se combina com a onda refletida em x = 0. Devido à mudan¸ca de fase de 180◦ na reflex˜ ao em x = 0, as duas ondas refletidas estão fora de fase e tendem a se cancelar mutuamente, a menos que tenham amplitudes diferentes. Um exemplo de potencial semelhante ao do po¸co quadrado é observado quando elétrons interagem com gases inertes.

6.4.3

Penetra¸c˜ ao em uma barreira de potencial (tunelamento)

Consideremos uma part´ıcula de energia E incidindo numa barreira retangular de altura Vo e largura a. Vamos nos limitar ao caso12 em que E < Vo , como exemplificado na figura 6.10. Classicamente, a part´ıcula seria sempre refletida. Entretanto, uma onda que incide pela esquerda n˜ ao decresce imediatamente para zero na barreira, mas em vez disso decair´ a exponencialmente Figura 6.10: Representa¸cão de um pana regi˜ ao da barreira. Ap´ os atingir a cote senoidal incidindo em uma barsegunda parede da barreira, a fun¸c˜ ao reira de potencial. de onda volta a ser senoidal (linha tracejada). Isso implica que haver´ a alguma probabilidade de a part´ıcula ser encontrada do outro lado da barreira mesmo que classicamente este evento seja imposs´ıvel. O tunelamento quˆ antico é o segredo de in´ umeros fenômenos f´ısicos essenciais na produ¸c˜ ao de dispositivos, tais como o do diodo t´ unel, da jun¸c˜ ao supercondutora de Josephson, e do fenˆ omeno de decaimento radioativo através da emiss˜ ao de part´ıculas α. 12 O

caso E > Vo corresponde ` a reflex˜ ao e transmiss˜ ao de ondas estudada na se¸c˜ ao anterior.

1.5 A equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger ...

6.5

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125

A equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger em trˆ es dimens˜ oes

Até agora, todos os nossos estudos limitaram-se a movimentos unidimensionais. Vamos generalizar nosso resultado para sistemas tridimensionais. Em coordenadas cartesianas, a Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger Independente do Tempo pode ser escrita como: 2 ~2 ∂2 ∂2 ∂ − Ψ + Ψ + Ψ + V Ψ = EΨ (6.30) 2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 onde Ψ ≡ Ψ(x,y,z). No caso de uma part´ıcula sujeita a um potencial com simetria c´ ubica, tendo o cubo lado L o potencial é dado por: ( 0 para 0 < Ξ < L, com Ξ = x, y, z; V (x,y,z) = (6.31) ∞ fora do cubo. Assim como no caso do po¸co quadrado infinito unidimensional, no caso tridimensional a fun¸c˜ ao de onda também deve se anular nos limites da caixa e deve ter uma forma senoidal em seu interior. A resolu¸cão formal deste problema envolve a separa¸c˜ ao de vari´ aveis, onde consideremos a fun¸cão de onda total como um produto de fun¸c˜ oes que dependem de apenas uma variável Ψ(x,y,z) = ψ1 (x)ψ2 (y)ψ3 (z), onde cada uma das fun¸cões ψn é uma fun¸cão seno, como no caso unidimensional. Se utilizarmos, por exemplo, uma solu¸cão tentativa com a forma Ψ(x,y,z) = Asen(k1 x)sen(k2 y)sen(k3 z), verificare ~2 mos que a energia é dada por E = 2m k12 + k22 + k32 , que é equivalente a p2 +p2 +p2

2 3 E = 1 2m , com pi = ~ki . Usando as restri¸cões nos n´ umeros de onda obtidas para o po¸co quadrado infinito unidimensional ki = nLi π , que vem da condi¸c˜ ao de contorno na qual a fun¸c˜ ao de onda deve ser zero nas paredes, ~2 π 2 umero obtemos para a energia total E = 2mL2 n21 + n22 + n23 , com ni um n´ inteiro. A energia e a fun¸c˜ ao de onda s˜ ao caracterizadas por três n´ umeros quânticos, cada qual proveniente de uma condi¸c˜ ao de contorno para uma das coordenadas. Nesse caso, os n´ umeros quˆ anticos s˜ ao independentes uns dos outros, mas em problemas mais gerais, o valor de um n´ umero quântico pode afetar os poss´ıveis valores dos outros. O estado fundamental é dado por n1 = n2 = n3 = 1, enquanto o primeiro n´ıvel excitado pode ser obtido de três maneiras diferentes: n1 = 2 e n2 = n3 = 1; ou n2 = 2 e n1 = n3 = 1; ou n3 = 2 e n1 = n2 = 1. A fun¸cão de onda correspondente poderia ser escrita como: πy πz 2πx Ψ(x,y,z) = Asen sen sen . L L L

Quando um estado de energia est´ a associado a mais de uma fun¸cão de onda, dizemos que o estado é degenerado. No exemplo acima a degenerescência é

126

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tripla, j´ a que existem três conjuntos de n´ umeros quˆ anticos, e consequentemente três fun¸c˜ oes de onda que correspondem a energia do primeiro estado excitado do sistema considerado. A degenerescência est´ a relacionada à simetria do problema, sendo maior para sistemas mais simétricos.

6.6

A equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger para duas ou mais part´ıculas

Nossos estudos limitaram-se, até este ponto, apenas a problemas envolvendo uma u ńica part´ıcula. Todavia, mesmo no caso do átomo de hidrogênio, temos duas part´ıculas: o elétron e o pr´ oton. Entretanto, como no caso da Mecˆ anica Cl´ assica, podemos trat´ a-lo como um problema de um só corpo, considerando o pr´ oton parado e substituindo a massa do elétron pela massa reduzida. Problemas mais complexos s˜ ao, em geral, de dif´ıcil solu¸cão anal´ıtica devido aos muitos graus de liberdade do sistema. Particularmente, no caso de sistemas multi-eletrˆ onicos, a intera¸c˜ ao entre os elétrons e a sua indistinguibilidade introduzem dificuldades adicionais ao problema. A intera¸cão entre os elétrons pode, em primeira aproxima¸c˜ ao, ser expressa em termos de uma intera¸caõ puramente coulombiana. Todavia, mesmo nesse caso uma solu¸cão anal´ıtica n˜ ao é trivial, j´ a que sabermos ser imposs´ıvel resolver analiticamente um problema de muitos corpos mesmo na Mecˆ anica Clássica. O fato dos elétrons serem idênticos traz o problema quˆ antico (sem equivalente cl´ assico) de n˜ ao podermos identific´ a-los (n˜ ao esque¸ca do Princ´ıpio de Incerteza!). A figura ao lado ilustra o problema. No caso cl´ assico, se identificamos as part´ıculas antes do processo de espalhamento13 , poderemos seguir suas trajet´ orias sem qualquer dificuldade e identific´ a-las ap´ os o espalhamento. Todavia, no caso quˆ antico, existe uma incerteza em rela¸caõ à posi¸cão (identificada pela hachura na figura), o que impossibilita-nos de identificar as part´ıculas ap´ os o espalhamento, j´ a que n˜ ao podemos seguir sua trajet´ oria. A indistinguibilidade de part´ıculas idênticas tem consequências importantes relacionadas ao Princ´ıpio de Exclus˜ ao de Pauli e implica na introdu¸cão do spin, que discutiremos detalhadamente mais adiante. Assim, faremos uma abordagem preliminar do Princ´ıpio de Exclus˜ ao de Pauli, voltando a ele com maior detalhamento posteriormente. Considere duas part´ıculas n˜ ao interagentes em um po¸co quadrado infinito unidimensional. A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger independente do tempo para duas 13 Espalhamento ´ e nome que se d´ a ao processo de intera¸c˜ ao entre duas part´ıculas independentemente do processo de media¸c˜ ao (eletrost´ atico, colis˜ ao, etc.) entre elas.


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127

part´ıculas de massa m, restritas a um movimento unidimensional é −~2 ∂ 2 Ψ(x1 ,x2 ) ∂ 2 Ψ(x1 ,x2 ) + + V (x1 ,x2 )Ψ(x1 ,x2 ) = EΨ(x1 ,x2 ), (6.32) 2m ∂x21 ∂x22 onde x1 e x2 s˜ ao coordenadas das part´ıculas 1 e 2, respectivamente. Se as part´ıculas forem interagentes, a energia potencial terá dependência funcional em x1 e x2 que, em geral, n˜ ao permite a utiliza¸cão da técnica de separa¸c ão de 2 vari´ aveis. Exemplo t´ıpico é a intera¸c˜ ao eletrostática onde V = x2ke −x1 . Por outro lado, se as part´ıculas n˜ ao interagem, podemos escrever o potencial como a soma de dois potenciais distintos que dependem apenas das coordenadas de uma part´ıcula V (x1 ,x2 ) = V (x1 ) + V (x2 ), o que permite a simplifica¸cão do problema com a obten¸c˜ ao de duas equa¸c˜ oes diferenciais acopladas de uma part´ıcula. Considere um problema no qual o potencial dependa apenas das coordenadas de uma u ńica part´ıcula de tal forma que ele se reduz a duas equa¸cões acopladas semelhantes ` aquela obtida para o po¸co quadrado infinito. Nessas condi¸c˜ oes precisamos resolver a equa¸c˜ ao de Schrödinger somente no interior do po¸co onde o potencial é nulo e impor que a fun¸cão de onda seja nula nos limites do po¸co, exatamente como fizemos anteriormente. Como o potencial é nulo, notamos que a equa¸c˜ ao para duas part´ıculas tem a mesma forma que a observada para uma u ńica part´ıcula em um po¸co bidimensional. A solu¸cão dessa equa¸c˜ ao pode ser escrita na forma πx πx 1 2 Ψ1,2 = Csen sen , (6.33) L L onde C é uma constante de normaliza¸c˜ ao, L a largura do po¸co e x1 e x2 as coordenadas generalizadas das part´ıculas 1 e 2, respectivamente. A probabilidade de encontrar a part´ıcula 1 em dx1 e a part´ıcula 2 em dx2 2 é por defini¸c˜ ao |Ψ(x1 ,x2 )| dx1 dx2 , que para o problema analisado é exata2 2 mente o produto das probabilidades separadas |ψ(x1 )| dx1 |ψ(x2 )| dx2 . Entretanto, mesmo que tenhamos classificado as part´ıculas 1 e 2, se elas forem idênticas, n˜ ao poderemos distinguir qual est´ a em dx1 e qual está em dx2 . Para part´ıculas idênticas, devemos construir a fun¸cão de onda tal que a densidade de probabilidade seja a mesma se permutarmos os ´ındices, ou seja, 2 2 |Ψ(x1 ,x2 )| = |Ψ(x2 ,x1 )| . Vamos analisar com mais detalhe as implica¸cões dessa u ´ltima igualdade. Inicialmente percebemos que n˜ ao existe nenhuma restri¸cão em rela¸cão à simetria da fun¸c˜ ao de onda, ou seja, a fun¸c˜ ao de onda pode ser simétrica ou antissimétrica em rela¸c˜ ao ` a troca de part´ıculas14 ( Ψ(x1 ,x2 ) = Ψ(x2 ,x1 ) caso simétrico; (6.34) Ψ(x1 ,x2 ) = −Ψ(x2 ,x1 ) caso antissimétrico. 14 As fun¸ c˜ oes sim´ etrica e antissim´ etrica tamb´ em s˜ ao chamadas de fun¸c˜ oes pares e ´ımpares. Para lembrar as propriedades b´ asicas dessas fun¸c˜ oes, consulte, por exemplo, http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/pareimpar/fparimpar.htm

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Lembrando que um estado quˆ antico é caracterizado por seus n´ umeros quˆ anticos, no exemplo considerado, nossa primeira tentativa seria escrever a fun¸c˜ ao de onda total para um dado estado como Ψnm (x1 ,x2 ) = ψn (x1 )ψm (x2 ), onde n e m s˜ ao os n´ umeros quˆ anticos associados. Todavia, essa forma funcional n˜ ao reflete o fato de a fun¸c˜ ao de onda total poder ser simétrica ou antissimétrica em rela¸c˜ ao a troca de part´ıculas (troca de x1 por x2 ). Para que essa propriedade possa ser claramente evidenciada, a fun¸cão de onda total deve assumir as formas: ( Ψsim (x1 ,x2 ) = C (ψn (x1 )ψm (x2 ) + ψn (x2 )ψm (x1 )) Ψanti (x1 ,x2 ) = C (ψn (x1 )ψm (x2 ) − ψn (x2 )ψm (x1 )) .

(6.35)

onde os ´ındices sim e anti indicam as fun¸c˜ oes de onda totais simétrica e antissimétrica, respectivamente. H´ a uma diferen¸ca entre combina¸cões simétricas e antissimétricas. Se n = m, a fun¸c˜ ao de onda antissimétrica é identicamente nula para quaisquer combina¸c˜ oes de x1 e x2 , o que não ocorre para a fun¸caõ simétrica. Elétrons, pr´ otons e nêutrons, genericamente denominados férmions15 , podem somente ter fun¸c˜ oes de onda antissimétricas. Assim, fun¸c˜ oes de onda de uma u ńica part´ıcula (como ψn (x1 ) e ψm (x2 )) associadas à elétrons, por exemplo, n˜ ao podem ter os mesmos n´ umeros quânticos. Este é uma das poss´ıveis formas de se enunciar o Princ´ıpio de Exclusão de Pauli16 . Vimos na se¸c˜ ao 6.5 que os elétrons em um ´ atomo têm três n´ umeros quânticos (n1 , n2 e n3 ), associados a cada um dos seus graus de liberdade (coordenadas x, y e z). O Princ´ıpio de Exclus˜ ao de Pauli estabelece que dois elétrons em um a´tomo n˜ ao podem ter o mesmo conjunto de valores para seus n´ umeros quˆ anticos. Veremos adiante que, para que o Princ´ıpio de Exclusão de Pauli seja atendido, ser´ a necess´ ario a inclus˜ ao de um n´ umero quântico adicional associado ao spin. Por outro lado, part´ıculas como a part´ıcula alfa, dêuterons, fótons e mésons, genericamente denominados b´ osons, têm fun¸cões de onda simétricas e n˜ ao obedecem ao Princ´ıpio de Exclus˜ ao de Pauli. No caso dos fótons, que s˜ ao b´ osons, podemos gerar um grande n´ umero de part´ıculas com mesma energia. Esse é o princ´ıpio de funcionamento de um laser17 .

15 Saiba mais sobre f´ ermions e outras part´ıculas elementares descritas pelo modelo padr˜ ao acessando, por exemplo, http://www.sprace.org.br/AventuraDasParticulas, http://www.tvcultura.com.br/particulas/particula1.php, http://dx.doi. org/10.1590/S1806-11172009000100006, e http://www.on.br/glossario/ alfabeto/p/particulaselementares.html. 16 O Princ´ ¨ ıpio de Exclus˜ ao de Pauli foi sugerido em Uber den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren, Zeitschrift f¨ ur Physik 31, 765 (1925). 17 Saiba mais sobre lasers em A Ciˆ encia em nosso cotidiano: lasers.


Miotto e Ferraz

129

A Ciˆ encia em nosso cotidiano: lasers O princ´ıpio b´ asico de funcionamento de um laser (light amplification by stimulated emission of radiation) ou um maser (microwave amplification by stimulated emission radiation) é o mesmo, mudando apenas a regi˜ ao de emiss˜ ao da radia¸c˜ ao: frequências ´ opticas, no caso do laser; e na regi˜ ao do micro-ondas, no caso do maser. Para construir o tipo mais comum de laser (ou maser), utiliza-se um sistema atˆ omico de três n´ıveis, conforme a figura 6.11, com algumas propriedades especiais. O sistema, inicialmente com energia E II ab- Figura 6.11: Representa¸cão essorve radia¸c˜ ao (luz, por exemplo) quem´ atica dos n´ıveis de energia em com frequência ~ω1 e vai do estado um laser de três n´ıveis. fundamental a um estado de energia excitado E ? , rapidamente emite f´ otons com frequência ~ω2 e vai a um outro estado de energia excitado E I , com E ? > E I . Esse estado de energia E I , apesar de também ser um estado excitado, tem um tempo de vida mais longo. Estados com essa caracter´ıstica s˜ ao chamados de estados metaest´ aveis. Elétrons nesse estado, eventualmente, emitem fótons e retornam ao estado fundamental. Todavia, esse evento pode demorar algum tempo, permitindo que a sua popula¸c˜ ao (ou seja, o n´ umero de elétrons com esta energia) aumente, estabelecendo as condi¸c˜ oes apropriadas para a opera¸cão de nosso laser. Quando, eventualmente, um dos elétrons emite um fóton com energia ~ω0 , a presen¸ca desse f´ oton estimula os outros elétrons a também emitirem f´ otons com a mesma frequência, retornando ao estado fundamental. Os elétrons podem novamente ser excitados e voltar ao estado E ? , realimentando o ciclo. No caso de lasers, a energia ~ω0 , resultante da transi¸c˜ ao do n´ıvel excitado E I para o estado fundamental E II , est´ a na regi˜ ao do vis´ıvel e sua frequência pode ser ajustada com a escolha do material de emissor adequado. Saiba mais em http://educar. sc.usp.br/licenciatura/2001/laser/index.htm, ou em http: //pt.wikipedia.org/wiki/Laser.

130

Miotto e Ferraz


´ Atomos de um el´ etron

6.7

Um dos maiores sucessos na hist´ oria da Mecˆ anica Quântica foi a compreens˜ ao do espectro de alguns ´ atomos simples. Nesta seçcão discutiremos o papel da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger neste processo. A equa¸c˜ ao de Schrödinger não pode ser resolvida analiticamente para qualquer sistema atômico, mas apenas para alguns a´tomos hidrogen´ oides. De fato, no seu trabalho original, Schrödinger resolveu explicitamente o ´ atomo de hidrogênio. Sua solu¸cão envolvia o estudo dos movimentos do pr´ oton e do elétron que comp˜ oem o átomo de hidrogênio e é an´ aloga ` a formula¸caõ cl´ assica de descrever o movimento em termos de um centro de massa. Dada a dificuldade na solu¸c˜ ao da equa¸cão de Schrödinger, n˜ ao vamos resolvê-la explicitamente, mas t˜ ao somente discutir seus resultados, indicando o caminho da solu¸c˜ ao. Todavia, cabe ressaltar que, apesar das dificuldades na resolu¸c˜ ao de problemas de muitos corpos, a equa¸cão de Schr¨ odinger é largamente empregada, com o aux´ılio de computadores, na resolu¸caõ de sistemas complexos em F´ısica da Matéria Condensada. Para tanto, utilizam-se solu¸c˜ oes aproximadas, j´ a que o potencial real não é bem conhecido, como a proposta pelo ganhador do Prêmio Nobel de Qu´ımica de 1998, Walter Kohn18 . Supondo que possamos tratar um ´ atomo de hidrogênio como uma u ńica p2 part´ıcula: um elétron com energia cinética 2µ sujeito a um potencial coulom2

biano V (r) = − kZe e o momento do elétron, µ sua massa reduzida19 , r , onde p ´ Z seu n´ umero atˆ omico, e a carga do elétron e r sua posi¸cão. Nesse caso, a Equa¸caõ de Schr¨ odinger em três dimens˜ oes assume a forma −~2 2µ

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

Ψ(x,y,z) + V (x,y,z)Ψ(x,y,z) = EΨ(x,y,z). (6.36)

Por quest˜ oes de simetria, o tratamento do problema proposto em coordenadas esféricas   x = rcosθ y = rsenθ cosφ   z = rsenθ senφ

18 A Teoria do Funcional da Densidade (DFT) foi proposta por Walter Kohn em colabora¸c˜ ao com Pierre Hohember e Lu Jeu Sham e est´ a fundamentada em dois trabalhos seminais: P. Hohenberg and Walter Kohn Inhomogeneous electron gas, Physical Review 136, B864 (1964) e W. Kohn and L. J. Sham, Self-consistent equations including exchange and correlation effects, Physical Review 140, A1133 (1965). 19 O uso da massa reduzida nos permite levar em considera¸ ca õ a existˆ encia do n´ ucleo sem trat´ a-lo explicitamente.

´ 6.7 Atomos de um el´ etron

Miotto e Ferraz

131

é mais adequado do que em coordenadas cartesianas, o que leva à ~2 1 ∂ 1 ∂ ∂Ψ(r,θ, φ) 2 ∂Ψ(r,θ, φ) r senθ 2µ r2 ∂r ∂r senθ ∂θ ∂θ 1 ∂Ψ(r,θ, φ) + + V (r)Ψ(r,θ, φ) = EΨ(r,θ, φ). sen2 θ ∂θ

−

(6.37)

Para resolver esse problema, supomos que seja poss´ıvel a separa¸cão de variáveis Ψ(r,θ,φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ), o que permite a substitui¸cão da equa¸cão 6.37 por três equa¸c˜ oes diferenciais acopladas: em r (radial), em θ e em φ. Como o potencial coulombiano apresenta apenas dependência radial (potencial central), ele s´ o aparecer´ a na equa¸c˜ ao dependente de r, e a equa¸cão radial ter´ a a forma:

−

~2 1 ∂ kZe2 2 ∂R(r) r − R(r) = ER(r). 2 2µ r ∂r ∂r r

(6.38)

As equa¸c˜ oes diferenciais em θ e φ n˜ ao sofrem influência do potencial, o que significa que as solu¸c˜ oes aqui discutidas valem para qualquer potencial central. Em nosso estudo sobre a equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger em coordenadas cartesianas, vimos que a cada grau de liberdade (ou coordenada independente) est´ a associado um n´ umero quˆ antico (que decorre das condi¸cões de contorno do sistema). Assim, a solu¸c˜ ao em coordenadas esféricas leva a três n´ umeros quˆ anticos, simbolizados por n, l e m. Os n´ umeros quânticos n1 , n2 e n3 associados ` as coordenadas cartesianas eram independentes. Todavia, o mesmo não ocorre com os n´ umeros quˆ anticos associados ` as coordenadas esféricas. Na tabela 6.1 apresentamos a forma das solu¸c˜ oes para a equa¸cão de Schrödinger em coordenadas esféricas, os valores poss´ıveis dos n´ umeros quânticos associados e sua interpreta¸c˜ ao f´ısica. Utilizando as solu¸c˜ oes para as equa¸c˜ oes diferenciais acopladas apresentadas na tabela 6.1, podemos escrever a solu¸c˜ ao geral para o átomo de hidrogênio na forma: Ψn,l,m (r,θ,φ) = Cn,l,m Rn,l (r)Θl,|m| (θ)eimφ ,

(6.39)

onde Cn,l,m é uma constante de normaliza¸c˜ ao. Observe que essa solu¸cão geral depende explicitamente dos n´ umeros quˆ anticos n, l e m. Da mesma forma, a energia também deve depender explicitamente dos mesmos n´ umeros quânticos. Assim, é muito comum identificar n˜ ao s´ o a fun¸cão de onda, mas também a energia e outros operadores utilizando o mesmo conjunto de ´ındices.

132

Miotto e Ferraz


Tabela 6.1: Descri¸c˜ ao das solu¸c˜ oes para a equa¸c˜ ao 6.37 e suas respectivas interpreta¸c˜ oes. Nas solu¸c˜ oes apresentadas Z é o n´ umero atômico do átomo 1 , onde o é a permissihidrogen´ oide; µ, a massa reduzida do elétron; k = 4π o vidade do v´ acuo, e a carga do elétron; Pl,|m| (cosθ) é uma Fun¸cão de Legendre Associada; Λn,l um polinˆ omio; e ao o raio de Bohr (0,529177 ˚ A). coordenada r solu¸caõ

Rn,l (r) ∝ e−Zr/nao

2Zr nao

n´ umero quˆ antico

n

poss´ıveis valores

0, 1, 2, ...

interpreta¸c˜ ao

coordenada solu¸caõ

l

Λn,l

Θ(θ) ∝ Pl,|m| (cosθ)


0, 1, 2, ..., (n − 1)

solu¸caõ

θ

l

coordenada

2Zr nao

a solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao radial fornece n´ıveis de energia quantizados idênticos aos obtidos por Bohr 2 4 2 En = − µk2~e2 nZ2


interpreta¸c˜ ao

quantiza¸c˜ ao do pmomento angular (L = l(l + 1)~)

φ Φ(φ) ∝ eimφ


m


−l, −l + 1, −l + 2, ..., 0, 1, ..., l − 2, l − 1, l

interpreta¸c˜ ao

quantiza¸c˜ ao da componente z do momento angular (Lz = m~)


Miotto e Ferraz

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Quer saber mais? Na solu¸c˜ ao do ´ atomo de hidrogênio, a energia não depende dos n´ umeros quˆ anticos l e m porque escolhemos um potencial que é proporcional ao inverso do raio ao quadrado. De forma geral, a energia pode depender de todos os três n´ umeros quˆ anticos. De fato, se além do potencial, tivéssemos ~ = B zˆ, a coordenada z não mais poderia ser escoum campo magnético B lhida aleatoriamente, e ter´ıamos uma dependência explicita em m na energia. Experimentalmente, na presen¸ca de um campo magnético externo, observa-se uma separa¸c˜ ao das raias espectrais, o que é conhecido como Efeito Zeeman. Para saber mais sobre este efeito, consulte, por exemplo, ´ Paul Tipler, F´ısica, vol. 4, Otica e F´ısica Moderna, seçc˜ ao 37.5. Vamos agora explorar um pouco mais a solu¸cão geral dada em 6.39. Considere inicialmente o estado fundamental do sistema, ou seja, n = 1, l = m = 0. A exponencial que representa a dependência em φ assume o valor 1. O mesmo ocorre com a Fun¸c˜ ao de Legendre Associada, o que implica em termos apenas a parte radial da fun¸c˜ ao de onda, que vale: Ψ1,0,0 (r,θ,φ) = R1,0 (r) = atomo de hidrogênio, Z = 1 e a solu¸cão reduzC1,0,0 e−Zr/nao . No caso de um ´ se a Ψ1,0,0 = R1,0 (r) = C1,0,0 e−r/nao . A constante C1,0,0 é determinada pela condi¸c˜ ao de normaliza¸c˜ ao Z +∞ dx Ψ?1,0,0 (r,θ,φ)Ψ1,0,0 (r,θ,φ) = 1, −∞

32 e vale C1,0,0 = √1π a1o . Assim, o estado fundamental do átomo de hidrogênio é descrito por: 1 Ψ1,0,0 (r,θ,φ) = √ π

1 ao

23

r

e− ao ,

(6.40)

que depende explicitamente apenas de r. Os estados quânticos definidos por l = m = 0 s˜ ao normalmente designados como estados s. De forma análoga, os estados excitados 2s, 3s,..., apresentam dependências radiais similares:

Ψ2,0,0 (r,θ,φ)

=

1 √ 4 π

Ψ3,0,0 (r,θ,φ)

=

1 √ 81 3π

etc

....

1 ao

32

r r 2− e− 2ao ao 32 r 1 r r2 27 − 18 + 2 2 e− 3ao ao ao ao

(6.41) (6.42)

Como vimos anteriormente, a densidade de probabilidade é proporcional a Ψ? Ψ e a densidade de carga, que é um observável f´ısico, pode ser obtida de Ψ? eΨ, onde e é a carga elementar.

134

Miotto e Ferraz


Na parte superior da figura 6.12 temos a representa¸c˜ ao da densidade de carga para o estado fundamental 1s e para os estados excitados 2s e 3s do a´tomo de hidrogênio. Observe a forma esfericamente simétrica das densidades de carga. O decréscimo exponencial da densidade pode ser mais facilmente avaliado a partir da fun¸caõ de distribui¸c˜ ao radial representada na parte inferior. A distˆ ancia mais prov´ avel corresponde ao m´ aximo da fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao e é igual ao raio de Bohr para o estado 1s. Para os estados 2s e 3s observamos um m´ aximo em torno de ao , mas m´ aximos globais para valores muito maiores. Note, também, que o n´ umero de m´ aximos nas distribui¸c˜ oes radiais é numericamente igual ao n´ umero quˆ antico n. Es- Figura 6.12: Representa¸cão da densitados com n´ umeros quˆ anticos maio- dade de carga (superior) e da fun¸cão res (n = 4, 5, 6, ...) apresentam com- de distribui¸cão radial (inferior) do portamento semelhante para a den- ´ atomo de hidrogênio. A nomenclatura sidade de carga e para a fun¸c˜ ao de Xs refere-se ao estado com n´ umeros distribui¸c˜ ao radial. quˆ anticos n = X (X = 1,2,3) e l = Consideremos agora o caso onde m = 0. l = 1. Conforme descrito na tabela 6.1, o valor de m pode variar entre −l e l, ou seja, para l = 1 os valores poss´ıveis de m s˜ ao −1, 0 e 1. Assim como no caso dos estados s, a nota¸cão para os estados com l = 1 é muitas vezes feita utilizando uma letra, no caso p. Assim, temos l = 1 e m = 0 → pz , l = 1 e m = 1 → px e l = 1 e m = −1 → py . Os ´ındices x, y e z representam as dire¸c˜ oes das coordenadas cartesianas e a escolha da associa¸c˜ ao entre um dado valor de m e sua respectiva coordenada é feita por conven¸c˜ ao. Observe na figura 6.13 que as densidades de carga associadas aos estados p s˜ ao simétricas em rela¸c˜ ao ao plano nodal e apresentam o formato semelhante ao de um haltere. Esse formato de haltere da densidade de carga deriva diretamente das formas funcionais das fun¸cões de onda, que no caso do ´ atomo de hidrogênio (Z = 1) tem a forma: r r C2,1,0 e 2ao cosθ ao r r C2,1,±1 e 2ao senθ e±iφ , ao

Ψ2,1,0

=

Ψ2,1,±1

=

(6.43) (6.44)


Miotto e Ferraz

135

Figura 6.13: Representa¸c˜ ao da densidade de carga para alguns estados do a´tomo de hidrogênio. A nomenclatura pΛ refere-se ao estado com n´ umeros quˆ anticos n = 2, 3, .., tal que se l = 1 e m = 0 → Λ = z, m = +1 → Λ = x, e m = −1 → Λ = y.

onde as constantes de normaliza¸c˜ ao C s˜ ao determinadas utilizando-se a condi¸c˜ ao de normaliza¸c˜ ao. Além dos estados s e p discutidos explicitamente acima, outros estados quˆ anticos tem caracter´ısticas comuns. Para os estados com l = 2, por exemplo, os poss´ıveis valores de m s˜ ao −2, −1, 0, 1 e 2. Esses estados também são geralmente indicados pela associa¸c˜ ao entre letras: dxy , dzx , dyz , e assim por diante, de tal forma que a letra d est´ a associada a l = 2 e os ´ındices ao n´ umero quˆ antico m. Da mesma forma, a estados com l = 3 e l = 4 associam-se as letras f e g respectivamente. Quer saber mais? As letras s, p, d n˜ ao significam nada. No passado elas indicavam as linhas sharp (afilada), principal (principal), diffuse (difusa), e fundamental (fundamental) do espectro ´ optico dos ´ atomos. Mas isso foi na época em que as pessoas n˜ ao sabiam qual a origem de tais linhas. Depois de f não havia nomes especiais, assim continuamos hoje com as linhas g, h, etc. Você poder´ a visualizar as representa¸c˜ oes das densidades de carga de alguns desses estados em http://www.d.umn.edu/˜pkiprof/ChemWebV2/AOs. O mesmo tratamento utilizado para o ´ atomo de hidrogênio pode ser estendido a todos os elementos da tabela peri´ odica. A dificuldade está no fato de agora ser necess´ ario o tratamento de um sistema de mais de duas part´ıculas. Sabemos da Mecˆ anica Cl´ assica que a solu¸c˜ ao anal´ıtica de tal problema só foi obtida em alguns poucos casos. Todavia, podemos utilizar aproxima¸cões numéricas para obter tais solu¸c˜ oes. De fato, nos estudos na área de F´ısica da Matéria Condensada, onde sistemas com muitos elétrons são tratados, as solu¸c˜ oes da Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger s˜ ao obtidas através de tais aproxima¸cões, como citado anteriormente.

136

Miotto e Ferraz


Quer saber mais? Em geral os estados quˆ anticos atˆ omicos s˜ ao chamados simplesmente de orbitais. Assim, s˜ ao comuns as referências ` a orbitais s, orbitais p, etc. Todavia, como vimos em nossa discuss˜ ao, os elétrons não descrevem ´ orbitas, pois isso seria inconsistente com o Princ´ıpio de Incerteza de Heisenberg. Mesmo assim, o uso do termo orbital persiste ainda nos dias de hoje e sua raiz est´ a no Modelo de Bohr e em seu sucesso na descri¸cão dos n´ıveis de energia do espectro do hidrogênio. Lembre-se que as raias espectrais eram conhecidas com uma excelente precis˜ ao e a excelente concordância entre o Modelo de Bohr e os resultados experimentais contribu´ıram significativamente para sua aceita¸c˜ ao. De fato, a obten¸c˜ ao da mesma expressão, a partir de uma equa¸c˜ ao de movimento para o elétron, foi o primeiro grande sucesso da teoria de Schr¨ odinger. Além disso, em contraste com as imagens pict´ oricas associadas ao Modelo de Bohr, a Mecânica Quântica tem um car´ ater bastante abstrato. Assim, a manuten¸cão de algumas express˜ oes associadas ao Modelo de Bohr como o termo orbital sobreviveram ao advento da Mecˆ anica Quˆ antica. Existe inclusive uma teoria chamada Teoria do Orbital Molecular que é utilizada como uma ferramenta na compreens˜ ao das liga¸c˜ oes qu´ımicas entre moléculas. Saiba mais em http://zeus.qui.ufmg.br/ãyala/matdidatico/tom.pdf.

6.8

O spin do el´ etron

Você j´ a deve ter notado que nossa defini¸c˜ ao da energia dos estados eletrônicos do ´ atomo de hidrogênio s´ o depende do n´ umero quântico n. Esse fato tem uma consequência muito importante: o n´ıvel de energia correspondente a n = 2 est´ a relacionado a quatro estados distintos: Ψ2,0,0 (r,θ,φ), Ψ2,1,0 (r,θ,φ), Ψ2,1,−1 (r,θ,φ), e Ψ2,1,1 (r,θ,φ). Em outras palavras, esses quatro estados são degenerados, isto é, têm n´ umeros quˆ anticos diferentes, mas o mesmo valor de energia. Os n´ıveis de energia podem ser observados com grande precisão em experimentos de excita¸c˜ ao de gases (o g´ as é excitado e emite radia¸cão, analisada através de um espectrosc´ opio). Nesses experimentos, verifica-se que as raias espectrais relacionadas com o n´ umero quˆ antico n = 2 não são degeneradas, isto é, apresentam uma pequena separa¸c˜ ao entre si. De fato, os experimentos indicam que cada raia espectral é, na verdade, constitu´ıda por pelo menos duas raias muito pr´ oximas. Esta pequena separa¸c˜ ao é chamada de estrutura fina das raias e constituiu um dos obst´ aculos a serem superados pela Teoria Quˆ antica. Em 1925, Pauli20 sugeriu que o elétron tinha um n´ umero quântico adicional que s´ o poderia assumir dois valores. No mesmo ano, Goudsmit e Uhlenbeck21 sugeriram que este quarto n´ umero quˆ antico seria a componente z do momento angular intr´ınseco do elétron (ms ), o qual denominaram spin 20 Zeitschrift

f¨ ur Physik 32 794 (1925). 47, 953 (1925); Nature 117 264, (1926).

21 Naturwissenschaften

6.8 O spin do el´ etron

Miotto e Ferraz

137

do elétron. Em seu modelo22 , Goudsmit e Uhlenbeck imaginaram o elétron como uma esfera que gira em torno do seu eixo enquanto órbita o n´ ucleo, em analogia ` a rota¸caõ e transla¸c˜ ao da terra em torno do sol. Seguindo esse racioc´ınio, o momento angular intr´ınseco do spin do elétron s seria descrito de forma an´ aloga ao n´ umero quˆ antico l, e os poss´ıveis valores de sua componente z seriam 2s + 1 (j´ a que s˜ ao 2l + 1 os poss´ıveis valores da componente z do momento angular orbital). Se ms tem apenas dois poss´ıveis valores, então s deve ser igual a 21 . Assim, ms = ±s = ± 12 , onde cada n´ umero corresponde às componentes z do elétron ± 12 ~. Uma consequência direta da introdu¸c˜ ao do spin do elétron é a existência de um momento magnético intr´ınseco (j´ a que uma carga em rota¸cão é equivalente a um conjunto de espiras de corrente elétrica). Do eletromagnetismo sabemos que o momento magnético µ de um sistema elétrico girante está relacionado com o seu momento angular através de uma constante de proporcionalidade que é a raz˜ ao da carga pelo dobro da massa da part´ıcula. No caso do elétron, e ~ ter´ıamos ent˜ ao µ ~ = 2m L, onde e é a carga; me , a massa; e L, o momento e angular do elétron. A partir desta equa¸c˜ ao, podemos escrever o módulo do momento magnético e de sua componente z: µ=

p e e p l(l + 1)~ = l(l + 1)µB L= 2me 2me

(6.45)

e µz = −

e m~ = mµB , 2me

(6.46)

´ onde µB é conhecido como magnéton de Bohr e vale 9,27 × 10−24 J/T. E muito interessante destacar que a quantiza¸c˜ ao do momento angular implica na quantiza¸c˜ ao do momento magnético do elétron. Como o elétron tem um momento angular do spin, caracterizado pelos n´ umeros quˆ anticos s e ms , é de se esperar que o momento magnético tenha a mesma forma, bastando que substituamos l por s e m por ms . Isso levaria a uma componente z do momento magnético do elétron com magnitude de ± µ2B . Todavia, valor experimental observado é o dobro do esperado, o que faz com que a rela¸caõ usual entre a componente z de qualquer tipo de momento angular JZ e a componente z do seu momento magnético seja escrita como µz = −gµB J~Z , onde g é a raz˜ ao giromagnética, que vale gl = 1, para o momento angular orbital e gs = 2 para o spin. Esses valores foram previstos por Dirac23 j´ a em 1927, que utilizou a relatividade restrita e a Mecânica Quântica numa equa¸c˜ ao de onda relativ´ıstica que denominamos Equa¸cão de Dirac. 22 Um relato dos acontecimentos que culminaram com a introdu¸ ca õ do spin foi feito pelo pr´ oprio Goudsmit, em 1971, durante uma palestra em comemora¸c˜ ao ao jubileu de ouro da Sociedade Neerlandesa de F´ısica. Veja a integra, com uma curta nota de apresenta¸c˜ ao de J. H. van der Waals em http://www.lorentz.leidenuniv.nl/history/spin/goudsmit. html. 23 The Quantum Theory of the Electron, Proc. R. Soc. A 117, no 778, 610 (1928).

138

Miotto e Ferraz


O modelo proposto por Goudsmit e Uhlenbeck, no qual o elétron aparece como uma esfera que gira em torno do seu eixo, levou-nos a um valor para o momento magnético do elétron que é o dobro do observado experimentalmente. Isso ocorre porque este modelo simples n˜ ao pode ser tomado literalmente. Ele é apenas uma descri¸c˜ ao pict´ orica, tal qual o modelo atˆ omico de Bohr, que facilita a nossa compreens˜ ao do problema, mas que n˜ ao descreve perfeitamente o sistema quˆ antico em quest˜ ao. Além disso, o modelo de Goudsmit e Uhlenbeck tem um problema intr´ınseco: ele preve que o elétron é uma esfera que gira em torno de seu eixo. Essa previs˜ ao é contr´ aria ao Princ´ıpio de Incerteza de Heisenberg, j´ a que implica em localizarmos o elétron em um u ńico ponto. A separa¸c˜ ao das raias espectrais observadas experimentalmente pode então ser entendida como o resultado da intera¸c˜ ao entre o momento magnético associado ao momento angular orbital e o momento magnético do spin. O momento magnético do spin s´ o pode ter duas orienta¸c˜ oes poss´ıveis: paralela ou anti-paralela ao momento magnético angular orbital, que são comumente denominadas spin para cima e spin para baixo e representadas graficamente por ↑ e ↓. A inclus˜ ao do n´ umero quˆ antico associado ao spin possibilita uma descri¸cão completa do ´ atomo de hidrogênio através da Mecˆ anica Quântica. As fun¸cões de onda do elétron no a´tomo de hidrogênio, ou em qualquer sistema eletrônico, s˜ ao caracterizadas por quatro n´ umeros quˆ anticos: n, l, m, e ms . Pelo Princ´ıpio de Exclus˜ ao de Pauli sabemos que no caso de férmions (por exemplo, elétrons) dois estados n˜ ao podem ser degenerados, ou seja, pelo menos um de seus quatro n´ umeros quˆ anticos deve diferir. Para um estado qualquer não podemos dizer a priori qual é a orienta¸caõ do spin do elétron. Assim, para sermos o mais geral poss´ıvel, dizemos que o estado é uma mistura dos dois poss´ıveis estados de spin. O estado fundamental do ´ atomo de hidrogênio, por exemplo, é descrito por uma combina¸c˜ ao linear dos dois poss´ıveis estados de spin que o sistema pode ocupar: Ψ(r,θ,φ)f undamental = C1,0,0, 21 Ψ(r)1,0,0, 12 + C1,0,0,− 12 Ψ(r)1,0,0,− 12

6.9

O experimento de Stern-Gerlach

Apesar das previs˜ oes te´ oricas, a constata¸c˜ ao experimental de que o momento angular é quantizado n˜ ao foi uma tarefa simples24 . As primeiras evidências experimentais da existência do spin est˜ ao relacionadas com o experimento de Stern e Gerlach 25 de 1922. 24 Perceba que a aceita¸ c˜ ao da existˆ encia do spin com um n´ umero quˆ antico semi-inteiro ´ e objeto de extenso relato por parte do pr´ oprio Goudsmit http://www.lorentz.leidenuniv. nl/history/spin/goudsmit.html. 25 Das magnetische Moment des Silberatoms, Zeitschrift f¨ ur Physik 9, 353 (1922).

6.9 O experimento de Stern-Gerlach

Miotto e Ferraz

139

O experimento de Stern e Gerlach faz uso de um aparato experimental desenhado para medir o momento magnético individual de ´ atomos de prata. Sern e Gerlach produziram um feixe de ´ atomos de prata por evapora¸c˜ ao em um forno quente, permitindo que apenas alguns dos ´ atomos assim produzidos passassem através de uma série de pequenos Figura 6.14: Representa¸cão esquemática do exorif´ıcios (colimadores). Esse perimento de Stern-Gerlach. feixe de ´ atomos atravessa um magneto especialmente constru´ıdo, conforme a figura 6.14. Se o átomo de prata ~ ele tem a energia tem um momento magnético µ, sob a a¸c˜ ao de um campo B, ~ −µz |B|, onde zˆ é a dire¸c˜ ao do campo magnético. Pela teoria clássica, µz seria igual ao produto do momento magnético pelo cosseno do ângulo entre o momento e o campo magnético, de forma que a energia extra devida ao campo ~ seria ∆U = −µ|B|cosθ. Quando os ´ atomos saem do forno, seus momentos magnéticos apontam para todas as dire¸c˜ oes poss´ıveis, o que significa que todos os valores de θ ser˜ ao permitidos. Todavia, se o campo magnético varia rapidamente com zˆ, ou seja, o campo apresenta um gradiente muito grande, a energia magnética também varia com a posi¸c˜ ao, e a for¸ca sobre um dos polos do im˜ a ser´ a maior ou menor do que a for¸ca sobre o outro polo, deFigura 6.15: Representa¸cão espendendo da orienta¸c˜ ao do im˜ a. A quem´ atica da a¸cão de um campo figura 6.15 ilustra o efeito de um magnético B não uniforme aplicado campo magnético n˜ ao uniforme soa três barras imantadas orientadas bre três pequenas barras imantadas, diferentemente. com diferentes orienta¸c˜ oes. Além do torque, que provoca a precess˜ ao do momento magnético em torno da dire¸cão do campo, h´ a também uma for¸ca na dire¸c˜ ao positiva ou negativa de zˆ, dada z por Fz = µz dB . Essa for¸ c a, devida ao im˜ a, terá orienta¸cão para cima ou dz para baixo, de acordo com a n˜ ao uniformidade do campo magnético e da componente z do campo magnético. Assim, classicamente esperar´ıamos que, ao deixarem o magneto, os ´ atomos estivessem distribu´ıdos igualmente de acordo

140

Miotto e Ferraz


com a componente vertical de seu momento magnético, já que todos os ângulos s˜ ao permitidos. Todavia, o experimento de Stern e Gerlach mostra um resultado completamente diferente: os ´ atomos de prata formaram dois feixes. O fato de um feixe de ´ atomos cujos momentos magnéticos (ou spins) deveriam estar distribu´ıdos randomicamente poder ser separado em dois feixes foi um resultado surpreendente. Os pesquisadores se perguntavam como o momento magnético sabia que s´ o alguns valores eram permitidos. Em 1927, Phipps e Taylor26 fizeram o mesmo experimento, s´ o que com átomos de hidrogênio, obtendo a mesma separa¸c˜ ao dos feixes. Esse experimento mostrou definitivamente que os resultados obtidos por Stern e Gerlach não eram devido a alguma propriedade intr´ınseca da prata. Além disso, como o átomo de hidrogênio n˜ ao possui momento magnético, a divis˜ ao do feixe de hidrogênio em dois feixes s´ o poderia ser devido ao spin intr´ınseco do elétron, que só pode ter duas orienta¸c˜ oes, correspondentes ao n´ umero quˆ antico s = 21 . Quer saber mais? Apesar de decisivo como evidência experimental do spin, o experimento de Stern e Gerlach teve uma interpreta¸c˜ ao inicial muito diferente daquela aqui apresentadaa . Todavia, apesar da interpreta¸cão original estar incorreta, o resultado obtido por Stern e Gerlach era t˜ ao fundamental que resistiu ` as novas interpreta¸c˜ oes dadas pela Mecˆ anica Quântica. Isso nos trás a um outro ponto interessante: os resultados experimentais n˜ ao mudam quando a teoria aceita muda, apesar de sua interpreta¸c˜ ao poder mudar. Diversas informa¸c˜ oes e um simulador para o experimento de Stern e Gerlach podem ser encontrados em http://www.if.ufrgs.br/˜betz/ quantum/SGtexto.htm. a Veja, por exemplo, Friedel Weinert in Wrong theory - Right experiment: The significance of the Stern-Gerlach experiments, Studies In History and Philosophy of Science Part B: Studies In History and Philosophy of Modern Physics 26, 75 (1995).

6.10

Coment´ arios

Esta breve abordagem n˜ ao tem a pretens˜ ao de uma descri¸cão detalhada da Mecˆ anica Quˆ antica, mas t˜ ao somente apresentar alguns conceitos básicos que podem ser utilizados em sala de aula. Estudos mais detalhados podem ser encontrados nos diversos livros ou artigos originais citados no decorrer do texto. Dentre os poss´ıveis t´ opicos a serem abordados, a descri¸cão do funcionamento de um laser desperta grande curiosidade entre os alunos de diversos n´ıveis escolares, j´ a que este dispositivo est´ a presente em muitos aparelhos eletrônicos. A estrutura da matéria também est´ a contemplada em nossa abordagem. Dependendo do interesse e dos pré-requisitos de cada turma, um poss´ıvel assunto a ser abordado utilizando os conceitos aqui desenvolvidos é o de liga¸cão qu´ımica. 26 The

Magnetic Moment of the Hydrogen Atom, Physical Review 29, 309 (1927).

6.10 Coment´ arios

Miotto e Ferraz

141

Os conceitos abordados na descri¸c˜ ao do ´ atomo de um elétron podem ser estendidos para propiciar uma compreens˜ ao mais simples dos diferentes tipos de liga¸c˜ oes qu´ımicas.

Índice Remissivo Arist´ oteles, 4 a´tomo, 73 a´tomo de hidrogênio, 146 n´ umeros quˆ anticos, 147 n´ıveis de energia, 148 orbital, 152 quantiza¸c˜ ao da componente z do momento angular, 148 quantiza¸c˜ ao do momento angular, 148 raio de Bohr, 150

corpo negro, 40, 42 absortˆ ancia, 40 potência emissiva, 40 radiˆ ancia espectral, 41

Davisson e Germer, 101 de Broglie, 99 rela¸c˜ oes de, 99 degenerados, 152 degenerescência, 141 densidade de carga, 134, 135, 150 densidade de probabilidade, 134, 150 b´ osons, 144 detectores de radia¸cão, 58 Balmer, 75 detectores de radia¸cão infravermelho série de, 75 imagens térmicas, 58 Bohr, 86 Dirac, 154 modelo atˆ omico de, 86 Equa¸c˜ ao de, 154 postulados de, 86 Equa¸c˜ ao Relativ´ıstica de, 92 Princ´ıpio da Correspondência, 87, dualidade onda-part´ıcula, 69, 110, 113 91 car´ ater coletivo, 70 Princ´ıpio de Complementariedade, car´ ater individual, 70 115 Princ´ıpio de Complementariedade efeito fotoelétrico, 59 fotoelétron, 61 de, 129 limiar de frequência, 62, 64 Raio de, 90 sensores fotoelétricos, 66 Boltzmann, 42 tempo de retardo, 62, 64 calor, 37 Efeito M¨ ossbauer, 117 cal´ orico, 37 Einstein, 3, 17 Compton, 66 Equa¸c˜ ao de, 63 comprimento de onda, 69 elétron, 78, 106 deslocamento, 66 carga elétrica elementar, 79 pacote de ondas, 106 efeito, 66 constante de estrutura fina, 92 quantiza¸cão da carga, 80

´ INDICE REMISSIVO elemento de matriz, 136 eletrosc´ opio, 65 entropia, 54 Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger, 122 independente do tempo, 124 Espalhamento Thomson, 69 Espectro Eletromagético, 38 estados quˆ anticos, 56 éter, 8, 10, 12, 14 Experimento de Michelson-Morley, 14 Experimento de Young, 107 Express˜ ao de Rydberg-Ritz, 76 férmions, 144 f´ oton, 63, 64 emiss˜ ao, 135 F´ısica Quˆ antica, 56 fenˆ omeno ondulat´ orio, 104 FitzGerald, 15 Fizeau, 12 Franck-Hertz, 95 experimento de, 95 Fresnell, 12 fun¸c˜ ao de onda, 105, 120 condi¸c˜ ao de normaliza¸c˜ ao, 123 continuidade, 123 interpreta¸c˜ ao probabil´ıstica, 109 fun¸c˜ ao trabalho, 63 G. P. Thomson, 101 Galileu, 4, 37 Princ´ıpio de Relatividade de, 6 Transforma¸c˜ ao de, 7 Goudsmit e Uhlenbeck, 153 grau de liberdade, 147

Miotto e Ferraz falhas no modelo de, 81 modelo atômico de, 80 Joule, 38 Kirchhoff, 40, 41, 74

laser, 136, 144, 145 f´ oton, 145 Lei de Rayleigh-Jeans, 50 Catástrofe do Ultravioleta, 50 Lei de Stefan-Boltzmann, 43 Linhas de Fraunhofer, 74 Lorentz, 16 fator de, 16 Transforma¸cões de, 16 maser, 136, 145 Maxwell, 9 Mecˆ anica Newtoniana, 4 Mecˆ anica Quântica, 119 Michelson, 13 Millikan, 79 experimento de, 79 Modelo de Bohr, 86 diagrama de n´ıveis de energia, 88 emissão de um fóton, 86 energia de ioniza¸cão, 88 Equa¸cão de Bohr, 88 estados estacionários, 86 momento angular, 87 quantiza¸cão da energia, 87 transi¸cão, 86 Modelo de Drude, 124 modelos atômicos, 80 Moseley, 93 experimento de, 93

Heisenberg, 110, 119 n´ umero quântico, 56, 141 Princ´ıpio de Incerteza de, 110, 129, Newton, 5 154 Mecânica Newtoniana, 5 Hertz, 59 Primeira Lei de, 6 Huygens, 8 onda estacionária, 47 Interpreta¸c˜ ao de Copenhagen, 109 operador, 130 J. J. Thomson, 80

143

pacote de ondas, 104

144

´ INDICE REMISSIVO

Miotto e Ferraz

velocidade de fase, 105 velocidade de grupo, 105 parˆ ametro de impacto, 83 Paradoxo dos Gêmeos, 23 Pauli, 142, 153 Princ´ıpio de Exclus˜ ao de, 142, 144, 154 pirˆ ometro ´ optico, 39 Planck, 51 po¸co quadrado finito, 127 aplica¸c˜ ao, 130 condi¸c˜ ao de contorno, 128 continuidade da fun¸c˜ ao de onda, 128 Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger, 128 interpreta¸c˜ ao, 129 metal, 124 tunelamento, 130 po¸co quadrado infinito, 124 condi¸c˜ ao de normaliza¸c˜ ao, 126 condi¸c˜ oes de contorno, 125, 126 corda vibrante, 125 densidade de probabilidade, 127 energia, 125 Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger, 125 estado quˆ antico, 127 n´ umero quˆ antico, 125 onda estacion´ aria, 125 quantiza¸c˜ ao, 125 Princ´ıpio de Incerteza, 110 consequências, 115 propriedades ondulat´ orias da matéria, 100 evidências experimentais, 101 pudim de ameixas, 81 quanta, 63 radia¸caõ térmica, 38 Raios X, 71, 103 cristalografia, 103 Rayleig, 46 referencial, 6 inercial, 6 regra de sele¸c˜ ao, 136

Rela¸c˜ ao de Planck, 55 constante de Planck, 55 Rutherford, 82 modelo atômico de, 84 trajet´ oria parabólica de, 83 Rydberg, 76 Schr¨ odinger, 100, 119 equa¸c˜ ao de, 122 spin, 152, 153, 157 estrutura fina, 153 modelo de Goudsmit e Uhlenbeck, 153 momento angular orbital, 154 Stern e Gerlach, 155 experimento de, 155 Tabela Peri´ odica, 93 tempo absoluto, 16 Teorema da Equiparti¸cão de Energia, 49 Teoria da Relatividade, 3 contra¸caõ espacial, 26 dilata¸c˜ ao temporal, 21 Energia Cinética, 34 massa, 32 massa de repouso, 31 momento, 32 Postulado (ou Princ´ıpio) da Relatividade, 18 Postulado da constância da velocidade da luz, 18 Teoria Ondulatória, 9 transi¸c˜ oes entre estados quânticos, 133 tunelamento, 140 valor esperado, 131 Velha Teoria Quântica, 97 velocidade da luz, 10, 18 Wien, 43 Lei de Deslocamento de, 43 Wilson-Sommerfeld, 96 regra de quantiza¸cão, 96, 97 Zeeman, 77

´ INDICE REMISSIVO efeito, 77 efeito Zeeman anˆ omalo, 77

Miotto e Ferraz

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c

R. Miotto e A. C. Ferraz

Esta p´ agina foi deixada em branco propositadamente.

Ronei_fisica_quantica

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